Analytical ruled surfaces and their complete classification

Full Text

Введение [9] Поверхность называется линейчатой, если через каждую точку этой поверхности можно провести хотя бы одну прямую и эта прямая имеет с поверхностью общий отрезок. Самую полную информацию об аналитических линейчатых поверхностях можно получить из энциклопедии [1], где они выделены в отдельный класс. Линейчатые поверхности имеются практически в каждом из 38 классов аналитических поверхностей нулевой (К = 0) и отрицательной (К < 0) гауссовых кривизн. Например, прямой геликоид можно одновременно включить в класс линейчатых поверхностей и минимальных поверхностей, однополостный гиперболоид вращения входит также в класс поверхностей вращения, цилиндричекую поверхность можно считать поверхностью прямого переноса, односторонняя линейчатая поверхность (лист Мебиуса) входит и в класс односторонних поверхностей и т. д. В энциклопедии [1] все аналитические поверхности разделены на 38 классов. Естественно, линейчатых поверхностей нет среди поверхностей положительной (К > 0) гауссовой кривизны. Их нет также среди поверхностей Веронезе, Безье, Кунса и среди афинно-минимальных поверхностей. Некоторые геометры считают, что все многообразие линейчатых поверхностей можно охарактеризовать, сгруппировав их в три группы: линейчатые поверхности с тремя, двумя и одной направляющими. Другие предлагают все поверхности разделить только на два класса: линейчатые и нелинейчатые поверхности. Известны работы [2-4], где дается общая классификация известных аналитических поверхностей в графической форме, куда входят и линейчатые поверхности. Но эти классификации не полны, так как не дают всеобъемлющей информации о линейчатых поверхностях и содержат сведения только о поверхностях, нашедших применение в архитектуре, строительстве и машиностроении. Более полные классификации только аналитических линейчатых поверхностей в графической форме приведены в работах [5-7], но их тоже нельзя назвать полными, так как здесь классифицируются подклассы или группы линейчатых поверхностей. Как показали последние геометрические исследования, многообразие аналитических поверхностей, в том числе и линейчатых, и способов их образования увеличивается, поэтому создать строгую и полную классификацию поверхностей не представляется возможным. 1. Цель исследования Линейчатые поверхности благодаря множеству способов их конструирования, простоте изготовления изделий и сооружений в форме этих поверхностей, способности линейчатых поверхностей нулевой гауссовой кривизны разворачиваться на плоскость без разрывов и складок пользуются большой популярностью среди архитекторов [8; 9] и машиностроителей [10]. Особенно часто можно видеть изделия и сооружения в форме конусов [11], цилиндров, гипаров, однополостных гиперболоидов вращения [12], коноидов [13]. Значительно реже применяются невырожденные торсовые поверхности, несмотря на их ярко выраженные преимущества [5; 9; 14]. Зная это, исследователи-механики разрабатывают новые методы их статического и динамического расчета в криволинейных неортогональных координатах [14] или предлагают к применению торсовые оболочки, заданные в линиях кривизн [15]. Приведенные в статье сведения и представленный вариант полной классификации линейчатых поверхностей расширит кругозор архитекторов-строителей и машиностроителей и может привлечь их внимание к редко используемым линейчатым поверхностям. Исследователи-механики могут выбрать темы для дальнейших изысканий в области статического и динамического расчета оболочек с линейчатыми срединными поверхностями. 2. Метод исследования Приведем краткие сведения из дифференциальной геометрии линейчатых поверхностей. При изучении аналитических линейчатых поверхностей считают, что векторное уравнение линейчатой поверхности можно представить в виде где a(v) - радиус-вектор направляющей кривой; b(v) - направляющий вектор прямолинейной образующей. Линейчатые поверхности, за исключением плоскости и прямого геликоида, не могут иметь постоянную среднюю кривизну. Прямолинейные образующие являются асимптотическими линиями. Невырожденные торсовые поверхности образовываются касательными к своему ребру возврата, то есть это - линейчатые поверхности с одной направляющей. Поверхность касательных называют касательным торсом. Любую пространственную кривую можно принять за ребро возврата, касательные к которому будут образовывать торсовую поверхность. Торсовую поверхность, если известно уравнение ребра возврата, удобно задавать в векторной форме: где a(v) - текущий радиус-вектор ребра возврата, l(v) - единичный касательный вектор, заданный в каждой точке ребра возврата; координатные линии u совпадают с прямолинейными образующими. У конуса ребро возврата вырождается в точку - вершину конуса, а у цилиндрической поверхности эта точка удаляется на бесконечность. Уравнение торса можно получить, не определяя предварительно уравнений ребра возврата. Если задана пара направляющих кривых r1 = r1(u) и r2 = r2(v) относительно общего полюса О, то, вычислив зависимость v = v(u), уравнение торса можно представить в виде r(u, λ) = r1(u) + λ[r2(v) - r1(u)] = r1(u) + λm(u), где причем угол между координатными линиями u, λ не зависит от параметра λ. Поверхности одинакового ската - это линейчатые поверхности, имеющие постоянный угол между своими прямолинейными образующими и соответствующими главными нормалями плоской направляющей кривой. Надпись: Рис. 1. Классификация аналитических линейчатых поверхностей Надпись: Figure 1. Classification of analytical ruled surfaces Линейчатые поверхности отрицательной гауссовой кривизны называют также косыми линейчатыми поверхностями, или линейчатыми