Modeling and visualizing of the formation of a snub dodecahedron in the AutoCAD system

Full Text

Введение Рис. 1. Плосконосый (курносый) додекаэдр [Figure 1. Snub dodecahedron] Две тысячи лет до нашей эры человечеству были известны многогранники. В те далекие времена египтяне, вавилоняне, китайцы умели вычислять объем, площадь, углы известных им многогранников. В пятом веке до нашей эры учеными Пифагорейской школы древних греков были изучены пять правильных многогранников, описанных Платоном (427-347 до н. э.) и названных в его честь. Первое определение правильного многогранника дано Евклидом (325-265 до н. э.). Греческим математиком Архимедом (287-212 до н. э.) в работе «О многогранниках» описаны тринадцать полуправильных многогранников и даны их рисунки. Каждая грань такого многогранника - правильный многоугольник, вокруг вершин каждой грани располагаются правильные многоугольники одинаковой, но другой формы, в одинаковой последовательности. Отмечается, что Архимедовы тела могут быть получены из Платоновых тел, причем девять из них - усечением Платоновых тел, еще два - вторым усечением, а курносый куб и курносый додекаэдр (рис. 1) - перемещением граней додекаэдра наружу и поворотом их вокруг своих центров [1]. Кеплер первым опубликовал полный список тринадцати Архимедовых тел и дал им названия, которыми мы пользуемся в настоящее время [1; 2]. С тех пор человечество постоянно пополняет свои знания в области науки о многогранниках. Основными мотивами продолжающихся исследований многогранников являются их красота и гармония. В настоящее время они используются в образовании инновационных форм, которые представляют интерес для архитекторов [3; 4]. Совершенствуются методы формирования многогранников. Модели полуправильных многогранников создаются с помощью разверток [5; 6], усечения правильных многогранников [7]. Известен метод формирования плосконосого додекаэдра[8], по которому пятиугольные грани вытягиваются наружу на величину несколько меньшую, чем применяемую для ромбоикосододекаэдра, с образованием промежутков прямоугольной формы между гранями, а затем выполняется поворот граней плосконосого додекаэдра до образования в указанных промежутках правильных треугольников, стороны которых равны сторонам пятиугольных граней [8; 9]. Предложен метод формирования плосконосого додекаэдра из совпадающих с гранями додекаэдра 12-ти правильных пятиугольников, между вершинами которых имеются расстояния, равные длинам их сторон. Положение пятиугольных граней выполняется экспериментально [4]. В работе (5) предлагается два варианта образования плосконосого додекаэдра: - конструирование многогранника из 12 правильных пятиугольных пирамид и 80 правильных треугольных пирамид; - облицовка твердой сферы диаметром D правильными пятиугольниками и правильными треугольниками со стороной a, определяемой из соотношения: , где D - диаметр сферы, описанной вокруг данного многогранника; C - константа, полученная автором, С = 2,155837375… Появляются работы по использованию золотого сечения и золотых многоугольников для построения икосаэдра, додекаэдра и тел Архимеда [10; 11], по определению параметров плосконосого додекаэдра посредством компьютерных технологий [12; 13]. Разработаны способы визуализации образования поверхностей многогранников в таких средах, как AutoCAD и MathCAD [14-23]. В настоящем исследовании продолжается тема о моделировании и визуализации образования поверхностей полуправильных многогранников кинематическим методом в среде AutoCAD с использованием программ на языке AutoLISP. В предыдущих статьях были рассмотрены усеченный тетраэдр, усеченный октаэдр, усеченный икосаэдр, усеченный додекаэдр, икосододекаэдр, усеченный икосододекаэдр и ромбоикосододекаэдр. Приоритет в настоящих исследованиях отдан плосконосому (курносому) додекаэдру. Плосконосый (курносый) додекаэдр является одним из тринадцати тел Архимеда. У него 92 грани двух видов: 12 правильных пятиугольников и 80 равносторонних треугольников. В представленной работе исследуется возможность визуализации процесса образования плосконосого (курносого) додекаэдра в системе AutoCAD. Решение поставленной задачи выполняется посредством программы на языке AutoLISP и включает следующие этапы: 1) определение величины ребра плосконосого додекаэдра; 2) разработка методики образования плосконосого додекаэдра в системе AutoCAD; 3) визуализация формирования плосконосого додекаэдра. Определение величины ребра плосконосого додекаэдра Предполагается, что грани плосконосого додекаэдра образуются посредством усечения ребер и вершин додекаэдра с последующим вращением новых правильных пятиугольных граней вокруг их центров. Между пятиугольными гранями образуется пространство, в котором при определенных условиях имеется возможность расположить по два равносторонних треугольника со сторонами, равными сторонам пятиугольных граней. При этом одна из сторон каждого треугольника является также стороной пятиугольника. Под каждой вершиной додекаэдра устанавливается треугольник, стороны которого