О существовании периодических по времени решений нелинейных параболических дифференциальных уравнений с нелокальными краевыми условиями типа Бицадзе-Самарского

Полный текст

Введение Краевые задачи с нелокальными условиями на границе области рассматриваются с 30-х годов XX века, см. работы Т. Карлемана [19] и др. В данной работе рассмотрено параболическое дифференциальное уравнение с нелокальными краевыми условиями типа Бицадзе-Самарского: нелокальные краевые условия заданы с помощью сдвигов по пространственным переменным в ограниченной области многомерного пространства. Впервые дифференциальные уравнения с подобными нелокальными условиями были рассмотрены в [2]. С использованием метода компактности для модельной задачи было доказано существование единственного решения. В дальнейшем задачей Бицадзе-Самарского занимались многие математики, в частности, с помощью метода компактности были получены регулярные решения задач Бицадзе-Самарского для ряда линейных параболических уравнений (со многими пространственными переменными) и систем (с одной пространственной переменной) в цилиндрических областях с негладкими боковыми границами, даны интегральные представления решений, см., например, [1, 6, 18] и библиографию. Однако в ряде случаев требовался иной метод исследования. В 80-е годы проблема Бицадзе-Самарского [10] для линейных эллиптических уравнений была изучена А. Л. Скубачевским с помощью перехода к эквивалентному дифференциально-разностному уравнению, см. [11, 20]. Используя дополнительно к методу А. Л. Скубачевского метод монотонности, можно исследовать нелинейные эллиптические уравнения с нелокальными краевыми условиями, см. [12, 15], а также линейные и нелинейные параболические уравнения с нелокальными краевыми условиями типа Бицадзе- Самарского, см. [13-15, 21, 23]. В данной работе более подробно рассмотрим вопрос существования периодического по времени решения параболического нелинейного уравнения с нелокальными краевыми условиями типа Бицадзе-Самарского. 1. Постановка задачи Пусть Q ⊂ Rn - ограниченная область с границей ∂Q класса C∞ или Q = (0, d) × G, где G ⊂ Rn-1 - ограниченная область (с границей ∂G класса C∞, если n ) 3); Q = (0, d) для n = 1. Определим цилиндр ΩT := Q × (0,T ). Все функции действительнозначные. В цилиндре ΩT рассмотрим дифференциальное уравнение ∂tw(x, t) - \"" 1 i n ∂iAi(x, t, w, ∇w)+ A0(x, t, w, ∇w) = f (x, t) ((x, t) ∈ ΩT ), (1.1) где Ai, i = 0, 1,... , n, - вещественнозначные нелинейные1 функции, с нелокальными краевыми условиями w|ΓT J0 = ), γr w| T ⎫ (r ∈ B, l = J0 + 1,... ,J ), ⎪⎬ rl j=1 lj Γrj (1.2) |Γ ∈ ⎭ w T = 0 (r / B, l = 1,... ,J ), ⎪ rl rl где множество ΓT = {ΓT } определено следующим образом. Пусть M ⊂ Rn - конечное множество векторов {h} с целочисленными (или соизмеримыми) координатами. Через M обозначим аддитивную группу, порожденную множеством M, через Qr - открытые связные компоненты множества Q \ ( J h∈M ) (∂Q + h . Множество Qr называется подобластью. Семейство R всех подобластей Qr (r = 1, 2,.. .) называется разбиением области Q. Условие 1. Пусть K = J h1,h2∈M JQ ∩ (∂Q + h1) ∩ [(∂Q + h2) \ (∂Q + h1)]l удовлетворяет условию mesn-1(K ∩ ∂Q) = 0. Обозначим через Γρ открытые, связные в топологии ∂Q компоненты множества ∂Q \ K. Если (Γρ + h) ∩ Q ±= ∅ для некоторого h ∈ M, то или Γρ + h ⊂ Q, или существует Γr ⊂ ∂Q \ K такое, что Γρ + h = Γr , см. [20, § 7]. То есть множества {Γρ + h : Γρ + h ⊂ Q, ρ = 1, 2,... , h ∈ M могут быть разбиты на классы. Множества Γρ1 + h1 и Γρ2 + h2 принадлежат одному классу, если 1. существует вектор h ∈ M такой, что Γρ1 + h1 = Γρ2 + h2 + h; 2. для любых Γρ1 + h1, Γρ2 + h2 ⊂ ∂Q нормали к ∂Q в точках x ∈ Γρ1 + h1 и x - h ∈ Γρ2 + h2 однонаправлены. Обозначим множество Γρ + h через Γrj , где r - номер класса, j - номер элемента в классе rl (1 j J = J (r)). Обозначим теперь ΓT := Γrl × (0,T ). Обозначим через B множество индексов тех классов множеств, которые имеют элементы внутrj ри области, т. е. если r ∈ B, то существует Γrj ⊂ Q, ΓT ⊂ ΩT . Соответственно, если r ∈/ B, T то Γrj ⊂ ∂Q, Γrj ⊂ ∂Q × (0,T ). Не нарушая общности, будем считать, что Γr1,... , ΓrJ0 ⊂ Q, Γr,J0+1,... , ΓrJ ⊂ ∂Q (0 J0 = J0(r) < J (r)). Как известно, см. [20, § 7], для любого Γrj ⊂ ∂Q существует подобласть Qsl такая, что Γrj ⊂ ∂Qsl. Более того, если Γrj ⊂ ∂Qsl, то Γrj ∩ ∂Qs1l1 = ∅ для любых пар (s1, l1) ±= (s, l); и для каждого r = 1, 2,... существует единственный номер s = s(r) такой, что N (s) = J (r) и Γrl ⊂ ∂Qsl (l = 1,... ,N (s)) (с точностью до перенумеровки). 1 Если Ai линейны, то в случае их M -периодичности теоремы существования и единственности решения см. в [14, 21]. Напомним, Ai M -периодичны, если Ai(x + h, t, ξ) = Ai(x, t, ξ) для всех h ∈ M, x ∈ Q, x + h ∈ Q. Если условие M -периодичности не выполнено, то можно применять [14, теорема 2] или результаты этой работы. 714 О. В. СОЛОНУХА Условие 2. Для каждой подобласти Qsl (s = 1, 2,... , l = 1,... ,N (s)) и для любого ε> 0 существует открытое множество Gsl ⊂ Qsl с границей ∂Gsl ∈ C1 такое, что mesn(Qsl \ Gsl) < ε, mesn-1(∂GslΔ∂Qsl) < ε. p p Пусть 1/p + 1/q = 1, p ∈ (1, ∞). Lp(0,T ; W 1(Q)) - соболевское пространство функций, интегрируемых в степени вместе с 1-ми производными. Обозначим Lp(0,T ; W˚ 1(Q)) := {u ∈ Lp(0,T ; W 1(Q)) : u|x ∂Q = 0 для п. в. t ∈ (0,T ) , p p ∈ ⎛ r ⎞1/p p V := Lp(0,T ; W˚ 1(Q)) ∩ L2(ΩT ), ⊕u⊕ p (Q)) = ⎜ \"" |∂ u(x, t)| dxdt ⎟ . p Lp (0,T ;W˚ 1 ⎝ i ⎠ 1 i n ΩT p Тогда V - рефлексивное банахово пространство, причем при p ∈ [2, ∞) V = Lp(0,T ; W˚ 1(Q)), q а сопряженным к нему является пространство V∗ = Lq (0,T ; W -1(Q)). При p ∈ (1, 2) p (Q)) + ⊕u⊕L2 (ΩT ), ⊕u⊕V = ⊕u⊕Lp (0,T ;W˚ 1 q a сопряженным к V является пространство V∗ = Lq (0,T ; W -1(Q)) + L2(ΩT ). Подробнее эти пространства описаны в [5, п. 5, § 1, гл. IV] и др. Также будем рассматривать рефлексивное банахово пространство W = {u ∈ V : ∂tu ∈ V∗} (1.3) с нормой ⊕u⊕W = ⊕u⊕V + ⊕∂tu⊕V∗ , где ∂tu - производная элемента u ∈ V в смысле распределений со значениями в V∗. Аналогично введем пространство p,γ Wγ = {w ∈ Vγ : ∂tw ∈ V∗}, где Vγ := Lp(0,T ; W 1 (Q)) ∩ L2(ΩT ), (1.4) p,γ Lp(0,T ; W 1 p (Q)) := {w ∈ Lp(0,T ; W 1(Q)) : w удовлетворяет (1.2) . Как известно, W ⊂ C(0,T ; L2(Q)), см. [5, теорема 1.17, гл. IV], аналогично, Wγ ⊂ C(0,T ; L2(Q)), поэтому w|t имеет смысл, w|t ∈ L2(Q). Будем также полагать, что f ∈ V∗. Периодические по t решения (1.1), (1.2) должны удовлетворять условию w|t=0 = w|t=T . (1.5) Рассматривая производную по t как распределение, введем неограниченный оператор ∂t : D(∂t) → V∗ c областью определения D(∂t) = Wγ (T ) := {w ∈ Vγ : ∂tw ∈ V∗, w|t=0 = w|t=T }. (1.6) Определим оператор A : Vγ → V∗ по формуле r ⊗Aw, v) = \"" 0 i n ΩT Ai(x, t, w, ∇w) ∂i v(t, x) dx dt ∀v ∈ V, (1.7) здесь и ниже ∂0v := v. Определение 1.1. Функция w называется обобщенным решением задачи (1.1), (1.2), (1.5), если она удовлетворяет операторному уравнению ∂tw + Aw = f, w ∈ Wγ (T ). (1.8) 2. Разностный оператор и изоморфизм пространств Рассмотрим набор вещественных постоянных коэффициентов {ah : h ∈ M}. Определим разностный оператор R : Lp(Rn × (0,T )) → Lp(Rn × (0,T )): Ru(t, x) = \"" ahu(x + h, t), (2.1) h∈M а также оператор RQ = PQRIQ : Lp(ΩT ) → L2(ΩT ), здесь IQ : L2(ΩT ) → Lp(Rn × (0,T )) - оператор продолжения функций из L2(ΩT ) нулем в (Rn \ Q) × (0,T ), PQ : Lp(Rn × (0,T )) → Lp(ΩT ) - ПЕРИОДИЧЕСКИЕРЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 715 оператор сужения функций из Lp(Rn × (0,T )) на