Функционально-дифференциальные параболические уравнения: интегральные представления и качественные свойства решений задачи Коши

Аннотация

Полный текст

СОДЕРЖАНИЕ Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Глава 1. Уравнения с нелокальными младшими членами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1. Определение фундаментального решения в случае одной пространственной переменной 7 2. Свертка фундаментального решения с ограниченными функциями . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Решение задачи Коши 13 1. Многомерный случай 17 2. Единственность решения 24 3. Асимптотические свойства решения 26 4. О смысле условия положительной определенности 36 Глава 2. Уравнения с нелокальными старшими членами 39 1. Случай факторизуемого фундаментального решения 39 2. Существование и единственность решения задачи Коши 40 3. Поведение решения при t →∞ 42 4. Случай нескольких пространственных переменных 47 5. Стабилизация решения в случае нескольких пространственных переменных 51 6. Общий случай неоднородного эллиптического оператора 54 7. Общий случай нефакторизуемого фундаментального решения 61 Глава 3. Сингулярные интегродифференциальные уравнения 75 1. Основные определения и обозначения 75 2. Фундаментальное решение сингулярного интегродифференциального уравнения 76 3. Обобщенная свертка фундаментального решения с ограниченными функциями 77 4. Решение неклассической задачи Коши 80 5. Случай неоднородного уравнения 86 Глава 4. Сингулярные функционально-дифференциальные уравнения 88 1. Постановка задачи 88 2. Фундаментальное решение сингулярного функционально-дифференциального уравнения 89 3. Обобщенная свертка фундаментального решения с ограниченными начальными функциями 91 4. Решение неклассической задачи Коши для сингулярного функционально-дифференциального уравнения 92 5. Случай неоднородного сингулярного уравнения 97 6. Единственность решения сингулярной задачи 100 7. Асимптотика решения сингулярной задачи 103 Дополнение. Сингулярные дифференциальные параболические уравнения 110 1. Стабилизация решения задачи Коши. Модельный случай 110 2. Стабилизация решения задачи Коши. Случай коэффициентов, зависящих от пространственных переменных 121 Список литературы 138 ВВЕДЕНИЕ В данной работе исследуется задача Коши для параболических функционально-дифференциальных уравнений второго порядка, которые содержат, кроме дифференциальных операторов, операторы сдвига (обобщенного сдвига), действующие по пространственным переменным. Эта задача принадлежит к классу нелокальных задач, изучение которых было начато еще в классических работах Я. Д. Тамаркина, М. Пиконе и Т. Карлемана. Дальнейшее свое развитие теория функциональнодифференциальных (в частности, дифференциально-разностных) уравнений получила в трудах А. Д. Мышкиса, а впоследствии она глубоко и интенсивно развивалась многими математиками (см. монографии [1, 91, 124] и имеющуюся там библиографию, а также цикл работ [5-10, 13], посвященный теории функционально-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах). Общая теория эллиптических и параболических функционально-дифференциальных уравнений (разрешимость, априорные оценки, гладкость обобщенных решений, спектральные свойства операторов) разрабатывалась в [11, 16, 69-71, 83-89, 96-98, 100, 101, 122-125, 129]. Указанные задачи имеют важные приложения, такие как теория многослойных пластин и оболочек (см. [68, 124]), теория диффузионных процессов, включая биоматематические приложения (см. [12, 123, 129]), модели нелинейной оптики (см. [3, 86, 121, 125-128]). Основное внимание в работе сосредоточено на асимптотическом поведении решений исследуемых задач. Как известно, весьма характерным для параболических задач явлением является стабилизация их решений. Это явление, впервые отмеченное еще в довоенных работах И. Г. Петровского и А. Н. Тихонова, заключается в существовании у решения конечного предела (в том или ином смысле) при t → ∞. Классическим примером результатов такого рода является необходимое и достаточное условие (поточечной) стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности с ограниченной начальной функцией: указанное решение стремится (поточечно) к константе тогда и только тогда, когда предел 1 lim r u0(x)dx r→∞ mes{|x| < r} |x|<r существует и равен той же константе. Это условие получено в [81] (см. также [82]), а впоследствии теория стабилизации решений параболических уравнений развивалась в [17-24, 26-28, 30-36, 60, 72, 73, 78-80, 94, 99, 106] и многих других работах различных авторов. Стабилизация решений встречается и в эллиптической теории, когда рассматривается задача Дирихле в полупространстве (см. [29, 63, 95, 113]); в этом случае стабилизация решения происходит в направлении пространственной переменной, ортогональной граничной гиперплоскости, а необходимое и достаточное условие стабилизации идентично классическому условию из [81]. Таким образом, решение указанной эллиптической задачи ведет себя аналогично решениям параболических уравнений, однако стоит отметить, что полного совпадения здесь нет: скорость убывания фундаментального решения (один из ключевых моментов теории стабилизации) является, в отличие от параболического случая, степенной. В настоящее время классическую теорию стабилизации можно считать в основном построенной; в последние десятилетия исследовательские интересы сместились в сторону неклассических параболических задач. Данная работа посвящена одной из таких неклассических областей - функционально-дифференциальным параболическим уравнениям. Кроме регулярных уравнений (т. е. уравнений, коэффициенты которых не содержат особенностей), в данной работе изучаются сингулярные функционально-дифференциальные параболические уравнения, в которых по одной или нескольким пространственным переменным действует оператор Бесселя с положительным параметром k. 1 ∂ yk ∂y k ∂ = ∂ 2 y ∂y ∂y2 + k ∂ y ∂y ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 5 Особенности такого рода возникают в тех моделях математической физики, где характеристики среды (например, диффузионные или теплопроводящие) имеют вырождающиеся неоднородности степенного вида. Функционально-аналитические методы, необходимые для исследования таких особенностей, и построенная на основе этих методов общая теория указанных сингулярных уравнений разработаны в [41] (см. также [37, 39, 40, 42]). Параболические уравнения, содержащие оператор Бесселя, глубоко и подробно исследовались в [43-45, 48-51, 53] (см. также имеющуюся в этих работах библиографию). Необходимые и достаточные условия стабилизации решений указанных сингулярных параболических уравнений найдены в [54, 57, 114]. В настоящей работе исследуются сингулярные уравнения, которые содержат, кроме оператора Бесселя, оператор обобщенного сдвига, введенный и исследованный в [47]. Таким образом, изучаемые функционально-дифференциальные уравнения являются не только дифференциальноразностными, но и интегродифференциальными. Работа состоит из пяти глав. Главы, в свою очередь, делятся на разделы. Первая глава - вводная. Во второй главе изучаются уравнения, нелокальными в которых являются только младшие члены, причем члены нулевого порядка. Как известно, такие члены характеризуют диссипативные свойства моделируемого процесса, а нелокальными эти члены становятся тогда, когда эта диссипация происходит с запаздыванием. При этом наибольший интерес представляет случай анизотропной среды: диффузионный процесс является многомерным, и запаздывание в различных координатных направлениях различно (см., например, [123, 129]). Кроме того, нелокальные члены такого вида возникают и в математических моделях нелинейных оптических систем с двумерной обратной связью, используемых, например, в современных компьютерных технологиях и в исследованиях лазерных пучков (см., например, [86, 121, 125-128]). Основными результатами главы 1 являются теорема о классической однозначной разрешимости задачи Коши (теорема 1.5.1) и теорема об обобщенной весовой асимптотической близости исследуемого решения и решения задачи Коши для уравнения теплопроводности с преобразованной начальной функцией (теорема 1.6.1); из последней теоремы вытекают и следствия о (поточечной) стабилизации. Отметим, что существование обобщенных (в различных смыслах) решений указанной задачи было известно значительно раньше (см., например, [14, 15, 76, 77]), однако теоремы о стабилизации являются утверждениями о поведении решения на многообразиях малых размерностей (вплоть до одномерных многообразий), а существование следа на таком многообразии не может быть гарантировано даже, вообще говоря, для сильного решения. Классическое же решение (т. е. решение, обладающие всеми входящими в уравнение производными в классическими смысле, удовлетворяющее уравнению в каждой точке полупространства Rn ×(0, +∞) и удовлетворяющее начальному условию в смысле одностороннего предела при t → +0 для каждого x из Rn) обладает требуемыми свойствами, поэтому его существованию и интегральному представлению уделено такое внимание (разделы 1.1-1.4). Доказанная весовая асимптотическая близость решений является обобщенной в следующем смысле: разность между решением исследуемого функционально-дифференциального уравнения (умноженным на соответствующую весовую функцию) и решением «эталонного» дифференциального уравнения (а именно уравнения теплопроводности) стремится к нулю, если аргумент исследуемого решения стремится к бесконечности по лучу, ортогональному начальной гиперплоскости, а аргумент «эталонного» решения стремится к бесконечности по лучу, составляющему с начальной гиперплоскостью некоторый угол; этот угол (вообще говоря, отличный от прямого) однозначно определяется коэффициентами младшей (т. е. нелокальной) части функциональнодифференциального уравнения: ⎡ n -t ), mj ), ajk x1 + q1t ⎤ xn + qnt ⎣ lim e t→+∞ j=1 k=1 u(x, t) - w ,..., p1 pn ,t ⎦ = 0, 6 А. Б. МУРАВНИК где w(x, t) - ограниченное решение задачи Коши для уравнения теплопроводности с начальной функцией u0(p1x1,..., pnxn), а постоянные pj , qj определяются коэффициентами нелокальной части исходного функционально-дифференциального уравнения (здесь ajk - коэффициенты при операторах сдвига). Такое поведение решения является принципиально новым эффектом по сравнению с классическим случаем дифференциального уравнения: хотя в классическом случае такое явление тоже встречается, происходит это только тогда, когда уравнение содержит младшие члены первого порядка. В нелокальном же случае для этого, оказывается, достаточно и членов нулевого порядка, хотя, как известно, их физический смысл - совершенно иной. Таким образом, качественно новые эффекты, порождаемые нелокальными членами уравнения, проявляются уже и в том случае, когда главная часть уравнения является классической. Отметим в этой связи полное соответствие общей параболической теории (см. [38]), согласно которой влияние младших членов параболического уравнения может (в отличие от, например, эллиптического случая) иметь принципиальное значение для качественного поведения его решений. Третья глава посвящена регулярным уравнениям с главными членами, т. е. уравнениям, содержащим суперпозиции вторых производных (включая смешанные) и операторов сдвига по любым (пространственным) координатным направлениям. Рассматривается решение задачи Коши в смысле обобщенных функций (а именно в смысле [14, 15]), однако удается доказать, что внутри полупространства Rn × (0, +∞) это решение является классическим (теорема 2.7.3); это позволяет рассмотреть поведение решения на одномерных многообразиях и, соответственно, получить теоремы об асимптотической близости решений и об их стабилизации. Основной результат получен в теореме 2.7.4 и заключается в следующем: если правая часть уравнения представляет собой однородный сильно эллиптический оператор, то имеет место асимптотическая близость изучаемого решения и решения задачи Коши (с той же самой начальной функцией) для дифференциального параболического уравнения, получаемого из исходного функционально-дифференциального уравнения обнулением всех сдвигов: - lim [u(x, t) v(x, t)] = 0, t→∞ где u(x, t) есть решение (функционально-дифференциального) уравнения n ∂u = '\" ∂t k,j,m=1 akjm ∂2u ∂xk ∂xj (x1,..., xm-1, xm + hkjm, xm+1,..., xn, t), а v(x, t) есть решение (дифференциального) уравнения ∂v ∂t (с той же самой начальной функцией). n = '\" k,j,m=1 akjm ∂2v ∂xk ∂xj Если же, кроме нелокальной главной части, уравнение содержит младшие члены, то асимптотическая близость становится весовой, а если эти младшие члены нелокальны, то возникают еще и специфические для нелокального случая эффекты, описанные в главе 1. Отметим, что в третьей главе ключевую роль играет условие сильной эллиптичности оператора в правой части уравнения. При этом, как и в случае ограниченной области (см. [124, §9]), сильная эллиптичность дифференциального и дифференциально-разностного операторов различаются существенным образом. В четвертой главе исследуется модельный случай сингулярного функционально-дифференциального уравнения - параболическое интегродифференциальное уравнение с одной пространственной переменной, по которой действуют оператор Бесселя и линейная комбинация операторов обобщенного сдвига. Как и в случае дифференциального сингулярного уравнения (см., например, [41]), для обеспечения единственности решения к начальному условию добавляется условие четности решения по пространственной переменной. Однозначная разрешимость такой задачи доказывается в теореме 3.5.1, а свойства построенного и изученного в этой главе одномерного фундаментального решения применяются в следующей главе для построения фундаментального решения в общем сингулярном случае. 1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ В СЛУЧАЕ ОДНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 7 Пятая глава посвящена общему сингулярному случаю - уравнению, в котором все пространственные переменные разбиты на две группы: неособые переменные, по которым действуют вторые производные и операторы сдвига, и особые переменные, по которым действуют операторы Бесселя и операторы обобщенного сдвига. Кроме начального условия, на решение накладываются условия четности по особым переменным. Доказываются однозначная разрешимость такой задачи (теоремы 4.5.1 и 4.6.1) и весовая асимптотическая близость ее решения и решения аналогичной задачи для некоторого дифференциального сингулярного уравнения (теорема 4.7.1). Нумерация формул принята своя в каждой главе. Первая цифра номера формулы означает главу. Нумерация теорем, лемм, следствий и замечаний - своя в каждом разделе. Первая цифра номера означает главу, следующая - номер раздела. Автор глубоко признателен А. Л. Скубачевскому за постоянное внимание и поддержку на протяжении многих лет. ГЛАВА 1 УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ МЛАДШИМИ ЧЛЕНАМИ В этой главе рассматриваются уравнения вида ∂u h - = Δu + '\" a u(x h, t), (1.1) ∂t h∈M где M - конечное множество векторов Rn, параллельных координатным осям (либо любой другой ортогональной системе векторов). Отметим, что, помимо чисто теоретического интереса, связанного с добавлением в параболическое уравнение неклассических младших членов, такие уравнения возникают, например, в задачах нелинейной оптики: как известно, например, из [127], модель нелинейной оптической системы с так называемыми многолепестковыми волнами описывается уравнением ∂u ∂t + u = DΔu + K(1 + γ cos ug ), где u(x, t) есть фаза световой волны, ug = u(g(x), t), g - взаимно-однозначное преобразование пространственных переменных, отличное от тождественного, положительные коэффициенты D и γ есть соответственно коэффициент диффузии и видность интерференционной картины, а отличный от нуля коэффициент K есть коэффициент нелинейности, зависящий от интенсивности входного поля. В [86, 125] это квазилинейное уравнение линеаризуется к виду ∂v ∂t = DΔv - v - Kγ sin ωvg , где постоянная ω (так называемое пространственно однородное стационарное решение) есть корень трансцендентного уравнения ω = K(1 + γ cos ω). Если теперь в качестве g(x) взять оператор сдвига, то линеаризованное уравнение совпадает с уравнением (1.1), в котором множество M состоит лишь из двух элементов (один из которых - нулевой). 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ В СЛУЧАЕ ОДНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Пусть a, h ∈ Rm. Рассмотрим в R1 ×(0, +∞) следующее уравнение: ∂u ∂2u ∂t = ∂x2 m + '\" ak u(x - hk , t). (1.2) k=1 8 ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ МЛАДШИМИ ЧЛЕНАМИ Определим на R1 ×(0, +∞) следующую функцию: m E(x, t) d=ef Ea,h(x, t) d=ef Легко видеть, что r∞ -t(ξ2- ), ak cos hk ξ) e k=1 0 m cos(xξ - t '\" ak sin hk ξ)dξ. (1.3) k=1 |E(x, t)| ∞ m r -t(ξ2- ), ak cos hk ξ) e k=1 0 dξ r∞ 2 e(1-ξ )tdξ = et 0 r∞ e-η 0 2 dη √t √ et π = √t 2 . Таким образом, для любых t0,T ∈ (0, +∞) интеграл (1.3) сходится абсолютно и равномерно по (x, t) ∈ R1 [t0,T ], следовательно, E(x, t) определена корректно на R1 (0, +∞). Продифференцируем × × (формально) E под знаком интеграла: m m ∂m / -t(ξ2- ), ak cos hk ξ) e k=1 m cos(xξ - t '\" ak sin hk ξ) \ P (ξ)e -t(ξ2- ), ak cos hk ξ) k=1 , ∂tl∂xm-l k=1 где P (ξ) - полином степени, не большей, чем m + 2l, значит, ∂m / m -t(ξ2- ), ak cos hk ξ) m \ m ( ), |ak |-ξ2)t Далее, e ∂tl∂xm-l k=1 cos(xξ - t '\" ak sin hk ξ) k=1 . Aξm+2le k=1 m ∞ r ( ), ak |-ξ2)t ∞ m ), |ak |t r m ), |ak |t r∞ ηm+2l ξm+2le k=1 | dξ = ek=1 ξm+2le-ξ2tdξ = ek=1 e-η2 dη 0 m r ), |ak |t ∞ ek=1 m+2l -η2 0 )e 2 Γ( m+2l+1 m ), k=1 |ak |t m+2l t 2 0 √t = = m+2l+1 η t 2 0 e dη = m+2l+1 , 2t 2 следовательно, интеграл, полученный после формального дифференцирования под знаком интеграла, сходится абсолютно и равномерно по (x, t) ∈ R1×[t0,T ] для любых t0,T ∈ (0, +∞). Поэтому определенная равенством (1.3) функция E бесконечно дифференцируема на R1 × (0, +∞) и это дифференцирование можно производить под знаком интеграла. Отсюда E ∂ r∞ = ∂t 0 m ('\" ak k=1 m cos hk ξ - ξ2)e m -t(ξ2- ), ak cos hk ξ) k=1 m cos(xξ - t '\" ak k=1 sin hk ξ)+ -t(ξ2- ), ak cos hk ξ) m m l + e k=1 sin(xξ - t '\" ak sin hk ξ) '\" ak sin hk ξ dξ = m r∞ -t(ξ2- ), ak cos hk ξ) m k=1 k=1 m = e k=1 ('\" ak cos hk ξ - ξ2) cos(xξ - t '\" ak sin hk ξ)+ 0 k=1 m m l k=1 + sin(xξ - t '\" ak sin hk ξ) '\" ak sin hk ξ dξ, k=1 k=1 ∞ m r -t(ξ2- ), ak cos hk ξ) m ∂E ∂x = - ξe 0 r∞ k=1 m 2 sin(xξ - t '\" ak k=1 m sin hk ξ)dξ, ∂2E ∂x2 = - 0 ξ2e -t(ξ - ), ak cos hk ξ) k=1 cos(xξ - t '\" k=1 ak sin hk ξ)dξ. 1.2. СВЕРТКА ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМИ ФУНКЦИЯМИ 9 Следовательно, ∂E ∂2E -t(ξ - ak cos hk ξ) m r 2 ), ∞ m '\" / m \ '\" ∂t - ∂x2 = e 0 m / k=1 m k=1 ak cos hk ξ cos \l xξ - t k=1 ak sin hk ξ + + '\" ak sin hk ξ sin k=1 Последнее выражение равно xξ - t '\" ak sin hk ξ k=1 dξ. m r∞ m -t(ξ2- ), ak cos hk ξ) / m \ '\" ak e k=1 cos hk ξ cos xξ - t '\" ak sin hk ξ dξ + k=1 0 m r∞ m -t(ξ2- ), ak cos hk ξ) k=1 / m \ + '\" ak e k=1 sin hk ξ sin xξ - t '\" ak sin hk ξ dξ = k=1 m 0 ∞ m r -t(ξ2- ), ak cos hk ξ) k=1 m l m = '\" ak e k=1 0 k=1 cos (x - hk )ξ - t '\" ak sin hk ξ k=1 dξ = '\" ak E(x - hk , t). k=1 Таким образом, функция E(x, t) удовлетворяет (в классическом смысле) уравнению (1.2) в области R1 ×(0, +∞). Назовем E(x, t) фундаментальным решением уравнения (1.2). Правомерность этого термина будет обоснована ниже - мы покажем, что свертка Ea,h с ограниченной начальной функцией на начальной оси обращается в саму начальную функцию. 2. СВЕРТКА ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМИ ФУНКЦИЯМИ Оценим поведение E(x, t) при x →∞ (при фиксированном положительном t). Докажем следующее утверждение: Лемма 1.2.1. Пусть t > 0, a, h ∈ Rm. Тогда lim x→∞ x2E(x, t) = 0. Доказательство. Разобьем функцию E(x, t) на четное и нечетное (по x) слагаемые E1(x, t) и E2(x, t): r∞ E1(x, t) = 0 m -t(ξ2- ), ak cos hk ξ) e k=1 cos xξ cos / m \ t '\" ak sin hk ξ k=1 dξ, r∞ E2(x, t) = 0 m -t(ξ2- ), ak cos hk ξ) e k=1 sin xξ sin / m \ t '\" ak sin hk ξ k=1 dξ. После замены переменной η = xξ получаем, что r ∞ 1 t( η )2 m t ), ak cos hkη x / m '\" hk η \ 1 r∞ η где E1(x, t) = x e- x 0 e k=1 cos t k=1 ak sin x cos η dη = ψ x 0 f (η)dη, x ∞ + f (τ ) = cos τ ∈ L (R1 ), m t ), ak cos τ ψ(τ ) = e-tτ 2 e k=1 cos / m t '\" a \ sin τ L (R1 ). k k=1 ∈ 1 + 10 ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ МЛАДШИМИ ЧЛЕНАМИ Теперь обозначим e-tτ 2 через ψ (τ ). Очевидно, ψ (τ ) L (R1 ), кроме того, преобразование Мел- 0 0 ∈ 1 + лина функции ψ0(τ ) определено на всей вещественной оси и не имеет вещественных нулей; действительно, r∞ 1 r ∞ ix-1 Γ( 1+ix ) 1+ix τ ixψ0(τ )dτ = . z 2 e-z dz = 2 1+ix Далее 2t 2 0 0 τ 1 r∞ √ 2t 2 r→∞ ψ0 f (τ )dτ = π r2 √ e- 4t -→ 0 . r r 2 t 0 Тогда в силу тауберовой теоремы Винера (см. [25, c. 163]) τ r∞ 1 ψ f (τ )dτ r→∞ 0, r r -→ 0 т. е. E1(x, t) стремится к нулю при x →∞ для любых фиксированных t > 0, a, h ∈ Rm. Теперь рассмотрим E2(x, t). m t ), ak cos hk τ m Обозначим функцию e-tτ 2 e k=1 sin t ), a sin h τ через ψ(τ ) L (R1 ), а sin τ - через ∞ + f (τ ) ∈ L (R1 ). Получим, что 1 r∞ τ k k=1 r k 3 r2 r→∞ ∈ 1 + ψ0 f (τ )dτ = F r r 2t 0 1, 2 , - 4t -→ 0 (здесь через F обозначена вырожденная гипергеометрическая функция второго рода). Таким образом, условия тауберовой теоремы Винера выполнены. Следовательно, для любых фиксированных t > 0, a, h ∈ Rm 1 E2(x, t) = x ∞ r ψ τ x 0 f (τ )dτ r→∞ -→ 0 . Итак, для любого положительного t и любых a, h ∈ Rm lim x→∞ E(x, t) = 0. Однако доказанного стремления к нулю недостаточно, чтобы обосновать сходимость свертки фундаментального решения с ограниченной начальной функцией. Нужно оценить скорость такого стремления. Для этого проинтегрируем по частям слагаемое E1(x, t): m r∞ t( ), ak cos hk ξ-ξ2) e k=1 0 m cos(t '\" ak sin hk ξ) cos xξdξ = k=1 ⎡ 1 = x ⎣e m t( ), ak cos hk ξ-ξ2) k=1 cos(t m '\" k=1 k k a sin h ξ) sin xξ ξ=∞ ξ=0 r∞ + t e 0 m t( ), ak cos hk ξ-ξ2) k=1 × / m m m m \ l × (2ξ + '\" hk ak sin hk ξ) cos(t'\" ak sin hk ξ) + sin(t'\" ak sin hk ξ) '\" hk ak cos hk ξ sin xξdξ = k=1 m r∞ t( ), ak cos hk ξ-ξ2) / k=1 m k=1 m k=1 m \ t = e k=1 x 0 2ξ cos(t '\" k=1 ak sin hk ξ)+ '\" k=1 ak hk sin(hk ξ + t '\" k=1 ak sin hk ξ) sin xξdξ. Теперь обозначим производную (по ξ) от m t( ), ak cos hk ξ-ξ2) / m m m \ e k=1 2ξ cos(t'\" ak sin hk ξ)+ '\" ak hk sin(hk ξ + t'\" ak sin hk ξ) k=1 k=1 k=1 1. СВЕРТКА ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМИ ФУНКЦИЯМИ 11 через ψ(ξ) и снова выполним интегрирование по частям. Получим, что t E1(x, t) = x2 m t( ), ak cos hk ξ-ξ2) / e k=1 2ξ cos(t m '\" k=1 ak sin hk ξ)+ m m \ ξ=0 r∞ ⎤ t r∞ + '\" ak hk sin(hk ξ + t '\" ak sin hk ξ) cos xξ + ξ=∞ ψ(ξ) cos xξdξ⎦ = x2 ψ(ξ) cos xξdξ, k=1 t r∞ k=1 0 0 η x т. е. x2E1(x, t) = 0 ψ cos ηdη. x + Поскольку ψ(ξ) ∈ L1(R1 ), то условия тауберовой теоремы Винера выполнены. Следовательно, x2E1(x, t) x→∞ -→ 0 для любых фиксированных t > 0, a, h ∈ Rm. Проанализируем таким же образом второе слагаемое фундаментального решения. m 1 E2(x, t) = x m t( ), ak cos hk ξ-ξ2) e k=1 sin(t m '\" k=1 k k a sin h ξ) cos xξ ξ=0 ξ=∞ - r∞ t( ), ak cos hk ξ-ξ2) / m m - e k=1 t('\" ak hk sin hk ξ + 2ξ) sin(t '\" ak sin hk ξ) - 0 k=1 m m k=1 \ l - t cos(t '\" ak sin hk ξ) '\" ak hk cos hk ξ cos xξdξ . k=1 k=1 Таким образом, второе слагаемое фундаментального решения равно m t r∞ t( ), ak cos hk ξ-ξ2)/ m '\" m '\" m \ '\" - x e 0 k=1 m 2ξ sin(t k=1 ak sin hk ξ) - k=1 ak hk cos(hk ξ + t k=1 ak sin hk ξ) cos xξdξ = t t(), ak cos hk ξ-ξ2)/ m '\" m '\" m '\" \ ξ=∞ = - x2 sin xξ e k=1 2ξ sin(t k=1 ak sin hk ξ) - k=1 ak hk cos(hk ξ+ t k=1 ak sin hk ξ) ξ=0 - r∞ ⎤ t r∞ η где - ψ(ξ) sin xξdξ⎦ = x3 0 0 m t( ), ak cos hk ξ-ξ2)/ ψ( ) sin ηdη, x m m m \lI ψ(ξ)= e k=1 2ξ sin(t '\" ak sin hk ξ) - '\" ak hk cos(hk ξ + t '\" ak sin hk ξ) + ∈ L1(R1 ). k=1 k=1 x→∞ k=1 Отсюда в силу тауберовой теоремы Винера x2E2(x, t) a, h ∈ Rm. Лемма 1.2.1 доказана. -→ 0 для любых фиксированных t > 0, Теперь оценим поведение производных фундаментального решения на бесконечности. Справедливо следующее утверждение: Лемма 1.2.2. Пусть t > 0, a, h ∈ Rm. Тогда 2 lim x2 ∂ E (x, t) = 0. x→∞ Доказательство. Рассмотрим функцию ∂x2 r∞ 2 m m ∂2E1(x, t) ∂x2 = - 0 ξ2e -t(ξ - ), ak cos hk ξ) k=1 cos(t '\" k=1 ak sin hk ξ) cos xξ dξ. 12 ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ МЛАДШИМИ ЧЛЕНАМИ Интегрируя по частям, получаем: m ∂2E1(x, t) 1 2 -t(ξ2- ), ak cos hk ξ) m '\" ξ=0 ∂x2 = x ξ e k=1 cos(t ak sin hk ξ) sin xξ + ∞ = r∞/ m 2 ), ξ k=1 m \I ⎤ + ξ2e-t(ξ - 0 k=1 '\" ak cos hk ξ) cos(t ak k=1 sin hk ξ) sin xξ dξ⎦ = 1 r∞/ = x 0 2 ξ2e-t(ξ - m ), k=1 ak cos hk ξ) m cos(t '\" ak k=1 \I sin hk ξ) sin xξ dξ. Еще раз применим формулу интегрирования по частям. Получим, что ⎛ 2 m m lI ∂2E1(x, t) 1 2 -t(ξ - ), ak cos hk ξ) '\" ξ=0 ∂x2 = x2 ⎝ ξ e k=1 cos(t k=1 ak sin hk ξ) cos xξ + ξ=∞ где r∞ + 0 2 ξ2e-t(ξ - m ), k=1 ak cos hk ξ) m cos(t '\" ak k=1 sin hk lII ξ) ⎞ 1 cos xξ dξ⎠ = x3 r∞ η ψ( ) cos η dη, x 0 ψ(ξ) = 2 ξ2e-t(ξ - m ), k=1 ak cos hk ξ) m cos(t '\" ak k=1 sin hk lII ξ) + ∈ L1(R1 ). 2 Таким образом, условия тауберовой теоремы Винера выполнены, и значит, x2 ∂ любых фиксированных t > 0, a, h ∈ Rm. Аналогично E1(x, t) ∂x2 x→∞ -→ 0 для r∞ 2 m m ∂2E2(x, t) ∂x2 = - 0 ξ2e -t(ξ - ), ak cos hk ξ) k=1 sin(t '\" k=1 ak sin hk ξ) sin xξ dξ. После интегрирования по частям последнее выражение принимает вид m 2 1 ξ2e-t(ξ - x ), k=1 ak cos hk ξ) m sin(t '\" ak sin hk ξ) cos xξ ξ=∞ r∞/ m -t(ξ2- ), ak cos hk ξ) k=1 m ξ=0 - \I ⎤ - ξ2e 0 r∞/ k=1 m 2 sin(t '\" ak sin hk ξ) k=1 m cos xξ dξ⎦ = \I 1 = - x 0 ξ2e -t(ξ - ), ak cos hk ξ) k=1 sin(t '\" k=1 ak sin hk ξ) cos xξ dξ. Проинтегрировав по частям еще раз, получаем: ⎛ 2 m m lI r∞ ⎞ ∂2E2(x, t) 1 2 -t(ξ - ), ak cos hk ξ) '\" ξ=∞ где ∂x2 = - x2 ⎝ ξ e k=1 m 2 ), sin(t k=1 ak sin hk ξ) '\" m sin xξ ξ=0 lII - ψ(ξ)sin xξdξ⎠ , 0 ψ(ξ) = ξ2e-t(ξ - k=1 ak cos hk ξ) sin(t ak k=1 sin hk ξ) + ∈ L1(R1 ). Тем самым условия тауберовой теоремы Винера выполнены, и следовательно, 2 x2 ∂ E2(x, t) 1 r∞ η ψ( x→∞ ∂x2 = x 0 ) sin η dη x -→ 0 . 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ 13 Лемма 1.2.2 доказана. Поскольку, как доказано в предыдущем разделе, E(x, t) удовлетворяет уравнению (1.2) в R1 × (0, +∞), из лемм 1.2.1 и 1.2.2 следует Лемма 1.2.3. Пусть t > 0, a, h ∈ Rm. Тогда lim x→∞ x2 ∂E (x, t) = 0. ∂t Впрочем, последняя лемма может быть доказана и непосредственно (доказательство совершенно аналогично доказательству леммы 1.2.2). Из лемм 1.2.1-1.2.3 и того факта, что E(x, t) удовлетворяет уравнению (1.2) в R1 ×(0, +∞), очевидным образом вытекает следующее утверждение: Теорема 1.2.1. Пусть u0(x) непрерывна и ограничена в R1. Тогда функция +∞ r E(x - ξ, t)u0(ξ)dξ -∞ удовлетворяет (в классическом смысле) уравнению (1.2) в R1 ×(0, +∞). ∞ Замечание 1.2.1. Требование непрерывности и ограниченности функции u0 можно заменить требованием ее принадлежности к L (R1). Но и указанная свертка, вообще говоря, будет в этом случае п. в. решением уравнения (1.2), а не классическим решением. Замечание 1.2.2. Продолжим интегрирование по частям в леммах 1.2.1-1.2.2; получим, что k+l lim xm ∂ E (x, t) = 0 x→∞ ∂tk ∂xl для любых натуральных m, k, l и любого положительного t. 1.3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ Обозначим условие +∞ r E(x - ξ, t)u0(ξ)dξ через u(x, t) и наряду с уравнением (1.2) рассмотрим начальное -∞ где u0(x) непрерывна и ограничена в R1. u t=0 = u0(x), (1.4) Функция u(x, t) определена на R1 ×(0, +∞). Возьмем произвольное вещественное x0 и изучим поведение u(x0, t) при t -→ 0. √ Заменой переменной η = x0 - ξ получаем: 2 t +∞ √ r √ √ Далее u(x0, t) = 2 t E(2 -∞ tη, t)u0(x0 - 2 tη)dη. t E ) = (2 √ √tη, t √t r∞ -t e 0 f m \ ξ2- ), ak cos hk ξ k=1 cos / 2 √tηξ - t m '\" k=1 \ ak sin hk ξ dξ = m hkz m r∞ -z2+t ), ak cos √ / h z \ Значит, = e k=1 0 t cos √t 2zη - t '\" ak sin k k=1 dz. +∞ ∞ m hkz / m \ r u(x0, t) = 2 -∞ 2 u0(x0 - √ r tη) 0 t -z2+t ), ak cos √ e k=1 cos 2zη - t '\" k=1 k √ a sin hk z t dzdη. (1.5) 14 ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ МЛАДШИМИ ЧЛЕНАМИ 0 0 √ С другой стороны, u (x ) = 1 π +∞ r 2 u0(x0)e-η -∞ dη. Рассмотрим теперь следующую разность: +∞ 1 r π E(x0 - ξ, t)u0(ξ)dξ - u0(x0) = -∞ +∞⎡ ∞ m hkz / m \ t r 2 √ r -z2+t ), ak cos √ '\" hk z = ⎣ π u0(x0 - 2 -∞ tη) e 0 k=1 cos 2zη - t k=1 ak sin √t dz - 1 -√π u0(x0)e- η2 dη = r r-A A + + +∞ r d=ef I1 + I2 + I3. (1.6) -∞ -A A Теперь докажем следующее утверждение. Лемма 1.3.1. m hkz m π r∞ -z2+t ), ak cos √ e k=1 t cos / 2zη - t '\" ak sin hk z \ √ dz t→+0 e-η2 0 равномерно по η ∈ R1. k=1 √t -→ 2 Доказательство. Нужно показать, что для любого положительного ε существует такое положительное δ, что для любого t ∈ (0, δ) и для любого вещественного η \ ∞ m ∞ 2 r z +t k √ - e 0 ), k=1 a cos hkz t cos / 2zη - t m '\" k=1 a sin hk z k √t r dz - 0 e-z2 cos2zη dz < ε. Итак, пусть ε > 0. m hkz m r∞ t ), ak cos √ / \ l e-z2 0 e k=1 t cos 2zη - t '\" ak k=1 hk z sin √t - cos2zη dz = m hkz m r∞ t ), ak cos √ / / \ = e-z2 0 e k=1 t cos 2zη cos t '\" ak k=1 hk z sin √t - - sin 2zη sin / m t '\" ak sin hk z \\ l - cos2zη dz. √t k=1 m m Выберем δ из (0, 1] настолько малым, что синус монотонен на промежутке -δ ), |ak |, δ ), |ak | и неравенство sin / m \ δ'\" |ak | < k=1 ⎛ ε 2 ⎝e m t ), k=1 |ak | r∞ 2 e-z dz 0 ⎞-1 ⎠ k=1 k=1 выполняется для любого t ∈ (-δ, δ). Тогда при t ∈ (0, δ) \ m hkz m ∞ r e-z2 0 t ), ak cos √ e k=1 t sin 2zη sin 1 ∞ / t '\" k=1 a sin hk z k √t m dz r ⎛ m ∞ ⎞- o t ), |ak | r z2 z2 t ), |ak | ε 2 ⎝e k=1 e- dz⎠ 0 e- e k=1 0 dz = . 2 1. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ 15 Осталось показать, что это (достаточно малое) δ можно выбрать так, что для любых вещественных z, η при t ∈ (0, δ) выполняется еще и следующее неравенство: m hkz / m \ ⎛ ∞ ⎞-1 k t ), a cos √ t '\" hk z - o r 2 | cos2zη| e k=1 То есть достаточно показать, что cos t k=1 ak sin √t ⎝ ⎠ 1 e-z dz . 2 0 m hkz / m \ t ), ak cos √ '\" hk z t→+0 равномерно по z ∈ R1. m e k=1 hkz t cos / m t k=1 ak sin √t \ -→ 1 t ), ak cos √ '\" hk z e k=1 t cos t k=1 ak sin √t - 1 = m hkz / m \l t ), ak cos √ t '\" hk z = e k=1 t 1 - 2 sin2 2 k=1 ak sin √t - 1 = m hkz m hkz / m \ t ), ak cos √ t ), ak cos √ t '\" hk z t = e k=1 - 1 - 2e k=1 t sin2 m 2 k=1 ak sin √t . / t m \ ε - ), |ak | 2 Выберем t настолько малым, что sin2 '\" |ak | k=1 8 e k=1 . Поскольку синус монотонен в достаточно малой положительной полуокрестности начала координат, неравенство m / t m h z \ ε - ), |ak | √ 2 sin2 '\" ak sin k 2 t k=1 4 e k=1 справедливо для выбранного t. Без ограничения общности можно считать, что выбранное t принадлежит промежутку (0, 1), следовательно, для любого вещественного z m hkz / t m h z \ t ), ak cos √ ε √ 2 sin2 '\" ak sin k 2 t k=1 t e k=1 4. m hkz t t ), ak cos √ Итак, осталось оценить e k=1 - 1. Без ограничения общности можно считать, что t настолько мало, что m o - ), |ak |t m ), |ak |t ε следовательно, 1 - 4 < e k=1 m < ek=1 m hkz < 1+ , 4 m o - ), |ak |t t ), ak cos √ ), |ak |t для любого z ∈ R1. Отсюда 1 - 4 < e k=1 < e k=1 m hkz t < ek=1 ε < 1+ 4 t ), ak cos √ ε k=1 - e < t 1 4 для любого z ∈ R1. Лемма 1.3.1 доказана. Теперь мы можем вернуться к оценке интегралов суммы (1.6). Сначала оценим |I3|. m hkz m r∞ -z2+t ), ak cos √ e k=1 t cos / t '\" ak sin hk z \ cos 2ηzdz = √t 0 k=1 16 ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ МЛАДШИМИ ЧЛЕНАМИ m hkz / m \ -z2+t ), ak cos √ '\" hk z sin 2ηz z=∞ = e k=1 t cos t k=1 ak sin √t 2η z=0 - r∞ m hkz / m \lI 1 - 2η 0 -z2+t ), ak cos √ e k=1 t cos t '\" k=1 a sin hk z k √t sin 2ηz dz = z r∞ m hkz / m \lI 1 -z2+t ), ak cos √ t cos t '\" k √ a sin hk z sin 2ηzdz = - 2η e 0 (поскольку η > A > 0). k=1 k=1 t z Последнее выражение можно представить в виде ⎛ m hkz / m \lI 1 -z2+t ), ak cos √ t cos t '\" k √ a sin hk z cos 2ηz z=0 + - 2η ⎝ e k=1 k=1 t 2η z z=∞ r∞ m hkz / m \lII ⎞ 1 -z2+t ), ak cos √ '\" hk z + e k=1 2η 0 t cos t k=1 ak sin √t cos 2ηzdz⎠ = z m hkz m I 1 -z2+t ), ak cos √ / '\" hk z \l z=∞ = 4η2 e k=1 t cos t k=1 ak sin √t - cos 2ηz z=0 z r∞ m hkz / m \lII 1 -z2+t ), ak cos √ t cos t '\" k √ a sin hk z cos 2ηz dz. - 4η2 e 0 k=1 k=1 t z Учитывая, что η > A > 0, получаем, что последнее выражение равно r∞ m hkz / m \lII 1 -z2+t ), ak cos √ t cos t '\" k √ a sin hk z cos 2ηzdz. - 4η2 e 0 k=1 k=1 t z Последний интеграл сходится равномерно по η ∈ R1 и при t < 1 оценивается сверху по абсолютной величине константой, зависящей только от векторов a, h ∈ Rm; обозначим эту константу через M. Точно так же оценивается и m hkz m r∞ -z2+t ), ak cos √ / h z \ e k=1 0 t sin √ t '\" ak sin k t k=1 sin 2ηz dz - второе слагаемое внутреннего интеграла в I3. Итак, ∞ 4M sup |u0| r dη ∞ sup |u0| r η2 ⎛ ∞ ⎞ 4M 1 r η2 |I3| π η2 + A √π e- A dη = sup |u0| ⎝ πA + √π e- A dη⎠ . Очевидно, |I1| удовлетворяет такой же оценке. Пусть ε - произвольное положительное число. Без ограничения общности можно считать, что o ε t 1. Выберем положительное A настолько большим, что |I1| < 3 , |I3| < 3 , и зафиксируем это A. Рассмотрим A ⎡ ∞ m hkz r 2 √ t r -z2+t ), ak cos √ I2 = -A / ⎣ π u0(x0 - 2 m tη) e 0 h z \ k=1 × 1 2 l × cos √t 2zη - t '\" ak sin k k=1 π dz - √ u0(x0)e-η dη. 2. МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ 17 В силу леммы 1.3.1 и непрерывности функции u0(x) в точке x0 существует такое δ > 0, что из √ неравенств t < δ, |2 tη| < δ следует неравенство r∞ m hkz / m \ 2 √ -z2+t ), ak cos √ '\" h z u (x ) 2 ε k=1 t k 0 0 -η π u0(x0 - 2 tη) e 0 2 cos 2zη - t k=1 ak sin √t dz - √π e < 6A ; обозначим min δ, δ ε через t ; тогда |I | < , как только t < t . Отсюда в силу произвольности 4A2 выбора положительного ε 0 2 3 0 ⎡ +∞ ⎤ 1 r lim t→+0 ⎣ π E(x0 - ξ, t)u0(ξ)dξ - u0(x0)⎦ = 0. -∞ Тем самым в силу произвольности выбора вещественного x0 доказана следующая Теорема 1.3.1. Пусть начальная функция u0(x) непрерывна и ограничена в R1. Тогда функ- +∞ r ция u(x, t) d=ef 1 π -∞ E(x - ξ, t)u0(ξ)dξ является классическим решением задачи (1.2), (1.4). С помощью доказанной теоремы можно, в частности, вычислить интеграл от фундаментального решения по всей вещественной оси: Лемма 1.3.2. r∞ E(x, t)dx = πe m ), ak t . k=1 -∞ Доказательство. Рассмотрим u0(x) ≡ 1; она ограничена, следовательно, в силу теоремы 1.3.1, +∞ r y(x, t) d=ef 1 π -∞ E(x - ξ, t)dξ в R1 ×(0, +∞) удовлетворяет уравнению (1.2) с начальным условием y(x, 0) ≡ 1; однако y(x, t) не зависит от x: +∞ r E(x - ξ, t)dξ = -∞ +∞ r E(ξ, t)dξ = y(t), -∞ т. е. в действительности y(t) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению m yI - '\" ak y = 0 k=1 m ), ak t и начальному условию y(0) = 1. Таким образом, y(t) = ek=1 . Лемма 1.3.2 доказана. 