L2 -оценки погрешности усреднения параболических уравненийс учетом корректоров

Аннотация

Рассматриваются параболические уравнения второго порядка с ограниченными измеримыми \(\varepsilon\)-периодическими коэффициентами. Для решения задачи Коши в слое \(R^d\times(0,T)\) с неоднородным уравнением получены приближения в норме \(\|\cdot\|_{L^2(R^d\times(0,T))}\) с остаточным членом порядка \(\varepsilon^2\) при \(\varepsilon \to 0.\)

Полный текст

1. Введение. Постановка задачи 1. Рассмотрим параболический оператор с измеримыми ограниченными быстро осциллирующими коэффициентами Lε = ∂t + Aε, Aε = -div (aε(x)∇), aε(x) = a(y)|y=ε-1 x, (1.1) }i,j=1 где ε ∈ (0, 1) - малый параметр, ∇ = ∇x = (D1,... , Dd) - градиент по пространственной переменной x ∈ Rd, div = ∇∗, а 1-периодическая вещественная матрица a(y) = {aij (y) d измерима, ограничена и удовлетворяет неравенствам 2 d -1 aij (·)ξiξj λ|ξ| ∀ξ ∈ R , a(·) L∞ (Rd ) λ (1.2) с некоторой положительной константой λ. Здесь и далее по повторяющимся индексам подразумеваем суммирование от 1 до d, если не оговорено противное. Пусть uε(x, t) ∈ L2(0,T ; H1(Rd)) есть слабое решение задачи Коши Lεuε = f в Rd × (0,T ), uε = h при t = 0, (1.3) где f ∈ L2(Rd×(0,T )) и h ∈ L2(Rd). В теории усреднения хорошо известно [1, 2, 9, 20], что uε(x, t) сходится при ε → 0 слабо в L2(0,T ; H1(Rd)) и сильно в L2(0,T ; L2(Rd)) = L2(Rd ×(0,T )) к слабому решению усредненной задачи где оператор L0u = f в Rd × (0,T ), u = h при t = 0, (1.4) L0 = ∂t + A0, A0 = -div (a0∇), (1.5) того же типа, что (1.1), но с постоянной матрицей коэффициентов a0, определяемой через решения вспомогательных задач на ячейке периодичности - единичном кубе Y = [-1/2, 1/2)d (см. (2.1), (2.3)). С самого начала существования теории усреднения ставился вопрос, насколько uε близко к u в различных нормах с оценкой по параметру ε. Долгое время оценки погрешности усреднения удавалось получить только при завышенных условиях регулярности на данные задачи (к ним относим коэффициенты оператора, правую часть в уравнении или начальные функции для эволюционных уравнений). По этой причине оценкам погрешности нельзя было придать операторный смысл, т. е. переформулировать их в естественной операторной норме, например, для разности резольвент исходного и усредненного эллиптических операторов или для разности полугрупп (операторных экспонент) соответствующих параболических уравнений. Оценки погрешности усреднения, относящиеся к операторному типу, можно найти в работах В. В. Жикова 80-х годов (см. статью [7] и её изложение в [2, гл. II]). Будучи востребованы в приложениях к теории вероятностей и теории диффузии, это были оценки для параболических уравнений в L∞-нормах. Для их доказательства использовался спектральный подход, основанный на блоховском представлении фундаментального решения. Прежде всего доказывались поточечная и интегральная оценка для фундаментального решения - ядра интегрального оператора полугруппы, отвечающей нестационарному уравнению диффузии. А уже из этих оценок, как простое следствие, в [7] выводилась оценка погрешности усреднения в L∞-норме, и эта оценка имела операторный смысл. Позже в [10] было показано, что из оценок для фундаментального решения, установленных в [7], вытекает не только L∞-оценка усреднения, но и аналогичные оценки в Ls-нормах для любого 1 s ∞ с единой константой в правой части, а именно, ε t uε(·, t) - u(·, t) Ls (Rd) C √ h Ls (Rd), C = const(d, λ). (1.6) Здесь uε(x, t) и u(x, t) - решения задач (1.3) и (1.4) с однородным уравнением и симметричной матрицей коэффициентов a(y). Запишем решения через операторные экспоненты: uε(x, t) = exp(-tAε)h(x), u(x, t) = exp(-tA0)h(x). Тогда из (1.6) при s = 2 получаем оценку в L2-операторной норме ε t ∀t > 0 exp(-tAε) - exp(-tA0) L2 (Rd)→L2 (Rd) C √ , C = const(d, λ). (1.7) Отсюда (поскольку резольвента есть преобразование Лапласа от полугруппы) вытекает оценка для разности резольвент → (Aε + 1)-1 - (A0 + 1)-1 L2 (Rd) L2 (Rd) cε, c = const(d, λ). (1.8) Этот вывод дан в [10]. Повышенный интерес к операторным оценкам типа (1.7) и (1.8) возник в нулевые годы после появления работы [3] М. Ш. Бирмана и Т. А. Суслиной, давшей новый толчок спектральному направлению в теории усреднения. В [3] с помощью предложенного авторами теоретикооператорного подхода доказаны L2-операторные оценки усреднения типа (1.8) для широкого класса самосопряженных матричных эллиптических операторов. Как продолжение этой деятельности, в последующие годы Т. А. Суслиной и её учениками изучены различные аспекты параболического усреднения, связанные с операторными оценками для экспонент операторов из класса, введенного в [3] (см., например, [5, 6, 11, 12, 19, 23, 24, 36, 37]). В частности, в [19] (см. также подробную версию [36]) впервые установлена L2-оценка типа (1.7). В последние годы много интересных результатов в параболическом усреднении получено китайскими коллегами. Особо надо отметить их исследования для операторов с коэффициентами, зависящими от времени (см., например, [21, 22, 25] и указанную там библиографию). 