Метод осреднения для задач о квазиклассических асимптотиках

Полный текст

1. Введение Методам осреднения для разнообразных классов уравнений с быстроосциллирующими коэффициентами посвящена обширная литература. Ни в коей мере не претендуя на полноту, отметим прежде всего монографии [1, 14, 31, 41, 46] и обзорные статьи [15, 16, 18, 28], где можно найти дальнейшие ссылки. В большинстве работ быстроосциллирующие коэффициенты моделируются функциями f(x/μ) «быстрой переменной» x/μ, где μ - малый параметр, характеризующий скорость осцилляций, причём сама функция f(y) предполагается либо периодической (см., например, [12, 13, 17, 27, 29, 43]), либо почти периодической (см., например, [20]), либо случайной со специальными условиями на соответствующую функцию распределения (см., например, [21, 34, 39]). Исследуются не только дифференциальные уравнения, но и другие классы уравнений (например, уравнения с оператором типа свертки; см. [44, 45]). Для уравнений с быстроосциллирующими коэффициентами изучаются краевые задачи, причём области, в которых они рассматриваются, сами могут иметь весьма сложную мелкомасштабную структуру, аналогичную структуре коэффициентов (т.н. «перфорированные области»); см., например, [26, 35]. В ряде работ рассматривались также классы коэффициентов и областей, выходящие за рамки указанных выше предположений © С.Ю. Доброхотов, В.Е. Назайкинский, 2024 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 53 (см., например, [3, 32, 42]). Отметим, наконец, идейно близкие к методам осреднения многомасштабные варианты метода конечных элементов в вычислительной математике [36]. Данная статья является продолжением работ [9, 19, 37] и развивает предложенный там метод усреднения, мотивировкой для разработки которого послужили исследования в области квазиклассических асимптотик для линеаризованных уравнений мелкой воды (см. обзор [8]). Как известно, в отсутствие вихревых движений эти уравнения сводятся к волновому уравнению , (1.1) для возвышения свободной поверхности η(x,t), причём квадрат скорости задается формулой c2(x) = gD(x), где D(x) - глубина бассейна в точке x, а g - ускорение силы тяжести. Если иметь в виду, скажем, приложения к описанию распространения волн цунами в океане, то в задаче возникает естественный малый параметр h - отношение горизонтальных размеров источника к размерам бассейна - так что для построения соответствующих решений естественно использовать квазиклассические асимптотики, доставляемые каноническим оператором Маслова [23] и его современными вычислительно эффективными модификациями [10, 11]. Непосредственному применению канонического оператора препятствует, однако, то обстоятельство, что глубина D(x) в реальной задаче наряду с «плавной» компонентой имеет быстрые осцилляции, горизонтальный размер которых много меньше характерной длины волны (определяемой размерами источника). Таким образом, перед применением квазиклассических методов уравнение (1.1) следует осреднить. При этом нужно иметь в виду, что в отличие от ситуации, с которой имеет дело «классическое» осреднение, здесь в задаче присутствуют два малых параметра, μ и h. Далее, в отличие от уравнений, относящихся к периодическим средам, в данном случае нет никаких доводов в пользу предположения, что быстрые осцилляции функции D(x) можно описывать периодической функцией от быстрых переменных x/μ, т. е. представить её в виде . Как минимум следует допустить, что имеет место ещё «медленная» зависимость от переменных x: , где f(x,y) - уже «плавно меняющаяся» функция своих аргументов. При допущениях такого рода вывод пригодного для дальнейшего построения квазиклассических асимптотик осреднённого уравнения был дан в [4] на основе идеи, что уравнения с быстроосциллирующими коэффициентами можно изучать с помощью адиабатического приближения, причём их регуляризация [2, 5, 7] с помощью анзаца, подобного анзацу Кузмака-Уизема в нелинейной теории [22, 47], приводит к уравнениям с операторнозначным символом [23], которые удобно решать с помощью операторного разделения переменных [2, 30]. Соответствующие вычисления, проведённые в [4, 33], приводят при определенном соотношении между параметрами к осреднённому уравнению с дисперсионными членами типа линеаризованного уравнения Буссинеска (ср. [48]). Следует, однако, отметить, что эти построения носят теоретический характер, поскольку они основаны на решении уравнений на ячейке периодичности и требуют знания явного вида функции f(x,y), определить которую при всех (x,y) по фактически известной из измерений функции D(x) - т. е. по