Energy cost analysis to station keeping for satellite formation type “TerraSAR-X - TanDEM-X”

Full Text

Введение [‡] Для спутниковых систем решаются два основных типа задач маневрирования: маневры создания спутниковой системы и маневры поддержания созданной конфигурации спутниковой системы. Маневры формирования спутниковых систем (Satellite Constellation, SC) и спутниковых групп (Satellite Formation, SF) имеют свои особенности. Можно выделить два типа задач формирования спутниковых систем. В первом типе задач плоскости начальной и конечной орбит близки, и для расчета маневров, переводящих космический аппарат (КА) в заданную позицию, достаточно решить классическую задачу встречи [1-3]. Если долгота восходящего узла начальной и конечной орбиты отличается на несколько десятков градусов, что имеет место, когда спутник необходимо перевести в другую рабочую плоскость, требуются специальные методы расчета параметров маневров [4-7]. При расчете маневров формирования спутниковых групп возникает необходимость учитывать возможность столкновения спутников [8; 9]. Для поддержания конфигурации спутниковых систем различают две основных стратегии: жесткое и гибкое поддержание (в зарубежной литературе используются термины абсолютное и относительное поддержание). При жестком поддержании движение каждого из спутников согласуется с некоторым заданным движением, что позволяет рассчитывать параметры маневров каждого спутника независимо от положения других спутников, входящих в систему. При гибком поддержании - обеспечивается согласованное движение всех спутников системы. Гибкое поддержание требует меньших затрат суммарной характеристической скорости и меньшего числа импульсов скорости [10]. Наиболее сложной является задача поддержания заданной конфигурации спутниковой группы. Объекты данного вида спутниковых систем находятся в непосредственной близости друг от друга и ошибка в управлении их движением может привести к столкновению этих объектов и тем самым к потере этой системы. Кроме того, для успешного выполнения задач спутниковой группой требуется высочайшая точность поддержания ее конфигурации. В нашей стране еще нет примера успешного создания и эксплуатации спутниковой группы. На западе спутниковые группы успешно эксплуатируются уже более двух десятков лет, хотя число таких успешных систем относительно невелико. Для спутниковых групп одновременно применяются оба типа поддержания. Для орбиты основного (ведущего) спутника используется жесткое (абсолютное) поддержание, в то время как для второго спутника (остальных спутников группы) кроме аналогичного жесткого поддержания используется и гибкое (относительное) поддержание. 1. Общие принципы поддержания заданной конфигурации спутниковой группы В процессе поддержания ведущий спутник должен находиться в заданном диапазоне по каждому из контролируемых элементов орбиты (находиться в боксе заданного размера). Когда спутник в процессе эволюции его орбиты достигает одной из стенок бокса, с помощью маневров его переводят на противоположную стенку. Ведомый спутник (или спутники) должен одновременно выполнять точно такие же маневры, чтобы поддерживать свою орбиту. Дополнительно, для ведомого спутника задаются номинальные значения отклонений элементов его орбиты от элементов орбиты ведущего спутника и диапазоны допустимых отклонений от этих номинальных значений. Когда значения относительных отклонений элементов его орбиты от элементов орбиты ведущего спутника выходят из допустимого диапазона, рассчитываются параметры маневров, возвращающих ведомый спутник на его номинальную орбиту относительно ведущего спутника. Ведущий спутник в этот момент не маневрирует. Сколько бы не было спутников в спутниковой группе, если каждый из них поддерживает заданное положение относительно ведущего спутника, то все спутники поддерживают заданное положение и относительно друг друга. 2. Выбор безопасной конфигурации Satellite Formation TerraSAR-X - TanDEM-X Примером чрезвычайно успешного создания и функционирования спутниковой группы является SF TerraSAR-X - TanDEM-X [11-13]. Основная цель запуска данной спутниковой группы - создание глобальной цифровой модели высот повышенной точности для широкого диапазона научных исследований и коммерческого использования. Эта задача была успешно выполнена. Нас в первую очередь интересует выбор конфигурации этой спутниковой группы и поддержание с высокой точностью этой заданной конфигурации. Даже небольшое расхождение в величинах больших полуосей орбит спутников постепенно приводит к существенному изменению их взаимного положения вдоль орбиты и, следовательно, развалу системы. Наличие разных значений наклонения и/или большой полуоси также приводит к развалу конфигурации системы из-за увеличения расхождения по долготе восходящего узла (ДВУ). Обеспечить безопасное и продолжительное функционирование близко расположенной группы спутников можно за счет разнесения следа орбит в плоскости, перпендикулярной вектору скорости и/или их сдвигу вдоль траектории движения. Например, для создания устойчивой SF можно использовать разницу в ДВУ и разницу в векторе эксцентриситета. Разница в ДВУ приведет к обеспечивающему безопасность смещению вдоль экватора, однако в апексе и вертексе орбиты это смещение исчезнет. Исправить ситуацию поможет разница в векторе эксцентриситета, направленная на апекс или вертекс орбиты. Тогда в точках, наиболее удаленных от экватора, будет максимальное относительное смещение в радиальном направлении. Подбором величин отклонений по ДВУ и вектору эксцентриситета можно добиться, чтобы ведомый спутник двигался относительно ведущего почти по окружности в плоскости, перпендикулярной вектору скорости ведущего спутника. Именно такая схема отклонений была применена в спутниковой группе TerraSAR-X - TanDEM-X. Отклонение в горизонтальном направлении было 362 м, а в вертикальном 400 м. Для предотвращения смещения трассы отклонение вдоль орбиты было уменьшено до 5,5 км, что соответствует разнице во времени пересечения экватора 0,72 с. Чтобы получить радиальное смещение в апексе 400 м, надо приложить на экваторе радиальный импульс скорости, направленный вверх (1). Этот импульс скорости даст направленное вниз изменение вектора эксцентриситета: , (1) В результате действия этого импульса скорости произойдет смещение спутника вдоль орбиты (2) в нисходящем узле (будет отставать от ведущего спутника) за счет того, что ведомый спутник от восходящего до нисходящего узла летит по более высокой орбите: (2) Расстояние между спутниками вдоль орбиты увеличится в нисходящем узле до 7,1 км. На участке траектории ниже плоскости экватора ведомый спутник будет лететь ближе к Земле, и это отставание будет компенсировано. Необходимое смещение по ДВУ (ΔΩ) в восходящем узле: (3) таким образом, ΔΩ ≈ 0,003°. В результате действия этих отклонений относительная траектория спутника лежит на поверхности отрезка трубы радиусом примерно 400 м и длиной 1600 м (см. рисунок). В табл. 1 приведены параметры орбит ведущего (объект 1) и ведомого (объект 2) спутников, отклонения вектора эксцентриситета и ДВУ которых соответствуют вычисленным отклонениям. Таблица 1 Параметры орбит ведущего (объект 1) и ведомого (объект 2) спутников [Table 1. The orbital parameters of the master (object 1) and slave (object 2) satellites] Объект 