Краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений с конечными и бесконечными орбитами границ

Полный текст

1. Введение Рассматриваются краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений n ARu = - ) (RijQux ) = f (x), x ∈ Q, (1.1) i,j=1 j xi u(x)= 0, x ∈/ Q. (1.2) Здесь Rij : L2(Rn) → L2(Rn) - разностные операторы, определяемые формулами: Riju(x)= ) h∈Mij aijhu(x + h), aijh ∈ R, (1.3) где Mij ⊂ M - конечное множество сдвигов h ∈ Rn, h0 = 0 ∈ M. Координаты векторов h не предполагаются соизмеримыми между собой. То есть нельзя сформировать нетривиальную линейную комбинацию этих векторов с целыми коэффициентами, равную нулевому вектору. Здесь Q - ограниченная область в Rn с границей ∂Q ∈ C∞ или цилиндр Q = (0, d) × G, G ∈ Rn-1, ∂G ∈ C∞, f ∈ L2(Q). © Е. П. Иванова, 2023 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 664 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДРУ С КОНЕЧНЫМИ И БЕСКОНЕЧНЫМИ ОРБИТАМИ ГРАНИЦ 665 Краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений с целочисленными сдвигами исследовались в работах [2, 8] А. Л. Скубачевского. Получены условия сильной эллиптичности, разрешимости и гладкости решений таких задач. В частности, было показано, что в случае невырожденного разностного оператора краевая задача для дифференциально-разностного уравнения эквивалентна задаче с нелокальными краевыми условиями. В работах [1, 6] Л. Е. Россовского исследовались краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений с растяжениями и сжатиями аргументов. В частности, были получены условия равномерной сильной эллиптичности таких уравнений. Дифференциальные уравнения с несоизмеримыми сжатиями аргументов рассматривались в [6]. Эллиптическое функциональнодифференциальное уравнение, содержащее комбинацию сжатия и сдвигов аргумента, изучено Л. Е. Россовским и А. А. Товсултановым в [7]. Краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами аргументов обладают рядом особенностей по сравнению с задачами для уравнений с целочисленными сдвигами. Однако в случае, когда орбита границы заданной области, индуцированная сдвигами разностного оператора, состоит из конечного числа компонент, исходная краевая задача может быть исследована аналогичными методами. Для этого строится специальное разбиение области на непересекающиеся подобласти, основанное не на аддитивной группе сдвигов, как в работах А. Л. Скубачевского, а на графе, ассоциированном с множеством сдвигов. Это разбиение описано в работах автора [3, 4]; оно применяется для исследования гладкости решений краевых задач для дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами [4] и получения условий сильной эллиптичности [3] (выполнения неравенства Гординга), а также для сведения исходной задачи к нелокальной [5]. В разделе 2 описан способ построения орбиты границы исходной области. Если орбита границы конечна, область может быть разбита на непересекающиеся подобласти, и исходное уравнение сводится к системе дифференциальных уравнений на этих подобластях. Для случая бесконечной орбиты границы излагается метод определения положительной определенности разностных операторов, использующий цепочки последовательных разбиений области. В разделе 3 рассматриваются краевые задачи для случая конечной орбиты границы области. Для этих краевых задач условия сильной эллиптичности, разрешимости и гладкости решений аналогичны условиям для краевых задач с целочисленными сдвигами, полученным в работах А. Л. Скубачевского. В разделе 4 рассматриваются краевые задачи для случая бесконечной орбиты границы области. Получены условия равномерной сильной эллиптичности дифференциально-разностных операторов для несоизмеримых сдвигов аргументов. 