значениям функции f(x,x/μ) при одном-единственном фиксированном μ - в задаче о волнах на воде не представляется возможным. Таким образом, в данной задаче необходим метод осреднения, все формулы которого используют только функцию D(x), а не функцию f(x,y), а в идеале метод не должен опираться даже на существование последней - все условия на функцию D(x) должны формулироваться в терминах сам´ой этой функции. При дополнительном предположении, что осциллирующая часть функции D(x) мала по сравнению с неосциллирующей, т. е. имеет место представление D(x) ≡ D(x,μ,δ) = f0(x) + δf1(x,μ), где δ > 0 - ещё один малый параметр, функция f0 плавно меняющаяся, а f1 - быстроосциллирующая, такой метод осреднения был предложен в [9], а в [19] свойства метода изучались для уравнения (1.1) на примерах реальной топографии дна некоторых участков Мирового океана. Несколько более подробное изложение метода было дано в обзоре [37, §4]. Все основные результаты в [9, 19, 37] приведены без доказательств. Исключение составляет собственно теорема об осреднении, но она сформулирована и доказана [19, теорема 1] только для уравнения (1.1); таким образом, осреднение проведено только для оператора пространственной части волнового уравнения. Данная работа закрывает этот пробел - в разделе 2 мы приводим доказательства основных утверждений об усреднимых функциях из [9, 19, 37], а в разделе 3 формулируем и доказываем теорему об осреднении для дифференциальных операторов общего вида. В разделе 4 мы возвращаемся к волновому уравнению и на его примере описываем способ практического решения ключевого «уравнения на ячейке», возникающего в предлагаемом методе. Отметим, что мы используем термины «усреднение» и «осреднение» в разном смысле - первый означает вычисление определённого тем или иным образом среднего от заданной функции, а второй - процедуру редукции оператора с быстроосциллирующими коэффициентами к оператору с плавно меняющимися коэффициентами. Некоторые обозначения. Мы будем использовать операторы с малым параметром при производных. Таких параметров у нас два - квазиклассический параметр h и параметр μ, характеризующий скорость осцилляции коэффициентов, и поэтому мы различаем h- и μ-дифференциальные операторы, для которых используются следующие обозначения: , (1.2) Здесь H(x,p) - многочлен от переменных p = (p1,...,pn) с коэффициентами, зависящими от переменных x = (x1,...,xn) - символ рассматриваемого оператора; номера над операторами, подставляемыми в символ вместо числовых переменных, обозначают порядок их действия (фейнмановские номера [24, 25, 38]) - сначала к функции, на которую действует μ- или h-дифференциальный оператор (1.2), применяются дифференцирования, а потом полученные производные умножаются на коэффициенты. Многие из рассматриваемых далее функций зависят от параметров h,μ,δ. Если характер этой зависимости ясен из контекста, мы опускаем соответствующие аргументы для краткости. Через f ∗ g обозначаем свертку функций f и g: 2. Усреднимые функции В этом разделе, в основном следуя [9, 19, 37], мы приведем определения и утверждения, касающиеся быстро меняющихся функций и их усреднения, и дадим отсутствующие в [9, 19, 37] доказательства. 2.1. Быстро меняющиеся функции и усреднение. Определение 2.1. Пусть f(x,μ) -бесконечно дифференцируемая функция от переменных x ∈ Rn, зависящая от параметра μ ∈ (0,1] (гладкость и даже непрерывность по которому не предполагается). Будем говорить, что функция f(x,μ) равномерно гладкая, если (2.1) и быстроосциллирущая, если (2.2) где Cα - постоянные, не зависящие от x и μ. Пространство равномерно гладких функций обозначим через, а быстроосциллирующих - через. Пространства являются пространствами Фреше относительно счётных систем полунорм, задаваемых наилучшими возможными значениями постоянных Cα в (2.1) и (2.2) соответственно, и имеет место непрерывное вложение . Будем писать , если , если. Далее, f = Op(μ∞), если для любого N = 0,1,2,... (или, что эквивалентно, f = O(μN;Cus∞(Rn)) для любого N = 0,1,2,... ). Пусть ϕ(x) -функция из пространства Шварца S(Rn). Для ε > 0 через Tεϕ обозначим «масштабированную» функцию . Определение 2.2. Функция называется локально усреднимой, если свертка (2.3) (2.4) принадлежит пространству для любого γ ∈ (0,1) и любой функции ϕ из пространства Шварца S (Rn). Пространство локально усреднимых функций обозначим через Cla∞(Rn). Из формулы (2.4) видно, что всякая равномерно гладкая функция локально усреднима, так что имеют место вложения . Специальным ядром усреднения будем называть произвольную функцию ϕ ∈ S(Rn), такую, что (2.5) Определение 2.3. Локальным средним функции f ∈ Cla∞(Rn) называется функция E[f] ∈ , задаваемая формулой E[f](x,μ) = (Tμγϕ ∗ f)(x,μ), (2.6) где γ ∈ (0,1) и специальное ядро усреднения ϕ ∈ S(Rn) выбираются произвольным образом. Утверждения из следующей теоремы анонсированы в [9, 19, 37] без доказательства, которое приводится ниже. Теорема 2.1 (см. [37, Theorem 1]). Справедливы следующие утверждения: 1. Локальное среднее E[f] корректно определено, т. е. не зависит от выбора γ и ϕ, с точностью до Op(μ∞). 