О двух способах определения η-инвариантов эллиптических краевых задач

Аннотация

Для класса краевых задач с параметром, эллиптических в смысле Аграновича-Вишика, установлено равенство η-инварианта, определяемого в терминах регуляризации Мельроуза, и спектрального η-инварианта типа Атьи-Патоди-Зингера, определяемого при помощи аналитического продолжения спектральной η-функции оператора.

Полный текст

Введение Атья, Патоди и Зингер в своем знаменитом цикле работ [5-7] определили понятие η-инварианта эллиптического самосопряженного псевдодифференциального оператора A положительного порядка на гладком замкнутом многообразии. η-Инвариант является спектральным инвариантом и определяется формулой (будем считать, что оператор является обратимым) , где {λj} - набор всех собственных значений оператора A с учетом их кратностей. Ряд сходится абсолютно при достаточно больших Res и определяет голоморфную функцию, которая допускает мероморфное продолжение на комплексную плоскость, причем функция является голоморфной при s = 0, и поэтому определено ее значение в нуле. η-Инварианты Атьи-Патоди-Зингера операторов на замкнутом многообразии имеют многочисленные приложения в анализе, геометрии, топологии. Отметим, что в случае, когда многообразие - это точка и оператор A -просто симметрическая матрица, то удвоенный η-инвариант равен сигнатуре квадратичной формы, определяемой матрицей A, и равен т. н. спектральной асимметрии, т. е. разности между числами положительных © К.Н. Жуйков, А.Ю. Савин, 2024 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 403 и отрицательных собственных значений матрицы. В случае многообразий положительной размерности эти числа, как правило, оба бесконечны, и поэтому η-инвариант можно рассматривать как регуляризацию этой спектральной асимметрии. В работах Гилки и Смита [10, 11] были определены η-инварианты типа Атьи-Патоди-Зингера и изучены их свойства для класса эллиптических краевых задач на многообразии с краем. В цитированных работах рассматриваются не обязательно самосопряженные задачи, поэтому формула для η-инварианта подходящим образом модифицируется. При этом оказывается, что соответствующая мероморфная функция может иметь полюс при s = 0, и поэтому η-инвариант определяется как постоянный член ряда Лорана в этой точке. Другой подход к определению η-инвариантов дал Мельроуз [15], который рассматривал семейства D(p) псевдодифференциальных операторов с параметром p ∈ R (такие семейства естественно возникают при рассмотрении эллиптических уравнений на многообразиях с цилиндрическими концами или с коническими точками, см. [1, 4]). В предположении, что семейство является эллиптическим с параметром и обратимым при всех p ∈ R, η-инвариант Мельроуза определялся формулой TR где TR - специальный регуляризованный след семейства с параметром, а fflR - специальный регуляризованный интеграл. η-Инвариант Мельроуза использовался в формулах индекса на многообразиях с коническими точками, см. [8, 9]. Отметим, что в случае, когда многообразие - это точка и семейство D(p) - просто семейство обратимых матриц, которое имеет равные пределы при p → ±∞, η-инвариант равен числу вращения определителя этого семейства вокруг нуля. В случае многообразий положительной размерности число вращения, как правило, бесконечно, и поэтому η-инвариант Мельроуза можно рассматривать как регуляризацию этого числа вращения. В недавней работе авторов [3] было дано определение η-инварианта типа Мельроуза для семейств псевдодифференциальных задач с параметром на многообразии с краем. Мельроузом [15], а также Лешем и Пфлаумом [13] была установлена следующая связь между η-инвариантами Атьи-Патоди-Зингера и Мельроуза. А именно, для обратимого эллиптического самосопряженного дифференциального оператора A первого порядка на гладком замкнутом многообразии было определено семейство p-iA, которое является эллиптическим с параметром p ∈ R, и обратимо при всех таких значений параметра, и было доказано равенство: ηAPS(A) = η(p - iA). (1) Цель данной работы состоит в получении формулы типа (1), в которой в левой части равенства стоит η-инвариант Гилки-Смита эллиптической краевой задачи на многообразии с краем, а в правой части равенства стоит η-инвариант из работы [3] семейства краевых задач с параметром. Нам удалось получить такое равенство для краевых задач любого нечетного порядка. Остановимся кратко на содержании работы. В разделе 1 определяются эллиптические краевые задачи с параметром, в разделе 2 приведен краткий обзор результатов работы [10], в которой был определен η-инвариант типа Атьи-Патоди-Зингера для краевых задач как спектральный инвариант. В разделе 3 представлен иной подход к построению η-инварианта как некоторой регуляризации числа вращения, восходящий к работе Мельроуза [15]. Наконец, раздел 4 содержит основной результат работы - теорему о равенстве построенных в разделах 2 и 3 η-инвариантов. 1. Эллиптические задачи с параметром 1.1. Краевые задачи с параметром. Напомним понятие эллиптической краевой задачи с параметром из работы [1]. Пусть M - гладкое компактное многообразие размерности n с краем ∂M. Введем такие локальные координаты в окрестности края, что многообразие локально определяется условием, а его край - условием ∂M = {xn = 0}, т. е. xn - определяющая функция края, а x - координаты на крае. Двойственные координаты обозначаются. Семейство операторов вида , (1.2) где Dk = Dk(x,-i∂x) -дифференциальные операторы на M порядка m - k и p ∈ R, будем называть оператором порядка m с параметром на многообразии M. Здесь и всюду далее используется обозначение ∂x = ∂/∂x. Определение 1.1. Краевой задачей порядка (m,b) с параметром называется оператор вида , (1.3) где E и F - комплексные векторные расслоения на M, G- комплексное векторное расслоение на ∂M, D(p) и B(p) -семейства с параметром порядков m и b соответственно, а i∗ : C∞(M,E) → C∞(∂M,E|∂M) - оператор сужения сечений на край, индуцированный вложением В локальных координатах граничный оператор i∗B(p) может быть записан в виде , где Bk(p) - операторы с параметром порядка b - k на границе. Будем говорить, что краевая задача (1.3) имеет тип d ∈ Z+, если Bk(p) = 0 при всех т. е. тип равен максимальному порядку нормальной производной в краевых условиях плюс один. В частности, тип задачи Дирихле равен 1, а задачи Неймана - 2. Будем предполагать, что тип d ordD(p). 1.2. Эллиптичность с параметром. Для s ∈ Z+ через Hs(M) обозначим пространство Соболева функций на M с нормой, обозначаемой. Введем семейство норм в Hs(M), зависящих от параметра p ∈ R: . (1.4) Аналогично определяются нормы с параметром в пространствах Соболева на границе. Известно, что краевая задача (1.3) определяет ограниченный оператор в пространствах Соболева Hs-m(M,F) D(p): Hs(M,E) -→ ⊕ (1.5) Hs-b-1/2(∂M,G) при условии s-d+1/2 > 0, где d - тип граничного оператора. При этом нормы операторов (1.5), отвечающие нормам (1.4) в пространствах Hs(M), ограничены равномерно по p ∈ R. Перейдем к условиям эллиптичности задачи (1.3). Через T∗M и T∗∂M обозначим кокасательные расслоения многообразий M и ∂M, соответственно. Для оператора с параметром (1.2) гладкая функция ,Hom(, где σ(Dk)(x,ξ) - главные символы дифференциальных операторов Dk, называется внутренним символом краевой задачи с параметром. Фиксируем точку Заморозим коэффициенты операторов D(p) и B(p) в точке x, отбросим младшие члены (т. е. в дифференциальных операторах Dk и Bk оставим только производные старших порядков m-k и b-k, соответственно) и выполним преобразование Фурье по касательной переменной x. Получим семейство краевых задач , (1.6) для обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами на полупрямой. Через (1.7) обозначим пространство решений первого уравнения задачи (1.6), которые стремятся к нулю при xn → +∞. Говорят, что краевая задача с параметром (1.5) удовлетворяет, если задача (1.6) имеет единственное решениеусловию Шапиро-для любой правой Лопатинского