Корректная разрешимость задач для дробно-степенных операторных уравнений

Аннотация

В работе рассматривается сумма линейных дробно-степенных операторов, действующих в банаховом пространстве и удовлетворяющих слабой позитивности. Устанавливается корректная разрешимость задачи для соответствующего дробно-операторного уравнения и приводится представление решения через обратный оператор с точной оценкой его нормы. Результаты применяются к задачам без начальных условий для уравнения с сингулярными коэффициентами. Приводятся примеры таких уравнений.

Полный текст

1. Введение При исследовании корректной разрешимости по Адамару задач для эволюционных уравнений актуальным является вопрос обратимости суммы интегро-дифференциальных операторов. В этом направлении важный результат содержит работа Да Прато и Грисварда [7], в которой указываются условия обратимости суммы производящих операторов сильно непрерывных полугрупп линейных преобразований в банаховом пространстве. Целью настоящей работы является применение однопараметрических полугрупп с дробными степенями производящих операторов, в смысле работ [1, 4, 8, 9], к обращению их сумм методом Да Прато-Грисварда. На этом пути удаётся получить представление обратного к исследуемой сумме оператора и найти его точную оценку. Приводятся примеры дифференциальных операторов с сингулярными коэффициентами, для которых соответствующие уравнения корректно разрешимы для задач без начальных условий. 2. Корректность по Адамару Пусть F и U - метрические пространства с соответствующими метриками ρF и ρU. Согласно Адамару, задача определения решения u ∈ U уравнения Au = f, (2.1) © С.Д. Бабошин, 2024 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 533 где f ∈ F задано, называется корректно поставленной на пространствах (F,U), если выполняются условия: 1. для всякого f ∈ F существует u ∈ U - решение уравнения (2.1); 2. решение определяется однозначно; 3. задача устойчива на пространствах (F,U), т. е. для любого ε > 0 можно указать такое δ > 0, что из неравенства ρF(f1,f2) < δ следует ρU(u1,u2) < ε. Важно отметить, что устойчивость задачи (2.1) зависит от выбранных топологий в U и F, и, вообще говоря, подходящим выбором топологий можно формально добиться непрерывности оператора A-1, существование которого обеспечивают условия 1 и 2. Так, в случае линейно взаимнооднозначного соответствия оператора A и нормированных пространств U и F устойчивость будет иметь место, если пространство F наделить нормой , и тогда . Однако обычно топологии определяются постановкой задачи и не могут выбираться произвольно. В связи с этим возникает следующая проблема, связанная с выбором топологий в пространствах данных задачи F и решений U. 1. С одной стороны, желательно, чтобы эти топологии не зависели от оператора A. Например, в случае, когда A = A(λ) - оператор, зависящий от некоторого параметра λ, важно, чтобы область определения обратного оператора A-1(λ) (например, резольвенты R(λ,A) = (A - λI)-1) была не зависящей от λ. 2. С другой стороны, хотелось бы иметь наиболее широкие пространства данных задачи F, при которых решение задачи остаётся в некотором «достаточно хорошем» классе U. Настоящая заметка посвящена исследованию корректной разрешимости задач вида (2.1), где оператор A представляется в виде дробно-операторной функции . Доказывается следующая теорема. Теорема 2.1 (о корректности). Пусть A -линейный оператор, действующий в банаховом пространстве E с нормой , и область определения D(A) плотна в E. Кроме того, оператор -A является производящим оператором сильно непрерывной полугруппы линейных ограниченных операторов, действующих в E, с оценкой . Тогда оператор An имеет ограниченный обратный оператор A-n1 и для f ∈ D(A) выполняется оценка . 