2. Если, то E[f] = f + Op(μ∞). 3. Если, то E[Hfp ] = HpE[f] + Op(μ∞) для любого μ-дифференциального оператора Hp с коэффициентами из. Доказательство. Докажем сначала утверждение 2. Для этого запишем свертку, задающую локальное среднее (2.6), в форме (2.4), обозначив для краткости μγ = ε, и разложим f(x - εy,μ) в подынтегральном выражении по формуле Тейлора с остаточным членом подставляя в неё z = x-εy. В результате, с учётом свойств (2.5) специального ядра усреднения, получим (опуская для краткости второй аргумент μ) , Так как функция yαϕ(y) лежит в пространстве Шварца, то , и в силу произвольности N получаем E[f] = f + Op(μ∞), что и требовалось. Теперь мы можем доказать утверждение 1. Пусть ϕ,ψ - два специальных ядра усреднения, и пусть ε = μγ1, δ = μγ2, γ1,γ2 ∈ (0,1). Далее, пусть f ∈ Cla∞(Rn). Тогда, и с учетом утверждения 2 и коммутативности и ассоциативности свертки получаем (Tδψ ∗ Tεϕ) ∗ f = Tδψ ∗ (Tεϕ ∗ f) = Tεϕ ∗ f + Op(μ∞); p (Tδψ ∗ Tεϕ) ∗ f = (Tεϕ ∗ Tδψ) ∗ f = Tεϕ ∗ (Tδψ ∗ f) = Tδψ ∗ f + O(μ∞). Таким образом, Tεϕ ∗ f = Tδψ ∗ f + Op(μ∞), и утверждение 1 доказано. Докажем утверждение 3. Достаточно проверить, что p E[pfp ] = ppE[f], E. Первое равенство очевидно, так как свертка коммутирует с дифференцированиями. Чтобы проверить второе утверждение, в формулу где ϕ- специальное ядро усреднения, а ε = μγ, γ ∈ (0,1), подставим разложение (2.7) функции Q(x - εy): , где функции QNα(x,y) равномерно по (x,y,μ) ограничены вместе со всеми своими производными. Поэтому . (2.8) Обозначим для краткости ϕα(y) = yαϕ(y). Покажем, что Tεϕα ∗ f = Op(μ∞) при |α| > 0. (2.9) Пусть ψ - специальное ядро усреднения, а . Тогда (доказательство этого факта с небольшими изменениями воспроизводит доказательство утверждения 2 выше) и соответственно , так что Tεϕα ∗ f = Tεϕα ∗ Tδψ ∗ f + Op(μ∞) = Tεϕα ∗ E[f] + Op(μ∞). Поскольку функция E[f] равномерно гладкая, мы опять можем использовать рассуждение из доказательства утверждения 2 и получить (2.9). Теперь равенство E[Qf] = QE[f]+Op(μ∞) вытекает из (2.8) в силу произвольности N. Теорема доказана. Определение 2.4. Диффеоморфизм (замену переменных) g: Rn → Rn назовем правильным, если все производные (начиная с первых) задающих его функций ограничены равномерно по x ∈ Rn и то же самое справедливо для обратного диффеоморфизма. Следующее утверждение также приводится в [9, 19, 37] без доказательства. Теорема 2.2. Пространства инвариантны относительно правильных замен переменных. Доказательство. Для пространств утверждение непосредственно следует из определения 2.1 и ограниченности производных функций, задающих диффеоморфизм. Остается доказать, что если- правильный диффеоморфизм, то. Пусть ϕ ∈ S(Rn) и ε = μγ, γ ∈ (0,1). Покажем, что . Поскольку g - правильная замена переменных, это условие эквивалентно условию , которое мы и будем проверять. Таким образом, необходимо доказать, что функция (2.10) и её производные любого порядка по переменным y ограничены равномерно по (y,μ) ∈ Rn×(0,1]. Применяя формулу Тейлора (2.7) к функции g(x), получаем где матричные функции A(x) и A-1(x), равно как и вектор-функции Bα(x) и Dα(x,y) (конкретные выражения для которых для доказательства несущественны) равномерно ограничены вместе со всеми своими производными. Частный случай этого разложения при N = 0 имеет вид . Обозначим через A(x,y,τ) матрицу A(x,y,τ) = (1 - τ)A(x) + τD(x,y), τ ∈ [0, 1]; тогда A(x,y,0) = A(x) и (1 - τ)A(x)(x - y) + τ(g(x) - g(y)) = A(x,y,τ)(x - y). Из равномерной ограниченности матричных функций A(x), A-1(x) и D(x,y) вытекает, что существуют постоянные R > 0,C0 > 0, такие, что при τ ∈ [0, 1] для любых x,y ∈ Rn, таких, что |x - Выберем и зафиксируем такое R. Пусть χ1(r) - гладкая срезающая функция, равная нулю при и единице при. Выберем произвольную точку x ∈ Rn и разобьем функцию (2.10) на два слагаемых: (2.12) Достаточно показать, что функции Fj(x,μ), j = 1,2, равномерно по μ ограничены вместе со всеми производными в шаре, причём соответствующие оценки равномерны по x0. Рассмотрим сначала