О системе дифференциальных уравнений со случайными параметрами

Полный текст

Рассмотрим векторную задачу Коши 1. Введение dx = a(t)ε(ω)Ax + f (t, ω), (1.1) dt x(t0)= x0, (1.2) где R - множество действительных чисел, x : R → X - векторная функция, принимающая значения в n-мерном вещественном пространстве X со скалярным произведением ∗·, ·) и нормой 1 lxl = ∗x, x)) 2 , A - оператор в пространстве X, f - векторный случайный процесс, ε - случайная величина, t0 ∈ R, x0 - случайный вектор, a : R → R - заданная функция. Наша цель - найти математическое ожидание E[x(t)] решения задачи (1.1), (1.2) и моментные функции второго порядка. Задача связана с задачей стабилизации решений дифференциальных уравнений с помощью случайных помех. На примере показана возможность стабилизации случайным шумом. Если ε, f, x0 не являются случайными параметрами, то эта задача изучается даже в стандартных курсах обыкновенных дифференциальных уравнений. © В. Г. Задорожний, Г. С. Тихомиров, 2022 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 621 622 В. Г. ЗАДОРОЖНИЙ, Г. С. ТИХОМИРОВ Решение задачи (1.1), (1.2) записывается в виде ⎛ rt x(t, ω)= exp ⎝ε(ω) t0 ⎞ rt a(s)dsA⎠ x0 + t0 ⎛ rt exp ⎝ε(ω) τ ⎞ a(s)dsA⎠ f (τ, ω)dτ. Если ε - заданное число, а f зависит от случайных событий, то для решения задачи (1.1), (1.2) можно написать моментные функции любого порядка. Мы можем формально представить выражение для математического ожидания как ⎡ ⎛ t r ⎞ rt ⎛ rt ⎞ ⎤ E[x(t, ω)] = E ⎣exp ⎝ε(ω) t0 a(s)dsA⎠ x0 + t0 exp ⎝ε(ω) τ a(s)dsA⎠ f (τ, ω)dτ ⎦ = r ⎡ ⎛ rt ⎞ rt ⎛ rt ⎞ ⎤ = ⎣exp ⎝ε(ω) Ω t0 a(s)dsA⎠ x0 + t0 exp ⎝ε(ω) τ a(s)dsA⎠ f (τ, ω)dτ ⎦ dω. Здесь Ω - пространство случайных событий. Иногда удается вычислить интегралы (см. [4]), но трудности очевидны. Для некоторых дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами формулы для моментных функций решения можно найти в [4]. Математическое ожидание решения скалярного дифференциального уравнения первого порядка было получено Адомианом, см. [1, с. 245]. Предположим, что известен характеристический функционал (см. [3, с. 323], [4, с. 30]) для ε, f : ⎡ ⎛ r ⎞⎤ ψ(z, u)= E ⎣exp ⎝iε(ω)z + i T ∗f (s, ω), u(s))ds⎠⎦ , где E - знак математического ожидания по функции распределения случайных процессов ε, f (ниже зависимость от случайных событий ω в записи не отражается), T = [t0, t1] ⊂ R, z ∈ R, u - интегрируемая вектор-функция на отрезке T, т. е. u ∈ L1(T ), где L1(T ) - пространство интегрируемых вектор-функций на отрезке T с нормой lul1 = r lu(t)ldt. T В дальнейшем используется понятие вариационной производной. Напомним ее определение, см. [4, с. 14]. Пусть X банахово пространство, u ∈ L1(T ), h ∈ L1(T ), y : L1(T ) → X. Если y(u + h) - y(u) = r ϕ(t, u)h(t)dt + o(h), где интеграл понимается в смысле Лебега и является T линейным ограниченным по переменной h ∈ L1(T ) оператором, то ϕ : T × L1(T ) → X называется δy(u) вариационной производной отображения y и обозначается . δu(t) 2. Сведение к детерминированной задаче Введем обозначение w = w(z, u)= exp(iεz + i r ∗f (s, ω), u(s))ds). Умножая равенства (1.1), (1.2) T на w и записывая математическое ожидание полученных равенств, получаем El dx wl = E[εa(t)Axw]+ E[f (t)w], (2.1) dt E[x(t0)w]= E[x0w]. (2.2) Введем обозначение y = y(t, z, u)= E[x(t)w]. Тогда (формально) δpψ y(t, 0, 0) = E[x(t)], ∂y = El ∂t dx l, dtw ∂y = E[iεwx], ∂z δpψ δu(t) = E[iwf (t)], где δu(t) - частная вариационная производная (см. [4, с. 14]) по переменной u. Если x0 не зависит от ε и f, то равенства (2.1), (2.2) можно записать в виде ∂y ∂y ∂t = -ia(t)A ∂z δpψ - iδu(t) , y(t0, z, u)= E[x0]ψ(z, u). (2.3) О СИСТЕМЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 623 Определение 2.1. y(t, 0, 0) называется математическим ожиданием E[x(t)] решения задачи (1.1), (1.2), где y - детерминированное решение задачи Коши (2.3) в некоторой окрестности точки с компонентами z = 0, u = 0. 3. Решение линейной однородной задачи Рассмотрим линейную однородную задачу ∂y = a(t)A ∂t ∂y , (3.1) ∂z y(t0, z)= y0(z)ξ, (3.2) где y0 : R → C (здесь C - это множество комплексных чисел), ξ ∈ Y, Y - комплексное нормированное пространство, a : T → R - непрерывная функция. Это линейная система дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка [2, 5-9, 12]. Пусть I обозначает ∞ тождественный оператор, действующий в пространстве Y, а y0(z) = k=0 bkzk является аналитической функцией на R. Введем операторную функцию k ⎛ rt ⎞ ∞ ⎛ rt ⎞ Φ= y0 ⎝zI + A t0 a(s)ds⎠ = bk ⎝zI + A k=0 t0 a(s)ds⎠ . (3.3) Этот ряд абсолютно и равномерно сходится при |z| l для любого l > 0. В этом случае следующие ряды абсолютно сходятся: ∞ ⎛ rt ⎞ k-1 dy kbk ⎝zI + A 0 a(s)ds⎠ = t , k=1 t0 dz z=zI+A f a(s)ds t0 ∞ k=0 I t I r I |bk | IzI + A I I t0 Ik I I a(s)dsI , I I ∞ k=1 I t I r I k|bk | IzI + A I I t0 Ik-1 I I a(s)dsI I I . (3.4) Теорема 3.1. Если y0 является аналитической функцией на R и a : T → R - непрерывная ∂Φ функция, тогда существует производная и выполняется равенство ∂z k-1 ⎛ ∂Φ ∞ rt ⎞ k ⎝ = kb zI + A ∂z k=1 t0 a(s)ds⎠ . Доказательство. Пусть Δz является приращением переменной z. Поскольку ряд (3.4) сходится, то мы имеем I ⎡ 1 I I ⎢ I I ⎣Φ(t, z + Δz) - Φ(t, z) - Δz ∞ ⎛ rt kbk ⎝zI + A ⎞ a(s)ds⎠ k 1⎤I - I I = ⎥I ⎦I IΔz I k=1 t0 I ⎡ ⎛ t I ∞ = 1 ⎢ r I I I I ⎞k⎤ ⎥ IΔz I I ⎣ k=0 bk ⎝zI + A t0 k a(s)ds + ΔzI⎠ ⎦ - k-1I ∞ - k=0 ⎛ rt bk ⎝zI + A t0 ⎞ a(s)ds⎠ - Δz ∞ k=1 ⎛ rt kbk ⎝zI + A t0 ⎞ I I ⎠ a(s)ds I = I I I ∞ I ⎡ ⎛ I k = C 1 ⎢ I k I bk ⎜ m ⎣ I ⎝ ⎛ rt ⎝zI + A ⎞ a(s)ds⎠ k-m (Δz)mI - IΔz I k=0 m=0 t0 624 В. Г. ЗАДОРОЖНИЙ, Г. С. ТИХОМИРОВ ⎛ rt - ⎝zI + A t0 ⎞k a(s)ds⎠ ⎛ rt - Δzk ⎝zI + A t0 ⎞ a(s)ds⎠ k 1⎞⎤I - I ⎠⎥I ⎟ I = ⎦I I I ∞ I ⎡ ⎛ I k = C 1 ⎢ I k I bk ⎜ m ⎣ I ⎝ ⎛ rt ⎝zI + A ⎞ a(s)ds⎠ k-m (Δz)m ⎞⎤I I ⎠⎦I I⎟⎥I = I IΔz I = I I I I k=2 ∞ m=2 ⎛ ⎛ k ⎜ m t0 rt ⎞ I I k m ⎞I ⎟ m - I I I IΔz I I k=2 bk ⎝ Ck m=2 ⎝zI + A t0 a(s)ds⎠ ∞ (Δz) I I I⎠I I I t Ik r I I |Δz| |bk | IzI + A I a(s)ds + (Δz)II . I t I k=2 I I 0 Поскольку ряд (3.3) сходится, то последнее выражение стремится к нулю при Δz → 0. Переходя к пределу при Δz, стремящемся к нулю, получаем требуемое утверждение. Теорема 3.2. Если y0 - аналитическая функция на R и a : T → R - непрерывная функция, ∂Φ то существует производная и ∂t ∂Φ ∂Φ = a(t)A ∂t ∂z . (3.5) Доказательство. Пусть Δt - приращение переменной t, тогда I r 1 I I Φ(t + Δt, z) - Φ(t, z) - a(t)A I ∂Φ I I = IΔt ∂z I ⎛ I ⎡ ∞ t I I 1 r = ⎢ I t+Δt ⎞k r IΔt I I ⎣ k=0 bk ⎝zI + A t0 k a(s)ds + A t a(s)ds⎠ - k-1⎤I ∞ - k=0 ⎛ rt bk ⎝zI + A t0 ⎞ a(s)ds⎠ - a(t)AΔt ∞ k=1 ⎛ rt kbk ⎝zI + A t0 ⎞ a(s)ds⎠ I ⎦I ⎥I = I I I ⎛ I ⎡ ⎛ I ∞ k rt ⎞ k-m I 1 = I I IΔt I ⎢ ⎣ k=0 bk ⎜ ⎝ C m k m=1 ⎝zI + A t0 k a(s)ds⎠ (ΔtAa(t)+ o(Δt))m - k-1⎞⎤I ⎛ rt - ⎝zI + A t0 ⎞ a(s)ds⎠ ⎛ rt - a(t)AΔtk ⎝zI + A t0 ⎞ a(s)ds⎠ I ⎠⎦I = ⎟⎥I I I I ⎛ I ⎡ ⎛ I ∞ k t ⎞k-m ⎞ r I 1 = I I IΔt C k ⎢ bk ⎜ m ⎣ ⎝ ⎟ ⎝zI + A a(s)ds⎠ - (ΔtAa(t)+ o(Δt))m ⎠ I k=2 m=2 t0 r ∞ ⎛ t I ⎞k-1 ⎤I I k - k=2 I ⎛ bkC1 ⎝zI + A t0 a(s)ds⎠ k-m o(Δt)⎥I ⎦I I I ⎞I I k |Δt| ∞ I I bk ⎜ I ⎝ I ⎛ rt k Cm ⎝zI + A ⎞ a(s)ds⎠ I ⎠I (Aa(t)+ o(Δt))m(Δt)m-2⎟I + I I Ik=2 m=2 t0 I О СИСТЕМЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 625 I o(Δt) ∞ I t Ik-1 r I + I |bk |k IzI + A I a(s)dsI I Δt k=2 I I I t0 I k-m Ik ∞ I⎛ rt ⎞ ( o(Δt) I I |Δt| |bk | ⎝zI + A ⎠ + I I a(s)ds + Aa(t)+ I Aa(t)+ I I t0 k=2 I I o(Δt) ∞ Δt I I I t I r Ik-1 I + I |bk |k IzI + A I a(s)dsI . I t I Δt k=2 I I 0 В последнем неравенстве мы использовали |Δt| 1. Поскольку ряд (3.4) сходится, последнее ∂Φ выражение стремится к нулю при Δt → 0. Тогда, согласно определению производной, ∂Φ суще- ∂t ствует и равна a(t)A . ∂z Замечание. Если a непрерывна на T и y0 является аналитической функцией на R, то Φ = t ( y0 zI + A r a(s)ds t0 является решением операторной задачи Коши ∂Φ ∂Φ = a(t)A , ∂t ∂z (3.6) Φ(t0, z)= y0(zI)= y0(z)I. Теперь предположим, что для уравнения (3.1) начальное условие имеет более общий вид n y(t0, z)= y0(z)= y0j (z)ej, (3.7) j=1 где ej - ортогональный базис в Y. Теорема 3.3. Пусть yj : R → C - аналитическая функция на R, a - непрерывная функция zI на T и Φj = y0j ( t + A r a(s)ds t0 . Тогда n n ⎛ rt ⎞ y(t, z)= Φj (t, z)ej = y0j ⎝zI + A a(s)ds⎠ ej (3.8) j=1 j=1 t0 является решением уравнения (3.1) с начальным условием (3.7). Доказательство. Используя равенство (3.6), получаем n ∂y = ∂t j=1 ∂Φj (t, z) ∂t n ej = a(t)A j=1 ∂Φj (t, z) ∂z ∂ ej = a(t)A∂z n ∂y Φjej = a(t)A∂z , j=1 т. е. функция (3.8) является решением уравнения (3.1). Далее n n y(t0, z)= Φj (t0, z)ej = y0j (z)ej = y0(z), j=1 следовательно, начальное условие (3.7) выполнено. j=1 4. Линейное неоднородное уравнение Рассмотрим линейную неоднородную задачу ∂y ∂y = a(t)A ∂t ∂z + b(t, z), (4.1) 626 В. Г. ЗАДОРОЖНИЙ, Г. С. ТИХОМИРОВ n y(t0, z)= y0(z)= y0j (z)ej, (4.2) j=1 n n где a : R → R, b = bj (t, z)ej, y0(z)= y0j (z)ej заданы. j=1 j=1 Теорема 4.1. Если a : R → R - непрерывная функция, y : R → Y - аналитическая векторфункция на R и b - вектор-функция, непрерывная по t и аналитическая по z на R, то n ⎛ rt ⎞ rt n ⎛ rt ⎞ y(t, z)= y0j ⎝zI + A j=1 t0 a(s)ds⎠ ej + t0 bj ⎝s, zI + A j=1 s a(τ )dτ ⎠ ej ds (4.3) является решением задачи Коши (4.1), (4.2). Доказательство. Отметим, что ⎛ rt ⎞ ⎛ rt ⎞ bj ⎝s, zI + A s a(τ )dτ ⎠ , y0j ⎝zI + A t0 a(s)ds⎠ , j = 1, 2,... ,n удовлетворяет уравнению (3.6). Отсюда получаем ∂y ∂ n ⎛ rt ⎞ n = a(t)A ∂t ∂z y0j ⎝zI + A j=1 t0 a(s)ds⎠ ej + bj (t, z)ej + j=1 t n + r a(t)A ∂ b ⎛ rt s, zI + A ⎞ a(τ )dτ ∂y e ds = a(t)A + b(t, z). t0 j=1 ∂z j ⎝ ⎠ j ∂z s Следовательно, y является решением уравнения (4.1). Далее n n n y(t0, z)= y0j (zI)ej = y0j (z)Iej = y0j (z)ej = y0(z), j=1 j=1 j=1 т. е. выполняется и начальное условие (4.2). Замечание. Уравнение (4.1) представляет собой векторное представление линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Явный вид (4.3) решений этой системы ранее не встречался. 5. Нахождение математического ожидания решения задачи (1.1), (1.2) Вернемся к задаче (2.3). Она имеет вид (4.1), (4.2) (где u - параметр). Теорема 5.1. Если ψ - аналитическая функция переменной z на R и существуют вариаци- δψ онные производные δuj (s) , j = 1, 2,... , n, то ( t ⎛ rt y = ψ ⎝zI - iA t0 ⎞ rt a(τ )dτ, u⎠ E[x0] - i t0 n j=1 δpψ zI - iA r a(τ )dτ, u s δuj (s) ej ds (5.1) является решением задачи (2.3). Доказательство. Отметим, что y(t0, z) = ψ(zI)E[x0] = ψ(z)IE[x0 ] = ψ(z)E[x0], т. е. начальное условие выполнено. Далее, согласно формуле (4.3) имеем О СИСТЕМЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 627 ( t n ⎛ rt ⎞ rt n δpψ zI - iA r a(τ )dτ, u y(t, z, u)= ψ ⎝zI - iA j=1 t0 a(τ )dτ, u⎠ E[x0]ej - i t0 j=1 s δuj (s) ( ej ds = t ⎛ rt = ψ ⎝zI - iA t0 ⎞ rt a(τ )dτ, u⎠ E[x0] - i t0 n j=1 δpψ zI - iA r a(τ )dτ, u s δuj (s) ej