The stability of geometrically nonlinear plate systems under the action of dynamic loads

Full Text

Введение Для расчета на устойчивость пластин и оболочек используются различные аналитические, численно-аналитические и численные методы. К численным методам расчета относится метод конечных элементов (МКЭ), который совершенно непригоден для ручного счета. Вариационный метод В.З. Власова [1; 2] относится ко второму виду методов расчета, где в отличие от МКЭ конечные уравнения можно реализовать в замкнутом виде. Данный метод эффективно применяется для расчета пластин и оболочек на прочность как при статических, так и при динамических воздействиях [1]. Также он применяется и при исследованиях на устойчивость [1; 3], доказывающих, что метод В.З. Власова достаточно эффективен для изучения физически и геометрически нелинейных пластинчатых систем. Тема, связанная с исследованием устойчивости пространственных пластинчатых систем, является одной из важнейших проблем механики деформируемого твердого тела. При движении таких систем в жидкости или воздушной среде (например, при воздействии ветровой нагрузки) может возникать динамическая потеря устойчивости [5; 6]. В настоящее время в области расчетов на устойчивость тонкостенных конструкций имеется достаточно большое число публикаций [6-15]. Анализируя указанные статьи, можно сделать общие выводы. Такого вида работы были выполнены ранее А.С. Вольмиром [5; 6] и П.А. Лукашем [13] только без применения метода МКЭ. Данная работа отличается от статей [14; 15] тем, что здесь не определяется верхняя и нижняя критические силы и не решается статическая задача. Критическое значение динамической силы определяется из условия бурного выпучивания. Вычисляется отношение динамической нагрузки к статической критической нагрузке. 1. Разработка математической модели В отличие от работ [3; 4] настоящая статья посвящена исследованию устойчивости пластинчатых систем (типа призматических оболочек) под действием динамической нагрузки P(t) с учетом геометрической нелинейности (рис. 1). Через u = u(x, s, t); v = v(x, s, t); w = w(x, s, t) (t - время) обозначим перемещения точки М срединной поверхности оболочки в направлении координатных осей x, s, z (рис. 1). Геометрическую нелинейность вводим через известные соотношения [1]: (1) где Рис. 1. Общая схема многосвязной пластинчатой системы [Figure 1. The general diagram of a multi-connected plate system] Определим полную энергию L системы: L = П + К, (2) состоящей из потенциальной П и кинетической К энергий: (3) Внутренние усилия (изгибающие моменты Мх, Мs, действующие соответственно в продольном х и поперечном s направлениях, крутящие моменты Мхs, нормальные Nx, Ns и сдвигающие Nxs силы) определяются по следующим формулам [1]: (4) где в формулах (3) и (4) индексы при перемещениях u, v, w обозначают частные производные по переменным x, s, t: Здесь Е, G - модули упругости первого и второго рода; δ - толщина пластин оболочки. Все перемещения запишем в виде ряда [1; 2]: (5) где Ui(t), Vk(t), Wd(t) - обобщенные перемещения, которые зависят только от времени и определяются из решения задачи; φi(x,s), ψk(x,s), fd(x,s) - функции распределения, которые задаются заранее [1; 3]. Число обобщенных перемещений можно сократить, используя условия совместности деформаций в узловых точках контура поперечного сечения оболочки, и при d = k [1] Wd(t) = Vk(t). (6) С учетом соотношения (6) определим минимум функционала (2) [1]: (7) В развернутой форме уравнения (7) принимают следующий вид: (8) где - отношение модуля упругости Е к модулю сдвига G, ; величина а* - длина контура поперечного сечения оболочки, на который действует динамическая нагрузка P(t); нагрузка Qk позволяет учитывать начальное несовершенство оболочки. В системе уравнений (8) в функциях , , , индексы после запятой указывают на дифференцирование по времени t. Коэффициенты уравнений (8) имеют вид [1; 3]: (9) В выражениях (9) … . Правые части Фj и Фh уравнений (8) имеют следующий вид: (10) Получена общая система (m + n) дифференциальных уравнений (8). Данные уравнения пригодны для исследования устойчивости призматических оболочек под действием динамических нагрузок P(t), которые могут изменятся по различным законам [6]. А.