3. Необходимые факты из общей теории 3.1. C0-полугруппы B-позитивных операторов. При доказательстве корректной разрешимости уравнения (2.1) ключевую роль играет понятие сильно непрерывной однопараметрической полугруппы линейных и ограниченных операторов , действующих в банаховом пространстве E. Определение 3.1. Семейство ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве E, называется сильно непрерывной однопараметрической полугруппой операторов, если U(t) сильно непрерывно зависит от и удовлетворяет условиям: 1. U(0)ϕ = ϕ, ϕ ∈ E, 2. 3. Для всякой полугруппы U(t), удовлетворяющей условиям 1-3, существуют числа M и ω такие, что выполняется оценка . (3.1) Классы таких полугрупп называются сильно непрерывными, или C0-полугруппами. Если U(t) - C0-полугруппа, то существует оператор , который называется производящим оператором (генератором) полугруппы U(t). Область определения D(A) оператора A плотна в E. Полугруппы U(t) с производящим оператором A будем обозначать U(t,A). Определение 3.2. Оператор A будем называть позитивным по Балакришнану (B-позитивным), если оператор -A является генератором C0-полугруппы U(t,-A), удовлетворяющей оценке (3.1) при ω < 0. 3.2. Обращение суммы B-позитивных операторов. Нам понадобится результат Ж. Да Прато и Д. Грисварда об обращении операторной суммы. Пусть X - банахово пространство с нормой -два замкнутых в X линейных оператора с областями определения DA и DB, причём DB плотно в X. Рассмотрим оператор Lϕ = Aϕ + Bϕ, ϕ ∈ DA ∩ DB = DL. Теорема 3.1 (Да Прато-Грисвард [7]). Пусть (A - λ)-1(B - λ)-1ϕ = (B - λ)-1(A - λ)-1ϕ, λ > 0, ϕ ∈ DL, и существуют такие MA,MB > 0, что для всех k ∈ N . Тогда L = A + B допускает замыкание L, при этом резольвентное множество оператора ρL ⊂ (0,∞) и , (3.2) (3.3) Примером применения этой теоремы является доказательство корректной разрешимости задач Коши для уравнения , где f(t) - векторная функция со значениями в E, принадлежащая пространству X = LP [(0,T),E] с нормой . Из теоремы получаем следствия. Следствие 3.1. Оператор L = A + B является генератором C0-полугруппы операторов U(t,A + B) в силу оценки (3.2) и соотношения (3.3). Следствие 3.2. Если A и B -генераторы C0-полугрупп U(t,A) и U(t,B) с оценками , при этом для всех выполнено U(t,A)U(s,B)ϕ = U(s,B)U(t,A)ϕ, (3.4) то оператор L = A + B имеет обратный L-1 и справедливо равенство (3.5) Доказательство. Для доказательства заметим, что в силу представления резольвенты (см. [1]) а из (3.4) следует коммутируемость резольвент: и соотношение Этот результат позволяет обобщить равенство (3.5) на случай суммы нескольких операторов: (3.6) где U(s,Ai) - сильно непрерывные полугруппы с производящими операторами Ai такими, что для любых i,m ∈ {1,2,... ,n} выполнено U(si,Ai)U(sm,Am)ϕ = U(sm,Am)U(si,Ai)ϕ. 4. Дробные степени B-позитивных операторов Если оператор A является B-позитивным и для полугруппы U(t,-A) выполняется оценка , то для оператора A определена дробная степень Aα, α ∈ (0,1), которая по Балакришнану [1] для f ∈ D(A) имеет вид (4.1) и отрицательная степень (4.2) При этом оператор Aα является B-позитивным и полугруппа U(t,-Aα) имеет вид где hα,t(ξ) - функция Иосиды [1], являющаяся обратным преобразованием Лапласа функции F(p) = e-pαt со свойствами . 