Analysis of the Feasibility of Analytical and Numerical Superposition of Nonlinear Load-Deflection Curves of Helical Wire-Rope Vibration Isolators

Full Text

Введение Спирально-тросовые виброизоляторы представляют собой класс технических устройств, широко применяемых в системах защиты от динамических воздействий. Основной характеристикой этих устройств являются экспериментально получаемые паспортные нагрузочные диаграммы, выражающие взаимосвязь нагрузки (силы) F, приложенной к одной из планок, и перемещения s этой планки в направлении действия нагрузки. Нагрузочные диаграммы являются характеристикой жесткости виброизолятора и, как правило, получаются для 2-4 (гораздо реже для 6) направлений действия нагрузки, лежащих преимущественно в одной, реже в двух или трех плоскостях. То есть нагрузочные диаграммы имеются для весьма ограниченного числа направлений действия сил. Практически важным для инженерного проектирования систем защиты от динамических воздействий представляется получение нагрузочных диаграмм виброизоляторов для произвольного направления действия силы. Ранее была предпринята попытка синтеза диаграмм для произвольного направления действия силы путем интерполяции паспортных (экспериментальных) и расчетных диаграмм, полученных с использованием линеаризованной трехмерной модели виброизолятора [1]. В развитие этих результатов в настоящей работе рассматривается более общий подход, основанный на качественных оценках степени нелинейности нагрузочных диаграмм, оценке возможности применения принципа суперпозиции и использовании аналитических расчетов и численного моделирования виброизолятора пространственной системой пружин. Предпосылкой исследования возможности применения принципа суперпозиции для расчетного построения нагрузочных диаграмм при произвольном направлении действия нагрузки по имеющемуся ограниченному набору паспортных нагрузочных диаграмм является тот факт, что во многих случаях нагрузки, приложенные по некоторым направлениям, могут быть выражены геометрической суммой проекций силы на оси, соответствующие другим направлениям нагрузки. Согласно принципу суперпозиции результирующий эффект от нескольких независимых воздействий представляет собой сумму эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдельности [2]. Известны многочисленные случаи успешного использования этого принципа для решения прикладных задач [3-6]. Область его применения ограничивается тем, что его справедливость обоснована только для линейных систем, при наличии нелинейности любой природы принцип суперпозиции формально неприемлем [2]. Однако использование принципа суперпозиции настолько практически эффективно, что выполняются исследования, направленные на оценку погрешности решения, полученного путем суперпозиции для нелинейных задач [7-10]. Они основаны на идее, что в случае слабой нелинейности суперпозиция решений предположительно приведет к небольшой ошибке, и при возможности оценки и контроля этой ошибки применение принципа суперпозиции может быть практически оправданно. При этом возникает вопрос об оценке степени нелинейности рассматриваемой системы. В рамках формального, строго математического подхода в наиболее общем случае в качестве характеристики степени нелинейности рассматриваются показатели степени уравнений, описывающих модель системы [11-14]. При анализе степени нелинейности регрессионных моделей учитываются их монотонность или наличие экстремумов, суммарное число экстремумов и перегибов, наличие либо отсутствие асимптоты и другие характеристики [15]. С этих позиций представляется актуальным анализ нелинейности нагрузочных диаграмм спирально-тросовых виброизоляторов и возможности применения принципа суперпозиции для их вычисления при произвольном направлении действия нагрузки. Гипотеза настоящего исследования заключается в том, что степень нелинейности, характерная для тросовых виброизоляторов, не препятствует построению расчетных нагрузочных диаграмм с использованием принципа суперпозиции с практически приемлемой погрешностью. При этом степень нелинейности будет оцениваться преимущественно качественно по внешнему виду нагрузочных диаграмм. Постановка задачи включает в себя разработку алгоритмов аналитического и численного получения нагрузочной диаграммы при статическом нагружении тросового виброизолятора по произвольному направлению путем суперпозиции имеющихся паспортных нагрузочных диаграмм, а также оценку погрешности результатов, полученных с использованием этих алгоритмов. 