О невязких решениях многокомпонентной системы Эйлера

Аннотация

Построена нестандартная регуляризация многокомпонентной системы Эйлера, получены аналоги условия Гюгонио и условия устойчивости Лакса. Исследована проблема локальной достижимости точек фазового пространства. Построены двойственные бифуркации однофронтовых решений усеченной системы Эйлера в двухфронтовые решения.

Полный текст

1. ВВЕДЕНИЕ Начнем с физики, которая определяет, во многом, задачи математического языка. При гиперзвуковых течениях, которые характеризуются относительно большими числами Маха, более 5 (несмотря на определенную условность этой границы, она общепринята), возникают серьезные отличия от обычных сверхзвуковых течений с умеренными числами Маха. Первое отличие заключается в том (см. [8]), что теперь небольшие изменения скорости потока могут быть сравнимы со звуковой скоростью, т. е. обычное использование метода малых возмущений становится неприменимым. Это обстоятельство усложняет вычислительную сторону вопроса, но не затрагивает принципиальную - общие формулировки для расчета остаются прежними. Более принципиальным моментом является изменение термодинамических свойств среды (см. классические работы [2, 8]). При движении с любой сверхзвуковой скоростью в газе возникает ударная волна. Если движение стационарно, то до ударной волны (вверх по потоку) поток остается невозмущенным - поскольку возмущения распространяются со звуковой скоростью, они не могут появиться раньше ударной волны. На самой ударной волне и непосредственно за ней происходят следующие явления: резко возрастают давление, плотность и температура. При этом, хотя величина давления может расти на пару порядков, а плотность - на порядок, их абсолютная величина невелика (вообще говоря, давление порядка атмосферного или чуть выше, а плотность в несколько раз меньше значений при нормальных условиях), т.к. на тех высотах (более 20 км), на которых эффективен гиперзвуковой полет, атмосфера сильно разрежена. А вот температура в области ударной волны может достигать нескольких тысяч градусов Кельвина, и это обстоятельство сильно меняет термодинамику и может приводить к новым явлениям. В обычном состоянии у молекул воздуха возбуждены поступательные и вращательные степени свободы, и он подчиняется уравнению состояния идеального газа. При повышении температуры возбуждаются колебательные степени свободы, что приводит к изменению, например, теплоемкости, и, таким образом, уравнение состояния газа становится отличным от идеального. При дальнейшем повышении температуры возникают явления диссоциации и химических реакций, т. е. бинарные молекулы основных компонент воздуха - азота и кислорода - распадаются, образуя атомарные газы (диссоциация), и, кроме того, например, могут образовываться радикалы- соединения азота с кислородом (NO и др.), - начинают идти химические реакции. Вследствие изменения физики газов при гиперзвуковых скоростях необходимо включить в рассмотрение более сложное и динамичное представление о газодинамической среде, включая эффекты, связанные с ее микроструктурой, например, диффузионное расслоение. Так, в [3] сделан акцент на рассмотрении диспергирующих сред (в отличие от привычного акцента на эффекты вязкости и теплопроводности). Еще раз подчеркнем, что изменение свойств среды именно при гиперзвуковых скоростях обусловлено возрастанием температуры и энергии за ударной волной выше некоторого критического уровня. При температурах порядка 1500◦К, что соответствует примерно М=7, возбуждены колебательные степени свободы. При температурах порядка 3000◦К, что соответствует примерно Qc 2014 РУДН 133 134 В. В. ПАЛИН и др. М=10, диссоциируют молекулы кислорода, и начинаются химические реакции с образованием окиси азота, которая, в свою очередь, диссоциирует при дальнейшем повышении температуры. Отмечались явления неравномерного поведения функций, например, давления и концентрации некоторых компонент при установлении равновесного режима (см., например, [4]), а также достаточно интересное поведение температуры, связанное с появлением солитонообразных графиков (см., например, [7]). Отметим, что здесь мы имеем фактически течение многокомпонентной среды. В области собственно ударной волны на расстояниях порядка длины свободного пробега [1] происходит быстрое торможение потока. Как правило, требуется небольшое число столкновений, чтобы погасить выделенную компоненту скорости молекул, поэтому область ударной волны является узкой. Таким образом, в гиперзвуковом потоке может возникнуть многокомпонентная смесь, и могут возникнуть градиенты концентрации отдельных компонент. Также естественным образом возникают градиенты температуры. Это обусловливает образование диффузионных потоков вещества и тепла. Структура этих потоков может быть достаточно сложной и включать разного рода неустойчивости. Стандартным механизмом, действующим в зоне ударной волны, считается вязкость, которая понимается в некотором условном смысле как действующая на микроуровне, хотя, вообще-то, вязкость - понятие макроскопическое. В дальнейшем мы рассмотрим другой механизм микроструктурного уровня - диффузионное расслоение. На примере начальной стадии уплотнения в гиперзвуковом потоке для двухкомпонентной системы Эйлера мы приведем визуализацию самовозбуждающихся режимов на основе нестандартной регуляризации системы уравнений Эйлера с использованием вязкости и введения отрицательной диффузии. При использовании углеводородного горючего наблюдается повышенная чувствительность потока (особенно при относительно длительном периоде работы) в тракте ПЖРД к изменению условий в камере сгорания, когда возникает явление незапуска (unstart) [15], сильных осцилляций давления, порядка 400 Гц (см. рис. 8). Мы сознательно, на первой стадии, рассмотрим изотермическую задачу, чтобы найти грубые условия вибрационной газовой динамики, при которых возможно появления unstart для гиперзвукового потока. Эти условия помогут сформулировать задачи визуализации характерных свойств гиперзвуковых течений. 