Решение начально-граничной задачи для волнового уравнения со смешанной производной в уравнении в случае краевых условий Дирихле-Неймана

Полный текст

1. Постановка задачи, история вопроса, основные обозначения и определения Рассмотрим начально-граничную задачу с граничными условиями типа Дирихле-Неймана u(0,t) = 0, u(1,t) = 0, (1.2) ∂x , (1.3) где (x,t) ∈ Q := [0, 1] ×[0,+∞); p1,p2 ∈ R (здесь и далее знак «:=» означает «равно по определению»), все функции, входящие в (1.1)-(1.3), предполагаются комплекснозначными. Считаем, что q(x) ∈ L1[0, 1] и f(x,t) ∈ L1(QT ), где QT := [0, 1]×[0,T] (T > 0 любое и фиксированное число), - в этом случае говорим, что функция f(x,t) из класса Q и пишем f(x,t) ∈ Q. Далее нами будут также использоваться следующие обозначения для частных производных: ∂u ∂u ∂2u ∂2u ux := ∂x, ut := ∂t , uxx := ∂x2 , uxt := ∂x∂t, ... Рассматривается случай гиперболического (волнового) уравнения (1.1), то есть предполагается выполнение условия p21 - 4p2 > 0. В этом случае корни ω1,ω2 характеристического уравнения ω2 + p1ω + p2 = 0 (1.4) вещественны и различны. Требуется найти решение начально-граничной задачи (сокращенно НГЗ) (1.1)-(1.3) в области Q с помощью метода Фурье при как можно более слабых условиях на параметры задачи, то есть на функции ϕ(x) и ψ(x). В зависимости от того, как понимается решение задачи (1.1)-(1.3), накладываются различные требования на эти функции. Уравнение (1.1) является уравнением поперечных колебаний продольно движущейся конечной струны. Такие уравнения актуальны для производственных процессов, связанных с продольным движением материалов (например, бумажного полотна). Исследование таких колебаний началось около 60 лет назад [48, 49, 51]. Излагаемые в статье результаты получены с использованием резольвентного метода решения НГЗ для волнового уравнения в полуполосе плоскости, предложенного А.П. Хромовым и наиболее просто описанного в [41, 42]. Такой подход к решению задачи сформировался не сразу. Историю формирования и развития этого подхода, а также полученные с помощью него результаты можно найти в [2, 3, 6-9, 26, 27, 29-32, 35-40, 43-45]. Аналогичный подход решения НГЗ в полуполосе плоскости для телеграфного уравнения при других краевых условиях используется в [10-14]. Другой подход, отличный от используемого в данной и вышеупомянутых статьях и при других постановках начально-граничных задач, в частности, в первой четверти плоскости, получил развитие в [15-20]. Рассматриваются и другие задачи для уравнения (1.1), например, задача гашения поперечных колебаний продольно движущейся струны [21, 22]. Отличие результатов, представленных в данной статье, от результатов, полученных ранее вторым автором в [29-32], состоит в том, что в данной статье рассматриваются краевые условия типа Дирихле-Неймана, что создает дополнительные, а иногда и принципиальные трудности. Определение 1.1. Под классическим решением (используют также термины решение почти всюду или сильное решение) НГЗ (1.1)-(1.3) понимается функция u(x,t) переменных (x,t) ∈ Q, которая: а) непрерывна вместе с ux(x,t) и ut(x,t), при этом функции ux(x,t) и ut(x,t) абсолютно непрерывны и по x, и по t, функции uxx(x,t), uxt(x,t) и utt(x,t) из класса Q и почти всюду (п.в.) в Q выполняется равенство uxt(x,t) = utx(x,t); (1.5) б) удовлетворяет условиям (1.2)-(1.3) всюду на границе множества Q и уравнению (1.1) п.в. в Q. Отметим, что необходимость в условии (1.5) обусловлена тем, что в случае, когда uxt(x,t) и utx(x,t) не являются непрерывными функциями, это равенство может не выполняться на множестве положительной меры [34]. Для классического решения задачи (1.1)-(1.3) по необходимости выполняются условия (далее ссылаемся на них, как на условия (N)): (N1) ϕ(x) ∈ W12[0, 1], ψ(x) ∈ W11[0, 1]; . Здесь используется стандартное обозначение для банахова пространства гладких функций с нормой Определение 1.2. НГЗ (1.1)-(1.3), в которой и ψ(0) = 0, будем называть классической начально-граничной задачей. Возможны только две принципиально разные ситуации: ω1 < 0 < ω2, (1.6) 0 < ω1 < ω2. (1.7) В случае (1.6) соответствующая спектральная задача является регулярной по Биркгофу [23, 66-67], а в случае (1.7) - нерегулярной. Далее будем рассматривать только случай (1.6). Нерегулярный случай другим методом рассмотрен в [28]. В случае ω1 = -1, ω2 = 1 имеем p1 = 0, p2 = -1 и уравнение (1.1) является классическим уравнением колебания струны uxx - utt = 0. В [42] и предыдущих работах А.П. Хромова (ссылки приведены в [42]) рассматривался именно такой случай. Результаты, излагаемые в настоящей статье, относятся к общему случаю p1 ∈ R. 2. Спектральная задача, связанная с начально-граничной задачей С НГЗ (1.1)-(1.3) связана спектральная задача L(λ)y = 0, (2.1) порожденная оператор-функцией (о.