функцию F2(x,μ). В этом случае на носителе подынтегрального выражения выполнено неравенство так что если x ∈ BR(x0), то |x - y| R. Для правильной замены переменных g существуют такие постоянные C1,C2 > 0, что , так что на носителе подынтегрального выражения получаем . Поскольку ϕ ∈ S(Rn), получаем, что при x ∈ BR(x0) на носителе подынтегрального справедливы оценки , |α|,N = 0,1,2,... , с постоянными CαN, не зависящими от x0, откуда немедленно следует, что F2(x,μ) и её производные не только ограничены, но и равны O(μ∞) в шаре причём соответствующие оценки равномерны по параметру x0. Оценим теперь функцию F1(x,μ). Подставляя разложение (2.11) в аргумент функции ϕ из подынтегрального выражения в (2.12) и применяя к ней разложение Тейлора (2.7) с центром в точке A(x)(x - y)/ε), получаем Раскрывая скобки, перепишем это выражение в виде (суммы здесь и далее в доказательстве конечны) где Kαβ(x) и Kαβ(x,y) - гладкие функции, равномерно ограниченные вместе со всеми своими производными. Положим ); тогда функцию F1(x,μ) можно записать в виде , где K00(x) = 1, K0β(x) = 0 при, Оценим прежде всего слагаемые в основной сумме. Функция k(x,μ) получается из f(x,μ) умножением на гладкую не зависящую от μ функцию и потому вместе с ней принадлежит пространству Cla∞(Rn) и, следовательно, задаёт всюду определённый линейный оператор действующий между пространствами Фреше. Мы утверждаем, что этот оператор замкнут. Действительно, еслификсированном μϕ∈j (0→,1]ϕ∞в пространствеи Tεϕj ∗ k → ψ,Cb то последняя сходимость имеет место и при каждомRn) гладких функций, ограниченных вместе со все- ∞( ми производными. Но при фиксированном μ рассматриваемый оператор непрерывен в пространствах S(Rn) -→ Cb∞(Rn), так что с необходимостью Tεϕ∞ ∗ k = ψ. По теореме о замкнутом графике оператор Q непрерывен. Далее, отображение - гладкое отображение группы GL(n,R) неособых вещественных матриц размера n×n в S(Rn), так что Tεϕαβ(A,·)∗k - гладкое семейство элементов пространства, параметризованное матрицами A ∈ GL(n,R). Функция A(x) гладкая, все её производные ограничены, и все матрицы A(x) содержатся в компактном подмножестве в GL(n,R). Поэтому ψ(y,·,μ) = Tεϕαβ(A(y),·)∗k -гладкое и ограниченное вместе со всеми производными семейство элементов пространства. Таким образом, имеют место оценки Из этих оценок немедленно вытекает, что функция является элементом пространства. Умножение на функцию Kαβ(x) также не выводит из пространства, а показатель степени |α| - |β| у ε положителен. Итак, . Осталось оценить влияние остаточных членов. Минимальная степень параметра ε в выражениях для R1 и R2 есть εN-1; функции ϕαβ ограничены; при каждом дифференцировании по x возникает множитель ε-1. В силу произвольности N ясно, что остаточные члены R1 и R2 не портят необходимых оценок. Равномерность всех полученных оценок по x0 является следствием того факта, что все оценки для исходных функций инвариантны относительно сдвигов по x. Теорема доказана. 2.2. Алгебры усреднимых функций. Пространство Cla∞(Rn) не замкнуто относительно умножения функций; мы будем рассматривать в нем подпространства, которые являются алгебрами и удовлетворяют некоторым специальным условиям. В данной статье будем использовать модифицированный вариант определения из [8]. Определение 2.5. Правильной алгеброй локально усреднимых функций (или просто правильной алгеброй) назовем алгебру функций A , C, инвариантную относительно μ-дифференцирований: если f ∈ A , то и Следующий важный класс правильных алгебр описан в [37]. Пусть Γ ⊂ Rn - счетная аддитивная подгруппа, снабжённая нормой - функцией ν: Γ → R+, такой, что ν(g) > 0 при. Обозначим через NΓ(t) считающую функцию группы Γ - функцию, значение которой при любом t ∈ R+ есть число NΓ(t) = #{g ∈ Γ: ν(g) < t} элементов группы Γ, норма которых меньше t. Предположим, что функция NΓ(t) конечна при всех t и растет не быстрее некоторой степени: с некоторыми постоянными C0,m0 > 0. (2.13) Далее, предположим, что норма ν(·) и сужение на подгруппу Γ обычной евклидовой нормы в Rn связаны неравенствами при с некоторыми постоянными m0,m1,C1,C2 > 0 (2.14) (левое неравенство здесь называется условием диофантовости). При выполнении условий (2.13) и (2.14) будем говорить, что Γ - диофантова группа степенного роста. Пример 2.1. В качестве Γ ⊂ Rn можно взять подгруппу, порожденную векторами b1,...,bm ∈ Rn, удовлетворяющими для некоторого s > 0 диофантову условию ; основной интерес здесь, разумеется, представляет случай m > n. Отметим, что по теореме Хинчина-Грошева [6, 40] для любых фиксированных m,n это условие