2. МНОГОКОМПОНЕНТНАЯ СИСТЕМА ЭЙЛЕРА Здесь мы приведем визуализацию начальной стадии уплотнения в гиперзвуковом потоке для двухкомпонентной системы Эйлера ∂tg1 + ∂x(g1u1) = 0, (2.1) ∂tg2 + ∂x(g2u2) = 0, 1 ∂t(g1u1)+ ∂x g1u2 + P (g1, g2) = 0, 2 ∂t(g2u2)+ ∂x g2u2 + P (g1, g2) = 0, где g1, g2 и u1, u2 - соответственно, плотности и скорости компонент, P (g1, g2) - давление. Хорошо известно, что система уравнений Эйлера имеет много решений. А нет ли среди них решений, естественно отличных от вязких, которые обладали бы свойствами дальнодействия и самовозбуждения, и как их выделить? Ниже мы приведем визуализацию самовозбуждающихся режимов для сверхзвукового потока с достаточно большим числом Маха на основе нестандартной регуляризации системы уравнений Эйлера с использованием вязкости и введения отрицательной диффузии. Для этих целей мы прежде всего в двухкомпонентной системе Эйлера перейдем к новым переменным: концентрации c = g2/g активной компоненты, суммарной плотности g = g1 + g2, усредненной скорости U = (1 - c)u1 + cu2 и скорости u2 активной компоненты. В переменных (c, U, u2, g) система (2.1) примет О НЕВЯЗКИХ РЕШЕНИЯХ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ СИСТЕМЫ ЭЙЛЕРА 135 следующий вид: ∂tc + U∂xc - ∂x(c(U - u2)) - c(U - u2)g-1∂xg = 0, (2.2) ∂tg + ∂x(gU ) = 0, c ∂t(gU )+ ∂x gU 2 + 2P (g1, g2) + ∂x g(U - u2)2 = 0, 1 - c 2 ∂t(cgu2)+ ∂x cgu2 + P (g1, g2) = 0. В дальнейшем систему (2.2) будем называть приведенной системой Эйлера. Для простоты будем считать, что давление P (g1, g2) = P (g) не зависит от концентрации активной компоненты. К приведенной системе Эйлера мы применим нестандартную регуляризацию вязкостью (второе, третье и четвертое уравнения) и введением отрицательной диффузии в уравнение для концентрации, используя уравнение Кана-Хилларда: ∂tc + U∂xc - ∂x(c(U - u2)) - c(U - u2)g-1∂xg = ∂2 Φ∗(c) - ε2∂2c (2.3) x x , x ∂tg + ∂x(gU ) = ε∂2g, c ∂t(gU )+ ∂x gU 2 + 2P (g) + ∂x g(U - u2)2 = ε∂2U, 1 - c x ∂t(cgu2)+ ∂x cgu2 + P (g) = ε∂2u2, 2 x - где Φ∗(c) = 4(c - c-)(c - ccr )(c - c+) - потенциал Ван-дер-Ваальса, c , c+ и ccr - заданные кон- 2 ∗ 2 2 станты такие, что c-, c+, ccr ∈ (0, 1). Через Kεc = ∂x(Φ (c) - ε ∂xc) будем обозначать оператор 2 2 + - Кана с симметричным потенциалом Φ(c) = (c - c-) (c - c+) , когда 2ccr = c + c . 0 Нестандартность определения слабого решения для приведенной системы Эйлера связана с тем, что первое уравнение умножается на тестовую функцию c(x, t) ϕ(x, t), где ϕ(x, t) ∈ C∞(R2) - бесконечно дифференцируемая функция с компактным носителем в R2, в то время как три уравнения для усредненной плотности, U и u2 стандартно умножаем на тестовые функции 0 ψj (x, t) ∈ C∞(R2), j = 1, 2, 3, соответственно. Сходства и различия с классическим случаем: имеется четыре семейства волн разрежения и четыре семейства устойчивых ударных волн (см. [16]). Три семейства устойчивых ударных волн (2.2) являются поднятием устойчивых ударных волн усеченной системы Эйлера ∂tg + ∂x(gU ) = 0, (2.4) c ∂t(gU )+ ∂x gU 2 + 2P (g) + ∂x 1 - c g(U - u2)2 = 0, 2 ∂t(cgu2)+ ∂x cgu2 + P (g) = 0. В силу приведенного выше определения слабого решения предельный переход при [c] → 0 трех семейств ударных волн, определяемых устойчивыми ударными волнами усеченной системы Эйлера, дает три семейства устойчивых ударных волн, для которых первое приближение c = const и U, u2,g - решение усеченной системы Эйлера. Регуляризация (2.3) для многокомпонентной системы уравнений Эйлера позволяет выделить в ней невязкие решения, описывающие процессы с избыточной энергией (в мезомасштабе), которые прежде всего характеризуются дальнодействием и самовозбуждающимися режимами (например, коагуляция, начальная стадия кристаллизации сплавов). Нестандартные регуляризации классических моделей механики сплошных сред встречались и ранее (см. [6, 11, 12]). Как мы отмечали выше, для нестандартной регуляризации двухкомпонентной системы Эйлера (2.3) решения задачи Римана, описывающие режимы с самовозбуждением, связаны с тремя семействами устойчивых ударных волн, которые есть поднятие (см. [16]) устойчивых ударных волн усеченной системы Эйлера (2.4). Ниже мы приводим (рис. 1, 2) результаты численного эксперимента, проведенного Ю. Г. Рыковым, В. Лосевым и О. Феодоритовой (ИПМ им. Келдыша). Рисунок справа - увеличенный вид бифуркации фронта ударной волны скорости второй компоненты. Для (2.4), как показал численный эксперимент, в фазовой плоскости переменных (g, U, u2) 136 В. В. ПАЛИН и др. выделяется множество точек, не достижимых цепочками устойчивых ударных волн и волн разрежения. Вход в это множество приводит к появлению бифуркации фронта ударной волны компоненты u2. При любом фиксированном c ∈ (0, 1) при специальном подборе начальных данных можно получить неклассическое решение задачи Римана (так называемый «горбатый» кинк) с бифуркацией фронта ударной волны компоненты u2 в два фронта, когда для переднего фронта выполнено условие Гюгонио, в то время как для заднего фронта уравнение для скорости имеет другой характер. Рис. 1. Рис. 2. Ниже мы приведем построение двух двойственных бифуркаций однофронтового решения в двухфронтовое для упрощенной усеченной системы ∂tg + ∂x(gU ) = 0, (2.5) gU 2 ∂t(gU )+ ∂x + 2P (g) = 0, 2 ∂t(cgu2)+ ∂x cgu2 + P (g) = 0, приводящее к неклассическому решению задачи Римана с профилем, например, типа «одногорбого» кинка для скорости второй компоненты u2, численная реализация которого приведена выше, и профилем типа «полочки» (см. [10, 14]). Бифуркации реализуются распадом решения на две бегущих волны. Бифуркации реализуются как возмущения критических однофронтовых решений. Исследование бифуркаций однофронтового решения в двухфронтовое для полной усеченной системы (2.2) станет предметом исследования ближайшей публикации. 3. ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ Приведенные выше результаты объясняют нестандартность поведения устойчивых ударных волн для приведенной системы. Чтобы пояснить природу такого поведения, мы приведем результаты численного эксперимента для упрощенной приведенной системы ∂tc + U∂xc = 0, (3.1) ∂tg + ∂x(gU ) = 0, gU 2 ∂t(gU )+ ∂x + 2P (g) = 0, 2 ∂t(cgu2)+ ∂x cgu2 + P (g) = 0 О НЕВЯЗКИХ РЕШЕНИЯХ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ СИСТЕМЫ ЭЙЛЕРА 137 Рис. 3. Рис. 4. и ее усечения ∂tg + ∂x(gU ) = 0, (3.2) gU 2 ∂t(gU )+ ∂x + 2P (g) = 0, 2 ∂t(cgu2)+ ∂x cgu2 + P (g) = 0. Чем интересна система (3.1)? Как было показано численно Ю. Г. Рыковым, В. Лосевым и О. Феодоритовой (ИПМ им. Келдыша), усечение системы Эйлера (3.2) при любом фиксированном c ∈ (0, 1) при специальном подборе начальных данных дает неклассические решения задачи Римана с бифуркацией фронта ударной волны компоненты u2 в два фронта, когда для переднего фронта выполнено условие Гюгонио, в то время как для заднего фронта уравнение для скорости имеет другой характер. Анализ численного эксперимента. Начальная постоянная концентрация c|t=0 = ccr = 0, 43 берется из зоны лабильности активной компоненты. Такая концентрация включает механизм (рис. 3) бифуркации фронта ударной волны (рис. 4) для u2. Возникший промежуток между передним и задним фронтами ударной волны для u2 заполняется осцилляциями самовозбудившегося решения. Отметим, что усредненные компоненты g, U не чувствительны к осцилляциям концентрации активной компоненты. Пример визуализации. Предложенная регуляризация позволяет получить самовозбуждающиеся решения, по своему характеру визуализирующие реальные процессы в гиперзвуковом потоке, как например так называемый unstart (незажигание) в прямоточных ЖРД (рис. 7, 8; см. также [15]). Слева характерное поведение второй скорости регуляризации (2.3). Длительность осцилляций регулируются входом в неклассическую зону и выхода из нее и может управляться граничными значениями слева для смешанной задачи Римана. Справа характерное давление unstart. 4. О ПРИРОДЕ БИФУРКАЦИЙ ОДНОФРОНТОВЫХ РЕШЕНИЙ УСЕЧЕННОЙ СИСТЕМЫ ЭЙЛЕРА Как мы отмечали выше, основу «странного» поведения решений регуляризации (2.3) составляют бифуркации однофронтовых решений усеченной системы Эйлера в двухфронтовые решения. В этой статье для упрощенной усеченной системы Эйлера (4.2) мы приведем результаты, аналитически доказывающие существование двух двойственных бифуркаций однофронтовых решений в двухфронтовые решения. Перенос полученных результатов на полную усеченную систему (2.4) - предмет исследования ближайшей публикации. 138 В. В. ПАЛИН и др. Рис. 5. Рис. 6. Рис. 7. Рис. 8. Многофронтовые решения. Перейдем к исследованию условий существования двухфронтовых решений усеченной системы Эйлера. Пусть c0 = const . Рассмотрим упрощенную усеченную систему без квадратичной части ⎧ ⎨ ∂tg + ∂x(gU ) = 0, ∂t(gU )+ ∂x(gU 2 + 2P ) = 0, 2 ⎩ ∂t(c0gu2)+ ∂x(c0gu2 + P ) = 0, V = (g, U, u2)T и исследуем задачу Римана для системы (4.1), т. е. задачу Коши с начальными условиями ( V-, x < 0, (4.1) V |t=0 = Ее регуляризация вязкостью имеет вид ⎧ V+, x > 0. 2 ⎨ ∂tg + ∂x(gU ) = ε∂xg, x ∂t(gU )+ ∂x(gU 2 + 2P ) = ε∂2U, ⎩ ∂t(c0gu2)+ ∂x(c0gu2 + P ) = ε∂2u2. (4.2) 2 x О НЕВЯЗКИХ РЕШЕНИЯХ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ СИСТЕМЫ ЭЙЛЕРА 139 Выбор параметров задачи. Условия знаков. Будем предполагать, что выполнены следующие условия знаков: [g] < 0, [U ] < 0, [u2] < 0, (4.3) а также имеет место уравнение состояния P (g) = p0gγ, (4.4) где p0 > 0, γ > 1 - заданные константы. Кроме того, будем предполагать, что имеет место неравенство 0 :( ω1 < ω. (4.5) 1. Алгебраическое исследование. Перепишем систему (4.1) в форме Коши: ⎧ ∂tg + U∂xg + g∂xU = 0, ⎪ ⎪ ⎨ ∂tU + 2P ∗ g ∂xg + U∂xU = 0, ⎩ ⎪⎪ ∂tu2 + c0u2(u2 - U )+ P ∗ ∂ g u ∂ U + 2u ∂ u = 0. c0g x - 2 x 2 x 2 Это можно записать в матричном виде: x ∂tV + A∂xV = ε∂2V, (4.6) где ⎛ U g 0 ⎞ ⎜ ⎟ 2P ∗ ⎟ ⎜ U 0 A = ⎜ g ⎟ . ⎝ c0u2(u2 - U )+ P ∗ u c0g - 2 2u2 ⎠ Собственные значения этой матрицы имеют вид √ λ± = U ± 2P ∗, λ3 = 2u2, (4.7) и при g > 0 нарушение строгой гиперболичности происходит на гиперповерхностях √ Σ± = {(g, U, u2)|2u2 = U ± 2P ∗}. Критическое многообразие Σ+. Условие жордановости. Будем рассматривать окрестность гиперповерхности Σ+ (для Σ- все аналогично). Обозначим A± = A- λ±E. Тогда на критической поверхности Σ+ имеем ⎛ ⎞ √ ∓ 2P ∗ g 0 ⎜ ⎜ A±|Σ+ = ⎜ ⎜ ⎝ c0u2(√ 2P ∗ g ∓ 2P ∗ - u2)+ P ∗ √2P ∗ u 0 √2P ∗ ∓ ⎟ ⎟ ⎟ . ⎟ √2P ∗ ⎠ c0g - 2 Для матрицы A+|Σ+ получаем, что если выполнено условие жордановости 2 c0u2 - P ∗ ∓= 0, (4.8) то ранг матрицы A+|Σ+ равен двум, т. е. λ+ соответствует жорданова клетка размера 2. Соответствующий собственный вектор ν = (0, 0, 1)T будем называть критическим. 140 В. В. ПАЛИН и др. Некритический собственный вектор. Для матрицы A- собственный вектор, соответствующий нулевому собственному значению, имеет вид где ν- = (g, - √ T 2P ∗, α-) , u2 √2P ∗ 2 √ α- = -u2 + 2 2P ∗ - . 4c0 Предложение 4.1. Проекция множества нарушения строгой гиперболичности Σ+ на плоскость переменных (U, u2) разделяет плоскость переменных (U, u2) на две открытых части. Отсюда следует несправедливость теоремы А. Майда [13] для усеченной системы Эйлера (2.4). 