Построение плоских векторных полей с непростой особой точкой заданной топологической структуры

Полный текст

Введение Векторное поле v = {P (x, y), Q(x, y)} связано с соответствующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) x˙ = P (x, y), y˙ = Q(x, y), (1.1) и наоборот. Поэтому построение векторного поля v с требуемыми свойствами по существу является обратной задачей качественной теории ОДУ и предполагает восстановление уравнений (1.1) из их фазового портрета заданной топологической структуры. Топологическая структура векторного поля класса C0 полностью определяется набором его особых орбит (а именно, особых точек, сепаратрис и предельных циклов), их типами и взаимным расположением [9]. В частности, эта информация может быть представлена как: 1. набор интегральных кривых [6]; 2. набор простых особых точек заданных типов (седла, фокусы, узлы) [1]; 3. набор предельных циклов заданных типов [2]; 4. непростая критическая точка со своими сепаратрисами заданных типов [13]; 5. набор всех особых орбит, топологическая структура которых задана в некоторой ограниченной области фазовой плоскости [3, 17, 18]. Примерами таких задач являются обратные задачи классической механики, а именно: задача Ньютона об определении сил, под действием которых планеты движутся по законам Кеплера [14]; задача Бертрана о нахождении позиционной силы, заставляющей частицу двигаться по коническому сечению вне зависимости от начальных условий этой частицы [11]; задача Суслова о поиске силовой функции, при которой голономная система с n степенями свободы имеет n - 1 заданных независимых интегралов [8]; задача Мещерского - обратная задача динамики частицы с переменной массой, заключающаяся в нахождении закона изменения массы для обеспечения требуемой траектории и заданного закона движения частицы по этой траектории [7]; и другие проблемы, рассмотренные в [4]. В дальнейшем заметный рост интереса к обратным задачам теории ОДУ был вызван потребностями теории управления, когда к требованию существования заданных фазовых орбит добавились требования устойчивости, оптимальности и другие свойства движений управляемых систем [5]. В работе рассматривается построение плоских векторных полей, компоненты которых являются однородными полиномами одинаковой степени, а фазовые портреты которых имеют только одну изолированную непростую особую точку с сепаратрисами заданных типов. Известные решения этой задачи предполагают построение рациональной дроби, представляющей собой разность наклонов искомого векторного поля и центрального векторного поля с центром в особой точке. Набор нулей этой дроби и их свойства должны соответствовать заданному набору сепаратрис и их типам. Такой подход, обратный методу раздутия для исследования особых точек системы (1.1), можно охарактеризовать как алгебраический. Целью данной статьи является представление другого метода, основанного на использовании скалярных и векторных произведений искомого и указанного выше центрального векторных полей, причем последнее является векторным полем направлений сравнения. Такой подход можно назвать геометрическим, и его главной особенностью является возможность использовать любое векторное поле класса C0 в качестве векторного поля направлений сравнения. Это позволяет строить