Модель деформаций струнной системы на графе-звезде с нелинейным условием в узле

Полный текст

1. Введение Математические модели, описываемые в терминах ветвящегося аргумента, т. е. аргумента, принимающего значения из некоторого геометрического графа, возникают при анализе процессов в сложных системах, допускающих представление в виде набора одномерных континуумов, взаимодействующих только через концы. Такого рода объекты достаточно типичны. Например, упругие сетки, решетки стержней, электрические цепи, акустические сети, волноводы, гидравлические системы и пр. Активный математический интерес к исследованию таких задач привел к появлению многочисленных публикаций. Особенно отметим работы Ю. В. Покорного [7, 8, 20-22], В. Л. Прядиева [10], О. М. Пенкина [3, 4], А. В. Боровских [19], В. В. Провоторова [9, 24, 25], В. А. Юрко [26], М. Ш. Бурлуцкой [1, 13, 14], А. П. Хромова [2], Р. Ч. Кулаева [5, 6], J. von Below [11, 12], 1. Nicaise [16]. Однако во всех этих работах рассматривались задачи с линейными граничными условиями. В данной статье для дифференциального уравнения второго порядка с импульсными особенностями в коэффициентах и правой части, порождаемыми наличием локализованных внешних нагрузок (упругих опор, сосредоточенных сил), исследуется граничная задача на геометрическом графе-звезде с нелинейным условием в узле. Мы предполагаем, что граф-звезда Γ ориентирован от узла, состоит из ребер-интервалов γi = (0, li ), занумерованных произвольным образом (i = 1, 2,... , n), и внутренней вершины 0 (узла). Здесь и далее используется терминология из [7]. Через ∂Γ обозначается множество граничных вершин графа Γ. В нашем случае им соответствуют точки li на каждом из ребер. Введем n множества Γ= Γ J ∂Γ; R(Γ) = J γi. i=1 Скалярной функцией z(x), заданной на графе Γ, называется отображение z :Γ → R. Сужение z(x) на ребро γi будем обозначать как zi(x). Изучаемая математическая модель имеет вид ⎧ x ⎪ × r × ⎪ - (piui) (x)+ ⎪ n 0 uidQi = Fi(x) - Fi(+0) - (piui)(+0), i = 1, 2,... , n, x ∈ γiσi , i ⎨ ), pi(+0)u× (+0) ∈ N[ -m,m]u(0), (1.1) i=1 ⎪ ⎪ u1(0) = u2(0) = ... = un(0) = u(0), ⎩⎪ ui(li)= 0, i = 1, 2,... , n. Здесь функция u(x) описывает отклонение жестко закрепленной в граничных вершинах Γ системы струн, соединенных между собой в узле, от положения равновесия, совпадающего с Γ, под воздействием внешней силы, определяемой с помощью функции F (x); p(x) характеризует упругие свойства струн; Q(x) описывает распределение упругой реакции внешней среды. Функции ui(x) определяются в точках x =0 и x = l предельными значениями. Условие жесткого закрепления струн означает, что u(a) = 0, где a ∈ ∂Γ, или ui(li)= 0. Условие соединения струн в узле имеет вид u1(+0) = u2(+0) = ... = un(+0) = u(0). Через N[-m,m]u(0) обозначен нормальный конус в точке u(0) к отрезку [-m, m], определяемый как числовое множество N[-m,m]u(0) = {ξ : ξ(c - u(0)) ::= 0 ∀c ∈ [-m, m]}, где u(0) ∈ [-m, m]. Нелинейное условие n \ pi(+0)u× (+0) ∈ N u(0) (1.2) i i=1 [-m,m] возникает за счет наличия ограничителя, представленного отрезком [-m, m], на перемещение струн в узле. Из (1.2) вытекает, что если внешняя сила такова, что |u(0)| < m, то n i ), pi(+0)u× (+0) = 0. Иначе выполняются условия u(0) = m, i=1 n i вия u(0) = -m, ), pi(+0)u× (+0) ::= 0. n i ), pi(+0)u× (+0) ?: 0, либо услоi=1 i=1 Из уравнения в (1.1) вытекает, что в каждой точке ξi ∈ γi, в которой хотя бы одна из функций pi, Qi, Fi терпит разрыв, имеет место равенство - pi(ξi + 0)u× (ξi + 0)+ pi(ξi - 0)u× (ξi - 0) + ui(ξi)ΔQi(ξi)= ΔFi(ξi), (1.3) i i где ΔFi(ξi) = Fi(ξi + 0) - Fi(ξi - 0), ΔQi(ξi) = Qi(ξi + 0) - Qi(ξi - 0). Здесь скачок ΔQi(ξi) соответствует упругости опоры (пружины), закрепленной в точке ξi ребра с номером i; скачок ΔFi(ξi) равен сосредоточенной в точке ξi силе. В данной работе мы не рассматриваем случай, когда в узле имеется упругая опора (пружина) или сосредоточена внешняя сила, однако на ребрах такие особенности допускаются. Переменная x на каждом ребре принадлежит специальному расширению (0, li ), обозначаемому через γiσi , на котором всякая