2. Вид однои двухфронтовых решений для регуляризованной системы. Будем искать решения системы (4.2) в виде бегущих волн. Для случая, когда решение имеет один общий фронт, положим g = g - x x∗(t) , U = U ε x - x∗(t) o , u2 = u2 - x x∗(t) . (4.9) ε Для случая двухфронтового решения положим g = g x - x∗(t) ε , U = U x - x∗(t) ε , u2 = a x - x∗(t) ε b + x - x1(t) ε . (4.10) Обозначим также x˙ ∗(t) = ω, x˙ 1(t) = ω1. Условия стабилизации. Потребуем, чтобы для однофронтовых решений имело место условие стабилизации: g(±∞) = g±, U (±∞) = U±, u2(±∞) = u2,±, g˙(±∞) = 0, U˙ (±∞) = 0, u˙ 2(±∞) = 0. (4.11) Для двухфронтовых решений условие стабилизации имеет вид g(±∞) = g±, U (±∞) = U±, a(-∞) = u2,-, b(-∞) = 0, (a + b)(+∞) = u2,+ (4.12) Система ОДУ для однофронтового решения. Условия Рэнкина-Гюгонио. После подстановки вида однофронтового решения (4.9) в (4.2) получаем систему ОДУ ⎧ ⎨ -ω(g - g-)+ (gU - g-U-) = g˙, 2 2 -ω(gU - g-U-)+ (gU - g-U- + 2(P - P-)) = U˙ , (4.13) 2 2 ⎩ -c0ω(gu2 - g-u2,-)+ c0(gu2 - g-u2,-)+ P - P- = u˙ 2. Проинтегрировав эту систему по (-∞; +∞) и воспользовавшись условиями стабилизации (4.11), получаем условия Рэнкина-Гюгонио для однофронтового случая: ⎧ ⎨ -ω[g]+ [gU ] = 0, -ω[gU ]+ [gU 2 + 2P ] = 0, 2 ⎩ -ω[c0gu2]+ [c0gu2 + P ] = 0. (4.14) О НЕВЯЗКИХ РЕШЕНИЯХ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ СИСТЕМЫ ЭЙЛЕРА 141 3. Система ОДУ для двухфронтового решения. Заметим, что регуляризованная система (4.2) допускает факторизацию: первые два уравнения этой системы не содержат неизвестной функции u2. После подстановки явного вида двухфронтового решения соответствующая первым двум уравнениям (4.2) система ОДУ имеет вид ( -ωg˙ + (gU )˙ = g¨, -ω(gU )˙ + (gU 2 + 2P )˙ = U¨ . (4.15) Рассмотрим теперь ОДУ, соответствующее третьему уравнению системы (4.2). После подстановки вида двухфронтового решения (4.10) получаем: -ωc0(g˙(a + b)+ ga˙ ) - ω1c0gb˙ + (c0g(a + b)2 + P )˙ = (a + b¨). После перегруппировки это уравнение принимает вид -ωc0(ga)˙ - ω1c0(gb)˙ + (ω1 - ω)c0g˙b + (c0g(a + b)2 + P )˙ = (a + b¨). Условия Рэнкина-Гюгонио двухфронтовой задачи. Аналогично тому, как было получено условие Рэнкина-Гюгонио для однофронтового решения, получим: ⎧ -ω[g]+ [gU ] = 0, ⎪⎨ -ω[gU ]+ [gU 2 + 2P ] = 0, 2 P (4.16) ⎪⎩ -ω[gu2]+ (ω - ω1)[b]g- + c gu2 + 0 = 0. При этом в последнем уравнении мы воспользовались равенством +∞ r -∞ которое имеет место при условии (4.5). g˙(τ )b(τ )dτ = [b]g-, 5. БИФУРКАЦИИ КРИТИЧЕСКИХ ОДНОФРОНТОВЫХ РЕШЕНИЙ 2 В этом разделе мы приведем построение бифуркаций однофронтового решения в двухфронтовое как возмущение критических однофронтовых решений усеченной системы. Бифуркация реализуется распадом решения на две бегущих волны. Каков сценарий бифуркации? Задача этого раздела - найти условия бифуркации однофронтового решения в двухфронтовое, т. е. природу разветвления фронта ударной волны. Мы покажем ниже, что бифуркация возникает как возмущение критических решений (gcr,Ucr, ucr ), исследованных выше. 1. Однофронтовое решение. Продолжим исследование однофронтовых решений. Система (4.13) факторизуется, поэтому исследуем сначала первые два уравнения: -ω(g - g-)+ gU - g-U- = g˙, (5.1) 2 -ω(gU - g-U-)+ gU 2 - g-U- + 2(P - P-) = U˙ . Определим условия Лакса, при которых есть сепаратрисное решение. Тогда существует пара g, U монотонных функций, являющаяся решением системы ОДУ (5.1) и удовлетворяющая условиям стабилизации c условиями Гюгонио g(±∞; t) = g±(t), U (±∞; t) = U±(t), (5.2) U g◦ (±∞; t) = 0, ◦ (±∞; t) = 0 -ω[g]+ [gU ] = 0, (5.3) -ω[gU ]+ [gU 2] = 0, где ω = x˙ ∗. Из условий Гюгонио получаем [gU ] ω = [g] = U- + g+ [U ] , [g] 142 В. В. ПАЛИН и др. + 2 -ω[gU ]+ [gU 2 + 2P ] = g2 [U ] + g+ [U ]2 + 2[P ] = 0. В дальнейшем рассматриваем случай, когда |[g]| Отсюда [g] < 0, [U ] < 0. (5.4) 2 [P ] 2g+ [P ] |[U ]| = g+g- - [g] |[g]|, ω = U- + g . (5.5) [g] Как мы установили выше, собственные значения усеченной системы имеют вид λ1(τ ) = U - √ P ∗, λ2(τ ) = U + √ P ∗, λ3(τ ) = 2u2. j Положим λ± = λj (±∞). Теперь сформулируем условие Лакса существования сепаратрисного решения системы (5.1) усредненных компонент. Рассмотрим два случая. Условие 5.1 (Условие устойчивости Лакса). Пусть для ω выполнено неравенство для ударной волны первого семейства λ+ + - - 1 < λ2 < ω, λ1 < ω < λ2 . (5.6) Это условие определяет интервал устойчивых скоростей ω для ОДУ усредненных параметров (g, U ). Неравенства (5.6) гарантируют существование стабилизирующегося решения системы ОДУ (5.1) для усредненных параметров. Проверим справедливость этих неравенств для скорости ω, определяемой условием Гюгонио при выбранном нами конусе скачков [g] < 0, [U ] < 0. Лемма 5.1. Пусть g, U > 0, [g] < 0, [U ] < 0. Дополнительно потребуем, чтобы g- - 2g+ < 0. (5.7) Тогда скорость ω, определяемая условиями Гюгонио (5.3), удовлетворяет неравенствам (5.6) условия Лакса для подсистемы первых двух уравнений (5.1) усредненных компонент. В силу (5.5) неравенства (5.6) перепишутся в виде I U- - P ∗ < ω = U- + 2g+ [P ] < U- + I P ∗ , P U+ + I = U - - 2 [P ] g- I P |[g]| + [g] < ω = U - 2g+ [P ] g + , ∗ + - что эквивалентно g+g- [g] ∗ + - - [g] I 2g+ [P ] < 2 [P ] + < |[g]| + 2g+ [P ] - 2g [P ] = , или P ∗ g- [g] g- - 2g+ g+g- [g] g- [g] g+ 2g- - g+ [g] (P- - P+) - + g g (P- - P+) < P ∗ (g- - g+) < (P- - P+)+ - + (P- - P+). В силу выпуклости P вниз, имеем + (P- - P+) - P ∗ (g- - g+) > 0. (5.8) Учтем неравенство (5.7). Тогда из (5.7) и (5.8) следует справедливость неравенств (5.6). Это завершает доказательство леммы. В дальнейшем будем считать ω выбранным условием Гюгонио однофронтовой задачи. О НЕВЯЗКИХ РЕШЕНИЯХ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ СИСТЕМЫ ЭЙЛЕРА 143 Нарушение условия Лакса. Теперь докажем существование двух критических решений системы ОДУ (5.1). Пусть в фазовом пространстве ось u2 направлена вверх, перпендикулярно плоскости усредненных переменных (g, U ). Условие 5.2 (Условие устойчивости Лакса). Пусть для ω выполнено неравенство для ударной волны первого семейства: λ+ + + - - - 1 < λ2 < ω < λ3 , λ1 < ω < λ2 < λ3 . (5.9) Это условие гарантирует существование стабилизирующегося решения системы ОДУ (4.13). Здесь возможны два сценария управления устойчивыми ударными волнами (и их регуляризациями) для получения критических решений системы (4.13). Одно критическое решение, которое назовем верхним, получим управлением левым предельным значением (g-, U-, u2,-)⊥, находясь выше верхней ветви критического многообразия Σ+, уменьшая + cr cr cr u2,- до