Антикомпакты и их приложения к аналогам теорем Ляпунова и Лебега в пространствах Фреше

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ Данная работа посвящена новому подходу к двум проблемам теории меры и интеграла в бесконечномерных пространствах Фреше. Для отображений в конечномерные пространства хорошо известна теорема Ляпунова о выпуклости образа безатомной векторной меры -→μ : Σ → Rn, заданной на σ-алгебре подмножеств Σ некоторого пространства Ω [7]. Этот результат имеет многочисленные приложения в оптимальном управлении, математической экономике, математической статистике, теории игр [1, 4, 6, 8]. Ввиду этого известно множество модификаций и обобщений этого результата в конечномерных пространствах, в том числе и относительно современных [19, 20, 24, 27, 30]. В частности, отметим работу с аналогами теоремы Ляпунова для некоторых специальных подмножеств -→μ (Σ) [20]. Однако, как показывает множество примеров, теорема Ляпунова неверна для векторных мер со значениями в бесконечномерных пространствах [5, 7, 21]. При этом существует множество аналогов указанной теоремы Ляпунова для бесконечномерных банаховых пространств, которые используются, в частности, в работах [1, 4]. Наиболее известный подход заключается в выделении класса банаховых пространств E с так называемым свойством Ляпунова. В каждом таком пространстве E для любой счетно-аддитивной безатомной меры -→μ : Σ → E замыкание -→μ (Σ) множества -→μ (Σ) выпукло [5, 21]. Свойством Ляпунова обладают, например, пространства c0, fp (p ∈ [1; 2) ∪ (2; +∞), см. [5]). Но указанным свойством не обладает множество важнейших пространств, в том числе и сепарабельное гильбертово пространство f2. Также известна теорема Ула o выпуклости множества -→μ (Σ) в случае мер ограниченной вариации со значениями в пространствах со свойством Радона-Никодима [21]. Но как свойство Ляпунова, так и свойство Радона- Никодима существенно ограничивают класс рассматриваемых пространств (ни тому, ни другому свойству не удовлетворяют, например, пространства L1[a; b] и C[a; b]). Нельзя не отметить также известный результат о выпуклости и слабой компактности слабого замыкания -→μ (Σ) множества -→μ (Σ) [21] в любом банаховом пространстве. Мы же ставим задачу получить аналог теоремы Ляпунова в бесконечномерном случае без столь существенных сужений на класс пространств, а также без использования слабого замыкания (которое, вообще говоря, не позволяет говорить о представлении точек замыкания множества как предельных точек последовательностей элементов множества [16]). Работа выполнена при поддержке гранта Республики Крым для молодых ученых в 2014 году. Qc 2014 РУДН 155 156 Ф. С. СТОНЯКИН Далее, существует множество аналогов классического интеграла Лебега для отображений в бесконечномерные пространства Фреше. Наиболее известным и широко употребляемым является интеграл Бохнера, поскольку он сохраняет практически все свойства интеграла Лебега [16, 17, 23]. Однако класс интегрируемых по Бохнеру отображений не является достаточно широким для многих задачах функционального анализа и его приложений [3, 17, 23]. В связи с этим наряду с интегралом Бохнера активно изучаются и используются другие понятия интеграла для отображений в бесконечномерные пространства Фреше [3, 17, 23]. В частности, хорошо известна теория интеграла Петтиса [3, 16, 17], которая активно развивается и в современных исследованиях [18, 23, 25, 28, 29, 32]. Класс интегрируемых по Петтису отображений существенно шире класса отображений, интегрируемых по Бохнеру. Но при этом интеграл Петтиса теряет множество существенных свойств интеграла Бохнера. Так, например, всякий неопределенный интеграл Бохнера F : I = [a; b] → E x (E - пространство Фреше) F (x) = (B) r f (t)dt (a x b) сохраняет свойство дифференцируеa мости почти всюду на [a; b]. Рассмотрим неопределенные интегралы Петтиса, т. е. отображения F : I = [a; b] → E (E - пространство Фреше) вида x r F (x)= (P ) a f (t)dt, a x b, (1) причем f предполагается сильно измеримым, а также интегрируемым по Петтису на любом измеримом по Лебегу подмножестве e ⊂ I. Как показано в [22, замечание к теореме 1], для произвольного бесконечномерного банахова пространства E существует сильно измеримое и интегрируемое по Петтису отображение f : I → E такое, что 1 x+h 1 1 1 r 1 h→0 1 h 1 lim 1 (P ) 1 1 x f (t)dt1 = ∞ ∀t ∈ I, 1 1 откуда вытекает отсутствие дифференцируемости отображения F из (4.1) всюду на I. Это означает, что естественной и актуальной является задача поиска условий, при которых F из (4.1) будет дифференцируемым почти всюду на I. Основная идея настоящей работы - предложить подход к указанным проблемам, основанный на новом понятии антикомпактного множества в пространствах Фреше. Поясним суть этого подхода. Весьма известно понятие компактного множества в топологических векторных пространствах. Такие множества обладают рядом весьма важных свойств, не присущих ограниченным множествам в бесконечномерных пространствах. Оказывается, что это как раз и приводит ко многим проблемам бесконечномерного анализа - таким как проблема переноса теоремы Ляпунова о выпуклости образа векторной меры (описана выше), проблема переноса теоремы Радона-Никодима о представимости абсолютно непрерывного отображения в виде интеграла Бохнера, проблема Крейна- Мильмана о существовании крайних точках ограниченных замкнутых множеств, не являющихся компактными и др. Ввиду этого возникла идея «сделать» ограниченные замкнутые множества компактами, но в другом пространстве (причем важно, чтобы это пространство было достаточно удобным). Аппаратом для реализации отмеченной идеи как раз и служит понятие антикомпактного множества, которому и посвящена настоящая работа. Эти исследования в некотором смысле перекликаются с недавними работами [10, 15, 31], в которых была рассмотрена проблема Радона-Никодима, связанная с отсутствием представимости абсолютно непрерывных отображений в виде интеграла Бохнера для бесконечномерных пространств. При этом в работах [10, 15, 31] был использован результат о разложимости каждого банахова пространства E в виде индуктивного предела банаховых пространств EC, порожденных абсолютно выпуклыми компактами C ∈ C(E). В настоящей работе один из основных результатов - доказательство существования системы антикомпактов во всяком сепарабельном пространстве Фреше. На базе этой системы антикомпактов как раз и удается, в некотором смысле, решить проблему, связанную с переносом теоремы Ляпунова в классе сепарабельных банаховых пространств. АНТИКОМПАКТЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К АНАЛОГАМ ТЕОРЕМ ЛЯПУНОВА И ЛЕБЕГА 157 Работа состоит из введения и пяти основных разделов. В первом разделе вводится понятие антикомпактного множества в банаховых пространствах, приведены два ключевых примера систем антикомпактов - системы эллипсоидов в сепарабельных гильбертовых пространствах, а также системы эллипсоидов в пространстве непрерывных функций C[0; 1]. Второй раздел посвящен детальному