Энтропийные и ренормализованные решения нелинейной эллиптической задачи в пространствах Музилака-Орлича

Полный текст

1. Введение В работе рассматривается задача Дирихле -div a(x, ∇u)+ b(x, u) = f, f ∈ L1(Ω), x ∈ Ω, (1.1) u ∂Ω = 0 (1.2) в строго липшицевой области Ω ⊂ Rn = {x = (x1, x2,... , xn)}, n 2, с конечной мерой. Здесь функции a(x, s) = (a1(x, s),... , an(x, s)) : Ω × Rn → Rn имеют рост, определяемый функцией Музилака-Орлича M (x, z). При этом на функцию M и сопряженную к ней функцию M не требуется никакое условие роста по переменной z. Предполагается, что по переменной x ∈ Ω функция M подчиняется условию log-гельдеровской непрерывности, что приводит к хорошим аппроксимационным свойствам нерефлексивного пространства Музилака-Орлича. Понятие ренормализованных и энтропийных решений служит основным инструментом для изучения общих вырождающихся эллиптических уравнений с правой частью в виде меры и, в частности, из пространства L1(Ω). В работе [18] доказано существование ренормализованного решения задачи Дирихле для уравнения вида -div a(x, ∇u) = f, f ∈ L1(Ω), x ∈ Ω, (1.3) с неоднородной анизотропной функцией Музилака-Орлича. Кроме того, в работе [15] авторы доказали существование и единственность ренормализованных решений эллиптических включений с многозначным оператором в условиях нерефлексивных и несепарабельных пространств Музилака-Орлича. Авторы работ [7, 17] установили существование ренормализованного и энтропийного решений, соответственно, задачи Дирихле для уравнения вида -div (a(x, u, ∇u)+ c(u)) + a0(x, u, ∇u) = f, f ∈ L1(Ω), x ∈ Ω, с функцией c ∈ C0(R, Rn). В работах [16, 21], а также [8] (при a0 ≡ 0) доказано существование энтропийного решения задачи Дирихле для уравнения вида -div (a(x, u, ∇u)+ c(x, u)) + a0(x, u, ∇u) = f, f ∈ L1(Ω), x ∈ Ω, с каратеодориевой функцией c(x, s0) : Ω × R → Rn, подчиняющейся условию роста по переменной s0. В работе [22] в пространствах Музилака-Орлича доказаны существование и единственность энтропийных и ренормализованных решений задачи (1.3), (1.2), установлена их эквивалентность. В настоящей статье получены некоторые свойства, доказаны единственность ренормализованного и существование энтропийного решений задачи Дирихле (1.1), (1.2) в нерефлексивных пространствах Музилака-Орлича-Соболева. Кроме того, доказана эквивалентность энтропийных и ренормализованных решений рассматриваемой задачи. Заметим, что область Ω c конечной мерой может быть неограниченной. Ранее в работе [4] Л. М. Кожевниковой и А. П. Кашниковой аналогичный результат получен для решения уравнения (1.1) с более жесткими ограничениями на функцию a(x, s). 2. Пространства Музилака-Орлича-Соболева В этом разделе будут приведены необходимые сведения из теории обобщенных N -функций и пространств Музилака-Орлича (см. [5, 13, 20]). Определение 2.1. Пусть функция M (x, z) : Ω×R → R+ удовлетворяет следующим условиям: 1. M (x, ·) - N -функция по z ∈ R, то есть она является выпуклой вниз, неубывающей при z ∈ R+, четной, непрерывной, M (x, 0) = 0 для п.в. x ∈ Ω и inf M (x, z) > 0 для всех z /= 0, (2.1) x∈Ω lim sup M (x, z) = 0, lim inf M (x, z) = ∞; (2.2) z→0 x∈Ω z z→∞ x∈Ω z 2. M (·, z) - измеримая функция по x ∈ Ω для любых z ∈ R. Такая функция M (x, z) называется функцией Музилака-Орлича, или обобщенной N-функцией. Сопряженная функция M (x, ·) к функции Музилака-Орлича M (x, ·) в смысле Юнга для п.в. x ∈ Ω и любых z 0 определяется равенством M (x, z) = sup (yz - M (x, y)) . y 0 Отсюда следует неравенство Юнга: |zy| :: M (x, z)+ M (x, y), z, y ∈ R, x ∈ Ω. (2.3) Функция Музилака-Орлича M удовлетворяет Δ2-условию, если существуют константы c > 0, z0 0 и функция H ∈ L1(Ω) такие, что для п.в. x ∈ Ω и любых |z| z0 справедливо неравенство M (x, 2z) :: cM (x, z)+ H(x). Δ2-условие эквивалентно выполнению для п.в. x ∈ Ω и любых |z| z0 неравенства M (x, lz) :: c(l)M (x, z)+ Hl(x), Hl ∈ L1(Ω), где l - любое больше единицы, c(l) > 0. 