О глобальных слабых решениях уравнений Власова-Пуассона с внешним магнитным полем

Полный текст

1. Введение Идея использования термоядерного синтеза в качестве потенциальной основы энергетики будущего получила развитие еще в начале 50-x годов прошлого столетия и на сегодняшний день представляет собой важнейшее научное направление [3]. Физическая реализация этого процесса осуществляется в установках, принципом действия которых является удержание высокотемпературной плазмы строго внутри ректора за счет действия магнитных и электрических полей специальной конфигурации. Примерами таких установок являются токамаки, пробочные ловушки и др. Подробное описание принципов работы подобных установок можно найти в [3]. Математически, в зависимости от степени детализации, плазму можно описывать различными уравнениями. Для описания кинетики высокотемпературной плазмы используют систему уравнений Власова-Пуассона. Для каждого типа частиц (положительно заряженных ионов и электронов) рассматривается функция распределения, которая описывает число частиц в элементе объема пространства координат и скоростей (фазового пространства). Как в физике, так и в математике уравнениям Власова посвящено большое количество работ (см. [1-8, 10, 12-14]). Основываясь на физическом смысле исследуемой задачи, важно учитывать следующие факторы. Высокотемпературная плазма обладает свойством квазинейтральности, поэтому естественно рассматривать двукомпонентную модель плазмы. В действующих установках, осуществляющих управляемый термоядерный синтез (пробочные ловушки, токамаки), удержание высокотемпературной плазмы строго внутри реактора достигается за счет действия магнитных полей особой конфигурации. Поэтому важно полагать их нетривиальными. Отметим, что высокотемпературной называют полностью ионизированную плазму с температурой миллион градусов Цельсия и выше. В отличие от работ других авторов, в данной работе учитываются перечисленные физические факторы. Классические решения смешанных задач для уравнений Власова-Пуассона для двукомпонентной плазмы с внешним магнитным полем и носителями функций распределения заряженных частиц, лежащими на расстоянии от границ рассматриваемых областей, в случае полупространства и бесконечного цилиндра впервые рассматривались в работах [4-6]. В общей постановке существование классических решений такой задачи является нерешенной проблемой. Данная работа посвящена доказательству существования глобальных слабых решений первой смешанной задачи для системы уравнений Власова-Пуассона с условиями зеркального отражения на функции распределения заряженных частиц. Слабые решения для однокомпонентной плазмы без учета действия магнитного поля рассматривались в работах [1, 13, 14]. В отличие от работ [13, 14], в данной работе рассматривается модель двукомпонентной плазмы под действием заданного нетривиального внешнего магнитного поля. В отличие от [1], в работе дополнительно рассматриваются граничные условия вида (2.7). 