5. Доказательство теоремы корректности Сначала проведём доказательство для двух слагаемых. То есть рассмотрим уравнение A2u = (a1Aα1 + a2Aα2) = f, α1,α2 ∈ (0,1), (5.1) где оператор A является B-позитивным с оценкой на полугруппу . Отсюда операторы a1Aα1 и a2Aα2 являются B-позитивными с полугруппами и оценками Таким образом, для уравнения (5.1) можно применить теорему Да Прато-Грисварда и воспользоваться формулой (3.5). В результате для f ∈ D(A) получаем решение уравнения (5.1) в виде (5.3) Отсюда и из (5.2), (5.3) следует оценка корректности: . (5.4) Замечание 5.1. Оценка (5.4) точная, так как если f является собственным элементом оператора A, соответствующим соотношению Af = ωf, ω > 0, то для такого f равенство (5.3) имеет вид Отсюда имеем равенство , показывающее точность оценки (5.4). Доказательство. Доказательство теоремы корректности для произвольного n ∈ N следует из соотношения (3.6), дающего оценку . (5.5) Точность оценки (5.5) доказывается как и в случае оценки (5.4), с применением к f, являющемуся собственным элементом оператора A вида Af = ωf. 6. Примеры B-полугрупп 6.1. Канонические полугруппы. Для демонстрации приложений полученных результатов приведём примеры однопараметрических полугрупп, играющих важную роль в теории уравнений параболического типа, которые по классификации Э. Хилле и Р. Филлипса [6] называются каноническими, и определяемых сложением , где α,β - действительные или комплексные числа. Так, если F(x,y) - функция от x,y ∈ R такая, что F(x,y) ∈ R+ и F(x,(F(x,z))) = F(F(x,y),z), то формула может служить определением полугрупповой операции в R+. При этом введение таких операций связывается с теоремами сложения для некоторых элементарных функций. К таким сложениям, например, относятся 1), (6.1) соответствующие функциям 1) x, 2) lnx, 3) thx, 4) shx. Полугруппы, определяемые соотношениями (6.1), можно строить следующим образом: пусть функция h(x) определена на интервале x ∈ (a,b) ⊂ R = (-∞,∞) и удовлетворяет условиям . Через Cω(a,b) будем обозначать банахово пространство функций ϕ(x) с нормой . (6.2) Введём операторы ±Ah, заданные выражениями с областями определения . (6.3) Такие операторы являются генераторами полугрупп вида . (6.4) Лемма 6.1. При ω 0 справедливы оценки . (6.5) Доказательство. Доказательство следует из (6.4) после замены h-1[h(x) ± t] = s, где s ∈ (a,b), откуда следует соотношение eωh(x)U(t,±Ah)ϕ(x) = ϕ(s)eh(s)e∓ωt, (6.6) и из (6.6) следует (6.5). Переходя к супремуму в правой и левой части (6.6), получаем . Следствие 6.1. Неравенства (6.5) показывают, что операторы Ah являются B-позитивными в пространствах C-ω(a,b), а операторы -Ah будут B-позитивными в Cω(a,b). В частности, для некоторых классических случаев имеем: 1. - полугруппы переноса. Пространства . Дробным степеням (±A)α соответствуют дробные производные Маршо. 2. . Дробным d степеням операторов x соответствуют дробные производные Адамара [4, с. 251]. dx Следствие 6.2. Для дробных степеней операторов Ah справедливо равенство . (6.7) Доказательство. Для доказательства подставим U(t,-Ah), определённую соотношением (6.4), в (4.1) и получим Делая в (6.8) замену h-1(h(x) - t) = s, получаем (6.7). 7. Заключение Отметим, что если, то , (7.1) и, следовательно, в соответствии с [4] Aαhϕ(x) является правой производной Маршо. ∈ d - t) из (6.4) и (4.1) имеем В случае x [0, 1], h(x) = lnx, Ah = x, U(t, Ah)ϕ(x) = ϕ(xe- dx дробную степень оператора Адамара при: . (7.2) Аналогично, для отрицательной степени, пользуясь формулой (4.2), получаем (7.3) В соответствии с [4] Jαϕ(x) - дробный интеграл Римана-Лиувилля. d А в случае Ah = x из (4.2) следует равенство dx (7.4) для дробного интеграла Адамара [4]. В заключение заметим, что теорема 2.1 здесь применяется только к дифференциальным операторам в одномерном случае. Однако очевидно, что эту теорему можно применять и для функций с несколькими переменными. Например, с оператором Au = (I - Δ)u, где - лапласиан в пространствах Wp2(Rn) - пространствах Соболева.