Geometric Characteristics of Surfaces with Curved Trapezoidal Plan

Full Text

1. Введение Уравнение поверхности обычно задается в параметрической форме - функциях проекции точки поверхности на прямоугольную систему координат. Однако для многих поверхностей вывод параметрических уравнений является непростой задачей. Кроме того, по параметрическим уравнениям бывает затруднительно определить форму поверхности. Более удобны и наглядны векторные уравнения поверхностей. Формообразование многих классов поверхностей осуществляется на основе задания пространственной или плоской направляющей с системой образующих кривых, привязанных к направляющей кривой. Для задания образующих кривых вводятся векторные функции, связанные с направляющей кривой - векторы касательной, нормали и бинормали. Если направляющая кривая задана в прямоугольной системе координат, то на основе векторных уравнений поверхности можно получить параметрические уравнения поверхности. Ниже рассматривается класс поверхностей с системой плоских образующих кривых в нормальной плоскости плоской направляющей кривой. Этот класс поверхностей рассматривался в [1], но в ней не были получены формулы коэффици- ентов квадратичных форм поверхностей, необходимых для расчета оболочек. В [2] указаны все известные на сегодняшний день классы, подклассы и группы аналитических поверхностей. Следуя классификации, предложенной в [2] и учитывая способ их построения, предлагаемые к рассмотрению поверхности могут быть включены в класс «Кинематические поверхности» [3]. Принимая во внимание, что рассматриваемые поверхности на криволинейно-трапециевидном плане задаются аналитическими формулами, они могут привлечь внимание архитекторов в рамках архитектурного стиля «Параметрическая архитектура» [4]. 2. Уравнение поверхности на криволинейно-трапециевидном плане, коэффициенты квадратичных форм поверхности Ортогональная криволинейная система координат в плоскости образуется системой прямых, ортогональных заданной плоской базовой кривой r0 u x u i y u j (рис. 1). Рис. 1. Псевдополярная система координат И с т о ч н и к: выполнено В.Н. Ивановым Figure 1. Pseudo-polar coordinate system S o u r c e: compiled by V.N. Ivanov Таким образом, криволинейно-ортогональная система координат в плоскости (криволинейнотрапециевидный план) образуется системой эквидистантных кривых, параллельных базовой кривой и системой прямых, ортогональных системе эквидистантных кривых. Уравнение ортогональной криволинейной координатной системы r u,ν r0 u νν , (1) ν - нормаль базовой кривой; ν - координата образующих прямых по нормали к базовой кривой. Положительное значение координаты прямых принимаем в сторону выпуклости базовой кривой, так как при направлении в сторону вогнутости может получаться пересекающаяся система прямых. Задаваясь функцией вертикальной координаты z(u,ν), получаем векторное уравнение поверхности ρ u,ν на базе криволинейно-ортогональной системы координат в плоскости ρ u,ν r0 u νν z u ,ν k . (2) Для вывода формул коэффициентов получаем производные векторного уравнения, учитывая соотношения классической дифференциальной геометрии [5; 6]: G 1 z EG 2 2 2 r0 s τ ; s r0 ; τ s kν ksν; ks s k ; ν ksτ. Тогда получаем (3) ρu s νks τ zuk ; ρν ν zνk . Коэффициенты 1-й квадратичной формы (4) E ρ ρu u s νks 2 zu2 ; G ρρν ν 1 zν2; F ρρν ν z zu ν . Вектор единичной нормали поверхности (5) m 1 ρ ρu ν 1 zuτ s νks zνν k , EG F 2 ρu ρν s νks 2 1 zν2 zu2 - дискриминант поверхности. Вычисляем вторые производные векторного уравнения: (6) ρuu s νks τ s νk ks sν zuuk ; ρuν ksτ zuνk ; ρνν zννk . Коэффициенты 2-й квадратичной формы L ρuum s νk zs u s νks 2 k zs v s νk zs uu ; (7) N ρvvm s νks zνν ; M ρuνm z ku s s νks zuν . Кривизны поверхности: ku L s νks zu s νks 22k zs ν 2 s νks zuu ; E s νks zu (8) kν N s νk zs νν ; kuν M z ku s s νks zνν . (9) ν2 s νks zu 1 zν Так как коэффициенты квадратичных форм F ,M 0 , поверхностная координатная система рассматриваемых поверхностей в общем случае не является ни ортогональной, ни сопряженной и не является линиями главных кривизн. 3. Подклассы поверхностей на криволинейно-трапециевидных планах Отметим, что рассматриваемая система поверхностей относится к классу нормальных поверхностей [7-9] - поверхностей с системой плоских координатных линий (образующих кривых) в нормальной плоскости направляющей кривой. В [7; 8] показано, что только для двух подклассов нормальных поверхностей образующие кривые будут линиями главных кривизн: 1 - поверхностей вращения - направляющая кривая прямая линия, образующих кривые окружности; 2 - нормальные поверхности с системой неизменяемых образующих кривых. 