Dynamic Stability of a Cylindrical Shell Made of a Material of Different Modulus Plased on a Viscous-elastic Foundation

Full Text

1. Введение Цилиндрические оболочки круглого сечения широко применяются в строительстве и во многих областях техники и энергетики. В последнее время в указанных областях применяют оболочки со сложными свойствами, не удовлетворяющими (не соответствующими) требованиям классической теории упругости. Среди них преобладают материалы, механические свойства которых зависят от вида применяемой нагрузки и которые имеют различное сопротивление растяжению-сжатию. Во многих случаях, при эксплуатации конструкции, расчет устойчивости выходит на первый план. Учет сопротивления вязкоупругой внешней среды является актуальным (важным) моментом при решении вопросов динамической устойчивости цилиндрической оболочки. Вопрос, рассматриваемый в рамках классической теории упругости, решен [1; 3]. Разработан расчетный метод прогнозирования начала возникновения скручивания (искривления) эксцентрично нагруженных цилиндрических оболочек (покрытий). Этот метод представляет собой модификацию волнового метода Блоха, основанную на методе матрицы жесткости. Для реализации предложенного метода в коммерческом пакете конечных элементов Abaqus разработаны численный метод и эффективный алгоритм [1]. Аналитически решена задача о свободной вибрации цилиндрического покрытия, расположенного на основе Винклера - Пастернака. Приведено аналитическое решение свободной вибрации функционально-ступенчатой цилиндрической оболочки с ребрами жесткости, опирающейся на фундамент Винклера - Пастернака, с несколькими граничными условиями. Предполагается, что свойства материала цилиндрической оболочки плавно и непрерывно изменяются по толщине по степенному закону распределения объемной доли составляющих. На основе принципа Гамильтона, теории сдвиговых деформаций первого порядка и метода размазанных ребер жесткости получены определяющие уравнения подкрепленной функционально-градиентной цилиндрической оболочки, опирающейся на упругое основание [2]. В рамках теории оболочек Доннелла исследована большая амплитуда колебаний ортотропных цилиндрических оболочек функционально-градиентного материала (ФГМ), взаимодействующих с нелинейным упругим основанием Винклера. Для вывода основных уравнений ортотропных цилиндрических оболочек ФГМ, взаимодействующих с нелинейным упругим основанием, используется геометрическая нелинейность типа фон Кармана. Полуобратным методом получены частотно-амплитудные характеристики функционально-градиентной (ФГ) ортотропной цилиндрической оболочки, взаимодействующей с нелинейным упругим основанием [3]. Исследуется ортотропная пологая цилиндрическая оболочка, лежащая на упругом основании типа Пастернака. Кривые нагрузки/прогиба строятся для свободно опертых подвижных и неподвижных краев. Обсуждается влияние геометрии оболочки, параметров фундамента и краевых условий на эти характеристики. Замечено, что на кривые нагрузки/прогиба оболочек с подвижными краями меньше всего влияют изменения указанных выше параметров [4]. Представлена формулировка в замкнутой форме трехмерной (3D) уточненной теории сдвиговой деформации высшего порядка (RHOST) для анализа свободных колебаний однородных изотропных круглых цилиндрических оболочек с простой опорой-просто опорой и зажимом-зажимом [5]. Изучено влияние эксцентрических крепежных элементов и температуры на нелинейную статическую и динамическую реакцию цилиндрических S-FGM панелей. При этом цилиндрические оболочки (покрытия) усилены изогнутыми крепежными элементами (ребрами жесткости), в верхнем слое, а в нижнем слое - поддерживаются (подперты) упругими опорами. Нагружение динамического критического скручивания (искривления) было получено по критерию Будианского - Рота. Приведены численные результаты для оценки влияния повышения температуры, сжимающего давления, углов изгиба крепежных элементов (ребер жесткости) и упругих опор на нелинейную статическую и динамическую реакцию цилиндрических S-FGM панелей в термической среде [6; 7]. Разработана полуаналитическая модель для прогнозирования акустического отклика тонкостенных цилиндров с ортогональной жесткостью. Модель свободных колебаний решена приближенным методом предполагаемых мод. Возбуждение нормальных мод рассматривается с точки зрения совместной функции принятия (JAF) для падающих акустических гармонических плоских волн [8]. Были исследованы проблемы скручивания (искривления) цилиндрических резервуаров, используемых для хранения нефти и топлива при статических или квазистатических нагрузках, включая давление, ветер, обрушение фундамента и пожар. Во всех случаях скручивание (искривление) рассматривалось как статический процесс. Были внесены предложения по улучшению конструкции [9]. С использованием метода конечных элементов исследован динамический анализ предварительно напряженной круглой цилиндрической оболочки (покрытия) с распределенным снаружи давлением [10; 11]. Кинематические соотношения, рассматриваемые для панелей оболочки, соответствуют теории сдвиговой деформации первого порядка наряду с геометрическими нелинейностями фон Кармана, а вклад ребер жесткости рассматривается на основе метода размытых ребер жесткости. Нелинейные основные уравнения движения для панелей оболочки FGM с эксцентричной жесткостью выведены ИНАМИКА КОНСТРУКЦИЙ И СООРУЖЕНИЙ с использованием принципа Гамильтона. Предполагается, что функции Навье удовлетворяют заданным граничным условиям, тогда как методы Галеркина и Рунге - Кутты четвертого порядка используются для достижения нелинейных динамических характеристик [12]. В задаче о свободной вибрации продольно подкрепленных цилиндрических оболочек, учитывая сложность граничных условий стрингерной подкрепленной цилиндрической оболочки и произвольность сечения стрингера, были введены упругие ограничения, которые могут непрерывно изменяться на обоих концах оболочки. Выведена зависимость смещения между совместимостью смещений между центром жесткого элемента произвольного поперечного сечения и средней поверхностью цилиндрической оболочки, функция формы осевой моды оболочки построена ортогональным методом Грама - Шмидта [13]. В упомянутых работах не учитывалось сопротивление внешней среды и то, что материал цилиндрической оболочки (покрытия) имеет разные модули (разномодульный). В представленном исследовании он расположен на вязкоупругой основе. Решена задача динамической устойчивости цилиндрической оболочки (покрытия) с различными модулями. 2. Метод расчета В рассматриваемой задаче исследуется динамическая устойчивость оболочки цилиндрического круглого сечения, закрепленной на вязкоупругом основании. Зависимость реакции среды q от прогиба рассматривается следующим образом [11]: q = K W1 + K2 2W2 . (1) t Здесь W - прогиб, t - время, K1 и K2 - характеристики основания, которые определяются из экспериментов. Предположим, что цилиндрическая оболочка различного модуля радиусом R, толщиной h и круглым поперечным сечением под действием силы T, действующей на его поверхность, теряет устойчивость