Интегро-дифференциальные уравнения в банаховых пространствах и аналитические разрешающие семейства операторов

Полный текст

Введение В последние десятилетия дробное интегро-дифференциальное исчисление все чаще используется при решении как теоретических, так и прикладных задач во многих областях математического моделирования [21, 25, 27, 28]. При этом регулярно появляются все новые конструкции дробных производных или просто интегро-дифференциальных операторов, представляющие собой композицию оператора дифференцирования целого порядка и оператора свертки [11, 14, 23], но не со степенной функцией, как при построении наиболее распространенных дробных производных Римана-Лиувилля и Герасимова-Капуто. В данной работе будет исследован класс уравнений с интегро-дифференциальным оператором типа Римана-Лиувилля (сначала действие оператором свертки, затем - дифференцирование) высокого порядка в банаховом пространстве, при этом будут рассматриваться операторы свертки с операторнозначной функцией ядра K. Это усложняет абстрактную задачу, но дает дополнительные возможности при приложении полученных результатов к конкретным уравнениям и системам уравнений, в частности, позволяет рассматривать системы уравнений, содержащие дробные производные различных порядков в рамках абстрактного интегро-дифференциального уравнения. Ранее авторы исследовали линейные уравнения в банаховых пространствах, разрешенные относительно интегро-дифференциального оператора типа Римана-Лиувилля и типа Герасимова- Капуто высокого порядка, с ограниченным оператором при искомой функции [17]. При некоторых условиях на операторнозначное ядро K была доказана однозначная разрешимость начальных задач для таких уравнений, а также для уравнений с вырожденным линейным оператором при интегро-дифференциальном операторе в случае относительной ограниченности пары операторов в таком уравнении. В данной работе с использованием техники преобразования Лапласа исследуются разрешенные относительно интегро-дифференциального оператора типа Римана- Лиувилля линейные уравнения в банаховых пространствах с неограниченным оператором при искомой функции. Для некоторого класса таких уравнений исследованы свойства разрешающих семейств операторов, доказана однозначная разрешимость задачи типа Коши, т. е. задачи с начальными условиями Коши для свертки искомой функции. Настоящая работа построена следующим образом. В первом разделе вводится понятие k-разрешающего семейства интегро-дифференциального уравнения порядка m ∈ N, исследуются свойства таких семейств и их соотношения при различных k ∈ {0, 1,... ,m - 1}. Второй раздел содержит доказательство теоремы о необходимых и достаточных условиях на преобразование Лапласа аналитической в секторе функции. В третьем разделе эти условия использованы для задания класса Am,K,χ линейных замкнутых операторов A, для которых при λ из некоторого сектора вида Sθ0,a0 := {μ ∈ C : | arg(μ - a0)| < θ0,μ ∗= a0}, θ0 ∈ (π/2, π], a0 ?: 0, существуют обрат- χ-m ные операторы (λmK (λ) - A)-1, нормы которых не превосходят величины C|λ| в Sθ ,a . До- 0 0 казана необходимость и достаточность (в случае коммутирования операторов K(s) и A) условия A ∈ Am,K,χ для существования аналитических в секторе k-разрешающих семейств однородного уравнения исследуемого вида. Этот результат, в частности, дает достаточные условия однозначной разрешимости задачи типа Коши для линейного однородного интегро-дифференциального уравнения. В следующем разделе при некоторых дополнительных условиях на ядро свертки доказана однозначная разрешимость задачи типа Коши для линейного неоднородного уравнения исследуемого вида с правой частью, непрерывной в норме графика оператора A или гельдеровой норме. Пятый раздел посвящен доказательству теоремы о возмущении операторов класса Am,K,χ, т. е. о достаточных условиях на аддитивное возмущение такого оператора, при котором возмущенный оператор также содержится в Am,K,χ. Полученные абстрактные результаты о разрешимости неоднородного уравнении и о возмущении операторов класса Am,K,χ в шестом разделе использованы для доказательства однозначной разрешимости начально-краевой задачи для системы уравнений с несколькими дробными производными Римана-Лиувилля различных порядков по времени, с самосопряженным эллиптическим оператором высокого порядка по пространственным переменным в каждом уравнении. В последнем разделе аналогичным образом исследовано уравнение с дробной производной Прабхакара по времени. 