2. Постановка задачи Пусть Q ⊂ R3 - ограниченная область с границей ∂Q ∈ C∞. Рассмотрим систему уравнений Власова-Пуассона: , (2.1) (2.2) где ϕ(x,t) и fβ(x,v,t) (β = ±1) - неизвестные функции. Здесь ϕ = ϕ(x,t) - потенциал самосогласованного электрического поля; fβ = fβ(x,v,t) - функции распределения частиц: положительно заряженных ионов, если β = +1, и электронов, если β = -1, в точке x со скоростью v в момент времени t; ∇x и ∇v - градиенты по x и v; m+1 и m-1 - массы иона и электрона соответственно; e - заряд электрона; c - скорость света; B - индукция внешнего магнитного поля; - скалярное произведение в R3; [ - векторное произведение в R3. Пусть n(x) - единичный вектор внешней нормали к ∂Q в точке Введем множества Γ+, Γ-, Γ0 следующим образом: (2.3) , (2.4) (2.5) и рассмотрим биективное отображение R(x,v,t) : Γ+ × (0,T) → Γ- × (0,T), действующее по формулам (2.6) . Отображение R(x,v,t) называется оператором зеркального отражения. Вместе с уравнениями (2.1)-(2.2) будем рассматривать следующие условия на функции распределения заряженных частиц fβ: , (2.7) (2.8) где f˚β(x,v), β = ±1, - заданные начальные функции распределения заряженных частиц. Кроме того, рассмотрим условия Дирихле для потенциала самосогласованного электрического поля: . (2.9) В работе используются следующие функциональные пространства. Пространство C(Q × R3) состоит из непрерывных на Q×R3 функций. Обозначим через C˚k(Q×R3) множество k раз непрерывно дифференцируемых функций с компактным носителем в Q×R3, а множество бесконечно дифференцируемых функций с компактным в R3 носителем будем обозначать C˚∞(R3). Пусть E - измеримое подмножество пространства R3. Для введем банахово пространство Lp(E) всех классов измеримых функций f : E → R, совпадающих почти всюду, таких, что |f|p ∈ L1(E), c нормой, определенной по формуле . Будем рассматривать также банахово пространство L (E) классов измеримых функций, ограниченных почти всюду. ∞ Норма в этом пространстве определяется по формуле: = ess sup |f(x)|. E Пусть такие, что. Для обозначим через слабую топологию в Lp(Q×R3) (или в Lp(Ω)), а через σ(∞,1) слабую-* топологию в L∞(Q×R3). 3. Характеристики уравнений Власова Уравнения характеристик для уравнений (2.2) с фиксированным потенциалом ϕ имеют вид: 0 < τ < T, β = ±1, (3.1) , 0 < τ < T, β = ±1. (3.2) Будем предполагать, что функции E(x,t) := -∇xϕ(x,t) и B(x) удовлетворяют следующему условию. Условие 3.1. Пусть вектор-функция E(x,t) непрерывна по x, t, и непрерывно дифференцируема по x в Q¯ × [0,T), а вектор-функция B(x) непрерывно дифференцируема в Q.¯ При этом E(x,t) и B(x) могут быть продолжены до непрерывной и непрерывно дифференцируемой по x функции в Q1 × [0,T) и в Q1 соответственно, где Q1 ⊂ R3 -ограниченная область, Q¯ ⊂ Q1. Мы хотим построить решения системы характеристик (3.1)-(3.2), которые будут учитывать действие оператора зеркального отражения R(x,v,t). Такие решения будут называться порождающими характеристиками, их подробное построение мы приводим ниже. Рассмотрим систему (3.1)-(3.2) с начальными условиями вида Xϕβ|τ=t = x, Vϕβ|τ=t = v, (3.3) Обозначим Ω := Q R гдеУсловие 3.1 гарантирует, что для любых(x,v) ∈ (Q × R3) ∪×Γ-3, t×∈(0[0,T,T))и(см. (2.4)).A± := Γ±p ×= ((0x,v,t,T). ) ∈ Ω ∪ A- ∪ (Q × R3 × {0}) существуетβ единственное непродолжаемое решение задачи (3.1)-(3.3) на некотором полуинтервале [t,t1(p)). Обозначим это решение через Sϕβ(τ,p) := (Xϕβ(τ,p),Vϕβ(τ,p)). Очевидно, существует предел . В силу [13, лемма 1.4] возможны следующие случаи: a) ; b) ; c) . В случае a) мы получаем непродолжаемое решение на полуинтервале [t,T). В случае b) мы рассмотрим задачу (3.1)-(3.2) с начальными условиями (3.3), в которых в соответствии с формулой (2.6), описывающей зеркальное отражение, положим . Поскольку вектор R(xβ1,v1β) направлен внутрь области Ω, в силу условия 