первого выхода на критическое многообразие Σ в точке (g+ , U+ , u2,+. Второе критическое решение, которое назовем нижним, получим, если в фазовой плоскости будем управлять левым предельным значением (g-, U-, u2,-)⊥, находясь ниже верхней ветви критического многообразия Σ+ и увеличивая u2,- до первого выхода на критическое многообразие Σ+ в точке (gcr,Ucr, ucr ). - - 2,- Теорема 5.1. Пусть выполнены условия леммы 5.1 и - ω2 4[P ] > 0. (5.10) c0[g] Для критического значения управления / \ ucr ω 1 ω + |[g]| 2 4[P ] (5.11) 2,- = 2 g- - c0[g] существует монотонно убывающее стабилизирующееся решение уравнения (5.14), для кото- 1 рого (gcr,Ucr, ucr ) принадлежат верхней ветви критического многообразия Σ+, и ucr = ω. + + 2,+ 2,+ 2 Более того, не существует однофронтового монотонно убывающего стабилизирующегося - 2,- решения уравнения (5.14) с теми же компонентами (g, U ), но для которого u2 < ucr , отвечающего верхнему критическому решению. Теорема 5.2. Пусть выполнены условия леммы 5.1 и 4[P ] Для критического значения управления c0[g] - ucr ω2 > 0. (5.12) 1 2,- = 2 ω (5.13) 2 существует однофронтовое монотонно убывающее стабилизирующееся решение (gcr,Ucr, ucr ) системы (4.13), для которого левое предельное значение (gcr,Ucr, ucr ) ∈ Σ+, и ucr 1 / |[g]| 0 + ω - 4[P ] - - 2,- \ 2 2,+ = 2 g c [g] - ω . - 2,- Более того, не существует монотонно убывающего стабилизирующегося решения уравнения (5.14) с тем же компонентами (g, U ), но для которого u2 > ucr , отвечающего нижнему критическому решению. Замечание 5.1. Отметим, что условие (5.12) справедливо, если 2g+ / - 4g \ [P ] 0 < U- < g -1+ - c0g+ . [g] 144 В. В. ПАЛИН и др. Доказательство. Исследуем третье уравнение системы ОДУ (4.13) для однофронтовой задачи: 2 2 -ω c0(gu2 - g-u2,-)+ c0(gu2 - g-u2,-)+ P - P- = u˙ 2. (5.14) Рассмотрим уравнение для нулевых изоклин [g]| 2 -ωu2 + u2 - 4[P ] u g- 2 g 2,- + g- g ωu2,- + P - P- c0g = 0. Для 2u2,- = ω + | ω2 - g- c0[g] / имеем \/ \ P - P- 1 ω |[g]| 2 4[P ] |[g]| 2 - 4[P ] P - P- u2,-(ω - u2,-)+ = ω + c0g- 4 g- - c0[g] - ω ω g- c0[g] + = c0g- - = 1 ω2 4 1 |[g]| 4 g- ω2 - 4[P ] = c0[g] 1 g+ 4 g- ω2 + P - P+ c0g- > 0. Тогда уравнение для изоклин перепишется в виде 1 g+ P - P+ Отсюда дискриминант 2 4 -ωu2 + u2 + ω2 + g c0g = 0. D = ω2 - g+ ω2 - 4(P - P+) = g - g+ ω2 - 4(P - P+) > 0, ∀τ ∈ R, g c0g g c0g поскольку монотонно убывает (D˙ < 0, так как g˙ < 0) и D+ = 0, D- = g- - g+ ω2 g- 4[P ] 0 - c [g] > 0 1 ± в силу условия (5.10). Следовательно, существуют нулевые изоклины u± = (ω D). Отсюда 2 следует существование стабилизирующегося решения уравнения (5.14), которое есть поточечный - 2,- предел строго монотонно убывающих не критических решений для u2, > ucr . - 2,- Последнее. Если u2, < ucr , нетрудно видеть, что D+ < 0 и условие стабилизации (5.2) нарушается. Это завершает доказательство теоремы (5.1). Доказательство теоремы (5.2) аналогично. Лемма 5.2. Для верхнего критического решения справедливы следующие асимптотики: ucr cr 1 1 1 g 2 = u2,+ + + o + τ τ , τ → +∞, (5.15) 2 g˙ = o(u˙ cr ), τ → -∞. Соответственно, для нижнего критического решения имеем ucr cr 1 1 1 g τ τ 2 = u2,- + + o - , τ → -∞, (5.16) 2 g˙ = o(u˙ cr ), τ → +∞. Лемма есть следствие условия устойчивости Лакса (5.9) для ударных волн усеченной системы (2.4), регуляризация которой при этих условиях имеет сепаратрисные решения ОДУ однофронтовой задачи. О НЕВЯЗКИХ РЕШЕНИЯХ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ СИСТЕМЫ ЭЙЛЕРА 145 2. О бифуркации верхнего критического решения. Теперь получим бифуркацию типа горбатого кинка как возмущение верхнего критического решения, существующего при условии 2 - ω2 4cs c0 > 0, ω > ω1 > 0. 2,+ В чем природа такой бифуркации? Как мы показали выше, верхнее критическое решение, которое мы получаем в фазовой плоскости подходом сверху к критическому многообразию Σ+ (если ось u2 направлена вертикально вверх), есть предел существования классической однофронтовой ударной волны. Попытка опуститься ниже критического многообразия приводит к распаду классической однофронтовой ударной волны на две: замедление критического решения и со старой скоростью сброс предвестника с немонотонным отрицательным профилем типа горбатого кинка. То есть мы понижаем правое предельное значение u2,+, опуская его ниже критического ucr (переход каустики). Таким образом, происходит разрядка критической (неустойчивой) ситуации посредством двухфронтовых ударных волн. После подстановки вида двухфронтового решения (4.2) в систему ОДУ (4.15), (4.3) при u2 вида u2 = a0 x - x∗(t) ε + b0 x - x1(t) ε (5.17) получаем третье уравнение системы ОДУ двухфронтовой задачи Римана: -ωc0(ga0 - g-a-) - ω1c0(gb0 - g-b-)+ (5.18) 0 0 τ r +(ω1 - ω)c0 g˙b0ds + c0(g(a0 + b0)2 - g(a- + b-)2 + P - P -)˙ = (a0 + b0)˙. 0 0 -∞ Выбор критического однофронтового решения. Потребуем выполнения условия ω2 > 4[P ] c0[g] (5.19) существования верхнего критического решения. Разложение (5.17) будем искать как возмущение x - x1(t) 2 верхнего критического решения. Для этого положим b0(x, t) = ucr , где x˙ 1 = ω1, тем са- ε 2 мым ускоряя или замедляя верхнее критическое решение u2(x, t), где ucr (τ ) - решение ОДУ (5.14), отвечающее скорости фронта ω. Предельные константы верхнего критического решения: / 2 \ ucr 1 ω + |[g]| ω2 4cs , ucr 1 g 2,- = 2 c 2 - 2,+ = ω. (5.20) - 0 Тогда для возмущения a0 получим уравнение a˙ 0 = c0g(a0 + 2ucr - ω)a0 - c0(ω1 - ω)(gucr - g ucr τ r )+ c0(ω1 - ω) g˙ucr ds (5.21) 2 с условиями стабилизации 2 - 2,- 2 -∞ - a0 = 0, (a˙ 0)- = (a˙ 0)- = 0. В рассматриваемом случае третье условие Гюгонио двухфронтовой задачи запишется в виде 1 [g]| 4c2 0 g+(a+ - ω)a+ - 1. (ω - ω1)g± | ω2 - s g- c0 = 0, (5.22) где плюс или минус в (5.22) выбираем в зависимости от знака ω1 - ω. Здесь мы использовали справедливость соотношения -ω[gucr ]+ [g(ucr )2]+ 1 [P ] = 0, 2 2 c0 146 В. В. ПАЛИН и др. 2 для критического