2-й подкласс относится к классу поверхностей Монжа [8; 10-13]. Положив в формулах квадратичных форм z = z(ν) - образующая кривая не изменяется при движении в нормальной плоскости направляющей кривой (zu = zuu=0), получаем для поверхностей Монжа: E s νks 2 ; G ρρν ν 1 zν2 ; F 0; s νks 1 zν2 ; s νk k z ; k2 2 3/2 . (10) 1 zν Координатная сеть поверхностей Монжа является линиями главных кривизн поверхности. Если образующей кривой поверхности Монжа будет прямая линия z νtgθ (θ - угол наклона образующей прямой к плоскости направляющей кривой), то получаем торсовую поверхность одинакового ската [13-15]. При этом имеем: zv tgθ ; zνν 0; 1 zν2 cos12θ ; s c osνθks ; E s νks 2 ; G 12θ ; L s νk ks ssinθ; N = 0; k1 k zss νs nνiksθ ; k2 = 0. (11) cos Рис. 2. Поверхность с направляющим Рис. 3. Эвольвентно-синусоидальная эллипсом и образующей синусоидой поверхность Монжа И с т о ч н и к: выполнено В.Н. Ивановым И с т о ч н и к: выполнено В.Н. Ивановым Figure 2. Surface with an elliptical directrix Figure 3. Involute-sinusoidal and a sinusoidal generatrix Monge surface S o u r c e: compiled by V.N. Ivanov S o u r c e: compiled by V.N. Ivanov Если угол наклона образующей прямой θ = 0, z = 0, то получаем криволинейно-трапециевидную в плане пластинку: E s νks 2 ; G 1; L = N = 0; k1 = k2 = 0. (12) Рассмотрим примеры поверхностей с конкретными направляющими кривыми и образующими кривыми. На рис. 2 приведена поверхность с направляющим эллипсом и синусоидальной образующей кривой, амплитуда которой изменяется по линейному закону: r0 u X u i Y u j ; X u acosu ; Y u bsinu b b2 4ac ; z u ,ν c u sin π ν ; 2a 2π d u 0 2 ; ν 0 d , где c - максимальная амплитуда синусоиды; d - ширина образующей синусоиды (поверхности). Определяем параметры направляющего эллипса и производные образующей кривой: s X 2 Y 2 a ; η = sin2u ε2cos2u ; b ; s a ; η 1 ε2 sin2u ; a 2 k X Y 3X Y a 3/ 2 ; ks s k ; ks ηε2 η ε 1 ε2 sin2η2 u ; s zu c sinπ ν ; zuu 0 ; zuν c cosπ ν ; zv c ucosπ ν ; zvv cπ2 usin π ν . 2π d 2d d 2d d 2d d L ρuum c ; 2 N cπ2 a η ν ηε usinπ dν 1π ηε sinπ dν 1 a η ν ηε cosπ dν . (13) d ; M c 2d 2 Рассмотрим пример с поверхностью Монжа (рис. 3), с направляющей эвольвентой круга X u a cosu usinu ; Y u a sinu u cosu и образующей синусоидой z сs ni ν ; u 1 5 ; d ν 0 d , где с - амплитуда синусоиды; d - ширина образующей синусоиды (поверхности). Параметры направляющей эвольвенты и производные образующей кривой: s au ; s a ; k 1 ; ks 1; ks 0 ; zν с cos ν ; zνν с2 s ni ν . au d d d d Коэффициенты квадратичных форм и кривизны поверхности (см. рис. 3): E au ν 2 ; G ρ ρν ν 1 с22 cos2 ν ; с22 2 ν au ν 1 cos ; d d d d с au ν cos ν сsin ν L d ; N d ; d 1 dс22 cos2 dν ν ν сcos сsin k1 d ; k2 d . (14) 2 d На рис. 4 приведена поверхность одинакового ската с направляющей лемнискатой Бернулли: X u aR u cosu; Y u aR u sinu ; R u 2cos2u , u 1 1 / 4 . s 2a / R u ; k 3 R u ; ks 3. 2 a Коэффициенты квадратичных форм и кривизны поверхности (рис. 4): E R u2 a 3ν 2 ; G cos12θ ; L 3 R u2 a 3ν sinθ; k1 32aR u 3 R usin θν; k2 0. (15) Рис. 4. Поверхность одинакового ската с лемнискатой Бернулли И с т о ч н и к: выполнено В.Н. Ивановым Figure 4. Equal slope surface with the Bernoulli lemniscate S o u r c e: compiled by V.N. Ivanov Рассмотрим вариант линейчатых поверхностей, не относящихся к подклассу поверхностей одинакового ската. На рис. 5 приведены волнообразные линейчатые поверхности с различными направляющими кривыми. г Рис. 5. Волнообразные линейчатые поверхности с направляющими кривыми: а - синусоида; б - гипербола; в - парабола; г - циклоида; д - эллипс И с т о ч н и к: выполнено В.