О восстановлении решения задачи Коши для сингулярного уравнения теплопроводности

Полный текст

1. Введение Известно, что распределение температуры в RN описывается уравнением , где Δ = ∂2/∂x21 + ...∂2/∂x2n - оператор Лапласа в RN. Авторы работы [12] поставили следующую задачу. Пусть известны температурные распределения u(·,t1),...,u(·,tp) в моменты времени , заданные приближенно. Точнее, мы знаем такие функции yj(·) ∈ L2(RN), что Для каждого набора таких функций мы хотим найти функцию в L2(RN), которая наилучшим образом аппроксимирует реальное распределение температуры в RN в фиксированный момент времени τ в некотором смысле. В работе [13] рассматривалась задача о восстановлении температуры трубы по неточным измерениям, тесно связанная с описанной выше. Мы исследуем аналогичную задачу для уравнения сингулярного теплового типа с оператором Бесселя [4-11, 16, 17, 19-21]. Особенности вышеуказанного типа возникают в моделях математической физики в таких случаях, когда характеристики сред (например, характеристики диффузии или характеристики теплопроводности) имеют вырожденные степенные неоднородности. Кроме © С.М. Ситник, М.В. Половинкина, И.П. Половинкин, 2024 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 173 того, к таким уравнениям приводят ситуации, когда исследуются изотропные диффузионные процессы с осевой или сферической симметрией. Следует отметить тесную связь рассматриваемой задачи с задачей восстановления степеней оператора Лапласа по неполному спектру, рассмотренной в работах [14, 15], результаты которых перенесены на случай оператора Лапласа-Бесселя в [22, 24]. 2. Необходимые сведения Пусть, Через Ω+ будем обозначать область, прилегающую к гиперплоскостям x1 = 0,...,xn = 0. Граница области Ω+ состоит из двух частей: Γ+, расположенной в части пространства, принадлежащей гиперплоскостям x1 = 0,...,xn = 0. Через Lγp(Ω+) будем обозначать линейное пространство функций, для которых . Пусть Ω ⊂ RN - объединение множества Ω+ и множества Ω-, полученного из Ω+ симметрией относительно пространства. Пусть Ω+ε - прилегающая к границе Γ0 внутренняя подобласть области Ω+, все точки которой находятся на расстоянии более чем ε от части границы Γ+ области Ω+. Тогда область Ω+ε будем называть симметрично внутренней (s-внутренней) подобластью области Ω+. Через Lγp,loc(Ω+) будем обозначать линейное пространство функций, для которых для любой s-внутренней подобласти Ω+ε области Ω+. Через Dev(Ω+) (Eev(Ω+)) будем обозначать множество всех сужений четных по переменным x функций из пространства D(Ω) (пространства E(Ω)) на множество Ω+. Топология в пространстве Dev(Ω+) (в пространстве Eev(Ω+)) индуцирована топологией пространства D(Ω) (пространства E(Ω)). По определению. Через Sev обозначим линейное пространство функций , убывающих при |x| → ∞ вместе со своими производными быстрее любой степени |x|-1. Топология в Sev вводится таким же образом, как и в пространстве S (см. [3, 8]). Сопряженное к Dev(Ω+) (Eev(Ω+), Sev) пространство со своей слабой топологией будем обозначать . Имеют место следующие соотношения:. Действие функционала (распределения, обобщенной функции) f на пробную (основную) функцию ϕ во всех трех случаях будем обозначать как . (2.1) Индекс γ иногда опускается, если это не вызывает недоразумений. Будем отождествлять каждую функцию с функционалом , действующим по формуле (2.2) который мы будем называть регулярным. Все остальные функционалы из пространства будем называть сингулярными. Однако, хотя на сингулярные функционалы нельзя распространить равенство (2.2), следуя [2], кроме обозначения (2.1), можно для всех функционалов (в том числе и сингулярных) использовать обозначение (2.2). Важным примером сингулярного функционала в является весовая δ-функция δγ(x), которая определяется равенством . Смешанный обобщенный сдвиг определим формулой , где каждый из обобщенных сдвигов Txyii определен по формуле (см. [10]) i = 1,...,n, а произведение понимается как произведение (суперпозиция) операторов. Обобщенная свертка функций определяется формулой (2.4) Если, то обобщенную свертку (f ∗ g)γ таких распределений определим равенством . (2.5) j-функция Бесселя порядка ν определяется формулой , где Γ(·) -гамма-функция Эйлера, , - функция Бесселя первого рода порядка ν. Прямое FB,γ = FB = Fγ и обратное FB,γ-1 = FB-1 = Fγ-1 смешанные преобразования Фурье- Бесселя определим формулами где , Для преобразования Фурье-Бесселя справедлива формула Парсеваля-Планшереля (см. [6]): . На функциях из преобразование Фурье-Бесселя определено и обратимо (см. [6]). Далее иногда будем пользоваться обозначением . (2.7) В-эллиптический оператор ΔB (термин и обозначения введены И.