μ Robust Stable Extrapolation of a Stationary Random Process with Interval Limited Variance

Full Text

Введение Большинство современных задач оптимизации решается в предположении детерминированных параметров оптимизируемой системы. Однако на практике системы в технике, экономике, социологии и т. д. имеют, как правило, недетерминированные параметры, в частности, ими могут быть интервально неопределенные параметры, такие как спектральные интервальные плотности ошибок измерения полезного сигнала и/или неизвестного интервально-нечеткого возмущения, присутствующего в измерениях полезного сигнала. В этих условиях получить аналитическое решение оптимальной задачи экстраполяции или фильтрации не представляется возможным. Достаточно часто математическая модель системы управления учитывает лишь допустимые области изменения наблюдаемых параметров управляемой системы и характеристик ее отдельных элементов без конкретизации самих этих параметров и характеристик. Указанные области могут определяться, например, интервальными ограничениями, соответствующими заданным техническим допускам на систему. Решение таких задач требует специальных методов, отличных от методов обычных детерминированных уравнений. В ряде работ группы авторов [1-4] предложили несколько фундаментальных подходов к решению задач линейной минимаксной экстраполяции для стационарного случайного процесса, получивших распространение в научной литературе в период 1991-2017-х гг. Среди них была рассмотрена задача минимаксной экстраполяции стационарного случайного процесса с непрерывным и дискретным временем поставлена и решена О.М. Куркиным [1]. Задача синтеза экстраполяции временных стационарных в широком смысле временных последовательностей на интервале времени исследовалась в [2]. Несколько результатов было получено M. Moklyachuk и A.Yu. Masyutka в [3], в которой была решена задача линейной минимаксно-робастной экстраполяции линейных функционалов для пропущенных значений стандартной векторной стационарной случайной последовательности с ортогональными значениями конечного ранга. Ими было показано, что максимальную среднеквадратическую ошибку в оценке линейных функционалов дает модель скользящего среднего первого порядка. Рассмотрена задача линейной экстраполяции процесса, когда спектральные интервальные плотности ошибок измерения сигнала удовлетворяют моментным условиям и известным априорным ограничениям в форме вещественно неотрицательно-определенных симметричных интервалов по отношению к ожидаемым незаданным границам своих ограничений требуемой ширины. Рассматривается μ робастно-устойчивая интервальная гарантирующая оценка, под которой понимается наилучшая оценка параметров полезного сигнала в смысле минимума ошибок измерений и возмущений с интервальными спектральными плотностями, принадлежащими множеству неотрицательно определенных плотностей. μ Робастно-устойчивая минимаксная экстраполяция понимается по параметру μ как множителю при производной от искомой собственной функции в интегральном уравнении Гренандера, определяющем оптимальный минимаксный экстраполятор, как регуляризация задачи, обеспечивающая устойчивость ее как по решению, так и по ее результату. Решение проблемы сводится к решению двух полностью определенных задач условной оптимизации того же вида [4]. При этом используется математическая теория сравнений интервалов, позволяющая заменить сравнение интервалов сравнением их нижних и верхних границ и выделить максимальный и минимальный интервал в рамках сохранения μ робастной устойчивости задачи экстраполяции. В исследовании показано, что линейный минимаксный μ робастно-устойчивый интервальный экстраполятор совпадает с оптимальным линейным экстраполятором для объединенных множеств всех нижних (верхних) значений игры, которые образованы нижними (верхними) значениями детерминированных «точечных» игр с интервальными стратегиями игроков и их функциями выигрыша. Показано, что оптимальный интервальный экстраполятор совпадает c минимаксным детерминированным экстраполятором в форме согласованной интервальной функции Лагранжа по ее первой компоненте искомого экстраполятора и второй, спектральной, компоненте наихудшего возмущения с регулярной областью допустимых ее нижней (верхней) граничной задачи. Указанный подход позволяет в конструктивной форме построить 4-шаговый μ робастно-устойчивый алгоритм решения интервальной задачи минимаксной экстраполяции, который реализует метод детерминизации. 