100 Л. М. КОЖЕВНИКОВА Существуют три класса Музилака-Орлича: 3. LM (Ω) - обобщенный класс Музилака-Орлича, состоящий из измеримых функций v : Ω → R таких, что r QM,Ω(v) = Ω M (x, v(x))dx < ∞; 4. LM (Ω) - обобщенное пространство Музилака-Орлича, являющееся наименьшим линейным пространством, которое содержит класс LM (Ω), с нормой Люксембурга v v M,Ω = inf λ > 0 QM,Ω λ :: 1 ; 5. EM (Ω) - наибольшее линейное пространство, содержащееся в классе LM (Ω). Очевидно, EM (Ω) ⊂ LM (Ω) ⊂ LM (Ω). Заметим, что для любого v ∈ EM (Ω) и любого μ > 0 справедливо неравенство QM,Ω(v/μ) < ∞. Кроме того, для любого v ∈ LM (Ω) найдется λ > 0 такое, что QM,Ω(v/λ) < ∞ (см. [20, п. 7.4]). Ниже, в обозначениях · M,Q, QM,Q(·), · 1,Q, · ∞,Q будем опускать индекс Q, если Q = Ω. Для v ∈ LM (Ω) справедливо неравенство: v M :: QM (v)+ 1. (2.4) Далее будем рассматривать следующие условия на функцию Музилака-Орлича M (x, z). (M 1) Функция M (x, z) интегрируема, т. е. r QM (z) = Ω M (x, z)dx < ∞, ∀z ∈ R. (M 2) Функция M (x, z) удовлетворяет log-гельдеровой непрерывности по x, а именно: существу- 1 ют константы c > 0, b 1 такие, что для всех x, y ∈ Ω, |x-y| < 2 , z ∈ R и выполняется неравенство | M (x, z) :: max z|-c/ln |x-y|, b-c/ln |x-y| M (y, z). Пусть M и M подчиняются условию (M 1), тогда пространство EM (Ω) сепарабельно и (EM (Ω))∗ = LM (Ω). Если дополнительно M удовлетворяет Δ2-условию, то EM (Ω) = LM (Ω) = LM (Ω) и LM (Ω) сепарабельно. Пространство LM (Ω) рефлексивно тогда и только тогда, когда функции Музилака-Орлича M и M удовлетворяют Δ2-условию. Последовательность функций {vj }j ∈N ∈ LM (Ω) модулярно сходится к v ∈ LM (Ω) (vj → M v), j →∞ если существует константа λ > 0 такая, что lim QM j→∞ vj - v λ = 0. Если M удовлетворяет Δ2-условию, то модулярная топология и топология по норме совпадают. Для двух сопряженных функций Музилака-Орлича M и M, если u ∈ LM (Ω) и v ∈ LM (Ω), то выполняется неравенство Гельдера: r u(x)v(x)dx :: 2 u M v . M Ω Определим пространство Музилака-Орлича-Соболева W 1LM (Ω) = {v ∈ LM (Ω) ∇v ∈ (LM (Ω))n} с нормой 1 v M = v M + |∇v| M . Для краткости введем обозначения (LM (Ω))n = LM (Ω), (LM (Ω))n+1 = LM (Ω), (EM (Ω))n = EM (Ω), (EM (Ω))n+1 = EM (Ω). Пространство W 1LM (Ω) отождествляется с подпространством произведения LM (Ω) и является замкнутым по топологии σ(LM , EM ). ЭНТРОПИЙНЫЕ И РЕНОРМАЛИЗОВАННЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ 101 0 Пространство W˚ 1LM (Ω) определим как замыкание C∞(Ω) по слабой топологии σ(LM , EM ) в W 1LM (Ω). Пространство W˚ 1LM (Ω) банахово (см. [20, Theorem 10.2]). Положим 1 V˚M (Ω) = {u ∈ W˚ 1(Ω) : ∇u ∈ LM (Ω)}; очевидно, что W˚ 1LM (Ω) ⊂ V˚M (Ω). 3. Предположения и формулировка результатов Предполагается, что функции b(x, s0) : Ω × R → R, a(x, s) : Ω × Rn → Rn, входящие в уравнение (1.1), измеримы по x ∈ Ω для s0 ∈ R, s = (s1,... , sn) ∈ Rn, непрерывны по s0 ∈ R, s = (s1,... , sn) ∈ Rn для почти всех x ∈ Ω и выполнено следующее условие. (M ) Существуют неотрицательные функции ψ ∈ EM (Ω), φ ∈ L1(Ω) и положительные константы a, a, d такие, что для п.в. x ∈ Ω и для любых s, t ∈ Rn, s /= t справедливы неравенства: a(x, s) · s aM (x, d|s|) - φ(x); (3.1) aM -1 |a(x, s)| :: ψ(x) + M (x, d|s|); (3.2) (a(x, s) - a(x, t)) · (s - t) > 0. (3.3) Здесь функция Музилака-Орлича M (x, z) подчиняется условиям (M 1), (M 2), сопряженn ная к M функция M (x, z) удовлетворяет условию (M 1), s · t = ), siti, |s| = n s ), 2 i 1/2 . i=1 i=1 Предполагается, что функция b(x, s0) - неубывающая по s0 ∈ R, b(x, 0) = 0 для п.в. x ∈ Ω, поэтому для п.