Ruled algebraic surfaces with a main frame from three superellipses

Full Text

Введение Алгебраические поверхности с заданным главным каркасом из трех плоских кривых в основном используются на начальной стадии проектирования судовых поверхностей [1]. В [2; 3] в качестве плоских кривых главного каркаса предложено брать суперэллипсы [4], что значительно расширило число форм для судовых поверхностей, задаваемых одной формулой. В [5] и [6] впервые предложено применить поверхности с главным каркасом из суперэллипсов для формообразования строительных оболочек. Учитывая, что косые линейчатые поверхности находят довольно широкое применение в архитектуре и строительстве [7], рассмотрим возможности преобразования алгебраических поверхностей с главным каркасом из трех суперэллипсов общего вида в линейчатые поверхности нескольких видов. Предположим, что плоские кривые главного каркаса рассматриваемых поверхностей заданы в виде [8]: - кривой 1 (ватерлиния в судостроении), расположенной в плоскости z = 0: (1) - кривой 2 (мидельшпангоут в судостроении), расположенной в плоскости x = 0: (2) - кривой 3 (килевая линия в судостроении), расположенной в плоскости y = 0: (3) где для выпуклых кривых r, t, n, m, s, k > 1; для вогнутых кривых r, t, n, m, s, k < 1. Если принять r = t = 1, n = m =1, s = k = 1, то кривые (1)-(3) вырождаются в прямые линии. Используя методику, изложенную в [1-3], можно получить явные уравнения трех алгебраических поверхностей с одним и тем же главным каркасом (1)-(3): - с образующим семейством сечений x = const: (4) - с образующим семейством сечений у = const: (5) - с образующим семейством сечений z = const: (6) где -L ≤ x ≤ L; -W ≤ y ≤ W; 0 ≤ z ≤ T. Явные уравнения поверхностей (4)-(6) можно перевести в параметрическую форму задания: x = x(u) = ±uL, y = y(u, v) = vW[1 - ut]1/r, z = z(u, v) = T[1 - uk]1/s[1 - |v|m]1/n; (4a) x = x(u, v) = vL[1 - ur]1/t, y = y(u) = ±uW, z = z(u) = T[1 - um]1/n[1 - |v|k]1/s; (5а) x = x(u, v) = vL[1 - us]1/k, y = y(u, v) = ±W[1 - un]1/m[1 - |v|t]1/r, z = z(u) = uT, (6а) где 0 ≤ u ≤ 1; -1 ≤ v ≤ 1; u, v - безразмерные параметры. Линейчатые поверхности как частный случай поверхностей с тремя суперэллипсами Во всех случаях построения реальных поверхностей будем принимать L = 5 м, W = 3 м, T = 5 м по умолчанию. Следовательно, поверхности имеют длину, вдоль оси x равную 2L = 10 м, ширину, вдоль оси y равную 2W = 6 м и стрелу подъема T = 5 м. Случай 1. Пусть все кривые (1)-(3) являются прямыми, то есть r = t = n = m = s = k = 1. В этом случае поверхности (4)-(6) будут тождественны: z = T(1 |x|/L |y|/W). (7) Параметрические уравнения (4а)-(6а) принимают вид x = x(u) = ±uL, y = y(u, v) = vW[1 - u], z = z(u, v) = T[1 - u] [1 - |v|] (рис. 1, а); (8) x = x(u, v) = vL[1 - u], y = y(u) = ±uW, z = z(u, v) = T[1 - u][1 - |v|] (рис. 1, б); (9) x = x(u, v) = vL[1 - u], y = y(u, v) = ±W[1 - u] [1 - |v|], z = z(u) = uT (рис. 1, в). (10) На рис. 1 показаны три тождественные поверхности, но с разными криволинейными координатами u, v. Представленные на рис. 1 многогранники войдут в отдельную группу поверхностей из класса «Многогранники» [8; 9]. Случай 2. Пусть суперэллипс (1) вырождается в ромб, то есть r = t = 1, а кривые (2), (3) остаются без изменений, тогда имеем три поверхности на плоском ромбическом плане: (11) (12) (13) Параметрические уравнения (4а)-(6а) принимают вид x = x(u) = ±uL, y = y(u, v) = vW[1 - u], z = z(u, v) = T[1 - uk]1/s[1 - |v|m]1/n (рис. 2, а); (11a) x = x(u, v) = vL[1 - u], y = y(u) = ±uW, z = z(u) = T[1 - um]1/n[1 - |v|k]1/s (рис. 2, б); (12а) x = x(u, v) = vL[1 - us]1/k, y = y(u, v) = ±W[1 - un]1/m[1 - |v|], z = z(u) = uT (рис. 2, в). (13а) На рис. 2 показаны