Exact Partial Solution in a Form of Convex Tetragons Interacting According to the Arbitrary Law for Four Bodies

Full Text

Введение Классики небесной механики, в частности Л. Эйлер[8] и Дж. Лагранж[9][10], доказали существование в неинтегрируемой общей задаче трех взаимодействующих по закону притяжения Ньютона тел-точек (то есть в ее классическом варианте) точных частных решений - треугольных (лагранжевых) и прямолинейных (эйлеровых). Позже Лаплас[11] доказал, что и прямоугольные и треугольные решения в этой задаче существуют не только в классическом случае ньютоновского притяжения, но и при произвольном законе взаимодействия, зависящем кроме масс тел лишь от расстояний между телами (точками). Поэтому треугольные решения задачи трех тел в случае отличия закона взаимодей ствия от ньютоновского называются также лапласовыми. Что касается проблемы устойчивости вышеупомянутых решений, то ее решением занимался не только сам Лаплас, но и несколько последователей этой теории, наиболее известными из которых были Лиувилль [1] и Раус [2]. Последний внес в теорию наибольший вклад с точки зрения математической формализации задачи, обобщив критерий устойчивости треугольных решений в задаче трех тел M ,m m, ′ , для закона притяжения пропорционального 1/ r2 , рассмотренного ранее на случай закона взаимодействия, пропорционального 1/ rк . Затем, при упрощающих предположениях, что рассматриваемый треугольник можно принять как равносторонний и угол между его сторонами близок к π/3, а также считая массу M =1 неподвижной, Раус вывел уравнения движения двух остальных тел m m, ′ относительно тела M . В трудах было отмечено, что предложенные переменные и система уравнений задачи трех тел имеют заметные преимущества перед системой уравнений движения, записываемой относительно центра масс системы. Далее А.М. Ляпунов [3] развил метод Рауса, сняв упомянутые упрощающие предположения, но сохранив подход к выводу системы уравнений движения и основную часть обозначений. Переменные и форма уравнений движения оказались весьма удобными, многими использовались и получили название уравнений и переменных Ляпунова или Рауса - Ляпунова. В 1960-1970 гг. к проблеме обобщения классических задач небесной механики, под которыми здесь будут пониматься варианты, в которых не предполагается выполнение третьей аксиомы механики (действие в системе взаимодействующих тел не равно противодействию), обратился Г.Н. Дубошин [4]. Сначала им рассмотрен случай, когда каждые две точки взаимодействуют по особому закону и предполагается, что третья аксиома механики выполнена. Доказано, что лагранжевы решения в задаче трех тел существуют только в случае единого для всех трех тел (однако произвольного) закона взаимодействия, в то время как эйлеровы решения могут существовать и в случае трех различных законов взаимодействия. Далее Г.Н. Дубошин рассмотрел наиболее общий случай, при котором действующие между тремя телами силы определяются шестью произвольными функциями и, таким образом, третья аксиома динамики не считалась выполненной. Проанализированы различные варианты действующих сил и случаи, когда системы соответствующих уравнений допускают частные решения. Однако с конца XIX в. начались поиски новых частных решений, подобных упомянутым эйлеровым, лагранжевым и лапласовым решениям в общей задаче трех тел [5-7], а именно в общих задачах 4-х [8], 5-ти [9-11], …, n тел [12-14]. Были найдены строгие частные решения центральных конфигураций [15-17]. В перечисленных публикациях использовались уравнения движения в барицентрических или гелиоцентрических относительных вращающихся системах координат, что являлось вполне естественным, и в большинстве из перечисленных публикаций рассматривался лишь закон притяжения Ньютона. 