ΩT . Для исследования свойств оператора RQ ml введем матрицы Rs = {rs }1 m,l N (s): ( a (h = h - h ∈ M), rs h sl sm ml = (2.2) 0 (hsl - hsm ±∈ M), где hsm определяется условием1 Qsm = Qs1 + hsm. Из ограниченности области Q и формулы (2.2) следует, что множество различных матриц Rs конечно, dimRs = N (s) < ∞. p Пусть Ωs1 = Qs1 × (0,T ). Изоморфизм Us : Lp (ΩT ) → LN (Ωs1) задан по формуле (Usu)l(x, t) = N N -1 u(x + hsl, t). Оператор RQs : Lp (Ωs1) → Lp (Ωs1) , определяемый соотношением RQs = UsRQUs , s является оператором умножения на матрицу Rs, при этом RQ = ), U -1RsUsPs, где Ps - проектор s на J Qsl × (0,T ), см. [20, лемма 8.6] (или [11, лемма 2.6]). Более подробно построение и свойства l операторов RQ и RQs см. в [11, 13, 20, 23]. j Обозначим через Rs(r) матрицы, полученные из Rs (s = s(r)) путем перенумерования соответствующих столбцов и строк. Пусть er (j = 1,... ,J (r)) - j-ая строка матрицы размерности J × J0, полученной путем вычеркивания последних J - J0 столбцов из матрицы Rs(r). Определение 2.1. Мы говорим, что матрицы Rs соответствуют краевым условиям (1.2), если выполнено условие 3. Условие 3. Существует набор {ah ∈ R : h ∈ M} такой, что для любого s = 1, 2,... матрицы Rs невырождены, а также для всех r ∈ B и s = s(r) имеют решения системы линейных уравнений l = \"" γlj ej (l = J0 + 1,... ,J ). (2.3) er r r 1 j J0 Кроме того, обозначим через Rs0 матрицу порядка J0 × J0, полученную из матрицы Rs вычеркиванием последних N (s) - J0 строк и столбцов. Теорема 2.1 (см. [23, теорема 1]). Предположим, что выполнены условия 1-3, а соответствующие матрицы Rs и Rs0 (s = s(r), r ∈ B) невырождены. Тогда существует множество γ = {γr } такое, что оператор RQ : Lp(0,T ; W˚ 1(Q)) → L2(0,T ; W 1 (Q)) - изоморфизм. ml p p,γ Теорема 2.2. Предположим, что выполнены условия 1-3, а соответствующие матрицы Rs и Rs0 (s = s(r), r ∈ B) невырождены. В этом случае w ∈ Wγ (T ) является обобщенным решением задачи (1.1), (1.2), (1.5) тогда и только тогда, когда существует решение операторного уравнения ∂tRQu + ARQu = f, u ∈ W (T ) := {u ∈ V : ∂tu ∈ V∗, u|t=0 = u|t=T }, (2.4) причем w = RQu. Доказательство. Так как выполнены условия 1-3, то существует разностный оператор RQ : Lp(0,T ; W˚ 1(Q)) → Lp(0,T ; W 1 (Q)), являющийся изоморфизмом, см. теорему 2.1. Кроме того, p RQ : L2(ΩT ) → L2(ΩT p,γ ) невырожденный, т. е. RQ : V → Vγ - также изоморфизм. Таким образом, для каждого Q w ∈ Wγ существует единственный элемент u ∈ V такой, что w = RQu, u = R-1w. ∂tRQu = RQ∂tu ∈ V∗ при ∂tu ∈ V∗. Сначала покажем, что если u ∈ Покажем, что ˚ 1 -1 Lp(0,T ; W 1(Q)), ∂tu ∈ Lq(0,T ; W - (Q)), то ∂tRQu = RQ∂tu ∈ Lq (0,T ; W (Q)). Линейный операp q q 1 тор RQ : Lq(ΩT ) → Lq (ΩT ) ограничен, см. [22, лемма 4]. Для любого u ∈ Lp(0,T ; W˚p (Q)) такого, ∂tu ∈ Lq (ΩT ), имеем, что RQ∂tu ∈ Lq (ΩT ). Выполнено ∂tRQu = RQ∂tu по построению. B силу что непрерывности вложения пространств q Lq (ΩT ) ⊂ Lq (0,T ; W -1(Q)) для любого u ∈ W получаем, q что существует последовательность {un} ⊂ W такая, что Lq (ΩT ) 3 ∂tun → ∂tu в Lq (0,T ; W -1(Q)). ∂ u = lim ∂ R u = ∂ R u в силу замкнутости графика линей- RQ t n n→∞ t Q n t Q n→∞ ного ограниченного оператора RQ. 1 Напомним, что разбиение Q = J Qsm и множество сдвигов {hsm } согласовано с краевыми условиями (1.2). s,m 716 О. В. СОЛОНУХА q q q Рассмотрим общий случай. Если ∂tu ∈ V∗, то существуют f1 ∈ Lq (0,T ; W -1(Q)) и f2 ∈ L2(ΩT ) такие, что ∂tu = f1 + f2. Тогда ∂tRQu = RQ∂tu = RQf1 + RQf2 ∈ V∗, поскольку RQf1 ∈ Lq (0,T ; W -1(Q)), см. выше, и RQf2 ∈ L2(ΩT ) по построению оператора RQ : L2(ΩT ) → L2(ΩT ). То есть RQ∂tu = ∂tw ∈ V∗ = Lq (0,T ; W -1(Q)) + L2(ΩT ). Поскольку оператор RQ : C(0,T ; L2(Q)) → C(0,T ; L2(Q)) также невырожден, то значения функций u|t=0 = R-1w|t=0 и u|t=T = R-1w|t=T определены однозначно, т. е. w|t=0 = w|t=T тогда Q и только тогда, когда u|t=0 Q = u|t=T . 