три поверхности с n = m = 2, s = k = 2/3 с одинаковым главным каркасом из суперэллипсов. а б в Рис. 1. Случай 1: многогранники с четырьмя треугольными фрагментами плоскости и ромбом в основании Figure 1. The first case: the polyhedrons with four triangular fragments of plane and on the rhombic base а б в Рис. 2. Случай 2: поверхности на плоском ромбическом плане Figure 2. The second case: surfaces on a plane rhombic base Случай 3. Пусть суперэллипс (1) вырождается в ромб, то есть r = t = 1, суперэллипс (2) вырождается в прямые линии, то есть n = m = 1, а кривая (3) остается без изменений, тогда имеем три поверхности на плоском ромбическом плане: (14) (15) (16) Явные уравнения поверхностей (14)-(16) можно перевести в параметрическую форму задания: x = x(u) = ±uL, y = y(u, v) = vW[1 - u], z = z(u, v) = T[1 - uk]1/s[1 - |v|] (рис. 3, а); (14a) x = x(u, v) = vL[1 - u], y = y(u) = ±uW, z = z(u) = T[1 - u] [1 - |v|k]1/s (рис. 3, б); (15а) x = x(u, v) = vL[1 - us]1/k, y = y(u, v) = ±W[1 - u] [1 - |v|], z = z(u) = uT (рис. 3, в). (16а) а б в Рис. 3. Случай 3: поверхности на плоском ромбическом плане Figure 3. The third case: surfaces on a plane rhombic base На рис. 3 показаны три поверхности с s = k = 2 и с одинаковым главным каркасом из суперэллипсов. Очевидно, что поверхности (14) и (16) являются цилиндроидами [10]. Случай 4. Пусть суперэллипс, расположенный в плоскости xOy, задан в виде (1), а два других суперэллипса главного каркаса вырождаются в прямые линии, то есть n = m = s = k = 1, тогда имеем три поверхности на овальном плане: (17) (18) (19) где -L ≤ x ≤ L; -W ≤ y ≤ W; 0 ≤ z ≤ T. Явные уравнения поверхностей (17)-(19) можно перевести в параметрическую форму задания: x = x(u) = ±uL, y = y(u, v) = vW[1 - ut]1/r, z = z(u, v) = T[1 - u] [1 - |v|] (рис. 4, а); (17a) x = x(u, v) = vL[1 - ur]1/t, y = y(u) = ±uW, z = z(u) = T[1 - u] [1 - |v|] (рис. 4, б); (18а) x = x(u, v) = vL[1 - u], y = y(u, v) = ±W[1 - u] [1 - |v|t]1/r, z = z(u) = uT (рис. 4, в). (19а) На рис. 4 показаны три поверхности с r = t = 4, но с одинаковым главным каркасом. Очевидно, что поверхности (17) и (18) являются цилиндроидами. Случай 5. Пусть два суперэллипса заданы в виде (1) и (3), а суперэллипс (2) вырождаются в прямые линии, то есть n = m = 1, тогда имеем три поверхности на овальном плане: - с образующим семейством сечений x = const: (20) - с образующим семейством сечений у = const: (21) - с образующим семейством сечений z = const: (22) где -L ≤ x ≤ L; -W ≤ y ≤ W; 0 ≤ z ≤ T. а б в Рис. 4. Случай 4: поверхности на плоском овальном плане Figure 4. The forth case: surfaces on a plane oval base а б в Рис. 5. Случай 5: поверхности на плоском овальном плане Figure 5. The fifth case: surfaces on a plane oval base Явные уравнения поверхностей (20)-(22) можно перевести в параметрическую форму задания: x = x(u) = ±uL, y = y(u, v) = vW[1 - ut]1/r, z = z(u, v) = T[1 - uk]1/s[1 - |v|] (рис. 5, а); (20a) x = x(u, v) = vL[1 - ur]1/t, y = y(u) = ±uW, z = z(u) = T[1 - u] [1 - |v|k]1/s (рис. 5, б); (21а) x = x(u, v) = vL[1 - us]1/k, y = y(u, v) = ±W[1 - u] [1 - |v|t]1/r, z = z(u) = uT (рис. 5, в), (22а) где 0 ≤ u ≤ 1; -1 ≤ v ≤ 1; u, v - безразмерные параметры. На рис. 5 показаны три поверхности с r = t = 4, s = k = 2, но с одинаковым главным каркасом. Очевидно, что поверхность (20) является цилиндроидом [11]. Линейчатые поверхности, входящие в группу 5, могут найти применение в висячих покрытиях - пилонных арочно-вантовых покрытиях. Так называют висячую систему, которая поддерживается вантами, подвешенными к системе пилонов - арок. При этом как пилоны, так и ванты, поддерживающие покрытие, расположены выше него, то есть на ванты не укладываются ограждающие