Student of Department of Computational Mathematics and Artificial Intelligence
DSc., Head of Department of Computational Mathematics and Artificial Intelligence of RUDN University;
Senior Researcher of Joint Institute for Nuclear Research
—
This work investigates numerical approaches for estimating the dimension of invariant sets onto which the trajectories of dynamic systems ``wind'', with a focus on fractal and correlation dimensions. While the classical fractal dimension becomes computationally challenging in spaces of dimension greater than two, the correlation dimension offers a more efficient and scalable alternative. We develop and implement a computational method for evaluating the correlation dimension of large discrete point sets generated by numerical integration of differential equations. An analogy is noted between this approach and the Richardson--Kalitkin method for estimating the error of a numerical method. The method is tested on two representative systems: a conservative system whose orbit lies on a two-dimensional torus, and the Lorenz system, a canonical example of a chaotic flow with a non-integer attractor dimension. In both cases, the estimated correlation dimensions agree with theoretical predictions and previously reported results. The developed software provides an effective tool for analysing invariant manifolds of dynamical systems and is suitable for further studies, including those involving reversible difference schemes and high-dimensional systems.
В работе рассматриваются численные подходы к оценке размерности инвариантных множеств, на которые навиваются траектории динамических систем: методы расчёта фрактальной и корреляционной размерности. Классическая фрактальная размерность становится вычислительно трудоёмкой при работе с пространствами размерности выше двух, тогда как корреляционная размерность представляет собой более эффективную альтернативу. Разработан и реализован вычислительный метод для оценки корреляционной размерности больших дискретных наборов точек, полученных в результате численного интегрирования дифференциальных уравнений. Отмечена аналогия данного подхода с методом Ричардсона--Калиткина для оценки погрешности численного метода. Предложенный метод протестирован на двух характерных примерах: консервативной системе, чья орбита лежит на двумерном торе, и системе Лоренца --- классическом примере хаотической система с нецелой размерностью аттрактора. В обоих случаях полученные оценки корреляционной размерности согласуются с теорией и ранее опубликованными результатами. Разработанное программное обеспечение послужит эффективным инструментом для анализа инвариантных многообразий динамических систем и подходит для дальнейших исследований, в особенности для компьютерных экспериментов с использованием обратимых разностных схем, а также для систем высокой размерности.