в осесимметричном виде. Уравнение движения с учетом (1) записывается следующим образом (предполагается, что один конец оболочки неподвижен, а другой конец изменяется с заданной скоростью) [7; 16]: Tx1 = h 2tu2 ; 2M + -T2 T1 2W2 + K W1 + K2 2tW2 = h 2tW2 , (2) x2 R x где u - продольное и W - поперечное перемещение; T1 и T2 - внутренние силы в осевом и поперечном направлениях соответственно; M - осевой изгибающий момент; ρ - плотность. Используя [3; 7], можно получить следующие соотношения: T A1 = 1 1 + + + A2 2 A3 1 A4 2; T C2 = 1 1 + + + C2 2 C3 1 C4 2; M = B1 1 + B2 2 + B3 1 + B4 2 . Здесь (3) u W 2 =1 ; =2 ; =-1 W ; =-2 W ; (4) x R x2 R2 E h+ A1 = 2 1( + -) n h(2 0 + + -1) (1 2h0) ; - ( A E h+ + 1+ 2h0)+ -(1- 2h0) ; 2 = 2 1( - + -) n A3 = E h+ 2 1-n 1- 4h2 ; ( )( 8 1( - + -) 0 ) A4 = 8 1( E h-+ + -3 ) h h2 2; (1- 4 0 ) B1 = A3; B A2 = 4; E h+ 3 n(1+8h2 B3 = 24 1( - + -) 0 )+ -(1 8h02) ; 24 1(E h-+ 3 ) +(8h02 + -1) -n(1-8h03) ; B4 = - + E h+ C1 = ( + -) -n(1+ 2h0 )+ +(1- 2h0) ; 2 1- E h+ C2 = ( + -) n(1+ 2h0)+ -(1 2h0) ; 2 1- C3 = E h+ 2( + -+ -+n)( - 4h2 ; 1 0 ) 8 1( - ) (1-n E) + 2 2 . 8 1( - + -) При этом были приняты следующие обозначения: (5) + - + - ( - +)sin E- h0 =- + 1 oo 2 ; =o q ; n = E+ . h(1- ) (6) C4 = (1-4h0 ) h0 = h h0 -1- разница нейтральной силы. Если учесть выражения (5) в уравнении движения (2), то получим следующие уравнения: u W 2W W 2u x 1 x + A2 R - A3 x2 - A4 R2 = h t2 ; A 2 u W 2W W 1 u W 2W W x2 B1 x + B2 R - B3 x2 - B4 R2 + R C1 x +C2 R2 -C4 x2 -C4 R2 + +K W1 + K2 2W2 -T1 2xW2 = h 2tW2 . (7) x 2u Предположим, что u W и принято условие h 2 →0, тогда из первого уравнения системы t можно получить следующее выражение: ux = - -1 A2 WR + A3 2xW2 + A4 WR2 . (8) A1 Если во второе уравнение (7) подставить выражение (4), то получим следующее уравнение относительно поперечного перемещения: 4W b b1 x4 + x2 2xW3 + 2xb22 - bR1 + Rb32 - bR4 +T1 2xW2 + R R2 1 bx3 - bx1 + + R1 12 2b3 - 2b21 + bR5 + K R W1 +(K2 -h ) 2tW2 = 0. (9) x2 x Здесь были приняты следующие обозначения: b B B A A1 = 3 - 1 3 1-1; b2 = B2 - B A A1 2 1-2; b B B A A3 = 4 - 1 4 1-1; b4 = C A A1 2 1-1 -C3; b R C CA A C CA A5 = -1 2 - 1 3 1-1( 4 - 1 4 1-1) ; b1 = h0 (q q A A h1 - 2 3 11)( 0 - B A3 1-1); x x 2xb21 = (q1 - q2 A3 A1-1)(h0 - A B1-1 3) 2xh20 - q A2 1-2(q A1 1 - q A2 2)(h0 - B A3 1-1) hx0 + +(q1 - q2 A1-1 A3) (1- A1-2(q h1 0 A1 - B A3 2)) 2xh20 ; b2 = h0 (h0 - A1-1 A2)(h0 - A B1-1 1) q2; x x 2xb2 = 2 2h20 (h0 - A A h1-1 2)( 0 - B q q2-1 1 2) + 2 x + hx0 hx0 - -2 h A0 1 - A2) hx0 (h0 - A B1-1 1) + A q1 2( + hx0 (h0 - A A1-1 2) hx - A q1-2 2 0 1(h A - B1) hx0 q2; b3 = (q h1 0 - A A q1-1 4 2)(h0 - A B1-1 1) x 2xb3 = (qh1 0 - A A q1-1 4 2)(h0 - A B1-1 1) h2 + x 2 2 x q A AA q A q1 - 1-2( 1 2 2 - 4 2) (h BA0 - 1 1-1)+ 2 + hx0 (qh1 0 - A q1-1 2) 1- A Ah B q12( 1 0 - 1) 2 . (10) Здесь: q1 =E n+( - ++ - -); q2 = E1+-( n- +-1). 1- В общем случае b1....b5 является функцией W - прогиб h0 определяется следующим образом: h0 = A3 A1-1 +1 A2 A1 2-1 + A4 A1-1 -2 0 2 . (11) ( + 1 2 0)h Решение уравнения (9) определяем в виде следующей функции, удовлетворяющей граничным условиям: m W = q t( )sin x, (12) L где q - амплитуда кривой, m - есть число полуволн вдоль длины волны. В этом случае из (11) видно, что граница нейтрального слоя вне зависимости отh0 определяется следующей формулой: Ph1 0 + P h2 0 + P3 = 0, (13) где P q1 = 2(1- R2 2 )-0,5(q R q1 - 2 2 2); P q2 = 3(1- R2 2 )- R( -q q2 - 1); P3 = (q R6 - 2 2 q4)- R( -q q3 - 5); m E+(n +1) h = ; q3 = + - 2 ; q4 =- h82 