-ф.) L(λ), определяемой дифференциальным выражением с параметром λ (2.2) и краевыми условиями типа Дирихле-Неймана . (2.3) Пусть Rλ есть резольвента L(λ), а G(x,ξ,λ) ее функция Грина. Далее, соответствующие объекты в случае q = 0 обозначаем теми же буквами, что и в случае ненулевого потенциала, но с индексами «0» внизу, например: , G0(x,ξ,λ). 2.1. Асимптотические формулы для собственных значений спектральной задачи. В случае q = 0 в качестве фундаментальной системы решений уравнения берем решения y01(x,λ) := eλω1x, y02(x,λ) := eλω2x. (2.4) Тогда характеристический определитель L0(λ) (см. [23, с. 26]) имеет вид и его корни, очевидно, суть числа и число λ00 = 0, где (2.6) (2.7) ω2 ω2 то есть ln0 есть ветвь натурального логарифма такая, что ln0 1 = 0. Эти числа, кроме точки λ00, являются простыми собственными значениями (с.з.) L0(λ). Число λ00, как легко проверить, не является с.з. Очевидно, этим с.з. соответствуют следующие собственные функции: y0k(x) := eλ0kω2x-eλ0kω1x, k = 0,±1,±2,... Введем области (полуплоскости) - произвольное фиксированное число. Ясно, что , сдвинутые на число -c. Если λ ∈ Π+c , то Re Re. (2.8) А если λ ∈ Π-c , то Re Re. Лемма 2.1. Если q(x) ∈ L1[0, 1] и корни ω1 и ω2 характеристического уравнения (1.4) попарно различны и отличны от нуля, то в каждой из областей при существуют линейно независимые решения y1(x,λ), y2(x,λ) уравнения, аналитические по λ и имеющие асимптотические представления . (2.9) Доказательство. Справедливость доказываемой леммы есть следствие теоремы из [33] об асимптотике системы решений более общего дифференциального уравнения, коэффициенты которого зависят полиномиально от спектрального параметра (аналогичные результаты при более слабых условиях позднее получали и другие математики, библиографию можно найти, например, в [50]). При n = 2 доказательство достаточно простое. Приведем его для полноты изложения. Рассмотрим для примера случай λ ∈ Π+c . Доказательство для случая λ ∈ Π-c аналогично. Для случая λ ∈ Π+c выполняются неравенства (2.8). Рассмотрим уравнение, или подробнее . (2.10) Ищем решения y1(x) и y2(x) этого уравнения как решения следующих интегральных уравнений в C[0, 1]: (2.11) (2.12) Нетрудно проверить непосредственным подсчетом, что решения уравнений (2.11) и (2.12) являются в то же время и решениями уравнения (2.10). Рассмотрим для примера уравнение (2.11). Уравнение (2.12) рассматривается аналогично. Так как решение уравнения (2.11) ищется в пространстве C[0, 1], то решение по необходимости абсолютно непрерывно и удовлетворяет равенству (2.13) Для решения уравнения (2.11) проведем нормировку искомой функции y(x) = eλω1xz(x). (2.14) Тогда для нахождения z из (2.11) получим уравнение (2.15) Имеем тождество по λ: Reλ(ω2 - ω1) ≡ Re(λ + c)(ω2 - ω1) - Rec(ω2 - ω1). Следовательно, на основании (2.8) выполненопри всех . Таким образом, оператор справа в (2.15) является сжимающим из C[0, 1] → C[0, 1] при и, следовательно, уравнение (2.15) имеет единственное решение , (2.16) при этом соответствующий ряд справа (который дает оценку) равномерно сходится. Этот ряд состоит из аналитических по λ функций при λ ∈ Π+c . Тогда по теореме Вейерштрасса [46, с. 106] он представляет собой аналитическую функцию в области Π+c . Учитывая асимптотику (2.16) в (2.14), получим решение y1(x,λ) уравнения (2.10) с асимптотикой , (2.17) аналитическое по λ в Π+c при Учитывая теперь асимптотику (2.17) в формуле (2.13), получим также асимптотику для производной , причем функция также является аналитической по λ в полуплоскости Π+c при . Таким образом, получили решение y1(x,λ), удовлетворяющее утверждению леммы 2.1. Аналогичными рассуждениями, используя уравнение (2.12), можно найти решение y2(x,λ), которое также удовлетворяет утверждению леммы 2.1. Тем самым лемма 2.1 доказана. Далее для краткости будем использовать обозначение Биркгофа . Теорема 2.1. О.-ф. L(λ) имеет счетное число с.з. есть конечное множество, а k0 достаточно большое натуральное число такое, что прис.з. λk простые и справедливы асимптотические формулы . (2.18) - Доказательство. Как известно, с.з. L(λ) являются нулями характеристического определителя [23, с. 27], который с учетом формул (2.9) имеет вид (2.19) и аналитичен при, где константа c будет выбрана далее. Отсюда получим, что с.з. L(λ) при являются решениями уравнения, откуда . (2.20) При имеем оценку для корней уравнения (2.20): Re . 2 - 1 2 Тогда в качестве константы c можно выбрать, например, константу 1 - c0, то есть c := 1 - c0. Проводя теперь рассуждения, аналогичные рассуждениям [23, с. 78-79] с использованием теоремы Руше (см., например, [46, с. 186]), получим, что при достаточно большом натуральном k0 с.з. λk ) простые и имеет место асимптотика (2.18). Если в качестве ф.с.р. уравнения взять аналитические во всей комплексной плоскости решения y˜1(x,λ) и y˜2(x,λ), удовлетворяющие начальным условиям , где δks есть символ Кронекера, то получим, что соответствующий характеристический определитель Δ(˜ λ) является аналитической функцией по λ во всей комплексной плоскости, нули которой являются с.