Усреднение параболического уравнения в перфорированной области с односторонним динамическим граничным условием: критический случай

Полный текст

1. Введение Работа посвящена изучению асимптотического поведения при ε → 0 решения uε параболического уравнения ∂tuε - Δuε = f (x, t) заданного в области Ωε ⊂ Rn, n ): 3, перфорированной шарами радиуса порядка εα,α = n n - 2 . На границе этих перфораций заданы динамические односторонние ограничения с большим коэффициентом роста ε-α. Мы строим усредненное уравнение и доказываем теорему о сходимости в так называемом критическом случае. Этот случай характеризуется появлением «странного» нелокального оператора, который получается как решение некоторого дифференциального неравенства. Динамические граничные условия возникают при изучении различных физико-химических процессов (обзор этой темы см., например, в [8, 9]). Параболическое уравнение вместе с динамическим краевым условием изучалось во многих работах, в качестве примера укажем [7, 17]. Усреднение начально-краевых задач с динамическим граничным условием изучалось в [6, 20, 21] в случае α = 1. Критическое соотношение между параметрами задачи широко изучалось в литературе: здесь мы упоминаем работы [4, 15, 16], в которых исследуются задачи с динамическими краевыми условиями, и [1, 10-12], которые посвящены усреднению параболических уравнений и изучению асимптотического поведения соответствующих им аттракторов. В [4, 15, 16] было показано, что усредненная задача содержит нелокальный «странный» член, являющийся решением некоторого ОДУ. Усреднение задач типа Синьорини и появление «странного» члена изучалось во многих работах, например, [2, 13, 14, 19]. Напротив, в настоящей статье рассматривается усреднение задачи с динамическим краевым условием типа Синьорини. 2. Формулировка результатов 1. Постановка задачи. Пусть Ω - ограниченная область в Rn, n ): 3, с гладкой границей ∂Ω. Пусть G0 = {x : |x| < 1}. Определим δB = {x : δ-1x ∈ B}, δ > 0. Мы рассматриваем множество Gε = I (aεG0 + εj) = I ε Gj, j∈Υε n j∈Υε где ε > 0, aε = C0εα, α = n - 2 , C0 = const > 0, Υε ⊂ Zn, а Zn - набор векторов (z1, z2,... , zn) ε с целыми коэффициентами zi, i = 1,... , n. Возьмем Υε = {j ∈ Zn : ρ(∂Ω, Gj ) ): 2ε)}. Отметим, что |Υε| = dε-n, d = const > 0. Также мы определим Sj = ∂Gj, T j - шар радиуса r с центром в Pj, где Pj - центр куба Y j o ε r ε ε ε = εY + jε, j ∈ Υε. Введем множества: Ωε = Ω \ Gε, Sε = ∂Gε, ∂Ωε = Sε J ∂Ω, QT = Ωε × (0, T ), ST = Sε × (0, T ), o ε ΓT T ε = ∂Ω × (0, T ), где 0 < T < ∞. В Qε рассмотрим следующую задачу с односторонними ограничениями, заданными на границе ST : ⎧ ∂tuε ⎪ - Δuε ε = f (x, t), (x, t) ∈ QT , ⎪ uε ⎪ ): 0, ε-γ ε ∂tuε + ∂νuε ): 0, (x, t) ∈ ST , ε ⎨ uε(ε-γ∂tuε + ∂νuε) = 0, (x, t) ∈ ST , ⎪ uε = 0, (x, t) ∈ ΓT , (2.1) ⎪ uε(x, 0) = 0, x ∈ Ωε, ⎪⎩ uε(x, 0) = 0, x ∈ Sε, n где Δu ≡ div(∇u), f ∈ L2(QT ), QT = Ω × (0,T ), ∂ν u ≡ (∇u, ν), ν - единичный вектор внешней нормали к Sε, γ = n - 2 , n ): 3. Через H1(Ωε, ∂Ω) обозначим пространство, которое получается замыканием в H1(Ωε) множества бесконечно дифференцируемых в Ωε функций, обращающихся в нуль вблизи границы ∂Ω. Определим пространство H-1(Ωε, ∂Ω) как сопряженное к H1(Ωε, ∂Ω) и обозначим отношение двойственности через (., .)