Том 66, № 3 (2020): Спектральный анализ

Мы рассматриваем одномерный оператор Дирака L_P,U. Краевые условия предполагаются регулярными по Биркгофу, а потенциал P(x) - суммируемым на [0, $\pi$]. Вводятся понятия сильно и слабо регулярного оператора. В обоих случаях найдены асимптотические формулы для собственных значений. В этих формулах мы выписываем главные асимптотические члены и оцениваем остатки, которые специфицируем в зависимости от функционального класса потенциала: L_p[0,$\pi$], где p ∈ [1, 2], и пространства Бесова $B_{p,p\text{'}}^{\theta }[0,\pi ]$, где p ∈ [1, 2], а θ ∈ (0, 1/p). Дополнительно мы доказываем равномерность наших оценок по шарам ${||P||}_{p,\theta }\le R$. Затем мы получаем асимптотические формулы длянормированных собственных функций в сильно регулярном случае с такими же оценками остатковв равномерной на [0,$\pi$] метрике. В слабо регулярном случае собственные значения асимптотически двукратны, и мы проводим аналогичные оценки для соответствующих двумерных спектральных проекторов. Далее мы доказываем базисность Рисса в пространстве (L₂[0,$\pi$])² системы собственных и присоединенных функций произвольного сильно регулярного оператора L_P,U. В слабо регулярном случае доказана базисность Рисса двумерных подпространств.

Параллельно с оператором L_P,U мы рассматриваем оператор Штурма-Лиувилля L_q,U , порожденный дифференциальным выражением -y'' + q(x)y с потенциалом q первого порядка сингулярности (т. е. предполагаем, что первообразная u = q^(-1) лежит в L₂[0, $\pi$]) и регулярными по Биркгофукраевыми условиями. С помощью подобия мы сводим к этому случаю операторы более общего вида $-({\tau }_{1}y\text{'})\text{'}+i\left(\sigma y\right)\text{'}+i\sigma y\text{'}+{\tau }_{0}y$, где $\tau {\text{'}}_1, \sigma ,{\tau }_0^{(-1)}\in L_2$ и ${\tau }_1>0$. Для оператора L_q,U получаем такие же результаты об асимптотике собственных значений, собственных функций, результаты о базисности, как и для L_P,U.

Затем для оператора Дирака L_P,U мы доказываем равномерность базисности Рисса по шарам ${||P||}_{p,\theta }\le R$ при p>1 или θ>0. Задача об условной базисности естественным образом обобщается до задачи о равносходимости спектральных разложений в различных метриках. Мы доказываем результат о равносходимости, варьируя три индекса:  $f \in L_{\mu }[0,\pi ]$ (раскладываемая функция), $P\in L_{\aleph }[0,\pi ]$ (потенциал) и $||S_m-S_m^0||\to 0, m\to \infty$, в $L_{\nu }[0,\pi ]$ (равносходимость спектральных разложений посоответствующей норме). В завершение мы доказываем теоремы об условной и безусловной базисности системы собственных и присоединенных функций оператора L_P,U в пространствах $L_{\mu }[0,\pi ], \mu \ne 2$, и в различных пространствах Бесова $B_{p,q}^{\theta }[0,\pi ]$.