K2; l 1- q5 =hE+ +( + n -) ; q6 =- h2 K5. (14) 2 8 Посколькуh0 - имеет постоянное значение, то все производные от h0 равняются нулю. x1 =0; xb21 =0; x22 = 0; x2 = 0; x3 = 0 ; x23 = 0. Уравнение движения выглядит следующим образом: (15) q (t)- q t( ) = 0. Здесь (16) 1 =- (b2 -2 R b R a T K-2 3+ -1 4 - + 1)+R b-1 5 . (17) b 2 2b b b 2b h 3. Результаты и обсуждение Как видно из (17), при 0 движение - периодическое, а при 0 амплитуда искривления со временем увеличивается и оболочка теряет устойчивость. Она определяется из условия = 0 критической силы (Tk) : Tk = b2 2 -(R b-1 3- -b4 b5)R-1+ K1. (18) При n=1, с учетом сопротивления внешней среды, = + - можно получить решение задачи для одномодульной цилиндрической оболочки. Если K1 = 0, то классическая задача решена. Следующие частные случаи получаются, когда n=1: 1) сопротивление внешней среды отсутствует ( K1 = 0 , K2 = 0); 2) линия покрытия находится на основе Винклера. Действие критической силы на оболочку, закрепленную на вязкоупругом основании, отсутствует. Теперь рассмотрим решение задачи по модели Пастернака [11; 15]: q = K W1 -K2 d Wdx22 . (19) В этом случае уравнение движения записывается следующим образом: A u + A W - A 2W A W h 2u ; 1 x x 2 R 3 x2 - 4 R2 = t2 2 u W 2W W 1 u W 2W W x2 B1 x + B2 R - B3 x2 - B4 R + R C1 x +C2 R2 -C4 x2 -C4 R2 + +K W1 - +(T K2) 2xW2 = h 2tW2 . (20) Принимая u W , как и в предыдущем случае, можно получить из условия приближения h 2tu2 : →0 ux =-AA R A12 W + A13 2xW2 + AA14 WR2 . (21) Если подставить выражение (21) во второе уравнение (20), то получим следующее уравнение с учетом прогиба W: 4W b2 3W 2b b1 4 +2 x x3 + x22 - bR1 + Rb32 - bR4 +(T + K2) 2xW2 + R R2 1 bx3 - bx1 + x + R R1 1 2xb23 - 2xb21 + bR5 W + K W1 = h 2tW2 = 0. (22) Записав выражение (21) в уравнение (22) и учитывая, что b1 , b2 , b3 , b4 , b5 постоянны, получим следующее уравнение: q (t)- 1q t( ) = 0. (23) Здесь h1 (b2 -2 R b R b-2 3+ -1 4 -(T K+ 2)) +2 R b K-1 5 + 1. (24) =-1 При этом, если 1 0, решение становится периодическим, если 1 0, то амплитуда со временем увеличивается, а оболочка теряет устойчивость. Значение критической силы определяется из условия =1 0: 2(b2 - K2)- R-1(R b-1 3 -b4 +b5)+ K1 Tk = 2 . (25) Здесь, когда K1 =0 , внешнее сопротивление не учитывается, а когда K2 =0, решение соответствующей задачи выполняется на основании Винклера. Из выражения (25) видно, что в отличие от вязкоупругого основания здесь величина критической силы зависит от коэффициента Пастернака. 4. Заключение 1. Решена задача динамической устойчивости цилиндрической оболочки с различными модулями, расположенной на вязкоупругом основании и основании, характеризуемом моделью Пастернака. 2. Получены уравнения связи между критической силой и характеристическими параметрами. Из полученных уравнений видно, что сопротивление внешней среды и различные модули оказывают существенное влияние на критическую силу. Если эти факторы не учитывать, можно допустить серьезные ошибки (отклонения). 3. Полученные результаты могут быть использованы в расчетах на прочность, устойчивость и в определении частотно-амплитудных характеристик цилиндрических покрытий с различными модулями с учетом сопротивления внешней среды.

About the authors

Natig S. Rzayev

Baku Engineering University

Author for correspondence.
Email: nrzayev@beu.edu.az
ORCID iD: 0000-0002-1159-9296
SPIN-code: 5334-6047

Ph.D in Mechanics, Associate Professor of the Department of Engineering mechanics

Baku, Republic of Azerbaijan

References

Supplementary files