О существовании и единственности положительного решения краевой задачи типа Штурма-Лиувилля для одного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения

Полный текст

1. Постановка задачи Вопросам разрешимости краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений посвящено немало работ, в частности, работы зарубежных математиков [5, 7, 8, 11-15]. В основном, в них рассмотрены вопросы существования положительного решения, его поведения и асмиптотики и др. Работ, посвященных получению условий, обеспечивающих единственность положительного решения краевых задач типа Штурма-Лиувилля для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка, немного; отметим, например, [1-4, 9]. Из цитируемых выше работ близкими по тематике данному исследованию являются статьи [4, 9], в которых рассмотрены нелинейные краевые задачи с аналогичными краевыми условиями. В [9] получены достаточные условия существования положительных решений нелинейной краевой задачи с тремя видами различных краевых условий с помощью теоремы Красносельского о неподвижной точке в конусе. В [4] с помощью метода линейных преобразований Ц. На установлены достаточные условия существования единственного положительного решения краевой задачи для одного нелинейного дифференциального уравнения четного порядка и, кроме того, предложен эффективный численный алгоритм построения такого решения. В данной статье авторами предпринята попытка обобщить упомянутые выше результаты и устранить соответствующие пробелы с помощью теоремы о неподвижной точке в частично упорядоченных множествах. В заключении приведен нетривиальный пример, иллюстрирующий полученные результаты. Рассмотрим краевую задачу , (1.1) (1.2) (1.3) где n ∈ N\{1}, функция f(t,u) неотрицательна, непрерывна на [0, 1] × [0,∞) и не убывает по второму аргументу. Определение 1.1. Под положительным решением задачи (1.1)-(1.3) будем понимать функцию , положительную в интервале (0,1), удовлетворяющую на указанном интервале уравнению (1.1) и граничным условиям (1.2), (1.3). Рассмотрим эквивалентное задаче (1.1)-(1.3) интегральное уравнение , (1.4) где , если . ⎪ Замечание 1.1. Несложно показать, что G(t,s) > 0, t,s ∈ (0,1). 2. Основные результаты В дальнейшем нам понадобятся следующие утверждения о неподвижной точке [6]. Теорема 2.1. Пусть -частично упорядоченное множество, и предположим, что существует метрика d в X такая, что (X,d) -полное метрическое пространство. Предположим, что X удовлетворяет следующему условию: Если xn неубывающая последовательность в X такая, что Пусть T : X → X -такое неубывающее отображение, что где ψ : [0,∞) → [0,∞) -непрерывная и неубывающая функция такая, что ψ положительна на (0,∞), ψ(0) = 0 и lim ψ(t) = ∞. Если существует такое, что, то оператор T имеет неподвижную точку. Более того, если удовлетворяет условию для любых x,y ∈ X существует z ∈ X, сравнимое с x и y, (2.2) то справедлива следующая теорема. Теорема 2.2. При выполнении условия (2.2), помимо условий теоремы 2.1, имеет место единственность неподвижной точки оператора T. В качестве X рассмотрим пространство C[0, 1] с метрикой . Более того, введем в этом пространстве частичный порядок следующим образом: . В [10] доказано, что с определенной выше метрикой удовлетворяет условию (2.1) теоремы 2.1. Кроме того, поскольку функция max(x,y) ∈ C[0, 1], x,y ∈ C[0, 1], множество удовлетворяет условию (2.2). ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТИПА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ Обозначим через F класс функций ψ : [0,∞) → [0,∞), обладающих свойствами, указанными в теореме 2.1, а через J, соответственно, класс непрерывных и неубывающих функций ϕ : [0,∞) → [0,∞), удовлетворяющих условию I - ϕ ∈ F, где I - тождественное отображение на [0,∞). Лемма 2.1.. Доказательство. Имеем . Несложно убедиться, что наибольшее значение функции h(t) = tn-1 - tn достигается в точке . Таким образом, . В дальнейшем для удобства выкладок положим. Теорема 2.3. Предположим, что существует число такое, что для всех x,y ∈ , где ϕ ∈ J. Тогда краевая задача (1.1)-(1.3) имеет единственное неотрицательное решение. Доказательство. Обозначим через K˜ конус неотрицательных функций пространства C[0, 1]. Очевидно, (K,d˜ ) с метрикой является полным метрическим пространством, удовлетворяющим условиям (2.1) и (2.2). Оператор A, определенный равенством , действует в пространстве неотрицательных непрерывных функций и оставляет инвариантным конус K.˜ Далее проверим выполнение условий теоремы 2.2. Вначале покажем монотонность оператора A. Действительно, в силу монотонности f по второму аргументу, для имеем . Докажем теперь, что A удовлетворяет стягивающему условию теоремы 2.1. Действительно, с учетом условий настоящей теоремы, для имеем Ввиду ϕ ∈ J с учетом условий данной теоремы и леммы 2.1 имеем . Положим ψ(x) = x - ϕ(x). Из ϕ ∈ J следует, что ψ ∈ F, и соответственно из последнего неравенства получим . Это доказывает, что A удовлетворяет стягивающему условию теоремы 2.1. Наконец, неотрицательность функций G(t,s) и f(t,x) дает нам , где 0 обозначает нулевую функцию. Следовательно, в силу теоремы 2.2 оператор A имеет единственную неотрицательную неподвижную точку, что равносильно существованию единственного неотрицательного решения краевой задачи (1.1)-(1.3). Приведем теперь достаточные условия существования и единственности положительного решения (см. определение 1.1) задачи (1.1)-(1.3). Теорема 2.4. При выполнении условий теоремы 2.3 и условия для некоторого t0 ∈ [0, 1] краевая задача (1.1)-(1.3) имеет единственное положительное решение. Доказательство. Докажем вначале, что неотрицательное решение x(t) задачи (1.1)-(1.3), существование которого гарантирует теорема 2.3, является положительным. Рассмотрим эквивалентное задаче (1.1)-(1.3) уравнение (1.4). Предположим, что существует число 0 < t∗ < 1 такое, что x(t∗) = 0. Тогда . В силу неотрицательности x(t), монотонности функции f(t,u) по второму аргументу и неотрицательности функции Грина получим . Таким образом, . Очевидно, последнее соотношение возможно, если G(t∗,s)f(s,0) = 0. ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТИПА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ Но, с другой стороны,. Следовательно, f(s,0) = 0. (2.3) В то же время, по условию теоремы , неотрицательность f(t,u), соответственно, влечет f(t0,0) > 0. Ввиду непрерывности f(t,u) можно указать подмножество Ω ⊂ [0, 1] с t0 ∈ Ω, μ(Ω) > 0, где μ- мера Лебега и f(t,0) > 0 для любого t ∈ Ω. Это противоречит (2.3). Поэтому x(t) > 0, t ∈ (0,1). Теперь приведем пример, иллюстрирующий полученные результаты. Рассмотрим следующую краевую задачу: , (2.4) (2.5) (2.6) где α,λ > 0. Здесь n = 2 и f(t,x) = α + λ√x. Легко видеть, что f(t,x) неотрицательна, непрерывна на [0, 1] × [0,∞) и не убывает по второму аргументу. Более того, положив ϕ(u) = √u, несложно убедиться, что f(t,u) удовлетворяет условиям теоремы 2.3. Таким образом, для u v справедливо . Докажем, что ϕ(u) = √u принадлежит J. Очевидно, ϕ : [0,∞√) → [0,∞) является непрерывной и неубывающей функцией. Кроме того, ψ(u) = u-ϕ(u) = u- u также непрерывна, не убывает и удовлетворяет условиям: ψ(u) > 0 при u > 0 и ψ(0) = 0. Следовательно, ϕ ∈ J. Наконец,. Таким образом, на основании теоремы 2.4 задача (2.4)-(2.6) имеет единственное положительное решение при

Об авторах

Г. Э. Абдурагимов

Дагестанский государственный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: gusen_e@mail.ru
Махачкала, Россия

П. Э. Абдурагимова

Дагестанский государственный университет

Email: abpatuka@mail.ru
Махачкала, Россия

М. М. Курамагомедова

Дагестанский государственный университет

Email: madina19.12@mail.ru
Махачкала, Россия

Список литературы