Прикладная теория изгибных колебаний пьезоактивного биморфа в рамках несвязной краевой задачи термоэлектроупругости

Полный текст

Введение Пьезоэлектрические преобразователи широко используются в различных сферах: в промышленности, медицине, в быту и др. С этим связана актуальность проектирования эффективных устройств преобразования механической, магнитной, тепловой энергии в электрическую и обратно. В настоящее время предварительный расчет конструкций с пьезоактивными элементами возможен с помощью метода конечных элементов (МКЭ), реализованного в «тяжелых» и специализированных CAE пакетах, таких, как ANSYS, COMSOL, ACELAN и др. Однако для ряда устройств возможно построение приближенных теорий расчета их колебаний на основе гипотез о распределении механических, электрических, магнитных полей [2, 10]. Одним из типов таких устройств являются излучатели, приемники и пьезоэлектрические генераторы (ПЭГ), рабочим элементом которых являются биморфы - электродированные многослойные пластины, совершающие поперечные колебания. Кроме механического и магнитного воздействия, источником возникновения индуцированной разности потенциалов на электродах пьезоэлектрических слоев является неоднородное распределение температуры в них, возникающее за счет действия внешних температурных потоков. Такая задача может быть решена в рамках термоэлектроупругости. При использовании в качестве пьезоактивного материала композитов первым шагом исследования является нахождение их эффективных свойств. Вопросам определения эффективных свойств термоэлектроупругих и термомагнитоэлектроупругих композитов посвящены работы [1, 4, 6, 7, 14], толщинные колебания пластины под действием начального термоэлектромеханического поля исследуются в [3], аналитические и численные аналитические решения задач термоэлектроупругости рассматриваются в [5, 9, 11-13]. В настоящей работе рассматриваются поперечные колебания двухслойной пластины в рамках линейной теории термоэлектроупругости в плоской постановке. Температура входит в определяющие соотношения, а уравнение теплопроводности решается независимо от уравнений электроупругости. С помощью гипотез типа Кирхгофа-Лява в предположении о квадратичном распределении электрического потенциала строится прикладная теория колебаний и граничные условия для рассматриваемого биморфа. Проведены численные эксперименты при различном способе возбуждения колебаний. Осуществлено сравнение прогибов и распределений электрического потенциала с расчетом в COMSOL. 1. Математическая постановка задачи 1.1. Геометрическая и физическая модель. Рассматривается двухслойная пластина (см. рис. 1) толщины h и длины l; верхняя, нижняя и интерфейсная границы электродированы. На верхнем и нижнем электродах электрические потенциалы одинаковы и равны V0, потенциал на среднем электроде равен V2, на боковых сторонах отсутствует электрический заряд. На верхнюю границу действует распределенное механическое давление q3(x1), на боковых сторонах задаются граничные условия, соответствующие свободной границе, шарнирному опиранию или жесткой заделке. Температурная задача решается независимо и определяется распределение температуры θ(x1,x3), которое затем учитывается в уравнениях состояния для электроупругого тела. Рис. 1. Геометрия пластины Fig. 1. Plate geometry 1.2. Континуальная модель. Рассматриваются установившиеся колебания биморфа (рис. 1) с круговой частотой ω в рамках линейной теории термоэлектроупругости. Задача сводится к следующей системе дифференциальных уравнений в частных производных относительно компонент вектора смещений ui(x1,x2,x3), i = 1,2,3 и электрического потенциала ϕ(x1,x2,x3): (1.1) где σ и ε - тензоры механических напряжений и деформации, D и E- векторы электрической индукции и напряженности электрического поля, ρ - плотность материала, c - тензор упругих модулей, e - тензор пьезоэлектрических модулей, g - тензор температурных напряжений, κ - тензор диэлектрических проницаемостей, p - вектор пироэлектрических коэффициентов, f - вектор плотности массовых сил, σΩ - объемная плотность электрических зарядов, u - вектор перемещений, ϕ- электрический потенциал. Граничные условия. Механические напряжения на границе биморфа: σij · nj|S = qi, i,j = 1,3. Биморф шарнирно закреплен на концах, как указано на рис. 1: (1.2) ui|(0,0) = ui|(l,0) = 0, i = 1,3. Электрический потенциал на внутреннем и внешнем электродах, соответственно: (1.3) ϕ|x3 = 0 = V2, ϕ|x3=±h/2 = V0. Отсутствие зарядов на боковых гранях: (1.4) D · n|x =0 = 0, D · n|x =l = 0. (1.5) 1 1 В задачах электроупругости для упрощения записи часто используются определяющие соотношения на основе нотации Фойгта: T (1.6) D (1.7) Здесь T = (σ11,σ22,σ33,σ23,σ13,σ12)T и S = (ε11,ε22,ε33,2ε23,2ε13,2ε12)T - это псевдовекторы, элементами которых являются компоненты тензоров напряжений и деформаций, соответственно. 