Математическое ожидание решения стохастической мультипликативно возмущенной системы дифференциальных уравнений

Полный текст

Рассмотрим задачу Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка , (1.1) y(t0,z) = y0(z), (1.2) где t ∈ T = [t0,t1] ⊂ R; t0 задано; y : T × R → Y - искомое отображение; b : T × R → Y - случайный векторный процесс; A - постоянный оператор, действующий в пространстве Y ; Y - конечномерное пространство со скалярным произведением < ·,· >; ε1,ε2 - случайные процессы; y0(z) - случайный векторный процесс. Уравнение (1.1) называется стохастическим мультипликативно возмущенным векторным дифференциальным уравнением. Так как уравнение (1.1) содержит случайные процессы, то решение задачи Коши (1.1), (1.2) также является случайным процессом. Для приложений важны статистические характеристики решения - функция распределения, плотность распределения, характеристический функционал или моментные функции. Наиболее важным и одновременно простым является математическое ожидание. Метод сведения стохастической задачи к детерминированному дифференциальному уравнению с обычными и вариационными производными (см. [1, 3, 7]) оказался эффективным для нахождения моментных функций решений линейных дифференциальных уравнений. В работе [2] получены явные формулы для математического ожидания решения мультипликативно возмущенного векторного дифференциального уравнения в частных производных с одним случайным коэффициентом. В данной работе решается задача нахождения математического ожидания решения задачи (1.1), (1.2) с двумя случайными коэффициентами. Исследуемая задача сводится к детерминированной системе дифференциальных уравнений с обычными и вариационными производными, для которой удается получить явную формулу решения, и на основе полученной формулы выписать математическое ожидание решения стохастического уравнения с использованием характеристического функционала случайных коэффициентов и неоднородности. В качестве приложений выведены явные формулы математических ожиданий решений с независимыми равномерно распределенными и гауссовскими случайными коэффициентами. 2. Переход к детерминированной задаче Пусть L1(T) - пространство суммируемых функций на отрезке T с нормой ψ : L1(T) → C -функционал, h ∈ L1(T) - приращение переменной v. Определение 2.1. Если , где o(h) - бесконечно малая высшего порядка относительно h, и интеграл (Лебега) является линейным ограниченным функционалом по переменной h, тогда отображение ϕ : T × L1(T) → C называется вариационной производной функционала ψ в точке v и обозначается δψ(v). δv(t) Вариационное дифференцирование аналогично обычному дифференцированию. Пусть ε(t,ω) обозначает случайный процесс [1] (ω - случайное событие). В дальнейшем случайный процесс будем записывать просто как ε(t), а E[ε] использовать как обозначение математического ожидания случайного процесса ε. Определение 2.2 (см. [1, с. 30]). Функционал , где, называется характеристическим функционалом случайного процесса ε. Отметим, что с помощью характеристического функционала можно находить моментные функции случайного процесса [1], например, . Будем считать, что процессы заданы характеристическим функционалом, т. е. считаем известным . Здесь < ·,· > обозначает скалярное произведение в Y. Введем обозначение . Умножим уравнение (1.1) на w и возьмем математическое ожидание полученного равенства. Находим . (2.1) Введем обозначение . Уравнение (2.1) (формально) можно записать с помощью y. Имеем , (2.2) δpψ где, например, обозначает частную вариационную производную по переменной v3. δv3(t,z) Будем считать, что случайный процесс y0 не зависит от случайных процессов ε1,ε2 и b. Умножим начальные условие (1.2) на w и вычислим математическое ожидание полученного равенства; находим E[y(t0,z)w] = E[y0(z)w] = E[y0(z)]E[w] = E[y0(z)]ψ(v1,v2,v3). Перепишем последнее равенство в виде y(t0,z,v1,v2,v3) = E[y0(z)]ψ(v1,v2,v3). (2.3) Определение 2.3. решения задачи Коши (1.1), (1.2) называется - решение задачи (2.2), (2.3) в некоторой окрестности точки v1 = 0,v2 = 0,v3 = 0. Таким образом, чтобы найти математическое ожидание E[y(t,z)] решения задачи (1.1), (1.2), достаточно найти решение y(t,z,v1,v2,v3) неслучайной (детерминированной) задачи (2.2), (2.3) в малой окрестности точки. 