О реализации явных схем Рунге-Кутты с сохранением квадратичных инвариантов динамических систем

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Авторами реализовано несколько явных схем Рунге-Кутты, которые сохраняют квадратичные инварианты автономных динамических систем в Sage. В статье представлен пакет ex.sage и результаты численных экспериментов. В пакете функции rrk_solve, idt_solve и project_1 построены для случая, когда только один заданный квадратичный инвариант будет сохранён точно. Функция phi_solve_1 позволяет сохранить одновременно два указанных квадратичных инварианта. Для решения уравнений относительно параметров, определяемых законом сохранения, использована методика исключения на основе базисов Грёбнера, реализованная в Sage. В качестве тестового примера представленного пакета используется эллиптический осциллятор. Эта динамическая система имеет два квадратичных инварианта. Представлены численные результаты сравнения стандартного явного метода Рунге-Кутты RK(4,4) с rrk_solve. Кроме того, для функций rrk_solve и idt_solve, сохраняющих только один инвариант, исследовано изменение второго квадратичного инварианта эллиптического осциллятора. В заключение рассматриваются недостатки использования этих схем.

Полный текст

1. Quadratic invariant and conservative RK scheme One of most widespread mathematical models is an autonomous system of ordinary differential equations, i.e., the system of the form ⎧{

×

Об авторах

Юй Ин

Университет Кайли

Автор, ответственный за переписку.
Email: yingy6165@gmail.com

Assistant Professor of Department of Algebra and Geometry

Кайли, 556011, Китай

М. Д. Малых

Российский университет дружбы народов

Email: malykh_md@pfur.ru

doctor of Physical and Mathematical Sciences, Assistant Professor of Department of Applied Probability and Informatics

ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Россия

Список литературы

  1. A. Goriely, Integrability and nonintegrability of dynamical systems. Singapore; River Edge, NJ: World Scientific, 2001. doi: 10.1142/3846.
  2. J. C. Butcher, “On Runge-Kutta processes of high order,” Journal of the Australian Mathematical Society, vol. 4, no. 2, pp. 179-194, 1964. doi: 10.1017/S1446788700023387.
  3. E. Hairer, G. Wanner, and S. P. Nørsett, Solving ordinary differential equations I: Nonstiff Problems, 3rd ed. New York: Springer, 1993, vol. 1. doi: 10.1007/978-3-540-78862-1.
  4. K. Burrage and J. C. Butcher, “Stability criteria for implicit Runge- Kutta methods,” SIAM Journal on Numerical Analysis, vol. 16, no. 1, pp. 46-57, 1979. doi: 10.1137/0716004.
  5. G. Cooper, “Stability of Runge-Kutta methods for trajectory problems,” IMA journal of numerical analysis, vol. 7, no. 1, pp. 1-13, 1987. doi: 10.1093/imanum/7.1.1.
  6. E. Hairer, G. Wanner, and C. Lubich, Geometric numerical integration. Structure-preserving algorithms for ordinary differential equations. Berlin Heidelberg New York: Springer, 2000.
  7. J.-M. Sanz-Serna and M.-P. Calvo, Numerical hamiltonian problems. Courier Dover Publications, 2018.
  8. H. Zhang, X. Qian, J. Yan, and S. Song, “Highly efficient invariantconserving explicit Runge-Kutta schemes for nonlinear Hamiltonian differential equations,” Journal of Computational Physics, p. 109 598, 2020.
  9. W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, et al., Numerical recipes. Cambridge University Press Cambridge, 1989.
  10. N. Del Buono and C. Mastroserio, “Explicit methods based on a class of four stage fourth order Runge-Kutta methods for preserving quadratic laws,” Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 140, pp. 231-243, 2002. doi: 10.1016/S0377-0427(01)00398-3.
  11. M. Calvo, D. Hernández-Abreu, J. I. Montijano, and L. Rández, “On the preservation of invariants by explicit Runge-Kutta methods,” SIAM Journal on Scientific Computing, vol. 28, no. 3, pp. 868-885, 2006. doi: 10.1137/04061979X.
  12. Y. Ying. (2020). “Package ex.sage,” [Online]. Available: https://malykhmd.neocities.org.
  13. Y. S. Sikorsky, Elements of the theory of elliptic functions with applications to mechanics [Elementy teoriy ellipticheskikh funktsiy s prilozheniyami v mekhanike]. Moscow-Leningrad: ONTI, 1936, In Russian.
  14. D. Cox, J. Little, D. O’Shea, and M. Sweedler, “Ideals, varieties, and algorithms,” American Mathematical Monthly, vol. 101, no. 6, pp. 582- 586, 1994.
  15. The Sage Developers, Sagemath, the Sage Mathematics Software System (Version 7.4), https://www.sagemath.org, 2016.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Ин Ю., Малых М.Д., 2020

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.