1. Постановка задачи минимаксной экстраполяции при отсутствии ошибок измерений в непрерывном времени Предположим, что фактическая составляющая измеренного сигнала была сформирована из определенного возмущения с помощью динамической системы управления x&% ( )t = Ax% ( )t + bu t%( ). (1) Здесь постоянная матрица A размерности n × n, t ∈ -∞ +∞( , ) , x(% t)∈ Rn является вектором состояния системы; b - постоянный вектор; u t%( ) - неизвестное интервально-нечеткое возмущение или управление, представляющее скалярный cтационарный случайный процесс с нулевым средним значением с единственной информацией о его интервально нечеткой корреляционной функции об ограничении на его интервально-нечеткую дисперсию, которая удовлетворяет неравенству E u%2 ( )t ≤ a%, где E(•) обозначает математическое ожидание, u%2 ( )t ; a% < ∞ - фиксированная интервально-нечеткая мощность возмущения и, возможно, ограничение на область концентрации его спектральной плотности - hu% (λ)в точке λ∈Λ; Λ - заданное подмножество частотной оси. Измеренный сигнал y%( )t по результатам наблюдений на временном интервале t ∈ -∞( ,t0 ) представим в виде y% ( )t = C xT % ( ).t (2) Сделаем следующие предположения относительно матриц A, b, и C: 1) система «измеритель - объект» (1), (2) является наблюдаемой системой rank(C,A C,..., AT ( n-1 )T C) = n. На протяжении всей статьи rank будет матричным оператором принятия ранга над соответствующей составной матрицей: C,A C,..., AT ( n-1 )T C. Это означает, что если хотя бы один из его миноров порядка n отличается от нуля, при этом каждый минор порядка (n + 1) равен нулю; 2) cистема «измеритель - объект» (1), (2) является «маскируемой» возмущением, т.е. любое ее состояние можно всегда выразить в виде t x%( )t = eA(t-τ)bu t d%( ) τ (3) -∞ или эквивалентное условие rank(b,Ab,...,An-1b)=n. Так как y t( ) - гaуссовский случайный процесс, то наилучшей экстраполяцией является линейная экстраполяция, которая в данном случае имеет вид t sˆ, чтобы найти переходную функцию g t( ) физически реализованного фильтра, который оценивает процесс t s(t + T ) = qT (t + -T τ) (x τ)dτ -∞ в момент времени t +T T, >0. Здесь q t( ) - заданная функция «векторстрока» размера n линейного преобразования, которое задается строкой частотных характеристик Q(λ) полезного сигнала x x= ( )t стационарного n-мерного процесса. Критерием качества является дисперсия ошибки прогнозирования с периодом времени экстраполяции T: min maxE s tˆ( 0+ - +T) s t( 0 T) 2 = g u% = min sup D G h( , ) ,% (4) G K∈ ext h%∈Ξ% где G - передаточная функция, связанная с функцией g( )t , h% - параметрический спектр неизвестного интервально-нечеткого возмущеext ния u t%( ), K - класс комплекснозначных линейных экстраполяторов, Ξ% - класс спектра возмущений Ξ% ⊆ L1(Λ), где L1(Λ) - класс абсолютно интегрированных вещественных функций на Λ, определяемый как Ξ=% {h%(λ, )q ∈L1 : ( )= I h% % . (4а) Для фиксированной спектральной плотности h%∈Ξ% оптимальный линейный экстраполятор Gext (λ) находится путем решения экстремальной задачи min supD(G h, %). (5) G K∈ ext h%∈Ξ% Таким образом, задача сводится к нахождению частотных характеристик по минимаксному критерию (4). Представляет интерес рассмотрение ситуаций, в которых известна точная форма спектральной плотности мощности сигнала, но форма спектральной плотности мощности возмущения неизвестна. Относительно неизвестной компоненты h%(λ, )q известно лишь, что она удовлетворяет условию параметрической интервальной нечеткости: h q%(λ, ) (= -1 q)h(λ) +qh( )λ , (5а) где h(λ)- неизвестная ожидаемая нижняя граничная реализация, h(λ) - неизвестная ожи даемая верхняя граничная неизвестных параметрических составляющих спектральных плотностей h%(λ, ), q которые слабо меняются при изменении параметра q, q ∈[0, 1] - параметр, задающий возможную степень девиации реализации h q%(λ, ), на ее интервале нечеткости Ξ=% [ (h λ),h(λ)], h%(λ, )q ∈Ξ% от ее ожидаемых граничных реализаций, h q%(λ, ) сосредоточена на ожидаемой полосе частот Λ1: h%(λ, )q = 0, если λ∉Λ1 положительной меры mesΛ1 > 0 (возможна и бесконечная мера), интервальный параметр D%u в правых частях ограничений (4.а) представлен в виде симметричного интервала D%u =[Du -δ,Du +δ] с малыми неотрицательными отклонениями δ, где D%u <∞ - фиксированная мощность возмущения, Ψ(λ) - неотрицательная заданная четная функция по частоте λ, удовлетворяющая условию Пейли - Винера: . (6) Мы будем рассматривать Ξ% в дальнейшем как подпространство L2(λ) гильбертова пространства комплекснозначных функций, заданных на частотной оси [-∞ ∞, ], интегрируемых по квадрату относительно меры Лебега с плотностью h%(λ, )q , неравной нулю. Будем считать далее, что множество спектральных плотностей, заданных в виде (5a) и удовлетворяющих ограничениям (4a), принадлежит выпуклому слабому компакту Ξ% допустимых неотрицательно определенных спектральных плотностей возмущений помехи. В [5] впервые предложен такой подход к задаче интерполяции для стационарных процессов. Аналогичный при чинный случай был рассмотрен для интервальной нечеткости линейной динамической системы с параметрической неопределенностью спецификации только в матрице состояний в рамках формы H-устойчивости с ограниченной дисперсией случайного возмущения в полезной составляющей модели сигнала в [6]. Для этой задачи теперь мы можем сформулировать следующую теорему без очевидного доказательства, которая дает методику поиска наименее благоприятных спектров в определенных случаях. Теорема 1. Данная задача имеет седловую точку в силу того, что критерий оценивания D(G h, )% является линейным функционалом по h% и множество всех h%(λ, )q с ограниченной интервальной дисперсией D%u является выпуклым, слабо компактным и функционал выигрыша D% (G h%, %) является квадратичным по G% и линейным по h%. Условия выпуклости-вогнутости, которые требуются при использовании известных теорем из теории игр [7], выполняется