1 [Object 1] Объект 2 [Object 2] a 6892,93 6892,93 ex 0,000468 0,000468 ey 0,001238 0,001171 i 97,44 97,44 Ω 66,733 66,736 U 360 359,95 Дата [Date] 7/1/2005 20:31:56,14 7/1/2005 20:31:56,14 Баллистический коэффициент [Ballistic coefficient] 0,01 0,01 Эти начальные условия были использованы для изучения движения первого аппарата (ведущего спутника) и относительного движения ведомого спутника. Рисунок. Траектория ведомого спутника относительно траектории ведущего спутника [Figure. The trajectory of the slave satellite relative to the trajectory of the master satellite] Сама относительная траектория движения ведомого спутника по поверхности трубы изображена на рисунке сплошной жирной линией, а траектория движения ведущего спутника жирной пунктирной линией. Положение ведущего спутника B обозначено звездочкой. 3. Поддержание заданной орбиты ведущего спутника Задача поддержания рабочей конфигурации группы спутников разбивается на две подзадачи. В первой подзадаче требуется обеспечить синхронизированное поддержание рабочей орбиты каждого из спутников, входящих в группировку, во второй - обеспечить необходимую конфигурацию положения спутников внутри самой группировки. Предполагается, что текущая орбита ведущего спутника должна находиться в пределах трубы радиусом 250 м вокруг номинальной орбиты (на рисунке основание трубы и ее образующие нарисованы линиями, состоящими из точек). Очень важно, что маневры, исполняемые ведущим спутником, не должны выводить его за круг радиуса 250 м в плоскости, перпендикулярной вектору скорости. Таким образом, останется не менее 150 м между TSX и TDX в плоскости, перпендикулярной направлению движения спутника, что обеспечивает безопасное функционирование SF. Чтобы удовлетворить ограничению в 250 м в плоскости, перпендикулярной направлению движения спутника, изменение большой полуоси не должно превышать 250 м (ΔVt < 0,16 м/с), изменение наклонения Δi < 0,002° (ΔVz < 0,27 м/с), изменение эксцентриситета Δe < 0,000041 (ΔVr < 0,31 м/с, ΔVt < 0,16 м/с), изменение ДВУ ΔΩ < 0,002° (ΔVz < 0,27 м/с). Для того чтобы заданная конфигурация спутниковой группы не распадалась, необходимо одновременно выполнять идентичные маневры поддержания орбиты не только ведущего, но и ведомого спутника. Если для поддержания орбиты корректируются большая полуось и/или наклонение, то для их коррекции достаточно одного импульса скорости, прикладываемого в районе экватора. Если одновременно корректируется еще и вектор эксцентриситета, то необходимо использовать два или три импульса скорости. Расчет параметров таких маневров не представляет особой сложности [14; 15]. Далее на основании нескольких примеров анализируются частота выполнения маневров и затраты суммарной характеристической скорости (СХС) в зависимости от точности поддержания орбиты ведущего КА. Перед каждым примером указано, отклонение каких элементов контролируется, а также величина самих максимальных контролируемых отклонений. Поддержание рассматривается на интервале времени длиною в пять месяцев. Файлы с результатами в программе достаточно большие, содержат много промежуточной информации о параметрах орбиты до и после каждого маневра, поэтому в статье приводится только наиболее важная информация, которая позволяет понять, сколько маневров и какие затраты СХС требуются на поддержание орбиты. Для каждого примера (табл. 2-5) приводится число маневров, число подъемов (если двухимпульсный маневр, то число маневров в 2 раза больше числа подъемов), затем суммарная характеристическая скорость всех маневров и отдельно затраты на маневрирование в плоскости орбиты и на поворот плоскости орбиты. Затем идет информация