О вычислении размерности инвариантных множеств динамических систем

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

В работе рассматриваются численные подходы к оценке размерности инвариантных множеств, на которые навиваются траектории динамических систем: методы расчёта фрактальной и корреляционной размерности. Классическая фрактальная размерность становится вычислительно трудоёмкой при работе с пространствами размерности выше двух, тогда как корреляционная размерность представляет собой более эффективную альтернативу. Разработан и реализован вычислительный метод для оценки корреляционной размерности больших дискретных наборов точек, полученных в результате численного интегрирования дифференциальных уравнений. Отмечена аналогия данного подхода с методом Ричардсона--Калиткина для оценки погрешности численного метода. Предложенный метод протестирован на двух характерных примерах: консервативной системе, чья орбита лежит на двумерном торе, и системе Лоренца --- классическом примере хаотической система с нецелой размерностью аттрактора. В обоих случаях полученные оценки корреляционной размерности согласуются с теорией и ранее опубликованными результатами. Разработанное программное обеспечение послужит эффективным инструментом для анализа инвариантных многообразий динамических систем и подходит для дальнейших исследований, в особенности для компьютерных экспериментов с использованием обратимых разностных схем, а также для систем высокой размерности.

Об авторах

В. М. Кадров

Российский университет дружбы народов

Email: vmkadrov@yandex.ru
ORCID iD: 0009-0008-9394-4874

Student of Department of Computational Mathematics and Artificial Intelligence

Россия, ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Российская Федерация

М. Д. Малых

Российский университет дружбы народов; Объединённый институт ядерных исследований

Автор, ответственный за переписку.
Email: malykh-md@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0001-6541-6603
Scopus Author ID: 6602318510
ResearcherId: P-8123-2016

—

Россия, ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Российская Федерация; ул. Жолио-Кюри, д. 6, Дубна, 141980, Российская Федерация

Список литературы

  1. Malykh, M., Gambaryan, M., Kroytor, O. & Zorin, A. Finite Difference Models of Dynamical Systems with Quadratic Right-Hand Side. Mathematics 12, 167. doi: 10.3390/math12010167 (2024).
  2. Mandelbrot, B. B. The Fractal Geometry of Nature en (Henry Holt and Company, 1983).
  3. Rössler, O. E. Chaos in abstract kinetics: Two prototypes. Bulletin of Mathematical Biology 39, 275–289. doi: 10.1016/S0092-8240(77)80015-3 (1977).
  4. Thompson, J. M. T. Chaos, fractals and their applications. International Journal of Bifurcation and Chaos 26. Publisher: World Scientific, 1630035 (2016).
  5. Магницкий, Н. А. Теория динамического хаоса ru (УРСС, 2011).
  6. Kannathal, N., Acharya, U. R., Lim, C. & Sadasivan, P. Characterization of EEG—A comparative study. Computer Methods and Programs in Biomedicine 80, 17–23. doi: 10.1016/j.cmpb.2005.06.005 (2005).
  7. Broock, W. A., Scheinkman, J. A., Dechert, W. D. & LeBaron, B. A test for independence based on the correlation dimension. Econometric Reviews 15, 197–235. doi: 10.1080/07474939608800353. eprint: https://doi.org/10.1080/07474939608800353 (1996).
  8. Krakovská, A. Correlation Dimension Detects Causal Links in Coupled Dynamical Systems. Entropy 21. doi: 10.3390/e21090818 (2019).
  9. Liu, Z. Chaotic time series analysis. Mathematical Problems in Engineering 2010. doi:10.1155/ 2010/720190 (Apr. 2010).
  10. Grassberger, P. & Procaccia, I. Measuring the strangeness of strange attractors. Physica D: Nonlinear Phenomena 9, 189–208. doi: 10.1016/0167-2789(83)90298-1 (1983).
  11. JI, C., ZHU, H. & JIANG, W. Influence of sampling length and sampling interval on calculating the fractal dimension of chaotic attractors. International Journal of Bifurcation and Chaos 22, 1250145. doi: 10.1142/S0218127412501453 (2012).
  12. Kalitkin, N. N., Al’shin, A. B., Al’shina, E. A. & Rogov, B. V. Calculations on quasi-uniform grids In Russian (Fizmatlit, Moscow, 2005).
  13. Belov, A. A., Kalitkin, N. N. & Poshivaylo, I. P. Geometrically adaptive grids for stiff Cauchy problems. Doklady Mathematics 93, 112–116. doi: 10.1134/S1064562416010129 (2016).
  14. Belov, A. A. & Kalitkin, N. N. Nonlinearity Problem in the Numerical Solution of Superstiff Cauchy Problems. Mathematical Models and Computer Simulations 8, 638–650. doi:10.1134/ S2070048216060065 (2016).
  15. Belov, A. A., Kalitkin, N. N., Bulatov, P. & K., Z. E. Explicit methods for integrating stiff Cauchy problems. Doklady Mathematics 99, 230–234. doi: 10.1134/S1064562419020273 (2019).
  16. Baddour, A., Gambaryan, M., Gonzalez, L. & Malykh, M. D. On Implementation of Numerical Methods for Solving Ordinary Differential Equations in Computer Algebra Systems. Program. Comput. Soft. 49, 412–422. doi: 10.1134/S0361768823020044 (2023).
  17. Mori, H. & Fujisaka, H. Statistical Dynamics of Chaotic Flows. Progress of Theoretical Physics 63, 1931–1944. doi: 10.1143/PTP.63.1931. eprint: https://academic.oup.com/ptp/articlepdf/63/6/1931/5222197/63-6-1931.pdf (June 1980).
  18. Viswanath, D. V. K. The fractal property of the Lorenz attractor. Physica D: Nonlinear Phenomena 190, 115–128 (2004).
  19. Smith, L. A. Intrinsic limits on dimension calculations. Physics Letters A 133, 283–288. doi:10. 1016/0375-9601(88)90445-8 (1988).
  20. Nerenberg,M.A. H.&Essex, C. Correlation dimension and systematic geometric effects. Physical review. A, Atomic, molecular, and optical physics 42 12, 7065–7074 (1990).

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Кадров В.М., Малых М.Д., 2025

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.