Ωε . Применяя теорему о следах к функциям из пространства H1(Ωε, ∂Ω), получим, что их следы принадлежат пространству H1/2(Sε, ∂Ω). Через H-1/2(Sε, ∂Ω) ε обозначим пространство, сопряженное к H1/2(Sε, ∂Ω), а через (., .)S ственности. выразим отношение двой- Далее, мы определим Kε = {ϕ ∈ H1(Ωε, ∂Ω)|ϕ ): 0 п.в. на Sε}. Легко видеть, что Kε является замкнутым выпуклым подмножеством H1(Ωε, ∂Ω). Наряду с этим множеством рассмотрим Kε = {ϕ ∈ L2(0,T ; H1(Ωε, ∂Ω))|ϕ(t) ∈ Kε п.в. t ∈ [0,T ]}, которое также является замкнутым выпуклым подмножеством в пространстве L2(0,T ; H1(Ωε, ∂Ω)). Мы говорим, что функция uε ∈ Kε такая, что uε(x, 0) = 0 п.в. в Ωε, uε(x, 0) = 0 п.в. на Sε и ∂tuε ∈ L2(0,T ; H-1(Ωε, ∂Ω)), ∂tuε ∈ L2(0,T ; H-1/2(Sε, ∂Ω)), является слабым решением задачи (2.1), если она удовлетворяет вариационному неравенству T T r γ r (∂tuε,v - uε)Ωε dt + ε- 0 0 r (∂tuε,v - uε)Sε dt + Q T ε r ∇uε∇(v - uε)dxdt ): Q T ε f (v - uε)dxdt (2.2) для произвольной функции v ∈ Kε. Замечание 2.1. Из интегрального неравенства (2.2) получаем, что uε также удовлетворяет следующему интегральному неравенству: УСРЕДНЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ОДНОСТОРОННИМ ДИНАМИЧЕСКИМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ 673 T T r γ r (∂tζ, ζ - uε)Ωε dt + ε- 0 0 r (∂tζ, ζ - uε)Sε dt + Q T ε ∇ζ∇(ζ - uε)dxdt ): r 1 2 1 γ 2 ): f (ζ - uε)dxdt - 2 ζ(x, 0) L2 (Ωε) - 2 ε- Q T ε ζ(x, 0) L2 (Sε), (2.3) где ζ - произвольная функция из множества Kε такая, что ∂tζ ∈ L2(0,T ; H-1(Ωε, ∂Ω)) и ∂tζ ∈ L2(0,T ; H-1/2(Sε, ∂Ω)). 2. Существование, единственность, продолжение. С помощью метода штрафа (см. [5]) доказывается теорема существования и единственности решения задачи (2.1). Теорема 2.1. Существует единственное слабое решение uε задачи (2.1), и справедлива следующая оценка: uε L∞(0,T ;H1 (Ωε ,∂Ω)) + ε- γ/2 uε L∞ (0,T ;L2(Sε )) + (2.4) + ∂tuε L2 (0,T ;L2(Ωε )) + ε- здесь и ниже константа K не зависит от ε. γ/2 ∂tuε L2 (0,T ;L2(Sε )) K; Доказательство. Штрафная задача, связанная с задачей (2.1), принимает вид ⎧ ∂ u - Δu = f (x, t), (x, t) ∈ QT , t ε,δ ⎪ γ ⎪ ε,δ ε -1 - T ⎨ ε- ∂tuε,δ + ∂νuε,δ + δ uε,δ = 0, (x, t) ∈ Sε , uε,δ = 0, (x, t) ∈ ΓT , ⎪ uε,δ(x, 0) = 0, x ∈ Ωε, ⎪⎩ uε,δ(x, 0) = 0, x ∈ Sε, где u- - отрицательная часть функции u, т. е. u- = inf(u, 0). По решению этой задачи рассмотрим функцию uε,δ ∈ L2(0,T ; H1(Ωε, ∂Ω)) такую, что ∂tuε ∈ L2(0,T ; H-1(Ωε, ∂Ω)), ∂tuε ∈ L2(0,T ; H-1/2(Sε, ∂Ω)), uε,δ(x, 0) = 0 п.в. в Ωε, uε,δ(x, 0) = 0 п.