з. L(λ). Следовательно, в любой ограниченной области может быть только конечное число с.з. Тем самым теорема 2.1 доказана. 2.2. Линеаризация спектральной задачи. Линеаризуем задачу (2.1), учитывая конкретный вид дифференциального выражения (2.2) и краевых условий (2.3). Для этого введем переменные z1 = y, z2 = λy. В результате получим следующую задачу на с.з. в пространстве в.-ф. Z(x) := (z1(x),z2(x))T : , (2.21) где := , (2.22) E есть тождественный оператор, а. На основе (2.21) введем оператор L ∈ W12[0, 1] → W11[0, 1] в пространстве вектор-функций, где (знак обозначает прямую сумму), определенный соотношениями . (2.23) Тогда спектральную задачу (2.21) можно записать в виде LZ = λZ, а это есть уже линейная спектральная задача, которая является линеаризацией задачи (2.1). Как показано в [47], с.з. и производные цепочки, построенные по корневым функциям о.-ф. L(λ) (см. [23, с. 28]), совпадают с с.з. и корневыми вектор-функциями оператора L, а, следовательно, двукратное разложение по корневым функциям о.-ф. L(λ) есть не что иное, как разложение по корневым вектор-функциям оператора L. Найдем резольвенту Rλ = (L-λE)-1 оператора L, где E -единичный оператор в пространстве в.-ф. Для этого решим задачу LZ-λZ = H, где H = (h1,h2)T ∈ W11[0, 1], или в подробной записи (2.24) , Выразим z2 из первого уравнения системы (2.24): z2 = λz1 + h1 (2.25) и подставим во второе уравнение системы (2.24). Получим ; где - - - (2.26) Таким образом, первая компонента RH является решением краевой задачи , (2.27) Используя введенные ранее резольвенту и функцию Грина о.-ф. L(λ), из (2.27) получим (2.28) а из (2.25) найдем . (2.29) Таким образом, на основании (2.28) и (2.29) получим для резольвенты оператора L следующую формулу: 2.3. Разложение первой компоненты вектор-функции по корневым функциям спектральной задачи. Обозначим через γk при окружности {λ : |λ - λk| = δ}, где δ > 0 и настолько мало, что внутри γk находится по одному с.з. Через dk будем обозначать круги, ограниченные окружностями γk. Соответственно, γ0k и d0k при k = 0,±1,... суть аналогичные окружности и круги радиуса δ с центрами в точках λ0k. Из асимптотических формул (2.18) следует, что, начиная с некоторого достаточно большого номера , будем иметь λk ∈ d0k приПусть |λ| = r есть окружность, внутри которой лежит множество Λ˜ и с.з. λk при k0 . Из общей теории линейных операторов следует, что разложение в.-ф. H(x) в ряд по корневым функциям оператора L или, что то же самое, по производным цепочкам [5, 47] о.-ф. L(λ), построенным по ее корневым функциям, имеет вид где используется обозначение . (2.31) Найдем условия на компоненты в.-ф. H(x), при которых имеет место равенство 2.3.1. Разложение первой компоненты вектор-функции по корневым функциям спектральной задачи. Метод контурного интеграла Коши-Пуанкаре. Обозначим где γk при | и окружность |λ| = r, такие, что между соседними контурами лежит ровно одно с.з λk и имеют место оценки c1n < дл. Γn < c2n (0 < c1 < c2 < +∞). (2.34) Γ+n и Γ-n , суть части Γn, лежащие, соответственно, в правой и левой полуплоскостях. Из асимптотических формул (2.18) для с.з. L(λ) видно, что такие контуры Γn существуют. Справедлива следующая теорема о разложении первой компоненты по корневым функциям о.-ф. L(λ). Теорема 2.2. Если , то In(x) = h1(x) + o(1), (2.35) где o(1) → 0 при n → ∞ равномерно на отрезке [0, 1] (далее в таком случае будем писать ou(1)). Доказательство. В соответствии с (2.26) будем обозначать , (2.36) где (2.37) Далее потребуются асимптотические формулы для функции Грина о.-ф. L(λ). В формулировке соответствующей леммы используются два определителя, связанные с характеристическим определителем (2.19), а именно, Δ+(λ) и Δ+(λ), соответственно, для правой полуплоскости комплексной плоскости (используется индекс «+») и левой полуплоскости (используется индекс «-»): то есть это определители с асимптотикой при , . (2.39) Если λ ∈ Cδ, где Cδ обозначает комплексную плоскость, из которой удалены кружки достаточного малого радиуса δ > 0 с центрами в с.з., то существует такая константа Cδ > 0, что справедливы неравенства , . (2.40) Пусть χ(x) есть функция Хевисайда (χ(x) = 1, если, если x < 0). Лемма 2.2. Для функции Грина G(x,ξ,λ) о.-ф. L(λ) справедливы следующие асимптотические формулы при : 1) при Re 2) при Re Доказательство. Ищем резольвенту о.-ф. L(λ) как решение краевой задачи . Для нахождения решения используем ф.с.