Calculation of a Vibration-Isolated Building System with Non-Linear Characteristics Under Kinematic Action (Base Displacement)

Full Text

1. Введение Значительное число систем виброизоляции для повышения эффективности виброзащиты включает в себя отдельные нелинейные элементы. Эти элементы могут быть либо включены в систему конструктивно (виброизоляция, динамические гасители и т.п.), либо возникать в процессе деформирования конструкций при интенсивных динамических воздействиях как выключающиеся или разрушающиеся элементы [1-3]. Системы сейсмической защиты достаточно многочисленны, разнообразны и направлены на защиту гражданских конструкций и их неструктурных компонентов при сейсмических воздействиях [4; 5]. Во многих случаях виброизоляция обеспечивается в основном за счет введения между надземной частью конструкции и фундаментом гибкого горизонтального интерфейса с высоким внутренним демпфированием [6-8]. В настоящее время наиболее часто используются следующие варианты для сейсмоизоляции. 1. Устройство бетонного слоя с демпфирующими характеристиками вокруг фундамента с целью изоляции зданий от вибраций во время землетрясения - такой бетон готовится с использованием различного процентного содержания резиновой крошки и стального шлака в качестве заполнителя [9]. 2. Цилиндрические резиновые опоры с высоким демпфированием (рис. 1), установленные между надземной несущей системой и фундаментами здания [10]. Рис. 1. Цилиндрические резиновые опоры И с т о ч н и к: Mike Renlund: Base_isolators_under_the_Utah_State_Capitol.jpg Figure 1. Cylindrical rubber supports S o u r c e: Mike Renlund: Base_isolators_under_the_Utah_State_Capitol.jpg 3. Роликовая система нейтрализации колебаний при сейсмических воздействиях. Это система, которая обеспечивает возможность сейсмоизоляции здания от основания и дает возможность после землетрясения возвращать эту систему в исходное состояние (рис. 2) [11]; Рис. 2. Роликовая система нейтрализации колебаний сейсмического воздействия И с т о ч н и к: О.А. Бурцева, С.А. Чипко, Н.Р. Абуладзе [12] Figure 2. Roller system for neutralizing seismic vibrations S o u r c e: O.A. Burtseva, S.A. Chipko, N.R. Abuladze [12] 4. Здание с системой геотехнической сейсмоизоляции (рис. 3). Геотехническая сейсмоизоляция (ГСИ) считается инновационной системой изоляции основания, размещенной ниже фундамента надстройки для защиты от повреждений при землетрясении. Эта система состоит из слоя материалов с низким модулем сдвига и высокими демпфирующими свойствами, такими как смесь песка и резины, используемая для слоя ГСИ [13]. Рис. 3. Здание с системой геотехнической сейсмоизоляции И с т о ч н и к: A. Boominathathan [14] Figure 3. Building with geotechnical seismic isolation system S o u r c e: A. Boominathathan [14] 5. Здания с вязкими демпферами. Вязкостной демпфер, считается пассивным устройством рассеивания энергии. Применяется в гражданских конструкциях для изменения динамических характеристик конструкций, подверженных землетрясению или ветровым воздействиям (рис. 4). Рис. 4. Вязкостный демпфер И с т о ч н и к: https://www.taylordevices.com/direct-acting-damping/ Figure 4. Viscous damper S o u r c e: https://www.taylordevices.com/direct-acting-damping/ Данный тип сейсмоизоляции показывает хорошие характеристики по уменьшению значений реакции конструкции, перемещений, смещения между этажами и воздействия на основание соответственно. Суть метода основана на оценке отключения или разрушения дополнительных связей, которые находятся между несущей системой и фундаментами во время колебаний. Отключение или разрушение дополнительных связей приводит к изменениям конструктивной схемы в процессе колебаний, в том числе динамических характеристик сооружения (матрицы жесткости или податливости), собственных частот и форм колебаний [15]. Собственные частоты виброизолированной системы приблизительно снижают уровень колебаний (значения амплитудно-частотных характеристик). Подобные системы виброизоляции можно оценить с помощью коэффициента динамичности: А= 1ω[14] , 1-ρ2 где ω - частота вынужденных колебаний; ρ - частота собственных колебаний. 