управлении ucr. Прежде всего определимся со знаком ω1 - ω. Для этого исследуем нулевые изоклины уравнения (5.21): 1 cr j - |[g]| 2 s 4c2 + Дискриминант a± = 2 a g - (2u2 - ω) ± D , a = - τ ω - c0 - , a = 0. - 2 Da = (2ucr - ω)2 - 4(ω1 - ω) r g ∞ 2 g˙ucr ds + 4(ω1 - ω) 2 ucr - u g- cr g 2,- . Чтобы определить знак ω1 - ω, исследуем поведение дискриминанта. Имеем a - D- = |[g]| ω2 s 4c2 , c g- ⎛ D+ 4(ω1 - ω) cr 0 r ∞ ⎞ cr cr если a = - g+ ⎝g-u2,- - g+u2,+ + -∞ g˙u2 ds⎠ 0, Здесь мы воспользовались тем, что Z = ω - ω1 > 0. (5.23) ⎛ τ ⎞ cr cr r cr G(Z, τ ) = (ω - ω1) ⎝g-u2,- - gu2 + ∞ поскольку G(Z, -∞) = 0 и g˙u2 ds⎠ > 0, τ ∈ R, (5.24) 2 G˙ = (ω - ω1)gu˙ cr > 0. Таким образом, мы замедляем верхнее критическое решение и возмущение a0 есть предвестник. Тогда получаем следующую спектральную задачу по параметру Z: a˙ 0 = c0g(a0 + 2ucr - ω)a0 + c0Z(gucr - g ucr τ r ) - c0Z g˙ucr ds, (5.25) 2 2 a- - - 2,- 2 -∞ + 0 = 0, (a˙ 0) = (a˙ 0) = 0, 4c 2 (a+ - ω)a+ - g- Z |[g]| ω2 - s = 0. (5.26) - 0 2g+ g c0 Задача состоит в нахождении стабилизирующегося решения уравнения (5.25). Немонотонное стабилизирующееся решение этой задачи назовем одногорбым кинком, если его график y = a- стартует из нуля при τ = -∞ и убывает, находясь между нулевыми изоклинами, до пересечения с нижней изоклиной в точке его минимума. Затем, находясь под нижней изоклиной, 2,+ возрастает, стабилизируясь к ucr при τ → +∞. Соответственно, двугорбым кинком назовем немонотонное стабилизирующееся решение этой задачи, график которого y = a- стартует из нуля при τ = -∞ и убывает, находясь между нулевыми изоклинами, до пересечения с нижней изоклиной в точке его минимума. Затем, находясь под нижней изоклиной, возрастает до пересечения с ней в точке его максимума. Далее убывает, 2,+ находясь между нулевыми изоклинами, и стабилизируется к ucr при τ → +∞. Теорема 5.3. Пусть выполнены условия леммы (5.1) и оценки (5.19). 1. Пусть ω Z |[g]| 4c 2 ω2 - s , (5.27) g- c0 то существует немонотонное решение задачи (5.25) с профилем типа одногорбого кинка. О НЕВЯЗКИХ РЕШЕНИЯХ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ СИСТЕМЫ ЭЙЛЕРА 147 Более того, существует Z∗ < |[g]| ω2 - s 4c2 такое, что для g- c0 0 < Z∗ :( Z :( |[g]| g- ω2 - s 4c2 c0 (5.28) существует немонотонное решение задачи (5.25) с профилем типа одногорбого кинка. 2. Для 0 < Z < Z∗ (5.29) существует немонотонное решение задачи (5.25) с профилем типа двугорбого кинка. Доказательство. Имеем производную D˙ a cr = 4 (2ucr - ω - Z)u˙ + Z[- 1 τ r g˙ucr ds + 1 ucr - g- ucr ˙ ]g . 2 В силу (5.24), если Z > 0, то 2 g2 2 ∞ g 2 g2 2,- D˙ a > 4(2ucr - ω - Z)u˙ cr 0 2 2 при 2 Z |[g]| ω2 - 4cs . (5.30) Теперь исследуем производную g- c0 τ 2 (√Da + 2ucr - ω - Z)u˙ cr + 1 gucr - g ucr - r g˙ucr ds g˙ Положим a˙ - = - 2 2 2 2 √ Da - 2,- 2 ∞ . Отсюда 2 - K = jDa + 2ucr - ω - Z = -2a - Z. τ 4 Ku˙ cr + 1 gucr - g ucr - r g˙ucr ds g˙ или K˙ = 2 2 2 - 2,- 2 √ ∞ , Da τ cr 4 2 - gucr - g u cr 2,- 2 - r g˙ucr ds Интегрируя, получим ˙ 2 4u˙ D K = √ K + a √ ∞ g2 Da \ τ g˙. / 2 4 cr √ K = |[g]| ω2 - 4cs + ω - Z e-∞ Da u˙ 2 ds + g- c0 τ τ τ s 4 gucr cr r cr √4 cr √4 cr 2 - g-u2,- - g˙u2 ds +e-∞ Da u˙ 2 ds r -∞ - e -∞ Da u˙ 2 ds ∞ g2√Da g˙ds > 0, поскольку Z :( ω. Отсюда в силу леммы (5.2) следует, что K˙ значений τ > τ∗. Из последнего следует, что a˙ - > 0, τ > τ∗ т. е. нижняя изоклина возрастает в окрестности τ = ∞. Имеем < 0 для достаточно больших / 2 \ ⎛ ∞ 4 cr ⎞ K+ - K- = - |[g]| ω2 - 4cs + ω - Z 1 - e-∞ √Da u˙ 2 ds + g- c0 ⎝ ⎠ 148 В. В. ПАЛИН и др. s cr τ cr r cr ∞4 cr r∞ 4 cr 4 gu2 - g-u2,- - g˙u2 ds +e-∞ √Da u˙ 2 ds -∞ - e -∞ √Da u˙ 2 ds ∞ g2√Da g˙ds. Покажем, что K+ - K- < 0. Для этого сделаем оценку интеграла: τ s cr cr r cr r∞ - √4 cr 4 g-u2,- - gu2 + g˙u2 ds I1 = -∞ e -∞ Da u˙ 2 ds √ ∞ g2 Da (-g˙)ds :( 2g- ∞ ω2 s e |[g]| 4c2 - - -∞ 4 √Da 2 u˙ cr ds ∞ √ r (-g˙) ds, где g :( 2 + g- ∞ 4 c0 Da -∞ cr r∞ - e -∞ √Da u˙ 2 ds -∞ (-g˙) √Da ds = o(|[g]|). Отсюда следует, что K+ - K- < 0 при ω2 s + ω Z |[g]| 4c2 2g- g + - - - ∞ 4 ω2 s e |[g]| 4c2 - √ - -∞ u˙ cr ds ∞ r - Da 2 √ ( g˙) ds = g- c0 2 g- ⎛ ∞ 2 - c0 Da -∞ √4 u˙ cr ds r∞ ⎞ = |[g]| ω2 - 4cs 2g- 1 - e -∞ - - g- c0 ⎝ g2 Da 2 ( g˙) √D ds⎠ + ω Z > 0, + a -∞ что справедливо при условии ω - Z 0 и достаточно малом |[g]|. Из K+ - K- < 0 получаем, что a+ - - - a- > 0. В тоже время, в окрестности τ = -∞ в силу леммы (5.2) имеем τ cr 4 2 - gucr - g u cr 2,- 2 - r g˙ucr ds cr ˙ 2 4u˙ D K = √ K + a √ ∞ g2 Da 4Ku˙ 2 D g˙ = √ a 2 + o(u˙ cr ) < 0, следовательно, a˙ 0 > в окрестности τ = -∞, и нижняя изоклина в этой окрестности возрастает. Отсюда следует существование немонотонного стабилизирующего решения задачи (5.25) типа одногорбого кинка. Это завершает доказательство теоремы (5.3). Осталось исследовать случай, когда 0 < Z < |[g]| 4c 2 ω2 - s . (5.31) g- c0 В этом случае в силу леммы (5.2) существует τ∗ такое, что 2(√Da + 2ucr - ω - Z)u˙ cr и такое τ∗∗, что 2 ∗ √ ∀ a˙ - = - 2 2 + o(u˙ cr ) > 0 τ < τ , Da 2(jD+ - Z)u˙ cr где 2 ∗∗ √ ∀ a˙ - = - r∞ a 2 + o(u˙ cr ) < 0 τ > τ , Da r∞ cr cr cr s |[g]| 2 - 4c2 cr cr g+ g-u2,- - g+u2,+ + -∞ g˙u2 ds = g+ g ω - c0 + g˙(u2 - u -∞ )ds > Z, 4 О НЕВЯЗКИХ РЕШЕНИЯХ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ СИСТЕМЫ ЭЙЛЕРА 149 если выполнено условие (5.31). Таким образом, существует точка максимума функции a-. Отсюда следует существование Z∗ < |[g]| g- ω2 - s 4c2 c0 , и для Z ∈ Z∗, |[g]| g- ω2 - s 4c2 \ c0 есть немонотонное стабилизирующееся решение задачи (5.25) типа одногорбого кинка. Для Z ∈ (0, Z∗) существует решение типа двугорбого кинка, график которого y = a- стартует из нуля при τ = -∞ и убывает, находясь между нулевыми изоклинами, до пересечения с нижней изоклиной в точке его минимума. Затем, находясь под нижней изоклиной, возрастает до пересечения с ней в точке его максимума. Далее убывает, находясь между нулевыми изоклинами, 2,+ и стабилизируется к ucr при τ → +∞. Причиной появления решения такого профиля является 2 уменьшение показателя стабилизации ucr при τ → -∞ с уменьшением Z и увеличением максимума a-. 