о каждом из маневров: его номер, номер витка, на котором выполнялся маневр, аргумент широты начала маневра, составляющие импульса скорости, угловая продолжительность маневра. Поскольку маневров может быть очень много, то приводится информация о двух первых и двух последних маневрах. Таблица 2 Примеры результатов при поддержании большой полуоси [Table 2. Examples of results when maintaining a large semi-axis] Пример 1. Точность поддержания: a = 0,200 км [Example 1. Maintenance accuracy: a = 0.200 km] Num. of Imp. Nlift dVsum (m/s) dVplsum (m/s) dVzsum (m/s) 392 196 23.186899 23.186899 0.000000 Num. Imp. REV U (deg.) dVr (m/s) dVt (m/s) dVz (m/s) dU (deg.) 1 59 70,413095 0,00000000 0,06242040 0,00000000 3,957064 2 59 250,413095 0,00000000 0,06271513 0,00000000 3,957064 391 2257 67,940506 0,00000000 -0,05718145 0,00000000 3,583502 392 2257 247,940506 0,00000000 -0,05745051 0,00000000 3,583502 Пример 2. Точность поддержания: a = 0,250 км [Example 2. Maintenance accuracy: a = 0.250 km] Num. of Imp. Nlift dVsum (m/s) dVplsum (m/s) dVzsum (m/s) 2 1 0,139744 0,139744 0,000000 Num. Imp. REV U (deg.) dVr (m/s) dVt (m/s) dVz (m/s) dU (deg.) 1 89 70,289161 0,00000000 0,06970808 0,00000000 4,419048 2 89 250,289161 0,00000000 0,07003587 0,00000000 4,419048 Таблица 3 Примеры результатов при поддержании большой полуоси и наклонения [Table 3. Examples of results in maintaining a large semi-axis and inclination] Пример 3. Точность поддержания: a = 0,250 км, i = 0,0040° [Example 3. Maintenance accuracy: a = 0.250 km, i = 0.0040°] Num. of Imp. Nlift dVsum (m/s) dVplsum (m/s) dVzsum (m/s) 102 102 55,649149 4,636243 55,346186 Num. Imp. REV U (deg.) dVr (m/s) dVt (m/s) dVz (m/s) dU (deg.) 1 88 360,000000 0,00000000 0,13922012 0,48351157 31,830354 2 92 360,000000 0,00000000 -0,06287404 0,54503071 34,699967 101 2229 360,000000 0,00000000 0,07273763 -0,53638274 33,317671 102 2293 360,000000 0,00000000 -0,07333842 0,53656962 33,326187 Пример 4. Точность поддержания: a = 0,250 км, i = 0,0043° [Example 4. Maintenance accuracy: a = 0.250 km, i = 0.0043°] Num. of Imp. Nlift dVsum (m/s) dVplsum (m/s) dVzsum (m/s) 32 32 18,566270 2,285957 18,372802 Num. Imp. REV U (deg.) dVr (m/s) dVt (m/s) dVz (m/s) dU (deg.) 1 88 360,000000 0,000000 0,139220 -0,483512 31,830354 2 122 360,000000 0,000000 -0,028862 0,583749 36,965446 31 1333 360,000000 0,000000 0,111494 -0,580231 37,048646 32 1367 360,000000 0,000000 -0,028437 0,571256 35,855597 Таблица 4 Поддержание большой полуоси и эксцентриситета [Table 4. Maintaining a large semi-axis and eccentricity] Пример 5. Точность поддержания: a = 0,200 км, e = 0,00004 [Example 5. Maintenance accuracy: a = 0.200 km, e = 0.00004] Num. of Imp. Nlift dVsum (m/s) dVplsum (m/s) dVzsum (m/s) 100 50 8,393690 8,393690 0,000000 Num. Imp. REV U (deg.) dVr (m/s) dVt (m/s) dVz (m/s) dU (deg.) 1 59 70,413064 0,00000000 0,09552725 0,00000000 6,055792 2 59 250,413064 0,00000000 0,02946955 0,00000000 1,859329 99 2284 254,699446 0,00000000 0,07966285 0,00000000 5,005170 100 2285 74,699446 0,00000000 -0,08158077 0,00000000 5,150533 Пример 6. Точность поддержания: a = 0,250 км, e = 0,000040 [Example 6. Maintenance accuracy: a = 0.250 km, e = 0.000040] Num. of Imp. Nlift dVsum (m/s) dVplsum (m/s) dVzsum (m/s) 92 46 7,658421 7,658421 0,000000 Num. Imp. REV U (deg.) dVr (m/s) dVt (m/s) dVz (m/s) dU (deg.) 1 89 70,289119 0,00000000 0,12456869 0,00000000 7,896774 2 89 250,289119 0,00000000 0,01494584 0,00000000 0,942972 91 2284 254,698455 0,00000000 0,07960424 0,00000000 5,003325 92 2285 74,698455 0,00000000 -0,08151828 0,00000000 5,148478 Пример 7. Точность поддержания: a = 0,250 