1. Разрешающие семейства интегро-дифференциальных уравнений Пусть Z - банахово пространство, L(Z) - банахова алгебра всех линейных ограниченных операторов на Z, Cl(Z) - множество всех линейных замкнутых операторов, плотно определенных в пространстве Z, A ∈ Cl(Z), область определения DA оператора A снабжена нормой графика l· lDA = l· lZ + lA · lZ , R+ = {a ∈ R : a > 0}, R+ := {0}∪ R+, K ∈ C(R+; L(Z)). Определим 168 В. Е. ФЕДОРОВ, А. Д. ГОДОВА оператор свертки t r (JKz)(t) := 0 K(t - s)z(s)ds и интегро-дифференциальный оператор типа Римана-Лиувилля t r (Dm,K z)(t) := Dm(JKz)(t) := Dm 0 где Dm - производная целого порядка m ∈ N. tm-α-1 K(t - s)z(s)ds, Замечание 1.1. При K(t) = Γ(m - α) I интегро-дифференциальный оператор типа Римана- Лиувилля является производной Римана-Лиувилля Dα порядка α ∈ (m - 1, m], m ∈ N. Рассмотрим начальную задачу (Dk,Kz)(0) = zk ∈ Z, k = 0, 1,... ,m - 1, (1.1) для уравнения (Dm,K z)(t) = Az(t), t > 0. (1.2) Решением задачи (1.1), (1.2) называется такая функция z ∈ C(R+; DA), что JKz ∈ Cm-1(R+; Z)∩ Cm(R+; Z), выполняются условия (1.1) и равенство (1.2) при t ∈ R+. Замечание 1.2. По аналогии с тем, как задача Коши для дробного интеграла Римана- Лиувилля от неизвестной функции (т. е. для ее свертки со степенной функцией) при исследовании уравнений с производной Римана-Лиувилля называется задачей типа Коши [21], задачу Коши для абстрактной свертки искомой функции (1.1) будем также называть задачей типа Коши. Для функции h : R+ → Z обозначим преобразование Лапласа через h или через L[h], если выражение для h слишком длинное. Обратное преобразование Лапласа для функции H(λ) будем обозначать L-1[H]. Сформулируем следующее условие. (K ) Пусть при некоторых θK ∈ (π/2, π), aK ?: 0 существует однозначная аналитическая функция K : SθK,aK := {μ ∈ C : | arg(μ - aK )| < θK, μ ∗= aK } → L(Z) - преобразование Лапласа для K ∈ C(R+; L(Z)). Определение 1.1. При k ∈ {0, 1,... , m-1} множество операторов {Sk (t) ∈ L(Z) : t ∈ R+} называется семейством k-разрешающих операторов уравнения (1.2), если выполняются следующие условия: 1. Sk (·) сильно непрерывно на R+; 2. для всех t ∈ R+ Sk(t)[DA] ⊂ DA, Sk(t)Az0 = ASk(t)z0 при каждом z0 ∈ DA; 3. для любого zk ∈ DA функция Sk(t)zk является решениемзадачи Dk,Kz(0) = zk, Dl,Kz(0) = 0, l ∈ {0, 1,... ,m - 1}\ {k}, для уравнения (1.2). Лемма 1.1. Пусть K ∈ C(R+; L(Z)) удовлетворяет условию (K ), при некотором k ∈ {0, 1,... ,m - 1} существует k-разрешающее семейство операторов {Sk(t) ∈ L(Z) : t > 0} уравat β нения (1.2) такое, что при всех t > 0 lSk (t)lL(Z) Ce t Тогда при Reλ > a имеем (λmK (λ) - A)-1 ∈ L(Z), при некоторых C > 0, a ∈ R, β > -1. S k(λ) = λm-1-k (λmK (λ) - A)-1, (1.3) и k-разрешающее семейство уравнения (1.2) единственно. Доказательство. В силу свойств преобразования Лапласа, пунктов (ii) и (iii) определения 1.1 при любых zk ∈ DA, Reλ > a λmK (λ)S k (λ)zk - λm-1-kzk = AS k (λ)zk = S k(λ)Azk . Поэтому оператор λmK (λ) - A : DA →Z обратим и выполняется равенство (1.3). Поскольку S k (λ) ∈ L(Z) при Reλ > a, имеем (λmK (λ)- A)-1 ∈ L(Z). Из (1.3) и единственности обратного преобразования Лапласа следует единственность k-разрешающего семейства операторов уравнения (1.2). ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 169 Лемма 1.2. Пусть K ∈ C(R+; L(Z)) удовлетворяет условию (K ), существует 0-разрешающее семейство {S0(t) ∈ L(Z) : t > 0} уравнения (1.2) такое, что при всех t > 0 lS0(t)lL(Z) Ceattβ при некоторых C > 0, a ∈ R, β > -1. Тогда при любом k ∈ {0, 1,... ,m - 1} существует единственное k-разрешающее семейство {Sk (t) ∈ L(Z) : t > 0}. При этом для всех t > 0 L(Z) Sk (t) ≡ JkS0(t) и lSk (t)l Ck emax{a,0}ttβ+k при некотором Ck > 0. Доказательство. Поскольку β > -1, определим при k = 1, 2,... ,m - 1 семейства {Sk (t) := Jk S0(t) ∈ L(Z) : t > 0}. По построению они удовлетворяют условию (i) определения 1.1. При x ∈ DA, t > 0 t r Jk S0(t)Ax = 0 (t - s)k-1 Γ(k) S0(s)Axds = AJ k S0(t)x, так как {S0(t) ∈ L(Z) : t > 0} удовлетворяет условию (ii) определения 1.1, а оператор A замкнут. Поэтому условие (ii) выполняется и для {Sk (t) ∈ L(Z) : t > 0}, k = 1, 2,... ,m - 1. При всех t > 0 t r (t - s)k-1 as β Cemax{a,0}ttβ+kB(k, β + 1) lSk (t)lL(Z) C 0 e Γ(k) s ds = Γ(k) Cemax{a,0}ttβ+k Γ(β + 1) = Γ(β + k + 1) = Ckemax{a,0}ttβ+k . При zk ∈ DA умножим равенство λmK (λ)S 0(λ)zk - λm-1zk = AS 0(λ)zk , следующее из условия (iii) определения 0-разрешающего семейства операторов, на λ-k и, принимая во внимание коммутирование операторов свертки JK и Jk, получимравенство λmL[JkJKS0](λ)zk -λm-1-kzk = λmL[JKJk S0](λ)zk -λm-1-kzk = AJ---k S0(λ)zk, т. е. λmK (λ)S k (λ)zk -λm-1-kzk = AS k (λ)zk. Последнее равенство в силу леммы 1.1 и единственности обратного преобразования Лапласа означает, что {Sk (t) ∈ L(Z) : t > 0} - k-разрешающее семейство (1.2). Следствие 1.1. Пусть K ∈ C(R+; L(Z)) удовлетворяет условию (K ), существует 0-разрешающее семейство {S0(t) ∈ L(Z) : t > 0} уравнения (1.2) такое, что при всех t > 0 lS0(t)lL(Z) Ceattβ при некоторых C > 0, a ∈ R, β > -1. Тогда для k ∈ {0, 1,... ,m - 1} k-разрешающее семейство {Sk(t) ∈ L(Z) : t > 0} удовлетворяет равенствам Dl,KSk(t) = D0,KSk -l(t), t > 0, l = 0, 1,... , k. Доказательство. При доказательстве леммы 1.2 было показано, что при k ∈ {0, 