3. Максимальная монотонность оператора ∂tRQ Определение 3.1. Оператор Λ : V ⊃ D(Λ) → V∗ монотонен, если ⊗Λu - Λv, u - v) ) 0 ∀u, v ∈ D(Λ). Плотно определенный, монотонный оператор Λ максимально монотонен, если не существует нетривиального расширения данного оператора, сохраняющего монотонность. t Как известно, линейный оператор ∂t с областью определения D(∂t) = W (T ) максимально монотонен, и ∂∗ = -∂t, см. [8, гл. 3, п. 2.2]. Для доказательства максимальной монотонности оператора ∂tRQ используем критерий, доказанный, в частности, в [8, лемма 1.1, гл. 3]: в рефлексивных, строго выпуклых со своим сопряженным пространствах максимальная монотонность линейного оператора Λ эквивалентна условию ⊗Λu, u) ) 0 ∀u ∈ D(Λ), ⊗Λ∗u, u) ) 0 ∀u ∈ D(Λ∗). (3.1) Q Обозначим через R∗ сопряженный RQ оператор. Выделим симметрическую и кососимметрическую части оператора: Rsym = 1 (R + R∗ ) и Rsk = 1 (R - R∗ ). Q 2 Q Q Q 2 Q Q Лемма 3.1. Оператор ∂tRQ : W (T ) → V∗ максимально монотонен. Q Доказательство. По построению D(∂tRQ) = W (T ) ⊂ W, D(R∗ ) = D(RQ). Кроме того, (∂tRQ)∗ = R∗ ∂∗ = ∂∗R∗ = -∂tR∗ . Q t t Q Q Q То есть D(∂tR∗ ) = W (T ). Заметим, что ( ∗ ) ( sym (RQu(t), u(t))L2(Q) = u(t), RQu(t) L2(Q) = RQ u(t), u(t) . L2 (Q) Более того, согласно правилам дифференцирования, ∂t (RQu(t), u(t))L2 (Q) = (∂tRQu(t), u(t))L2(Q) + (RQu(t), ∂tu(t))L2(Q) = ( ∗ ) ( sym = (RQ∂tu(t), u(t))L2(Q) + u(t), RQ∂tu(t) L2 (Q) = 2 ∂tRQ u(t), u(t) . L2(Q) Q Поскольку ⊗∂tRsku, u) = 0 и u|t=T = u|t=0, получаем, что T T r ( 1 r Q ⊗∂tRQu, u) = ⊗∂tRsymu, u) = 0 Q ∂tRsymu(t), u(t) 1 L2 (Q) dt = 2 0 ∂t (RQu(t), u(t)) 1 L2(Q) dt = С другой стороны, = 2 (RQu(T ), u(T ))L2 (Q) - 2 (RQu(0), u(0))L2 (Q) = 0. ⊗(∂tRQ)∗u, u) = -⊗∂tR∗ u, u) = -⊗∂tRsymu, u) = 0. Q Q Условие (3.1) для оператора ∂tRQ выполнено. ПЕРИОДИЧЕСКИЕРЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 717 4. Существование обобщенного решения. Условие эллиптичности С 60-х годов прошлого века многими математиками рассматривались нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных, см. [8] и библиографию. При этом ключевую роль играли псевдомонотонные операторы, принадлежность к классу которых определяли условия эллиптичности и коэрцитивности нелинейного дифференциального оператора. В данной работе мы рассматриваем уравнение с нелинейным дифференциально-разностным оператором и будем использовать условия эллиптичности и коэрцитивности для этого оператора. Подробно доказательства свойств нелинейных дифференциально-разностных операторов, удовлетворяющих алгебраическому условию эллиптичности, см. в [16]. Определение 4.1. Оператор A : V → V∗ деминепрерывен, если он непрерывен из сильной топологии V в слабую топологию V∗. Оператор A : V → V∗ ограничен, если образ ограниченного множества ограничен. Оператор A : V → V∗ коэрцитивен, если существует элемент u0 ∈ V такой, что lim ±u±V →∞ V ⊕u⊕-1⊗Au, u - u0) = ∞. (4.1) Определение 4.2. Пусть un --слабо в W и lim ⊗Aun, un - u) 0. (4.2) n →∞ Если при этом lim ⊗Aun, un - ξ) ) ⊗Au, u - ξ) ∀ξ ∈ V, (4.3) n→∞ то оператор A : V → V∗ называется псевдомонотонным1 на W . ·i Будем использовать матрицы ζ ∈ RN (s)×(n+1); обозначим через ζ обозначим l-ю строку ζ. i-й столбец ζ, а через ζl· Теорема 4.1. Пусть p ∈ (1, ∞), Rs и Rs0 (s = s(r),r ∈ B) невырождены. Предположим, что справедливы условия: (A1) Условие интегрируемости2. Ai(x, t, ξ), i = 0, 1,... , n, - функции типа Каратеодори, т. e. Ai измеримы по x и t для всех ξ ∈ Rn+1 и непрерывны по ξ ∈ Rn+1 для п. в. (x, t) ∈ ΩT ; более того, для п. в. (x, t) ∈ ΩT и любых ξ ∈ Rn+1 существуют c1 > 0, g1 ∈ Lq (ΩT ) такие, что |Ai(x, t, ξ)| g1(x, t)+ c1 \"" 0 i n ξi p-1 | | , i = 0,... , n. (4.4) (A2) Условие коэрцитивности. Для всех s, п. в. (x, t) ∈ Qs1 × [0,T ] и любых ζ ∈ RN (s)×(n+1) существуют pˆ ∈ (1, p), c2 > 0 и c3, c4 ∈ R такие, что \"" \"" -1 Ai(x + hsl, t, ζl·) (Rs ζ ·i)l ) c \"" 2 \"" | |ζli p \"" c - 3 | |ζl0 pˆ - c4. (4.5) 1 l N (s) 0 i n 1 l N (s) 1 i n 1 l N (s) (A3) Условие эллиптичности. Для всех s, п. в. (x, t) ∈ Qs1 × [0,T ] и любых ζ, η ∈ RN (s)×(n+1) \"" \"" 1 s (Ai (x + hsl, t, ζl·) - Ai (x + hsl, t, ηl·)) (R- (ζ·i - η·i ))l > 0 при η ±= ζ. (4.6) 1 l N (s) 1 i n Тогда для любого f ∈ V∗ существует обобщенное решение u ∈ W (T ) задачи (1.1), (1.2), (1.5), а множество решений слабо компактно в W (T ). 1 В [8] используется термин псевдомонотонный на D(Λ), где Λ= ∂t. 2 Условие интегрируемости (A1) является стандартным (с небольшими вариациями) для построения интегрального представления дифференциального оператора, см. [5, 7, 8] и др. Благодаря этому условию корректно задана интегральная форма (ARu, v) = r Ai(x, t, RQ u, ∂1RQu,..., ∂n RQu)∂iv dx dt ∀u, v ∈ V; здесь и ниже ∂0v := v. 0 i n ΩT 718 О. В. СОЛОНУХА Доказательство. В силу невырожденности оператора RQ и условий (A1)-(A3) оператор AR ограничен, деминепрерывен, коэрцитивен и псевдомонотонен на W, см. [16, леммы 4, 5 и 8]. Кроме того, оператор ∂tRQ : W (T ) → V∗ максимально монотонен, см. лемму 3.1. Согласно [8, теорема 1.1, гл. 3] существует решение u ∈ W (T ) операторного уравнения (2.4). Множество решений уравнения (2.4) ограничено в силу коэрцитивности оператора ∂tRQ + AR и слабо компактно в W (T ) в силу псевдомонотонности на W оператора ∂tRQ + AR. Значит, в силу ограниченности оператора RQ и согласно теореме 2.2, множество решений {w = RQu} ⊂ Wγ (T ) операторного уравнения (1.8) непусто и слабо компактно. 5. Существование обобщенного решения. Условия сильной эллиптичности В этом разделе будут рассмотрены дифференциально-разностные операторы, удовлетворяющие более сильному условию: алгебраическому условию сильной эллиптичности. C алгебраическим условием сильной эллиптичности связывают классы сильно монотонных операторов, а также операторов с полуограниченной вариацией, см. [3, 4]. Эти свойства важны при изучении проблем гладкости решения, единственности решения, а также используются в регуляризационных схемах. Условие сильной эллиптичности более вариативно, поскольку в правой части, в частности, может стоять достаточно произвольный положительно определенный полином, а левую часть можно выбирать в зависимости от дифференцируемости функций Ai. В данной работе будут рассмотрены наиболее простые варианты1 условия сильной эллиптичности при p ∈ [2, ∞). Определение 5.1. Оператор A : V → V∗ называется оператором с (V,W )-полуогpаниченной вариацией, если существует непрерывная функция C такая, что для любых u, y ∈ W, ⊕u⊕V r, ⊕y⊕V r, справедливо неравенство W ⊗Au - Ay, u - y) ) -C(r; ⊕u - y⊕∓ ), (5.1) W где τ -1C(r, τh) → +0 при τ → 0 для всех r, h > 0, а ⊕· ⊕∓ - компактная полунорма относительно ⊕ · ⊕W и непрерывная относительно ⊕· ⊕V . W В качестве ⊕·⊕∓ удобно рассмотреть ⊕·⊕Lp (ΩT ). Компактность вложения W ⊂ Lp(ΩT ) известна, см., например, [8, гл. 3, п. 2, (2.16)] и [8, гл. 1, п. 5, теорема 5.1]. Теорема 5.1. Пусть p ∈ [2, ∞), Rs и Rs0 (s = s(r),r ∈ B) невырождены. Предположим, что справедливы условия интегрируемости и коэрцитивности (A1)-(A2), а также выполнены: (A3) Условие сильной эллиптичности. Для всех s, п. в. (x, t) ∈ Qs1 × [0,T ] и любых ζ, η ∈ RN (s)×(n+1) таких, что ηl0 = ζl0 ±= 0, существует константа Υˆ > 0 такая, что \"" \"" 1 (Ai (x + hsl, t, ζl·) - Ai (x + hsl, t, ηl·)) (R- (ζ·i - η·i)) ) Υˆ \"" \"" p |ζli - ηli| . 