в. на Sε, и удовлетворяющую интегральному тождеству T T r γ r (∂tuε,δ, v)Ωε dt + ε- 0 0 r (∂tuε,δ, v)Sε dt + Q T ε r ∇uε,δ∇vdxdt + δ-1 S T ε r ε,δ u- vdsdt = Q T ε fvdxdt, где v - произвольная функция из L2(0,T ; H1(Ωε, ∂Ω)). Существование и единственность решения штрафной задачи можно доказать, используя метод монотонности и приближения Галеркина (см. общий обзор в [5] и аналогичную задачу в [4, 16]). В статье [16] показано, что решение таково, что uε,δ ∈ C([0,T ]; L2(Ωε)), uε,δ ∈ C([0,T ]; L2(Sε)), uε,δ ∈ L2(0,T ; H1(Ωε, ∂Ω)), ∂tuε,δ ∈ L2(0,T ; L2(Ωε)), ∂tuε,δ ∈ L2(0,T ; L2(Sε)). Кроме того, справедливы следующие оценки: T T r 2 -γ r 2 2 ∂tuε,δ L2 (Ωε )dt + ε 0 ∂tuε,δ L2 (Sε )dt + ess sup ∇uε,δ(x, t) L2 (Ωε ) K, [0,T ] 0 T 2 -γ 2 r 2 ess sup uε,δ L2 (Ωε ) + ε [0,T ] ess sup uε,δ L2 (Sε) + [0,T ] 0 ∇uε,δ L2 (Ωε )dt K, где константа K не зависит от ε и δ. Значит, существует подпоследовательность (мы сохраняем нумерацию исходной последовательности) такая, что uε,δ α uε слабо в L2(0,T ; H1(Ωε, ∂Ω)), uε,δ → uε сильно в L2(0,T ; L2(Sε)), ∂tuε,δ α ∂tuε слабо в L2(0,T ; L2(Ωε)), ∂tuε,δ α ∂tuε слабо в L2(0,T ; L2(Sε)). 674 А. В. ПОДОЛЬСКИЙ, Т. А. ШАПОШНИКОВА Далее покажем, что u- ≡ 0 на ST . Действительно, возьмем uε,δ в качестве пробной функции в o ε интегральном тождестве для штрафной задачи и получим r r ε,δ (u- )2dxdt δ o ) f uε,δdxdt δ f L2 (QT ) uε,δ L2 (QT Kδ. S T ε ε,δ Следовательно, u- Q T ε ε → 0 сильно в L2(ST ). В силу монотонности функции u → u- имеем r (u - ε,δ S T ε - ψ-)(uε,δ - ψ)dsdt ): 0, ε где ψ - произвольная функция из L2(ST ). Перейдем к пределу при δ → 0 в этом неравенстве и получим r - ψ-(uε - ψ)dxdt ): 0. S T ε ε Возьмем ψ = uε - λw, где w - произвольная функция из L2(ST ), λ > 0, и перейдем к пределу при λ → 0. Таким образом, мы получим r S T ε u- o wdxdt 0 для произвольной функции w ∈ L2(ST ). Следовательно, u- ≡ 0 для п.в. (x, t) ∈ ST , т. е. uε ): 0 ε на ST . Следовательно, uε ∈ Kε. ε v ∈ Kε o ε (v- ≡ 0 п.в. на ST ) и получим Теперь возьмем произвольную функцию ε T T r γ r (∂tuε,δ,v - uε,δ)Ωε dt + ε- 0 0 r (∂tuε,δ,v - uε,δ)Sε dt + r r + ∇uε,δ∇(v - uε,δ)dxdt - Q Q T T o ε f (v - uε,δ)dxdt = δ-1 S T ε ε,δ (v- - u- )(v - uε,δ)dsdt ): 0. Переписывая это неравенство, получаем r 2 |∇uε,δ| dxdt Q T ε r T T r γ r (∂tuε,δ,v - uε,δ )Ωε dt + ε- 0 0 T r r (∂tuε,δ,v - uε,δ)Sε dt + T γ r r + ∇uε,δ∇vdxdt - Q Q T T o ε f (v - uε,δ)dxdt = 0 (∂tuε,δ, v)Ωε dt + ε- (∂tuε,δ, v)Sε dt + Q 0 T ε ∇uε,δ∇vdxdt - r 1 2 1 γ 2 - f (v - uε,δ)dxdt - 2 uε,δ (x, T ) L2 (Ωε) - 2 ε- Q T ε 2 2 uε,δ (x, T ) L2 (Sε). Отображения t → uε,δ(x, t) L2 (Ωε ) и t → uε,δ (x, t) L2 (Sε ) непрерывны, поэтому последние два u2 члена определены корректно. Более того, из оценки uε,δ получаем, что последовательность ε,δ (x, T ) ограничена в соответствующем пространстве, поэтому можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Переходя к пределу при δ → 0, получаем r 2 1 2 1 γ 2 |∇uε| dxdt + 2 uε(x, T ) L2 (Ωε ) + 2 ε- Q T ε uε(x, T ) L2 (Sε ) lim(r u 2dxdt + 1 u (x, T ) 2 1 + ε-γ u (x, T ) 2 δ→0 |∇ Q T ε ε,δ| 2 ε,δ L2 (Ωε ) 2 ε,δ L2 (Sε) УСРЕДНЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ОДНОСТОРОННИМ ДИНАМИЧЕСКИМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ 675 T T r γ r (∂tuε, v)Ωε dt + ε- 0 0 r (∂tuε, v)Sε dt + Q T ε r ∇uε∇vdxdt - Q T ε f (v - uε)dxdt. Таким образом, мы имеем T T r γ r (∂tuε,v - uε)Ωε dt + ε- 0 0 r (∂tuε,v - uε)Sε dt + Q T ε r ∇uε∇(v - uε)dxdt ): Q T ε f (v - uε)dxdt. Следовательно, предельная функция uε является решением (2.1). Оценки (2.4) следуют из оценок функции uε,δ. Далее покажем единственность решения. Предположим противное, что существует два решения u1 и u2. Возьмем u2 в качестве пробной функции в вариационном неравенстве для u1 и o ε ε ε наоборот. Затем суммируем неравенства и получаем T r - (∂t(u2 - u1), u2 - u1)Ω dt - ε-γ T r 2 1 2 1 2 1 2 (∂t(u - u ), u - u )S dt - ∇(u - u ) ): 0. § ε ε ε ε 0 § ε ε ε ε 0 ε o ε L2 (QT ) Отсюда сразу заключаем, что u1 = u2 п.в. в QT и ST . o ε ε ε Мы будем использовать хорошо известный результат о продолжении (см. [18]). ε Теорема 2.2. Пусть Ωε - определенная выше перфорированная область. Тогда существует оператор продолжения Pε : H1(QT ) → H1(QT ), QT = Ω × (0,T ), такой, что ε Pεu = u в QT , o ) Pεu H1 (QT ) K u H1 (QT , 2 2 2 2 ∂t(Pεuε) L2 (QT ) + ∇xPεuε L2 (QT ) K( ∂tuε L2 (QT + ∇xuε ε ). o ) L2 (QT ) Следовательно, из оценок (2.4) следует, что существует подпоследовательность (используем обозначение исходной последовательности) такая, что при ε → 0 имеем 0 Pεuε α u0 слабо в L2(0,T ; H1(Ω)), где uε - решение задачи (2.1). Pεuε → u0 сильно в L2(QT ), ∂t(Pεuε) α ∂tu0 слабо в L2(QT ), (2.5) 3. Теорема усреднения. Следующая теорема описывает предельную функцию u0 из (2.5). n Теорема 2.3. Пусть n ): 3, α = γ = n - 2 , uε - слабое решение задачи (2.1). Тогда функция u0, определенная в (2.5), является слабым решением следующей задачи: ⎧ ∂tu0 ⎪ ⎪ § Δu0 + An (u0 § Hu0 ) = f (x, t), (x, t) ∈ QT , T ⎨ ∂tHu0 + BnHu0 ): Bnu0, Hu0 ): 0, Hu0 (∂tHu0 + Bn(Hu0 - u0)) = 0, (x, t) ∈ Q , u0 = 0, (x, t) ∈ ΓT , ⎪ u0(x, 0) = 0, x ∈ Ω, ⎪⎩ Hu0 (x, 0) = 0, x ∈ Ω, где константы An, Bn выражаются в виде An = (n - 2)Cn-2ωn, Bn = (n - 2)C-1, ωn =| ∂G0 | . (2.6) 0 0 676 А. В. ПОДОЛЬСКИЙ, Т. А. ШАПОШНИКОВА 3. Нелокальный странный член В усредненном уравнении (2.6) появляется нелокальный странный член как решение некоторой задачи, связанной с дифференциальным неравенством. В этом разделе мы докажем существование и единственность этого решения и выведем некоторые его свойства. Пусть ϕ ∈ L2(0,T ) фиксировано. Рассмотрим задачу ⎧ d d \ ⎨ dt Hϕ + BnHϕ ): Bnϕ, Hϕ ): 0, ⎩Hϕ(0) = 0. dt Hϕ + BnHϕ - Bnϕ Hϕ = 0, t ∈ (0,T ), (3.1) Вариационная формулировка задачи (2.1) имеет следующий вид: найти функцию Hϕ ∈ H1(0,T ), Hϕ(0) = 0, Hϕ ): 0 при t ∈ (0,T ) такую, что T T r d r dt Hϕ(v - Hϕ)dt + Bn 0 0 T r Hϕ(v - Hϕ)dt ): Bn 0 ϕ(v - Hϕ)dt, (3.2) где v ∈ L2(0,T ) и v ): 0 при п.