Несколько замечаний о зависимости мер Фавара от начальных значений

Аннотация

Обсуждается зависимость меры, относительно которой ортогональна последовательность многочленов, заданная трехчленным рекуррентным соотношением, от начальных данных.

Полный текст

В теории ортогональных многочленов известно [3, 4] прямое утверждение: если последовательность многочленов ортогональна по некоторой неотрицательной мере на вещественной оси, то справедливо трехчленное рекуррентное соотношение, которому удовлетворяют три последовательных многочлена: pn+1(x) = (Anx + Bn)pn(x) - Cnpn-1(x). (1) Теорема Фавара [5] говорит об обращении этого факта: если An,Bn,Cn - вещественные числа при всех n = 1,2,..., причем An > 0 и Cn > 0 (в дальнейшем эти условия предполагаются выполненными), то последовательность многочленов, заданная соотношением (1) и начальными условиями p0(x) = 1, p1(x) = ax+b, a > 0, будет ортогональной относительно некоторой неотрицательной конечной меры на вещественной оси. Один из способов построения меры, по которой ортогональны многочлены pn, состоит в рассмотрении слабого предела некоторых специальных мер, сосредоточенных в нулях этих многочленов (см., напр., доказательство теоремы 2.1.1 в книге [1]). Поэтому, в частности, если все нули лежат в замкнутом промежутке Δ (конечном или бесконечном), то мера μ может быть выбрана с носителем в Δ. Отметим, что рекуррента (1) влечет такое алгебраическое свойство системы многочленов (pn): многочлен pnxk при всех линейно выражается через p1,p2,... Это можно доказать индукцией по k: база k = 0 очевидна, индукционный переход от k - 1 к k следует из тождества Anpnxk = pn+1xk-1 - Bnpnxk-1 + Cnpn-1xk-1. Поэтому если для меры μ все многочлены p1, p2,... ортогональны p0, то есть интегралы при k = 1,2,... равны 0, то при всех n > k, что означает ортогональность системы многочленов (pn) по мере μ. Бесконечная система уравнений для вероятностной меры μ является треугольной системой уравнений на моменты этой меры: каждый следующий момент однозначно выражается через предыдущие. С этой точки зрения она сводится к тому, что надо найти вероятностную меру с данными моментами. Поэтому единственность меры μ равносильна детерминированности соответствующей проблемы моментов. В частности, единственность имеет место, если носитель (хотя бы одной) меры, по которой ортогональны наши многочлены, ограничен. Теорема 1. Рассмотрим последовательность многочленов (pn), ортогональную относительно меры μ, сосредоточенной на замкнутом промежутке Δ, и удовлетворяющую (1) и начальным условиям p0(x) = 1, p1(x) = ax + b. (i) Для других начальных условий p0 = 1, p1 = ax + θ решением реккуренты (1) будет другая последовательность многочленов, обозначим ее. Тогда существует мера μθ, по которой многочлены ортогональны, носитель которой содержит не более одной точки вне Δ. (ii) Пусть rn(x) - решение рекурренты (1) c любыми начальными условиями r0 = 1, r1 = αx+ +β, α > 0. Тогда носитель меры ν, относительно которой ортогональны многочлены (rn), содержит не более одной точки справа от Δ и не более одной точки слева от Δ. Доказательство. (i) Из (1) ясно, что старшие коэффициенты положительны и равны. Зафиксируем θ и обозначим gn(x) = pn(x) - qnθ(x). Тогда deggn < n и для любого вещественного κ имеем, что ортогональны по некоторой мере. Поэтому все корни pn + + κgn простые и вещественные. В частности, это так для pn. Пусть hn - наибольший общий делитель многочленов pn и gn, обозначим pn = hnPn, gn = hnGn. Разложим рациональную дробь gn/pn = Gn/Pn в сумму простейших:, где x1 < x2 < ... - корни Pn и c n n при всех k. Если ci и ci+1 разного знака при некотором i, то функция Gn/Pn на интервале (xi,xi+1) стремится на обоих концах к +∞ или на обоих концах к -∞. Поэтому она достигает там максимума или минимума в точке, скажем, α, равного, скажем, M. Если, то многочлен Gn-MPn, а с ним и -M-1Gn+Pn, а с ним и pn-M-1gn имеет кратный корень - противоречие. Поэтому M = 0, не умаляя общности, это локальный минимум функции Gn/Pn. Тогда при малом ε > 0 уравнение Gn/Pn - ε = 0 имеет не больше чем degGn < degPn корней (в окрестности каждого корня Gn, кроме α - не больше, чем кратность этого корня, и на плюс-минус бесконечности - не более чем по одному). Это противоречит тому, что многочлен Gn - εPn = -ε(Pn - ε-1Gn) имеет degPn корней. Итак, все ci одного знака, то есть знаки значений Gn в точках xk чередуются. Из этого следует, что при любом κ многочлен Pn+κGn имеет хотя бы degPn-1 корней на Δ (по одному между соседними корнями Pn), так что pn+κgn имеет хотя бы degpn-1 = n-1 корней на Δ. Поэтому μθ - слабый предел мер νn, имеющих не более одной точки вне Δ (сосредоточенных на корнях pn). Несложно понять, что такой слабый предел является мерой, носитель которой имеет не более одной точки вне Δ (надо взять точки носителей μn вне Δ и выделить среди этих точек подпоследовательность, сходящуюся к вещественной точке τ или к бесконечности. Мера μθ любого интервала вне Δ, замыкание которого не содержит τ, равна 0 по определению слабого предела. Поэтому кроме точки τ никакая точка вне Δ не лежит в носителе μθ.) (ii) Предположим, что два наибольших корня x1,x2 расположены правее Δ. Тогда рациональная функция pn/rn отрицательна между x1 и x2, стремится к минус бесконечности при приближении к концам интервала (x1,x2), поэтому достигает на этом интервале отрицательного максимума -M. Таким образом, многочлен pn + Mrn имеет кратный корень, но это многочлен их семейства ортогональных многочленов (удовлетворяющих (1))- противоречие. Дальнейшее аналогично (i). Рассмотрим подробно случай рекуррентного соотношения для многочленов Чебышева. Для положительного a и вещественного b рассмотрим последовательность многочленов fn(x) = = fna,b(x), заданную начальными условиями f0(x) = 1, f1(x) = ax+b и fn+1(x) = 2xfn(x)-fn-1(x). Заметим, что при a = 1, b = 0 получаются многочлены Чебышева первого рода Tn (Tn(cost) = = cosnt), ортогональные относительно веса (1-x2)-1/2 на [-1,1]; при a = 2,b = 0- многочлены Чебышева второго рода, ортогональные относительно веса (1-x2)1/2, при a = 1 и b = ∓1/2 - многочлены Якоби с параметрами (±1/2,∓1/2) (точнее, пропорциональные им), ортогональные относительно веса (1 + x)±1/2(1 - x)∓1/2. Теорема Фавара утверждает, что многочлены fna,b(x) ортогональны относительно некоторой меры для любых a > 0 и b ∈ R. Найдем эту меру. Теорема 2. При t ∈ [0,π] положим , где ρ1,ρ2 - корни квадратного трехчлена aρ2 + 2bρ + (a - 2). Если, то многочлены (fn(x)) ортогональны на [-1,1] c весом w0(x). Если a < 1 + |b|, рассмотрим для каждого из корней ρj, для которых |ρj| > 1, точечную π(ρj - 1/ρj) нагрузку величиной (несложно проверить, что это число положительно) в точке ρj - ρ3-j τj := (ρj + 1/ρj)/2, соответствующую меру обозначим λj. Многочлены (fn) ортогональны относительно меры , где сумма содержит одно или два слагаемых в зависимости от количества корней ρj, больших по модулю 1. Доказательство. Прежде всего заметим, что рекуррента Чебышева при общих начальных условиях имеет явное решение: Сначала попробуем найти вес w(x) на [-1,1], для которого - (это получится сделать для некоторых значений параметров a,b, но не для всех: не всегда мера сосредоточена на [-1,1]). Делая замену x = cost, t ∈ [0,π], получаем равносильное условие . Раскладывая функцию по ортогональному нормированному (на констан- ) базису (sinnt)n>0 на [0,π], получаем условие awn+1 + 2bwn + (a - 2)wn-1 = 0 при , где надо считать w0 = 0. Единственным с точностью до пропорциональности решением этой рекурренты является последовательность, где ρ1,ρ2 - корни характеристического уравнения qa,b(ρ) := aρ2 + 2bρ + (a - 2) = 0 (при ρ1 = ρ2 это надо понимать как ). Если оба корня по модулю меньше 1, то ряд равномерно сходится. Пользуясь известной формулой, получаем решение . (2) Обсудим, когда корни квадратного трехчлена qa,b по модулю меньше 1. Необходимым условием этого являются неравенства qa,b(1) > 0, qa,b(-1) > 0, то есть a - 1 - |b| > 0. Поймем, что этого и достаточно. Рассмотрим сначала случай, когда корни вещественные. Точки ±1 лежат вне промежутка между корнями, значит, либо оба корня по модулю меньше 1, либо оба больше 1, либо оба меньшей -1. Но произведение корней по теореме Виета равно 1 - 2/a < 1, поэтому имеет место первый случай: оба корня по модулю меньше 1. Если же корни не вещественные, то они комплексно сопряжены, их модули равны, и квадрат модуля каждого из них равен произведению корней 1 - 2/a < 1. Таким образом, случай, когда оба корня по модулю строго меньше 1, то есть a > 1 + |b|, рассмотрен. Случай, когда они не больше 1, то есть , получается предельным переходом из рассмотренного (условия ортогональности допускают предельный переход, поскольку особенность предельной функции w интегрируема). Теперь найдем меру, по которой ортогональны в случае, когда хотя бы один из корней ρ1,ρ2 по модулю больше 