1. Анализ степени нелинейности паспортных нагрузочных диаграмм В качестве исходных данных для анализа использованы паспортные нагрузочные диаграммы из размещенных в открытом доступе в сети Internet каталогов продукции ведущих производителей тросовых виброизоляторов: Hutchinson Stop-Сhoc GmbH (Германия), Socitec (Франция), Enidine (США), Wuxi Hongyuan Devflex Co. Ltd (Китай), Астрон (Россия), Виброника (Россия), ИНМОР (Россия)[21]. Для возможности многовариантного компьютерного анализа часть этих диаграмм оцифрована и представлена в виде электронных таблиц. Оцифрованы нагрузочные диаграммы 11 типоразмеров виброизоляторов компании Виброника, 27 типоразмеров виброизоляторов компании Астрон, 5 типоразмеров виброизоляторов корпорации Hutchinson, 90 типоразмеров виброизоляторов компании Enidine. Качественный анализ рассматриваемого массива нагрузочных диаграмм позволил установить следующие их характерные особенности. Графики нагрузочных диаграмм всегда мо-нотонны и преимущественно нелинейны, причем во многих случаях значительные фрагменты графиков визуально близки к линейным. Существенным для целей настоящего исследования является тенденция изменения характера нелинейности диаграмм в зависимости от максимальной расчетной нагрузки на виброизолятор (грузоподьемности). Проиллюстрируем это положение на примере нагрузочных диаграмм трех типоразмеров виброизоляторов компании Астрон (рис. 1). Для виброизолятора ВМТ-04-01 с максимальной нагрузкой до 90 Н диаграммы для всех схем нагружения существенно нелинейны, для виброизолятора ВМТ-350 с максимальной нагрузкой до 4000 Н одна диаграмма существенно нелинейна, две могут считаться слабо нелинейными, для виброизолятора ВМТ-700 с максимальной нагрузкой до 14000 Н все три диаграммы практически линейны. Для конкретизации дальнейших рассуждений выбран модельный объект - тросовый виброизолятор ВМТ-350, являющийся типичным по конструкции и характеру нагрузочных диаграмм представителем рассматриваемого класса технических устройств и характеризующийся диаграммами различной степени нелинейности. Невыполнение гипотезы исследования для этого виброизолятора будет как ее опровержением для всего класса тросовых виброизоляторов, так и основанием определения направлений дальнейших исследований. Визуально нелинейность заметно выражена у кривой 1, кривые 2 и 3 близки к линейным (рис. 1, в). Выполнена аппроксимация оциф-рованных графиков нагрузочных диаграмм различными вариантами степенных полиномов с оценкой коэффициента детерминации , характеризующего долю дисперсии зависимой переменной, объясняемую независимой пере-менной. Высокая точность аппроксимации достигнута уже при третьей степени полинома. Соответствующие выражения для кривых 1-3 имеют вид , (1) , (2) , (3) а б в г Рис. 1. Нагрузочные диаграммы виброизоляторов Астрон разных типоразмеров (по данным Астрон: https://dempfer.ru): а - схемы нагружения; б - ВМТ-04-01; в - ВМТ-350; г - ВМТ-700 И с т о ч н и к: выполнено С.В. Дорониным, Е.М. Рейзмунт, Ю.