1. Уравнения движения в общей задаче четырех тел в форме Рауса - Ляпунова Воспользуемся подходом и уравнениями Рауса - Ляпунова, использованными ими в общей задаче трех тел [2; 3]. Уравнения и переменные Ляпунова были введены последним в его работе по исследованию устойчивости лапласовых решений в общей задаче трех тел (по его собственному утверждению они подобны уравнениям и переменным Рауса) и оказались достаточно удобными так, что они используются многими исследователями по сей день. Рисунка в работах Рауса Е.Дж. и А.М. Ляпунова не было, равно как и в последовавших затем исследованиях Г.Н. Дубошина в задаче трех тел [4]. Это, по-видимому, объясняется простотой соответствующей геометрии - треугольник вращается относительно одной из его вершин (три расстояния и три угла). Рисунок появился позже в работе Г.Н. Дубошина по обобщенной задаче трех тел. Мы обобщили упомянутый рисунок на случай общей задачи четырех тел для доказательства тем же методом существования уже четырехугольных решений (см. рис.). Необходимость такого рисунка очевидна: для описания геометрии четырехугольника требуется уже 6 расстояний и 8 углов. Графическая интерпретация задачи 4 тел И с т о ч н и к: выполнено Ю.В. Перепелкиной Graphic visualization of the 4body problem S o u r c e: compiled by Yu.V. Perepelkina Введем следующие обозначения для внутренних углов четырехугольника M0 1 2 3MM M : ψ = ∠(r r1 , 2) , ψ′ = ∠(r r2, 3) , φ1 = ∠ Δ( 13,r1`) , φ1′ = ∠ Δ( 12,Δ13); φ2 = ∠ Δ( 12,r2 ), φ′2 = ∠ Δ( 23,r2 ) , φ3 = ∠ Δ( 23,Δ13) , φ′3 = ∠ Δ( 13,r3). Запишем систему дифференциальных уравнений движения общей задачи четырех тел в форме Рауса - Ляпунова. Вместо часто используемых в небесной механике координат r r1, 2 , ψ, Ω , I , Φ (Ω - узел восходящего узла плоскости орбит, I - наклон плоскости орбит и Φ - угол собственного вращения соответственно), определяющих положение плоскости фигуры (треугольника) в неподвижных осях и положение фигуры (треугольника) в ее плоскости, A.M. Ляпунов предложил другую систему переменных, а именно r r1 2, ,ψ,ω1,ω2,ω3 , в которой r ω= (ω1,ω2,ω3) - вектор угловой скоро- сти вращения триэдра M 0ξης и его проекции: ω1 - на ось M 0ξ ; ω2 - на ось M 0η ; ω3 - на ось M 0ς . Такая замена вполне объяснима, поскольку ключевыми уравнениями в доказательстве существования тех или иных частных решений (стационарных решений или центральных конфигураций в другой терминологии) являются уравнения, содержащие помимо геометрических параметров соответствующих фигур квадраты угловых скоростей вращения радиус-векторов тел. Выпишем координаты тел M 1, M M2, 3 в двух системах координат: M1 : ξ1 = r1, η1 = 0 , ς1 = 0; M 2 : ξ2 = r2 cos ψ, η2 = r2 sin ψ, ς2 = 0; M 3 : ξ3 = r3 cos(ψ+ψ′), η3 = r3 sin(ψ+ψ′), ς3 = 0; (1) M 1 : x1 = a r11 1, y1 = a r21 1, z1 = a r31 1; M 2 : x2 = a r11 2 cos ψ + a r12 sin ψ, y2 = a r21 2 cosψ + a r22 2 sinψ, z2 = a r31 2 cosψ + a r32 2 sinψ; M 3 : x3 = a r11 3 cos(ψ + ψ′) + + a r12 3sin(ψ+ψ′), y3 = a r21 3 cos(ψ + ψ′) + + a r22 3sin(ψ+ψ′), z3 = a r31 3 cos(ψ + ψ′) + +a r32 3sin(ψ+ψ′). (2) Уравнения движения