точка ξi разрыва хотя бы одной из функций pi, Qi, Fi заменяется парой {ξi - 0, ξi + 0}. Мы предполагаем, что 1. функции p, F имеют ограниченную вариацию на каждом ребре, причем, inf R(Γ) p> 0; 2. функция Q не убывает на каждом ребре; 3. функции p, F, Q непрерывны в точках из ∂Γ; n \(Qi(0 + 0) - Q(0)) = 0, i=1 n \(Fi(0 + 0) - F (0)) = 0. i=1 МОДЕЛЬ ДЕФОРМАЦИЙ СТРУННОЙ СИСТЕМЫ НА ГРАФЕ-ЗВЕЗДЕ С НЕЛИНЕЙНЫМ УСЛОВИЕМ В УЗЛЕ 637 Решение u(x) задачи (1.1) мы ищем в классе E абсолютно непрерывных на Γ функций u(x), производные которых u×(x) являются на каждом ребре функциями ограниченной вариации. Модель (1.1) может быть переписана как ⎧ d dQ dF ⎪ ⎨ ⎪ - dΓ(pu×)(x)+ dΓ (x)u(x)= dΓ (x), x ∈ Rσ (Γ), d (1.4) ⎪ dΓ (pu×)(0) ∈ N[-m,m]u(0), где обозначено ⎩⎪ u(a)= 0, a ∈ ∂Γ, ⎧ d (p u× )(x), x /= 0, d ⎪⎨ (pu×)(x)= dσi i i n (1.5) dΓ ⎪⎩ i ), pi(+0)u× (+0), x = 0, ⎧ dQ = ⎨ i=1 dQi dσi (x), x /= 0, (1.6) dΓ ⎩ 0, x = 0, ⎧ dF = ⎨ dFi dσi (x), x /= 0, (1.7) dΓ ⎩ 0, x = 0. d Здесь знак dσi означает дифференцирование по σi-мере, порождаемой на каждом ребре графа соответствующей возрастающей функцией σi(x)= x + p+(x)+ p-(x)+ Qi(x)+ F +(x)+ F-(x), i i i i где p+(x), p-(x), F +(x), F-(x) - неубывающие функции из жорданова представления функций i i i i ограниченной вариации pi(x)= p+(x) - p-(x), Fi(x)= F +(x) - F-(x). В точке x =0 производные dQ dF i i i i и dΓ dΓ определяются нулевыми значениями, поскольку мы в данной работе не рассматриваем случай, когда в узле имеется упругая опора (пружина) или сосредоточена внешняя сила. Решения u задачи (1.4) принадлежат E, поэтому условие непрерывности в узле здесь сразу включено в класс допустимых решений. Множество Rσ (Γ) представляет собой объединение по всем ребрам множеств γiσi с всевозможными точками разрыва p, Q, F, за исключением узла. Модель (1.1) получена вариационным методом из задачи о минимизации функционала потенциальной энергии r Φ(u)= Γ 2 pu× 2 r dx + Γ u2 r 2 dQ - Γ udF при условиях u(a)= 0, a ∈ ∂Γ, |u(0)| ::= m. Аналог данной задачи для случая отрезка был рассмотрен в работе [15]. Статья устроена следующим образом. Во втором разделе приведены необходимые определения и результаты. В третьем разделе содержится точное описание модели и вариационное обоснование. В четвертом разделе установлены основные результаты работы. В частности, доказаны теоремы существования и единственности решения, проанализирована зависимость решения от длины ограничителя. 2. Используемые понятия и факты Будем говорить, что определенная на ребре γi функция z(x) имеет ограниченную вариацию на этом ребре, если: 1. функция z(x) имеет конечные односторонние пределы в граничных точках x = 0 и x = li ребра γi; 638 М. Б. ЗВЕРЕВА 0 2. найдется константа ci такая, что для любого разбиения ребра γi точками 0 = xi 1 < xi < ni ... < xi = li сумма ni-1 ), j=0 j+1 |z(xi j ) - z(xi )| ::= ci, где в граничных точках ребра функция z определяется предельными значениями. Определенная на ребре γi функция z(x) называется абсолютно непрерывной на этом ребре, если для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что какова бы ни была конечная система принадлеni }i=1 жащих ребру γi попарно непересекающихся интервалов {(αi, βi) ni такая, что ni ),(βi - αi) < δ, i=1 то выполняется неравенство ), |z(βi ) - z(αi)| < ε. j=1 Будем называть определенную на Γ функцию абсолютно непрерывной на Γ, если она является абсолютно непрерывной на каждом ребре γi и непрерывной в узле, т. е. такой, что односторонние пределы по ребрам совпадают и их общее значение равно значению функции в узле, непрерывной в точках из ∂Γ. Важную роль в настоящей статье будет играть интегро-дифференциальное уравнение вида x r - (pv×)(x)+ 0 pv× vdQ = F (x) - F (0) - ( )(+0), x ∈ [0, l]σ, (2.1) p, F , Q имеют ограниченную вариаисследуемое в работах [15, 23]. Предполагается, что функции цию на отрезке [0, l], причем inf [0,l] p, F , Q непрерывны в точках x = 0, x = l. Реше- ния уравнения (2.1) рассматриваются в классе абсолютно непрерывных на отрезке [0, l] функций, производная которых имеет ограниченную вариацию на [0, l]. В случае гладких функций p, Q , F уравнение (2.1) эквивалентно уравнению -(pv×)× + Q ×v = F ×. p, F , Q наряду с интегралом В общем случае уравнение (2.1) содержит разрывные функции Стилтьеса. Сохраняя явное присутствие скалярного аргумента, (2.1) обнаруживает и его особые значения: это те точки, в которых производная v×(x) и функции p, F , Q могут иметь разрыв, те т значения верхнего предела в интеграле, когда этот интеграл може терять смысл. Например, если в (2.1) точка x совпадает с одной из точек ξ разрыва функции Q , и если при этом Q (ξ) /= Q (ξ -0) и ξ Q (ξ) /= Q (ξ + 0), то соответствующее значение r v(x)dQ (x) отлично как от 0 ξ+0 ξ-0 r 0 v(x)dQ (x), так и от ξ-0 r v(x)dQ (x), что приводит к потере смысла v×(ξ) в (2.1). При этом каждый из символов r 0 0 vdQ ξ+0 и r 0 vdQ требует дополнительных разъяснений. Например, то ли ξ-δ ξ-0 r 0 vdQ обозначает интеграл по интервалу (0, ξ), то ли несобственный интеграл lim r δ↓0 0 vdQ . Чтобы устранить отмеченные поводы для возможных недоразумений, мы проводим конструкцию, описанную в [15, 18], заменяя каждую особую точку ξ парой {ξ - 0,ξ + 0}. Обозначим через S множество точек, в которых функ ции p, F , Q имеют ненулевые простые скачки, т. е. различные левый и правый пределы. Через [0, l]σ обозначим множество [0, l], полученное заменой точек ξ ∈ S на соответствующие пары {ξ - 0,ξ + 0}. Мы полагаем, что ξ - 0 >x для всех x < ξ и ξ +0 <x для всех x> ξ. Множеству [0, l]σ можно дать следующее корректное определение как одномерному метрическому пространству. Рассмотрим жорданово представление функций ограниченной вариации p, p = p+ - p-, Q = Q + - Q - , F = F + - F - . Обозначим через σ(x) функцию σ(x)= x + p+ (x)+ p- (x)+ Q + (x)+ Q - (x)+ F + (x)+ F - (x). (2.2) МОДЕЛЬ ДЕФОРМАЦИЙ СТРУННОЙ СИСТЕМЫ НА ГРАФЕ-ЗВЕЗДЕ С НЕЛИНЕЙНЫМ УСЛОВИЕМ В УЗЛЕ 639 Не ограничивая общности, можем считать, что функция σ(x) имеет разрывы только в точках из S. Введем на множестве [0, l] \ S метрику ρ(x, y) = |σ(x) - σ(y)|. Если S /= ∅, то это метрическое пространство, очевидно, не является полным. Его стандартное метрическое пополнение с точностью до изоморфизма совпадает с [0, l]σ, индуцируя в нем топологию. Таким образом, мы рассматриваем уравнение (2.1) на множестве значений x из [0, l]σ, не до- σ ± ± ± чениями пуская тем самым в (2.1) значения x из S. На [0, l] значения p(ξ 0), Q(ξ 0) и F (ξ 0), которые были на [0, l] предельными, оказываются собственными зна в соответствующих точках из [0, l]σ. Непрерывность функции v(·) позволяет сохранять обычный смысл интеграла Римана- Стилтьеса для интегрального слагаемого в (2.1) при x = ξ - 0 и x = ξ + 0, беря в качестве собственных значения, бывшие ранее предельными. Таким образом, уравнение (2.1) нами рассматривается как бы двухслойно: нижний уровень - для значений x ∈ [0, l], если речь идет о самих решениях v(x) (под знаком интеграла), и второй уровень - для значений x в тождестве (2.1), где x ∈ [0, l]σ. Заметим, что в каждой точке ξ ∈ S имеет место равенство p(ξ + 0)v×(ξ + 0)+ ξ - 0)v×(ξ - 0) + v(ξ)ΔQ (ξ)= ΔF (ξ). - p( При этом, согласно [23, теорема 1.4], v(ξ + ε) - v(ξ) v×(ξ + 0) = lim x→ξ+0 v×(ξ - 0) = lim x→ξ-0 + v×(x) = lim ε→0+0 v×(x) = lim ε→0-0 ε v(ξ + ε) - v(ξ) ε = v× (ξ), = v× (ξ). - Зафиксируем номер произвольного ребра i (i = 1, 2,... , n). Основным объектом в настоящей статье является уравнение x r - (piu× ) (x)+ uidQi = Fi(x) - Fi(+0) - (piu× )(+0),x ∈ γiσ , i i i 0 в котором функции pi, Qi, Fi доопределены на отрезок [0, li ] предельными значениями σi(x)= x + p+(x)+ p-(x)+ Qi(x)+ F +(x)+ F-(x), i i i i γiσi = [0, li]σi . Заметим, что полученное уравнение может быть продифференцировано по σi-мере, порождаемой на каждом ребре соответствующей возрастающей функцией σi(x). Имеем d - dσi i (piu× )(x)+ dQi dσi (x)ui(x)= dFi dσi (x), x ∈ γiσi ∪ S(σi), n где S(σi) - множество точек разрыва функции σi(x). Обозначив через Rσ (Γ) = ( J (γiσi ∪ i=1 S(σi)))\{0}, можем записать n уравнений в едином виде d dQ dF - dΓ(pu×)(x)+ u(x) dΓ (x)= dΓ (x), x ∈ Rσ (Γ) (2.3) где обозначено d (pu×)(x)= dΓ d dσi i (piu× )(x), dQ (x)= dΓ dQi dσi (x), dF (x)= dΓ dFi dσi (x) при x /= 0. Лемма 2.1 (см. [15, лемма 3.1]). Пусть A(x) является функцией ограниченной вариации на [0, l]. Пусть для любой абсолютно непрерывной на [0, l] функции h(x), производная которой h×(x) имеет ограниченную вариацию на [0, l], удовлетворяющей условиям h(0) = h(l) = 0, выполняется равенство Тогда l r Adh = 0. (2.4) 0 A(x - 0) = A(x + 0) ≡ const 640 М. Б. ЗВЕРЕВА для всех x ∈ (0, l). Теорема 2.1 (см. [23, теорема 1.5]). Для любых чисел u0, v0 и для любой точки x0 ∈ [0, l]σ задача ⎧ x ⎪ pv×)(x)+ (pv×)(0) + r vdQ = F (x) - F (0),x ∈ [0, l]σ, 0 ⎨ -( v(x0)= v0, ⎩⎪ v×(x0)= w0 имеет единственное решение. Рассмотрим однородное уравнение pv×) (x)+ ( (0) + x r vdQ = 0. (2.5) - ( pv×) 0 Лемма 2.2 (см. [23, лемма 1.1]). Пространство решений уравнения (2.5) двумерно. Лемма 2.3 (см. [23, предложение 2.2]). Пусть функция Q не убывает на [0, l]. Тогда каждое нетривиальное решение уравнения (2.5) может иметь на [0, l] не более одного нуля. Теорема 2.2 (см. [23, теорема 2.1]). Для любой пары решений ϕ1, ϕ2 уравнения (2.5) выполняется p(x)(ϕ1(x)ϕ× (x) - ϕ2(x)ϕ× (x)) ≡ const 2 1 на [0, l]σ. Пусть задано замкнутое выпуклое множество G ⊂ H, где H - гильбертово пространство. Пусть x ∈ G. Нормальным конусом в точке x ко множеству G называется множество NG(x)= {ξ ∈ H : (ξ, c - x) ::= 0 ∀c ∈ G}. Заметим, что если x - внутренняя точка G, то NG(x) = {0}. Если G = [-m, m], где m > 0, то NG(m)= [0, +∞), NG(-m)= (-∞, 0]. 1. Вариационная мотивация подхода Пусть точки O, A1, A2,..., An принадлежат горизонтальной плоскости π. Рассмотрим механическую систему, состоящую из n струн, соединенных между собой в одной точке, которые в положении равновесия совпадают с отрезками OA1, OA2,..., OAn. Под воздействием внешней силы, направленной перпендикулярно плоскости π, струны отклоняются от равновесного положения. При этом предполагается, что отклонение всех точек струн параллельно прямой, перпендикулярной плоскости π. Введем систему координат, чтобы описать процесс деформаций. Ось Ox для i-й струны (i = 1, 2,... , n) содержит отрезок OAi и направлена от O к Ai. Ось Oy направлена перпендикулярно к плоскости π и проходит через точку O. Таким образом, точке O соответствует начало координат. Точка Ai имеет на своей оси Ox координату li (i = 1, 2,... , n). Граф-звезда Γ, вдоль которого в положении равновесия расположена струнная система, ориентирован от узла и состоит из ребер-интервалов γi = (0, li ) и внутренней вершины 0 (узла). Через ∂Γ обозначается множество граничных вершин графа Γ; Γ= Γ J ∂Γ. Обозначим через u(x) определенную на Γ функцию, описывающую отклонение струнной системы от положения равновесия под воздействием внешней силы, определяемой с помощью функции F (x). Будем предполагать, что струнная система жестко закреплена в граничных вершинах, что означает выполнение условий u(a)= 0, a ∈ ∂Γ. Сужения ui(x) функции u(x) на ребра определяют деформации каждой из струн; в качестве аргумента мы используем натуральный параметр, т. е. расстояние от соответствующей точки до общего узла. Обозначим через Fi(x) сужение F (x) на ребро γi. Физический смысл Fi(x) - сила, приложенная на участок (0, x] соответствующего ребра. Дополнительно мы предполагаем, что в узле вдоль оси Oy установлен ограничитель на перемещение струн, представленный отрезком [-m, m]. Таким образом, имеется условие |u(0)| ::= m. В зависимости от приложенной внешней силы, узловая точка струнной системы либо остается МОДЕЛЬ ДЕФОРМАЦИЙ СТРУННОЙ СИСТЕМЫ НА ГРАФЕ-ЗВЕЗДЕ С НЕЛИНЕЙНЫМ УСЛОВИЕМ В УЗЛЕ 641 внутри интервала (-m, m), либо касается границ ограничителя. Опишем эту ситуацию в форме единой модели. Согласно [21, 22], функционал потенциальной энергии для системы стилтьесовских струн имеет вид r Φ(u)= Γ 2 pu× 2 r dx + Γ u2 r 2 dQ - Γ udF. (3.1) Пусть функции p, Q, F удовлетворяют условиям (i), (ii), (iii). Поскольку в данной работе мы не рассматриваем случай, когда в узле имеется упругая опора (пружина) или сосредоточена внешняя сила, то интегралы по графу понимаются как