р. уравнения с асимптотикой (2.9), а частное решение уравнения выбираем по-разному в случаях Re и Re при использовании метода вариации произвольных постоянных. А именно, соответствующее интегрирование проводится или от 0 до x или от x до 1 в зависимости от того, какой знак имеют вещественные части показателей экспонент λω1(x-ξ) и λω2(x -ξ) в подынтегральных выражениях. Эти вещественные части должны быть неположительными. Решением указанной краевой задачи является функция где для G(x,ξ,λ) справедливы формулы (2.41) и (2.42), если учесть представления (2.38) характеристического определителя Δ(λ) в зависимости от рассматриваемого случая Re или Re. Тем самым, лемма 2.2 доказана. Рассмотрим случай Re. В соответствии с формулой (2.41) и обозначениями (2.36)-(2.37) справедливо представление Важную роль далее играет следующая лемма. Лемма 2.3. Предположим при - заданные линейные вещественные функции, , . Тогда при условии f(x) ∈ Lr[0, 1], r > 1, имеет место оценка , (2.44) где ϑr(R) = R1/r при 1 < r < ∞ и ϑ∞(R) = lnR при r = ∞. Доказательство. Обозначим q = r/(r - 1), то есть 1/r + 1/q = 1. Оценивая модуль интеграла в (2.44) через интеграл от модуля, применяя неравенство Гельдера к интегралу по ξ и делая вполне понятные оценки и замену переменной, получим в случае контура ζR+ , где η > 0 есть число, выражающееся через параметры леммы. А это и есть оценка (2.44) в случае контура ζR+. В случае контура ζR- рассуждения аналогичны. Тем самым, лемма доказана. На основании левого неравенства в (2.40) из (2.41) и (2.43) получаем оценки (2.46) Так как f1(ξ) ∈ Lr[0, 1] и для интегралов выполняются все другие условия леммы 2.3, то на основании этой леммы из (2.45) и (2.46) заключаем, что , при n → ∞. (2.47) Рассмотрим теперь слагаемое в (2.43). Так как , то в в сумме под интегралом каждое слагаемое состоит из двух членов: один член соответствует 1, а другой - . В соответствии с этим разобъем на две группы слагаемых следующим образом Так как по предположению теоремы h1(x) ∈ Wr1[0, 1], то и подавно h1(x) ∈ L∞[0, 1]. Следовательно, на основании леммы 2.3 получим при всех x ∈ [0, 1] при n → ∞. (2.49) В слагаемом в знаменателе присутствует член Δ+(λ), для которого справедливы левая асимптотическая формула в (2.39). Следовательно, с учетом (2.40) при Re справедлива асимптотика . Учитывая эту асимптотику в, получим На основании леммы 2.3 аналогично (2.49) получим при всех x ∈ [0, 1] при n → ∞. (2.51) В слагаемом в интеграле по переменной ξ проведем один раз интегрирование по частям, учитывая, что h1(x) ∈ Wr1[0, 1] и h1(0) = 0. Получим где обозначено. Так как), то аналогично предыдущему по лемме 2.3 для всех x ∈ [0, 1] имеем оценку при n → ∞, (2.53) где q = r/(r - 1) > 1. Из (2.52)-(2.53) получим равномерно по x ∈ [0, 1]. (2.54) Следовательно, из (2.48), (2.49), (2.50), (2.51) и (2.54) найдем при n → ∞. (2.55) Наконец, рассмотрим слагаемое в (2.45). Проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям при рассмотрении, получим представление при n → ∞: . (2.56) Далее, интегрируя один раз по частям в интеграле по переменной, будем иметь На основании леммы 2.3 отсюда найдем при n → ∞. (2.57) Таким образом, из (2.56) и (2.57) получим при n → ∞. (2.58) Следовательно, с учетом (2.45), (2.47), (2.55) и (2.58) будем иметь при n → ∞. (2.59) Рассмотрим теперь случай Re. Используем теперь для функции Грина представление (2.42). Так как дальнейшие рассуждения в этом случае повторяют соответствующие рассуждения в случае Re, то опускаем подробности. В результате получим при n → ∞. (2.60) Из (2.33), (2.59) и (2.60) найдем при n → ∞. А это и есть утверждение (2.35) доказываемой теоремы. Тем самым, теорема 2.2 доказана. В случае нулевого потенциала теорема о разложении первой компоненты по корневым функциям о.-.ф. L0(λ) вытекает из теоремы 2.2 как частный случай. Но для дальнейшего потребуется доказательство соответствующей теоремы о разложении другим методом, который для краткости назовем вычетным. Поводом для этого служит то, что основные моменты доказательства будут в дальнейшем существенно использоваться при выводе конечной формулы для классического решения в случае нулевого потенциала в разделе 4. 2.3.2. Разложение первой компоненты вектор-функции по собственным функциям спектральной задачи с нулевым потенциалом. Вычетный метод. Так как в данном подразделе q = 0, то в случае нулевого потенциала формула (2.32) приобретает более простой вид (2.61) Требуется найти условия на компоненты в.-ф. H(x), при которых имеет место равенство (2.61). Преобразуем в этом равенстве первое слагаемое в круглых скобках под знаком интеграла справа, проведя интегрирование по частям. Для этого введем функцию h˜1(x) := h1(x) - h1(1). (2.62) Справедлива следующая лемма. Лемма 2.4. Для функции Грина G(x,ξ,λ) о.-ф. L(λ) справедливо равенство G(x,0,λ) = 0, x ∈ [0, 1], λ ∈ C. Доказательство. Известно [23, с. 43], что по переменной ξ функция Грина G(x,ξ,λ) удовлетворяет сопряженным краевым условиям к краевым условиям (2.3) (см. [23, с. 20-21]). Непосредственным подсчетом убеждаемся, что сопряженные условия к условиям (2.3) имеют вид. Следовательно, для функции Грина G(x,ξ,λ) справедливо утверждение леммы. Лемма доказана. В частности, в случае q = 0 из леммы 2.4 получаем следующее утверждение. Лемма 2.5. Для функции Грина G0(x,ξ,λ) о.