части. Предложение 1.1 (см. [1, теорема 4.1]). Пусть для задачи (1.5) выполнены условия эллиптичности с параметром (в смысле Аграновича-Вишика): 1. внутренний символ σ(D)(x,ξ,p) обратим при всех (x,ξ,p) ∈ T∗M \ {|ξ| + |p| = 0}; 2. выполнено условие Шапиро-Лопатинского. Тогда оператор (1.5) фредгольмов при всех p ∈ R и обратим при всех достаточно больших(1.4) в пространствахp. При Соболева, равномерно ограничена поэтом норма обратного оператора D(pp,)-т. е. выполнена оценка1, отвечающая семействам норм , где , а константы C1 и C2 не зависят от f, g и p. 1.3. Пример. В данной работе будут рассматриваться задачи с параметром, которые определяются следующим образом. Рассмотрим краевую задачу (1.8) , где A = A(x,→ C∞(M,E) (1.9) - дифференциальный оператор порядка -i∂x) - дифференциальный оператор по-M и ∂M, соответственно. рядка b < m, а E и G -комплексные векторные расслоения на Следуя [10], будем говорить, что краевая задача (A,B) является эллиптической по отношению к конусу , если для всех , и задача на полупрямой (ср. (1.6)) , (1.10) - имеет единственное решение u, стремящееся к нулю при xn → +∞, для любой правой части g для всех и . Задаче (1.8) сопоставим краевую задачу (1.11) с параметром μ ∈ R. Ясно, что задача (1.11) является задачей типа (1.5). Пусть задача (1.8). Тогда нетрудно видеть, что внутренний символ является эллиптической по отношению к конусуσ(D)(x,ξ,μ) = μm - σ(A)(x,ξ) задачи (1.11) обратим при всехC (x,ξ,μ) ∈ T∗M \ {|ξ| + |μ| = 0}, а задача (1.10) однозначно разрешима, т. е. задача (1.11) эллиптична с параметром. Через AB обозначим неограниченный оператор, равный оператору A с областью определения D(AB) = {u ∈ C∞(M,E) | i∗Bu = 0}. (1.12) Предложение 1.2 (см. [10, Lemma 2.1, Theorem 2.2]). 1. Пусть краевая задача (A,B) эллиптична по отношению к конусу C. Тогда оператор μm - iAB обратим при больших значениях μ. 2. Пусть краевая задача (A,B) является эллиптической по отношению к конусу C. Тогда оператор AB имеет дискретный спектр и каждому собственному значению соответствует конечномерное корневое подпространство. При этом не более чем конечное число собственных значений лежит внутри конуса C. Наша цель - построить η-инварианты для однозначно разрешимой краевой задачи D(μ) и обратимого неограниченного оператора AB, пользуясь подходами Мельроуза и Атьи-Патоди- Зингера, соответственно, и затем указать связь между построенными η-инвариантами. 2. Первый подход. η-Инвариант типа Атьи-Патоди-Зингера В этом разделе напомним определение η-инварианта неограниченного оператора AB, построенного в предыдущем разделе, в терминах его спектра. Подробности см. в [10]. Определение 2.1. Спектральная η-функция оператора AB определяется формулой , (2.1) Re где числа μ ∈ C пробегают все собственные значения оператора AB, взятые с учетом кратности. Здесь и ниже μ-s def= e-slnμ, и ветвь логарифма выбирается таким образом, что lnμ ∈ R при μ > 0. Предложение 2.1 (см. [10, Theorem 2.7]). Пусть краевая задача (A,B) является эллиптической по отношению к конусу C. Тогда ряд (2.1) абсолютно сходится при Res > n/m и определяет в этой области аналитическую функцию, которая имеет мероморфное продолжение на всю комплексную плоскость с изолированными простыми полюсами в точках s = (n-k)/m, где k = 0,1,2,... . Вычеты в этих точках можно явно вычислить. Этот результат позволяет определить η-инвариант краевой задачи (A,B) (точнее, неограниченного оператора AB). Определение 2.2. η-Инвариантом Гилки-Смита краевой задачи (A,B) называется число , (2.2) где Reg обозначает постоянный член в ряде Лорана. 3. Второй подход. η-Инвариант типа Мельроуза Напомним определение η-инварианта типа Мельроуза эллиптической краевой задачи D(μ) с вещественным параметром из работы [3]. 