1,... ,m - 1} Sk (t) = JkS0(t), JKSk(t) = Jk JKS0(t). Отсюда следует, что для l = 0, 1,... ,k Dl,KSk(t) := DlJKSk(t) = DlJkJKS0(t) = Jk-lJKS0(t) = JKSk - l(t) = D0,KS k-l (t). Теорема 1.1. Пусть K ∈ C(R+; L(Z)) удовлетворяет условию (K ); для всех t > 0 aK t lK(t)lL(Z) CKe при некоторых CK > 0, aK ∈ R; существуют обратные операторы n=1 K (λn)-1 ∈ L(Z) при таких {λn}∞ ⊂ C, что lim n→∞ Reλn = +∞; существует 0-разрешающее семейство операторов {S0(t) ∈ L(Z) : t > 0} уравнения (1.2), такое, что для всех t > 0 at β K lS0(t)lL(Z) Ce t при некоторых C > 0, a ∈ R, β > -1. Если предел lim J t→0+ S0(t) = I существует в норме L(Z), то A ∈ L(Z). Обратное верно при дополнительных условиях: K (λ) определены и непрерывно обратимы при λ ∈ ΩR0 := {μ ∈ C : |μ| > R0, arg μ ∈ (-π, π)}, при этом χ ∃c > 0 ∃χ > -m ∀λ ∈ ΩR0 lK (λ)lL(Z) ?: c|λ| Доказательство. В силу леммы 1.1 при Reλ > a r∞ . (1.4) e-λt(J KS0(t) - I)dt = λm-1K (λ)(λmK (λ) - A)-1 - λ-1I. 0 170 В. Е. ФЕДОРОВ, А. Д. ГОДОВА L(Z) Пусть функция η(t) := lJKS0(t) - Il непрерывна на отрезке [0, 1] и η(0) = 0. Для ε > 0 возьмем такое δ > 0, что η(t) ε при всех t ∈ [0, δ], тогда δ ∞ I Iλm-1 m I -1 -1 I r -λt r -λt ε 1 I K(λ)(λ I K(λ) - A) - λ I e L(Z) 0 η(t)dt + e δ η(t)dt λ + o λ при Reλ → +∞, так как L(Z) lJKS0(t)l t r CCK 0 eaK (t-s)eassβ ds C1ea1 t при некоторых C1 > 0, a1 ∈ R и поэтому η(t) C1ea1 t +1 для t ?: 0. Следовательно, при достаточно больших Reλ > a IλmK (λ)(λmK (λ) - A)-1 - II < 1 и оператор K (λ)(λmK (λ) - A)-1 I I I IL(Z) n непрерывно обратим. С учетом непрерывной обратимости оператора K (λn) при достаточно большом n ∈ N получим, что λmK(λn) - A ∈ L(Z), а значит, и A ∈ L(Z). L(Z) Пусть A ∈ L(Z), R > max{R0, 2(c-1lAl )1/(m+χ)}, ΓR := Γ 1,R ∪ Γ2,R ∪ Γ3,R , где Γ 1,R := {Reiϕ : ϕ ∈ (-π, π)}, Γ2,R := {reiπ : r ∈ [R, ∞)}, Γ3,R := {re-iπ : r ∈ [R, ∞)}. При t > 0 получаем JKS0(t) = 1 r 2πi ΓR λm-1K (λ)(λmK (λ) - A)-1eλtdλ = I + 1 r 2πi ΓR λ-1A(λmK (λ) - A)-1eλtdλ = = I + 1 r 2πi ΓR ∞ 1 ' λ-ml(AK(λ)-1)leλtdλ. λ l=1 L(Z) В силу условия (1.4) выполнено lK (λ)-1l 0 c-1|λ|-χ при всех λ ∈ ΩR . При малых t > 0 возьмем R = 1/t и получим 3 ∞ r A -1 l l l ( )lK (λ) l ( )|dλ| L(Z) lJKS0(t) - Il C1 ' ' l k=1 l=1Γk,R L Z L Z λ ml+1 | | ∞ C2 ' l=1 при t → 0+, так как m + χ > 0. L(Z) (c-1lAl )l R(m+χ)l C3t m+χ Замечание 1.3. Результат, аналогичный теореме 1.1, хорошо известен для разрешающих полугрупп операторов уравнений 1-го порядка (см., например, [22]). Для разрешающих семейств операторов уравнения с производной Герасимова-Капуто подобный результат был доказан в работе [12], для других типов уравнений с дробными производными - в работах [8, 13, 16, 18-20, 26]. 2. Преобразование Лапласа аналитической в секторе функции Теорема 2.1. Пусть θ0 ∈ (π/2, π], a0 ∈ R, β > -1, X - банахово пространство, задано отображение H : (a, ∞) → X . Тогда следующие утверждения эквивалентны. 1. Существует аналитическая функция F : Σθ0-π/2 → X , для которой при любом θ ∈ (π/2, θ0) существует такое c(θ) > 0, что при всех t ∈ Σθ-π/2 выполняется неравенство lF (t)lX | c(θ)|t β ea0 Re t ; F (λ) = H(λ) при λ > a0. 2. Отображение H аналитически продолжимо на Sθ0 ,a0 ; при каждом θ ∈ (π/2, θ0) существу- 1-β ет такое C(θ) > 0, что для всех λ ∈ Sθ,a0 lH(λ)lX C(θ)|λ - a0|- . ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 171 ± Доказательство. Пусть справедливо утверждение (i), π/2 < θ < θ0 π, δ > 0, γδ = (0, δ] ∪ {δ + re±i(θ-π/2) : r ∈ (0, ∞)}. По теореме Коши при всех λ > a0 r∞ F (λ) = 0 δ r r F (t)e-λtdt = γδ ± r∞ F (τ )e-λτ dτ = = F (t)e-λtdt + e±i(θ-π/2) 0 0 F (δ + re±i(θ-π/2))e-λ(δ+re±i(θ-π/2) )dr. Устремим δ → 0+, тогда F (λ) = e±i(θ-π/2) r∞ F (re±i(θ-π/2))e-λre± 0 ± i(θ-π/2) dr := H (λ), поскольку lF (δ + re±i(θ-π/2))e-λ(δ+re± i(θ-π/2) ) lX c(θ)c1rβ e(a0 -λ)r cos(θ-π/2) при δ ∈ [0, 1], I δ I Ir I I I I F (t)e-λtdtI I I I0 IX c2δ1+β → 0 при δ → 0+ . Возьмем такие ε ∈ (0, θ0 - π/2) и λ ∈ C, что arg(λ - a0) ∈ (-θ + ε, π - θ - ε); тогда выполняется включение arg((λ - a0)ei(θ-π/2)) ∈ (-π/2 + ε, π/2 - ε), следовательно, справедливы неравенства i(θ-π/2) Re((λ - a0)ei(θ-π/2)) ?: |λ - a0| sin ε, lF (rei(θ-π/2))e-λre X l c(θ)rβe-r|λ-a0 | sin ε. Поэтому интеграл H+(λ) абсолютно сходится и определяет аналитическую функцию в секторе {λ ∈ C : arg(λ - a0) ∈ (-θ + ε, π - θ - ε), λ ∗= a0}, в котором r λ a0 sin ε ∞ β r c(θ) sin-β-1ε Γ(1 + β) - | - | C(θ) lH+(λ)lX c(θ) r e 0 dr = 1+β := |λ - a0| 1+β . |λ - a0| Аналогично может быть показано, что H-(λ) определяет аналитическую функцию в секторе {λ ∈ C : arg(λ - a0) ∈ (-π + θ + ε, θ - ε), λ ∗= a0}, в котором выполняется неравенство lH-(λ)lX - C(θ)|λ-a0|-β-1. Так как H+ и H являются аналитическими продолжениями функции F , определенной на (a0, +∞), по теореме об аналитическом продолжении они определяют аналитическую β-1 функцию H на Sθ-ε,a0 , удовлетворяющую неравенству lH(λ)lX C(θ)|λ - a0|- θ ∈ (π/2, θ0) и ε ∈ (0, θ0 - π/2) произвольны, утверждение (ii) выполняется. . Так как iθ Пусть выполняется утверждение (ii). Возьмем θ ∈ (π/2, θ0), δ > 0 и ориентированный контур Γ = Γ- ∪ Γ0 ∪ Γ+, где Γ± := {a0 + re± : r ∈ [δ, ∞)}, Γ0 := {a0 + δeiϕ : ϕ ∈ (-θ, θ)}. При o ∈ (0,θ - π/2), t ∈ Σθ-π/2-ε, λ ∈ Γ± имеем Re(λt) = a0Re t + r|t| cos(arg t ± θ) a0Re t - r|t| sin ε. X Поэтому lH(λ)eλtl C(θ)r-β-1ea0 Re te-r|t| sin ε, интеграл F (t) := 1 r 2πi Γ H(λ)eλtdλ абсолютно сходится, равномерно на компактных подмножествах множества Σθ0-π/2. Следовательно, интеграл определяет аналитическую функцию в секторе Σθ0-π/2. 