1.4. МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ × Пусть теперь x ∈ Rn. Рассмотрим на Rn ∂u (0, +∞) уравнение m ∂t = Δu + '\" ak u(x - bk h, t), (1.7) k=1 где a, b - произвольные параметры из Rm, h - фиксированный вектор единичной длины в Rn. × Определим на Rn (0, +∞) функцию m 2 r -t(|ξ| - ), ak cos bk h·ξ) / m \ Ea,b,h,n(x, t) d=ef E(n)(x, t) d=ef e Rn k=1 cos x · ξ - t '\" ak sin bk h · ξ k=1 dξ. (1.8) 18 ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ МЛАДШИМИ ЧЛЕНАМИ Тогда r |E(n)(x, t)| Rn m 2 t( ), ak cos bk h·ξ-|ξ| ) e k=1 r dξ Rn m 2 ( ), |ak |-|ξ| )t e k=1 dξ m ), |ak |t r 2 m ), |ak |t 2 r∞ r ek=1 m e-t|ξ| dξ = ek=1 Rn r∞ 0 |ξ|=r m e-t|ξ| dSξ dr = 2 ), |ak |t = Cnek=1 0 e-tr rn-1dr = Cn ), |ak |t n ek=1 Γ 2 2 2 t- n (здесь dSξ обозначает поверхностную меру в Rn, Cn - площадь единичной сферы в Rn). Следовательно, для любых t0,T ∈ (0, +∞) интеграл (1.8) сходится абсолютно и равномерно по × (x, t) ∈ Rn × [t0,T ], т. е. E(n)(x, t) определена корректно на Rn (0, +∞). Продифференцируем формально E(n)(x, t): m m ), 2 ∂E(n) = r('\" a ∂t k Rn k=1 cos bk h · ξ t( - |ξ|2)e k=1 ak cos bk h·ξ-|ξ| ) × m m r × cos(x · ξ - t '\" ak sin bk h · ξ)dξ + k=1 Rn 2 t( ), ak cos bk h·ξ-|ξ| ) e k=1 × m m × sin(x · ξ - t '\" ak sin bk h · ξ) '\" ak sin bk h · ξdξ. Это выражение равно m k=1 k=1 2 r t( ), ak cos bk h·ξ-|ξ| ) m m e k=1 ('\" ak cos bk h · ξ - |ξ|2) cos(x · ξ - t '\" ak sin bk h · ξ)+ Rn k=1 m m k=1 l + '\" ak sin bk h · ξ sin(x · ξ - t '\" ak sin bk h · ξ) dξ. Поэтому k=1 ∂E(n) = r ∂t Rn m '\" ak k=1 k=1 / cos (x - bk h) · ξ m - t '\" ak k=1 m \ sin bk h · ξ - Далее m l - |ξ|2 cos(x · ξ - t '\" ak sin bk h · ξ) k=1 2 t( ), ak cos bk h·ξ-|ξ| ) e k=1 dξ. m 2 m ∂2E(n) r j ∂x2 = - j ξ2 e t( ), ak cos bk h·ξ-|ξ| ) k=1 cos(x · ξ - t '\" k=1 ak sin bk h · ξ)dξ, j = 1, n. Отсюда Rn r ΔE(n) = - |ξ|2 e m 2 t( ), ak cos bk h·ξ-|ξ| ) k=1 cos( m x · ξ - t '\" ak sin bk h · ξ)dξ, следовательно, ∂E(n) Rn m m r ), 2 k=1 m l ∂t - ΔE(n) = '\" ak k=1 Rn t( e k=1 ak cos bk h·ξ-|ξ| ) cos (x - bk h) · ξ - t '\" k=1 ak sin bk h · ξ dξ. Таким образом, функция E(n) формально удовлетворяет уравнению (1.7). 1.4. МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ 19 Проверим законность формального дифференцирования: m 2 m l m 2 ∂l+|m| m1 mn e t( ), ak cos bk h·ξ-|ξ| ) k=1 cos(x · ξ - t '\" ak sin bk h · ξ) P (ξ)e t( ), ak cos bk h·ξ-|ξ| ) k=1 , ∂tl∂x1 ... ∂xn k=1 где P (ξ) - полином степени, не превосходящей |m| + 2l (здесь |m| = m1 + ··· + mn + 2l - длина мультииндекса), значит, m 2 m l m 2 ∂l+|m| t( ), ak cos bk h·ξ-|ξ| ) '\" ( ), |ak |-|ξ| )t m1 mn e k=1 cos(x · ξ - t ak sin bk h · ξ) A|ξ||m|+2le k=1 . ∂tl∂x1 ... ∂xn Далее m 2 m r∞ k=1 m ( m+n ) r ( ), |ak |-|ξ| )t |ξ||m|+2le k=1 ), |ak |t dξ = Cek=1 r m +2l+n 1e tr2 dr = CΓ + l 2 ), |ak |t e , | | - - Rn 0 +l m+n 2t 2 k=1 следовательно, интеграл, полученный после формального дифференцирования функции E(n), для любых t0,T ∈ (0, +∞) сходится абсолютно и равномерно по (x, t) ∈ Rn ×[t0,T ]. Поэтому функция E(n)(x, t), определенная равенством (1.8), бесконечно дифференцируема в Rn ×(0, +∞) и удовлетворяет (в классическом смысле) уравнению (1.7). Теперь исследуем поведение функции E(n)(x, t) и ее производных при |x| → ∞. Прежде всего, без ограничения общности можно считать, что m = 1, a1 = 1, а вектор b1h переобозначить через h. Далее повернем систему координат ξ1,..., ξn (якобиан такой замены переменных равен единице) на такой угол, что x · ξ = |x|ξ1. Тогда r ˜ 2 E(n)(x, t) = Rn et(cos h·ξ-|ξ| ) cos(|x|ξ1 - t sin h˜ · ξ)dξ, где вектор h˜, вообще говоря, отличен от вектора h (и даже зависит от x, а точнее, от луча, на котором расположена точка x), но |h˜| = |h|. Предполагая, что h˜ = (|h˜|, 0,..., 0), получаем, что r ˜ 2 E(n)(x, t) = Rn et(cos |h|ξ1-|ξ| ) cos(|x|ξ1 - t sin |h˜|ξ1)dξ = +∞ r r 2 = e-t|ξ | dξI et(cos |h˜|ξ1-ξ2) cos( x ξ t sin h ξ )dξ = Rn-1 -∞ 1 | | 1 - |˜| 1 1 n - 1 t 1-n n - 1 1-n = Cn-1Γ 2 2 E1,|h˜|(|x|, t) = Cn-1Γ 2 t 2 E1,|h|(|x|, t), (1.9) где функция E1,|h| = E , как и выше, определена формулой (1.3). Но предположение h˜ = (|h˜|, 0,..., 0) не ограничивает общности, поскольку оператор Лапласа инвариантен относительно поворота. То есть, хотя в формуле (1.9) h˜ - своя на каждом луче, но n функция E1,|h| - одна и та же для всех x ∈ R . Поэтому в силу замечания 1.3 для любых t > 0, |h| > 0. Точно так же lim |x|→∞ |x|n+1E(n)(x, t) = 0 r ˜ 2 ΔE1,n = - Rn |ξ|2et(cos |h|ξ1-|ξ| ) cos |x|ξ1 cos(t sin |h˜|ξ1)dξ. Последний интеграл равен n '\" r 2 2 j 1 - n j=1 R ξ2et(cos |h˜|ξ1-ξ1 -···-ξn) cos |x|ξ cos(t sin |h˜|ξ1)dξ = 20 ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ МЛАДШИМИ ЧЛЕНАМИ r 2 2 1 1 = - ξ2et(cos |h˜|ξ1-ξ1 -···-ξn) cos |x|ξ Rn n cos(t sin |h˜|ξ1)dξ - '\" r 2 2 j 1 - n j=2 R ξ2et(cos |h˜|ξ1-ξ1 -···-ξn) cos |x|ξ cos(t sin |h˜|ξ1)dξ. Последнее выражение равно +∞ r 2 2 r ˜ 2 1 e cos |x|ξ1 cos(t sin |h˜|ξ1)dξ1 - - Rn-1 n e-t(ξ2 +···+ξn)dξI ξ2 -∞ t(cos |h|ξ1-ξ1 ) +∞ '\" r 2 2 r 2 - ξ2e-t(ξ2 +···+ξn)dξI et(cos |h˜|ξ1-ξ1 ) cos |x|ξ cos(t sin |h˜|ξ )dξ = j n 1 j=2 R - -∞ ∂2E1 r 2 1 1 1 n '\" r 2 = 2 ∂x2 (|x|, t) Rn-1 j e-t|ξ | dξI - 2E1(|x|, t) n 1 j=2 R - ξ2e-t|ξ | dξI. Вычислим интеграл во втором слагаемом: +∞ ξ2 2 e r -t|ξ | j r dξI = r 2 e-t|η| dη j ξ2e -tξ 2 j dξj = Rn-1 n Rn-2 r∞ 1- n -∞ 2 -tτ 2 1 3 n n+1 - Отсюда = Cn-2Γ 2 - 1 t 2 2 τ e 0 dτ = Cn-2Γ 2 Γ 2 - 1 t 2 . 2 n - 1 t 1-n ∂ E1 3 n n+1 ΔE1,n = Cn-1Γ 2 2 ∂x2 (|x|, t) - nCn-2Γ 2 Γ 2 - 1 t- 2 E1(|x|, t). Вычисляя таким же образом ΔE2,n, получаем в силу замечания 1.2.2 что lim |x|→∞ |x|n+1ΔE(n)(x, t) = 0 для любых t > 0, |h| > 0. Поэтому (аналогично лемме 1.2.3) ∂E(n) lim |x|→∞ |x|n+1 (x, t) = 0 ∂t для любых t > 0, |h| > 0. Таким образом, доказано следующее утверждение. Теорема 1.4.1. Пусть функция u0(x) непрерывна и ограничена в Rn (принадлежит про- ∞ странству L (Rn )). Тогда функция r E(n)(x - ξ, t)u0(ξ)dξ удовлетворяет в классическом Rn смысле (соответственно п. в.) уравнению (1.7). Для того чтобы доказать, что построенное решение удовлетворяет не только уравнению (1.7), но и соответствующему начальному условию, представим фундаментальное решение в следующем виде: m 2 r t( ), ak cos bk ξ1-|ξ| ) e k=1 Rn m cos(x1 1 + xnξn - m t'\" k=1 ak sin bk ξ1)dξ = 1 r t( ), ak cos bk ξ1-ξ2) 2 cos(x ξ m t'\" a sin b ξ ) cos x ξ dξ = e k=1 Rn e-t|ξ | 1 1 - k k 1 k=1 I · I - 1.4. МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ 21 m 1 r t( ), ak cos bk ξ1-ξ2) 2 sin(x ξ m t'\" a sin b ξ ) sin x ξ dξ. - e k=1 Rn e-t|ξ | 1 1 - k k 1 k=1 I · I Последнее выражение равно ∞ m r t( ), ak cos bk ξ1-ξ2) m r e k=1 2 1 cos(x1ξ1 - t '\" ak sin bk ξ1)dξ1 e-t|ξ | cos xI · ξIdξI - -∞ ∞ m r t( ), ak cos bk ξ1-ξ2) k=1 m Rn-1 r 1 - e k=1 -∞ r 2 sin(x1ξ1 - t '\" ak k=1 2 sin bk ξ1)dξ1 Rn-1 e-t|ξ | sin xI · ξIdξI = = 2Ea,b(x1, t) e-t|ξ | cos xI · ξIdξI Rn-1 (второе слагаемое обращается в нуль в силу нечетности подынтегральной функции в первом его сомножителе). Вычислим последний интеграл. Без ограничения общности (а именно, с точностью до поворота координатной системы ξ1,..., ξn) xI · ξI = |x|ξ2, следовательно, r 2 r 2 +∞ r 2 r 2 e-t|ξ | cos xI · ξIdξI = e-t|ξ | cos |xI|ξ2dξ = e-tξ2 cos |xI|ξ2dξ2 e-t|ξ | dξII = Rn-1 √π 2 r Rn-1 -∞ n-1 2 Rn-2 e = - |x | √t e-t(ξ2+···+ξ2 ) dξII = π 2 t e- |x | . 4t 3 n 4t Rn-2 π n-1 2 |x |2 n 1 Итак, E(n)(x, t) = 2 t E(x1, t)e- 4t , где xI = (x2, ..., xn) - вектор из R - . Пусть (y0, x0, ... x0 ) def (y , x0) - произвольный элемент Rn. Введем следующее обозначение: 1 n-1 = 0 u(x, t) d=ef 1 r (2π)n Rn E(n) (x - ξ, t)u0(ξ)dξ, (1.10) и рассмотрим разность u(y0, x0, t) - u0(y0, x0). После замены переменных y0 - ξ1 √ = η, x0 j - ξ √ j+1 = zj , j = 1, n - 1, получаем: 2 t 2 t 2 r √ √ 2 √ √ √ n+1 1 u(y0, x0, t)= tE(2 tη, t)e-|z| u0 y0 - 2 1 tη, x0 - 2 n-1 tz1,..., x0 - 2 tzn - dηdz = π 2 Rn +∞ 2 r = n+1 π 2 tE r √ √ (2 2 tη, t)e-|ξ| u0 y0 - 2 √tη, x0 2 - √tξ dξdη -∞ Rn-1 (для удобства возвращаемся к традиционным обозначениям переменных интегрирования), +∞ 1 r r 2 2 Таким образом, u0(y0, x0) = n π 2 -∞ Rn-1 e-η -|ξ| u0(y0, x0)dξdη. u(y0, x0, t) - u0(y0, x0) = 22 ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ МЛАДШИМИ ЧЛЕНАМИ +∞ 2 r r 2 ξ| √ √ √ √ 0 √ π 0 -η2 = n+1 π 2 -∞ Rn-1 e-| tE(2 tη, t)u0 y0 - 2 tη, x - 2 tξ - 2 u0(y0,x )e dξdη. Последнюю разность можно представить в виде +∞ 2 r r 2 ξ| y 2 √tη, x0 2 √tξ n+1 π 2 -∞ Rn-1 e-| u0 0 - - × m bkz m ⎤ r∞ -z2+t ), ak cos √ t cos / 2zη - t '\" ak sin bk z \ dz - √π 2 u0(y0, x0)e-η dξdη × e k=1 0 √t 2 ⎦ k=1 (см. вывод представления (1.5) в предыдущем разделе). Пусть теперь A > 0, G1 = /(η, ξ) η ∈ (-A, A), |ξ| < A , G2 = Rn\G1; тогда u(y0, x0, t) - u0(y0, x0) = J1 + J2, где ⎡ ∞ m bkz √ √ -z2+t ), ak cos √ Jj = 2 r r n+1 ⎣ π 2 Gj 0 u0 y0 - 2 tη, x0 - 2 tξ e k=1 t × × cos / m 2zη - t '\" ak sin bk z \ dz - √π 2 l u0(y0, x0)e-η 2 e-|ξ| dηdξ, j = 1, 2. Сначала оценим интеграл J2: √t 2 k=1 ∞ r r 2 2 r 2 2 dηdξ sup u e-|ξ| -η dξdη = C sup u rn-1e-r2 dr A→∞ 0 G2 u0(y0, x0)e-|ξ| -η | 0| |ξ| +η A n | 0| -→ A 2 2 2 (в силу сходимости последнего интеграла и ограниченности u0). Для оценки оставшегося слагаемого интеграла J2 разобьем область интегрирования следующим образом: G2 = {η > A, ξ ∈ Rn-1 ∪ {η < -A, ξ ∈ Rn-1 ∪ {η ∈ [-A, A], |ξ| A} d=ef G2,1 ∪ G2,2 ∪ G2,3; соответственно для j = 1, 2, 3 обозначим ∞ m bkz / m \ r G2,j 2 r e-|ξ| 0 n+1 2 u0 y0 - √ 2 tη, x0 - √ tξ e -z2+t ), ak cos √ k=1 t cos 2zη - t '\" k=1 a sin bk z k √t dzdηdξ через π 2 2 Тогда J2,j . 2 r √ 0 √ J2,1 = n+1 π 2 u0 G2,1 m y0 - 2 bkz tη, x - 2 tξ × m r∞ -z2+t ), ak cos √ t cos 2zη cos / t '\" ak sin bk z \ dzdηdξ + × e 0 2 + n+1 π 2 k=1 r u0 y0 - 2 √tη, x0 √t k=1 2 - √tξ × G2,1 m bkz m r∞ -z2+t ), ak cos √ t sin 2zη sin / t '\" ak sin bk z \ dzdηdξ def J + J . × e k=1 0 √t k=1 = 2,1,1 2,1,2 1.4. МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ 23 Ранее, оценивая интеграл I3 в выражении (1.6), мы получили, что при η A, t ∈ (0, 1] r∞ m bkz / m \ -z2+t ), ak cos √ '\" b z M e 0 следовательно, k=1 √ t cos 2zη cos t k=1 ak sin k t r∞ dzdηdξ , η2 |J2,1,1| 2M sup |u0| r n+1 2 e-|ξ| dξ 2 . dη = 2M sup |u0| η πA π 2 Rn-1 A 4M sup |u0| Аналогично оценивается J2,1,2. Отсюда |J2,1| πA . 4M sup |u0| Точно так же получаем, что |J2,2| πA . Теперь оценим A J2,3 = 2 n+1 π 2 r |ξ| A r 2 e-|ξ| -A u0 y0 2 · √tη, x0 2 · √tξ × m bkz m r∞ -z2+t ), ak cos √ t cos 2zη cos / t '\" ak sin bk z \ dzdηdξ. При t ∈ (0, 1] r∞ × e 0 m bkz k=1 / m √t k=1 \ r∞ √ -z2+t ), ak cos √ '\" b z e k=1 0 √ t cos 2zη cos t k=1 ak sin k t dz et 0 e-z2 π dz 2 e. Следовательно, |J2,3| A 2sup |u0|e r n π 2 2 e-|ξ| dξ = A 2Cn sup |u0|e n π 2 ∞ r rn-2 e-r2 dr. |ξ| A A Последнее выражение стремится к нулю при A → ∞. Действительно, x ⎛ r∞ Γ ( n ) x 2 Γ( n ) r ⎞ √2 - rn-2 e-r2 dr x rn-2e-r2 dr = x x 2 ⎝ √2 - r rn-2 0 e-r2 dr⎠ = . 0 1 x Вычисляя предел lim x 2 Γ( n ) r √2 - 0 rn-2 e-r2 dr x→∞ по правилу Лопиталя, получаем, что он равен lim 1 x xne-x2 = 0. x→∞ Таким образом, для произвольного положительного ε можно выбрать такое положительное A, 2 2 1 что |J | < ε ; зафиксируем такое A и рассмотрим интеграл J . В силу непрерывности u0 в точке (y0, x0) и леммы 1.3.1 можно выбрать положительное t0 настолько малым, что для любого t из (0, t0) и для любого (η, ξ) из G1 ∞ m 2 k √ √ √ r -z +t ), a cos bkz / m '\" bk z \ u0 y0 - 2 tη, x0 - 2 tξ e 0 k=1 t cos 2zη - t k=1 ak sin √t dz - √π 2 -u0(y0, x0) 2 e-η < n+1 o π 2 2 2 1 (2A)n , ε т. е. |J1| < 2 . 24 ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ МЛАДШИМИ ЧЛЕНАМИ Отсюда, в силу произвольности выбора положительного ε, lim u(y0, x0, ..., x0 , t) = u0(y0, x0, ..., x0 ). t→+0 1 n-1 1 n-1 Тем самым, поскольку вещественные x0, ..., x0 , y0 выбраны произвольно, доказано следующее утверждение: 1 n-1 Теорема 1.4.2. Пусть u0(x) непрерывна и ограничена в Rn. Тогда функция, определенная равенством (1.10), является классическим решением задачи (1.7), (1.4). 1.5. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ Возьмем произвольное положительное T и рассмотрим функцию u(x, t) = u(xI, xn, t), определяемую как +∞ 2 r r xI √ 2 √ ξ| 2 m r∞-z +t ), k √ a cos bkz / t \ m '\" bk z n+1 π 2 u0 -∞ Rn-1 - 2 tξ, xn - 2 tη e-| e 0 k=1 cos 2zη - t k=1 ak sin √t dzdξdη, (1.11) удовлетворяющую, в силу теоремы 1.4.2, задаче (1.7), (1.4). Докажем следующее утверждение: Теорема 1.5.1. Пусть u0(x) непрерывна и ограничена в Rn. Тогда функция (1.11) является единственным ограниченным решением задачи (1.7), (1.4) в области Rn ×(0,T ). Доказательство. Прежде всего докажем, что функция (1.11) ограничена. Представляя cos / m 2zη - t '\" ak sin bk z \ как косинус разности, разобьем n+1 π 2 u(x, t) на два √t 2 k=1 слагаемых; достаточно оценить только одно из них, например, +∞ r r √ √ 2 = I1 def u0 -∞ Rn-1 m xI - 2 bkz tξ, xn - 2 tη e-|ξ| × m r∞ -z2+t ), ak cos √ t cos 2zη cos / t '\" ak sin bk z \ dzdξdη. × e k=1 0 √t k=1 В I1 представим область интегрирования по переменным (ξ, η) в виде G1 ∪ G2 ∪ G3 ∪ G4, где ( / ∈ G1 =/ ξ, η) η ∈ (-1, 1), |ξ| < 1 , G2 = (ξ, η) η > 1, ξ Rn-1 , G3 =/(ξ, η) η < -1, ξ ∈ Rn-1 , G4 =/ ξ, η) η ∈ [-1, 1], |ξ| 1 . ( Соответствующие слагаемые интеграла I1 обозначим через J1, J2, J3, J4. Оценим эти слагаемые. m t ), |ak | |J1| |G1| sup |u0|e k=1 2 √ r∞ e-z dz 2n-1 π sup |u0|e 0 m T ), |ak | k=1 . Внутренний интеграл в J4 оценивается сверху (по модулю) через поэтому m t ), |ak | e k=1 m r∞ e-z2 dz e 0 √ m T ), |ak | π k=1 , 2 m T ), |ak | r 2 n T ), |ak | |J4| √π sup |u0|e k=1 Rn-1 e-|ξ| dξ = π 2 sup |u0|e k=1 . 1.5. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ 25 Для оценки слагаемого J2 представим его внутренний интеграл в виде r∞ m bkz / m \lII 1 -z2+t ), ak cos √ t cos t '\" k √ a sin bk z cos 2ηz dz. (1.12) - 4η2 0 m e bk z k=1 m bk z k=1 t z Теперь обозначим t ), ak cos √ k=1 t , t ), ak sin √ k=1 t m через f1(z), f2(z) соответственно. m f I √ '\" bk z II '\" 2 bk z 1(z) = - t k=1 m ak bk sin √t , f1 (z) = - k=1 m ak bk cos √t ; f I √ '\" bk z II '\" 2 bk z Отсюда 2(z) = m t k=1 ak bk cos √t , f2 (z) = - m k=1 m ak bk sin √t . |fj | t '\" |ak |, |f I | √t '\" |ak ||bk |, |f II| '\" |ak |b2 (j = 1, 2). (1.13) Далее j k=1 k=1 j k k=1 1(z) - 2z)e [e-z2+f1(z)]I = (f I -z2+f1(z), 1(z) - 2z) [e-z2+f1(z)]II = [(f I 2 1 + (f II(z) - 2)]e -z2+f1(z), 2 [cos f2(z)]I = -f I (z) sin f2(z), [cos f2(z)]II = -f II(z) sin f2(z) - [f I (z)]2 cos f2(z). Следовательно, e-z2+f1(z) cos g(z)1II = 2 2 e-z2+f1(z) ( II I 2 - f2 (z) sin f2(z)+ [f2(z)] 2 2 cos f2(z)) - - 2f I (z) sin f2(z)[f I (z) - 2z]e-z +f1(z) +cos f2(z)e-z +f1(z) ([f I (z)]2 - 4zf I (z)+4z2 +f II(z) - 2) . 2 1 1 1 1 Модуль последнего выражения не превосходит m t ), |ak | e k=1 e-z2 (|f I |2 + 4z|f I | + |f II| + 4z2 +2+ 4z|f I | + 2|f I ||f I | + |f II| + |f I |2) . 1 1 1 2 1 2 2 2 Отсюда с учетом оценок (1.13) следует, что модуль выражения (1.12) не превосходит m r t ), |ak | ∞ e k=1 2η2 0 e-z2 ⎡ ⎣2t m / m '\" k=1 \2 |ak ||bk | + 4z√t m '\" k=1 |ak ||bk | + m '\" k=1 2 |ak |bk + 2z2 ⎤ + 1⎦ dz M (1 + T )e T ), |ak | k=1 η2 , где постоянная M зависит только от (векторных) параметров a и b. Таким образом, |J2| M (1 + T )e m T ), |ak | k=1 r sup |u0| 2 e-|ξ| dξ r∞ dη η2 = M (1 + T )e m T ), |ak | k=1 sup |u0|π n-1 2 . |J3| оценивается аналогично. Rn-1 1 Итак, ограниченность I1 доказана. Следовательно, доказана и ограниченность u(x, t). Далее уравнение (1.7) можно представить в виде m+1 ∂u = '\" Lr Pr u, ∂t r=1 26 ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ МЛАДШИМИ ЧЛЕНАМИ где Pm+1 = Δ, Lm+1 = I, а при r = 1,m Pr = ar I и операторы Lr действуют следующим образом: Lr g(x) = g(x - br h). А из [2] известно, что для таких уравнений при u0(x) ≡ 0 не существует нетривиальных ограниченных решений задачи (1.7), (1.4). Тем самым в силу линейности уравнения (1.7) теорема 1.5.1 доказана. Теперь рассмотрим задачу (1.7), (1.4) во всем полупространстве Rn ×(0, ∞). Функция u(x, t), определенная равенством (1.11), является классическим решением этой задачи, обладающим следующим свойством: для любого t0 из (0, +∞) u(x, t) ограничена в слое Rn × [0, t0]. Покажем, что из теоремы 1.5.1 вытекает Следствие 1.5.1. Функция (1.11) есть единственное решение задачи (1.7), (1.4) в полупространстве Rn ×(0, ∞), которое ограничено в Rn × [0, t0] при каждом t0 > 0. Доказательство. Предположим, напротив, что существуют два различных таких решения: u1(x, t) и u2(x, t). Тогда отличная от тождественного нуля v(x, t) d=ef u1(x, t) - u2(x, t) ограничена в Rn × [0, t0] при каждом t0 > 0 и удовлетворяет уравнению (1.7) и условию (1.4) с тривиальной начальной функцией. Существует такая (x∗, t∗) ∈ Rn × (0, +∞), что v(x∗, t∗) /= 0. Тогда, обозначая t∗ +1 через T, получаем, что для конечного T существует ограниченное решение задачи (1.7), (1.4) с тривиальной начальной функцией, что противоречит теореме 1.5.1. Следствие 1.5.1 доказано. Замечание 1.5.1. Мы использовали единственность ограниченного решения задачи (1.7), (1.4), однако утверждение теоремы 2 работы [2] является более сильным - оно определяет более широкий класс единственности. Поэтому решение (1.11) единственно и в более широком классе, а именно - в классе функций, при любом положительном T удовлетворяющих оценке sup |u(x, t)| Ceq|x| ln(|x|+1), t∈[0,T ] если q < 1 . | | max bk 1 k m 1.6. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЯ В этом разделе мы рассматриваем уравнение (1.7) в следующей форме: ∂u n mj = Δu + '\" '\" ajk u(x + bjk hj , t), (1.14) ∂t j=1 k=1 где hj d=ef (hj1,..., hjn) - взаимно ортогональные (при j = 1, n) в Rn векторы единичной длины, ajk , bjk ∈ R1 при k = 1, mj ,j = 1, n. Тогда функция (1.11), являющаяся (согласно теореме 1.5.1) единственным решением задачи (1.14), (1.4) в полупространстве Rn × (0,T ), которое ограничено в Rn × [0, t0] при каждом t0 > 0, имеет вид 2 nr π 2 u0(x - √ n tη) n j m r∞ -z2+t ), ajk cos e k=1 b jkz √t cos / 2ηj z + t mj '\" ajk sin bj k z \ √t dzdη. (1.15) Rn j=1 0 k=1 mj Будем считать (не ограничивая общности), что (конечная) числовая последовательность {ajk }k=1, j = 1, n, упорядочена по неубыванию. Для каждого j ∈ 1,n обозначим min k через m0; для тех j, ajk >0 j j при которых ajk < 0 для любых k ∈ 1, mj , в качестве m0 возьмем mj + 1. Обозначим через L дифференциально-разностный оператор, стоящий в правой части уравнения (1.14). Наряду с этим оператором важную роль в дальнейшем исследовании будет играть оператор L, действующий следующим образом: n Lu d=ef Δu + '\" '\" ajk u(x + bjk hj , t). j j=1 k<m0 1.6. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЯ 27 n Обозначим оператор '\" '\" ajk I -L через R и рассмотрим вещественную часть его символа (или, j j=1 k<m0 что то же самое, символ оператора R + R∗): n n ReR(ξ) = '\" '\" ajk + |ξ|2 - '\" '\" ajk cos bjk ξj j j=1 k<m0 j j=1 k<m0 (см. [124, § 8]). Назовем R(ξ) положительно определенным, если существует такое положительное C, что ReR(ξ) C|ξ|2 для любого ξ из Rn. По аналогии с дифференциальными операторами (см., например, [90, с. 66 и с. 78]), оператор R, обладающий указанным свойством, можно назвать сильно эллиптическим во всем пространстве оператором второго порядка. Отметим, однако, что, как и в случае ограниченной области (см. [124, § 9]), сильная эллиптичность дифференциального и дифференциально-разностного операторов различаются существенным образом, поэтому влияние разностных членов имеет принципиальное значение. Основным результатом данного раздела является Теорема 1.6.1. Пусть R(ξ) положительно определен. Тогда для любого x из Rn ⎡ n -t ), mj ), ajk x1 + q1t ⎤ xn + qnt ⎣ lim e t→+∞ j=1 k=1 u(x, t) - w ,..., p1 pn ,t ⎦ = 0, (1.16) где w(x, t) - ограниченное решение задачи Коши для уравнения теплопроводности с начальной функцией u0(p1x1,..., pnxn), mj mj 1 pj = 1+ 2 jk '\" ajk b2 , qj = '\" ajk bjk , j = 1, n. k=1 k=1 Доказательство. Прежде всего покажем, что в условиях теоремы p1,..., pn определены корректно и отличны от нуля. Возьмем произвольное j ∈ 1, n. Из условия теоремы следует, что '\" j k<m0 j ajk + ξ2 - '\" j k<m0 j ajk cos bjk ξj Cξ2 для любого положительного ξj (условие положительной определенности, в котором ξ1,..., ξj-1, ξj+1,..., ξn положены равными нулю). Отсюда bjkξj 2 ξ Cξ2 ξ2 + '\" ajk (1 - cos bjk ξj ) = ξ2 +2 '\" ajk sin2 bjkξj 2 = ξ2 + j '\" ajk b2 2 / sin \ , j j j k<m0 j / sin bjk ξj \2 j k<m0 2 j 2 j k<m0 1 jk bjk ξj 2 значит, 1+ 1 '\" a b2 2 C для любого ξ > 0. Поэтому '\" a b2 > -1. Дей- 2 j k<m0 jk jk bjk ξj 2 j 2 j k<m0 jk jk ствительно, предположим, напротив, что 1 '\" a b2 -1; тогда для любого ξ > 0 2 j k<m0 jk jk bjkξj 2 j ⎡ bjkξj 2 ⎤ 1 '\" 2 1 '\" 2 1 '\" 2 2 / sin \ 1 '\" 2 2 / sin \ C 1+ 2 j k<m0 ajk bjk - 2 j k<m0 ajk bjk + 2 j k<m0 ajk bjk bjk ξj 2 2 j k<m0 ajk bjk ⎣ bjk ξj 2 - 1⎦ . Однако в силу конечности суммы можно выбрать столь малое положительное ξj , что последнее выражение не превзойдет C . Полученное противоречие и доказывает положительность величины 2 1 '\" a b2 + 1, следовательно, p определено и положительно. 2 j k<m0 jk jk j Теперь докажем две предварительные леммы. 28 ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ МЛАДШИМИ ЧЛЕНАМИ Лемма 1.6.1. В условиях теоремы 1.6.1 для любого j ∈ 1,n m j r∞ -z2+t ), ajk ( 1 bjkz / mj - \ √ (2η-qj √ )2 →∞ 0 - cos √ '\" bjk z t π 4p2 e k=1 0 t cos 2zη - t k=1 ajk sin √t dz - e 2pj t j -→ равномерно по η ∈ R1. j Доказательство. Пусть j ∈ 1, n. Переобозначим mj через m, m0 - через m0, pj - через p, qj - через q, ajk - через ak , bjk - через bk ; k = 1, m. Для любого вещественного η и любого положительного t следовательно, √ π e- 2p t (2η-q√ )2 4p2 = ∞ r e-p2z2 cos(2η 0 · q√t)zdz, m bkz / m \ t r∞ -z2+t ), ak (cos √ -1 b z √π (2η-q√ )2 где e k=1 0 t cos √t - 2zη - t '\" ak sin k k=1 dz e- 2p 4p2 = I1 + I2, ∞ r 2 / m -2t ), ak sin2 bkz √ / m b z \ 2 2 √ l\ I1 = 0 e-z cos 2ηz e k=1 m 2 bkz t cos / k t '\" ak k=1 m sin √t \ - e(1-p )z cos(qz t) l dz, I2 = sin 2ηz -2t ), ak sin2 e k=1 √ 2 t sin t '\" k=1 a sin bk z k √t 2 2 - e(1-p )z sin(qz √t) dz. Рассмотрим первое слагаемое. m bkz m ∞ r 2 -2t ), ak sin2 √ / b z \ 2 2 √ l I1 = 0 δ r e-z r∞ cos 2ηz e k=1 2 t cos k t '\" ak k=1 sin √t - e(1-p )z cos(qz t) dz = = + d=ef I3,δ + I4,δ . 0 δ Возьмем произвольное положительное ε. Вначале оценим I4,δ . Модуль второго слагаемого его подынтегральной функции не превосходит e-p2z2 ; рассмотрим теперь ее первое слагаемое: √ m b z m sin2 bk z b z z m / bk z \2 = √ 2 2 2 '\" sin √ 2 t 2t '\" ak sin2 k = 2t '\" ak 2 t k 2 2 k ak b2 √ bk z , k=1 2 t k=1 bk z 4t 4t 2 t k=1 2 следовательно, указанное слагаемое подынтегральной функции по абсолютной величине не пре- ⎛ 2 m sin bkz ⎞2 √ восходит e 2 -z2- z k ), ak b2 ⎝ k=1 2 t bkz ⎠ 2 √ t . По условию теоремы 1.6.1 значит, 1 '\" - 2 k<m0 k ak b2 < 1, bk z 2 1 '\" / sin √ \ 2 2 t - 2 ak bk bk z < 1 √ k<m0 2 t 1.6. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЯ 29 в силу отрицательности каждого ak в последней сумме. Поэтому показатель последней экспоненты можно представить в виде 2 / sin bk z \2 2 '\" √ / sin bk z \2 b a 2 t ⎡ z2 '\" √ / sin bk z \2⎤ b a . 2 t 2 -z2 - z √ b 2 '\" ak k 2 t z b z - 2 k k bk z - < 2 ⎣1+ k 2 k k bk z ⎦ m √ k<m0 2 t k m0 2 t 0 2 t Таким образом, исследуемая подынтегральная функция по абсолютной величине не превосходит 2e-γz2 , где √ 1 ⎛ / sin bk z \2 ⎞ γ = min ⎝p 2, 1+ inf 2 z>0 '\" k ak b2 2 t bk z √ ⎠ = min(p 2, 1) t>0 k m0 2 t в силу положительности каждого ak в последней сумме. Значит, γ > 0, поэтому можно выбрать ε такое положительное δ, что I4,δ < . Зафиксируем это δ и оценим I3,δ . Разность в квадратных 4 скобках его подынтегрального выражения равна m -2t ), ak sin2 bkz √ / m '\" bk z \ √ l m √ -2t ), ak sin2 l bkz √ 2 2 e k=1 2 t cos t k=1 ak sin √t - cos(qz t) + cos(qz t) e k=1 t 2 - e(1-p )z . Оценим второе слагаемое суммы (1.17): (1.17) m -2t ), ak sin2 bkz √ m 2 2 -2t ), ak sin2 bkz t 2 √ z 2 - 2 m k ), ak b2 e k=1 t 2 - e(1-p )z = e k=1 - e k=1 = 2 m ⎡ k 2 - z ), ak b2 m ), ak k f b2 z2 2 -2t sin 2 bkz \ ⎤ 2 √ t = e k=1 ⎣ek=1 - 1⎦ ; b2 2 k z 2 bk z k b2 z2 k b2 z2 √ 2 t 2 2 bk z 2 - 2t sin √ = 2 t 2 - 2 bk z t sin √ = 2 b2 2 ⎡ ⎣ - 2 = k z √ t / sin bk z \2⎤ 2 k b2 z2 √ / sin bk z 2 t √ \/ sin bk z \ 2 t 1 bk z √ ⎦ = 2 1+ bk z √ - 1 . bk z √ 2 t 2 t 2 t Для любого ε1 > 0 и для любого k = 1,m существует такое положительное δ1,k , что для любого ∈ - 1,k 1,k x ( δ , δ ) справедливо неравенство sin x - 1 < ε1 ; с другой стороны, sin x + 1 < 3 для всех x; следовательно, k x m|ak |b2 δ2 x b2 z2 bk z 3ε1 bk δ 2 |ak | k 2 t - 2t sin2 √ < 2 2m для любого t > 2δ1,k и любого z ∈ [0, δ]. Выберем ε1 настолько малым, что 3ε1 / 3ε1 εe-δ2 εe-δ2 \ Тогда e 2 , e- 2 ∈ 1 - 4√π , 1+ 4√π . m z2 z2 ), 2 z2 ), 2 z2 ), 2 k - 2 ), ak b2 - 2 e k=1 = e k<m0 ak bk - 2 k m0 ak bk - 2 e k<m0 ak bk ez2 eδ2 ∈ для любого z [0, δ], а значит, для указанных z и для любого t > max 1 k m bk δ 2δ1,k 2 имеем 1 m √ -2t ), ak sin2 bkz √ l ⎛ ∞ ⎞- ε ε r k=1 2 t (1-p2)z2 -z2 cos(qz t) e - e < 4√π = 8 ⎝ e 0 dz⎠ . (1.18) 30 ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ МЛАДШИМИ ЧЛЕНАМИ Теперь оценим первое слагаемое выражения (1.17). cos / m t '\" ak sin bk z \ - cos(qz√t) = cos / m q√tz + t '\" ak sin bk z \ · q√tz · cos(qz√t) = √t k=1 / m b z √t k=1 \ l √ = cos(q√tz) cos t '\" ak sin k t k=1 - q√tz - 1 - - sin(q√tz) sin / m t '\" ak sin bk z \ - q√tz . (1.19) √t k=1 m b z m b z √ √ t '\" ak sin k t k=1 - q√tz = '\" ak k=1 t sin k t · bk √tz = m √t b z m √ √t / sin bk z \ = '\" ak bk √tz sin k - 1 = '\" ak (bk z)2 t - 1 . lim k=1 1 sin x bk z · 1 = lim √t sin x - x k=1 = lim cos x - 1 bk z = lim bk z √t - sin x = 0, x→0 x x x→0 x2 x→0 2x x→0 2 следовательно, для любого ε1 > 0 и для любого k = 1,m существует такое положительное Tk , что для любого t > Tk и для любого z ∈ [0, δ] √ t √ / s in bk z \ ε t 1 bk z следовательно, для любого t > max Tk 1 k m bk z √t - 1 < , k m|ak |b2 δ2 / m √ '\" bk z √ \ Далее sin(q tz) sin t k=1 ak sin √t - q tz < | sin ε1|. m / m √ '\" bk z \ l √ √t t ), ak sin bk z - √ 2 k=1 q√tz cos(q tz) cos t ak sin √t - q tz - 1 = - 2 cos(q tz) sin 2 k=1 m 2 sin2 √t t ), ak sin bk z - q√tz k=1 ; 2 выбрав достаточно большое t, последнее выражение можно, как и выше, сделать меньше, чем ∈ 2 sin2 ε1 , независимо от z [0, δ]. Таким образом, выбрав ε 2 1 2 настолько малым, что неравенство 2 ε1 | sin ε1| +2 sin εe-δ < √ выполняется, получаем, учитывая неравенство 2 4 π m bkz ), m 2 bkz m z2 ), 2 -2t ), ak sin2 e k=1 t √ 2 e 2 t -2t k<m0 ak sin 2 √ - 2 e k<m0 ak bk ez , ⎛ ∞ ⎞-1 что начиная с некоторого t модуль выражения (1.17) не превосходит ε r e-z2 dz . Значит, 4 ⎝ ⎠ 0 o ε существует такое положительное T, что для любого t > T I3,δ < , т. е. I1 < . I2 оценивается аналогично: m -2t ), ak sin2 bkz √ / m '\" bk z \ 4 2 2 2 √ e k=1 2 t sin t k=1 ak sin √t - e(1-p )z sin(qz t) = 1.6. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЯ 31 m -2t ), ak sin2 bkz √ 2 2 l √ = e k=1 t 2 - e(1-p )z sin(qz t)+ m -2t ), ak sin2 bkz √ / m '\" bk z \ √ l + e k=1 2 t sin t k=1 ak sin √t - sin(qz t) ; первое из этих слагаемых оценивается точно так же, как и (1.18). Осталось оценить второе: sin / m t '\" ak sin bk z \ - sin(qz√t) = sin / m qz√t + t '\" ak sin bk z \ · qz√t · sin(qz√t) = √t k=1 / m b z √t k=1 \ l / m hz \ √ = sin(qz√t) cos t '\" ak sin k t k=1 · qz√t o 1 + cos(qz√t) sin t '\" ak sin √ k=1 t · qz√t ; а это выражение оценивается точно так же, как и (1.19). Итак, существует такое T > 0, что ε I2 < 2 для любого t > T. Лемма 1.6.1 доказана. Лемма 1.6.2. В условиях теоремы 1.6.1 для любого j ∈ 1,n существует такое Mj , зависящее только от коэффициентов aj1,..., ajmj , bj1,..., bjmj , что mj / \ r∞ ), bjkz mj cos - t -z2+t k=1 ajk ( √ 1 √ '\" bj k z Mj e cos 0 yz - qj tz + t k=1 ajk sin √t dz y2 для любых y ∈ (0, +∞),t ∈ [1, +∞). j Доказательство. Возьмем произвольное j ∈ 1,n и переобозначим mj через m, m0 - через m0, pj - через p, qj - через q, ajk - через ak , bjk - через bk ; k = 1, m. Достаточно оценить одно из двух слагаемых последнего интеграла (второе слагаемое оценивается аналогично), например, m bkz / m \ r∞ -z2+t ), ak (cos √ -1 √ b z √t e k=1 0 t cos yz cos q tz - t '\" ak sin k k=1 dz, или, что равносильно, r∞ -z2+ 1 m ), ak (cos bk zt-1) / qz 1 m \ e t2 k=1 0 cos t - t2 '\" ak k=1 sin bk zt cos yzdz. В результате двукратного интегрирования по частям получаем, что последний интеграл равен r∞ 1 - y2 0 gII(z) cos yzdz, где -z2+ 1 m ), ak (cos bk zt-1) / qz 1 m \ g(z) = e t2 k=1 cos t - t2 '\" ak k=1 sin bk zt (легко проверить, что внеинтегральные члены равны нулю). Поэтому достаточно показать, что при произвольных фиксированных значениях (векторных) параметров a и b, удовлетворяющих условиям теоремы 1.6.1, последний интеграл ограничен равномерно по t > 0. 1 -z2+ 1 m ), ak (cos bk zt-1) / m / qz 1 m \ gI(z) = e t t2 k=1 - '\" ak bk k=1 sin t bk zt · t2 '\" ak k=1 sin bk zt - / qz 1 m \l / qz 1 m \\ '\" '\" - sin t - t2 k=1 ak sin bk zt - 2zt cos t - t2 k=1 ak sin bk zt . 32 ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ МЛАДШИМИ ЧЛЕНАМИ 1 -z2+ 1 m ), ak (cos bk zt-1) / 1 m \ gII(z) = e t t2 k=1 -2z - t '\" ak bk k=1 sin bk zt × / m / qz 1 m \ / qz 1 m \l '\" '\" '\" × k=1 ak bk sin t - bk zt - t2 k=1 ak sin bk zt o sin m t - t2 k=1 ak sin bk zt - / qz 1 m \\ 1 2 ), - '\" z2+ 1 t ak (cos bk zt-1) - 2zt cos t - t2 k=1 ak sin bk zt + t e k=1 × / m / q 1 m \ / qz 1 m \ '\" '\" '\" × k=1 ak bk t - bk t - t k=1 ak bk cos bk zt cos t - bk zt - t2 k=1 ak sin bk zt - / q 1 m \ / qz 1 m \l '\" '\" - t - t k=1 ak bk × cos bk zt cos t - t2 k=1 ak sin bk zt - / qz 1 m \ '\" - 2t cos t - t2 k=1 ak sin bk zt + / qz 1 m \/ q 1 m \\ + 2tz sin t - t2 '\" ak sin bk zt k=1 t - t '\" ak bk × cos bk zt . k=1 m 1 ), ak (cos bk zt-1) 1 ), t2 t2 ak (cos bk zt-1)+ 1 ), ak (cos bk zt-1) 1 ), t2 ak (cos bk zt-1) -2 ), ak et2 k=1 Далее слагаемые = e k<m0 k m0 e k<m0 e k<m0 . r∞ e-z2 z2 cos / qz m 1 '\" a sin b \ zt dz, t - t2 0 k k k=1 r∞ e-z2 cos / qz m 1 '\" a sin b \ zt dz, t - t2 0 k k k=1 r∞ m / qz 1 m \ e-z2 '\" a b2 '\" 0 k=1 k k cos t - bk zt - t2 k=1 ak sin bk zt dz r∞ ограничены равномерно по t > 0, поэтому достаточно оценить интеграл e-z2 Ψ(z; t) dz, где | | 0 функция Ψ(z; t) представляет из себя сумму слагаемых вида / 2z 1 m \ m / qz 1 m \ t + t2 '\" ak bk sin bk zt k=1 '\" ak bk k=1 sin t - bk tz - t2 '\" ak sin bk zt - k=1 / qz 1 m \l '\" - sin t - t2 k=1 ak sin bk zt , m / 1 m q \ /qz 1 m \l '\" ak bk k=1 t2 t2 '\" ak bk cos bk zt - k=1 cos t - bk tz - '\" ak sin bk zt , t2 k=1 / q 1 m \ /qz 1 m \ '\" '\" t2 - t2 k=1 ak bk cos bk zt cos t - t2 k=1 ak sin bk zt - /qz 1 m \ 1 / m \ '\" '\" -2z sin t - t2 k=1 ak sin bk zt t q - k=1 ak bk cos bk zt . 1.6. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЯ 33 Имеем m m m b tz 2 q - '\" ak bk cos bk zt = '\" ak bk (1 - cos bk zt) = 2 '\" ak bk sin2 k ; k=1 r∞ k=1 2 r∞ / 2 bk tz \2 k=1 2 r∞ 1 e-z2 sin2 bk tz dz = bk t2 2 4 0 e-z2 0 sin 2 bk tz 2 z2dz bk 4 z2e 0 -z2 dz - ограничен равномерно по t > 0; r∞ z b tz r∞ sin bk tz sin bk tz b e-z2 sin2 k dz ze-z2 2 dz = |bk | ∞ ∞ r z2e-z2 2 dz | k | r z2e-z2 dz t 2 t 2 2 0 0 0 bk tz 2 0 - ограничен равномерно по t > 0. Таким образом, достаточно оценить интеграл r∞ / 2z 1 m \ m / qz 1 m \ e-z2 '\" a b sin b zt '\" a b sin '\" a b sin b zt + t t2 0 k k k=1 k k k k=1 t - t2 k k k - k=1 /qz 1 m \l '\" - sin t - t2 k=1 ak bk sin bk zt - bk tz dz. В последнем интеграле выражение в квадратных скобках равно 2 sin2 bk tz sin 2 /qz t 1 - t2 m '\" ak bk k=1 \ sin bk zt + sin bk tz cos /qz t 1 - t2 m '\" ak bk k=1 \ sin bk zt , поэтому достаточно оценить интегралы от e-z2 z sin2 bk tz , e-z2 | sin bk tz| 2 bk tz z2 | sin bk tz| z2 z t 2 t2 sin , e- 2 t2 | sin bk tz|, e- t | sin bk tz|. Первые три из этих интегралов сводятся к интегралам, оцененным выше, а последний равен ∞ ∞ r 2 sin b tz r 2 |bk | 0 z2e-z k bk tz dz, т. е., не превосходит |bk | 0 z2e-z dz, а значит, ограничен равномерно по t > 0. Лемма 1.6.2 доказана. Теперь мы можем перейти непосредственно к доказательству теоремы 1.6.1. Пусть x0 = (x0,..., x0 ) - произвольная точка Rn. Тогда, используя интегральное представления 1 n решения задачи Коши для уравнения теплопроводности, имеем: t n (2η +q √ )2 x0 0 r ), j j w 1 + q1t,..., xn + qnt,t = 1 - e j=1 4p2 j u (x0 2η √t,..., x0 2η √t)dη. p1 pn n n π 2 p j=1 j Rn 0 1 - 1 n - n Следовательно, разность n -t ), mj ), ajk x0 + q1t x0 + qnt e j=1 k=1 u(x0, t) - w 1 ,..., n ,t p1 pn может быть представлена в виде 1 r 1 n u0(x0 - 2η1 π 2 Rn n √t,..., x0 - 2ηn √t) × ⎡ mj / ⎤ \ n (2η +q √t)2 n r∞ ), ( bjkz mj - ), j j ⎥ n - ⎢ 2 -z2+t × ⎢ ⎢ √π e ⎣j=1 0 k=1 ajk cos √ 1 t cos 2ηj z + t '\" k=1 1 a sin bjk z jk √t dz - e j=1 n pj j=1 4p2 j ⎥ ⎥dη. ⎦ 34 ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ МЛАДШИМИ ЧЛЕНАМИ Заменой переменных yj = 2ηj + qj √t, j = 1, n, последнее выражение приводится к виду 1 r 0 √ 0 n √ ⎡ n r∞ mj 2 -z +t ), ajk (cos bjkz √ t -1 πn u0(x1 + q1t - y1 Rn t,..., xn + qnt - yn t) ⎣ e j=1 0 k=1 × y2 ⎤ / mj b z \ n √π - j × cos √t yj z -qj √tz + t'\" ajk sin jk k=1 2 dz - n e j=1 2pj 4pj ⎦ dy, (1.20) что можно представить в виде суммы ⎛ 1 r r ⎝ πn ⎜ + ⎞ ⎠ ⎟ d=ef J1 + J2, где A - положительный параметр. Q(A) Rn\Q(A) Пусть ε > 0. В (1.20) каждый внутренний (одномерный) интеграл является ограниченной функцией переменных yj , t. Действительно, показатель экспоненты в подынтегральном выражении не превосходит -z2 + t '\" k<m0 ajk cos bjk z √t - 1 = √ ⎛sin bjkz ⎞2 ⎡ bjkz 2 1 sin αz,t 2⎤ = -z2 + t '\" ajk ⎝ 2 t t 2 bjk z ⎠ √ √ d=ef 2 - z2 ⎣1+ '\" jk ajk b2 . αz,t ⎦ k<m0 2 t k<m0 В последней сумме все ajk отрицательны, поэтому ⎛ ⎞ -z2 + t '\"ajk cos bjkz √ 1 - 1 -z2 ⎝1+ '\"ajk b2 ⎠ def - γz2, k<m0 t 2 k<m0 jk = где γ > 0 в силу условия теоремы. Тогда из леммы 1.6.2 следует, что каждый из указанных Mj (одномерных) интегралов ограничен сверху по модулю функцией gj (ηj ) d=ef j 1+ η2 с некоторой положительной постоянной Mj . Теперь, используя ограниченность функции u0, выберем такое A, что ε J2 < 2 для любого t из [1, +∞). Зафиксируем выбранное A и рассмотрим J1. В силу леммы 1.6.1 и ограниченности внутренних интегралов выражения (1.20), разность в квадратных скобках выражения (1.20) стремится к нулю при t → ∞ равномерно относительно y ∈ Rn. Действительно, в силу леммы 1.6.1 существует такое положительное T, что для любого t ∈ (T, +∞), для любого j ∈ 1,n и для любого ηj ∈ (-∞, +∞) mj / \ √t)2 r √ ∞ -z2+t ), k=1 ajk (cos bjkz t -1 mj '\" bjk z √π - (2ηj +qj 4p2 e 0 επn < cos 2ηj z + t k=1 ajk sin √t j dz - 2p e j < 2n+1An sup|u0| (заметим, что в лемме 1.6.1 не накладывается никаких условий на знаки коэффициентов bjk ). yj - qj √t Значит, последнее неравенство верно и для ηj , равного Следовательно, для любого t из (T, +∞) при любом вещественном yj . 2 mj / \ y2 n r∞ ), ( bjkz mj n √ j n -z2+t ajk cos √ -1 √ '\" b z n π - j=1 0 e επn k=1 , √ t cos yj z - qj tz + t k=1 ajk sin jk t j dz - j=1 e 2pj 2p2 2n+1An sup|u0| 1.6. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЯ 35 что в силу произвольности выбора x0 и доказывает теорему. Замечание 1.6.1. Экспоненциальный вес, который возникает в полученной теореме о близости решений, обусловлен не наличием в уравнении разностных членов, а диссипативностью задачи. Указанный вес сохраняется и в классическом случае: при обращении всех коэффициентов bjk в нуль предельное соотношение (1.16) обращается в тождественное (при всех t) равенство. Дело в том, что добавление в параболическое уравнение младших членов (более точно - членов нулевого порядка) выводит решение за пределы класса ограниченных функций (даже в случае ограниченной начальной функции), а умножение его на соответствующий экспоненциальный (по t) вес возвращает решение в указанный класс. Отметим, что теоремы о близости решений, вообще говоря, являются более сильными, чем теоремы о стабилизации. Поэтому и теорема 1.6.1 устанавливает более общий характер поведения решения при t → ∞, нежели стабилизация. Стоит, однако, указать важный частный случай, в котором имеет место классическая поточечная стабилизация решения: это случай, когда оператор L симметричен. В этом случае мы можем применить результат Репникова-Эйдельмана (см. [81]) о том, что необходимым и достаточным условием стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности (обозначим это решение через v(x, t)) является выполнение следующего предельного соотношения для ограниченной начальной функции (обозначенной здесь через v0(x)): lim 2 nΓ( n ) n r v0(x)dx = l, (1.21) t→∞ 2π 2 tn где l - некоторая вещественная постоянная. Отсюда получаем |x|<t Следствие 1.6.1. Пусть выполнены условия теоремы 1.6.1, L симметричен, l ∈ R1. Тогда n -t ), mj ), ajk lim e t→∞ тогда и только тогда, когда j=1 k=1 u(x, t) = l для любого x ∈ Rn lim 2 nΓ( n ) n r u0(x)dx = l. 2 tn t→∞ 2π n pj j=1 n x2 ), j <t2 j j=1 p2 Для доказательства достаточно заметить, что в силу симметричности оператора L его можно представить (см. [124, лемма 8.2]) в следующем виде: Lu = Δu + '\" ahu(x - h, t), где M - h∈M такое конечное множество векторов Rn, что для любого h, принадлежащего M, вектор -h тоже принадлежит M, и ah = a-h для любого h из M. Отсюда q1 = ··· = qn = 0. Теперь остается лишь применить к функции w(x, t) указанную теорему о стабилизации из [81]. Замечание 1.6.2. Из следствия 1.6.1 видно, что в дифференциально-разностном случае поверхности, ограничивающие области усреднения начальной функции, вообще говоря, уже не являются сферами: они обращаются в эллипсоиды. Напомним, что в классическом случае дифференциальных уравнений такой эффект возникает, если заменить оператор Лапласа эллиптическим операто- 2 n ром с различными коэффициентами при различных вторых производных: '\" p2 ∂ . j=1 j j ∂x2 Замечание 1.6.3. В условии следствия 1.6.1 требование симметричности оператора L можно ослабить, заменив его следующим требованием: aj ⊥bj для любого j ∈ 1, n, где векторы aj , bj определяются следующим образом: aj = (aj1,..., ajmj ), bj = (bj1,..., bjmj ). 