С. Вольмир в работе [6] отмечает: «Говоря о непрерывном увеличении нагрузки, мы имеем при этом в виду, что важный для нас процесс прощелкивания оболочки происходит на восходящем участке диаграммы нагружения; дальнейшим поведением конструкции мы не интересуемся». Решающее влияние на бурное выпучивание оболочки оказывает скорость возрастания нагрузки. Далее это будет продемонстрировано на примере расчета призматической системы. 2. Алгоритм решения задачи Уравнения (8) для решения конкретной задачи можно реализовать двумя способами. Первый способ заключается в непосредственном интегрировании по времени нелинейных дифференциальных уравнений при заданной нагрузке P(t), изменяющейся во времени. При достижении критического значения времени t колебательный процесс нарушается, происходит резкое увеличение амплитуды колебаний, что соответствует бурному выпучиванию оболочки. Далее определяется соответствующее значение динамической нагрузки по формуле, которая задана для P(t). Второй способ заключается в использовании новой переменной t* [6], которая связана с временной сжимающей нагрузкой P(t) и Эйлеровой критической нагрузкой Pкр следующей зависимостью t* = P(t)/Pкр. А.С. Вольмир [6] отмечает: «Под величиной KД понимается отношение динамической “критической” нагрузки к верхней статической критической нагрузке, вычисленной для идеальной оболочки или пластинки с теми же параметрами». Далее по преобразованным уравнениям строятся графики зависимости прогиба от t*. Для численного интегрирования дифференциальных уравнений используем метод Рунге - Кутта по программе, составленной на языке Фортран. 3. Пример расчета Применим второй способ решения по полученным уравнениям (8) для исследования динамической устойчивости односвязной призматической оболочки при центральном сжатии (рис. 2) [1]. Оболочка опирается торцами на диафрагмы, которые считаются абсолютно жесткими в своей плоскости и абсолютно гибкими из плоскости. Приняты следующие геометрические параметры замкнутой призматической оболочки: а = 2,4 м; b = 1,6 м; δ = 0,1 м; l = 31,4 м. Коэффициент Пуассона материала оболочки ν = 0,2; объемный вес материала ρ = 20 кН/м3. Положим, что динамическая нагрузка изменяется по линейному закону: (11) где k - величина, которая характеризует скорость изменения сжимающего напряжения; а* - периметр контура поперечного сечения. Рис. 2. Односвязная призматическая оболочка: а - схема оболочки под действием динамической нагрузки; б - поперечное сечение оболочки [Figure 2. The single-connected prismatic shell: a - the diagram of shell under the action of dynamic load; б - the cross section of shell] Для данной замкнутой оболочки при потере устойчивости от центрального сжатия по крутильной форме перемещения можно представить в виде [1] (12) где U1(t), V1(t), V2(t), W1(t), W2(t) - обобщенные перемещения в направлении осей x, s, z; φ1(x,s), ψ1(x,s), ψ2(x,s), f1(x,s), f2(x,s) - координатные функции, которые задаются при крутильной форме потери устойчивости в поперечном направлении (рис. 2, a, б). Для данной оболочки в случае потери устойчивости по синусоиде в направлении оси х координатные функции можно записать следующим образом: (13) где λ = m1π/l, l - длина оболочки; m1 - число полуволн. Функции распределения φ1(s), ψ1(s), ψ2(s), f1(s), f2(s), зависящие от переменной s (рис. 2, б), представлены в работе [1]. Обход замкнутого контура ведется начиная с левого верхнего угла (рис. 2, б). Используя данные функции по формулам (9) с учетом (13) определяем коэффициенты уравнения (8). Дифференциальные уравнения устойчивости (8) для данной призматической оболочки под действием динамической нагрузки принимают вид (14) Здесь Ф1, Ф2, Ф3 учитывают геометрическую нелинейность системы и определяются по формулам (10) при i = 1; k, h = 1, 2. Уравнения (14) можно решить первым способом, непосредственно интегрируя их по времени. Конечную реализацию уравнений (14) проводим, используя второй способ, вводя следующие обозначения: (15) где Ркр - величина статической критической нагрузки; t* - безразмерный параметр времени; ζ - относительная величина прогиба пластин оболочки; S* - параметр скорости изменения напряжения (нагрузки) [1]. Пренебрегаем депланацией оболочки, вводим новую переменную t*, c учетом (15) после некоторых преобразований уравнения (14) приводим к следующему виду: (16) где По результатам численного интегрировании дифференциальных уравнений (16) с помощью метода Рунге - Кутта построены графики зависимости перемещения ζ = v/δ узловой точки поперечного сечения, расположенного в середине пролета, от параметра времени t* = P(t)/Pкр (рис. 3). На рис. 3 графики 1, 2, 3 построены соответственно для скоростей S* = 10, 50, 100 изменения сжимающей нагрузки при потере устойчивости по одной полуволне синусоиды m1 = 1 и параметру, учитывающему величину начального несовершенства оболочки Q1 = Q2 = 0,1. График 4 соответствует параметру S* = 50 при m1 = 1, Q1 = Q2 = 0,01. График 5 построен для S* = 50 при m1 = 2, Q1 = Q2 = 0,1. Рис. 3. Графики зависимости перемещения ζ от параметра времени t* [Figure 3. Graphs of the displacement ζ against the time parameter t*] Из анализа графиков следует, что с увеличением скорости действия нагрузки S* величина динамического коэффициента Кд = t* возрастает значительно (см. графики 1, 2 и 3). При увеличении числа полуволн m1 величина Кд также значительно возрастает (видно из сравнения графиков 2 и 5). При уменьшении начального несовершенства значение Кд увеличивается (см. графики 2 и 4). Для сравнения выполнен расчет и первым способом. Оба способа дают близкие результаты. Заключение Разработана математическая модель расчета на устойчивость пластинчатых систем при действии динамической нагрузки с учетом геометрической нелинейности. Получена система нелинейных дифференциальных уравнений для исследования динамической устойчивости призматических оболочек. Предложен алгоритм конечной реализации уравнений двумя способами. Предпочтение отдано второму способу, так как его использование сразу выявляет, во сколько раз динамическая нагрузка превышает статическую критическую нагрузку (на основе величины t*). В качестве примера выполнен расчет на устойчивость оболочки замкнутого контура при действии динамической нагрузки, изменяющейся по линейному закону. Рассмотрено влияние скорости изменения сжимающего напряжения, начального несовершенства оболочки и числа полуволн на критерий динамической устойчивости оболочки.

About the authors

Sergey P. Ivanov

Volga State University of Technology; Mari State University

Author for correspondence.
Email: sp-ivanov@mail.ru

Doctor of Science, Professor, Head of the Department of Strength of Materials and Applied Mechanics of VSUT; Professor of the Department of Electromechanics of MarSU

3 Lenin Sq, Yoshkar-Ola, 424000, Russian Federatio; 1 Lenin Sq, Yoshkar-Ola, 424000, Russian Federation

Anastasia S. Ivanova

Volga State University of Technology

Email: sp-ivanov@mail.ru

senior lecturer, Department of Strength of Materials and Applied Mechanics

3 Lenin Sq, Yoshkar-Ola, 424000, Russian Federatio

Oleg G. Ivanov

Volga State University of Technology

Email: sp-ivanov@mail.ru

Cand. Sc., Associate Professor, Department of Strength of Materials and Applied Mechanics

3 Lenin Sq, Yoshkar-Ola, 424000, Russian Federatio

References

Supplementary files