2. Данная публикация продолжает линию работ, идущую от [8, 38], где были сформулированы основные идеи так называемого метода сдвига (иначе этот подход можно назвать модифицированным методом первого приближения, что отражает его близость по духу к анзацу Бахвалова [1]) для получения операторных оценок усреднения. В этой серии среди работ [13, 17, 27, 39], 136 С. Е. ПАСТУХОВА посвященных параболическому усреднению, выделим статью [39], где для задачи Коши с однородным уравнением (т. е. f = 0 в (1.3)) и симметричной матрицей a(y) доказана оценка 2 2 2 u - u ε L2 (Rd×(0,T )) c0ε (ln(T + 1)+2 ln(1/ε)) h L2 (Rd ) (1.9) с константой c0, зависящей лишь от размерности d и константы λ из условия (1.2). Оценка (1.9) получалась как следствие (интегрированием по t ∈ (0,T )) из L2-оценки по сечениям t = const o 2 ∀t > 0 u (·, t) - u(·, t) L2 (Rd) c0 ε2 t + ε2 2 h L2 (Rd ) , c = const(d, λ), (1.10) которая впервые в [39] была доказана не спектральным методом, основанным на блоховском разложении фундаментального решения или операторной экспоненты, а методом сдвига. Теперь нас интересует противоположная ситуация. Пусть, в отличие от [39], уравнение в (1.3) неоднородное, а однородно данное Коши, т. е. h = 0, но f - ненулевая функция, более точно f ∈ L2(Rd×(0,T )). Кроме того, пусть матрица коэффициентов a(y) необязательно несимметрична. Наша цель - указать в этих условиях приближение для решения uε сначала в норме L2(0,T ; H1(Rd)) с точностью порядка ε, а уже потом, опираясь на этот результат, найти приближение в норме L2(Rd × (0,T )) с точностью порядка ε2. В итоге придём к оценкам uε - u - εU ε L2 (0,T ;H1 (Rd)) Cε f L2 (Rd ×(0,T )) , (1.11) uε - u L2 (Rd Cε f 2 d , (1.12) ×(0,T )) L (R ×(0,T )) uε - u - εU˜ ε L2 (Rd Cε2 f 2 d . (1.13) ×(0,T )) L (R ×(0,T )) Здесь и всюду далее (если не оговорено специально) обозначаем через C константу, зависящую лишь от d, T и постоянной λ из условия (1.2). В оценках (1.11) и (1.13) появляются дополняющие нулевое приближение u(x, t) двухмасштабные корректоры Uε(x, t) и U˜ ε(x, t), зависящие от медленной и быстрой переменных x и x/ε, которые, вообще говоря, нельзя отбросить. Точный вид корректоров описан в теореме 4.1. При этом корректор Uε входит составной частью в U˜ ε и для него верны оценки Uε L2 (Rd C f 2 d , ×(0,T )) L (R ×(0,T )) (1.14) ε∇Uε L2 (Rd ×(0,T )) 2 2 C f L2(Rd ×(0,T )). 2 Поскольку ϕ L2 (0,T ;H1(Rd ))) = ϕ L2 (Rd ×(0,T )) + ∇ϕ L2 (Rd×(0,T )), неравенство (1.12) легко выводится из (1.11) в силу оценки (1.14)1. Построение на основе оценки (1.11) аппроксимации u + εU˜ ε для решения uε с указанной в (1.13) погрешностью не столь очевидно. Этому посвящена существенная часть данной статьи, а именно, раздел 4. Лежащая в основе наших построений оценка (1.11) доказана в разделе 3. В разделе 2 введены вспомогательные задачи на ячейке. В разделе 5 приведены свойства сглаживания, которые использованы в доказательствах. Раздел 6 посвящен некоторым замечаниям, прямо не связанным с доказательством основных результатов; в частности, обсуждаются возможные обобщения основных результатов. 3. Оценки (1.11)-(1.13) с указанными в них приближениями не являются совершенно новыми и уже приводились ранее в определенных вариантах и контекстах. Например, в работе [36] дана оценка типа (1.12), но с логарифмическим дефектом в мажоранте, т. е. с мажорантой порядка ε ln1/2(1/ε), как в (1.9). Оценка типа (1.11) следует из поточечных по t оценок, доказанных в [37], где изучалось неоднородное параболическое уравнение, однако, с несколько более регулярной по t, чем в (1.3), правой частью, а именно, f ∈ Hp(T ) := Lp(0,T ; L2(Rd)) с показателем p ∈ (2, ∞]. При этом мажоранта в оценке оказывается порядка εκ(p), 0 < κ(p) < 1, если 2 < p < ∞, и порядка ε, если p = ∞. Наконец, улучшенные по сравнению с (1.12) L2-оценки по слою с учетом корректоров можно извлекать из соответствующих поточечных по t оценок, доказанных в [5]. Но тогда возникает мажоранта меньшего порядка малости по параметру ε, чем в (1.13). При этом наибольшая точность аппроксимации достигается в предположении, что f ∈ Hp(T ), p = ∞. Проведённое здесь сопоставление результатов относится только к самосопряженному случаю, который охвачен в [5, 36, 37]. L2 -ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ УСРЕДНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С УЧЕТОМ КОРРЕКТОРОВ 137 4. Сделаем замечания о методе доказательства и выборе класса функций для правых частей уравнения. Замечание 