2. Алгоритмы расчета 2.1. Алгоритм расчета системы с одной степенью свободы с выключенными связями при кинематическом воздействии (смещении основания) Рис. 5. Система с одной степенью свободы с выключенными связями: К1 - жесткость системы; К2 - жесткости виброизоляторов; ε0(t) - закон смещения основания. И с т о ч н и к: выполнено Д. Кбейли Figure 5. A one level of freedom system with disconnected constraints К1 - stiffness of the system; К2 - stiffness of vibration isolators; ε0(t) - base displacement function. S o u r c e: made by J. Qbaily Уравнение движения нелинейной системы (рис. 5) (активная виброизоляция) имеет вид My+ + 1 2νd C( )у у=-Mε0. (1) dt Для принятого типа нелинейности зависимость «реакции - перемещения» C( )у у К у= 1 при у у≤ 0, C( )у у К у К у у= 1 - 2 ( - 0 ) при у у≤ 0, (2) где у0- перемещение системы при выключении связи. При построении алгоритма уравнение (1) следует преобразовать, а именно перенести нелинейные составляющие в правую часть и добавить к обеим частям уравнения 1+ 2νd р12 y; dt &&у + 1+ 2νd р у12 = -&&ε0 + 1+ 2νd р у12 - 1+ 2νd C( )у у, (3) dt dt dt Для зависимости вида (2) уравнения движения системы с одной степенью свободы с нелинейной связью (3) примет вид &&у + 1+ 2νd р у12 = -&&ε0 + 1+ 2νd К у у2 ( - 0 ). (4) dt dt м Решение уравнения (4) представляется в виде двух решений: линейной системы на смещения + 2νd К2 - у0 ), основания и на фиктивную нагрузку, которая зависит от вида нелинейности 1 dt у = ул - унл. Решение уравнения от смещения основания где = -*1 0t&&ε0(τ)e-n t1( -τ) sin p1* (t -τ) ( )d τ ; ул p1 м (5) ул = p M-1* 1 0t&&ε0 (τ)e-n t1( -τ) sin p t1* cos p1*τ-sin p1*τcos p t d1* ( )τ = = -1 d t F t1 ( ) 2 ( )-d2 ( )t F t1 ( ) , p M1 (6) где 2n1 = 2νp12, p1* = p12 -n12 . t1 ( )=е-n t1 sin p t1 ; d2 ( )t =е-n t1 cos p t1 , (7) &&0 ( ) 1 1 12 &&0 ( ) 1 1 F = t ε τ e-n τsin p*τd(τ); F = t ε τ e-n τcos p*τd(τ). 0 (8) Нелинейная составляющая решения определяется из интегрального уравнения унл = p-1*1м tt0 1+2νdtd К у у2( - 0) e-n t1( -τ) sin p t1*( -τ) ( )d τ , (9) где t0 - время первого включения дополнительной связи в процессе колебаний. Следуя (7), (8) можно записать следующим образом: p MК1 2 tt0 ( - 0 )e-n1(t-τ) sin p t1* cos p1*τ -sin p1*τcos p t d1* ( )τ ; унл = * у у унл = К* 2 d1 (t F t t) 2 ( 0 , )- d2 (t F t t) 1( 0, ) d ( )τ , (10) p M1 где F t t1( 0, ) = tt0λ1(y ± y0)cos p1*τ d ( )τ . Полное перемещение вычисляется по формуле (6). Знак ((+)) в (10) при y t( ) 0≤ λ1 = 0 при у у≤ 0, λ1 =1 при у у> 0 . 2.2. Алгоритм расчета виброизолированной системы здания с нелинейными характеристиками при кинематическом воздействии Рис 6. Расчетная динамическая схема виброизолированной системы здания И с т о ч н и к : выполнено Д. Кбейли Figure 6. The calculated dynamic scheme of the vibration-insulated building system S o u r c e: made by J. Qbaily Уравнения движения системы (рис. 6): Рис 7. Нелинейная зависимость «смещение - реакция» И с т о ч н и к : выполнено Д. Кбейли Figure 7. Nonlinear dependence of “displacement - reaction” S o u r c e: made by J. Qbaily m1&&y1 + k y11 1 + k y12 2 +…+ k y1n n = m1&&ξ0 m2&&y2 + k y21 1 + k22 2y +…+ k2n yn = m2&&ξ0 (11) .................................................................. mn &&yn + k yn1 1 + k yn2 2 +…+ k ynn n = mn&&ξ0, где m k i ji, ij ( , =1,2,...,n) соответственно, характеристики масс и жесткости системы, y ii ( =1,2,3) - перемещения масс системы. Из диаграммы реакции в системах виброизоляции, расположенных под зданием (рис. 7), реакцию системы можно записаться в виде k ynn n = =Rn k ym n при у< y0, (12) Rn = k yn1 n ± yn (kn1 +kn2 ) при у ≥ yn0 где (13) n n Rn1 = k ynn n = k yni i, i=1 i=1 (14) n R2 = R2 - kni (yi - y0i ). (15) i=1 Разрешающую систему уравнений удобно