ds. Используя определение M [x(t0)] = y(t, 0, 0) из (5.1), получаем следующий результат. Теорема 5.2. Если ψ - аналитическая функция переменной z на R, имеющая вариационную δpψ производную δu(t) , тогда ( t ⎛ rt E[x(t)] = ψ ⎝-iA t0 ⎞ rt a(τ )dτ, 0⎠ E[x0] - i t0 n j=1 δpψ -iA r a(τ )dτ, 0 s δuj (s) ej ds (5.2) является математическим ожиданием решения задачи Коши (1.1), (1.2). Если ε, f независимы, то ψ(z, u) = ψε(z)ψf (u), где ψε(z) = E[exp iεz] - характеристическая функция ε, а ψf (u)= E[exp(i r ∗f (s), u(s))ds)] - характеристический функционал для f. T Теорема 5.3. Если случайная величина ε и векторный случайный процесс f независимы, су- δψf ществует вариационная производная δu(s) , а ψε является аналитической функцией на R, то ⎛ rt E[x(t)] = ψε ⎝-iA t0 ⎞ rt a(τ )dτ ⎠ E[x0] - i t0 ⎛ rt ψε ⎝-iA s ⎞ a(τ )dτ ⎠ E[f (s)]ds (5.3) является математическим ожиданием решения задачи Коши (1.1), (1.2). Доказательство. Воспользуемся формулой (5.3). При этом ψf (0) = 1, ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ δψf (0) = δ E exp r i f (s), u(s) ds = E exp r i f (s), u(s) dsif (s) = δuj (s) δuj (s) ⎣ ⎝ ∗ T )⎠ ⎦ u=0 ⎣ ⎝ ∗ T )⎠ j ⎦ u=0 Поскольку ε и f независимы, то = iE[f (s)]j . ⎛ rt ⎞ ⎛ rt ⎞ ⎛ rt ⎞ ψ ⎝-iA t0 ( t a(τ )dτ, 0⎠ = ψε ⎝-iA t0 a(τ )dτ ⎠ ψf (0) = ψε ⎝-iA t0 a(τ )dτ ⎠ , δpψ -iA r a(τ )dτ, 0 ⎛ t ⎞ r δψ (0) ⎛ rt ⎞ s δuj (s) ej = ψε ⎝-iA s a(τ )dτ ⎠ f δuj (s) ej = iψε ⎝-iA s a(τ )dτ ⎠ E[f (s)]j ej. (5.4) Подставляя эти выражения в формулу (5.3), получаем (5.4). 628 В. Г. ЗАДОРОЖНИЙ, Г. С. ТИХОМИРОВ 6. Пример Требуется найти математическое ожидание решения задачи Коши dx1 = 2εtx dt 2 + f1(t), - dx2 = 2εtx dt 1 + f2(t), x1(0) = x10, x2(0) = x20, где ε - случайная величина, f1, f2 - случайные процессы с характеристическим функционалом ⎛ T 1 2 2 r ψ(z, u1, u2)= exp ⎝imz - 2 σ z + i (E[f1(s)]u1(s)+ E[f2(s)]u2(s)) ds - 0 T T 1 r r - 2 0 0 T 1 r b11(s1, s2)u1(s1)u1(s2)ds1ds2 - 2 0 T ⎞ r b22(s1, s2)u2(s1)u2(s2)ds1ds2⎠ . 0 Здесь m, σ > 0 - заданные числа, b11, b22 - заданные ковариационные функции. Решение. Эта задача имеет форму задачи (4.1), (4.2). В нашем случае ( 0 1 A = -1 0 , a(t)= 2t, f (t)= ( f1(t) , f2(t) E[f1(t)], E[f2(t)] - математические ожидания случайных процессов f1, f2, а b11, b22 - элементы ковариационной матрицы случайных процессов f1, f2. Пусть E[f1(t)] = 2t, E[f2(t)] = t2. Из вида характеристического функционала следует, что ε и f независимы, поэтому для нахождения математического ожидания E[x(t)] можно использовать формулу (5.4). В таком случае ⎛ E[x(t)] = exp ⎜im ⎝ ⎛ rt ⎝-iA 0 ⎞ 2τ dτ ⎠ - 1 σ2 2 ⎛ rt ⎝-iA 0 2τ dτ ⎞2⎞ ⎟ ⎠ ⎠ ( x10 + x20 t ⎛ r + exp ⎜im ⎝ 0 ⎛ rt ⎝-iA s ⎞ 2τ dτ ⎠ - 1 