в. x ∈ Ω, s0 ∈ R справедливо неравенство b(x, s0)s0 0. (3.4) Сформулируем дополнительное условие, которое используется в теореме существования. Будем считать, что для любого k > 0 sup |s0|::k |b(x, s0)| = Φk(x) ∈ L1(Ω). (3.5) Заметим, что в работах [4, 22] вместо условий (3.1), (3.2) на функцию a(x, s) накладывается более сильное условие: a(x, s) · s a(M (x, |s|)+ M (x, |a|)), a ∈ (0, 1). Условию (M ) удовлетворяют, например, функции si ai(x, s) = M (x, |s|) 2 + ψi(x), ψi ∈ EM (Ω), i = 1,... , n. |s| TM Определим срезающую функцию Tk (r) = max(-k, min(k, r)). Через ˚1 (Ω) обозначим множество измеримых функций u : Ω → R таких, что Tk(u) ∈ V˚M (Ω) при любом k > 0. Заметим, TM что, как следствие из [9, лемма 2.1], для каждой функции u ∈ ˚1 (Ω) существует единственная измеримая функция Zu : Ω → Rn такая, что ∇Tk (u) = χ{Ω:|u|<k|}Zu для почти каждого x ∈ Ω и для каждого k > 0, где χQ - характеристическая функция измеримого множества Q. Обозначим через Zu = ∇u обобщенный градиент u. TM Таким образом, для любой функции u ∈ ˚1 (Ω) и любого k > 0 имеем: ∇Tk(u) = χ{Ω:|u|<k}∇u ∈ LM (Ω). (3.6) Введем обозначение (u) = r udx. Ω TM Определение 3.1. Энтропийным решением задачи (1.1), (1.2) называется функция u ∈ ˚1 (Ω) такая, что 1) b(x, u) ∈ L1(Ω); 102 Л. М. КОЖЕВНИКОВА 1. a(x, ∇u)χ{Ω:|u|<k} ∈ LM (Ω) при всех k > 0; 0 2. при всех k > 0 и ξ ∈ C1(Ω) справедливо неравенство: ((b(x, u) - f )Tk (u - ξ)) + (a(x, ∇u) · ∇Tk(u - ξ)) :: 0. (3.7) ˚1 Определение 3.2. Ренормализованным решением задачи (1.1), (1.2) называется функция u ∈ TM (Ω) такая, что 1) b(x, u) ∈ L1(Ω); 3. a(x, ∇u)χ{Ω:|u|<k} ∈ LM (Ω) при всех k > 0; 4. имеется предел r lim h→∞ M (x, d|∇u|)dx = 0; (3.8) {Ω:h::|u|<h+1} 5. для любой функции S ∈ C1(R) и любой функции ξ ∈ C1(Ω) справедливо равенство: 0 0 ((b(x, u) - f )S(u)ξ) + (a(x, ∇u) · (S±(u)ξ∇u + S(u)∇ξ)) = 0. (3.9) Основными результатами работы являются теоремы 3.1-3.3, в которых предполагается, что область Ω липшицева и выполнено условие (M ). Теорема 3.1. Функция u : Ω → R является ренормализованным решением задачи (1.1), (1.2) тогда и только тогда, когда эта функция - энтропийное решение задачи (1.1), (1.2). При этом в интегральном неравенстве (3.7) имеет место знак равенства ((b(x, u) - f )Tk (u - ξ)) + (a(x, ∇u) · ∇Tk(u - ξ)) = 0. (3.7∗) Теорема 3.2. Если u1, u2 - ренормализованные или энтропийные решения задачи (1.1), (1.2), то u1 = u2 п.в. в Ω. Теорема 3.3. Пусть дополнительно выполнено условие (3.5), тогда существует энтропийное решение задачи (1.1), (1.2). Из теорем 3.1-3.3 следуют эквивалентность, существование и единственность энтропийного и ренормализованного решений задачи (1.1), (1.2). 4. Подготовительные сведения В этом разделе будут установлены некоторые свойства энтропийного и ренормализованного решений задачи (1.1), (1.2) и приведены вспомогательные леммы. Предполагается, что область Ω липшицева и выполнено условие (M ). Все постоянные, встречающиеся ниже в работе, положительны. Пользуясь выпуклостью функции M, из (3.2) выводим оценку: M x, |a(x, s)| 1 1 ψ :: M (x, d|s|)+ M x, 1 1 = M (x, d|s|)+ Ψ(x) (4.1) c функцией Ψ ∈ L1(Ω). a 2 2 Предложение 4.1. Пусть v : Ω → R измеримая функция такая, что при всех k 1 имеем M (x, d|∇Tk (v)|) ∈ L1(Ω) и справедливо неравенство r {Ω:|v|<k} M (x, d|∇v|)dx :: C1k. (4.2) Тогда для любого ε > 0 найдутся k0(C1, n), h0(C1, n) такие, что справедливы неравенства meas ({Ω : |v| k}) < ε, k k0, (4.3) meas ({Ω : |∇v| h}) < ε, h h0. (4.4) Соотношение (4.3) доказано в [22, Proposition 3.1], а (4.4) устанавливается аналогично в [22, Theorem 1.6]. ЭНТРОПИЙНЫЕ И РЕНОРМАЛИЗОВАННЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ 103 Лемма 4.1. Пусть u - энтропийное решение задачи (1.1), (1.2), тогда meas ({Ω : |u| k}) → 0, k → ∞, (4.5) meas ({Ω : |∇u| h}) → 0, h → ∞. (4.6) Кроме того, справедливо соотношение 1 r lim M (x, d|∇u|)dx = 0. (4.7) k→∞ k {Ω:|u|<k} Доказательство. Неравенство (3.7) при ξ = 0 принимает вид r r b(x, u)Tk (u)dx+ r a(x, ∇u) · ∇udx :: f Tk(u)dx. Ω {Ω:|u|<k} Ω Учитывая неравенства (3.1), (3.4), выводим оценку r a {Ω:|u|<k} r M (x, d|∇u|)dx :: Ω |f ||Tk(u)|dx+ φ 1 :: k f 1 + φ 1. (4.8) Отсюда, применяя предложение 4.1, устанавливаем (4.5), (4.6). Перепишем неравенство (4.8) в виде a r r M (x, d|∇u|)dx :: |f | |Tk(u)| dx+ φ 1 . (4.9) k k k {Ω:|u|<k} Ω Поскольку |Tk (u)| :: 1, Tk (u) → 0 п.