МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИСКРЕТИЗАЦИИ СОЧЛЕНЕННЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК С РАЗЛИЧНЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК МАТЕРИАЛОВ

Полный текст

Конструкции из сочлененных осесимметричных оболочек с различными физико-механическими свойствами материалов, из которых они изготовлены, находят широкое применение в различных отраслях строительства и машино- строения. Анализ напряженно-деформированного состояния (НДС) такого рода конструкций в настоящее время выполняется, в основном, на основе численных методов, в частности метода конечных элементов (МКЭ) [1-8]. Применяемые для этих целей зарубежные вычислительные комплексы типа ANSYS, ABAQUS, NASTRAN и другие используют в криволинейных системах коорди- нат неинвариантную интерполяцию отдельных компонент вектора перемеще- ний как скалярных величин, что приводит в ряде случаев [9, 10] к получению некорректных значений расчетных величин. Поэтому актуальной остается зада- ча создания новых вычислительных алгоритмов, основанных на инвариантной интерполяции полей перемещений как векторных величин. В настоящей работе излагается алгоритм конечно-элементного расчета осесимметрично нагружен- ных сочлененных оболочек с различными значениями физико-механических характеристик материалов на основе инвариантного способа интерполяции по- лей перемещений как векторных величин. 1. Геометрия оболочки Срединная поверхность осесимметричной оболочки описывается радиус- вектором: (1) где - радиус вращения. Орты локального базиса точки срединной поверхности осесимметричной оболочки определяются по формулам: (2) где нижний индекс 1 после запятой обозначает операцию дифференцирования по дуге меридиана . На основании (2) можно сформировать прямую и обратную матричные за- висимости: , (3) где Производные ортонормированного базиса (3) по дуге меридиана могут быть выражены через этот же локальный базис зависимостями: (4) где . Положение точки, отстоящей от срединной поверхности на расстоянии , до и после деформирования определяется радиус-векторами: (5) Входящий в (5) вектор перемещения точки, отстоящей от срединной по- верхности на расстоянии , с учетом гипотезы прямой нормали определяется выражением: (6) где - вектор перемещения точки срединной поверхности; - орт нормали к срединной поверхности в деформированном состоянии. Деформации в точке, отстоящей от срединной поверхности на расстоянии , определяются соотношениями механики сплошной среды [11]: (7) где греческие индексы последовательно принимают значения 1, 2. Входящие в (7) ковариантные компоненты метрического тензора до и по- сле деформирования определяются скалярными произведениями базисных век- торов: (8) где 2. Конечный элемент и интерполяция перемещений В качестве конечного элемента выбирается криволинейный фрагмент ме- ридиана оболочки, выделенный двумя плоскостями перпендикулярными оси , с узлами и . Каждый такой фрагмент для удобства численного интег- рирования отображается на отрезок в локальной системе координат . Столбец узловых варьируемых параметров в локальной и глобальной системах координат выбирается в следующем виде: (9) где ; . Здесь под понимается меридиональная или нормальная компонента вектора перемещения. 3. Варианты интерполяционной процедуры В разработанном алгоритме реализованы два варианта интерполяции пере- мещений. В первом варианте использована общепринятая интерполяция от- дельных компонент вектора перемещения как скалярных величин (10) где - матрица-строка, представленная полиномами Эрмита пятой степени, - матрица перехода от столбца к столбцу . Во втором варианте интерполяционное выражение записывается непосред- ственно для вектора перемещения в следующем виде: (11) где - матрицы - стро- ки векторных узловых неизвестных в локальной и глобальной системах коор- динат; - матрица перехода от столбца к столбцу . Представляя входящие в структуру векторы перемещения узлов и их производные компонентами, отнесенными к узловым локальным базисам: (12) столбец можно представить матричным произведением (13) где Столбец может быть выражен через столбец узловых неизвестных в глобальной системе координат с помощью матричной зависимости (14) С учетом (14) интерполяционное выражение (11) может быть представлено в виде: (15) где матрица определяется из равенства Входящие в узловые орты базисов с помощью (3) могут быть выраже- ны через орты базиса внутренней точки элемента дискретизации (16) С учетом (16) матрица может быть представлена матричной суммой: . (17) Принимая во внимание (17) и представляя вектор перемещения внутренней точки элемента дискретизации компонентами, отнесенными к локальному бази- су этой точки, выражение (15) примет