2. Разностные операторы и орбиты границ Рассмотрим разностный оператор R : L2(Rn) → L2(Rn) (Ru)(x)= ) ahu(x + h), (2.1) h∈M где ah ∈ R, h ∈ Rn, M - конечное множество несоизмеримых между собой сдвигов h, h0 =0 ∈ M. Будем рассматривать действия операторов R на функциях u ∈ L2(Rn), для которых u(x)= 0, x ∈/ Q. (2.2) Для учета однородных краевых условий (2.2) используем операторы IQ и PQ, где оператор IQ : L2(Q) → L2(Rn) - оператор продолжения функции из L2(Q) нулем вне Q, а оператор PQ : L2(Rn) → L2(Q) - оператор сужения функции из L2(Rn) на Q. Введем также оператор RQ = PQRIQ : L2(Q) → L2(Q). Замечание 2.1. В работе А. Л. Скубачевского [2] для исследования свойств дифференциально-разностных операторов с соизмеримыми сдвигами и гладкости решений соответствующих краевых задач строится разбиение области Q на непересекающиеся подобласти с использованием аддитивной абелевой группы, порожденной множеством сдвигов M. Для множества, содержащего несоизмеримые сдвиги, такого разбиения не существует. 666 Е. П. ИВАНОВА Будем использовать разбиение, построенное без использования группы и описанное в [3]. Обозначим M˜ := M ∪ (-M ). Определение 2.1. Назовем R0 регулярным разбиением области Q на непересекающиеся подобласти Qr (r = 1,2,... ), если: 1. J Qr = Q; r 2. для любой Qr1 и h ∈ M˜ n либо найдется Qr2 такое, что Qr2 = Qr1 + h, либо Qr1 + h ∈ R \Q. Для построения регулярного разбиения введем множества: S0 = ∂Q, S1 = J h∈M˜ (S0 + h) Q, Sk = J h∈M˜ (Sk-1 + h) Q,... В силу построения Sk-1 ⊆ Sk. Обозначим S = J∞ k=0 Sk. Определение 2.2. Множество S назовем орбитой границы ∂Q под действием сдвигов разностного оператора R. Возможны 2 случая. 1. На некотором шаге Sk+1 = Sk. Тогда и все Sk+p = Sk (p ?: 1), и процесс построения орбиты прервется. В этом случае орбита S состоит из конечного числа компонент множества Sk. Будем называть такую орбиту конечной. 2. Для любого k имеем Sk+1 /= Sk. Тогда орбита S состоит из бесконечного числа компонент. Будем называть эту орбиту бесконечной. Замечание 2.2. Для бесконечной орбиты, когда число различных множеств Sk счетно, множество S может быть даже всюду плотным в Q¯ (см. [8, пример 3.10]). Исследуем сначала случай конечной орбиты границы. Рассмотрим открытое множество G = Q¯\S. Оно состоит из конечного числа непересекающихся связных компонент Qr (r = 1, 2 .. .) и G = J Qr, S = J ∂Qr. r r В силу [3, теорема 2.1] справедлива лемма. Лемма 2.1. Совокупность всех непересекающихся связных компонент множества G является регулярным разбиением R0 области Q. Разбиению R0 поставим в соответствие ориентированный граф. Вершины графа - это подобласти Qr, дуги графа - это сдвиги h ∈ M. Если Qr2 = Qr1 +h, то вершины графа, ассоциированные с подобластями Qr2 , Qr1 , соединяем ориентированной дугой h = ⊕Qr1 , Qr2 ) . На дугах задана