3.1. Алгебра задач с параметром. Фиксируем числа m0, b0 и d0. Через Ψp(M) обозначим алгебру операторов с параметром C∞(M,F) C∞(M,F) D(p): ⊕ -→ ⊕ C∞(∂M,G) C∞(∂M,G), мультипликативно порожденную композициями вида D1(p)D0(p)-1, где множители - краевые задачи с параметром C∞(M,F) D0(p),D1(p): C∞(M,E) -→ ⊕ C∞(∂M,G), причем задача D0(p) имеет порядки (m0,b0) и тип d0 и является эллиптической и однозначно разрешимой при всех p ∈ R, а задача D1(p) имеет порядки (m1,b1) и тип d1, подчиненные неравенствам . Из этого определения следует, что алгебра Ψp(M) состоит из линейных комбинаций произведений вида , (3.1) где порядки и тип операторов с параметром Dj удовлетворяют неравенствам , (3.2) а задачи D0j являются эллиптическими с параметром и имеют порядки (m0,b0) и тип d0. Предложение 3.1 (см. [3, теорема 2.1]). Пусть для произведения выполнены неравенства (3.2) и неравенства m1 - m0 + k < -dimM, b1 - b0 + k < -dimM + 1, где Тогда семейство D(p) состоит из ядерных операторов (т. е. операторов, для которых существует след) и для следа семейства существует асимптотическое разложение при p → ±∞ вида tr, где , причем разложение можно дифференцировать по параметру любое число раз. 3.2. Регуляризованный след и регуляризованный интеграл. Введем пространство Sas(R), состоящее из функций f(p) ∈ C∞(R), имеющих асимптотическое разложение при p → ±∞, где N > 0 - некоторое целое число, а. Причем это разложение можно дифференцировать произвольное число раз. Через P ⊂ Sas(R) обозначим подпространство многочленов. Рассмотрим семейство D ∈ Ψp(M). Оно является линейной комбинацией произведений вида (3.1). Для краткости будем считать, что . (3.4) Это произведение, вообще говоря, не имеет следа, поскольку для него неравенства (3.3) могут быть не выполнены. При дифференцировании порядок семейства (3.4) будет падать, как минимум, на единицу. Отсюда и из предложения 3.1 следует, что при (3.5) семейство будет иметь след. Теперь можно дать определение регуляризованного следа. Определение 3.1. Регуляризованным следом будем называть функционал TR: Ψp(M) -→ Sas(R)/P, , где определяется из (3.5). Из предложения 3.1 следует, что это определение корректно, т. е. регуляризованный след действительно попадает в пространство Sas(R), а выбор другого числа меняет регуляризованный след на многочлен. Регуляризованный след является следом, т. е. выполнено равенство TR. Определим регуляризованный интеграл , (3.6) где c0 -постоянный член в асимптотическом разложении интеграла при T → +∞, j где N > 0 - некоторое целое число, а cj,dj ∈ C. Отметим, что регуляризованный интеграл нечетных функций равен нулю. Для краткости введем следующее обозначение для композиции регуляризованных следа и интеграла: Tr = ◦TR. def R 3.3. Определение η-инварианта краевой задачи. Пусть D(p) - однозначно разрешимая эллиптическая краевая задача с параметром вида (1.5), которая является эллиптической и однозначно разрешимой при всех p ∈ R. Определение 3.2. η-Инвариантом задачи D(p) с параметром называется число . (3.7) 4. Связь η-инвариантов 4.1. Основной результат. Рассмотрим краевую задачу (A,B) (см. (1.8)), эллиптическую по отношению к конусу C. С одной стороны, этой краевой задаче сопоставим неограниченный оператор AB, равный оператору A с областью определения (1.12). С другой стороны, этой задаче сопоставим эллиптическую краевую задачу с параметром D(μ), см. (1.11). Будем предполагать, что оператор AB имеет тривиальное ядро. Тогда задача с параметром D(μ) будет однозначно разрешимой при всех μ ∈ R, и будут определены η-инвариантны и для оператора AB, и для задачи D(μ). Следующая теорема устанавливает связь между этими η-инвариантами, построенными в разделе 2 (см. (2.2)) и разделе 3 (см. (3.7)). Теорема 4.1. Пусть оператор A имеет нечетный порядок. Тогда имеет место равенство . (4.1) Следствие 4.1. η-Инвариант является спектральным инвариантом операторного пучка D(μ). Замечание 4.1. В случае оператора A четного порядка равенство (4.1), вообще говоря, не имеет места, поскольку правая часть равна нулю. Действительно, семейство D(μ) является четной функцией параметра μ. Поэтому функционал Tr от нечетной функции ∂pD(p)D(p)-1 равен нулю. 4.2. Вспомогательные