3.1 на некотором полуинтервале существует единственное непродолжаемое решение системы (3.1)-(3.2) с начальными условиями . (3.4) Обозначим это решение по-прежнему через Sϕβ(τ,p). Очевидно, Sϕβ(τ,p) ⊂ Q × R3, t ∈ (tβ1,t2β). Длятакже возможны случаи a)-c). В случае мы получаем непродолжаемое решение на полуинтервале [tβ1,T). Функция Sϕβ(τ,p), рассматриваемая на полуинтервале [t,T), имеет разрывы первого рода в точкахи удовлетворяет системе уравнений (3.1)-(3.2) на интервалах (t,tβ1) и (tβ1,tβ2). В случаеи мы опять рассмотрим систему (3.1)-(3.2) с начальными условиями . (3.5) Существует единственное непродолжаемое решение задачи (3.1), (3.2), (3.5) Sϕβ(τ,p) на некотором полуинтервале , и т. д. Если 0 < t, то аналогичные построения мы можем провести для 0 < τ < t, последовательно находя непродолжаемые решения Sϕβ(τ,p) системы (3.1), (3.2) с начальными условиями (3.3) на некотором интервале c начальными условиями , (3.6) где , и т. д. Точки мы назовем моментами отражения. Обозначим черезβ S множество точек∈ N, такое, что p = (x,v,t) ∈ Ω ∪ A- ∪ (Q × R3 × {0}), для которых существует t < tk < T, k , (3.7) или , такое, что , (3.8) или число моментов отражения бесконечно. кусочно непрерывныеp = (Положимx,v,t) ∈DΩ= (Ω∪ A-∪∪SAˆϕβ-((Qτ,p∪×()QRсуществуют на всем интервале×3 × {R3 0× {}) 0в начальных условиях (3.3), при которых построенные})) \ S. Очевидно, множество(0,T), имеют конечное число мо-D состоит из всех точек ментов отражения, и множество моментов отражения tβk (0 < tβk < T, k = ±1,±2,...) таких, что (xβk,vkβ) ∈ Γ0, является пустым. Обозначим через μn(·) n-мерную меру Лебега. Пусть B(A±) - σ-алгебра борелевских множеств на множестве A± := Γ± × (0,T) с мерой ν±, определенной по формуле , (3.9) где χB(x,v,t) - характеристическая функция множества B. Решения при (x,v,t) ∈ D мы назовем порождающими характеристиками. Заметим, что при порождающие характеристики Sˆϕβ(τ,x,v,t) непрерывны по τ справа, а при непрерывны по τ слева. Положим, D3 = D ∩ (Q Из [13, лемма 1.34] следует Теорема 3.1. μ7(S1) = 0, множество D1 открыто в R7, ν-(S2) = 0, μ6(S3) = 0. Обозначим Γt = {(x,v,τ) ∈ D1 : τ = t}. Замечание 3.1. Введем векторное поле Ψβ : Q¯ × R3 × [0,T] → R7 по формуле . Очевидно, div. Из замечания 3.1 следует Лемма 3.1. Для отображение Sˆϕβ(s,...,t) : Γt → Γs биективно и сохраняет меру Лебега μ6(·). Подробное доказательство см. в [13, предложение 3, с. 52]. 4. Структура сильных решений уравнений Власова Пусть w± : A± → R - измеримые по Борелю функции. Введем оператор K, действующий по формуле Kw+(x,v,t) := w+(R-1(x,v,t)) для п. в. (x,v,t) ∈ A-. (4.1) Обозначим далее и рассмотрим следующую задачу: V fβ = 0, x ∈ Q,v ∈ R3,t ∈ (0,T), β = ±1, (4.2) fβ(x,v,0) = f˚β(x,v), x ∈ Q,v¯ ∈ R3, β = ±1, (4.3) f-β(x,v,t) = Kf+β(x,v,t) (x,v,t) ∈ A-, β = ±1. (4.4) Здесь f˚β ∈ C˚(Q × R3) - непрерывные функции с компактным носителем в , а функции fβ, β = ±1 задаются по формулам ± , (4.5) (4.6) Существование пределов (4.5)-(4.6) вытекает из результатов предыдущего раздела. Определение 4.1. Функции {fβ}, β = ±1, мы будем называть сильным решением задачи (4.2)-(4.4), если функции fβ(x,v,t) п. в. в Ω являются константами вдоль порождающих характеристик, удовлетворяют начальному условию (4.3) для п.в. x ∈ Q¯ и v ∈ R3, а также краевому условию (4.4) для п.