1.1. Предложенный в [8, 38] метод сдвига для получения оценок погрешности усреднения позволяет снимать проблемы, связанные с минимальной регулярностью данных задачи, введением дополнительного параметра интегрирования. Это можно осуществить за счет непосредственного сдвига по быстрой переменной в построенном двухмасштабном приближении, как в [8], либо за счет его сглаживания (например, по Стеклову) по медленной переменной, как в [38]. Заметим, что сглаживание можно расценивать как обобщенный сдвиг. В данной статье выбрана версия метода сдвига, использующая сглаживание по Стеклову и его итерации. Замечание 1.2. Усреднение задачи (1.3) можно рассматривать при более общей правой части в уравнении, например, из пространства L2(0,T ; H-1(Rd)). Если правая часть вида f + divF, где f ∈ L2(Rd × (0,T )) и F ∈ L2(Rd × (0,T ))d, то для решения задачи Коши с нулевым начальным условием справедлива энергетическая оценка 0,T |uε |2 Здесь и далее := sup 0 t T o 2 u (·, t) T r o 2 + ∇u (·, t) 0 dt C T r ( f (·, t) 2 0 + F (·, t) 2) dt. (1.15) · = · L2 (Rd ) без различия в обозначении для L2-пространств скалярных и векторных функций. Мы сужаем класс правых частей в задаче (1.3), преследуя цель получить оценки погрешности усреднения прежде всего в норме | · |0,T , определенной в (1.15). Для этого необходимо иметь несколько повышенную регулярность решения усредненной задачи (1.4), так чтобы u ∈ L2(0,T ; H2(Rd)) и ∂tu ∈ L2(Rd × (0,T )), что обеспечено, если в (1.3) (и, как следствие, в (1.4)) имеем правую часть f ∈ L2(Rd × (0,T )) и нулевое начальное условие (см. оценку (2.4)). Такая повышенная регулярность решения усредненной задачи наблюдается и при ненулевом начальном условии, если начальная функция h ∈ H1(Rd), что обыгрывалось в доказательствах [39] как промежуточный момент. В данной статье в основной части эта ситуация не затрагивается. 2. Задачи на ячейке Введём задачи на ячейке Nj ∈ W, div (a(∇Nj + ej )) = 0, j = 1,... , d, (2.1) per где e1,... , ed - канонический базис в Rd, W = {ϕ ∈ H1 (Y ) : (ϕ⊗ = 0} - соболевское пространство d периодических функций (Y = - 1 , 1 - ячейка периодичности) с нулевым средним 2 2 r (ϕ⊗ = Y ϕ(y) dy. По неравенству Пуанкаре норму в пространстве W можно задать равенством ϕ W = (∇ϕ · ϕ 1/2 ∇ ⊗ . Решения задач (2.1) понимаются в смысле распределений в Rd или, что эквивалентно, в per смысле интегрального тождества по ячейке Y на пробных функциях из C∞ (Y ). Последнее по замыканию распространяется на все функции из энергетического пространства W, то есть (a∇Nj · ∇ϕ⊗ = -(aej · ∇ϕ⊗, ϕ ∈ W. Отсюда легко следует разрешимость задачи (2.1) и оценка Nj W c, c = const(λ). (2.2) Двоякая точка зрения на уравнение (2.1) переносится и на другие подобные дифференциальные соотношения для периодических функций (например, (2.6)1 и (2.7)1). Матрица коэффициентов a0 для оператора (1.5) определяется соотношениями a0ej = (a(ej + ∇Nj )⊗, j = 1,... , d, (2.3) и принадлежит классу (1.2). 138 С. Е. ПАСТУХОВА Ввиду постоянства и эллиптичности матрицы a0 для решения усредненной задачи (1.4) с нулевым начальным условием (т. е. h = 0) верна оценка u L2 (0,T ;H2(Rd )) + ∂tu L2 (Rd ×(0,T )) C f L2 (Rd×(0,T )). (2.4) Введём векторы Очевидно, что gj = a(ej + ∇Nj ) - a0ej, j = 1,... , d. (2.5) div gj = 0, (gj ⊗ = 0. (2.6) Тогда к векторам gj применимо следующее утверждение, доказанное в [9]. per Лемма 2.1. Пусть g ∈ L2 (Y )d, (g⊗ = 0 и div g = 0. Тогда найдётся кососимметрическая 1 d×d матрица G ∈ Hper(Y ) такая, что (G⊗ = 0, Div G = g, G H1 c g L2 . d Здесь и далее обозначаем через Div G дивергенцию от матрицы G = {Gst}s,t=1, вычисляемую }s=1 построчно, так что Div G есть вектор {DtGst d . По лемме 2.1 векторам gj из (2.5), в силу свойств (2.6), сопоставляются кососимметрические матрицы Gj, такие что Div Gj = gj, (Gj ⊗ = 0, Gj H1 c gj L2 , j = 1,... , d. (2.7) 3. О приближении в энергетической норме Первоначально в качестве приближения к решению исходной задачи (1.3) возьмём двухмасштабную функцию Здесь wε(x, t) = u,ε(x, t)+ εUε(x, t). (3.1) u,ε(x, t) = Θεu(x, t) (3.2) есть сглаженное решение u(x, t) усредненной задачи (1.4) с подходящим оператором сглаживания Θε по пространственной переменной x (см. ниже), а корректор строится по формуле Uε(x, t) = N (x/ε) · ∇u,ε(x, t) = Nj (x/ε)Dj u,ε(x, t), (3.3) где Nj (y), j = 1,... ,d суть решения задач (2.1). Оператор сглаживания Θε должен иметь достаточно регулярное ядро сглаживания. Для определенности возьмём в качестве Θε итерации оператора сглаживания по Стеклову Sε, а именно, Θε = SεSεSε. Наконец, сам оператор сглаживания Sε определяется как loc для любой ϕ ∈ L1 (Rd). r (Sεϕ)(x) = Y ϕ(x - εω) dω, Y = [-1/2, 1/2)d , (3.4) Присутствие сглаживания в корректоре Uε (в силу свойств сглаживания, см. лемму 5.1) обеспечивает принадлежность функции wε пространству L2(0,T ; H1(Rd)) при условии, что решение u(x, t) усредненной задачи (1.4) имеет второй градиент ∇2u ∈ L2(Rd × (0,T )). Такая повышенная регулярность решения усредненной задачи (1.4) наблюдается, например, в случае нулевого начального условия. Лемма 3.1. 