числовая функция ϕ(h)= ah, где ah- коэффициенты разностного оператора из формулы (2.1). Введем на множестве подобластей (вершин графа) бинарное отношение π: пусть подобласти Qr1 , Qr2 ∈ R0 находятся в отношении π, если существует цепь в графе, соединяющая вершины Qr1 и Qr2 . В цепи движение может осуществляться как по направлению дуги, так и против. Это отношение является отношением эквивалентности и порождает разбиение множества R0 на классы эквивалентности. Обозначим подобласти Qsl, где s - номер класса эквивалентности и l - номер области в этом классе. Каждый класс s в силу ограниченности области Q состоит из конечного числа N = N (s) подобластей Qsl. Обозначим через L2(JQsl\ подпространство функций из L2(Q), обращающихся в нуль вне l (JQsl\ (l = 1,... ,N (s)). Обозначим через Ps : L2(Q) → L2(JQsl\ оператор ортогонального l l проектирования на L2(JQsl\. В силу [8, лемма 8.5] пространство L2(JQsl\ является инвариl ⊕ антным подпространством оператора RQ, при этом L2(Q)= L2 s l (JQsl\. l 2 Введем изоморфизм гильбертовых пространств Us : L2(JQsl\ → LN (Qs1) по формуле l (Usu)l(x) = u(x + hsl ) (x ∈ Qs1), КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДРУ С КОНЕЧНЫМИ И БЕСКОНЕЧНЫМИ ОРБИТАМИ ГРАНИЦ 667 N 2 где l = 1,... ,N = N (s), hsl такое, что Qs1 + hsl = Qsl (hs1 = 0), LN (Qs1) = n L2(Qs1). l=1 2 Аналогично доказательству [8, лемма 8.6] можно показать, что оператор Rs : LN (Qs1) → LN 2 (Qs1), заданный формулой Rs = UsRQUs -1, является оператором умножения на матрицу Rs km порядка N (s) × N (s), где элементы rs этой матрицы вычисляются по формуле rs (ah, h = hsm - hsk ∈ M, km = 0, h = h (2.3) h / M. sm - sk ∈ Если для построения матрицы Rs использовать ассоциированный с разбиением R0 граф, то km для вершин Qsk, Qsm, связанных дугой h = ⊕Qsk, Qsm) , положим rs = ϕ(h) = ah, в противном km случае rs = 0. Введем также операторы R∗ : L2(Rn) → L2(Rn), R∗u(x)= ) ahu(x - h), h∈M Q : L2(Q) → L2(Q), RQ = PQR IQ. Оператор RQ является сопряженным к RQ. Действию R∗ ∗ ∗ ∗ оператора Q будет соответствовать умножение на матрицы Rs, где Rs - эрмитово сопряженные R∗ ∗ ∗ с Rs матрицы. Определение 2.3. Самосопряженный оператор RQ : L2(Q) → L2(Q) будем называть положительно определенным, если найдется c > 0 такое, что для всех u ∈ L2(Q), u /= 0, выполнено неравенство (RQu, u)L2 (Q) > c(u, u)L2(Q). Здесь (u, u)L2 (Q) - скалярное произведение в пространстве L2(Q). В силу [8, лемма 8.7] спектр σ(RQ) оператора RQ совпадает с объединением спектров всех матриц σ(RQ)= J σ(Rs). Отсюда следует лемма. s Q Лемма 2.2. Самосопряженный оператор RQ + R∗ положительно определен тогда и только sν тогда, когда все матрицы Rsν + R∗ (ν = 1,... , n1) положительно определены. Пример 2.1. Пусть разностный оператор R : R2 → R2 имеет вид Ru(x)= a0u(x1, x2)+ aε(u(x1 +1 + ε, x2)+ u(x1 - 1 - ε, x2)) ++a1(u(x1 + 1, x2)+ u(x1 - 1, x2)). (2.4) Здесь ε > 0 - малый иррациональный параметр. Сдвиги hε = (1 + ε, 0), h1 = (1, 0) несоизмеримы. Для некоторого натурального N справедливы неравенства Nε < 1, (N + 1)ε > 1. Обозначим θ = 1 - Nε < ε. Рассмотрим оператор RQ : L2(Q) → L2(Q), RQ = PQRIQ, где Q = {(x1, x2)| x1 ∈ (0, 2), x2 ∈ (0, 1)} . Нетрудно убедиться, что S = SN +1 и число компонент орбиты границы конечно. Орбита границы: S = ({0, θ, ε,ε + θ, 2ε, 2ε + θ,... , (N - 1)ε + θ, Nε, 1, 1+ θ, 1+ ε,... , 2 - ε, 2 - θ, 2}× [0, 1]) ∪ ∂Q. Существует конечное регулярное разбиение R0 области Q, состоящее из двух классов подобластей. Первый класс содержит 2N +2 подобласти: Q11 = (0, θ) × (0, 1), Q12 = (ε, ε + θ) × (0, 1),... , Q1,N +1 = (N ε, 1) × (0, 1), Q1,N +2 = (1, 1+ θ) × (0, 1),... , Q1,2N +2 = (1 + N ε, 2) × (0, 1). На этом ||i,j=1 классе действию оператора RQ соответствует умножение на блочную матрицу R1 = ||Rij 2 , ||i,j=1 где Rij - матрицы размерности (N + 1) × (N + 1): R11 = R22 = diag{a0}, R12 = ||rij N +1 , rii = 12 a1, i = 1,... ,N + 1, ri,i+1 = aε, i = 1,... ,N ; остальные элементы rij = 0; R21 = RT . Во втором классе 2N подобластей: Q21 = (θ, ε) × (0, 1), Q22 = (ε + θ, 2ε) × (0, 1),... , Q2,N = ((N - 1)ε + θ, Nε) × (0, 1), ... , Q2,2N = (2 - ε, 2 - θ). Матрица R2 для этого класса аналогична матрице R1, имеет размерность 2N × 2N и состоит из (N × N ) блоков Rij. Пусть N = 1. Тогда S = S2 = ({0, θ, ε, 1, 2 - ε, 2 - θ, 2}× [0, 1]) ∪ ∂Q. Для первого класса (s = 1) подобластей имеем оператор R1 : L4(Q11) → L4(Q11), где R1 = 2 2 U1RQU1-1, RQ : L2(Q) → L2(Q). Действию оператора R1 в силу формулы (2.3) соответствует 668 Е. П. ИВАНОВА умножение на матрицу ⎛a0 0 a1 aε⎞ ⎜a 0 a 0 ⎟ R1 = ⎜ 0 a0 0 a1⎟ . (2.5) 1 0 ⎝ ⎠ aε a1 0 a0 Для второго класса (s = 2) подобластей получим оператор R2 : L2(Q21) → L2(Q21), где R2 = 2 2 U2RQU2-1. Действию этого оператора соответствует умножение на матрицу a0 a1 R2 = a1 a0 . (2.6) Для положительной определенности оператора RQ в силу леммы 2.2 необходимо и достаточно, чтобы матрицы R1, R2 были положительно определенными, т. е. были выполнены условия: a0 > 0, |a1| < a0, a0|aε| < a2 - a2. (2.7) 0 1 В случае N =2 матрица R1 имеет вид ⎛ a0 0 0 a1 aε 0 ⎞ ⎜ 0 a0 0 0 a1 aε ⎟ ⎜ . ⎟ R = ⎜ 0 0 a0 0 0 a1 ⎟ 1 ⎜ a 0 0 a 0 0 ⎟ ⎜ 1 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ aε a1 0 0 a0 0 ⎟ 0 aε a1 0 0 a0 Пусть теперь орбита S границы ∂Q под действием сдвигов разностного оператора R бесконечна. При этом R = R1 + R2, R1u(x)= a0u(x)+ ) h∈M1 R2u(x)= b0u(x)+ ) p∈M2 ah(u(x + h)+ u(x - h)) (ah ∈ R), bp(u(x + p)+ u(x - p)) (bp ∈ R), и орбиты границы для каждого из операторов R1, R2 конечны. Введем операторы Q RQ = PQRIQ, Ri = PQRiIQ : L2(Q) → L2(Q), i = 1, 2. Q Для оператора R1 построим регулярное разбиение области Q на подобласти Qsl по методу, Q описанному выше для случая конечной орбиты. Действию разностного оператора R1 на подобла- Q sν стях Qsl будет соответствовать умножение на матрицы, определенные формулой (2.3). Через λmin обозначим минимальное собственное значение всего семейства этих матриц R1 (ν = 1,... , n1). Введем контрольные операторы RC : L2(Rn) → L2(Rn) и RC : L2(Q) → L2(Q), определенные формулами Q RC = R2 + λminI, RC = PQRCIQ. Здесь I : L2(Rn) → L2(Rn) - тождественный оператор. Q Теорема 2.1. Если оператор RC является положительно определенным, то оператор RQ также положительно определен. Q Доказательство. Пусть оператор RC является положительно определенным, т. е. Q (RCu, u) Тогда в силу неравенств (2.8), L2(Q) ?: c1(u, u)L2 (Q) (c1 > 0, ∀u ∈ L2(Q)). (2.8) 1 2 1 2 (RQu, u)L2(Q) = ((RQ + RQ)u, u)L2 (Q) = ((RQ - λminIu)+ (λminIu + RQ)u, u)L2 (Q) = = ((R1 - λminIu), u) + (RC u, u) ?: (RC u, u) ?: c1(u, u)L (Q) (c1 > 0, ∀u ∈ L2(Q)). Q L2(Q) Q L2 (Q) Q L2 (Q) 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДРУ С КОНЕЧНЫМИ И БЕСКОНЕЧНЫМИ ОРБИТАМИ ГРАНИЦ 669 Пример 2.2. Рассмотрим разностный оператор Ru(x)= R1u(x)+ R2u(x), R1u(x)= aτ (u(x1 + τ, x2)+ u(x1 - τ, x2)), R2u(x)= a0u(x1, x2)+ a1(u(x1 + 1, x2)+ u(x1 - 1, x2)). 