в. в Ω при k →∞ и f ∈ L (Ω), то по теореме Лебега имеем: k k r lim k→∞ Ω 1 k |f | |Tk (u)| dx = 0. (4.10) Соединяя (4.9) и (4.10), выводим (4.7). Лемма 4.2 (см. [10, Lemma 2]). Пусть функции {vj }j ∈N ⊂ LM (Ω) таковы, что vj M :: C, j ∈ N, vj → v п.в. в Ω, j → ∞. Тогда v ∈ LM (Ω) и vj --, j → ∞, в топологии σ(LM , EM ) пространства LM (Ω). Приведем теорему Витали в следующей форме (см. [1, гл. III, § 6, теорема 15]). Лемма 4.3. Пусть последовательность {vj }j N ⊂ L (Ω), и ∈ 1 Тогда для сходимости vj → v п.в. в Ω, j → ∞. vj → v сильно в L1(Ω), j → ∞, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие равномерной интегрируемости: r lim meas(Q)→0 Q |vj (x)|dx = 0 равномерно по j ∈ N. Следствием теоремы Витали является следующая лемма. Лемма 4.4 (см. [6, Lemma 2]). Пусть v, {vj }j vj M ∈N ⊂ LM (Ω) и → v модулярно в LM (Ω), j → ∞. Тогда vj --, j → ∞, в топологии σ(LM , LM ) пространства LM (Ω). 104 Л. М. КОЖЕВНИКОВА Лемма 4.5. Пусть функции {vj }j ∈N ⊂ L∞ ∈ (Ω) таковы, что {vj }j N ограничена в L∞ (Ω) и j Тогда v ∈ L∞(Ω) и v vj → v п.в. в Ω, j → ∞. --, j → ∞, в топологии σ(L∞, L1) пространства L∞(Ω). Если, кроме того, g ∈ LM (Ω)(EM (Ω)), то vjg → vg модулярно (сильно) в LM (Ω)(EM (Ω)), j → ∞. Доказательство леммы 4.5 следует из теоремы Лебега. Лемма 4.6. Если u - энтропийное решение задачи (1.1), (1.2), то неравенство (3.7) справедливо для любой функции ξ ∈ V˚M (Ω) ∩ L∞(Ω). Доказательство аналогично [4, лемма 8]. Лемма 4.7. Пусть u - энтропийное решение задачи (1.1), (1.2), тогда при всех k > 0 справедливо соотношение r lim h→∞ M (x, d|∇u|)dx = 0. (4.11) {Ω:h::|u|<h+k} Доказательство. Положив в неравенстве (3.7) ξ = Th(u), будем иметь r r a(x, ∇u) · ∇udx+ r b(x, u)Tk (u - Th(u))dx :: k |f |dx. {Ω:h::|u|<k+h} Ввиду (3.4) справедливо неравенство {Ω:h::|u|} {Ω:h::|u|} b(x, u)Tk (u - Th(u)) 0. Учитывая (3.1), для любого k > 0 устанавливаем: r r a M (x, d|∇u|)dx :: (k|f | + φ)dx. {Ω:h::|u|<k+h} {Ω:h::|u|} Отсюда, ввиду того, что f, φ ∈ L1(Ω), применяя (4.5) и переходя к пределу при h → ∞, выводим соотношение (4.11). Лемма 4.8. Если u является ренормализованным решением задачи (1.1), (1.2), то равен- 0 ∞ ство (3.9) справедливо для любой функции S ∈ C1(R) и любой функции ξ ∈ V˚M (Ω) ∩ L (Ω). Доказательство аналогично [4, лемма 9]. Лемма 4.9. Пусть u - ренормализованное решение задачи (1.1), (1.2), тогда справедливы соотношения (4.5)-(4.7). Доказательство. Зафиксируем k > 0 и пусть σ > k. Определим функцию Sσ ∈ C1(R) такую, что Sσ (r) = 1, |r| :: σ, Sσ(r) = 0, |r| σ + 1, 0 :: Sσ :: 1 на R. Очевидно, что supp Sσ ⊂ [-σ - 1,σ + 1] σ и supp S± ⊂ [-σ - 1, -σ] ∪ [σ, σ + 1]. Положим в (3.9) S = Sσ, ξ = Tk (u), получим σ J1 + J2 + J3 = (a(x, ∇u)Sσ (u) · ∇Tk (u)) + (a(x, ∇u)S± (u) · ∇uTk (u) + + (b(x, u)Sσ (u)Tk (u)) = (f Sσ(u)Tk (u)) . (4.12) Оценим каждый интеграл: r r |J2| :: C0 J1 = Ω r a(x, ∇u)Sσ (u) · ∇Tk (u)dx = {Ω:|u|<k} |Tk (u)||a(x, ∇u) · ∇u|dx :: C2k a(x, ∇u) · ∇udx, (4.13) r |a(x, ∇u)||∇u|dx. (4.14) {Ω:σ::|u|::σ+1} Используя (3.4), выводим неравенство r {Ω:σ::|u|::σ+1} J3 = Ω b(x, u)Sσ (u)Tk (u)dx 0. (4.15) ЭНТРОПИЙНЫЕ И РЕНОРМАЛИЗОВАННЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ 105 Соединяя (4.12)-(4.15), установим неравенство r r a(x, ∇u) · ∇udx :: r |f ||Tk (u)|dx+ C0k |a(x, ∇u)||∇u|dx. {Ω:|u|<k} Ω {Ω:σ::|u|::σ+1} Далее, применяя неравенство (2.3), используя оценки (3.1), (4.1), установим соотношения: r r a M (x, d|∇u|)dx :: {Ω:|u|<k} Ω a r d |f ||Tk (u)|dx+ φ 1 + C2k {Ω:σ::|u|::σ+1} (3M (x, d|∇u|)+ Ψ) dx. (4.16) Учитывая условие 3) определения 3.2, перейдем к пределу при σ → ∞, получим неравенство r {Ω:|u|<k} M (x, d|∇u|)dx :: C3 + C4k :: C5k, k 1. Отсюда, согласно предложению 4.1, устанавливаем (4.5), (4.6). Теперь, снова применяя условие 3) определения 3.2 и (4.5), перейдем к пределу в (4.16) при σ → ∞, установим неравенство (4.8). Соотношение (4.7) является следствием неравенства (4.8) (см. лемму 4.1). Лемма 4.10 (см. [12, лемма 2]). Пусть (X, T , meas) - измеримое пространство такое, что meas(X) < ∞. Пусть γ : X → [0, +∞] - измеримая функция такая, что meas({x ∈ X : γ(x) = 0}) = 0. Тогда для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что неравенство r влечет meas (Q) < ε. γ(x)dx < δ Q Лемма 4.11 (см. [19, Lemma A.4]). Пусть vj : Ω → R, j ∈ N - измеримые функции такие, что r sup j∈N Ω M (x, vj )dx < ∞. Тогда последовательность {vj }j N равномерно интегрируема в L (Ω). ∈ 1 Замечание 4.1. Пусть vj, v : Ω → R, j ∈ N - измеримые функции такие, что vj → v п.