Stressed state of two-layer strip when interacting with rigid base

Full Text

Введение[15] При проектировании многослойных покрытий из изотропных или анизотропных материалов, контактирующих с жесткими или упругими основаниями, необходимо при заданных внешних нагрузках обеспечить оптимальное соотношение между толщиной и упругими характеристиками материала каждого слоя. Задачи, связанные с определением напряженно-деформированного состояния в многослойных упругих средах под действием поверхностных нагрузок, возникают при расчете несущих покрытий от воздействия транспортного оборудования, в механике грунтов (расчет оснований фундаментов), геомеханике, при анализе работы деталей машин с покрытиями и т. д. Для многослойных сред из изотропных материалов данный класс задач рассматривался в ряде работ, например [1-10], для трансверсально-изотропного материала в работах [11-20]. 1. Постановка задачи На основе уравнений плоской задачи теории упругости анизотропного тела исследуется напряженное состояние двухслойной полосы, лежащей без трения на жестком основании (рис. 1). Полоса составлена из двух анизотропных плоскопараллельных слоев с разными упругими характеристиками. Нумерацию слоев выбираем снизу вверх. Перемещения, напряжения, физические и геометрические характеристики в каждом слое обозначим нижним индексом , высота полосы по длине не меняется. Положительные направления перемещений и напряжений показаны на рис. 1. Статическая нормальная поверхностная нагрузка прикладывается к верхней плоскости полосы. Ось направим по нижней плоскости полосы, ось - перпендикулярно границе основания. На рис. 1 нормальное давление между полосой и жестким основанием обозначено , а нормальные и касательные усилия на линии контакта слоев и . Рис. 1. Схема взаимодействия между слоями полосы и жестким основанием [Figure 1. Scheme of interaction between strip layers and rigid base] 2. Метод расчета При решении исходим из уравнений, полученных в [16]. Перемещения и напряжения в произвольной точке каждого слоя записываются через функции перемещений и усилий на нижней плоскости полосы. Неизвестные функции перемещений и усилий на нижней плоскости определяются из условий отсутствия трения и плотного контакта между полосой и основанием, условий жесткого сцепления между слоями, характера нагрузки, приложенной к верхней плоскости полосы. Данные граничные условия имеют вид: После преобразований перемещения и напряжения в произвольной точке каждого слоя выражаются, используя интегральное преобразование Фурье [5], через заданную поверхностную нагрузку в виде несобственных интегралов, которые имеют сложную структуру и не приводятся. 3. Результаты Рассмотрим вариант, когда в сечении приложена сила интенсивностью равномерно распределенная вдоль оси перпендикулярной плоскости (рис. 2). В общем случае имеем неограниченное количество комбинаций между упругими характеристиками материалов слоев полосы. Для примера проведем анализ напряженного состояния полосы, когда верхний слой выполнен из тканевого стеклопластика горячего прессования (СТЭТ), нижний - стеклопластика на основе стеклоткани марки АСТТ(б)-С2-О и полиэфирной смолы марки ПН-3. Упругие характеристики материалов приведены в [21] и указаны на рис. 2. Направления осей анизотропии материала в каждом слое определяются углом Рис. 2. Схема нагружения двухслойной полосы [Figure 2. Loading scheme for a two-layer strip] Рис. 3. Распределение параметра по линии контакта слоев полосы в зависимости от при и [Figure 3. Distribution of the parameter along the contact line of the strip layers depending on when and ] Результаты численного анализа приводятся для плоского напряженного состояния (ширина полосы равна единице) в безразмерных параметрах: Рассмотрим влияние направления осей анизотропии материала в каждом слое на напряженное состояние двухслойного покрытия. При проведении расчетов коэффициенты деформации, которые входят в функции перемещений и напряжений, выражены