36 ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ МЛАДШИМИ ЧЛЕНАМИ Из [23] известно, что если на функцию v0(x) наложить более сильное, чем (1.21), условие, а именно, lim 2 nΓ( n ) n r v0(x + y)dx = l равномерно по y ∈ Rn, t→∞ 2π 2 tn |x|<t то имеет место равномерная стабилизация функции v(x, t). Отсюда вытекает Следствие 1.6.2. Пусть lim 2 nΓ( n ) n r u0(x + y)dx = l 2 tn t→∞ 2π n pj j=1 n x2 ), j <t2 j j=1 p2 равномерно по y ∈ Rn и выполнены условия теоремы 1.6.1. Тогда n -t ), mj ), ajk при любом x ∈ Rn. lim e t→∞ j=1 k=1 u(x, t) = l 1.7. О СМЫСЛЕ УСЛОВИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ Условие положительной определенности вспомогательного оператора, накладываемое в теореме 1.6.1 (равно как и само введение указанного вспомогательного оператора), на первый взгляд выглядит довольно искусственным. Покажем, что оно имеет вполне определенный смысл. Возьмем в качестве модельной задачу ∂u ∂2u = Lu d=ef 1 ∂t ∂x2 + au(x + b, t), x ∈ R ,t > 0; (1.22) u 1 t=0 = u0(x), x ∈ R (1.23) (коэффициенты a и b предполагаются вещественными, а начальная функция u0 - непрерывной и ограниченной), и рассмотрим условие положительной определенности вспомогательного оператора, обеспечивающее справедливость теоремы о (весовой) асимптотической близости (стабилизации) решений. В этом случае оператор L имеет вид ⎧ ∂2u ⎨⎪ ∂x2 + au(x + b, t), если a < 0, Lu = ⎩ ∂ u 2 ⎪ в противном случае, ∂x2 а оператор R, на который накладывается условие положительной определенности, действует следующим образом: ⎧ ⎪⎨au - Ru = 2 ∂2u ∂x2 - au(x + b, t), если a < 0, ⎪ ∂ u Поэтому ⎩- ∂x2 в противном случае. (ξ2 при a 0, ReR(ξ) = a + ξ2 - a cos bξ в противном случае. Таким образом, условие положительной определенности оператора R выполнено при всех неотрицательных a, а при всех отрицательных a оно эквивалентно существованию такого положительного C, что неравенство ξ2 + a(1 - cos b ξ) Cξ2 справедливо для всех вещественных ξ. Последнее неравенство приводится к виду ξ2 + 2a sin2 bξ Cξ2. Далее будем считать, что a < 0. Пусть 2 1.7. О СМЫСЛЕ УСЛОВИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ 37 ab2 2 > -1. Обозначим положительную константу 1 + ab2 2 через C. Учитывая, что sin2 b ξ 2 2 2 b2ξ2 , 4 имеем в силу отрицательности коэффициента a неравенство 2a sin2 bξ ab ξ , следовательно, 1+ ξ2 + 2a sin2 bξ ξ2 2 2 ab2 2 2 2 = Cξ2. Значит, условие ab 2 > -1 влечет за собой условие положительной определенности оператора R. 2 Предположим теперь, что константа 1 + ab 2 неположительна, и покажем, что в этом случае условие положительной определенности оператора R не выполняется. Для этого представим ξ2 + 2a sin2 bξ 2 в виде ⎡ ⎛ 2 sin bξ ⎞2⎤ ⎢ ⎟ ⎥ ξ2 ⎢1+ ab ⎜ 2 ⎥ ⎣ 2 ⎝ bξ ⎠ ⎦ 2 (на R1\{0}) и предположим, напротив, что оператор R положительно определен. Тогда существует такое положительное C > 0, что ⎡ ⎛ 2 sin bξ ⎞2⎤ ⎢ ξ2 ⎢1+ ab ⎜ ⎥ 2 ⎟ ⎥ Cξ2 для любого ξ /= 0, т. е. ⎣ 2 ⎝ bξ ⎠ ⎦ 2 ab2 ⎛ sin bξ ⎞2 2 ⎜ / 1+ 2 ⎝ bξ 2 ⎟ C для любого ξ = 0. ⎠ 2 Поскольку функция g(ξ) d=ef 1+ ab ⎛ sin ⎜ bξ ⎞2 2 ⎟ 2 стремится к 1+ ab при ξ → 0, существует такое 2 ⎝ bξ ⎠ 2 2 C положительное ξ0, что g(ξ) < 2 для любого ξ ∈ (0, ξ0). Полученное противоречие и доказывает ошибочность нашего предположения о положительной определенности оператора R. Итак, для уравнения (1.22) условие положительной определенности оператора R равносильно 2 условию 1+ ab 2 > 0 (для любых знаков коэффициентов a и b). Далее считаем это условие выполненным. Тогда имеет место весовая асимптотическая близость решения задачи (1.22), (1.23) и функции x + abt eatw √ ,t C , где w(x, t) есть решение задачи ∂w ∂2w ∂t = ∂x2 , x ∈ R1,t > 0; (1.24) w d=ef 0 √ 1 C = 1 + ab2 2 , а вес равен e-at. t=0 = w0(x) u ( Cx), x ∈ R ; (1.25) Рассмотрим, наряду с дифференциально-разностным уравнением (1.22) и дифференциальным уравнением (1.24), дифференциальное уравнение ∂v = 1+ ab2 ∂2v ∂v + ab + av, x ∈ R1,t > 0. (1.26) ∂t 2 ∂x2 ∂x 38 ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ МЛАДШИМИ ЧЛЕНАМИ Определим функцию x + abt def at v(x, t) d=ef eatw и подставим ее в уравнение (1.26): ∂v √ ,t C ab ∂w = e w(·, t) (1.27) ∂w = aeatw(·, t)+ √ eat (·, t)+ eat (·, t), ∂t ∂v 1 C ∂x ∂w ∂2v ∂t 1 ∂2w = √ eat (·, t), = eat (·, t), значит, ∂x C ∂x ab2 ∂2v ∂v ∂2w ∂x2 C ∂x2 ab ∂w 1+ + ab + av = eat (·, t)+ √ eat (·, t)+ aeatw(·, t). Поскольку 2 ∂x2 ∂x ∂2w ∂x2 ∂w C ∂x ∂x2 (·, t) = ∂t (·, t) (как, собственно, и в любой другой точке R1 × (0, +∞)), функция (1.27) есть решение уравнения (1.26). t=0 Далее v x = w √C , 0 = u0(x), следовательно, имеет место асимптотическая близость решения задачи (1.22), (1.23) и решения задачи (1.26), (1.23) (с тем же самым весом e-at); отметим, что e-at - это та самая весовая функция, которая возвращает решение (дифференциального уравнения) v(x, t) в класс ограниченных функций. Дифференциальное уравнение (1.26) - это не что иное, как дифференциально-разностное уравнение (1.22), в котором нелокальный член заменен его разложением Тейлора до порядка два (т. е., до порядка уравнения) включительно. Рассматриваемое условие положительной определенности вспомогательного оператора эквивалентно условию параболичности этого дифференциального уравнения (т. е., эллиптичности его правой части). Это справедливо и для всех более общих случаев нелокальных младших членов, рассмотренных ранее (доказательство производится точно так же). Таким образом, условие положительной определенности вспомогательного оператора, обеспечивающее справедливость теоремы о (весовой) асимптотической близости (стабилизации) решений, заключается в следующем: если в исходном дифференциально-разностном уравнении заменить все нелокальные члены их разложениями Тейлора до второго порядка включительно, то полученное дифференциальное уравнение должно быть параболическим. Отметим, что здесь особенно четко видна двойственная природа младших нелокальных членов: при исследовании разрешимости они не имеют никакого значения (разрешимость задачи Коши определяется старшими членами - имеет значение только параболичность уравнения, получаемого из исходного отбрасыванием всех нелокальных членов), а при исследовании асимптотических свойств они уже не могут трактоваться как младшие - имеет значение параболичность уравнения, которое строится по коэффициентам этих нелокальных членов. 2.1. СЛУЧАЙ ФАКТОРИЗУЕМОГО ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 39 ГЛАВА 2 УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ СТАРШИМИ ЧЛЕНАМИ 1. СЛУЧАЙ ФАКТОРИЗУЕМОГО ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ Пусть a, h ∈ Rm. Рассмотрим в R1 ×(0, +∞) следующее уравнение: ∂u ∂2u '\" ak k m ∂2u = Lu d=ef ∂t ∂x 2 + ∂x2 (x + h , t). (2.1) k=1 Рассмотрим вещественную часть символа оператора L: m ReL(ξ) = -ξ2 - ξ2 '\" ak cos hk ξ k=1 (ср. раздел 1.6). Как и в разделе 1.6, назовем -L(ξ) положительно определенным, если существует такое положительное C, что -ReL(ξ) Cξ2 для любого ξ ∈ R1, а оператор -L, обладающий указанным свойством, будем называть сильно эллиптическим во всем пространстве оператором второго порядка (см. также [90, с. 66 и с. 78]). В дальнейшем мы будем полагать оператор -L сильно эллиптическим. Отметим, что условие сильной эллиптичности позволяет коэффициентам уравнения быть сколь угодно большими (см., например, [124, Ex. 8.1]). Наряду с уравнением (2.1) рассмотрим начальное условие (1.4) с непрерывной и ограниченной в R1 функцией u0(x). × Определим на R1 (0, +∞) следующую функцию: m E(x, t) d=ef Ea,h(x, t) d=ef r∞ -tξ2(1+ ), ak cos hk ξ) e k=1 0 m cos(xξ - tξ2 '\" ak sin hk ξ)dξ. (2.2) k=1 - Условие сильной эллиптичности оператора L, очевидно, влечет за собой выполнение неравенства m 1 + ), ak cos hk ξ C при ξ /= 0. Покажем, что оно выполняется (хотя, возможно, с другой k=1 m положительной константой) и при ξ = 0, т. е., что 1 + ), ak > 0. Для этого предположим, k=1 m напротив, что 1+ ), ak 0. Тогда для любого ξ /= 0 k=1 m m m C 1+ '\" ak - '\" ak + '\" ak cos hk ξ = k=1 m k=1 m k=1 m m h ξ 2 = 1+'\" ak +'\" ak (cos hk ξ - 1) = 1 +'\" ak -2 '\" ak sin2 k = k=1 m k=1 1 m k=1 / sin hk ξ \2 ξ2 k=1 m / sin hk ξ \2 = 1 +'\" ak - k=1 k '\" ak h2 ξ2 2 k=1 2 hk ξ 2 - 2 k '\" ak h2 k=1 2 . hk ξ 2 Выбирая теперь положительное ξ достаточно малым, приходим к противоречию с положительностью константы C. Поэтому |E(x, t)| r∞ 2 e-Ctξ dξ = 0 I π , 4Ct т. е. для любых t0,T из (0, +∞) интеграл (2.2) сходится абсолютно и равномерно по (x, t) ∈ × R1 × [t0,T ], следовательно, E(x, t) определена корректно на R1 (0, +∞). 40 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ СТАРШИМИ ЧЛЕНАМИ Продифференцируем (формально) E под знаком интеграла по переменной t: m r ∂E ∂t = - ∞ m ξ2(1 + '\" ak 0 k=1 m cos hk ξ)e -tξ2(1+ ), ak cos hk ξ) k=1 m cos(xξ - tξ2 '\" ak k=1 sin hk ξ)dξ + r∞ -tξ2(1+ ), ak cos hk ξ) m m + e k=1 sin(xξ - tξ2 '\" ak sin hk ξ) '\" ak ξ2 sin hk ξdξ = 0 m r∞ m -tξ2(1+ ), ak cos hk ξ) k=1 k=1 m = '\" ak k=1 0 ξ2e k=1 sin(xξ - tξ2 '\" ak sin hk ξ) sin hk ξ - k=1 m l - cos(xξ-tξ2'\" ak sin hk ξ) cos hk ξ k=1 r∞ dξ- 0 ξ2e m -tξ2(1+ ), ak cos hk ξ) k=1 m cos(xξ-tξ2'\" ak sin hk ξ)dξ = k=1 ), r∞ 2 m / m m l = ξ2e-tξ (1+ 0 k=1 ak cos hk ξ) '\" ak k=1 cos (x + hk )ξ - tξ2 '\" k=1 ak sin hk ξ + m \ + cos(xξ - tξ2 '\" ak sin hk ξ) k=1 dξ. Далее формальное дифференцирование E под знаком интеграла по переменной x дает: r∞ 2 m m ∂2E ∂x2 = - 0 ξ2e -tξ (1+ ), ak cos hk ξ) k=1 cos(xξ - tξ 2 '\" k=1 ak sin hk ξ)dξ. Оба эти интеграла ограничены сверху по абсолютной величине линейной комбинацией интегралов вида ∞ r ξ2e-Ctξ2 dξ = 0 √π 3 , 4Ct 2 т. е. сходятся абсолютно и равномерно по (x, t) ∈ R1 × [t0,T ] для любых t0,T ∈ (0, +∞). Значит, дифференцирование под знаком интеграла законно, и в R1 × (0, +∞) имеем r∞ 2 m m m l ∂E ∂2E 2 -tξ (1+ ), ak cos hk ξ) '\" 2 '\" ∂t - ∂x2 = - ξ e 0 k=1 m k=1 ak cos (x + hk )ξ - tξ k=1 ak sin hk ξ dξ = m = - '\" ak r∞ ξ2e -tξ2(1+ ), ak cos hk ξ) k=1 cos m (x + hk )ξ - tξ2 '\" ak sin hk ξ l m dξ = '\" ak ∂ 2 E (x + hk , t), k=1 0 k=1 k=1 ∂x2 следовательно, E(x, t) в R1 ×(0, +∞) удовлетворяет (в классическом смысле) уравнению (2.1). 2. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ Оценим поведение E(x, t) и ее производных при x →∞ (при фиксированном положительном t). Для этого предварительно разобьем ее на четное и нечетное (по x) слагаемые E1(x, t) и E2(x, t): m r∞ E1(x, t) = 0 -tξ2(1+ ), ak cos hk ξ) e k=1 m m cos xξ cos(tξ2 '\" ak sin hk ξ)dξ, k=1 r∞ E2(x, t) = 0 -tξ2(1+ ), ak cos hk ξ) e k=1 m sin xξ sin(tξ2 '\" ak sin hk ξ)dξ. k=1 Докажем следующее утверждение. Лемма 2.2.1. Пусть t > 0. Тогда функция x2E(x, t) ограничена в R1. 2.2. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ 41 Доказательство. Зафиксируем произвольное положительное t и дважды проинтегрируем m по частям. Получим r∞ -tξ2(1+ ), ak cos hk ξ) e k=1 0 m cos(tξ2 '\" ak sin hk ξ) cos xξ dξ k=1 1 r∞ x2 0 m -tξ2(1+ ), ak cos hk ξ) e k=1 cos(tξ2 m '\" k=1 ak sin hk ξ) lII cos xξ dξ (легко проверить, что все внеинтегральные члены обращаются в нуль). Последний интеграл является ограниченной функцией переменной x, поэтому x2E1(x, t) ограничена. Аналогично доказывается ограниченность функции x2E2(x, t). Лемма 2.2.1 доказана. Таким образом, в R1 × (0, +∞) определена функция +∞ r Кроме того, справедлива u(x, t) d=ef 1 π -∞ E(x - ξ, t)u0(ξ)dξ. (2.3) 2 Лемма 2.2.2. Пусть t > 0. Тогда функция x2 ∂ E (x, t) ограничена в (-∞, +∞). Для доказательства ∂ ∂x2 2 E , так же, как и E , разбивается на четное и нечетное по x слагаемые, а ∂x2 затем к первому (для определенности) из этих слагаемых m r∞ - ξ2e 0 -tξ2(1+ ), ak cos hk ξ) k=1 m cos(tξ2 '\" ak sin hk ξ) cos xξ dξ k=1 2 дважды применяется формула интегрирования по частям. Дальнейшее доказательство совершенно аналогично доказательству леммы 2.2.1. Очевидно, лемма 2.2.2 останется справедливой и в том случае, если ∂ E взять не в точке (x, t), ∂x2 а в любой из точек (x + hk , t), где k = 1, m. Поскольку, как доказано в предыдущем пункте, E(x, t) удовлетворяет уравнению (2.1) в R1 ×(0, +∞), из лемм 2.2.1 и 2.2.2 следует ∂t Лемма 2.2.3. Пусть t > 0. Тогда x2 ∂E (x, t) ограничена в (-∞, +∞). Из лемм 2.2.1-2.2.3 и того обстоятельства, что E(x, t) удовлетворяет уравнению (2.1) в R1 × (0, +∞), очевидным образом вытекает следующее утверждение: Теорема 2.2.1. Пусть оператор -L является сильно эллиптическим в R1. Тогда функция (2.3) является классическим решением уравнения (2.1) в R1 ×(0, +∞). Замечание 2.2.1. То, что функция (2.3) удовлетворяет задаче (2.1), (1.4) в смысле обобщенных функций, является известным фактом (см., например, [15]). Новым в теореме 2.2.1 является только то, что это решение является классическим в R1 ×(0, +∞). Чтобы установить единственность этого решения, исследуем согласно [15] вещественную часть символа эллиптического оператора L, содержащегося в уравнении (2.1). Указанный символ P(z) d=ef P(σ + iτ ) равен -z2 / m \ 1+ '\" ak e-ihk z k=1 = (τ 2 - σ2 - 2iστ ) / m \ 1+ '\" ak e-ihk z = k=1 = (τ 2 - σ2 - 2iστ ) / m \ 1+ '\" ak ehk τ -ihk σ = k=1 42 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ СТАРШИМИ ЧЛЕНАМИ / m m \ = (τ 2 - σ2 - 2iστ ) 1+ '\" ak ehk τ cos hk σ - i '\" ak ehk τ sin hk σ . Таким образом, ReP(z) = (τ 2 - σ2) k=1 / m 1+ '\" ak ehk τ cos hk σ k=1 k=1 \ m - 2στ '\" ak ehk τ sin hk σ. k=1 Теперь оценим функцию Q(z, t0, t) d=ef e(t-t0)P(z). 4 |Q(z, t0, t)| e(t-t0)[C1(1+σ )+C2e C3τ ]. Из последней оценки вытекает (см. [15, гл. 2, Добавление 1]), что задача (2.1), (1.4) имеет не более одного решения в смысле обобщенных функций. Замечание 2.2.2. Как и в случае младших нелокальных членов, единственность решения задачи (2.1), (1.4) (в соответствующих пространствах обобщенных функций) имеет место для гораздо более широких классов начальных функций, чем класс непрерывных ограниченных функций - в частности, для классов А. Н. Тихонова и их обобщений (ср. замечание 1.5.1 и см. [2], а также [46]). Здесь мы, однако, ограничиваемся рассмотрением случая непрерывных ограниченных начальных функций, поскольку исследуем близость решений указанной задачи и классических параболических задач. Замечание 2.2.3. Единственность решения позволяет найти интеграл от фундаментального решения по всей вещественной оси: r∞ Лемма 2.2.4. -∞ E(x, t)dx = π. Доказательство. Рассмотрим функцию u0(x) ≡ 1; она непрерывна и ограничена, следовательно, функция y(x, t) d=ef 1 π +∞ r E(x - ξ, t)dξ -∞ в R1 ×(0, +∞) удовлетворяет уравнению (2.1) с начальным условием y(x, 0) ≡ 1. Однако y(x, t) не зависит от x : +∞ r E(x - ξ, t)dξ = -∞ +∞ r E(ξ, t)dξ = πy(t), -∞ т. е. в действительности y(t) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению yI = 0 и начальному условию y(0) = 1. Значит, y(t) ≡ 1. 2.3. ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЯ ПРИ t →∞ В этом разделе мы изучим поведение u(x, t) при t → ∞. Для этого наряду с задачей (2.1), (1.4) рассмотрим уравнение теплопроводности с тем же самым начальным условием (1.4). Обозначим m его классическое ограниченное решение через v(x, t), а положительную постоянную 1+ '\" ak - k=1 через p. Справедливо следующее утверждение: - Теорема 2.3.1. lim [u(x, t) v(x, pt)] = 0 для любого вещественного x. t→∞ 2.3. ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЯ ПРИ t →∞ 43 Доказательство. Возьмем произвольное вещественное x0 и рассмотрим u(x0, t). Заменой пере- √ менной η = x0 - ξ получаем, что 2 t r √ +∞ t 2 √ √ Далее u(x0, t) = r∞ π E(2 -∞ m tη, t)u0(x0 - 2 tη)dη. m t E (2 √ √tη, t) = √t 0 -tξ2(1+ ), ak cos hk ξ) e k=1 √ cos(2 tηξ - tξ2 '\" k=1 ak sin hk ξ)dξ = m hkz m r∞ -z2(1+ ), ak cos √ ) / h z \ = e k=1 0 t cos √t 2zη - z2 '\" ak sin k k=1 dz. Отсюда следует, что функция u(x0, t) может быть представлена в виде +∞ ∞ m hkz / m \ Тогда √ 2 r 2 π u0(x0 - -∞ r tη) 0 -z2(1+ ), ak cos √ e k=1 t ) cos 2zη - z2 '\" k=1 k √ a sin hk z t dzdη. +∞ ∞ m hkz 2 r u(x0, t) - v(x0, pt) = π -∞ 2 u0(x0 - √ r tη) 0 t -z2(1+ ), ak cos √ ) e k=1 × / m h z \ 2 l √t × cos 2zη - z2 '\" ak sin k k=1 - e-pz cos 2zη dzdη. (2.4) Для дальнейшего доказательства нам потребуются две следующие леммы. Лемма 2.3.1. m hkz m r∞ -z2(1+ ), ak cos √ ) / h z \ l t→∞ e k=1 0 t cos 2 √t 2zη - z2 '\" ak sin k k=1 - e-pz cos 2zη dz -→ 0 равномерно относительно η ∈ (-∞, +∞). Доказательство. Зададимся произвольным ε > 0 и разобьем оцениваемый интеграл на сумму двух слагаемых: r δ r∞ + 0 δ d=ef I1,δ + I2,δ . r∞ Модуль всего оцениваемого интеграла оценивается сверху величиной 2 0 ε e-Cz2 dz, поэтому существует такое δ > 0, что |I2,δ | 2 для любых η ∈ (-∞, +∞), t > 0. Зафиксируем это δ и рассмотрим интеграл I1,δ . Его подынтегральная функция равна m hkz / m z2 ), ak (1-cos √ \ l '\" e-pz2 e k=1 t cos 2zη - z2 ak k=1 hk z sin √t - cos 2zη = / m 2z2 ), ak sin2 hkz √ / m \ '\" = e-pz2 e k=1 2 t cos 2zη cos z2 ak k=1 hk z sin √t + 44 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ СТАРШИМИ ЧЛЕНАМИ + sin 2zη sin / m z2'\" ak sin hk z \l \ - cos 2zη = k=1 m √t hkz m / 2z2 ), ak sin2 √ / \ l '\" = e-pz2 cos 2zη e k=1 2 t cos z2 ak k=1 hk z sin √t - 1 + m 2z2 ), ak sin2 hkz √ / m '\" hk z \\ + e k=1 2 t sin 2zη sin z2 k=1 ak sin √t d=ef A1(η, t; z)+ A2(η, t; z). δ m δ r 2 ), r / m \ 2δ A2(η, t; z)dz e 0 k=1 |ak | 0 sin z2'\" k=1 a sin hk z k √t dz для любых η, t. Обозначим величину 16δ8 m 2 ), |ak ||hk | k=1 m 4δ2 ), |ak | e k=1 ε2 через T0. Тогда для любых t > T0,k = 1,m h z ε |h | k k √t m m , 2δ2 ), |ak | ), a ||h | 4δ3e k=1 | k k k=1 следовательно, / m 2'\" h z \ m '\" h z ε k 2 k sin (поскольку 0 z δ). δ r z k=1 ak sin √t ε z k=1 ak sin √t 2δ2 4δe m ), k=1 |ak | Тем самым δ r A2(η, t; z)dz 4 0 при t > T0 для любого вещественного η. Осталось оценить интеграл 0 A1(η, t; z)dz. Его модуль не превосходит δ m r 2z2 ), ak sin2 hkz √ / m \ '\" e-pz2 e 0 k=1 2 t cos z2 ak k=1 hk z sin √t - 1 dz. Разность, стоящую под модулем в подынтегральной функции, представим в виде m 2z2 ), ak sin2 hkz √ / m '\" hk z \ / m '\" hk z \ / m '\" hk z \ e k=1 2 t cos z2 k=1 ak sin √t - cos z2 k=1 ak sin √t + cos z2 k=1 ak sin √t -1= / m h m z \/ 2z2 ), ak sin2 \ hkz √ / m '\" h z \ √ = cos z2'\" ak sin k t k=1 e k=1 t 2 - 1 + cos m hkz z2 k=1 √ ak sin k t - 1. - 1 2z2 ), ak sin2 √ ε Выберем T1 настолько большим, что e k=1 2 t 8δ для любых t > T1,z ∈ [0, δ]. Это возможно, поскольку существует такое положительное δ1, что ex ∈ 1 - m o ε , 1+ 8δ 8δ для любо- го x ∈ (-δ1, δ1). Поэтому в качестве T1 можно, например, взять k δ4 ), |ak |h2 k=1 . 2δ1 1. ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЯ ПРИ t →∞ 45 o ε Далее, существует такое положительное δ2, что неравенство 1 - 8δ < cos x < 1+ 8δ выполняется для любого x ∈ (-δ2, δ2). Положим m 2 δ6 ), |ak ||hk | δ2 T2 d=ef k=1 . 2 Тогда для любого t > T2 и любого z ∈ [0, δ] m 2'\" h z m 2 '\" |a ||h z| m δ3 '\" k k k z k=1 √ ak sin √t z 2 T k=1 √T 2 k=1 |ak ||hk | = δ2, следовательно, неравенство / m h z \ ε √ cos z2'\" ak sin k - 1 < k=1 t 8δ выполняется для любых t > T2,z ∈ [0, δ]. Значит, для любых t > max{T0, T1, T2}, η ∈ (-∞, +∞) δ r ε ε Лемма 2.3.1 доказана. A1(η, t; z)dz < 0 4 , т. е. I1,δ < 2 . Лемма 2.3.2. Существует такое M > 0, зависящее только от a и h, что для любого t > 1 и для любого η ∈ R1\{0} r∞ m hkz / m \ -z2(1+ ), ak cos √ ) '\" hk z M e k=1 0 t cos 2zη - z2 k=1 ak sin √t dz . η2 Доказательство. Представим оцениваемый интеграл в виде суммы m hkz m r∞ -z2(1+ ), ak cos √ ) / h z \ e k=1 0 t cos 2zη cos √ z2 '\" ak sin k t k=1 dz + m hkz m r∞ -z2(1+ ), ak cos √ ) / h z \ + e k=1 0 t sin 2zη sin √ z2 '\" ak sin k t k=1 dz (2.5) и рассмотрим первое (для определенности) из этих слагаемых. m hkz / m \ -z2(1+ ), ak cos √ ) '\" hk z Обозначим функцию e k=1 t cos r∞ z2 k=1 ak sin √t через g(z) (считая t положительным параметром) и проинтегрируем 0 g(z) cos 2ηzdz по частям. Получим g(z) sin 2ηz z=+∞ - 1 r∞ 1 gI(z) sin 2ηzdz = - r∞ gI(z) sin 2ηzdz, 2η z=0 2η 2η 0 0 m h z √t поскольку g(+∞) = 0 т.к. 1+ '\" ak cos k k=1 C > 0. Проинтегрировав по частям еще раз, получим gI(z) cos 2ηz z=+∞ - 1 r∞ gII(z) cos 2ηzdz. 4η2 z=0 4η2 0 46 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ СТАРШИМИ ЧЛЕНАМИ Докажем, что внеинтегральный член обращается в нуль. Чтобы вычислить пределы lim z→+0 gI(z) cos 2ηz 4η2 и lim z→+∞ gI(z) cos 2ηz 4η2 , продифференцируем функцию g(z): m hkz m gI(z) = e t -z2(1+ ), ak cos √ k=1 ) -2z / 1+ '\" k=1 hk z \ ak cos √t + z2 m h z l / m h z \ '\" + √t k=1 √ ak hk sin k t cos √ - z2 '\" k=1 ak sin k t m hkz / m \/ m m \ t -z2(1+ ), ak cos √ - e k=1 ) sin z2 '\" k=1 k √ a sin hk z t 2z '\" k=1 k √ a sin hk z t z2 '\" + √t k=1 k k √ a h cos hk z . t Последнее выражение можно преобразовать к виду m hkz m m t -z2(1+ ), ak cos √ -e k=1 ) z2 √ / sin z2 '\" k √ a sin hk z \ '\" k k √ a h cos hk z - z2 / m 2 '\" t m hk z \ '\" k=1 t hk z k=1 t h z \ '\" / m m 2 '\" k hk z - √t cos z k=1 ak sin √t k=1 ak hk sin √t + 2z cos z k=1 ak sin √t k=1 ak cos √t + + 2z sin / m z2 '\" ak sin h z \ m k '\" ak sin hk z + 2z cos / m z2 '\" ak sin hk z \l , k=1 поэтому gI(z) равна m √t hkz √t k=1 m √t k=1 m -z2(1+ ), ak cos √ ) z2 '\" / hk z '\" hlz \ e k=1 t √ t k=1 ak hk sin - √ z2 t l=1 al sin √t + m + 2z '\" ak cos / hk z m § z2 '\" al sin hlz \ § 2z cos / m z2 '\" ak sin hk z \l . k=1 √t √t l=1 √t k=1 Значит, gI(0) = gI(+∞) = 0, следовательно, r∞ 1 r∞ g(z) cos 2ηzdz = - 4η2 0 0 gII(z) cos 2ηzdz. Очевидно, существует такой полином (конечной степени) P (z), положительные коэффициенты m hkz которого зависят только от a и h, что неравенство |gII(z)| e для любого t 1 на [0, +∞). Значит, t -z2(1+ ), ak cos √ k=1 ) P (z) выполняется ∞ ∞ r 1 r Cz2 g(z) cos 2ηzdz 4η2 e- 0 0 P (z)dz для любого t > 1 и любого η ∈ R1\{0}. Тем самым для первого слагаемого суммы (2.5) требуемая оценка выполнена. Таким же образом оценивается и второе слагаемое. Лемма 2.3.2 доказана. Перейдем теперь непосредственно к завершению доказательства теоремы 2.3.1. Разобьем (2.4) на сумму r 2 ⎛ r-R R +∞⎞ r def 2 ⎝ + + π -∞ -R R π ⎠ = [I3,R(t)+ I4,R(t)+ I5,R(t)] , 2. СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 47 где R - положительный параметр. +∞ r M √π η2 |I5,R(t)| sup |u0(x)| R1 R √ + e- p dη η2 4p в силу леммы 2.3.2 (без ограничения общности можно считать, что t > 1) и ограниченности функции u0. Последний интеграл сходится, поэтому для любого наперед заданного положительного ε πε найдется такое R0 ∈ (1, +∞), что |I5,R0 (t)| I3,R0 удовлетворяет той же оценке. 6 для любого t ∈ (1, +∞). При этом, очевидно, Зафиксируем это R0 и рассмотрим I4,R0 (t). Его абсолютная величина не превосходит +R0 ∞ m hkz / m \ l r r sup |u0(x)| R1 t 2 -z2(1+ ), ak cos √ e k=1 ) cos 2zη - z2 '\" k √ a sin hk z t - e-pz cos 2zη dz dη. -R0 0 k=1 В силу леммы 2.3.1 найдется такое T ∗ > 1, что для любого вещественного η и любого t > T ∗ модуль внутреннего интеграла в последнем выражении не превосходит πε 12R0 sup |u0(x)| R1 -1 . Отсюда вытекает, что для любого t > T ∗ модуль выражения (2.4) не превосходит ε. Поскольку - положительное ε выбиралось произвольно, это означает, что lim [u(x0, t) v(x0, pt)] = 0. В силу t→∞ произвольности выбора вещественного x0 теорема 2.3.1 доказана. Следствие 2.3.1. Пусть x, l ∈ (-∞, +∞). Тогда lim u(x, t) = l ⇐⇒ lim R 1 r u0(x)dx = l. t→∞ R→∞ 2R -R Для доказательства отметим лишь, что утверждение следствия есть классическая теорема о поточечной стабилизации (см. [81]), т. е. для функции v(x, t) оно выполнено; далее остается непосредственно применить теорему 2.3.1. Замечание 2.3.1. Отметим, что хотя теорема 2.3.1 и следствие 2.3.1 справедливы при одних и тех же условиях, утверждение теоремы (как утверждение о близости решений) является более сильным в следующем смысле: в отличие от утверждения следствия (т. е. теоремы о стабилизации) оно дает информацию о поведении решения также и в том случае, когда (необходимое и достаточное) условие стабилизации не выполнено. 2.4. СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ i Пусть n, m1,..., mn ∈ N, ai, bi ∈ Rmi , где через ai обозначен вектор (ai1,..., aim ), а через bi - / n вектор (bi1,..., bimi ); i = 1, n. В области x ∈ R t > 0 рассмотрим уравнение ∂u n mi ∂2u = L(n)u d=ef Δu + '\" '\" aij (x1,..., xi 1,x + b ,x ,...,x , t) (2.6) ∂t i=1 j=1 i ∂x2 - i ij i+1 n и начальное условие (1.4) с некоторой функцией u0, непрерывной и ограниченной в Rn. Как и в разделе 2.1 (см. также [124, §8]), наложим условие положительной определенности на символ оператора -L(n): n mi i -ReL(n)(ξ) = |ξ|2 + '\" ξ2 '\" aij cos bij ξi C|ξ|2 i=1 j=1 для любого ξ ∈ Rn с некоторым положительным C. Оператор -L(n), обладающий указанным свойством, будем, как и в одномерном случае, называть сильно эллиптическим во всем пространстве. Отметим, что, как и в одномерном случае (ср. также [124, Ex. 8.1]), условие сильной эллиптичности не накладывает ограничений на величины коэффициентов уравнения. 48 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ СТАРШИМИ ЧЛЕНАМИ Отметим также, что, как и в случае ограниченной области (см. [124, § 9]), сильная эллиптичность дифференциального и дифференциально-разностного операторов различаются существенным образом, поэтому влияние разностных членов имеет принципиальное значение. Определим в Rn × (0, ∞) функцию ( n mi 2 2 \ ⎛ n mi ⎞ 1 r -t 2n E(n)(x, t) d=ef e Rn |ξ| + ), ξi i=1 ), aij cos bij ξi j=1 cos ⎝x · ξ - t ξ '\" 2 i i=1 '\" j=1 aij sin bij ξi⎠ dξ. (2.7) Представим показатель последней экспоненты в выражении (2.7) в виде n ⎛ mi ⎞ i -t '\" ξ2 ⎝1+ '\" aij cos bij ξi⎠ , i=1 j=1 n i что при любом ξ из Rn и любом положительном t не превосходит -t ), Ciξ2 с некоторыми полоi=1 жительными постоянными C1,..., Cn. Действительно, возьмем произвольное i ∈ 1,n и применим условие сильной эллиптичности, взятое при ξ1 = ··· = ξi-1 = ξi+1 = ··· = ξn = 0. Получим, что mi mi ξ2 2 ), 2 ), i + ξi j=1 aij cos bij ξi Cξi для любого вещественного ξi. Значит, 1 + j=1 aij cos bij ξi C для любого ξi /= 0. Покажем, что последнее неравенство выполняется (хотя, возможно, с другой полоmi жительной постоянной) и при ξ = 0, т. е., что 1+ ), aij > 0. Для этого предположим, напротив, j=1 mi что 1+ ), aij 0. Тогда для любого ξi /= 0 j=1 mi mi mi C 1+ '\" aij - '\" aij + '\" aij cos bij ξi = j=1 mi j=1 mi j=1 mi mi b ξ = 1+'\" aij +'\" aij (cos bij ξi -1) = 1+'\" aij -2'\" aij sin2 ij i = 2 j=1 mi j=1 1 mi j=1 / sin bij ξi \2 j=1 ξ2 mi / sin bij ξi \2 = 1+'\" aij - '\" aij b2 ξ2 2 - i '\" aij b2 2 . j=1 2 j=1 ij i bij ξi 2 2 j=1 ij bij ξi 2 Выбирая теперь положительное ξi достаточно малым, приходим к противоречию с положительностью константы C. Поэтому для любого [t0,T ] ⊂ (0, +∞) интеграл (2.7) сходится абсолютно и равномерно относительно (x, t) ∈ Rn × [t0,T ], т. е. функция E(n)(x, t) определена корректно. Продифференцируем (формально) E(n) под знаком интеграла по переменной t: ( n t |ξ| + ), ξi mi \ ), aij cos bij ξi 2n ∂E(n) = r e- ∂t Rn ⎛ n 2 i=1 mi 2 j=1 × ⎞ n mi × sin⎝x · ξ - t '\" ξ2 '\" aij sin bij ξi⎠ '\" ξ2'\" aij sin bij ξidξ - i=1 i j=1 i=1 ( i j=1 n mi \ r ⎛ n mi ⎞ -t 2 i |ξ| + ), ξ2 ), aij cos bij ξi i - ⎝|ξ|2 + '\" ξ2 '\" aij cos bij ξi⎠ e i=1 j=1 × Rn i=1 ⎛ j=1 n mi ⎞ i × cos ⎝x · ξ - t'\" ξ2'\" aij sin bij ξi⎠ dξ. Это можно представить в виде i=1 j=1 1. СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 49 n mi r -t ( n |ξ| + ), ξi mi \ ), aij cos bij ξi / '\" \ ξ '\" '\" '\" aij e i=1 j=1 Rn / 2 i=1 2 j=1 n mk ξ i 2 sin bij ξi sin \l x · ξ - t n 2 k k=1 mk l=1 akl sin bklξk - - cos bij ξi cos k x · ξ - t '\" ξ2 '\" akl sin bklξk dξ - k=1 ( n mi l=1 \ r -t |ξ| + ), ξi ), aij cos bij ξi / '\" \ ξ '\" - |ξ|2e Rn 2 i=1 2 j=1 cos x · ξ - t n 2 k k=1 mk l=1 akl sin bklξk dξ, что, в свою очередь, равно r -t ( n |ξ| + ), ξi mi \ ), aij cos bij ξi / '\" \ ξ '\" - |ξ|2e Rn n mi 2 i=1 2 j=1 ( 2 n mi ), 2 ), cos x · ξ - t \ / n 2 k k=1 mk l=1 akl sin bklξk n dξ - mk \ '\" '\" - r aij -t i ξ2e |ξ| + ξi i=1 j=1 aij cos bij ξi cos x · ξ + bij ξi - t ξ '\" 2 k '\" akl sin bklξk dξ. i=1 j=1 Rn k=1 l=1 Далее формальное дифференцирование E(n) под знаком интеграла по переменной xi дает: 2 ( n t |ξ| + ), ξi mi \ ), aij cos bij ξi / '\" \ ξ '\" 2n ∂ E(n) = r i ∂x2 - - i ξ2e 2 i=1 2 j=1 cos x · ξ - t n 2 k k=1 mk l=1 akl sin bklξk dξ, Rn 2n ∂ 2 E(n) (x ,...,x ,x + b ,x ,...,x , t) = i ∂x2 1 ( i-1 i n mi ij i+1 n \ r -t |ξ| + ), ξi ), aij cos bij ξi / '\" \ ξ '\" i = - ξ2e Rn 2 i=1 2 j=1 cos x · ξ + bij ξi - t n 2 k k=1 mk l=1 akl sin bklξk dξ. Каждый из этих интегралов сходится абсолютно и равномерно по (x, t) ∈ Rn × [t0,T ] при любом [t0,T ] ⊂ (0, +∞), поэтому E(n)(x, t) удовлетворяет (в классическом смысле) уравнению (2.6) в Rn × (0, +∞). Теперь докажем следующее утверждение: Лемма 2.4.1. Пусть x ∈ Rn, t > 0. Тогда r абсолютно сходится. u0(x - ξ)E(n)(ξ, t)dξ (2.8) Rn Доказательство. В силу абсолютной сходимости интеграла (2.7) к нему применима теорема Фубини, т. е. E(n)(x, t) можно представить в виде +∞ +∞ 1 r r n n e- i tξ2 ( mi 1+ ), aij j=1 cos b \ ij ξi cos n ⎛ '\" x ξ tξ2 mi '\" a sin b ⎞ ξ dξ ... dξ . 2n ... -∞ -∞ i=1 ⎝ i=1 i i - i ij j=1 ij i⎠ 1 n n р аз 50 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ СТАРШИМИ ЧЛЕНАМИ Подынтегральную функцию последнего интеграла можно разбить на конечное число слагаемых вида n n e- i tξ2 ⎛ ( mi \ 1+ ), aij cos bij ξi j=1 g x ξ mi tξ2 '\" a ⎞ sin b ξ , i=1 i ⎝ i i - i ij j=1 ij i⎠ где gi(τ ) = cos τ либо gi(τ ) = sin τ. Значит, последний интеграл представляет собой конечную сумму слагаемых вида n +∞ tτ 2 ( mi 1+ ), a m \ ⎛ ⎞ cos b τ i n r e- i=1 -∞ ij j=1 ij gi ⎝xiτ - tτ 2 '\" j=1 aij sin bij τ ⎠ dτ. При этом только одно из этих слагаемых, а именно n +∞ tτ 2 ( mi 1+ ), a m \ ⎛ ⎞ cos b τ i n r e- i=1 -∞ ij j=1 ij cos ⎝xiτ - tτ 2 '\" j=1 aij sin bij τ ⎠ dτ = n = 2n n r∞ - e tτ 2 ( mi \ 1+ ), aij cos bij τ j=1 cos ⎛ ⎝xiτ mi § tτ 2 '\" aij ⎞ sin bij τ ⎠ dτ, i=1 0 j=1 не содержит под интегралом ни одного синуса, а значит, отлично от нуля; все остальные слагаемые обращаются в нуль, т. к. каждое из них содержит хотя бы один нулевой сомножитель - интеграл (от нечетной функции) вида +∞ ( mi \ ⎛ m ⎞ r -tτ 2 e -∞ 1+ ), aij cos bij τ j=1 i sin ⎝xiτ - tτ 2 '\" aij sin bij τ ⎠ dτ. j=1 Таким образом, функция E(n)(x, t) принимает следующий вид: r n ∞ - n e tτ 2 ( mi \ 1+ ), aij cos bij τ j=1 ⎛ cos x τ mi tτ 2 '\" a sin b ⎞ τ dτ. i=1 0 ⎝ i - ij j=1 ij ⎠ i i R1 Каждый сомножитель последнего произведения есть функция Eai,bi (xi,t) = E(xi, t) вида (2.2). Зафиксируем произвольное положительное t. Тогда для любого i = 1,n функция E(xi, t) ограничена на R1. Кроме того, в силу леммы 2.2.1 функция x2E(xi, t) ограничена на R1. Поэтому функция (1 + x2)E(xi, t) также ограничена на , т. е. существует такое положительное M, что M i |E(xi, t)| 1+ x2 на R1 при i = 1, n. Поэтому в Rn справедливо неравенство (2M )n |E(n)(x, t)| n . i n(1 + x2) i=1 Пусть теперь Ω - произвольная (сколь угодно большая) область в Rn. Существует такое положительное A0, что Ω ⊂ Q(A0), где Q(A0) = /|xi| < A0 i = 1,n . Тогда r n r dξ Q(A0) u0(x - ξ)E(n)(ξ, t) dξ (2M ) sup |u0| Q(A0) n = i n(1 + ξ2) ⎛ A0 ⎞n r dη i=1 1+ η2 = (2M )n sup |u0| ⎝ ⎠ = (4M arctg A0)n sup |u0| (2πM )n sup |u0|. -A0 Значит, интеграл (2.8) абсолютно сходится и удовлетворяет той же оценке. 2. СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ В СЛУЧАЕ НЕСКОЛЬКИХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 51 Лемма 2.4.1 доказана. Таким образом, в Rn × (0, +∞) определена функция r = u(x, t) def 1 πn Rn E(n) (x - ξ, t)u0(ξ)dξ. (2.9) Представляя ∂2E(n) i ∂x2 , аналогично E(n) в лемме 2.4.1, в виде произведения i i ∂2Ea ,b i ∂x2 n n Eak,bk k=1 k/=i (xk , t), из леммы 2.2.2 и того факта, что E(n) удовлетворяет уравнению (2.6), получаем, что функцию (2.9) можно дифференцировать под знаком интеграла. Отсюда вытекает Теорема 2.4.1. Пусть оператор -L(n) является сильно эллиптическим в Rn. Тогда функция (2.9) удовлетворяет (в классическом смысле) уравнению (2.6) в Rn × (0, +∞). Отметим, что согласно, например, [15] функция (2.9) является решением задачи (2.6), (1.4) в смысле обобщенных функций. Чтобы установить единственность найденного решения, исследуем согласно [15] вещественную часть символа эллиптического оператора L(n), содержащегося в уравнении (2.6). Указанный символ P(z1,..., zn) d=ef P(z) d=ef P(σ + iτ ) d=ef P(σ1 + iτ1,..., σn + iτn) равен n '\" - k=1 ⎛ k z2 ⎝1+ mk '\" j=1 ⎞ akj e-ibkj zk ⎠ = n ⎛ mk mk ⎞ = '\"(τ 2 - σ2 - 2iσk τk ) ⎝1+ '\" akj ebkj τk cos bkj σk - i '\" akj ebkj τk sin bkj σk ⎠ . k k k=1 Таким образом, n ⎡ ⎛ mk j=1 j=1 ⎞ mk ⎤ ReP(z) = '\" ⎣(τ 2 - σ2) ⎝1+ '\" akj ebkj τk cos bkj σk ⎠ - 2σk τk '\" akj ebkj τk sin bkj σk ⎦ = k k k=1 n ⎡ j=1 mk j=1 mk ⎤ = |τ |2 - |σ|2 + '\" ⎣(τ 2 - σ2) '\" akj ebkj τk cos bkj σk - 2σk τk '\" akj ebkj τk sin bkj σk ⎦ . k k=1 k j=1 j=1 Теперь оценим функцию Q(z, t0, t) d=ef e(t-t0)P(z). 4 |Q(z, t0, t)| e(t-t0)[C1(1+|σ| )+C2e C3|τ |]. Из последней оценки вытекает (см. [15, гл. 2, Добавление 1]), что задача (2.6), (1.4) имеет не более одного решения в смысле обобщенных функций. Отметим, что, как и в одномерном случае, единственность имеет место и для более широких классов начальных функций (см. замечание 2.2.2); однако по тем же, что и в одномерном случае, причинам, мы ограничиваемся рассмотрением непрерывных и ограниченных начальных функций. Аналогично лемме 2.2.4, мы можем вычислить интеграл от E(n) по всему пространству Rn; он равен πn. 2.5. СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ В СЛУЧАЕ НЕСКОЛЬКИХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ В этом разделе мы изучим поведение u(x, t) при t → ∞ в случае нескольких пространственных переменных. Для этого наряду с дифференциально-разностным уравнением (2.6) рассмотрим дифференциальное уравнение n ∂u = '\" pi ∂t i=1 ∂2u i ∂x2 , (2.10) 52 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ СТАРШИМИ ЧЛЕНАМИ mi где pi = 1 + '\" aij , i = 1,n (отметим, что, как показано выше, все определенные таким образом j=1 константы pi положительны). Классическое ограниченное решение задачи (2.10), (1.4) обозначим через v(x, t). Справедливо следующее утверждение: t Теорема 2.5.1. lim [u(x, t) - v(x, t)] = 0 для любого x ∈ Rn. →∞ Доказательство. Возьмем произвольное x0 d=ef (x0,..., x0 ) из Rn. Сделаем в (2.9) замену переменных: ηi d=ef 1 n x ξi 0 √ i - (i = 1, n). Получим, что 2 t t 2 √ n r √ √ Учитывая, что u(x0, t) = π Rn ( mi u0(x0 - 2 \ tη)E(n)(2 ⎛ tη, t)dη. (2.11) ⎞ r n ∞ n √ n n -tτ 2 1+ ), aij cos bij τ j=1 mi √ 2 '\" t 2 E(n)(2 tη, t) = t 2 e i=1 0 cos ⎝ 2ηiτ t - tτ j=1 aij sin bij τ ⎠ dτ = ( mi bijz \ ⎛ ⎞ n r∞ = n -z2 e 1+ ), aij cos √ j=1 t cos 2zη mi z2 '\" a bij z sin dz, i=1 0 получаем, что ⎝ i - ij j=1 √t ⎠ 2 n r n √ n r∞ ( 2 -z 1+ mi ), j=1 aij cos bijz \ ⎛ √ t mi 2 '\" ⎞ bij z u(x0, t) = π u0(x0 - 2 Rn tη) e i=1 0 cos ⎝2zηi - z j=1 aij sin √t ⎠ dzdη. 1 r 2 v(x0, t) = n u0(x0 - 2√p1tξ1,..., x0 - 2√pntξn)e-|ξ| dξ. π 2 1 n Rn Замена переменных √piξi = ηi (i = 1, n) приводит последнее выражение к виду Таким образом, 1 n n n π 2 i=1 r √pi Rn 1 2 u0(x0 - √ n 2 tη1,..., x0 - √ ⎡ tηn)e n - ), i=1 ( η 2 pi i dη. mi bijz \ 2 n r n 2 √ n r∞ -z 1+ ), j=1 t aij cos √ u(x0, t) - v(x0, t) = π u0(x0 - 2 Rn tη) ⎢ ⎣ e × i=1 0 ⎛ mi η i b z ⎞ n √π 2 ⎤ × cos ⎝2zηi - z2 '\" aij sin ij ⎠ dz - n √ e- pi ⎦ dη = ⎛ 2 n r j=1 r √t ⎞ 2 n i 2 p i=1 = ⎜ ⎟ def π ⎝ Q(A) + ⎠ = π Rn\Q(A) (J1 + J2), (2.12) где A - положительный параметр, Q(A), как и выше, обозначает куб /|xi| < A i = 1,n . 