в. в Ω, j → ∞. Тогда χ{Ω:|vj |::k} → χ{Ω:|v|::k} п.в. на Ω, j →∞ для таких k, что meas({Ω : |v| = k}) = 0. (4.17) Для области Ω с конечной мерой таких k, для которых условие (4.17) не выполнено, может быть не более, чем счетное число (см. [14, Lemma 9]). Положительные числа k, для которых выполнено условие (4.17), будем называть «правильными» для функции v. 5. Эквивалентность энтропийного и ренормализованного решений Для уравнения (1.3) со степенной нелинейностью1 эквивалентность энтропийного и ренормализованного решений доказана А. А. Ковалевским в работе [3, гл. I, теорема 1.1.6]. TM Доказательство теоремы 3.1. Пусть u ∈ ˚1 (Ω) - ренормализованное решение задачи (1.1), (1.2). Зафиксируем произвольные ϕ ∈ V˚M (Ω) ∩ L∞(Ω) и k > 0. Пусть k = k + ϕ ∞, тогда справедливо неравенство |∇Tk (u - ϕ)| :: |∇Tk (u)| + |∇ϕ| для п.в. x ∈ Ω. Поскольку T k (u) ∈ V˚M (Ω), то имеем: Tk (u - ϕ) ∈ V˚M (Ω), (5.1) ∇Tk (u - ϕ) = (∇u - ∇ϕ)χ{Ω:|u-ϕ|<k} для п.в. x ∈ Ω. p 1 функция a удовлетворяет условиям (3.1), (3.2) при M (x, z)= |z| , p ∈ (1, n) 106 Л. М. КОЖЕВНИКОВА 0 Определим функцию h ∈ C1(R) такую, что h(r) = 1 при |r| :: 1, h(r) = 0 при |r| 2, 0 :: h :: 1 на R. Для любого σ > 0 положим hσ (r) = h(r/σ), r ∈ R. Запишем (3.9) c S(r) = hσ (r), ξ = Tk (u - ϕ): σ I1 + I2 = (a(x, ∇u) · ∇uh± (u)Tk (u - ϕ)) + ((a(x, ∇u) · ∇Tk (u - ϕ)+ (b(x, u) - f )Tk(u - ϕ))hσ (u)) = 0. Используя свойства функции hσ, для любого σ > 0 устанавливаем (5.2) k |I1| :: C1 σ r {Ω:σ::|u|<2σ} |a(x, ∇u)||∇u|dx. Применяя (2.3), (4.1), выводим неравенство k |I1| :: C2 σ r {Ω:σ::|u|<2σ} (M (x, d|∇u|)+ Ψ(x)) dx. Отсюда благодаря (4.7) заключаем, что lim σ→∞ I1 = 0. Поскольку f, b(x, u), a(x, ∇u)χ{Ω:|u|<k} · ∇Tk(u - ϕ) ∈ L1(Ω) (см. (5.1) и пункты 1), 2) определения 3.2), то в интеграле I2 согласно теореме Лебега можно перейти к пределу при σ → ∞. В итоге выводим интегральное тождество ((a(x, ∇u) · ∇Tk (u - ϕ)+ (b(x, u) - f )Tk(u - ϕ)) = 0. Следовательно, u - энтропийное решение задачи (1.1), (1.2). Пусть u ∈ ˚1 (Ω) - энтропийное решение задачи (1.1), (1.2) и S ∈ C1(R), ϕ ∈ V˚M (Ω) ∩ L (Ω). TM 0 ∞ Существуют числа L, L1 > 0 такие, что supp S ⊂ [-L, L] и |S(r)| :: L1 для любых r ∈ R. Зафиксируем k > L1 ϕ ∞, и пусть m ∈ N, m > L. Положим ϕm = Tm(u) - S(Tm(u))ϕ ∈ V˚M (Ω) ∩ L∞(Ω), имеем ∇ϕm = (∇u - S±(u)ϕ∇u - S(u)∇ϕ)χ{Ω:|u|<m} п.в. на Ω. (5.3) Положим в (3.7) ξ = ϕm, получим r r {Ω:|u-ϕm|<k} a(x, ∇u) · (∇u - ∇ϕm)dx+ Ω (b(x, u) - f )Tk (u - ϕm)dx :: 0. Если |u(x)| < m, то для п.в. x ∈ Ω верно неравенство |u - ϕm| = |S(u)||ϕ(x)| :: ϕ ∞L1 < k. Следовательно, для п.в. x ∈ Ω имеет место вложение: {Ω : |u| < L}⊂ {Ω : |u| < m}⊂ {Ω : |u - ϕm| < k}. Тогда, используя (5.3) установим r r a(x, ∇u) · ∇u(1 - χ{Ω:|u|<m})dx+ a(x, ∇u) · (∇uϕS±(u)+ ∇ϕS(u)) dx+ {Ω:|u-ϕm|<k} {Ω:|u|<L} r m + (b(x, u) - f )Tk(u - ϕm)dx = I1 Ω m + I2 m + I3 :: 0. (5.4) Учитывая то, что S(r) = S±(r) = 0 для |r| L, получаем r Im = Ω 2 ∇ a(x, ∇u) · ( uϕS±(u)+ ∇ϕS(u)) dx. (5.5) Далее, применяя (3.1), выводим r 1 = {Ω:|u-ϕm|<k} Im a(x, ∇u) · ∇u(1 - χ{Ω:|u|<m})dx = ЭНТРОПИЙНЫЕ И РЕНОРМАЛИЗОВАННЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ 107 r = {Ω:|u-ϕm|<k} (a(x, ∇u) · ∇u + φ) (1 - χ{Ω:|u|<m})dx - r r {Ω:|u-ϕm|<k} φ(1 - χ{Ω:|u|<m})dx - φ(1 - χ{Ω:|u|<m})dx. (5.6) Ω Соединяя (5.4), (5.5), (5.6), устанавливаем неравенство r a(x, ∇u) · (∇uϕS±(u)+ ∇ϕS(u)) dx+ Ω r r + (b(x, u) - f )Tk(u - Tm(u)+ S(Tm(u))ϕ)dx :: Ω Ω φ(1 - χ{Ω:|u|<m})dx. (5.7) Учитывая принадлежность b(x, u), f,φ ∈ L1(Ω) и применяя теорему Лебега, в неравенстве (5.7) перейдем к пределу m → ∞, получим (a(x, ∇u) · (∇uϕS±(u)+ ∇ϕS(u))) + ((b(x, u) - f )S(u)ϕ) :: 0. Очевидно, что такое же неравенство справедливо для -ϕ. Следовательно, для u выполняется равенство (3.9). Из леммы 4.7 следует справедливость соотношения (3.8). Таким образом, доказано, что u - ренормализованное решение задачи (1.1), (1.2). 