классическое условие существования седловой точки и мы имеем соответствующее соотношение, определяющее седловую точку: = max min%∈Ξ% G K∈ ext D(G h D%, %) = %opt. (7) h Таким образом, проблему следует интерпретировать как антагонистическую игру Γ Ξ(D K, ,% ext ), где функционал выигрышаD G h%( %, %) связан с соответствующими стратегическими пространствами двух игроков: пространство первого игрока, названного природой, стремящегося максимизировать D G h%( %, %), и пространство второгоK ext игрока, названного исследователем, стремящегося минимизировать D G h%( %, %). Отметим, что в данной математической поста новке алгоритма гарантированного решения интервальной задачи μ робастно-устойчивой линейной минимаксной экстраполяции соблюдаются все требования по обеспечению его возможности широкого применения на практике [8] - по оптимальности, однозначности, несмещенности и сходимости. Однозначность и несмещенность алгоритма гарантированного интервального μ робастно-устойчивого прогноза очевидна. Указанный алгоритм также и оптимален в том смысле, что экстремальные полиномы на интервале прогноза T выделяют из всего множества реализаций y t( ) , t∈ -∞( , t0 +T) область, содержащую только такие реализации, которые могли бы наблюдаться на интервале t∈-∞( , ) t0 при условии, что ошибка измеренийε( )t лежит в некоторых пределах ε( )t ∈[Δ1( )t ,Δ2( )]t , т. е. область, ограниченная экстремальными полиномами на интервале T, является наименьшей из возможных, в которой находится гарантированно истинная реализация y(t). Оптимальная оценка, характеризующая точность гарантированного прогноза, может быть записана как l*( )t = min max |α β∈N ∀∈t T y t( )α - y t( )β |, (7a) y ,y где N - множество, содержащее на интервале T только такие реализации y(t), которые лежат в интервале измерений [ ( )z t -Δ1( )t , z t( ) + Δ2( )]t , где z t( ) - результаты наблюдений реализации случайного процесса y(t). Асимптотическая сходимость рассматриваемых алгоритмов прогноза вытекает из свойств экстремальных полиномов, например полиномов Карлина [7], и может быть доказана с использованием теоремы 2.4 [7] в смысле критерия (7a). Система соотношений, определяющих седловую точку в задаче минимаксной экстраполяции Теорема 1 может быть применена для нахождения решений задачи экстраполяции для стационарного случайного процесса в случае спектральной неопределенности, когда спектральная плотность возмущения точно неизвестна. Спектральная плотность сигнала из (2) может быть представлена в виде Xu(λ, )q =T(λ) +h%(λ, ),q (7б) где известна неотрицательная составляющая T(λ), удовлетворяющая условию Пейли - Винера (6) и h q K%(λ, )∈ ext является неизвестной составляющей в спектре сигнала. Решение задачи (5) можно найти для этого случая, применив результаты [1] относительно связи задачи минимаксной фильтрации с решением проблемы марковских моментов [9]. Пусть T(λ) 0= , тогда система соотношений, определяющих седловую точку в этом случае, определяется формулами Ψ(λ) =| φ(λ)|2 ; (8) dλ; (9) u% K t( ,ξ)Xu% (ξ,q d) ξ; K(t,ξ) = P t( -τ) (a t +ξ τ)d . (9a) -∞ G% ext (λ, q) = Q(λ)+Xu%+ (λ, q) = Xu% (λ, q) = Q(λ)-μ%max Xu%+-(λ, )q φ*(λ) , (10) Xu% (λ,q) где α% - интервальный коэффициент Лагранжа, удовлетворяющий системе соотношений, определяющий седловую точку минимаксного экстраполятора [1, пункт 3. 6. 1] Xu% (t q, ) - функ+ ция оригинал изображения Xu% (λ, )q , P( )t - оригинал изображения 1 / φ(λ) ; a t( ) - ори гинал изображения Q(λ)на отрезке времени 0 ≤ ≤t T ; φ(λ) - результат факторизации Ψ(λ) =φ+ (λ)φ- (λ), φ*(λ) = φ- (λ) ; λ%max - максимальное нечетко интервальное собственное значение, соответствующее собственной функции Xu% (λ, )q в однородном интегральном уравнении Гренандера [10]. Дисперсию ошибки экстраполяции с периодом времени экстраполяции можно в этом случае представить в виде D% ext (λ, )q = +∞ = 1 G q Q(λ, )- (λ)2h q d a%(λ, ) λ= %°λmax2 . (11) 2π -∞ В соотношениях (9), (10) и далее подразумевается использование α -уровневого принципа обобщения с интервальной арифметикой для выполнения алгебраических и арифметических операций с нечеткими числами или функциями [10], символы в уравнениях (9), (10) для функций и символы A+ (λ) и A- (λ) были введены как соответствующие операции разделения функции A(λ) в нижней и верхней аналитической полуплоскости, соответственно + - A (λ), A (λ)и являются причинной и непричинной частями удовлетворяющей факторизации функции A(λ) = A+ (λ)A- (λ), при фиксированной G(λ, )q , h%(λ, )q является решением задачи проблемы моментов Маркова [9], касающейся возмущения спектральной плотности (точно неизвестной), связанной с критерием минимаксной среднеквадратичной ошибки (4). 