1. Вычислим интеграл в этом случае. Если |ρj| < 1 при j ∈ {1,2}, то . - - Если же |ρj| > 1, то раскладывать геометрические прогрессии надо иначе: откуда . Положим 2τ = ρj +1/ρj. Полагая ρj = eis (для какого-то комплексного s), получаем τ = coss, ρj - 1/ρj = isins, поэтому 2fn(τ)(ρj - 1/ρj) = a(ρnj +1 - ρj-n-1) + 2b(ρnj - ρ-j n) + (a - 2)(ρnj -1 - ρ-j (n-1)) = = -ρ-j n-1(a + 2bρj + (a - 2)ρ2j), откуда . Это позволяет компенсировать интеграл . Осталось убедиться, что члены с δn,1 сокращаются как в случае, когда ровно один корень по модулю больше 1 по модулю, так и в случае, когда оба. (α,β) Классические многочлены Якоби [3] Pn (x) могут быть заданы рекуррентным соотношение типа (1) (см. [3, 10.8(11)]) и начальными условиями. Они стандартизируются значением в точке x = 1. Если мы рассмотрим специальный случай α + β = 0, то получим, что для многочленов Якоби , (3) , (4) рекуррентное соотношение типа (1) имеет вид . (5) Начальные условия имеют вид Из общей теории многочленов Якоби [3] следуют следующие свойства: , (6) где kn - коэффициент при старшем члене. Как видим, при замене α на -α меняется только многочлена рекуррентное соотношение (5) остается тем же. Решения ( α) [7]рекурренты (5) Pn (x) = 0 линейно независимы, поскольку вронскиан (7) не обращается в нуль. Это позволяет построить однопараметрическое семейство ортогональных (относительно некоторой меры) многочленов Wnθ(x), заданное условиями (5) и начальными условиями, При этом для значений θ = ±α получаются многочлены Якоби Pn(±α)(x), ортогональные на [-1,1] по весу (1-x)±α(1+x)∓α, а меры, относительно которых ортогональны семейства Wnθ(x) при других вещественных θ, остаются в значительной степени загадочными. В силу линейной независимости многочленов , общее решение для параметра κ = (θ + α)/(2α) можно представить в виде. Следующая теорема дает ответ на естественный вопрос: при каких значениях параметра θ многочлены ортогональны по мере, сосредоточенной на [-1,1]. Теорема 3. Если , то существует единственная мера, по которой ортогональна последовательность многочленов (Wnθ), и она сосредоточена на отрезке [-1,1]. Если |θ| > |α|, то существует единственная мера, по которой ортогональны многочлены Wnθ, и ее носитель содержит ровно одну точку ξ вне [-1,1]. При b + 1/b расположена справа от 1 и равна ξ = , где b > 1 - корень уравнения 2 . Случаи знаков α и θ аналогичны: при смене знака одного из чисел α, θ число ξ тоже меняет знак. Доказательство. В терминах κ условие |θ| |α| звучит как κ ∈ [0, 1]. Если оно выполнено, то для любого x > 1 и любого целого неотрицательного n имеем. Действительно, старшие коэффициенты многочленов (см. (6)) положительны, их корни лежат на отрезке [-1,1] (из ортогональности), а значит, оба они положительны в точке x. Аналогично, (-1)nWnθ(x) > 0 при x < -1. Таким образом, корни многочленовсосредоточены на [-1,1]. Как известно, одна из мер Фавара, по которой они ортогональны, может быть получена как слабый предел мер, сосредоточенных на корнях этих многочленов, поэтому она тоже имеет носитель в [-1,1]. Для таких мер детерминирована проблема моментов, поэтому других мер, по которым ортогональны , нет. Предположим теперь, что |θ| > |α|, тогда одно из чисел κ или 1 - κ отрицательно. В силу (6) достаточно рассмотреть случай α > 0, κ < 0. Так как (см. (3)) , при больших n значение многочлена в точке 1 отрицательно. Поэтому этот многочлен (его старший коэффициент положителен) имеет корень, больший 1. Такое невозможно для многочленов, ортогональных по мере, сосредоточенной на [-1,1]. Итак, носитель меры, по которой ортогональны Wnθ, не содержится в [-1,1], а значит, он содержит единственную точку вне [-1,1]. В рассматриваемом случае α > 0, κ < 0 эта точка ξ расположена правее 1. Пользуясь записью многочленов в виде (4) и асимптотической формулой [2, 2.4(17)] при больших n, имеем . - Таким образом, если определить ξ как в формулировке теоремы, для всякой точки ξ1 ∈ (1,ξ) значение многочлена в точке ξ отрицательно, а потому этот многочлен имеет корень > ξ1. Но все корни многочленов Wnθ расположены в выпуклой оболочке носителя меры, по которой они ортогональны. Таким образом, атом расположен в точке ξ или правее. Но и правее он быть не может, потому что для любого ξ2 > ξ при больших n из нашей асимптотики имеем Wnθ(x) > 0, а потому все корни расположены до точки ξ2. Следовательно, носитель слабого предела мер, сосредоточенных на нулях, содержится в (-1,ξ].