в. (x,v,t) ∈ A-. Теорема 4.1. Существует сильное решение задачи (4.2)-(4.4), которое задается по формуле , (4.7) и является единственным с точностью до множества меры нуль. Доказательство. Используя групповое свойство порождающих характеристик при подстановке в формулу (4.7), а именно, равенство Sˆϕβ(s,y,w,τ) = Sˆϕβ(s,Sˆϕβ(t,y,w,τ),t), мы получим выражение, не зависящее от t, т. е. константу. Далее, в силу непрерывности порождающих характеристик справа в точке 0 мы получаем , т. е. условия (4.3) выполняются. Условие (4.4) выполняется в силу определения порождающих характеристик. Единственность очевидна. Следствие 4.1. Пусть f˚β ∈ C˚1(Q×R3). Тогда сильное решение задачи (4.2)-(4.4) непрерывно дифференцируемо в D1. Лемма 4.1. Пусть f˚β ∈ C˚1(Q × R3), ψ ∈ C˚1(Q × R3) и I := [0,T), а {fβ}, β = ±1, -сильное решение задачи (4.2)-(4.4). Тогда и Доказательство аналогично доказательству [14, лемма 3.3]. Обозначим AT := Q × R3 × {T} и A0 := Q × R3 × {0}. Лемма 4.2. Пусть {fβ}, β = ±1, -сильное решение задачи (4.2)-(4.4), и пусть ψ ∈ C˚1(Q¯ × R3 × [0,T]). Тогда (4.9) см. (4.2). Доказательство аналогично доказательству [13, лемма 2.5, с. 68] и использует лемму 3.1. 5. Сильные решения уравнений со сглаживающим множителем Рассмотрим теперь вопрос о существовании сильных решений для уравнений , (5.1) где fδβ - неизвестные функции, а функция Eδ определяется из соотношений (5.2) (5.3) (5.4) Здесь G = G(x,y) - функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа в Q, а ωδ(x) - ядро усреднения, определенное по формуле , где (5.5) , а постоянная c > 0 определяется из условия . (5.6) Замечание 5.1. Поскольку рассматриваемая нами область Q ограничена и имеет гладкую границу, функция Грина такой задачи существует, а ее единственность следует из [9, теорема 2.4]. Результаты, посвященные функции Грина, подробно изложены в [9]. Замечание 5.2. Так как , при этом в силу (5.5)-(5.6) . (5.7) Вместе с уравнениями (5.1) будем рассматривать начальные условия fδβ(x,v,0) = f˚β(x,v), x ∈ Q,¯ v ∈ R3, β = ±1, и краевые условия вида (5.8) . (5.9) Здесь f˚β(x,v) ∈ C˚(Q × R3), а функции определены по формулам , (5.10) (5.11) Для X ⊂ Rn и f : X → R обозначим через f˜ продолжение f нулем на Rn. Тогда в уравнении (5.1) при определении Eδ(x,t) плотность заряда ρδ(x,t) мы заменим на сглаженную плотность, σδ = (ωδ ∗ ρ˜δ)(x,t), и в силу (5.3) получим выражение где Для фиксированных δ > 0 построим последовательность сильных решений уравнений Власова fδ,nβ по формуле , (5.12) где (Sˆϕβδ,n-1(0,x,v,t))δ,n - порождающие характеристики уравнений (5.1) с функциями Eδ,n-1, заданными по формуле Eδ,n-1(x,t) := -∇xϕδ,n-1(x,t). Здесь функции ϕδ,n-1(x,t) определяются как единственные классические решения задач Δϕδ,n-1(x,t) = -4πeσδ,n-1(x,t), ϕδ,n-1|∂Q = 0, где . Функции определяются по формулам [0,TЗамечание 5.3.], а также являются непрерывными поПо построению σδ,n-1(·,t(x,t) принадлежат пространству) в Q¯ × [0,T]. Существование порождающих ха-C˚∞(R3) для всех t ∈ рактеристик (Sˆϕβδ,n-1(0,x,v,t))δ,n на каждом шаге гарантировано тем, что функции ϕδ,n-1(x,t) и B(x) в уравнении (5.1) удовлетворяет условию 3.1. Отсюда и из теоремы 3.1 мы также получаем, что множества (D1)δ,n-1 ⊂ Ω являются открытыми и μ7(Ω \ (D1)δ,n-1) = 0. Из теоремы 4.2 (теорема Данфорда-Петтиса) и леммы 4.5 в [10], а также из предложения 5 в [13] вытекает, что существуют подпоследовательность fδ,nβ k ⊂ fδ,nβ и функция fδβ : I → L1(Q×R3) такие, что для всех g ∈ L∞(R6) выполняется , (5.13) а также отображение 