соответствующие суммы интегралов Стилтьеса по ребрам. Здесь первый интеграл определяет работу силы упругости струн (при малых деформациях), второй интеграл - работу силы упругости внешней среды, третий интеграл - работу внешней силы, под воздействием которой происходит процесс деформаций. Согласно принципу Лагранжа-Гамильтона, реальная форма, принятая струнной системой, минимизирует функционал Φ(u). При этом мы рассматриваем случай, когда выполняются условия u(a)= 0, a ∈ ∂Γ, |u(0)| ::= m. (3.2) Функционал Φ(u) c условиями (3.2) будем рассматривать на множестве E абсолютно непрерывных на Γ функций u(x), производные которых u×(x) являются на каждом ребре функциями ограниченной вариации. Пусть функция u0(x) минимизирует функционал Φ(u) c условиями (3.2). Тогда Φ(u0) ::= Φ(u) для всех u ∈ E, удовлетворяющих (3.2). Рассмотрим функции h ∈ E такие, что h(a) = 0, a ∈ ∂Γ, h(0) = 0. Пусть u(x) = u0(x)+ λh(x), где λ принимает вещественные значения. Заметим, что u ∈ E, u(a) = 0, a ∈ ∂Γ, |u(0)| = |u0(0)| ::= m. Тогда Φ(u0) ::= Φ(u0 + λh). Зафиксировав h, рассмотрим функцию ϕh(λ) вещественной переменной λ, определяемую как ϕh(λ)= Φ(u0 + λh). Тогда для всех λ ∈ R верно ϕh(0) ::= ϕh(λ), и по теореме Ферма d dλ ϕh(λ)|λ=0 = 0. Последнее равенство можно переписать как r r 0 pu× h×dx + Γ Γ r u0hdQ - Γ hdF = 0. (3.3) Обозначим через pi, Qi, Fi сужения p, Q, F на ребра γi. Доопределим функции pi, Qi, Fi в точках x 0 и li предельными значениями. Обозначим gi(x)= r u0idQi (i = 1, 2,... , n). Рассмотрим r u0hdQ. Имеем 0 Γ n r n r r li n li li u0hdQ = \ hiu0idQi = \(higi)|0 - \ gidhi. Γ i=1 0 n li i=1 i=1 0 n li Поскольку hi(li)= hi(0) = 0, то r u0hdQ = - ), r gidhi. Аналогично, r hdF = - ), r Fidhi. Тогда равенство (3.3) примет вид Γ n li ⎛ i=1 0 Γ x ⎞ i=1 0 \ r i=1 0 r 0i ⎝piu× - 0 u0idQi + Fi⎠ dhi = 0. (3.4) Равенство (3.4) верно для всех функций h ∈ E таких, что hi(0) = hi(li)= 0, i = 1, 2,... , n. (3.5) 642 М. Б. ЗВЕРЕВА Рассмотрим функции h такие, что h1(0) = h1(l1)= 0, hi(x) ≡ 0 при i ?: 2. Для таких функций (3.4) примет вид l1 ⎛ r 01 ⎝p1u× 0 x ⎞ r - u01dQ1 + F1⎠ dh1 = 0. (3.6) 0 Применив лемму 2.1 к равенству (3.6), получим, что x r что можно переписать как 01 (p1u× )(x) - 0 x u01dQ1 + F1(x)= const, (3.7) 01 (p1u× r )(x) - 0 1 u01dQ1 + F1(x)= F1(+0) + (p1u× )(+0). Аналогичными рассуждениями получаем, что верны равенства x r 0i - (piu× ) (x)+ 0 0i u0idQi = Fi(x) - Fi(+0) - (piu× )(+0), i = 1, 2,... , n. (3.8) Зафиксируем любое число c ∈ [-m, m]. Рассмотрим теперь функции h ∈ E такие, что h(a)= 0, a ∈ ∂Γ, h(0) = c - u0(0). Функции вида u = u0 + λh, где λ ∈ R, принадлежат классу E и удовлетворяют условиям u(a)= 0, a ∈ ∂Γ. Рассмотрим условие в узле. Имеем u(0) = u0(0) + λh(0) = u0(0) + λ(c - u0(0)) = λc + (1 - λ)u0(0). Так как c ∈ [-m, m], u0(0) ∈ [-m, m], отрезок [-m, m] - выпуклое множество, то для всех λ ∈ [0, 1] имеем u(0) ∈ [-m, m]. Значит, при λ ∈ [0, 1] верно неравенство Φ(u0) ::= Φ(u0 + λh). Зафиксировав указанную выше функцию h, введем функцию ϕh(λ) = Φ(u0 + λh), где λ ∈ [0, 1]. Тогда ϕh(0) ::= ϕh(λ). Значит, для правой производной имеет место неравенство d+ т. е. n li ⎛ dλ ϕh(λ)|λ=0 ?: 0, x ⎞ n \ r i=1 0 r 0i ⎝piu× - 0 u0idQi + Fi⎠ dhi + \ i=1 hi(0)Fi(+0) ?: 0. (3.9) С учетом hi(li)= 0, hi(0) = h(0) = c - u0(0) и равенства (3.8) перепишем неравенство (3.9) как n \ 0i - i=1 n (piu× )(+0)(c - u0(0)) ?: 0, 0i т. е. ),(piu× )(+0) ∈ N[-m,m](u0(0)). i=1 Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 3.1. Пусть функция u0 минимизирует функционал Φ(u) при условиях u(a) = 0, a ∈ ∂Γ, |u(0)| ::= m. Тогда u0(x) является решением задачи ⎧ x ⎪ × r × ⎪ - (piui) (x)+ uidQi = Fi(x) - Fi(+0) - (piui)(+0), i = 1, 2,... , n, x ∈ γiσi , ⎪ n 0 i ⎨ ),(piu× )(+0) ∈ N[ -m,m]u(0), ⎪ i=1 ⎪ u1(0) = u2(0) = ... = un(0) = u(0), ⎪ ⎩ ui(li)= 0, i = 1, 2,... , n. МОДЕЛЬ ДЕФОРМАЦИЙ СТРУННОЙ СИСТЕМЫ НА ГРАФЕ-ЗВЕЗДЕ С НЕЛИНЕЙНЫМ УСЛОВИЕМ В УЗЛЕ 643 С использованием (2.3), (1.5), (1.6), (1.7) полученная модель может быть переписана как ⎧ d dQ dF ⎪ ⎨ ⎪ - dΓ(pu×)(x)+ dΓ (x)u(x)= dΓ (x), x ∈ Rσ (Γ) d ⎪ dΓ (pu×)(0) ∈ N[-m,m]u(0), ⎩⎪ u(a)= 0, a ∈ ∂Γ. 2. Основные результаты Пусть выполнены условия (i), (ii), (iii). Рассмотрим задачу (1.1). Решением задачи (1.1) назовем функцию u ∈ E, удовлетворяющую на соответствующих ребрах уравнениям (3.8) (для всех x ∈ [0, li ]σi ), а также удовлетворяющую условиям u(a)= 0, a ∈ ∂Γ и n i ),(piu× )(+0) ∈ N[-m,m]u(0). i=1 Теорема 4.1. Если решение задачи (1.1) существует, то оно единственно. Доказательство. Пусть v(x) и w(x) - решения задачи (1.1). Рассмотрим функцию u(x)= w(x) - v(x). Данная функция удовлетворяет системе ⎧ x ⎨ - (piu× ) (x)+ r uidQi = -(piu× )(+0), i = 1, 2,... , n, i i 0 ⎩ ui(li)= 0, i = 1, 2,... , n. j Предположим, что для некоторого номера i функция ui(x) отлична от нуля. Тогда, согласно лемме 2.3, ui(x) сохраняет знак на [0, li). Пусть для определенности ui(x) > 0 для всех x ∈ [0, li ). Поскольку u1(0) = ... = ui(0) = ... = un(0) = u(0), то uj (0) > 0 для всех номеров j = 1, 2,... , n. Так как все функции uj (x) удовлетворяют условиям uj (lj ) = 0, то из uj (0) > 0 и леммы 2.3 следует, что uj (x) > 0 при x ∈ [0, lj ) (j = 1, 2,... , n), при этом u× (l - 0) < 0. В то же время lj r j - (pju× ) (x)= x j uj dQj - (pju× )(lj - 0). Следовательно, (pju× )(x) < 0. Тогда для всех номеров j = 1, 2,... ,n верно (pju× )(+0) < 0. j j n n С другой стороны, так как ),(piw× )(+0) ∈ N[-m,m](w(0)), ),(piv× )(+0) ∈ N[-m,m](v(0)), то для всех c ∈ [-m, m] верно n i i=1 i i=1 n i \(piw× )(+0)(c - w(0)) ::= 0, i=1 i \(piv× )(+0)(c - v(0)) ::= 0. i=1 Взяв c = v(0) в первом неравенстве и c = w(0) во втором неравенстве, получим n n \(piw× )(+0)(v(0) - w(0)) ::= 0, - \(piv× )(+0)(v(0) - w(0)) ::= 0. i i=1 i i=1 Сложив последние два неравенства, имеем n \((piw× )(+0) - (piv× )(+0))(v(0) - w(0)) ::= 0, i i i=1 n откуда следует, что ),(piu× )(+0)u(0) ?: 0, что противоречит неравенствам (piu× )(+0) < 0, i i i=1 i = 1, 2,... , n, u(0) > 0. Аналогично, случай ui(x) < 0 на [0, li) не возможен. Значит, u(x) ≡ 0. Теорема доказана. Теорема 4.2. Пусть функции ϕi (x) и ϕi (x) являются решениями однородного уравнения 1 2 x r -(piu× )(x)+ (piu× )(+0) + uidQi =0 (4.1) i i 0 644 М. Б. ЗВЕРЕВА и удовлетворяют условиям ϕi i i i 1(0) = 1, ϕ1(li)= 0; ϕ2(0) = 0, ϕ2(li)= 1, (4.2) где i = 1, 2,... , n. Тогда если n lj ), r j ϕ1(s)dFj (s) j=1 0 < m, n ), pj (+0)ϕj× (+0) то решение задачи (1.1) имеет вид 1 j=1 ui(x)= 1 ϕi (x) 2 pi(+0)ϕi× (+0) x r 2 ϕi (s)dFi (s)+ 0 2 ϕi (x) 2 pi(+0)ϕi× (+0) li r 1 ϕi (s)dFi(s) - x ⎛ lj ⎞ ϕi 1(x) - n n r 1 ), pj (+0)ϕj (+0) ⎝j=1 ⎜\ ϕj (s)dFj (s)⎟ . (4.3) × ⎠ 1 0 Если ), r ϕj n lj j=1 1(s)dFj (s) j=1 0 m + n 1 ), pj (+0)ϕj× (+0) ::= 0, то решение задачи (1.1) имеет вид j=1 Если 1 ui(x)= mϕi (x)+ 1 ϕi (x) 2 pi(+0)ϕi× (+0) x r 2 ϕi (s)dFi(s)+ 0 2 ϕi (x) 2 pi(+0)ϕi× (+0) li r 1 ϕi (s)dFi (s). (4.4) x ), r ϕj n lj 1(s)dFj (s) j=1 0 m - n 1 ), pj (+0)ϕj× (+0) ::= 0, то решение задачи (1.1) имеет вид j=1 1 ui(x)= -mϕi (x)+ где i = 1, 2,... , n. 1 ϕi (x) 2 pi(+0)ϕi× (+0) x r 2 ϕi (s)dFi(s)+ 0 2 ϕi (x) 2 pi(+0)ϕi× (+0) li r 1 ϕi (s)dFi(s), (4.5) x Доказательство. Зафиксируем любое число i = 1, 2,... , n. Заметим, что задача ⎧ x ⎪ -(p ϕi× )(x)+ r ϕi dQi = -(piϕi× )(+0), ⎨ i 1 1 1 0 i ⎪⎩ 1 ϕ (0) = 1, ϕi 1(li)=0 1 имеет единственное решение. В самом деле, применив теорему 2.1 и лемму 2.2, получим ϕi (x)= ci i i i i i 1u1(x)+ c2u2(x), где функции u1(x) и u2(x) являются решениями однородного уравнения (4.1) такими, что ui (0) = 0, ui× (+0) = 1 и ui (0) = 1, ui× (+0) = 0. Поскольку функция Qi(x) не убывает 1 1 2 2 на [0, li ], ui (0) = 0, то согласно лемме 2.3 функция ui (x) не имеет других нулей. Из условия 1 1 МОДЕЛЬ ДЕФОРМАЦИЙ СТРУННОЙ СИСТЕМЫ НА ГРАФЕ-ЗВЕЗДЕ С НЕЛИНЕЙНЫМ УСЛОВИЕМ В УЗЛЕ 645 ui× 1 (+0) = 1 следует, что ui (x) > 0 для всех x ∈ (0, li], и в частности, ui (li) > 0. Подставив пред- 1 1 i 2 1 ставление для ϕi (x) в граничные условия, получим ci = 1, ci = -u2(li) . Аналогично, существует ui 1 решение задачи ⎧ 1(li) x ⎪ -(p ϕi× )(x)+ r ϕi dQi = -(piϕi× )(+0), ⎨ i 2 2 2 0 i ⎪⎩ 2 ϕ (0) = 0, ϕi 2(li)= 1. Покажем, что ϕi× (+0) /= 0. Так как ϕi (li) = 0, ϕi (0) = 1, то ϕi (x) > 0 для всех x ∈ [0, li ). 