Dynamic method for determining critical loads in the PRINS computer program

Full Text

1. Введение Расчеты на устойчивость играют важную роль при проектировании конструкций и сооружений, используемых в различных областях техники - машиностроении, авиа- и судостроении, промышленном и гражданском строительстве и др. Теоретические аспекты проблемы устойчивости описаны в многочисленных журнальных статьях и монографиях [1-10]. На практике до второй половины ХХ века применялись, главным образом, аналитические методы расчета на устойчивость [1-5]. С появлением вычислительных машин стали преобладать численные методы, в частности метод конечных элементов (МКЭ) [6-9]. В последнее время вопросу устойчивости стержней, пластин и оболочек посвящено большое количество исследований [11-15]. Расчеты на устойчивость реализованы во многих конечно-элементных программах, например, NASTRAN [16], ANSYS [17], ABAQUS [18], ADINA [19], DIANA [20] и др. В силу большой ответственности требуется проводить расчеты на устойчивость по крайней мере с использованием нескольких программ, что не всегда выполнимо по причине высокой стоимости программных продуктов. Разработка программ, в которых задачи устойчивости решались бы несколькими методами, повысит надежность и достоверность результатов расчета на устойчивость. Образцом подобной программы является вычислительном комплексе ПРИНС [21]. Расчет на устойчивость ведется в нем двумя методами - статическим и динамическим. При этом статический метод разработан в форме, не требующей решения проблемы собственных значений. Это стало возможным благодаря использованию критерия потери устойчивости в виде равенства нулю реакции единственной наложенной на заданную систему связи при смещении этой связи на малое расстояние в направлении ожидаемой потери устойчивости. Теоретические основы этого метода и его практическая реализация описаны в работе [22]. В данной статье описываются теоретические аспекты и практическая реализация динамического метода расчета на устойчивость, а также приводятся результаты верификационных расчетов, подтверждающие его достоверность. 2. Методы Уравнение для определения методом конечных элементов минимальных критических нагрузок, соответствующих потере устойчивости нелинейно деформируемых систем при наличии начальных напряжений и перемещений, представляется в виде [21] (1) где - матрица жесткости нулевого порядка; - матрица начальных перемещений; - матрица начальных напряжений; и - нелинейные матрицы, получение которых рассмотрено в [21]; - вектор перемещений. Как правило, решение уравнения (1) находится методом последовательных приближений при задании нагрузки в виде , где - нормированная нагрузка. В том случае, когда рассматриваемые системы линейно деформируемы, а начальные перемещения отсутствуют ( ), расчет на устойчивость сводится к решению обобщенной проблемы собственных значений: , (2) где - параметр критической нагрузки. В большинстве отечественных и зарубежных программных комплексах алгоритм расчета устойчивости конструкций сводится к решению проблемы собственных значений (2). Обычно он остается единственным методом, доступным пользователю конкретной программы. Таким образом, при расчете сложных систем с большим количеством неизвестных, для которых не существует точного решения, верифицировать полученные на основании (2) результаты без использования альтернативных методов определения критических сил становиться весьма затруднительно. При разработке вычислительного комплекса ПРИНС (автор - доктор технических наук, профессор В.П. Агапов) был учтен этот недостаток. В комплексе реализован алгоритм использования динамического критерия для определения критических нагрузок. Как известно, при достижении нагрузками критических значений деформированная система теряет способность совершать колебательные движения [2]. Следовательно, критерием потери устойчивость является равенство нулю частоты собственных колебаний системы. Уравнение для определения частот собственных колебаний системы под нагрузкой при наличии начальных перемещений и напряжений представляется следующим образом: (3) где - матрица масс, и - собственные частота и вектор. Метод определения собственных частот нагруженной конструкции реализован шагово-итерационным методом. Для расчета вводятся начальное и конечное значения параметра нагрузки, приращение этого параметра, количество исследуемых форм колебаний, требуемое число шагов итерации и точность сходимости. На каждом шаге нагружения вычисляются матрицы , и из уравнения (3) определяются частоты и векторы форм собственных колебаний. По мере приращения параметра нагрузки на каждом шаге собственные