1( ). Переобозначим подпоследовательность fδ,nβ k снова как fδ,nβ . Положим теперь Далее, аналогично 3 и 4 шагу доказательства теоремы 4 из [14], справедливы следующие утверждения. Замечание 5.4. a) Отображения непрерывны, а также справедливо равенство . b) Вектор-функции удовлетворяют условиям леммы 2.1 в [14], отображение Eδ(·,t) ∈ C(Q¯) непрерывно, а также выполняется равенство . (5.14) Замечание 5.5. Существует число N ∈ N такое, что для любых мы имеем (x,v,t) ∈ D1n и lim Sˆβ (s,x,v,t) = Sˆβ(s,x,v,t), (5.15) n→∞ δ,n δ где D1n ⊂ Ω - открытое множество, μ7(Ω \ D1n) = 0. Далее, повторяя рассуждения из доказательства теоремы 4 из [14], а именно, переходя к рассмотрению предела слабо сходящейся подпоследовательности сильных решений уравнений Власова fδ,nβ , мы получим, что функции gδβ(x,v,t) := f˚β(Sˆδβ(0,x,v,t)) являются сильным решением задачи (5.1), (5.8), (5.9), где Таким образом, справедлива следующая теорема. Теорема 5.1. . Тогда для любого δ > 0 существует сильное решение уравнений (5.1) с условиями (5.8), (5.9). 6. Теорема о существовании глобальных слабых решений смешанной задачи для системы уравнений Власова-Пуассона с внешним магнитным полем Пусть, а функция E = E(x,t) такова, что fβE локально интегрируема на Ω. Перепишем задачу (2.1)-(2.2), (2.7)-(2.9) следующим образом: (6.1) (6.2) (6.3) . (6.4) Определение 6.1. Функции fβ назовем слабо дифференцируемыми по направлению (6.5) если существуют функции hβ ∈ Lp(Ω) такие, что для всех gβ ∈ C˚1(Ω) (6.6) где . (6.7) Замечание 6.1. В силу определения 4.1 и лемм 4.1, 4.2 любое сильное решение {fβ}, β = ±1, задачи (2.1)-(2.2), (2.7)-(2.9) с начальными функциями f˚β ∈ C˚1(Q × R3) слабо дифференцируемо по направлению lβ, при этом Lβfβ = 0, следы fβ на A± существуют и задаются формулами (4.5), (4.6). Функции hβ ∈ Lp(Ω) определены единственным образом и обозначаются через Lβfβ. Определение 6.2. Пусть функции слабо дифференцируемы по направлению lβ. Функции f±β ∈ Lp,loc(A±) будем называть следами fβ на A±, если (6.8) для любых Определение 6.3. Функции {fβ}, β = ±1, будем называть слабым решением системы уравнений (6.1)-(6.4), если выполняются следующие условия: 6.3.1. Отображения fβ : I → (L1(Q × R3),σ(1,∞)) ∩ (L∞(Q × R3),σ(∞,1)) непрерывны, β = ±1. 6.3.2. fβ(x,v,0) = f˚β(x,v) для x ∈ Q, v¯ ∈ R3, β = ±1. 6.3.3. Для почти всех положим E(x,t) := ; функции fβE локально интегрируемы на Ω. 6.3.4. Для всех ψβ ∈ C˚1(Q × R3), β = ±1, мы имеем где . 6.3.5. Следы fβ на A± существуют и f-β = Kf+β на A-, β = ±1. Основным результатом работы является следующая теорема. Теорема 6.1. . Тогда существует слабое решение {fβ}, β = ±1, задачи (6.1)-(6.4). Доказательство теоремы 6.1 опирается на следующие вспомогательные результаты. Лемма 6.1. Пусть , и пусть K ⊂ R3 -область такая, что K ⊂ Q. Тогда оператор AG : Lr(Q) → L3q(Q), определенный по формуле- является компактным. Доказательство см. в [13, лемма 4.3]. Лемма 6.2. Пусть выполнены условия теоремы 6.1, и пусть {fδβ}, δ > 0, -сильное решение задачи (5.1), (5.8)-(5.9). Тогда для любой последовательности {δn}, δn → 0 при n → ∞, δn > 0, существуют подпоследовательность {δnk} и функции такие, что для любых, справедливы утверждения: a) равномерно по t ∈ I при k → ∞; b) при k → ∞; c) существуют g±β ∈ L∞(A±,dν±) такие, что . Доказательство см. в [13, лемма 4.5]. В дальнейшем для простоты будем обозначать подпоследовательность {δnk} через