1 l N (s) 1 i n s l 1 l N (s) 1 i n (5.2) (A4) Условие локальной липшицевости. Функции Ai(x, t, ξ) (i = 1, n) локально липшицевы по ξ0, A0(x, t, ξ) локально липшицева по ξj (j = 0, n) с константами Липшица Ψ, т. е. существует ε > 0 и функция типа Каратеодори2 Ψ такие, что для любых δ ∈ Rn+1 (|δ| = ), 0 j n |δj | = |δk | < ε) |Ai(x, t, ξ + δ) - Ai(x, t, ξ)| Ψ(x, t, ξ)|δk |, (5.3) |Ψ(x, t, ξ)| gΨ(x, t)+ Ψ \"" 0 j n ξj p-2 | | , (5.4) где Ψ > 0, gΨ ∈ Lq∗ (ΩT ), q∓ = p/(p - 2) при p> 2 и q∓ = ∞ при p = 2. q Тогда для любого f ∈ V∗ = Lq(0,T ; W -1(Q)) существует обобщенное решение u ∈ W (T ) (1.1), (1.2), (1.5), а множество решений слабо компактно в W (T ). задачи 1 Случай p ∈ (1, 2) позволяет упростить некоторые условия, но требует более сложного доказательства. 2 Ψ(x, t, ξ) измерима по x и t для всех ξ ∈ Rn+1 и непрерывна по ξ ∈ Rn+1 для п. в. (x, t) ∈ ΩT . ПЕРИОДИЧЕСКИЕРЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 719 Доказательство. В силу невырожденности оператора RQ и условий (A1)-(A3) оператор AR ограничен, деминепрерывен и коэрцитивен, см. [16, леммы 4 и 5]. Кроме того, AR - оператор с (V,W )-полуогpаниченной вариацией, см. [17, лемма 4.1], т. е. является псевдомонотонным на W, см. [9, предложение 4.2.2], например. Кроме того, оператор ∂tRQ : W (T ) → V∗ максимально монотонен, см. лемму 3.1. Согласно [8, гл. 3, теорема 1.1], существует решение u ∈ W (T ) операторного уравнения (2.4). Множество решений уравнения (2.4) ограничено в силу коэрцитивности оператора ∂tRQ + AR и слабо компактно в W (T ) в силу псевдомонотонности на W оператора ∂tRQ + AR. Значит, в силу ограниченности оператора RQ и согласно теореме 2.2, множество решений {w = RQu} ⊂ Wγ (T ) операторного уравнения (1.8) непусто и слабо компактно. От условия коэрцитивности (A2) можно отказаться, если ограничить рост функций c производными младшего порядка. Теорема 5.2. Пусть p ∈ [2, ∞), Rs и Rs0 (s = s(r), r ∈ B) невырождены. Пусть справедливы условия (A3)-(A4). Кроме того, предположим что справедливо условие: (A1’) Условие роста. Ai(x, t, ξ), i = 0, 1,... ,n - функции типа Каратеодори; более того, для п. в. (x, t) ∈ ΩT и любых ξ ∈ Rn+1 существуют p∓ ∈ (1, p), c1 > 0 и g1 ∈ Lq (ΩT ) такие, что p∗-1 |Ai(x, t, ξ)| g1(x, t)+ c1|ξ0| + c1 \"" 1 i n ξi p-1 | | , i = 1,... , n, (5.5) |A0(x, t, ξ)| g1(x, t)+ c1 \"" 0 i n ξi p∗-1 | | . (5.6) q Тогда для любого f ∈ V∗ = Lq(0,T ; W -1(Q)) существует обобщенное решение u ∈ W (T ) (1.1), (1.2), (1.5), а множество решений слабо компактно в W (T ). задачи Доказательство. Из условия (A1’) следует выполнение условия (A1), т. е. оператор AR ограничен и деминепрерывен, см. [16, лемма 4]. Кроме того, AR - оператор с (V,W )-полуогpаниченной вариацией, см. [17, лемма 4.1]. Таким образом, доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 5.1, если показать, что AR коэрцитивен. Это доказано в лемме 5.1, см. ниже. Лемма 5.1. Пусть p ∈ [2, ∞), RQ невырожден и справедливы условия (A1’), (A2) и (A4). Тогда дифференциально-разностный оператор AR : Lp(0,T ; W˚ 1(Q)) → Lq (0,T ; W -1(Q)) коэрциp q тивен. p Q Доказательство. Обозначим w = RQu, u ∈ Lp(0,T ; W˚ 1(Q)), причем в силу невырожденности оператора RQ существует обратный оператор R-1. По определению оператора AR ⊗AR u, u) = \"" r Ai(x, t, RQu, ∇RQu)∂iudxdt = \"" r Q Ai(x, t, w, ∇w)R-1∂iwdxdt = 0 i n ΩT T 0 i n ΩT = \"" r r \"" P A (x, t, w, w)U -1 R-1U P ∂ w dx dt = s i s 0 J Qsl 0 i n l T ∇ s s s s i = \"" r r \"" (U P (A (x, t, w, w) A (x, w, 0)) , R-1U P ∂ (w \ 0) dx dt + s s i s 0 Qs1 1 i n T ∇ - i ∇ s s s i - + \"" r r \"" (U P A (x, t, w, 0), R-1 U P ∂ w) dx dt + s 0 Qs1 1 i n T s s i ∇ s s s i T + \"" r r (U P A (x, t, w, w), R-1 U P ∂ w) dx dt = \"" r r (I + I + I ) dx dt, (5.7) s 0 Qs1 s s 0 ∇ s s s i s1 s 0 Qs1 s2 s3 720 