2 Здесь τ - иррациональное, 3 < τ < 1. Обозначим θ = 2 - 2τ, 0 < θ < τ. Рассмотрим оператор RQ : L2(Q) → L2(Q), RQ = PQRIQ, где Q = {(x1, x2) | x1 ∈ (0, 2), x2 ∈ (0, 1)} . Орбита S границы под действием оператора RQ бесконечна, и невозможно построить регу- Q лярное конечное разбиение области Q. Для оператора R1 Q : L2(Q) → L2(Q), R1 = PQR1IQ, соответствующее разбиение Q существует и состоит из двух классов подобластей. Первый класс содержит области: Q11 = (0, θ) × (0, 1), Q12 = (τ, τ + θ) × (0, 1), Q13 = (2τ, 2τ + Q θ) × (0, 1). Для этого класса действию разностного оператора R1 соответствует умножение на 1 матрицу R1: ⎛ 0 aτ 0 ⎞ R1 aτ 0 aτ . 1 = ⎝ ⎠ 0 aτ 0 min Ее минимальное собственное значение λ1 = -√2 |aτ | . Второй класс состоит из подобластей: Q21 = (θ, τ ) × (0, 1), Q12 = (τ + θ, 2τ ) × (0, 1). На этом 2 классе подобластей действию разностного оператора соответствует умножение на матрицу R1: R1 0 aτ 2 = aτ 0 min , λ2 = -|aτ |. min Обозначим λmin := min(λ1 , λ 2 min 2 )= -√ |aτ |. Сформируем контрольный оператор RC : RCu(x)= a˜0u(x1, x2)+ a1(u(x1 + 1, x2)+ u(x1 - 1, x2)), 2 где a˜0 = a0 + λmin = a0 - √ Q |aτ | . Оператор RC генерирует разбиение Q на подобласти G1 = (0, 1) × (0, 1), G2 = (1, 2) × (0, 1). Q В силу леммы 2.1 оператор RC положительно определен ⇔ a˜0 a1 > 0 a1 a˜0 ⇔ √ a0 - 2 |aτ |- |a1| > 0. (2.9) В силу теоремы 2.1 при выполнении условия (2.9) оператор RQ также положительно определен. Предложенный метод может быть обобщен на случай, когда разностный оператор разбивается на сумму нескольких операторов с конечными орбитами границы. Пусть разностный оператор Ri : L2(Rn) → L2(Rn) имеет вид Riu(x)= ai u(x)+ ) ai (u(x + h)+ u(x - h)) ( ai ∈ R). 0 h h h∈Mi Здесь Mi (i = 1, .., N ) - множества векторов, для каждого из которых отдельно орбита границы области Q конечна. Получим условия положительной определенности оператора RQ : L2(Q) → N L2(Q), RQ = PQRIQ, R = Ri, используя теорему 2.1. i=1 Q Построим разбиение области Q и соответствующие матрицы, порожденные оператором R1 . min Найдем минимальное собственное значение λ1 для всего этого семейства матриц. Далее мы Q рассмотрим оператор RC,1 : L2(Q) → L2(Q), min RC,1 Q = PQRC,1IQ, RC,1 = λ1 I + N ) i=2 Ri. 670 Е. П. ИВАНОВА В силу теоремы 2.1 оператор RQ положительно определен, если положительно определен оператор RC,1. Для исследования положительной определенности оператора RC,1 введем оператор Q Q R˜2 Q : L2(Q) → L2(Q) по формуле: Q = PQR˜ IQ, R˜ = λminI + R . R˜2 2 2 1 2 Q Построим разбиение области Q для оператора R˜2 и найдем минимальное из собственных знаmin чений λ2 для всех соответствующих матриц. Q Далее определяем оператор RC,2 : L2(Q) → L2(Q), min RC,2 Q = PQRC,2IQ, RC,2 = λ2 I + N ) i=3 Ri. Q Из теоремы 2.1 следует, что положительной определенности оператора RC,2 достаточно для положительной определенности оператора RC,1. По индукции получим: если оператор RC,N -1 : Q L2(Q) → L2(Q), определенный формулой RC,N -1 Q N -1 N Q = PQRC,N -1IQ, RC,N -1 = λmin I + R , положительно определен, то исходный оператор RQ также положительно определен. 1. Краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений с конечной орбитой границы Рассмотрим краевую задачу для дифференциально-разностного уравнения n ARu = - ) (RijQux ) = f (x), x ∈ Q, (3.1) i,j=1 j xi u|∂Q = 0. (3.2) Здесь Q - ограниченная область в Rn с кусочно-гладкой границей ∂Q, f ∈ L2(Q). Операторы RijQ = PQRij IQ : L2(Q) → L2(Q), где Rij имеют вид: Riju(x)= ) h∈Mij aijhu(x + h), aijh ∈ R. (3.3) Здесь Mij ⊆ M, где M - конечное множество векторов с несоизмеримыми координатами. Определение 3.1. Решением краевой задачи (3.1)-(3.2) будем называть функцию u ∈ H˚1(Q), если для любого v ∈ H˚1(Q) выполнено интегральное тождество (ARu, v)L2 (Q) = (f, v)L2 (Q), f ∈ L2(Q). (3.4) Здесь H˚1(Q) - пространство Соболева функций v ∈ H1(Q), у которых v|∂Q = 0, где равенство понимается в смысле следов. В пространстве H˚1(Q) будем использовать эквивалентное скалярное произведение: r (u, v)H˚1 (Q) = Q ∇u∇v¯dx. Определение 3.2. Назовем уравнение (3.1) сильно эллиптическим в Q¯, если для всех u ∈ ∞ C0 (Q) выполнено неравенство типа Гординга: где c > 0 не зависит от u. L2(Q) H˚1(Q) Re (ARu, u) ?: c •u•2 , (3.5) Определение 3.3. Задача (3.1)-(3.2) называется первой краевой задачей. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДРУ С КОНЕЧНЫМИ И БЕСКОНЕЧНЫМИ ОРБИТАМИ ГРАНИЦ 671 В этом разделе мы будем рассматривать случай конечной орбиты S границы ∂Q. Необходимые условия и достаточные условия сильной эллиптичности для дифференциальноразностных уравнений с целочисленными сдвигами получены А. Л. Скубачевским [8]. Применим метод разбиения области, изложенный в разделе 2. Для операторов RijQ построим орбиту границы и регулярное разбиение 0 области Q на непересекающиеся подобласти Qsk, где s - номер класса разбиения и k = 1,... ,N = N (s) - номер области в этом классе. Оператор Rijs : LN N -1 2 (Qs1) → L2 (Qs1), заданный формулой Rijs = UsRijQUs , является оператором умножения km на матрицу Rijs порядка N (s) × N (s), элементы rijs матрицы вычисляются по формуле (2.3). Следующая теорема доказывается аналогично [2, теорема 3.1]. Теорема 3.1. Пусть уравнение (3.1) сильно эллиптическое в Q¯. Тогда матрицы n ijs ) (Rijs + R∗ )ξiξj (3.6) i,j=1 положительно определены для всех 0 /= ξ ∈ Rn и s = 1, 2,... , n1. Для формулировки достаточных условий сильной эллиптичности в работе [2] используются ijs матрицы Aa ijs . Эти матрицы могут либо совпадать с матрицами Ra , либо иметь б´ольшую разijs мерность и окаймлять матрицы Ra . Предположим, что область Q и операторы таковы, что все матрицы Rijs = Aijs. Это выполняется, если найдется область Ω ∈ Rn такая, что Q¯ ⊂ Ω и матрицы Rijs, построенные для области Ω, совпадают с аналогичными матрицами для области Q. Тогда справедлива теорема, аналогичная [2, теорема 3.2]. Теорема 3.2. Пусть матрицы n ijs ) Rijs + R∗ ξiξj (3.7) i,j=1 положительно определены для всех 0 /= ξ ∈ Rn и s = 1, 2,... , n2. Тогда уравнение (3.1) сильно эллиптическое в Q¯. С использованием неравенства (3.5) стандартным методом доказывается фредгольмовость и дискретность спектра оператора