км, e = 0,000050 [Example 7. Maintenance accuracy: a = 0.250 km, e = 0.000050] Num. of Imp. Nlift dVsum (m/s) dVplsum (m/s) dVzsum (m/s) 36 18 3,436308 3,436308 0,000000 Num. Imp. REV U (deg.) dVr (m/s) dVt (m/s) dVz (m/s) dU (deg.) 1 89 70,289119 0,00000000 0,12456869 0,00000000 7,896774 2 89 250,289119 0,00000000 0,01494584 0,00000000 0,942972 35 2284 253,190702 0,00000000 0,09585113 0,00000000 6,037372 36 2285 73,190702 0,00000000 -0,10079034 0,00000000 6,379022 Таблица 5 Поддержание большой полуоси, наклонения и эксцентриситета [Table 5. Maintaining the large semi-axis, inclination and eccentricity] Пример 8. Точность поддержания: a = 0,200 км, e = 0,000040, i = 0,0050° [Example 8. Maintenance accuracy: a = 0.200 km, e = 0.000040, i = 0.0050°] Num. of Imp. Nlift dVsum (m/s) dVplsum (m/s) dVzsum (m/s) 84 42 8,356246 7,399970 3,061436 Num. Imp. REV U (deg.) dVr (m/s) dVt (m/s) dVz (m/s) dU (deg.) 1 59 360,000000 0,00000000 0,04211674 -0,35432236 22,573248 2 60 126,773035 0,00000000 0,04797374 0,00000000 3,039900 83 2223 76,000000 0,00000000 -0,09911209 -0,00087498 6,258485 84 2223 252,795666 0,00000000 0,09984579 -0,00089311 6,274116 Пример 9. Точность поддержания: a = 0,250 км, e = 0,000040, i = 0,0070° [Example 9. Maintenance accuracy: a = 0.250 km, e = 0.000040, i = 0.0070°] Num. of Imp. Nlift dVsum (m/s) dVplsum (m/s) dVzsum (m/s) 130 65 13,256772 11,461227 5,602099 Num. Imp. REV U (deg.) dVr (m/s) dVt (m/s) dVz (m/s) dU (deg.) 1 89 360,000000 0,00000000 0,03193747 -0,45166000 28,643946 2 90 88,821038 0,00000000 0,09470102 0,00000000 6,002449 129 2268 94,000000 0,00000000 -0,11033447 0,03132133 7,225086 130 2268 221,273429 0,00000000 0,06262888 0,04754978 4,934365 4. Поддержание относительного положения ведомого спутника При поддержании положения ведомого спутника относительно ведущего выполнялась одновременная коррекция всех элементов орбиты. Таким образом, по существу, решалась задача некомпланарной встречи. Рассмотрим процедуру определения параметров оптимальных двухимпульсных маневров встречи, когда КА необходимо перевести в заданную точку на произвольной некомпланарной орбите за фиксированное время. В этой задаче имеется восемь свободных переменных (два угла приложения импульсов скорости j1, j2 и шесть составляющих импульсов DVt1, DVr1, DVz1, DVt2, DVr2, DVz2) и шесть ограничений в виде равенств. Система из шести линейных уравнений, которую необходимо решить, приведена в [16]. Можно зафиксировать значение двух переменных, например углы приложения первого и второго импульсов скорости j1 = j1f и j2 = j2f, а затем, решив систему линейных уравнений, определить величины составляющих импульсов скорости DVt1, DVr1, DVz1, DVt2, DVr2, DVz2. Далее достаточно перебором провести оптимизацию по двум переменным j1, j2, чтобы найти параметры оптимального решения. Чтобы обеспечить необходимую методическую точность решения задачи, параметры маневров уточнялись с помощью известной итерационной процедуры [17]. В первом примере отклонения для орбиты ведущего КА брались номинальные, чтобы он не выходил за пределы круга радиуса 250 м. Поддержание рассматривалось на интервале в один месяц. Потребовалось 123 раза (табл. 6) изменить орбиту ведущего КА, в основном из-за нарушения ограничения по наклонению, но иногда и по эксцентриситету. Таблица 6 Пример результатов при поддержании положения ведомого спутника [Table 6. Example of results when maintaining the position of the slave satellite] Num. of Imp. Nlift dVsum (m/s) dVplsum (m/s) dVzsum (m/s) KA 1 246 123 56,631043 16,776420 50,576005 Относительное поддержание потребовало существенно меньше коррекций движения. Ниже приведены