О. В. СОЛОНУХА где (·, ·) - скалярное произведение в RN (s). Поскольку нас интересует поведение данного интеграла при ⊕u⊕V → ∞, то, не ограничивая общности, будем считать, что u(x) ±= 0 для почти всех x ∈ Q, т. е. w(x) ±= 0 для почти всех x ∈ Q. Введем матрицу порядка N (s) × (n + 1) ζ = (UsPsw, UsPs∂1w ... , UsPs∂nw), а также матрицу η такую, что η·0 = ζ·0 и η·i = 0 ∀i = 1,... , n. Первую сумму правой части (5.7) оценим с помощью условия сильной эллиптичности: Is1 = \"" \"" 1 s (Ai (x + hsl, t, ζl·) - Ai (x + hsl, t, ηl·)) (R- ζ l ·i) ) 1 l N (s) 1 i n ) Υˆ \"" \"" p |ζli| = Υˆ \"" \"" |∂iw(x + hsl, t)|p . 1 l N (s) 1 i n 1 l N (s) 1 i n То есть T \"" r r I dx dt ) Υˆ \"" ∂ w p = Υˆ \"" R ∂ u p ) c Υˆ u p , (5.8) s1 s 0 Qs1 " i 1 i n ⊕Lp (ΩT ) ⊕ 1 i n Q i ⊕Lp (ΩT ) p (Q)) 5 ⊕ ⊕Lp (0,T ;W˚ 1 p p где ⊕RQ∂iu⊕Lp (ΩT ) ) c5⊕∂iu⊕Lp (ΩT ) в силу невырожденности линейного оператора RQ. Рассмотрим вторую сумму правой части (5.7) c учетом оценки роста (A1’): T \"" r r |Is2| dx dt \"" r |Ai(x, t, w, ∇0)∂i u| dx dt s 0 Qs1 1 i n ΩT \"" r ( p∗-1 1 i n ΩT g1(x, t)+ c1|w(x, t)| |∂iu(x, t)| dx dt ( p∗-1 p ⊕g1⊕Lq (ΩT ) + c6⊕w⊕Lp (ΩT ) ⊕u⊕Lp (0,T ;W˚ 1(Q)) ⊕g1⊕Lq (ΩT )⊕u⊕Lp (0,T ;W˚ 1 p∗-1 6 p∗-1 Lp (ΩT ) Lp (0,T ;W˚ 1(Q)) p (Q)) + c c7 ⊕u⊕ ⊕u⊕ p p (Q)) + ⊕g1⊕Lq (ΩT )⊕u⊕Lp (0,T ;W˚ 1 c6cp -1 ( ∗ u 7 p∗ p p∓ ⊕ ⊕Lp (0,T ;W˚ 1 (Q)) + (p∓ \ p∗ - 1)⊕u⊕Lp (ΩT ) , (5.9) где ⊕w⊕Lp (ΩT ) = ⊕RQu⊕Lp (ΩT ) c7⊕u⊕Lp (ΩT ) в силу ограниченности оператора RQ. Аналогично для третьего слагаемого правой части (5.7) имеем T \"" r r r |Is3| dx dt |A0(x, t, w, ∇w)u| dx dt s 0 Qs1 ΩT r ⎛ ⎞ p∗-1 p∗-1 ⎝g1(x, t)+ c1|w(x, t)| ΩT ( + c1 \"" 1 j n p∗-1 |∂j w(x, t)| ⎠ |u(x, t)| dx dt p (Q)) ⊕g1⊕Lq (ΩT ) + c6⊕w⊕Lp (0,T ;W 1 ⊕u⊕Lp (ΩT ) p∗-1 p∗ p∗-1 p∗-1 p (Q)) ⊕g1⊕Lq (Q)⊕u⊕Lp (ΩT ) + c6c7 ⊕u⊕Lp (ΩT ) + c6c7 ⊕u⊕Lp (0,T ;W˚ 1 p∗-1 ( ⊕u⊕Lp (ΩT ) \ p∗-1 p∗ c6c7 ∓ p∗ p∗ p (Q)) ⊕g1⊕Lq (Q)⊕u⊕Lp (ΩT ) + c6c7 ⊕u⊕Lp (ΩT ) + p∓ (p - 1)⊕u⊕Lp (0,T ;W˚ 1 + ⊕u⊕Lp (ΩT ) . (5.10) ПЕРИОДИЧЕСКИЕРЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 721 Таким образом, подставляя оценки (5.8)-(5.10) в (5.7), мы имеем: p ⊗AR u, u) ) c2Υˆ ⊕u⊕L (0,T ;W˚ 1 - ⊕g1⊕Lq (ΩT )⊕u⊕L (0,T ;W˚ 1 - p p (Q)) p ∗ - c6cp -1 p (Q)) p∗ p∗-1 p∗ p 7 ⊕u⊕Lp (ΩT ) - c6c7 ⊕u⊕Lp (0,T ;W 1(Q)). (5.11) Первое слагаемое правой части (5.11) строго положительно и имеет степень роста p> 1. Остальные слагаемые имеют степень роста 1 и p∓ < p. Следовательно, AR коэрцитивен. Пусть коэффициенты Ai дифференцируемы, p ∈ [2, ∞), т. е. существуют производные ∂Ai(x, t, ξ) Aij (x, t, ξ) := ∂ξj , i, j = 0,... , n, интегрируемые в соответствующих пространствах: |Aij (x, t, ξ)| g2(x, t)+ c8 \"" 0 i n ξi p-2 | | , i = 0,... , n, (5.12) 1 2 где c8 > 0, g2 ∈ Lq∗ (ΩT ), q∓ + p = 1. Тогда можно сформулировать теорему существования решения для случая, когда дифференциально-разностный оператор удовлетворяет другому условию сильной эллиптичности. Теорема 5.3. Пусть p ∈ [2, ∞), Rs и Rs0 (s = s(r), r ∈ B) невырождены. Пусть коэффициенты дифференциального оператора удовлетворяют условиям роста (A1’) и оценке дифференцируемости (5.12). Кроме того, пусть справедливо следующее алгебраическое условие сильной эллиптичности: для любого класса s, п. в. (x, t) ∈ Qs1 × [0,T ] и любых ζ, η ∈ RN (s)×(n+1): \"" \"" rs ˆ lmAij (x + hsl, t, ζl·) ηmj ηli ) Υ \"" \"" | |ζli p-2 2 |ηli| . (5.13) 1 l N (s) 1 i n 1 l N (s) 1 i n q Тогда для любого f ∈ V∗ = Lq(0,T ; W -1(Q)) существует обобщенное решение u ∈ W (T ) задачи (1.1), (1.2), (1.5), а множество решений слабо компактно в W (T ). Доказательство. Очевидно, что доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 5.2, если показать, что AR - оператор с (V,W )-полуогpаниченной вариацией. Это доказано в лемме 5.2, см. ниже. Лемма 