частоты уменьшаются и расчет продолжается до тех пор, пока значение собственной частоты не обратится в ноль. Таким образом, параметр нагрузки, при котором собственная частота обращается в ноль, является критическим. Блок-схема алгоритма определения критических нагрузок с использованием динамического критерия приведена на рис. 1. Вычисление матриц K, M, P [Calculation of matrices K, M, P] Ввод исходных данных: начальное и конечное значения параметра нагрузки , приращение этого параметра , число форм собственных колебаний, количество итераций, точность сходимости [Input of initial data: the first and final values of the load parameter , load parameter increment , number of the form of waves, number of iterations, convergence accuracy] Проверка условия [Test of conditions] Вывод результатов [Output of results] Изменение параметра нагрузки . Вычисление матриц Ku и Kσ. Линейный расчет на частоты собственных колебаний согласно (3) [Change of load parameter . Calculation of matrices Ku and Kσ. Solve of eigenvalue problem (3)] Рис. 1. Блок-схема алгоритма для определения критических нагрузок [Figure 1. Scheme of the algorithm for determining critical loads] 3. Результаты и обсуждение Для иллюстрации возможностей описанного выше алгоритма мы приводим ряд численных расчетов, выполненных в вычислительном комплексе ПРИНС. 3.1. Прямоугольная свободно опертая по контуру пластинка Рассматривается пластинка, нагруженная распределенной нагрузкой (рис. 2) при следующих исходных данных: длина м, ширина м, толщина см, модуль упругости кПа, коэффициент Пуассона , удельный вес кН/м3. Расчеты выполнялись с использованием трех- и четырехугольных оболочечных конечных элементов (КЭ) типа EL36 в отсутствии начальных перемещений ( ) при разбиении пластинки на КЭ-сетку следующих размеров: 10×10, 20×20 и 30×30 (рис. 3). Для определения критических нагрузок задавалось начальное значение нагрузки кН/м. На каждом шаге приращение нагрузки принималось равным и из уравнения (3) определялись частоты и векторы форм собственных колебаний. Итерационный процесс останавливался при выполнении условия . Результаты расчета прямоугольной пластинки представлены в табл. 1 (значения в скобках относятся к результатам, полученным с использованием треугольного КЭ EL36). На рис. 4, а приведена первая форма собственных колебаний пластинки под нагрузкой. Зависимость частоты колебаний от параметра показана на рис. 4, б. Как известно, аналитическое уравнение для поверхности выпучивания пластинки представляется в виде (4) которое допускает частное решение (5) Рис. 2. Прямоугольная пластинка, всем периметром опертая на контур [Figure 2. Rectangular plate supported on the contour] а б в г д е Рис. 3. Конечно-элементные схемы для расчета прямоугольной пластинки при сетке КЭ размером 10×10, 20×20, 30×30: а, б, в - с использованием четырехугольных элементов; г, д, е - с использованием треугольных элементов [Figure 3. Finite element schemes for the rectangular plate calculating with a FE mesh dimension of 10×10, 20×20, 30×30: а, б, в - using quadrangular elements; г, д, е - using triangular elements] Таблица 1 Результаты расчета прямоугольной пластинки [Table 1. The results of rectangular plate calculation] Размерность КЭ сетки [Dimension of FE mesh] Частота собственных колебаний ненагруженной конструкции , рад/c [Structural frequency without load , rad/s] Критический параметр нагрузки [Critical parameter of load ] Решение по МКЭ [FEM solution] Аналитическое решение [Analytical solution] Погрешность , % [Approximation error , %] 10×10 974,534 (975,534) 2080 (2070) 2054,335 1,249 (0,763) 20×20 972,535 (972,535) 2060 (2060) 0,276 (0,276) 30×30 972,535 (972,535) 2060 (2060) 0,276 (0,276) а б Рис. 4. Расчет прямоугольной пластинки: a - форма колебаний; б - график зависимости [Figure 4. The calculation of a rectangular plate: а - the form of waves; б - the schedule ] Подставляя (5) в уравнение (4), с учетом граничных условий (при и , ) получается выражение для определения критической нагрузки: (6) где - коэффициент, принимаемый по табл. А из [3]. Применительно к рассматриваемому примеру кН/м. Следовательно, параметр 3.2. Шарнирно опертая по краям пластинка с прежними размерами сторон, но подкрепленная четырьмя равноудаленными продольными ребрами жесткости Геометрические характеристики сечения ребер: см2, см4 (рис. 5). Расчеты выполнялись с использованием четырехугольных КЭ (тип EL36) в отсутствии начальных перемещений ( ) при разбиении конструкции на КЭ-сетку с размерами 10×10, 20×20 и 30×30 (рис. 3, а-в). Результаты расчета подкрепленной пластинки представлены в табл. 2. На рис. 6, а приведена