векторные поля любой топологической структуры, приемлемой для векторных полей этого класса (случай, указанный выше в пункте (5)). В данной статье геометрический подход применяется для решения задач указанного в заглавии типа. 2. Постановка основной задачи Построим векторные поля v = {P (x, y), Q(x, y)}, удовлетворяющие следующим требованиям: 1. компоненты P (x, y) и Q(x, y) являются однородными полиномами одинаковой степени, причем P (x, y)2 + Q(x, y)2 ×= 0 за исключением случая x = y = 0; 2. топологическая структура фазового портрета определяется: 1. по заданному набору его интегральных прямых Λi : ωi(x, y) ≡ aix + biy = 0 (i = 1, m); (2.1) 2. по заданным типам сепаратрис Lij (i = 1, m, j = 1, 2), лежащих на соответствующих прямых Λi: Λi = Li1 ∪ {O}∪ Li2 (i = 1, m), где O(0; 0) - особая точка. Замечание 2.1. Поскольку векторное поле v = {P (x, y), Q(x, y)} связано с системой дифференциальных уравнений (1.1), поставленная задача идентична задаче построения правых частей P (x, y), Q(x, y) этих уравнений, фазовый портрет которых удовлетворяет требованиям пунктов (i) и (ii). Таким образом, мы можем использовать результаты [6, 10, 12] для обоснования приведенного ниже решения поставленной задачи. 3. Предварительные замечания и предположения Согласно [10], существует четыре типа сепаратрис особых точек, а именно: параболическая, гиперболическая, параболическая слева и параболическая справа. Последние два типа называются смешанными. ПОСТРОЕНИЕ ПЛОСКИХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ С НЕПРОСТОЙ ОСОБОЙ ТОЧКОЙ 577 Обозначим через K(θ) открытый сектор, ограниченный сепаратрисой L и лучом, исходящими из начала координат O и образующими угол θ, отсчитываемый от L с учетом знака. Тогда сепаратрису L можно назвать параболической справа (соответственно, слева), если существует θ > 0 такое, что для всех орбит в K(-θ) (соответственно, K(θ)) сепаратриса L является касательной в особой точке, а для орбит в K(θ) (соответственно, K(θ)) не является. Очевидно, что типы смежных сепаратрис Lij и Li+1,j критической точки (i = 1, m; j = 1, 2; Lm+1,1 = L12, Lm+1,2 = L11) определяют тип ограничиваемого ими сектора Sij. Эти секторы могут быть гиперболическими, эллиптическими, параболическими справа и параболическими слева. В частности, сектор Sij называется параболическим справа (соответственно, слева), если при достаточно малом θ > 0 для всех орбит в Kij (θ) (соответственно, Ki+1,j (-θ)) сепаратриса Lij (соответственно, Li+1,j ) является касательной в особой точке O, а все орбиты в Ki+1,j (-θ) (соответственно, Kij (θ)) не имеют касательной в точке O. Приведенная выше классификация сепаратрис и секторов используется в дальнейшем для формулировки требований подпункта (b) в разделе 2. Замечание 3.1. Для любого векторного поля рассматриваемого типа все лучи, исходящие из критической точки O, являются изоклинами. Поэтому топологическая структура такого векторного поля и соответствующей системы (1.1) полностью определяется по следующим данным: 1. совокупность сепаратрис, лежащих в какой-либо полуплоскости, с началом O, находящимся на границе; 2. типы этих сепаратрис; 3. направления векторного поля на этих сепаратрисах; 4. четность степени особенности в O(0; 0) (т. е. четность степени P (x, y) и Q(x, y), см. [15]). Замечание 