2. μ робастно устойчивая минимаксная экстраполяция по результату и решению Для того чтобы продемонстрировать разработку методики, мы предлагаем рассмотреть переход от интегрального уравнения (9.1) к эквивалентному сингулярно возмущенному интегро-дифференциальному уравнению [12] первого порядка с интегральным оператором типа Вольтера второго рода, определяемым симметрическим, замкнутым вещественным ядром K (t,ξ), содержащим малый параметр μ как множитель при производной от собственной функции Xu% (t q, ) . Такая процедура вполне корректна и целесообразна при наличии незначительных малых возмущений, неизбежно возникающих, например, при появлении небольших изменений в границах изменения параметров модели для данной задачи в верхней оценке a% дисперсии возмущения u t%( ) в уравнении объекта (1). Решение интегрального уравнения второго рода (в отличие от уравнения первого рода) - корректная задача. В результате такого перехода мы получим эквивалентное в указанном выше смысле равносильное интегро-дифференциальное уравнение в нечетко-интервальном виде μX&u% (t q, ) = - α% Xu% (t q, ) + T + K t( ,ξ)Xu% (ξ,q d) ξ+ f t( ), (12) 0 Xu% (0, ,q μ) = Xu0% , (13) где функцию f ( )t ∈ L2 , согласно лемме 1, будем считать ортогональной всем собственным функциям союзного ядра K (ξ,t) уравнения (12), отвечающим тому же собственному числу λ% = α% . Лемма 1 «о возможном выборе ортогональной функции f ( )t к собственным функциям ядра K (ξ,t)» приведена в приложении. В этом случае, как известно [12, теорема 6.7]), существует регуляризируемое решение уравнения (12). При малом параметре регуляризации μ связь между решением уравнения (12) и союзным, однородным к нему уравнением устанавливается альтернативой Фредгольма (разрешимость при любой f ( )t из гильбертова пространства) [13]. Ядро K (ξ,t) в уравнении (12) обладаетсвойством K (ξ,t) = 0 при t > ξ , то есть уравнение (12) является уравнением типа Вольтерра, поэтому в силу теоремы [13, c. 461] для него всегда имеет место первый случай альтернативы Фредгольма. Для уравнения (12) справедлива теория, развитая в [14]. Докажем теорему об устойчивости задачи экстраполяции относительно ошибок вычисления функций X (t q, ) и результата задачи u% %ext D (λ,q), которая указывает соотношение между параметром регуляризации μ и вычислительной погрешностью ε%, обеспечивающее сходимость вычисленного гарантированного результата к истинному. В дальнейшем задачу экстраполяции (5) будем называть задачей (E), а задачу экстраполяции (5) с малыми нечетко-интервальными отклонениями в правых частях ограничений на спектральную плотность мощности возмущения в классе (5а) задачей ( Eε%). Число ε% будем интерпретировать как интервальную погрешность определения параметра в задаче ( Eε% ) и считать, что справедливо в нечетко интервальном смысле неравенство | D%u% - D%uε%% |≤ ε% . Введем определения робастной устойчивости задачи ( Eε% ) по результату и по решению. Определение 1. Задача ( Eε% ) называется робастно-устойчивой по результату, если найдется такое интервально-нечеткое число ε%0 > 0 , что при всех ε% ≤ ε% 0 задача ( Eε% ) разрешима и для любой последовательности {ε%k} → 0 существует предел lim→∞D%optε%k = D%opt . k Определение 2. Задача ( Eε% ) называется робастно-устойчивой по решению, если для любого интервально-нечеткого числа δ% > 0 найдется такое ε%0 > 0 , что при всех ε ε% ≤ %0 задача (Eε%) разрешима и множество ее решений принадлежит интервально-нечеткой окрестности множества решений P задачи (E ). Теорема 2. Для робастной устойчивости задачи (Eε% ) по результату необходимо и достаточно, чтобы она была робастно-устойчивой по решению. Доказательство: 1) Достаточность. Зададим произвольное интервально-нечеткоеω% >0. Пусть ε% 0 таково, что при всех ε ε% ≤ ≤% 0 ω% решения X ε% ( )t приu% надлежат ω% - окрестности множества решений Pзадачи ( E). Тогда согласно уравнению (11) | Dopt -Doptε%k | |= a%λ% 2max - -(a% + ε%k )λ%2max |= ε λ%k %2max → 0 при {εk} → 0 , поскольку ядро K (t, ξ) уравнения (12) в этих условиях не изменилось, не изменилось и максимальное интервально-нечеткое собственное значение λ% max ядра K (t, ξ ) . Замечание 1. Отметим без доказательства, что в условиях небольшого изменения ядра K (t, ξ ) по малому возмущению f ( )t уравнения (12), достаточное условие теоремы 2 также верно. 2) Необходимость. Пусть задача (Eε%) робастно устойчива по результату, по определению 2 имеем ε% 0 > 0 такое, что при всех ε% ≤ ε% 0 выполнимо условие | D%opt - D%ε%k |≤ ε% Определим необходимое число ε%(δ%) по произвольному числу δ% , для которого должно соблюдаться условие | X opt (t q, ) - Xε% (t q, ) |≤ δ%(ε%). u% u% Из уравнения (11) имеем | D%opt(λ, )q -D%ε%(λ, )|q = +∞ = |G q Q(λ, )- (λ)2| ( (h% λ, )q - -∞ -h%δ%(ε%)(λ, ))q dλ ε≤ % . (14) Вынесем за знак интеграла в (14) макси- δ%(ε%k ) (λ, q) , последмум функции h%(λ, q) - h% ний достигается в силу принадлежности функции h%(λ, q) классу положительных функций, интегрируемых по Лебегу вместе с квадратом модуля функций L2 (Λ) , заданных на измеримом подмножествеΛдействительной прямой, и обозначим значение интеграла |G (λ,q)-Q (λ)|2dλ через M ( )q при фиксированной частотной характеристике фильтра-экстраполятора G (λ , q ) , тогда получим оценку сверху для абсолютного изменения искомой функции h%(λ, q) в виде sup | h q%(λ, ) -h%δ%(ε%k ) (λ,q) |≤ 1 ε%k . -∞< <∞λ M q( ) 1 Выбирая δ% (ε% k ) равным ε%k , M q( ) будем иметь устойчивость задачи ( E ) по решению при {ε% k } → 0 и в оригинале X uopt% (t q, ) , поскольку выполнимо равенство Парсеваля [13], связывающее малые изменения функции h% ( λ , q ) с малыми изменениями ее оригинала X opt (t q, ) , выполнимыми не только в проu% странстве