через технические постоянные по формулам преобразования упругих постоянных при повороте осей анизотропии на некоторый угол [21]. Распределение параметра напряжения по линии контакта слоев полосы в зависимости от показано на рис. 3. Видно, что для варианта и максимальное значение возникает при В табл. 1 приведены на линии контакта слоев значения в зависимости от направления осей анизотропии в каждом слое при в табл. 2 - на линии контакта полосы и основания. Таблица 1 Значения на линии контакта слоев полосы в зависимости от [Table 1. Values on the contact line of the strip layers depending on ] 0º 30º 45º 60º 90º 0º 4,18 3,43 3,24 3,52 4,42 30º 4,00 3,30 3,11 3,38 4,25 45º 4,01 3,29 3,10 3,37 4,27 60º 4,08 3,36 3,16 3,44 4,33 90º 4,45 3,63 3,41 3,72 4,73 На рис. 4 представлены графики результатов расчета параметра в зависимости от направления осей анизотропии в каждом слое. Из сопоставления кривых видно, что максимальные значения возникают для варианта, когда наименьшее значение модуля упругости материала обоих слоев полосы направлено параллельно границе основания. Влияние параметра высоты и направления осей анизотропии в верхнем слое на значения при показано на рис. 5. Результаты расчетов на линии контакта слоев представлены на рис. 5, а, на рис. 5, б - на линии контакта полосы и основания. Из анализа графиков следует, что с увеличением параметра значения убывают более заметно при значении Таблица 2 Значения на линии контакта полосы с основанием в зависимости от [Table 2. Values on the contact line of the strip with the base depending on ] 0º 30º 45º 60º 90º 0º 3,13 2,75 2,63 2,79 3,23 30º 2,63 2,36 2,28 2,39 2,67 45º 2,48 2,24 2,17 2,26 2,51 60º 2,73 2,45 2,36 2,48 2,78 90º 3,48 3,00 2,86 3,05 3,60 Рис. 4. Изменение параметра в зависимости от при : а - на линии контакта слоев полосы; б - на линии контакта полосы с жестким основанием [Figure 4. Change the parameter depending on when : а - on the contact line of the strip layers; б - on the contact line of the strip with a rigid base] Графики на рис. 6 иллюстрируют влияние отношения модулей упругости материалов и параметра на значения для варианта, когда полоса составлена из двух изотропных материалов Расчетные формулы получены путем перехода от анизотропного материала к изотропному [19]. Штриховой линией показаны кривые при сплошной - линии, соответствующие значению штрихпунктирной - Из анализа кривых следует, что при увеличении отношения значения параметра убывают. На рис. 7 показано распределение параметра напряжения по линии контакта слоев полосы. Видно, что параметр напряжения на некотором расстоянии от линии действия силы достигает максимума, а затем затухает. Сравнивая кривые заключаем, что значения и размер области распространения по оси больше при Рис. 5. Изменение параметра в зависимости от при а - на линии контакта слоев полосы; б - на линии контакта полосы с жестким основанием [Figure 5. Change the parameter depending on when а - on the contact line of the strip layers; б - on the contact line of the strip with a rigid foundation] Рис. 6. Изменение параметра в зависимости от и : а - на линии контакта слоев полосы; б - на линии контакта полосы с жестким основанием [Figure 6. Change the parameter depending on and : а - on the contact line of the strip layers; б - on the contact line of the strip with a rigid foundation] Рис. 7. Распределение параметра по длине контакта слоев полосы в зависимости от при и [Figure 7. Distribution of the parameter along the contact line of the strip layers depending on when and ] Результаты вычислений параметра на линии контакта слоев полосы в зависимости от направлений углов представлены в табл. 3. В числителе указана максимальная величина в знаменателе - координата в которой возникает Таблица 3 Значения на линии контакта слоев полосы в зависимости от [Table 3. Values on the contact line of the strip layers depending on ] 0º 30º 45º 60º 90º 0º 0,816 0,226 0,927 0,313 