в. t ∈ (0,T ). Теорема 3.1. Существует единственное решение Hϕ ∈ H1(0,T ) вариационного неравенства (3.2). Доказательство. Сначала покажем единственность решения. Предположим противное, что су- H1 2 ществует два решения H1 и H2 . Введем функцию w = ϕ + Hϕ . Очевидно, что w ): 0 при п.в. ϕ ϕ 2 t ∈ (0,T ). Затем возьмем v = w в качестве пробной функции в вариационных неравенствах для двух решений и просуммируем их: T r d 1 2 1 2 T r 1 2 2 Далее мы имеем dt - (Hϕ - Hϕ)(Hϕ - Hϕ)dt - Bn 0 0 T (Hϕ - Hϕ) dt ): 0. r 1 2 2 -|(H - H )(T )| - (H1 - H2 )2dt ): 0. ϕ ϕ ϕ ϕ 0 Отсюда немедленно следует H1 = H2 при t ∈ (0,T ). ϕ ϕ Мы будем использовать метод штрафа, чтобы доказать существование решения. Уравнение со штрафом, связанное с вариационным неравенством, принимает вид d dt Hϕ,δ + BnHϕ,δ + H- 1 δ ϕ,δ = Bn ϕ (3.3) с начальным условием Hϕ,δ(0) = 0. Существование и единственность решения этого уравнения такого, что Hϕ,δ ∈ H1(0,T ), устанавливается стандартными методами. Далее мы покажем, что решение этой задачи сходится к решению вариационного неравенства при δ → 0. Во-первых, мы получим априорные оценки, взяв Hϕ,δ в качестве пробной функции в интегральном тождестве для штрафной задачи. При τ ∈ (0,T ) имеем τ τ r d r dt Hϕ,δHϕ,δdt + Bn 0 0 H 2 ϕ,δ dt + δ-1 τ τ r r ϕ,δ (H- )2dt = Bn 0 0 ϕHϕ,δ dt. Отсюда мы получим τ τ 1 r r τ 2 r (Hϕ,δ(τ ))2 + Bn H2 dt + δ-1 (H- )2dt K ϕ + Bn H2 dt, (3.4) 2 ϕ,δ 0 ϕ,δ 0 L2 (0,T ) 2 ϕ,δ 0 где константа K не зависит от δ. Таким образом, мы имеем |Hϕ,δ(τ )| C, УСРЕДНЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ОДНОСТОРОННИМ ДИНАМИЧЕСКИМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ 677 2 Hϕ,δ L2 (0,T ) + δ-1 d 2 Hϕ,δ L2 (0,T ) C. Тогда возьмем и получим dt Hϕ,δ в качестве пробной функции в интегральном тождестве для задачи на Hϕ,δ T r d 2 T δ-1 r d Hϕ,δ dt + Bn |Hϕ,δ(T )| + |H (T )| = Bn ϕ Hϕ,δdt. dt 0 2 - 2 2 2 ϕ,δ dt 0 Используя неравенство Коши, получаем I I d I I I I dt Hϕ,δI IL2(0,T ) C ϕ L2 (0,T ). Следовательно, мы имеем Hϕ,δ H1 (0,T ) K. Таким образом, существует подпоследовательность (по-прежнему с индексом δ) такая, что ϕ,δ Hϕ,δ → Hϕ равномерно по t ∈ [0,T ], H- → 0 сильно в L2(0,T ) и d dt Hϕ,δ α d Hϕ слабо в L2(0,T ) dt ϕ при δ → 0. Далее покажем, что H- ≡ 0. Действительно, имеем T r (H - ϕ,δ 0 - ψ-)(Hϕ,δ - ψ)dt ): 0 при произвольной функции ψ ∈ L2(0,T ). Переходя к пределу при δ → 0, получим T r - ψ-(Hϕ - ψ)dt ): 0. 0 Взяв ψ = Hϕ - λw, w ∈ L2(0,T ), λ > 0, мы будем иметь T r (Hϕ - λw)-wdt 0 0 ϕ и, переходя к пределу при λ → 0, получим, что H- ≡ 0 при п.в. t ∈ (0,T ), значит, Hϕ ): 0 и Hϕ - допустимая функция. Наконец, возьмем произвольную функцию v ∈ L2(0,T ) такую, что v ): 0 для п.в. t ∈ (0,T ), и получим T r d dt Hϕ,δ(v - Hϕ,δ)dt + Bn 0 T r (Hϕ,δ - ϕ)(v - Hϕ,δ)dt = δ-1 0 T r ϕ,δ (v- - H- )(v - Hϕ,δ)dt ): 0. 