функций с суммируемым квадратом L2[-π,π] на отрезке [-π,π] или в пространстве функций с суммируемым квадратом L2 (-∞ +∞, ) на всей прямой (-∞ +∞, ), но и для пространства обобщенных функций S∞* , соответствующего пространству функций S∞ , бесконечно дифференцируемых и убывающих на бесконечности вместе со своими производными быстрее, чем любая степень [13], включающего и обобщенную функцию путем введения понятия преобразования Фурье для обобщенных функций с сохранением равенства Планшереля: +∞ | h q%(λ, ) -h%δ%(ε%k ) (λ,q d) |2 λλ= -∞ +∞ opt δ%(ε%k ) 2 = | X u (t q, ) - Xu% (t q, ) | dt, % -∞ 1 следовательно, число δ%(ε%k ) = M q( ) ε%k - также приемлемо и для искомой функции opt X (t, q) . Теорема доказана. u Пример 1. Рассмотрим экстраполяцию на один шаг вперед в дискретном времени в соответствии с уравнением (12). Дисперсия ошибки экстраполяции в этом случае имеет выражение, аналогичное выражению для этой величины, полученному в [1] Dext = 2πe2β0 , а наименее благоприятная спектральная плотность полезного сигнала реализует решение задачи β0 = β0(h q%, ) = 1 π = ln[ (h q T% λ, ) + (λ)]dλ→ 4π-π → max; (h q% λ, ) ∈ Ξ%. В частности, когда T (λ) = 0, 1 π β0 (h%) = ln[h%(λ, q)]dλ. 4π -π Отметим, что β0 с точностью до постоянного множителя совпадает с функционалом удельной энтропии наблюдаемого процесса, iλ поэтому в случае Q(λ) = 1;e наименее благоприятная спектральная плотность полезного сигнала должна максимизировать функционал удельной энтропии наблюдаемого процесса [15]. Покажем, что задача робастно устойчива по результату. Зададим произвольное ε% > 0 . Пусть h%ε% (λ, q) принадлежит ε% -окрестности решения задачи экстраполяции функции h%(λ, q) > 0 : | h%ε% (λ , q ) - h% (λ , q ) |≤ ε% , в силу неравенства ln(1 + x) < x, x > 0, получим верхнюю оценку границы в изменении результата задачи δ%(ε%) в зависимости от заданного малого положительного числа ε% : ln h%ε% (λ , q ) - ln h%(λ , q ) ≤ ≤ ln( (h% λ,q) + -ε%) ln h%(λ,q) = = ln h q%(λ, )+ε% = h q%(λ, ) = ln 1 + h%(λε%, )q ≤ h%(λε%, )q = δ%(ε%) = ε%. Случай обращения в ноль функции h% ( λ , q ) при | λ |→ ∞ учитывается с учетом абсолютной интегрируемости функции h%(λ, q) , а значит, и функции h%ε% (λ, q) на устойчивость по результату в силу выполнимого выше указанного логарифмического неравенства для малых значений положительной функции h q%(λ, ) → 0 приλ λ≥ 0 , λ → ∞ , поскольку крайние интегралы -λ0 +∞ ln[h%(λ , q d)] λ , ln[h%(λ , q d)] λ -∞ λ0 при | λ |→ ∞ в разложении исходного интеграла в параметре β0 (h%) +∞ -λ0 ln[h%(λ, q d)] λ = ln[h%(λ, q d)] λ+ -∞ -∞ + ln[ (h% λ, )]q dλ+ -λ0 +∞ + ln[ (h% λ, )]q dλ +λ0 будут в этом случае стремиться к 0, а средний +λ0 интеграл ln[ (h% λ,q d)] λ оценивается по -λ0 рассмотренному выше способу оценки изменения результата задачи в зависимости от малого положительного числа ε% , задающего малые изменения решения задачи. Следовательно, задача экстраполяции на один шаг вперед в непрерывном времени робастно устойчива по результату, а значит, как было показано выше, и по решению. Можно показать, что аналогичный результат имеет место и при произвольном числе шагов вперед как в дискретном, так и в непрерывном времени, что очень важно при решении практических задач прогнозирования на краткоили среднесрочную перспективу, в частности в различных сферах управления экономикой и физико-технических задачах, в присутствии неизбежных малых возмущений в системе «измеритель - объект» (1), (2) исследуемой модели. 3. Статистическая робастная устойчивость задачи экстраполяции ( Eε% ) по малому параметру регуляризации μ Теорема 3. При достаточно малых μ μ≤ 0 для решения X opt (t q, ,μ) задачи ( Eε% ) на сегu% менте -π≤ ≤t π справедливо представление (аналог четкого представления из [13]) X tu%( , ,qμ) =Xu%(t,q) +П0 +R t q1( , , ),μ (15) где | R C1 |≤ μ (C - не зависящая от μ постоянная). Доказательство. Подставим выражение для Xu% (t q, ,μ)в виде (15) в (12) и (13). Для построения асимптотической формулы, которая дает равномерное приближение, нужно к решению вырожденной системы прибавить так называемую пограничную функцию, которая определяется дифференциальным уравнением dП0 =- α%П0 (ξ = x ) (16) dt μ при условии П0|ξ=0 = X Xu0% - u% (0). В явном виде выражение имеет вид x - α% П0 = [Xu0% - Xu% (0)]e μ. (17) Отметим, что необходимое условие устойчивости для предельного перехода Xu% (t q, ,μ) → Xu% (t q, ) при 0 ≤ ≤t T , которое в данном случае имеет вид - α% < 0 , выполнено. Свойства R1 пока неизвестны, мы просто перешли к новой неизвестной функции R1. Учитывая определение Xu% (t q, ) и П0 , получим для R1 уравнение dR1 μ =- α%R1(t q, ,μ)+ dt T + K (t,ξ)R s q1 ( , ,μ)ds+ F t q( , ,μ), (18) 0 где F (t q, ,μ)= T 0 K (t s, )П0 μt ,q ds -μ dXdtu% . Пользуясь (17), нетрудно получить при достаточно малых μ μ≤ 0 оценку | F (t q, ,μ) |< C1μ , (19) где C1некоторая не зависящая от μпостоянной. Начальное условие для R1(t q, ,μ)следующее: R1(0, ,q μ) = 0. (20) Из (18), (20), интегрируя уравнение (18) как дифференциальное с неоднородностью T ( )... ds F+ , 0 имеем T -α% (T-ξ) ξ R1(t q, ,μ)= 0 e μ dξ 12 0 K(ξ, )s R s q1( , ,μ)ds+ T t ( ) + 0 e μ F ξ,q,μ ξd . Изменяя в полученном выражении