3. Решение уравнения с обычной и вариационной производными Пусть Fz(g(z))(ξ) обозначает преобразование Фурье [6] функции g по переменной z: Применим преобразование Фурье по переменной z к уравнениям (2.2), (2.3), получим , (3.1) (3.2) Пусть χ(t0,t,s) - функция переменной s ∈ R, определенная следующим образом: χ(t0,t,s) = sign(s-t0) при s ∈ [min{t0,t},max{t0,t}] и χ(t0,t,s) = 0 при s, не принадлежащих этому отрезку. Рассмотрим отображение gk : L1(T) → R , где Bk - непрерывная, симметричная по любой паре переменных функция. Теорема 3.1 (см. [2]). Пусть a -непрерывная на отрезке [t0,t1] = T функция и A -линейный оператор, действующий в Y. Тогда существует частная производная по переменной t отображения и справедливо равенство (3.3) . Доказательство. Пусть Δt- приращение переменной t; тогда, используя формулу бинома Ньютона и симметричность функции Bk, получаем Согласно теореме о среднем значении [5, с. 113], для непрерывной функции f при Δt → 0. Переходя к пределу в равенстве (3.4) при Δt → 0, получаем (3.3). Теорема 3.2 (см. [2]). В условиях теоремы 3.1 существует частная вариационная производная δpΦk(t,v) и справедливо равенство δv(t) (3.5) . Доказательство. Пусть h - приращение переменной v, тогда Последнее слагаемое является бесконечно малой величиной высшего порядка относительно h. δpΦ(t,v) Согласно определению вариационной производной из (3.6) следует существование и ее δv(t) представление в виде (3.5). Замечание 3.1. Из соотношений (3.3), (3.5) следует, что Φk удовлетворяет операторному дифференциальному уравнению . (3.7) Пусть теперь . Поскольку Φk,k = 0,1,... удовлетворяют уравнению (3.7), то Φ удовлетворяет уравнению . Теорема 3.3. Если функционал ψ(v1,v2,v3) разлагается в ряд где ψik -симметрические по любой паре переменных функции, имеющие вариационные производные по переменной v3, то является решением задачи (3.1), (3.2). Доказательство. Легко видеть, что условие (3.2) выполняется. Переменная v3 в уравнении (3.1) является параметром. Используя теорему 3.2, находим ∂ψ(v1I - ξχ(t0,t)A,v2 - iχ(t0,t),v3) = ∂t = -ξAδpψ(v1I - ξχ(t0,t)A,v2 - iχ(t0,t),v3) - iδpψ(v1I - ξχ(t0,t)A,v2 - iχ(t0,t),v3). δv1(t) δv2(t) Используя это равенство, находим производную по переменной t от функции Fz(y), определяемой формулой (3.9) Кроме того, а Подстановкой этих выражений в (3.1) убеждаемся, что (3.9) является решением уравнения (3.1). Замечание 3.2. Характеристический функционал ψ(v1,v2,v3) будет удовлетворять условию (3.8), если мы будем предполагать независимость случайных процессов ε1,ε2. 4. Математическое ожидание решения задачи (1.1), (1.2) Для нахождения среднего значения решения задачи (1.1), (1.2) нужно найти отображение y(t,z,v1,v2,v3). Это можно сделать, вычислив обратное преобразование Фурье Fξ-1 выражения (3.9). Поскольку преобразование Фурье от произведения равно свертке преобразований Фурье сомножителей [6, с. 154], то Здесь ∗ обозначает свертку по переменной z. Теорема 4.1. Если характеристический функционал ψ(v1,v2,v3) разлагается в степенной ряд вида (3.8), то является математическим ожиданием решения задачи (1.1), (1.2). Доказательство. Поскольку, то утверждение получается подстановкой v1 = 0,v2 = 0,v3 = 0 в (4.1). 5. Случай независимых случайных процессов ε1,ε2 и b Пусть случайные процессы ε1,ε2 и b независимы, тогда ψ(v1,v2,v3) = ψε1(v1)ψε2(v2)ψb(v3), где ψε1,ψε2,ψb - характеристические функционалы для ε1,ε2 и b, соответственно. Теорема 5.1. Если случайные процессы ε1,ε2 и b независимы, то является математическим ожиданием решения задачи (1.1), (1.2). Доказательство. Поскольку δpψ(-ξχ(s,t)A,-iχ(s,t),0) 1 - 2 - δpψb(0) δv3(s,z) = ψε ( ξχ(s,t)A)ψε ( iχ(s,t))δv3(s,z) = = iψε1(-ξχ(s,t)A)ψε2(-iχ(s,t))E[b(s,z)]. Тогда в силу теоремы 4.1 среднее значение E[y(t,z)] решения задачи (1.1), (1.2) имеет вид Замечание 5.1. Отметим, что для нахождения математического ожидания E[y(t,z)] нужно знать характеристические функционалы процессов ε1,ε2 и только математическое ожидание процесса b. 6. Частные случаи Рассмотрим задачу (1.1), (1.2) с гауссовскими случайными процессами ε1,ε2, заданные характеристическими функционалами , (6.1) где bk(s1,s2) = E[εk(s1)εk(s2)] - E[εk(s1)]E[εk(s2)],k = 1,2, - ковариационные функции случайных процессов ε1 и ε2, соответственно, и с независимым от ε1 и ε2 случайным процессом b. Используя определение функции χ(s,t), находим ; Подставим эти выражения в (5.1), получаем следующий результат. Теорема 6.1. Пусть в задаче (1.1), (1.2) случайные процессы ε1,ε2 заданы характеристическими функционалами (6.1) и не зависят от случайного процесса b, тогда является математическим ожиданием решения этой задачи. Пусть теперь независимые случайные процессы ε1,ε2, имеют равномерное распределение с характеристическими функционалами , (6.3) и независимы от случайного процесса b. Аналогично, используя определение функции χ(s,t), находим , Подставив эти выражения в (5.1), получаем следующий результат. Теорема 6.2. Пусть в задаче (1.1), (1.2) случайные процессы ε1,ε2 заданы характеристическими функционалами (6.3) и не зависят от случайного процесса b, тогда является математическим ожиданием решения этой задачи. Выражение обозначает сумму ряда . 