седловыми поверхностями, или неразвертываемыми линейчатыми поверхностями. Приведем определения некоторых косых линейчатых поверхностей, которые можно увидеть в очертаниях промышленных изделий. Определения взяты из энциклопедии [1]. «Поверхность косого перехода - это линейчатая поверхность с тремя направляющими, из которых две - дуги окружностей одинакового радиуса, лежащих в параллельных плоскостях, а третья - прямая линия, перпендикулярная плоскостям окружностей и проходящая через середину отрезка прямой, соединяющего центры этих дуг окружностей. Поверхность косого перехода применяется в архитектуре и строительстве. Поверхность косого клина образовывается движением прямолинейной образующей по трем направляющим, расположенным в параллельных плоскостях, причем две криволинейные направляющие - гладкие кривые, а третья - прямая линия. Эта поверхность используется при создании крыла летательного аппарата. Поверхность дважды косого коноида содержит три направляющие, из которых одна направляющая - кривая линия, а две другие - прямые. Поверхность косого цилиндра образовывается движением прямолинейной образующей по трем криволинейным направляющим. Дважды косой цилиндроид - линейчатая поверхность, образованная при трех направляющих, из которых две - кривые, а третья - прямая линия». 3. Результаты На рис. 1 представлены в графической форме все известные на настоящее время линейчатые поверхности. В тексте статьи даны определения некоторых малоизвестных линейчатых поверхностей, а в списке литературы указаны источники, в которых эти поверхности исследуются, рассматриваются вопросы их применения в реальных сооружениях или изделиях, дается методика определения напряженно-деформируемого состояния оболочек с соответствующими срединными поверхностями. Согласно энциклопедии [1] в научно-технической литературе встречаются описания 34 цилиндрических поверхностей. В некоторых работах цилиндрические поверхности разделяют на цилиндрические поверхности с пространственной направляющей кривой и с плоской направляющей кривой. Последние делят на прямые и наклонные цилиндрические поверхности. Цилиндрические поверхности по-прежнему широко используются на практике [5; 16]. Учитывая, что конические поверхности хорошо известны, конкретные конические поверхности в общую спецификацию также не включены. Например, в энциклопедии [1] перечислены и даны уравнения 20 конических поверхностей. Для сведения приведем отдельную класификацию конических поверхностей, в которой отмечены общепринятые названия конических поверхностей (рис. 2). За образец взята схема, приведенная в работе [5]. Рис. 2. Классификация конических поверхностей Figure 2. Classification of analytical conic surfaces Краткую информацию о существующих методах расчета на устойчивость конических оболочек можно получить из работы [17]. Интересные результаты получены для цилиндрических и конических оболочек различной толщины при помощи программы ABACUS в статье [18]. Заключение В некоторых работах, например [2; 5; 8; 11; 13; 19], предпринимались попытки выяснить наиболее популярные среди архитекторов аналитические поверхности, которые использовались для проектирования форм общественных, жилых и промышленных зданий. Особенно популярно использование аналитических поверхностей в параметрической архитектуре. Параметрическая архитектура - новый стиль в архитектуре, основанный на аналитических методах задания поверхностей, математическом и компьютерном моделировании. Этот стиль сформировался в начале XXI века. Самыми известными архитекторами, работавшими в этом стиле, считаются Заха Хадид и Патрик Шумахер. По-видимому, это связано с увеличивающимся интересом к проектированию объектов нетрадиционных некубических форм. Впервые это явление в архитектуре было отмечено в статье [20]. Н.В. Касьянов [21] подтверждает, что данная тенденция развивается и сегодня. Нетрадиционные аналитические линейчатые поверхности могут найти широкое применение в практике проектирования строительных и машиностроительных объектов, поэтому составление их полной классификации расширит кругозор проектировщиков и даст импульс к наращению их применения. При составлении классификации и в тексте статьи автор старался использовать все встречающиеся аналоги названий конкретных аналитических линейчатых поверхностей. Это вызвано тем, что геометры, архитекторы и машиностроители часто одну и ту же поверхность называют по-разному. Например, резную линейчатую поверхность Монжа с круговой цилиндрической направляющей поверхностью в некоторых работах называют цилиндрической линейчатой ротативной улиткой, иногда она встречается под названием «фрагмент поверхности развертывающегося геликоида» (эвольвентного геликоида, торса-геликоида). Псевдоразвертывающийся геликоид и открытый прямой геликоид - два названия одной и той же линейчатой поверхности отрицательной гауссовой кривизны. В полную классификацию не включены поверхности, в названии которых имеется слово «линейчатые», но они известны только математикам и встречаются в единичных публикациях. Например, это Swallow Surface, линейчатые поверхности Л.С. Понтрягина, Г. Браунера (H. Brauner), ортоидные линейчатые поверхности с постоянным параметром распределения, алгебраическая конгруэнция 4-го порядка 2-го класса Д. Палмана (D. Palman) [1], линейчатые поверхности Петерсона [22] и некоторые другие.

About the authors

Sergey N. Krivoshapko

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

Author for correspondence.
Email: krivoshapko-sn@rudn.ru

DSc, Professor, Professor of the Department of Civil Engineering, Academy of Engineering

6 Miklukho-Maklaya St, Moscow, 117198, Russian Federation

References

Supplementary files