в первом слагаемом порядок интегрирования, получим T R1(T q, ,μ)= K% (T s, ,μ)R s q1( , ,μ)ds+ F%(T q, ,μ), 0 где T -α% (T-ξ)ξ K% = e μ dξ K(ξ, ),s 00 T -α% (T-ξ) F% = e μ F(ξ, ,q μ)dξ. 0 Пользуясь условием устойчивости - <α 0 решения уравнения (12) и оценкой (19), нетрудно получить неравенства K T s% ( , ,μ) ≤ =K const F T q, %( , ,μ)< C2μ. Отсюда оценка R1 ≤C2μ получается точно таким же способом, как и в [13, c. 202]. Доказанная теорема свидетельствует о том, что выражение t Xu% (t q, )+П0 μ ,q является асимптотической формулой для решения задачи (12), (13) с остаточным членом. Можно получить более точную асимптотическую формулу с остаточным членом Rn (t,μ)= O(μn), n ≥1. Доказанная выше теорема 1 показывает устойчивость решения уравнения (12) по Ляпунову и асимптотическую устойчивость по малым изменениям параметра μ μ≤ 0 в задаче Eε% . Cуществование и единственность согласованной интервальной седловой точки в задаче ( Eε% ) минимаксной экстраполяции Следуя [17], можно доказать теорему, аналогичную теореме детерминизации для решения интервальной задачи интерполяции. Теорема 4 (детерминизации). Для того чтобы выпуклая интервальная задача экстраполяции Eε% с регулярной областью допустимых решений граничных задач линейной минимаксной экстраполяции (4а), (5) имела решение G%0, h%0, α% 0 необходимо и достаточно, чтобы ее нижняя и верхняя граничные задачи имели согласованные функции Лагранжа с согласованной парой седловых точек [18-23] вида G%0, h%0, α0 ; G%0, h%0, α0 с интервальным множителем Лагранжа α% 0 , соответствующим ограничению (4a). Справедлива также теорема (о редукции) о сведении оптимальной задачи интервальной минимаксной робастной экстраполяции Eε% с ограничениями к задаче E без ограничений. Теорема 5 (о редукции). В выпуклой интервальной минимаксной задаче экстраполяции (4а), (5) с регулярной областью допустимых решений согласованных граничных задач точка G%0, h%0 , α% 0 является решением тогда и только тогда, когда существует множитель Лагранжа α% 0 ≥0 такой, что G%0, h%0 , α% 0 - согласованная интервальная седловая точка интервальной функции Лагранжа задачи (4а), (5). Отметим, что множители Лагранжа 0 0 α (α) в нижних и верхних граничных задачах робастной экстраполяции Eε% определяют седловые граничные точки. В силу слабой линейной зависимости от параметра q спектральной плотности возмущения (5а) интервальный линейно зависимый от нее целевой функционал выигрыша D% и связанная с ним интервальная функция Лагранжа представимы в виде линейной комбинации их границ в зависимости от q. Как известно, в этом случае утверждение из § 4. 3. 2 в [24] решения нижней и верхней граничных задач оптимизации граничных функций (экстремальных функций) целевого функционала выигрыша задачи оптимизации и связанной с ним функции Лагранжа F G h%( %, %,α%)неразличимы, если их интервальные оценки вложены друг в друга. Очевидно, что это условие соблюдается в задаче (4а), (5), так как в предельном случае, когда δ% → 0, решение нижней и верхней граничных задач совпадают. Таким образом справедлива следующая теорема. Теорема 6. Решение интервальной задачи робастной экстраполяции Eε% всегда существует в предельном случае, когда параметры в правых частях моментных ограничений задачи робастной экстраполяции (4а) δ% → 0, и представляется в виде пересечения решений ее нижней {M G hн ( 0, %0,α)} и верхней {M G hв ( 0, %0,α)} граничных задач (G h0, %0)={M G hн ( 0, %0,α)}I{M G hв ( 0, %0,α)}, (21) ϒ% min ( )α% = minα ϒ(α),mαin ϒ(α) , supD(G h%, %) = ϒ(α), sup D G h( %, %) = ϒ(α). h%∈Ξ% h%∈Ξ% 4. Алгоритм детерминизации Для решения интервальной задачи (4а), (5) методом детерминизации [23-30] необходимо действовать по следующему алгоритму. Шаг 1. Используя формулы интервальной арифметики, выражающие элементарные преобразования интервалов [21-30], представляем целевой функционал нашей задачи в интервальной форме D G h% ( % 0, %) = D(G h% 0, %0 ), D(G h% 0, %0 ) , а линейные функционалы в левых частях ограничений (5а) и параметры в правых частях в виде интервалов I% = I( )h I h% , ( )% , (G h%0, %0)= Mн (G0,h0,α-δ)∩Mв (G0,h0,α+δ). Шаг 2. Используя полученные на шаге 1 представления, формируем нижнюю граничную и верхнюю граничную задачи решаемой нами интервальной задачи условной оптимизации - линейной минимаксной экстраполяции (5), (5а): D(G%0, (h λ)) = minsup, D(G h%0, (λ)) = minsup; ; 1 h(λ)ψ(λ)dλ ≤ a + δ; 2π-∞ ∀ ∈G K% ext ,h=h(λ) ∈Ξ =%,h h(λ)∈Ξ%. Шаг 3. Решаем нижнюю и верхнюю граничную задачи интервальной задачи экстраполяции, сформированные на предыдущем шаге программирования, получаем решения нижней и верхней граничных задач. При этом множество точек решения нижней граничной задачи, на котором ее целевой функционал выигрыша достигает своего нижнего оптимума, и множество точек решения верхней граничной задачи, в которых ее целевой функционал выигрыша достигает своего верхнего оптимума имеет вид (G% 0,h%0 ) = Mн (G% 0,h0,α-δ) ∩ Mв (G% 0,h 0,α+δ). (22) При этом в качестве оптимального значения целевого функционала берем интервал D% (G%0,h%) = uxD(G%0 0,h% ),D G( %0 0,h% ) от оптимума целевого функционала нижней граничной задачи D 0 до оптимума целевого функционала верхней