7. Пример: модель обучения на микроуровне Рассмотрим пример, связанный с уравнением Фёрстера, - математическая модель функционирования системы высшего образования в России [4, 8]. Одной из частных ее составляющих является простейшая модель обучения на микроуровне (или эффективность обучения, например, в студенческой группе). Прежде чем перейти к рассмотрению изучаемого уравнения, рассмотрим процесс получения дифференциального уравнения, описывающего данную модель. Основные предпосылки модели следующие. Пусть некоторый профессиональный признак (квалификация) для каждого студента меняется по одинаковому закону , где x - степень квалификации студента; t - время; F(x) - функция, определяющая возможности студента менять свою квалификацию; H(t) - зависимость, характеризующая взаимодействие студента с обществом (интенсивность внешнего воздействия на студента, направленное на освоение учебных дисциплин). Пусть n(t,x) - число членов некоторой профессиональной группы, имеющих в данное время t квалификацию в пределах от x-dx до x+dx. Рассмотрим предельный случай «абсолютно доброго деканата», когда на протяжении всего времени обучения выбывание из профессиональной группы не происходит. Тогда выполняется закон сохранения = const. Для распределения студентов во времени и по квалификации имеем следующее равенство: dn ∂n ∂n dx = + = 0. dt ∂t ∂x dt Тогда для описания эволюции профессиональной группы получаем линейное уравнение вида . Другой предельный случай - «абсолютно злой деканат», установивший «квоту отлова». В этом случае предыдущее уравнение будет иметь вид Последнее уравнение связано с уравнением Фёрстера. Рассмотрим упрощенную модель обучения в студенческой группе двум учебным дисциплинам. Будем предполагать, что F(x) ≡ 0. Получаем систему дифференциальных уравнений вида (7.1) , где ni(t,x) - число студентов группы, имеющих в данный момент t квалификацию в пределах от x - dx до x + dx по i-й учебной дисциплине, i = 1,2; ε1(t) - случайный процесс, - матрица второго порядка; ε1(t)A - характеризует внешнее воздействие на студентов, направленное на освоение учебных дисциплин; ε2(t) - случайный процесс, характеризующий «квоту отлова» студентов. Система (7.1) по своему виду схожа с уравнением (1.1). Будем искать решения системы (7.1), удовлетворяющие условиям n1(0,x) = y1(x), (7.2) n2(0,x) = y2(x), где yk(x),k = 1,2, - случайные процессы, характеризующие начальное число студентов в группе с уровнем квалификации от x - dx до x + dx по k-й учебной дисциплине. Будем предполагать, что ε1,ε2 - случайные гауссовские процессы, заданные функционалами вида (6.1) , где E[ε1(t)] = m1 > 0, а ковариационная функция случайного процесса ε1 имеет вид b1(s1,s2) = e-α|s1-s2|; , где , а ковариационная функция случайного процесса ε2 имеет вид . Пусть матрица коэффициентов A имеет вид , а математическое ожидание начальных условий (7.2) определено как . Математическое ожидание решения задачи Коши (7.1), (7.2) будем искать по формуле (6.2) в предположении, что случайный процесс b(t,z) ≡ 0. Для нашей задачи формула принимает следующий вид: . Однако с вычислительной точки зрения удобнее использовать формулу вида: Проведем предварительные вычисления: ; 1); Найдем экспоненту полученной матрицы: ; Тогда Найдем обратное преобразование Фурье от последнего выражения и подставим полученный результат и значение из (7.4) в формулу (7.3). Окончательно получаем 8. Заключение Реальные динамические системы подвержены случайным возмущениям, которые можно учитывать в математических моделях, коэффициенты которых являются случайными процессами. В данной статье получены формулы для математического ожидания решения линейных систем дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных со случайными коэффициентами. Явные формулы математического ожидания решений дифференциальных уравнений позволят провести анализ качественного поведения системы. Для ее применения достаточно знать характеристические функционалы процессов ε1,ε2 и только математическое ожидание процесса b. Были рассмотрены наиболее распространенные варианты, когда ψε1 и ψε2 определяют гауссовы и равномерно распределенные случайные процессы ε1 и ε2, соответственно.

Об авторах

Л. Ю. Кабанцова

Воронежский государственный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: dlju@yandex.ru
Воронеж, Россия

Список литературы