2.5. СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ В СЛУЧАЕ НЕСКОЛЬКИХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 53 Пусть ε > 0. В силу леммы 2.3.2 для любого i = 1,n существует такое положительное Mi, что для любого ηi 1 и для любого t > 1 r∞ -z2 ( mi 1+ ), aij cos bijz \ ⎛ mi b z ⎞ M 2M √ j=1 t 2 '\" ij i i . e cos 0 ⎝2zηi - z j=1 aij sin η √t ⎠ dz 2 i i 1+ η2 Кроме того, при ηi ∈ [0, 1] левая часть последнего неравенства не превосходит ∞ r 2 √π e-Cz dz def √π √ , √ = 2 C 0 i C(1 + η2) следовательно, для любого вещественного ηi r∞ -z2 ( mi 1+ ), aij cos bijz \ ⎛ mi b z ⎞ M ∗ √ j=1 t 2 '\" ij i , e 0 I π cos ⎝2zηi - z j=1 aij sin √t ⎠ dz i 1+ η2 i где M ∗ = max 2Mi, C . Таким образом, модуль подынтегрального выражения в (2.12) не превосходит n M ∗ π n n 1 η2 l sup |u0| n i=1 i i 1+ η2 √ . + 2 4 pi n e- i i p i=1 Значит, интеграл (2.12) сходится абсолютно и равномерно относительно t ∈ (1, +∞), следователь- επn но, существует такое положительное A, что |J2| < 2n+1 для любого t > 1. Зафиксируем это A и рассмотрим J1 при t > 1. В силу леммы 2.3.1 для любого i = 1,n r∞ -z2 ( mi 1+ ), aij cos bijz \ ⎛ √t i m bij z ⎞ 2 η I π i e j=1 0 cos ⎝2zηi - z2'\" aij j=1 sin →∞ t √t ⎠ dz -→ 4pi e- pi равномерно относительно ηi ∈ (-∞, +∞). i Поскольку, как только что доказано, каждый из внутренних (одномерных) интегралов выражения (2.12) ограничен (например, константой M ∗), то отсюда вытекает, что n r∞ ( mi z2 1+ ), aij cos i bijz \ ⎛ m √ n I ⎞ η2 lim n e- j=1 t cos 2zη e- z2 '\" a bij z sin dz = n π i pi 0 t→∞ i=1 ⎝ i - ij j=1 √t ⎠ i=1 4pi равномерно относительно η ∈ Rn. Значит, существует такое положительное T, что для любого t ∈ (T, +∞) n r∞ -z2 ( mi 1+ ), aij cos bijz \ ⎛ n I mi b z ⎞ η2 √ n j=1 t 2 a sin dz π e pi e i=1 0 επn , cos ⎝2zηi - z '\" ij j=1 ij √t ⎠ n - i=1 i - 4pi 22n+1An sup |u0| επn т. е. |J1| 2n+1 , следовательно, |u(x0, t) - v(x0, t)| < ε. В силу произвольности выбора положительного ε - lim [u(x0, t) v(x0, t)] = 0. t→∞ Поскольку x0 из Rn выбиралось произвольно, теорема 2.5.1 доказана. Отсюда, как и в разделе 2.3, вытекает 54 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ СТАРШИМИ ЧЛЕНАМИ Следствие 2.5.1. Пусть x ∈ Rn,l ∈ (-∞, +∞). Тогда n n n r 2π 2 √pi 1 lim u(x, t) = l ⇐⇒ lim u0(x) dx = i=1 l, t→∞ ( x2 R→∞ Rn x2 BR(p1,...,pn) 2 nΓ( n ) где BR(p1,..., pn) = x ∈ Rn p 1 + ··· + 1 n < R . pn Замечание 2.5.1. Теорема 2.5.1 верна и для случая n = 1, т. е. кроме теоремы 2.2.1 имеет место и асимптотическая близость решений уравнения (2.1) и уравнения ∂u ∂2u ∂t = p∂x2 , однако это не дает новой информации о стабилизации решения: необходимое и достаточное условие стабилизации решения задачи (2.1), (1.4), вытекающее из такой теоремы о близости, в точности совпадает с утверждением следствия 2.3.1. 2.6. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ НЕОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА В данном разделе мы распространим исследование на случай, когда правая часть уравнения (2.6) содержит и младшие (нелокальные) члены. Мы будем подробно останавливаться лишь на тех моментах, которые существенно отличаются от модельного случая однородного эллиптического оператора, подробно рассмотренного в разделах 2.4 и 2.5. Итак, вместо (2.6) рассматривается следующее уравнение: ∂u n m2,i ∂2u n m1,i ∂u n m0,i = Δu + '\" '\" aij (x + h(2)ei, t)+ '\" '\"bij (x+h(1)ei, t) +'\" '\"cij u(x+h(0)ei, t). (2.13) ∂t i=1 j=1 i ∂x2 ij i=1 j=1 ∂xi ij ij i=1 j=1 Здесь ei обозначает i-й координатный вектор в пространстве Rn, mk,i ∈ N при i = 1, n,k = 0, 2, ij коэффициенты aij , bij , cij , h(k) предполагаются вещественными при i = 1, n,k = 0, 2,j = 1, mk . Вместо (2.7) определим фундаментальное решение следующим образом: где E(n) d=ef 1 r (x, t) 2n Rn 2 · - 2 e-t[|ξ| +G1(ξ)] cos [x ξ tG (ξ)] dξ, (2.14) n = '\" ξ2 '\" aij cos h(2)ξi + '\" ξi '\" bij sin h(1)ξi - '\" '\" cij cos h(0 i ij ij ij i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 j=1 G1(ξ) m2,i n m1,i n m0,i )ξi, n m2,i n m1,i n m0,i G2(ξ) = '\" ξ2 '\" aij sin h(2)ξi - '\" ξi '\" bij cos h(1)ξi - '\" '\" cij sin h(0)ξi. i=1 i j=1 ij i=1 j=1 ij ij i=1 j=1 Справедливо следующее утверждение: Теорема 2.6.1. Пусть оператор -L(n) является сильно эллиптическим в Rn. Тогда функция (2.9) с E(n), заданной формулой (2.14), удовлетворяет (в классическом смысле) уравнению (2.13) в Rn × (0, +∞) и является единственным решением (в смысле обобщенных функций) задачи (2.13), (1.4). Для доказательства этой теоремы мы прежде всего подставляем функцию (2.14) в уравнение (2.13): r 2n ∂En = - 2 |ξ|2 + G (ξ) e-t[|ξ| +G1(ξ)] cos [x · ξ - tG (ξ)] dξ + ∂t 1 2 Rn 2.6. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ НЕОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА 55 2 · - 2 r + G2(ξ)e-t[|ξ| +G1(ξ)] sin [x ξ tG (ξ)] dξ, Rn что можно преобразовать к виду 2 2 · - 2 - r e-t[|ξ| +G1(ξ)] (G (ξ) sin [x ξ tG (ξ)] Rn Далее -G1(ξ) cos [x · ξ - tG2(ξ)] - |ξ|2 cos [x · ξ - tG2(ξ)]) dξ. sin h(2)ξi sin [x · ξ - tG2(ξ)] - cos h(2)ξi cos [x · ξ - tG2(ξ)] = - cos (2) 1 ·ξ + h ξ - tG2(ξ) , ij (1) ij (1) x ij (1) 1 - cos hij ξi sin [x · ξ - tG2(ξ)] - sin hij ξi cos [x · ξ - tG2(ξ)] = - sin x · ξ + hij ξ - tG2(ξ) , (0) (0) (0) 1 - sin hij ξi sin [x · ξ - tG2(ξ)] + cos hij ξi cos [x · ξ - tG2(ξ)] = cos поэтому x · ξ + hij ξ - tG2(ξ) , n m2,i r 2 2n ∂En = - '\" '\" a ξ2e-t[|ξ| +G1(ξ)] cos (2) 1 ∂t n m1,i ij i i=1 j=1 Rn (x + hij ei) · ξ - tG2(ξ) dξ - '\" '\" r 2 (x + h(1)e ) ξ tG (ξ)1 dξ + - i=1 j=1 bij Rn ξie-t[|ξ| +G1(ξ)] sin ij i · - 2 n m0,i r 2 + '\" '\" cij e-t[|ξ| +G1(ξ)] cos 1 i=1 j=1 Rn r 2 ij (x + h(0)ei) · ξ - tG2(ξ) dξ - - |ξ|2e-t[|ξ| +G1(ξ)] cos [x · ξ - tG2(ξ)] dξ, Rn r 2n ∂En = - 2 · - ξ e-t[|ξ| +G1(ξ)] sin [x ξ tG (ξ)] dξ, ∂xi i 2 Rn 2 r 2 2n ∂ En = - ξ2e-t[|ξ| +G1(ξ)] cos [x · ξ - tG (ξ)] dξ. i ∂x2 i 2 Rn Таким образом, в Rn × (0, +∞) функция E(n)(x, t) удовлетворяет уравнению (2.13). Теперь представим G1(ξ) в виде n '\" ⎛ ⎝ξ2 m2,i '\" aij cos h(2)ξi + ξi m1,i '\" bij sin h(1)ξi - m0,i '\" ⎞ cij cos h(0)ξi⎠ def n '\" G (ξ ), i=1 а G2(ξ) -в виде i j=1 ij j=1 ij j=1 ij = i=1 1,i i n '\" i=1 ⎛ i ⎝ξ2 m2,i '\" j=1 ij aij sin h(2)ξi - ξi m1,i '\" j=1 ij bij cos h(1)ξi - m0,i '\" j=1 ⎞ ij cij sin h(0)ξi⎠ d=ef n '\" i=1 G2,i(ξi). Тогда функция (2.14) принимает вид +∞ +∞ n n 1 r r n e-t[ξ2+G1,i(ξi)] cos '\" [x ξ tG (ξ )] dξ ... dξ . 2n ... -∞ -∞ i i=1 i=1 i i - 2,i i 1 n n р аз 56 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ СТАРШИМИ ЧЛЕНАМИ Учитывая, что функция G1,i четна, а функция G2,i нечетна при любом i = 1, n, последнее выражение сводится (аналогично доказательству леммы 2.4.1) к следующему виду: r n ∞ i n e-t[τ 2+G1,i(τ )] cos [x τ · tG2,i (τ )] dτ. (2.15) i=1 0 Значит, для доказательства разрешимости остается (см. доказательство леммы 2.4.1) доказать аналоги лемм 2.2.1, 2.2.2 для случая, когда функция (одной пространственной переменной) E(x, t) имеет вид ∞ r e-t[τ 2+G1(τ )] cos [xτ 0 · tG2(τ )] dτ, где в качестве G1, G2 взяты соответственно G1,i, G2,i с произвольным i = 1, n. Для этого так же, как и в лемме 2.2.1, при фиксированном положительном t рассмотрим r∞ 2 e-t[τ 2+G1(τ )] cos [tG (τ )] cos xτdτ. 0 Интегрируя по частям, приводим последнее выражение к виду r∞ sin xτ e-t[τ +G1(τ )] cos [tG2(τ )] 2 τ =∞ 1 - sin xτ e-t τ 2+G (τ ) cos [tG2(τ )] I dτ = x 1 r∞ t[τ 2+G1(τ )] τ =0 x 0 I [ 1] = - x 0 sin xτ e- cos [tG2(τ )] dτ (в нуле обращается в нуль первый сомножитель внеинтегрального члена, в бесконечности - второй). e-t[τ 2+G1(τ )] cos [tG (τ )] I = e-t[τ 2+G1(τ )] ( I I 2 - 2τ + G1(τ ) cos [tG2(τ )] + tG2(τ ) sin [tG2(τ )]) . 1 Очевидно, GI (0) = G2(0) = 0, значит, при повторном интегрировании по частям внеинтегральный - член снова обращается в нуль, т. е., имеем 1 x2 r∞ cos xτ 0 e-t[τ 2+G1(τ )] cos [tG2(τ )] II dτ. Последний интеграл есть ограниченная функция переменной x, поэтому лемма 2.2.1 для данного случая 2 верна. Точно так же доказывается ограниченность функций x2 ∂E , x2 ∂ E при любом положительном t. ∂x ∂x2 Далее, в точности повторяя рассуждения, доказывающие теорему 2.4.1, доказываем разрешимость. Для доказательства единственности рассмотрим, как и выше, символ соответствующего эллиптического оператора: n m2,k (2) n '\" m1,k '\" (1) k P(z) = -|z|2 - '\" z2 '\" akj e-ihkj zk - i zk bkj e-ihkj zk + n m0,k k=1 (0) j=1 n '\" k=1 j=1 ⎛ m2,k '\" (2) + '\" '\" ckj e-ihkj zk = (τ 2 - σ2 - 2iσk τk ) ⎝1+ akj ehkj τk cos h(2)σk - k=1 j=1 m2,k k k k=1 ⎞ n ⎛m1,k kj j=1 - i akj ehkj τk sin h(2)σk ⎠ + '\" (2) kj j=1 '\" k=1 (τk - iσk ) ⎝ '\" j=1 bkj eh τ cos h(1)σk - (1) kj k kj 2.6. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ НЕОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА 57 m1,k ⎞ n m0,k n m0,k Значит, - i bkj ehkj τk sin h(1)σk ⎠ + '\" (1) kj j=1 '\" '\" k=1 j=1 (0) kj k kj ckj eh τ cos h(0)σk - i ckj eh τ sin h(0)σk . '\" '\" k=1 j=1 (0) kj k kj n ⎡ ⎛ m2,k ⎞ (2) ReP(z) = '\" ⎣(τ 2 - σ2) ⎝1+ '\" akj ehkj τk cos h(2)σk ⎠ - k=1 m2,k k k (2) j=1 m1,k '\" kj (1) kj -2σk τk '\" akj ehkj τk sin h(2)σk + τk j=1 j=1 kj bkj ehkj τk cos h(1)σk - m1,k (1) m0,k '\" ⎤ (0) kj - σk '\" bkj ehkj τk sin h(1)σk + j=1 что, в свою очередь, равно j=1 kj ckj ehkj τk cos h(0)σk ⎦ , n ⎡ m2,k (2) |τ |2 - |σ|2 + '\" ⎣(τ 2 - σ2) '\" akj ehkj τk cos h(2)σk - m2,k k=1 k (2) k j=1 m1,k '\" kj (1) kj -2σk τk '\" akj ehkj τk sin h(2)σk + τk j=1 j=1 kj bkj ehkj τk cos h(1)σk - m1,k (1) m0,k '\" ⎤ (0) kj - σk '\" bkj ehkj τk sin h(1)σk + j=1 j=1 kj ckj ehkj τk cos h(0)σk ⎦ . Таким образом, для функции Q(z, t0, t) справедлива такая же оценка, что и в разделе 2.4 (вообще говоря, с другими константами), что и доказывает единственность построенного решения. Для исследования асимптотического поведения решения задачи (2.13), (1.4) рассмотрим, наряду с указанной задачей, задачу ∈ ∂w = Δw, x Rn,t > 0; (2.16) ∂t w n t=0 = w0(x), x ∈ R ; (2.17) где w0(x) = u0(√p1 x1,..., √pn xn), т. е. зависит от положительных параметров p1,..., pn. Классическое ограниченное решение последней задачи (которое существует и единственно в силу непрерывности и ограниченности функции w0(x)) будем обозначать через w(x, t). Далее будем, не ограничивая общности, считать, что для любого k = 1,n числовые множества (1) m1,k m0,k {bkj hkj }j=1 и {ckj }j=1 упорядочены по неубыванию. Для каждого k = 1,n обозначим min j bkj h(1) через m1,k , min j - через m0,k ; для тех k, при которых bkj kj h(1) 0 (ckj kj >0 0) для всех j = ckj >0 mi,k 1, m1,k (j = 1, m0,k ), в качестве возьмем mi,k + 1,i = 0, 1. Теперь обозначим положительную m2,k постоянную 1+ '\" akj + '\" kj bkj h(1) через σk , k = 1, n, и наряду с оператором L (n) , стоящим в j=1 j m1,k правой части уравнения (2.13), рассмотрим оператор L, действующий следующим образом: ⎡ n ckj (0) 2|bkj | ⎤ (1) Lu d=ef Δu + '\" ⎣ '\" σ u(x + hkj ek , t) - '\" k u(x + σk |hkj | ek , t)⎦ . k=1 j< j< m0,k m1,k Отметим, что, хотя дифференциально-разностный оператор L содержит лишь младшие нелокальные члены, он зависит и от коэффициентов при старших нелокальных членах исходного оператора L(n). 58 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ СТАРШИМИ ЧЛЕНАМИ n Обозначим '\" 1 ⎛ '\" c - 2'\"|b ⎞ | I -L через R. Справедливо следующее утверждение: k=1 j< σk ⎝ kj m0,k j< m1,k kj ⎠ Теорема 2.6.2. Пусть R(ξ) положительно определен. Тогда ⎡ n -t ), m0,k ), ckj x0 + q1t ⎤ x0 + qnt ⎣ lim e t→∞ k=1 j=1 u(x0, t) - w 1 √p1 ,..., n √pn ,t ⎦ = 0 для любого x0 d=ef (x0,..., x0 ) ∈ Rn, где 1 n m2,i m1,i m0,i 1 2 ij pi = 1 + '\" aij + '\" bij h(1) + ij '\" cij h(0)1 , 2 m1,i j=1 m0,i j=1 j=1 ij qi = '\" bij + '\" cij h(0); i = 1, n. j=1 j=1 Доказательство. Прежде всего покажем, что в условиях теоремы p1,..., pn положительны. Для этого возьмем произвольное k ∈ 1,n и в условии положительной определенности R(ξ) n '\" 1 ⎛ '\" c -2'\"|b ⎞ n | +|ξ|2- '\" ⎛ 1 '\" c cos h(0)ξ -2'\"|b | cos (1) |h | ξ ⎞ C|ξ|2 k=1 j< σk ⎝ kj m0,k j< m1,k kj ⎠ k=1 j< σk ⎝ kj m0,k kj k kj j< m1,k kj k ⎠ положим ξ1,..., ξk-1, ξk+1,..., ξn равными нулю. Получим, что (1) '\" ckj - 2 '\" |bkj | + σk ξ2 +2 '\" |bkj | cos |h | ξk - '\" ckj cos h(0)ξk Cξ2 j<m0,k j<m1,k k j<m1,k kj kj k j<m0,k для любого положительного ξk . Отсюда следует, что справедливо следующее неравенство: Cξ2 σk ξ2 - 2'\"|bkj | 1 - cos (1) |h | ξk + '\" ckj 1 - cos h(0)ξk . k k j<m1,k kj kj j<m0,k Но последнее выражение равно (1) (0) k σk ξ2 - 4 '\" m1,k |bkj | sin2 |hkj | ξk +2 2 '\" m0,k ckj sin2 hkj ξk = 2 j< j< ⎛ I (1) ⎞2 (0) 2 sin |hkj | ξk ξ2 ⎛ h ξk ⎞ 2 sin kj (1) ⎜ = σk ξ2 - ξ2 '\" |bkj ||h | 2 ⎟ + k '\" ckj (0)1 2 , значит, k k j<m1,k kj ⎝ ⎛ I ⎠ I (1) h ξ (1) | kj | k 2 ⎞2 2 j<m0,k h ξ hkj (0) ⎝ (0) ⎠ kj k 2 2 σk - '\"|bkj ||h(1)| ⎜ sin |hkj | ξk 2 ⎟ + 1 '\" ckj (0)1 ⎛ h ξk ⎞ 2 2 sin kj h ξ C m1,k kj ⎝ h ξ ⎠ I (1) | kj | k 2 m0,k hkj ⎝ (0) ⎠ kj k j< 2 для любого положительного ξk . Отсюда j< 2 1 2 kj 2 σk - '\"|bkj ||h(1)| + m1,k kj '\" ckj h(0)1 m0,k > 0. j< Действительно, предположим, что, напротив, j< 1 2 kj 2 σk - '\"|bkj ||h(1)| + m1,k kj '\" ckj h(0)1 m0,k 0. j< j< 1. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ НЕОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА 59 Тогда для любого положительного ξk константа C не превосходит 1 2 (1) (1) σk + '\" |bkj ||h |- '\" |bkj ||h | + '\" ckj (0)1 - j<m1,k kj j<m1,k kj 2 j<m0,k hkj ⎛ I (1) ⎞2 1 '\" (0)12 '\" (1) sin |hkj | ξk ⎜ 2 ⎟ - 2 j<m0,k ckj hkj - j<m1,k ⎛ h(0) ⎠ |bkj ||hkj | ⎝ ⎞2 h ξ I (1) + | kj | k 2 1 '\" kj h(0) 2 sin kj ξk 2 = σ b h(1) + 2 j<m0,k ckj 1 ⎝ kj h(0) ξk ⎠ 2 '\" k - j<m1,k | kj || kj | + ⎡⎛ I h ξ (1) ⎞2 ⎤ | kj | k + 1 '\" 2 ckj h(0)1 '\" - b h (1) | kj || | sin ⎢⎜ 2 ⎟ - 1⎥ + 2 kj kj ⎣⎝ I (1) ⎠ ⎦ j<m0,k j<m1,k |hkj | ξk 2 + 1 '\" ⎡⎛ 2 ckj h(0)1 ⎢ sin h(0) 2 kj ξk ⎞ 2 ⎤ 1⎥ , 2 j<m0,k kj ⎣⎝ kj h(0) ξk 2 ⎠ - ⎦ что, в свою очередь, не превосходит h(0) 2 ⎡⎛ kj ξk ⎞ ⎤ ⎡⎛ I h ξ (1) ⎞2 ⎤ | kj | k 1 '\" c h(0)12 ⎢ sin 2 1 ⎥ '\" (1) sin ⎢⎜ 2 ⎟ ⎥ ⎣ 2 kj kj j<m0,k h ξ ⎝ (0) kj k 2 - ⎠ ⎦ - j<m1,k - ⎠ ⎦ |bkj ||hkj | ⎣⎝ h ξ I (1) 1 . | kj | k 2 Однако в силу конечности сумм можно выбрать положительное ξk столь малым, что последнее выражение не превзойдет C . Полученное противоречие и доказывает положительность величины 2 kj 1 2 σk - '\"|bkj ||h(1)| + m1,k c h = '\" (0)12 kj kj m0,k j< m2,k = 1 + '\" akj + '\" j< 1 bkj h(1) - '\"|bkj ||h(1)| + c h = '\" (0)12 kj j=1 m2,k j m1,k m1,k kj j< m1,k 1 j< kj 2 kj m0,k 2 kj = 1 + '\" akj + '\"bkj h(1) + 2 kj '\" ckj h(0)1 . j< j=1 j=1 m0,k Значит, pk тем более положительна. Теперь зафиксируем произвольное x0 из Rn. Тогда n f 0 \2 x0 0 r 1 ), xi +qit ξ √ w 1 + q1t,..., xn + qnt,t = 1 u0(√p1 ξ1,..., √pn - 4t ξn)e i=1 √pi - i dξ. √p1 √pn (2 πt)n Rn Последнее выражение равно n (x0+qit-ηi)2 r n (2ξi+qi√ )2 1 - t r 1 ), i 4pi 1 √ - ), t 4pi √ n u0(η)e i=1 dη = n n √ u0(x0 - 2 tξ)e i=1 dξ = (2 πt)n √pi Rn i=1 n y2 π 2 i=1 pi Rn 1 r = n n √ u0(x0 + tq - √ty)e - 4 ), i i=1 pi dy, 2nπ 2 i=1 pi Rn 60 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ СТАРШИМИ ЧЛЕНАМИ где q обозначает вектор (q1,..., qn). Далее в силу (2.11) и (2.15), t 2 √ n r n √ n r∞ t[τ 2+G1,i(τ )] √ 1 u(x0, t) = π u0(x0 - 2 Rn tη) e- i=1 0 cos 2 tηiτ - tG2,i(τ ) dτdη = √t n r = π n u0(x0 + tq - √ty) n ∞ r e-t[τ yi 2+G1,i(τ )] cos τ √t - qiτt - tG2,i(τ )1 dτdy, следовательно, Rn n -t ), m0,k ), ckj i=1 0 √t n r e k=1 j=1 u(x0, t) = π m0,i l u0(x0 + tq - √ty) × Rn r n ∞ × n e -t τ 2+G1,i(τ )+ ), j=1 cij cos yiτ √t - qiτt - tG2,i(τ )1 dτdy, i=1 0 что, в свою очередь, равно 1 n r n r∞ ( m0,i -z2-tG1,i z -t ), cij z √ π u0(x0 + tq - √ty) n e Rn i=1 0 √ t j=1 cos yiz · qiz t - tG2,i √t dzdy. Таким образом, n -t ), m0,k ), ckj x0 + q1t x0 + qnt e k=1 j=1 u(x0, t) - w 1 √p1 ,..., n √pn ,t = m0,i 1 n r = ⎛ n u0(x0 + tq - √ty) ⎝n - r∞ -z2-tG1,i( z e t ), cij j=1 π Rn i=1 0 z n √π √ t × y2 \ × cos yiz - qiz√t - tG2,i √ t dz - n i √ e- 4pi dy. (2.18) Справедливы следующие утверждения: i 2 p i=1 Лемма 2.6.1. В условиях теоремы 2.6.2 для любого i = 1,n m0,i √ r∞ -z2-tG1,i( z -t ), cij π z 2 t √ √ - y t→∞ e j=1 0 cos yz - qiz t - tG2,i √t i dz - 2√p e 4pi -→ 0 равномерно относительно y ∈ (-∞, +∞). Лемма 2.6.2. В условиях теоремы 2.6.2 для любого i = 1,n существует такое Mi, зависящее только от коэффициентов уравнения (2.13), что ∞ ( m0,i -z2-tG1,i z -t ), cij z M t j=1 r √ √ dz e cos 0 yz - qiz t - tG2,i √t < y2 для любого y ∈ R1\{0} и любого t ∈ [1, ∞). Доказательство леммы 2.6.2 проводится по той же схеме, что и доказательство леммы 2.3.2 (см. также лемму 5 работы [55]). Для доказательства леммы 2.6.1 показатель подынтегральной экспоненты представляется в виде m2,i -z2 - z2 '\" aij cos j=1 h z (2) ij √t m1,i - z√t '\" bij sin j=1 h z (1) ij √t m0,i + t '\" cij j=1 / cos h z (0) ij √t \ - 1 = 1. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ НЕФАКТОРИЗУЕМОГО ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 61 ⎛ m2,i h(2)z ⎞ m1,i h(1)z √ sin ij h(1)z m0,i h(0)z = -z2 ⎝1+ '\" aij cos j=1 ij √t ⎠ - z√t '\" bij j=1 t ij z h(1) √t √t t √ ij - 2t '\" cij sin2 ij = j=1 2 ⎡ m2,i h(2)z m1,i h(1)z √ sin ij m0,i 1 ⎛ h(0)z √ 12 sin ij ⎞2⎤ ⎢ √ = -z2 ⎢1+ '\" aij cos ij ij + '\" bij h(1) t (1) h + ⎜ '\" cij (0) ij 2 (0) ⎥ t ⎟ ⎥ , ⎣ j=1 t j=1 hij z 2 j=1 ⎝ hij z ⎠ ⎦ t t √ √ 2 а аргумент подынтегрального косинуса - в виде ⎛ z ⎝y - qi т. е. в виде √t + m1,i √t '\" j=1 bij cos h z (1) ij √t ⎞ ⎠ - z m2,i 2 '\" j=1 aij sin ij h(2)z √t + t m0,i '\" j=1 cij ij sin h(0)z √t ij z h(0) √t ij h(0)z √t , ⎛ m1,i (1) m0,i (0) sin hij z ⎞ √ m2,i (2) z ⎜ √ √ '\" hij z √ '\" (0) t ⎟ 2 '\" hij z ⎝y - qi t + t j=1 bij cos √t + t j=1 h z cij hij (0) ij ⎠ - z j=1 aij sin √t . √t Дальнейшее доказательство леммы 2.6.1 аналогично доказательству леммы 2.3.1 (см. также [55, лемма 4]). Теперь мы можем разбить (2.18) в сумму (2.12) и оценить ее так же, как и при доказательстве теоремы 2.5.1 (используя леммы 2.6.1, 2.6.2 вместо лемм 2.3.1, 2.3.2 соответственно). Это и завершает доказательство теоремы 2.6.2. Отметим, что замечание 1.6.1 полностью справедливо и для теоремы 2.6.2, т. е. и для случая, когда старшие члены уравнения также являются нелокальными. Замечание 2.6.1. Легко видеть, что функция ω(x, t) d=ef w x1 + q1t √ p1 ,..., xn + qnt √ ,t pn является классическим ограниченным решением уравнения n ∂u = '\" pi ∂t i=1 ∂2u i ∂x2 n + '\" qi i=1 ∂u ∂xi , (2.19) удовлетворяющим начальному условию (1.4), поэтому в теореме о (весовой) близости решений вместо задачи (2.16), (2.17) можно использовать задачу (2.19), (1.4). Отметим в этой связи, что качественно иной сравнительно с модельным случаем однородного эллиптического оператора в правой части уравнения (ср. с теоремой 2.5.1) характер поведения решения, установленный в теореме 2.6.2, сохраняется и в случае отсутствия нелокальных старших членов (ср. с теоремой 2 работы [55]). Таким образом, добавление в параболическое дифференциально-разностное уравнение младших членов может, как и в классической параболической теории (см. [38]), приводить к качественно новым эффектам. 2.7. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ НЕФАКТОРИЗУЕМОГО ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ × Пусть akj , hkj ∈ R1, k,j = 1, n. Рассмотрим в Rn (0, +∞) следующее уравнение: ∂u = Lu d=ef ∂t n '\" akj k,j=1 ∂2u k ∂x2 (x + hkj ej , t), (2.20) где ej обозначает единичный вектор j-го координатного направления. Так же, как и в разделе 2.1, рассмотрим вещественную часть символа оператора L (ср. также с разделом 1.6 и [124, §8]) n k ReL(ξ) = - '\" akj ξ2 cos hkj ξj k,j=1 62 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ СТАРШИМИ ЧЛЕНАМИ и назовем -L(ξ) положительно определенным, если существует такое положительное C, что -ReL(ξ) C|ξ|2 для любого ξ ∈ Rn. Оператор -L, обладающий указанным свойством, будем называть сильно эллиптическим во всем пространстве оператором второго порядка. В дальнейшем мы будем полагать оператор -L сильно эллиптическим. Будем рассматривать задачу Коши (2.20), (1.4), считая, что u0(x) непрерывна и ограничена в Rn. × Определим на Rn (0, +∞) следующую функцию: r E(x, t) d=ef Ea,h(x, t) d=ef Rn n n e-tG1(ξ) cos[x · ξ - tG2(ξ)]dξ, (2.21) где G1(ξ) = ), k akj ξ2 cos hkj ξj , G2(ξ) = ), k akj ξ2 sin hkj ξj . k,j=1 k,j=1 r 2 Из условия сильной эллиптичности оператора -L вытекает неравенство |E(x, t)| Rn e-Ct|ξ| dξ, т. е. для любых t0,T из (0, +∞) интеграл (2.21) сходится абсолютно и равномерно относительно (x, t) ∈ Rn × [t0,T ], следовательно, E(x, t) определена корректно на Rn × (0, +∞). Продифференцируем (формально) E под знаком интеграла по переменной t: = ∂E r - r e-tG1(ξ)G (ξ) cos[x · ξ - tG (ξ)]dξ + e-tG1(ξ)G (ξ) sin[x · ξ - tG (ξ)]dξ, ∂t 1 Rn 2 2 2 Rn sin hkj ξj sin[x · ξ - tG2(ξ)] - cos hkj ξj cos[x · ξ - tG2(ξ)] = - cos[(x + hkj ej ) · ξ - tG2(ξ)], поэтому ∂E r ∂t = - e-tG1(ξ) n '\" akj ξ2 k cos[(x + hkj ej ) · ξ - tG2(ξ)]dξ = Rn k,j=1 n r e-tG1(ξ)ξ2 = - '\" akj k,j=1 Rn k cos[(x + hkj ej ) · ξ - tG2(ξ)]dξ. (2.22) Далее формальное дифференцирование E под знаком интеграла по пространственным переменным дает: ∂2E r k ∂x2 = - k ξ2e- tG1(ξ) cos[x · ξ - tG2(ξ)]dξ, значит, ∂2E Rn r 2 tG (ξ) k ∂x2 (x + hkj ej , t) = - ξk e- 1 cos[(x + hkj ej ) · ξ - tG2(ξ)]dξ. (2.23) Rn Каждый из этих несобственных интегралов ограничен по модулю сверху величиной r const 2 |ξ|2e-Ct|ξ| dξ, Rn т. е. сходится абсолютно и равномерно по (x, t) ∈ Rn × [t0,T ] для любых t0,T ∈ (0, +∞). Значит, дифференцирование под знаком интеграла законно, и E(x, t) в Rn ×(0, +∞) удовлетворяет (в классическом смысле) уравнению (2.20). Оценим поведение функции E(x, t) и ее производных при x → ∞ (при фиксированном положительном t). Для этого предварительно разобьем ее на слагаемые E1(x, t) и E2(x, t) следующим образом: r E1(x, t) d=ef Rn r E2(x, t) d=ef Rn e-tG1(ξ) cos tG2(ξ) cos x·ξ dξ, e-tG1(ξ) sin tG2(ξ) sin x·ξ dξ. 2.7. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ НЕФАКТОРИЗУЕМОГО ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 63 Докажем следующее утверждение. Лемма 2.7.1. Пусть l ∈ N, t > 0. Тогда |x|lE(x, t) ограничена в Rn. Доказательство. Пусть t > 0, i ∈ 1, n; тогда r xiE1(x, t) = lim R→∞ e-tG1(ξ) cos tG2(ξ) ∂ ∂ξi sin x·ξ dξ = ⎛ r = lim ⎜ |ξ|<R r e-tG1(ξ) cos tG2(ξ) sin x·ξ cos(ξ, ei) dSξ - ∂ e-tG1(ξ) cos tG2(ξ)1 ⎞ sin x·ξ dξ⎟. R→∞ ⎝ |ξ|=R |ξ|<R ∂ξi ⎠ Поверхностный интеграл в последнем выражении ограничен по модулю величиной следовательно, r |ξ|=R e-tG1(ξ)dSξ r |ξ|=R 2 e-Ct|ξ| dSξ = const Rn-1e-CtR →∞ 2 R -→ 0, r xiE1(x, t) = - ∂ ∂ξi e-tG1(ξ) cos tG2(ξ)1 sin x·ξ dξ. Rn Выполняя дифференцирование в подынтегральном выражении, легко видеть, что модуль подынтегральной функции не превосходит |P (ξ)|e-tG1(ξ), где P - полином с коэффициентами, зависящими только от (фиксированного) t и коэффициентов уравнения (2.20), поэтому функция xiE1(x, t) ограничена в Rn. Далее r x2 i E1(x, t) = -xi ∂ ∂ξi e-tG1(ξ) cos tG2(ξ)1 r sin x·ξ dξ = ∂ ∂ξi e-tG1(ξ) cos tG2(ξ) 1 ∂ ∂ξi cos x·ξ dξ. Rn Rn Представим последнее выражение в виде r lim R→∞ ∂ ∂ξi e-tG1(ξ) cos tG2(ξ) 1 ∂ ∂ξi cos x·ξ dξ = |ξ|<R ⎛ r ∂ 1 = lim ⎜ e-tG1(ξ) cos tG2(ξ) cos x·ξ cos(ξ, ei) dSξ - R→∞ ⎝ |ξ|=R ∂ξi ⎞ r ∂2 i - ∂ξ2 Rn e -tG1(ξ) cos tG2(ξ)1 cos x·ξ dξ⎠. Подынтегральная функция последнего поверхностного интеграла, как мы видели выше, по модулю не превосходит |P (ξ)|e-tG1(ξ), значит, модуль указанного интеграла не превосходит Отсюда e-CtR2 r |ξ|=R |P (ξ)|dSξ 0. R→∞ -→ r x2 i E1(x, t) = - ∂2 i ∂ξ2 e-tG1(ξ) cos tG2(ξ)1 cos x·ξ dξ. |ξ|<R i Выполняя дифференцирование в подынтегральной функции, мы видим, что ее модуль не превосходит |P (ξ)|e-tG1(ξ) (вообще говоря, с другим полиномом P ), т. е. функция x2E1(x, t) ограничена в Rn. Повторяя интегрирование по частям достаточное количество раз и учитывая, что ∂ l ∂ξl e-tG1(ξ) cos tG2(ξ) i 1 |P (ξ)|e-tG1(ξ) (2.24) 64 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ СТАРШИМИ ЧЛЕНАМИ i l для любого l ∈ N, причем коэффициенты полинома P зависят только от l, t и коэффициентов уравнения (2.20), получаем ограниченность функции xl E1(x, t) для любого i ∈ 1, n, а значит, и ограниченность функции | x| E1(x, t). Ограниченность функции |x|lE2(x, t) доказывается точно так же. Лемма 2.7.1 доказана. Таким образом, в Rn × (0, +∞) определена функция r u(x, t) d=ef 1 (2π)n Rn E(x - ξ, t)u0(ξ)dξ. (2.25) Используя представления (2.22), (2.23) и применяя к ним ту же процедуру, которая в лемме 2.7.1 применена к интегралу (2.21), получаем с учетом того, что оценка (2.24) остается верной и для ∂ l функций ξ2e-tG1(ξ) cos tG (ξ)1 1, , k = n, что утверждение леммы 2.7.1 справедливо и для i ∂ξl k 2 2 функций ∂E , ∂ E . Это означает, что функцию (2.25) можно дифференцировать под знаком интеk ∂t ∂x2 грала. Тем самым, поскольку функция E(x, t) удовлетворяет уравнению (2.20), доказана Теорема 2.7.1. Пусть оператор -L является сильно эллиптическим в Rn. Тогда функция (2.25) удовлетворяет (в классическом смысле) уравнению (2.20) в Rn ×(0, +∞). Замечание 2.7.1. То, что функция (2.25) удовлетворяет задаче (2.20), (1.4) в смысле обобщенных функций, является известным фактом (см., например, [15]). Новым в теореме 2.7.1 является только то, что это решение является классическим в Rn ×(0, +∞). Чтобы установить единственность этого решения, исследуем согласно [15] вещественную часть символа эллиптического оператора L, содержащегося в уравнении (2.20). Указанный символ P(z1,..., zn) d=ef P(z) d=ef P(σ + iτ ) d=ef P(σ1 + iτ1,..., σn + iτn) равен n z2 '\" - n '\" akj e-ihkj zj = n '\" (τ 2 - σ2 - 2iσk τk ) n '\" akj e-ihkj zj = k=1 n k j=1 k k k=1 n j=1 = '\"(τ 2 - σ2 - 2iσk τk ) '\" akj ehkj τj -ihkj σj = k k k=1 j=1 n ⎛ n n ⎞ = '\"(τ 2 - σ2 - 2iσk τk ) ⎝'\" akj ehkj τj cos hkj σj - i '\" akj ehkj τj sin hkj σj ⎠ . Таким образом, k k k=1 n ⎡ j=1 n j=1 n ⎤ ReP(z) = '\" ⎣(τ 2 - σ2) '\" akj ehkj τj cos hkj σj - 2σk τk '\" akj ehkj τj sin hkj σj ⎦ . k k=1 k j=1 j=1 Поэтому функция Q(z, t0, t) d=ef e(t-t0)P(z) удовлетворяет следующей оценке: 4 |Q(z, t0, t)| e(t-t0)[C1(1+|σ| )+C2e C3|τ |], а отсюда следует (см. [15, гл. 2, Добавление 1]), что задача (2.20), (1.4) имеет не более одного решения в смысле обобщенных функций. Замечание 2.7.2. Вообще говоря, теорема о единственности решения задачи (2.20), (1.4) (в соответствующих пространствах обобщенных функций) справедлива для гораздо более широких классов начальных функций, нежели класс непрерывных ограниченных функций - в частности, для классов А. Н. Тихонова и их обобщений (см. [2], а также [46]). Здесь мы, однако, ограничиваемся рассмотрением случая непрерывных ограниченных начальных функций, поскольку исследуем близость решений указанной задачи и классических параболических задач. Изучим теперь поведение u(x, t) при t → ∞. Прежде всего докажем следующее утверждение: 2.7. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ НЕФАКТОРИЗУЕМОГО ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 65 Лемма 2.7.2. Пусть условия теоремы 2.7.1 выполнены. Тогда постоянная pk d=ef жительна для любого k ∈ 1, n. n ), akj полоj=1 Доказательство. Пусть k ∈ 1, n. Предположим, напротив, что n ), akj 0, и положим j=1 ξ1 = ··· = ξk-1 = ξk+1 = ··· = ξn = 0 в условии сильной эллиптичности оператора -L. Получим неравенство ⎛ ⎞ n ξ2 ⎜'\" akj + akk cos hkk ξk ⎟ Cξ2, k ⎜ ⎟ k ⎝j=1 ⎠ j/=k значит, для любого отличного от нуля ξk n n C '\" akj + akk cos hkk ξk + akk - akk = j=1 j/=k '\" akj + akk (cos hkk ξk - 1) akk (cos hkk ξk - 1). k,j=1 Выбирая теперь ξk достаточно малым по модулю (хотя и отличным от нуля), получаем противоречие с положительностью постоянной C. Лемма 2.7.2 доказана. Теперь мы можем наряду с дифференциально-разностным параболическим уравнением (2.20) рассмотреть дифференциальное параболическое уравнение n ∂u = '\" pk ∂t k=1 ∂2u k ∂x2 . (2.26) Классическое ограниченное решение задачи (2.26), (1.4) (которое существует и единственно в силу непрерывности и ограниченности функции u0) будем обозначать через v(x, t). Справедливо следующее утверждение: Теорема 2.7.2. В условиях теоремы 2.7.1 - lim [u(x, t) v(x, t)] = 0 t→∞ для любого x ∈ Rn. Доказательство. Пусть x ∈ Rn. Сделав в (2.25) замену переменных x - ξk √ = ηk , k = 1, n, получаем, что u(x, t) = √t n r π √ E(2 2 tη, t)u0(x - √ 2 t tη)dη. Учитывая, что Rn n √ n r √ t 2 E(2 tη, t) = t 2 Rn e-tG1(ξ) cos[2 tξ ·η - tG2(ξ)]dξ = r ( z1 zn z1 n = e-tG1 Rn а √ ,..., √ t t cos 2z ·η - tG2 z √t,..., √t n 2 dz, v(x, t) = √ 1 r n √ u0(ξ)e - ), (xk -ξk ) k=1 4pkt dξ (2 πt)n k=1 pk Rn (как решение задачи Коши для дифференциального параболического уравнения с постоянными коэффициентами), получаем следующее представление оцениваемой разности: u(x, t) - v(x, t) = 66 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ СТАРШИМИ ЧЛЕНАМИ 1 n r √ r tG ( z1 ,..., zn z1 zn t = π u0(x - 2 Rn tη) e- 1 √t Rn n √ cos 2 2z · η - tG2 √t,..., √t dzdη - - √ 1 r n u0(ξ)e - ), (xk -ξk ) k=1 4pkt dξ = (2 πt)n √pk Rn k=1 1 n r √ ⎛r ( z1 n tG1 √ ,..., z z1 zn = π u0(x - 2 Rn ⎞ tη) ⎝ e- Rn t √t cos 2z · η - tG2 √t,..., √t dz - n n η2 π 2 - n e √pk k=1 - ), pk k=1 k ⎟ ⎟ dη. (2.27) ⎠ Теперь докажем две следующие леммы. Лемма 2.7.3. n n η2 r ( z1 zn z1 n 2 - ), pk t→∞ e-tG1 Rn t √ ,..., √ t cos 2z ·η - tG2 z √t,..., √t π dz - n e √pk k=1 k=1 k -→ 0 равномерно относительно η ∈ Rn. Доказательство. Рассмотрим интеграл n k r - ), pk z2 e k=1 r cos 2z ·ηdz = n 2 n e-pk zk cos / n \ 2 '\" zk ηk dz. Rn Rn k=1 n k=1 n Функция cos 2 ), zk ηk k=1 является конечной суммой слагаемых вида fk (2zk ηk ), где функция fk k=1 есть либо синус, либо косинус, причем только одно из этих слагаемых, а именно n cos 2zk ηk , не k=1 содержит ни одного синуса. Следовательно, последний интеграл представляет собой конечную сумму слагаемых вида +∞ +∞ n n +∞ n e-pk z r r ... -∞ -∞ 2 k fk (2zk ηk )dz1 ... dzn = k=1 n r k=1 -∞ e-pk τ 2 fk (2ηk τ )dτ, n р аз из которых только одно, а именно n +∞ k n r e-pk τ 2 cos 2η τ dτ, k=1 -∞ отлично от нуля; все остальные слагаемые обращаются в нуль, поскольку каждое из них содержит хотя бы один сомножитель вида n +∞ k n r e-pk τ 2 sin 2η τ dτ = 0. Таким образом, r n k - ), pk z2 k=1 -∞ r n +∞ 2 n n e η 2 k - pk e k=1 Rn cos 2z ·ηdz = 2n n k=1 0 e-pk τ cos 2ηk √ τ dτ = π 2 n , pk k=1 2.7. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ НЕФАКТОРИЗУЕМОГО ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 67 следовательно, для второго сомножителя подынтегральной функции внешнего интеграла в (2.27) имеет место следующее равенство: n n η2 r ( z1 zn z1 n 2 - ), pk e-tG1 √ ,..., √ cos 2z ·η - tG z √ ,..., π dz - e k = t t 2 √ t t Rn n √pk k=1 k=1 r / ( z1 zn z1 n n - ), pk z2 \ = e-tG1 √ ,..., √ cos 2z ·η - tG z √ ,..., - e k cos 2z η dz. (2.28) t t 2 √ t t Rn k=1 · Абсолютная величина интеграла (2.28) оценивается сверху суммой n r ( z1 zn r ), 2 r 2 r 2 e-tG1 √ ,..., √ - dz + e pk zk dz e-C|z| - min pk |z| ∞ dz < , t t Rn Rn k=1 Rn dz + e Rn k=1,n + поэтому интеграл (2.28) сходится абсолютно и равномерно относительно t ∈ R1 , η ∈ Rn. r r Зафиксируем произвольное положительное ε и разобьем (2.28) в сумму + d=ef I1,δ + I2,δ . |z|<δ |z| δ В силу только что доказанной равномерной сходимости найдется такое значение параметра δ, что o 1 n |I2,δ | < 2 для любых t ∈ R+ и η ∈ R . Зафиксируем это δ и рассмотрим интеграл I1,δ . Его подынтегральная функция равна n ⎛ k e - ), pk z2 -t n ), akj k z2 t cos ), hkjzj n √ + t 2 pk zk ⎞ z1 zn e k=1 n k,j=1 ⎝ ⎛ n ( n k=1 h z cos \ 2z · η - tG2 √t,..., √t - cos 2z · η⎠ = ⎞ z - ), pk z2 k = e k=1 ⎜ ), 2 k k=1 pk - ), akj cos j=1 kj j √ t z1 zn ⎟ ⎝e n ⎛ n n ( hkjzj cos 2z · η - tG2 √t,..., √t - cos 2z · η⎠ = ⎞ k - ), pk z2 k ), z2 ), akj - 1. cos √ t z1 zn = e k=1 ⎝ek=1 j=1 cos 2z · η - tG2 √t,..., √t - cos 2z · η⎠ = n ⎛ n n hkjzj ⎞ k - ), pk z2 k 2 t e 2 ), z2 ), akj sin2 √ z1 zn = e k=1 k=1 ⎝ j=1 cos 2z · η - tG2 √t,..., √t - cos 2z · η⎠ = n ⎛ n n hkjzj ⎞ k - ), pk z2 k 2 t e 2 ), z2 ), akj sin2 √ z1 zn = e k=1 k=1 ⎝ j=1 cos 2z · η cos tG2 √t,..., √t - cos 2z · η⎠ + n n n hkjzj k - ), pk z2 k 2 t 2. ), z2 ), akj sin2 √ z1 zn + e k=1 e k=1 j=1 sin 2z · η sin tG2 √ ,..., √ = A (η, t; z)+ A (η, t; z), где n ⎛ n n 1 2 t t hkjzj ⎞ k - ), pk z2 k 2 t 2 ), z2 ), akj sin2 √ z1 zn A1(η, t; z) = e k=1 n cos 2z · η ⎝e n k=1 hkjzj j=1 cos tG2 √t,..., √t - 1⎠ , k z2 - ), pk z2 2 ), k akj 2 sin2 √ t z1 zn A2(η, t; z) = e k=1 e k,j=1 sin 2z ·η sin tG2 √t,..., √t . Вначале оценим второе из этих слагаемых. n r r 2 ), |akj |z2 A2(η, t; z)dz e k,j=1 k sin tG2 z1 zn √ ,..., dz |z|<δ |z|<δ t √t 68 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ СТАРШИМИ ЧЛЕНАМИ 2δ2 ⎛ n ), |akj | r n ⎞ h z e k,j=1 sin ⎝ '\" |akj |z2 sin kj j dz 2δ2 |z|<δ n ), |akj | r n k,j=1 k √ ⎠ t h z e k,j=1 |akj |z2 sin '\" k √ kj j dz t |z|<δ k,j=1 n δ2 n '\" a e | kj | k,j=1 2δ2 ), k,j=1 |akj | r |z|<δ n sin dz hkj zj √ t δ3 n 2 ), 2 '\" 2δ |akj | r def C0δn+3eC1δ √t k,j=1 |akj ||hkj |e k,j=1 |z|<δ dz = √t , где постоянные C0, C1 зависят только от коэффициентов уравнения (2.20). 2 Обозначив 16C0 δ 2n+6 e2C1δ2 через T , получаем, что для любых t > T и η ∈ Rn ε2 0 r 0 ε A2(η, t; z)dz . 4 Осталось оценить |z|<δ n hkjzj ⎛ n ⎞ r r A1(η, t; z)dz 2 ), e k,j=1 k kj a z2 sin2 √ 2 t cos ⎝ '\" k akj z2 sin hkj zj √ ⎠ - 1 dz. (2.29) |z|<δ |z|<δ k,j=1 t nΓ ( n ) Не ограничивая общности, будем считать δ настолько большим, что γ d=ef Поскольку в области интегрирования интеграла (2.29) n 2 24π 2 δn ε < 1. n δ4 ), akj h2 n hkj zj n h2 2 | k,j=1 | kj 2 '\" k,j=1 k akj z2 sin2 √ 2δ2 2 t '\" k,j=1 |akj | kj zj 4t 2t , найдется такое T1 > 0, что при t > T1 значение экспоненты в (2.29) принадлежит (1 - γ, 1+ γ). Поскольку в области интегрирования интеграла (2.29) n hkj zj n hkj zj n δ3 ), | k,j=1 akj hkj | '\" k,j=1 k akj z2 sin √ δ2 t '\" k,j=1 |akj | | √ | t √t , найдется такое T2 > 0, что при t > T2 значение косинуса в (2.29) принадлежит (1 - γ, 1+ γ). Таким образом, при t > max{T1, T2} n 2 ), 1 - 3γ (1 - γ)2 < e k,j=1 k akj z2 sin2 hkjzj ⎛ n √ cos⎝ '\" akj 2 t k,j=1 k z2 sin ⎞ hkj zj ⎠ √ < (1 + γ)2 1+ 3γ, t значит, подынтегральная функция в (2.29) не превосходит 3γ, а сам интеграл (2.29) не превосходит n 2π 2 δn 3γ ( n ) = o ε , следовательно, |I1,δ | для любых t > max{T0, T1, T2}, η ∈ Rn. nΓ 2 4 2 Это и завершает доказательство леммы 2.7.3, поскольку положительное ε выбиралось произвольно. 2.7. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ НЕФАКТОРИЗУЕМОГО ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 69 Лемма 2.7.4. Существует такое положительное M, что r ( z z z1 n e-tG1 √ ,..., √ cos 2z ·η - tG z √ ,..., M dz < 1 n t t Rn для любых t > 1,η ∈ Rn. 2 t √t |η| n+1 Доказательство. Пусть t > 1,i ∈ 1, n. Представим оцениваемый интеграл в виде суммы r ( z1 zn e-tG1 √ ,..., √ z1 zn cos tG t Rn r ( z1 t zn 2 √t,..., √t cos 2z ·η dz + и оценим + e-tG1 Rn √ ,..., √ t t sin tG2 z1 ,..., zn √t √t sin 2z ·η dz d=ef f1(t, η)+ f2(t, η) r tG1( z1 ,..., zn z1 zn t t ηif1(t, η) = ηi e- Rn √ √ cos tG2 √t,..., √t cos 2z · η dz. Последнее выражение равно 1 r ( z1 zn lim 2 R→∞ |z|<R ⎡ e-tG1 √ ,..., √ t t cos tG2 z1 ,..., zn √t √t ∂ ∂zi sin 2z · η dz = 1 r ( z1 zn = lim ⎢ e-tG1 √ ,..., √ z1 zn cos tG t t 2 R→∞ ⎣ |z|=R 2 √t,..., √t sin 2z · η cos(z, ei) dSz - ⎤ r ∂ ( z1 zn e-tG1 √ ,..., √ cos tG z1 ,..., zn ⎦ sin 2z · η dz⎥ . (2.30) - |z|<R ∂zi t t 2 √ √ t t Поверхностный интеграл в (2.30) по модулю не превосходит r ( z1 zn r 2 2 R→∞ |z|=R e-tG1 √ ,..., √ t t dSz |z|=R e-C|z| dSz = const Rn-1e-CR -→ 0, следовательно, (2.30) равно 1 r ∂ ( z1 zn e-tG1 √ ,..., √ t t cos tG z1 ,..., zn sin 2z · η dz def - 2 ∂zi Rn r 2 √t √t = ⎛ Вычислим d=ef 1 - 2 g(z; t) sin 2z · η dz. (2.31) Rn n ∂ - ), akj z2 cos hkjzj n ⎞ √ h z Получаем e g(z; t) = ∂zi ⎝ k k,j=1 . t cos '\" k,j=1 k akj z2 sin kj j √t ⎠ ⎛ n hij zj n akihki ⎞ hkizi n - ), k akj z2 cos hkjzj n √t hkj zj ⎝-2zi '\" aij cos √ j=1 t k + '\" z2 √ k=1 t sin √t ⎠ e k,j=1 k cos'\" akj z2 sin √ - k,j=1 t n - ), akj z2 cos hkjzj ⎛ n √ h z n a h h z ⎞ n h z k - e k,j=1 t ⎝2zi z , '\" aij sin ij j √ + '\" 2 ki ki k √ cos ki i √ ⎠ sin '\" k akj z2 sin kj j √ j=1 t k=1 t t k,j=1 t 70 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ СТАРШИМИ ЧЛЕНАМИ что по модулю не превосходит ⎛ n n ⎞ 2 ⎝4|zi| '\" |aij | +2 '\" |akihki|z2⎠ e-C|z| j=1 k k=1 (поскольку t > 1), значит, интеграл (2.31) сходится абсолютно и равномерно относительно t > 1, η ∈ Rn, следовательно, ηif1(t, η) есть ограниченная на множестве {η ∈ Rn,t > 1} функция. Далее 2 ηi r η i f1(t, η) = - 2 Rn ⎛ g(z; t) sin 2z ·η dz = ⎞ 1 r = lim ⎜ r g(z; t) cos 2z ·η cos(z, ei)dSz - ∂ g(z; t) cos 2z ·η dz⎟. (2.32) 4 R→∞ ⎝ |z|=R |z|<R ∂zi ⎠ Модуль подынтегральной функции последнего поверхностного интеграла не превосходит |g(z; t)|; из полученной выше оценки этой функции следует, что модуль указанного интеграла не превос- - ходит const (1 + R)Rne-CR2 . Поэтому выражение (2.32) равно 1 r 4 Rn ∂ ∂zi g(z; t) cos 2z ·η dz. 2 i Дифференцируя g(z; t) и учитывая, что t > 1, получаем, что абсолютная величина последней подынтегральной функции не превосходит P (|z|)e-C|z| , где P - некоторый полином с положительными коэффициентами. Поэтому функция η2f1(t, η) ограничена на множестве {η ∈ Rn,t > 1}. Повторяя интегрирование по частям достаточное количество раз, получаем, что функция ηm i f1(t, η) ограничена на множестве {η ∈ Rn ,t > 1} для любых i = 1, n, m ∈ N; при этом учи- 2 тываем, что из вида функции g и того, что t > 1, следует, что подынтегральная функция будет всегда оцениваться по модулю сверху функцией P (|z|)e-C|z| , где P - некоторый полином (вообще говоря, свой для каждого m, i) с положительными коэффициентами. i Аналогично доказывается ограниченность функции ηmf2(t, η) на множестве {η ∈ Rn,t > 1} для ∈ любых i = 1, n, m N. n Поскольку |η|n+1 const '\" |ηi|n+1, лемма 2.7.4 доказана. i=1 Теперь мы можем вернуться к доказательству теоремы 2.7.2. Для этого зададимся произвольным положительным ε и разобьем (2.27) в сумму ⎛ ⎞ 1 n r r ⎜ ⎟ def π ⎝ |η|<R + ⎠ |η| R = I3,R(t)+ I4,R(t), где R - положительный параметр. Подынтегральная функция в (2.27) не превосходит ⎛ ⎞ n n η2 r tG1( z1 ,..., zn z1 zn π 2 - ), pk sup |u0| ⎜ e- √ √ cos 2z ·η - tG2 √ ,..., √ dz + e k ⎟, ⎜ t t Rn ⎝ Rn n t t √pk k=1 k=1 ⎟ ⎠ значит, в силу леммы 2.7.4 (считаем, без ограничения общности, что t > 1) подынтегральная ⎛ n η2 ⎞ k 1 - ), pk 4,R ⎝ функция в I (t) ограничена по модулю сверху функцией const + e |η|n+1 k=1 ⎠. Поскольку n 2 все функции 1 ε |η|n+1 ), ηk и e k=1 - pk интегрируемы на множестве {|η| > 1} , существует такое R > 1, что 2 |I4,R(t)| < πn для любого t > 1. Зафиксируем это R и рассмотрим I3,R(t). В силу леммы 2.7.3 2.7. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ НЕФАКТОРИЗУЕМОГО ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 71 существует такое T ∗ > 1, что для любых t > T ∗ и η ∈ Rn, n n η2 n r ( z1 zn z1 n 2 ), k - p nπ 2 Γ ( n ) ε e-tG1 √ ,..., √ cos 2z ·η - tG z √ ,..., π dz - e k < 2 . t t n R Тогда 2 t √t n n √pk k=1 k=1 4Rn sup |u0| Rn для любого t > T ∗. |I3,R(t)| 2 nπ 2 Γ ( n ) ε 4Rn sup |u0| Rn r |η|<R 2 u0(x - √ tη) dη πn ε 2 - Таким образом, найдено такое положительное T ∗, что модуль выражения (2.27) не превосходит ε для любого t > T ∗. Поскольку положительное ε выбиралось произвольно, это означает, что lim [u(x, t) v(x, t)] = 0. Это и завершает в силу произвольности выбора x из Rn доказательство t→∞ теоремы 2.7.2. Отсюда вытекает Следствие 2.7.1. Пусть x ∈ Rn,l ∈ (-∞, +∞). Тогда n n n r 2π 2 √pi 1 lim u(x, t) = l ⇐⇒ lim u0(x) dx = i=1 l, t→∞ ( x2 R→∞ Rn x2 BR(p1,...,pn) 2 nΓ( n ) где BR(p1,..., pn) = x ∈ Rn 1 + ··· + n < R . p1 pn Доказательство заключается в непосредственном применении теоремы 2.7.2 и классической теоремы о стабилизации классического ограниченного решения задачи (2.26), (1.4) (см., например, [30]). В случае одной пространственной переменной (единственную положительную константу p1 переобозначим через p) справедливо и следующее утверждение: - Следствие 2.7.2. lim [u(x, t) w(x, pt)] = 0 для любого вещественного x, где w(x, t) обознаt→∞ чает классическое ограниченное решение задачи Коши для уравнения условием (1.4). ∂u = Δu с начальным ∂t Для доказательства достаточно рассмотреть интегральное представление функции w(x, pt) и убедиться в том, что оно совпадает с интегральным представлением функции v(x, t). Замечание 2.7.3. Отметим, что, хотя теорема 2.7.2 и следствие 2.7.1 справедливы при одних и тех же условиях, утверждение теоремы (как утверждение о близости решений) является более сильным в следующем смысле: в отличие от утверждения следствия (т. е. теоремы о стабилизации) оно дает информацию о поведении решения также и в том случае, когда (необходимое и достаточное) условие стабилизации не выполнено. Аналогично, при n = 1 следствие 2.7.2 является более сильным (в том же смысле), чем следствие 2.7.1. Распространим теперь исследование на более общий случай однородного эллиптического дифференциально-разностного оператора, содержащего и смешанные производные второго порядка. Мы будем подробно останавливаться лишь на тех моментах, которые существенно отличаются от уже рассмотренного модельного случая. Итак, вместо (2.20) рассмотрим следующее уравнение: ∂u = Lhu d=ef ∂t n '\" k,j,m=1 akjm ∂2u ∂xk ∂xj (x + hkjmem, t), (2.33) 72 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ СТАРШИМИ ЧЛЕНАМИ Здесь, как и выше, коэффициенты akjm, hkjm вещественны, а оператор -Lh является сильно эллиптическим, т. е. существует такое Ch > 0, что G1(ξ) Ch|ξ|2 для любого ξ из Rn, где G 1 {2} (ξ) = n '\" akjmξk ξj cos1 sin hkjmξm. (2.34) k,j,m=1 × Тогда фундаментальное решение (2.21) корректно определено на Rn (0, +∞). Справедливо следующее утверждение: Теорема 2.7.3. Пусть оператор -Lh сильно эллиптичен в пространстве Rn, а функции G1, G2 заданы формулами (2.34). Тогда функция (2.25) удовлетворяет (в классическом смысле) уравнению (2.33) в полупространстве Rn ×(0, +∞) и является единственным решением (в смысле обобщенных функций) задачи (2.33), (1.4). Для доказательства мы прежде всего подставляем фундаментальное решение (2.21) с функциями G1(ξ), G2(ξ), заданными формулами (2.34), в уравнение (2.33). Учитывая, что sin hkjmξm sin[x · ξ - tG2(ξ)] - cos hkjmξm cos[x · ξ - tG2(ξ)] = = - cos[(x + hkjmem) · ξ - tG2(ξ)], получаем: = ∂E r ∂t - n e-tG1(ξ) '\" akjmξk ξj cos[(x + hkjmem ) · ξ -tG2(ξ)]dξ = Rn n = - '\" akjm k,j,m=1 r e-tG1(ξ)ξk ξj cos[(x + hkjmem) · ξ - tG2(ξ)]dξ. Далее k,j,m=1 Rn E ∂2 r - = ∂xk xj e-tG1(ξ)ξk ξj cos[x · ξ - tG2(ξ)]dξ. Rn Следовательно, функция E(x, t) удовлетворяет уравнению (2.33) в Rn × (0, +∞) (формальное дифференцирование под знаком интеграла законно, так как в силу сильной эллиптичности оператора -Lh все интегралы, полученные в результате, сходится абсолютно и равномерно относительно (x, t) ∈ Rn × [t0,T ] для любых 0< t0 < T < ∞). Лемма 2.7.1 для рассматриваемой функции E(x, t) доказывается точно так же, как и в модельном случае чистых вторых производных. Общий случай отличается лишь другими коэффициентами полиномов P (ξ), однако эти коэффициенты по-прежнему зависят только от l, t и коэффициентов уравнения (2.33). Доказательство единственности также совершенно аналогично модельному случаю. Теперь для исследования поведения решения при t → +∞ введем дифференциальный оператор L0 d=ef n '\" k,j,m=1 akjm ∂2 ∂xk ∂xj d=ef n '\" bkj k,j=1 ∂2 ∂xk ∂xj и докажем следующий аналог леммы 2.7.2: Лемма 2.7.5. Если оператор -Lh является сильно эллиптическим в Rn, то оператор -L0 является эллиптическим. Доказательство. Предположим, напротив, что для любого достаточно малого положительного C n = найдется такое ξ из Rn, что L0(ξ) def '\" bkj k,j=1 ξk ξj < C|ξ|2. Тогда в силу однородности полинома L0(ξ) справедливо и более сильное утверждение: для любых достаточно малых положительных C, r найдется такое ξ из Rn, что |ξ| = r и L0(ξ) < C|ξ|2. Действительно, зафиксируем произвольные положительные C и r и возьмем такое η из Rn, что L0(η) < C|η|2. Если η = 0, то непрерывная функция L0(ξ) строго отрицательна в начале координат, следовательно, она строго отрицательна и в некотором шаре с центром в начале координат, т. е. 2.7. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ НЕФАКТОРИЗУЕМОГО ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 73 / последнее неравенство выполняется и с некоторым η = 0. Поэтому мы можем, не ограничивая ηj общности, считать, что η /= 0. Тогда мы можем определить ξj d=ef r |η| ,j = 1, n. Получим, что r2 L0(ξ) = r n 2 '\" bkj ηk ηj < C |η|2 = C η1 2 r + ··· + ηn 2l r = C|ξ|2, |η|2 k,j=1 |η|2 |η| |η| причем |ξ| = r. С другой стороны, G1(ξ) можно представить в виде n '\" k,j,m=1 akjmξk ξj 1 - 2 sin2 hkjmξm = 2 n '\" k,j,m=1 akjmξk ξj - 2 n '\" k,j,m=1 akjmξk ξj sin2 hkjmξm = 2 n n n hkjmξm = '\" ξk ξj '\" akjm - 2 '\" akjmξk ξj sin2 = 2 k,j=1 n m=1 k,j,m=1 n hkjmξm = '\" bkj ξk ξj - 2 '\" akjmξk ξj sin2 2 d=ef L0(ξ)+ R0,h(ξ), k,j=1 k,j,m=1 1 n 2 2 причем |R0,h(ξ)| ), 2 k,j,m=1 |akjm||ξk ||ξj |ξmhkjm. Таким образом, для любых достаточно малых положительных C, r найдется такое ξ из Rn, что |ξ| = r и G1(ξ) < C|ξ|2 + n 1 '\" 2 k,j,m=1 kjm |akjm|h2 m |ξk ||ξj |ξ2 , следовательно, для любых достаточно малых положительных C и r найдется такое ξ из Rn, что |ξ| = r и G1(ξ) < Cr2 + C0,hr4, где C0,h зависит только от коэффициентов akjm и hkjm уравнения (2.33). Однако для того же самого ξ (как и для любого ξ из Rn) G1(ξ) Ch|ξ|2 = Chr2 вследствие сильной эллиптичности оператора Lh. Тем самым для любых достаточно малых положительных C и r найдется такое ξ из Rn, что Chr2 G1(ξ) < Cr2 + C0,hr4, т. е. Ch < C + C0,hr2. Отсюда, выбирая положительные C и r достаточно малыми, получаем противоречие. Лемма 2.7.5 доказана. Итак, ∂u ∂t = L0u (2.35) является параболическим дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, следовательно, задача (2.35), (1.4) имеет единственное классическое ограниченное решение; будем обозначать его через v(x, t). Справедливо следующее утверждение: Теорема 2.7.4. В условиях теоремы 2.7.3 - lim [u(x, t) v(x, t)] = 0 t→∞ для любого x ∈ Rn. Доказательство проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 2.7.2. Нужно лишь доказать для случая, когда функции G1(ξ), G2(ξ) заданы формулами (2.34), следующие аналоги лемм 2.7.3 и 2.7.4 соответственно: Лемма 2.7.6. r ⎛ ( z1 zn z z n - ), bkj zk zj ⎞ t→∞ ⎝e-tG1 √ ,..., √ cos 2z ·η - tG - e 1 ,..., n k,j=1 cos 2z ·η ⎠ dz -→ 0 t t 2 √ √ t t Rn 74 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ СТАРШИМИ ЧЛЕНАМИ равномерно относительно η ∈ Rn. Лемма 2.7.7. Существует такое положительное M, что r ( z z z1 n e-tG1 √ ,..., √ cos 2z ·η - tG z √ ,..., M dz 1 n t t Rn для любых t > 1,η ∈ Rn. 2 t √t |η| n+1 Доказательство леммы 2.7.6. Абсолютная величина рассматриваемого интеграла оценивается сверху суммой r ( z1 zn n r ), bkj zk zj 2 2 e-tG1 Rn √ ,..., √ t t dz + Rn - e k,j=1 r dz = Rn r e-Ch|z| dz + Rn e-C0|z| dz < ∞, где через C0 обозначена константа эллиптичности оператора L0; значит, сам интеграл сходится абсолютно и равномерно относительно t > 0,η ∈ Rn. Зафиксируем произвольное положительное ε r r и разобьем этот интеграл в сумму + d=ef I1,δ + I2,δ , где δ - положительный параметр. В |z|<δ |z| δ ε силу равномерной сходимости интеграла найдется такое δ, что |I2,δ | < 2 для любого положительного t и любого η из Rn. Зафиксируем это δ и рассмотрим интеграл I1,δ . Его подынтегральная функция равна n - ), e k,j,m=1 akjmzk zj cos hkjmzm √t cos 2z ·η - tG2 z1 ,..., zn √t √t n - e - ), k,j=1 bkj zk zj cos 2z ·η = n - ), = e k,j=1 zk zj n ), akjm cos m=1 hkjmzm √t cos 2z ·η - tG2 z1 ,..., zn √t √t n - e - ), k,j=1 bkj zk zj cos 2z ·η = ⎛ - = e-L0(z) ⎝e n ), k,j=1 zk zj f n ), akjm cos m=1 hkjmzm √ t \ -bkj cos 2z ·η - tG2 z1 ,..., zn √t √t ⎞ - cos 2z ·η⎠ , что можно преобразовать к виду ⎛ - e-L0(z) ⎝e n ), k,j=1 zk zj n ), akjm(cos m=1 hkjmzm √ t -1 cos 2z ·η - tG2 z1 ,..., zn √t √t ⎞ - cos 2z ·η⎠ = ⎛ 2 = e-L0(z) ⎝e n ), k,j=1 zk zj n ), akjm sin2 m=1 hkjmzm √ 2 t cos 2z ·η cos tG2 z1 ,..., zn √t √t ⎞ - cos 2z ·η⎠ + n 2 ), zk zj n ), akjm sin2 hkjmzm √ z z + e-L0(z)e k,j=1 m=1 2 t sin 2z η sin tG 1 ,..., n d=ef A (η, t; z)+A (η, t; z). · 2 √t √t 1 2 Дальнейшее доказательство полностью аналогично дальнейшему доказательству леммы 2.7.3. Доказательство леммы 2.7.7. Пусть t > 1,i ∈ 1, n. Повторим рассуждения доказательства леммы (2.7.4) вплоть до формулы (2.31), в которой теперь в качестве функции g(z; t) возьмем ⎛ n ∂ - ), e k,j,m=1 akjmzk zj cos hkjmzm √ t cos n '\" akjmzk zj sin ⎞ hkjmzm ⎠ √ . ∂zi ⎝ k,j,m=1 t Выполняя дифференцирование и учитывая, что t > 1, получаем (так же, как и при доказательстве леммы 2.7.4) неравенство 2 |g(z; t)| |P (z)|e-Ch|z| , 3.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ 75 где P - полином с коэффициентами, зависящими только от коэффициентов akjm, hkjm уравнения (2.33). Дальнейшее доказательство полностью аналогично дальнейшему доказательству леммы 2.7.4. Замечание 2.7.4. Для общего случая уравнения (2.33) также справедлива теорема о стабилизации решения, аналогичная следствию 2.7.1 для уравнения (2.20). При этом области интегрирования начальной функции, фигурирующие в (необходимом и достаточном) условии стабилизации решения, определяются коэффициентами bkj параболического дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (2.35) (см. [30]). ГЛАВА 3 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В этой главе нелокальными членами уравнения являются специальные операторы обобщенного сдвига, введенные в [47], которые играют роль операторов сдвига в теории уравнений, содержащих оператор Бесселя. Указанные операторы обобщенного сдвига являются интегральными, поэтому и исследуемые уравнения с необходимостью являются не дифференциально-разностными, а интегродифференциальными. Таким образом, интерес к указанной тематике обусловлен как стремлением обобщить модели [121, 125-129] на сингулярный случай, так и сугубо теоретическими аспектами перехода от дифференциально-разностного уравнения к интегродифференциальному. 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ В этой главе будем использовать следующие обозначения: 1 ∂ ∂ ∂2 2ν +1 ∂ y = B def y2ν+1 ∂y - оператор Бесселя по переменной y. y2ν+1 ∂y π r = ∂y2 + y ∂y T h y f (y) d=ef Γ(ν + 1) 2 √π Γ(ν + 1 ) 0 f y2 + h2 - 2yh cos θ sin2ν θdθ - соответствующий оператор обобщенного сдвига. 2ν Γ(ν + 1) ν jν (y) d=ef Jν (y) y - нормированная (в равномерной норме) функция Бесселя первого рода. - Мы исследуем случай положительного параметра при особенности оператора Бесселя, поэтому считаем, что ν > 1 . 2 Рассматривается следующая задача: s x ∂u = Bxu + '\" ak T hk u, x > 0,t > 0; (3.1) ∂t k=1 ∂u u ∂x x=0 = 0, t > 0; (3.2) t=0 = u0(x), x > 0. (3.3) Здесь u0 - непрерывная и ограниченная функция, a, h ∈ Rs. Отметим, что решение задачи (3.1)-(3.3) определено только в четверти плоскости (0, +∞) × (0, +∞), в то время как для применения оператора обобщенного сдвига требуется, вообще говоря, чтобы функция была определена и при отрицательных значениях переменной x; в этом случае используется четное по x продолжение решения - такое продолжение возможно в силу условия четности (3.2). Иными словами, задачу (3.1)-(3.3) можно рассматривать на всей полуплоскости (-∞, 0) × (0, +∞), заменяя условие (3.2) требованием четности решения по переменной x. Для 76 ГЛАВА 3. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ дифференциальных параболических уравнений с оператором Бесселя такие задачи корректны (см., например, [43-45, 48-51, 53] и имеющуюся там библиографию). 2. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ Определим на (0, +∞)×(0, +∞) следующую функцию: s l E(x, t) d=ef Ea,h(x, t) d=ef Поскольку |jν (z)| 1, r∞ ξ2ν+1e 0 s -t ξ2- ), ak jν (hk ξ) k=1 jν (xξ)dξ. (3.4) s s ), |ak |t |E(x, t)| ek=1 r∞ 2 ξ2ν+1e-tξ dξ = ), ek=1 |ak |t r∞ zν e-z dz = Γ(ν + 1)e ), k=1 |ak |t . 2tν+1 0 0 2tν+1 Таким образом, для любых t0,T ∈ (0, +∞) интеграл (3.4) сходится абсолютно и равномерно по (x, t) ∈ [0, +∞) × [t0,T ], следовательно, E(x, t) определена корректно на [0, +∞) × (0, +∞). Продифференцируем (формально) E под знаком интеграла: s l E ∂ r∞ = ∂t 0 ξ2ν+1 s '\" ak jν k=1 (hk l ξ) - ξ2 jν (xξ)e -t ξ2- ), ak jν (hk ξ) k=1 dξ. x Поскольку T y jν (ax) = jν (ax)jν (ay) (см., например, [41, с. 19]), r∞ s s t ξ2 ), l r∞ s 2 ), l a j (h ξ) E ∂ = ξ2ν+1 '\" a T hk - - k=1 a j (h ξ) 2ν+3 -t ξ - ν ∂t 0 k=1 k x jν (xξ)e k ν k s dξ - ξ 0 l jν (xξ)e k k=1 k dξ = s r∞ -t ξ2- ), ak jν (hk ξ) x = '\" ak T hk E- ξ2ν+3jν (xξ)e k=1 dξ. k=1 0 Далее Bxjν (xξ) = -ξ2jν (xξ) (см., например, [41, с. 18]), значит, s l BxE = - r∞ ξ2ν+3jν (xξ)e 0 -t ξ2- ), ak jν (hk ξ) k=1 dξ. Итак, формально E(x, t) удовлетворяет уравнению (3.1). При этом s ), |ak |t Γ(ν + 2)ek=1 BxE r∞ 2tν+2 , t ξ2 s l ), a j (h ξ) hk 2ν+1 hk - - k ν k Tx E ξ Tx jν (xξ) e k=1 dξ 0 ∞ s l r t ξ2 ), s ), ak t a j (h ξ) | | k=1 следовательно, ξ2ν+1e- 0 - k ν k k=1 s dξ Γ(ν + 1)e 2tν+1 , ∂E ), |ak |t ek=1 Γ(ν +1) Γ(ν +2) + , ∂t 2 tν+1 tν+2 т. е. формальное дифференцирование и обобщенный сдвиг под знаком интеграла законны во всех членах уравнения (3.1), поэтому функция (3.4) удовлетворяет (в классическом смысле) уравнению (3.1) на (0, +∞) × (0, +∞). 3.3. ОБОБЩЕННАЯ СВЕРТКА ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМИ ФУНКЦИЯМИ 77 Назовем E(x, t) фундаментальным решением уравнения (3.1). Правомерность этого термина будет обоснована ниже - мы покажем, что обобщенная свертка (см., [41, §1.8]) Ea,h с ограниченной начальной функцией на начальной полуоси обращается в саму начальную функцию. 3. ОБОБЩЕННАЯ СВЕРТКА ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМИ ФУНКЦИЯМИ Оценим поведение E(x, t) при x →∞ (при фиксированном положительном t). Для этого введем 1 функцию gν (z) d=ef zν Jν (z). Тогда (см., например, [67, с. 333]), ν z gI (z) = gν ν+1 -1(z), т. е. gI (z) = ν+1 zgν (z), а значит, gI (az) = a2zgν (az). Поэтому r∞ 2 s l 1 2ν Γ(ν + 1) E(x, t) = 0 z2ν+1 -t z - ), ak jν (hk z) e k=1 Jν (xz) (xz)ν dz = r∞ s l r∞ s l 1 -t z2- ), ak jν (hk z) 1 -t z2- ), ak jν (hk z) = x2ν 0 (xz)ν ze k=1 Jν (xz)dz = x2ν+2 e 0 k=1 x2zgν (xz)dz = r∞ s l ⎡ s l z=+∞ 1 -t z2- ), ak jν (hk z) 1 -t z2- ), ak jν (hk z) = x2ν+2 e 0 s k=1 l gI ν+1(xz)dz = x2ν+2 s ⎣gν+1(xz)e l ⎤ k=1 + z=0 r∞ + t e -t z2- ), ak jν (hk z) k=1 k 2z + '\" ak h2 zjν+1(hk z) gν+1(xz)dz⎦ = 0 k=1 r∞ s l s l t = x2ν+4 0 -t z2- ), ak jν (hk z) e k=1 2+ '\" k=1 k ak h2 jν+1(hk z) x2zgν+1(xz)dz = r∞ s l s l g t = x2ν+4 0 -t z2- ), ak jν (hk z) e k=1 2+ '\" k=1 k ak h2 jν+1(hk z) I ν+2 (xz)dz. Последнее выражение преобразуем к виду ⎡ s l 2 s l z=+∞ t '\" 2 -t z - ), ak jν (hk z) x2ν+4 ⎣gν+2(xz) 2+ k=1 ak hk jν+1(hk z) e k=1 - z=0 r∞⎛ s l s l⎞I ⎤ - ⎝e 0 -t z2- ), ak jν (hk z) k=1 2+ '\" k=1 k ak h2 jν+1(hk z) ⎠ gν+2(xz)dz⎦ = r∞ s l ⎛ s l2 t = x2ν+4 0 s -t z2- ), ak jν (hk z) e k=1 ⎝t \ 2+ '\" k=1 k ak h2 jν+1(hk z) z + k + '\" ak h4 zjν+2(hk z) gν+2(xz)dz = k=1 r∞ s l ⎛ s l2 t = x2ν+6 0 s -t z2- ), ak jν (hk z) e k=1 ⎝t \ 2+ '\" k=1 k ak h2 jν+1(hk z) + k + '\" ak h4 jν+2(hk z) x2zgν+2(xz)dz = k=1 r∞ s l ⎛ s l2 t = x2ν+6 0 -t z2- ), ak jν (hk z) e k=1 ⎝t 2+ '\" k=1 k ak h2 jν+1(hk z) + 78 ГЛАВА 3. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ s \ k + '\" ak h4 jν+2(hk z) g I ν+3 (xz)dz. k=1 Повторяя интегрирование по частям достаточное число раз, получаем (при фиксированном положительном t), что для любого натурального m s l r∞ x2ν+2mE(x, t) = 0 -t z2- ), ak jν (hk z) e k=1 fm(z)zgν+m(xz)dz с некоторой ограниченной fm. Отсюда s l т. е. r∞ x2ν+2mE(x, t) = 0 -t z2- ), ak jν (hk z) e k=1 fm(z)zxν+mzν+mJν+m(xz)dz, s l r∞ xν+mE(x, t) = 0 -t z2- ), ak jν (hk z) e k=1 fm(z)zν+m+1Jν+m(xz)dz = s l 1 1 r∞ -t z2- ), ak jν (hk z) = e 0 следовательно, k=1 x fm(z)√xzJν+m(xz)zm+ν+ 2 dz √ , s l r∞ 1 xν+m+ 2 E(x, t) = 0 1 zm+ν+ 2 e -t z2- ), ak jν (hk z) k=1 fm(z)f (xz)dz, где f (τ ) = √τ Jν+m(τ ) ∈ L∞(0, +∞) для любого m 1. Таким образом, в силу ограниченности функций f, fm и jν , а также произвольности натурального m доказана следующая Лемма 3.3.1. Пусть α > 0, t > 0, a, h ∈ Rm. Тогда lim x→∞ xαE(x, t) = 0. Отсюда в силу четности нормированной функции Бесселя и непрерывности оператора обобщенного сдвига (см., например, [41, с. 18-19]) следует, что функция r∞ ξ ξ2ν+1E(ξ, t)T xu0(ξ)dξ (3.5) 0 корректно определена на (0, +∞)×(0, +∞). x Теперь оценим поведение B E ,T hk E и ∂E на бесконечности: x ∂t ∞ s l r 2 1 2ν Γ(ν + 1) BxE(x, t) = - 0 z2ν+3 -t z - ), ak jν (hk z) e k=1 Jν (xz) (xz)ν dz = r∞ 2 s l r∞ 2 s l 1 = - xν 0 zν+3 -t z - ), ak jν (hk z) e k=1 1 Jν (xz)dz = - x2ν+2 0 -t z - ), ak jν (hk z) e k=1 z2x2zgν (xz)dz = r∞ 2 s l r∞⎛ 2 s l⎞I 1 = - x2ν+2 0 z2e -t z - ), ak jν (hk z) k=1 g I ν+1 2 1 (xz)dz = x2ν+2 0 ⎝z e -t z - ), ak jν (hk z) k=1 ⎠ gν+1(xz)dz. Повторяя, как и выше, интегрирование по частям достаточное число раз, получаем (при фиксированном положительном t), что для любого натурального m x2ν+2mBxE(x, t) представляет собой 3.3. ОБОБЩЕННАЯ СВЕРТКА ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМИ ФУНКЦИЯМИ 79 конечную сумму слагаемых вида s l где β 1, fβ ограничена. r∞ -t z2- ), ak jν (hk z) e k=1 0 fβ (z)zβ gν+m(xz)dz, Тогда xν+mBxE(x, t) есть конечная сумма слагаемых вида s l r∞ -t z2- ), ak jν (hk z) e k=1 0 fβ (z)zm+ν+β Jν+m(xz)dz = r∞ s l 1 = √x 0 -t z2- ), ak jν (hk z) e k=1 fβ (z)z 2 m+ν+β- 1 √xzJν+m(xz)dz, 1 поэтому xν+m+ 2 BxE(x, t) есть конечная сумма слагаемых вида r∞ ψ(z)f (xz)dz, где 0 s l 1 ψ(τ ) = τ m+ν+β- 2 fβ (τ )e -t τ 2- ), ak jν (hk τ ) k=1 , т. е. ψ ∈ L1(0, +∞), а f (τ ), как и выше, есть √τ Jm+ν (τ ), и значит, f ∈ L∞(0, +∞). Отсюда вытекает Лемма 3.3.2. Пусть α > 0, t > 0, a, h ∈ Rm. Тогда Далее lim x→∞ xαBxE(x, t) = 0. ∞ s l T hk r 2ν+1 -t z2- ), ak jν (hk z) k=1 x E(x, t) = z e 0 r∞ s jν (hk z)jν (xz)dz = l 1 = x2ν 0 jν (hk z)e -t z2- ), ak jν (hk z) k=1 zgν (xz)dz = r∞ s l g 1 = x2ν+2 0 jν (hk z)e -t z2- ), ak jν (hk z) k=1 I ν+1 (xz)dz = ⎛ s l z=+∞ 1 -t z2- ), ak jν (hk z) = x2ν+2 ⎝ gν+1(xz)jν (hk z)e k=1 + z=0 s l r∞ + gν+1(xz)e 0 -t z2- ), ak jν (hk z) k=1 k h2 zjν+1(hk z)+ s l \ k + tzjν (hk z) '\" h2 ak jν (hk z)+ 2tzjν (hk z) dz . Последнее выражение равно r∞ k=1 s l 1 x2ν+2 0 -t z2- ), ak jν (hk z) e k=1 s k h2 jν+1(hk z)+ l k + tjν (hk z) '\" h2 ak jν (hk z)+ 2tjν (hk z) zgν+1(xz)dz = k=1 80 ГЛАВА 3. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ r∞ s l h2 1 = x2ν+4 0 -t z2- ), ak jν (hk z) e k=1 k jν+1(hk z)+ s l k + tjν (hk z) '\" h2 ak jν (hk z)+ 2tjν (hk z) g I ν+2 (xz)dz = k=1 ⎛ s l 1 = gν+2(xz)e -t z2- ), ak jν (hk z) k=1 h2 jν+1(hk z)+ x2ν+4 ⎝ s k l z=+∞ k + tjν (hk z) '\" h2 ak jν (hk z)+ 2tjν (hk z) k=1 - z=0 r∞ ⎛ s l - gν+2(xz) ⎝e 0 -t z2- ), ak jν (hk z) k=1 k h2 jν+1(hk z)+ s k + tjν (hk z) '\" h2 ak jν (hk z)+ 2tjν (hk z) l\I \ dz = k=1 r∞ ⎛ s l 1 = - x2ν+4 0 gν+2(xz) ⎝e s -t z2- ), ak jν (hk z) k=1 l\I k h2 jν+1(hk z)+ k + tjν (hk z) '\" h2 ak jν (hk z)+ 2tjν (hk z) dz. k=1 Повторяя интегрирование по частям достаточное число раз и учитывая ограниченность функции jν (x), получаем (при фиксированном положительном t), что для любых натуральных m и k s l r∞ x E(x, t) = x2ν+2mT hk 0 -t z2- ), ak jν (hk z) e k=1 f0(z)gν+m(xz)dz, где |f0(z)| M (1 + zβ ) с некоторыми неотрицательными M и β. Тогда s r∞ 1 x2ν+2m+ 2 '\" ak T hk k=1 x E(x, t) = 0 ψ(z)f (xz)dz, где ψ ∈ L1(0, +∞), f (τ ) ∈ L∞(0, +∞), а поскольку E(x, t) удовлетворяет уравнению (3.1) в (0, +∞)×(0, +∞), то справедлива Лемма 3.3.3. Пусть α > 0, t > 0, a, h ∈ Rm. Тогда lim x→∞ xα ∂E ∂t = 0. Далее замечаем, что оператор Бесселя и оператор обобщенного сдвига коммутируют друг с другом (см., например, [41, с. 35]), из чего следует Теорема 3.3.1. Функция (3.5) удовлетворяет (в классическом смысле) уравнению (3.1). 3.4. РЕШЕНИЕ НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ КОШИ Введем следующее обозначение: u(x, t) def 1 r∞ ξ2ν+1E(ξ, t)T xu (ξ)dξ. (3.6) = 4ν Γ2(ν + 1) ξ 0 0 3.4. РЕШЕНИЕ НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ КОШИ 81 В силу самосопряженности оператора обобщенного сдвига (см., например, [41, с. 19]) r∞ u(x, t) = 1 4ν Γ2(ν + 1) 0 ξ ξ2ν+1u0(ξ)T xE(ξ, t)dξ, ξ а в силу четности T xE(ξ, t) по переменной x (см., например, [41, с. 35]) функция u(x, t) удовлетворяет условию четности (3.2). Покажем, что она удовлетворяет и начальному условию (3.3). Функция u(x, t) определена на (0, +∞)×(0, +∞). Возьмем произвольное неотрицательное x0 и исследуем поведение u(x0, t) при t -→ +0. √ Заменой переменной η = ξ 2 t получаем: 22ν+2tν+1 u(x0, t) = 4ν Γ2(ν + 1) Далее ∞ r η2ν+1 0 E(2η 2η√t √t, t)T x0 u0(2η √t)dη. r∞ s l ξη √ E(2 tη, t) = 0 ξ2ν+1e -t ξ2- ), ak jν (hk ξ) k=1 jν (2 √ t)dξ = = t-ν-1 2 ∞ r z2ν+1e-z +t s ), k=1 ak jν ( hkz j √t ν (2ηz)dz. (3.7) 0 Таким образом, r∞ r∞ 2 s ( hkz 4 u(x0, t) = Γ2(ν + 1) 0 η2ν+1 x0 0 0 T 2η√t u (x ) 0 z2ν+1 -z +t ), ak jν e k=1 √ t jν (2ηz)dzdη. (3.8) Теперь докажем следующие утверждения. Лемма 3.4.1. Существуют такие C > 0 и α > 1, что для любых t ∈ (0, 1) и η > 0 r∞ 2 s ( hkz 2ν+1 2ν+1 t -z +t ), ak jν √ C k=1 Доказательство. r∞ η z 0 s 2 e ( hkz jν (2ηz)dz ηα . 1 2ν Γ(ν + 1) 0 z2ν+1 -z +t ), ak jν e k=1 √ t jν (2ηz)dz = 1 = (2η)ν 2 ∞ r zν+1e-z +t 0 s ), k=1 ak jν ( hkz √ t Jν (2ηz)dz = r∞ s hkz 1 -z2+t ), ak jν ( √ = (2η)2ν 0 (2ηz)ν+1Jν (2ηz)ze k=1 t dz = r∞ s hkz 1 -z2+t ), ak jν ( √ = (2η)2ν+2 e 0 r∞ k=1 s t hkz (2η)2zgν (2ηz)dz = t 1 -z2+t ), ak jν ( √ gI = (2η)2ν+2 e 0 ⎡ k=1 ν+1(2ηz)dz = s hkz z=∞ r∞ s hkz lI ⎤ 1 t -z2+t ), ak jν ( √ -z2+t ), ak jν ( √ = (2η)2ν+2 ⎣ gν+1(2ηz)e k=1 - e z=0 0 k=1 t gν+1(2ηz)dz⎦ = 82 ГЛАВА 3. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1 = (2η)2ν+2 r∞ gν+1(2ηz) 0 2z + z s '\" k=1 k h2 ak jν+1 hk √ z l t -z2+t e s ), k=1 ak jν ( hkz √t dz = 1 r∞ s hk z l s -z2+t ), ak jν ( hkz √ = (2η)2ν+4 0 (2η)2zgν+1(2ηz) k 2+ '\" h2 ak jν+1 √ e k=1 t k=1 t dz. Последнее выражение равно 1 (2η)2ν+4 r∞ I gν+2(2ηz) 0 s 2+ '\" k=1 k h2 ak jν+1 hk √ z l t -z2+t e s ), k=1 ak jν ( hkz √ t dz. Снова проинтегрируем по частям; получим 1 r∞ / s '\" 2 hk z l 2 -z +t s ), k=1 ak jν \ ( hkz I √ t -(2η)2ν+4 gν+2(2ηz) 0 2+ k=1 hk ak jν+1 √t e dz = r∞ s hkz 1 -z2+t ), ak jν ( √ = (2η)2ν+4 0 gν+2(2ηz)e k=1 t × ⎞ ⎛ s h z l2 z s h z k √t × ⎝ 2+ '\" h2 ak jν+1 k k=1 r∞ k k z + '\" h4 ak jν+2 t k=1 s hkz √t ⎠ dz = 1 -z2+t ), ak jν ( √ = (2η)2ν+6 0 (2η)2zgν+2(2ηz)e k=1 t × ⎛ s × ⎝ 2+ '\" h2 ak jν+1 k h z l2 + s 1 '\" h4 ak jν+2 k h z ⎞ dz = k k=1 √t t k k=1 √t ⎠ r∞ s hkz 1 -z2+t ), ak jν ( √ g = (2η)2ν+6 0 I ν+3 (2ηz)e k=1 t × ⎛ s × ⎝ 2+ '\" h2 ak jν+1 k h z l2 + s 1 '\" h4 ak jν+2 k h z ⎞ dz. k k=1 √t t k k=1 √t ⎠ Следовательно, оцениваемый интеграл можно представить в виде r∞ s hkz t 1 -(2η)2ν+6 0 gν+3(2ηz) -z2+t ), ak jν ( √ e k=1 × ⎛ s h z l2 1 s h z ⎞⎤I k √t × ⎝ 2+ '\" h2 ak jν+1 k k=1 r∞ k √ + '\" h4 ak jν+2 k t t k=1 s hkz ⎛ s ⎠⎦ dz = l3 1 -z2+t ), ak jν ( √ '\" h z = (2η)2ν+6 0 gν+3(2ηz)e k=1 t ⎝ 2+ k=1 k √ h2 ak jν+1 k z + t s h z l2 z s h z + 2+ '\" h2 ak jν+1 k '\" h4 ak jν+2 k + k k=1 √t t k √t k=1 2z + s 2+ '\" h2 ak jν+1 hk z l s '\" h4 ak jν+2 hk z + s z '\" h6 ak jν+3 hk z \ dz. t k k=1 √t k k=1 √t t2 k √t k=1 3.4. РЕШЕНИЕ НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ КОШИ 83 Повторяя таким образом интегрирование по частям достаточное число раз, получаем, что для любого натурального m 2 ∞ r z2ν+1e-z +t 0 s ), k=1 ak jν ( hkz j √t ν (2ηz)dz представляет собой конечную сумму слагаемых вида r∞ s hkz t 1 η2ν+2mtl 0 zgν+m(2ηz)e -z2+t ), ak jν ( √ k=1 jν+l+1 hk z √t fl(z, t)dz, (3.9) где натуральное l не превосходит m - 1, а fl ограничена. Оценим (3.9), считая (без ограничения общности), что t 1: jν+l+1 hk z 2ν Γ(ν + 1)Jν+l+1 hk z 2ν Γ(ν + 1) hk z Jν+l+1 hk z √t tl = √t hν+l+1 = k zν+l+1 tl k hν+l+1 √t √t . l-ν-1 hk z ν+l+1 t 2 zν+l+1t 2 √ t В силу ограниченности функции √τ Jν+l+1(τ ) абсолютная величина последнего выражения не 3 1 ν-l+1 превосходит z-ν-l- 2 t 4 + 2 . Далее 1 + ν - l +1 0 при l ν + 3 , т. е. для выполнения последнего неравенства доста- 4 2 2 5 точно потребовать, чтобы m ν + 2 . В этом случае абсолютная величина выражения (3.9) не превосходит const η2ν+2m 1 2 ∞ r |gν+m(2ηz)| e-z +t zν+l+ 2 0 s ), k=1 ak jν ( hkz √ t dz = const = η2ν+2m r∞ (2ηz)m+ν 0 |Jν+m(2ηz)| 1 zν+l+ 2 2 -z +t e s ), k=1 ak jν ( hkz √ t dz = r∞ s hkz const 1 -z2+t ), ak jν ( √ = ην+m 0 zm-l- 2 |Jν+m(2ηz)|e r∞ k=1 2 t dz = ), s ( hkz const 1 = ην+m+ 2 0 zm-l-1 2ηz|Jν+m(2ηz)|e -z +t k=1 ak jν √ t dz const 1 . ην+m+ 2 1 1 3 2ν +1 - m - ν - 2 = ν + 2 - m < -1 при m > ν + 2 . Таким образом, для выполнения утверждения леммы достаточно выбрать натуральное m из 3 ν + , ν + 2 5 2 . Такое m существует для любого ν > - 1 . Лемма 3.4.1 доказана. 2 Лемма 3.4.2. 2 ∞ r z2ν+1e-z +t s ), k=1 ak jν ( hkz √ t jν -→ (2ηz)dz t→+0 Γ(ν + 1) e-η2 2 0 равномерно по η 0. Доказательство. r∞ r∞ η ν z2ν+1e-z2 j 0 Γ(ν + 1) (2ηz)dz = ην 0 ν zν+1e-z2 J Γ(ν + 1) 2 (2ηz)dz = e- 2 (см., например, [75, c. 186]). 84 ГЛАВА 3. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Поэтому r∞ 2 s ( hkz z 2ν+1 0 -z +t ), ak jν e k=1 t √ jν (2ηz)dz - Γ(ν +1) e- 2 η2 = s hkz l r∞ s hkz = r∞ 0 z2ν+1 e-z2 jν (2ηz) t ), ak jν ( √ e k=1 t - 1 dz 0 z2ν+1 e-z2 e t ), ak jν ( √ k=1 t - 1 dz. Пусть ε > 0. Выберем t0 настолько малым, что s -t0 ), |ak | s t0 ), |ak | 2ε 2ε Тогда e k=1 , e k=1 ∈ 1 - Γ(ν + 1) , 1+ Γ(ν + 1) . s h z / s s \ √ t '\" ak jν k t ∈ -t '\" |ak |,t '\" |ak | k=1 k=1 k=1 для любого t из (0, t0), следовательно, в силу монотонности экспоненты s hkz r∞ - 1 dz 2ε r∞ z2ν+1e-z2 e t ), ak jν ( √ k=1 t z2ν+1e-z2 dz = ε. Γ(ν + 1) 0 0 В силу произвольности выбора положительного ε лемма 3.4.2 доказана. Теперь возьмем произвольное неотрицательное x0 и рассмотрим разность r∞ r∞ 2 s ( hkz 4 u(x0, t) - u0(x0) = Γ2(ν + 1) 0 r∞ η2ν+1 x0 0 0 T 2η√t u (x ) 0 z2ν+1 -z +t ), ak jν e k=1 t √ jν (2ηz)dzdη - 4 - Γ2(ν + 1) 0 η2ν+1 u0(x0) Γ(ν +1) e- 2 η2 dη = 4 r∞ = ⎡ η2ν+1 2η√t ∞ r 2ν+1 -z2+t s ), k=1 k ν √ a j ( hkz t Γ2(ν + 1) 0 ⎣Tx0 u0(x0) z e 0 × ⎛ A ∞⎞ Γ(ν +1) η2 4 r r def 4 × jν (2ηz)dz - u0(x0) 2 ⎝ e- dη = 2 Γ (ν + 1) 0 + ⎠ = A Γ2(ν + 1) (I1 + I2). Зададимся произвольным положительным ε. r∞ r∞ s hkz r∞ -z2+t ), ak jν ( √ Γ(ν +1) 2 |I2| sup |u0| η2ν+1 A 0 z2ν+1e k=1 t jν (2ηz)dz dη + sup |u0| 2 η2ν+1e-η dη. A В силу леммы 3.4.1 (считая, не ограничивая общности, что t 1) получаем, что первый ин- теграл в последнем неравенстве не превосходит величины C r∞ dη ηα C = A1-α , где α > 1. Отсюда и из сходимости интеграла Γ2(ν + 1) A ∞ r η2ν+1e-η2 dη следует, что существует такое положительное A, что 0 |I2| o для любого t из (0, 1). Выберем такое A и зафиксируем его. Осталось оценить I1. 8 3.4. РЕШЕНИЕ НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ КОШИ 85 √ T 2η t x0 u0(x0) - u0(x0) = π π Γ(ν +1) r 2 2 √ 2ν Γ(ν +1) r 2ν 2 = √π Γ(ν + 1 ) u0 0 π x0 + 4η t - 4x0η t cos θ sin θdθ - √π Γ(ν + 1 ) 2 0 u0(x0) sin θdθ = Γ(ν +1) r 2 2 √ 2ν 2 = √π Γ(ν + 1 ) u0 0 x0 + 4η t - 4x0η t cos θ - u0(x0) sin θdθ. Пусть δ > 0. В силу непрерывности функции u0 в точке x0, можно выбрать t0 настолько малым, что для любых t из (0, t0), η из [0, A], θ из [0, π] u0 0 x2 + 4η2t - 4x0η √t cos θ - u0(x0) < δ. √ x0 Это означает в силу произвольности выбора положительного δ, что T 2η -→ t u0(x0) t→+0 u0(x0) равномерно относительно η ∈ [0, A]. Отсюда и из леммы 3.4.2 следует, что существует такое положительное t0, что для любого t из (0, t0) и для любого η из [0, A] T 2η √ x t u0(x0) r∞ z2ν+1e 2 -z +t s ), k=1 ak jν ( hkz √ t jν (2ηz)dz - u0(x0) Γ(ν +1) 2 e-η < (ν + 1)Γ2(ν + 1) ε, 0 0 т. е. 2 4A2ν+2 A 4 (ν + 1)Γ2(ν + 1) r 2ν+1 ν +1 A2ν+2 ε |I1| Γ2(ν + 1) 4A2ν+2 ε η 0 dη = ε = . A2ν+2 2ν +2 2 Поскольку положительное ε выбиралось произвольно, то t→+0 u(x0, t) - u0(x0) -→ 0. Тем самым в силу произвольности выбора неотрицательного x0 функция u(x, t) удовлетворяет условию (3.3). Таким образом, доказана Теорема 3.4.1. Пусть функция u0(x) непрерывна и ограничена при неотрицательных x. Тогда функция u(x, t), определенная равенством (3.6), является классическим решением задачи (3.1)-(3.3). С помощью доказанной теоремы можно, в частности, вычислить весовой интеграл от фундаментального решения по всей положительной полуоси: Лемма 3.4.3. ∞ s r t ), ak x2ν+1E(x, t)dx = 4ν Γ2(ν + 1)e k=1 . 0 Доказательство. Рассмотрим функцию u0(x) ≡ 1; она непрерывна и ограничена, следовательно, в силу теоремы 3.4.1, функция y(x, t) d=ef 1 4ν Γ2(ν + 1) +∞ r ξ2ν+1E(ξ, t)dξ 0 t=0 удовлетворяет задаче (3.1)-(3.3) с начальным условием y ≡ 1; однако y(x, t) не зависит от x, следовательно, в действительности y(t) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравs s t ), ak нению yI - y ), ak = 0 и начальному условию y(0) = 1. Значит, y(t) = e k=1 k=1 . Лемма 3.4.3 доказана. 86 ГЛАВА 3. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 3.5. СЛУЧАЙ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ Рассмотрим следующее уравнение: ∂u ∂t - Bxu + где f непрерывна и ограничена. s '\" k=1 x ak T hk u = f (x, t), x > 0,t > 0, (3.10) Покажем, что при помощи фундаментального решения (3.4) можно получить и интегральное представление (классического) решения задачи (3.10), (3.2), (3.3). Для этого зададимся произвольным положительным x0 и введем функцию r∞ G(t, τ ) d=ef 1 ξ2ν+1f (ξ, t - τ )T ξ E(x ,τ )dξ, определенную при t > τ > 0. 