2. Прикладная теория поперечных колебаний 2.1. Гипотезы. Для построения прикладной теории колебаний примем гипотезы типа Кирхгофа-Лява. В соответствии с ними предполагается отсутствие нормальных напряжений и распределение перемещений по толщине: σ33 (x1,x3) = 0, u1 (x1,x3) = -x3w,1, u3 (x1,x3) = w(x1). (2.1) Распределение электрического потенциала по толщине каждого слоя принимается квадратичным; так, например, в верхнем слое оно имеет вид: . (2.2) где функции V0, V1 и V2 отвечают за значение электрического потенциала на внешнем электроде, в середине слоя и на внутреннем электроде, соответственно. Чтобы удовлетворить условиям задачи, примем эти функции в следующем виде: V0(x1) = V0 = const, V1(x1) = Φ(x1), V2(x1) = V2 = const, (2.3) где функция Φ(x1) является неизвестной. Предполагается, что задача теплопроводности решена предварительно, и распределение температуры берется линейным по толщине биморфа: , (2.4) где θ1, θ2 - температуры на верхней и нижней грани биморфа, соответственно. 2.2. Вариационный принцип. Для дальнейшего построения прикладной теории воспользуемся принципом Гамильтона для электроупругой среды. Рассмотрим функционал (2.5) где H - электрическая энтальпия, σ - заряд на ∂S. Принцип Гамильтона, обобщенный на теорию пьезоэлектричества, имеет вид . (2.6) Здесь K - кинетическая энергия, a t2 - t1 - временной промежуток. Допустимое движение тела должно быть согласовано с ограничениями на это движение. Должны быть выполнены условия δui (x,t1) = δui (x,t2) = 0. (2.7) Вариация кинетической энергии с учетом условия (2.7) равна (2.8) Пользуясь определяющими соотношениями [8] σij = ∂H/∂εij,Di = -∂H/∂Ei, для случая наличия поверхностных нагрузок, а также отсутствия поверхностных зарядов и массовых сил получим . (2.10) Далее будем рассматривать случай установившихся гармонических колебаний, когда ui = uieiωt, ϕ = ϕeiωt, qi = qieiωt. (2.11) Тогда . (2.12) С учетом принятых гипотез (2.1) вариационное уравнение принимает следующий вид: Таб. 1 ρ, кг/м3 kg/m3 , ГПа GPa , ГПа GPa , ГПа GPa , ГПа GPa , ГПа GPa 7500 139 77,8 74,3 115 25,6 e31, пКл/Н pC/N e33, пКл/Н pC/N e15, пКл/Н pC/N -5,2 15,1 12,7 730 635 g1, Па/К Pa/K g3, Па/К Pa/K p1, мКл/(м2К) mC/(m2K) p3, мКл/(м2К) mC/(m2K) 9,5 7,6 0 0,25 2.3. Уравнения и силовые факторы. Проведем вариацию уравнения (2.13), а также проинтегрируем его по толщине. Последняя операция устраняет зависимость от x3, поэтому в дальнейшем опустим нижний индекс у x1. На последнем шаге, после вариации и интегрирования, приравняв коэффициенты при независимых вариациях δw и δΦ в выведенном выше уравнении, мы получим систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (2.14), (2.15) и выражения силовых факторов, которые представлены уравнениями (2.16)-(2.18). (2.14) (2.15) Для удовлетворения граничных условий на концах биморфа получены выражения для силовых факторов: M1 -момента, Q1 - поперечной силы и D1 - осредненной по толщине горизонтальной компоненты вектора электрической индукции. (2.16) , (2.17) (2.18) 3. Численный эксперимент В численном эксперименте в качестве пьезоэлектрического материала была выбрана пьезокерамика PZT-4, поляризованная по толщине, физические константы которой приведены в таб. 1, где κ0 - диэлектрическая проницаемость вакуума. Размеры пластины: l = 0,01м, h = 0,0012м, толщины слоев одинаковы. Рассматриваются установившиеся колебания на частоте 314,16Гц под действием равномерно распределенной нагрузки амплитуды q3 = 1000Па, температуры θ1 = 15◦C, θ2 = 10◦C и разности потенциалов V0 = 100В, V2 = 0В. а) б) в) Рис. 2. Распределение физических полей при разнице температур на границах и нулевых потенциалах: а) температура, б) модуль вектора перемещений, в) электрический потенциал. Fig. 2. Distribution of physical fields with temperature difference on the boundaries and zero potentials: а) temperature, б) displacement vector modulus, в) electric potential. Граничные условия в соответствии с постановкой задачи (рис. 1) имеют вид w(0) = w(l) = 0, M1(0) = M1(l) = 0, D1(0) = D1(l) = 0. Рассматриваются три задачи: в первой возбуждение колебаний осуществляется разностью температур, во второй разностью электрических потенциалов и в третьей распределенной нагрузкой при неизвестном электрическом потенциале V0. Аналогичный набор задач был решен в конечно-элементном (КЭ) пакте COMSOL Multiphysics (ЦКП ЮНЦ РАН № 501994). В интерфейсе решения уравнений в частных производных была решена система (1.1) для плоского случая. На рис. 2 представлено распределение перемещений, температуры и электрического потенциала для первой задачи, полученные на