А. Киприяновым [7]), называемый также оператором Лапласа-Бесселя, определяется формулой , (2.8) где Bxk = Bxk,γk - оператор Бесселя, действующий по переменной xk по формуле . (2.9) Отметим также полезные соотношения, в которые входят преобразование Фурье-Бесселя и оператор обобщенного сдвига (также см. [6]). (2.10) . (2.11) (2.12) (2.13) 3. Постановка задачи Рассмотрим задачу Коши для уравнения , (3.1) с начальным условием . (3.2) Мы предполагаем, что. Единственное решение этой задачи для случая N = n = 1 было получено в [4]. Оно выражается следующей формулой, обобщающей хорошо известную формулу Пуассона: (3.3) где - модифицированная функция Бесселя первого рода порядка ν, Γ(·) - гамма-функция Эйлера. При явное представление единственного решения задачи (3.1)-(3.2) имеет вид Формула (3.4) может быть получена с помощью применения преобразования Фурье-Бесселя. Однако нет смысла приводить здесь метод получения этой формулы, поскольку в работе [21] получена более общая формула для дифференциально-разностного уравнения. Поставим следующую задачу. Пусть функции известны в моменты ··· < tp и где εj > 0, j = 1,...,p. Требуется каждому такому набору функций поставить в соответствие функцию из , которая в некотором смысле наилучшим образом аппроксимировала бы истинное распределение температуры в в фиксированный момент времени τ. Для случая N = n = 1 эта задача рассмотрена в [23]. Здесь мы полагаем. Следуя [12], любое отображение мы называем методом восстановления (температуры в в момент τ согласно этой информации). Значение , где y(·) = (y1(·),... ,yp(·)), ε = (ε1,...,εp), , называется ошибкой этого метода. Значение называется ошибкой оптимального восстановления. Метод m, для которого , называется оптимальным методом восстановления. 4. Решение задачи Пусть -оператор, определенный формулой (3.4): t > 0 - фиксированное значение, P0 -тождественный оператор. Пусть τ 0. Рассмотрим следующую задачу. (4.1) . (4.2) Функция, удовлетворяющая условию (4.2), называется допустимой функцией задачи (4.1)-(4.2). Пусть S означает верхнюю границу с условиями (4.2). Лемма 4.1. Доказательство. Пусть u0(·) - допустимая функция задачи (4.1)-(4.2). Тогда -u0(·) - допустимая функция задачи (4.1)-(4.2). Для всякого метода, имеем: . В левой части полученного неравенства мы переходим к верхней границе допустимых функций, а в правой - к нижней границе всех методов. Этот шаг завершает доказательство леммы. С помощью формулы 6.633 (4) из книги [18] легко убедиться в справедливости равенства Fγ[Ptu0(·)](ξ) = exp(-|ξ|2t)Fγu0(ξ). Следовательно, по теореме Парсеваля-Планшереля для преобразования Фурье-Бесселя квадрат значения задачи (4.1)-(4.2) равен значению следующей задачи :, (4.3) (4.4) Перейдем от задачи (4.3)-(4.4) к расширенной задаче (согласно терминологии [12]). Для этого заменим Π-1 |Fγu0(ξ)|2ξ2ν+1 dξ на положительную меру dμ(ξ). В результате получим следующую задачу: (4.5) (4.6) Всякую меру, удовлетворяющую ограничениям (4.6), будем называть допустимой в задаче (4.5)-(4.6). Допустимую меру, для которой , (4.7) где максимум берется по всем допустимым мерам, будем называть решением задачи (4.5)-(4.6). Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид , где λ = (λ0,λ1,...,λp) -набор множителей Лагранжа. Расширенная проблема (4.5)-(4.6) была решена в [12]. Для полноты повествования нам нужно будет переписать это решение, слегка изменив конкретные значения в соответствии с нашими потребностями. На двумерной плоскости (t,y) построим множество , где coA означает выпуклую оболочку множества A. Введем функцию θ(t) на луче [0,+∞) с помощью формулы θ(t) = max{y : (t,y) ∈ M}, предполагая, что θ(t) = -∞, если (t,y) ∈/ M при всех y. На луче [t1,+∞) график функции θ(t)- направленная вверх выпуклая (вогнутая) ломаная линия. Пусть суть точки ее изломов. Очевидно, {ts1 < ts2 < } ⊆ { < t }. Нам нужно рассмотреть три случая. (a) Пусть, в то время как справа от τ имеется точка излома функции θ(t). Предположим, что τ ∈ [tsj,tsj+1). Пусть A ξ определяются из условий . (4.8) Из условия (4.8) мы получим: A = εs2jtsj+1/(tsj+1-tsj)ε-sj2+1tsj/(tsj+1-tsj), 2 s /εs ln(1/εs ) ln(1/εs ) lnε |ξ0| = j j+1 = j+1 - j . tsj+1 - tsj tsj+1 - tsj Пусть. Чтобы найти числа λsj, λsj+1, сделаем некоторые приготовления. Пусть . Потребуем, чтобы . Отсюда мы получаем систему линейных уравнений относительно λsj, λsj+1 λsje-2|ξ0|2(tsj-τ) + λsj+1e-2|ξ0|2(tsj+1-τ) = 1, λsj(tsj - τ)e-2|ξ0|2(tsj-τ) + λsj+1(tsj+1 - τ)e-2|ξ0|2(tsj+1-τ) = 0. Решив эту систему, мы получаем . Для мерымы имеем: (4.9) (4.10) Отсюда для всякой допустимой меры dμ(ξ) Разделив на, получим (4.11) Пусть . - Прямая y = ρ(t) проходит через точки (tsj,ln(1/εsj)) и (tsj+1,ln(1/εsj+1)) и лежит, по крайней мере, ниже графика функции y = θ(t). Для найденных значений A и |ξ0|2, мы имеем: Это означает, что dμ(ξ) является допустимой мерой в расширенной задаче (4.5)-(4.6) и является ее решением. Если мы подставим в функционал, определенный в (4.5), мы получим значение задачи (4.5)-(4.6), которое также является решением задачи (4.3)-(4.4): . Это означает, что значение задачи (4.1)-(4.2) равно S = e-θ(τ). (b) Пусть . Если график функции y = θ(t) представляет собой прямую линию, то . На этот раз положим. Выполнение условия (4.10) совершенно очевидно. Кроме того, для всех выполняется неравенство и имеет место равенство f(0) = 0. Следовательно, условие (4.9) также выполняется. На луче выполняется тождественно. Следовательно, ln(1/εj) Отсюда . Таким образом, мера допустима в задаче (4.5)-(4.6) и является ее решением. Значение этой задачи вычисляется следующим образом: . Это снова означает, что решение проблемы (4.1)-(4.2) равно S = e-θ(τ). (c) Пусть τ < t1. Для произвольного y0 > 0 существует прямая линия, заданная уравнением y = at + b, a > 0, разделяющая точку (τ,-y0) и множество M. В то же время Пусть A = e-2b. Выберем, чтобы обеспечить |ξ0|2 = a. Тогда Это значит, что мера dμ(ξ) = xγTξξ0δγ(ξ) допустима в задаче (4.5)-(4.6) и. В силу произвольностизначение задачи (4.5)-(4.6), а вместе с ним и решение задачи (4.1)-(4.2) равно +∞. Во всех трех случаях, для всех τ 0, ошибка оптимального восстановления оценивается снизу . Пусть-множители Лагранжа из случаев (a), (b) для таких значений τ. Лемма 4.2. Пусть для множества функций задача , (4.12) имеет решение (4.13) (4.14) не превосходит значения задачи , (4.15) (4.16) Доказательство. Равенство нулю дифференциала Фреше выпуклого гладкого целевого функционала из (4.12) в точке, т. е. равенство , (4.17) является необходимым и достаточным условием для достижения минимума этого функционала на функции. Принимая во внимание это равенство, легко получить, что . Пусть функция . Это означает, что функция допустима в задаче (4.15)-(4.16). Значение функционала (4.13) на функции u0(·) равно значению функционала (4.15). Лемма 4.3. Значения задач (4.1)-(4.2) и (4.15)-(4.16) при σj = εj, j = 1,...,p, совпадают. Доказательство. С помощью равенства Парсеваля-Планшереля перейдем от задачи (4.15)(4.16) к задаче (4.18) , (4.19) где . Функция Лагранжа этой задачи имеет вид , где множество ν множителей Лагранжа теперь имеет вид ν = (ν0,ν1). Из того, что мера , которая является решением проблемы (4.15)-(4.16), допустима в этой задаче, следует, что она также допустима в задаче (4.18)-(4.19). Пусть . Тогда , (4.20) где); (4.21) Это значит, что является решением задачи (4.18)-(4.19). Следовательно, значение этой задачи равно значению задачи (4.18)-(4.19). Отсюда следует, что возведенное в квадрат значение задачи (4.5)-(4.6) равно решению задачи (4.15)-(4.16). Следовательно, значения задач (4.5)-(4.6) и (4.15)-(4.16) совпадают. Сформулируем теперь и докажем основной результат. Теорема 4.1. Для любого τ > 0 равенство E(τ,ε) = e-θ(τ) имеет место. 1. Если . 