следующий вид: (18) где Сопоставляя левую и правую части (18), можно записать интерполяцион- ные зависимости для компонент векторов перемещения во втором варианте ин- терполяционной процедуры: (19) Сравнивая между собой (10) и (19), можно отметить, что во втором вариан- те каждая компонента вектора перемещения внутренней точки элемента дис- кретизации зависит от узловых значений обеих компонент и их производных, в то время как в первом варианте компонента вектора перемещения зависит от узловых значений только этой же компоненты и не зависит от узловых значе- ний другой компоненты. Кроме того, через соотношение (16) в аппроксими- рующие выражения входят параметры используемой криволинейной системой координат. 4. Условия на границе сочленения n оболочек Для корректного определения НДС сочлененных осесимметричных обо- лочек, столбец узловых неизвестных одной из них на границе сочленения при- нимается за основной. Узловые неизвестные остальных оболочек в узле сочленения должны быть выражены через столбец узловых неизвестных основ- ной оболочки, исходя из кинематических и силовых условий сочленения. Первым кинематическим условием сочленения является инвариантность векторов перемещений n оболочек в узле сочленения: (20) где верхний индекс в скобках указывает на номер оболочки. Для того, чтобы воспользоваться соотношением (20), необходимо векторы локального базиса основной оболочки (например -ой) последовательно выра- зить через орты остальных оболочек (21) где С учетом (21) из (20) могут быть получены выражения (22) Вторым кинематическим условием сочленения является предположение о том, что угол между нормалями к срединным поверхностям сочленяемых оболочек в процессе деформирования остается неизменяемым. Вследствие это- го предположения будут справедливы равенства: (23) где ; . После выполнения скалярного умножения из (23) можно выразить произ- водную нормальной компоненты вектора перемещения через узловые неизвест- ные основной ( -ой) оболочки или с учетом (22): (24) В качестве силового условия сочленения оболочек можно рассмотреть статическое условие равновесия по изгибающим моментам в узле сочленения: (25) Входящие в (23) изгибающие моменты могут быть определены по форму- лам [13] (26) где - модуль упругости, толщина и коэффициент Пуассона - ой оболочки; ?11, ?22 - искривления срединной поверхности. Из равенства (25) с учетом (26) можно получить следующее выражение (27) Учитывая, что [13], из соотношения (27) в узле сочленения можно выразить вторую производную нормальной компонен- ты вектора перемещения -ой оболочки через узловые неизвестные -ой обо- лочки и вторые производные нормальной компоненты векторов перемещений остальных оболочек . (28) Узловые неизвестные и всех сочлененных оболочек в узле сопря- жения остаются свободно варьируемыми. С учетом (22), (24) и (28) формируются матрицы преобразований на которые умножаются матрицы жесткости и столбцы узловых усилий конечных элементов непосредственно примыкающих к узлу сочленения оболочек (29) где , - матрица жесткости и столбец узловых усилий конечного элемента -ой оболочки. 5. Пример расчета В качестве примера была рассчитана оболочечная конструкция, состоящая из цилиндра и сочленённых с ним эллипсоида и сферы, радиусы которых опи- сывались уравнениями: (рис. 1). Рис. 1 Были приняты следующие исходные данные: радиус цилиндра длина цилиндра параметры эллипсоида радиус сферы толщина всех трех оболочек была принята равной ; коэффициент Пуассона Первоначально модуль упругости всех оболочек имел одинаковые значения равные . Цилиндр был загружен внутренним давлением интенсивности эллипсоид и сфера - давлением равным Правый торец цилиндра был шарнирно закреплён. Левые концевые сечения эллипсоида и сферы оставались свободными. Расчеты выполнялись в двух вариантах: в первом варианте при формировании матрицы жесткости была использована общепринятая интерполяция отдельных компонент вектора перемещения как скалярных величин (10); во втором варианте была использована интерполяци- онная процедура, основанная на соотношениях (11) - (19). Результаты повари- антного расчета при одинаковых значениях модуля упругости материала ци- линдра и сочлененных с ним оболочек представлены в таблице 1, в которой приведены значения меридиональных и кольцевых напряжений на на- ружной и внутренней поверхностях оболочек в опорном сечении (А-А), в узле сочленения (В-В), в концевом сечении сферы (С-С) и в концевом сечении эллипсоида (D-D) при различных значениях nэ - числа элементов дискретизации каждой из оболочек. В правой крайней колонке приведены значения напряже- ний на срединной поверхности ?