исследованию свойств как антикомпактных множеств, так и шкалы банаховых пространств, порожденных антикомпактами. Особо рассмотрен случай системы эллипсоидов в гильбертовых пространствах. Основной результат раздела 2 - существование системы антикомпактов во всяком сепарабельном пространстве Фреше E (теорема 2.5). И, наконец, в третьем разделе работы получены аналоги теоремы Ляпунова о выпуклости в классе сепарабельных гильбертовых (теорема 3.4) и банаховых пространств (теорема 3.5) - показана выпуклость и компактность замыкания в некотором пространстве EC множества значений векторной меры. При этом рассматриваются аналоги не только самой теоремы Ляпунова, а и более тонкого результата - выпуклости специальных подмножеств значений векторных мер [20]. Отметим, что в гильбертовом случае мы не накладываем никаких существенных условий на меры, кроме ограниченности. В случае же банаховых пространств мы по сути получаем аналог теоремы Ула, но без сужения на класс пространств. Последние два раздела работы посвящены проблеме недифференцируемости неопределенного интеграла Петтиса. В разделах 4 и 5 работы мы докажем условия дифференцируемости почти всюду сильного интеграла Петтиса отображений в пространства Фреше (1). С этой целью в разделе 4 мы вводим две новые характеристики сильно измеримых и интегрируемых по Петтису отображений - слабую интегральную ограниченность (Bw ) и σ-компактную измеримость (Cσ ). int mes На базе предложенных понятий нами получено достаточное условие дифференцируемости отображений из (1) в терминах слабой интегральной ограниченности (теорема 4.1), а также необходимое условие - в терминах σ-компактной измеримости (теорема 4.3). Но фактически эти результаты лишь очерчивают проблему: дифференцировать неопределенный интеграл можно лишь для достаточно узких и специальных классов отображений. Возникает естественная задача получить аналог теоремы Лебега для произвольного сильно измеримого и интегрируемого по Петтису отображения. Такой результат получен нами в разделе 5: доказана интегрируемость по Бохнеру в некотором пространстве EC, порожденном антикомпактом C ∈ C(E) всякого сильно измеримого и интегрируемого по Петтису отображения (теорема 5.1) и, как следствие - дифференцируемость почти всюду в EC неопределенного интеграла Петтиса (теорема 5.2 и следствие 5.1). 1. ПОНЯТИЕ АНТИКОМПАКТНОГО МНОЖЕСТВА. ПРИМЕРЫ АНТИКОМПАКТОВ Обозначим через Ωac(E) набор всех замкнутых абсолютно выпуклых подмножеств пространства Фреше Е. Определение 1.1. Назовем множество C ∈ Ωac антикомпактным в E, если: 1. pC (a)=0 ⇔ a =0 в Е (или, n λ>0 λC = {0}); 2. любое ограниченное подмножество E содержится и предкомпактно в пространстве EC = (span C, pC (·)). Здесь под pC (·) мы понимаем функционал Минковского абсолютно выпуклого множества C ⊂ E и считаем, что EC пополнено относительно нормы ⊗· ⊗C = pC (·). Введем обозначение: C(E) - набор антикомпактных подмножеств пространства Фреше E. Приведем примеры антикомпактных множеств (или, сокращенно, антикомпактов) в некоторых пространствах. Пример 1.1. Пусть E = H ∼= f2 - сепарабельное гильбертово пространство. В таких пространствах существует система так называемых эллипсоидов [9]. Пусть ε = (ε1, ε2,..., εn,.. .) - последовательность положительных чисел. Для каждой такой последовательности ε эллипсоидом называется следующее множество: Cε = ( x = (x1, x2, ..., xn, ...) ∈ f2 | ∞ '\" | k=1 xk |2 ε 2 k 1 . 158 Ф. С. СТОНЯКИН Доказано, что Cε компактно тогда и только тогда, когда ε → 0 (см. [9]). Отметим, что множество Cε абсолютно выпукло. Норма ⊗· ⊗Cε , порожденная Cε в пространстве HCε = span Cε, имеет вид 1 ⊗x⊗ = x ∞ '\" | k | ε2 2 2 . k=1 k Лемма 1.1. Если ε → ∞, то Cε - антикомпакт. Доказательство. Действительно, поскольку любое ограниченное множество B ⊂ H поглощается единичным шаром, то, не уменьшая общности рассуждений, вместо B достаточно рассмотреть единичный шар ( ∞ B = x = {xk }∈ f2 | k '\" x2 1 . Ясно, что pB (·)= ⊗· ⊗.£2 . Так как ∞ k=1 ∞ xk 2 ∞ x2 2 ⊗x⊗ 2 .£2 k ε2 = '\" |xk |2 = '\" ε2 · | | = '\" | k | , ε2 k=1 1 k=1 k x k=1 k где = ε и = (x1, ,..., ,.. .) ∈ H , = ε (ε → +∞), то ввиду → 0 при k → ∞ εk x k x2 xn Cε xk εk k имеем, что - B компакт в ECε , т. е. Cε антикомпактно в H. Теперь покажем, как можно строить примеры антикомпактов в сепарабельных банаховых пространствах. Для этого рассмотрим пример в «типичном» банаховом пространстве числовых последовательностей f∞. Типичность пространства последовательностей f∞ мы понимаем в том смысле, что всякое сепарабельное банахово пространство изометрически изоморфно подпространству E ⊂ f∞ (см. [5, с. 556]). k=1 Пример 1.2. Для произвольной числовой последовательности ε = (εk > 0)∞ назовем (невырожденным) эллипсоидом в E ⊂ f∞ множество ( xk Cε = x = (x1, x2,..., xn,.. .) ∈ E sup | | 1 . k∈N |εk | Ясно, что множество Cε абсолютно выпукло. Норма ⊗· ⊗Cε , порожденная Cε в ECε = span Cε, имеет вид ⊗x⊗Cε := sup | xk | . (1.1) k∈N |εk | Отметим, что если последовательность ε → 0, то Cε - компакт в E (при этом обратное утверждение неверно). Действительно, в таком случае xk → 0 при k → ∞ равномерно по всем x ∈ E . Поэтому Cε равномерно мажорируется последовательностью (ε1, ε2,..., εn,.. .) ∈ c0, откуда вытекает компактность Cε в пространстве c0 (см. [5, с. 336, теорема 1]), а значит и в E ⊂ f∞ (здесь мы учитываем замкнутость подпространства c0 ⊂ f∞). Покажем, что для любой возрастающей последовательности положительных чисел ε → +∞ множество Cε антикомпактно. Лемма 1.2. Для всякой возрастающей последовательности положительных чисел ε → +∞ множество Cε антикомпактно в E . Доказательство. Во-первых, по построению нормы в ECε ⊗x⊗Cε = sup | xk | 1 sup |xk | = K⊗x⊗ k∈N |εk | ε1 k∈N E для некоторого K > 0. Поэтому ECε содержит некоторый шар в E с центром в нуле. Во-вторых, предкомпактность любого ограниченного множества B ⊂ E в пространстве ECε вытекает из наличия последовательности 1 1 , ε1 ε2 1 ,..., εn \ ,... ∈ c0, равномерно мажорирующей все АНТИКОМПАКТЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К АНАЛОГАМ ТЕОРЕМ ЛЯПУНОВА И ЛЕБЕГА 159 последовательности из B по норме ECε ∼= f∞ (здесь мы снова учитываем замкнутость подпространства c0 ⊂ f∞). По сути, построением предыдущего примера мы доказали, что во всяком сепарабельном банаховом пространстве существует система антикомпактов. Это - основа всех основных результатов данной работы. Но перед их изложением уделим внимание некоторым общим свойствам антикомпактных множеств, а также свойствам шкалы пространств, которые порождаются антикомпактами. 2. ОБЩИЕ СВОЙСТВА АНТИКОМПАКТОВ Данный пункт посвящен детальному исследованию свойств как самих антикомпактных множеств, так и шкалы банаховых пространств EC, C ∈ C(E), порожденных антикомпактными множествами в E. Начнем с описания антикомпактов в конечномерных пространствах. Теорема 2.1. Если E = Rn, то C(E) состоит из всех ограниченных абсолютно выпуклых замкнутых множеств K. Доказательство. 