Ф. Филипповой. Figure 1. Load-Deflection Curves for Astron Vibration Isolators of Various Standard Sizes (based on Astron data: https://dempfer.ru) а - load diagrams; б - VMT-14-01; в - VMT-350; г - VMT-700 S o u r c e: by S.V. Doronin, E.M. Reizmunt, Yu.F. Filippova. Таким образом, уже при третьей степени аппроксимирующего полинома более 99 % дисперсии прикладываемой силы F объясняется дисперсией перемещений s. Это косвенно свидетельствует об умеренной степени нелинейности нагрузочных диаграмм и является предпосылкой попытки применения принципа суперпозиции с обязательной оценкой погрешности получаемого результата. Отметим, что в практических расчетах часто бывает удобно вместо прямой формы записи выражения нагрузочной диаграммы в виде использовать соответствующую обратную функцию . Определяя силы в зависимости от перемещения или перемещения по значениям силы, имеем дело с разными формализациями нагрузочной диаграммы. 2. Суперпозиция нагрузочной диаграммы с помощью аналитического расчета Для оценки погрешности суперпозиции необходимы как минимум три паспортные нагрузочные диаграммы: две, на основании которых будет получена расчетная диаграмма как результат суперпозиции, и третья - с направлением действия нагрузки, идентичным таковому для расчетной. Сравнение двух последних диаграмм позволит судить о погрешности суперпозиции. Рассмотрим в качестве примера получение нагрузочной диаграммы для случая сжатия под углом 45° с помощью суперпозиции нагрузочных диаграмм для случаев сжатия и сдвига. Сила , сжимающая виброизолятор под углом 45°, может быть разложена на силы и , вызывающие деформации соответственно сжатия и сдвига (рис. 2): . Перемещения, вызываемые силами , и , вдоль направления действия сил, определяются нагрузочными диаграммами , индивидуальными для каждого направления (, , ). Для вычисления собственно перемещений по значениям приложенных сил необ-ходимо получить функции , обратные к нагрузочным диаграммам . Тогда проекции перемещений, вызванных силой на оси X, Y принятой системы координат (рис. 2), и суммарные перемещения составляют ; ; . (4) Рис 2.PNG Рис. 2. Разложение силы на составляющие И с т о ч н и к: выполнено С.В. Дорониным, Е.М. Рейзмунт, Ю.Ф. Филипповой. Figure 2. Resolution of force into components S o u r c e: by S.V. Doronin, E.M. Reizmunt, Yu.F. Filippova. Для сил и соответствующие перемещения из геометрических соображений составляют: ; ; (5) . (6) Суммарные перемещения, вызванные совместным действием сил и , в соответствии с принципом суперпозиции составляют: (7) Таким образом, перемещения получены в результате суммирования перемещений при независимом действии сил и . В силу нелинейности нагрузочных диаграмм величина не должна быть точно равна перемещению при действии силы . Сравнение значений и позволяет получить оценку погрешности суперпозиции для каждой точки нагрузочной диаграммы. Конкретизируем эти построения для наг-рузочных диаграмм виброизолятора ВМТ-350 (рис. 1, в). На основании оцифрованных графиков нагрузочных диаграмм путем аппроксимации получены функции , обратные к выражениям соответственно (1)-(3): (8) (9) (10) Зададимся значением Н, тогда Н. Подставляя в (4) с учетом (9), получим мм. Значения F1 при подстановке в (5) с учетом (8) дают мм, мм. Подстановка в (6) с учетом (10) приводит к значениям мм. Тогда суммарные перемещения от действия сил и в соответствии с (7) составляют Сравнивая мм и мм, видим, что смещения, полученные в результате суперпозиции нагрузочных диаграмм по нап-равлениям сжатия и сдвига, оказываются боль-ше смещений, соответствующих паспортной нагрузочной диаграмме для сжатия под углом 45º, на 9 % Величину (11) можно считать оценкой погрешности суперпозиции, выражающей отношение длин векторов перемещений. Отметим, что векторы и совпадают по направлению, однако векторы перемещений и по направлению не совпадают. Проекция перемещения на ось Y меньше перемещения на 11% , а угол между векторами и составляет (рис. 3). Угол можно интерпретировать как угловую оценку погрешности суперпозиции. Рис 3.PNG Рис. 3. Схема расчетных перемещений И с т о ч н и к: выполнено С.В. Дорониным, Е.М. Рейзмунт, Ю.