AR (см. [8, теорема 10.1]). Также в силу [2, теорема 8.3] оператор AR является регулярно аккретивным оператором, для которого выполняется гипотеза Т. Като (см. [2]). ij Пусть разностные операторы являются самосопряженными: Rij = R∗ . Из [8, теорема 10.1] получим следующую теорему. Теорема 3.3. Пусть выполнены условия теоремы 3.2. Тогда уравнение (3.1) является сильно эллиптическим в Q¯ и для любой функции f ∈ L2(Q) краевая задача (3.1)-(3.2) имеет единственное решение u ∈ H˚1(Q). В работе [4] исследуются гладкость решений краевой задачи (3.1)-(3.2) в подобластях разбиения и вблизи границ. Теорема 3.4. Пусть уравнение (3.1) является сильно эллиптическим в Q. Тогда для любой функции f ∈ L2(Q) краевая задача (3.1)-(3.2) имеет единственное решение u ∈ H˚1(Q). При loc этом, если f ∈ L2(Q) Hk loc (Qsl) (s = 1, 2,... , l = 1,... ,N (s)), то u ∈ Hk+2(Qsl) (s = 1, 2,... , l = 1,... ,N (s)). Краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами в случае конечной орбиты границы могут быть сведены к нелокальным задачам так же, как и задачи для уравнений с целочисленными сдвигами аргументов (см. [5]). Замечание 3.1. Свойства краевых задач для уравнений с несоизмеримыми сдвигами в случае конечной орбиты границы аналогичны свойствам задач c целочисленными сдвигами. 672 Е. П. ИВАНОВА Рассмотрим краевую задачу для дифференциально-разностного уравнения -Δ(RQu(x)) = f (x), x ∈ Q, (3.8) u|∂Q = 0. (3.9) Оператор RQ = PQRIQ : L2(Q) → L2(Q); R : L2(Rn) → L2(Rn), Ru(x)= a0u(x)+ ) ah(u(x + h)+ u(x - h)), ah ∈ R. (3.10) h∈M Здесь M - множество векторов с несоизмеримыми координатами, при этом орбита границы под действием сдвигов множества M конечна. Эта краевая задача является частным случаем задачи (3.1)-(3.2). Из теоремы 3.4 следует Теорема 3.5. Пусть оператор RQ является положительно определенным. Тогда уравнение (3.8) является сильно эллиптическим в Q и для любой функции f ∈ L2(Q) краевая заloc дача (3.8)-(3.9) имеет единственное решение u ∈ H˚(Q). При этом, если f ∈ L2(Q) Hk (Qsl) loc (s = 1, 2,... , l = 1,... ,N (s)), то u ∈ Hk+2(Qsl) (s = 1, 2,... , l = 1,... ,N (s)). Пример 3.1. Рассмотрим краевую задачу (3.8)-(3.9) для разностного оператора RQ из примера 2.1 при N = 1. Если выполнены условия (2.7), оператор RQ является положительно определенным, и в силу теоремы 3.5 решение существует и сохраняет гладкость в подобластях разбиения. 2. Краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений с бесконечной орбитой границы Рассмотрим краевую задачу (3.1)-(3.2) для случая, когда орбита S границы состоит из бесконечного числа компонент. Получим условия сильной эллиптичности оператора AR. Предположим, что разностные опеij раторы RijQ = PQRij IQ : L2(Q) → L2(Q) можно разбить на суммы операторов: Rij = Ra ij + Rb , ij Ra : L2(Rn ) → L2(Rn ij ), Rb : L2(Rn ) → L2(Rn ), которые имеют вид a Riju(x)= ) aijhu(x + h), aijh ∈ R, (4.1) ij h∈M 1 b Riju(x)= ) bijpxu(x + p), bpij ∈ R. (4.2) ij Здесь Mk ij p∈M 2 ⊆ Mk (k = 1, 2), где Mk - конечные множества векторов, при этом орбиты границы под действием сдвигов только из множества M 1 и только из множества M 2 конечны. Введем вспомогательный дифференциально-разностный оператор n Aa Ru = - ) i,j=1 a (RijQ uxj )xi , x ∈ Q. (4.3) Этот оператор имеет конечную