1. Пусть n = 1. Тогда любое ограниченное абсолютно выпуклое замкнутое множество имеет вид C = [-α; α], α ∈ R. Имеем EC = E = R, и поэтому всякое ограниченное множество предкомпактно. Это значит, что любое множество вида C = [-α; α] удовлетворяет условию. В то же время для неограниченных множеств C функция pC (·) не удовлетворяет условию 1 определения 1.1. 1. Если n > 1, то рассмотрим координатные функционалы f1(·), f2(·),..., fn(·) ∈ E∗ = (Rn)∗ . Для всякого абсолютно выпуклого множества C ∈ E fi(C)= [-α; α] ∀i = 1, n. В силу пункта 1 данного доказательства неограниченное множество не может быть антикомпактным. А ограниченное замкнутое абсолютно выпуклое множество, как нетрудно проверить, антикомпактно. 2. Условие n λ>0 λK = {0} вытекает из ограниченности множества K. Теперь рассмотрим случай сепарабельного гильбертова пространства. Как показано в разделе 1, в таких пространствах существует система антикомпактных эллипсоидов. Пусть E = H ∼= f2 - сепарабельное гильбертово пространство, ε = (ε1, ε2,..., εn,.. .) - последовательность положительных чисел. Напомним, что для каждой такой последовательности ε эллипсоидом называется множество Cε = ( x = (x1, x2,..., xn,.. .) ∈ f2 | ∞ '\" | k=1 xk |2 ε 2 k 1 . (2.1) Лемма 1.1 утверждает, что при ε →∞ Cε - антикомпакт. Имеет место следующая теорема. Теорема 2.2. Множество Cε антикомпактно тогда и только тогда, когда ε → +∞. Доказательство. Достаточность показана в лемме 1.1. Покажем необходимость: пусть ε не схо- .£=1 дится к +∞, т. е. существует подпоследовательность {εk£ }∞ ⊂ ε такая, что εk£ N для некоторого N ∈ N. Рассмотрим множество B = {x = (x1, x2,..., xn,.. .) ∈ f2 | xk =0 при k /= k.£, xk ∈ [0; 1] при k = k.£}. Легко видеть, что B ограничено в HCε , но не компактно. Теперь мы покажем, что любой антикомпакт в H можно погрузить в некоторый антикомпактный эллипсоид. Теорема 2.3. Если множество C ∈ Ωac(f2) антикомпактно, то ∃Cε : C ⊂ Cε. Доказательство. 1. Рассуждениями, аналогичными доказательству теоремы 2.1, можно установить, что если положить x = (x1, x2,... xn,.. .) ∈ C ⊂ H для всякого антикомпактного множества C ∈ Ωac(f2), то lim sup |xn| = +∞. n→∞ x∈C 160 Ф. С. СТОНЯКИН 1. Пусть εn = sup |xn|. Так как n λC = {0}, то εn < +∞. Действительно, если sup |xn| = ∞, x∈C λ<0 x∈C 1 то ∀k ∈ N ∃x(k) = (x1k,..., xnk,.. .) ∈ C: |xnk | = k. Поэтому ⊗x(k)⊗ ?: k и 1 k ⊗x(k)⊗ ?: 1∀k ∈ N, что противоречит условию n λ<0 λC = {0} (если положить λk = k → 0 при k → ∞). 2. Поскольку εn < +∞, то можно рассмотреть эллипсоид (2.1). Из пункта 1 данного доказательства вытекает, что Cε - антикомпакт. При этом C ⊂ Cε. Отметим очевидные свойства антикомпактных множеств в произвольных пространствах Фреше. Через L(E; F ) будем обозначать множество линейных непрерывных операторов, действующих из пространства Фреше E в пространство Фреше F. Предложение 2.1. Если множество C ∈ C(E) и A ∈ L(E; F ), где E и F - пространства Фреше, то A(C) ∈ C(F ). Далее под обозначением E '→'→ F будем понимать, что банахово пространство E инъективно компактно вложено в банахово пространство F. Предложение 2.2. Если E '→'→ F, ϕ : E → F - каноническое вложение, то для любого замкнутого абсолютно выпуклого множества K ⊂ E такого, что некоторый шар B(0) ⊂ K и n λ>0 λK = {0}, выполнено: ϕ(K) ∈ C(F ). n=1 Предложение 2.3. Пусть Е - пространство Фреше. Если последовательность {xn}∞ ⊂ E сходится в E, то она сходится и в EC для произвольного ∀C ∈ C(E). Доказательство. Отметим лишь, что если ⊗·⊗ - произвольная непрерывная полунорма в E, то ⊗· ⊗C K⊗·⊗ для некоторого числа K > 0 и всякого антикомпактного множества C ∈ C(E). Переходим к свойствам шкалы пространств, порожденных антикомпактами. Начнем с очевидного свойства. Предложение 2.4. Пусть C ∈ C(E), C± ∈ Ωac(E), n λ>0 λC± = {0} и C ⊂ C±. Тогда C± ∈ C(E). Теперь докажем значительно более тонкий результат - существование для всякого антикомпак- C та C± такого антикомпакта C±±, что пространство E II '→'→ ECI . Теорема 2.4. Если Е - банахово пространство и C± ∈ C(E), то C ∃C±± ∈ C(E): E II '→'→ ECI . Доказательство. Докажем, что существует непрерывное отображение ϕ : ECI → ECI такое, что для любого C ∈ C(ECI ) вложение EC '→ ECϕ компактно, где Cϕ = co ϕ(C). Пусть ⊗·⊗ - норма в ECI . Введем отображение (∀x ∈ ECI ): ϕ(x)= j x ⊗x⊗ (x /= 0), ϕ(0) = 0. Легко видеть, что функция ϕ(x) непрерывна. Обозначим Cϕ = co ϕ(C) ∈ C(ECI ) и докажем компактность вложения EC '→ ECϕ . x a). Пусть ∈ ∂coC (∂coC - выпуклая граница C). Тогда при некотором λ ?: 1 j ⊗x⊗ верно λx ∈ ∂coCϕ. Отсюда x⊗Cϕ j ⊗. (2.2) ⊗ ⊗x Если же x ∈ C, = μx (при некотором μ ?: 1), то подставляя = μx в (2.2), получаем x откуда x x μ⊗x⊗Cϕ = ⊗ ⊗Cϕ j⊗μx⊗, √ j j 1 j ⊗x⊗Cϕ μ ⊗μx⊗ = μ ⊗x⊗ ⊗x⊗, (2.3) АНТИКОМПАКТЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К АНАЛОГАМ ТЕОРЕМ ЛЯПУНОВА И ЛЕБЕГА 161 т. е. справедливо (x ∈ C) ⇒ ( ⊗x⊗Cϕ j⊗x⊗ . (2.4) 1 б). Пусть {xk }∞ ⊂ C. Тогда существует подпоследовательность xkn E сходящаяся к некоторому xkn ∈ - x0 ( ∈ ). x0 ∈ C, т. е. xkn - x0 → 0. При этом xkn - x0 ∈ C - C = 2C, т. е. 2 C n N Применяя (2.4) к x = xkn - x0 2 , получаем: 1 xkn - x0 1 n - x 1 1 xk 0 1 n - x 1 1 1 xk 0 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1Cϕ 1 2 1, откуда ⊗xkn - x0⊗Cϕ 2 1 1 1 ECϕ 1 → 0 2 1 при n → ∞. Таким образом, xkn - x0 вложение EC '→ ECϕ компактно. → 0, т. е. C предкомпактно в ECϕ и, следовательно, Отметим следствие из предыдущего результата. Следствие 2.1. Для любых множеств C1, C2 ∈ C(E) таких, что EC1 '→'→ EC2 существует C3 ∈ C(E): EC1 '→'→ EC3 '→'→ EC2 . Переходим к изложению основного результата данного раздела работы - доказательству существования антикомпактного множества во всяком сепарабельном пространстве Фреше. Теорема 2.5. В любом сепарабельном пространстве Фреше существует антикомпактное подмножество. Доказательство. 1. Хорошо известно, что всякое сепарабельное банахово пространство E ∼= E , где E - некоторое подпространство пространства последовательностей f∞ (см. [5, с. 556]). В качестве искомого антикомпакта можно взять любой антикомпактный эллипсоид в E ⊂ f∞ (см. лемму 1.2). Итак, теорема доказана в классе сепарабельных банаховых пространств. 1. Пусть теперь E - пространство Фреше. Напомним, что любое пространство Фреше E со j=1 счетной определяющей системой полунорм {⊗ · ⊗j }∞ является проективным пределом последовательности банаховых пространств E j , где E j являются пополнениями по фактор-нормам факторпространств Ej = E/ker⊗· ⊗j (j ∈ N). В силу пункта 1 настоящего доказательства ∀j ∈ N существует антикомпакт C j , т. е. Ej '→'→ EC j . Не уменьшая общности рассуждений, систему антикомпактов C j ∞ можно выj=1 брать неубывающей (если нужно, рассмотрев вместо этого систему множеств { антикомпактны в силу предложения 2.4). При таком соглашении ∞ j=1 N =1 C j }∞ , которые j Пусть E = n EC ⊗· ⊗C j ?: ⊗· ⊗C k ∀k ?: j. (2.5) - прямое произведение пространств EC j . Рассмотрим множество C j ⎧ ⎫ ⎨ ∞ x⊗C j ⎬ C := x ∈ E | ⎩ '\" ⊗ j2 j=1 < ∞. ⎭ Поскольку E - проективный предел пространств E j и поэтому E может быть плотно и непрерывно вложено в n E j , то всякое ограниченное множество C ⊂ E может быть инъективно (ввиду j∈N отделимости пространства E) и непрерывно вложено в произведение n j2C j , которое компактно j∈N в E по теореме Тихонова в топологии прямого произведения. Далее, в силу (2.5) и сходимости 162 Ф. С. СТОНЯКИН ряда ∞ 1 можно проверить компактность C в пространстве E , порожденном и пополненном j=1 j2 относительно нормы ⊗x⊗C = C ∞ '\" ⊗x⊗C j j2 . j=1 Поэтому C - непустой абсолютно выпуклый компакт в E , т. е. C - антикомпакт в E. 2. АНАЛОГИ ТЕОРЕМЫ ЛЯПУНОВА В СЕПАРАБЕЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ФРЕШЕ Теперь мы переходим к обобщению теоремы Ляпунова на случай сепарабельных пространствах Фреше. Начнем с примера, показывающего возможность невыпуклости как самого множества значений некоторой векторной меры, так и его замыкания в H = f2. Пример 3.1. Пусть H = L2[0; 1] - пространство интегрируемых по Лебегу функций с интегрируемым квадратом модуля, Σ - σ-алгебра борелевских подмножеств отрезка [0; 1], и в качестве меры рассмотрим классическую меру Лебега на отрезке. Рассмотрим векторную меру со значением в H: -→μ (A)= χA(·) - характеристическая функция множества A. 3 2 Оказывается, что множество -→μ (Σ) невыпукло. Действительно, функции -→μ 1 ≡ 0 и -→μ 2 ≡ 1 принадлежат множеству -→μ (Σ). Однако -→μ ≡ 1 /∈ -→μ (Σ). Отметим, что теорема Ула в этой ситуации неприменима, поскольку векторная мера -→μ не имеет полной ограниченной вариации. Рассмотрим вспомогательный результат для мер, представимых в виде интеграла Бохнера, который будет базовым для основных результатов раздела. Мы отправляемся от специальной формы теоремы Ляпунова для подмножеств образов векторных мер в конечномерных пространствах, полученной в [20]. Теорема 3.1. Если E = Rn, то для всякого вектора -→p ∈ -→μ (Σ) множество -→μ (Σ, -→p )= {-→μ (Y ) | ∃X : Y ⊆ X, -→μ (X)= -→p } выпукло и компактно в E. Покажем справедливость следующего обобщения теоремы 3.1. Теорема 3.2. Пусть E - банахово пространство, векторная мера представима в виде неопределенного интеграла Бохнера r -→μ (A)= (B) A f (t)dm(t) ∀A ∈ Σ, где m - некоторая безатомная числовая мера. Тогда множество -→μ (Σ, -→p )= {-→μ (Y ) | ∃X : Y ⊆ X, -→μ (X)= -→p } выпукло и компактно в E. Доказательство. 1. Покажем выпуклость множества ⎧ ⎫ p )= R-→(f ⎨ ⎩ r (B) Y r f (t)dm(t) | ∃X : Y ⊆ X, (B) X f (t)dm(t)= -→p ⎬ . ⎭ Для всякого ε > 0 ввиду интегрируемости f по Бохнеру на A можно выбрать простые отображения вида n k fε(t)= '\" f (tk )χX k=1 n (t), где tk ∈ Xk, f (tk )= ck ∈ E, A = I Xk, k=1 АНТИКОМПАКТЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К АНАЛОГАМ ТЕОРЕМ ЛЯПУНОВА И ЛЕБЕГА 163 где χE (t) - характеристическая функция множества E, так, чтобы r ⊗f (t) - fε(t)⊗dm(t) < ε. A 1 Пусть εn = n . Докажем, что множество ⎧ ⎫ ⎨ R-→p (fεn )= ⎩ r (B) Y r fεn (t)dm(t) | ∃X : Y ⊆ X, (B) X f (t)dm(t)= -→p ⎬ ⎭ выпукло при произвольном n. Не уменьшая общности, можно положить, что A1 ⊆ X, A2 ⊆ X± A1 ∩ A2 = ∅, где r (B) r f (t)dm(t)= (B) f (t)dm(t)= -→p. Тогда X XI r n откуда -→μ (A1)= (B) A1 r -→μ (A2)= (B) A1 fε(t)dm(t)= '\" f (tk )m (Xk ∩ A1) , k=1 n fε(t)dm(t)= '\" f (tk )m (Xk ∩ A2) , k=1 '\" -→μ (A1)+ -→μ (A2) 1 n = f (t ) (m (X A )+ m (X A )) = 2 2 k k=1 n k ∩ 1 k ∩ 2 = '\" f (tk ) (m (Xk ∩ A 1 + m (Xk ∩ A 2 = -→μ (A 1 ∪ A 2) k=1 i i 2 i для множеств A таких, что m(A ) = 1 m(A ) (i = 1, 2). Такие множества можно выбрать в силу безатомности числовой меры m по классической теореме Ляпунова [7]. Таким образом, R-→p (fεn ) выпукло при произвольном n ∈ N. По построению функций fεn и ввиду произвольности выбора ε > 0 можно заключить, что R-→p (f )= I R-→p (fεn ). n∈N В [16] показано, что можно выбрать последовательность функций fεn так, чтобы при увеличении n n=1 происходило измельчение разбиения множества X. В таком случае {R-→p (fεn ) ∞ - неубывающая цепочка выпуклых множеств. Покажем, что эти множества не убывают. Действительно, для конечнозначных функций fεn несложно проверить, что R-→p (fεn )= I co{fεn }m(X), X где co{f } - выпуклая оболочка множества значений f . А поскольку разбиение при n → +∞ измельчается и «старые» значения функции сохраняются, то co{fεn1 }⊂ co{fεn2 } при n1 < n2. Итак, множество R-→p (f ) выпукло как замыкание объединения (по включению) возрастающей последовательности выпуклых множеств R-→p (fεn ). 2. Компактность R-→p (f ) вытекает из относительной компактности множества [21] ⎧ )= R(f ⎨ ⎩ r (B) A ⎫ Σ f (t)dm(t) | A ∈ ⎬ . ⎭ 164 Ф. С. СТОНЯКИН Переходим к аналогам теоремы Ляпунова. Сформулируем вспомогательный результат в гильбертовом случае, который вытекает из того, что любой конечный числовой заряд имеет ограниченную вариацию [5]. Также специфика гильбертова случая связана с тем, что всякое сепарабельное гильбертово пространство имеет свойство Радона-Никодима. Предложение 3.1. Все ограниченные векторные меры -→μ : Σ → H имеют слабо ограниченную вариацию. Перед изложением основных результатов раздела приведем некоторые вспомогательные понятия и результат из работы [15]. Пусть Σ - некоторая σ-алгебра подмножеств S (эти обозначения будем использовать в определениях 3.1 и 3.2, а также в теоремах 3.3-3.5). Напомним [3, с. 104], что полной вариацией векторного заряда ν : Σ → E относительно нормы ⊗ · ⊗ в E называется отображение |ν| :Σ → [0; +∞], которое определяется равенством n |ν|(A)= sup '\" ⊗ν(Ak )⊗ ∀A ∈ Σ, (3.1) k=1 где супремум берется по всем конечным наборам {A1, A2,..., An} ⊂ Σ таким, что n Ak C A. k=1 Легко проверить, что отображение |ν| - конечная счетно-аддитивная положительная мера на Σ (см. [3, с. 104]). Обозначим через V (S, E) множество всех векторных мер ν : Σ → E, которые имеют конечную полную вариацию |ν|(S) < ∞ относительно нормы ⊗·⊗ на E (см. (3.1)). Будем обозначать через EC = (span C, ⊗· ⊗C ) банаховы пространства с нормами ⊗· ⊗C , равными функционалам Минковского абсолютно выпуклых компактов C ∈ C(E). Определение 3.1. Будем говорить, что ν имеет (сильную) компактную вариацию на S, если существует компакт C ∈ C(E) такой, что ν : Σ → EC и ν ∈ V (S, EC ). Примем обозначения: ν ∈ VK (S, E), |ν|C - полная вариация векторного заряда ν относительно нормы ⊗· ⊗C. Для того, чтобы сформулировать необходимый результат из [15], нам потребуется новая характеристика для мер ν ∈ VK (S, E), а именно - (сильная) компактная абсолютная непрерывность относительно конечной числовой меры μ на Σ. Обозначим через AC(S, E) множество всех зарядов ν ∈ V (S, E), обладающих свойством обычной абсолютной непрерывности векторной меры относительно μ, т. е. таких, что мера |ν| « μ (μ(A) = 0 ⇒ |ν|(A) = 0 или ∀ε > 0 ∃δ > 0: (μ(A) < δ) ⇒ |ν|(A) < ε). Определение 3.2. Будем говорить, что векторная мера ν ∈ VK (S, E) (сильно) компактно абсолютно непрерывна на S относительно μ, если существует такой компакт C ∈ C(E), что ν :Σ → EC и ν ∈ AC(S, EC ). Примем обозначение: ν ∈ ACK (S, E). Приведем важный вспомогательный результат из [15]. Теорема 3.3. Если ν ∈ ACK (S, E), то найдется такое