выполнено для почти всех наборов {b1,...,bm} в смысле меры Лебега в Rmn. Рассмотрим всевозможные почти периодические функции переменных y ∈ Rn с модулем частот Γ и с коэффициентами из , т. е. функции F(x,μ,y) вида , (2.15) где коэффициенты удовлетворяют условиям быстрого убывания (2.16) с постоянными не зависящими от x и μ (но своими для каждой функции f). Теорема 2.3. Пространство AΓ функций , (2.17) где F(x,μ,y) -функция вида (2.15) с коэффициентами Fg(x,μ), удовлетворяющими условиям (2.16), представляет собой правильную алгебру локально усреднимых функций. Локальное среднее функции (2.17) имеет вид E[f](x,μ) = F0(x,μ) + Op(μ∞). Замечание 2.1. Осреднение дифференциальных операторов с быстроосциллирующими коэффициентами вида (2.15) с постоянными Fg рассматривалось в [20]. Замечание 2.2. Разумеется, AΓ можно интерпретировать как скрещенное произведение групповой алгебры быстро убывающих функций на Γ (относительно свертки) на алгебру Cus∞(Rn) с тривиальным действием группы Γ на последней. Доказательство теоремы 2.3. Подставляя в (2.17) выражение (2.15) для функции F, получаем . (2.18) Покажем, что этот ряд равномерно сходится. Для этого воспользуемся следующей леммой. Лемма 2.1. Пусть {ag}g∈Γ -семейство чисел, удовлетворяющих неравенству с некоторыми постоянными C,s > 0. Если s > m0, то ряд абсолютно сходится, и . Доказательство. Для частичной суммы ряда из абсолютных значений запишем неравенство (интеграл Стилтьеса). Интегрируя по частям и пользуясь оценкой для считающей функции группы Γ, получаем При s > m0 правая часть неравенства равномерно ограничена, и при R → ∞ получаем . Лемма доказана. В силу этой леммы и оценок (2.16) при α = 0 и N > m0 ряд (2.18) сходится равномерно по (x,μ). Таким образом, произвольный элемент f ∈ AΓ представляет собой функцию, равномерно по (x,μ) ограниченную и при каждом μ ∈ (0,1] непрерывную по x. Далее, почленное дифференцирование ряда (2.18) приводит к формуле , где . (2.19) В силу (2.16) и правого неравенства в (2.14) для коэффициентов продифференцированного ряда при всех α и N справедливы оценки , где (здесь 1j = (0,... ,0,1,0,... ,0), где единица стоит на j-м месте). Это оценки того же вида, что и (2.16), но с другими постоянными, и мы заключаем, что По индукции получаем μ|α|f(α) ∈ AΓ для производной любого порядка α, так что все μ-производные функции f также равномерно ограничены, а значит,. Итак, Aинвариантно относительно μ-дифференцирований. Покажем теперь, что AΓ - алгебра. Пусть f,f ∈ AΓ - два элемента вида (2.18). Тогда , где (2.20) (обычная свертка функций на группе Γ). Пользуясь оценками вида (2.16) для коэффициентов Fh ии их производных, получаем const, где - биномиальные коэффициенты, а постоянная зависит от α и N. Так как (в действительности это вариант неравенства Питре), то из предыдущего неравенства следует, что const(1 +. При s > m0 ряд в правой части сходится по лемме 2.1, и мы видим, что коэффициенты Hg удовлетворяют оценкам вида (2.16). Итак, , что и требовалось. Покажем, наконец, что A, и вычислим локальное среднее E[f] функции (2.18). Пусть ϕ ∈ S(Rn) и ε = μγ, γ ∈ (0,1). Ряд (2.18) сходится в, а отображение пространства в себя непрерывно, так что свертку можно вычислять почленно: . Для слагаемого при g = 0 получаем . При воспользуемся тем фактом, что и для произвольного целого запишем Из оценок (2.16) для коэффициентов Fg и включения ϕ ∈ S (Rn) вытекает, что const(1 + ν(g))-N(1 + |y|)-n-1, где постоянная зависит от k и N, но не зависит от g. Интегрируя по Rn и учитывая левое неравенство в (2.14), с некоторыми новыми постоянными получаем ε (1 + constμk(1-γ)(1 + ν(g))-N+m1k. Положим здесь . Тогда , и по лемме 2.1, суммируя ряд, получаем εϕ . Оценивая производные аналогичным образом, в силу произвольности m имеем Tεϕ∗f = Tεϕ∗F0+Op(μ∞). Таким образом, f ∈ Cla∞(Rn). Выбирая в качестве ϕ специальное ядро усреднения, получаем E[f] = E[F0] + Op(μ∞) = F0 + Op(μ∞). Теорема доказана. 