записать в виде m y yn n1 1 +k yn1 1 +k yn2 2 + +... k ynn n = mn&&ξ0 +kmn , (16) Учитывая (16), разрешающую систему уравнений можно записать в виде системы линейных уравнений (17) и дополнительной системы (18), которая учитывает нелинейную составляющую MY&&r + KYr = M &&ξ0 (17) можно записать MY kY&r&+ =r βri , (18) где 0 0 rn βi = 0 , где βn = -Rn k yni ( i -y0i ) =Rдоп. (19) M i=1 βn Решение для основной системы удобно представить в виде разложения по собственным формам в виде ` r ` r =βuri , (20) Φ ΦM Y&&+Φ ΦK Y ur где βi =Φ ξM 02 для дополнительной системы Y11 Y21 … Yn1 0 Yn1 uur uurY21 Y22 … Yn2 0 Yn2 βд = Φβд или … = … ∗Rд. (21) … … … … Yn1 Yn1 … Ynn Rд Ynn 2 Жесткости виброизоляторов на первом шаге расчета Ксум =Мзд (2.π.ρ) , где Мзд - масса всего здания. 3. Пример расчета Рассмотрено 3-этажное виброизолированное железобетонное здание, симметричное в схеме, с высотой этажа 3,5 м, свойства и характеристики материалов и элементов конструкций приняты в соответствии с нормами РФ (рис. 8-10). Составив уравнения движения (системы виброизоляторов выключены), определим частоты, периоды, матрицу жесткости k и матрицу масс M (т), 0,095 10,6 Т= 0,17 (с) ω= 5,88 (Гц) 0,555 1,8 Периоды Частоты 67,31 0 0 175424,843 -107559,047 21531,282 м= 0 67,31 0 (т) к= - 107559,047 159578,255 -75159,107 (т/м) 0 0 60,61 21531,282 -75159,107 56528,263 Матрица масс Матрица жесткости Рис. 8. Разрез здания И с т о ч н и к: выполнено Д. Кбейли Figure 8. Building section S o u r c e: made by J. Qbaily Рис. 9. Расчетная динамическая схема здания И с т о ч н и к: выполнено Д. Кбейли Figure 9. Estimated dynamic scheme of the building S o u r c e: made by J. Qbaily Рис. 10. Расчетная динамическая схема в расчетной программе И с т о ч н и к: выполнено Д. Кбейли Figure 10. Dynamic calculation scheme in the calculation program S o u r c e: made by J. Qbaily Количество виброизоляторов определяется в соответствии с несущей способностью при ρ=10 Гц. Ксум= Мзд (2.π.ρ)2 = 770737,14 кН/м. На первом шаге определяем жесткость здания, сейсмические силы и перемещения верхнего этажа при жесткости виброизоляторов: К Ксум= 1 , на втором шагеК2= 0,95К1 , и т.д., а также амплитудно-частотную характеристикА = . 1- ρ2 При расчете использовались системы компьютерной математики MATHCAD и программный комплекс ETABS. Здание находится в сейсмической зоне (8 баллов), категория грунта I, спектр реакции для этой области согласно нормам СП 14.13330.2018[15] показан на рис. 11. На рис. 12 показаны перемещения верхнего этажа здания. Периоды колебаний С / Periods of vibrations C Рис. 11. Значение коэффициента динамичности И с т о ч н и к: СП 14 13330 20181 Figure 11. The value of the dynamic coefficient S o u r c e: СП 14 13330 20181 Рис. 12. Перемещения верхнего этажа И с т о ч н и к: выполнено Д. Кбейли Figure 12. Displacement of the top floor S o u r c e: made by J. Qbaily 4. Результаты и обсуждение После завершения расчетов были получены сейсмические силы, частоты, периоды и матрица жесткости (табл. 1). С помощью данных табл. 1 были построены графики, представленные на рис. 13 и 14. Таблица 1 Результаты численного моделирования % К1 Жесткости виброизоляторов К1, кН/м Поперечная сила в основании S, кН Перемещениеверха сооружения ∆top, mm ρ, Гц Амплитудно-частотная характеристика А ω/ρ 0,95 732195 247,49 12 9,75 5,180722 1,113191 0,9 693000 243,98 11,9 9,48 4,233316 1,144238 0,85 655200 240,49 11,7 9,22 3,598649 1,176782 0,8 616500 237,17 11,58 8,94 3,119788 1,213155 0,75 577800 233,5 11,4 8,66 2,753401 1,253124 0,7 539100 229,5 11,2 8,36 2,464027 1,297323 0,65 500400 224,6 10.96 8,06 2,229692 1,346555 0,6 462420 221 10,78 7,75 2,039354 1,400763 0,55 423900 216 10,5 7,42 1,876857 1,463023 0,5 385200 208,2 10,1 7,07 1,737746 1,534757 И с т о ч н и к: выполнено Д. Кбейли Table 1 Results of numerical modeling % К1 Stiffness of vibration isolators К1, kN/m Shear force at the base S, kN Displacement of the