граничной задачи D 0 , переход к предельному случаю, когда δ → 0 , дает представление искомого решения в виде ( G% 0,h%0 )= (G% 0,h0 )= (G% 0,h 0 ). Пример 2. Рассмотрим объект 2-го порядка x1 ( )n = x n1( - +1) x n2 ( ); x2 ( )n = x n2 ( - +1) u n%( ); Mu%2 ( )n ≤ a%; a% = [a - δ, a + δ]. Пусть (23) s n( ) = x n1( ) +ξ( )n n, ≤ N M, ξ2 =σ2. Тогда = - -iλ 2 2= 4 ψ(λ) | (1 e ) | 16sin (λ / 2). По результатам наблюдения s n( ), n ≤ N, требуется оценить s N( + 2) , Q(λ) = e2iλ. В обозначениях теоремы 3.8 [6, с. 140] T(λ) = 0,Λ = -[ π,π],n =1. Зададим произвольное малое число ε > 0, на которое могут отличаться граничные оценки спектральной плотности h%0 (λ, q) : h 0 (λ) = h 0 (λ) + ε, (24) тогда с учетом полученного изменения границ спектральной плотности возмущения u n%( ) получим верхние оценки в изменившихся параметрах оптимизации минимаксной экстраполяции задачи Eε% - d d% % % %0, 1,β0,β1: d%0 = e-β%0 ; d%1 =-eβ%0β%1; h , )q dλ ≤ ; (25) При оценивании s(N + 2), Q(λ) = e2iλ в интервальной задаче Eε% , согласно [1, с. 140] система соотношений, определяющих седловую точку в игре экстраполяции, принимает верхний (нижний) граничный вид +∞ τδ); -∞ α 2 2+-∞∞ α -16sin4 2 dλ=(а τ {max 0; -δ). Выражения для значений множителя Ла- %0 α0, α0 в нижних и верхних грагранжа α = ничных задачах экстраполяции будут определяться из выражения для спектра возмущения u n%( ): h %(λ,q) = 0τ2,| λc% |1> π 16sin (λ/2) | λ | Г , где константа c% имеет вид c e% = -2β%0 / α%0. Отсюда находим оптимальную нижнюю и верхнюю границы для множителя Лагранжа: 0 h(λ) α =, τ2 1+ -β12 2β1cosλ -16sin4(λ/2) . (26) τ2 (1+ -β12 2β1cosλ)-16sin4(λ/2) Как видно из выражения (26), в пределе при δ→ 0 множители Лагранжа сколь угодно близки при любом заданном малом числе ε. Следовательно, при δ→ 0 согласно (24) выполнимо и соотношение h (λ) = h(λ) = h0 (λ) и предельная оценка искомого функционала в точке α% 0 = α0 = α0 при наихудшем возмущении u n%( ) = const будет равна D (G% 0 ,h%0 ) = D (G% 0 ,h%0 ) = α%0 (1+ 2 )2 , где α%0 определяется из соотношения (28), поскольку пересечение множеств решений нижней {Мн(G% 0,h0 ,α)} и верхней {Мв(G h%0, 0,α)} граничных задач в этом случае непусто, в соответствии с теоремой 7 решение интервальной задачи существует и принимает вид G%0(λ) = , z = e-iλ; λ∈ -[ π,π]; 0,| λ |> π h%0 (λ, q) = , | λ |≤λГ ; 0 α% = . τ2 1 1 + -β%12 2β%1cosλ -16sin4(λ/2) 0 h% (λ, )q Выигрыш в точности оценки прогноза наблюдения составляет 3/ 1+ 2()-1 *100 % ≈ 25%. На рис. 1. приведены графики весовых функций g n%э( ) экстраполяции при k = σ%2 =1,05; a 0,95; k =1 и δ= 0,05 . Рис. 1. Графики весовых функций g n%э( ) экстраполяции при разных значениях параметра k И с т о ч н и к: выполнено И.Г. Сидоровым Figure 1. Graphs of g n%э( ) extrapolation weight functions for different values of the k parameter S o u r c e: made by I.G. Sidorov Пример 3. Покажем возможность практического применения данной методики робастной экстраполяции на примере прогнозирования сезонного спроса в задачах с экономическим содержанием при экстраполяции на N ≤ N0 шагов, где N0 - период сезонных колебаний спроса. Пусть полезная составляющая s%( )n = x n%1( ) + z n%( ) , где x%1( )n - «регулярная» составляющая, относительно медленно изменяющаяся во времени (инерционная); z n%( ) - «сезонная» составляющая, относительно быстро изменяющаяся во времени. Пусть x%1( )n описывается уравнениями объекта 2-го порядка: x n%1( ) = x n%1( - +1) x%2(n -1); x%2( )n = x%2( )n + u n%( ); Mu n%( ) = 0.% z n%( ) описывается уравнением объекта 1-го порядка, учитывающим сезонность, z n% ( ) = z n% ( - 2 ) +ν% ( n ); M ν% ( n ) = 0 . Здесь un%( ), ν%( )n - нечетко-интервальные возмущения, дисперсии которых могут быть оценены сверху: Mu%2 ( )n ≤ a M%1; ν%2 ( )n ≤ a%2 ; a%1 = [a1 -δ, a1 +δ], a%2 = [a2 - δ,a2 + δ]. Требуется оценить значение s N%( +1) по результатам наблюдения процесса s%( )n на интервале времени (-∞, N]. Для синтеза робастного минимаксного устойчивого фильтра воспользуемся системой соотношений [1, с. 157- 158]. По этим соотношениям найдем λ%г из уравнения 2 λ%г λ%г = a%1 . tg % % 2 π λ- г a2 Решив это нечетко-интервальное уравнение, получим Λ% 1(α%1,α% 2,) = -[ λ λ% г , % г ], Λ% 2 (α%1,α% 2,) = -[ π,-λ% г ) U (λ% г , π], α%1=2λ% г /a ,%1 α% 2 =2(π-λ% г )/a ;%2 hu% (λ) = 2%λ%г / a%1 при |λ| ≤ λ%%г - 0 при |λ| > λг спектр процесса u n%( ); 0% при |λ| < λ% hν% (λ) = 2(π λ- ) / a%2 при |λ| ≥λ%гг - спектр процесса ν%( )n . Частотная характеристика минимаксного нечетко-интервального робастного устойчивого фильтра имеет вид при любом заданном малом числе нечеткости δ → 0 в дисперсиях нечетко-интервальных возмущений G(λ) =[eiλ -e eβ%0 iλ / X%+(λ)]; β%0 = 1 π lnX%+(λ)dλ; 4π-π X%+(λ) =hu% (λ) +hν% (λ); ∞ (X%+(λ))-1 = be%n -i nλ . n=0 Отсюда значения интервально нечеткой весовой функции фильтра g n%( ) =-b%n+1 . b%0 Для дисперсии ошибки оценивания справедливо соотношение [1, (3.167), с. 157] D% = 2πe2β%0. Характерно, что наибольшее значение весовая функция g n% ( ) достигает при n = 1, т. е. интервальный прогноз ∞ s n%( + =1) g k y n% ( ) % ( -k ) k =0 процесса s n%( ) с наибольшим весом входит не «измерение» y n%( ), а y n%( -1) - «измерение» процесса s n%( ) за предыдущий «сезон». На рис. 2. показаны графики весовой функции g n%э( ) экстраполяции для случая влияния только возмущения u% и для случая одновременного влияния обоих возмущений u% и ν% . Рис. 2. Графики весовой функции g%э( )n экстраполяции: a - для случая влияния только возмущения u% ; б - для случая одновременного влияния обоих возмущений u% и ν% И с т о ч н и к : выполнено И.