3. Теорема об осреднении Как уже говорилось выше, в теории осреднения для квазиклассических асимптотик фигурируют два основных малых параметра: квазиклассический параметр h при производных, входящих в уравнение, и параметр μ, характеризующий скорость осцилляции коэффициентов. Всюду далее будем предполагать, что эти параметры связаны соотношением с постоянными κ,C > 0, которое означает, что коэффициенты оператора осциллируют значительно быстрее, чем предполагаемые квазиклассические решения. q q Пусть H0 и H1 - h-дифференциальные операторы порядка m с равномерно гладкими и μбыстроосциллирующими коэффициентами, соответственно. Через P(x,p) = H0m(x,pq) обозначим старшую однородную часть степени m по переменным p символа H0(x,p) оператора H0. Рассмотрим задачу об осреднении для возмущённого оператора q q q H = H0 + δH1, где δ -ещё один малый параметр, характеризующий величину возмущения. Теорема 3.1. Предположим, что коэффициенты оператора Hq1 лежат в правильной алгебре A локально усреднимых функций и выполнено следующее условие: (P) для любой функции v ∈ A такой, чтоp E[v] = Op(μ∞), уравнение Pup = v mod Op(μ∞) имеет решение u ∈ A такое, что E[u] = O(μ∞). p Тогда для любого N = 1,2,... существует μ-дифференциальный оператор χ с символом вида χ = 1 + δχ1 + ··· + δNχN, где χj -многочлены от переменных (p,μ,ν) с коэффициентами в A , и h-дифференциальный оператор Lq с символом вида L = L0 + δL1 + ··· + δNLN, L0 = H0, где Lj -многочлены от переменных (p,p,ν) с коэффициентами в Cus∞(Rn) такие, что q q q H χp = χp L + R, (3.1) где через Rq обозначен h-дифференциальный оператор, символ которого является многочленом от переменных (p,h,δ,ν), причём в каждом слагаемом этого многочлена сумма показателей степеней при h, ν и δ не ниже N + 1. Замечание 3.1. Уравнение Pup = v mod Op(μ∞), упомянутое в условии (P), играет в рассматриваемой теории ту же роль, что «уравнение на ячейке» в классической теории осреднения для уравнений с коэффициентами - периодическими функциями от быстрых переменных. Доказательство теоремы 3.1. Пусть . (3.2) q Заметим, что если умножить оператор H на νm, то получится μ-дифференциальный оператор p 2 p1 H = H(x,p) с символом . Поэтому вместо (3.1) получим сначала соотношение вида p p p H χp = χp L + R (3.3) с подходящими свойствами входящих в него операторов, а потом покажем, что при умножении Lp и Rp на ν-m получаются h-дифференциальные операторы с указанными в теореме свойствами. 2 1p В доказательстве будем использовать μ-дифференциальные операторы F(x,p), символы которых полиномиально зависят от параметров μ и ν: (сумма конечна); (3.4) для краткости мы опускаем параметры в обозначении символа. Обозначим через Is, s ∈ Z+, пространство символов (3.4), для которых Fαjk ∈ A (так что коэффициенты сами могут зависеть от параметра μ), причём Fαjk = 0 при |α|+j +k < s, а через Iregs ⊂ Is - подпространство символов с равномерно гладкими коэффициентами . В частности, H0 ∈ Iregm , H1 ∈ Im. Очевидно, оба семейства пространств символов убывают при возрастании параметра s. Напомним, что для произведения дифференциальных операторов справедлива формула где , (3.5) выражающая символ произведения операторов как «скрученное» произведение символов сомножителей[2]. Следующее утверждение о скрученных произведениях символов из введённых выше пространств непосредственно вытекает из формулы (3.5). Лемма 3.1. Имеют место соотношения Ik ∗ Is ⊂ Is, Ik ∗ Iregs ⊂ Ik+s, I. Построим символы χ = 1 + δχ1 + ··· + δNχN, L = L0 + δL1 + ··· + δNLN, L0 = H0, R = δR1 + ··· + δNRN + δN+1RN+1 + ··· + δ2NR2N, χj ∈ Im, j = 1,...,N, Lj ∈ Iregm , j = 1,...,N, Rj ∈ Im+N+1-j, j = 1,...,N, (3.6) Rj ∈ Im, j = N + 1,...,2N, такие, что выполнено соотношение (3.3). Для этого перепишем (3.3) в развернутом виде , воспользуемся формулой (3.5), чтобы перейти от произведения операторов к «скрученному» произведению символов и приравняем коэффициенты слева и справа при одинаковых степенях δ: (3.7) . Для экономии места мы не выписываем здесь явно соотношения для коэффициентов при δj при j > N, так как эти соотношения служат просто определением соответствующих символов Rj; отметим лишь, что Im∗Im ⊂ Im в силу леммы 3.1, так что если нам удастся решить рекуррентную систему (3.7) относительно χj, Lj и Rj, j = 1,...,N, в классах символов (3.6), то и оставшиеся Rj, j = N + 1,...,2N, будут лежать в нужных классах. Лемма 3.2. Имеет место формула p p H0 ∗ F - F ∗ H0 = (P + K)F, p где Pp - μ-дифференциальный оператор с введённым выше символом P(x,p), а K -оператор с тем свойством, что KpIs ⊂ Is+1 для любого s 1. Доказательство. Пусть F ∈ Is. Так как H0 = P + νQ, где Q ∈ Im-1, то H0 ∗ F - F ∗ H0 = P ∗ F + νQ ∗ F - F ∗ H0. По лемме 3.1 Q ∗ F ∈ Is и F ∗ H0 ∈ Is+m, так что νQ ∗ F - F ∗ H0 ∈ Is+1. Осталось показать, что p P ∗ F = PF с точностью до элементов из Is+1. Но где - биномиальные коэффициенты. Поскольку μ-дифференцирование коэффициентов не выводит из Is, а умножение на pj переводит Is в Is+1, все слагаемые в правой части, p в которых, лежат в Is+1. Слагаемые же с γ = 0 дают в точности Pf. Лемма доказана. Вернемся к доказательству теоремы. В силу леммы 3.2 k-е уравнение рекурсивной цепочки (3.7) можно записать в