δn. Лемма 6.3. Пусть выполнены условия теоремы 6.1. a) Пусть, кроме того, , а функции определены по формуле Тогда равномерно по t ∈ I. b) Пусть . Тогда в при n → ∞ равномерно по t ∈ I. Доказательство см. в [13, лемма 4.7]. Далее будет приведено доказательство теоремы 6.1. Доказательство теоремы 6.1. Из леммы 4.1 следует, что любое сильное решение уравнений Власова также будет и слабым решением. Рассмотрим функции fβ,gβ , β = ±1, из леммы 6.2. Пока- { β}, β = ±1, - слабое решение задачи (6.1)-(6.4). ± жем, что f Нам нужно убедиться, что выполняются условия 6.3.1-6.3.5 в определении слабого решения 6.3. Выполнение условий 6.3.1-6.3.3 для функций {fβ} следует из леммы 6.2, равенства (5.8), а также соотношений (6.2) и (5.14). Для того, чтобы проверить выполнение пунктов 6.3.4 и 6.3.5, покажем сначала, что для любых ψβ ∈ C˚1(Q × R3) выполняется равенство (6.9) где , Рассмотрим следующее выражение: , где Поскольку , из леммы 6.2 a) следует, что . Аналогично,, поэтому из леммы 6.2 a) вытекает, что . Применяя оценки (4.9)-(4.10) из [13] и леммы 6.1-6.2, получим выполнение равенства. Обозначим , тогда из (6.9) мы получим (6.10) при n → ∞ равномерно по t ∈ I. С другой стороны, в силу леммы 6.2 a) имеем (6.11) при n → ∞ равномерно по t ∈ I, при этом из леммы 4.1 следует, что (6.12) (6.13) Из (6.10)-(6.13) и единственности предела мы заключаем, что последовательность при n → ∞ сходится к равномерно по t ∈ I, при этом выполняется равенство при Убедимся, что выполняется пункт 6.3.5 определения слабого решения. Для этого нужно показать, что функции fβ слабо дифференцируемы, при этом Lβfβ = 0 и (6.14) (6.15) Тогда gβ = fβ и будет выполнено условие. Рассмотрим сначала функции± ± ψβ следующего вида: . (6.16) Тогда , (6.17) где. Действительно, это следует из леммы 6.2 и равенства Из леммы 4.2 вытекает равенство . Далее, поскольку, получаем для любых n ∈ N. Действительно, . Тогда из (6.17) следует, что. Кроме того, это доказывает (6.14) для функций с разделенными переменными. Пусть теперь ψβ ∈ C˚1(Q×R3×(0,T)). По теореме о продолжении найдутся функции ξβ ∈ C˚1(G) (где G ⊂ (R6 × (0,T)) - открытое множество такое, что (Q × R3 × (0,T)) ⊂ G) такие, что . Из [11, предложение 1, с. 369] следует, что существуют функции ξkβ ∈ C˚1(G) вида , такие, что ξkβ → ξβ при k → ∞ в C1(G) (здесь коэффициенты ck,i ∈ R). Положим , таким образом, ψkβ являются линейными комбинациями произведений функций с разделенными переменными и принадлежат классу C˚1(Q × R3 × (0,T)). Это верно для всех k ∈ N, тогда для любых ψkβ ∈ C˚1(Q×R3 ×(0,T)) будет выполняться . Далее, для всех k ∈ N будем считать, что suppψkβ ⊂ BR(0), тогда Так как |fβ||Lβψkβ - Lβψβ| ∈ L1(Q × R3 × (0,T)) (см. [13, с. 104]), из поточечной сходимости Lβψkβ → Lβψβ при k → ∞ в Q×R3×(0,T), а также по теореме Лебега о мажорируемой сходимости получим, что . (6.18) Поскольку для любых выполняется равенство , то и. В силу неравенства , A+ мы получаем, что Lβfβ существует и, а также выполняется (6.14). Для завершения доказательства нужно показать выполнение равенства (6.15). Это равенство следует из доказательства предложения 6 в [13, с. 102-106].

Об авторах

Ю. О. Беляева

Российский университет дружбы народов

Автор, ответственный за переписку.
Email: belyaeva-yuo@rudn.ru
Москва, Россия

А. Л. Скубачевский

Российский университет дружбы народов

Email: skublector@gmail.com
Москва, Россия

Список литературы