интегрируемое по Бохнеру отображение f : S → E, что ∀A ∈ Σ верно r ν(A)= (B) A f (t)dμ(t). (3.2) Переходим к доказательству аналога теоремы Ляпунова в гильбертовом случае: для всякой конечной безатомной меры -→μ : Σ → H множество -→μ (Σ)EC выпукло и компактно в некотором пространстве EC, C ∈ C(E). Начнем со специфической формы, аналогичной [20]. Теорема 3.4. Для всякой ограниченной безатомной векторной меры -→μ :Σ → H со значениями в сепарабельном гильбертовом пространстве H существует антикомпактное множество C ∈ C(H) такое, что ∀-→p ∈ -→μ (Σ) ⊂ H замыкание множества -→μ (Σ, -→p )= {-→μ (Y ) | ∃X : Y ⊆ X, →-μ (X)= -→p } в пространстве HC выпукло и компактно, причем пространство HC гильбертово. АНТИКОМПАКТЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К АНАЛОГАМ ТЕОРЕМ ЛЯПУНОВА И ЛЕБЕГА 165 2 ∼ Доказательство. Итак, в силу предложения 3.1 векторная мера -→μ : Σ → H имеет слабую ограниченную вариацию, т. е. ∀f ∈ f∗ = f2 числовая мера f(-→μ ) имеет ограниченную вариацию, т. е. V (μk )= V (fk (-→μ )) = ck < ∞ ∀k ∈ N, (3.3) где ∀h ∈ H выполнено h = k=1 ∞ (h, ek )ek, {ek }∞ - ортонормированный базис в H, (·, ·) - скалярное k=1 произведение в пространстве H, fk (h)= (h, ek ). Выберем последовательность nk → ∞ так, чтобы последовательность ( ck ∞ n была ограниченной и рассмотрим пространство ( ∞ 2 k k=1 H = h ∈ H : '\" hk < ∞ , где h = (h ,h ,...,h ,.. .). n C 2 k=1 k 1 2 k Из (3.3) следует, что -→μ ∈ V (Σ, HC ). Введем на Σ следующую числовую меру: ∞ μC (A) := '\" |μk |(A) , (3.4) nk k=1 где |μk |(·) = Vk (·) - полная вариация числовой меры μk. Отметим, что мера |μk |(·) безатомна в силу безатомности -→μ. Поскольку nk < ∞, то из (3.4) следует, что μk абсолютно непрерывно относительно μC ∀k и векторная мера -→μ абсолютно непрерывна относительно числовой меры μC . При этом -→μ имеет ограниченную вариацию в пространстве HC и H '→'→ HC в силу того, что lim k→∞ nk = ∞. Следовательно, мера -→μ компактно абсолютно непрерывна и по теореме 3.3 r -→μ (A)= (B) A -→ν (τ )dμC (τ ), где интеграл берется в сепарабельном гильбертовом пространстве HC , -→ν :Σ → H ⊂ HC . Теперь, применив теорему 3.2, получаем, что множество -→μ (Σ)H C выпукло и компактно в HC . Отметим аналог обычной теоремы Ляпунова в сепарабельном гильбертовом пространстве, вытекающий из предыдущего результата (если положить -→p = -→μ (A)). Следствие 3.1. Для всякой ограниченной безатомной векторной меры -→μ :Σ → H со значениями в сепарабельном гильбертовом пространстве H существует антикомпактное множество C ∈ C(H) такое, что ∀-→p ∈ H замыкание множества -→μ (Σ) в пространстве HC выпукло и компактно, причем пространство HC гильбертово. Переходим к финальному результату данного раздела работы. Он утверждает выпуклость и компактность замыкания в некотором пространстве EC (C ∈ C(E)) специального подмножества множества значений векторной меры в сепарабельных пространствах Фреше. Теорема 3.5. Пусть E - сепарабельное пространство Фреше, -→μ : Σ → E - безатомная векторная мера ограниченной вариации. Тогда ∀-→p ∈ -→μ (Σ) замыкание множества -→μ (Σ, -→p )= {-→μ (Y ) | ∃X : Y ⊆ X, →-μ (X)= -→p } выпукло и компактно в некотором пространстве EC, C ∈ C(E). Доказательство. Из теоремы 2.5 вытекает, что в любом сепарабельном пространстве Фреше существует антикомпакт C. Тогда из условия -→μ ∈ BV (Σ) следует, что -→μ имеет компактную вариацию в EC. Более того, если обозначить через |-→μ (·)|C полную вариацию векторной меры -→μ в пространстве EC, то несложно понять, что векторная мера -→μ абсолютно непрерывна относительно числовой меры |-→μ (·)|C. Следовательно, -→μ ∈ ACK (Σ, EC ) и поэтому -→μ представима в виде в виде неопределенного интеграла Бохнера по теореме 3.3. Доказываемое утверждение теперь вытекает из теоремы 3.2. 166 Ф. С. СТОНЯКИН И в завершение отметим аналог теоремы Ула в произвольных сепарабельных пространствах Фреше (мы не используем ограничение на класс пространств, но замыкание множества берем не в исходном пространстве, а в некотором пространстве, порожденном антикомпактом). Следствие 3.2. В условиях теоремы 3.5 замыкание множества -→μ (Σ) = {-→μ (A) | A ∈ Σ} выпукло и компактно в некотором пространстве EC, C ∈ C(E). 4. УСЛОВИЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПЕТТИСА В ТЕРМИНАХ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПОДЫНТЕГРАЛЬНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ Вернемся ко второй известной математической проблеме, затронутой в настоящей работе. Напомним, что в отличие от интеграла Бохнера, неопределенный интеграла Петтиса может быть нигде не дифференцируемым. Рассмотрим неопределенные интегралы Петтиса, т. е. отображения F : I = [a; b] → X (X - пространство Фреше) вида x r F (x)= (P ) a f (t)dt, a x b, (4.1) где f предполагается сильно измеримым, а также интегрируемым по Петтису на любом измеримом по Лебегу подмножестве e ⊂ I. Как показано в [22, замечание к теореме 1], для произвольного бесконечномерного банахова пространства X существует сильно измеримое и интегрируемое по Петтису отображение f : I → X такое, что 1 x+h 1 1 1 r 1 h→0 1 h 1 lim 1 (P ) 1 1 x f (t)dt1 = ∞ ∀t ∈ I, 1 1 откуда вытекает отсутствие дифференцируемости отображения F из (4.1) всюду на I. Это означает, что естественной и актуальной является задача поиска условий, при которых F из (4.1) будет дифференцируемым почти всюду на I. int С этой целью в данном разделе работы мы вводим две новые характеристики интегрируемых по Петтису отображений - слабую интегральную ограниченность (Bw ) и σ-компактную измериmes мость (Cσ ). На базе предложенных понятий в пункте 4.3 нами получено достаточное условие дифференцируемости отображений из (4.1) в терминах слабой интегральной ограниченности (теорема 4.1), а также необходимое условие - в терминах σ-компактной измеримости (теорема 4.3). В разделе 4 будем обозначать через Х - произвольное пространство Фреше, mes - классическую меру Лебега на вещественной прямой, Σ - набор измеримых по Лебегу подмножеств R; X∗ - пространство линейных непрерывных функционалов над X, а через L(X; Y ) - пространство линейных ограниченных операторов, действующих из банахова пространства X в банахово пространство Y. 1. Слабая интегральная ограниченность интегрируемых по Петтису отображений. В данном пункте мы вводим одно новое свойство интегрируемых по Петтису отображений - слабую интегральную ограниченность. int Определение 4.1. Будем называть отображение f : I = [a; b] → X из (4.1) слабо интегрально ограниченным в точке x ∈ I (f ∈ Bw (x)), если для любой системы интервалов In = (αn; βn), стягивающихся к x при n →∞ lim n→∞ F (In ∩ En) mes(In) = 0, (4.2) n=1 где {En}∞ § произвольная система измеримых множеств, для которой mes(In ∩ En) lim n→∞ mes(In) = 0. (4.3) int int Если A ⊂ I и f ∈ Bw (x) для почти всех x ∈ A, то будем называть отображение f почти всюду слабо интегрально ограниченным на A. Примем обозначение: f ∈ Bw (A). int Непосредственно проверяются простейшие свойства класса Bw (I). АНТИКОМПАКТЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К АНАЛОГАМ ТЕОРЕМ ЛЯПУНОВА И ЛЕБЕГА 167 Предложение 4.1. int 1. Класс Bw (A) является линейным; 2. f ∈ Bw (A) ⇔ f ∈ Bw (C) ∀ измеримого по Лебегу множества C ⊂ A; int int int 3. Пусть f : I → X таково, что f ∈ Bw (I), A ∈ L(X; Y ). Тогда отображение Af : I → Y int принадлежит классу Bw (I). Доказательство. Данное утверждение легко вытекает из соответствующих свойств интеграла Петтиса (см., например, [16, с. 91-92]). Отметим лишь, что утверждение 2 справедливо в силу предположения об интегрируемости по Петтису f из (4.1) на произвольном измеримом по Лебегу подмножестве A ⊂ I. Проверим два достаточных условия интегральной ограниченности. Будем говорить, что f локально ограничено в точке x ∈ I, если sup A: mes(A)=0 Предложение 4.2. ⊗f ((α; β)\A)⊗ = esssup ⊗f ((α; β))⊗ = C < ∞ для нек. (α; β) ⊃ x. (4.4) int 1. Если f локально ограничено в точке x ∈ I, то f ∈ Bw (x). int 2. Если f локально ограничено ∀ x ∈ A ⊂ I, то f ∈ Bw (A). n=1 Доказательство. Пусть {En}∞ § произвольная система измеримых множеств, удовлетворяющих (4.3). В силу (4.4) для некоторого числа 0 < C < ∞ имеем 1 (P ) r f (t)dt 1 1 F (In n En) 1 1 In En 1 mes(In n En) 1 1 1 1 1 1 = 1 n 1 C → 0 при n → ∞, 1 1 mes(In) 1 1 1 mes(I ) 1 1 1 mes(In) откуда и вытекают доказываемые утверждения. int Предложение 4.3. Пусть X - банахово пространство. Тогда всякое интегрируемое по Бохнеру отображение f : I = [a; b] → X удовлетворяет условию f ∈ Bw (I). Доказательство. Рассмотрим отображение F : I = [a; b] → X, x r F (x)= (B) a f (t)dt, a x b. Пусть x - точка Лебега отображения F. Тогда в силу [16, следствие 2 из теоремы 3.8.5] для произвольной системы интервалов In = (αn; βn), стягивающихся к x при n → ∞, верно lim 1 r ⊗f (t) - f (x)⊗dt = 0, n→∞ mes(In) In n=1 откуда вытекает, что для произвольной системы измеримых множеств {En}∞ , удовлетворяющих (4.3), верно (4.2). Действительно, n ∩ n 1 F (I E ) 1 n ∩ n 1 F (I E ) mes(In ∩ En) 1 lim 1 1 = lim 1 - f (x) 1 1 n→∞ 1 1 1 1 mes(In) 1 n→∞ 1 1 mes(In) 1 mes(In) 1 1 1 r 1 1 r lim 1 (f (t) - f (x)) dt1 lim ⊗f (t) - f (x)⊗dt 1 n→∞ 1 mes(In) 1 In∩En 1 1 n→∞ mes(In) 1 In∩En lim 1 r ⊗f (t) - f (x)⊗dt = lim 1 r ⊗f (t) - f (x)⊗dt = 0. n→∞ mes(In) In n→∞ mes(In) In Остается лишь заметить то, что почти все точки I являются точками Лебега интегрируемого по Бохнеру отображения f (см. [16, теорема 3.8.5]). 168 Ф. С. СТОНЯКИН int Замечание 4.1. Из доказательства предыдущего утверждения следует, что если x - точка Лебега интегрируемого по Бохнеру отображения f, то f ∈ Bw (x). Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. В качестве примера можно привести функцию F : [-1; 1] → R, x r F (x)= -1 sign(t)dt, -1 x 1, (4.5) где интеграл понимается в смысле Лебега (для вещественных функций интеграл Бохнера совпадает с интегралом Лебега), а sign(x) = 1 при x > 0, sign(x) = -1 при x < 0, sign(x) = 0 при x = 0. int Легко проверить, что x = 0 не является точкой Лебега отображения (4.5). Тем не менее, согласно предложению 4.2 выполнено f ∈ Bw (0) ввиду ограниченности f. int Замечание 4.2. Отметим, что отображения f ∈ Bw (I) могут быть не интегрируемыми по Бохнеру. Это подтверждает пример 4.1 ниже. int Замечание 4.3. Неопределенный интеграл Петтиса отображения f ∈ Bw (I) может быть нигде не дифференцируемым на I, если f не является сильно измеримым. В качестве примера рассмотрим отображение f : I = [0; 1] → L∞[0; 1], f (t) = χ[t;1](·). В [23, пример после теоремы 3.4, теорема 4.4] показано, что f интегрируемо по Петтису, причем ⎛ r ⎝(P ) A ⎞ f (t)dt⎠ (x)= mes (A n[0; x] ∀x ∈ I, ∀A ∈ Σ. int Следовательно, f ∈ Bw (I) (множества In и En удовлетворяют (4.3), x ∈ [0; 1]): 1 1 (P ) r 1 f (t)dt 1 1 1 n n n n mes(In n En) lim 1 In En 1 = lim mes(I esssup E [0; x]) lim = 0. 1 n→∞ 1 1 mes(In) 1 1 n→∞ 1 mes(In) n→∞ mes(In) При этом, в [23, пример после теоремы 3.4] доказано, что неопределенный интеграл Петтиса отображения f нигде не имеет обычной производной. 2. σ-Компактная измеримость интегрируемых по Петтису отображений. Введем еще одно новое свойство интегрируемых по Петтису отображений - σ-компактную измеримость. Определение 4.2. Будем говорить, что отображение f : I = [a; b] → X из (4.1) σ-компактно mes измеримо (f ∈ Cσ (I)), если существует такое разбиение I на измеримые по Лебегу подмноже- N =0 ства {eN }∞ ∞ , что f (eN ) ⊂ UN , UN - компакт в E ∀N ∈ N, (4.6) где I = N =0 eN , mes(e0)= 0, eN1 ⊆ eN2 ∀N1, N2 ∈ N. mes Непосредственно проверяются простейшие свойства класса Cσ (I). Предложение 4.4. mes 1. Класс Cσ (I) является линейным; mes 2. f ∈ Cσ mes (I) ⇔ f ∈ Cσ (I±) ∀I± ⊂ I; 3. Пу mes сть f : I → X, f ∈ Cσ Cσ (I), A ∈ L(X; Y ). Тогда отображение Af : I → Y принадлежит классу mes(I). Предложение 4.5. Всякое интегрируемое по Бохнеру отображение f : I = [a; b] → X удовлеmes творяет условию f ∈ Cσ (I). Доказательство. Вследствие [13, теорема 2], для всякого интегрируемого по Бохнеру отображения f : I → E существует такой абсолютно выпуклый компакт C ⊂ E, что r ⊗f (t)⊗Cdt < ∞, где I ⊗· ⊗C - функционал Минковского, порожденный множеством C. Если положить eN := {t ∈ [a; b] | ⊗f (t)⊗C N }, UN = NC ∀N ∈ N, то f будет удовлетворять условию (4.6). АНТИКОМПАКТЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К АНАЛОГАМ ТЕОРЕМ ЛЯПУНОВА И ЛЕБЕГА 169 Возникает естественный вопрос: не является ли всякое интегрируемое по Петтису отображение mes f : I → X, удовлетворяющее условию f ∈ Cσ (I), интегрируемым по Бохнеру? На этот вопрос можно дать отрицательный ответ даже в случае гильбертова пространства мы рассмотрим следующее отображение [31, пример 2.1]. 1. В качестве примера Пример 4.1. Пусть X = f2 - вещественное сепарабельное бесконечномерное гильбертово проn=1 странство, {xn}∞ § ортонормированный базис в E. Рассмотрим отображение F : [0; 1] → X: ⎧ ⎪⎨ F (0) = 0; F ( n n +1 n = xk k=1 k (n ∈ N); F (1) = ∞ xk ; k=1 k ⎩⎪ F линейно на сегментах n - 1 ; n n l n +1 (n ∈ N). 2. Ясно, что F дифференцируемо п. в. на I. Покажем, что оно слабо абсолютно непрерывно. Для этого рассмотрим произвольный функционал f ∈ f∗ = f2, а также функцию f = f[F ], f : [0; 1] → R. 2 ∼ Поскольку f ∈ f2, то ∃ α = (α1, α2,.. .) ∈ f2: ∞ f(β)= '\" αkβk ∀ β = (β1, β2,.. .) ∈ f2. k=1 Нужно показать, что ∀ε > 0 ∃δ > 0. ∀N ∈ N, mes N I [ak ; bk ] k=1 N '\" < δ ⇒ |f (bk ) - f (ak )| < ε. (4.7) k=1 Заметим, что f (1) = ∞ k=1 αk . Этот ряд сходится, так как k n I n I n '\" αk '\" 2 '\" 1 k=1 k I k=1 |αk | I k=1 k2 C < ∞ ∀n ∈ N по неравенству Коши-Буняковского. ∞ αk ε m Зафиксируем ε > 0 и выберем такое N0 ∈ N, что k=N0+1 < . Тогда для любого k 2 [ak ; bk ] ⊆ k=1 N0 l ; 1 справедливо неравенство N0 +1 m '\" k=1 l ε |f (bk ) - f (ak )| < 2 . (4.8) Отрезок же N0 0; N0 +1 разбивается на N0 отрезков, на каждом из которых функция f линейна. N0 l m N0 l Следовательно, f абсолютно непрерывна на 0; N0 +1 , т. е. ∃ δ > 0: ∀ [ak ; bk ] ⊆ k=1 0; , N0 +1 mes m I [ak ; bk ] k=1 < δ ⇒ m '\" |f (bk ) - f (ak )| < k=1 ε . (4.9) 2 Из неравенств (4.8) и (4.9) вытекает неравенство (4.7). 