Построение уравнений динамики заданной структуры по уравнениям программных связей

Полный текст

1. Введение В классической механике обычно используются контактные связи, представленные уравнениями, связывающими координаты и скорости системы. При этом предполагается, что уравнения связей обязательно выполняются в начальный момент времени и в последующем движении. Соответствующие реакции связей представляют дополнительные силы, призванные обеспечить выполнение уравнений связей, и могут быть рассмотрены как управляющие воздействия. Если уравнения связей выполняются вдоль решений уравнений динамики при всех значениях времени, то их производные, используемые для определения выражений сил реакций, должны оставаться равными нулю. Обычно связи предполагаются идеальными и для вычисления сил реакций используются множители Лагранжа. При этом уравнения связей оказываются первыми интегралами уравнений динамики замкнутой системы. В случае, когда начальные условия не соответствуют уравнениям связей вместе с их производными, дальнейшие отклонения могут возрастать с течением времени. Аналогичная проблема возникает при численном решении уравнений динамики замкнутой системы вследствие неизбежного отклонения от уравнений связей на каждом шаге численного интегрирования. Для ограничения отклонений, вызванных погрешностями задания начальных условий и численного решения уравнений динамики замкнутой системы, необходимо включение в правые части уравнений динамики дополнительных сил, относящихся к реакциям связей, что приводит к т. н. проблеме стабилизации связей [18]. Необходимым условием стабилизации связей является обеспечение должного поведения решений уравнений динамики по отношению к уравнениям связей при отклонении начальных условий от уравнений связей или их производных. Это возможно только тогда, когда силы реакций определяются так, чтобы уравнения связей составляли частные интегралы уравнений динамики замкнутой системы, и отклонения от уравнений связей не возрастают с течением времени. Частные интегралы системы дифференциальных уравнений, в отличие от первых интегралов, представляют такую зависимость между переменными, которая справедлива только при фиксированном значении постоянных интегрирования [3]. Так как уравнения связей соответствуют частным интегралам замкнутой системы уравнений динамики, то реакции связей должны быть определены так, чтобы возможные отклонения от уравнений связей также не возрастали с течением времени вследствие погрешности приближенного решения. Необходимым условием ограничения отклонений от уравнений связей является асимптотическая устойчивость множества траекторий, удовлетворяющих уравнениям связей [7, 11]. По существу, задача сводится к достраиванию уравнений динамики или построению уравнений динамики механической системы, решения которой обладают заданными свойствами [2]. Методы построения систем дифференциальных уравнений по известным частным интегралам изложены в [3, 4, 8]. В работе J. Baumgarte [18] для обеспечения устойчивости множества траекторий, удовлетворяющих уравнениям связей, было предложено использовать линейные комбинации уравнений связей с их производными, составляющие однородные дифференциальные уравнения относительно отклонений от уравнений связей и представляющие уравнения возмущений связей. Если уравнения возмущений связей имеют асимптотически устойчивое тривиальное решение, то могут быть использованы для определения множителей Лагранжа, соответствующих модифицированным реакциям связей. Различные модификации метода J. Baumgarte сводились в основном к его применениям [1, 14, 21] и рекомендациям по выбору коэффициентов линейных комбинаций, обеспечивающих асимптотическую устойчивость тривиального решения уравнений возмущений связей [15-17]. На самом деле этого недостаточно для ограничения отклонений от уравнений связей при численном решении уравнений динамики замкнутой системы. Так, например, при равных корнях характеристического уравнения, соответствующего линейным уравнениям возмущений связей с постоянными коэффициентами, тривиальное решение может оказаться неустойчивым. Если изменения отклонений y = f(x,t) от уравнения связи f(x,t) = 0 описываются линейной системой дифференциальных уравнений возмущений связей с постоянными коэффициентами , то при ω = ν общее решение y = (A0 + A1t)e-μt удовлетворяет условию lim y(t) = 0 и в зависимости от коэффициентов Ak0, Ak1, определяемых по начальным значениям, может иметьt→∞ значительные скачки (рис. 1), приводящие к неустойчивости численного решения замкнутой системы уравнений динамики. В [17] предлагается использовать метод J. Baumgarte для решения задачи стабилизации