1- Возьмем θ1 ∈ (π/2, θ0), θ = (θ0 + θ1)/2, ε = θ - θ1 = (θ0 - θ1)/2, t ∈ Σθ π/2, δ = |t|-1, тогда θ I 1 r I I H(λ)eλt I I I dλI I | | C(θ) t β ea0 Ret r ecos(arg t+ϕ) | dϕ C(θ)|t β e1+a0 Ret, I 2πi Γ0 I I 1 r I IX I I λt I 2π -θ C(θ)ea0 Ret r∞ β 1 r t sin ε I I 2πi Γ± H(λ)e dλI IX r- 2π 1/|t| - e- | | dr 172 В. Е. ФЕДОРОВ, А. Д. ГОДОВА | ∞ C(θ)ea0 Ret|t 1+β r r t sin ε ) 2 C( θ0+θ1 β a Ret 2π β a0 Ret 1/|t| e- | | 2π sin | | dr = t e 0 , θ0-θ1 2 поэтому lF (t)lX c(θ1)|t| e при всех t ∈ Σθ1-π/2. По теореме Фубини и теореме о вычетах при λ > a0 ⎛ ⎞ 1 r H(μ)dμ r H(μ)dμ r H(μ)dμ r H(μ)dμ F (λ) = 2πi = H(λ) - lim ⎜ - Γ λ - μ - ⎟ , R→∞ ⎝ Γ 0 R λ - μ λ - μ Γ + R λ - μ ⎠ Γ - R R где Γ0 R := {a0 + Reiϕ : ϕ ∈ (-θ, θ)}, Γ± := {a0 + re±iθ : r ∈ [R, ∞)}. При этом I I θ I r H(μ)dμ I r I I I I R-β C(θ)dϕ → 0, Γ0 X I λ - μ I R I I r∞ |a0 + Reiϕ - λ| -θ r∞ I r H(μ)dμ I I I I I r-β-1C(θ)dr C1 r-β -2dr → 0, I I λ - μ Γ ± X R |a0 + re±iθ - λ| R R при R → ∞, поскольку β > -1. Таким образом, F ≡ H. Замечание 2.1. Понятно, что из условия (ii) следует, что при всех θ ∈ (π/2, θ0), ε > 0 су- 1-β ществует такое C1(θ) > 0, что для всех λ ∈ Sθ,a0+ε lH(λ)lX C1(θ)|λ|- 1-β . Обратно, из неравенства lH(λ)lX C1(θ)|λ|- 1-β в Sθ,a0 при каждом θ ∈ (π/2, θ0) следует неравенство lH(λ)lX C(θ)|λ - a0|- в том же секторе Sθ,a0 Замечание 2.2. При a0 = β = 0 это утверждение совпадает с теоремой 0.1 из [24], при θ0 = π/2, β > 0 - с теоремой 2.6.1 из [10]. При β ∈ (-1, 0) такая теорема была доказана в работе [16]. 3. Аналитические разрешающие семейства β k-Разрешающее семейство операторов при k ∈ {0, 1,... ,m - 1} называется аналитическим, если оно имеет аналитическое продолжение в сектор Σψ0 при некотором ψ0 ∈ (0, π/2]. Аналитическое k-разрешающее семейство операторов {Sk (t) ∈ L(Z) : t > 0} имеет тип (ψ0, a0, β) при некоторых ψ0 ∈ (0, π/2], a0 ∈ R, β > -1, если для любого ψ ∈ (0, ψ0) существует такое c(ψ), что L(Z) при всех t ∈ Σψ выполняется неравенство lSk (t)l c(ψ)ea0 Re t |t| . Определение 3.1. Пусть m ∈ N,K ∈ C(R+; L(Z)) удовлетворяет условию (K ), θ0 ∈ (π/2, θK ], a0 ?: aK ?: 0, χ < 1. Через Am,K,χ(θ0, a0) обозначим класс операторов A ∈ Cl(Z), для которых выполняются следующие условия: m 1. для любого λ ∈ Sθ0,a0 существует оператор (λ K (λ) - A)-1 ∈ L(Z); 2. для любого θ ∈ (π/2, θ0) найдется такое C = C(θ) > 0, что m ∀λ ∈ Sθ,a0 l(λ K (λ) - A)-1 lL(Z) C(θ) | |λ m-χ . Иногда для удобства будем сокращать обозначение класса операторов Am,K,χ(θ0, a0) до Am,K,χ, когда значения параметров θ0 и a0 не играют роли. Лемма 3.1. Пусть A ∈ L(Z), K ∈ C(R+; L(Z)) удовлетворяет условию (K ) и существует χ такое c > 0, что при всех λ ∈ SθK,aK lK (λ)lL(Z) ?: c|λ|- Доказательство. Действительно, . Тогда Am,K,χ(θ0, a0). -1 L(Z) l(λmK (λ) - A)-1l L(Z) = lλ-mK (λ)-1(I - λ-mAK (λ)-1)-1l 2c m-χ |λ| при достаточно больших |λ|, т. е. при выборе достаточно большого a0 > 0. ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 173 Замечание 3.1. Подробно задача (1.1), (1.2) с ограниченным оператором A исследована в работе [17]. Лемма 3.2. Пусть K ∈ C(R+; L(Z)) удовлетворяет условию (K ), A ∈ Am,K,χ(θ0, a0), γ ∈ R, 1 r Zγ (t) = 2πi Γ μm-1-γ (λm K (λ) - A)-1 eμt dμ, t ∈ R+, iθ Γ = Γ+ ∪Γ- ∪Γ0, Γ± = {μ ∈ C : μ = a0 + re± , r ∈ [δ, ∞)}, Γ0 = {μ ∈ C : μ = a0 + δeiϕ , ϕ ∈ (-θ, θ)} при некоторых δ > 0, θ ∈ (π/2, θ0). Тогда Zγ допускает аналитическое продолжение в сектор Σθ0 -π/2 и при всех θ ∈ (π/2, θ0) существует такое Cγ = Cγ (θ), что для всех t ∈ Σθ-π/2 a0 Ret lZγ (t)lL(Z) Cγ (θ)e (|t|-1 a0 Ret + a0)χ-γ γ-χ , γ χ - 1, (3.1) При этом lZγ (t)lL(Z) Cγ (θ)e dk |t| , γ > χ - 1. (3.2) dtk Zγ = Zγ-k, k ∈ N, (3.3) lim t→0+ Zγ (t) = 0 при γ > χ. (3.4) Доказательство. Для ε ∈ (0,θ - π/2), t ∈ Σθ-π/2-ε, μ ∈ Γ± имеем Re(μt) = a0Ret + r|t| cos(arg t ± θ) a0Ret - r|t| sin ε, а в случае μ ∈ Γ0 Re(μt) = a0Ret + δ|t| cos(arg t ± ϕ), поэтому в силу определения 3.1 при γ χ - 1 θ Cea0 Ret r∞ χ-γ-1 -r|t| sin ε 0 Cea0 Retδ(δ + a )χ-γ-1 r δ|t| cos(arg t±ϕ) lZγ (t)lL(Z) π (r + a0) e δ dr + e 2π -θ dϕ Cea0 Ret r∞ χ-γ-1 -r|t| sin ε 0 Ceδ|t|+a0 Ret(δ + a )χ-γθ π (r + a0) e δ dr + . π При γ > χ - 1 аналогичная оценка будет иметь следующий вид: Cea0 Retcχ-γ-1 r∞ χ-γ-1 Ce c δ θ δ|t|+a0 Ret χ-γ-1 χ-γ -r|t| sin ε lZγ (t)lL(Z) π r e δ dr + . π