Ф. Филипповой. Figure 3. Diagram of calculated displacements S o u r c e: by S.V. Doronin, E.M. Reizmunt, Yu.F. Filippova. Результаты аналогичных расчетов, выполненных для всего диапазона рабочих усилий (за исключением области малых значений), показаны на рис. 4. Как видно, абсолютная оценка погрешности меняется в широком диапазоне (в том числе меняет знак): от -6 до 25 % с максимумом при нагрузке, составляющей примерно 0,3 от наибольшего значения. Угловая оценка погрешности находится в диапазоне 24-36°. Поскольку все расчеты выполнены аналитически, полученные результаты иллюстрируют погрешность именно применения принципа суперпозиции к конкретной нелинейной задаче (погрешности округления пренебрежимо малы). Рис. 4. Оценки погрешности аналитической суперпозиции нагрузочных диаграмм И с т о ч н и к: выполнено С.В. Дорониным, Е.М. Рейзмунт, Ю.Ф. Филипповой. Figure 4. Error Estimates for Analytical Superposition of Load-Deflection Curves S o u r c e: by S.V. Doronin, E.M. Reizmunt, Yu.F. Filippova. Рассматриваемые результаты получены для трех нагрузочных диаграмм, отличающихся направлением действия нагрузки с шагом 45° (0° - сжатие, 45° - сжатие под углом 45°, 90° - сдвиг). Аналогичные построения можно выполнить для любых виброизоляторов и любых трех паспортных нагрузочных диаграмм независимо от углов приложения нагрузки. 3. Суперпозиция нагрузочной диаграммы с использованием численной модели виброизолятора в виде системы пружин Ранее выполнено исследование погрешности модели тросового виброизолятора в виде системы взаимно перпендикулярных пружин [16]. Научно-методический интерес представляет реализация принципа суперпозиции с помощью этой модели для оценки взаимодействия (нарастания или взаимного поглощения) погрешностей и самого принципа суперпозиции и модели виброизолятора в виде системы пружин. Рассмотрим модели виброизолятора в виде нелинейных пружин (рис. 5), углы между осями которых составляют 45°: одна модель представлена пружиной 2 и имитирует работу виброизолятора при сжатии под углом 45°, другая включает систему взаимно перпендикулярных пружин 1 и 3. Построение расчетной нагрузочной диаграммы путем суперпозиции паспортных диаграмм пружин 1 и 3, сравнение этой расчетной диаграммы с паспортной для пружины 2 позволит оценить погрешность суперпозиции. Жесткости пружин 1, 2 и 3 заданы нагрузочными диаграммами (1)-(3) соответственно. Тогда, рассматриваемые независимо друг от друга, пружина 1 деформируется по схеме «сжатие», пружина 2 - «сжатие 45°», пружина 3 - «сдвиг» (см. рис. 1, а). Рис 5.PNG Рис. 5. Модели виброизолятора в виде системы пружин И с т о ч н и к: выполнено С.В. Дорониным, Е.М. Рейзмунт, Ю.Ф. Филипповой. Figure 5. Spring-System Models of the Vibration Isolator S o u r c e: by S.V. Doronin, E.M. Reizmunt, Yu.F. Filippova. Анализ выполняется в следующей последовательности. Вначале деактивируются (исключаются из расчетной схемы) пружины 1 и 3, а пружина 2 растягивается силой F2 переменной величины вдоль оси пружины. Получаемые результаты, очевидно, полностью идентичны нагрузочной диаграмме 2 (кривая 2 на рис. 1, в). Далее рассматривается совместная работа пружин 1 и 3 (деактивируется пружина 2). Силы F1 и F3 определяются проекциями силы F2 на осевые линии пружин 1 и 3. Последовательно определяются, а затем суммируются смещения системы двух пружин при независимом действии сил F1 и F3 (реализация принципа суперпозиции). Сравнение смещений при нагружении пружины 2 силой F2 и системы пружин 1 и 3 силами F1 и F3 позволяет оценить погрешность суперпозиции нагрузочной диаграммы с использованием численной модели виброизолятора в виде системы пружин. Полученные оценки погрешности численной суперпозиции нагрузочных диаграмм показывают (рис. 6), что погрешность длины вектора перемещений ∆s находится в диапазоне -15…13 %, а угловая оценка погрешности составляет от 30 до 47 %. Рис. 6. Оценки погрешности численной суперпозиции нагрузочных диаграмм И с т о ч н и к: выполнено С.В. Дорониным, Е.М. Рейзмунт, Ю.Ф. Филипповой. Figure 6. Error Estimates for Numerical Superposition of Load-Deflection Curves S o u r c e: made by S.V. Doronin, E.M. Reizmunt, Yu.F. Filippova. 