5.2. Пусть p ∈ [2, ∞), RQ невырожден и справедливы условия (A1), (5.12) и (5.13). Тогда AR - оператор с (V,W )-полуогpаниченной вариацией. Доказательство. Разобъем интегральную форму на три слагаемых: 1 1 ⊗AR u - ARy, u - y) = ⊗A (u, u) - A (u, y),u - y) + R R 1 0 0 + ⊗A1 (u, y) - A (y, y),u - y) + ⊗A u - A y, u - y), (5.14) где R R R R 0 r ⊗ARu, y) = ΩT 1 A0(x, t, RQu, ∇RQu)y dx dt, r ⊗AR(u, y), v) = \"" 1 i nΩT Ai(x, t, RQu, ∇RQy) ∂iv dx dt. R Заметим, что в силу условий (5.13), (5.12) оператор A1 (u, ·) («главная часть» оператора AR, содержащая слагаемые со старшими производными) сильно монотонен, причем 1 1 p ⊗AR(u, u) - AR(u, y),u - y) ) c9Υˆ ⊕u - y⊕L (0,T ;W˚ 1 , (5.15) p p (Q)) cм. [22, теорема 1]. Для оценки остальных слагаемых воспользуемся оценками интегрируемости (A1) и дифференцируемости (5.12). Второе слагаемое правой части (5.14) оценивается как 1 1 ⊗AR(u, y) - AR(y, y),u - y) 722 О. В. СОЛОНУХА \"" r |Ai(x, t, RQu, ∇RQy) - Ai(x, t, RQy, ∇RQy) ∂i(u - y)| dx dt 1 i n ΩT 1 \"" r r Ai0 (x, t, τ RQ u + (1 - τ )RQy, ∇RQ y) dτ |u - y| |∂i(u - y)| dx dt 1 i n ΩT 0 ⎛ 1 r r ⎝g2(x, t)+ c8 ΩT 0 | |τ RQu + (1 - τ )RQy p-2 dτ + c8 \"" 1 k n ⎞ | |∂k RQy p-2⎠ × × |RQu - RQy| \"" 1 i n ( p-2 |∂i(u - y)| dx dt p-2 p-2 \ p (Q)) ⊕g2⊕Lq∗ (ΩT ) + c8⊕RQu⊕Lp (ΩT ) + c8⊕RQy⊕Lp (ΩT ) + c8⊕RQy⊕Lp(0,T ;W˚ 1 × т. к. p (Q)) × ⊕RQu - RQy⊕Lp(ΩT )⊕u - y⊕Lp(0,T ;W˚ 1 , p-2 p-2 ⊕RQu⊕Lp (ΩT ) c7⊕u⊕Lp (ΩT ) в силу ограниченности оператора RQ и p-2 p-2 p (Q)) ⊕u⊕Lp (ΩT ) c10⊕u⊕Lp (0,T ;W˚ 1 , cм. неравенство Фридрихса. То есть для всех y и u из шара радиуса r1 p-2 p-2 p-2 p (Q)) ⊕g2⊕Lq∗ (ΩT ) + c8⊕RQu⊕Lp(ΩT ) + c8⊕RQy⊕Lp (ΩT ) + c8⊕RQy⊕Lp (0,T ;W˚ 1 cˆ1(r1) < ∞, p-2 p-2 где cˆ(r1) = ⊕g2⊕Lq∗ (ΩT ) + c8c7 (1 + 2c10)r1 . Таким образом, 1 1 p (Q)) ⊗AR(u, y) - AR(y, y),u - y) cˆ1(r1) ⊕RQu - RQy⊕Lp(ΩT )⊕u - y⊕Lp(0,T ;W˚ 1 εp p 1 7 cq cˆq (r1) q p (Q)) p ⊕u - y⊕Lp (0,T ;W˚ 1 + εq q ⊕u - y⊕Lp(ΩT ). (5.16) Аналогично для третьего слагаемого правой части (5.14) имеем 0 0 r ⊗ARu - ARy, u - y) ΩT ⎛ |A0(x, t, RQu, ∇RQu) - A0(x, t, RQy, ∇RQy) (u - y)| dx dt ⎞ r \"" ⎝g2(x, t)+ c8 \"" | |∂k RQu p-2 + c8 \"" | |∂k RQy p-2 ⎠|∂j (RQu - RQy)| |u - y| dx dt 0 j n ΩT 1 k j ( p-2 j k n p-2 p (Q)) ⊕g2⊕Lq∗ (ΩT ) + c8⊕RQu⊕Lp(0,T ;W 1 p (Q)) + c8⊕RQy⊕Lp(0,T ;W 1 × p (Q)) × ⊕RQu - RQy⊕Lp (0,T ;W 1 ⊕u - y⊕Lp (ΩT ) p-2 p-2 p (Q)) cˆ2(r1)c7 ⊕u - y⊕Lp(0,T ;W 1 ⊕u - y⊕Lp(ΩT ), где cˆ2(r1) = ⊕g2⊕Lq∗ (ΩT ) + 2c8c7 (1 + c10)r1 . То есть q q 0 0 2 εp p c7cˆ2(r1) q p (Q)) ⊗ARu - ARy, u - y) cˆ2(r1)c7 ⊕u-y⊕Lp(ΩT ) + p ⊕u-y⊕Lp(0,T ;W˚ 1 + εq q ⊕u-y⊕Lp(ΩT ). (5.17) Выбрав εp = c9Υˆ p/2 и подставив оценки (5.15), (5.16), (5.17) в (5.14) мы получим, что c q ⊗ARu - ARy, u - y) ) - 7 ⊕ (cˆq (r1)+ cˆq (r1)) ⊕u - y q 2 - cˆ2(r1)c7 ⊕u - y⊕ . εq q 1 2 Lp(ΩT ) Lp (ΩT ) Поскольку q > 1, 2 > 1 и W ⊂ Lp(ΩT ) компактно, то AR - оператор с (V,W )-полуогpаниченной вариацией. ПЕРИОДИЧЕСКИЕРЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 723 Замечание. В работе рассмотрено уравнение с неклассическими краевыми условиями. Для определения типа уравнения были использованы методы нелинейного анализа. Поскольку доказано, что в уравнении (2.4) в первом слагаемом левой части стоит линейный, плотно определенный, максимально монотонный оператор, а во втором - оператор псевдомонотонного типа, то это позволяет определить уравнение (2.4) как уравнение параболического типа, см. [8]. Следовательно, эквивалентное уравнение (1.8) также будет уравнением параболического типа, что и определяет исходную задачу (1.1), (1.2), (1.5) как параболическую.

Об авторах

О. В. Солонуха

Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» РАН

Автор, ответственный за переписку.
Email: solonukha@yandex.ru
Москва, Россия

Список литературы