При этом использовано неравенство |μ| ?: c|μ - a0|, очевидно справедливое при некотором c = c(θ) > 0 для всех μ ∈ Γ. Таким образом, при любом γ ∈ R соответствующий интеграл сходится равномерно на любом компактном подмножестве сектора Σθ-π/2, а значит, определяет в нем аналитическую функцию переменной t. Отсюда сразу следуют равенства (3.3). Возьмем δ = |t|-1, тогда при γ χ - 1 I I 1 r I I 1+a0 Ret -1 χ-γ I I I 2πi I Γ0 I μm-1-γ (λmK (λ) - A)-1eμtdμI Ce I I L(Z) (|t| π + a0) θ , I I 1 r I I m-1-γ m I I I -1 μt I Cea0 Ret ∞ -1 r |t| -1 χ-γ-1 -r sin ε I μ I 2πi I Γ± I (λ K (λ) - A) e dμ I 2π IL(Z) r∞ (r|t| 1 + a0) e dr Cea0 Ret(|t|-1 + a0)χ-γ χ γ 1 r sin ε 2π r - - e- 1 dr. Таким образом, выполняется неравенство (3.1) при r∞ Cγ (θ - ε) = C(θ)θe + π C(θ) π 1 rχ-γ-1 e-r sin ε dr. 174 В. Е. ФЕДОРОВ, А. Д. ГОДОВА Переобозначим θ1 = θ - ε ∈ (π/2, θ0), выберем ε = к обозначению θ := θ1, получим θ0 - θ1 , тогда θ = θ + ε = 2 1 r∞ θ0 + θ1 . Вернувшись 2 C( θ0 +θ )(θ0 + θ)e C( θ0 +θ ) Cγ (θ) = 2 + 2 rχ-γ-1e-r sin εdr. 2π π 1 При δ = |t|-1, γ > χ - 1 получим неравенства I I I 1 r I 1+a0 Ret χ-γ-1 γ-χ I I I 2πi I Γ0 I μm-1-γ (λmK (λ) - A)-1eμtdμI I I Ce L(Z) c |t| θ , π I I 1 r μ I I m-1-γ I (λm K (λ) - A)-1 eμt I I I dμI I Cea0 Ret cχ-γ-1 |t| γ-χ r∞ rχ-γ-1 e-r sin ε dr, I 2πi I Γ± I 2π IL(Z) 1 из которых следует неравенство (3.2) при C(θ)c(θ)χ-γ-1θe C(θ)c(θ)χ-γ-1 r∞ χ-γ-1 -r sin ε Cγ (θ - ε) = + r e π π 1 dr. Рассуждая, как в конце предыдущего раздела, получим r∞ C( θ0+θ )c( θ0 +θ )χ-γ-1(θ0 + θ)e C( θ0 +θ )c( θ0 +θ )χ-γ-1 Cγ (θ) = 2 2 + 2 2 rχ-γ-1e-r sin εdr. 2π π 1 Из (3.2) следуют равенства (3.4). Теорема 3.1. Пусть m ∈ N, K ∈ C(R+; L(Z)) удовлетворяет условию (K ). 3. Если при некотором k ∈ {0, 1,... ,m - 1} существует аналитическое k-разрешающее семейство операторов типа (θ0 - π/2, a0, -χ + k) для уравнения (1.2), то A ∈ Am,K,χ(θ0, a0). 4. Если A ∈ Am,K,χ(θ0, a0), для любых t > 0, x ∈ DA K(t)Ax = AK(t)x, то при каждом k = 0, 1,... ,m - 1 существует единственное аналитическое k-разрешающее семейство операторов {Sk (t) ∈ L(Z) : t > 0} типа (θ0 - π/2, max{a0, 0}, -χ + k) уравнения (1.2). При этом Sk ≡ Zk ≡ Jk Z0, k = 0, 1,... ,m - 1. Доказательство. Утверждение (i) сразу следует из леммы 1.1 и теоремы 2.1. Если A ∈ Am,K,χ(θ0, a0), то в силу леммы 1.1 и теоремы 2.1 при X = L(Z) семейство операторов {Zl (t) ∈ L(Z) : t > 0} при l = 0, 1,... ,m - 1 аналитично и имеет тип (θ0 - π/2, a0,l - χ). Отсюда следует условие (i) определения 1.1. Из коммутирования операторов K(t) и A при всех t > 0 следует коммутирование K (λ) и A, а значит, и коммутирование операторов A и (λmK (λ) - A)-1. Учитывая вид Zl(t), получаем условие (ii) определения 1.1. Поскольку при l = 0, 1,... ,m - 1 J---K Zl(t) = k = 0, 1,... ,m - 1 K (λ)λm-1-l (λmK (λ) - A)-1, то при zl ∈ DA, Dk JKZl(t)zl = 1 r 2πi Γ λm-1-l+k K (λ)(λmK (λ) - A)-1eλtdλzl = 1 r = 2πi Γ λk-1-leλtdλzl + 1 r 2πi Γ λk-1-l(λmK (λ) - A)-1eλtdλAzl, L(Z) lλk-1-l(λmK (λ) - A)-1l C1 |λ| m-χ-k+1+l , m - χ - k +1+ l ?: 2 - χ > 1, поэтому Dk,KZl(0)zl = 0, k ∈ {0, 1,... ,m - 1}\ {l}, Dl,KZl(0)zl = zl. Кроме того, при t > 0 1 r DmJKZl(t)zl = Dm 2πi Γ λm-1-lK (λ)(λmK (λ) - A)-1eλtzl dλ = ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 175 1 r = 2πi Γ λ2m-1-l K (λ)(λmK (λ) - A)-1eλtzldλ = AZl(t)zl , так как m - 1 - l ?: 0. Таким образом, {Zl ∈ L(Z) : t > 0} - l-разрешающее семейство уравнения (1.2). По лемме 1.2 получаем требуемое. Замечание 3.2. Аналогичное теореме 3.1 утверждение для уравнений первого порядка называется теоремой Соломяка-Иосиды о порождении аналитических полугрупп операторов [2, 4, 5, 9]. Эта теорема была обобщена на случай эволюционных интегральных уравнений [24], уравнений с дробной производной Герасимова-Капуто [12], Римана-Лиувилля [1, 7], Джрбашяна- Нерсесяна [19], с распределенными производными [8, 16, 26], для уравнений с несколькими дробными производными [13, 20]. Следствие 3.1. Пусть m ∈ N, функция ядра K ∈ C(R+; L(Z)) удовлетворяет условию (K ), A ∈ Am,K,χ(θ0, a0), для любых t > 0, x ∈ DA K(t)Ax = AK(t)x. Тогда для любых z0, z1,... , zm-1 ∈ DA функция m-1 z(t) = ' Zk (t)zk k=0 является единственным решением задачи (1.1), (1.2). Это решение аналитично в Σθ0-π/2. Доказательство. После теоремы 3.1 остается доказать единственность решения. Если существует два решения y1, y2 задачи (1.1), (1.2), то их разность y = y1 - y2 является решением уравнения (1.2), удовлетворяющим начальным условиям Dk,Ky(0) = 0, k = 0, 1,... ,m - 1. (3.5) Переопределим y на (T, ∞) при некотором T > 0 нулем. Полученная функция yT удовлетворяет уравнению (1.2) на положительной полуоси, кроме, возможно, точки T. Подействуем преобразованием Лапласа на обе части уравнения (1.2), учитывая условия (3.5), и получим равенство yT λmK (λ) yT (λ) = A (λ). Так как существует ограниченный оператор (λmK (λ)-A)-1 при каждом λ ∈ Sθ0,a0 T , имеем y (λ) = (λmK (λ) - A)-10 ≡ 0. Поэтому yT ≡ 0. В силу произвольности T > 0 получаем y ≡ 0 на R+, и решение задачи (1.1), (1.2) единственно. 