значения поддерживаемых относительных отклонений (обозначены буквой d) и точностей поддержания соответствующих отклонений (обозначены буквами dd): da = 0,0 км, dda = 0,15 км, dex = 0, ddex = 0,000025, dey = 0,000066, ddey = 0,000025, di = 0,0°, ddi = 0,00115°, dOMG = -0,003°, ddOMG = 0,00115°, dn = -5,5 км, ddn = 0,1 км. Ограничения были нарушены всего шесть раз, два раза нарушено ограничение ddn (положение вдоль орбиты) и четыре раза нарушено ограничение ddex (составляющая вектора эксцентриситета). Было произведено шесть изменений орбиты (12 маневров). Затраты составили всего 1,67 м/с, 1,00 м/с в плоскости орбиты и 0,96 м/с на поворот плоскости орбиты. В табл. 7 приведена информация об импульсах скорости. Таблица 7 Информация об импульсах скорости при поддержании положения ведомого спутника [Table 7. Information about speed pulses while maintaining the position of the slave satellite] Num. Imp. REV U (deg.) dVr (m/s) dVt (m/s) dVz (m/s) dU (deg.) 1 0 52,44 0,001 -0,015 0,001 0,94 2 1 356,44 -0,02 0,015 0,001 1,54 3 4 15,01 -0,004 -0,003 -0,03 1,69 4 5 179,01 -0,045 0,002 0,45 28,43 5 101 86,12 0,17 -0,001 0,001 10,82 6 102 350,12 0,001 0,011 -0,001 0,68 7 198 86,08 0,17 -0,011 0,002 10,77 8 199 350,08 0,001 0,011 0,001 0,67 9 295 86,05 0,17 -0,010 -0,0014 10,74 10 296 350,05 0,001 0,010 -0,001 0,65 11 392 40,90 0,068 0,024 -0,16 10,93 12 393 340,90 -0,281 0,054 -0,318 26,47 12 393 340,900006 -0,28189176 0,05404431 -0,31841602 26,471034 Относительное поддержание не требует коррекций, если допустимые относительные отклонения больше следующих значений: dda = 0,15, ddex = 0,000066, ddey = 0,000132, ddi = 0,001120, ddOMG = 0,001120, ddn = 3,300000. Заключение Проведенные исследования показали высокую зависимость затрат СХС на поддержание орбиты ведущего КА и, соответственно, на аналогичное поддержание орбиты ведомого КА от точности поддержания рабочей орбиты. Если при точности поддержания большой полуоси (табл. 2) орбиты 200 м на интервале в пять месяцев требуется 196 изменений орбиты (392 маневра) и затраты 23,19 м/с, то при точности поддержания большой полуоси рабочей орбиты 250 м на этом же интервале требуется всего одно изменение орбиты (2 маневра) и затраты 0,139 м/с. Изменение точности поддержания всего на 50 м делает практически нулевыми затраты на поддержание большой полуоси. Для точности поддержания большой полуоси орбиты 250 м была исследована зависимость затрат СХС от точности поддержания наклонения (табл. 3). При точности поддержания наклонения 0.004º на интервале в пять месяцев требуется 102 изменения орбиты (102 маневра) и затраты 55,65 м/с (4,63 м/с в плоскости орбиты и 55,34 м/с на поворот плоскости отбиты). При точности поддержания наклонения 0.0043º требуется 32 изменения орбиты (32 маневра), затраты 18,57 м/с (2,29 м/с в плоскости орбиты и 18,37 м/с на поворот плоскости отбиты). Однако уже при точности поддержания наклонения 0.0045º коррекция наклонения не требуется. Была исследована также зависимость затрат СХС от точности поддержания большой полуоси орбиты и эксцентриситета (табл. 4). Для точности поддержания большой полуоси орбиты 200 м и точности поддержания эксцентриситета 0,00004 требуется 50 изменений орбиты (100 маневров) и затраты СХС 8,39 м/с. Для точности поддержания большой полуоси орбиты 250 м и точности поддержания эксцентриситета 0,00004 требуется 46 изменений орбиты (92 маневра) и затраты СХС 7,66 м/с. Маневрирование происходит в основном из-за нарушения ограничения по эксцентриситету. Маневры чередуются через один. Один маневр увеличивает эксцентриситет, когда достигается нижняя граница, следующий уменьшает эксцентриситет, когда