σ2 2 ⎛ rt ⎝-iA s 2τ dτ ⎞2⎞ ⎟ ⎠ ⎠ ( 2s s2 ds. Хорошо известно, что exp(At) является суммой сходящегося матричного ряда exp(At)= I + At + (At)2 2! (At)3 + 3! + ... + (At)k k! + ... Это матричная функция, вектор-столбцы которой ϕj, j = 1, 2,... ,n являются решениями систеdx мы дифференциальных уравнений dt = Ax с начальными условиями ϕj (0) = ej, j = 1, 2,... , n, где ej - единичный вектор. Находим собственные значения и собственные векторы матрицы A. Корни λ1 = i, λ2 = -i уравнения λ2 +1 = 0 являются собственными значениями матрицы A и h1 = (-i 1)T , h2 = (i 1)T - соответствующие собственные векторы (здесь T - знак транспонироdx вания). Общее решение системы уравнений = Ax имеет вид dt x(t)= c1 exp(it) ( -i 1 ( i + c2 exp(-it) 1 = c1(cos t + i sin t) ( -i 1 ( i + c2(cos t - i sin t) 1 . Тогда общее действительное решение имеет вид ( cos t xr (t)= c3 - sin t Здесь c3, c4 - произвольные вещественные числа. + c4 ( sin t cos t . О СИСТЕМЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 629 Запишем начальное условие x(0) = e1: ( 1 ( 0 ( 1 c3 0 ( cos t + c4 1 = 0 Тогда c3 = 1, c4 =0 и ϕ1(t)= - sin t - решение, которое удовлетворяет первому начальному ( sin t условию. Аналогично находим второе решение ϕ2(t)= cos t и Находим ( cos t sin t exp(At)= . - sin t cos t A2 = ( 0 1 ( 0 1 = ( -1 0 , -1 0 exp(At)2 = -1 0 ( exp(-t2) 0 0 -1 . Используя эти выражения, находим ⎛ 0 exp(-t2) σ2t4 ⎞ E[x(t)] = ( cos mτ 2 sin mτ 2 - sin mτ 2 cos mτ 2 exp(- ⎜ ⎝ ) 0 2 σ2t4 ⎟ ( x10 + ⎠ x20 0 exp(- 2 ) t r ( cos m(t2 - s2) sin m(t2 - s2) + - sin m(t2 - s2) cos m(t2 - s2) ⎛ exp(- ⎜ ⎝ - σ2(t2 s2)2 ) 0 2 σ2(t2 - s2)2 ⎞ ( 2s ⎠ ⎟ s2 ds. 0 0 exp(- 2 ) (6.1) 7. Смешанные моментные функции Смешанные моментные функции E[x(t)ε] и E[x(t)f T (ξ)] для решения задачи (1.1), (1.2) также представляют интерес. Мы можем их найти аналогично тому, как находили математическое ожидание решения. Тем не менее, формула для y(t, z, u) позволяет сделать это короче. Согласно определению, y(t, z, u)= E[x(t)w], где w = exp (iεz + i r ∗f (t), u(t))dt . Тогда T ∂y(t, z, u) ∂z z=0,u=0 = E[x(t)w(z, u)iε]|z=0,u=0 = iE[x(t)ε] Используя формулу (5.1), имеем ⎛ I t \ ⎞ ( t ∂ψ zI - iA r a(τ )dτ, u ⎜ 1 t0 rt ∂ δpψ ⎟ zI - iA r a(τ )dτ, u ⎜ E[x(t)ε]= ⎜ ⎜ i ∂z ⎝ E[x0] - ∂z t0 = s δu(s)ds ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ z=0,u=0 I t \ ( t ∂ψ -iA r a(τ )dτ, 0 t δpψ -iA r a(τ )dτ, 0 1 t0 = r E[x0] - ∂ s . i ∂z Аналогично (но сложнее) δy(t, z, u) T ∂z δu(s)ds t0 T δu(ξ) z=0,u=0 = E[x(t)w(z, u)if (ξ)] z=0,u=0 = iE[x(t)f (ξ)], 630 В. Г. ЗАДОРОЖНИЙ, Г. С. ТИХОМИРОВ ⎛ ⎜ E[x(t)f T (ξ)] = ⎜ 1 ⎜ t δψ(zI - iA r a(τ )dτ, u) t0 E[x0] - r δ ψ(zI - iA r a(τ )dτ, u) t