4. Задача типа Коши для неоднородного уравнения Рассмотрим уравнение Dm,K z(t) = Az(t)+ f (t), t ∈ (0,T ], (4.1) где f ∈ C([0,T ]; Z). Функция z ∈ C((0,T ]; DA) называется решением задачи типа Коши Dk,Kz(0) = zk, k = 0, 1,... ,m - 1, (4.2) для уравнения (4.1), если JKz ∈ Cm-1([0,T ]; Z) ∩ Cm((0,T ]; Z), равенство (4.1) справедливо при всех t ∈ (0,T ] и выполняются условия (4.2). Лемма 4.1. Пусть m ∈ N, K ∈ C(R+; L(Z)) удовлетворяет условию (K ), A ∈ Am,K,χ(θ0, a0), для любых t > 0, x ∈ DA выполнено K(t)Ax = AK(t)x, tβ K(t) ∈ C([0,T ]; L(Z)) при некотором β < 2 - χ, f ∈ C([0,T ]; DA ). Тогда функция t r zf (t) = 0 является единственным решением задачи Zm-1(t - s)f (s)ds (4.3) для уравнения (4.1). Dk,Kz(0) = 0, k = 0, 1,... ,m - 1, (4.4) 176 В. Е. ФЕДОРОВ, А. Д. ГОДОВА Доказательство. В силу коммутирования операторов K(t) и A, а значит, и операторов (λmK (λ)- A)-1 и A, а также с учетом замкнутости оператора A и условия f ∈ C([0,T ]; DA) сходится интеграл t t r r AZm-1(t - s)f (s)ds = 0 0 Zm-1(t - s)Af (s)ds. Действительно, с учетом теоремы 3.1 I t I Ir I I I I Zm-1(t - s)Af (s)dsI Ce| a|t lf lC([0,T ];DA) tβ+1 , I I I0 IZ β +1 поэтому zf (t) ∈ DA и Azf (t) = zAf (t) при t > 0. - Известно, что DkZm t r 1(0) = 0 при всех k = 0, 1,... ,m - 2, поэтому t r Dkzf (t) = 0 - DkZm 1(t - s)f (s)ds = 0 Zm-1-k (t - s)f (s)ds, k = 0, 1,... ,m - 1, и в силу леммы 3.2 t r Z lDkzf (t)l Cm-1-k Z e|a|T lf lC([0,T ]; ) 0 Z (t - s)-χ+m-1-k ds = clf lC([0,T ]; ) tm-k-χ → 0 (4.5) при t → 0+ для k = 0, 1,... ,m - 1, так как χ < 1. Далее, при k = 0, 1,... ,m t r Dk,Kzf (t) = Dk 0 t r K(s)zf (t - s)ds = 0 K(s)Dkzf (t - s)ds = JKDkzf (t), в силу неравенства (4.5) для k = 0, 1,... ,m - 1 t t r r Z lDk,Kzf (t)l 0 lK(s)lL(Z) lDkzf (t - s)lZ ds Clf lC([0,T ];Z) 0 (t - s)m-k-χs-β ds Clf lC([0,T ];Z)t m-k+1-χ-β B(m - k +1 - χ, 1 - β) C1t 2-χ-β → 0 при t → 0+, поскольку β < 2 - χ. Поэтому D---m,K zf = λmK (λ)zf (λ) = λmK (λ)(λmK (λ) - A)-1f (λ) = f (λ)+ A(λmK (λ) - A)-1f (λ). Отсюда с учетом замкнутости A получаем Dm,K zf (t) - f (t) = L-1[A(λmK (λ) - A)-1f (λ)] = Azf (t). Единственность доказывается так же, как для однородного уравнения. Из следствия 3.1 и леммы 4.1 сразу получаем теорему об однозначной разрешимости. Теорема 4.1. Пусть m ∈ N, функция K ∈ C(R+; L(Z)) удовлетворяет условию (K ), A ∈ Am,K,χ(θ0, a0), для любых t > 0, x ∈ DA выполнено K(t)Ax = AK(t)x, tβ K(t) ∈ C([0,T ]; L(Z)) при некотором β < 2 - χ, f ∈ C([0,T ]; DA ), zk ∈ DA, k = 0, 1,... ,m - 1. Тогда существует единственное решение задачи (4.1), (4.2), при этом оно имеет вид m-1 rt z(t) = ' Zk (t)zk + k=0 0 Zm-1(t - s)f (s)ds. При γ ∈ (0, 1] обозначим через Cγ ([0,T ]; Z) множество всех функций f : [0,T ] → Z, удовлетворяющих условию Гельдера: γ ∃C > 0 ∀s, t ∈ [0,T ] lf (s) - f (t)lZ C|s - t| . ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 177 Лемма 4.2. Пусть m ∈ N, K ∈ C(R+; L(Z)) удовлетворяет условию (K ), A ∈ Am,K,χ(θ0, a0), для любых t > 0, x ∈ DA K(t)Ax = AK(t)x, tβ K(t) ∈ C([0,T ]; L(Z)) при некотором β < 2 - χ, m ∀θ ∈ (π/2, θ0) ∃C = C(θ) > 0 ∀λ ∈ Sθ,a0 lK (λ)(λ K (λ) - A)-1 lL(Z) C(θ) m , (4.6) |λ| f ∈ Cγ ([0,T ]; Z) при некотором γ ∈ (0, 1]. Тогда функция (4.3) является единственным решением задачи (4.1), (4.4). Доказательство. Так как оператор A замкнут, при t > 0 1 r AZm-1(t) = 2πi Γ A(λm K (λ) - A)-1 eλt 1 r dλ = 2πi Γ λmK (λ)(λm K (λ) - A)-1 eλt dλ, L(Z) при этом lλmK (λ)(λmK (λ) - A)-1l C. Поэтому lAZ m-1 (t)lL(Z) = O(t-1) при t → 0 + . Тогда при s, t ∈ (0,T ] - Z 1 | lAZm 1(t - s)(f (s) - f (t))l C |t - s γ-1 , (4.7) t t r r AZm-1(t - s)f (s)ds = 0 0 t r AZm-1(t - s)(f (s) - f (t))ds + 0 Dm,K Zm-1(t - s)f (t)ds. Предпоследний интеграл сходится в силу неравенства (4.7), последний - поскольку t r - Dm,K Zm 0 - 1(t - s)f (t)ds = (Dm-1,K Zm 1 - (t) - Dm-1,KZm 1 (0))f (t) = Dm-1,KZ m-1 (t)f (t) - f (t). Таким образом, с учетом замкнутости оператора A получаем, что zf (t) ∈ DA при t > 0. Остальная часть доказательства такая же, как в лемме 4.2. Следствие 3.1 и лемма 4.2 влекут следующий результат. Теорема 4.2. Пусть m ∈ N, функция K ∈ C(R+; L(Z)) удовлетворяет условию (K ), A ∈ Am,K,χ(θ0, a0), для любых t > 0, x ∈ DA K(t)Ax = AK(t)x, tβ K(t) ∈ C([0,T ]; L(Z)) при некотором β < 2 - χ, выполняется условие (4.6), f ∈ Cγ ([0,T ]; Z) при некотором γ ∈ (0, 1], zk ∈ DA, k = 0, 1,... ,m - 1. Тогда существует единственное решение задачи (4.1), (4.2), при этом оно имеет вид m-1 rt z(t) = ' Zk (t)zk + k=0 0 Zm-1(t - s)f (s)ds. 5. Теорема о возмущении Обозначим через CA(θ) максимум из констант C(θ) из определения 3.1 и условия (4.6). Теорема 5.1. Пусть m ∈ N, функция K ∈ C(R+; L(Z)) удовлетворяет условию (K ), A ∈ Am,K,χ(θ0, a0), для любых t > 0, x ∈ DA K(t)Ax = AK(t)x, выполняется условие (4.6), B ∈ Cl(Z), для всех x ∈ DA ⊂ DB lBxlZ βlAxlZ + δlxlZ , (5.1) где β ∈ [0, 1), δ ?: 0, для всех θ ∈ (π/2, θ0) выполнено β (1 + CA(θ)) q при некотором q ∈ (0, 1). Тогда A + B ∈ Am,K,χ(θ0, a1) при достаточно большом a1 > a0. χ Если к тому же lK (λ)lL(Z) CK |λ|- вие (4.6). в секторе Sθ0,a1 , то для A + B выполняется усло- Доказательство. Выберем l ?: 1, λ ∈ Sθ,la0 ⊂ Sθ,a0 при θ ∈ (π/2, θ0), тогда из (5.1) следует, что L(Z) lB(λmK (λ) - A)-1l L(Z) βlA(λmK (λ) - A)-1l L(Z) + δl(λm K (λ) - A)-1l β I K(λ)(λmK(λ) - A)-1 - II δC (θ) m-χ + β (1 + C δC m-χ A (θ))+ (θ) δC q + (θ) < 1 Iλm I I IL(Z) A |λ| A |λ| A (la0 sin θ0)m-χ 178 В. Е. ФЕДОРОВ, А. Д. ГОДОВА при достаточно большом l. Поэтому (λmK (λ) - A - B)-1 = (λmK (λ) - A)-1(I - B(λmK (λ) - A)-1)-1 = ∞ = (λmK (λ) - A)-1 '[B(λmK (λ) - A)-1]k, k=0 L(Z) l(λmK (λ) - A - B)-1l CA(θ) ( \ m χ . 1 - q - δCA (θ) (la0 sin θ0 )m-χ |λ| - Следовательно, A + B ∈ Am,K,χ(θ0, a1) при a1 = la0. При выполнении условия lK (λ)lL(Z) CK |λ|-χ имеем L(Z) lK (λ)(λmK (λ) - A - B)-1l CKCA(θ) 1 - q - δCA (θ) ( (la0 sin θ0 )m-χ | . \ |λ m Замечание 5.1. Любой оператор B∈ L(Z) удовлетворяет условию (5.1) при β = 0,δ = lBlL(Z). Замечание 5.2. Теорема 5.1 обобщает теорему о порождении инфинитезимальных генераторов аналитических полугрупп операторов [3]. Аналогичные результаты для уравнений с распределенными производными получены в работах [15, 26], а для уравнений с производной Джрбашяна- Нерсесяна - в [19]. 6. Приложение к начально-краевой задаче для системы уравнений ∈ - ∈ Возьмем bij R, mij 1 < αij mij N, i, j = 1, 2, m := max i,j=1,2 mij, ⎛ ⎜ K(s) := ⎜ b11 sm-α11 -1 Γ(m - α11) sm-α21 -1 b12 sm-α12 -1 Γ(m - α12) sm-α22 -1 ⎞ ⎟ ⎟ , (6.1) тогда ⎝ b21 Γ(m - α21) b22 ⎠ Γ(m - α22) Dm,K = b11 Dα11 b12 Dα12 . b21Dα21 b22Dα22 В ограниченной области Ω ⊂ Rd с гладкой границей ∂Ω заданы операторы ∂|q|u(s) (Λu)(s) := ' aq (s) ∂sq1 ∂sq2 ... ∂sqd , aq ∈ C∞(Ω), |q| 2r (Blu)(s) := ' blq (s) 1 ∂|q|u(s) 2 d , blq ∈ C∞(∂Ω), l = 1, 2,... , r, ∂sq1 ∂sq2 ... ∂sqd |q| rl 1 2 d 0 где q = (q1, q2,... , qd) ∈ Nd, N0 := N ∪ {0}, |q| = q1 + ··· + qd. Предположим, что пучок операторов Λ, B1, B2,... , Br регулярно эллиптичен (см. определение в [6]) и определим оператор Λ1 ∈ Cl(L2(Ω)) с областью определения DΛ 2r 1 = H{Bl}(Ω) := {v ∈ H 2r (Ω) : Blv(s) = 0, l = 1, 2,... , r, s ∈ ∂Ω}, действующий по правилу Λ1u := Λu. Пусть оператор Λ1 самосопряжен, тогда его спектр σ(Λ1) действителен, дискретен и конечнократен [6]. Предположим, кроме того, что спектр σ(Λ1) ограничен справа и не содержит нуля, обозначим через {ϕk : k ∈ N} ортонормированную в L2(Ω) систему собственных функций оператора Λ1, занумерованную в порядке невозрастания соответствующих собственных значений {λk : k ∈ N} с учетом их кратностей. Положим Z = L2(Ω) × L2(Ω), A = K(s) задано формулой (6.1). Λ1 0 0 Λ1 ∈ Cl(L2(Ω) × L2(Ω)), DA = DΛ1 × DΛ1 , ядро ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 179 Лемма 6.1. Пусть в условиях данного раздела b11 > 0, b22 > 0, b21 = 0, m11 = m22 = m ∈ {1, 2}, α12 max{α11, α12} < 2, α11 + α22 - α12 < 2. Тогда K ∈ C(R+; L(Z)) удовлетворяет условию (K ); A ∈ Am,K,χ(θ0, a0) при некоторых θ0 ∈ (π/2, π), a0 ?: 0, χ < 1; tβ K(t) ∈ C([0,T ]; L(Z)) при некотором β < 2- χ; выполняется условие (4.6); для любых t > 0, x ∈ DA K(t)Ax = AK(t)x. Доказательство. Из вида оператора A и того факта, что A действует на пространственные переменные, а K(s) - на временные, следует коммутирование A и K(s). Заметим, что K (λ) := b11λα11 -m b12λα12 -m 0 b22λα22 -m , поэтому выполняется условие (K ) при любых θK ∈ (π/2, π), aK ?: 0. Обозначим δ := max{α11, α22, α11 + α22 - α12} < 2, возьмем θ0 ∈ (π/2, π/δ), a0 = λ1 + 1, где λ1 - собственное значение оператора Λ1. Тогда при θ ∈ (π/2, θ0), λ ∈ Sθ,a0 λmK (λ) - A = b11λα11 - Λ1 b12λα12 0 b22λα22 - Λ1 , Обозначим Dk := (b11λα11 - λk )(b22λα22 - λk ), тогда ∞ (λmK (λ) - A)-1 = ' k=1 (b22λα22 - λk )/Dk -b12λα12 /Dk 0 (b11λα11 - λk )/Dk (·, ϕk ◦ϕk = ∞ = ' k=1 1/(b11λα11 - λk ) -b12λα12 /Dk 0 1/(b22λα22 - λk ) -1 (·, ϕk ◦ϕk, L(L2 (Ω)) l(λmK (λ) - A)-1l C sin ε |λ| (δθ) , где ε := min{α11, α22, α11 + α22 - α12}. При этом χ = m - ε < 1 в силу условий на αij. Таким образом, A ∈ Am,K,χ(θ0, a0). Далее ∞ K (λ)(λmK (λ) - A)-1 = ' k=1 b11λα11 -m/(b11λα11 - λk ) -b12λα12 -mλk /Dk 0 b22λα22 -m/(b22λα22 - λk ) (·, ϕk ◦ϕk. Имеем при λ ∈ Sθ,a0 b11λα11 -m -m -1 α22 -m -1 = |λ| sin (α11θ) m , b22λ sin (α22θ) . b11λα11 - λk |1 - b-1λkλ-α11 | |λ| b22 λα22 λk |λ m 11 - | По условиям леммы α12 α11 или α12 α22. В первом случае -b12λα12 -mλk | |b12||λ α 12 -m = C sin- 1(δθ) m+α11 -α12 C1(θ) m . (b11λα11 - λk )(b22λα22 - λk ) k |b11λα11 - λk ||b22λα22 λ-1 - 1| |λ| |λ| Во втором случае изменения в рассуждениях очевидны, в итоге L(L2 (Ω)) lK (λ)(λmK (λ) - A)-1l т. е. выполняется условие (4.6). Понятно, что tβ K(t) ∈ C([0,T ]; L(Z)) при