-ф. L0(λ) справедливо равенство G0(x,0,λ) = 0, x ∈ [0, 1], λ ∈ C. (2.63) Интегрируя по частям первое слагаемое в круглых скобках в (2.61) и учитывая, что ˜h1(1) = 0 и справедливо равенство (2.63), получим С учетом (2.64) правую часть равенства (2.61) можно записать в виде Таким образом, требуется найти условия на компоненты в.-ф. H(x), при которых ряд J(x) сходится к первой компоненте h1(x), то есть имеет место равенство J(x) = h1(x). (2.66) Справедлива следующая теорема о разложении первой компоненты в.-ф. Теорема 2.3. Если , то справедливо равенство (2.66), где ряд J(x) сходится равномерно на отрезке [0, 1]. Доказательство. Как уже отмечалось, справедливость теоремы установим не методом контурного интеграла Коши-Пуанкаре [23, c. 91-98], который обычно используется при доказательстве теорем о разложении и который использовался в предыдущем подразделе, а другим, вычетным методом. Доказательство разобъем на ряд лемм. Лемма 2.6. Для функции Грина G0(x,ξ,λ) о.-ф. L0(λ) справедлива формула где Δˆ 0(λ) определяется формулой (2.5). Доказательство. Ищем резольвенту о.-ф. L0(λ) как решение краевой задачи . Для нахождения решения используем ф.с.р. уравнения с асимптотикой (2.4). Проводя стандартные рассуждения, получаем, что решение дается интегральным оператором и для его ядра справедлива формула (2.67). Лемма доказана. Лемма 2.7. Справедливы формулы (2.68) - где с.з. λ0k определяются формулой (2.6). Доказательство. Так как функция G0(x,ξ,λ) по λ есть мероморфная функция и λ0k есть ее простой полюс, то из формулы (2.67) получим На основании формул (2.6) справедливо представление . (2.71) Но так как , (2.72) то из (2.71) следует . (2.73) Подставим (2.73) в (2.70). Получим с учетом (2.72) Тем самым формула (2.68) установлена. Формула (2.69) получается из формулы (2.68) путем дифференцирования rk(x.ξ) по ξ. Лемма доказана. Будем далее обозначать . Лемма 2.8. Если f(x) ∈ L1[0, 1], то справедливы формулы где κ(ξ) := e(1-a)σξ, θ(ξ) := e-aσξ (2.76) и используется обозначение для данной функции , , (2.77) Доказательство. С учетом формул (2.6) для с.з. λ0k справедливо представление (2.78) Очевидно. Так как функция e-2kπix является 1-периодичной, то из (2.78) следует Сделаем в интеграле справа замену переменной интегрирования . В результате получим то есть установлена справедливость равенства (2.74), где функции κ∗(ξ) и f∗(ξ) определяются левой формулой в (2.76), а κ(ξ) - левой формулой в (2.77). Далее, аналогично предыдущему, можно получить формулу то есть формулу (2.75), где функции κ (ξ) и f (ξ) определяются правой формулой в (2.76), а ∗ ∗ θ(ξ) - правой формулой в (2.77). Тем самым лемма 2.8 доказана. Перейдем теперь к непосредственному доказательству теоремы 2.3. Рассмотрим ряд J(x), введенный в (2.65). Справедливо представление . (2.79) Рассмотрим отдельно J1(x), J2(x) и J3(x). Для J1(x) имеем в силу формул (2.69), (2.74) и (2.75) Далее используется обозначение для данной функции g(x) gˆ(ξ) := κ∗(ξ)g∗(ξ) + θ∗(ξ)g∗(ξ). (2.81) На основании формул (2.76), (2.77) и (2.7) справедливо представление Таким образом,, и на основании (2.80) будем иметь Далее потребуется следующая лемма. Лемма 2.9. Пусть g(x) ∈ W11[0, 1] и g(1) = 0. Тогда тригонометрический ряд Фурье функции gˆ(x) (gˆ(x) определяется формулой (2.81) и имеет представление (2.82), а функции κ(ξ) и θ(ξ) определяются формулами (2.77)) равномерно сходится на отрезке [0, 1] к функции gˆ(x). Доказательство. В силу того, что g(x) ∈ W11[0, 1], то и. Покажем, что gˆ(x) непрерывна в точке a. Тогда gˆ(x) будет абсолютно непрерывна на. В самом деле, так как g(1) = 0, то на основании (2.82) получим gˆ(a - 0) = (1)g(1) = 0, gˆ(a + + 0) = κ(1)g(1) = 0, то есть gˆ(x) непрерывна при x = a. Далее, gˆ(0) = θ(0)g(0) = g(0), gˆ(1) = = κ(0)g(0) = g(0), то есть gˆ(0) = gˆ(1). По следствию [1, с. 122] из теоремы Жордана [1, с. 121], если функция f(x) абсолютно непрерывна и f(0) = f(1), то ряд Фурье этой функции сходится к ней равномерно на отрезке [0, 1]. Так как gˆ(x) ∈ W11[0, 1] и gˆ(0) = gˆ(1), то имеем на основании вышесказанного, при этом тригонометрический ряд Фурье справа сходится равномерно на отрезке [0, 1]. Тем самым лемма доказана. Так как функция h˜1(x) удовлетворяет условия леммы 2.9, то из (2.83) получим . (2.84) Так как ax ∈ [0, a] и (a-1)x+1 ∈ [a,1] при x ∈ [0, 1], то из (2.84) с учетом представления (2.82) получим Рассмотрим теперь J2(x) из (2.79). В силу формул (2.69), (2.74) и (2.75) для J2(x) имеем Введем следующее обозначение для данной функции g(x): . (2.87) На основании формул (2.76), (2.77) и (2.7) справедливо представление Таким образом,, и на основании (2.86) будем иметь Далее воспользуемся следующей леммой. Лемма 2.10. Пусть g(x) ∈ W11[0, 1] и g(0) = 0. Тогда тригонометрический ряд Фурье функции gˇ(x) равномерно сходится на отрезке [0, 1] к функции gˇ(x) (gˇ(x) определяется формулой (2.87) и имеет представление (2.88), а функции κ(ξ) и θ(ξ) определяются формулами (2.77)). Доказательство. Так как