Determination of natural vibration frequencies of reinforced cylindrical shell

Full Text

Введение Круговые цилиндрические оболочки являются элементами, входящими в конструкции летательных аппаратов и двигателей, подводных и надводных средств передвижения, резервуаров и трубопроводов, сводчатых систем подводных и подземных тоннелей и хранилищ. Цилиндрические оболочки получили широкое распространение в технике. Одной из основных сфер их применения являются гидравлические системы, где такие оболочки применяются в качестве гибких вставок. Математическому описанию колебаний армированных оболочек с жидкостью посвящено множество работ [1-9]. Важным моментом при исследовании колебаний оболочек является определение частот свободных колебаний, что позволяет избежать резонанса от внешних источников колебаний. Следует отменить, что большинство рассматриваемых работ посвящены простейшим частным случаям или приближенным методам. В [10] исследуются свободные колебания двух концентрически расположенных цилиндрических оболочек с жидкостью между ними. Представленное решение в гармонической форме сводится к системе трансцендентных уравнений. Собственные частоты колебаний определяются при некоторых значениях параметров системы, влияние размера цилиндров на свободные колебания цилиндра тоже изучается. Исследование [11] посвящено численному анализу собственных колебаний вертикально и горизонтально ориентированных цилиндрических оболочек при разном уровне заполнения жидкостью и различных вариантах граничных условий, задаваемых на торцах упругой конструкции. Рассматривается проблема движения твердого цилиндра [12], сохраняющего вертикальное положение под действием поверхностных волн в жидкости, которая решается операционным методом. Для нахождения оригинального решения, учитывая, что изображение представляет собой знаменатель табличной функции, используется интегральное уравнение Вольтера первого рода. Постановка и решение задачи В работе исследуются свободные колебания армированной цилиндрической оболочки, заполненной жидкостью. Рассматривается случай ортотропной оболочки, когда нити корда укладываются симметрично относительно меридиана оболочки. Армированная оболочка представляет собой многослойный композит, состоящий из слоев наполнителя и корда. Поскольку нахождение собственных частот системы «цилиндрическая оболочка - жидкость» связано с решением трансцендентных уравнений, частота колебаний оболочки, не содержащей жидкость, выражается через частоту колебаний системы в явном виде, что позволяет, как аналитически, так и графически исследовать спектры частот системы. Для описания движения оболочки используются классические уравнения в перемещениях [13]. Колебания жидкости, заполняющей оболочку, описываются волновым уравнением в цилиндрических координатах [14]. На границе контакта оболочки с жидкостью задается равенство радиальных скоростей. Таким образом, колебания рассматриваемой системы описываются уравнениями (1) где (2) Здесь , (3) где - параметры композита по главным направлениям упругости, вычисляемые по формулам где - модуль Юнга, модуль сдвига и коэффициент Пуассона; - соответствующие параметры наполнителя; - объемная доля корда. Плотность определяется из выражения где и - плотность нитей корда и наполнителя соответственно; - плотность оболочки; - плотность жидкости; - толщина оболочки; - радиус срединной плоскости оболочки; - упругие параметры обобщенного закона Гука в цилиндрической системе координат оболочки. Потенциал удовлетворяет волновому уравнению (4) На границе между жидкостью и оболочкой отвечает условию совместимость движения. (5) Решение системы (1) представляется в виде (6) (7) где Подставим (7) в (4), получим (8) Внутри цилиндра решение уравнения (8) выглядит следующим образом: (9) Учитывая (9) в (7), (10) где - постоянно; - функция Бесселя порядка . И применяя (6) и (10) в (5), получаем (11) Подставив (11) в (10), получим (12) где - скорость звука в жидкости; - круговая частота; - функции Бесселя порядка . Подставив (6) и (12) в (1), имеем (13) Для упрощения вводим в (13) следующие обозначения: (14) где Выпишем условие нетривиальности решения системы (14) относительно : Отсюда получим: (15) (16) Уравнение (16) представляет собой трансцендентное уравнение , (17) где (18) Определим из (17): (19) , , (20) В случае отсутствия жидкости уравнение (17) примет вид (21) Здесь (22) где - частота свободных колебаний оболочки без жидкости. Решением уравнения (21) станет (23) (24) , Учитывая (20) в (19), (25) И учитывая (24) в (23), получаем Отсюда Следовательно, С другой стороны, из (19) и (22): (26) График частот колебаний системы в зависимости от частоты пустой оболочки A graph of the system vibration frequencies versus the frequency of the empty shell Формула (26) выражает зависимость ɷ0 от ɷ. Уравнение (26) связывает свободную частоту системы со свободной частотой оболочки в отсутствие жидкости. Однако решение обратной задачи позволяет строить графики зависимости частот колебаний для различных мод системы от частоты пустой оболочки, что упрощает исследование, в том числе определение частоты свободных колебаний системы (рисунок). Заключение Исследованы свободные колебания наполненной жидкостью армированной цилиндрической оболочки. Для нахождения частот свободных колебаний системы получено трансцендентное уравнение. Для решения трансцендентного уравнения многие исследователи используют приближенные методы и асимптотические решения. Однако для решения уравнения в этом случае был предложен обратный метод, позволяющий построить более точный частотный спектр свободных колебаний системы.

About the authors

Mexseti Akif Rustamova

Institute of Mathematics and Mechanics, National Academy of Sciences of Azerbaijan

Author for correspondence.
Email: mehsetir@gmail.com
ORCID iD: 0000-0001-5192-1166

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, leading researcher, Associate Professor, Department of Wave Dynamics, Institute of Mathematics and Mechanics

9 B. Vahabzade St, Baku, AZ1141, Azerbaijan Republic

References

Supplementary files