достигается верхняя граница. Интересно, что коррекция эксцентриситета существенно меняет картину коррекции большой полуоси. Точность поддержания большой полуоси практически не влияет на частоту проведения маневров. При точности поддержания эксцентриситета 0,00005 требуется 18 изменений орбиты (36 маневров) и затраты СХС 3,43 м/с, а при точности поддержания эксцентриситета 0,000051 коррекция эксцентриситета не требуется. Та же картина имеет место и при одновременном поддержании большой полуоси орбиты, эксцентриситета и наклонения (табл. 5). При одинаковой точности поддержания эксцентриситета 0,00004 для точности поддержания большой полуоси орбиты 200 м и точности поддержания наклонения 0,005º требуется 42 изменения орбиты (84 маневра) и затраты СХС 8,36 м/с (7,40 м/с в плоскости орбиты и 3,06 м/с на поворот плоскости отбиты), а для точности поддержания большой полуоси орбиты 250 м и точности поддержания наклонения 0,007º требуется 65 изменений орбиты (130 маневров) и затраты СХС 13,26 м/с (11,46 м/с в плоскости орбиты и 5,60 м/с на поворот плоскости орбиты). Результат довольно парадоксальный, так как точность поддержания большой полуоси орбиты и точность поддержания наклонения уменьшились, а число маневров увеличилось. Все маневры нужны для коррекции эксцентриситета, причем они попеременно уменьшают и увеличивают эксцентриситет, что явно не является оптимальным. Такая картина была и при неоптимальном поддержании большой полуоси орбиты. Исследование показало, что при уменьшении точности поддержания по эксцентриситету до Δe = 0,000056 необходимость в маневрировании практически исчезает. Остается только один маневр для поднятия высоты. Данные результаты свидетельствуют о чрезвычайной важности правильного выбора максимальных точностей поддержания по каждому из элементов орбиты, при которых затраты на поддержание минимальны. Для рассматриваемой системы это Δa = 0,250 м, Δi = 0,0045°, Δe = 0,000056. Следовательно, диаметр трубы, внутри которой должен находиться ведущий спутник, целесообразно увеличить до 600 м вместо 250 м, что практически избавит от необходимости проводить маневры поддержания. Увеличение диаметра до этих размеров в первую очередь связано с ограничением по эксцентриситету. Относительное поддержание требует существенно меньших затрат, даже при точностях, требуемых в проекте. Для поддержания заданной конфигурации спутников в течение одного месяца затраты суммарной характеристической скорости составили всего 1,67 м/с, 1,00 м/с в плоскости орбиты и 0,96 м/с на поворот плоскости орбиты. Относительное поддержание не требует коррекций, если допустимые относительные отклонения больше следующих значений: dda = 0.15, ddex = 0,000066, ddey = 0,000132, ddi = 0.001120, ddOMG = 0,001120, ddn = 3,300000.

About the authors

Andrey A. Baranov

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University); Keldysh Institute of Applied Mathematics Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: nikita145@yandex.ru

leading researcher at KIAM RAS, Professor at the Department of Mechanics and Mechatronics of Institute of Space Technologies at Academy of Engineering in RUDN University, PhD (Physics and Mathematics)

6 Miklukho-Maklaya St., Moscow, 117198, Russian Federation; 4 Miusskaya Sq., Moscow, 125047, Russian Federation

Nikita V. Chernov

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

Email: nikita145@yandex.ru

senior lecturer at the Department of Mechanics and Mechatronics of Institute of Space Technologies at Academy of Engineering in RUDN University

6 Miklukho-Maklaya St., Moscow, 117198, Russian Federation

References

Supplementary files