g(x) ∈ W11[0, 1], то и . Покажем, что gˇ(x) непрерывна в точке a, тогда gˇ(x) будет абсолютно непрерывна на . В самом деле, на основании (2.88) получим . (2.90) Покажем, что 1 1 θ(1) = κ(1), (2.91) ω2 ω1 или, что эквивалентно, , или . Но по определению σ (см. (2.7)) последнее равенство верно, то есть (2.91) имеет место. Тогда из (2.90) получим gˇ(a - 0) = gˇ(a + 0), а это означает, что gˇ(x) непрерывна при x = a. Далее,, то есть gˇ(0) = gˇ(1) = 0. По следствию [1, с. 122] из теоремы Жордана [1, с. 121], если функция f(x) абсолютно непрерывна и f(0) = f(1), то ряд Фурье этой функции сходится к ней равномерно на отрезке [0, 1]. Так как gˇ(x) ∈ W11[0, 1] и gˇ(0) = gˇ(1), то имеем на основании вышесказанного, при этом тригонометрический ряд Фурье справа сходится равномерно на отрезке [0, 1]. Тем самым лемма доказана. Так как функция h1(x) удовлетворяет условиям леммы 2.10, то из (2.89) получим . (2.92) Так как ax ∈ [0, a] и (a-1)x+1 ∈ [a,1] при x ∈ [0, 1], то из (2.92) с учетом представления (2.88) получим ∀x ∈ [0, 1] Наконец, рассмотрим слагаемое J3(x) из (2.79) и выполним в интеграле один раз интегрирование по частям, обозначив (2.94) В результате получим (2.95) так как H2(1) = 0 по определению (2.94), а rk(x,0) = 0 в силу формулы (2.68). При рассмотрении J1(x) (см. (2.85)) было установлено, что если h˜1(1) = 0 и h˜1(ξ) ∈ W11[0, 1], то, причем ряд слева сходится равномерно на [0, 1]. Но H2(1) = 0 и H2(ξ) ∈ W11[0, 1]. Следовательно, также будем иметь , где ряд слева сходится равномерно на [0, 1]. С учетом (2.95) отсюда следует, что ряд J3(x) равномерно сходится к нулю, то есть J3(x) = 0 ∀x ∈ [0, 1]. (2.96) Из (2.79), (2.85), (2.93) и (2.96) следует утверждение доказываемой теоремы. Таким образом, теорема 2.3 полностью доказана. 3. Единственность классического решения и формула для решения в виде ряда Пусть Rλ1 есть интегральный оператор с ядром Gξ(x,ξ,λ). Тогда, используя введенное ранее обозначение (2.31), можно сформулировать следующую теорему. Теорема 3.1. Если u(x,t) есть классическое решение задачи (1.1)-(1.3), то это решение единственно и находится по формуле в которой ряд справа сходится равномерно по x ∈ [0, 1] при любом фиксированном t > 0. Здесь обозначено ϕ˜(x) := ϕ(x) - ϕ(1). Отметим, что формулы, аналогичные формуле (3.1), уже встречались ранее (например, в работах [2, 4, 25] и многих других). Доказательство. Запишем задачу (1.1)-(1.3) в другом виде. Обозначим , (3.2) тогда уравнение (1.1) запишется в виде системы 1 p 1 (3.3) ⎩⎪dtv2 = -p2 d2xv1 + p2 q(x)v1 - p12 dxv2 + p2 f(x,t), где, как и раньше, dx := d/dx. Если обозначить и использовать введенный ранее оператор A (см. (2.22)), то система (3.3) запишется в виде , (3.4) где по предположению теоремы Vt(x,t) и F(x,t) суть функции класса Q. А с использованием введенного формулой (2.23) оператора L и с учетом формулы (3.4) задача (1.1)-(1.3) запишется в виде d V (·,t) = LV (·,t) + F(·,t), dt (3.5) V (x,0) = Ξ(x), (3.6) где Ξ(x) = (ϕ(x),ψ(x))T . При этом вектор-функция V (x,t) удовлетворяет уравнению (3.5) п.в. в области Q и равенству (3.6) всюду на [0, 1]. Так как u(x,t) есть классическое решение задачи (1.1)- (1.3), то V (x,t) удовлетворяет по x условиям теоремы 2.2 о разложении первой компоненты по собственным вектор-функциям оператора L, то есть имеет место представление (3.7) где ряд справа сходится равномерно по переменной x ∈ [0, 1] при любом фиксированном t > 0. По построению для вектор-функции V (x,t) при п.в. (x,t) ∈ Q выполняется соотношение (3.5). Подействуем оператором Rλ на обе части этого соотношения. Получим равенство RλVt(·,t) = Rλ(LV )(·,t) + RλF(·,t). Обозначим (3.8) Y (x,t,λ) := RλV (·,t). Используя формулу (2.30) для резольвенты Rλ, из (3.9) получим представление (3.9) (3.10) где аналогично (2.26) обозначено . Покажем, что для п.в. t 0 при любых фиксированных x ∈ [0, 1] и λ ∈ C . (3.11) Для этого воспользуемся рассуждениями, аналогичными рассуждениям из статьи [43, с. 287-288]. Так как по построению компоненты V (ξ,t) является абсолютно непрерывными функциями по переменной t, Отсюда на основании (3.10) будем иметь . (3.12) Но, как уже отмечалось выше, на основании предположения теоремы и формул (3.2) имеем vλt(ξ,τ) ∈ L1(QT ) при любом T > 0 (или, по-другому, из класса Q)). Следовательно и G(x,ξ,λ)Vt(ξ,τ) есть функция класса Q по переменным ξ и τ. Поэтому по теореме Фубини [24, с. 333] имеем при любом T > 0 и любых фиксированных x ∈ [0, 1]. А значит, (3.12) можно представить в виде . Отсюда следует, что Y (x,t,λ) абсолютно непрерывна по t и для п.в. t > 0 выполняется равенство (3.11). Далее, преобразуем первое слагаемое справа в (3.8) следующим образом: (3.13) Тогда из (3.8), (3.11) и (3.13) получим, что при фиксированных x и λ в.