связи, представленной уравнением f(x,t) = 0, выполнение которой обеспечивается управляющим воздействием u, приложенным к системе управления . Для решения задачи стабилизации предлагается использовать линейное уравнение возмущений связи порядка m с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение которого имеет корень кратности m. Такой подход с ростом m может привести к более резкому отклонению решения уравнений динамики управляемой системы от уравнения связи. Задача построения уравнений динамики с учетом стабилизации связей может быть рассмотрена как обратная задача динамики [2]. Это позволяет определить реакции связей по системе Рис. 1. Графики изменения величины отклонения от уравнения связи Fig. 1. Graphs of changes of the deviation from the constraint equation уравнений возмущений связей произвольного вида, имеющей асимптотически устойчивое тривиальное решение. В [6] был предложен метод непосредственного построения дифференциальных уравнений второго порядка, для которых уравнения дифференциальных связей составляют частные интегралы, и последующего приведения их к форме уравнений Лагранжа с диссипативными силами, основанного на использовании модифицированных условий Гельмгольца [22]. Было установлено, что использование линейной формы уравнений возмущений связей приводит к уравнениям Лагранжа с диссипативной функцией, представленной квадратичной формой относительно скоростей. Использование обобщенных условий Гельмгольца для приведения системы дифференциальных уравнений к форме уравнений Лагранжа со стабилизацией связей предъявляет дополнительные требования к выражению диссипативной функции. В нелинейных системах управления актуальной представляется задача аналитического построения линейного регулятора. Вопрос об условиях использования линейных относительно скоростей диссипативных сил для стабилизации дифференциальных связей в случае нелинейных уравнений возмущений связей требует дополнительного исследования. Использование линейной системы уравнений возмущений связей с коэффициентами, зависящими от фазовых координат исследуемой системы, или нелинейной системы уравнений возмущений связей открывает большие перспективы влияния на параметры замкнутой системы и создания эффективных алгоритмов численного решения. Методы непосредственного построения систем дифференциальных уравнений и приведения их к форме уравнений Лагранжа и уравнений систем Гельмгольца оказались эффективными также для решения задач построения стохастических дифференциальных уравнений [24-26]. Уравнения связей, дополненные соответствующими уравнениями возмущений связей, составляют уравнения программных связей [9]. В [11] установлена возможность стабилизации связей модификацией динамических показателей системы. 2. Построение системы дифференциальных уравнений, допускающей заданные частные интегралы Пусть вектор q = (q1,...,qn) определяет состояние механической системы с сосредоточенными массами и динамика системы описывается дифференциальными уравнениями , q˙ = (q˙1,...,q˙n), (2.1) (2.2) Связи, которым должны удовлетворять координаты и скорости механической системы, обычно предполагают контактное взаимодействие тел и описываются уравнениями (2.3) (2.4) Здесь и в дальнейшем по повторяющимся индексам предполагается суммирование. Заметим, что уравнения голономных связей (2.3) предполагают также выполнение уравнений дифференциальных связей . (2.5) Поэтому равенства (2.4), (2.5) следует рассматривать совместно как систему m линейных алгебраических уравнений относительно n переменных q˙i: (2.6) Ставится задача построения множества систем дифференциальных уравнений второго порядка (2.1), (2.2) или dqi = q˙i, fi (q¨,q˙,q,t) = 0, q¨i = dq˙i , (2.7) dt dt , (2.8) решения которых при соответствующих начальных условиях допускали бы в качестве частных интегралов уравнения связей (2.3), (2.6). Для построения уравнений динамики со стабилизацией связей следует ввести уравнения программных связей [9]. Определение 2.1. Связи, заданные уравнениями (2.9) , (2.10) будем называть программными связями, если величиныопределяются решением системы дифференциальных уравнений возмущений связей y рассматриваемых совместно с уравнениями системы (2.7). Определение 2.2. Уравнения (2.11), (2.12) составляют систему уравнений возмущений связей. Определение 2.3. Программные связи называются устойчивыми программными связями, если для любого ε существует такое δ, что при всех , удовлетворяющих неравенствам для любого будут выполняться неравенства Определение 2.4. Программные связи называются асимптотически устойчивыми программными связями, если они устойчивы и справедливы равенства lim y(t) = 0, lim y˙ (t) = 0. t→∞ t→∞ Для построения системы дифференциальных уравнений (2.7), допускающей частные интегралы (2.3), (2.6), используются условия (2.11): , (2.13) Уравнения (2.13) представляют систему m линейных алгебраических уравнений относительно n m величин q¨l. Если строки матрицы (giμ) линейно независимы при всех значениях переменных q,t, то общее решение системы (2.13) складывается из двух слагаемых [11]: q¨i = c0wτi + wνi , где c0 - произвольная величина, wτi = eig1 ...gmcm+1 ...cn-1 представляет скалярное произведение единичного вектора el с результатом векторного произведения w и вычисляется как определитель, строки которого заполнены координатами векторов ei = и произвольных векторов cm+1 (q,t),...,cn-1 (q,t) , В итоге получается система дифференциальных уравнений , (2.14) соответствующая уравнениям программных связей (2.9), (2.10). Система (2.14) содержит произвольный множитель c0, произвольные векторы cm+1,...,cn-1 и функции Y μ = Y μ (y,y˙,q˙,q,t), удовлетворяющие условиям Y μ (0,0,q˙,q,t) = 0. 3. Устойчивость программных связей Необходимым условием стабилизации связей является асимптотическая устойчивость программных связей, которая определяется поведением решения системы уравнений возмущений связей (2.11). Для суждения об устойчивости представим уравнения (2.11), (2.14), в сокращенном виде: dzγ = Zγ (z,x,t), Zγ (0,x,t) = 0, (3.1) dt dxI = XI (z,x,t), dt zγ (t0) = z0γ, xI (t0) = xl0, γ = 1,...,a + m, I = 1,...,2n, (3.2) z, x. Условия устойчивости тривиального решения z = 0 системы (3.1) устанавливаются методом функций Ляпунова [7, 11]. На основании теоремы об асимптотической устойчивости интегрального многообразия можно утверждать, что если для системы уравнений (3.1), (3.2) существует положительно определенная функция V = V (z,x,t), которая допускает бесконечно малый высший предел, а ее производная , составленная в силу уравнений (3.1), (3.2), является отрицательно определенной, то тривиальное решение z = 0 системы (3.1) устойчиво асимптотически. Так, например, функции Ляпунова V в виде положительно определенной квадратичной формы с постоянными коэффициентами 2V = cγηzγzη, γ,η = 1,... ,a + m, и линейным уравнениям возмущений связей (3.3) соответствует производная функции Ляпунова V˙ = pγη(x,t)zγzη,pγη = cγρpρη, γ,ρ,η = 1,...,a + m (3.4) Если квадратичная форма (3.4) является отрицательно определенной, то тривиальное решение системы (3.1) устойчиво асимптотически, что может быть достигнуто выбором коэффициентов уравнений системы (3.3). 4. Условия приводимости системы уравнений с программными связями к форме уравнений Лагранжа Произвольные функции, содержащиеся в правых частях уравнений (2.14), можно использовать также для приведения системы к требуемой структуре. Задача представления системы дифференциальных уравнений второго порядка в форме уравнений Лагранжа со стабилизацией связей с использованием условий Гельмгольца [23] исследована в [10]. В [6] определены условия приведения системы (2.7) к форме уравнений Лагранжа с предварительным решением уравнений дифференциальных связей (2.6) относительно обобщенных скоростей и представлением уравнения возмущений связей линейной системой. Решение задачи получено с использованием модифицированных условий Гельмгольца [22]: (4.1) (4.2) (4.3) (4.4) (4.5) (4.6) (4.7) (4.8) Произвольные функции, содержащиеся в правых частях уравнений системы общего вида (2.14), позволяют выделить уравнения, которые могут быть представлены в форме уравнений Лагранжа с лагранжианом L и диссипативной функцией D. Учитывая выражения дифференциальных связей (2.10) и структуру уравнений системы (2.14), представим правые части уравнений возмущений связей (2.11) многочленами не выше второй степени относительно y˙μ: , (4.9) В результате система дифференциальных уравнений (2.7) записывается в следующем виде: dqi i, fi ≡ q¨i + 1bijl (q,t)q˙jq˙l + bij(q,t)q˙j + b0i (q,t) = 0, (4.10) = q˙ dt 2 bijl = bilj = kμi hμjl, , Очевидно, что уравнения (4.10) удовлетворяют условиям (4.1), (4.4): . Условия (4.8) означают, что должны выполняться равенства sij = sji, rji = -rij, i,j = 1,...,n. (4.11) Остается проверить выполнение условий (4.2), (4.3), (4.5)-(4.7). Для проверки соответствия уравнений (4.10) условиям (4.2) достаточно определить выражения левых частей, что приводит к равенству . Далее, из условия (4.2) следуют равенства . (4.12) Условие (4.3) приводит к выражению , из которого определяется левая часть равенства (4.6): . (4.13) Значение правой части равенства (4.6) получается с учетом выражения (4.12): . (4.14) Сравнение правых частей выражений (4.12), (4.13) приводит к заключению о выполнении условия (4.6) при выполнении равенства . (4.15) Легко видеть, что , и условие (4.7) также выполняется. 