1 1 1 1 1 Значит, ϕi× (li - 0) < 0. Так как li r -(piϕi× )(x)= ϕi dQi - (piϕi× )(li - 0), 1 1 1 x то (piϕi× )(x) < 0, и в частности, (piϕi× )(+0) < 0. Так как ϕi (0) = 0, ϕi (li)= 1, то ϕi× (+0) > 0. 1 Пусть 1 n lj j 2 2 2 ), r ϕ1(s)dFj (s) j=1 0 n < m. ), pj (+0)ϕj× (+0) 1 j=1 Покажем, что функции ui(x), определяемые равенством (4.3), составляют решение задачи (1.1). Заметим, что ), r ϕj n lj 1(s)dFj (s) u1(0) = u2(0) = ... = un(0) = - j=1 0 n 1 ), pj (+0)ϕj× (+0) ; ui(li)= 0. j=1 Зафиксируем любое число i = 1, 2,... , n. Покажем, что во всякой точке ξi ∈ (0, li) разрыва функции Fi(x) верно ui(ξi + 0) = ui(ξi - 0). В самом деле, ui(ξi + 0) - ui(ξi - 0) = 1 ϕi (ξi) 2 pi(+0)ϕi× (+0) 2 ϕi (ξi)ΔFi(ξi) - 1 ϕi (ξi) 2 pi(+0)ϕi× (+0) 2 ϕi (ξi)ΔFi(ξi)= 0. Определим значение функции ui в точке x = ξi как ui(ξi)= ui(ξi + 0) = ui(ξi - 0). Так как функции ϕi (x) и ϕi (x) абсолютно непрерывны и для любых α ::= β выполняется равенство 1 2 ⎛ β 1 i i r i li ⎞ i i r i ui(β) - ui(α)= p (+0)ϕi× ⎜(ϕ1(β) - ϕ1(α)) ϕ2(s)dFi(s)+ (ϕ2(β) - ϕ2(α)) ϕ1(s)dFi(s)⎟ + i 2 (+0) ⎝ ⎠ 0 β β 1 r + ((ϕi (α) - ϕi (s))ϕi (s)+ (ϕi (s) - ϕi (α))ϕi (s))dFi (s) - 2 pi(+0)ϕi× (+0) 1 1 2 α 2 2 1 n lj (ϕi (β) - ϕi (α)) ), r ϕj (s)dFj (s) 1 1 1 j=1 0 ), pj (+0)ϕj (+0) - n , × 1 то функция ui(x) абсолютно непрерывна на [0, li ]. j=1 646 М. Б. ЗВЕРЕВА i Покажем, что производная u× (x) от функции ui(x) удовлетворяет равенству x ϕi× u× 1 (x) r ϕi li 2 ϕi× (x) r ϕi i(x)= p (+0)ϕi× (+0) 2(s)dFi (s)+ p (+0)ϕi× (+0) 1(s)dFi(s) - i 2 i 0 2 x ϕi× 1 (x) ⎛ lj ⎞ r n \ j - n ⎜ ϕ1(s)dFj (s)⎟ . (4.6) 1 0 ), pj (+0)ϕj× (+0) ⎝j=1 ⎠ j=1 Обозначим Δεui = ui(x+ε)-ui (x+0), где ε > 0. Докажем утверждение для правой производной (для левой производной доказательство аналогично). Имеем x+ε li ϕi 1 i i Δεui = 1 Δεϕ1 r ϕi dFi + Δεϕ2 r 1dFi + 2 2 × ε pi(+0)ϕi× (+0) ε 2 0 pi(+0)ϕi (+0) x+ε ε x+ε 1 r ϕi (x)ϕi (s) - ϕi (x)ϕi (s) + 2 pi(+0)ϕi× (+0) 1 x+0 2 2 1 ε 1 dFi(s) - ⎛ lj ⎞ 1 \ j Δεϕi n r ε - n 1 ), pj (+0)ϕj× (+0) ⎜ ⎝ j=1 0 ⎠ ϕ1(s)dFj (s)⎟ . Покажем, что ⎛ x+ε r j=1 ⎞ ϕi (x)ϕi (s) - ϕi (x)ϕi (s) Имеем 1 x+ε r lim ε→0+ 1 ⎝ x+0 2 2 ε 1 ( 1 dFi(s)⎠ = 0. (4.7) \ (ϕi i i i i i i i x+ε ε ε x+0 1(x)ϕ2(s) - ϕ2(x)ϕ1(s)) dFi(s) ::= max x::=s::=x+ε |ϕ1(x)ϕ2(s) - ϕ2(x)ϕ1(s)| Vx+0 (Fi), x+0 где через V x+ε(Fi) обозначена вариация функции Fi на [x + 0,x + ε]. Заметим, что |ϕi (x)ϕi (s) - ϕi (x)ϕi (s)| ::= 1ϕi 1· |ϕi (s) - ϕi (x)| + 1ϕi 1· |ϕi (x) - ϕi (s)| ::= 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 s s r r 1 2 2 1 ::= 1ϕi 1· |ϕi× (τ )|dτ + 1ϕi 1· |ϕi× (τ )|dτ , x x где 1ϕi 1 = max |ϕi (x)|, j = 1, 2. Так как функции ϕi , ϕi абсолютно непрерывны на [0, li ] и их j [0,li] j 1 2 производные имеют ограниченные вариации, то |ϕi× (τ )| ::= c0i и |ϕi× (τ )| ::= c0i. Значит, 2 1 |ϕi (x)ϕi (s) - ϕi (x)ϕi (s)| ::= (1ϕi 1 + 1ϕi 1)c0i ε. Следовательно, 1 2 2 1 1 2 max |ϕi (x)ϕi (s) - ϕi (x)ϕi (s)| ::= (1ϕi 1 + 1ϕi 1)c0i. ε x::=s::=x+ε 1 2 2 1 1 2 x+0 Так как V x+ε(Fi) → 0 при ε → +0, получаем равенство (4.7). i Таким образом, равенство (4.6) доказано. Из (4.6) следует, что u× имеет ограниченную вариацию на (0, li ). Таким образом, функция u(x) принадлежит классу E. МОДЕЛЬ ДЕФОРМАЦИЙ СТРУННОЙ СИСТЕМЫ НА ГРАФЕ-ЗВЕЗДЕ С НЕЛИНЕЙНЫМ УСЛОВИЕМ В УЗЛЕ 647 n i Поскольку |u(0)| < m, покажем, что ), pi(+0)u× (+0) = 0. Имеем i=1 li ⎛ lj ⎞ n r pi(+0)u× (+0) = ϕi (s)dFi(s) - 1 pi(+0)ϕi× (+0) ⎜\ r ϕj (s)dFj (s)⎟ . i 1 n 1 0 ), pj (+0)ϕj× (+0) ⎝ 1 ⎠ j=1 0 Таким образом, n n li j=1 n ), i i× ⎛ lj ⎞ r n r \ pi(+0)u× (+0) = \ ϕi (s)dFi(s) - i=1 p (+0)ϕ1 (+0) ⎜\ ϕj (s)dFj (s)⎟ = 0. i 1 n j× ⎝ 1 ⎠ i=1 i=1 0 ), pj (+0)ϕ1 (+0) j=1 j=1 0 Зафиксировав произвольное i = 1, 2,... , n, покажем, что функция ui(x) является решением уравнения из (1.1). Заметим, что x ⎛ x s x l ⎞ r ui(s)dQi(s)= 0 1 2 pi(+0)ϕi× (+0) r r 1 ⎝ ϕi (s) 0 0 r 2 ϕi (τ )dFi(τ )dQi(s)+ 0 ), r ϕj n r 2 ϕi (s) s lj 1 ϕi (τ )dFi (τ )dQi(s)⎠ - 1(s)dFj (s) j=1 0 ), pj (+0)ϕj (+0) - n × 1 x r 1 ϕi (s)dQi(s). 