виде p p Pχk = -Kχk + Lk + Fk + Rk, (3.8) где χk ∈ Im и Lk ∈ Iregm - неизвестные функции, Rk - остаток, относительно которого нужно добиться, чтобы Rk ∈ Im+N+1-k, а , - заданная функция (при k > 1 выражающаяся через решения предыдущих уравнений цепочки), причём если предположить по индукции, что все предыдущие уравнения решены в нужных пространствах, то Fk ∈ Im. Чтобы решить уравнение (3.8) для очередного k, поступим следующим образом. Рассмотрим цепочку уравнений[3] p Pf0 = Fk - E[Fk], (3.9) p p p Pfj = E[Kfj-1] - Kfj-1, j = 1,2,... (3.10) Имеем Fk-E(Fk) ∈ Im, E[Fk-E(Fk)] = Op(μ∞). В силу условия (P) уравнение (3.9) имеет решение f0 ∈ Im (уравнение решаем по отдельности для каждого коэффициента многочлена f0, получая решения из A ; так как набор одночленов, коэффициенты при которых ненулевые, тот же, что и в правой части, полученный многочлен, как и правая часть, лежит в Im). Теперь последовательно решаем уравнения (3.10). Предположим по индукции, чтоp fj-1 ∈ Im+j-1; тогда правая часть уравнения (3.10) лежит в Im+j, имеет локальное среднее O(μ∞), и в силу условия (P) получаем решение fj ∈ Im+j. Для суммы этих решений получаем . p При достаточно большом M символ KfM будет лежать в Im+N+1-k, мы получаем решение уравнения (3.8) в виде . (3.11) Итак, цепочка уравнений (3.7) решена. Для доказательства теоремы осталось проверить, что операторы Lq := ν-mLp и Rq := ν-mR,p где , суть h-дифференциальные операторы с заявленными в формулировке теоремы свойствами. Чтобы показать это, заметим, что коэффициенты в разложениях символов L и R по степеням параметра δ являются символами вида (3.4), лежащими либо в пространстве Iregm (в случае символа L), либо в пространствах Is для или s = m (в случае символа R). Рассмотрим 2 p reg произвольный оператор F(x,p) с символом (3.4) из пространства Is или Is. Так как μ = hν, то . Таким образом, при s m показатель степени у ν всегда неотрицателен, так что оператор записывается в виде h-дифференциального оператора с полиномиальным по (p,h,ν) символом, причём в каждом слагаемом в символе сумма показателей степени у h и ν не меньше s - m. Отсюда немедленно вытекают требуемые утверждения. Теорема доказана. Пример 3.1. В качестве простого примера приложения теоремы 3.1 рассмотрим асимптотиq ческую задачу на собственные значения для оператора H: Hqψ = λψ + O(hm). q Предположим, что δ Chε для некоторого ε > 0. Выберем . Пусть χp и L- операторы, построенные в теореме. Найдем решение асимптотической задачи на собственные значения Lqϕ = λϕ + O(hm) q для оператора L. Поскольку символ этого оператора уже не быстроосциллирующий, квазиклассическое асимптотическое решение ϕ этой задачи можно во многих случаях построить с помощью канонического оператора Маслова. Положим ψ = χϕ.p Тогда (H -q λ)ψ = (H -q λ)χϕp = χp(H -q λ)ϕ + O(hm) = O(hm), т. е. мы получаем асимптотическое решение исходной задачи. Пример 3.2. Теорема 1 из [19] об осреднении волнового уравнения с быстроосциллирующей скоростью является следствием (или, если угодно, частным случаем) теоремы 3.1. Условие (P) в теореме 3.1 может оказаться труднопроверяемым, но во многих ситуациях достаточно просто доказать, что оно выполнено. Например, справедливо следующее утверждение. Теорема 3.2. Пусть Γ -диофантова группа степенного роста, и пусть -однородный многочлен степени m от переменных p с коэффициентами, удовлетворяющий условию равномерной эллиптичности: существует постоянная C > 0 такая, что при всех (x,p) справедливо неравенство | | . p Тогда для любой функции f ∈ AΓ такой, что E[f] = 0 mod O(μ∞), существует решение u ∈ AΓ уравнения Pup = f mod Op(μ∞) (3.12) такое, что E[u] = 0 mod Op(μ∞). Доказательство. Пусть функция f записана в виде (2.18). Тогда F0(x,μ) = E[f] + Op(μ∞) = Op(μ∞). Так как уравнение (3.12) мы будем решать с точностью до Op(μ∞), то без ограничения общности будем считать, что F0(x,μ) = 0, т. е. . (3.13) Для каждого члена fg(x,μ) = Fg(x,μ)eμgx ряда (3.13) построим формальное асимптотическое p решение ug уравнения Pug = fg в виде ряда по степеням параметра μ: . Чтобы найти коэффициенты agj(x,μ), подставим этот ряд в уравнение и получим , где (и, в частности, Rk(g) = 0 при k > m), откуда, приравнивая коэффициенты при степенях μ, для функций agj(x,ξ) получаем рекуррентные формулы Так как коэффициенты оператора Rk(g) - однородные функции от g степени m - k, а сам этот оператор - дифференциальный порядка k, то из этих формул по индукции следуют оценки с некоторыми постоянными g и Fg. Из условия диофантовости (2.14) следует, что constν(g)m1(m+j). Комбинируя это