основе метода КЭ. На рис. 3-5 для описанных выше задач, соответственно, представлены графики распределения: а) прогиб пластины, б) продольное распределение потенциала в середине слоя, в) поперечное распределение потенциала в середине пластины; при этом сплошная линия соответствует прикладной теории, штрих-пунктирная - расчетам методом КЭ. а) б) в) Рис. 3. Распределение механических и электрических полей в верхнем слое при разнице температур на границах и нулевых потенциалах: а) прогиб пластины, б) продольное распределение потенциала в середине слоя, в) поперечное распределение потенциала в середине пластины. Fig. 3. Distribution of mechanical and electric fields in the upper layer with temperature difference on the boundaries and zero potentials: а) plate deflection, б) longitudinal potential distribution in the middle of the layer, в) transverse potential distribution in the middle of the plate. Анализ результатов, полученных по прикладной теории и с помощью метода КЭ, показывает, что погрешность в значениях характеристик деформированного состояния, как и распределения электрического потенциала, составляет не более одного процента. Исключением являются концы пластины, где различие для электрического потенциала более существенно. Вместе с тем важная характеристика ПЭГ -выходной электрический потенциал для третьей задачи (его значение оказалось равным V0 = 237В) находится также с незначительной погрешностью. Заключение В работе на основе гипотез типа Кирхгофа-Лява и предположения о квадратичном распределении электрического потенциала в каждом слое пластины, представляющей собой пьезоэлектрический биморф из термоэлектроупругого материала, строится прикладная теория его поперечных колебаний. Распределение температуры учитывается в определяющих соотношениях для механических и электрических полей, при этом уравнение теплопроводности решается отдельно. Задача сводится к двум связанным обыкновенным дифференциальным уравнениям четвертого и второго порядков относительно прогиба нейтральной линии и распределения электрического потенциала в середине каждого из слоев и граничных условий для механических характеристик: прогиба, угла поворота, момента и поперечной силы, потенциала или продольной компоненты вектора электрической индукции. Внешние поверхности и интерфейсный слой биморфа электродированы. Электрические потенциалы на внешних электродах одинаковы. В численных экспериментах рассматривалось линейное распределение температуры по толщине биморфа и постоянное распределение по внешним поверхностям. Колебания рассматривались для шарнирно опертой пластины при их возбуждении равномерно распределенным механическим давлением, разностью потенциалов на электродах, разностью температур на внешних поверхностях. Численные результаты сравнивались с расчетом с помощью метода конечных элементов в пакете COMSOL. Это сравнение подтвердило адекватность предложенной прикладной теории в низкочастотной области, а именно, резонансная частота первой изгибной моды является рабочей для такого устройства. а) б) в) Рис. 4. Распределение механических и электрических полей в верхнем слое при одинаковой температуре и приложенном потенциале 100В: а) прогиб пластины, б) продольное распределение потенциала в середине слоя, в) поперечное распределение потенциала в середине пластины. Fig. 4. Distribution of mechanical and electric fields in the upper layer for the same temperature and applied potential of 100V: a) deflection of the plate, б) longitudinal distribution of the potential in the middle of the layer, в) transverse distribution of the potential in the middle of the plate. а) б) в) Рис. 5. Распределение механических и электрических полей в верхнем слое при разнице температур на границах и неизвестном потенциале на внешних электродах: а) прогиб пластины, б) продольное распределение потенциала в середине слоя, в) поперечное распределение потенциала в середине пластины. Fig. 5. Distribution of mechanical and electric fields in the upper layer with temperature difference on the boundaries and unknown potential on the external electrodes: а) plate deflection, б) longitudinal potential distribution in the middle of the layer, в) transverse potential distribution in the middle of the plate.

Об авторах

А. Н. Соловьев

Донской государственный технический университет; Южный федеральный университет

Email: solovievarc@gmail.com
Ростов-на-Дону, Россия

В. А. Чебаненко

Южный федеральный университет; Южный научный центр РАН

Email: valera@chebanenko.ru
Ростов-на-Дону, Россия

М. С. Германчук

Крымский федеральный университет им. В.И. Вернадского

Автор, ответственный за переписку.
Email: germanchukms@cfuv.ru
Симферополь, Россия

Список литературы