6. Единственность энтропийного и ренормализованного решений Доказательство теоремы 3.2. Единственность энтропийного решения доказывается аналогично доказательству [4, теорема 4]. Пусть u1, u2 - ренормализованные решения задачи (1.1), (1.2). Запишем (3.9) для u1 и u2 c S = hσ, ξ = Tk (u1 - u2)hσ (u2) и ξ = Tk (u1 - u2)hσ (u1), соответственно, затем вычтем из первого второе, получим равенство J1 + J2 + J3 + J4 = ((A1 - A2) · ∇Tk (u1 - u2)hσ (u1)hσ (u2) + σ + ((A1 - A2) · ∇u1Tk (u1 - u2)h± (u1)hσ (u2) + σ + ((A1 - A2) · ∇u2Tk (u1 - u2)hσ (u1)h± (u2) + (6.1) + ((B1 - B2) Tk (u1 - u2)hσ (u1)hσ (u2) = 0. Здесь Ai(x) = a(x, ∇ui), Bi(x) = b(x, ui), i = 1, 2. Оценим каждый интеграл Jk, k = 1, 2, 3, 4. Учитывая (2.3), (4.1), выводим неравенство k ( 1 ) ( 2 ) |J2| :: 2C1 σ M x, |A |/(2a) 1,{Ω:σ::|u1|<2σ} + M x, |A |/(2a) 1,{Ω:|u2|<2σ} + + 2 M (x, d|∇u1|) :: 1,{Ω:σ::|u1|<2σ} k 1 2 :: C1 σ (5 M (x, d|∇u Благодаря (4.7) имеем: |) 1,{Ω:|u1 |<2σ} + 2 Ψ 1 + M (x, d|∇u |) 1,{Ω:|u2|<2σ}) . Аналогично устанавливается, что lim σ→∞ lim σ→∞ |J2| = 0. (6.2) |J3| = 0. (6.3) Пользуясь монотонностью функции b(x, s0), выводим J4 0. (6.4) Соединяя (6.1), (6.4), устанавливаем неравенство r J1 = {Ω:|u1-u2|<k} (A1 - A2) · ∇(u1 - u2)hσ (u1)hσ (u2)dx :: |J2| + |J3|. 108 Л. М. КОЖЕВНИКОВА Пользуясь леммой Фату и соотношениями (6.2), (6.3), выполняя в последнем неравенстве предельный переход при σ → ∞, устанавливаем неравенство r {Ω:|u1-u2|<k} (a(x, ∇u1) - a(x, ∇u2) · ∇(u1 - u2)dx :: 0. Это противоречит условию (3.3), поэтому ∇(u1 - u2) = 0 п.в. в {Ω : |u1 - u2| < k} при любом k > 0. Следовательно, ∇Tk (u1 - u2) = 0 п.в. в Ω. Отсюда, ввиду принадлежностей Tk (u1), Tk (u2) ∈ W˚ 1 1 2 1 (Ω), заключаем, что Tk (u - u ) = 0 п.в. в Ω для любого k > 0. Ввиду произвольности k устанавливаем, что u1 = u2 п.в. в Ω. 7. Существование энтропийного решения Доказательство теоремы 3.3. Запишем доказательство теоремы для неограниченной области Ω. Шаг 1. Энтропийное решение строится как предел последовательности слабых решений аппроксимационной задачи для уравнения -div a(x, ∇u)+ bm(x, u) = fm(x), x ∈ Ω(m), m ∈ N, (7.1) c функциями fm(x) = Tmf (x)χΩ(m), bm(x, s0) = Tmb(x, s0)χΩ(m). Несложно показать, что и при этом fm → f в L1(Ω), m → ∞, (7.2) Очевидно, что |fm(x)| :: |f (x)|, |fm(x)| :: mχΩ(m), x ∈ Ω, m ∈ N. (7.3) |bm(x, s0)| :: |b(x, s0)|, |bm(x, s0)| :: mχΩ(m), x ∈ Ω, s0 ∈ R. (7.4) Кроме того, применяя (3.4), устанавливаем неравенство bm(x, s0)s0 0, x ∈ Ω, s0 ∈ R. (7.5) Для каждого m ∈ N существует обобщенное решение um ∈ V˚M (Ω(m)) уравнения (7.1) (см. [11, Theorem 13]). Продолжим um нулем на Ω \ Ω(m), тогда для любой функции v ∈ M V˚1 (Ω(l)) ∩ L∞(Ω(l)), l :: m, выполняется интегральное равенство ((bm(x, um) - fm(x)) v) + (a(x, ∇um) · ∇v) = 0, m ∈ N. (7.6) Шаг 2. В этом шаге установим априорные оценки для последовательности {um}m N. ∈ Положив в (7.6) v = Tk,h(um) = Tk (um - Th(um)), h, k > 0, будем иметь r r a(x, ∇um) · ∇umdx+ r bm(x, um)Tk,h(um)dx :: k |fm|dx. (7.7) {h::|um|<k+h} {|um| h} {|um| h} Благодаря (7.5) на множестве {Ω : h :: |um|} справедливо неравенство bm(x, um)Tk,h(um) 0. Учитывая это, из (7.7), применяя (7.3), выводим неравенство r r a(x, ∇um) · ∇umdx+ k r |bm(x, um)|dx :: k |f |dx. {h::|um|<k+h} {|um | k+h} {|um | h} Отсюда, используя (3.1), устанавливаем неравенство r {|um| k+h} |bm(x, um)|dx :: r {|um | h} (|f | + φ) dx, k 1, m ∈ N. (7.8) ЭНТРОПИЙНЫЕ И РЕНОРМАЛИЗОВАННЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ 109 Теперь в качестве пробной функции в (7.6) возьмем Tk (um). Выполняя аналогичные преобразования, устанавливаем неравенство r r a(x, ∇Tk (um)) · ∇umdx+ k |bm(x, um)|dx :: C1k, m ∈ N. {|um|<k} Отсюда, применяя (3.1), выводим r {|um | k} r a {|um|<k} M (x, d|∇um|)dx+ k {|um| k} |bm(x, um)|dx :: C1k + C2. (7.9) И наконец, благодаря (7.4), (3.5), устанавливаем: sup |um|::k |bm(x, um)| :: sup |um|::k |b(x, um)| = Φk(x) ∈ L1(Ω), m ∈ N. (7.10) Из оценок (7.9), (7.10) имеем: r r |bm(x, um)|dx :: r Φk(x)dx+ |bm(x, um)|dx :: C3(k). (7.11) Ω Ω {|um| k} Кроме того, из (7.9) следует оценка r r {|um |<k} M (x, d|∇um|)dx = Ω M (x, d|∇Tk (um)|)dx :: C4k, k 1. (7.12) Соединяя (4.1), (7.12) выводим оценку r m M x, |a(x, ∇Tk (u )| 2a Ω dx :: C5(k). (7.13) Шаг 3. Из оценки (7.12), применяя предложение 4.1, имеем: meas ({Ω : |um| k}) → 0 равномерно по m ∈ N, k → ∞, (7.14) meas ({Ω : |∇um| h}) → 0 равномерно по m ∈ N, h → ∞. (7.15) Теперь установим сходимость по подпоследовательности: um → u п.в. в Ω, m → ∞. (7.16) Из оценки (7.12) следует ограниченность множества {∇Tk (um)}m N в пространстве L (Ω), а следовательно в L1(Ω). Тогда {Tk (um)}m ∈ M N ⊂ W˚ 1(Ω) ограничена в пространстве W˚ 1(Ω). ∈ 1 1 Отсюда для любого фиксированного k > 0 следует сходимость Tk(um) → vk в L1(Ω), а также сходимость по подпоследовательности Tk(um) → vk почти всюду в Ω. Далее, сходимость (7.16) устанавливается так же, как в работе [2, п. 5.3]. Из сходимости (7.16) следует, что для любого k > 0 Tk (um) → Tk (u) п.в. в Ω, m → ∞. В силу доказанного справедлива сходимость Tk (um) → Tk (u) в L1(Ω), m → ∞. (7.17) Докажем, что bm(x, um) → b(x, u) в L1(Ω), m → ∞. (7.18) Учитывая сходимость (7.16), имеем: bm(x, um) → b(x, u) п.в. в Ω, m → ∞. (7.19) Из (7.8) при k = 1 для любого h > 0 получаем: r {Ω:|um| h+1} |bm(x, um)|dx :: r {Ω:|um| h} (|f | + φ)dx, m ∈ N. 110 Л. М. КОЖЕВНИКОВА Ввиду того, что f, φ ∈ L1(Ω), и абсолютной непрерывности интеграла в правой части последнего неравенства, учитывая (7.14), для любого ε > 0 можно выбрать достаточно большое h(ε) > 1 такое, что: r {Ω:|um| h} 2 |bm(x, um)|dx < ε , m ∈ N. (7.20) Пусть E - произвольное измеримое подмножество в Ω. Применяя (7.10), имеем: r r |bm(x, um)|dx :: r Φh(x)dx+ |bm(x, um)|dx. (7.21) E E {Ω:|um| h} Из принадлежности Φh ∈ L1(Ω) имеем: r E для любого E такого, что meas (E) < α(ε). Объединяя (7.20)-(7.22), устанавливаем r ε Φh(x)dx < 2 (7.22) |bm(x, um)|dx < ε ∀ E такого, что meas (E) < α(ε), m ∈ N. E Таким образом, установлена равномерная интегрируемость последовательности {bm(x, um)}m N ∈ в L1(Ω). Учитывая сходимость (7.19), применяя лемму 4.3, устанавливаем сходимость (7.18). Шаг 4. Докажем сходимость: ∇um → ∇u п.в. в Ω, m → ∞. (7.23) Из сходимости (7.16) следует сходимость по мере, а значит и фундаментальность um по мере: meas ({Ω : |um - ul| ν}) → 0 при m, l →∞ для любого ν > 0. (7.24) Сначала установим сходимость: ∇um → ∇u по мере, m → ∞. (7.25) Для ν, θ, h > 0 рассмотрим множество Eν,θ,h = {Ω : |ul - um| < ν, |∇ul | :: h, |∇um| :: h, |ul| < h, |um| < h, |∇(ul - um)| θ}. Поскольку справедливо включение {Ω : |∇(ul - um)| θ}⊂ {Ω : |∇ul| > h}∪ {Ω : |∇um| > h}∪ ∪{Ω : |ul - um| ν}∪ {Ω : |ul | h}∪ {Ω : |um| h}∪ Eν,θ,h, то, в силу (7.14), (7.15), выбором h добьемся неравенств meas ({Ω : |∇(ul - um)| θ}) < 4ε + meas (Eν,θ,h)+ meas ({Ω : |ul - um| ν}), m, l ∈ N. (7.26) По условию монотонности (3.3) и известному факту, что непрерывная функция на компакте достигает наименьшего значения, найдется γ(x) > 0 п.в. в Ω такая, что при |s| :: h, |t| :: h, |s - t| θ с достаточно малым θ справедливо неравенство 0 (a(x, s) - a(x, t)) · (s - t) γ(x) п.