1. Определенная в (3.1)-(3.3) функция wε имеет невязку в уравнении (1.3) вида ε Lεwε - f = f ,ε - f + ε div rε + ε r0 =: Fε, (3.5) где f ,ε = Θεf и Θε = SεSεSε - тройное сглаживание по Стеклову, r0 ,ε o (x, t) = Nj (x/ε)∂t Dju (x, t), (3.6) rε(x, t) = Gj (x/ε)∇Dju,ε(x, t) - a(x/ε)Nj (x/ε)∇Dju,ε(x, t) (3.7) и матрица Gj (y) та же, что в (2.7). 2. Для правой части Fε равенства (3.5) справедлива оценка Fε L2 (0,T ;H (R )) 2 L (R (0,T )) L (R (0,T )) L (R (0,T )) -1 d Cε( ∇ u 2 d× + ∂tu 2 d× + f 2 d × ) (3.8) с константой C = const(d, T, λ). Здесь T можно заменить на любое τ ∈ (0,T ). L2 -ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ УСРЕДНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С УЧЕТОМ КОРРЕКТОРОВ 139 Доказательство. Далее для 1-периодической функции b(y) используем обозначение bε(x) := b(x/ε). (3.9) j Например, Nε(x) = Nj (x/ε), (a∇Nj )ε(x) = a(x/ε)(∇Nj )(x/ε) и т. д. 1. Проведём простые вычисления: j ∇wε = ∇u,ε + (∇Nj )εDju,ε + εN ε∇Dju,ε, (3.10) (2.3), (2.5) aε(∇u,ε + (∇Nj )εDju,ε) = (a(ej + ∇Nj ))εDj u,ε (2.7) j = gεDju,ε + a0∇u,ε = (3.11) = Div(εGεDj u,ε) - εGε∇Dj u,ε + a0∇u,ε, j j где учли представление gε = Div(εGε) и правило взятия дивергенции от произведения матрицы j j j j G на скаляр ϕ, а именно, Div(Gϕ) = ϕDiv G + G∇ϕ. Вектор Div(εGεDj u,ε) соленоидален в силу кососимметричности матрицы Gε. Тогда, учитывая структуру операторов Lε и L0, имеем Lεwε - f = Lεwε - L0u,ε + (f ,ε - f ) = (∂t + Aε)(u,ε + εUε) - (∂t + A0)u,ε + (f ,ε - f ) = = Aε(u,ε + εUε) - A0u,ε + ε∂tU ε + (f ,ε - f ) = = -div(ε(aNj )ε∇Dju,ε - εGε∇Dj u,ε)+ εN ε∂tDju,ε + (f ,ε - f ), j j и указанное в (3.5)-(3.7) представление получено. 2. Справедливы оценки rε L2 (0,T ;L2 (Rd)) C ∇2u L2 (Rd ×(0,T )), (3.12) r0 2 1 d C ∂tu 2 d . ε L (0,T ;H- (R )) L (R ×(0,T )) В самом деле, доказывая оценку (3.12)1, используем лемму 5.1, а также энергетические неравенства для решений Nj (y) и Gj (y) периодических задач (см. (2.2) и (2.7)). Чтобы доказать оценку (3.12)2, используем лемму 5.2, считая ϕ = εSεSεΦ и Φ = ∂tDju = Dj (∂tu). По лемме 5.5 (5.10) ϕ L2 (0,T ;L2(Rd )) ∂tu L2 (Rd ×(0,T )). (3.13) Отсюда ввиду (5.4) (учитывая (Nj ⊗ = 0) имеем 2 1/2 (2.2), (3.13) NεSεϕ 2 1 d ε(|Nj | ⊗ ϕ 2 2 d εC ∂tu 2 d , j L (0,T ;H- (R )) L (0,T ;L (R )) L (R ×(0,T )) что обеспечивает (3.12)2, так как (3.2) εr0 = εN ε∂tDju,ε = εN εSεSεSε∂tDju = NεSε(εSεSεDj (∂tu)) = NεSεϕ. o j j j j Наконец, используя оценку типа (5.3) для сглаживания Θε, получаем f ,ε - f L2(0,T ;H (R )) L (R (0,T )) что вместе с (3.12) даёт оценку (3.8). -1 d Cε f 2 d × , (3.14) Замечание 3.1. Наряду с (3.14) имеем следующее соотношение: и, значит, T r T r r 0 Rd (f ,ε - f )ψ dx dt = T r r 0 Rd f (ψ,ε - ψ) dx dt ((f ,ε - f ), ψ⊗H 1 (Rd ) H1 d dt Cε f 2 d ∇ψ 2 2 d ∀ψ ∈ L2(0,T ; H1(Rd)). - × (R ) 0 L (R ×(0,T )) L (0,T ;L (R )) Аналогично можно уточнить оценку (3.12)2, анализируя применение леммы 5.2 для её доказательства, а именно, T r (εr0, ψ⊗ 1 d 1 d dt Cε ∂tu 2 d ∇ψ 2 2 d ∀ψ ∈ L2(0,T ; H1(Rd)). o H- (R )×H (R ) 0 L (R ×(0,T )) L (0,T ;L (R )) 140 С. Е. ПАСТУХОВА Лемма 3.2. Пусть uε - решение задачи (1.3), а wε определена в (3.1)-(3.2). Тогда τ r ∀τ ∈ (0,T ) ((∂t + Aε)(uε - wε), ψ⊗H 0 -1 (Rd )×H1 (Rd )dt (3.15) Cε( ∇2u L2 (Rd + ∂tu 2 d + f 2 d ) ∇ψ 2 2 d ×(0,τ )) L (R ×(0,τ )) L (R ×(0,τ )) L (0,τ ;L (R )) для любой ψ ∈ L2(0,T ; H1(Rd)) с константой C = const(d, T, λ). Доказательство. Заметим, что (∂t + Aε)(uε - wε) = Lεuε - Lεwε ε (1.3) = f - Lεw ε (3.5) = -F . Отсюда, учитывая структуру Fε (см. (3.5)-(3.7)), оценку (3.8) и её уточнение в замечании 3.1, получаем (3.15). Теорема 3.1. Пусть uε - решение задачи (1.3) с нулевым начальным данным (т. е. h = 0), а wε определена в (3.1)-(3.2). Тогда для разности zε := uε - wε верна оценка в энергетической норме T 2 r 2 2 2 L2(Rd ×(0,T )) sup 0 t T zε(·, t) + 0 ∇zε(·, t) dt Cε f , C = const(d, T, λ). (3.16) Доказательство. Полагая в (3.15) ψ = zε, легко вывести (3.16), поскольку τ r (Aεzε(·, t), zε (·, t)⊗H 0 и -1 (Rd )×H1 (Rd)dt = τ r r 0 Rd aε(x)∇zε(x, t) · ∇zε(x, t)dx dt (3.17) τ r 2 ε 2 ε 2 2 (∂tzε(·, t), zε(·, t)⊗H 0 -1 (Rd )×H1 (Rd )dt = zε(·,τ ) - z (·, 0) = z (·,τ ) . (3.18) На последнем шаге в (3.18) учли, что uε(·, 0) = wε(·, 0) = 0 в силу нулевого данного Коши в задачах (1.3) и (1.4). Замечание 3.2. В условиях теоремы 3.1 из неравенства (3.15) при ψ = zε = uε-wε, учитывая (3.17) и (3.18), можно получить также оценку uε - wε L2 (Rd Cε f 2 d , C = const(d, T, λ). (3.19) ×(0,T )) L (R ×(0,T )) Видим, что в этой L2-оценке при фиксированном T > 0 мажоранта имеет больший порядок малости по отношению к ε → 0, нежели в (1.9). Замечание 3.3. В силу свойств сглаживания, неравенства (3.16) и (3.19) останутся в силе, если в аппроксимации wε первое слагаемое u,ε заменить на u (т. е. снять в нём сглаживание). Замечание 3.4. Анализируя преобразования в (3.11), видим, что есть другое представление члена rε из (3.7), удобное для дальнейшего. Оно получается, если, не переходя к матричным потенциалам Gj для векторов gj, удовлетвориться равенством rε(x, t) = -ε-1gj (x/ε)Dj u,ε(x, t) - a(x/ε)Nj (x/ε)∇Dju,ε(x, t) (3.20) 4. О приближении в L2-норме 1. Далее рассматриваем задачу (1.3) с нулевым начальным условием, т. е. (∂t + Aε)uε = f в Rd × (0,T ), uε = 0 при t = 0, (4.1) где f ∈ L2(Rd × (0,T )). Введём сопряженную к ней задачу ε (-∂t + A∗)vε = h в Rd × (0,T ), vε = 0 при t = T, (4.2) L2 -ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ УСРЕДНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С УЧЕТОМ КОРРЕКТОРОВ 141 ε где h ∈ L2(Rd × (0,T )) и оператор A∗ = -div(a∗(x/ε)∇) имеет матрицу a∗(y), сопряженную к ij a(y), т. е. a∗ (y) = aji(y). Известно, что усредненной для (4.2) будет задача 0 (-∂t + A∗)v = h в Rd × (0,T ), v = 0 при t = T, (4.3) 0 где A∗ = -div((a0)∗∇) имеет матрицу, сопряженную к усредненной матрице a0 из (1.5). Справедлива оценка v L2 (0,T ;H2 (Rd)) + ∂tu L2 (Rd×(0,T )) C h L2 (Rd ×(0,T )). (4.4) Для решения vε(x, t) аналогом приближения (3.1) будет v,ε(x, t)+ εV ε(x, t), где v,ε(x, t) = Θεv(x, t), V ε(x, t) = N˜ (x/ε) · ∇v,ε(x, t) = N˜j (x/ε)Djv,ε(x, t), (4.5) Θε = SεSεSε - тройное сглаживание по Стеклову и N˜j (y) суть решения сопряженных задач на ячейке (аналоги задач (2.1) с сопряженной матрицей a∗(y)). Справедлива оценка, аналогичная (3.16), если в ней положить zε = vε - v,ε - εV ε, из которой, в частности, выводим vε - v,ε - εV ε L2 (0,T ;H1(Rd )) Cε h L2 (Rd ×(0,T )) , C = const(d, T, λ). (4.6) 2. Будем использовать следующие упрощенные обозначения: · T = · L2 (Rd ×(0,T )), (·, · )T = (·, · )L2 (Rd ×(0,T )). Наша цель - найти для аппроксимации из оценки (3.19) дополнительные корректоры, чтобы добиться погрешности приближения в норме · T порядка ε2. Для этого изучим форму I := (uε - u,ε - εUε, h)T (4.7) с произвольной h ∈ L2(Rd × (0,T )), сопоставляя h решение vε задачи (4.2). Тогда ε (uε - u,ε - εUε, h)T = (uε - u,ε - εUε, (-∂t + A∗)vε)T = = ((∂t + Aε)(uε - u,ε - εUε), vε)T = (f - (∂t + Aε)(u,ε + εUε), vε)T = где o ε (3.5) = (-F , v )T (4.5) = (-Fε, vε - v,ε - εV ε)T + (-F ε, v,ε + εV ε)T , |(-Fε, vε - v,ε - εV ε)T | C Fε L2 (0,T ;H - 1(Rd )) vε - v,ε - εV ε L2 (0,T ;H1(Rd )) Cε2 f T h T в силу (3.8), (2.4) и (4.6). Таким образом, форма (4.7) имеет представление I '"" (-Fε, v,ε + εV ε)T . (4.8) Здесь и далее знак «'""» обозначает приближенное равенство, полученное из точного равенства отбрасыванием слагаемых Ij, допускающих оценку |Ij | Cε2 f T h T ; сами такие слагаемые называем несущественными. Учитывая структуру Fε, указанную в (3.5), можно записать ε (4.8) I '"" ε(rε, ∇(v,ε + εV ε))T - ε(r0, v,ε + εV ε)T + (f - f ,ε, v,ε + εV ε)T := I1 + I2 + I3, (4.9) где каждую из форм Ij надлежит проанализировать. 1◦. Учитывая выражение (3.20), имеем I1 := ε(rε, ∇(v,ε + εV ε))T = -(gεDju,ε + εaεN ε∇Dju,ε, ∇(v,ε + εV ε))T , j j где использовали обозначение (3.9) для ε-периодических функций. Вычисления, подобные (3.10)(3.11), дают ∇(v,ε + εV ε) (4.5) = ∇v,ε + (∇N˜k )εDkv,ε + εN˜ ε∇Dkv,ε = (ek + ∇N˜k)εDk v,ε + εN˜ ε∇Dkv,ε k k 142 С. Е. ПАСТУХОВА и, значит, -I1 = (gεDj u,ε, (ek + ∇N˜k)εDk v,ε)T + ε(gεDju,ε, N˜ ε∇Dkv,ε)T + j j k (4.10) + ε(aεNε∇Dju,ε, (ek + ∇N˜k )εDkv,ε)T + ε2(aεNε∇Dju,ε, N˜ ε∇Dkv,ε)T . j j k По лемме 5.1 имеем (aεNε∇Dju,ε, N˜ ε∇Dkv,ε)T aεNε∇Dju,ε T N˜ ε∇Dkv,ε T C ∇2u T ∇2v T , j k j k если учесть условие (1.2), неравенство (2.2) и его аналог для N˜k . Отсюда в силу (2.4) и (4.4) получаем несущественность последней формы в (4.10). Кроме того, аналогичные соображения по лемме 5.3 дают j (gεDju,ε, (ek + ∇N˜k)εDkv,ε)T '"" 0, так как (gj · (ek + ∇N˜k )⊗ = 0 по свойствам векторов gj (см. (2.6)) и Dju, Dkv ∈ L2(0,T ; H1(Rd)); а по лемме 5.4 ε(gεDju,ε, N˜ ε∇Dkv,ε)T '"" ε(Dj ϕ, (N˜k gj ⊗· ∇Dkψ)T ˜ (5.2) '"" ε(Dju, (Nk gj ⊗· ∇Dkv)T , j k где ϕ = SεSεu и ψ = SεSεv. Подобным образом после некоторых преобразований, основанных на соотношениях a∗(ek + ∇N˜k) = g˜k + (a0)∗ek , k = 1,... , d, аналогичных (2.5), получаем также представление ε(aεNε∇Dju,ε, (ek + ∇N˜k)εDk v,ε)T = ε(Nε∇Dju,ε, a∗ε(ek + ∇N˜k)εDk v,ε)T = j j = ε(Nε∇Dju,ε, g˜ε Dkv,ε)T + ε(Nε∇Dju,ε, (a0)∗ek Dkv,ε)T '"" j k j (5.8), (5.2) '"" ε(Nε∇Dju,ε, g˜ε Dkv,ε)T '"" ε((g˜k Nj ⊗∇Dj u, Dkv)T , j k j где на предпоследнем шаге отброшено слагаемое ε(Nε∇Dju,ε, (a0)∗ek