top of the structure ∆top, mm ρ, GHz Amplitude frequency response Α ω/ρ 0.95 732195 247.49 12 9.75 5.180722 1.113191 0.9 693000 243.98 11.9 9.48 4.233316 1.144238 0.85 655200 240.49 11.7 9.22 3.598649 1.176782 0.8 616500 237.17 11.58 8.94 3.119788 1.213155 0.75 577800 233.5 11.4 8.66 2.753401 1.253124 0.7 539100 229.5 11.2 8.36 2.464027 1.297323 0.65 500400 224.6 10.96 8.06 2.229692 1.346555 0.6 462420 221 10.78 7.75 2.039354 1.400763 0.55 423900 216 10.5 7.42 1.876857 1.463023 0.5 385200 208.2 10.1 7.07 1.737746 1.534757 S o u r c e: made by J. Qbaily 0 ω/ρ 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 Рис. 13. Амплитудно-частотная характеристика И с т о ч н и к: выполнено Д. Кбейли Figure 13. Amplitude-frequency response S o u r c e: made by J. Qbaily Рис. 14. Отношение поперечной силы в основании с жесткостью виброизоляторов И с т о ч н и к: выполнено Д. Кбейли Figure 14. The ration of base shear force to the Stiffness of vibration isolators S o u r c e: made by J. Qbaily Изменения частот и периодов здания при изменении жесткости виброизоляторов: К= 0,95К1; 0,102 9,75 Т= 0,247 (с); ω= 4,053 (Гц) ; 3,288 0,304 189360,448 -108900,678 15915,119 к= - 108900,678 131889,184 -50397,878 ; 15915,119 -50397,878 37135,2793 К= 0,85К1; 0,108 9,22 Т= 0,25 (с); ω= 4 (Гц); 3,471 0,288 59514,092 -77177,317 18489,505 к= - 77177,317 153907,564 -76929,832 ; 18489,505 -76929,832 58462,282 К= 0,7К1; 0,119 8,36 Т= 0,247 (с); ω= 4,05 (Гц); 3,818 0,261 63070,908 -81997,426 19650,426 к= - 81997,426 1460221,439 -78444,333 ; 19650,426 -78444,333 58825,381 К= 0,5К1 ; 0,141 7,07 Т= 0,248 (с) ; ω= 4,03 (Гц); 4,658 0,214 62747,122 -81898,883 19636,348 к= - 81898,883 160191,447 -78440,048 . 19636,348 -78440,048 58824,769 Результаты расчета, когда система виброизоляторов выключена, отображены в табл. 2. Таблица 2 / Table 2 Результаты численного моделирования при выключении системы виброизоляторов The results of numerical modeling studies when the vibration isolator system is turned off Поперечная сила в основании S, кН / Shear force at the base S, kN Перемещение верха сооружения ∆top, mm / Displacement of the top of the structure ∆top, mm Без связи / Without connection 420 24,68 И с т о ч н и к: выполнено Д. Кбейли S o u r c e: made by J. Qbaily Отключение или разрушение дополнительных связей в процессе колебаний могут вызвать значительные изменения динамических свойств здания и, как следствие, изменения значений и распределения сейсмических сил. Включающиеся связи могут уменьшать перемещение до 40 % и поперечную силу в основании до 49 % при значении жесткости 50 % К1. 5. Заключение 1. Разработан алгоритм расчета виброизолирующей системы с учетом изменения динамических характеристик конструкции (матрицы жесткости или податливости), собственных частот и форм колебаний во время колебаний. 2. Полученные зависимости и алгоритмы основаны на оценке отключения или разрушения дополнительных связей (элементы с нелинейными характеристиками) при определении сейсмических сил и перемещений сооружений при сейсмическом воздействии. 3. Рассмотрена виброизолированная система здания с нелинейными характеристиками при кинематическом воздействии. Результаты расчета показали, что амплитудно-частотная характеристика снизилась на 30 %, поперечная сила в основании снизилась на 49 % при значении жесткости виброизоляторов 50 % K1.

About the authors

Jaafar Qbaily

Inggeoservice

Author for correspondence.
Email: jaafarqbaily@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-3875-9413
SPIN-code: 8790-7877

Candidate of Technical Sciences, Design Engineer of the Design Sector PIO

Moscow, Russia

Yury T. Chernov

Moscow State University of Civil Engineering (National Research University)

Email: chernovyt@mgsu.ru
ORCID iD: 0000-0002-0808-9981
SPIN-code: 2375-6712

Doctor of Technical Sciences, Professor of the Structural Mechanics Department

Moscow, Russia

References

Supplementary files