Н. Ивановым Figure 5. Undulating ruled surfaces with directrix curves: a - sinusoid; б - hyperbola; в - parabola; г - cycloid; д - ellipse S o u r c e: compiled by V.N. Ivanov Образующая прямая при движении вдоль направляющей кривой совершает волнообразное движение в нормальной плоскости направляющей кривой: a) z u ,ν ν c d costu или б) z u ,ν ν c d sintu , t p , u uk un - диапазон изменения координаты направ u ляющей кривой; р - число полуволн колебания образующей кривой; с = tgθ, θ - угол наклона образующей кривой вокруг которого совершается колебательное движение образующей прямой: а) zu dtνsintu; zuu dt2νcostu ; zv c d costu ; zuν dt sintu ; zνν 0; б) zu dtνcostu ; zuu dt2νsintu ; zν c dsintu ; zuν dtcostu ; zνν 0. (16) На рис. 5 в левом столбце приведены волнообразные линейчатые поверхности при θ = 0, в правом - θ > 0. Коэффициенты квадратичных форм и кривизны поверхности определяются по общим формулам (4-9), с учетом формул (16) и уравнений направляющих кривых, при этом N = 0, kν = 0. При направляющей циклоиде (рис. 5, г) Х ( )u a u( sinu), Y u( ) a(1 cosu), u 0 2 , получим: s 2asin u / 2 ; s acos u / 2 ; k 4asin1 u / 2 ; ks 12 ; ks 0 ; 2 M dt ν sintu costu 4as ni u / 2 costu 0; N = 0. (17) 2 4. Результаты исследования Исследуемый в работе класс поверхностей на криволинейно-трапециевидных планах практически образуется движением некоторой образующей кривой в нормальной плоскости заданной направляющей кривой. Образующая кривая может менять форму при движении вдоль направляющей кривой, но берется отрезок постоянной ширины. На основе общих формул рассматриваемого класса поверхностей получены формулы поверхностей с конкретными направляющими кривыми и функциями образующих кривых как для поверхностей общего типа, так и для поверхностей Монжа и поверхностей одинакового ската. Из этих выводов видно, что использование общих формул коэффициентов квадратичных форм класса поверхностей значительно упрощает процесс вывода формул для конкретной поверхности. Для каждой исследуемой поверхности приведены рисунки поверхности. Рассмотрен подкласс волнообразных поверхностей, образуемых прямой образующей, совершающих колебательные движения в нормальной плоскости направляющей кривой. Получены формулы квадратичных форм этого подкласса. Приведены рисунки волнообразных поверхностей на криволинейно-трапециевидных планах с различными направляющими кривыми. Рисунки поверхностей выполнены в системе MathCad на основе векторных уравнений поверхностей [8; 16]. Представленные поверхности на криволинейно-трапециевидных планах на данный момент еще не нашли реального воплощения в объектах гражданского и промышленного назначения, но можно с уверенностью утверждать, что они войдут в резерв поверхностей для будущего использования, по аналогии с поверхностями, перечисленными в [17; 18]. Кроме чисто теоретического использования полученных материалов, поверхности на криволинейно-трапециевидных планах могут помочь более четко определить границы новейших архитектурных стилей, появившихся в XXI в. [19; 20]. 5. Заключение Показано: а) если функция вертикальной координаты поверхности зависит от координатного параметра направляющей кривой поверхности (форма образующей кривой изменяется в процессе движения в нормальной плоскости направляющей кривой), то координатная система поверхностей не является ни ортогональной, ни сопряженной; б) если в нормальной плоскости направляющей кривой движется неизменная кривая, то система координат поверхности является линиями главных кривизн. Этот подкласс исследуемого класса поверхностей относится к классу поверхностей Монжа. На основе общих формул получены формулы коэффициентов квадратичных форм поверхностей Монжа; в) если в нормальной плоскости направляющей кривой движется прямая линия с постоянным наклоном к плоскости направляющей кривой, то получаем торсовую поверхность одинакового ската. Этот вид поверхностей является подклассом поверхностей Монжа. В работе получено: 1) векторное уравнение класса поверхностей на криволинейно-трапециевидных планах; 2) на основе векторного уравнения получены формулы коэффициентов квадратичных форм и кривизн исследуемого класса поверхностей. Многие архитекторы и инженеры-строители уверены, что в XXI веке происходит возрождение интереса к проектированию и строительству криволинейных структур и тонких оболочек. В связи с этим необходимо расширять число новых аналитических поверхностей и показывать их преимущества при использовании в архитектуре, машиностроении и геометрии.

About the authors

Vyacheslav N. Ivanov

RUDN University

Author for correspondence.
Email: i.v.ivn@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-4023-156X
SPIN-code: 3110-9909

Doctor of Technical Science, Consulting Professor, Department of Civil Engineering, Academy of Engineering

Moscow, Russia

References

Supplementary files