-ф. Y (x,t,λ) является решением дифференциального уравнения . (3.14) Кроме того, на основании (3.6) Y (x,0,λ) = RλV (·,0) = RλΞ. (3.15) Таким образом, Y (x,t,λ) при любых фиксированных x ∈ [0, 1], и λ ∈ C является решением задачи Коши (3.14)-(3.15). Общее решение уравнения (3.14) есть (3.16) где C = (c1,c2)T есть вектор, не зависящий от переменной t, то есть cj = cj(x,λ), j = 1,2. Удовлетворим решение (3.16) начальному условию (3.15). Получим. Отсюда следует, что c1(x,λ) = (RλΞ)1, c2(x,λ) = (RλΞ)2. (3.17) Используя формулы (3.16)-(3.17), получим следующее представление для решения задачи Коши (3.14)-(3.15): (3.18) причем это решение единственное. Нас интересует только первая компонента равенства (3.18) (см. формулу (3.7)), то есть если , то из (3.18) получим с учетом (3.9) (3.19) Учитывая, что u(x,t) = v1(x,t), из формул (3.7) и (3.19) получим А так как есть целая аналитическая функция по λ, то все интегралы по круговым контурам от нее равны нулю. В результате получим (3.20) Запишем эту формулу в другом виде, используя представление (2.30) для резольвенты Rλ, . (3.21) С учетом того, что Ξ = (ϕ,ψ)T , из (3.21) найдем . (3.22) А с учетом того, что , из (3.21) найдем . (3.23) Тогда из (3.20), (3.22) и (3.23) получим Имеет место равенство так как по определению функции ϕ(˜x) (см. (2.62)) имеем ϕ˜(1) = 0, а G(x,0,λ) = 0 на основании леммы 2.4. Учитывая (3.25) в (3.24), получим в результате формулу (3.1) в формулировке доказываемой теоремы, причем ряд справа в этой формуле сходится равномерно по x ∈ [0, 1] при любом фиксированном t > 0. Тем самым, теорема 3.1 полностью доказана. Для получения конечных формул для классического решения задачи (1.1)-(1.3) в случае отсутствия потенциала (q = 0) потребуется теорема, аналогичная теореме 3.1. Теорема 3.2. Если u0(x,t) есть классическое решение задачи (1.1)-(1.3) с нулевым потенциалом, то это решение единственно и находится по формуле (3.26) в которой ряд справа сходится равномерно по x ∈ [0, 1] при любом фиксированном t > 0. Доказательство. Доказательство теоремы проводится по той же самой схеме, что и доказательство теоремы 3.1, но только при получении формулы (3.7) вместо теоремы 2.2 о разложении первой компоненты нужно использовать теорему 2.3. Обозначим (3.27) u01(x,t) := u011(x,t) + u012(x,t); (3.28) ; (3.29) (3.30) Если ряды (3.27), (3.29), (3.30) сходятся, то классическое решение задачи (1.1)-(1.3) в случае q = 0 в соответствии с формулами (3.26)-(3.30) можно представить в виде u0(x,t) = u01(x,t) + u02(x,t) + u03(x,t). (3.31) 4. Конечные формулы для классического решения в случае нулевого потенциала Рассмотрим далее НГЗ (1.1)-(1.3) в случае q = 0. Для краткости будем использовать следующие обозначения: t + ω2x t + ω1x α = α(x,t) := , ω2 - ω1 Кроме того, положим β = β(x,t) := . ω2 - ω1 (4.1) (4.2) а [x] и {x} пусть обозначают, соответственно, целую и дробную части числа x ∈ R. 4.1. Формула для классического решения в случае ψ = 0 и f = 0. В данном подразделе речь идет о получении конечной формулы для классического решения в случае отсутствия потенциала для u01(x,t) = u011x,t + u012(x,t), (4.3) в соответствии с формулой (3.28), где u011(x,t) и u011(x,t) определены формулами (3.27), при условии, что эти ряды сходятся. Справедлива следующая теорема. Теорема 4.1. Пусть выполняется условие (1.6), q = 0, ψ = 0, f = 0. Если u01(x,t) есть классическое решение задачи (1.1)-(1.3), то, решение u01(x,t) единственно и для него справедлива формула , (4.4) где ); (4.5) . Доказательство. Так как по предположению теоремы u01(x,t) есть классическое решение задачи (1.1)-(1.3) в случае q = 0, ψ = 0 и f = 0, то в силу теоремы 3.2 оно единственно и определяется формулой (4.3). Кроме того, выполняются условия (N), которые в случае ψ = 0 имеют вид: . Осталось получить формулу (4.4). Используя обозначения леммы 2.7, для u011(x,t) и u012(x,t) получим Далее проводим рассуждения, аналогичные рассуждениям при выводе формулы (2.83). На основании леммы 2.7 для u011(x,t) имеем представление Далее, применяя лемму 2.8 и используя формулы (2.6) для с.з., из (4.8) получим Используя обозначение (2.81) и представление (2.82), выражение в круглых скобках в последних двух интегралах можно записать в виде Тогда на основании (4.9) получим представление Очевидно, функция ϕ˜(x) удовлетворяет условиям леммы 2.9. На основании этой леммы справедливо равенство , причем ряд слева сходится равномерно на [0, 1]. В результате из (4.11) будем иметь . (4.12) - Из представления (4.7) для функции u012(x,t) и леммы 2.7 получим Далее, применяя лемму 2.8 и используя формулы (2.6) для с.з., из (4.13) найдем Используя обозначение (2.87), а также представление (2.88), выражение в круглых скобках в последних двух интегралах можно записать в виде Тогда на основании (4.14) получим представление Ясно, что функция ϕ(x) удовлетворяет условиям леммы 2.10. Тогда на основании этой леммы справедливо равенство , причем ряд слева сходится равномерно на [0, 1]. В результате из (4.16) получим . (4.17) - Так как ряды u011(x,t) и u012(x,t) равномерно сходятся, то и ряд u01(x,t) (см. (4.3)) также равномерно сходится. С учетом (4.12) и (4.17) будем иметь Обозначим e-σxϕ˘(x) := (ω1 + ω2)ϕˆ˜(x) - ω1ω2ϕˇ(x). (4.19) Тогда (4.18) запишется в виде , а это и есть формула (4.4). Покажем, что функция ϕ˘(x) имеет вид (4.5). Из формул (4.19), (4.10), (4.15) с учетом определения функций κ(x) и θ(x) (см. (2.77)) следует - при x ∈ [0,a): - при x ∈ [a,1]: Из формул (4.20) и (4.21) получаем представление (4.5). Тем самым, теорема 4.1 полностью доказана. 