результаты из [12, § 2.1]. В цитируемой работе построено обобщение регуляризованного интеграла (3.6) на следующий класс функций. Определение 4.1. Говорят, что функция f(x) ∈ C∞(R+) является log-однородной, если она имеет асимптотическое разложение при x → +∞, где, и аналогичное разложение при x → 0 (в этом случае показатели mj в формуле монотонно стремятся к +∞). Определение 4.2. Регуляризованным интегралом log-однородной функции на положительной полупрямой называется число 1 b def f(x)dx = Reg-lim ˆ f(x)dx + Reg-lim ˆ f(x)dx, R+ a→0 a b→∞ 1 где Reg-lim - постоянный член в log-однородном разложении при α → β (т. е. cj0 при mj = 0). α→β При этом для гладкой четной log-однородной функции f на R имеем 2 f(x)dx = f(x)dx, (4.2) R+ R где в правой части стоит регуляризованный интеграл (3.6). Определение 4.3. Пусть f - log-однородная функция на R+. Регуляризованное преобразование Меллина функции f при всех s ∈ C определяется формулой (4.3) Далее, существует такое дискретное подмножество Σ ⊂ C, что функция (Mf)|C\Σ продолжается до мероморфной функции Mf на C. При этом для каждого s ∈ C имеем , (4.4) где Reg обозначает постоянный член в ряде Лорана. В частности, для регулярной точки s справедливо равенство . 4.3. Доказательство основного результата. Вернемся к доказательству теоремы 4.1. Преобразуем правую часть формулы (4.1). Имеем соотношения TR, где Rf - решение u задачи- решение u задачи D(μ)u = (0,h)t. Ясно, что R = (μm - iAB)-1. Отсюда, пользуясь определением η-инварианта (3.7), получаем TR(μm - iAB)-1dμm. (4.5) Далее воспользуемся следующей леммой. Лемма 4.1. Краевая задача (4.6) , является эллиптической с параметром и однозначно разрешимой для всех μ ∈ R. Доказательство. Для краткости будем обозначать главный символ σ(A)(x,ξ) оператора A(x,-i∂x) в точке x через a(ξ). 1. Сначала докажем эллиптичность с параметром задачи (4.6). Эллиптичность оператора A по отношению к конусу эквивалентна обратимости матрицы μm - ia(ξ) в конусе Reλ|}. Следовательно, собственные значения символа a2(ξ) лежат в правой полуплоскости {Reλ > 0}. Отсюда и из равенства a2(ξ)u = -μ2mu получаем, что u = 0, откуда следует эллиптичность с параметром оператора A2 + μ2m для μ ∈ R. Проверим выполнение условия Шапиро-Лопатинского для задачи (4.6). Исходная задача D(μ) удовлетворяет условию Шапиро-Лопатинского по условию теоремы. Соответствующая задача на полупрямой имеет вид , (4.7) где оператор b отвечает оператору B после замораживания коэффициентов, а j: {0} → R+ - вложение. Введем подпространство решений первого уравнения системы (4.7) (см. (1.7)), которые стремятся к нулю при xn → +∞. Выполнение условия Шапиро-Лопатинского задачи (1.11) означает, что отображение осуществляет изоморфизм. Теперь рассмотрим оператор A2 + μ2m = (μm - iA)(μm + iA). Соответствующая задача на полупрямой имеет вид , Введем соответствующее подпространство . Требуется доказать, что отображение осуществляет изоморфизм. Достаточно доказать тривиальность ядра последнего отображения. Пусть и . ОбозначимФункция v стремится к нулю при xn → +∞ и удовлетворяет уравнению , т. е. . Кроме того, имеем . Таким образом, с учетом однозначной разрешимости задачи (4.7) из вышеописанного следует, что v = 0. Получаем краевую задачу , которая, очевидно, также однозначно разрешима (см. (4.7)). Следовательно, u = 0. Выполнение условия Шапиро-Лопатинского для задачи (4.6) доказано. 