3.2. Свойства фазового портрета (2)-(4) в замечании 3.1 могут быть выражены в аналитической форме с помощью скалярного r · v и векторного r × v произведений, где вектор положения точки фазовой плоскости r = {x, y, 0} и v = {P, Q, 0} даны в правой прямоугольной системе координат Oxyz. Предположение 3.1. Пусть полуплоскость, упомянутая в пункте (1) замечания 3.1, ограничена осью y и включает в себя все точки (x, y) с неотрицательными абсциссами. Тогда предположим, что: 5. сепаратрисы L11 и L12 - отрицательная и положительная полуоси оси y соответственно, т. е. y|L11 < 0 и y|L12 > 0; 6. сепаратрисы Li1 и Li2 находятся справа и слева от оси y соответственно, т. е. x|Li1 > 0 и x|Li2 < 0 (i = 2, m); 7. Sik обозначает открытый сектор, ограниченный соседними сепаратрисами Lik и Li+1,k (i = 1, m; k = 1, 2), где Lm+1,1 = L12 и Lm+1,2 = L11. Предположение 3.2. Предположим для определенности и удобства, что Из (3.1) следует, что 8. Λ1 совпадает с осью y; a1 > 0, b1 = 0, bi 0 (i = 2,m), aibi+1 - ai+1bi > 0 (i = 1,m - 1). (3.1) 9. числа u2, u3,... , um, где ui = -ai/bi, образуют возрастающую последовательность, определяющую расположение прямых Λ1,... , Λm относительно друг друга. Предположение 3.3. В силу пункта (1) замечания 3.1 не будет неоднозначности, если в дальнейшем для простоты мы будем опускать второй индекс k во всех обозначениях Lik и Sik (i = 1, m), а L12 обозначать как Lm+1. 4. Решение задачи 1. В соответствии с (2.1) ni = {ai; bi; 0} является нормалью соответствующей сепаратрисы Li (i = 1, m). Тогда ее вектор направления τi = {bi; -ai; 0} есть векторное произведение τi = ni × k (i = 1, m), (4.1) 578 С. В. ВОЛКОВ где k = {0; 0; 1} - единичный вектор направления оси z. Учитывая уравнения сепаратрис (2.1), мы можем, согласно [6], представить искомое векторное поле следующим образом: - v = (-1)α1 λ1ω2 · ... · ωm τ1 + ... + (-1)αm λmω1 · ... · ωm 1 τm , (4.2) где αi = 1, 2 и λi - однородные полиномы s-й степени, положительные на соответствующей выколотой прямой Λi: ∂eg λi = s (s = 0, 1, 2, 3,.. .), λi|Λi\{0} > 0 (i = 1, m). (4.3) (x,y) 2. Требования пункта (3) в замечании 3.1 могут быть легко удовлетворены соответствующим выбором αi в (4.2). Это сразу следует из вида αi v|Li = (-1) λi m j=1 j×=i ωj |Li · τi который принимает равенство (4.2) на соответствующей сепаратрисе Li (i = 1, m). 3. Чтобы сформулировать условия, обеспечивающие искомые типы секторов Si в терминах скалярных и векторных произведений векторов r и v, сначала заметим, что r × τi = r × ( ni × k) = -ωi k (i = 1, m). (4.4) Тогда для вектора (4.2) получим где r × v = -λω1 ... ωm k, (4.5) λ = (-1)α1 λ1 + ... + (-1)αm λm. (4.6) Теперь мы можем сформулировать следующие утверждения. Утверждение 4.1. Сектор Si является параболическим справа, если (a) (λω1 ... ωm)|Si < 0 и ( r · v)|Li > 0, ( r · v)|Li+1 > 0 (рис. 1, 1.a); либо (b) (λω1 ... ωm)|Si > 0 и ( r · v)|Li < 0, ( r · v)|Li+1 < 0 (рис. 1, 1.b). Утверждение 4.2. Сектор Si является параболическим слева, если (a) (λω1 ... ωm)|Si < 0 и ( r · v)|Li < 0, ( r · v)|Li+1 < 0 (рис. 1, 2.a); либо (b) (λω1 ... ωm)|Si > 0 и ( r · v)|Li > 0, ( r · v)|Li+1 > 0 (рис. 1, 2.b). Утверждение 4.3. Сектор Si является гиперболическим, если (a) (λω1 ... ωm)|Si < 0 и ( r · v)|Li < 0, ( r · v)|Li+1 > 0 (рис. 1, 3.a); либо (b) (λω1 ... ωm)|Si > 0 и ( r · v)|Li > 0, ( r · v)|Li+1 < 0 (рис. 1, 3.b). Утверждение 4.4. Сектор Si является эллиптическим, если (a) (λω1 ... ωm)|Si < 0 и ( r · v)|Li > 0, ( r · v)|Li+1 < 0 (рис. 1, 4.a); либо (b) (λω1 ... ωm)|Si > 0 и ( r · v)|Li < 0, ( r · v)|Li+1 > 0 (рис. 1, 4.b). 