t 2 p s δu(s)δu(ξ) ⎞ ⎟ ⎟ ds⎟ = ⎠ ⎝ i δu(ξ) t0 I t \ z=0,u=0 t δpψ 1 = -iA r a(τ )dτ, 0 t0 E[x0] - ( - t δ2ψ p r iA r a(τ )dτ, 0 s ds. i δu(ξ) δu(s)δu(ξ) t0 8. Вторая моментная функция решения задачи (1.1), (1.2) Умножим уравнение (1.1) на xT (τ )w и усредним по функции распределения для ε, f, получим El dx xT (τ )wl = E[a(t)εAxxT (τ )w]E[f (t)xT (τ )w]. (8.1) dt Введем отображение ζ(t, τ, z, u)= E[x(t)xT (τ )w]. ζ(t, τ, z, u)= ζ(τ, t, z, u), ζ(t, τ, 0, 0) = E[x(t)xT (τ )]. (8.2) Уравнение (8.1) с помощью ζ записывается в виде ∂ζ(t, τ, z, u) ∂t = -iA ∂ζ(t, τ, z, u) ∂z ( δpy(τ, z, u) T - i δu(t) . (8.3) Умножим условие (1.2) на xT (t0)w и усредним по функции распределения для ε, f, получим E[x(t0)xT (t0)w]= E[x(t0)xT (t0)]ψ(x, u) (8.4) (мы воспользовались независимостью x0 от ε, f ). Определение 8.1. Второй моментной функцией E[x(t)xT (τ )] решения задачи (1.1), (1.2) называется ζ(t, τ, 0, 0), где ζ(t, τ, z, u) - симметричное по переменным t, τ решение уравнения (8.3), удовлетворяющее условию (8.5). Запишем уравнение (8.3) при τ = t0. ∂ζ(t, t0,z,u) = iA ∂ζ(t, t0,z,u) ( δpy(t0,u) T . (8.5) - ∂t ∂z - i δu(t) Задача (8.3), (8.5) имеет вид задачи (4.1), (4.2). Решение находим по формуле (4.3): ⎛ ( t ⎞T ⎛ rt ⎞ rt n n δpy t0, zI - iA r a(ξ)dξ, u ζ(t, t0, z, u)= ψ ⎝zI - iA t0 δpy 0 a(ξ)dξ, u⎠ E[x0xT ] - i t0 ⎜ ⎜ ⎜ j=1 k=1 ⎝ s δu(s) ⎟ ⎟ ejkds. ⎟ ⎠ jk Здесь δu jk - элементы матрицы с индексами jk, ejk = 0 при j /= k, и ejj = 1. Поскольку ζ симметрично по двум первым переменным, то ⎛ ( τ ⎞T ⎛ τ r ζ(t0, τ, z, u)= ψ ⎝zI - iA ⎞ τ r a(ξ)dξ, u⎠ E[x0xT ] - i n δpy ⎜ t0, zI - iA r s a(ξ)dξ, u ⎟ ejkds. 0 t0 t0 ⎜ j=1 ⎝ δu(s) ⎟ ⎠ jk (8.6) Задача (8.3), (8.6) имеет вид задачи (4.1), (4.2). По формуле (4.3) находим ⎛ rt ζ(t, τ, z, u)= ψ ⎝zI - iA t0 t r a(ξ)dξ - iA s ⎞ 0 a(ξ)dξ, u⎠ E[x0xT ] - О СИСТЕМЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 631 ⎛ I τ t \ ⎞T τ n n r δpy ⎜ t0, zI - iA r a(ξ)dξ - iA r a(ξ)dξ, u ⎟ ⎜ i - ⎜ ⎝ t j=1 k=1 ⎜ 0 s t0 δu(s) ⎛ ( ⎟ ⎟ ejk ds - ⎟ ⎠ jk t ⎞T t δ y s, zI - iA r a(ξ)dξ, u r n n p ⎜ ⎟ - i ⎜ ⎜ t0 j=1 k=1 ⎝ s δu(s) ⎟ ⎟ ejkds. (8.7) ⎠ jk Подставляя (5.1) в (8.7), получаем другое представление для ζ: ⎛ rt ζ(t, τ, z, u)= ψ ⎝zI - iA t0 t r a(ξ)dξ - iA s ⎞ 0 a(ξ)dξ, u⎠ E[x0xT ] - ⎛ I τ t \ ⎞T τ δpψ n n r ⎜ zI - iA r a(ξ)dξ - iA r a(ξ)dξ, u E[x0] ⎟ ⎜ i - ⎜ ⎝ t j=1 k=1 ⎜ 0 s t0 δu(s) ⎟ ⎟ ejkds - ⎟ ⎠ jk ⎛ I t τ \ ⎞T rt n n ⎜ δpψ zI - iA r a(ξ)dξ - iA r a(ξ)dξ, u E[x0] ⎟ ⎜ i - ⎜ ⎝ t j=1 k=1 ⎜ 0 s t0 δu(s) ⎛ I t ⎟ ⎟ ejkds - ⎟ ⎠ jk τ \ ⎞T t τ δ2ψ zI - iA r a(ξ)dξ - i r a(ξ)dξ, u r r n n ⎜ p o μ ⎟ - dσ t0 t0 ⎜ ⎜ ⎝ j=1 k=1 ⎜ δu(μ)δu(σ) ⎟ ⎟ ejkdμ. (8.8) ⎟ ⎠ jk Отметим, что ζ симметрично по