We study the initial-boundary value problem for a second-order nonhomogeneous hyperbolic equation in a plane half-strip with constant coefficients, containing a mixed derivative, and with zero and nonzero potentials. This equation is the equation for the transverse oscillations of a moving finite string. We consider the case of Dirichlet-Neumann boundary conditions: the left end is fixed, and the right end is free. It is assumed that the roots of the characteristic equation are simple and lie on the real axis on opposite sides of the origin. We seek a classical solution (or a solution almost everywhere, sometimes called a “strong solution”) to this problem. A spectral problem associated with the original initial-boundary value problem, generated by an ordinary differential operator-valued function (pencil) of second order, is investigated. The asymptotic behavior of the eigenvalues and resolvent is determined, the operator-valued function is linearized in the corresponding space of vector functions, and a theorem on the expansion of the first component of the vector function in root functions of the spectral problem is proved. A theorem on the uniqueness of the classical solution is formulated and proved, and a formula for the classical solution is derived in the form of a series of contour integrals. Then, using these formulas in the case of zero potential, theorems on finite formulas for the classical solution in special cases are proved, and based on these, a finite formula for the classical solution in the general case is obtained.
Исследуется начально-граничная задача в полуполосе плоскости для неоднородного гиперболического уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, содержащего смешанную производную, с нулевым и ненулевым потенциалами. Данное уравнение является уравнением поперечных колебаний движущейся конечной струны. Рассматривается случай краевых условий типа Дирихле-Неймана: левый конец закреплен, а правый - свободен. Предполагается, что корни характеристического уравнения простые и лежат на вещественной оси по разные стороны от начала координат. Ищется классическое решение (или решение почти всюду, иногда говорят - сильное решение) этой задачи. Исследуется спектральная задача, связанная с исходной начально-граничной задачей, порожденная обыкновенной дифференциальной оператор-функцией (пучком) второго порядка: находится асимптотика собственных значений, резольвента, проводится линеаризация оператор-функции в соответствующем пространстве вектор-функций, доказывается теорема о разложении первой компоненты вектор-функции по корневым функциям спектральной задачи. Формулируется и доказывается теорема о единственности классического решения и выводится формула для классического решения в виде ряда из контурных интегралов. Затем, с использованием этих формул в случае нулевого потенциала доказываются теоремы о конечных формулах для классического решения в частных случаях и на основе них дается конечная формула для классического решения в общем случае.