0,992 0,340 0,963 0,304 0,903 0,209 30º 0,773 0,223 0,879 0,309 0,943 0,336 0,918 0,301 0,867 0,209 45º 0,786 0,223 0,889 0,308 0,953 0,335 0,930 0,300 0,882 0,209 60º 0,729 0,219 0,829 0,306 0,890 0,333 0,867 0,297 0,821 0,205 90º 0,689 0,217 0,786 0,306 0,846 0,334 0,819 0,297 0,770 0,200 Распределение параметра по линии контакта слоев полосы приведено на рис. 8. Серия кривых на рис. 8, а показывает изменение значений на нижней плоскости верхней полосы, на рис. 8, б - на верхней плоскости нижней полосы. Из анализа графиков видно, что в области, примыкающей к линии действия силы, параметр положительный, а при некотором значении параметра меняет знак и далее становится равным нулю. На рис. 9 показан характер изменения параметра по линии контакта слоев, когда каждый слой полосы выполнен из изотропного материала Кривые на рис. 9, а построены по результатам вычислений на нижней плоскости верхней полосы, на рис. 9, б - на верхней плоскости нижней полосы. Из сопоставления кривых заключаем, что при отношении на границе контакта слоев в верхнем и нижнем слоях полосы возникают положительные значения . При отношении на нижней границе верхнего слоя значения параметра отрицательные, на верхней границе нижнего слоя - положительные. Рис. 8. Распределение параметра по линии контакта слоев полосы в зависимости от при и : а - на нижней плоскости верхней полосы; б - на верхней плоскости нижней полосы [Figure 8. Distribution of the parameter along the contact line of the strip layers depending on when and : а - on the bottom plane of the top strip; б - on the top plane of the bottom strip] Рис. 9. Изменение параметра на линии контакта слоев из изотропных материалов при отношении : а - на нижней плоскости верхней полосы; б - на верхней плоскости нижней полосы [Figure 9. Change the parameter on the contact line of layers made of isotropic materials at : а - on the bottom plane of the top strip; б - on the top plane of the bottom strip] Заключение Приведена качественная и количественная оценка напряженного состояния в двухслойной полосе, лежащей без трения на жестком основании, в зависимости от направления осей анизотропии материала в каждом слое. Расчеты проведены для варианта нагружения полосы сосредоточенной силой. Показано, что максимальные нормальные напряжения, действующие в направлении, перпендикулярном границе основания, возникают, когда наименьшие значения модулей упругости материала в слоях полосы направлены параллельно границе основания, минимальные - при направлении осей анизотропии в каждом слое под углом 45° к границе основания. Касательные напряжения при расположении осей под углом 45° принимают наибольшие значения в сечениях, более удаленных от линии действия силы, в сравнении с другими вариантами направления осей анизотропии. Наименьшие отклонения в результатах вычислений продольных нормальных напряжений при заданных физических характеристиках материалов на линии раздела сред возникают при направлении осей анизотропии под углом 45°. Для полосы, составленной из двух изотропных материалов с разными физическими характеристиками, нормальные напряжения в продольном направлении полосы при уменьшении модуля упругости материала нижнего слоя возрастают на нижней границе верхнего слоя и уменьшаются на верхней границе нижнего слоя.

About the authors

Julia M. Buldakova

Volga State University of Technology

Author for correspondence.
Email: KudryavcevSG@volgatech.net
SPIN-code: 5677-6126

senior lecturer of the Department of Resistance of Materials and Applied Mechanics

3 Lenina Sq, Yoshkar-Ola, 424000, Mari El Republic, Russian Federation

Sergey G. Kudryavtsev

Volga State University of Technology

Email: KudryavcevSG@volgatech.net
SPIN-code: 9756-6211

Associate Professor of the Department of Resistance of Materials and Applied Mechanics, Candidate of Technical Sciences

3 Lenina Sq, Yoshkar-Ola, 424000, Mari El Republic, Russian Federation

References

Supplementary files