4ν+1 0 x0 0 Справедливо следующее утверждение: Лемма 3.5.1. Существует такое t0 > 0, что G(t, τ ) ограничена в области (0, t0) × (0, t). Доказательство. Используя самосопряженность оператора обобщенного сдвига и замену пере- √ менных η = ξ 2 t , получаем, что r∞ √ G(t, τ ) = τ ν+1 0 x0 η2ν+1E(2η√τ, τ )T 2η τ f (x0,t - τ )dη = r∞ = η2ν+1 2 ∞ r z2ν+1e-z +τ s ), ak jν ( hkz √τ j (2ηz)dzT 2η√τ f (x ,t τ )dη = r 1 r∞ + def I + I . k=1 0 0 ν x0 0 - = 3 4 0 1 Для оценки |I4| применим лемму 3.4.1 (считая без ограничения общности, что t 1): с некоторым α > 1. В этих же предположениях |I4| C sup |f | r∞ dη ηα = 1 C sup |f | α - 1 |I3| sup |f | s r∞ η2ν+1e 0 r∞ s τ ), |ak | k=1 r∞ r∞ 2 z2ν+1e-z dzdη 0 s ), |ak | sup |f |ek=1 0 Лемма 3.5.1 доказана. η2ν+1dη 0 2 z2ν+1e-z dz = sup |f |Γ(ν +1) 4(ν + 1) ), |ak | ek=1 . Поэтому на [0, +∞) × (0, +∞) определена функция v(x, t) d=ef t 1 r 4ν Γ2(ν + 1) 0 r∞ x ξ2ν+1E(ξ, t)T ξ f (x, t - τ )dξdτ. (3.11) 0 Покажем, что эта функция удовлетворяет уравнению (3.10) и однородному начальному условию. Для доказательства первого из этих утверждений заметим, что, как доказано в пунктах 3.2 и 3.3, функция E(x, t) удовлетворяет уравнению (3.1) в [0, +∞) × (0, +∞) и стремится к нулю (вместе с ∂E ∂t и Bx E) при x → +∞ быстрее любой отрицательной степени |x|. Поэтому остается доказать следующую лемму: 3.5. СЛУЧАЙ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ 87 Лемма 3.5.2. Пусть x0 0, t0 > 0. Тогда r∞ 1 lim ξ2ν+1f (ξ, t0 - τ )T ξ E(x0,τ )dξ = f (x0, t0). Доказательство. r∞ τ →+0 4ν Γ2(ν + 1) x0 0 x0 ξ2ν+1f (ξ, t0 - τ )T ξ E(x0,τ )dξ = 4ν+1G(t0,τ ) = 0 = 4ν+1 r ∞ η2ν+1T 2η τ √ x0 f (x0,t - τ ) 0 ∞ r z2ν+1 0 2 -z +τ e s ), k=1 ak jν ( hkz √τ jν (2ηz)dzdη (см. доказательство леммы 3.5.1). Следовательно, 1 4ν Γ2(ν + 1) ∞ r ξ2ν+1 0 x0 f (ξ, t0 - τ )T ξ E(x0,τ )dξ - f (x0, t0) = 4 = Γ2(ν + 1) r∞ η2ν+1 0 ⎡ 2η τ √ ⎣Tx0 f (x0, t0 - τ ) ∞ z r 2ν+1 × 0 s hkz l τ -z2+τ ), ak jν ( √ × e k=1 ⎛ A jν (2ηz)dz - ∞⎞ Γ(ν + 1) e-η2 2 f (x0, t0) dη = 4 r r = + def 4 Γ2(ν + 1) ⎝ 0 где A - положительный параметр. Пусть ε > 0. ⎠ = Γ2(ν + 1) (I5 + I6), 0 s hkz r∞ |I6| sup |f | r∞ r∞ η 2ν+1 A 0 z2ν+1e τ 2 -z2+τ ), ak jν ( √ k=1 jν (2ηz)dz dη + sup |f | Γ(ν + 1) 2 A e-η dη. Первое слагаемое правой части последнего неравенства в силу леммы 3.4.1 (без ограничения r∞ dη C sup |f | общности считаем, что τ < 1) меньше либо равно, чем C sup |f | 1 r∞ ηα = с некоторым α - 1 α > 1. Отсюда и из сходимости 0 ε e-η2 dη следует, что существует такое положительное A, что |I6| < 2 для любого τ ∈ (0, 1). Зафиксируем такое A и оценим I5. π T 2η√τ Γ(ν +1) r 2 2 √ 2ν 2 ) x0 f (x0, t0 - τ ) = √π Γ(ν + 1 f 0 x0 + 4η (t0 - τ ) - 4x0η t0 - τ cos θ sin θdθ. В силу непрерывности и ограниченности f последнее выражение стремится к f (x0, t0) при τ → +0 равномерно относительно η ∈ [0, A]. Отсюда и из леммы 3.4.2 следует, что существует такое положительное τ0, что для любого τ < τ0, для любого η ∈ [0, A] s T 2η 2 √ x t f (x0, t0 -τ ) r∞ z2ν+1e -z +t ), k=1 ak jν ( hkz √ t jν (2ηz)dz - Γ(ν +1) 2 f (x0, t0)e-η < ε ν +1 , 0 2 4 A2ν+2Γ2(ν + 1) 0 88 ГЛАВА 4. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 5 2 т. е. |I | ε . Лемма 3.5.2 доказана. -→ Осталось доказать, что v(x0, t) t→+0 0 для любого неотрицательного x0. Для этого представим v(x0, t) как 4 Γ2(ν + 1) t r G(t, τ )dτ и воспользуемся леммой 3.5.1: 0 существует такое положительное t0, что для любого t ∈ (0, t0) 4 Γ (ν + 1) |v(x0, t)| 2 sup t∈[0,t0] |G|t. ξ Тем самым в силу произвольности выбора неотрицательного x0 и четности функции T xE(ξ, t) по переменной x доказано следующее утверждение: Теорема 3.5.1. Пусть u0 непрерывна и ограничена в [0, +∞), f непрерывна и ограничена в [0, +∞) × (0, +∞). Тогда функция 1 ⎡r∞ 2ν+1 ξ r r t ∞ ⎤ 2ν+1 ξ 4ν Γ2(ν + 1) ⎣ ξ 0 E(ξ, t)Tx u0(x)dξ + ξ 0 0 E(ξ, t)Tx f (x, t - τ )dξdτ ⎦ является классическим решением задачи (3.10), (3.2), (3.3). ГЛАВА 4 СИНГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В данной главе исследуется неклассическая задача Коши для сингулярного параболического уравнения наиболее общего вида: оно является не только интегродифференциальным, но и дифференциально-разностным. Кроме указанного теоретического аспекта, эта задача представляет и прикладной интерес, заключающийся в обобщении моделей [121, 125-129] на случай среды с характеристиками, вырождающимися вдоль выделенных направлений. Будет найдено фундаментальное решение указанного уравнения, исследованы его свойства и получено (в предположении о непрерывности и ограниченности начальной функции и правой части) интегральное представление решения рассматриваемой задачи. Тем самым доказывается теорема существования. n ykl Для доказательства единственности решения используется метод преобразований Фурье. Необходимый для применения этого метода функционально-теоретический аппарат (преобразование Фурье-Бесселя и шкала обобщенных функций, соответствующая вырождающейся мере l dxdy) глубоко и полно разработан в [41] (см. также имеющуюся там библиографию), поэтоl му в соответствии с общей схемой [15] указанный метод мог бы быть применен и для исследования разрешимости. Однако решение, существование которого доказывается таким методом, является обобщенной функцией, причем, вообще говоря, не принадлежащей даже классам С. Л. Соболева и Л. Шварца. Мы же получаем классическое решение, т. е. функцию, дифференцируемую достаточное количество раз и удовлетворяющую уравнению и граничным условиям в каждой точке. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Будем использовать следующие обозначения: kl = 2νl +1 - положительный параметр (l ∈ 1, n). Bkl,yl def 1 ∂ ykl l = ∂y l ∂ ykl l ∂yl ∂ 2 = + l ∂y2 kl ∂ yl ∂yl 4.2. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 89 - оператор Бесселя по переменной yl. π r y f (y) T h d=ef Γ(ν + 1) 2 √π Γ(ν + 1 ) 0 f y2 + h2 - 2yh cos θ sin2ν θdθ - соответствующий оператор обобщенного сдвига (со скалярной переменной y). В случае векторных y, h оператор обобщенного сдвига определяется как суперпозиция одномерных операторов: T h = T h1 ··· T hn . y y1 yn + Через Rm+n обозначим множество /(x, y) x ∈ Rm, y1 > 0,..., yn > 0 . В Rm+n + × (0, ∞) рассматривается уравнение ∂u m ∂2u mi l n / nl \ '\" '\" '\" '\" glr ∂t - i=1 i ∂x2 + s=1 aisu(x + his, y, t) - l=1 Bkl,yl u + r=1 blr Tyl u = f (x, y, t) (4.1) с краевыми условиями ∂u ∂yl yl=0 u = 0 (l = 1, n), t > 0, (4.2) m+n ∂f ∂f ∂f t=0 = u0(x, y), (x, y) ∈ R+ . (4.3) ∂f 1 Здесь u0, f, ∂x ,..., ∂xm , ∂y1 ,..., ∂yn - непрерывные и ограниченные функции, f также удовлетворяет условию (4.2), векторы his при каждом s параллельны i-й координатной оси пространства Rm (i ∈ 1, m), а коэффициенты ais, blr , glr предполагаются вещественными при всех значениях своих индексов. Так же, как и в главе 3, задачу (4.1)-(4.3) можно рассматривать во всем Rm+n × (0, +∞), заменяя условие (4.2) требованием четности функции u по каждой переменной yl (корректность таких задач для дифференциальных параболических уравнений с оператором Бесселя известна, например, из [44, 45, 48-51, 53]). 2. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ Пусть f (x, y, t) ≡ 0. Полагая f m mi \ 2 r -t |ξ| - ), ), ais cos his·ξ / m mi \ E1(x, t) d=ef e Rm i=1 s=1 cos x · ξ + t '\" '\" ais sin his · ξ i=1 s=1 dξ, (4.4) ∞ nl l n E2(y, t) d=ef n l r ηkl e l -t η2- ), b r=1 lr jνl (glr ηl) jνl (ylηl) dηl, (4.5) l=1 0 + определим на Rm+n × (0, ∞) функцию E(x, y, t) d=ef E1(x, y, t)E2(x, y, t). + Для любых t0,T ∈ (0, +∞) интегралы (4.4) и (4.5) сходятся абсолютно и равномерно относительно (x, y, t) ∈ Rm+n × [t0,T ] (отметим, что |jν (z)| 1), поэтому E(x, y, t) определена корректно. Подставим (формально) E в уравнение (4.1): = ∂E ∂E1 ∂E2 ∂ 2E ∂ 2E1 ∂t ∂t E2 + E1 ∂t , i ∂x2 = i ∂x2 E2 (i = 1, m), ∂2E2 kl ∂E2 Bkl,yl E = E1 ∂y2 E1 + y ∂y = E1Bkl,yl E2 (l = 1, n), l l l E(x + h, y, t) = E1(x + h, y, t)E2 для любого h ∈ Rm, 90 ГЛАВА 4. СИНГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ T g g n Таким образом, y E = E1Ty E2(x, y, t) для любого g ∈ R . ∂E ∂t - m '\" ∂2E ∂x2 + mi '\" l aisE(x + his, y, t) n '\" - / Bkl,yl E + nl '\" \ y blr T glr E = i=1 ∂E1 i s=1 m mi l=1 l l r=1 = E2 ∂t - ΔxE1 - '\" '\" i=1 s=1 aisE1(x + his, y, t) + + E1 ∂E2 ∂t - n '\" l=1 / Bkl,yl E2 + nl '\" r=1 blr \l T E glr yl 2 . (4.6) Из [59] известно, что первое слагаемое суммы (4.6) обращается в нуль; рассмотрим второе слагаемое: r∞ r∞ n nl l n nl 2l n ∂t ∂E2 = '\" '\" b j (g η ) - |η|2 n ), ), blr jνl (glr ηl)-|η| e l=1 r=1 t ηkl j (y η ) dη = 0 ... 0 n р аз l=1 r=1 lr νl lr l l νl l l l l=1 n r∞ r∞ n nl n n l 2l n = 0 ... 0 n р аз yl l '\" '\" blr T glr jν l=1 r=1 (ylηl) n jνκ κ=1 κ/=l ), ), blr jνl (glr ηl)-|η| (yκηκ) e l=1 r=1 t n l=1 l ηkl dηl - r∞ r∞ n n n nl 2l n '\" - η kl+2 l κ e n ηkκ ), ), r=1 n blr jνl (glr ηl)-|η| t j (y η ) dη , 0 ... 0 n р аз l=1 κ=1 κ/=l l=1 νl l l l l=1 x поскольку T y jν (ax) = jν (ax)jν 2 (ay) (см., например, [41, с. 19]). Далее Bkl,yl jνl (ylηl) = -ηl jνl (ylηl) для любого l (см., например, [41, с. 18]), значит, n r∞ r∞ n l 2l n Bkl,yl E2 = - e 0 ... 0 n р аз ), ), blr jνl (glr ηl)-|η| l=1 r=1 η t 2 n l κ=1 κ κ ηkκ jν (yκηκ) dηκ. + Таким образом, второе слагаемое суммы (4.6) также обращается в нуль в Rm+n ×(0, +∞), тем самым E(x, t) формально удовлетворяет уравнению (4.1). При этом r n ∞ n kκ η2 t ∞ r kl+2 η2t Bkl,yl E2 const κ=1 0 κ/=l ηκ e- κ dηκ 0 ηl e- l dηl, T glr yl E2 const r n ∞ l η2 n ηkl e- l t dηl для любых l и r, а значит, ∂E2 l=1 0 n n 1 ), const t -1- 2 - 2 kl l=1 . Аналогично, ∂t ∂E1 m const t-1- 2 , ∂t 4.3. ОБОБЩЕННАЯ СВЕРТКА ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ 91 следовательно, формальное дифференцирование и обобщенный сдвиг под знаком интеграла законны (во всех членах уравнения (4.1)), поэтому функция E удовлетворяет уравнению (4.1) в Rm+n + ×(0, +∞). Назовем E(x, t) фундаментальным решением уравнения (4.1). Правомерность этого термина будет обоснована ниже - мы покажем, что обобщенная свертка (см. [41, §1.8]) E с ограниченной начальной функцией на начальной гиперплоскости обращается в саму начальную функцию. 3. ОБОБЩЕННАЯ СВЕРТКА ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ На Rm+n + ×(0, +∞) рассмотрим функцию n r n ηkl η R m+n l=1 + и докажем следующее утверждение: l E(ξ, η, t)Ty u0(x - ξ, y)dξdη (4.7) Теорема 4.3.1. Функция (4.7) удовлетворяет (в классическом смысле) уравнению (4.1). Доказательство. Прежде всего докажем, что функция (4.7) определена корректно. Для этого используем следующие оценки, установленные для функций (4.4) и (4.5) в разделах 1.4 и 3.3 соответственно: |x|m+2|E1(x, t)| C, (4.8) nl l r∞ y α l 0 l e ηkl l -t η2- ), b r=1 lr jνl (glr ηl) jνl (ylηl) dηl C (4.9) (эти оценки верны при любых t > 0, α > 0 и l ∈ 1,n ). При этом для любых положительных t0 и T константы неравенств (4.8) и (4.9) зависят только от t0 и T, но не от t ∈ [t0,T ]. Отсюда и из ограниченности функции u0 вытекает, что интеграл (4.7) сходится абсолютно и равномерно по t ∈ [t0,T ] при любом фиксированном T. Действительно, n r n ηkl η n 1 r n kl R m+n l=1 + l |E(ξ, η, t)Ty u0(x - ξ, y)|dξdη 2 sup |u0| Rm+n l=1 |ηl| |E(ξ, η, t)|dξdη. (4.10) В правой части последнего неравенства подынтегральная функция продолжена на все Rm+n четным по каждой yl образом, а само неравенство понимается в следующем смысле: если сходится его правая часть, то сходится и левая, и при этом условии само неравенство справедливо; отметим, что нормированная функции Бесселя четна, а оператор обобщенного сдвига непрерывен (см., например, [41, с. 18-19]). В силу гладкости сомножителей функции E(ξ, η, t) и оценок (4.8), (4.9) подынтегральная функn ция последнего интеграла может быть представлена в виде f0,t(ξ) n fl,t(ηl) с сомножителями, удовлетворяющими при t ∈ [t0,T ] неравенствам M0 Ml l=1 l |f0,t(ξ)| 1+ |ξ|m+1 , |fl,t(ξ)| 1+ η2 с некоторыми положительными постоянными M0, ..., Mn. Пусть Ω - произвольная (сколь угодно большая) ограниченная область в Rm+n. Без ограничения общности можно считать, что она содержит область Q(1) d=ef {|ξ| < 1, |ηl| 1; l = 1, n}. Существует такое A0 из (1, +∞), что Ω ⊂ Q(A0) d=ef {|ξ| < A0, |ηl| A0, l = 1, n}. 92 ГЛАВА 4. СИНГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ n Функция f0,t(ξ) n fl,t(ηl) интегрируема на Q(A0) в силу ограниченности этой области, следоваl=1 тельно, теорема Фубини применима: r f0,t(ξ) n n fl,t(ηl) dξdη = r n |f0(ξ)|dξ n A0 r |fl,t(ηl)|dηl Q(A0) l=1 ⎡ n 2πm |ξ|<A0 r A l=1 - 0 ⎤ ⎛ dξ A0 ⎞n r dz M0 max Ml l=1,n ⎢ ⎣ mΓ ( m ) + 2 |ξ|>1 ⎝ ⎥ 2+2 |ξ|m+1 ⎦ 1 z2 ⎠ n ⎡ 2πm 2πm r∞ dr ⎤ 2πmM0 n M0 4max Ml l=1,n ⎣ mΓ ( m ) + 2 Γ ( m ) 2 1 r2 ⎦ = 2 mΓ ( m ) 4max Ml l=1,n (1 + m). + Значит, интеграл в правой части неравенства (4.10) сходится и удовлетворяет той же оценке. Отсюда следует, что функция (4.7) корректно определена на Rm+n ×(0, +∞). Далее в силу самосопряженности оператора обобщенного сдвига в соответствующем весовом пространстве (см., r например, [41, с. 19]) функция (4.7) равна n n ηkl u0(ξ, η)T η E(x - ξ, y, t)dξdη. Для завершения l y R m+n l=1 + l l yl доказательства остается лишь обосновать законность дифференцирования и обобщенного сдвига под знаком интеграла в (4.7). Для этого нужно оценить поведение ΔxE , Bk ,y E и T glr E на бес- |x|→∞ конечности. T glr E = jν (glr yl)E E . Далее в разделе 1.4 доказано, что |x|m+1ΔxE1(x, t) -→ 0 yl l при любом положительном t, а в разделе 3.3 доказано, что nl l r∞ -t η2- ), b jν (g η ) y→∞ yα l Bkl,yl 0 l ηkl e l lr l r=1 lr l jνl (ylηl) dηl -→ 0 при любых t > 0, α > 0 и l ∈ 1, n. Отсюда и из (4.8), (4.9) выводим (как и выше), что дифференцирование и обобщенный сдвиг под знаком интеграла в (4.7) законны, что и завершает доказательство. 4. РЕШЕНИЕ НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ Введем следующее обозначение: u(x, y, t) def 2n-m r n n ηkl u (x - ξ, η)T η E(ξ, y, t)dξdη. (4.11) = n πmn2kl Γ2 l=1 kl + 1 2 l 0 y R m+n l=1 + Справедливо следующее утверждение: Теорема 4.4.1. Функция, определенная формулой (4.11), есть решение задачи (4.1)-(4.3). Доказательство. Из теоремы 4.3.1 следует, что функция u(x, y, t) удовлетворяет уравнению (4.1), а в силу четности функции T η E(ξ, y, t) по переменным y ,...,y (см., например, [41, с. 35]) y 1 n u(x, y, t) удовлетворяет условию четности (4.2). Осталось показать, что она удовлетворяет и начальному условию (4.3). Возьмем произвольное (x0, y0)d=ef (x0,..., x0 , y0,..., y0 ) ∈ Rm+n и исследуем поведение функции u(x0, y0, t) при t → +0. 1 m 1 n + 4.4. РЕШЕНИЕ НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 93 n-m Замечая, что T η f (y) = T y f (η) (см., например, [41, с. 19]) и обозначая 2 y η через C, получаем, что r n n πmn2kl Γ2 l=1 kl + 1 2 u(x0, y0, t) = C n ηkl u0(x0 - ξ, η)T y0 E(ξ, η, t)dξdη. ξi R m+n l=1 + l η ηl Заменой переменных ζi = следующему виду: t √ (i = 1, m), ρl = 2 n t √ (l = 1, n) последнее равенство приводится к 2 u(x0, y0, t) = 2m+n+|k|Ct m+n+|k| r 2 l n ρkl u0(x0 - 2ζ √t, 2ρ √ √t)T y0 2ρ t E(2ζ √t, 2ρ √ t, t)dζdρ R m+n l=1 + (здесь |k| d=ef k1 + ··· + kn - длина мультииндекса). Считая (без ограничения общности), что m1 = ··· = mm = n1 = ··· = nn = 1, переобозначим bl1 через bl, gl1 - через gl (l = 1, n), ai1 - через ai, а через hi обозначим величину |hi1|, взятую с плюсом или минусом в зависимости от того, с положительным или отрицательным направлением i-й координатной оси пространства Rm совпадает вектор hi1 (i = 1, m). Тогда E1(x, t) можно представить в виде m +∞ 2m n r e-t(τ 2-ai cos hiτ ) cos(x τ + a t sin h τ )dτ i=1 0 (см. раздел 1.4 и [59]), следовательно, r m +∞ t, 2 i i i E(2ζ√t, 2ρ√ t) = 2m n i=1 0 e-t(τ -ai cos hiτ ) √ cos(2 tζiτ + ait sin hiτ )dτ × r n n ∞ ηk e-t[ηl -b j l (g η )]j 2 l l ν l l × l νl 2 √tρlηl dηl. l=1 0 Заменой переменных τ √t = z, ηl√t = ξ (l = 1, n) последнее выражение приводится к виду +∞ 2m m r hiz n m+n+|k| e-z +ait cos √ 2 t cos i i √ 2zζ + a t sin hiz dz × t 2 n r∞ i=1 0 2 t ( glξ n × l=1 0 ξkl e-ξ +bltjνl l √t jν (2ξρl) dξ. (4.12) Таким образом, используя самосопряженность оператора обобщенного сдвига, получаем: u(x0, y0, t) = 22m+n+|k|C r R m+n + T 2ρ√ y0 t u0(x0 - 2ζ√t, y0) × m +∞ n r 2 hiz hiz × i=1 0 e-z +ait cos √t cos 2zζi + ait sin √ t dz × n ρ n kl × l l=1 2 ∞ r ξkl e-ξ +bltjνl 0 ( glξ √t jνl (2ξρl) dξdζdρ. (4.13) 94 ГЛАВА 4. СИНГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Далее мы будем использовать следующие утверждения: Лемма 4.4.1. r m ∞ 2 hiz n e-z +ait cos √ hiz t→+0 π √ m 2 ζ| i=1 0 t cos 2zζi + ait sin √ t dz -→ 2 e-| равномерно относительно ζ ∈ Rm. Лемма 4.4.2. Для любого i ∈ 1,m и для любого положительного A существует такое Mi, зависящее только от ai и hi, что для любого t из (0, 1) и для любого ζi из (A, +∞) r∞ 2 hiz t cos e -z +ait cos √ 0 2zζ + a t sin hiz i i √t ζ Mi dz . 2 i Лемма 4.4.3. Для любого l ∈ 1,n r∞ 2 ( glξ Γ(ν + 1) ξkl e-ξ +bltjνl √t j (2ξρ ) dξ t→+0 l ρ2 0 равномерно относительно ρl 0. νl l -→ e- l 2 Лемма 4.4.4. Для любого l ∈ 1,n существуют такие Cl > 0, α > 1, что для любого t ∈ (0, 1) и для любого ρl > 0 r ∞ kl kl C 2 ( glξ l √ -ξ +b tjνl t l ρl ξ e jνl (2ξρl) dξ ρα . l 0 Леммы 4.4.1 и 4.4.2 доказаны в разделе 1.3 и [59] соответственно, леммы 4.4.3 и 4.4.4 доказаны в разделе 3.4. Имеем ∞ r ξkl e-ξ2 j -ρ Γ(νl + 1) 2 (2ξρ )dξ = e l νl l 2 0 (см., например, [75, c. 186]), следовательно, +∞ r∞ u0(x0, y0) = 2m+2n n r m r u0(x0, y0) n e-z2 n l cos 2zζi dz n ρkl ξkl e-ξ2 jνl (2ξρl) dξdζdρ. + πmnΓ2(νl + 1) Rm+n i=1 0 l=1 0 l=1 Теперь рассмотрим разность u(x0, y0, t) - u0(x0, y0); она равна r 22m+n+|k|C n n ρkl 2ρ√t √ m +∞ l R m+n l=1 + Ty0 u0(x0 - 2ζ t, y0) × n r 2 hiz hiz × i=1 0 e-z +ait cos √t cos 2zζi + ait sin √ t dz × r n ∞ 2 × n ξkl e-ξ +bltjνl ( glξ √ t jνl (2ξρl) dξdζdρ - l=1 0 r m +∞ 2 r n ∞ ⎤ 2 - u0(x0, y0) n i=1 0 e-z cos 2zζi dz n l=1 0 l ξkl e-ξ jν (2ξρl) dξ⎦ dζdρ = 1. РЕШЕНИЕ НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 95 ⎛ = 22m+n+|k|C ⎜ r + r ⎞ ⎟ def 2m+n+|k| ⎜ ⎝ Q(A) ⎟ = 2 ⎠ Rm+n + \Q(A) C(I1 + I2), (4.14) где A - положительный параметр, а Q(A) здесь и далее будет обозначать следующую область: /(ζ, ρ) ∈ Rm+n |ζ| < 1, ρl < A; l = 1,n . + Зададимся произвольным положительным ε. Интеграл (4.14) сходится абсолютно и равномерно по t ∈ (0, 1). Действительно, в силу лемм 4.4.2, 4.4.4 и ограниченности функции u0 его подынтегральная функция при любом A из (0, +∞) и любом t из (0, 1) оценивается сверху по абсолютной величине через π l m n m n 2 2 2 sup |u0| n f1,i(ζi) n f2,l(ρl)+ 2m+n n Γ(νl + 1)e-|ζ| -|ρ| , Mi i=1 l=1 Cl l=1 где 0 f1,i(ζi) 1+ ζ2 , 0 f2,l(ρl) 1+ ρα , i = 1, m, l = 1, n. Значит, можно выбрать таi l ε кое положительное A, что неравенство |I2| < 2m+n+|k|+1C выполняется для любого t из (0, 1). Зафиксируем выбранное A и рассмотрим I1: √ √ T 2ρ t n - n n Γ(νl +1) y0 u0(x0 - 2ζ + 1 t, y0) - u0(x0, y0) = π 2 l=1 Γ(νl 2 ) × π π r r × u0 x0 - 2ζ1√t,..., x0 - 2ζm√t, 1 m 0 ... 0 n р аз (y0)2 + 4ρ2t - 4y0ρ1√t cos θ1,..., 1 1 1 n (y0 )2 + 4ρ2 t - 4y0 ρn√t cos θn n sin2νl θldθl - n n n n π π l=1 n n Γ(νl +1) r r - π- 2 n Γ(νl + 1 ) u0(x0, y0) n sin2νl θldθl = l=1 n 2 0 ... 0 n р аз π π l=1 n Γ(νl +1) r r = π- 2 n u0 x0 - 2ζ1√t,..., x0 - 2ζm√t, l=1 2 Γ(νl + 1 ) 1 m 0 ... 0 n р аз (y0)2 + 4ρ2t - 4y0ρ1√t cos θ1,..., 1 1 1 n (y0 )2 + 4ρ2 t - 4y0 ρn√t cos θn - u0(x0, y0) n sin2νl θldθl. n n n l=1 Пусть δ > 0. В силу непрерывности функции u0 в точке (x0, y0) можно выбрать t0 настолько малым, что для любых t из (0, t0), (ζ, ρ) из Q(A) и θl из [0, π] (l = 1, n) 0 √ 0 √ 0 2 2 0 √ u0 x1 - 2ζ1 t,..., xm - 2ζm t, (y1 ) + 4ρ1t - 4y1 ρ1 t cos θ1,..., (y0 )2 + 4ρ2 t - 4y0 ρn√t cos θn - u0(x0, y0) < δ. n n n 96 ГЛАВА 4. СИНГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Это означает (поскольку положительное δ выбрано произвольно), что √ T 2ρ t √ t→+0 y0 u0(x0 - 2ζ t, y0) -→ u0(x0, y0) равномерно относительно (ζ, ρ) ∈ Q(A). Отсюда и из лемм 4.4.1, 4.4.3 следует, что существует такое положительное t0, что для любого t из (0, t0) и для любого (ζ, ρ) из Q(A) m +∞ 2ρ√t √ n r 2 hiz t cos i Ty0 u0(x0 - 2ζ t, y0) i=1 0 e-z +a t cos √ 2zζ + a t sin hiz i i √t +∞ dz × r n ∞ 2 × n ξkl e-ξ +bltjνl √ ( glξ t j m r (2ξρ ) dξdζdρ - u (x ,y ) n e-z2 cos 2zζ dz × l=1 0 νl l 0 0 0 n i i=1 0 n r∞ ⎤ mΓ ( m ) n 2 (kl + 1) 2 × n ξkl e-ξ jν (2ξρl) dξ⎦ dρ m dζ < l=1 ε, т. е. l l=1 0 π 2 Am+n+|k|22m+n+|k|+1C |I1| m π 2 Am+n+|k|ε n ρkl n r n l dζdρ = ε . 22m+n+|k|+1C 2 22m+n+|k|+1CmΓ ( m ) n(kl + 1) Q(A) l=1 l=1 Поскольку положительное ε выбиралось произвольно, то u(x0, y0, t) - u0(x0, y0) 0. t→+0 -→ Тем самым в силу произвольности выбора точки (x0, y0) функция u(x, y, t) удовлетворяет условию (4.3). Теорема 4.4.1 доказана. + С помощью доказанной теоремы можно, в частности, вычислить весовой интеграл от фундаментального решения по всему Rm+n: Лемма 4.4.5. n πmnΓ2 kl +1 f 1. mi 2. nl r n n ykl E(x, y, t)dxdy = l=1 2 t ), ), ais e i=1 s=1 \ + ), ), blr l=1 r=1 . R m+n l=1 + 2n-m-|k| Доказательство. Рассмотрим u0(x, y) ≡ 1; она непрерывна и ограничена, следовательно в силу теоремы 4.4.1 функция y(x, y, t) d=ef 2n-m n r n l n ηkl E(ξ, η, t)dξdη πmn2kl Γ2 kl + 1 2 R m+n + l=1 l=1 удовлетворяет задаче (4.1)-(4.3) с начальным условием y(x, y, 0) ≡ 1; однако y(x, y, t) не зависит от x, y, следовательно, в действительности y(t) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению / m mi n nl \ yI - y '\" '\" ais + '\" '\" blr = 0 и начальному условию i=1 s=1 l=1 r=1 f m mi n nl \ y(0) = 1. t ), ), ais+ ), ), blr Значит, y(t) = e i=1 s=1 l=1 r=1 . Лемма 4.4.5 доказана. 2. СЛУЧАЙ НЕОДНОРОДНОГО СИНГУЛЯРНОГО УРАВНЕНИЯ 97 4.5. СЛУЧАЙ НЕОДНОРОДНОГО СИНГУЛЯРНОГО УРАВНЕНИЯ В этом разделе будем считать, что правая часть уравнения (4.1) отлична от тождественного нуля. Покажем, что и в этом случае при помощи фундаментального решения E(x, y, t) можно получить интегральное представление решения задачи (4.1)-(4.3). + Для этого зададимся произвольным (x0, y0) из Rm+n и определим (при t > τ > 0) функцию r G(t, τ ) d=ef 2-2m-n-|k| n n ηkl η R m+n l=1 + Справедливо следующее утверждение: l f (ξ, η, t - τ )Ty0 E(x0 - ξ, y0,τ )dξdη. Лемма 4.5.1. Существует такое t0 > 0, что функция G(t, τ ) ограничена в области (0, t0) × (0, t). ξi ηl Доказательство. Используя замену переменных ζi = 2√τ , ρl = 2√τ (i = 1, m, l = 1, n), а также самосопряженность оператора обобщенного сдвига, получаем, что n √ √ G(t, τ ) = 2-mτ m+n+|k| r 2 n ρkl T 2ρ √ τ f (x0 - 2ζ √ τ, y0,t - τ )E(2ζ τ, 2ρ τ, τ )dζdρ. l y0 R m+n l=1 + Теперь так же, как и при доказательстве теоремы 4.4.1, будем без ограничения общности считать, что m1 = ··· = mm = n1 = ··· = nn = 1, и переобозначим bl1 через bl, gl1 - через gl (l = 1, n), ai1 - через ai, а через hi обозначим величину |hi1|, взятую с плюсом или минусом в зависимости от того, с положительным или отрицательным направлением i-й координатной оси пространства Rm совпадает вектор hi1 (i = 1, m). Тогда E(2ζ√t, 2ρ√t, t) равно выражению (4.12), поэтому r m +∞ G(t, τ ) = 2 hiz n r e-z +aiτ cos √τ cos i i √ 2zζ + a τ sin hiz dz × τ R m+n i=1 0 + n × n ρkl 2 ∞ r ξkl e-ξ +blτjνl ( glξ √τ j (2ξρ ) dξ T 2ρ√ τ f (x - 2ζ√τ, y ,t - τ )dζdρ. l l=1 0 νl l y0 0 0 В силу ограниченности f последний интеграл сходится абсолютно и равномерно в треугольнике {0 < τ < t < 1} (доказательство идентично доказательству абсолютной и равномерной сходимости первого слагаемого интеграла (4.14)). Таким образом, имеем следующую оценку функции G: m +∞ ∞ r r 2 hiz hiz |G(t, τ )| 2-n sup |f | n 0 i=1 -∞ e-z +aiτ cos √τ cos τ 2zζi + aiτ sin √ dzdζi × n +∞ r∞ ( g ξ n r kl k ξ2+blτjνl l × ρl l √τ ξ e- j (2ξρ ) dξ dρ . 0 l=1 -∞ νl l l В последнем выражении каждый внешний (одномерный) интеграл (т. е. интеграл, взятый по всей вещественной оси) можно представить в виде r r-1 1 + + +∞ r . Далее, учитывая ограниченность -∞ -1 1 внутренних интегралов и применяя леммы 4.4.2 и 4.4.4 (при этом A полагаем равным единице и 98 ГЛАВА 4. СИНГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ без ограничения общности считаем, что t < 1), получаем, что существует такое α > 1, что ⎛ +∞ r dr ⎞m ⎛ +∞ ⎞n r dr Лемма 4.5.1 доказана. |G(t, τ )| const ⎝2+2 1 r2 ⎠ ⎝2+2 1 rα ⎠ . + Поэтому на Rm+n × (0, +∞) определена функция v(x, y, t) d=ef 2n-m-|k| rt r n n ηkl E(ξ, η, τ )T η f (x - ξ, y, t - τ )dξdηdτ. (4.15) n 0 πmnΓ2 kl + 1 2 R m+n + l y l=1 l=1 В силу четности функции T η E(ξ, y, t) по переменным y ,...,y функция (4.15) удовлетворяет услоy 1 n вию (4.2). Покажем, что эта функция удовлетворяет уравнению (4.1) и однородному начальному условию. + Для доказательства первого из этих утверждений заметим, что, как доказано в пункте 4.2, функция E(x, y, t) удовлетворяет уравнению (4.1) в Rm+n × (0, +∞). Учитывая установленные в пункте 4.3 оценки скорости убывания ее сомножителей и их производных соответствующего порядка при |x|→ ∞, |y|→ ∞, получаем, что остается доказать следующую лемму: + Лемма 4.5.2. Пусть (x0, y0) ∈ Rm+n, t0 > 0. Тогда lim 2n-m-|k| n r n n ηl f (ξ, η, t0 - τ )Ty E(x0 - ξ, y0,τ )dξdη = f (x0, y0, t0). τ →+0 πmnΓ2 l=1 kl + 1 2 kl η 0 R m+n l=1 + Доказательство. r n n ηkl η 2m+n+|k| R m+n l=1 + l f (ξ, η, t0 - τ )Ty0 E(x0 - ξ, y0,τ )dξdη = 2 G(t0,τ ) = r m +∞ = 22m+n+|k| 2 hiz n r e-z +aiτ cos √τ cos i i √ 2zζ + a τ sin hiz dz × n × n ρkl R m+n i=1 0 + 2 ∞ r ξkl e-ξ +blτjνl ( glξ √τ j (2ξρ ) dξT 2ρ√ τ f (x τ · 2ζ√τ, y ,t · τ )dζdρ l l=1 0 νl l y0 0 0 0 (см. доказательство леммы 4.5.1). Поэтому разность 2n-m-|k| n r n ηkl η n πmnΓ2 kl + 1 2 R m+n + l=1 l f (ξ, η, t0 - τ )Ty0 E(x0 - ξ, y0,τ )dξdη - f (x0, y0, t0) l=1 можно записать в виде 2m+2n n πmnΓ2 kl + 1 2 r R m+n + n ρ n kl l l=1 T 2ρ τ √ y0 f (x0 - 2ζ √τ, y0, t0 - τ ) × l=1 m +∞ n r 2 hiz hiz × i=1 0 e-z +aiτ cos √τ cos 2zζi + aiτ sin √τ dz × 4.5. СЛУЧАЙ НЕОДНОРОДНОГО СИНГУЛЯРНОГО УРАВНЕНИЯ 99 n r∞ 2 ( glξ n n m π 2 Γ kl +1 ⎤ 2 ⎥ n √ l=1 2 2 × ξkl e-ξ +blτjνl τ j (2ξρ ) dξ - e-|ζ| -|ρ| f (x ,y ,t )⎥ dζdρ = l=1 0 νl l 2m+n 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎦ 2m+2n = n ⎛ ⎜ r r + ⎜ ⎞ ⎟ def = ⎟ C (I3 + I4), (4.16) πmnΓ2 kl +1 ⎝ 2 Q(A) ⎠ Rm+n + \Q(A) l=1 где A - положительный параметр. Пусть ε > 0. В силу ограниченности функции f интеграл (4.16) сходится абсолютно и равномерно относи- ∈ тельно τ (0, 1); доказательство идентично доказательству абсолютной и равномерной сходимости ε интеграла (4.14). Следовательно, можно выбрать такое положительное A, что |I4| < бого τ из (0, 1). Зафиксируем выбранное A и рассмотрим I3. 2C для лю- Обобщенный сдвиг можно представить в виде T 2ρ τ √ y0 f (x0 - 2ζ √ τ, y0, t0 - τ ) n π π n Γ(νl +1) r r √ √ 1 m π- 2 n Γ(νl + 1 ) f x0 - 2ζ1 τ,..., x0 - 2ζm τ, l=1 2 0 ... 0 n р аз (y0)2 + 4ρ2τ - 4y0ρ1√τ cos θ1,... 1 1 1 n ..., (y0 )2 + 4ρ2 τ - 4y0 ρn√τ cos θn, t0 - τ n sin2νl θldθl. n n n l=1 В силу непрерывности и ограниченности f последнее выражение стремится к f (x0, y0, t0) при τ → +0 равномерно относительно (ζ, ρ) ∈ Q(A). Отсюда и из лемм 4.4.1, 4.4.3 следует, что существует такое положительное τ0, что для любого τ < τ0 и для любого η ∈ Q(A) +∞ r √ √ n m 2 hiz hiz y T 2ρ τ f (x0 - 2ζ τ, y0, t0 - τ ) e-z +aiτ cos √τ cos 2zζi + aiτ sin √ dz × 0 n r∞ 2 ( glξ i=1 0 n n m π 2 Γ τ kl +1 2 n √ l=1 2 2 × ξkl e-ξ +blτjνl τ j (2ξρ ) dξ - e-|ζ| -|ρ| f (x ,y ,t ) < l=1 0 n νl l 2m+n 0 0 0 2 mΓ ( m ) n(kl + 1) m < l=1 4C π 2 Am+n+|k| Лемма 4.5.2 доказана. ε ε, т. е. |I3| 2 . Осталось доказать, что v(x0, y0, t) t→+0 0 для любого (x0, y0) из Rm+n. -→ + Для этого представим v(x0, y0, t) как t 2m+2n n r G(t, τ )dτ 0 πmnΓ2 kl +1 2 l=1 100 ГЛАВА 4. СИНГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ и воспользуемся леммой 4.5.1: существует такое положительное t0, что 2m+2n sup |G| |v(x0, t)| n t∈[0,t0] t πmnΓ2 kl +1 2 l=1 для любого t из (0, t0). Тем самым в силу произвольности выбора точки (x0, y0) доказано следующее утверждение: + Теорема 4.5.1. Пусть функция u0 непрерывна и ограничена в Rm+n, функции f, ∂f ∂x1 ,..., ∂f , ∂xm ∂f ∂y1 ,..., ∂f ∂yn + непрерывны и ограничены в Rm+n × (0, +∞), а функция f удовлетворяет условию (4.2). Тогда функция ⎡ 2n-m-|k| r n η u(x, y, t) = n η ⎢ n kl ⎢ l E(ξ, η, t)Ty u0(x - ξ, y)dξdη + πmnΓ2 kl + 1 ⎣ m+n l=1 2 R+ l=1 ⎤ t r r n + n ηkl E(ξ, η, τ )T η f (x - ξ, y, t - τ )dξdηdτ ⎥ (4.17) l y ⎥ R 0 m+n l=1 ⎦ + является решением задачи (4.1)-(4.3). 4.6. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНОЙ ЗАДАЧИ Прежде всего докажем следующее утверждение: + Лемма 4.6.1. Для любого положительного T функция (4.17) ограничена в Rm+n × [0,T ]. Доказательство. С помощью (4.13) представим решение задачи (4.1)-(4.3) в следующем виде: ⎡ m +∞ r √ r 2 hiz hiz ⎢ T y u(x, y, t) = C1 ⎢ 2ρ ⎣ R m+n + t u0(x - 2ζ√t, y) n i=1 0 t e-z +ait cos √ t cos 2zζi + ait sin √t dz × r n ∞ 2 ( glξ n √ r r √ ρ kl × l l=1 0 m +∞ ξkl e-ξ +bltjνl t jνl T (2ξρl) dξdζdρ + 0 2ρ y R m+n + τ f (x - 2ζ√τ, y, t - τ ) × n r 2 hiz hiz × i=1 0 e-z +aiτ cos √τ cos 2zζi + aiτ sin √τ dz × n × n ρkl 2 ∞ r ξkl e-ξ +blτjνl ( glξ √τ j ⎤ (2ξρ ) dξdζdρdτ ⎦ def C [I (x, y, t)+ I (x, y, t)] l l=1 0 νl l = 1 5 6 (при этом относительно коэффициентов уравнения сделаны те же не ограничивающие общности предположения, что и при доказательстве теоремы 4.4.1, но учтено, что правая часть уравнения, вообще говоря, отлична от тождественного нуля). Дважды применяя к интегралу +∞ r 2 hiz t cos e-z +ait cos √ 0 2zζ + a t sin hiz i i √t dz (i = 1, m) 1. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНОЙ ЗАДАЧИ 101 формулу интегрирования по частям, получаем (см. [59]), что при 0 t T, ζi /= 0 модуль последнеai|T ζ 2 го интеграла не превосходит Mi(1 + T )e| i , где постоянная Mi зависит только от коэффициентов уравнения (4.1). Применяя к интегралу 2 ∞ r ξkl e-ξ +bltjνl 0 ( glξ √ t jνl (2ξρl) dξ (l = 1, n) формулу интегрирования по частям n0 раз (здесь n0 - единственное натуральное число, лежащее 3 5 в νl + 2 , νl + 2 ), получаем (см. [112]), что при 0 t T и ρl > 0 модуль последнего интеграла bl|T не превосходит M l(T )e| ρ k+α l , где функция M l есть линейная комбинация степенных функций с неотрицательными показателями, коэффициенты которой зависят только от коэффициентов уравнения (4.1). Полученные оценки используем при |ζi| > 1, ρl > 1 (i = 1, m, l = 1, n). При |ζi| 1 и ρl 1 абсолютные величины указанных интегралов очевидным образом оцениваются сверху через √πe|ai|T 2 и Γ(νl + 1)e 2 |bl|T соответственно. Использование этих оценок и ограниченности функций u0,f и завершает доказательство. Теперь исследование единственности найденного решения задачи (4.1)-(4.3) можно провести методом преобразований Фурье (см. [15, гл. 2, § 4 и Добавление 1]) с использованием преобразования Фурье-Бесселя (см., например, [41, гл. 1]). Для этого, следуя [15, гл. 1], введем специальные пространства основных функций следующим образом (ср. [41, § 1.1]). При этом мы будем считать, что условие (4.2) заменено эквивалентным ему условием четности функции u по каждой переменной yl (l = 1, n), а сама задача, соответственно, рассматривается во всем Rm+n × (0, +∞) (см. раздел 4.1). Пусть μi, ωi - такие непрерывные возрастающие на [0, +∞) функции, что μi(0) = ωi(0) = 0, lim μi(r) = lim ωi(r) = ∞; i = 1,m + n. r→∞ r→∞ На [0, +∞) определим возрастающие выпуклые вниз функции Mi(r) d=ef r r μi(ρ)dρ, Ωi(r) d=ef 0 r r ωi(ρ)dρ. 0 В качестве пространства основных функций W Ω d=ef W Ω1,...,Ωm+n возьмем множество четных по M M1,...,Mm+n каждой yl (l = 1, n) целых функций m + n комплексных переменных, удовлетворяющих оценке |ϕ(x1,..., xm, y1,..., yn)| m n m n - ), Mi(αiRexi)- ), Mm+l(αlReyl)+ ), Ωi(βiImxi)+ ), Ωm+l(βlImyl) Ce i=1 l=1 i=1 l=1 , (4.18) где постоянные C, α1,..., αm+n, β1,..., βm+n могут зависеть от основной функции ϕ. M Топология в W Ω ν=1 вводится классическим образом: последовательность {ϕν }∞ называется схо- W Ω дящейся к нулю в M , если она равномерно сходится к нулю в любой ограниченной области C m+n и постоянные C, α1,..., αm+n, β1,..., βm+n можно взять не зависящими от ν ∈ N. M Соответственно, множество Q ⊂ W Ω называется ограниченным, если для всех элементов Q оценка (4.18) выполнена с одними и теми же постоянными C, α1,..., αm+n, β1,..., βm+n. M Преобразование Фурье-Бесселя определяется на W Ω следующим образом: r fˆ(ξ, η) d=ef Fbf d=ef n n ykl jν (ηlyl)e-ix·ξ f (x, y)dxdy. l l R m+n l=1 + 102 ГЛАВА 4. СИНГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ M,α Через W Ω,β M обозначим такое подмножество W Ω , для каждого элемента которого неравенство (4.18), в котором α, β заменены на α˜, β˜ соответственно, справедливо при любых α˜1 < α1,..., α˜m+n < αm+n, β˜1 > β1,..., β˜m+n > βm+n. Справедливо следующее утверждение: Лемма 4.6.2. Пусть при i ∈ 1,m + n функции M i и Ω i двойственны по Юнгу к функциям Ωi и Mi соответственно. Тогда преобразование Фурье-Бесселя является ограниченным Ω, 1 M,α оператором, отображающим W Ω,β в W α , где β M , 1 Доказательство. 1 1 = α α1 ,..., 1 αm+n 1 1 , = β β1 1 ,..., 1 . βm+n Γ(ν + 1) r (ix-y)t 2 ν- 1 2 ) jν (x + iy) = √π Γ(ν + 1 e -1 1 (1 - t ) 2 dt для любого ν > - 2 (см., например, [41, (1.5.8)]), поэтому |jν (x + iy)| const e|y|. Дальнейшее доказательство полностью идентично доказательству теоремы 4 из [15, гл. 1, §3]. Лемма 4.6.2 доказана. Теперь рассмотрим эллиптический оператор A, содержащийся в уравнении 4.4.1: m ∂2u mi l n / nl \ Au d=ef '\" + '\" aisu(x + his, y, t) + '\" Bk ,y u + '\" blr T glr u . (4.19) Найдем его символ i=1 i ∂x2 s=1 l=1 l l yl r=1 P(z) d=ef P(z1,..., zm+n) d=ef P(σ1 + iτ1,..., σm+n + iτm+n). Достаточно рассмотреть случай m1 = n1 = 1 (т. е., когда есть одна особая и одна неособая пространственные переменные). Тогда m1 n1 P(z1, z2) = -z2 + '\" a1se-ih1sz1 - z2 + '\" b1r jν (g1r z2) (см. [41, (1.3.5) и (1.3.8)]), 1 s=1 m1 2 1 r=1 n1 1 ReP(z) = |σ|2 - |τ |2 + '\" a1seh1sτ1 cos h1sσ1 + '\" b1r Rejν (g1r z2). s=1 Снова используя [41, (1.5.8)], получаем, что 1 r=1 r 2 ν1- 1 -τ2t следовательно, Rejν1 (z2) = const -1 1 (1 - t ) 2 e cos σ2tdt, r 2 ν1- 1 -g1r τ2t Rejν1 (g1r z2) = const -1 (1 - t ) 2 e cos(g1r σ2t)dt. Теперь оценим функцию Q(z, t0, t) d=ef e(t-t0)P(z). |Q(z, t0, t)| e f (t-t0) m1 2 |σ| + ), |a1s|e s=1 h1sτ1 n1 +const ), |b1r |e r=1 |g1r |τ2 \ 2 e(t-t0)[(1+|σ|) +C2e C3τ ]. 2. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНОЙ ЗАДАЧИ 103 + Из последней оценки и леммы 4.6.2 вытекает (см. [15, гл. 2, Добавление 1]), что задача (4.1)-(4.3) из раздела 4.1 имеет не более одного ограниченного в каждом слое Rm+n × [0,T ] решения. Тогда из леммы 4.6.1 и линейности уравнения (4.1) следует + Теорема 4.6.1. Функция (4.17) есть единственное решение задачи (4.1)-(4.3), которое при каждом положительном T ограничено в Rm+n × [0,T ]. + Замечание 4.6.1. Требование ограниченности функции f и ее производных можно ослабить, заменив его требованием их ограниченности в каждом слое Rm+n × [0,T ]. 4.7. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНОЙ ЗАДАЧИ В данном разделе исследуется поведение решения задачи (4.1)-(4.3) при t → ∞. Для этого наряду с оператором A, введенным формулой (4.19), введем оператор L, действующий следующим образом: m Lu d=ef '\" ∂ u 2 n + '\" B u + '\" a u(x + h , y, t)+ '\" b T glr u. i=1 i ∂x2 l=1 kl,yl is is ais<0 lr yl blr <0 Далее, не ограничивая общности, переобозначим вектор his через (0,..., 0, his, 0,..., 0) (здесь i-1 раз his - уже скалярная величина). ⎛ ⎞ Теперь обозначим оператор '\" '\" ⎝ ais + blr ⎠ I -L через R и рассмотрим вещественную часть его символа: ais<0 blr <0 l ReR(ξ, η) = '\" ais + '\" blr + |ξ|2 + |η|2 - '\" ais cos hisξi - '\" blr jν (glr ηl) ais<0 blr <0 ais<0 blr <0 (ср. [124, § 8]). Назовем R(ξ, η) положительно определенным, если существует такое C > 0, что + ReR(ξ, η) C (|ξ|2 + |η|2) для любого (ξ, η) из Rm+n. Наряду с уравнением (4.1) рассмотрим уравнение ∂w m ∂2w n = '\" + '\" Bk ,y w, (x, y) ∈ Rm+n, t > 0, (4.20) и начальное условие ∂t i=1 i ∂x2 l l + l=1 w m+n где w0 непрерывна и ограничена. t=0 = w0(x, y), (x, y) ∈ R+ , (4.21) Как известно из [43] (см. также [44] и [53]), задача (4.20), (4.2), (4.21) имеет единственное классическое ограниченное решение w(x, y, t). Справедливо следующее утверждение: + Теорема 4.7.1. Пусть f (x, y) ≡ 0 и R(ξ, η) является положительно определенным. Тогда для любого (x, y) из Rm+n f m mi n nl \ -t ), ), ais+ ), ), blr x1 + q1t xm + qmt y1 yn t→∞ e где i=1 s=1 l=1 r=1 u(x, y, t) - w ,..., p1 pm , pm+1 ,..., ,t pm+n -→ 0, (4.22) 1 mi mi pi = 1+ 2 is '\" aish2 , qi = '\" aishis при i = 1, m, s=1 1 s=1 nl pm+l = 1+ 2(kl + 1) lr '\" blr g2 r=1 при l = 1, n, w0(x, y) = u0(p1x1,..., pmxm, pm+1y1,... pm+nyn). 