C2(θ) m , |λ| β = 1 - m + max{α11, α22} = 2 - χ - 1 - min{α11, α22} + max{α11, α22} < 2 - χ, так как αii ∈ (m - 1, m], i = 1, 2. Пусть для определенности m = 2, рассмотрим начально-краевую задачу b11J 2-α11 2-α12 t v(ξ, 0) + b12Jt w(ξ, 0) = v0(ξ), ξ ∈ Ω, (6.2) b22J 2-α22 t w(ξ, 0) = w0(ξ), ξ ∈ Ω, (6.3) b11Dα11 -1 α12 -1 t v(ξ, 0) + b12Dt w(ξ, 0) = v1(ξ), ξ ∈ Ω, (6.4) b22Dα22 -1 t w(ξ, 0) = w1(ξ), ξ ∈ Ω, (6.5) 180 В. Е. ФЕДОРОВ, А. Д. ГОДОВА b11Dα11 b22Dα22 Blv(ξ, t) = Blw(ξ, t) = 0, l = 1, 2,... , r, (ξ, t) ∈ ∂Ω × (0,T ], (6.6) 12 t w(ξ, t) = Λv(ξ, t)+a1(ξ)v(ξ, t)+a2 (ξ)w(ξ, t)+g(ξ, t), (ξ, t) ∈ Ω×(0,T ], (6.7) t w(ξ, t) = Λw(ξ, t)+ a3(ξ)v(ξ, t)+ a4(ξ)w(ξ, t)+ h(ξ, t), (ξ, t) ∈ Ω × (0,T ]. (6.8) t Здесь Dδ - дробная производная Римана-Лиувилля порядка δ ?: 0 по переменной t или дробный интеграл Римана-Лиувилля порядка δ < 0 по переменной t. Эта задача путем произведенного выше выбора пространства Z и операторов A, K(s) редуцируется к задаче (4.1), (4.2) c f (t) = (g(·, t), h(·, t)), zk = (vk (·), wk (·)), k = 0, 1. Теорема 6.1. Пусть b11 > 0, b22 > 0, b21 = 0, m11 = m22 = 2, α12 max{α11, α12} < 2, α11 + γ α22 - α12 < 2, ai ∈ L2(Ω), i = 1, 2, 3, 4, v0, v1, w0, w1 ∈ DΛ1 , g, h ∈ C([0,T ]; DΛ1 ) ∩ C γ ∈ (0, 1]. Тогда существует единственное решение задачи (6.2)-(6.8). ([0,T ]; L2(Ω)), Доказательство. В силу леммы 6.1 A ∈ Am,K,χ(θ0, a0). Оператор B, задаваемый матрицей B = a1(ξ) a2(ξ) , a3(ξ) a4(ξ) ограничен в L2(Ω) × L2(Ω), поэтому по теореме 5.1 A + B ∈ Am,K,χ(θ0, a1) при некотором a1 > 0. В силу леммы 6.1 выполняются все условия теорем 4.1, 4.2, из которых следует однозначная разрешимость исследуемой задачи. Замечание 6.1. Понятно, что без всяких проблем можно добавить, например, интегральные по пространственным переменным операторы с ядрами из L2(Ω×Ω) в уравнения (6.7), (6.8) и аналогично с использованием леммы 6.1 и теорем 5.1, 4.1, 4.2 доказать однозначную разрешимость полученной задачи. 7. Начально-краевая задача для уравнения с производной Прабхакара α,δ Напомним определение обобщенной функции Миттаг-Леффлера Eε α,δ,ω и ядра Прабхакара eε (см. [23]): ∞ n Eε ' Γ(ε + n)t ε δ-1 ε α α,δ,ω α,δ(t) = n=0 , e (t) = t Γ(ε)Γ(αn + δ)n! Eα,δ (ωt ). Пусть α, ε, ω ∈ R, для определенности 1 < δ 2. Рассмотрим начально-краевую задачу для уравнения с производной Прабхакара по времени t ∂k r 1 δ ε α ∂tk 0 (t - s) - Eα,2-δ (ω(t - s) )v(ξ, s)ds t=0 = vk (ξ), k = 0, 1, ξ ∈ Ω, (7.1) Blv(ξ, t) = 0, l = 1, 2,... , r, (ξ, t) ∈ ∂Ω × (0,T ], (7.2) t ∂2 r 2 δ 1 ε α r ∂t2 0 (t - s) - - Eα,2-δ (ω(t - s) )v(ξ, s)ds = Λv(ξ, t)+ a(ξ)v(ξ, t)+ Ω κ(ξ, η)v(η)dη + g(ξ, t) (7.3) при (ξ, t) ∈ Ω × (0,T ]. Здесь производная Прабхакара, действующая как t ∂ 2 r Dε 1-δ ε α α,δ,ω h(t) := ∂t2 0 (t - s) Eα,2-δ (ω(t - s) )h(s)ds, α,2 δ,ω является интегро-дифференциальным оператором Римана-Лиувилля с ядром K(s) = eε - (s). Возьмем Z = L2(Ω), A = Λ1 ∈ Cl(Z), DA = DΛ1 . Лемма 7.1. Пусть в условиях данного раздела 1 < δ 2, α, ε,ω ∈ R. Тогда K ∈ C(R+; L(Z)) δ-1 удовлетворяет условию (K ); A ∈ A2,K,2-δ(θ0, a0) при некоторых θ0 ∈ (π/2, π), a0 ?: 0; t C([0,T ]; L(Z)); выполняется условие (4.6); для любых t > 0, x ∈ DA K(t)Ax = AK(t)x. K(t) ∈ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 181 Доказательство. Известно [23], что α,2-δ,ω K (λ) = L[eε λαε+δ-2 (s)](λ) = , (λα - ω)ε 1/α поэтому условие (K ) выполняется при любом aK > |ω| и θK, зависящем от aK. При достаточно большом a0 > λ1 возьмем подходящее θ0 ∈ (π/2, π/δ), любое θ ∈ (π/2, θ0), тогда при λ ∈ Sθ,a0 αε+δ - λ2K(λ) A = λ (λα - ω)ε - A. Поскольку при больших |λ| имеем λδ (1 - ωλ-α)-ε ∼ λδ, то, выбрав достаточно большое a0, δ -α -ε δ -α -ε получим для λ ∈ Sθ,a0 включение λ (1 - ωλ ) ∈ Sθ,a0 /2, при этом |λ (1 - ωλ ) - λk | ?: C1|λδ - λk | ?: C1|λδ - a0| sin(δθ) для всех k ∈ N, поэтому существует обратный оператор ∞ (λ2K (λ) - A)-1 = ' k=1 (·, ϕk ◦ϕk , λδ (1 - ωλ-α)-ε - λk -1 L(L2 (Ω)) l(λ2K (λ) - A)-1l C2 sin δ |λ| (δθ) , δ-1 при этом χ = 2 - δ < 1. Следовательно, A ∈ A2,K,2-δ(θ0, a0). Очевидно, что t C([0,T ]; L(Z)), при этом δ - 1 < δ = 2 - χ. Кроме того, K(t) ∈ ∞ K (λ)(λ2K (λ) - A)-1 = ' λ-2 (·, ϕk ◦ϕk , k=1 1 - λkλ-δ (1 - ωλ-α)ε -1 L(L2 (Ω)) lK (λ)(λmK (λ) - A)-1l т. е. выполняется условие (4.6). Коммутирование K(t) и Λ1 очевидно. C2 sin 2 |λ| (δθ) , Рассуждая, как при доказательстве теоремы 6.1, с использованием леммы 7.1 и теорем 5.1, 4.1 и 4.2 получим следующий результат. Теорема 7.1. Пусть 1 < δ 2, α, ε,ω ∈ R, a ∈ L2(Ω), κ ∈ L2(Ω × Ω), v0, v1 ∈ DΛ1 , g ∈ γ C([0,T ]; DΛ1 )∩C (7.3). ([0,T ]; L2(Ω)), γ ∈ (0, 1]. Тогда существует единственное решение задачи (7.1)-

Об авторах

В. Е. Федоров

Челябинский государственный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: kar@csu.ru
Челябинск, Россия

А. Д. Годова

Челябинский государственный университет

Email: sashka_1997_godova55@mail.ru
Челябинск, Россия

Список литературы