4. Анализ и сопоставление результатов При сравнении результатов оценки погрешностей аналитической (см. рис. 4) и численной (рис. 6) суперпозиции нагрузочных диаграмм виброизолятора ВМТ-350 можно отметить следующие закономерности. Угловая оценка погрешности α преимущественно возрастает с увеличением нагрузки F, однако численная суперпозиция приводит к монотонному росту α, а аналитическая суперпозиция демонстрирует слабовыраженный максимум в области высоких значений нагрузки. Количественное значение угловой оценки погрешности всегда больше для численной суперпозиции. Оценка погрешности длины вектора перемещений демонстрирует наличие экстремума в узком диапазоне нагрузок (~600-700 Н), но аналитическая суперпозиция приводит к максимуму, а численная - к минимуму. По абсолютной величине наибольшие значения погреш-ности длины вектора перемещений при аналитической и численной суперпозиции примерно равны и составляют порядка 25 %. Результаты суперпозиции могут быть как больше, так и меньше данных паспортной нагрузочной диаграммы. Тогда в соответствии с (11) знак может быть как положительным , так и отрицательным . Из рис. 4 и 6 следует, что в большей части диапазона нагрузок аналитическая суперпозиция приводит к завышенным, а численная - к заниженным оценкам перемещений. Ранее получены оценки погрешности модели тросового виброизолятора в виде системы взаимно перпендикулярных пружин [16]: расчетные перемещения по разным направлениям приложения нагрузки оказывались заниженными по сравнению с данными паспортных диаграмм до 19-33 %. Сравнивая эти оценки с результатами аналитической и численной суперпозиции, можно предположить, что погрешность собственно принципа суперпозиции и погрешность пружинной модели виброизолятора, имея противоположные знаки, частично компенсируют друг друга. В целом и при аналитической, и при численной суперпозиции оценки погрешности неприемлемо велики и составляют десятки процентов: для угловой оценки во всем диапазоне рассматриваемых нагрузок, для длины вектора перемещений - в большей части этого диапазона. Заключение Как известно, между подтверждением и опровержением гипотезы не существует симметрии: подтверждающие гипотезу частные случаи только повышают вероятность ее справедливости, а единственный не подтверждающий случай достаточен для ее опровержения. Таким образом, для частного случая виброизолятора ВМТ-350 с условно умеренной степенью нелинейности получение расчетных нагрузочных диаграмм путем суперпозиции нескольких паспортных приводит к неприемлемо большой погрешности результата и в общем случае не может быть рекомендовано к практическому применению. Однако нельзя исключить существования подкласса виброизоляторов, рассчитанных на большую нагрузку, с незначительным уровнем нелинейности нагрузочных диаграмм, для которых принцип суперпозиции окажется практически применим и оправдан.

About the authors

Sergey V. Doronin

Federal Research Center for Information and Computational Technologies

Author for correspondence.
Email: mr.svdoronin@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-5256-3871
SPIN-code: 9816-9080

PhD in Technical Sciences, leading researcher of Laboratory of Computational Mechanics and Risk Analysis

a/z 25515 Krasnoyarsk, 660000, Russian Federation

Elena M. Reizmunt

Federal Research Center for Information and Computational Technologies

Email: e.sigova@gmail.com
ORCID iD: 0000-0003-1631-893X
SPIN-code: 4397-1569

PhD in Technical Sciences, Senior Researcher of Laboratory of Computational Mechanics and Risk Analysis

a/z 25515 Krasnoyarsk, 660000, Russian Federation

Yulia F. Filippova

Federal Research Center for Information and Computational Technologies

Email: filippovajf@ict.nsc.ru
ORCID iD: 0000-0001-7452-2096
SPIN-code: 7778-5327

PhD in Technical Sciences, Researcher of Laboratory of Computational Mechanics and Risk Analysis

a/z 25515 Krasnoyarsk, 660000, Russian Federation

References

Supplementary files