0 Следовательно, мы имеем T T T T 1 2 r 2 r d r r 2 |Hϕ,δ(T )| + Bn 0 Hϕ,δdt 0 dt Hϕ,δvdt + Bn 0 Hϕ,δvdt - Bn 0 ϕ(v - Hϕ,δ)dt. Переходя к пределу при δ → 0, мы получим T 1 2 r 2 ( 1 T 2 r 2 2 |Hϕ(T )| + Bn 0 Hϕdt = lim δ→0 2 |Hϕ,δ (T )| + Bn 0 T Hϕ,δdt T T r d r dt Hϕvdt + Bn 0 0 r Hϕvdt - Bn 0 ϕ(v - Hϕ)dt. 678 А. В. ПОДОЛЬСКИЙ, Т. А. ШАПОШНИКОВА В итоге получаем, что Hϕ удовлетворяет условию T T r d r dt Hϕ(v - Hϕ)dt + Bn 0 0 T r Hϕ(v - Hϕ)dt ): Bn 0 ϕ(v - Hϕ)dt. Значит, Hϕ является решением вариационного неравенства. Пусть Hϕ и Hψ - решения вариационных неравенств с φ и ψ в правой части неравенства. Тогда справедлива следующая лемма. Лемма 3.1. Оператор Hϕ : L2(0,T ) → L2(0,T ), переводящий функцию ϕ в решение вариационного неравенства (3.2), является непрерывным по Липшицу и монотонным. Другими словами, пусть ϕ, ψ ∈ L2(0,T ), тогда соответствующие решения Hϕ и Hψ удовлетворяют T r Hϕ - Hψ L2 (0,T ) ϕ - ψ L2 (0,T ), Hϕ + Hψ (Hϕ - Hψ )(ϕ - ψ)dt ): 0. 0 Доказательство. Введем функцию w = 2 и возьмем ее в качестве пробной в вариационных неравенствах для функций Hϕ, Hψ. Затем суммируем полученные выражения и получаем T r d dt - (Hϕ - Hψ )(Hϕ - Hψ )dt - Bn 0 T r (Hϕ - Hψ )2dt ): -Bn 0 T r (ϕ - ψ)(Hϕ - Hψ )dt. 0 Переписывая это неравенство, получаем T r (Hϕ - Hψ )2dt 0 T r (ϕ - ψ)(Hϕ - Hψ )dt. (3.5) 0 Отсюда получим Hϕ - Hψ L2 (0,T ) ϕ - ψ L2 (0,T ). Последняя оценка дает непрерывность оператора, а (3.5) подразумевает монотонность. Это завершает доказательство. Замечание 3.1. Непрерывность и монотонность оператора Hϕ влечет существование и единственность решения усредненной задачи (2.6), что можно доказать методом Галеркина (см. [5]). Замечание 3.2. Если в краевом условии для задачи (2.1) взять β∂tuε, β > 0, то в задаd че (3.1) будем иметь β dt Hϕ. Переходя к пределу при β → 0, получаем условия: Hϕ ): ϕ, Hϕ ): 0, Hϕ(Hϕ - ϕ) = 0. Задача имеет очевидное решение Hϕ = ϕ+, где ϕ+ = sup(0, ϕ). Это приводит к стандартным результатам, например, ср. с результатом статьи [13]. 4. Доказательство теоремы об усреднении 1. Выбор пробной функции. 1. Пространственная составляющая. Рассмотрим вспомогательные функции wj, j ∈ Υ , o ε как решение краевых задач ⎧ j j j ⎪⎨Δwε = 0, x ∈ Tε/4 \ Gε, wj j (4.1) ε = 1, x ∈ ∂Gε, ⎪wj j ⎩ ε = 0, x ∈ ∂Tε/4. Мы можем найти в явном виде решение задачи (4.1): j 2-n 2-n wj x - Pε | - (ε/4) . (4.2) a2-n ε = | ε - (ε/4)2-n УСРЕДНЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ОДНОСТОРОННИМ ДИНАМИЧЕСКИМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ 679 Положим ⎧ j j j ⎪wε, x ∈ Tε/4 \ Gε, Wε = ε ⎪⎨1, x ∈ Gj, (4.3) ⎩ ⎪⎪0, x ∈ Rn 0 Нетрудно видеть, что Wε α 0 слабо в H1(Ω). \ J j∈Υε T . j ε/4 0 ϕ 2. Временная составляющая. Рассмотрим ϕ = η(t)ψ(x), η(t) ∈ C1([0,T ]), ψ(x) ∈ C∞(Ω) и определим функции Hε,j (t) как решение набора задач для дифференциального неравенства (∂tHε,j ε,j j ε,j ε,j ε,j j ε,j Hε,j ϕ + BnHϕ ): Bnϕ(Pε , t), Hϕ ): 0, (∂tHϕ + Bn(Hϕ - ϕ(Pε , t)))Hϕ = 0, t ∈ (0,T ), ϕ (0) = 0. ϕ Заметим, что Hε,j (t) = Hϕ ε (P j, t), где Hϕ - решение задачи (4.4) (∂tHϕ + BnHϕ ): Bnϕ(x, t), Hϕ ): 0, (∂tHϕ + BnHϕ - Bnϕ(x, t))Hϕ = 0, t ∈ (0,T ), Hϕ(x, 0) = 0, где x ∈ Ω - параметр. 