принадлежат также сторонам установленных ранее треугольников (рис. 2). Рис. 2. Образование граней курносого додекаэдра [Figure 2. Formation of the faces of the snub dodecahedron] Следовательно, если треугольники между гранями плосконосого додекаэдра являются равными и равносторонними, то все треугольники плосконосого додекаэдра являются равносторонними и равными между собой. На рис. 2 изображены три грани , и додекаэдра Платона, три грани плосконосого додекаэдра, расположенные в плоскостях граней , и , два треугольника , , расположенные между сторонами и плосконосого додекаэдра и треугольник под вершиной додекаэдра. В чертеже установлены три системы координат: в середине ребра , и в центрах и пятиугольных граней додекаэдра. Исходным параметром является радиус окружности, описанной вокруг пятиугольника додекаэдра Платона. Радиус окружности, описанной вокруг пятиугольника плосконосого додекаэдра, является функцией от усечения его ребер и равен , (1) где - угол, равный 36°; величина усечения граней додекаэдра; - радиус окружности, описанной вокруг пятиугольника додекаэдра. Рассмотрим треугольник (рис. 2). Координаты точек , , и являются функциями как от параметра del, так и от угла . Угол вычисляется из выражения , (2) где угол поворота граней плосконосого додекаэдра относительно их центров. Чтобы определить величину ребра плосконосого додекаэдра, необходимо найти такие значения параметров del и , при которых треугольники и являются равносторонними и равными друг другу. Геометрически равенство всех сторон треугольника достигается, если графики функций , и изображенные в системе координат , при некотором усечении del пересекаются в одной точке (рис. 3). При других значениях параметров del и графики указанных зависимостей представлены на рис. 4. A2C1(α) Поворот граней, ° [Rotation of the faces, °] 0 A2C2 C2C1(α) α Величина стороны, мм [The value side, mm] Для искомого усечения [For the desired truncation] Рис. 3. Условие равенства треугольников и - пересечение графиков в одной точке P [Figure 3. Equality condition of triangles and - intersection of graphs at one point P] Рис. 4. Графики зависимости сторон треугольника от угла [Figure 4. Graphs of the dependence of sides of the triangle from an angle α] Рис. 5. Графики функций eps1(del) и eps2(del) [Figure 5. Function graphs eps1(del) and eps2(del)] Для каждой пары параметров и имеется отклонение значений выражений и от длины стороны (рис. 4): , . Величины eps1 и eps2 - абсолютная погрешность вычислений. Сторона, являющаяся гранью плосконосого додекаэдра, определяется из выражения , что указывает на зависимость ее величины только от параметра del. Выражения для определения сторон и составляются как расстояния между соответствующими точками в системе и являются функциями от параметров del и . Эти выражения трансцендентны, поскольку содержат тригонометрические функции. В связи с этим параметры del и , а также величина ребра плосконосого додекаэдра могут быть вычислены приближенно, с заданной точностью . Условием определения величины ребра плосконосого додекаэдра является и . (3) Для выполнения необходимых вычислений использовался метод итераций, реализация которого обеспечивалась программой, созданной на языке AutoLISP. Зависимости и от параметра при заданной величине приведены на рис. 5. Решение находится на интервале [31, 32], где у функций и знаки величин изменяются. Алгоритм решения включает два цикла вычислений, вложенных друг в друга. Во внешнем цикле задаются значения угла из интервала [0, ]. Во внутреннем цикле с параметром del вычисляются координаты точек , величины сторон , , и погрешностей , . Величина абсолютной погрешности принимается равной При выполнении условия (3) и при мм получены следующие результаты: del = 31,8826 мм, , A2C2 = A2C1 = C2С1 = a = 59,4732 мм, где - величина ребра плосконосого додекаэдра. Рассчитана величина расстояния между пятиугольными гранями, как для плосконосого додекаэдра, так и для ромбоикосододекаэдра из соотношения , где - величина двугранного угла обоих многогранников, . В таблице приведены сравнительные данные для ромбоикосододекаэдра, описанного в статье [23], и плосконосого додекаэдра, образованных при мм. Таблица Сравнительные размеры плосконосого додекаэдра и ромбоикосододекаэдра, мм [Table. The relative size of snub dodecahedron and rhombicosidodecahedron, mm] Параметры [Parameters] Плосконосый додекаэдр [Snub dodecahedron] Ромбоикосододекаэдр [Rhombicosidodecahedron] Del 31,8826 33,5408 59,4732 57,0637 54,2419 57,0637 Данные таблицы указывают на то, что усечением ребер додекаэдра между сторонами A2C2 и A1C1 у плосконосого додекаэдра образуется промежуток в виде прямоугольника, а у ромбоикосододекаэдра - квадрата. Построение плосконосого додекаэдра в системе AutoCAD Формирование плосконосого додекаэдра выполнялось в два этапа. На первом этапе производилось формирование граней плосконосого додекаэдра усечением ребер додекаэдра Платона. Грани курносого додекаэдра остаются в ячейках каркаса додекаэдра (рис. 6), при этом