4. Чтобы доказать утверждения 4.1-4.4, мы применим технику Фроммера [12] для изучения особых точек дифференциального уравнения dy Q(x, y) = dx P (x, y) , (4.7) соответствующего рассматриваемому векторному полю. В соответствии с этим сначала подставим y = u(x) · x в равенство (4.7), что приводит к уравнению Q(1, u) xu∗ = ϕ(u), где ϕ = P (1, u) - u. (4.8) ПОСТРОЕНИЕ ПЛОСКИХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ С НЕПРОСТОЙ ОСОБОЙ ТОЧКОЙ 579 Рис. 1. Зависимость типа сектора особой точки от взаимных направлений векторов v и r × v: (1.а) и (1.б) для секторов, параболических справа; (2.а) и (2.б) для секторов, параболических слева; (3.а) и (3.б) для гиперболических секторов; (4.а) и (4.б) для эллиптических секторов. Fig. 1. Dependence of the sector type of critical point on the mutual directions of the vectors v and r × v: (1.a) and (1.b) for sectors parabolic on the right; (2.a) and (2.b) for sectors parabolic on the left; (3.a) and (3.b) for hyperbolic sectors; (4.a) and (4.b) for elliptic sectors. 580 С. В. ВОЛКОВ Вещественные корни ϕ(u) = 0 дают конечные наклоны сепаратрис. Далее, чтобы узнать, существуют ли сепаратрисы, лежащие на оси y, мы должны подставить x = w(y) · y в (4.7) и рассмотреть полученное уравнение yw∗ = ψ(w), где ψ(w) = P (w, 1) Q(w, 1) - w. (4.9) Если ψ(0) ×= 0, то не существует сепаратрис, в противном случае сепаратрисы существуют. Таким образом, для вектора (4.2) с компонентами m m m m P (x, y) = ,(-1)αj λjbj ωk, Q(x, 1) = ,(-1)αj λj (-aj ) ωk (4.10) мы имеем j=1 m k=1 k×=j j=1 m k=1 k×=j λ(1, u) bj (u - uj ) λ(w, 1) aj (w - wj ) ϕ(u) = - j=2 , ψ(w) = P (1, u) j=1,j×=k (4.11) Q(w, 1) в равенствах (4.8) и (4.9), соответственно, где k таково, что ak = 0, m m P (1, u) = ,(-1)αj λj (1, u)bj bk (u - uk), (4.12) j=2 m k=2 k×=j m Q(w, 1) = ,(-1)αj λj (w, 1)(-aj ) ak (w - wk ) (4.13) j=1 k=1 k×=j для P и Q из (4.10). Из равенств (4.11)-(4.13) следует, что ϕ(ui) = 0, P (1; ui ) ×= 0 (i = 2, m), ψ(0) = 0, Q(0; 1) ×= 0. Следовательно, Li,k (i = 1, m; k = 1, 2) - сепаратрисы особой точки O векторного поля (4.2) (см. [10, 12]). Согласно [10, 12], тип сепаратрисы Li (i = 2, m) зависит от поведения производной ϕ∗(u) в соответствующей достаточно малой проколотой окрестности (ui - ε, ui) ∪ (ui, ui + ε), где ε> 0. Предложение 4.1. Если ϕ∗(u) > 0 (соответственно, < 0) при u ∈ (ui - ε, ui) ∪ (ui + ε, ui), то соответствующая сепаратриса Li является параболической (соответственно, гиперболической). Предложение 4.2. Если ϕ∗(u) > 0 (соответственно, < 0) при u ∈ (ui - ε, ui) и ϕ∗(u) < 0 (соответственно, > 0) при u ∈ (ui, ui + ε), то сепаратриса Li является параболической справа (соответственно, слева). Аналогично, тип сепаратрисы L1 определяется свойствами знака ϕ∗(w) в достаточно малой окрестности точки w = 0. 