2. Однозначная разрешимость задачи (4.6) эквивалентна тривиальности ее ядра, поскольку ее индекс равен нулю. Пусть функция u лежит в ядре. Тогда , Обозначим v = (μm +iA)u. Тогда получаем, что эта функция является решением краевой задачи , (4.8) которая по условию теоремы 4.1 имеет только тривиальное решение. Следовательно, функция u является решением задачи . Данная задача имеет единственное решение u = 0 (она сводится к задаче (4.8) заменой μ → -μ). Лемма 4.1 доказана. Вернемся к доказательству теоремы. Ниже через A2B обозначим неограниченный оператор A2 с областью определения D(A2B) = {u ∈ H2m(M,E) | i∗Bu = 0, i∗BAu = 0}. В силу леммы 4.1 оператор (A2B + μ2n)-1 существует и является ограниченным. Ясно, что имеет место разложение (μm - iAB)-1 = (μm + iAB)(AB2 + μ2m)-1. Преобразуем интеграл в (4.5): TR( R R Здесь подынтегральное выражение является нечетной функцией, и ее регуляризованный интеграл равен нулю. 2. Теперь покажем, что правая часть в (4.9) совпадает с η-инвариантом Гилки-Смита (2.2). Воспользуемся следующими леммами. Лемма 4.2 (см. [10, Corollary 1.10]). Пусть число λ ∈ C достаточно большое. Тогда при оператор R(λ)k = (λ - iAB)-k имеет след и справедлива оценка |tr(R(λ)k)| < . Лемма 4.3. При k > (n + 1)/m имеет место равенство tr, (4.10) n где x ∈ R, а числа μn пробегают спектр оператора AB с учетом кратностей. Доказательство. 1. Покажем, что оператор AB(A2B + x2m)-k имеет след. Воспользуемся разложением AB(A2B + x2m)-k = AB(iAB + xm)-1(iAB + xm)-(k-1)(-iAB + xm)-k. (4.11) Поскольку операторы AB(iAB + xm)-1, (iAB + xm)-(k-1) ограничены, а оператор (-iAB + xm)-k имеет след в силу леммы 4.2, то отсюда следует, что оператор (4.11) имеет след. 2. Формула (4.10) следует из теоремы Лидского [14]. Лемма 4.4. 1. При достаточно больших Res η-функция оператора AB может быть записана в виде (4.12) 2. Справедливо равенство TR. (4.13) Доказательство. 1. Докажем равенство (4.12). Правая часть в (4.12) корректно определена, поскольку регуляризованный интеграл fflR+ от степенной функции равен нулю. Рассмотрим функции . (4.14) Нетрудно проверить справедливость соотношений , где, с учетом которых интегрированием по частям раз при s /∈ Z получаем равенство (4.15) Внеинтегральные слагаемые при интегрировании по частям отсутствуют, поскольку эти слагаемые имеют асимптотическое разложение по дробным степеням, что не дает вклада в значение регуляризованного интеграла. Для краткости обозначим правую часть в (4.12) через I(s). Утверждается, что при n < Res < , где число выбирается достаточно большим, имеет место равенство ˆ (4.16) R+ В самом деле, пользуясь равенством (4.15), из (4.12) получаем Здесь и ниже . Преобразуем правую часть в (4.17). Из леммы 4.3 следует, что след tr существует при поэтому при этом условии можно заменить TR на tr. Далее, поскольку ord, то получаем оценки tr → при x 0, при x → +∞, (4.18) при x → 0, B O(x-Res+n-1) при x → +∞. В силу оценок (4.18) интеграл в правой части в (4.17) существует как несобственный интеграл, который абсолютно сходится при , и поэтому он равен регуляризованному интегралу по полупрямой, откуда следует искомое равенство (4.16). Теперь из (4.16) имеем (4.19) где первое равенство получено разложением по собственным функциям оператора AB (см. лемму 4.3), второе равенство отвечает замене переменной y = x2m, а третье - следует из равенств где argλ ∈ (-π,π), а B и Γ - бета- и гамма-функции, соответственно (см., например, [2, гл. 1]). При этом первое равенство в (4.20) справедливо при λ > 0, но остается верным и при λ ∈ C\R в силу единственности аналитического продолжения. Наконец, последнее равенство в (4.19) - следует из формулы при Reμk > 0, k -(-μk)-s/m при Reμk < 0. Итак, равенство (4.19) дает равенство функций (4.12) в полосе. Но поскольку можно выбрать сколь угодно большим, то равенство (4.12) выполнено в полуплоскости n < Res. 2. Докажем равенство (4.13), пользуясь регуляризацией значения η-функции в нуле. Правая часть в (4.12) может быть записана в виде (см. (4.3)) . (4.21) Поскольку функция (MΨ1)(1-s) мероморфна (см. (4.4)), а η-функция ηAB(s) имеет мероморфное продолжение на всю комплексную плоскость с простым полюсом при s = 0 (см. предложение 2.1), то мы получаем Reg( . Здесь первое равенство есть определение η-инварианта (2.2), второе равенство следует из (4.19) и (4.21), третье равенство получено прямым вычислением с учетом (4.4), а последнее - следует из (4.14), (4.3) и (4.2). Лемма 4.4 доказана. Теперь искомое равенство (4.1) следует из (4.13), (4.9) и (4.5). Теорема 4.1 доказана