между ними образуется пространство. Центры пятиугольников новых граней совпадают с центрами пятиугольников исходных граней. Радиус окружности, описанной вокруг пятиугольника курносого додекаэдра, вычисляется по формуле (1). Это дает возможность вычертить пятиугольный контур плосконосого додекаэдра внутри пятиугольника ячейки исходного каркаса. Для вычерчивания пятиугольника в ячейке грани додекаэдра система координат переносится в ее центр - точку и выполняется обращение к команде Polygon. Полученный пятиугольник используется в качестве параметра функции Array, которая создает массив пятиугольников нижнего ряда. Аналогично формируются пятиугольники верхнего ряда и оснований курносого додекаэдра. В пятиугольных ячейках формируются поверхности граней (рис. 6). Рис. 6. Грани курносого додекаэдра расположены в ячейках каркаса додекаэдра [Figure 6. The faces of the snub dodecahedron are located in the cells of the dodecahedron] Рис. 7. Построение треугольных ячеек каркаса [Figure 7. Constructing triangular frame cells] Рис. 8. Набор треугольных элементов поверхности [Figure 8. Set of triangular surface elements] Рис. 9. Образование поверхности курносого додекаэдра [Figure 9. Formation of snub dodecahedron surfaces] На втором этапе появившееся между гранями пространство заполняется гранями треугольной формы. Построение ребер додекаэдра показано на рис. 7, где изображены по две пятиугольных ячейки додекаэдра Платона и курносого додекаэдра. Система координат устанавливается в середине ребра DE - точке O. Ось x направляется по указанному ребру, ось y размещается в плоскости . При таком положении системы координаты точек , , и равны координатам точек , , и соответственно (рис. 2), которые заранее вычисляются программой на языке AutoLISP. Соединяя точки и , , как показано на рис. 7, получаем два равносторонних треугольника между гранями курносого додекаэдра. Для формирования поверхностей в полученных треугольных ячейках систему координат переносим сначала в точку , ось x направляем в точку , а ось y - в точку . Формирование поверхности выполняется кинематическим способом. Направляющими линиями являются стороны и треугольника . Для образования поверхности в треугольной ячейке стороны и принимаются в качестве направляющих. Система координат переносится в точку , ось x направляется в точку , а ось y - в точку . Для формирования поверхности курносого додекаэдра необходим набор треугольных поверхностей, который может служить параметром функции Array языка AutoLISP. Такой набор представлен на рис. 8. Образование элементов набора идет по описанному выше алгоритму между пятиугольными ячейками. Каждый элемент набора может быть образован как массив отсеков поверхности треугольника. В этом случае поверхность, сформированная функцией Array, представляет собой массив отсеков поверхности треугольных граней. С использованием данного массива осуществляется визуализация процесса образования поверхности плосконосого додекаэдра между пятиугольными гранями методом «замораживания» [16; 22; 23]. Поверхность формируется при последовательном «размораживании» отсеков треугольных граней (рис. 9). Образующей поверхности является ломаная линия q. Заключение Моделирование плосконосого додекаэдра может быть выполнено посредством усечения ребер и вершин додекаэдра Платона, если известны параметры: усечение ребер додекаэдра и угол поворота граней плосконосого додекаэдра, при которых все ребра его равны друг другу. Поскольку выражения для ребер содержат тригонометрические функции, для решения задачи использовался метод последовательных приближений. Величина ребра вычислялась с точностью, достаточной для инженерных задач. Разработан алгоритм и программа на языке AutoLISP для вычисления величины ребра и параметров del, . Решена конкретная задача, в которой исходным параметром был радиус окружности, описанной вокруг пятиугольника додекаэдра. Параллельно вычислены величины del, a, dist для ромбоикосододекаэдра по программе, описанной в работе [23]. Сравнительные данные, приведенные в таблице, указывают на то, что у плосконосого додекаэдра формируется между гранями промежуток в виде прямоугольника, а у ромбоикосододекаэдра - квадрата. Для образования электронной модели поверхности курносого додекаэдра и визуализации его формирования кинематическим способом созданы две программы-функции в основной программе на языке AutoLISP.

About the authors

Victoryna A. Romanova

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

Author for correspondence.
Email: v.a.r-victoryna@mail.ru

Associate Professor of the Department of Civil Engineering of the Academy of Engineering

6 Miklukho-Maklaya St, Moscow, 117198, Russian Federation

Stanislav V. Strashnov

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

Email: v.a.r-victoryna@mail.ru

Associate Professor of the Department of General Education Courses of the Faculty of Russian Language and General Educational Disciplines

6 Miklukho-Maklaya St, Moscow, 117198, Russian Federation

References

Supplementary files