Dkv,ε)T '"" 0 - его несущественность показываем по лемме 5.2 с учетом того, что (Nj ⊗ = 0. В итоге после анализа всех слагаемых в (4.10) имеем представление -I1 '"" ε(Dju, (N˜k gj ⊗ · ∇Dkv)T + ε((g˜k Nj ⊗· ∇Dju, Dkv)T . (4.11) 2◦. Учитывая выражение (3.6), имеем I2 := -ε(r0, v,ε + εV ε)T = -ε(Nε∂tDju,ε, v,ε + εV ε)T = o j (4.5) (4.12) = ε(Dju,ε,Nε∂tv,ε)T - ε2(Nε(Dj∂tu,ε), N˜ εDkv,ε)T , j j k где, интегрируя по частям по переменной t, используем независимость Nj от t, а также нулевые данные Коши: u(x, 0) = 0 и v(x, T ) = 0. Покажем несущественность обоих слагаемых в полученном представлении. По лемме 5.2 j ε(Dju,ε,Nε∂tv,ε)T '"" 0, (4.13) так как (Nj ⊗ = 0, ∂tv ∈ L2(Rd × (0,T )), Dj u ∈ L2(0,T ; H1(Rd)) и есть необходимое присутствие сглаживания. По лемме 5.6 (полагая ϕ = ∂tu ∈ L2(Rd × (0,T )) и ψ = (Sε)2Dkv ∈ L2(0,T ; H1(Rd))) без суммирования по повторяющимся индексам имеем |ε2(Nε(Dj∂tu,ε), N˜ εDkv,ε)T - ε2(Nj N˜k⊗((Sε)2Dj ϕ, ψ)T | j k (5.12) Cε2(|Nj | ⊗ (|N˜k | ⊗ ϕ T ∇ψ T Cε ∂tu T ∇ v T , 2 1/2 2 1/2 2 2 где мажоранта представляет собой несущественный член ввиду оценок (2.4) и (4.4) для решений усредненных задач и оценок для решений задач на ячейке типа (2.2). Поэтому (4.12), (4.13) I2 '"" -ε2(Nj N˜k ⊗((Sε)2Dj ϕ, ψ)T = ε2(Nj N˜k ⊗((Sε)2ϕ, Djψ)T = = ε2(Nj N˜k⊗((Sε)2∂tu, Dj Dkv)T '"" 0, (4.14) где под конец вспомнили выражения ϕ и ψ через u и v, а также снова учли оценки для решений усредненных задач и задач на ячейке. L2 -ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ УСРЕДНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С УЧЕТОМ КОРРЕКТОРОВ 143 3◦. Покажем, что I3 := (f - f ,ε, v,ε + εV ε)T = (f - f ,ε, v,ε)T + ε(f, V ε)T - ε(f,ε,V ε)T '"" (4.5) (4.15) '"" ε(f, V ε)T = ε(f, N˜ ε · ∇v,ε)T . В самом деле, вспоминая, что f ,ε = Θεf, имеем (5.6), (5.1) (4.4) (f - f ,ε, v,ε)T = (f, v,ε - Θεv,ε)T Cε2 f T ∇2v T Cε2 f T h T . Следовательно, (f - f ,ε, v,ε)T '"" 0. Кроме того, по лемме 5.2 (4.5) ε(f,ε,V ε)T = ε(f,ε, N˜ ε · ∇v,ε)T '"" 0. 3. Подведём итоги. Из (4.7), (4.9), (4.11), (4.14) и (4.15) следует, что имеет место равенство (uε - u - εUε, h)T '"" ε(f, V ε)T - ε(Dju, (N˜k gj ⊗ · ∇Dkv)T - ε((g˜k Nj ⊗ · ∇Dju, Dkv)T , (4.16) где в форме (4.7) функция u,ε = Θεu заменена на u, что допустимо в силу свойства сглаживания типа (5.6) и оценки (2.4). Введём разрешающие операторы для задачи (4.1), для её усредненной задачи, а также для задачи (4.3): uε = L-1 -1 ∗ -1 o f, u = L0 f, v = (L0) Введём также корректирующие операторы h. (4.17) Uε (3.3) = Nε · Θε∇L-1f =: Kεf, V ε (4.5) = N˜ ε · Θε∇(L∗)-1h =: ˜ h, (4.18) 0 0 Kε где участвуют Θε = (Sε)3 - тройной оператор сглаживания по Стеклову и векторы N, N˜ , составленные из решений задач на ячейке (2.1), а также сопряженных к ним задач. Сумму двух последних слагаемых в (4.16) запишем короче как ε((c˜m - cm )Dj Dk Dmu, v)T = ε(Bu, v)T = ε(BL-1f, (L∗)-1h)T = jk jk 0 0 = ε(L-1BL-1f, h)T = ε(Kf, h)T , (4.19) 0 0 где jk = (N˜k gj ⊗, c˜jk = (g˜k Nj ⊗ (4.20) cm m m m и введён дифференциальный оператор третьего порядка с постоянными коэффициентами B = (c˜m - cm )Dj Dk Dm. (4.21) jk jk Соотношениями (4.19)-(4.21) определён третий корректирующий оператор K наряду с двумя другими из (4.18). Используя введенные выше разрешающие и корректирующие операторы, записываем равенство (4.16) в виде o f - L0 f - εKεf - ε( ˜ ) f - εKf, h)T '"" 0, (L-1 -1 Kε ∗ Kε где ( ˜ )∗ - сопряженный оператор, что по соглашению о знаке «'""» (см. фрагмент после (4.8)) означает |(L-1f - L-1f - εKεf - ε( ˜ )∗f - εKf, h)| Cε2 f h . o 0 Kε T T T Отсюда в силу произвольности h ∈ L2(Rd × (0,T )) заключаем, что o f - L0 f - εKεf - ε( ˜ ) f - εKf T Cε f T , (4.22) L-1 -1 Kε ∗ 2 т. е. для решения задачи (4.1) получена искомая аппроксимация u + εU˜ ε с оценкой (1.13), где Kε корректор имеет трехчастную структуру U˜ ε = Kεf +( ˜ )∗f + Kf. В тех же терминах основной результат раздела 3 формулируется в виде оценок (см. теорему 3.1 и замечание 3.2) L-1 -1 ε f - L0 f T Cε f T , (4.23) ∇(L-1f - L-1f - εKεf ) T Cε f T . (4.24) o 0 Таким образом, доказана следующая теорема. 144 С. Е. ПАСТУХОВА Теорема 4.1. Пусть uε = L-1f, u = L-1f - решения задачи Коши (4.1) и соответствуo 0 Kε ющей усредненной задачи. Пусть корректирующие операторы Kε, ˜ определены в (4.18), а корректирующий оператор K -в (4.19)-(4.21), при этом в соотношениях (4.18) и (4.20) участвуют решения Nj, N˜k задачи на ячейке (2.1) и сопряженной к ней, а также их производные - вектор-функции gj, g˜k , определённые равенствами типа (2.5). Тогда имеют место оценки (4.23), (4.24) и (4.22) в L2-норме · T = · L2 (Rd ×(0,T )) по слою Rd × (0,T ). Константы в правых частях оценок зависят от размерности d, ширины слоя T и постоянной эллиптичности λ из условия (1.2). Замечание 4.1. В случае, когда матрица коэффициентов a(y) симметрична, оператор B jk из (4.21) равен нулю, так как cm c˜ = jk m (соответствующее вычисление проведено, например, ε в [29] или [32]). Как следствие, в силу (4.19) корректор K равен нулю и указанная в (4.22) L2-аппроксимация для решения uε = L-1f упрощается. Подобное наблюдение в эллиптической теории сделано раньше в [4] и связано в полной мере с тремя факторами: уравнение скалярное, притом с матрицей коэффициентов вещественной и симметричной. Таким образом, это эффект «скалярного вещественного самосопряженного» случая. 