четырех тел в гелиоцентрической системе координат (относительно тела M0с массой m0 ) берутся из работ [18; 19]. Преобразуем их с учетом явных значений координат тел и геометрии (рис. 1). Имеют место следующие соотношения: x x1 1&& + y y1 1&& + z z1 1&& + f m( 0 + m1) = r1 = - fm r2 1 Δ1122 cos(φ1+ φ1′)+ r122 cosψ - - fm r3 1 Δ1132 cosφ1 + r132 cos(ψ + ψ′) ; x x2 2&& + y y2 2&& + z z2 2&& + f m( 0 + m2) = r2 = - fm r1 2 Δ1122 cosφ′2 + r112 cosψ - - fm r3 2 Δ1132 cosφ2 + r132 cosψ′ ; x x3 3&& + y y3 3&& + z z3 3&& + f m( 0 + m3) = r3 = - fm r1 3 Δ1132 cosφ′3 + r112 cos(ψ + ψ′) - - fm r2 3 Δ1223 cos(φ3 + φ′3)+ r122 cosψ′ , из которых получим первые три дифференциальных уравнения из девяти, описывающих движение четырех тел: d r221 - r1(ω22 + ω32) f m( 0 2+ m1) - = - dt r1 - fm2 Δ1122 cos(φ1+ φ1′) + r122 cosψ - - fm3 Δ1132 cosφ1 + r132 cos(ψ + ψ′) ; d r222 - r2(ω′22 + ω′32) f m( 0 +2 m2) - = - dt r2 - fm1 Δ1122 cosφ′2 + r112 cosψ - - fm3 Δ1223 cos(φ1 + ψ) + r132 cosψ′ ; d r223 3 ( 22 32) f m( 0 2+ m3) - r ω′′ + ω′′ = - - dt r3 - fm1 Δ1132 cosφ′3 + r112 cos(ψ + ψ′) - (3) - fm2 Δ1223 cos(φ3 + φ′3)+ r122 cosψ′ , r где ω=(ω1,ω2,ω3) - угловая скорость вращения неизменяемой системы, определяемой, uuuuuur прежде всего, точкой M0 , направлением M0 1М , плоскостью четырехугольника (M0 1 2МММ3) и проекцией, соответственно на направление uuuuuur uuuuuur M0 1М , на направление перпендикуляра к M0 1М в плоскости (M0 1 2МММ3) , составляющее остuuuuuur рый угол с направлением M0М2 , и на направление перпендикуляра к плоскости четырехугольника. Для двух других угловых скоростей, а именно ωr′=(ω1 2′,ω′,ω′3) и ωr′′=(ω1 2′′ ′′,ω ,ω′′3) , имеют место аналогичные геометрические uuuuuur uuuuuur uuuuuur описания для направлений M0М2 , M0М3 соответственно, которые мы не приводим. Отметим лишь, что ось M0М2 второй системы координат повернута в направлении против часовой стрелки на угол ψ относительно uuuuuurоси uMuuuuur0 1М первой системы координат, а ось M0М3 треuuuuuur тьей - на угол ψ′ относительно оси M0М2 второй системы координат. Связь между компонентами трех угловых скоростей ωr , ωr r′, ω′′ задается следующими известными формулами: ω1 = sinΦsin J ⋅Ω +& cosΦ⋅J& ; ω ω1′ = 1cosψ ω+ 2 sinψ; ω ω1′′= 1′ cosψ ω′+ ′2 sinψ′; ω2 = cosΦsin J ⋅Ω -& sinΦ⋅J&; ω′2 = -ω1sinψ ω+ 2 cosψ; (4) ω′′2 = -ω1′sinψ ω′+ ′2 cosψ′; ω3 = cos J ⋅Ω + Φ& & ; ω ω′3 = 3 + ψ&; ω ω′′3 = ′3 + ψ& ′. Далее получаем еще шесть дифференциальных уравнений: 1 d(ω3 1r2) + r1 1 2ωω = - r1 dt - fm2 r12 sinψ- Δ1122 sin(φ1 + φ1′) - 2 - fm 1 3 r32 sin(ψ + ψ′)- Δ1132 sinφ1 ; 1 d(ω2 1r2) - r1 1 3ωω = 0; r1 dt 1 d (ω′3 2r2) + r2 1 2ωω′ ′ = r2 dt - fm1 112 sinψ - Δ1122 sin(φ2+φ′) - r - fm3 r132 sinψ′- Δ1232 sinφ1 ; 1 d (ω′2 2r2) - r2 1 3ωω′ ′ = 0; r2 dt 1 d (ω′′3 3r2 ) + r3 1 2ωω′′ ′′ = r3 dt - fm1 r112 sin(ψ + ψ′)- Δ1132 sinφ′3 - - fm2 r122 sinψ′ - Δ1232 sin(φ3 + φ′3) ; 1 d(ω′′2 3r2) - r3 1 3ωω′′ ′′ = 0. (5) r3 dt Объединение уравнений (3) и (5) дает систему из девяти обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих движение в рамках общей задачи четырех тел, взаимодействующих, вообще говоря, по закону обратных квадратов. Для обобщения уравнений движения на случай взаимодействия тел по произвольному закону, зависящему лишь от расстояний между телами, необходимо разбить компоненты сил в правых частях уравнений на две подкомпоненты каждую. Например, если 1 , fm2 2 → fm F2( 12 2( )r ± F21 2( ))r