5. О задаче Бертрана Задача М.Ж. Бертрана состоит в определении силы, зависящей от положения точки при её движении по коническому сечению [19]. Постановка задачи относится к обратным задачам динамики и начинается от работы И. Ньютона [12] об определении сил, под действием которых небесные тела совершают движения в соответствии с законами Кеплера. В работах М.Ж. Дарбу [20] и В.Г. Имшенецкого [5] было установлено, что действующая на точку сила является центральной и представляет силу тяготения. Необходимым условием численной реализации решения задачи Бертрана является асимптотическая устойчивость траектории. Можно показать, что используя уравнения программных связей, при постоянной секторной скорости асимптотическую устойчивость траектории точки можно обеспечить центральной силой. Полагая, что начало координат прямоугольной системы совпадает с одним из фокусов конического сечения, а ось абсцисс направлена по оси симметрии, запишем уравнение траектории точки r - ex - p = 0, r2 = x2 + y2. (5.1) Здесь e - эксцентриситет конического сечения (фокальный параметр). Задача состоит в определении правых частей системы дифференциальных уравнений , (5.2) решение которой при начальных условиях x(t0) = x0, y (t0) = y0, x˙ (t0) = x˙0, y˙ (t0) = y˙0, соответствующих равенствам (5.3) r0 - ex0 - p = 0, (x0 - er0)x˙0 + y0y˙0 = 0, описывает движение точки по кривой (5.1) с секторной скоростью (5.4) xy˙ - yx˙ - c0 = 0, c0 = x0y˙0 - y0x˙0. Введем уравнения программных связей (5.5) r - ex - p = α, xy˙ - yx˙ - c = β,˙ где отклонения от (5.4), (5.5) удовлетворяют уравнениям возмущений связей: (5.6) (5.7) , Из равенств (5.6) следуют кинематические соотношения, учитывающие отклонения начальных условий (5.3) от значений, соответствующих равенствам (5.4), (5.5): r˙ - ex˙ = α,˙ xy˙ - yx˙ - c0 = β.˙ (5.8) Дифференцирование выражений (5.8) с учетом равенств (5.7) приводит к системе дифференциальных уравнений второго порядка . (5.9) Учитывая равенства (5.6) и выражения rr˙ = xx˙ + yy,˙ rr¨+ r˙2 = xx¨ + yy¨+ x˙2 + y˙2, представим систему уравнений (5.9) в виде, разрешенном относительно старших производных: При α = α˙ = 0, β˙ = const из (5.10) следуют известные уравнения движения точки под действием центральной силы: . Пусть B ≡ 0 и величины отклонений α, α˙ от траектории малы. Представим функцию A и величину (p + α)-1 разложениями в степенные ряды A = -a0α - a1α˙ + A(2), a0 = const, a1 = const, с ограниченными остаточными членамии перепишем уравнения системы (5.10): , (5.11) Если остаточный член Q(2) в разложении функции по степеням α,α˙ ограничен, то асимптотическая устойчивость тривиального решения α = 0, α˙ = 0 уравнений возмущений связей (5.7) обеспечивается соответствующими ограничениями a0 > 0, a1 > 0 величин коэффициентов уравнений первого приближения Поэтому, полагая Q(2) = 0, с учетом равенств α = r - ex - p, rα˙ = (x - er)x˙ + yy˙ можно ограничиться уравнениями движения точки, составленных с учетом линейных уравнений возмущений связей. В этом случае система уравнений (5.11) записывается в следующем виде: (5.12) . Полагая q1 = x, q2 = y, нетрудно проверить соответствие уравнений (5.12) модифицированным условиям Гельмгольца (2.4), (2.10). Условия (4.2), (4.3) приводят к следующим выражениям: Вычислив значения производных функции R0 = R0 (x,y), легко убедиться в выполнении равенства Условиям (4.6) соответствуют равенства: ∂rxx = ∂rxx = ∂ryy = ∂ryy = 0, ∂x˙ ∂y˙ ∂x˙ ∂y˙ ∂ryx ∂sxx - ∂sxy = -a1 y, = ∂x˙ ∂y ∂x r . Из равенств следует выполнение условий (4.7). С учетом проведенных вычислений из условий (4.8) следует выражение функции , определяемой с точностью до произвольной функции h(x,y). 6. Заключение Введение уравнений программных связей позволило решить задачу непосредственного построения множества систем дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих заданные частные интегралы, и выделить системы, решения которых обладают заданными свойствами. Определены условия асимптотической устойчивости интегрального многообразия, заданного уравнениями связей. Произвольные функции, содержащиеся в дифференциальных уравнениях, используются для приведения уравнений системы к форме уравнений Лагранжа. Предложено решение задачи определения центральной силы, обеспечивающей устойчивость движения материальной точки по коническому сечению. Установлена возможность представления уравнений движения точки в форме уравнений Лагранжа в соответствии с модифицированными условиями Гельмгольца.

Об авторах

Р. Г. Мухарлямов

Российский университет дружбы народов

Автор, ответственный за переписку.
Email: robgar@mail.ru
Москва, Россия

Список литературы