переменным t, τ. Теорема 8.1. Если ψ - аналитическая функция переменной z на R, имеющая две вариационные производные по переменной u, то вторая моментная функция имеет вид ⎛ rt E[x(t)xT (τ )] = ψ ⎝-iA t0 t r a(ξ)dξ - iA s ⎞ 0 a(ξ)dξ, 0⎠ E[x0xT ] - ⎛ ⎛ I τ t \ ⎞T ⎜ τ n n δpy t0, -iA r a(ξ)dξ - iA r a(ξ)dξ, u ⎜ ⎜ r ⎜ - ⎜ ⎜ i ⎜ ⎜ j=1 k=1 ⎜ s t0 δu(s) ⎟ ⎟ ⎟ ejk ds - ⎟ ⎝ t0 ⎝ ⎠ jk ⎛ ( t ⎞T ⎞ t δ y s, -iA r a(ξ)dξ, u r n n p ⎜ ⎟ ⎟ - i , ⎜ ⎜ t0 j=1 k=1 ⎝ s δu(s) ⎟ ejk ds⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ jk u=0 632 В. Г. ЗАДОРОЖНИЙ, Г. С. ТИХОМИРОВ ⎛ ⎛ t r rt ⎞ E[x(t)xT (τ )] = ⎝ψ ⎝-iA t0 a(ξ)dξ - iA s 0 a(ξ)dξ, u⎠ E[x0xT ] - ⎛ I τ t \ ⎞T τ n n r δpψ ⎜ -iA r a(ξ)dξ - iA r a(ξ)dξ, u E[x0] ⎟ ⎜ i - ⎜ ⎝ t j=1 k=1 ⎜ 0 s t0 δu(s) ⎟ ⎟ ejkds - ⎟ ⎠ jk ⎛ I t τ \ ⎞T rt n n ⎜ δpψ -iA r a(ξ)dξ - iA r a(ξ)dξ, u E[x0] ⎟ ⎜ i - ⎜ ⎝ t j=1 k=1 ⎜ 0 s t0 δu(s) ⎛ I t ⎟ ⎟ ejkds - ⎟ ⎠ jk τ \ ⎞T ⎞ t τ δ2ψ -iA r a(ξ)dξ - i r a(ξ)dξ, u r r n n ⎜ p σ μ ⎟ ⎟ - dσ t0 t0 ⎜ ⎜ ⎝ k=1 j=1 ⎜ δu(μ)δu(σ) ⎟ ejk dμ ⎟ . ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ jk u=0 Доказательство. Согласно определению E[x(t)xT (τ )] = ζ(t, τ, 0, 0). Подставляя в (8.7), (8.8) z = 0, u = 0, находим E[x(t)xT (τ )]. 9. Заключение В работе получены явные формулы (5.3), (5.4) для математического ожидания решения задачи (1.1), (1.2), формулы для нахождения смешанных моментных функций E[x(t)ε], E[x(t)f T (ξ)] и формула (4.3) решения задачи Коши для линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка (4.1), (4.2). Более сложным оказывается получение формулы для второй моментной функции E[x(t)xT (τ )] решения задачи (1.1), (1.2). Заметим, что рассматриваемая система является линейной, поэтому устойчивость решений эквивалентна устойчивости нулевого решения линейной однородной системы, см. [2, с. 136]. Если ε = 1, то система в примере устойчива по Ляпунову (поскольку спектр матрицы A лежит на мнимой оси и нет кратных собственных значений, см. [8]). Из формы математического ожидания решения (8.1) E[x(t)] = ( cos mτ 2 sin mτ 2 - sin mτ 2 cos mτ 2 ⎛ exp(- ⎜ ⎝ σ2t4 2 ) 0 σ2t4 ⎞ ⎟ ( x10 . ⎠ x20 0 exp(- 2 ) Отсюда следует, что математическое ожидание E[x(t)] стремится к нулю при t → +∞, т. е. имеет место асимптотическая устойчивость в среднем (см. [10, с. 231]) системы со случайным фактором ε. Таким образом, в данном примере случайные факторы оказывают стабилизирующее влияние на систему.

Об авторах

В. Г. Задорожний

Воронежский государственный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: zador@amm.vsu.ru
Воронеж, Россия

Г. С. Тихомиров

Воронежский государственный университет

Email: tgs.gami@bk.ru
Воронеж, Россия

Список литературы