3. Пробная функция. При t ∈ [0,T ] введем вспомогательную функцию (4.5) ⎧ j ε,j j j ⎪⎨wε (x)(ϕ(x, t) - Hϕ (t)), x ∈ Tε/4 \ Gε, Wϕ,ε(x, t) = 0, x ∈ Ω \ J T j ε/4 . (4.6) ⎩⎪ j∈Υε ε Легко видеть, что функция Wϕ,ε принадлежит H1(QT ). Из теоремы 2.2 следует, что при ε → 0 0 PεWϕ,ε α 0 в L2(0,T ; H1(Ω)), PεWϕ,ε → 0 в L2(QT ), ∂t(PεWϕ,ε) α 0 слабо в L2(QT ). (4.7) 1. Преобразование интегрального неравенства. Рассмотрим функцию ζ = ϕ(x, t) - Wϕ,ε. На каждом T j \Gj имеем ζ = (1-wj (x))ϕ(x, t)+wj (x)Hε,j (t). В частности, ζ = Hε,j (t) ): 0 на Sj. ε/4 ε o ε ϕ ϕ ε Следовательно, ζ ): 0 на Sε и ζ ∈ Kε. Возьмем ζ в качестве пробной функции в интегральном неравенстве (2.3) и получим r (∂tϕ - ∂tWϕ,ε)(ϕ - Wϕ,ε - uε)dxdt + ε-γ Q T ε r T r r 0 Sε ∂t(ϕ - Wϕ,ε)(ϕ - Wϕ,ε - uε)dsdt + + ∇(ϕ - Wϕ,ε)∇(ϕ - Wϕ,ε - uε)dxdt ): Q T ε r r ): f (ϕ - Wϕ,ε - uε)dxdt + ε-γ Q S T T o ε 1. (ϕ - Wϕ,ε - uε)dsdt - 1 2 1 -γ 2 - 2 ϕ(x, 0) - Wϕ,ε|t=0 L2 (Ωε ) - 2 ε ϕ(x, 0) - Wϕ,ε|t=0 L2 (Sε). (4.8) ϕ Поскольку Wϕ,ε|t=0 = ϕ(x, 0) - Hε,j (0) на Sε ϕ и Hε,j (0) = 0, последнее слагаемое равно нулю. 680 А. В. ПОДОЛЬСКИЙ, Т. А. ШАПОШНИКОВА Ввиду того, что (2.5) и (4.7) при ε → 0, заключаем, что r r (∂tϕ - ∂tWϕ,ε)(ϕ - Wϕ,ε - uε)dxdt → ∂tϕ(ϕ - u0)dxdt, Q T ε r r f (x, t)(ϕ - Wϕ,ε - uε)dxdt → Q Q T T ε QT f (x, t)(ϕ - u0)dxdt, (4.9) 1 2 1 2 2 ϕ(x, 0) - Wϕ,ε|t=0 L2 (Ωε ) → 2 ϕ(x, 0) L2 (Ω). Используя определение Wϕ,ε, мы получим T T r r r r d Jε = ε-γ ∂t(ϕ - Wϕ,ε)(ϕ - Wϕ,ε - uε)dsdt = ε-γ ' Hε,j (t)(Hε,j (t) - uε)dsdt. (4.10) 0 Sε dt ϕ ϕ S j∈Υε 0 j ε Тогда будем иметь r ∇(ϕ - Wϕ,ε)∇(ϕ - Wϕ,ε - uε)dxdt = Q T ε r r = ∇ϕ∇(ϕ - Wϕ,ε - uε)dxdt - Q Q T T o ε ∇Wϕ,ε∇(ϕ - Wϕ,ε - uε)dxdt. (4.11) Используя (2.5) и (4.7), мы получаем для первого члена в (4.11), что при ε → 0 r r ∇ϕ∇(ϕ - Wϕ,ε - uε)dxdt → Q Q T T ε ∇ϕ∇(ϕ - u0)dxdt. (4.12) ε Затем переходим ко второму члену в (4.11). Сначала, используя свойства функций wj, получаем r L1 = T r r ∇Wϕ,ε∇(ϕ - Wϕ,ε - uε)dxdt = ' ∇Wϕ,ε∇(ϕ - Wϕ,ε - uε))dxdt = Q 0 T j∈Υε o T j j T = ' r r ε/4 \Gε ∇wj ∇((ϕ(P j, t) - Hε,j )(ϕ - Wϕ,ε - uε))dxdt + κ1,ε, (4.13) o ε ϕ j j∈Υε 0 j T где T r κ1,ε = ' ε/4\Gε r ∇(wj (ϕ(x, t) - ϕ(Pj, t))∇(ϕ - Wϕ,ε - uε)dxdt. o ε j j∈Υε 0 j T ε/4 \Gε Далее покажем, что κ1,ε → 0 при ε → 0. Действительно, |ϕ(x, t) - ϕ(Pj, t)| K |x - Pj | K ε o 1 ε 2 j j при x ∈ Tε/4 \ Gε, где константа K2 не зависит от ε. Используя эту оценку, получаем T ' r r j j j j∈Υε 0 T (ϕ(x, t) - ϕ(Pε , t))∇wε ∇(ϕ - Wϕ,ε - uε)dxdt j ε/4 \Gε Kε ' ( ∇wj 2 o L2 (T j j \Gε ) 2 + ∇(ϕ - Wϕ,ε - uε) L2 (T j j ) \Gε ) j∈Υε ε/4 2 ε/4 2 Kε( ∇Wε L2 (Ωε ) + ∇(ϕ - Wϕ,ε - uε) L2 (Ωε )) Kε → 0 УСРЕДНЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ОДНОСТОРОННИМ ДИНАМИЧЕСКИМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ 681 при ε → 0. Поскольку функция Wε стремится к 0 сильно в L2(Ω), имеем T T ' r r wj j r r j j∈Υε 0 T ε ∇(ϕ(x, t) - ϕ(Pε , t))∇(ϕ - Wϕ,ε - uε)dxdt = j 0 Ωε Wε∇ϕ∇(ϕ - Wϕ,ε - uε)dxdt → 