орбиту границы. Для его исследования применим метод, изложенный в разделе 2. ijQ Для операторов Ra 0 построим орбиту границы и соответствующее регулярное разбиение Ra области Q на непересекающиеся подобласти Qsk, где s - номер класса разбиения, а k = 1,... ,N = a N N N (s) - номер области в этом классе. В силу формулы (1.3) оператор Rijs : L2 (Qs1) → L2 (Qs1), ijs заданный формулой Ra ijQ = UsRa ijs Us-1, является оператором умножения на матрицу Ra порядка N (s) × N (s). ijQ Для разностных операторов Rb 0 построим разбиение Rb области Q на непересекающиеся подобласти Gαk , где α - номер класса разбиения, а k = 1,... ,N = N (α) - номер области в этом классе. Оператор Rb : LN (Gα1) → LN (Gα1), заданный формулой Rb = UαRb Uα-1, является ijα 2 2 ijα ijQ ijα оператором умножения на матрицу Rb порядка N (α) × N (α). Как и в предыдущем разделе, будем предполагать, что область Q и разностные операторы таковы, что все матрицы Rijs = Aijs. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДРУ С КОНЕЧНЫМИ И БЕСКОНЕЧНЫМИ ОРБИТАМИ ГРАНИЦ 673 Теорема 4.1. Пусть для вектора k = (k1,... , kn) ∈ Rn матрицы 1 n n ) a a∗ ) 2 Ks = 2 i,j=1 (Rijs+Rijs)ξiξj - E i=1 kiξi (4.4) неотрицательно определены для всех ξ ∈ Rn и s = 1, 2,... , n1. При этом матрицы 1 n n ) b b∗ ) 2 Kα = 2 i,j=1 (Rija + Rija)ξiξj + E i=1 kiξi (4.5) положительно определены для всех 0 /= ξ ∈ Rn и α = 1, 2,... , n2. Тогда уравнение (3.1) - сильно эллиптическое в Q¯. Здесь E - единичные матрицы размерности N (s) или N (α). Доказательство этой теоремы приведено в работе [3]. В общем случае, если множество сдвигов M разностного оператора разбивается на несколько (более двух) подмножеств, для каждого из которых орбита конечна, условия сильной эллиптичности можно получить, используя метод, аналогичный методу, описанному в разделе 2. ij Пусть Rij = R∗ . Аналогично [8, теорема 10.1] доказывается следующая теорема. Теорема 4.2. Пусть выполнены условия теоремы 4.1. Тогда уравнение (3.1) является сильно эллиптическим в Q¯, и для любой функции f ∈ L2(Q) краевая задача (3.1)-(3.2) имеет единственное решение u ∈ H˚1(Q). Рассмотрим краевую задачу -Δ(RQu(x)) = f (x), x ∈ Q, (4.6) u|∂Q = 0. (4.7) Оператор RQ = PQRIQ : L2(Q) → L2(Q), где R = R1 + R2, а разностные операторы R1 : L2(Rn) → L2(Rn) и R2 : L2(Rn) → L2(Rn) имеют вид: R1u(x)= a0u(x)+ ) h∈M 1 R2u(x)= b0u(x)+ ) p∈M 2 ah(u(x + h)+ u(x - h)), ah ∈ R, (4.8) bp(u(x + p)+ u(x - p)), bp ∈ R. (4.9) Здесь Mk (k = 1, 2) - множества векторов, для каждого из которых в отдельности орбиты границы конечны. Используя теорему 4.2, получим следующую теорему. Q Теорема 4.3. Пусть оператор RC является положительно определенным. Тогда уравнение (4.6) является сильно эллиптическим в Q и для любой функции f ∈ L2(Q) краевая задача (4.6)-(4.7) имеет единственное решение u ∈ H˚1(Q). Q Пример 4.1. Рассмотрим краевую задачу (4.6)-(4.7) для разностного оператора RQ из примера 2.2. Если выполнены условия (2.9), то операторы RC, RQ являются положительно определенными, и в силу теоремы 4.3 решение u ∈ H˚1(Q) существует для любой f ∈ L2(Q).

Об авторах

Е. П. Иванова

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

Автор, ответственный за переписку.
Email: elpaliv@yandex.ru
Москва, Россия

Список литературы