5. О сглаживании Для упрощения формул обозначаем норму и скалярное произведение в L2(Rd), не различая пространства скалярных и векторных функций, как · = · L2 (Rd), (·, · ) = (·, · )L2 (Rd ). 1. Сглаживание по Стеклову. Для сглаживания по Стеклову (см. определение (3.4)) приведём сначала наиболее простые и известные свойства: Sεϕ ϕ , (5.1) √ Sεϕ - ϕ ( и как следствие по двойственности d/2)ε ∇ϕ ∀ϕ ∈ H1(Rd) (5.2) √ Sεϕ - ϕ H -1 (Rd ) ( d/2)ε ϕ ∀ϕ ∈ L2(Rd). (5.3) Отметим также очевидное свойство Sε(∇ϕ) = ∇(Sεϕ), которое систематически используется. В нашем методе ключевыми оказываются следующие свойства сглаживания, доказанные, например, в [10, 38]. per Лемма 5.1. Если ϕ ∈ L2(Rd), b ∈ L2 (Y ) и bε(x) = b(ε-1x), то bεSεϕ ∈ L2(Rd) и 2 1/2 bεSεϕ (|b| ⊗ ϕ . (5.4) per Лемма 5.2. Если b ∈ L2 (Y ), (b⊗ = 0, bε(x) = b(ε-1x), ϕ ∈ L2(Rd) и ψ ∈ H1(Rd), то 2 1/2 |(bεSεϕ, ψ)| Cε(|b| ⊗ ϕ ∇ψ , C = const(d). (5.5) Приведённые выше оценки малости уточняются в условиях большей регулярности. В отношении (5.2) имеем уточнение Sεϕ - ϕ Cε2 ∇2ϕ ∀ϕ ∈ H2(Rd), C = const(d). (5.6) Оценка (5.5) имеет следующее обобщение и уточнение. per Лемма 5.3. Если α, β ∈ L2 (Y ), (αβ⊗ = 0, αε(x) = α(x/ε), βε(x) = β(x/ε) и ϕ, ψ ∈ H1(Rd), ε ε 2 2 1/2 то |(αεS ϕ, βεS ψ)| Cε (|α| ⊗ β 2 1/2 (| | ⊗ ∇ϕ ∇ψ , C = const(d). (5.7) Ослабим условия на периодические функции в предыдущих леммах, не требуя равенства нулю для средних. per Лемма 5.4. Если α, β ∈ L2 (Y ), αε(x) = α(x/ε), βε(x) = β(x/ε) и ϕ ∈ L2(Rd), ψ ∈ H1(Rd), ε ε 2 1/2 то |(αεS ϕ, βεS ψ) - (αβ⊗(ϕ, ψ)| Cε(|α| ⊗ β 2 1/2 (| | ⊗ ϕ ∇ψ , C = const(d). (5.8) Доказательство свойств (5.7), (5.8) можно найти в [14, 29, 30, 32]. L2 -ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ УСРЕДНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С УЧЕТОМ КОРРЕКТОРОВ 145 2. Сглаживание с произвольным ядром. Рассмотрим оператор сглаживания r Θεϕ(x) = Rd ϕ(x - εω)θ(ω) dω. (5.9) Пусть ядро сглаживания θ ∈ L∞(Rd) имеет компактный носитель, θ 0 и r Rd θ(x)dx = 1. Оценки (5.1)-(5.4), сформулированные для оператора сглаживания Стеклова, остаются в силе для общего оператора сглаживания (5.9) с единственной оговоркой, что в правой части появятся константы, зависящие не только от размерности d, но и от ядра θ. Если ядро θ четно, то сглаживание Θε обладает также свойством типа (5.6). Следующие свойства оператора (5.9) или их аналоги отмечены в [26, 30]. per Лемма 5.5. Пусть ядро сглаживания θ есть липшицева функция, и пусть b ∈ L2 (Y ), bε(x) = b(x/ε) и ϕ ∈ L2(Rd). Тогда Θε∇ϕ Cε-1 ϕ , C = const(θ, d), (5.10) 2 1/2 bεΘε∇ϕ Cε-1(|b| ⊗ ϕ , C = const(θ, d). (5.11) 3. Итерации сглаживания по Стеклову. Очевидно, что оператор сглаживания Стеклова Sε задаётся по формуле (5.9) с ядром сглаживания - характеристической функцией θ1(x) куба Y = [-1/2, 1/2)d . Двойное сглаживание по Стеклову (Sε)2 = SεSε есть оператор вида (5.9) с ядром сглаживания, равным свёртке θ2 = θ1 ∗ θ1. Аналогично, тройное сглаживание по Стеклову (Sε)3 = SεSεSε есть оператор вида (5.9) с ядром сглаживания, равным свёртке θ3 = θ2 ∗ θ1. В [30] ядра θ2 и θ3 вычислены. Во-первых, это липшицевы функции и, как следствие, для сглаживания Θε = (Sε)2 или Θε = (Sε)3 верны свойства (5.10) и (5.11). Во-вторых, θ2 и θ3 - четные функции и поэтому для (Sε)2 и (Sε)3 справедливо свойства (5.6). Следствием из лемм 5.4 и 5.5 является ещё одна лемма. Лемма 5.6. В условиях леммы 5.4 справедлива оценка ε 3 ε ε 2 2 1/2 |(αε(S ) Diϕ, βεS ψ) - (αβ⊗((S ) Diϕ, ψ)| C(|α| ⊗ β 2 1/2 (| | ⊗ ϕ ∇ψ (5.12) для любой обобщенной производной Diϕ, 1 i d, с константой C = const(d). Доказательство. Эта лемма доказана в [15], но ввиду важности её при выводе оценок в нашем изложении приведём и здесь её доказательство. По лемме 5.5 обе L2-формы, стоящие в левой части (5.12), корректно определены и имеют порядок O(ε-1) при ε → 0. В самом деле, ядра сглаживания для операторов (Sε)3 и (Sε)2 липшицевы и, как следствие, в обоих случаях сглаживание обобщенной производной Diϕ принадлежит L2(Rd) с оценкой L2-нормы в силу (5.10). Применяя лемму 5.4 к паре функций Φ = ε(Sε)2Diϕ и ψ, запишем ε ε 2 1/2 |(αεS Φ, βεS ψ) - (αβ⊗(Φ, ψ)| Cε(|α| ⊗ β 2 1/2 (| | ⊗ Φ ∇ψ , где Φ = ε(Sε)2Diϕ C ϕ по лемме 5.5. Подставляя