ср, вычисленные исходя из условия равновесия (в опорном сечении) и по формуле Лапласа (в концевых сечениях) [13]: где и - радиусы меридиональной и кольцевой кривизны. Таблица 1 Вариант интерпо- ляции I II Аналити- ческое решение (МПа) Сечение 16 20 24 16 20 24 А-А 92,36 92,36 92,36 92,36 92,365 92,365 92,40 92,40 92,39 92,39 92,38 92,38 92,37 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 В-В 109,8 76,18 115,3 70,09 117,8 67,29 109,8 76,22 115,3 70,12 117,8 67,31 - 152,4 142,4 154,0 140,5 154,8 139,6 152,4 142,4 154,0 140,5 154,8 139,6 - С-С -0,021 -0,009 -0,013 -0,008 -0,009 -0,006 0,004 0,011 0,003 0,007 0,0027 0,0047 0,000 112,2 112,2 112,3 112,3 112,3 112,3 112,9 112,9 112,8 112,8 112,7 112,7 112,5 D-D -0,021 0,061 -0,006 0,035 -0,001 0,022 0,027 0,026 0,016 0,017 0,012 0,013 0,000 84,02 81,81 84,23 82,01 83,37 82,14 85,30 83,04 85,14 82,92 85,04 82,83 83,91 Анализ табличных данных показывает быструю сходимость вычислитель- ного процесса, практическое совпадение параметров НДС в обоих вариантах расчета и соответствие численных значений напряжений значениям, получен- ным аналитическим путем. Если модуль упругости материала цилиндра последовательно уменьшать, то цилиндрическая часть оболочечной конструкции будет становиться все более податливой (модули сочлененных оболочек при этом остаются равными перво- начальному значению ), а сочлененные оболочки под дей- ствием заданной нагрузки получат возможность смещаться как абсолютно твердые тела. Результаты повариантных расчетов при последовательном уменьшении модуля упругости материала цилиндра представлены в таблице 2, в которой приведены численные значения напряжений в зависимости от отношения моду- ля упругости материала цилиндра к модулю сферы (эллипсоида) при . Таблица 2 Вариант интерполяции I II 1,0 0,1 0,01 0,001 1,0 0,1 0,01 0,001 Сечение А-А 92,4 92,4 92,4 92,4 92,4 92,4 92,3 92,3 92,4 92,4 92,4 92,4 92,4 92,4 92,4 92,4 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 225,0 В-В 115,3 70,1 337,7 -151,2 430,2 -243,3 442,2 -255,3 115,3 70,12 337,8 -151,2 430,2 -243,2 442,2 -255,2 154,0 140,5 130,2 -16,52 132,6 -69,5 133,0 -76,2 154,0 140,5 130,2 -16,5 132,6 -69,5 133,0 -76,2 С-С -0,013 -0,008 -0,2 -0,1 -2,1 -0,8 -21,1 -8,0 0,003 0,007 0,003 0,007 0,003 0,007 0,003 0,007 112,3 112,3 108,4 108,0 69,0 64,9 -324,0 -365,0 112,8 112,9 112,7 112,8 112,7 112,8 112,7 112,8 D-D -0,006 0,035 -0,3 0,4 -2,9 3,6 -29,29 35,62 0,016 0,017 0,016 0,017 0,016 0,017 0,016 0,017 84,2 82,0 75,8 73,2 -9,8 -16,2 -863,2 -908,0 85,1 82,9 85,1 82,9 85,1 82,9 85,1 82,9 Как видно из табл. 2, численные значения контролируемых параметров НДС в концевых сечениях сферы и эллипсоида весьма существенно различают- ся между собой в зависимости от варианта расчета. Так, в первом варианте кольцевые напряжения уменьшаются, а затем изменяют свой знак, что недопус- тимо. Меридиональные напряжения, наоборот, увеличиваются, хотя по усло- вию незагруженности концевых сечений в меридиональном направлении, они должны быть равными нулю. Во втором варианте можно наблюдать практиче- ски абсолютную стабильность результатов вычислительного процесса при лю- бых отношениях модулей упругости материала. Данный факт можно объяснить тем, что при использовании второго варианта интерполяционной процедуры производится автоматический учет смещений элемента дискретизации как же- сткого целого в неявной форме за счет изменения как компонент вектора пере- мещения, так и изменения ортов локального базиса внутренней точки конечно- го элемента. Применение общепринятого способа интерполяции отдельных компонент вектора перемещения как скалярных величин в этих случаях приво- дит к неприемлемой погрешности вычислений. Вывод: при построении КЭ модели дискретизации сочлененных осесим- метричных оболочек с различными значениями физико-механических характе- ристик материала необходимо использовать процедуру, основанную на интер- поляции непосредственно вектора перемещения в сочетании с разработанными кинематическими и статическими условиями сочленения.

Об авторах

ЮРИЙ ВАСИЛЬЕВИЧ КЛОЧКОВ

Волгоградский государственный аграрный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: Klotchkov@bk.ru

доктор техн. наук, профессор

400002, Волгоград, пр. Университетский, 26

АНАТОЛИЙ ПЕТРОВИЧ НИКОЛАЕВ

Волгоградский государственный аграрный университет

Email: Klotchkov@bk.ru

доктор техн. наук, профессор

400002, Волгоград, пр. Университетский, 26

ТАТЬЯНА АЛЕКСЕЕВНА КИСЕЛЕВА

Волгоградский государственный аграрный университет

Email: Klotchkov@bk.ru

кандидат техн. наук, доцент

400002, Волгоград, пр. Университетский, 26

А С АНДРЕЕВ

Волгоградский государственный аграрный университет

Email: Klotchkov@bk.ru

аспирант, ассистент

400002, Волгоград, пр. Университетский, 26

Список литературы