первая форма собственных колебаний подкрепленной пластинки. Зависимость частоты колебаний от параметра нагрузки показана на рис. 6, б. Уравнение для определения критической нагрузки в случае подкрепленной ребрами пластинки представляется так [3]: (7) где , , , , - жесткость подкрепляющего ребра, - цилиндрическая жесткость пластинки. Для рассматриваемой задачи кН/м. Таким образом, критический параметр . Таблица 2 Результаты расчета подкрепленной пластинки [Table 2. The results of the ribbed plate calculation] Размерность КЭ сетки [Dimension of FE mesh] Частота собственных колебаний ненагруженной конструкции , рад/c [Structural frequency without load , rad/s] Критический параметр нагрузки [Critical parameter of load ] Решение по МКЭ [FEM solution] Аналитическое решение [Analytical solution] Погрешность , % [Approximation error , %] 10×10 1269,394 5371 5092 5,479 20×20 1269,394 5246 3,024 30×30 1269,394 5177 1,669 Рис. 5. Прямоугольная пластинка, подкрепленная продольными ребрами [Figure 5. Rectangular plate supported by longitudinal ribs] а б Рис. 6. Расчет подкрепленной пластинки: а - форма колебаний; б - график зависимости [Figure 6. The calculation of the ribbed plate: а - the form of waves; б - the schedule ] 3.3. Цилиндрическая оболочка с шарнирно закрепленным краями, испытывающая равномерное сжатие вдоль оси цилиндра Определение критических нагрузок выполнялось в отсутствии начальных перемещений ( ) для КЭ-схем оболочки с размерами 12×24, 16×32 и 24×40 (рис. 7). Исходные данные: , , cм, кПа, , кН/м3. Нормированная нагрузка кН/м. Результаты определения критических нагрузок для оболочки представлены в табл. 3. a б в Рис. 7. Конечно-элементные схемы цилиндрической оболочки: а - с размером 12×24; б - 16×32; в - 24×40 [Figure 7. Finite-element meshes of a cylindrical shell: а - with a size of 12×24; б - 16×32; в - 24×40] Таблица 3 Результаты расчета цилиндрической оболочки [Table 3. The results of the cylindrical shell calculation] Размерность КЭ сетки [Dimension of FE mesh] Частота собственных колебаний ненагруженной конструкции , рад/c [Structural frequency without load , rad/s] Критический параметр нагрузки [Critical parameter of load ] Решение по МКЭ [FEM solution] Аналитическое решение [Analytical solution] Погрешность , % [Approximation error , %] 12×24 5447,398 482 484,20 0,454 16×32 5367,436 476 1,694 24×40 5337,450 474 2,106 а б Рис. 8. Расчет цилиндрической оболочки: а - форма колебаний; б - график зависимости [Figure 8. The calculation of a cylindrical shell: а - the form of waves; б - the schedule ] На рис. 8, а приведена первая форма колебаний оболочки под нагрузкой. Зависимость частоты колебаний от параметра нагрузки для рассматриваемой оболочки показана на рис. 8, б. Известно, что для осесимметричной формы потери устойчивости сжатой цилиндрической оболочки справедливо уравнение [2] (8) При шарнирном опирании краев оболочки ( и ) решение этого уравнения ищется в виде (9) где - число полуволн. Подстановка (9) в уравнение срединной поверхности оболочки (8) позволяет получить выражение для нахождения минимальной критической нагрузки: (10) Для рассматриваемого примера кН/м, а критический параметр . 4. Заключение Алгоритм, приведенный в данной статье и реализованный в вычислительном комплексе ПРИНС, позволяет определять критические нагрузки с использованием динамического критерия устойчивости. На основании многочисленных верификационных расчетов установлено, что описанный алгоритм обладает эффективностью определения критических нагрузок для стержневых, тонкостенных и подкрепленных конструкций. Использование вычислительного комплекса ПРИНС дает возможность в дополнение к классическому (статическому) методу использовать альтернативный (динамический) метод определения критических нагрузок для широкого класса инженерных задач. Таким образом, вычислительный комплекс ПРИНС успешно может быть использован инженерами проектных и научных организаций для расчета устойчивости конструкций и сооружений, требующих большой ответственности.

About the authors

Vladimir P. Agapov

National Research Moscow State University of Civil Engineering

Author for correspondence.
Email: markovich-as@rudn.ru

Doctor of Technical Sciences, Professor of the Department of Reinforced Concrete and Stone Structures

26 Yaroslavl Highway, Moscow, 1129337, Russian Federation

Alexey S. Markovich

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

Email: markovich-as@rudn.ru

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Civil Engineering of the Engineering Academy

6 Miklukho-Maklaya St, Moscow, 117198, Russian Federation

References

Supplementary files