неравенство с оценками (2.16), получим неравенства CNjα(1 + ν(g))-N, N,j,|α| = 0,1,2,... , (3.14) с некоторыми постоянными Теперь, чтобы превратить формальное асимптотическое решение в настоящее асимптотическое решение с точностью до Op(μ∞), воспользуемся хорошо известным приемом построения функции с заданным рядом Тейлора. Положим (3.15) . (3.16) Теперь все утверждения теоремы вытекают из следующей леммы. Лемма 3.3. Ряды (3.16) сходятся, причём является решением уравнения (3.12), E[u] = Op(μ∞), и для любого M = 0,1,2,... имеют место разложения , (3.17) (3.18) где . Доказательство. Рассмотрим хвост первого ряда в (3.16): . Пользуясь оценкой (3.14), получим . Ряд в правой части сходится, поскольку при имеет место неравенство . При M = 0 отсюда следует сходимость первого ряда в (3.16) в пространстве Cus∞(Rn) и оценки для функций ag, гарантирующие, что вторая формула в (3.16) задаёт элемент пространства AΓ. При произвольном M получаем разложения (3.17) и (3.18). Лемма 3.3, а вместе с ней и теорема 3.2, доказаны. 4. О практическом решении уравнения из условия (P) Вопрос о практическом решении уравнения из условия (P), необходимого при построении редуцирующего преобразования, рассмотрим на примере волнового уравнения , (4.1) где квадрат скорости зависит от малых параметров μ,δ > 0 (соотношение между которыми мы обсудим ниже) следующим образом: c2(x) ≡ c2(x,μ,δ) = f0(x,μ) + δf1(x,μ), (4.2) где. Будем предполагать, что функция f1(x,μ) лежит в некоторой правильной алгебре локально усреднимых, причём E[f1] = 0. Для волнового уравнения (4.1) рассмотрим задачу Коши = η1(x,h) (4.3) с быстроосциллирующими начальными данными, скорость осцилляций которых характеризуется малым параметром h > 0: Теорема 1 из [19] утверждает, что при этих условиях, если , то решение задачи Коши (4.1), (4.3) близко к решению задачи Коши с начальными условиями (4.3) для осреднённого волнового уравнения первого приближения . (4.4) Если указанные соотношения на параметры не выполняются (скажем,, то следует учитывать в осреднённом уравнении и члены более высокого порядка, которые приводят к тому, что в осреднённом уравнении появляется дисперсия. Сколько именно дальнейших членов понадобится, зависит от соотношения между параметрами. Осреднённое уравнение второго приближения по параметру δ было вычислено в [9, 37]. Оно имеет вид , где . (4.5) Погрешность составляет при этом O(μ2 +δ3 +δ2(μ/h)6), так что если взять, например, и, то погрешность будет O(μ2) = O(δ3). Формулу для L(x,p) можно переписать в виде , (4.6) где через pp-2pv обозначается решение уравненияp Pup = v ∈ Cla∞(Rn), E[v] = 0, из условия (P) с оператором P = p2. Предложенные в [9, 19] методы для вычисления решения этого уравнения не особенно удобны с вычислительной точки зрения. Напишем явную формулу, удобную для практического применения. Прежде всего заметим, что (ряд Неймана). Преобразование Фурье с параметром μ от функции, которая локально усреднима с нулевым средним, есть O(μ∞) в шаре некоторого радиуса, стремящегося при μ → 0 к нулю медленнее произвольной степени μ. Поэтому, если взять ε = μλ для некоторого λ ∈ (0,1), то некоторый конечный отрезок этого ряда Неймана будет хорошим приближением к символу оператора pp-2 на таких функциях. Таким образом, надо вычислить ядро Шварца оператора pp2 +1 ε2 . Имеем где Вычисляя интеграл по ϕ, получаем где J0(z) - функция Бесселя. Таким образом, функция K(ξ) зависит только от |ξ| и как функ- 1 1 ция от |ξ| с точностью до множителя 2π является преобразованием Ханкеля функции ρ2 + ε2 . Поэтому , где K0(z) - модифицированная функция Бесселя 2-го рода. Окончательно, переходя к полярным координатам, получаем где n . Как отмечено в [19], при практической реализации оператора усреднения E достаточно ограничиться ядром, у которого равны нулю только моменты до порядка |α| = 3 включительно, но которое зато задаётся явной аналитической формулой. Следуя [19], можно взять . Более того, вместо интегрирования по всей плоскости можно ограничиться интегрированием по единичному квадрату: E

Об авторах

С. Ю. Доброхотов

Центр интегрируемых систем, Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова; Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН

Автор, ответственный за переписку.
Email: s.dobrokhotov@gmail.com
Ярославль, Россия; Москва, Россия

В. Е. Назайкинский

Центр интегрируемых систем, Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова; Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН

Email: nazaikinskii@yandex.ru
Ярославль, Россия; Москва, Россия

Список литературы