r2 тогда d rdt221 - r1(ω22 + ω32) + m0[F10 1( )r + F20 2( )r cosψ + F30 3( )r cos(ψ + ψ′)] + + m F1[ 01 1( )r - F21(Δ21)cos(φ1+ φ1′)- F31(Δ31)cosφ1] + + m2[F02 2( )r cosψ - F12(Δ12)cos(φ1+ φ1′)+ F32(Δ23)cos(φ ψ2 - )]+ + m3[F03 3( )r cos(ψ + ψ′) - F13(Δ13)cosφ1 - F23(Δ23)cos(φ ψ2 - )] = 0, 1 d (r12ω3)+ r1 1 2ωω + m F2 02 2(r )sin ψ- r dt1 -F12(Δ12)sin(φ1+ φ1′)+m F3 13(Δ13)sinφ1 = 0, 1 d (r12ω2)- r1 1 3ωω = 0, r dt1 d r2 2 2 2 -r2(ω′2 +ω′3 )+ m F0 [ 20 2( )r + F01 1( )r cosψ+ F30 3( )r cosψ′]+ dt2 + m F1[ 01 1( )r cosψ+ F21(Δ12)cos(φ′2+ψ)- F31(Δ31)cos(φ1+ψ)]+ + m2 [F02 2( )r + F12(Δ12)cos(φ′2+ψ)- F32(Δ23)cosφ2]+ + m3 F03 3( )r cosψ′- F13(Δ13)cos(φ1+ψ)- F23(Δ23)cosφ2 = 0, 1 d(ω′3 2r2) + r2 1 2ωω′ ′ - fm1 12 sinψ + r2 dt r1 + fm1 Δ1122 sin(φ2+ φ′2) - - fm3 12 sin ψ′+ fm3 Δ1132 sinφ1 = 0, r3 1 d(ω′2 2r2) - r2 1 3ωω′ ′ = 0, r1 dt d r2 3 2 2 dt2 - r3(ω′′2 + ω′′3 )+ m0[F30 3( )r + m F1 01 1( )r cos(ψ + ψ′)+ F20 2( )r cosψ]+ + m F1[ 01 1( )r cos(ψ + ψ′)- F21(Δ12)cos(φ2+ ψ′)- F31(Δ13)cosφ′3]+ + m2[F02 2( )r cosψ′2 + F12(Δ12)cos(φ′2+ ψ′)- F32(Δ23)cos(φ3+ φ′3)]+ + m F3[ 03 3( )r + F13(Δ13)cosφ′3 + F23(Δ23)cos(φ3+ φ′3)] = 0, 1 d (r32ω′′2)-r3 1 3ωω′′ ′′ = 0, r dt3 1 d(ω′′3 3r2) + r3 1 2ωω′′ ′′ - fm1 12 sin(ψ + ψ′)+ r3 dt r1 + fm1 12 sinφ1 - fm2 12 sin(φ2ψ)- Δ13 r2 1 - fm2 Δ2 sinφ2 = 0. (6) 23 В случае ω1=ω2=0, ω3=ω+ψ& (из соотношений (5) следует ω1′=ω′2=ω1′′=ω′′2=0, ω′3=ω′′3=ω+ψ& и вращение осуществляется лишь в плоскости фигуры) система уравнений (6) упростится: d r2 1 2 -rω + m dt2 1 0 F10 1( )r + F20 ( )r2 cosψ+ F30 ( )r3 cos(ψ + ψ′) + + m1 F01 1( )r - F21(Δ21)cos(φ1+ φ1′)- F31(Δ31)cosφ1 + + m2 F02 ( )r2 cosψ- F12 (Δ12)cos(φ1+ φ1′)+ F32(Δ23)cos(φ ψ2 - ) + + m3 F03( )r3 cos(ψ + ψ′)- F13(Δ13)cosφ1 - F23(Δ23)cos(φ ψ′2 - ) = 0, 1 d (r2ω)+m F2 02 2( )r sinψ- 1 r dt1 -F12(Δ12)sin(φ1+φ1′)+m F3 13(Δ13)sinφ1 = 0, d r2 2 2 -r2ω + m F0[ 20 2( )r + F01 1( )r cosψ +F30 3( )r cosψ′]+ dt2 + m F1[ 01 1( )r cosψ+ F21(Δ12)cos(φ′2+ψ)- F31(Δ31)cos(φ1+ψ)]+ + m F2[ 02 2( )r + F12(Δ12)cos(φ′2+ψ)- F32(Δ23)cosφ2]+ + m3 F03 3( )r cosψ′- F13 (Δ13)cos(φ1+ψ)- F23(Δ23)cosφ2 = 0, 1 d ( 22 ) 1 01 1 r ω -m F ( )r sinψ- r dt2 -m F1 12(Δ12)sin(φ1+ φ1′)+ + m F3 32(Δ32)sinφ1 -m F3 03 3( )r sinψ′ = 0. (7) На основании аналитических расчетов можно предполагать, что если произвольность закона взаимодействия несколько ограничить, например, вместо произвольной функции расстояний F(r) взять функцию F(r)~1/rk, k ≥ 2, то можно численными методами доказать существование точных частных решений при различных фиксированных значениях k ≥ 2 и фиксированных неравных значениях масс четырех тел. Заключение Сформулирована общая задача четырех тел в переменных Рауса - Ляпунова. Выведены одноименные уравнения движения в предположении взаимодействия тел по совершенно произвольному зависящему, кроме масс тел, лишь от расстояний между телами закону. Получен общий вид уравнений движения четырех тел, расположенных в вершинах выпуклого четырехугольника, и их частный вид, выведенный для случая квадратной конфигурации.

About the authors

Yulianna V. Perepelkina

Russian Institute for Scientific and Technical Information of Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: amadeycity@yandex.com
ORCID iD: 0000-0001-8115-8253
SPIN-code: 5157-4093

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Head of Scientific Information Department of Mechanics

Moscow, Russia

References

Supplementary files