3. О бифуркации нижнего критического решения. Теперь исследуем возмущение нижнего критического однофронтового решения, существующего при условии 4c2 s c0 - ω2 > 0, ω > ω1 > 0. В этом пункте мы построим бифуркации как возмущения нижнего критического однофронтового решения. В чем природа такой бифуркации? Как мы показали выше, нижнее критическое решение, которое мы получаем в фазовой плоскости подходом снизу к критическому многообразию Σ+ (если ось u2 направлена вертикально вверх), есть предел существования классической однофронтовой ударной волны. Попытка подняться выше критического многообразия приводит к распаду классической однофронтовой ударной волны на две: замедленную критическую волну и со старой скоростью сброс предвестника. Таким образом, происходит разрядка критической (неустойчивой) ситуации посредством двухфронтовых ударных волн. Итак, рассмотрим ОДУ, соответствующее третьему уравнению системы (4.1) в быстрых переменных для двухфронтовой задачи. После подстановки двухфронтового решения (4.10) в виде u2 = a0 x - x∗(t) ε + b0 x - x1(t) ε получаем бифуркацию типа горбатого кинка как возмущение верхнего критического решения. В чем природа такой бифуркации? Как мы показали выше, верхнее критическое решение, которое мы получаем в фазовой плоскости подходом сверху к критическому многообразию Σ+ (если ось u2 направлена вертикально вверх), есть предел существования классической однофронтовой ударной волны. Попытка подняться выше критического многообразия приводит к распаду классической однофронтовой ударной волны на две: ускорение нижнего критического решения и со старой скоростью сброс послевестника с немонотонным отрицательным профилем. Таким образом, происходит разрядка критической (неустойчивой) ситуации посредством двухфронтовых ударных волн. Так же как выше, после подстановки вида двухфронтового решения (4.2) в систему (4.15), (4.3) для u2 u2 = a0 x - x∗(t) ε + b0 x - x1(t) ε (5.32) получаем третье уравнение системы ОДУ двухфронтовой задачи Римана: -ωc0(ga0 - g-a-) - ω1c0(gb0 - g-b-)+ (5.33) 0 0 τ r +(ω1 - ω)c0 g˙b0ds + c0(g(a0 + b0)2 - g(a- + b-)2 + P - P -)˙ = (a0 + b0)˙. 0 0 -∞ Выбор критического однофронтового решения. Потребуем выполнения условия 4[P ] c0[g] > ω2 (5.34) 150 В. В. ПАЛИН и др. существования нижнего критического решения. Разложение (5.32) будем искать как возмущение x - x1(t) 2 нижнего критического решения. Для этого положим b0(x, t) = ucr , где x˙ 1 = ω1, тем ε 2 самым, ускоряя или замедляя верхнее критическое решение ucr (τ ), отвечающее скорости фронта ω. Предельные константы нижнего критического решения: ucr 1 cr 1 / s 2 |[g]| 4c2 \ ω 2,- = 2 ω, u2,+ = 2 ω - Тогда для возмущения a0 получим уравнение g+ c0 - . (5.35) τ r a˙ 0 = c0g(a0 + 2ucr - ω)a0 - c0(ω1 - ω)(gucr - g ucr )+ c0(ω1 - ω) g˙ucr ds (5.36) 2 с условиями стабилизации 2 - 2,- 2 -∞ - a0 = 0, (a˙ 0)- = (a˙ 0)- = 0. В рассматриваемом случае третье условие Гюгонио двухфронтовой задачи запишется в виде: - ω2 = 0, (5.37) | 1 [g]| 4c2 0 s g+(a+ - ω)a+ + + 0 2 (ω - ω1)g± g c где плюс или минус в (5.37) выбираем в зависимости от знака ω1 - ω. Здесь мы использовали справедливость соотношения -ω[gucr ]+ [g(ucr )2]+ 1 [P ] = 0 2 2 c0 2 для критического управления ucr. Прежде всего определимся со знаком Z = ω - ω1. Для этого исследуем поведение дискриминанта. Имеем ⎛ D˙ a = 4 ⎝(2ucr - ω - Z)u˙ cr + r τ Z [- g˙ucr ds + g ucr - g ucr ⎞ ]g˙⎠ > 0 ∀τ ∈ R, 2 2 g2 2 ∞ поскольку, как мы показали выше, τ r 2 - 2,- - g˙ucr ds + g ucr - g ucr < 0, 2 ∞ и 2ucr 2 - 2,- если 2 - ω - Z :( -Z ∀τ ∈ R Z = ω - ω1 > 0. (5.38) Таким образом, мы замедляем нижнее критическое решение и возмущение a0 есть предвестник. Тогда получаем следующую спектральную задачу по параметру Z = ω - ω1: τ r a˙ 0 = c0g(a0 + 2ucr - ω)a0 + c0 Z(gucr - g ucr ) - Z g˙ucr ds, (5.39) 2 a- + + 2 - 2,- 2 -∞ ± 0 = 0, a0 = a - ω2 = 0. 1 (Z, ω), (a˙ 0) | [g]| 4c2 = 0, 0 g+(a+ - ω)a+ - + s 0 2 Zg- g c Задача состоит в нахождении стабилизирующегося решения уравнения (5.39). О НЕВЯЗКИХ РЕШЕНИЯХ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ СИСТЕМЫ ЭЙЛЕРА 151 Теорема 5.4. Пусть выполнены условия леммы (5.1), неравенства (5.34). 1. Пусть выполнено неравенство ⎛ r∞ ( u˙ cr ) ⎞ 4(g- + |[g]|) s 2 ω ; |[ ]| 4c2 - √ r∞ ( g˙) Z > exp ⎝4 - 2 ds⎠ + c0 D - ds. (5.40) D g j + 2 a + a -∞ -∞ Тогда существует монотонно убывающее, стабилизирующееся решение задачи (5.39). Более того, существует такое ⎛ ; [ ]| 4c2 ⎞ ⎜ | | Z∗∗ ∈ ⎜0, exp ⎝ 2 ω ∞ ∞ r (-u˙ cr ) D 4 j + a 4(g + [g] ) | - + g ds 2 + s 2 c0 - r (-g˙) √Da ⎟ ds⎟ , ⎠ -∞ что для ; [ ]| 4c2 -∞ 2 ∞ ⎛ r∞ ( u˙ cr ) s + ⎞ 4(g- + |[g]|) | c0 - ω r ( g˙) Z∗∗ :( Z < exp ⎝4 -∞ ⎠ § 2 ds D j + a g D 2 √ - ds (5.41) + a -∞ также существует монотонно убывающее, стабилизирующееся решение задачи (5.39). 2. Для 0 < Z < Z∗∗ (5.42) существует немонотонное стабилизирующееся решение задачи (5.39) типа одногорбого кинка. Доказательство. Из оценки Da > 0 при справедливости условия (5.38) следует существование нулевых изоклин a±. Теперь исследуем производную τ 2 (√Da + 2ucr - ω - Z)u˙ cr + 1 gucr - g ucr § r g˙ucr ds g˙ Положим a˙ - = - 2 2 2 2 √ Da - 2,- 2 ∞ . Отсюда 2 - K = jDa + 2ucr - ω - Z = -2a - Z, 2a- = -K - Z. τ 4 Ku˙ cr + 1 gucr - g ucr § r g˙ucr ds g˙ или K˙ = 2 2 2 - 2,- 2 √ ∞ , Da τ cr 4 2 - gucr - g u cr 2,- 2 § r g˙ucr ds Интегрируя, получим ˙ 2 4u˙ D K = √ a K ++ √ ∞ g2 Da g˙. τ τ τ τ s 4 gucr - g ucr § r g˙ucr ds √4 cr √4 cr √4 cr 2 - 2,- 2 K = -Ze-∞ Оценим Da u˙ 2 ds + e-∞ Da u˙ 2 ds r -∞ - e -∞ Da u˙ 2 ds √ -∞ g2 Da g˙ds. (5.43) τ s cr τ cr r cr √ r - 4 u˙ cr ds 4 gu2 - g-u2,- - g˙u2 ds e -∞ -∞ Da 2 -∞ g2√Da g˙ds :( 152 В. В. ПАЛИН и др. 4 τ g(ucr τ § ucr )+ r ) ds g˙(ucr - ucr √4 (ucr cr r 2,- 2 2 2,- D :( e + 2,--u2,+) a -∞ -∞ g2√Da ; [ ]| 4c2 2 ∞ (-g˙)ds :( ⎛ :( exp ⎝4 - r∞ ( 2 u˙ cr ) s + ⎞ 4(g- + |[g]|) | ds⎠ c0 - ω √ r (- g˙) ds, где D g D j + 2 a + a -∞ -∞ ⎛ r∞ ( u˙ cr ) ⎞ r∞ ( g˙) exp ⎝4 - 2 ds⎠ - ds = o(|[g]|). D j + a -∞ Отсюда следует, что K < 0, если √Da -∞ ; [ ]| 4c2 2 ∞ ⎛ Z > exp ⎝4 - r∞ ( 2 u˙ cr ) s + ⎞ 4(g- + |[g]|) | ds⎠ c0 - ω √ r (- g˙) ds. D g D j + 2 a + a -∞ -∞ Тогда K монотонно возрастает, поскольку K˙ > 0; соответственно, a- монотонно убывает. Отсюда следуют существование монотонно убывающего стабилизирующегося решения задачи (5.39). Это завершает доказательство теоремы (5.4). Осталось исследовать случай, когда ⎛ r∞ ( u˙ cr ) ⎞ 4(g- + |[g]|) s 2 ω ; |[ ]| 4c2 - √ r∞ ( g˙) 0 < Z < exp ⎝4 - 2 ds⎠ + c0 D - ds. (5.44) D g j + 2 a + a -∞ -∞ В этом случае существует τ∗ такое, что K > 0 при τ > τ∗. В силу леммы (5.2), в этом случае получим, что 4u˙ cr K˙ = √ 2 Da 2 K + o(u˙ cr ) < 0 при τ > τ∗. Тогда a˙ - > 0 для достаточно больших ττ∗. В этом случае существует немонотонное стабилизирующееся решение типа одногорбого кинка. 1. Проблема трансзвука. Это может быть дополнительным подтверждением существования бифуркации типа двугорбого кинка при возмущении верхнего критического решения и существования бифуркации типа одногорбого кинка при возмущении нижнего критического решения. Рассмотрим случай, пограничный к рассмотренным выше критическим решениям, когда 2 4[P ] ω 0 cr = c [g] . (5.45) Также как выше, g > 0, U > 0, [g] < 0, [U ] < 0 и P = P0gγ, Po = const > 0, γ > 1. О природе трансзвукового потока. Заметим, что функция 1 ω + S±, где S± - знакопостоянные, 2 так называемые однофронтовые солитонные функции (S+ > 0, S- < 0, S+(±∞) = S-(±∞) = 0), 2 есть поточечный предел бифуркации верхнего (с двугорбым возмущением) и нижнего (с одногорбым возмущением) критических решений ucr при ω1 → ωcr + ±0, соответственно. Таким образом, солитонное решение образуется при разрушении ударной волны. Такой эффект можно назвать трансзвуковым. Подставив функцию u = 1 ω + S± в третье уравнение однофронтовой задачи, получим 2 2 1 c0g S2 + c0ω2(g 4 - - g)+ P - P- = S˙ . (5.46) О НЕВЯЗКИХ РЕШЕНИЯХ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ СИСТЕМЫ ЭЙЛЕРА 153 Теорема 5.5. Пусть существует стабилизирующееся решение g, U первых двух уравнений системы (4.15), (4.3) для усредненных компонент (g, U ) (справедливы условия леммы (5.1)), для скорости ω выполнено условие (5.45), а функция 1 2 F (τ ) = -(P - P-)+ 4 c0ωcr (g - g-) > 0 ∀τ ∈ R (где F (-∞) = F (∞) = 0) выпукла вверх. Тогда существует два знакопостоянных солитонных решения (S+(±∞) = S-(±∞) = 0) уравнения (5.46). Доказательство. Тогда S удовлетворяет уравнениям: [P ] S˙ = c0gS2 - [g] (g - g- )+ P - P- , (5.47) S- = S+ = 0. Нужно доказать существование знакопостоянного солитона S(z), S(±∞) = 0, где g - положительная, стабилизирующаяся на бесконечности, строго монотонно убывающая функция, g(-∞) > g(+∞). Для P = P0gγ < γ, γ > 1, функция F выпукла вверх. Отсюда следует существование ; F (g) выпуклых верхней и нижней нулевых изоклин S± = ± . Поэтому существует изоклина g S- < 0, график которой стартует из нуля и находится при z → +∞ сначала между нулевыми изоклинами до пересечения с нижней изоклиной в точке минимума функции S-. Далее, находясь под нижней изоклиной, S- → 0 при z → +∞. Наоборот, S+ стартует из нуля и находится при z → +∞ выше верхней нулевой изоклины до пересечения с ней в точке максимума функции S+. Далее, находясь между нулевыми изоклинами, убывая, график S- → 0 при z → +∞. Случай Z = 0. Отдельно рассмотрим случай, когда Z = 0. В этом случае задача для послевестника имеет вид 2 a˙ 0 = c0g(a0 + 2ucr - ω)a0, (5.48) a- 0 = 0, (a˙ 0)± = 0. 2 cr - + |[g]| 4cs 2 a+ ≡ 0, a- = -F, F = (2u2 - ω), F g = 0, F = - + c - ω . 0 Есть стабилизирующееся монотонно убывающее решение! Какие можно сделать выводы? 6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 0 0 1. Мы получили семейства бифуркаций верхнего и нижнего критический решений, определяемые, при фиксированном значении ω, выбором либо значения скорости ω1 ∈ (0, ω), либо значения a+. Эта многозначность связана с тем, что мы не описали неустойчивость, рождающую всплеск (a+) в стадии зарождения бифуркации для усеченной системы Эйлера. Из численного эксперимента (см. [16]) следует, что в полной приведенной системе это можно отнести на счет неустойчивости константы в данных Коши концентрации активной компоненты из области лабильности уравнения Кана. Начальный всплеск определяется уравнением для концентрации в приведенной системе. Рождение всплеска в полной приведенной системе и распад его на две ударной волны можно назвать внутренней турбулентностью. 2. В чем природа такой бифуркации? Как мы показали выше, верхнее критическое решение, которое мы получаем в фазовой плоскости подходом сверху к критическому многообразию Σ+ (если ось u2 направлена вертикально вверх), есть предел существования классической однофронтовой ударной волны. Попытка опуститься ниже критического многообразия приводит к распаду классической однофронтовой ударной волны на две: замедление верхнего критического решения и со старой скоростью сброс предвестника с немонотонным отрицательным профилем. Таким образом, происходит разрядка критической (неустойчивой) ситуации посредством двухфронтовых ударных волн. То же происходит и при возмущении нижнего критического решения. 154 В. В. ПАЛИН и др. 3. Полученные бифуркации типа многогорбых кинков имеют сверхзвуковой характер, связанный 4[P ] с критической скоростью ωcr = превышающей скорость звука. c0[g] 4. Возможно, появление солитонных решений для критической скорости ω = ωcr и появление колебаний возмущения (многогорбость) связано с проблемой трансзвука. 5. Все полученные эффекты суть внутренние свойства самой системы Эйлера, связанные со структурой собственного пространства на критических многообразиях Σ± (появление присоединенных векторов).