Г. Сидоровым Figure 2. Graphs of the g n%э( ) extrapolation weight function: a - for the case of influence only u% perturbations; б - for the case of simultaneous influence of both u% and ν% perturbations S o u r c e : made by I.G. Sidorov Заключение В исследовании показано, что проблема интервальной μ -робастной нечеткой линейной минимаксной экстраполяции в условиях интервальной неопределенности параметров достаточно просто разрешима, если использовать конструктивную теорию сравнения интервальных величин, которая сводит указанное сравнение к сравнению одноименных неизвестных границ этих интервалов с использованием μ робастной регуляризации в задаче экстраполирования стационарного случайного процесса с учетом интервальных моментных ограничений, которым удовлетворяют неизвестные параметрические составляющие спектральных плотностей полезной составляющей и помехи. Тем самым поиск оптимума неполностью определенного функционала дисперсии ошибки оценивания можно свести к нахождению одноименного оптимума двух полностью определенных (детерминированных) функционалов. Наш детерминизационный подход примечателен тем, что позволяет вполне строго свести оптимизацию неполностью определенных согласованных функций Лагранжа к хорошо известным и эффективным методам оптимизации уже полностью определенных согласованных функций Лагранжа. Этот подход, в отличие от других (например, вероятностного), всегда обеспечивает существование устойчивого по результату и решению единственного оптимума в задаче интервальной минимаксной экстраполяции за счет регуляризации по малому параметру μ при производной от собственной функции сингулярно-возмущенного интегро-дифференциального уравнения первого порядка с интегральным оператором типа Вольтерры второго рода, определяемым симметрическим, замкнутым вещественным ядром. Предлагаемый подход можно обобщить и на нестационарную - слабо стационарную динамическую линейную систему с медленно изменяющимися коэффициентами линейной системы «объект - измеритель», в предположении выполнимости аналогов слабой робастной теоремы В.Л. Харитонова для непрерывного случая и дискретного случаев. Рассмотренный минимаксный подход к решению робастно устойчивой линейной экстраполяции процесса по результату и решению по малому параметру регуляризации μ является крайне актуальным в своем применении в областях автоматического управления, радиотехники, радиолокации, в математических моделях обработки слабоструктурированной информации о состоянии параметров движения воздушного судна и их оперативного мониторинга, разработки и эксплуатации систем автоматизированного контроля и диагностирования, в экономике в отсутствие достоверных статистических моделей сигналов и помех в очень многих стохастических измерительных системах, необходимых для использования байесовских алгоритмов типа Винера - Колмогорова, Калмана. Приложение Лемма 1 (о возможном выборе ортогональной функции f ( )t к собственным функциям Xu% (t q, ) ядра K (ξ, )t в уравнении (12) в задаче ( Eε% )). Функция f ( )t будет ортогональна к собственным функциям Xu% (t q, ) в том случае, если Фурье-изображение этой функции ξ%0(λ) = ξ0(λ) / Xu%-(λ, )q является аналитической в верхней полуплоскости функцией, такой что в соответствии с теоремой 1.1 (см. [1, с. 21]) выполняется условие оптимальности фильтра-экстраполятора, которое можно записать в случае возможной факторизации функции X (λ) в виде u% Xu+% (λ)(Gext (λ, )q Q- (λ)) = ξ0(λ) / Xu-% (λ), Xu%(λ, )q h q= %(λ, ) или в случае невозможности факторизации функции Xu% (λ, )q в виде ext Xu% (λ, )(q G (λ, )q Q- (λ)) = ξ0(λ), где ξ0(λ) - некоторая аналитическая в верхней полуплоскости функция. Доказательство. Поскольку никаких дополнительных условий аналитичности на функцию P ( λ ) = 1 / φ ( λ ) в задаче Eε% не накладывается, то условия оптимальности экстраполятора в соответствии с теоремой 1.1 [1, с. 21] заключаются в выполнении соотношения (c учетом ограничения T (λ) = 0 в задаче Eε% ): ext Xu% (λ, )(q G (λ, )q Q- (λ)) = ξ0(λ) или с учетом факторизации функции X u% (λ, )q = X u%+ (λ,q X) u%- (λ,q) это соотношение можно переписать в виде Xu%+ (λ,q G)( ext (λ,q)-Q( ))λ =ξ0( )λ / Xu%- (λ, ),q при этом скалярное произведение функции ξ%0 ( )λ = ξ0 ( )λ / X u%- (λ,q) и собственной функции Xu%+(λ, )q будет равно нулю: +∞ -∞ +∞ = f t X( ) u% (t q dt, ) = 0.. -∞ Это следует из теоремы Планшереля [15, c. 431], что и требовалось доказать. Лемма 1 доказана.

About the authors

Igor G. Sidorov

Moscow Polytechnic University

Author for correspondence.
Email: igor8i2016@ya.ru
ORCID iD: 0000-0003-4691-4855
SPIN-code: 1676-7269

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Automation and Control Processes

Moscow, Russia

References

Supplementary files