4.2. Формула для классического решения в случае ϕ = 0 и f = 0. В данном подразделе речь идет о получении конечной формулы для классического решения в случае отсутствия потенциала для слагаемого (4.22) в соответствии с формулой (3.29). Справедлива следующая теорема. Теорема 4.2. Пусть выполняется условие (1.6) и q = 0, ϕ = 0, f = 0. Если u02(x,t) есть классическое решение задачи (1.1)-(1.3), то ψ(x) ∈ W11[0, 1], ψ(0) = 0, решение u02(x,t) единственно и для него справедлива формула , (4.23) где ); (4.24) [a,1]. Доказательство. Так как по предположению теоремы u02(x,t) есть классическое решение задачи (1.1)-(1.3) в случае q = 0, ϕ = 0 и f = 0, то в силу теоремы 3.2 оно единственно и определяется формулой (4.22). Кроме того, выполняются условия (N), которые в случае ϕ = 0 имеют вид: ψ(x) ∈ W11[0, 1], ψ(0) = 0. Таким образом, осталось получить формулу (4.23). Используя обозначения леммы 2.7, из (4.22) получим (4.25) На основании леммы 2.7 и формулы (4.25) для u02(x,t) имеем представление Проведем в интеграле один раз интегрирование по частям и воспользуемся тем, что Ψ(1) = 0: Подставляя (4.27) в (4.26), получим Далее, применяя лемму 2.8, используя формулы (2.6) для с.з. и обозначение (2.81), из (4.28) получим где в соответствии с ранее введенным обозначением (2.81) и представлением (2.81) . (4.30) Теперь воспользуемся леммой 2.9. Условия этой леммы выполняются, так как по построению Ψ(x) ∈ W12[0, 1] ⊂ W11[0, 1] и Ψ(1) = 0. На основании этой леммы, причем ряд слева сходится равномерно на [0, 1], поэтому из (4.29) c учетом обозначения (4.30) получим , ˆˆ x) определяется формулой (4.24). Тем самым, теореа это и есть формула (4.23), где функция Ψ( ма 4.2 полностью доказана. 4.3. Формула для классического решения в случае ϕ = 0 и ψ = 0. В данном подразделе речь идет о получении конечной формулы для классического решения в случае отсутствия потенциала для слагаемого в соответствии с формулой (3.30) для u03(x,t) и формулой (3.31). Справедлива следующая теорема. Теорема 4.3. Пусть выполняется условие (1.6) и q = 0, ϕ = 0, ψ = 0. Если u03(x,t) есть классическое решение задачи (1.1)-(1.3), то решение u03(x,t) единственно и для него справедлива формула где ); (4.33) . Доказательство. Так как по предположению теоремы u03(x,t) есть классическое решение задачи (1.1)-(1.3) в случае q = 0, ϕ = 0 и ψ = 0, то в силу теоремы 3.2 оно единственно и определяется формулой (4.31). Таким образом, осталось получить формулу (4.32). Используя обозначения леммы 2.7, из (4.31) получим На основании леммы 2.7 для u02(x,t) имеем представление (4.34) Проведем во внутреннем интеграле один раз интегрирование по частям и воспользуемся тем, что F(1,t) = 0: Подставляя (4.35) в (4.34), получим Далее, применяя лемму 2.8, используя формулы (2.6) для с.з. и обозначения (2.81), из (4.36) найдем где в соответствии с ранее введенным обозначением (2.81) и представлением (2.81) Теперь воспользуемся леммой 2.9. Ясно, что условия этой леммы выполняются, так как по построению F(·,t) ∈ W12[0, 1] ⊂ W11[0, 1] и F(1,t) = 0 при каждом фиксированном t 0. Так как на основании этой леммы справедливо равенство, причем ряд слева сходится по x равномерно на [0, 1] при любом фиксированном, то из (4.37) с учетом обозначения (4.38) получим ˆˆ(x,t) определяется формулой (4.33). а это и есть формула (4.32), где функция F Тем самым теорема 4.3 полностью доказана. 4.4. Формула для классического решения в общем случае. На основании теорем 3.2, 4.1-4.3, формул (3.31), (4.4), (4.22) и (4.32) получим утверждение следующей теоремы о конечной формуле для классического решения задачи (1.1)-(1.3) при отсутствии потенциала. Теорема 4.4. Пусть выполняется условие (1.6) и q = 0. Если u0(x,t) есть классическое решение задачи (1.1)-(1.3), то, решение u0(x,t) единственно и для него справедлива формула , где функции ϕ˘(x), Ψ(ˆˆ x) и Fˆˆ(x,t) определяются, соответственно, формулами (4.5), (4.24) и (4.33), а функции α(x,t), β(x,t), Ψ(x) и F(x,t) определяются формулами (4.1) и (4.2).

Об авторах

М. С. Пастухов

Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Автор, ответственный за переписку.
Email: ritson67@outlook.com
Саратов, Россия

В. С. Рыхлов

Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Email: RykhlovVS@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0003-1556-7707
SPIN-код: 5650-4265
Scopus Author ID: 35103360100
ResearcherId: D-8118-2013
Саратов, Россия

Список литературы

Дополнительные файлы