0. o \Gε Учитывая полученные сходимости, заключаем, что κ1,ε → 0 при ε → 0. ε Используя формулу Грина и определение wj, сделаем преобразование T r r L1 = ' ∂νwj (ϕ(Pj, t) - Hε,j )(ϕ - Wϕ,ε - uε)dsdt + j∈Υε 0 o ε ϕ ∂T j ε/4 T + ' r r ∂ wj (ϕ(Pj, t) Hε,j )(ϕ W u )dsdt + κ , (4.14) где κ1,ε → 0 при ε → 0. ν ε S j∈Υε 0 j ε o - ϕ - ϕ,ε - ε 1,ε ε Используя явную формулу, для функций wj получаем εCn-222n-2 n ε- n-2 ∂νwj | j = -(n - 2) 0 , ∂νwj | j = (n - 2) . (4.15) 1 - an-2 § ∂Tε/4 ε ε2-n22n-4 § Sε ε C0(1 - an-2ε2-n22n-4) Подставляя (4.15) в интегральные выражения, имеем T I1,ε = - 0 r o ' Cn-222n-2(n - 2) 1 - an-2 r ε (ϕ(Pj, t) - Hε,j )(ϕ - uε)dsdt, ε ε2-n22n-4 n j∈Υ 0 T ∂T j ε/4 (4.16) I2,ε = 0 ε- n-2 C-1(n - 2) ' r r (ϕ(Pj, t) - Hε,j )(Hε,j - uε)dsdt. 1 - an-2 o ε2-n22n-4 j o ϕ ϕ S ∈Υε 0 j ε 2. Вывод эффективного члена. Чтобы найти lim I1,ε, воспользуемся леммой, введенной ε→0 в [3]: Лемма 4.1. Пусть hε ∈ H1(Ω) и hε α h0 слабо в H1(Ω) при ε → 0, тогда 0 22n-4ε ' r j∈Υε hεds r → ωn 0 hdx as ε → 0, ∂T j ε/4 где ωn - площадь единичной сферы в Rn. Получим T r r lim I1,ε = -(n - 2)Cn-2ωn Ω (ϕ(x, t) - Hϕ(x, t))(ϕ - u0)dxdt. (4.17) ε→0 0 0 Ω 3. Граничные интегралы включения. Тогда мы имеем r T I2,ε = Qε + (n - 2)C-1ε-γ ' r (ϕ(Pj, t) - Hε,j )(Hε,j - uε)dsdt, (4.18) где 0 ε ϕ ϕ S j∈Υε 0 j ε T (an-2ε2-n22n-4)C-1ε-γ ' r r Qε = (n - 2) ε 0 (ϕ(Pj, t) - Hε,j )(Hε,j - uε)dsdt. 1 - an-2 ε ε2-n22n-4 o ϕ ϕ S j∈Υε 0 j ε (4.19) 682 А. В. ПОДОЛЬСКИЙ, Т. А. ШАПОШНИКОВА Легко видеть, что lim Qε = 0. ε→0 ϕ Поскольку функции Hε,j удовлетворяют задаче (4.4), имеем d Hε,j ε,j j \ dt Следовательно, мы получаем T ϕ + BnHϕ - Bnϕ(Pε , t) uε ): 0. ε-γ ' r r d Hε,j ε,j j \ ε,j S j∈Υε 0 j ε dt ϕ + BnHϕ - Bnϕ(Pε , t) (Hϕ (t) - uε)dsdt 0. (4.20) 4. Усредненное уравнение для u0. Используя (4.9)-(4.20), мы заключаем, что u0 удовлетворяет следующему интегральному неравенству: r r ∂tϕ(ϕ - u0)dxdt + r ∇ϕ∇(ϕ - u0)dxdt + An (ϕ(x, t) - Hϕ(x, t))(ϕ - u0)dxdt ): QT QT QT r 1 2 ): QT Учитывая, что линейная оболочка функций f (x, t)(ϕ - u0)dxdt - 2 ϕ(x, 0) L2 (Ω). (4.21) 0 {ψ(x)η(t) : ψ ∈ C∞(Ω), η ∈ C1([0,T ])} 0 плотна в пространстве H = {u ∈ L2(0,T ; H1(Ω))| ∂tu ∈ L2(0,T ; H-1(Ω))}, получаем, что неравенство (4.21) справедливо для произвольной функции ϕ ∈ H. Тогда возьмем ϕ = u0 ± λw, где λ ): 0, w ∈ H, в качестве пробной функции в неравенстве (4.21) и перейдем к пределу при λ → 0. Отсюда, переходя к пределу, заключаем, что u0 удовлетворяет интегральному тождеству T r r (∂tu0, w)Ωdt + r ∇u0∇wdxdt + An r (u - Hu)wdxdt = f (x, t)wdxdt, (4.22) 0 QT QT QT и u0(x, 0) = 0 при п.в. x ∈ Ω. Следовательно, u0 - слабое решение задачи (2.6).

Об авторах

А. В. Подольский

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Автор, ответственный за переписку.
Email: AVPodolskiy@yandex.ru
Москва, Россия

Т. А. Шапошникова

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Email: shaposh.tan@mail.ru
Москва, Россия

Список литературы