сюда выражение для Φ, имеем ε 3 ε ε 2 2 1/2 |ε(αε(S ) Diϕ, βεS ψ) - ε(αβ⊗((S ) Diϕ, ψ)| Cε(|α| ⊗ что после деления на ε даёт (5.12). Лемма 5.6 доказана. β 2 1/2 (| | ⊗ ϕ ∇ψ , 6. Некоторые замечания Замечание 6.1. Рассмотрим задачу (1.3), предполагая f ∈ L2(Rd ×(0,T )) и h ∈ H1(Rd). Тогда решение усредненной задачи имеет свойства: u ∈ L2(0,T ; H2(Rd)) и ∂tu ∈ L2(Rd ×(0,T )), что было основным условием при выводе оценок из разделов 3 и 4. В оценку (3.16) из теоремы 3.1 надо внести следующие коррективы. Поскольку в этой ситуации функция zε = uε -wε имеет ненулевое данное Коши zε(x, 0) = h(x) - h,ε(x) - εN ε(x) · ∇h,ε(x), h,ε(x) = Θεh(x), в правой части неравенства (3.18) появится дополнительное слагаемое zε(·, 0) 2 , имеющее оценку 2 ,ε 2 2 2 2 2 2 zε(·, 0) ( h - h + ε (|N | ⊗ ∇h ) Cε ∇h 146 С. Е. ПАСТУХОВА по свойствам сглаживания. Таким образом, вместо (3.18) получим T 2 r 2 2 2 2 L2 (Rd ×(0,T )) sup 0 t T zε(·, t) + 0 ∇zε(·, t) dt Cε ( f + h H1 (Rd ) ), C = const(d, T, λ). При ненулевом данном Коши в задаче (1.3) в доказательство оценки типа (4.22) надо внести более существенные коррективы, и здесь мы это не уточняем. Замечание 6.2. Рассмотрим векторный аналог оператора (1.1) с комплексными коэффициентами. Для этого введём комплекснозначный 1-периодический тензор четвёртого порядка 1 α,β n a(y) = {aαβ (y)} , jk 1 j,k d jk действующий как линейный оператор в пространстве (n × d)-матриц. Функции u : Rd → Cn сопоставим (n × d)-матрицу градиента Du = {Dkuβ }β,k, где D = -i∇ (i2 = -1), а также (n × d)матрицу потока aDu = {aαβ Dkuβ }α,j . Здесь и далее подразумеваем суммирование по повторяющимся индексам: от 1 до d, если индексы латинские, и от 1 до n, если индексы греческие. В пространстве функций u : Rd → Cn действует дифференциальный оператор второго порядка с ε-периодическими комплексными коэффициентами jk jk Aεu = D∗(a(x/ε)Du) = {Dj (aαβ (x/ε)Dkuβ )}1 α n. (6.1) Относительно тензора a(y) = {aαβ (y)} предполагаем условия ограниченности и коэрцитивности aαβ jk L∞(Rd ) λ1 ∀j, k, α, β, (6.2) Re (aDϕ, Dϕ) λ0 Dϕ 2 0 ∀ϕ ∈ C∞(Rd , Cn ) (6.3) с некоторыми константами λ0, λ1 > 0, где (·, ·) и · суть упрощенные обозначения для скалярного произведения и нормы в пространствах L2(Rd, Cn) и L2(Rd, Cn×d). Действуя подобно тому, как в скалярном случае, для векторной задачи (4.1) с оператором Aε из (6.1), удовлетворяющим условиям (6.2) и (6.3), можно получить аппроксимации решения, аналогичные тем, что приведены в теоремах 3.1 и 4.1. Необходимые атрибуты усреднения подробно описаны, например, в [28]. Рассматривая в разделах 1-4 скалярные уравнения, мы специально не опирались на их специфические свойства, не имеющие аналогов в векторном случае. Например, нигде не ссылались на ограниченность решений (в силу принципа максимума) основной задачи на ячейке. Это свойство позволяет на заключительном этапе записать корректоры в (4.22) и (4.24) более простыми без сглаживания. Поскольку подобное упрощение неоднократно проделано (см. [10] или [16]), здесь оно опускается. Замечание 6.3. Предложенный подход позволяет получить аналог теоремы 4.1 для оператора Aε с локально периодическими коэффициентами. Приближения резольвенты таких операторов с точностью порядка ε2 при ε → 0 построены методом сдвига в [31]. Можно говорить о других обобщениях оценок погрешности усреднения из разделов 3 и 4, если перенести результаты по эллиптическим операторам из работ [14, 30, 32, 33] (операторы в перфорированном пространстве, операторы сингулярно возмущенные или с неограниченной матрицей коэффициентов) на параболический случай. Замечание 6.4. Рассуждения, дающие ключевую для нашего метода оценку (1.11), имеют общее с рассуждениями из [21]: аппроксимируя в L2-норме по слою решение uε(x, t) вместе с его пространственным градиентом ∇uε(x, t), строим двухмасштабное разложение типа анзаца Бахвалова [1], но сглаженное по медленной переменной. Однако в конструкции из (1.11) это разложение удаётся брать более коротким за счет привлечения дополнительных свойств сглаживания. Проведённое сопоставление относится только к случаю не зависящих от t коэффициентов, в то время как в [21] охвачен более общий случай, допускающий такую зависимость. Рассуждения для вывода оценки (1.13) из оценки (1.11) пересекаются с рассуждениями из работ [18, 34, 35] для доказательства аналогичных оценок с корректорами в эллиптической теории: существенным моментом являются соображения двойственности. Именно в [18, 34] этот приём L2 -ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ УСРЕДНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С УЧЕТОМ КОРРЕКТОРОВ 147 впервые предложен для получения улучшенных резольвентных L2-аппроксимаций с остаточным членом порядка ε2 и применён в частности в локально периодическом усреднении.