в. в Ω. (7.27) Введем обозначение Am(x) = fm(x) + bm(x, um). Из (7.3), (7.11) следует ограниченность последовательности {Am}m N в L (Ω). Запишем (7.6) дважды для um и ul и вычтем из первого второе, получим 0 ∈ r a(x, Ω 1 ∇um) - a(x, ) ∇ul r · ∇vdx+ Ω 0 (Am - 0 Al )vdx = 0. ЭНТРОПИЙНЫЕ И РЕНОРМАЛИЗОВАННЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ 111 Подставляя пробную функцию v = Tν (um - ul), устанавливаем соотношение r r a(x, ∇um) - a(x, ∇ul ) ·∇Tν (um -ul)dx = - (Am -Al )Tν (um -ul)dx :: C6ν, m, l ∈ N. (7.28) 0 0 Ω Ω Далее, применяя (7.27), выводим r r Eν,θ,h γ(x)dx :: r Eν,θ,h a(x, ∇um) - a(x, ∇ul ) o ∇(um - ul)dx :: :: {Ω:|um-ul|<ν} (a(x, ∇um) - a(x, ∇ul ))∇(um - ul)dx. (7.29) Соединяя (7.29), (7.28), получаем r Eν,θ,h γ(x)dx :: C6ν. Отсюда для произвольного δ > 0 при фиксированном h выбором ν устанавливаем неравенство r Eν,θ,h γ(x)dx < δ. Применяя лемму 4.10, для любого ε > 0 выводим meas (Eν,θ,h) < ε. (7.30) Ввиду того, что meas (Eν,θ,h) = 0 для достаточно больших θ, то неравенство (7.30) справедливо для любых θ > 0. Кроме того, согласно (7.24), можно выбрать m0(ν, ε) такое, что meas ({Ω : |ul - um| ν}) < ε, m, l m0. (7.31) Соединяя (7.26), (7.30), (7.31), в итоге для любого θ > 0 выводим неравенство meas ({Ω : |∇(ul - um)| θ}) < 6ε, m, l m0. Отсюда следует фундаментальность по мере последовательности {∇um}m N, это влечет схо- ∈ димость (7.25), а также сходимость (7.23) по подпоследовательности. Так как ∇u = 0 на множестве, где |u| = k, то из сходимости (7.23) заключаем: ∇Tk(um) - ∇Tk(u) = χ {Ω:|um |<k} (∇um - ∇u)+ + (χ {Ω:|um |<k} - χ{Ω:|u|<k} ) ∇u → 0 п.в. в Ω, m → ∞. (7.32) Кроме того, благодаря оценке (7.12), пользуясь леммой 4.11 устанавливаем равномерную интегрируемость последовательности {∇Tk (um)}m N в L (Ω). Отсюда по теореме Витали устанавливаем ∈ 1 сходимость ∇Tk (um) → ∇Tk (u) в L1(Ω), m → ∞. (7.33) 1 Следствием (7.17), (7.33) является принадлежность Tk (u) ∈ W˚ 1(Ω). Далее, применяя (2.4) из (7.12), (7.13) выводим оценки M ∇Tk (um) M :: C7(k), a(x, ∇Tk (um)) :: C8(k), m ∈ N. Отсюда, пользуясь сходимостью (7.32) по лемме 4.2 устанавливаем M ∇Tk (um) --∇Tk(u) по топологии σ(LM , E ) в LM (Ω), m → ∞, 0 a(x, ∇Tk (um)) --a(x, ∇Tk (u)) по топологии σ(LM , EM ) в LM (Ω), m → ∞. (7.34) Шаг 5. Пусть ξ ∈ C1(Ω), supp ξ ⊂ Ω(l), l l0. Чтобы доказать неравенство (3.7), в тождестве (7.6) возьмем пробную функцию v = Tk (um - ξ), получим соотношение (a(x, ∇um) · ∇Tk(um - ξ)) + ((bm(x, um) - fm) Tk (um - ξ)) = Im + Jm, m l0. (7.35) 112 Л. М. КОЖЕВНИКОВА ∞ Положим k = k + ξ . Если |um k}, следовательно, r m - ξ| < k, то |u m | < k, поэтому {Ω : |u r m - ξ| < k}⊆ {Ω : |u | < Im = Ω r a(x, ∇um) · ∇Tk (um - ξ)dx = {Ω:|um-ξ|<k} r a(x, ∇um) · ∇(um - ξ)dx = = a(x, ∇T (um)) · ∇T (um)dx - a(x, ∇T (um)) · ∇ξdx = Im - Im. (7.36) k {Ω:|um-ξ|<k} kk 1 2 {Ω:|um-ξ|<k} Применяя (7.16), (7.32), по лемме Фатудля правильных k (таких, что meas({Ω : |u - ξ| = k})= 0) имеем сходимость: lim inf Im = lim inf r a(x, ∇T (um)) · ∇T (um)χ m dx m→∞ 1 m→∞ k Ω k {Ω:|u -ξ|<k} r {Ω:|u-ξ|<k} a(x, ∇Tk (u)) · ∇Tk (u)dx. (7.37) Используя (7.16), по лемме 4.5 для правильных k имеем сходимость: ∇ξχ{Ω:|um-ξ|<k} → ∇ξχ{Ω:|u-ξ|<k} сильно в EM (Ω), m → ∞. Отсюда, учитывая сходимость (7.34), выводим lim r Im = lim a(x, ∇T (um)) · ∇ξχ m r dx = a(x, ∇T (u)) · ∇ξdx. (7.38) m→∞ 2 m→∞ k Ω {Ω:|u -ξ|<k} k {Ω:|u-ξ|<k} Соединяя (7.36)-(7.38), устанавливаем r r lim inf m→∞ Im {Ω:|u-ξ|<k} a(x, ∇Tk r (u)) · ∇Tk (u)dx - {Ω:|u-ξ|<k} a(x, ∇Tk (u)) · ∇ξdx = = {Ω:|u-ξ|<k} a(x, ∇u) · ∇(u - ξ)dx. (7.39) Из сходимости (7.16) по лемме 4.5 имеем: ∞ Tk (um - ξ) --k (u - ξ) в топологии σ(L , L1) пространства L∞ (Ω), m → ∞. Отсюда, используя (7.18), (7.2), устанавливаем r r lim m→∞ Jm = lim m→∞ Ω (bm(x, um) - fm) Tk (um - ξ)dx = Ω (b(x, u) - f ) Tk(u - ξ)dx. (7.40) TM Соединяя (7.35), (7.39), (7.40), выводим (3.7). Таким образом, u ∈ ˚1 (Ω) является энтропийным решением задачи (1.1), (1.2).

Об авторах

Л. М. Кожевникова

Стерлитамакский филиал Уфимского университета науки и технологий; Елабужский институт Казанского федерального университета

Автор, ответственный за переписку.
Email: kosul@mail.ru
Стерлитамак, Россия; Елабуга, Россия

Список литературы