104 ГЛАВА 4. СИНГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Доказательство. Прежде всего покажем, что в условиях теоремы p1,..., pm+n определены корректно и отличны от нуля. Считая (без ограничения общности), что при любых i ∈ 1, m, l ∈ 1,n mi nl a >0 (конечные) последовательности {ais}s=1, {blr }r=1 упорядочены по неубыванию, обозначим min s is через m0, min r - через n0; для тех i, l, при которых все коэффициенты отрицательны, в качестве i blr >0 l m0 0 i (соответственно nl ) возьмем mi +1 (соответственно nl + 1). Пусть i ∈ 1, m. Из условия теоремы следует, что '\" i s<m0 i ais + ξ2 - '\" i s<m0 i ais cos hisξi Cξ2 для любого положительного ξi (в силу условия положительной определенности, в котором 1 ξ1,..., ξi-1, ξi+1,..., ξm, η1,..., ηn положены равными нулю). Отсюда 2 '\" i s<m0 is aish2 > -1 (см. доказательство теоремы 1 в [62]), т. е. p1,..., pm определены и положительны. Пусть теперь l ∈ 1, n. Тогда '\" blr + η2 - '\" blr jν (glr ηl) Cη2 l r<n0 l l l l r<n0 для любого положительного ηl, следовательно, Cη2 η2 + '\" blr [1 - jν (glr ηl)] . l l l l r<n0 z2 4 z2 4 jν (z) = 1 - 4(ν + 1) + O(z ) =⇒ 1 - jν (z) = 4(ν + 1) + O(z ), значит, в некоторой окрестности начала координат 2 Cη2 η2 + ηl '\" b g2 + O(η4). Отсюда 1. l 4(νl + 1) l r<n0 lr lr l 1 '\" 2 2 поэтому l C 1+ 4(ν + 1) l r<n0 blr glr + O(ηl ), C 1 '\" 2 2 C l 2 1+ 4(ν + 1) l r<n0 blr glr + O(ηl ) - 2 , т. е. в достаточно малой окрестности начала координат C 0 < 2 1+ 1 4(νl + 1) '\" l r<n0 lr blr g2 =⇒ 1 4(νl + 1) '\" l r<n0 lr blr g2 > -1. Таким образом, pm+1,..., pm+n определены и положительны. Теперь докажем следующую предварительную лемму. Лемма 4.7.1. Пусть выполнены условия теоремы 4.7.1. Тогда для любого l ∈ m + 1,m + n ∞ nl I r -η2+t ), jν 1 ( glrηl l √ - Γ(ν 2 + 1) ρ l e η2νl+1 l l t r=1 l (2ρη )dη -→ jν l l t→∞ l e - p2 l 0 равномерно по ρ 0. l 2pkl+1 4.7. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНОЙ ЗАДАЧИ 105 Доказательство. Прежде всего отметим, что знак суммы и индекс r можно опускать, так как, очевидно, достаточно доказать лемму для случая одного слагаемого. Индекс l также опустим в силу произвольности его выбора, а p2 переобозначим через p. Далее ∞ r η2ν+1e-pη2 j 1 (2ρη)dη = Γ(ν + 1) ρ2 e- p , ν 0 поэтому достаточно доказать, что pν+1 2 равномерно по ρ 0. r∞ η2ν+1jν (2ρη) 0 bt η2+ Ijν e- ( gη l - √ 1 t 2 - e-pη -→ dη t→∞ 0 Прежде всего докажем абсолютную и равномерную по t, ρ сходимость последнего интеграла. Для этого в силу положительности p и ограниченности функции jν достаточно оценить показатель первой из подынтегральных экспонент. При этом считаем, что b < 0, так как в противном случае доказываемая сходимость очевидна. Пусть параметр a < 0. Оценим функцию f (z) d=ef z2 - a[jν (z) - 1]: z f I(z) = 2z + a jν+1(z) = 2z 1+ a 1 jν+1(z) 0 при a 2ν +2 1 ⇐⇒ a -4ν - 4. 4ν +4 4ν + 4 Таким образом, при a -4ν - 4 функция f не убывает на [0, +∞). Поскольку f (0) = 0, то при a a -4ν - 4 функция f неотрицательна на всей вещественной оси (в силу своей четности). Пусть теперь a > -4ν - 4. Тогда существует такое α из (0, 1), что тельно, - 1 α -4ν - 4. Следоваf (z) - αz2 = (1 - α)z2 - a[jν (z) - 1] = (1 - α) z2 - a 1 - α [jν (z) - 1] 0. Таким образом, при a > -4ν - 4 существует такое положительное α, что f (z) αz2 на R1. Теперь, переобозначив gη √t через z, представим оцениваемый показатель в виде z2t t 2 2 - g2 + bt[jν (z) - 1] = - g2 (z - bg [jν (z) - 1]) . Поскольку bg2 > -4ν - 4, то существует такое положительное α, что последнее выражение не пре- - восходит tαz2 g2 = -αη2 , следовательно, последний интеграл сходится абсолютно и равномерно. Тогда разобьем его на сумму r δ r∞ + 0 δ d=ef I1 + I2 и, пользуясь доказанной его абсолютной и рав- ε номерной сходимостью, выберем такое положительное δ, что |I2| 2 для любого t 1, где произвольное положительное ε задано наперед. Зафиксируем выбранное δ и оценим I1. Его модуль не превосходит δ r 2 I ( gη l - η2ν+1e-pη2 e(p-1)η +bt jν 0 t √ 1 - 1 dη. Для оценки последнего выражения представим функцию jν (z) в виде где θ ∈ [0, z]. ν jν (0) + jI (0)z + ν jII(0) 2 z2 + ν jIII(θ) 6 z3, jν (0) = 1, jI ν (0) = 0, 106 ГЛАВА 4. СИНГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ j (0) = - , 1 II ν 2ν +2 3θjν+2(θ) θ3jν+3(θ) III jν (θ) = 4(ν + 1)(ν + 2) - 8(ν + 1)(ν + 2)(ν + 3) . Таким образом, где gη jν √t 1 - 1 = - 4(ν + 1) 3gδ g2η2 + t ψ(η, t)g3η3 3 , t 2 (gδ)3 для любых t 1,η δ. |ψ(η, t)| 8(ν + 1)(ν + 2) + 48(ν + 1)(ν + 2)(ν + 3) Следовательно, показатель второй экспоненты в последнем интеграле равен bg2 2 bψ(η, t)g3η3 bψ(η, t)g3η3 def ψ (η, t) p - 1 - 4(ν + 1) η + √t = √t = √t , где существует такое положительное M, что |ψ (η, t)| M для любых η ∈ [0, δ] и t 1. Таким образом, δ r |I1| η2ν+1e-pη2 ψ (η,t) √ 0 M √ M - √ - e t 1 dη. Выберем такое t0 из [1, +∞), что e t0 ,e ⎛ δ t0 ∈ [1 - δ0, 1+ δ0], где ⎞-1 o r δ0 = 2 ⎝ 0 η2ν+1 e-pη2 dη⎠ . 1 2 0 Тогда в силу монотонности экспоненты |I | ε для любого t t . Лемма 4.7.1 доказана. Перейдем теперь непосредственно к выводу предельного соотношения (4.22). Очевидно, достаточно сделать это для случая m1 = ··· = mm = n1 = ··· = nn = 1, поэтому опустим вторые индексы коэффициентов a, b, h, g. Пусть (x0, y0) = (x0,..., x0 , y0,..., y0 ) - произвольный элемент Rm+n. Применяя форму- 1 лу (4.13), представим 2. 1 n + f m n \ -t ), ai+ ), bl в виде e 2m+2n m i=1 r l=1 √ T 2ρ t u(x0, y0, t) √ πm Γ2(νl + 1) i=1 R m+n + y0 u0(x0 - 2ζ t, y0) × m +∞ n r 2 ( hiz × e-z +ait cos √t -1 cos 2zζ hiz + a t sin dz × i=1 0 r 3. ∞ n i i √t 2 I ( glξ l t j √ ρ kl × l l=1 0 ξkl e-ξ +blt jνl -1 νl (2ξρl) dξdζdρ. В дальнейшем будем, не ограничивая общности, считать, что m = n = 1. Тогда последнее выражение примет следующий вид: 8 2 πΓ2 ( k+1 ) r∞ r∞ y0 0 0 - ρk T 2ρ√t u (x 2ζ √t, y0) × 0 -∞ 4.7. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНОЙ ЗАДАЧИ 107 ∞ + r 2 ( hz - × e-z +at cos √ 1 t cos hz 2zζ + at sin √ dz × 0 r∞ 2 t I ( gξ l × ξk e-ξ +bt jν 0 t j √ -1 ν (2ξρ) dξdζdρ. Наряду с этим выражением рассмотрим r∞ r∞ r +∞ 8 2 πΓ2 ( k+1 ) 0 y0 0 0 - ρk T 2ρ√t u (x 2ζ -∞ 2 √t, y0) 0 2 e-(1+ ah )z2 ah cos(2ζ + √ t)z dz × ∞ × r ξk e- 1+ bg2 l 2(k+1) ξ2 jν 8 πΓ2 2 (2ξρ) dξdζdρ = ( k+1 ) r∞ r∞ ρ T k 2ρ√ y0 t u0(x0 - 2ζ√t, y0) × 0 +∞ r 2 2 √ r∞ 0 -∞ 2 2 × e-p1z 0 cos(2ζ + ah t)z dz 0 ξk e-p2ξ jν (2ξρ) dξdζdρ = 2 = √πΓ ( k+1 ) p pk+1 r∞ r∞ y0 0 0 - ρk T 2ρ√t u (x 2ζ √t, y0)e- t (2ζ+q1√ )2 ρ2 1 p 2 4p2 - 2 dζdρ. (4.23) 2 1 2 0 -∞ С другой стороны, из [44, 45, 48-51, 53] известно, что r∞ r∞ следовательно, 2 2 w(x0, y0, t) = √πΓ ( k+1 ) 0 ρk e -∞ -ζ2-ρ2 y0 0 0 - T 2ρ√tw (x 2ζ √t, y0)dζdρ, x0 + q1t y0 2 r∞ r∞ t (2ζ+q1√ )2 k - 4p2 2 √ -ρ T 2p2ρ t √ w , ,t p1 p2 √ 2 1 1 = πΓ ( k+1 ) p ρ e 0 -∞ y0 u0(x0 - 2ζ t, y0)dζdρ = k 2 r∞ r∞ 2ρ√t t (2ζ+q1√ )2 ρ2 √ - 4p2 - 2 = √πΓ ( k+1 ) p pk+1 ρ Ty0 u0(x0 - 2ζ t, y0)e 1 p2 dζdρ. 2 1 2 0 -∞ x0 + q1t y0 Таким образом, выражение (4.23) равно w , ,t p1 p2 , т. е. для вывода соотношения (4.22) нужно исследовать поведение при t →∞ следующего интеграла: r∞ r∞ √ ρk T 2ρ t + √ ⎡ r∞ 2 -z +at √ 1 (cos hz - cos hz 2zζ + at sin dz × 0 -∞ y0 u0(x0 - 2ζ t, y0) ⎣ e 0 t √ t √ 2 l r∞ 2 I ( gξ l 2 √π (2ζ+q1 t) Γ(ν + 1) ρ × ξk e-ξ +bt jν 0 t √ -1 ν j (2ξρ) dξ - 2 e- 2p1 p 2 4p1 e- 2 2 2pk+1 dζdρ. (4.24) Прежде всего докажем абсолютную и равномерную относительно t ∈ [1, +∞) сходимость последнего интеграла. В силу ограниченности функции u0 модуль его второго слагаемого оценивается сверху через const r∞ ζ2 1 e- p2 dζ r∞ ρ2 2 ρk e- p2 dρ, следовательно, достаточно доказать абсолютную и рав- -∞ 0 номерную сходимость его первого слагаемого. Заменой переменных y = 2ζ + q√t оно сводится к 108 ГЛАВА 4. СИНГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ следующему виду: r∞ r∞ √ ∞ + r ( 1 ρk T 2ρ t √ hz -z2+at cos √ -1 √ hz 2 0 -∞ y0 u0(x0 - y t - qt, y0) e 0 t cos yz - q tz + at sin √t dz × r∞ 2 I ( gξ l × ξk e-ξ +bt jν 0 t j √ -1 ν (2ξρ) dξdydρ. В разделе 2.3 доказано, что в условиях теоремы 4.7.1 при t 1 и y > 0 +∞ r ( 2 hz e-z +at cos √t -1 cos yz - q √ hz tz + at sin M dz √t 1+ y2 0 с некоторым положительным M. Далее из раздела 3.3 известно, что r∞ 2 I ( gξ l j ξk e-ξ +bt jν 0 t √ -1 ν (2ξρ) dξ представляет собой конечную сумму слагаемых вида r∞ I ( gξ l gξ 1 -ξ2+bt jν √ -1 ρ2ν+2mtl 0 ξjν+m(2ρξ)e t jν+l+1 √t fl(ξ, t)dξ, (4.25) где jν (z) = zν Jν (z), fl ограничена и натуральное l не превосходит m - 1. При t 1 модуль выражения (4.25) не превосходит const ρ2ν+2m r∞ ξjν+m(2ρξ)e I -ξ2+bt jν ( gξ l √t -1 dξ. (4.26) 0 Далее имеем 1 ν+m+1 1 (2ρξ)ν+m+ 2 ξjν+m(2ρξ) = 2ρ (2ρξ) Jν+m(2ρξ) = 2ρ 2 2ρξJν+m(2ρξ), однако в условиях теоремы 4.7.1, т. е. при 1+ bg 4ν +4 > 0, показатель экспоненты в (4.26) не превосходит -αξ2 с некоторым положительным α (см. доказательство леммы 4.7.1). Отсюда, учитывая ограниченность функции √τ Jν (τ ), получаем, что модуль выражения (4.26) не превосходит r∞ 2 e const 1 ρ2ν+2m+1-ν-m- 2 0 ξm+ν+ 3 - αξ2 dξ = const 1 . ρm+ν+ 2 Таким образом, выбирая натуральное m из что 3 ν + 2 , ∞ , получаем, что существует такое β > 1, r∞ 2 I ( gξ l ξk e-ξ +bt jν 0 t j √ -1 ν const (2ξρ) dξ ρβ . Используем эту оценку при ρ 1, а при ρ ∈ (0, 1) используем ограниченность последнего интеграла (как функции от t ∈ [1, ∞) и ρ ∈ (0, 1)), вытекающую из ограниченности jν (·) и вышеуказанной оценки леммы 4.4.1 на показатель подынтегральной экспоненты. В силу ограниченности функции u0 это завершает доказательство абсолютной и равномерной сходимости первого слагаемого интеграла (4.24). 4.7. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНОЙ ЗАДАЧИ 109 Теперь разобьем (4.24) в следующую сумму: r r + d=ef I3 + I4. {|ζ|<δ, 0<ρ<δ} + R2 \{|ζ|<δ, 0<ρ<δ} 4 2 В силу доказанной его абсолютной и равномерной сходимости можно выбрать такое положительное δ, что |I | ε для любого t из [1, ∞), где положительное ε задано наперед. Зафиксируем выбранное δ и рассмотрим I3. В силу ограниченности функции u0 ∞ δ δ + r r r 2 ( hz |I3| const 0 ρk -δ 0 √ e-z +at cos t -1 × hz I ∞ r k -ξ2+bt jν ( gξ l √ -1 × cos 2zζ + at sin √t dz ξ e t jν (2ξρ) dξ - t √π (2ζ+q1√ )2 Γ(ν + 1) 0 ρ2 e- 4p2 e- p2 dζdρ. (4.27) - 2p1 1 2 pk+1 2 2 В силу [62, лемма 1] +∞ √ 2 r 2 ( hz π √ (2ζ+q1 t) e-z +at 0 - cos √ 1 t cos hz 2zζ + at sin √t dz - e- 2p1 1 4p2 0 t→∞ -→ равномерно относительно ζ ∈ R1. Отсюда и из леммы 4.7.1 следует, что существует такое t0 > 0, что для любого t t0 выражение ⎛ δ δ ⎞-1 под знаком модуля в (4.27) не превосходит ε r 2 ⎝ 0 Теорема 4.7.1 доказана полностью. r ρk dζdρ⎠ . -δ Аналогично регулярному случаю [62], дополнительное условие симметричности эллиптического оператора, содержащегося в рассматриваемом уравнении, приводит к тому, что кроме весовой близости решений (утверждение теоремы 4.7.1) имеет место и весовая стабилизация решения u(x, y, t). А именно, справедливо следующее утверждение: Следствие 4.7.1. Пусть выполнены условия теоремы 4.7.1, а оператор A симметричен. Тогда при любом вещественном l необходимым и достаточным условием справедливости утверждения f m mi n nl \ -t ), ), ais+ ), ), blr lim e t→∞ i=1 s=1 l=1 r=1 + u(x, y, t) = l для любого (x, y) ∈ Rm+n является выполнение соотношения lim Cm,n,k r t→∞ tm+n+|k| n l n ykl u0(x, y)dxdy = l, где B+(p,t) l=1 Γ ( kn+1 ) Γ kn+kn-1+1 ··· Γ |k|+1 m n π 2 Γ k l+1 2 Cm,n,k = 2 Γ kn+kn-1 2 kn+kn-1+kn-2 2 |k| , l=1 m n 2 +1 Γ 2 +1 ··· Γ 2 +1 m+l 2n-1(m + n + |k|) pi pkl+1 а ( m x2 n y2 i=1 l=1 B+(p, t) = (x, y) ∈ Rm+n '\" i + '\" l < t2 . p + 2 2 i=1 pi l=1 m+l 110 ДОПОЛНЕНИЕ. СИНГУЛЯРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Для доказательства достаточно заметить, что в условиях следствия 4.7.1 q1 = ··· = qm = 0, и применить теоремы о стабилизации сингулярных дифференциальных параболических уравнений. Подробнее см. Дополнение. Замечание 4.7.1. Поскольку T hf (y) = T -hf (y), то сингулярная часть оператора A всегда явy y ляется симметричной. Поэтому условие симметричности оператора A можно заменить условием симметричности следующего дифференциально-разностного оператора: m ∂2u mi l ∂x2 Areg u d=ef '\" + '\" aisu(x + his, y, t) . i=1 i s=1 Замечание 4.7.2. Если условия следствия 4.7.1 выполнены, то требование симметричности оператора Areg можно ослабить, заменив его следующим требованием: ai⊥hi для любого i ∈ 1, m, где ai = (ai1,..., aimi ), hi = (hi1,..., himi ). Замечание 4.7.3. Из следствия 4.7.1 видно, что в функционально-дифференциальном случае поверхности, ограничивающие области усреднения начальной функции, фигурирующие в условии стабилизации решения, вообще говоря, уже не являются сегментами сфер: они обращаются в сегменты эллипсоидов. Напомним, что в классическом случае дифференциальных уравнений такой эффект возникает, если заменить оператор B = x Δ def Δ + n '\" l=1 Bkl,yl оператором с различными коэффициентами при различных вторых производных: 2 n '\" p2 ∂ n + '\" p2 B . i=1 i i ∂x2 l=1 m+l kl,yl Замечание 4.7.4. Замечание 1.6.1 полностью справедливо и в сингулярном случае. ДОПОЛНЕНИЕ. СИНГУЛЯРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 5.1. СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ. МОДЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ В этом разделе изучается асимптотика решения задачи Коши для уравнений вида ∂u 1 ∂ ∂u ∂u 1 ∂ ∂u = Δu + ∂t yk ∂y yk ∂y и = a(t) ∂t Δu + yk ∂y yk . ∂y Вопросы, связанные с существованием и единственностью решений таких задач, изучались в [43, 52, 53] и ряде других работ. В регулярном случае (т. е. при k = 0) асимптотика решения изучалась в [81, 82]. 5.1.1. Задача Коши для сингулярного уравнения теплопроводности. Будем использовать следующие обозначения: Rn - вещественное евклидово n-мерное пространство; Rn+1 + - полупространство {(x, y)|x ∈ Rn ,y > 0}; ∂2 1 Δ = ∂x2 + ··· + ∂2 n ∂x2 ; Bk,y = ∂2u ∂y2 + k ∂u y ∂y (k - положительный параметр). Рассмотрим следующую задачу: ∂u ∂t = (Δ + Bk,y ) u, x ∈ Rn, y > 0, t > 0, (5.1) u t=0= ϕ(x, y), ∂u ∂y y=0= 0. (5.2) + Здесь функция ϕ(x, y) непрерывна и ограничена в Rn+1. 5.1. СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ. МОДЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ 111 В [43] установлено, что задача (5.1)-(5.2) имеет единственное ограниченное решение и это решение является классическим, т. е. имеет соответствующее число непрерывных производных (при y = 0 производная по y является правой производной), а соотношения (5.1) и (5.2) выполняются поточечно (а на гиперплоскостях {t = 0} и {y = 0} - в смысле предельных значений при t → 0+ и y → 0+). Отметим, что в данной главе всюду при изучении задачи Коши речь идет о классических решениях. Теорема 5.1.1. Пусть функция u(x, y, t) есть ограниченное решение задачи (5.1)-(5.2). Тогда для любого вещественного l, любого x ∈ Rn и любого y 0 соотношение lim u(x, y, t) = l (5.3) t→∞ справедливо тогда и только тогда, когда справедливо соотношение lim n + k +1 r n yk ϕ(x, y)dxdy = Γ ( k+1 ) 2 l, (5.4) t→∞ π 2 tn+k+1 B+(t) Γ ( n+k+1 ) 2 где B+(A) обозначает полушар {|x|2 + y2 < A2| y > 0}. Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что n = 1. Разобьем доказательство на три этапа. На первом докажем утверждение теоремы при x = y = l = 0. На втором докажем, что утверждения « lim u(0, 0, t) = 0» и « lim u(x, y, t) = 0» эквивалентны t→∞ t→∞ + при любых (x, y) ∈ Rn+1. На третьем докажем утверждение теоремы при любом вещественном l. 1 этап. Достаточность. Пусть 1 lim r yk ϕ(x, y)dxdy = 0. t→∞ tk+2 Как известно (см., например, [52]), B+(t) k r∞ +∞ 2-k-1t- 2 -1 2 u(0, 0, t) = √πΓ( k+1 ) r 0 -∞ 1 yk ϕ(x, y)e- x2+y2 4t dxdy. Введем функцию v0(x, y) по формуле v0(x, y) = 2 [ϕ(x, y)+ ϕ(-x, y)]. Тогда π 1 tk+2 r B+(t) k 1 y ϕ(x, y)dxdy = tk+2 t 2 r r rk+1 0 0 v0(r cos α, r sin α) sink α dαdr, 1 k t 2 +1 r r∞ +∞ yk ϕ(x, y)e x2 +y2 - 4t dxdy = k 2k +3 r∞r∞ τ k+2 y v0(x, y)e x2 +y2 - τ dxdy, = 2 где τ √t. r∞r∞ 0 -∞ 0 0 Обозначим yk v0(tx, ty)e-x -y dxdy через v(t) и покажем, что v(t) t→∞ 0. 2 2 -→ 0 0 Полярной заменой переменных получаем: π r r∞ 2 v(t) = 0 0 2 rk+1v0(tr cos α, tr sin α) sink α e-r dαdr = π ∞ = 2 r2 r rk+3 e- rt 2 r r ηk+1v (η cos α, η sin α) sink α dαdηdr = (rt)k+2 0 0 0 0 112 ДОПОЛНЕНИЕ. СИНГУЛЯРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ δ = 2 r2 r rk+3 e- π rt 2 r r ηk+1v (η cos α, η sin α) sink α dαdηdr+ (rt)k+2 0 0 0 0 π ∞ +2 r2 r rk+3 e- rt 2 r r ηk+1v (η cos α, η sin α) sink α dαdηdr def J (t; δ)+ J (t; δ) (rt)k+2 0 δ 0 0 = 1 2 (здесь δ - положительный параметр). π t 2 1 r r k+1 k Поскольку v0(x, y) ограничена, то и tk+2 η 0 0 v0(η cos α, η sin α) sin α dαdη ограничена. Поэтому существует такое M, что для любых положительных r и t справедливо неравенство π t 2 1 r r ηk+1 v0(η cos α, η sin α) sink α dαdη M. tk+2 0 0 δ r 2 Значит, |J1(t; δ)| 2M 0 rk+3e-r dr для любых положительных δ и t. Выберем δ так, чтобы вы- ε полнялось неравенство |J1(t; δ)| < 2 , и зафиксируем это δ. По условию для любого положительного ε существует такое положительное R, что для любого t R π t 2 1 r r yk+1 v0(y cos α, y sin α) sink α dαdy < o ⎛ r∞ ⎝2 rk+3 e-r2 ⎞-1 dr⎠ . Значит, tk+2 0 0 o ⎛ r∞ k+3 -r2 ⎞-1 2 ∞ r k+3 δ -r2 ε при любом t R. |J1(t; δ)| < 2 ⎝2 r δ e dr⎠ 2 r δ e dr = 2 Таким образом, для любого ε > 0 существует такое R > 0, что |v(t)| < ε для любого t ∈ [R, +∞). В силу того, что τ и t стремятся или не стремятся к бесконечности одновременно, достаточность доказана. Необходимость. r Введем функцию f0(r) = yk ϕ(x, y)dS, где S+(A) обозначает полуокружность {x2 + y2 = S+(r) A2| y > 0}, dS - элемент длины. Очевидно, f0(r) непрерывна и удовлетворяет оценке |f0(r)| Crk+1, где C = π sup |ϕ(x, y)|. Тогда R 2 + 1 k t 2 +1 r r∞ +∞ yk ϕ(x, y)e x2 +y2 - 4t dxdy = 2k +2 r∞ τ k+1 e-r2 f0(rτ )dr. 0 -∞ 0 Поскольку τ и t стремятся или не стремятся к бесконечности одновременно, достаточно доказать следующее утверждение: Лемма 5.1.1. Пусть для непрерывной функции f (t), удовлетворяющей оценке |f (t)| Ctk+1 при t 0, справедливо следующее соотношение: r∞ 2 1 lim e-r f (rt)dr = 0. t→∞ tk+1 0 5.1. СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ. МОДЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ 113 Тогда lim t 1 r f (r)dr = 0. t→∞ tk+2 0 Доказательство. Воспользуемся следствием из тауберовой теоремы Винера (см. [25, с. 163]): r∞ если ϕ ∈ L1(0, ∞), g ∈ L∞(0, ∞), ϕ(t)tix 0 dt /= 0 для любого вещественного x и lim 1 r∞ ϕ t g(t)dt = 0, r→∞ r r 0 то для любой функции ψ ∈ L1(0, ∞) справедливо соотношение lim 1 r∞ ψ t g(t)dt = 0. r→∞ r r 0 Обозначим f (r) через g(r); эта функция принадлежит L (0, ∞). Заменой переменных rt = ρ получим: rk+1 1 tk+1 ∞ r e-r2 f (rt)dr = 1 t 0 ∞ ∞ r ϕ r g(r)dr, где ϕ(x) = xk+1e-x2 t 0 ∈ L1(0, ∞). С другой стороны, t 1 r 1 r∞ r (x1+k , если x 1, tk+2 0 Наконец, f (r)dr = ψ t 0 ∈ 1 ∞ f (r)dr, где ψ(x) = t ψ L (0, ). 0, если x > 1, r∞ ϕ(t)tixdt = 0 где m = 0, ±1, ±2,... r ∞ e-t2 tk+1+ixdt = 1 2 0 k+ix 1 r∞ e-τ τ 2 dτ = Γ 2 0 k +2+ ix 2 e-2πmx, Последнее выражение определено и не обращается в нуль при вещественных x, следовательно, t указанное следствие из тауберовой теоремы Винера применимо. Поэтому 1 r tk+2 0 Лемма 5.1.1 доказана. -→ f (r)dr t→∞ 0. Поскольку функция f0(t) удовлетворяет условию леммы 5.1.1, необходимость доказана. Перейдем ко второму этапу доказательства теоремы 5.1.1. Следуя [47], введем оператор обобщенного сдвига по переменной y: r ( k+1 ) π T η d=ef Γ 2 2 2 k-1 y f (y) 2 √π Γ ( k ) f 0 y + η - 2yη cos θ sin θdθ. Этот оператор коммутирует с оператором Бесселя Bk,y (см., например, [41, с. 35]). u u( η u(x + ξ, y, t). Тогда Введем функцию следующим образом: x, ξ, y, η, t) = Ty ∂u u ∂2 ∂ u = T η u(x + ξ, y, t) - ∂2 u(x + ξ, y, t) - B u(x + ξ, y, t) = 0, ∂t - ∂ξ2 - Bk,η y ∂t ∂x2 k,y так как u(x, y, t) удовлетворяет задаче (5.1)-(5.2). 114 ДОПОЛНЕНИЕ. СИНГУЛЯРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ y Обозначим T η ϕ(x + ξ, y) через ϕ(x, ξ, y, η). Очевидно, u ϕ непрерывна и ограничена и u t=0= ϕ(x, ξ, y, η). Кроме того, из [47] известно, что ∂ = 0. ∂η η=0 u( Таким образом, x, ξ, y, η, t) является классическим ограниченным решением задачи ∂ u = u ∂2 u, ξ ∈ R1, η > 0, t > 0, (5.5) ∂t ∂ξ2 + Bk,η ∂ u u ϕ(x, ξ, y, η), = 0, (5.6) t=0= ∂η η=0 где x - вещественный параметр, а y - положительный параметр. u( Как доказано на первом этапе, lim x, 0, y, 0, t) = 0 тогда и только тогда, когда lim t→∞ t π 1 r r ρk+1 sinkα ϕ(x, ρ cos α, y, ρ sin α) dαdρ = 0. t→∞ tk+2 0 0 Докажем теперь эквивалентность условия стабилизации решения в произвольной точке условию стабилизации решения в начале координат. Для этого рассмотрим при a ∈ R1 и b 0 интеграл r Da,0,0 ξk-1ϕ x, ξ2 + (η - b)21 dxdηdξ, где Da,b,c обозначает полушар {(x - a)2 + (η - b)2 + (ξ - c)2 < t2| y > 0}. Сделаем замену переменных: ξ = y sin α, η = y cos α. Получим, что последний интеграл равен Таким образом, π Γ √ ( k ) 2 Γ ( k+1 ) 2 r B+(t) y yk T bϕ(x + a, y)dxdy. r Γ ( k+1 ) r yk T b 2 k-1 2 2 B+(t) 2 y ϕ(x + a, y)dxdy = √π Γ ( k ) Da,- ξ b,0 ϕ x, ξ + η dxdηdξ. + Докажем, что для любого a ∈ R1, любого b 0 и любой непрерывной и ограниченной в R2 функции ϕ(x, y) справедливо равенство 1 lim r ξk-1ϕ x, ξ2 + η2 dxdηdξ = lim 1 r ξk-1ϕ x, ξ2 + η2 dxdηdξ, (5.7) t→∞ tk+2 Da,-b,0 t→∞ tk+2 D0,0,0 понимаемое в следующем смысле: если существует хотя бы один из пределов, то существует и второй, и они равны друг другу. Определим множества ΩI def /(x, η, ξ) ∈ R3 (x - a)2 + ξ2 + (η + b)2 t2; x2 + ξ2 + η2 t2 , t;a,b = ΩII def /(x, η, ξ) ∈ R3 x2 + ξ2 + η2 t2; (x - a)2 + ξ2 + (η + b)2 t2 . Тогда t;a,b = 1 r ξk-1ϕ x, ξ2 + η2 1 dxdηdξ - r ξk-1ϕ x, ξ2 + η2 dxdηdξ = tk+2 Da,-b,0 tk+2 D0,0,0 1 r r 2M = tk+2 ξk-1ϕ x, ξ2 + η2 dxdηdξ - ξk-1ϕ x, ξ2 + η2 dxdηdξ S, 3 Ω t;a,b t Ω t;a,b 1. СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ. МОДЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ 115 t;a,b где M = sup |ϕ(x, y)|, а S есть объем тела ΩI . R 2 + Оценивая S как функцию переменной t, получаем: 4π S 3 - t + a 3 2 a 3 t - 2 = 12πat2 + πa3 . 3 Отсюда следует (5.7), что и доказывает теорему 5.1.1 при l = 0. Перейдем к третьему этапу доказательства теоремы 5.1.1. Для этого наряду с задачей (5.1)-(5.2) рассмотрим задачу ∂w ∂2w ∂t = ∂x2 w + Bk,y w, x ∈ R1, y > 0, t > 0, (5.8) ∂w Здесь w0(x, y) = ϕ(x, y)+ l. t=0= w0(x, y), ∂y y=0= 0. (5.9) Если u(x, y, t) и w(x, y, t) - решения задач (5.1)-(5.2) и (5.8)-(5.9) соответственно, то, очевидно, w(x, y, t) = u(x, y, t)+ l. Заметим, что r k+2 √π Γ( k+1 ) yk ldxdy = lt 2 · . B+(t) Значит, если справедливо равенство k +2 2 Γ( k + 1) 1 lim r yk w0(x, y)dxdy = 2 l√π Γ( k+1 ) , t→∞ tk+2 то справедливо и равенство B+(t) 1 r 2 (k + 2)Γ( k + 1) lim t→∞ tk+2 B+(t) yk ϕ(x, y)dxdy = 0, следовательно (как доказано на втором этапе), lim u(x, y, t) = 0, а значит, lim w(x, y, t) = l. t→∞ t→∞ Таким образом, для того чтобы w(x, y, t) удовлетворяла (5.3), достаточно, чтобы w0(x, y) удовлетворяла (5.4). Необходимость этого условия доказывается аналогично. Теорема 5.1.1 доказана полностью. + Из теоремы 5.1.1 вытекает следующий факт: если классическое ограниченное решение задачи (5.1)-(5.2) стабилизируется хотя бы в одной точке (x0, y0) полупространства Rn+1, то оно стаби- + лизируется и в любой другой точке (x, y) ∈ Rn+1, причем к тому же самому пределу. Это означает, что невозможна стабилизация классического ограниченного решения задачи (5.1)-(5.2) к какойлибо функции V (x, y), отличной от константы. Таким образом, для классического ограниченного решения задачи (5.1)-(5.2) имеет место следующая альтернатива: либо решение стабилизируется + + к константе во всем Rn+1, либо оно вообще не стабилизируется ни в одной точке указанного полупространства, т. е. ни в одной точке (x, y) ∈ Rn+1 не существует конечного предела функции u(x, y, t) при t → ∞. Асимптотика решения изучалась в [81, 82]. 1. Задача Коши для сингулярного параболического уравнения с коэффициентами, зависящими от времени. Рассмотрим следующее уравнение: ∂u ∂t = a(t) (Δ + Bk,y ) u, x ∈ Rn, y > 0, t > 0. (5.10) Здесь a(t) непрерывна и положительна при t 0. Пусть ϕ(x, y) непрерывна и ограничена при x ∈ Rn, y 0. Рассмотрим задачу (5.10), (5.2). Существование и единственность классического ограниченного решения этой задачи установлены в [43]. Изучим поведение решения при t → ∞. 116 ДОПОЛНЕНИЕ. СИНГУЛЯРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Теорема 5.1.2. Пусть r∞ a(t)dt расходится, а функция u(x, y, t) есть классическое ограни- 0 ченное решение задачи (5.10), (5.2). Тогда для любого x ∈ Rn, любого неотрицательного y и любого вещественного l соотношение (5.3) равносильно соотношению (5.4). Доказательство. Как известно, например, из [4], C r r ∞ n,k k 2 2 y - |ξ-x| +η u(x, y, t) = [A(t)] n+k+1 2 η 0 Rn ϕ(ξ, η)Tη e 4A(t) dξdη, t r где A(t) = 0 a(τ )dτ, а постоянная Cn,k зависит только от n и k. A(t) стремится к бесконечности тогда и только тогда, когда t стремится к бесконечности. Поэтому при любом вещественном l k 1 r∞r 2 2 y |ξ-x| +η lim t→∞ [A(t)] тогда и только тогда, когда n+k+1 2 η 0 Rn ϕ(ξ, η)Tη e- 4A(t) dξdη = l 1 k r∞r 2 2 y - |ξ-x| +η lim r→∞ r n+k+1 2 η 0 Rn ϕ(ξ, η)Tη e 4r dξdη = l. Отсюда, учитывая теорему 5.1.1, получаем утверждение теоремы 5.1.2. r∞ Теорема 5.1.3. Пусть ∞ a(t)dt = a0 < . Тогда lim u(x, y, t) = v(x, y, a0), где функции t→∞ 0 u(x, y, t) и v(x, y, t) являются классическими ограниченными решениями задач (5.10), (5.2) и (5.1)-(5.2) соответственно. Доказательство. Для любого положительного t0 интеграл r∞r y ηk ϕ(ξ, η) 2 2 - |ξ-x| +η 0 Rn [A(t)] n+k+1 Tη e 2 4r dξdη сходится равномерно относительно x ∈ Rn, y 0 и t t0. Следовательно, в этом интеграле можно перейти к пределу при t → ∞. Получим, что Cn,k k r∞r 2 2 y - |ξ-x| +η lim u(x, y, t) = t→∞ a n+k+1 2 0 η 0 Rn ϕ(ξ, η)Tη e 4a0 dξdη. Последнее выражение, очевидно, равно v(x, y, a0). Теорема 5.1.3 доказана. Отметим, что в случае сходимости интеграла r∞ a(t)dt стабилизация решения имеет место неза- 0 висимо от поведения начальной функции, однако пределом решения является, вообще говоря, не константа, а некоторая ограниченная функция от x, y. 5.1. СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ. МОДЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ 117 2. Некоторые свойства весовых интегральных средних. Пусть функция ϕ(x, y) непрерывна и ограничена в Rn+1, а константа α - положительна. Определим функцию Sαϕ(r) следующим образом: + n 1 Sα r α n ϕ(r) = rn+α+1 y B+(r) ϕ(x, y)dxdy. Теорема 5.1.4. Пусть n 1, α 0, β 0, α /= β. Тогда существует такая ограниченная функция ϕ из C∞(Rn+1), что Sαϕ(r) имеет предел при r → ∞, а Sβ ϕ(r) не имеет предела при + n n r → ∞. Доказательство. Прежде всего отметим, что речь может идти только о конечном пределе (в силу ограниченности функции ϕ). Предпошлем доказательству две леммы. Лемма 5.1.2. Пусть G = {θ = (θ1,..., θn)|0 θ1 π,..., 0 θn π}. Тогда существует такая функция g(θ) ∈ C∞(G), что Jα = 0, а Jβ /= 0, где через Jγ обозначается r n g(θ) n sinn+γ-j θj dθ (γ - неотрицательный параметр). G j=1 Доказательство. Функции n sinn+α-j θj и j=1 n sinn+β-j θj являются линейно независимыми элеj=1 ментами гильбертова пространства L2(G). Следовательно, в L2(G) существует g(θ), ортогональный первому из этих элементов и неортогональный второму, т. е. Jα = 0, а Jβ = A > 0 (для определенности). m=1 Поскольку C∞(G) плотно в L2(G), мы можем выбрать такую последовательность {gm(θ)}∞ ⊂ -→ C∞(G), что gm m→∞ g(θ) в L2(G). Обозначим (для неотрицательных γ) G r n gm(θ) n sinn+γ-j θj dθ j=1 через Jγ,m. Тогда lim m→∞ Jα,m = 0, lim m→∞ Jβ,m = A в силу непрерывности скалярного произведения. Обозначим через Cγ величину r n n n n + γ +1- j n sinn+γ-j θj dθ = π 2 n Γ 2 G j=1 j=1 Jα,m gm (см. [74, с. 386]). Если γ 0, то, очевидно, Cγ > 0. Введем новую функцию: (θ)d=ef gm C (θ) - ; α эта функция бесконечно дифференцируема в G. Вычислим теперь скалярные произведения ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎝gm(θ), n sinn+α-j θj ⎠ j=1 и ⎝gm(θ), n sinn+β-j θj ⎠: j=1 r n gm(θ) n sinn+α-j θj dθ = Jα,m - Jα,m = 0, G j=1 r Cβ n C α gm(θ) n sinn+β-j θj dθ = Jβ,m - Jα,m . G j=1 A ε Cα A ε Выберем теперь ε ∈ Тогда β 0, 2 . Существует такое mI ∈ N, что |Jα,m | < 2 · C , а |Jβ,m | > 2 + 2 . r Cβ n C α gm (θ) n sinn+β-j θj dθ = Jβ,m - Jα,m G j=1 A ε ε > 2 + 2 - 2 = A > 0. 2 118 ДОПОЛНЕНИЕ. СИНГУЛЯРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Таким образом, gm и есть та функция из C∞(G), которая ортогональна n n sinn+α-j θj и неортоj=1 гональна sinn+β-j θj . j=1 Лемма 5.1.2 доказана. Следующее утверждение приведено для случая натуральных α и β в [82] (без доказательства). Лемма 5.1.3. Пусть f (r) непрерывна и ограничена при r 0. Пусть α 0 и β 0. Тогда Sα β 0 f (r) имеет предел при r →∞ тогда и только тогда, когда S0 f (r) имеет предел при r → ∞. Доказательство. r 1 r Sα α 1 r∞ τ где 0 f (r) = r1+α 0 τ f (τ )dτ = ψα r 0 f (τ )dτ, r при k 0. ψk (τ ) = (τ k , если τ 1, 0, если τ > 1 Очевидно, ψα ∈ L1(0, +∞), а f ∈ L∞(0, +∞). Далее r r∞ 1 ψk (τ )τ ixdτ = 0 0 ⎡ 0 ⎡ 1 r τ k eix(ln τ +2πim)dτ = e-2πmx ⎣ 0 0 1 r τ k cos(x ln τ )dτ + i 0 ⎤ ⎤ τ k sin(x ln τ )dτ ⎦ = r = e-2πmx ⎣ r e(k+1)t cos xtdt + i e(k+1)t sin xtdt⎦ = e-2πmx x2 + (k + 1)2 (k +1 - ix). -∞ -∞ Вещественная часть полученного выражения положительна для любого целого m, любого вещеr∞ ственного x и любого неотрицательного k. Следовательно, 0 нулей при любом неотрицательном k. ψk (τ )τ ixdτ не имеет вещественных Пусть существует lim Sαf (r); обозначим его через Cα. ψβ ∈ L1(0, +∞), поэтому, в силу следr→∞ 0 r∞ ствия из тауберовой теоремы Винера (см. [25, с. 163]), существует lim 1 ψ ρ f (ρ)dτ, т. е. lim Sβ f (r), причем этот предел равен r→∞ r β r 0 r→∞ 0 ⎛ 1 Cα r α ⎞-1 α +1 α β +1 ⎝ 0 τ dτ ⎠ = lim S0 f (r). β +1 r→∞ В силу произвольности выбора α и β лемма 5.1.3 доказана. Перейдем теперь непосредственно к доказательству теоремы 5.1.4. r В интеграле B+(r) yk ϕ(x, y)dxdy сделаем замену переменных: x1 = ρ cos θ1, x2 = ρ sin θ1 cos θ2, ... xn = ρ sin θ1 sin θ2 ... sin θn-1 cos θn, y = ρ sin θ1 sin θ2 ... sin θn-1 sin θn. 5.1. СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ. МОДЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ 119 Получим, что Sk r 1 r r n n+k n n+k-j где nϕ(r) = rn+k+1 0 v(ρ, θ)ρ G j=1 sin θj dθdρ, v(ρ, θ) = ϕ(ρ cos θ1,ρ sin θ1 cos θ2,...,ρ sin θ1 sin θ2 ... sin θn-1 cos θn,ρ sin θ1 sin θ2 ... sin θn-1 sin θn). Выберем теперь ограниченную и бесконечно дифференцируемую на положительной полуоси функr цию f (r) так, чтобы f (r) = 0 при r 1 и чтобы lim 1 r 2 f (ρ)dρ не существовал; для этого r→∞ r 0 можно, например, «сгладить» функцию М. Кжижанского (см. [93, с. 337]). Тогда, в силу лемr мы 5.1.3, при любом неотрицательном k не существует предела 1 r rk+1 0 rk f (ρ)dρ при r → ∞. Положим v(ρ, θ) = f (ρ)g(θ), где g(θ) - та функция, существование которой доказывается в лемме 5.1.2. С одной стороны, построенная функция v(ρ, θ) однозначно определяет функцию ϕ(x, y), ограниченную и бесконечно дифференцируемую при x ∈ Rn и y 0. С другой стороны, r 1 Sk r n+k n r n n+k-j nϕ(r) = rn+k+1 ρ 0 f (ρ)dρ G g(θ) j=1 sin θj dθ. Отсюда видно, что Sαϕ(r) имеет предел при r →∞ (и даже тождественно равна нулю), а Sβ ϕ(r) n не имеет предела при r n → ∞. Теорема 5.1.4 доказана. Замечание. При n = 0 справедливо утверждение, противоположное утверждению теоремы 5.1.4: если α и β неотрицательны, а функция ϕ(y) непрерывна и ограничена при y 0, то существование lim Sαϕ(r) равносильно существованию lim Sβ ϕ(r), причем lim Sk ϕ(r) = r→∞ 0 1 r→∞ 0 r→∞ 0 lim S0ϕ(r) (если этот предел существует). k +1 r→∞ 0 Это следует непосредственно из леммы 5.1.3. Вернемся к стабилизации решений сингулярных параболических уравнений. Обозначим через r∞ uk (x, y, t) классическое решение задачи (5.10), (5.2), полагая интеграл 0 a(t)dt расходящимся. Из теорем 5.1.2-5.1.4 и из замечания к последней теореме вытекают два следующих утверждения. Теорема 5.1.5. Пусть n 1, α 0, β 0, α /= β. Тогда существует такая ограниченная функция ϕ из C∞(Rn+1), что для любого (x, y) ∈ Rn+1 существует lim uα(x, y, t), но не + существует lim uβ (x, y, t). t→∞ + t→∞ Теорема 5.1.6. Пусть n = 0. Тогда для любой ограниченной функции ϕ(y) и любых неотрицательных α и β существование lim uα(y, t) равносильно существованию lim uβ (y, t). Если эти пределы существуют, то t→∞ lim uα(y, t) = β +1 lim uβ (y, t). t→∞ t→∞ α +1 t→∞ 3. О задаче Коши с неограниченной начальной функцией. Покажем, что в случае неограниченной начальной функции условие стабилизации уже не является необходимым (как и в регулярном случае). Достаточно рассмотреть задачу (5.10), (5.2) при n = 0. Определим начальную функцию ϕ(y) следующим образом: ϕ(y) = 2(k + 1) cos y2 - 4y2 sin y2. 120 ДОПОЛНЕНИЕ. СИНГУЛЯРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Очевидно, ϕ(y) = Bk,y Φ(y), где Φ(y) = sin y2. Рассмотрим теперь r 1 r rk+1 0 yk ϕ(y)dy = r 2(k +1) r rk+1 0 yk cos y2 r 2 r dy - rk+1 0 yk+1 §2y sin y2 dy = r 2(k +1) r ⎡ 2 r r ⎤ r = rk+1 yk cos y2dy - 0 rk+1 ⎣-yk+1 cos y2 0 + (k + 1) 0 yk cos y2dy⎦ = 2 cos r2. r Последнее выражение не имеет предела при r → ∞. Таким образом, 1 r rk+1 0 С другой стороны, x yk T y ϕ(x)dy не стабилизируется при r →∞ даже поточечно. η 1 r∞ 2 k y - ∞ r √ α √ y 2 k t - k+1 t 2 0 η Tη e 4t ϕ(η)dη = 0 α Tα e 4 ϕ(α t)dα. Далее ϕ(y) = Bk,y Φ(y), следовательно, ϕ(α√t) = B k,α√t Φ(α√t). √ 1 ∂ k ∂Φ √ √t ∂ k √ 1 Bk,α√tΦ(α t) = αk ∂α α (α ∂α t) = αk ∂α α ΦI(α t) = √ = tΦII(α√t)+ k t ΦI(α α √ t) = tBk,α √tΦ(α √t) = tϕ(α √t), следовательно, ϕ(α√t) = 1 B t k,α Φ(α√t). Отсюда вытекает, что η 1 r∞ 2 k y - k 1 r∞ √ y α2 t - ∞ α2 √ 1 r y k - √t √ k+1 t 2 0 η Tη e 4t ϕ(η)dη = t 0 α Tα e 4 Bk,αΦ(α t)dα = α e t 0 4 Tα Bk,αΦ(α t)dα в силу самосопряженности оператора обобщенного сдвига в L2,k (0, +∞) (см. [40, 41, 47]). Поскольку оператор обобщенного сдвига коммутирует с оператором Бесселя, последнее выражение равно ∞ r y 1 α2 √ √ ∞ r √ 1 α2 y √ αk e- 4 Bk,αTα t Φ(α t 0 t)dα = t 0 αk Bk,αe- 4 Tα t Φ(α t)dα + αk α2 ∂ y α α2 y ∞ + e- 4 t √ Tα t Φ(α ∂α √ t)+ 2 √ e- 4 Tα t Φ(α √t) 0 (после двукратного интегрирования по частям). Покажем, что при неотрицательных y и положительных t внеинтегральный член равен нулю. Очевидно, второе его слагаемое равно нулю (так как функция Φ(y) ограничена); ∞ ∂ ∂ y √ √ √ r Tα t Φ(α t) = Φ y2 + α2t - 2αy t cos θ sink-1 θdθ = ∂α ∞ r ∂α 0 = (2tα - 2y√t cos θ) cos(y2 + α2t - 2αy√t cos θ) sink-1 θdθ 2(tα + y√t)π, 0 следовательно, и первое слагаемое равно нулю. 5.2. СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ. СЛУЧАЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 121 Значит, для любого неотрицательного y и любого положительного t y r∞ y r∞ α2 √ √ k + 1 T Φ(α t) 1 α2 √ √ α2 α t αk Bk,αe- 4 Tα t Φ(α t 0 t)dα = 0 αk e- 4 4 - 2 dα. t Для любого положительного t0 последний интеграл сходится равномерно по y 0 и t t0. y Поскольку для любого y 0 и для любого α 0, для любого t > 0 справедливо неравенство √ √ Tα t Φ(α t) 1, получаем, что r∞ α2 y √ √ k + 1 T Φ(α t) α α 2 t αk e- 4 t→∞ 0 равномерно по y 0. 4 - 2 t dα -→ 0 Таким образом, решение стабилизируется к нулю равномерно на всей полуоси, а весовое среднее от начальной функции не стабилизируется даже поточечно. 4. О стабилизации решений уравнений с диссипацией. Рассмотрим уравнение ∂u ∂t = (Δ + Bk,y ) u - a(t)u, x ∈ Rn, y > 0, t > 0, (5.11) где a(t) непрерывна и положительна при t 0. Классическое ограниченное решение задачи (5.11), (5.2) имеет вид u(x, y, t) = e-A(t)v(x, y, t), t r где v(x, y, t) есть классическое ограниченное решение задачи (5.1)-(5.2), A(t) = 0 a(τ )dτ. Отсюда в силу ограниченности функции v(x, y, t) вытекает следующее утверждение: r∞ Теорема 5.1.7. Если 0 a(τ )dτ расходится, то классическое ограниченное решение задачи (5.11), (5.2) равномерно стабилизируется к нулю при t →∞ независимо от выбора (непрерывной и ограниченной) начальной функции ϕ(x, y). В противном случае для любого x ∈ Rn, -→ любого y 0 и любого вещественного l предельное соотношение u(x, y, t) t→∞ l выполняется тогда и только тогда, когда выполняется предельное соотношение lim n + k +1 r n yk ϕ(x, y)dxdy = Γ ( k+1 ) 2 ea0 l, t→∞ π 2 tn+k+1 B+(t) Γ ( n+k+1 ) 2 где u(x, y, t) - классическое ограниченное решение задачи (5.11), (5.2), а через a0 обозначен r∞ a(τ )dτ. 0 5.2. СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ. СЛУЧАЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ В этом разделе изучается асимптотика решений задач Коши для уравнений вида ∂u 1 ∂ ∂u p(x, y) ∂t = Δu + yk ∂y yk . ∂y Вопросы, связанные с существованием и единственностью решений таких задач, изучались в [43, 52, 53] и ряде других работ. В регулярном случае (т. е. при k = 0) асимптотика решения изучалась в [31] (см. также [30] и имеющуюся там библиографию). Основная теорема данного раздела (теорема 5.2.1) доказывается при помощи метода, предложенного в [23]. Главная идея этого метода заключается в том, чтобы свести вопрос о стабилизации 122 ДОПОЛНЕНИЕ. СИНГУЛЯРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ решения исходной задачи к вопросу о стабилизации решения задачи Коши для уравнения (5.1), изученному в предыдущем разделе. Отметим, что в настоящем разделе (так же, как и в предыдущем) речь идет только о поточечной стабилизации решения задачи Коши с ограниченной начальной функцией, поэтому применение указанного метода вполне допустимо. m 1. Формулировка основной теоремы. Определение. Пусть Ω - замкнутая область евклидова пространства, m - натуральное число, α ∈ (0, 1). Пространством Hα (Ω) назовем множество функций, определенных на Ω, которые вместе со своими производными до порядка m включительно непрерывны, ограничены и удовлетворяют условию Гельдера порядка α на Ω. В дальнейшем мы будем опускать индексы у оператора Bk,y (в тех случаях, когда это не помешает изложению). Будем использовать следующие обозначения: ⎧ m ∂m ⎨B 2 , если m - четное, xj ΔB = Δ + B; Dm = j ∂xm , j = 1, n; y D m = ∂ ⎩ ∂y B m-1 2 , если m - нечетное; D β = Dβ1 ... Dβn Dβn+1 , где β = (β ,...,β ,β ) - мультииндекс, |β| - его длина: |β| = β + β + x1 xn y 1 n n+1 1 2 ··· + βn + βn+1. m Наряду с пространством Hα (Ω) введем пространство m H α (Ω) - множество таких функций f, определенных на Ω, β| m функция D β f непрерывна, ограничена и удовлетворяет условию Гельдера порядка α на Ω. Если α = 0, то требование гельдеровости в определении пространств Hα α α α α α m и H m, естественно, снимается. Через H0 (Ω) = H (Ω) = H 0 (Ω) = H (Ω) обозначается множество непрерывных, ограниченных и гельдеровых на Ω функций, через H0(Ω) = H(Ω) = H 0(Ω) = H (Ω) - множество непрерывных и ограниченных на Ω функций. m Замечание. При определении пространств Hα (Ω) подразумевается, что Ω содержится в полупространстве {y 0}. Рассмотрим следующее уравнение: ∂u p(x, y) ∂t = ΔB u, x ∈ Rn, y > 0, t > 0, (5.12) + где p(x, y) p0 > 0, p(x, y) ∈ H(Rn+1). Существование и единственность классического ограниченного решения задачи (5.12), (5.2) (при положительном k, непрерывной и ограниченной ϕ) установлено в [43]. Изучим асимптотику этого решения. Теорема 5.2.1. Пусть u(x, y, t) - классическое ограниченное решение задачи (5.12), (5.2), + k > 0, p(x, y) p0 > 0, ϕ ∈ H(Rn+1). Пусть p(x, y) удовлетворяет также следующим условиям: ∂mp 2 ] [ n+k+1 p(x, y) ∈ Hα + (Rn+1), где α ∈ (0, 1); (5.13) n + k +1 ∂ym y=0= 0 для m = 1,..., 2 существует такая константа b, что , если n + k 1; (5.14) 1 lim r yk T η |p(x + ξ, y) - b|dxdy = 0 (5.15) r→∞ tn+k+1 y B+(t) + равномерно относительно (ξ, η) ∈ Rn+1. Тогда для любого x ∈ Rn, любого y 0 и любого вещественного l предельное соотношение -→ u(x, y, t) t→∞ l выполняется тогда и только тогда, когда выполняется предельное соотношение lim t→∞ n + k +1 r tn+k+1 yk ϕ(x, y)dxdy = π Γ( k+1 ) n 2 2 Γ( n+k+1 ) l. B+(t) 2 5.2. СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ. СЛУЧАЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 123 Отметим, что в регулярном случае (т. е. при k = 0) условию (5.15) соответствует условие Гущина-Михайлова (см. [23, 31]), поэтому условие (5.15) естественно назвать весовым условием Гущина-Михайлова. Далее без ограничения общности можно считать, что b = 1. Введем новую функцию q(x, y) d=ef p(x, y) - 1. Тогда весовое условие Гущина-Михайлова примет следующий вид: 1 lim r yk T η |q(x + ξ, y)|dxdy = 0 (5.16) r→∞ tn+k+1 + равномерно относительно (ξ, η) ∈ Rn+1. y B+(t) Пусть v(x, y, t) - классическое ограниченное решение уравнения (5.1), удовлетворяющее следующим краевым условиям: v t=0= p(x, y)ϕ(x, y), ∂v ∂y y=0= 0. (5.17) Наша цель - доказать, что lim [u(x, y, t) - v(x, y, t)] = 0 для любых (x, y) ∈ Rn+1. t→∞ + Введем функцию f (t), зависящую от параметров x и y: t f (t) d=ef r [u(x, y, τ ) - v(x, y, τ )]dτ. 0 Докажем два вспомогательных утверждения (предполагая, что условия теоремы 5.2.1 выполнены): + Теорема 5.2.2. Для любых (x, y) ∈ Rn+1 f (t) = o(t) при t → ∞. + Теорема 5.2.3. Для любых (x, y) ∈ Rn+1 f II(t) = O 1 t при t → ∞. 2. Доказательство теоремы 5.2.2. В этом пункте (а также и в следующем) предполагается, что все условия теоремы 5.2.1 выполнены. Применим к u(x, y, t) и v(x, y, t) преобразование Лапласа по t. Полученные функции (обозначим их через u˜(x, y, λ) и u˜(x, y, λ) соответственно) являются решениями следующих задач: -ΔB u˜ + λp(x, y)u˜ = p(x, y)ϕ(x, y), x ∈ Rn, y > 0, (5.18) ∂u˜ ∂y y=0= 0; (5.19) -ΔB v˜ + λv˜ = p(x, y)ϕ(x, y), x ∈ Rn, y > 0, (5.20) ∂v˜ ∂y y=0= 0. (5.21) 0 Действительно, для любой g(x, y) ∈ C∞(Rn+1) функция u(x, y, t) удовлетворяет следующему интегральному тождеству: k ∂u - r y p(x, y)g(x, y)dxdy ∂t R n+1 + r R n+1 + yk u(x, y, t)ΔB g(x, y)dxdy = 0. Возьмем ε > 0, N > ε и λ ∈ C так, чтобы Reλ > 0; умножим последнее тождество на e-λt и проинтегрируем по t от ε до N. Получим (после перемены порядка интегрирования и интегрирования по частям), что r R n+1 + yk p(x, y)g(x, y) u(x, y, N )e-λN - u(ε, y, N )e-εN 1 dxdy + 124 ДОПОЛНЕНИЕ. СИНГУЛЯРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ r + R n+1 + N r yk [λp(x, y)g(x, y) - ΔB g(x, y)] ε e-λtu(x, y, t)dtdxdy = 0. Равномерно по x, y на любом компакте e-λN u(x, y, N ) N →∞ 0, u(x, y, ε) ε→0 ϕ(x, y), N r e-λtu(x, y, t)dt ε→0,N →∞ u˜(x, y, λ). -→ -→ -→ ε Следовательно, u˜(x, y, λ) удовлетворяет интегральному тождеству r R n+1 + yk [λp(x, y)g(x, y) - ΔB g(x, y)] u˜(x, y, λ)dxdy = r R n+1 + yk p(x, y)g(x, y)ϕ(x, y)dxdy 0 при любой g(x, y) ∈ C∞(Rn+1). Поэтому для любого компакта K ⊂ Rn+1 функция u˜(x, y, λ) при любом фиксированном λ 2,k принадлежит пространству Киприянова W 2 (K) (см. [40]) и почти всюду удовлетворяет уравнению (5.18). Это доказательство справедливо и для v˜(x, y, λ), следует лишь положить p(x, y) ≡ 1. + Поскольку u(x, y, t) и v(x, y, t) ограничены, u˜(x, y, λ) и v˜(x, y, λ) ограничены по (x, y) ∈ Rn+1 и аналитичны по λ при Reλ > 0. Решение задачи (5.20)-(5.21) (так же, как и решение задачи (5.18)- + (5.19)), ограниченное по (x, y) ∈ Rn+1 и аналитическое по λ при Reλ > 0, единственно. С другой стороны, это решение можно получить непосредственным применением преобразования Лапласа к функции Cn,k r 2 2 k - |ξ-x| y η v(x, y, t) = t n+k+1 η e 2 R n+1 + 4t Tη e- 4t p(ξ, η)ϕ(ξ, η)dξdη (константа Cn,k зависит только от n и k). r∞ r p(ξ, η)ϕ(ξ, η) |ξ-x|2 η2 v˜(x, y, λ) = Cn,k η k n+k+1 e-λt- η 4t T y e- 4t dξdηdt = t 2 R 0 n+1 + r r∞ p(ξ, η)ϕ(ξ, η) |ξ-x|2+η2 = Cn,k η k n+k+1 T e y -λt- 4t η dtdξdη. t 2 R n+1 0 + + Перемена порядка интегрирования законна, так как при Reλ > 0 интеграл сходится абсолютно (и даже равномерно относительно (x, y) ∈ Rn+1). По аналогичной причине интеграл по t можно внести под знак оператора обобщенного сдвига. В итоге получим: n+k+1 n+k-1 r Kn+k-1 λ(|ξ - x|2 + η2) v˜(x, y, λ) = 2 2 Cn,k λ 4 R n+1 + η ηk p(ξ, η)ϕ(ξ, η)T y 2 (|ξ - x|2 + η2) - n+k 1 4 dξdη. (5.22) + Определим при Reλ > 0 на функциях из H(Rn+1) оператор Mλ: n+k+1 n+k-1 r Kn+k-1 λ(|ξ - x|2 + η2) Mλf (x, y) = 2 2 Cn,k λ 4 R n+1 + η ηk f (ξ, η)T y 2 (|ξ - x|2 + η2) - n+k 1 4 dξdη. Mλ является разрешающим оператором задачи (5.20)-(5.21) с правой частью f (x, y), поэтому, если Reλ > 0, g ∈ W 2 (Rn+1) и (-ΔB + λ)g ∈ H(Rn+1), то Mλ(-ΔB + λ)g = g. Определим при 2,k,loc + + 5.2. СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ. СЛУЧАЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 125 + Reλ > 0 на функциях из H(Rn+1) оператор Lλ: Lλf (x, y) = λMλ[q(x, y)f (x, y)] = 2 2 n+k+1 n+k+3 r Kn+k-1 λ(|ξ - x| + η ) = 2 2 Cn,k λ u( 2 R n+1 + η ηk q(ξ, η)f (ξ, η)T y 2 (|ξ - x|2 + η2) n+1 - n+k 1 4 dξdη. Функция x, y, λ) является ограниченным по (x, y) ∈ R+ и аналитическим по λ при Reλ > 0 решением уравнения - u = p(x, y)ϕ(x, y) λq(x, y)u. + Здесь правая часть аналитична по λ при Reλ > 0, а для каждого фиксированного λ (при Reλ > 0)- ограничена по (x, y) ∈ Rn+1. Поэтому к правой и левой частям последнего равенства можно применить оператор Mλ. n+1 u, так как ∈ W 2 (R ). u = u 2,k,loc + v, Mλ[p(x, y)ϕ(x, y)] = так как Mλ - разрешающий оператор задачи (5.20)-(5.21), а + ). p(x, y)ϕ(x, y) ∈ H(Rn+1 u] = u] = u, u n+1) при каждом фиксированном λ (если Mλ[λq(x, y) λMλ[q(x, y) Lλ так как ∈ H(R+ u( Reλ > 0). Таким образом, x, y, λ) удовлетворяет интегральному уравнению u(x, y, λ)+ Lλ x, y, λ) = v(x, y, λ). (5.23) u( В дальнейшем в этом пункте подразумевается, что все константы зависят только от n и k, если не оговорено противное. Лемма 5.2.1. Пусть Dσ = {λ ∈ C |argλ| < π - σ , где 0 < σ< π. Тогда, если λ ∈ Dσ , то Lλ + является ограниченным оператором, действующим в H(Rn+1), и lim lLλl = 0. |λ|→0 λ∈Dσ Доказательство. Как известно (см., например, [23]), при ν > 0 в области функции Kν (z) справедлива оценка Kν (z) Cαν (|z|), где |argz| π - σ 1 2 для ⎧ ν ⎨r- при 0 < r 1, αν (r) = ⎩ e-γ0(r-1) √r при r > 1, а C, γ0 - положительные константы, зависящие только от σ. При λ ∈ Dσ рассмотрим выражение r Kn+k-1 λ(|ξ|2 + η2) Jn,k (x, y; λ) = η ηk T y |q(ξ + x, η)| 2 n+k-1 dξdη R n+1 + ⎡ (|ξ|2 + η2) 4 ⎤ | | r∞ αn+k-1 ( λ ρ) ∂ r 2 C n+k-1 ⎢ η ηk T y |q(ξ + x, η)|dξdη⎥ dρ. ρ 2 ∂ρ ⎣ ⎦ 0 B+(ρ) Функция αν (r) является кусочно-гладкой, следовательно. можно интегрировать по частям; получим r∞ ∂ - ⎡ αn+k 1 2 ⎤ |λ|ρ r k y Jn,k (x, y; λ) -C 0 ∂ρ ⎣ n+k-1 ρ 2 ⎦ η B+(ρ) Tη |q(ξ + x, η)|dξdηdρ + αn+k-1 |λ|ρ r + C lim 2 n+k-1 η ηk T y |q(ξ + x, η)|dξdη - ρ→∞ ρ 2 B+(ρ) 126 ДОПОЛНЕНИЕ. СИНГУЛЯРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ αn+k-1 |λ|ρ r - C lim 2 n+k-1 η ηk T y |q(ξ + x, η)|dξdη. ρ→0 ρ 2 B+(ρ) Первый предел, очевидно, равен нулю. Учитывая, что r B+(ρ) 1 ηk T y η |q(ξ + x, η)|dξdη const ρ n+k+1, а αn+k-1 2 нулю. |λ|ρ = |λ| n+k-1 4 ρ n+k-1 2 при достаточно малых ρ, получаем, что и второй предел равен Итак, Jn,k (x, y; λ) Jn,k,1(x, y; λ)+ Jn,k,1(x, y; λ), где C(n + k - 1) 1 √ |λ| r 1 r k y Jn,k,1(x, y; λ) = n+k-1 λ 4 n+k-1 ρ 2 0 η B+(ρ) Tη |q(ξ + x, η)|dξdηρdρ, const r∞ e-γ0√|λ|ρ 1 r Jn,k,2(x, y; λ) 1 1 |λ| 4 √ |λ| n+k ρ 2 λ | + | ρ B+(ρ) η ηk T y |q(ξ + x, η)|dξdηρdρ; константы (как и далее в этой лемме) зависят еще и от σ. Таким образом, ⎡ 1 √ 1 Jn,k (x, y; λ) const ⎢ |λ| r 1 r ηk T y |q(ξ + x, η)|dξdηρdρ + ⎢ n+k-1 ⎣ λ 4 0 n+k-1 ρ 2 η B+(ρ) ⎤ r ∞ 1 1 r k y / n+k +1 1 \ γ √ λ ρ ⎥ const + |λ| 4 n+k 1 η Tη |q(ξ + x, η)|dξdηρ 2 1+ e- 0 | | dρ⎥ ρ 1 √ |λ| - 2 B+(ρ) |λ|ρ ⎦ ⎥ |λ| n+k+3 4 в силу ограниченности функции ρ 1 n+k-1 2 r B+(ρ) η ηk T y |q(ξ + x, η)|dξdη. Из этого и следует ограниченность оператора Lλ. Действительно, n+k+3 r Kn+k-1 λ(|ξ|2 + η2) |Lλf (x, y)| = const |λ| 4 η ηk T y [q(ξ + x, η)f (ξ + x, η)] 2 n+k-1 dξdη Rn+1 + n+k+3 (|ξ|2 + η2) 4 const |λ| 4 lf lH(Rn+1 Jn,k (x, y; λ) const lf l n+1 , + ) H(R+ ) т. е. Lλ ограничен даже равномерно по λ ∈ Dσ при каждом фиксированном σ. Перейдем к доказательству второго утверждения леммы 5.2.1. Из только что полученной оценки на |Lλf (x, y)| следует, что lLλl const |λ| n+k+3 4 sup Jn,k (x, y; λ). + (x,y)∈Rn+1 1. СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ. СЛУЧАЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 127 Из (5.16) следует, что для любого положительного ε существует такое N (ε), что 1 ρn+k+1 r B+(ρ) η ηk T y |q(ξ + x, η)|dξdη < ε + для любого ρ N (ε) и любого (x, y) ∈ Rn+1. Поэтому неравенство n+k+3 ⎡ N 2(ε) ε r ∞ n+k +1 ⎤ 1 γ r |λ| 4 Jn,k (x, y; λ) const ⎣|λ| + + ε r 2 2 2 1+ e- 0 r dr⎦ 1 | | справедливо при λ < 1 . N 2(ε) Возьмем произвольное δ > 0 и выберем ε > 0 таким, чтобы выполнялось неравенство r ⎡ ∞ o n+k +1 ⎤ 1 γ0r δ const ⎣ 2 + ε r 2 1 1+ e- r dr⎦ < 2 (где константа - та же, что и в предыдущем неравенстве). Очевидно, можно указать такое β > 0, N 2(ε) δ что для любого λ ∈ Dσ из неравенства |λ| < β следует неравенство const |λ| n+k+3 < , т. е. для 2 2 любого δ > 0 существуют такие N и β, что |λ| для случая, когда n > 0. 2 Jn,k (x, y; λ) < δ. Это и доказывает лемму 5.2.1 Доказательство для случая, когда n = 0, осуществляется аналогично; надо только по отдельности рассмотреть три варианта: k = 1, k < 1, k > 1. При k = 1 следует использовать оценку |K0(z)| через α0(|z|) (см., например, [23]), а при k < 1 - четность |Kν (z)| по ν. Лемма 5.2.1 доказана. Функции x, y; λ) и x, y; λ) как преобразования Лапласа аналитических функций определены u( v( только при Reλ > 0. Однако правая часть формулы (5.22) аналитична в области {|argλ| < π}. v( Поэтому с помощью формулы (5.22) функция x, y; λ) аналитически продолжается в область + {|argλ| < π} как функция из H(Rn+1) по x, y. По лемме 5.2.1 для любого σ > 0 найдется такое δ > 0, что lLλl < u( 1 для любого λ ∈ {|λ| < δ}∩ Dσ . Тогда и x, y; λ) аналитически продолжается + в область λ ∈ {|λ| < δ}∩ Dσ как функция из H(Rn+1) по x, y (поскольку она является решением интегрального уравнения (5.23)). Итак, для любого σ > 0 найдется такое δ > 0, что функции x, y; λ) и x, y; λ) аналитичны по u( v( + σ} и непрерывны и ограничены по (x, y) ∈ Rn+1. Из ограниченности функций p(x, y), ϕ(x, y) и оценки Kν (z) через αν (|z|) (см. лемму 5.2.1) следует, что при n + k > 1 справедливо неравенство r ηk p(ξ, η)ϕ(ξ, η) Kn+k-1 2 λ(|ξ - x|2 + η2) - n+k 1 dξdη Rn+1 + r ∞ n+k+1 (|ξ - x|2 + η2) 4 const const | ρ 2 αn+k+1 ( λ|ρ)dρ = n+k+3 . 0 2 |λ| 4 v( Отсюда и из формулы (5.22) следует, что l x, y; λ)lH(Rn+1 const для любого λ ∈ Dσ , если σ > 0. + ) |λ| Последняя оценка справедлива и при n + k 1. Действительно, если n = 0, k = 1, то r∞ |v(x, y; λ)| const |λ| 0 rα0(r)dr = const , |λ| 128 ДОПОЛНЕНИЕ. СИНГУЛЯРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ а если n = 0, k < 1, то const r ∞ k+1 const |v(x, y; λ)| (константы зависят только от n, k и σ). Тогда из (5.23) следует неравенство |λ| α 1-k (r)r 2 0 2 dr = |λ| const u(x, y; λ)lH(Rn+1 lLλllu(x, y; λ)l n+1 + . l + ) H(R+ ) |λ| const u( Отсюда в силу леммы 5.2.1 следует, что неравенство l x, y; λ)lH(Rn+1 выполняется при любом λ ∈ Dσ ∩ {|λ| < δ}. Далее из (5.23) получаем, что + ) |λ| l v(x, y; λ)lH(Rn+1 u( = lLλ x, y; λ)l n+1 lLλll + ) lLλl const H(R+ ) 1 = o при |λ|→ 0 + ) u(x, y; λ)lH(Rn+1 |λ| |λ| λ 0 для λ ∈ Dσ ∩ {|λ| < δ}, так как lim | |→ λ∈Dσ lLλl = 0 в силу леммы 5.2.1. Таким образом, получим следующее. 1. u(x, y, t), v(x, y, t) - непрерывные ограниченные функции. 2. x, y; λ), x, y; λ) - их преобразования Лапласа, аналитически продолженные (при σ> 0) u( v( + в область {|λ| < δ(σ)}∩ {|argλ| < π - σ} как непрерывные и ограниченные по (x, y) ∈ Rn+1 функции. 3. Для любого положительного σ существует такое положительное δ = δ(σ), что в области {|λ| < δ(σ)} ∩ {|argλ| < π - σ} выполняется предельное соотношение 1 + ) l v(x, y; λ)lH(Rn+1 = o |λ| при |λ|→ 0. Из [23] известно, что в этом случае t 1 r t [u(x, y, τ ) - v(x, y, τ )]dτ 0 t→∞ -→ 0 + при любом (x, y) ∈ Rn+1. Теорема 5.2.2 доказана. 4. Доказательство теоремы 5.2.3. Прежде всего заметим, что, поскольку (5.14) выполняется, в условии (5.13) пространство Hα (Rn+1) можно заменить на пространство H α (Rn+1); 2 ] [ [ n+k+1 + ] n+k+1 + 2 это доказано в работе [37]. Затем, следуя [41] (см. также [40]), введем некоторые функциональные пространства. E Через C∞(Ω) обозначим пространство функций, четных по y и бесконечно дифференцируемых + на Ω (здесь, как и ранее, Ω ⊂ Rn+1). Пространство Lp,k (Ω) при p 1 определим как множество функций, для которых конечна следующая норма: ⎛ r lf lLp,k (Ω) = ⎝ Ω 1 ⎞ p yk |f (x, y)|dxdy⎠ . Пространство W m (Ω) определим как замыкание пространства C∞(Ω) в следующей норме: 2,k E lf lW m 2,k (Ω) ⎛ = ⎝ '\" |β| m 2 lD β f lL p,k 1 ⎞ 2 (Ω)⎠ . 5.2. СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ. СЛУЧАЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 129 2,k В дальнейшем в тех случаях, когда из контекста ясно, о какой области идет речь, норму в W m будем обозначать через l· lm, норму в L2,k - через l· l0, норму в H - через l· l. Кроме того, в тех случаях, когда это удобно, последнюю переменную y будем обозначать через xn+1. Перейдем к доказательству теоремы 5.2.3. Возьмем произвольное δ0 и зафиксируем его. Обозначим n+1 ∂u через w(x, y, t), ∂t ∂u ∂t t=δ0 - через 2 ]+2 ψ(x, y). Из [53] следует, что ψ ∈ H [ n+k+1 (R+ ), а w(x, y, t) является классическим ограниченным решением следующей задачи: ∂w p(x, y) ∂t w = ΔB w, x ∈ Rn, y > 0, t > δ0, (5.24) ∂w t=δ0 = ψ(x, y), Наряду с задачей (5.24)-(5.25) рассмотрим задачу ∂ 2Z ∂y y=0= 0. (5.25) p(x, y) ∂t2 = ΔB Z, x ∈ Rn, y > 0, t > δ0, (5.26) Z t=δ0 = 0, ∂Z ∂t t=δ0 = ψ(x, y), ∂Z ∂y y=0= 0. (5.27) Лемма 5.2.2. Существует такое C > 0, что для любого t δ0, любого x ∈ Rn и любого y 0 справедливо неравенство n+1 k n+k+1 |Z(x, y, t)| Ct 2 (t + y) 2 +1-{ 2 }, где через {x} обозначена дробная часть числа x. 2 ]+2 Доказательство. По условию функция ψ принадлежит пространству H [ n+k+1 + (Rn+1). Значит, [ n+k+1 ]+2 ,loc она принадлежит и пространству W2,k 2 + (Rn+1 ). Из [92] при помощи интеграла Дюамеля [ n+k+1 ]+2 ,loc получаем, что Z ∈ W2,k 2 (R n+2 ++ ++ ), где Rn+2 = {(x, y, t) t > δ0,x ∈ Rn ,y > 0 . + Возьмем произвольную точку (x0, y0) ∈ Rn+1 и произвольное t0 > δ0. Без ограничения общности можно считать, что p0 = 1, т. е. p(x, y) 1. Тогда (см., например, [90, с. 93]) значение функции Z(x, y, t) в точке (x0, y0, t0) зависит только от значений функции ψ(x, y) при |x - x0|2 + (y - y0)2 (t0 - δ0)2, y 0. Выберем функцию ψ0(x, y) со следующими свойствами: 0 а) supp ψ0 ⊂ {|x - x0|2 + (y - y0)2 t2, y 0}; б) ψ0(x, y) = ψ(x, y), если |x - x0|2 + (y - y0)2 (t0 - δ0)2, y 0; в) 0 ∂ψ ∂y y=0= 0; г) ψ0 имеет такую же гладкость, что и ψ. Чтобы найти функцию ψ0(x, y), обладающую свойствами а)-г), достаточно умножить ψ(x, y) на соответствующую «срезающую» функцию. Пусть u0(x, y, t) - решение следующей задачи: ∂ 2u0 p(x, y) ∂t2 = ΔB u0, x ∈ Rn, y > 0, t > δ0, (5.28) u0 ∂u0 ∂u0 t=δ0 = 0, ∂t t=δ0 = ψ0(x, y), ∂y y=0= 0. (5.29) 2,k,loc Поскольку u0 ∈ W 2 ++ (Rn+2) (по крайней мере) и u0(x, y, t) финитна при каждом фиксированном t, имеет место равенство интегралов энергии: r R n+1 + ⎡ yk ⎣p(x, y) ∂u0 2 ∂t n + '\" j=1 ∂u0 2 ∂xj ∂u0 + ∂y 2⎤ ⎦ t=t0 dxdy = 130 ДОПОЛНЕНИЕ. СИНГУЛЯРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Учитывая, что r = R n+1 + ⎡ yk ⎣p(x, y) ∂u0 2 ∂t n + '\" j=1 ∂u0 2 ∂xj ∂u0 + ∂y 2⎤ ⎦ t=δ0 dxdy. 0 0 supp ψ ⊂ {|x - x0|2 + (y - y0)2 t2, y 0}, supp u0(x, y, t0) ⊂ {|x - x0|2 + (y - y0)2 4t2, y 0}, заменим в этом равенстве области интегрирования: r ⎡ yk ⎣p(x, y) Ω 0 2 ∂u0 2 ∂t n + '\" j=1 ∂u0 2 ∂xj ∂u0 + ∂y 2⎤ ⎦ t=t0 dxdy = r ⎡ = yk ⎣p(x, y) Ω 0 1 ∂u0 2 ∂t n + '\" j=1 ∂u0 2 ∂xj ∂u0 + ∂y 2⎤ ⎦ t=δ0 dxdy, j где Ω0 = {|x - x0|2 + (y - y0)2 (jt)2, y 0}, j = 1, 2. Считая, что n + k 1, введем для m = 1,..., n + k + 1 2 функции n + k + 1 um(x, y, t) = ∂ mu0 ∂tm (x, y, t). Тогда при m = 1,..., 2 чальным условиям: функция um удовлетворяет уравнению (5.26) и следующим на- m um t=δ0 = 0, ∂um ∂t t=δ0 = 1 2 ΔB p(x, y) ψ0(x, y) при четном m, um t=δ0 = 1 ΔB p(x, y) m-1 2 ψ0(x, y), ∂um ∂t t=δ0 = 0 при нечетном m. Очевидно, ∂um n + k + 1 = 0 при m = 1,..., . ∂y y=0 2 Таким образом, для функций um(x, y, t) справедливо тождество интегралов энергии: r ⎡ ∂u 2 n ⎤ + '\" (∇um)2⎦ ⎣ yk p(x, y) m ∂t t=t0 dxdy = Ω 0 2 r ⎡ ∂u 2 j=1 n ⎤ + '\" (∇um)2⎦ ⎣ = yk p(x, y) m ∂t dxdy = Ω 0 j=1 1 ⎧ m t=δ0 l2 ⎪r ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪Ω1 ⎪ yk p(x, y) 1 2 ΔB p(x, y) ψ0(x, y) dxdy (5.30) = ⎨ при четном m (начиная с нуля), m-1 2 ⎪r ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪Ω1 yk p(x, y) / 1 ∇ p(x, y) ΔB 2 l\ ψ0(x, y) dxdy ⎪⎩ при нечетном m (начиная с единицы). Здесь ∇ = ∂ ∂x1 ∂ ,..., ∂xn ∂ ∂y , , ∇2(·) = (∇·, ∇·). 5.2. СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ. СЛУЧАЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 131 Пусть R(x, y) = 1 . Тогда ∂ mR n + k + 1 = 0 при m = 1,..., p(x, y) ∂ym y=0 . В этом случае справед- 2 лива формула Лейбница (см. [92]): Bm(Ru) = RBmu + '\" Ci2,j2 1 ∂ R ∂ i1 i2 Bj1R u Bj2 u, i1+i2+2j1+2j2+s=2m i1+i2+j1 1 i1=0,1; i2=0,1 i1,j1 где Ci2,j2 зависит только от m, i1, j1, i2, j2. i1,j1 ys ∂yi1 ∂yi2 Пользуясь этой формулой и учитывая, что в правой части равенства (5.30) порядок оператора D , действующего на ψ0(x, y), не превосходит m, а порядок оператора D , действующего на R(x, y) n + k + 1 (а значит, и на p(x, y)), не превосходит m - 2, получаем, что при m 2 следующее неравенство: справедливо r yk p(x, y) Ω 0 2 ∂um 2 ∂t + (∇um)2 l t=t0 0 dxdy Cmtn+1(t0 + y0)k , (5.31) где Cm не зависит от x0, y0, t0. Далее, если m нечетно, то ∂um 1 = ΔB m+1 2 u0 t=t0 , а если четно, то ∂um ∂t ∂ 1 t=t0 m 2 p(x, y) ∂um m ∂ 1 2 = ∂xj t=t0 ∂xj ΔB p(x, y) u0 t=t0 и = ∂y t=t0 ∂y ΔB p(x, y) u0 t=t0 . Теперь, оценивая снизу нулем (5.31) получаем: ∂um 2 ∂t при четном m и (∇um)2 - при нечетном m, из неравенства ⎧ y ⎪r k ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪Ω2 ⎪ m 1 2 ∇ p(x, y) ΔB l2 u0(x, y, t0) dxdy ⎨ при четном m (начиная с нуля), mtn+1 k ⎪r ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪Ω2 1 yk ΔB p(x, y) m+1 2 l2 u0(x, y, t0) dxdy C∗ 0 (t0 + y0) , (5.32) m где C∗ ⎪⎩ при нечетном m (начиная с единицы) не зависит от x0, y0, t0. Введем следующие обозначения: '\" [D β f (x, y)]2 d=ef [D lf (x, y)]2, '\" [Dβ f (x, y)]2 def [Dl f (x, y)]2. |β|=l x = x |β|=l Пусть m = 0. Тогда из (5.32) следует неравенство r yk [∇u0(x, y, t0)]2 dxdy C∗tn+1(t0 + y0)k . 0 0 Ω 0 2 r 2 2 Следовательно, D1 yk u0(x, y, t0)1 dxdy C ∗tn+1 (t0 + y0)k . Это означает, что lu0(x, y, t0)l 0 0 1 Ω 0 2 C 0tn+1 k ∗ 0 (t0 + y0) , где C 0 = C0 . 132 ДОПОЛНЕНИЕ. СИНГУЛЯРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Пусть m = 1. Тогда из (5.32) следует неравенство r yk [ΔB u0(x, y, t0)]2 dxdy C∗lpl2tn+1(t0 + y0)k . 1 0 Ω 0 2 Поскольку u0(x, y, t0) финитна, то с некоторой абсолютной постоянной C справедливо неравенство r 2 lu0(x, y, t0)l2 C Ω 0 1 l2 yk [ΔB u0(x, y, t0)]2 dxdy. Отсюда имеем, что lu0(x, y, t0) 2 C 1t n+1 0 (t0 + y0)k . Пусть m = 2. Тогда из (5.32) следует неравенство r 1 yk ∇ ΔB u0(x, y, t0) 2 dxdy C∗tn+1(t0 + y0)k . p(x, y) 2 0 Ω 0 2 2 Нужно оценить lu0(x, y, t0)l3, т. е. r / ∂ 2 yk Bu0(x, y, t0) ∂y Ω 0 2 \ x 2 + D3 u0(x, y, t0) dxdy. Рассмотрим при j = 1,...,n следующий интеграл: r yk ΔB Ω 0 2 ∂u0 ∂xj (x, y, t0) 2 r dxdy = Ω 0 2 ∂ yk ∂xj 2 ΔB u0(x, y, t0) dxdy = r ∂ 2 r ∂p 1 2 = yk 1 p(x, y) Δ u (x, y, t ) dxdy 2 yk Δ u (x, y, t ) dxdy + ∂xj Ω 0 2 r p(x, y) B 0 0 Ω 0 2 2 ∂xj p(x, y) B 0 0 +2 yk ∂ p(x, y) 1 Δ u (x, y, t ) dxdy C ∗tn+1(t + y )k , Ω 0 2 / ∂p 2 ∂xj \ p(x, y) B 0 0 2 0 0 0 где C ∗ = 2 C∗ + lpl2C∗ . 2 1 2 ∂xj Пусть m = 3. Тогда из (5.32) следует неравенство r 1 yk ΔB ΔB u0(x, y, t0) 2 dxdy C∗lpl2tn+1(t0 + y0)k . p(x, y) 3 0 Ω 0 2 2 Нужно оценить lu0(x, y, t0)l4. Рассмотрим интеграл r yk Δ2 2 r k 1 2 B u0(x, y, t0) Ω 0 2 dxdy = y Ω 0 2 ΔB p(x, y) ΔB u0(x, y, t0) p(x, y) dxdy. Применяя к подынтегральному выражению формулу Лейбница, получаем, что последний интеграл равен r yk p(x, y)ΔB Ω 0 2 1 p(x, y) 1 ΔB u0(x, y, t0) +2 2∇p(x, y), ∇ 2 1 p(x, y) ΔB u0(x, y, t0) + + ΔB p(x, y)ΔB u0(x, y, t0) dxdy C ∗tn+1(t0 + y0)k , p(x, y) 3 0 2 где C ∗ = 4(C∗lpl4 + 2lD 1plC∗ + C∗lpl2lΔB pl ). 3 3 2 1 Поскольку 2 r 2 B lu0(x, y, t0)l4 const Ω 0 2 yk Δ2 u0(x, y, t0) dxdy 5.2. СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ. СЛУЧАЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 133 2 n+1 k (в силу финитности u0(x, y, t0)), имеем оценку lu0(x, y, t0)l4 C 3t0 (t0 + y0) и т. д. Отметим, что на шаге номер m используется конечность норм lD j pl при j m - 1, а по n + k + 1 условию эти нормы конечны при j . Следовательно, описанную выше процедуру 2 можно продолжить до шага номер n + k + 1 2 включительно. Применяя формулу Лейбница и j учитывая, что ∂ p ∂yj y=0 n + k + 1 = 0 при j = 1,..., 2 , получаем (на шаге номер n + k + 1 ): 2 2 lu0(x, y, t0)l[ n+k+1 C n+k+1 tn+1(t0 + y0)k , (5.33) 2 ] где константа C[ n+k+1 0 2 ]+1 не зависит от x0, y0, t0. [ 2] u0(x, y, t0) ∈ W 2 [ n+k+1 ]+1 (Rn+1) поскольку u0(x, y, t) ∈ W [ 2] n+k+1 +2 (Rn+2), а как доказано в [40], 2,k,loc + [ n+k+1 ]+ 3 2,k,loc ++ в этом случае u0(x, y, T ) ∈ W 2 2,k,loc + 2 (Rn+1) для любого фиксированного T > δ0. Применим теперь следующую теорему вложения (см. [39]): если f (x, y) ∈ W + suppf ⊂ {|x|2 + y2 1,y 0 , то f (x, y) ∈ C(Rn+1) и 2 [ n+k+1 ]+1 2,k + (Rn+1) и |f (0)| const lf l[ n+k+1 ⎛ = const ⎜ r ηk D 2 [ n+k+1 ]+1 2 f (ξ, η) 1 ⎞ 2 dξdη⎟ . [ n+k+1 ]+1 2 ]+1 ⎜ ⎝ R n+1 + ξ,η ⎟ ⎠ Пусть теперь g ∈ W 2 2,k + (Rn+1) и supp g ⊂ {|x|2 + y2 4(t0 + y0)2, y 0 . Введем функцию f (x, y) d=ef g[2(t0 + y0)x, 2(t0 + y0)y]. К этой функции можно применить вышеуказанную теорему вложения. Получим, что |g(0)| = |f (0)| const / r ηk R n+1 + (2(t0 + y0))[ ]+1 n+k+1 2 × × D 2 [ n+k+1 ]+1 2(t0+y0)ξ,2(t0+y0)η l2 g 2(t0 + y0)ξ, 2(t0 + y0)η 1 \ 2 dξdη . Сделаем в последнем интеграле замену переменных: xj = 2(t0 + y0)ξj (j = 1, n), y = 2(t0 + y0)η. Получим, что |g(0)| C (t0 + y0)[ ]+1 n+k+1 2 - n+k+1 2 ]+1 2 lgl[ n+k+1 , где C зависит только от n и k. Поскольку supp u0(x, y, t0) ⊂ {|x - x0|2 + y2 (2t0 + 2y0)2, y 0 , а за новое начало координат в Rn+1 можно принять точку (x0, 0) = (x0,..., x0 , 0), получаем, полагая g(x, y) = u0(x, y, t0), что 1 n |Z(x0, y0, t0)| = |u0(x0, y0, t0)| C (t0 + y0)[ Из (5.13) следует, что ]+1 n+k+1 2 - n+k+1 2 ]+1 2 lu0(x, y, t0)l[ n+k+1 . n+1 |Z(x0, y0, t0)| const t0 2 k C(t0 + y0) 2 +1-{ n+k+1 2 }, что и доказывает лемму 5.2.2, так как x0, y0, t0 выбраны произвольно, а константа не зависит от x0, y0, t0. Замечание. При n + k < 1 достаточно применить неравенство (5.32) при m = 0 (кстати, в этом случае оно и справедливо лишь при m = 0), а потом - теорему вложения. Лемма 5.2.2 доказана. 134 ДОПОЛНЕНИЕ. СИНГУЛЯРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Покажем, что = Z (x, y, λ) def r∞ e-(t-δ0)λZ(x, y, t)dt δ0 имеет по y не более чем степенной рост на бесконечности, т. е. существует такое κ0, что Z (x, y, λ) = O(yκ0 ) при y → ∞. Для этого заметим, что r ∞ n+1 k n+k+1 |Z (x, y, λ)| C|eδ0λ| 0 n + 3 |e-tλ|t 2 C(t + y) 2 +1-{ 2 }dt = = CΓ 2 2 ]+2G eλReδ0 y[ n+k+1 n +3 , 2 n + k +1 2 + 3, yReλ , где G(α1, α2, z) - вырожденная гипергеометрическая функция второго рода (см. [66, с. 246]). Из асимптотического представления этой функции при z →∞ (см. [66, с. 283]) следует, что Z (x, y, λ) действительно имеет на бесконечности не более чем степенной рост по y. Далее Z (x, y, λ) удовлетворяет при Reλ > 0 уравнению -ΔB Z + λ2p(x, y)Z = p(x, y)ψ(x, y). 0 В самом деле, пусть g(x, y) ∈ C∞(Rn+1). Тогда r R n+1 + yk ΔB Z(x, y, t)g(x, y)dxdy = r R n+1 + yk Z(x, y, t)ΔB g(x, y)dxdy, T r r 0 = yk g(x, y)(T - t) ∂2Z p(x, y) - Δ Z dxdydt = R δ0 n+1 + r / ∂t2 B T r \ = yk R n+1 + g(x, y)p(x, y) - (T - δ0)ψ(x, y)+ Z(x, y, T )1 - ΔB g(x, y) δ0 (T - t)Z(x, y, t)dt dxdy. Умножим последнее тождество на e-(T -δ0)λ, где Reλ > 0, и проинтегрируем по T от δ0 до ∞. Получим: g 0 = r yk (x, y)p(x, y) r∞ e-τλZ(x, y, τ + δ0)dτ - g(x, y)p(x, y)ψ(x, y) r∞ τe-τλdτ - R n+1 + r 0 r∞ -ΔB g(x, y) 0 τ r e-τλ 0 0 1 (τ - θ)Z(x, y, θ + δ0)dθdτ dxdy = l = yk R n+1 + g(x, y)p(x, y)ψ(x, y) g(x, y)p(x, y)Z (x, y, λ) - λ2 - ΔB Z(x, y, λ) g(x, y) λ2 dxdy. В силу произвольности выбора g(x, y) функция действительно удовлетворяет уравнению 2,k,loc Z (x, y, λ) принадлежит классу W 2 + (Rn+1) и -ΔB Z + λ2p(x, y)Z = p(x, y)ψ(x, y). Пусть λ вещественно и положительно. Рассмотрим следующую задачу: -ΔB Z + λ2p(x, y)Z = p(x, y)ψ(x, y), x ∈ Rn,y > 0; (5.34) 5.2. СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ. СЛУЧАЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 135 Функция ∂Z ∂y y=0= 0. (5.35) Z (x, y, λ) является решением задачи (5.34), (5.35), аналитическим по λ > 0, ограниченным по x ∈ Rn и имеющим на бесконечности рост по y не выше степенного. Такое решение задачи (5.34), (5.35) единственно. С другой стороны, как доказано в предыдущем пункте, функция w(x, y, λ) является аналитическим по λ > 0 и ограниченным по x ∈ Rn+1 решением задачи + w w n,y > 0; (5.36) -ΔB + λp(x, y) = p(x, y)ψ(x, y), x ∈ R ∂ w ∂y y=0= 0. (5.37) Такое решение задачи (5.36), (5.37) тоже единственно. Значит, при λ > 0 √ w(x, y, λ) = Z(x, y, π λ). (5.38) √ Z (x, y, λ) аналитична при | arg λ| < 2 , следовательно, Z (x, y, λ) аналитична по λ при | arg λ| < π, w поэтому при помощи (5.38) функцию (x, y, λ) можно аналитически продолжить в область | arg λ| < π как функцию, ограниченную по x ∈ Rn и имеющую на бесконечности рост по y не выше степенного. Лемма 5.2.3. Для любого x ∈ Rn, любого y 0 и любого σ > 0 | |→∞ λ |Z (x, y, λ)| -→ 0 π равномерно относительно | arg λ| 2 . Доказательство. ∞ r |Z (x, y, λ)| = δ0 e-(t-δ0)λZ(x, y, t)dt C r∞ e-τ Reλ(τ + δ0)[ 0]+1 k n+k+1 2 (τ + δ0 + y) dτ C r∞ e-ρ 0 ρ + δ 2 ]+1 [ n+k+1 ρ + δ0 + y k dρ. 2 |λ| sin σ 0 2 |λ| sin σ σ 2 |λ| sin σ const Если |λ| достаточно велико, то |λ| sin 2 > 1, поэтому |Z (x, y, λ)| от λ. Лемма 5.2.3 доказана. |λ| , где константа не зависит w Лемма 5.2.4. Для любого σ > 0 существует такое δ > 0, что l (x, y, λ)l ограничена при λ ∈ / |λ| < δ | arg λ| π - σ . Доказательство. r∞ w(x, y, λ) = δ0 r∞ e-(t-δ0)λw(x, y, t)dt = ∞ r e-(t-δ0)λ ∂u (x, y, t)dt = ∂t δ0 ∞ = λ e-λtu(x, y, t + δ0)dt + e-λtu(x, y, t + δ0) = 0 0 = λeλδ0 u(x, y, λ) - u(x, y, δ0) - λ δ0 r e-(t-δ0)λu(x, y, t)dt. 0 u( В предыдущем пункте доказано, что для любого σ > 0 существует такое δ > 0, что x, y, λ) 4 аналитична при | arg λ| π - σ, |λ| < δ. Следовательно, последнее равенство справедливо (по крайней мере) при | arg λ| π - σ, |λ| < δ. Теперь зафиксируем σ ∈ 0, π . В предыдущем пункте 136 ДОПОЛНЕНИЕ. СИНГУЛЯРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ u( доказано, что l x, y, λ)l const |λ| u( при | arg λ| π - σ, |λ| < δ(σ). Поэтому lλeλδ0 x, y, λ)l const eδ0Reλ eδδ0 при | arg λ| π - σ, |λ| < δ. u(x, y, δ0) вообще не зависит от λ и ограничено по x ∈ Rn, y 0. Осталось оценить третье слагаемое: Отсюда δ0 r e- = e (t-δ0)λ (δ0-t)Reλ e|λ|δ0 < eδδ0 при |λ| < δ. λ e-(t-δ0)λu(x, y, t)dt |λ|δ0eδδ0 lu(x, y, t)l < δδ0eδδ0 lϕ(x, y)l при |λ| < δ. 0 Лемма 5.2.4 доказана. w Из леммы 5.2.3 следует, что для любого x ∈ Rn и любого y 0 функция (x, y, λ) ограничена на Γ = | arg λ| 3π 1 4 и в формуле обращения преобразования Лапласа r w(x, y, t + δ0) = Reλ=σ0>0 контур интегрирования можно заменить контуром Γ. eλtw(x, y, λ)dλ w В силу леммы 5.2.4 существует такое δ > 0, что (x, y, λ) ограничена в области {0 < |λ| < δ}∩G, w где G = {| arg λ| < π - σ}. Кроме того, (x, y, λ) аналитична в области G. Таким образом, начало координат является правильной (или в крайнем случае устранимой особой) точкой функции (x, y, λ), поэтому (x, y, λ) может быть доопределена при λ = 0 по непрерывности; теперь w w(x, y, λ) w аналитична в области G и непрерывна в ее замыкании. По лемме 5.2.3, lim w(x, y, λ) = 0, поэтому функция w(x, y, λ) действительно ограничена на Γ. |λ|→∞ λ∈Γ Рассмотрим теперь на комплексной плоскости λ = λ1 + iλ2 контур, ограниченный следующими пятью отрезками: отрезок прямой λ2 = R при -R λ1 σ0; отрезок прямой λ2 = -R при -R λ1 σ0; отрезок прямой λ2 = λ1 при -R λ1 0; отрезок прямой λ2 = -λ1 при -R λ1 0; отрезок прямой λ1 = σ0 при -R λ2 R; обозначим его через ΓR. r К интегралу ΓR получаем: eλtw(x, y, λ)dλ можно применить теорему Коши. Устремляя R к бесконечности, r Reλ=σ0>0 r eλtw(x, y, λ)dλ = Γ eλtw(x, y, λ)dλ. w Зафиксируем x из Rn и неотрицательное y. Учитывая ограниченность функции (x, y, λ) на Γ, получаем: r r eλtw(x, y, λ)dλ C etReλdλ = 2C r∞ ρt √ e- 2 dρ = const . t Γ Γ 0 ∂u Таким образом, const при t δ0. Поскольку v(x, y, t) является решением зада- ∂t t ∂v чи (5.12), (5.2) при p(x, y) ≡ 1, неравенство const справедливо при t δ0. Поэтому для любого x ∈ Rn и любого y 0 f II(t) = O ∂t 1 t t при t → ∞. 5.2. СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ. СЛУЧАЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 137 Теорема 5.2.3 доказана. + 5. Доказательство основной теоремы. Теперь можно перейти непосредственно к доказательству теоремы 5.2.1. Зафиксируем (x, y) из Rn+1. Обозначим u(x, y, t) - v(x, y, t) через g(t); очевидно, g(t) ограничена. Обозначим g(t)+ tgI (t) через h(t). Из теоремы 5.2.3 следует, что h(t) ограничена по крайней мере при t 1. Поскольку нас интересует поведение g(t) лишь при t → ∞, не ограничивая общности, можно считать, что g(t) = 0 при 0 t 1. Поэтому h(t) ограничена на положительной полуоси. t Далее легко проверить, что g(t) = 1 r t h(τ )dτ. В силу теоремы 5.2.2 справедливо предельное t соотношение 1 r 0 t g(τ )dτ t→∞ 0, т. е. 1 r τ 1 r h(ρ)dρdτ t→∞ 0; поскольку h(t) ограничена, преt -→ t τ -→ 0 0 0 t дельное соотношение 1 r t 0 -→ h(τ )dτ t→∞ 0 тоже справедливо (в силу [82, лемма 1]), следовательно, ∈ lim g(t) = 0. Это и означает, что для любого x Rn, любого y 0 и любого вещественного t→∞ -→ -→ l предельное соотношение u(x, y, t) t→∞ l справедливо тогда и только тогда, когда справедливо предельное соотношение v(x, y, t) t→∞ l. Последнее соотношение в силу теоремы 5.1.1 эквивалентно равенству n lim r→∞ n + k +1 r rn+k+1 yk p(x, y)ϕ(x, y)dxdy = 2 π 2 Γ( k+1 ) Γ( n+k+1 ) l. Далее 1 r k B+(r) 2 ϕl r k y q(x, y)ϕ(x, y)dxdy l y |q(x, y)|dxdy. rn+k+1 B+(r) rn+k+1 B+(r) Последнее выражение стремится к нулю при r → ∞ (в силу того, что q(x, y) удовлетворяет условию (5.16)), а ϕ(x, y) ограничена. Это и доказывает теорему 5.2.1, так как p(x, y) = q(x, y)+ 1. Теорема 5.2.1 доказана полностью. Из теоремы 5.2.1 и теорем 5.1.5 и 5.1.6 вытекают следующие утверждения. + Теорема 5.2.4. Пусть n > 0, α 0, β 0, α /= β. Пусть uk (x, y, t) - классическое ограниченное решение задачи (5.12), (5.2). Пусть условия теоремы 5.2.1 выполнены при k = α и k = β. Тогда существует такая ограниченная функция ϕ ∈ C∞(Rn+1), что для любого x ∈ Rn и любого неотрицательного y lim uα(x, y, t) существует, а lim uβ (x, y, t) не существует. t→∞ t→∞ Теорема 5.2.5. Пусть n = 0, α 0, β 0, α /= β. Пусть uk (x, y, t) - классическое ограниченное решение задачи (5.12), (5.2). Пусть условия теоремы 5.2.1 выполнены при k = α и k = β. Тогда для любой непрерывной и ограниченной функции ϕ и любого неотрицательного y существование lim uα(y, t) эквивалентно существованию lim uβ (x, y, t). Если эти пределы t→∞ существуют, то lim uα(y, t) = β +1 lim uβ (x, y, t). t→∞ t→∞ α +1 t→∞ Замечание. Рассмотрим (n + 2)-мерный интеграл r Da,0,0 q ξk-1 x, ξ2 + (η - d)2 dxdηdξ, зависящий от параметров a ∈ Rn, d 0; здесь Da,b,c обозначает (n + 2)-мерный полушар {x ∈ Rn, η 0, ξ ∈ R1 |x - a|2 + (η - b)2 + (ξ - c)2 r2}. 138 ДОПОЛНЕНИЕ. СИНГУЛЯРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Сделав замену переменных η = y cos θ, ξ = y sin θ, получим, что этот интеграл равен π r r Da,0 0 yk sink-1 θ q x, y2 sin2 θ + y2 cos2 θ + 2dy cos θ + d2 dθdxdy, где Da,b обозначает (n + 1)-мерный полушар {x ∈ Rn,y 0 |x - a|2 + (y - b)2 r2}. Последний интеграл, в свою очередь, равен Γ r ( k ) 2 k d Γ r ( k ) 2 k y Γ ( k+1 ) 2 y Da,0 Γ Ty |q(x, y)|dxdy = ( k+1 ) 2 η B+(r) Tη |q(ξ + a, η)|dξdη. Таким образом, условие (5.15) эквивалентно следующему условию: существует такая константа b, r что 1 lim b ρk-1 p ξ, η2 + ρ2 - dξdηdρ = 0 r→∞ rn+k+1 Dx,-y,0 равномерно относительно x ∈ Rn, y 0.