3. Итак, отображение F слабо абсолютно непрерывно и почти всюду дифференцируемо. Следовательно, F - неопределенный интеграл Петтиса. Действительно, ⎛ x ⎞ x r f(F (x) - F (0)) = f(F (x)) - f(F (0)) = ⎝ 0 r (f(F (t)))±dt⎠ = 0 x f(F ±(t))dt ∀x ∈ [0; 1] ∀f ∈ X∗, откуда и вытекает, что F (x)= F (0) + (P ) r F ±(t)dt ∀x ∈ [0; 1]. 0 170 Ф. С. СТОНЯКИН N l Если положить eN := 0; N +1 , то f = F ± будет удовлетворять условию (4.6) c компактами UN := N n=1 mes ∈ xn , т. е. f = F ± Cσ n (I). Однако, как показано в [31, пример 2.1], F не имеет сильной ограниченной вариации и поэтому не является неопределенным интегралом Бохнера. int 4. Отметим также, что по предложению 4.2 имеем f = F ± ∈ Bw (I), так как F ± непрерывно (и поэтому локально ограничено) п. в. на I в силу кусочной линейности F. 1. Дифференцируемость неопределенного интеграла Петтиса в терминах слабой интегральной ограниченности и σ-компактной измеримости. В данном пункте работы мы получим условия дифференцируемости почти всюду сильного интеграла Петтиса отображений в пространства Фреше (4.1): x r F (x)= (P ) a f (t)dt, a x b, в терминах введенных в первых двух пунктах характеристик. Если интегральная ограниченность f приводит к достаточному условию дифференцируемости неопределенного интеграла Петтиса по верхнему пределу (теорема 4.1), то σ-компактная измеримость приводит к необходимому условию (теорема 4.3). В доказательстве теоремы 4.1 существенно используется изучавшееся нами ранее понятие компактного субдифференциала (см. [9-13, 15, 31]), которое мы вначале напомним. Обозначим через U (0) произвольную замкнутую абсолютно выпуклую окрестность нуля в вещественном отделимом локально выпуклом пространстве (ЛВП) X. Определение 4.3. Пусть {Bδ }δ>0 - убывающая по включениям при δ → +0 система замкнутых выпуклых подмножеств отделимого вещественного ЛВП X, B ⊂ X. Множество B = n Bδ δ→+0 называется K-пределом системы {Bδ }δ>0 при δ → +0 : B = K-lim Bδ, δ→+0 если: ∀U = U (0) ⊂ X ∃δU > 0: (0 < δ < δU ) ⇒ (Bδ ⊂ B + U (0)). Из предыдущего определения вытекает замкнутость и выпуклость множества B. Далее будем обозначать через I ⊂ R - некоторый отрезок, coA - выпуклую замкнутую оболочку множества A и рассматривать отображения F : I → E. Определение 4.4. Пусть x0 ∈ I, δ > 0. Частным K-субдифференциалом отображения F в точке x0, отвечающим данному δ > 0, называется множество 0 - 0 ( F (x + h) F (x ) ∂KF (x0, δ)= co h 0 < |h| < δ . Определение 4.5. Отображение F : I → X называется компактно субдифференцируемым, или K-субдифференцируемым, в точке x0 ∈ I, если существует K-предел частных Kсубдифференциалов ∂KF (x0) = K-lim ∂KF (x0, δ). Полученное множество ∂KF (x0) называется δ→+0 компактным субдифференциалом, или K-субдифференциалом, отображения F в точке x0. Если отображение F дифференцируемо в точке x0 в обычном смысле, то оно является компактно субдифференцируемым, причем ∂KF (x0) = F ±(x0). В то же время, как показано в [9-13, 15, 31], существуют компактно субдифференцируемые отображения, не имеющие обычной производной. Следующая теорема является первым основным результатом работы. int Теорема 4.1. Если в (4.1) f ∈ Bw (I), то F дифференцируемо почти всюду на I, причем справедливо равенство F ±(x)= f (x) п. в. на I. (4.10) Для доказательства нам потребуется следующий вспомогательный результат, полученный ранее в [26, Theorem 1 (ii)]. АНТИКОМПАКТЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К АНАЛОГАМ ТЕОРЕМ ЛЯПУНОВА И ЛЕБЕГА 171 Теорема 4.2. Пусть отображение f из (4.1) сильно измеримо. Тогда для произвольного числа ε > 0 существует измеримое множество Eε ⊂ R такое, что mes(I\Eε) < ε и множество ( F (E) Xε F := относительно компактно в X. mes(E) E ⊂ Eε, mes(E) > 0, E ∈ Σ (4.11) Переходим к доказательству теоремы 4.1. 1 Доказательство. 1. Покажем K-субдифференцируемость отображения F. Положим εn = n ∀n ∈ N и для каждого n выберем соответствующее множество из (4.11) (мы считаем, что n∞ Eεn ⊂ [a; b]). Легко видеть, что множество E0 = n=1 (I\Eεn ) имеет нулевую меру Лебега. Поэтому почти все точки x ∈ [a; b] принадлежат множеству Eεn при каком-либо n ∈ N. Более того, согласно теореме о точках внешней плотности (см. [2, теорема 2, с. 68]), почти все точки каждого из множеств Eεn будут точками внешней плотности Eεn . Следовательно, для некоторого множества e ⊂ [a; b] нулевой меры всякая точка x ∈ [a; b]\e является точкой внешней плотности m=1 какого-либо множества Eεn , т. е. для любой системы интервалов {Im = (αm; βm)}∞ , стягивающейся к точке x, существуют n ∈ N и Eεn из (4.11) такие, что: mes(Im\Eεn ) Далее, (P ) r lim m→∞ f (t)dt mes(Im) =0 (αm x βm, αm /= βm) . (4.12) Im F (Im) = = F (Im ∩ Eεn ) mes(Im ∩ Eεn ) + F (Im\Eεn ) . (4.13) mes(Im) mes(Im) mes(Im ∩ Eεn ) mes(Im) mes(Im) Отношение F (Im\Eεn ) mes(Im) int → 0 при m → ∞ в силу (4.12) и f ∈ Bw (I). Из (4.12) также вытекает, что lim m→∞ mes(Im n Eεn ) mes(Im) = 1. (4.14) F В силу (4.12)-(4.14), а также относительной компактности множеств X1/n му 4.2) вытекает существование частичного предела любой последовательности ⊂ X (см. теоре- F (Im) mes(Im) при m → ∞, а также относительная компактность множества всех таких частичных пределов. Следовательно, F K-субдифференцируемо в точке x согласно [12, теорема 3]. 1. Далее, сильная измеримость f влечет сепарабельнозначность отображений f и F. А для сепарабельнозначных отображений в пространства Фреше из компактной субдифференцируемости почти всюду вытекает дифференцируемость F почти всюду (см. [14, теорема 4]). Равенство (4.10) в банаховом случае мы покажем, опираясь на сепарабельнозначность F, а также известный результат [5, п. 17.2.4, следствие 2] о существовании у каждого сепарабельного банахова пространства счетного множества линейных непрерывных функционалов, разделяющих точки: если Х - сепарабельное банахово пространство, то существует множество функционалов n=1 {fn}∞ ⊂ X∗ такое, что ∀x, y ∈ X x = y ⇔ fn(x)= fn(y) ∀n ∈ N. Для всякого n ∈ N ∃en : mes(en)=0 и fn(F ±(x)) = (fn(F (x)))± = fn(f (x)) ∀x ∈ I\en, т. к. ⎛ x r fn(F (x)) = fn ⎝(P ) a n ⎞ f (t)dt⎠ = x r fn(f (t))dt ∀x ∈ [a; b]. a Ясно, что множество e = n=1 en имеет нулевую меру. При этом ∀n ∈ N fn(F ±(x)) = fn(f (x)) ∀x ∈ I\e, откуда и вытекает равенство (4.10) для банаховых пространств X. 172 Ф. С. СТОНЯКИН 2. Пусть теперь X - пространство Фреше. Обозначим через {⊗ · ⊗j }j∈N - некоторую счетную определяющую систему полунорм в X. Обозначим через X j пополнения фактор-пространств Xj = X/ker⊗· ⊗j относительно фактор-норм ⊗· ⊗ j = ⊗· ⊗j . Для банаховых пространств X j ∀ j ∈ N мы имеем 1 x+h 1 1 1 r 1 h→0 1 h 1 lim 1 (P ) 1 1 x f (t)dt - f (x)1 1 1j =0 ∀x ∈ [a; b]\ej, (4.15) где mes(ej )= 0. Тогда (4.15) справедливо для всех x ∈ [a; b]\ ej. Это означает, что почти всюду j∈N на [a; b] равенство (4.15) справедливо при всех j ∈ N. Следовательно, F ±(x) = f (x) почти всюду на I. Опираясь на некоторые рассуждения предыдущего доказательства, покажем второй основной данного раздела результат работы. Cσ Теорема 4.3. Если в (4.1) отображение F дифференцируемо почти всюду на I, то f ∈ mes(I). Доказательство. Рассуждая, как и в пунктах 2-3 предыдущего доказательства, легко проверить, что F ±(x)= f (x) для п. в. x ∈ I. (4.16) Пусть f ∈ X∗ - произвольный линейный непрерывный функционал на X. Тогда из (4.16) следует, что почти все точки x ∈ I являются точками Лебега функции f = f(f ), т. е. для произвольной m=1 системы интервалов {Im = (αm; βm)}∞ , стягивающейся к точке x lim 1 r |f (t) - f (x)|dt =0 почти всюду на I, m→∞ mes(Im) Im int откуда f ∈ Bw (I) (в пространстве R) в силу предложения 4.3: lim m→∞ f (Im ∩ em) = 0, (4.17) mes(Im) m=1 где {em}∞ - произвольная система измеримых множеств, для которой mes(Im ∩ em) Из (4.17) вытекает, что lim m→∞ mes(Im) = 0. lim f m→∞ F (Im ∩ em)\ mes(Im) = 0. (4.18) Рассуждая так же, как и в пункте 1 доказательства предыдущей теоремы, можно получить равенства (4.13) ∀x ∈ I\e, mes(e)= 0. При этом F (Im) \ f mes(Im) = f F (Im ∩ Eεn ) mes(Im ∩ Eεn ) \ mes(Im ∩ Eεn ) mes(Im) + f F (Im\Eεn )\ , mes(Im) откуда, переходя к пределу при m → ∞, в силу (4.14), (4.16) и (4.18) мы имеем abs.co f F ±(x) ∈ f ( F X1/n , так как F (Im ∩ Eεn ) mes(Im ∩ Eεn ) X 1/n ∈ F ⊂ X ∀n ∈ N (под abs.coA мы понимаем замкнутую абсолютно выпуклую оболочку множества A ⊂ X). F Итак, f (F ±(x)) sup f (abs.co X1/n ∀f ∈ X∗. По известному следствию из теоремы Хана- Банаха о строгой функциональной отделимости точки и замкнутого выпуклого множества ∀x ∈ E1/n\e: 1/n 1/n F ±(x) ∈ abs.co XF , или F ±(E1/n\e) ⊂ abs.co XF , АНТИКОМПАКТЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К АНАЛОГАМ ТЕОРЕМ ЛЯПУНОВА И ЛЕБЕГА 173 F причем все множества abs.co X1/n компактны как абсолютно выпуклые замыкания компактов F (множества X1/n компактны по теореме 4.2). Для завершения доказательства остается лишь заметить измеримость всех множеств E1/n\e. 1. АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ ЛЕБЕГА О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПЕТТИСА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АНТИКОМПАКТОВ Итак, в предыдущем разделе мы показали, что класс интегрируемых по Петтису отображений, для которых неопределенный интеграл Петтиса (4.1) почти всюду дифференцируем, достаточно специфичен. Более того, достаточно хорошо известно, что даже в случае дифференцируемости интеграла его производная может в любой точке не совпасть с подынтегральным отображением (см. работу [23]). Возникает естественная задача нахождения аналога теоремы Лебега о дифференцируемости интеграла Петтиса в более универсальном случае. В данном разделе работы мы получим такой результат с использованием понятия антикомпактного множества в пространствах Фреше. Докажем интегрируемость по Бохнеру всякого сильно измеримого и интегрируемого по Петтису отображения. Теорема 5.1. Пусть E - пространство Фреше. Если f : I = [a; b] → E сильно измеримо и интегрируемо по Петтису, то ∃ C ∈ C такой, что f интегрируемо в EC по Бохнеру. Доказательство. Напомним, что сильно измеримо ⇔ когда f слабо измеримо и почти всюду сепарабельнозначно. Ввиду этого будем полагать, что E - сепарабельное пространство Фреше. 1. Начнем со случая банахова пространства E. Как известно [5], всякое такое пространство E инъективно непрерывно можно вложить в сепарабельное гильбертово пространство H ∼= l2. Обозначим через ϕ : E → H соответствующее непрерывное инъективное вложение. Тогда ϕ(E) ⊂ H и H∗ ⊂ (ϕ(E))∗ ∼= E∗ (A∗ - сопряженное пространство к банахову пространству A). Поэтому сильная измеримость и слабая интегрируемость f : I → E означает сильную измеримость и слабую интегрируемость ϕ(f ): I → H. Это означает, что для доказательства достаточно рассмотреть случай E = H. 2. Итак, E = H ∼= l2. Известно, что ∞ h ∈ H ⇔ h = (h1, h2,..., hn,.. .): '\" |hk |2 < ∞. k=1 Обозначим через lk (h) = hk ∀k ∈ N(lk ∈ H∗). Ввиду интегрируемости f : I → H по Петтису отображение fk = lk (f ): I → R интегрируемо по Лебегу, т. е. b r |fk (t)|dt = Ck < ∞. a Необходимо для всякого f : I → H доказать существование антикомпакта C ∈ C(H) такого, что ||f (t)||HC : I → R измеримо и b r ||f (t)||HC dt < +∞. a h2 ( ∞ Пусть H = h = (h ,h ,...,h ,.. .) k < +∞ . k=1 k4C2 C 1 2 n k 2 1 HC - сепарабельное гильбертово пространство с нормой ||h|| HC 2 = ( ∞ k=1 hk k k4C2 . Отметим, что поточечно ∀t ∈ [a; b] ||f (t)||HC = lim n→∞ |f1(t)|2 C 2 1 |f2(t)|2 2 + 24C2 + ... + 1 |fn(t)|2 \ 2 n n4C2 , 174 Ф. С. СТОНЯКИН т. е. f : I → HC Далее, ∀n ∈ N измеримо в пространстве HC b в силу слабой измеримости и сепарабельности. 1 r |f1(t)|2 C 2 a 1 b |f2(t)|2 2 + 24C2 + ... + |fn(t)|2 \ 2 n n4C2 dt < < r |f1(t)| + C1 a b 1 r 1 |f2(t)| 22C2 b r + ... + |fn(t)|\ n2Cn 1 dt = b r C = |f1(t)|dt + 1 a 22C2 a |f2(t)|dt + .. + n2Cn a |fn(t)|dt = 1 =1 + 22 1 + 32 1 + .... + < n2 По теореме Фату b 1 < 1+ 22 1 + 32 b 1 + .... + n2 + ... = K < +∞. 1 r ||f (t)||HC a r dt lim n→∞ a |f1(t)|2 C 2 1 + ... + |fn(t)|2 \ 2 n n4C2 dt K < +∞. Итак, f слабо измеримо в HC ввиду (HC )∗ ⊂ H∗, b r ||f (t)||HC a dt < +∞, и поэтому f : I → HC интегрируемо по Бохнеру, что и требовалось. 3. Перейдем теперь к случаю, когда E - пространство Фреше. Поскольку теорема доказана для банаховых пространств, то ∀j ∈ N существует такой абсолютно выпуклый компакт C j ⊂ E j , что r ⊗f (t)⊗C j dt < ∞. I 1 Заметим, что ⊗· ⊗λC = λ ⊗· ⊗C ∀λ > 0 и подберем числа nj (j ∈ N) так, чтобы Рассмотрим множество r 1 ⊗f (t)⊗nj C j dt < j2 ∀j ∈ N. I ( C = x ∈ E sup ⊗x⊗nj C j j∈N 1 . Поскольку E является проективным пределом пространств E j и поэтому изоморфно некоторому подпространству произведения n E j , то C изоморфно замкнутому подмножеству произведения j∈N n nj C j , которое компактно по теореме Тихонова. Следовательно, C является непустым абсолютно j∈N выпуклым компактом в E. Функция ⊗f (t)⊗C = sup ⊗f (t)⊗nj C j измерима как супремум последовательности измеримых j∈N функций ⊗f (t)⊗nj C j . Далее, воспользовавшись теоремой Б. Леви о предельном переходе, имеем r r r ∞ ∞ r ∞ 1 ⊗f (t)⊗Cdt = I I sup ⊗f (t)⊗nj C j dt j∈N I '\" j=1 ⊗f (t)⊗nj C j dt = '\" j=1 I ⊗f (t)⊗nj C j dt < '\" j2 < ∞. j=1 АНТИКОМПАКТЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К АНАЛОГАМ ТЕОРЕМ ЛЯПУНОВА И ЛЕБЕГА 175 Из свойств интеграла Бохнера, а также предыдущего результата вытекает аналог теоремы Лебега о дифференцируемости неопределенного интеграла Петтиса по верхнему пределу. Теорема 5.2. Пусть E - пространство Фреше. Если f : I =[a; b] → E сильно измеримо и интегрируемо по Петтису, то существует антикомпакт C ∈ C(E) такой, что x0+h 1 r lim ||f (t) - f (x0)||E dt =0 для почти всех x0 ∈ I = [a; b]. h→0 h C x0 Следствие 5.1. Если K ∈ E - фиксированная постоянная, то для всякого f : [a; b] → E существует такой антикомпакт C ∈ C(E), что отображение x r F (x)= K + (P ) a f (t)dt (a x b) почти всюду дифференцируемо в пространстве EC. При этом ± FEC (x0)= f (x0) для почти всех x0 ∈ [a; b].

Об авторах

Ф. С. Стонякин

Автор, ответственный за переписку.
Email: fedyor@mail.ru

Список литературы