0 j=1 Применим теорему Фубини и воспользуемся свойствами функций ϕi , ϕi . Имеем x s r ϕi r i 1 2 x r i i i 1(s) 0 0 ϕ2(τ )dFi(τ )dQi(s)= 0 ϕ2(τ )((piϕ1×)(x) - (piϕ1×)(τ ))dFi (τ ); x li r r ϕi i x r i i× i× 2(s) 0 s ϕ1(τ )dFi (τ )dQi(s)= 0 li r ϕ1(τ )(pi(τ )ϕ2 (τ ) - pi(+0)ϕ2 (+0))dFi (τ )+ + ϕi (τ )((pi(x)ϕi× (x) - pi(+0)ϕi× (+0))dFi (τ )= 1 2 2 x x li li r r r = ϕi (τ )pi(τ )ϕi× (τ )dFi (τ ) - pi(+0)ϕi× (+0) ϕi (τ )dFi(τ )+ pi(x)ϕi× (x) ϕi (τ )dFi (τ ). 1 2 2 1 2 1 0 0 x Согласно теореме 2.2, pi(τ )(ϕi (τ )ϕi× (τ ) - ϕi (τ )ϕi× (τ )) ≡ const = pi(+0)ϕi× (+0). Тогда 1 2 2 1 2 x r uidQi = ⎛ x 1 r ⎝(piϕi ×)(x) li r ϕi (τ )dFi (τ )+ (piϕi ×)(x) ⎞ ϕi (τ )dFi(τ )⎠ - 2 pi(+0)ϕi× (+0) 1 2 0 0 2 1 x n lj li ), r ϕj (s)dFj (s) x r 1 - ϕi (τ )dFi (τ )+ Fi(x) - Fi(+0) - 1 j=1 0 pj (+0)ϕj n r 1 ϕi (s)dQi(s). 0 ), j=1 1 0 × (+0) 648 М. Б. ЗВЕРЕВА Следовательно, x r i - pi(x)u× (x)+ uidQi = 0 li r pi(+0)ϕi× (+0) ⎛ lj ⎞ n r = Fi(x) - Fi(+0) - ϕi (τ )dFi (τ )+ 1 ⎜\ ϕj (s)dFj (s)⎟ = 1 n × 0 ), pj (+0)ϕj (+0) ⎝ 1 ⎠ j=1 что и требовалось. Пусть ), r ϕj n lj j=1 1 0 i = Fi(x) - Fi(+0) - pi(+0)u× (+0), 1(s)dFj (s) j=1 0 m + n 1 ), pj (+0)ϕj× (+0) ::= 0. j=1 Покажем, что функции, определяемые равенством (4.4), дают решение задачи (1.1). Проверка свойств функций ui(x), доказательство представления для производной u× i× x 1 i ϕi× (x) r li 2 i ϕi× (x) r i(x)= mϕ1 (x)+ p (+0)ϕi× ϕ2(s)dFi(s)+ ϕ1(s)dFi (s) i 2 (+0) 0 2 pi(+0)ϕi× (+0) x и подстановка в уравнения осуществляются аналогично предыдущему случаю. Заметим, что n ui(li) = 0, ui(0) = u(0) = m, i = 1, 2,... , n. Покажем, что i ), pi(+0)u× (+0) ∈ N[-m,m]u(0). Поi=1 n i скольку u(0) = m, то нужно доказать, что ), pi(+0)u× (+0) ?: 0. Имеем n n ⎛ i=1 li ⎞ ϕi× (+0) r \ pi(+0)u× (+0) = \ pi(+0) ⎝mϕi× (+0) + 2 ϕi (s)dFi(s)⎠ = i=1 i i=1 2 1 pi(+0)ϕi× (+0) 1 0 ⎛ n lj ⎞ j li n n r ⎟ ⎜ 1 ), r ϕ (s)dFj (s) 1 j=1 0 1 = m \ pi(+0)ϕi× (+0) + \ 1 ⎜ ⎟ ϕi (s)dFi (s)= n ⎜m + n ⎟ ?: 0, i=1 i=1 0 ), pi(+0)ϕi× (+0) ⎜ ), pj (+0)ϕj× (+0) ⎟ i=1 1 ⎝ 1 ⎠ j=1 n 1 так как ), pi(+0)ϕi× (+0) < 0. i=1 Случай ), r ϕj n lj 1(s)dFj (s) j=1 0 m - n 1 ), pj (+0)ϕj× (+0) ::= 0 j=1 может быть рассмотрен аналогично. Теорема доказана. Теорема 4.3. Пусть u0(x) - решение задачи (1.1). Тогда u0 минимизирует функционал Φ(u) при условиях u(a)= 0, a ∈ ∂Γ, |u(0)| ::= m. МОДЕЛЬ ДЕФОРМАЦИЙ СТРУННОЙ СИСТЕМЫ НА ГРАФЕ-ЗВЕЗДЕ С НЕЛИНЕЙНЫМ УСЛОВИЕМ В УЗЛЕ 649 Доказательство. Докажем, что для любой функции u ∈ E, удовлетворяющей условиям u(a)= 0, a ∈ ∂Γ, |u(0)| ::= m, верно Φ(u) - Φ(u0) ?: 0. Представим функцию u(x) как u(x) = u0(x)+ h(x), где h(x)= u(x) - u0(x). Заметим, что h ∈ E, h(a)= 0, a ∈ ∂Γ. Тогда r Φ(u0 + h) - Φ(u0)= Γ r 0 (pu× )h×dx + Γ ph×2 r - dx 2 Γ r hdF + Γ h2 r dQ + 2 Γ hu0dQ = li r n n r x r h2 r ph×2 = \ hi(0)Fi (+0) + \ 0i (piu× - u0idQi + Fi)dhi + dQ + 2 dx = 2 i=1 i=1 0 0 n Γ Γ r h2 r ph×2 0i = - \(piu× i=1 )(+0)h(0) + Γ dQ + 2 Γ 2 dx ?: 0, n 0i так как h(0) = u(0) - u0(0), u(0) ∈ [-m, m], ), pi(+0)u× (+0) ∈ N[-m,m]u0(0). i=1 Теорема 4.4. Пусть m → 0. Тогда решение задачи (1.1) равномерно на Γ стремится к решению задачи ⎧ x ⎨ - (piu× ) (x)+ r uidQi = Fi(x) - Fi(+0) - (piu× )(+0), i = 1, 2,... , n, x ∈ γiσ , ⎪ i i 0 ui(0) = 0, ⎪ i (4.8) ⎩ ui(li)= 0, i = 1, 2,... , n. Доказательство. Воспользуемся формулами из теоремы 4.2 для представления решения um(x) задачи (1.1). Так как m → 0, то n lj j ), r - ϕ1(s)dFj (s) j=1 0 n ?: m. × ), pj (+0)ϕj (+0) Тогда для всех i = 1, 2,... ,n 1 j=1 x ϕi 1(x) r li ϕi (x) r uim(x) - ϕi (s)dFi(s)+ 2 ϕi (s)dFi(s) = mϕi (x) ::= ci|m|→ 0, p (+0)ϕi× (+0) 2 pi(+0)ϕi× (+0) 1 1 i 2 2 0 x 1 поскольку функция ϕi (x) ограничена на [0, li]. Таким образом, uim(x) ⇒ ui(x)= 1 ϕi (x) 2 pi(+0)ϕi× (+0) x r 2 ϕi (s)dFi(s)+ 0 2 ϕi (x) 2 pi(+0)ϕi× (+0) li r 1 ϕi (s)dFi (s). x Аналогично теореме 4.2 проверяется, что функции ui(x) составляют решение задачи (4.8). Теорема доказана.

Об авторах

М. Б. Зверева

Воронежский государственный университет; Воронежский государственный педагогический университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: margz@rambler.ru
Воронеж, Россия

Список литературы