2. Если то метод m, определенный формулой, является оптимальным. 3. Если, то метод m, определенный формулой , (4.22) где Ψsj(·), Φsj+1(·) -функции, образы Фурье-Бесселя которых имеют вид (4.23) , (4.24) является оптимальным. 4. Если , то метод m, определенный формулой , является оптимальным. Доказательство. Пусть τ ∈ [tsj,tsj+1). Выше было показано, что можно было бы выбрать набор множителей Лагранжа, в котором только множители не равны нулю. Следовательно, проблема (4.12) принимает вид , Пусть - решение этой задачи. Тогда условие (4.17) выполнено. В образах Фурье-Бесселя это условие может быть записано в виде . (4.25) Пусть . (4.26) Тогда равенство (4.25) выполняется для всех . Пусть для множества y(·) = функции Fγyj(·), j = 1,...,p, финитны. Тогда функция (4.26) принадлежит пространству. Тогда функция, определенная формулой (4.26), также принадлежит пространству и является решением задачи (4.12). Финитные функции плотны в. Следовательно, функции с финитными образами Фурье-Бесселя являются плотными в . Пусть функции удовлетворяют неравенствам Выберем последовательность , для которой функции финитны и. Зафиксируем число k ∈ N. Существует решение задачи (4.12). В силу неравенств функция допустима в задаче (4.13)-(4.14) с Пусть . В силу леммы 4.2 значение задачи (4.13)-(4.14) не превышает значения задачи (4.15)-(4.16). Произведем замену функции u0(·) = a(k)v0(·) для задачи (4.15)-(4.16). Эта задача примет вид , (4.27) (4.28) Значение задачи (4.27)-(4.28) совпадает со значением задачи (4.1)-(4.2), умноженным на a(k), и оно равно a(k)e-θ(τ). Поскольку функция допустима в задаче (4.13)-(4.14), мы имеем: . (4.29) Пусть Ψsj(·), Φsj+1(·) - функции, образы Фурье-Бесселя которых имеют вид в соответствии с (4.23)-(4.24): (tsj+1 - τ)ε2sj+1e-|ξ|2(τ-tsj) FγΨsj(ξ) = - - -2|ξ|2(tsj+1-tsj) , (tsj+1 τ)ε2sj+1 + (τ tsj)ε2sje (τ - tsj)ε2sje-|ξ|2(τ+tsj+1-2tsj) FγΦsj+1(ξ) = (tsj+1 - τ)ε2sj+1 + (τ - tsj)ε2sje 2|ξ|2(tsj+1-tsj) . - Пусть τ ∈ (tsj,tsj+1). Образы Фурье-Бесселя (4.23) и (4.24) функций Ψsj(·) и Φsj+1(·) принадлежат пространству четных бесконечно дифференцируемых быстро убывающих функций. Следовательно, функции Ψsj(·) и Φsj+1(·) принадлежат этому пространству. В рассматриваемом случае мы определяем метод восстановления с использованием обобщенной свертки в соответствии с (4.22): . Тогда . (4.31) Если τ = tsj, включая случай , так что в случае (4.31) тоже верно. Пусть снова функции удовлетворяют неравенствам Тогда для любого · - · · Переходя в этом неравенстве к пределу в k → ∞, мы получаем . В этом неравенстве перейдем к верхней грани по всем , для которых γ N e-θ(τ). Учитывая нижнюю оценку, доказанную ранее, мы получаем из чего следует, что E(τ,ε) = e-θ(τ), и что m - оптимальный метод. Пусть. Тогда , остальные множители Лагранжа равны нулю. Задача (4.12) примет вид . Пусть для заданного множествафункции Fγyj, j = 1,...,p, финитны. Тогда решение u0(·) = u0(·,y(·)) этой задачи существует и . Неравенство (4.29) в этом случае доказывается по-прежнему. Теперь мы определяем метод посредством равенства (4.32) Тогда . Это означает, что Дальнейшие рассуждения аналогичны рассуждениям в предыдущем случае. 5. Заключение В настоящей работе мы перенесли на случай сингулярного уравнения теплопроводности результаты работы [12], применив методы, разработанные в статьях [1, 12-15]. В работах [1, 13] был модифицирован метод установления нижней оценки ошибки оптимального восстановления. Есть основания полагать, что этот метод также может быть перенесен на рассматриваемый случай сингулярного уравнения теплопроводности.

Об авторах

С. М. Ситник

Белгородский государственный национальный исследовательский университет (НИУ «БелГУ»)

Автор, ответственный за переписку.
Email: sitnik@bsu.edu.ru
Белгород, Россия

М. В. Половинкина

Воронежский государственный университет инженерных технологий

Email: polovinkina-marina@yandex.ru
Воронеж, Россия

И. П. Половинкин

Белгородский государственный национальный исследовательский университет (НИУ «БелГУ»); Воронежский государственный университет

Email: polovinkin@yandex.ru
Белгород, Россия; Воронеж, Россия

Список литературы