элементы покрытия. Примером таких сооружений стал стадион Durban’s Moses Mabhida Stadium (г. Дурбан, Южная Африка), построенный к Чемпионату мира по футболу 2010 г. (рис. 6). Ведущий архитектор - Герхард Ле Ру (Gerhard le Roux). Тентовое укрытие для зрителей подвешивается к единственной арке - пилону при помощи вант, организованных в сетчатую структуру[34]. Рис. 6. Стадион в г. Дурбан, Южная Африка Figure 6. Stadium in Durban, South Africa (URL: http://www.wandahennig.com/2012/10/the-man-who-built-durbans-moses-mabhida-stadium/ (дата обращения: 22.04.2022)) Результаты Рис. 7. Цилиндроид на плоском овальном плане, образованный движением прямой линии по параболе и опорному овалу параллельно плоскости yOz Figure 7. A cylindroid on the plane oval base formed by a moving straight line along the parabola and the base oval parallel to the yOz plane Выше описаны и визуализированы пять случаев образования линейчатых поверхностей с главным каркасом из трех суперэллипсов. Это возможно, если взять в формулах одного, двух или трех суперэллипсов (1)-(3) показатели степеней, равные единице. В этом случае соответствующие суперэллипсы превращаются в ромбы. Наличие в формулах (1)-(3) большого числа констант дает возможность получить неограниченное количество линейчатых поверхностей. Количество форм поверхностей можно еще больше увеличить, если в формулах (1)-(22) принимать r ≠ t, n ≠ m, s ≠ k, то есть рассматривать не суперэллипсы в качестве кривых главного каркаса, а плоские произвольные алгебраические кривые. Например, в случае 5 можно взять r = t = 4, но s = 1, а k = 2, то есть за кривую (3) принять квадратную параболу. В этом случае формула (20а) опишет поверхность, изображенную на рис. 7. Все приведенные формулы получены из уравнений (4)-(6) при соответствующих заданных константах. Уравнения некоторых поверхностей с меньшим числом констант могут быть получены из уравнений поверхностей с большим числом констант. Например, принимая в уравнениях (20)-(22) s = k = 1, получим уравнения других поверхностей (17)-(19). Рассматриваемые поверхности пока не вошли ни в один из известных классов [12; 13]. После изучения предложенных линейчатых поверхностей можно сделать вывод: они входят в класс «Поверхности переноса» [14] в подкласс «Велароидальные поверхности» па плоском плане [15], в группу «Линейчатые алгебраические поверхности с главным каркасом из трех суперэллипсов» на плоском овальном или ромбическом плане. Или, следуя исследованиям А.В. Коротича [16], некоторые из рассмотренных линейчатых поверхностей с плоскостью параллелизма можно выделить в новый тип линейчатых квазимногогранников [17] из коноидов. Заключение Показано, как с помощью трех явных уравнений (4)-(6) или с помощью параметрических уравнений (4а)-(6а) можно построить бесконечное число линейчатых поверхностей, предварительно задав главный каркас из трех суперэллипсов. Линейчатые поверхности отрицательной гауссовой кривизны (косые линейчатые поверхности) находят широкое применение в архитектуре и машиностроении. Приведенная в статье методика построения линейчатых поверхностей на основе поверхностей с главным каркасом из суперэллипсов может быть применена в сооружениях, выполненных в современных архитектурных стилях, таких как этноархитектура, нелинейная, генеративная, или эволюционная архитектура.

About the authors

Iraida A. Mamieva

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

Author for correspondence.
Email: i_mamieva@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-7798-7187

Assistant, Department of Civil Engineering, Academy of Engineering

6 Miklukho-Maklaya St, Moscow, 117198, Russian Federation

References

Supplementary files