5. В этом подразделе мы применим предложения 4.1 и 4.2 для доказательства утверждений 4.1-4.4. В случае пункта (а) в утверждении 4.1: 1. из неравенства (λω1 · ... · ωm)|Si < 0 (i = 2,m - 1) следует, что 1 xm+s · I m λ j=1 \ ωj y=ux = λ(1, u) m j=2 bj (u - uj ) является убывающей функцией от u на (ui, ui + ε) и возрастающей на (ui+1 - ε, ui+1) при достаточно малом ε > 0 и любом x > 0; ПОСТРОЕНИЕ ПЛОСКИХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ С НЕПРОСТОЙ ОСОБОЙ ТОЧКОЙ 581 2. из неравенств ( r · v)|Li > 0 и ( r · v)|Li+1 > 0 следует, что P (1, ui) > 0, P (1, ui+1) > 0, а значит, по построению v в равенстве (4.2) sign P (1, uj ) = sign ( r · v)|Lj (j = 2, m). Из (i) и (ii) получаем, что ϕ∗(ui + 0) > 0 и ϕ∗(ui+1 - 0) < 0 для ϕ(u) из (4.11). Следовательно, по предложениям 4.1 и 4.2 сектор Si является параболическим справа (рис. 1, 1.a). В пунктах (a) и (b) утверждения 4.1 соответствующие неравенства отличаются друг от друга только знаками неравенств. Это означает, что ϕ∗(ui + 0) одна и та же в обоих случаях, а значит, и ϕ∗(ui+1 - 0). Следовательно, в обоих случаях сектор Si является параболическим (рис. 1, 1.a и 1.b). Для установления типа сектора S1 сначала заметим, что m ⎛ m ⎞ λ · n ωj λ(w, 1) · a (w - w ) j j ⎜ j=1 ⎟ j=1,j×=k ⎜ · ⎜ r v ⎝ ⎟ ⎟ ⎠ x=wy Q(w, 1) + wP (w, 1) = , (4.14) где k-й множитель в правой части следует опустить, если соответствующее ak = 0. Из равенства (4.14) следует, что если выполняются условия утверждения 4.1, то ψ(w) из (4.11) является убывающей функцией w на всем интервале (-w2, -w2 + ε) и возрастающей функцией на всем (-ε, 0), где w2 = 1/u2 и ε - достаточно малое положительное число. Следовательно, ψ∗(-w2 + 0) < 0 и ψ∗(0 - 0) > 0. Тогда, согласно предложениям 4.1 и 4.2, сектор S1 является параболическим справа. Аналогично можно доказать утверждение 4.1 для сектора Sm. Таким образом, утверждение 4.1 полностью доказано. Аналогичное доказательство работает для утверждений 4.2-4.4. Замечание 4.1. Задача, поставленная в разделе 2, допускает бесконечно много решений, так как существует бесконечно много наборов λi (i = 1, m) в (4.6), удовлетворяющих тем же требованиям пунктов (i) и (ii) из раздела 2. Это следует из утверждений 4.1-4.4, где на типы секторов Si (i = 1, m) влияет только знак λ, а не его величина. 6. Пусть C - окружность с центром в начале координат O, Ci - ее дуга, проведенная между двумя соседними сепаратрисами, ограничивающими сектор Si, βi - угол, опирающийся в начале координат на Ci, θ - угол, который векторное поле v образует с положительной полуосью x (i = 1, m). Если Δθi - это приращение θ, когда начало v обходит дугу Ci против часовой стрелки, то ⎧ βi, если сектор Si - параболический; Δϑi = ⎨ -π + βi, если сектор Si - гиперболический; ⎩ π + βi, если сектор Si - эллиптический. Доказательство равенства (4.15) использует рис. 1. (4.15) Плоское векторное поле v называется четным (соответственно, нечетным), если v(-x, -y) ↑↑ v(x, y) (соответственно, v(-x, -y) ↑↓ v(x, y)) при любых x и y. Тогда из (4.15) следует, что векторное поле рассматриваемого типа четно (соответственно, нечетно) тогда и только тогда, когда количество гиперболических и эллиптических секторов его фазового портрета в полуплоскости, ограниченной любой из прямых ωi = 0, нечетно (соответственно, четно). Этот факт следует учитывать при решении конкретных задач. 5. Примеры построения векторных полей Утверждения 4.1-4.4 позволяют свести решение основной задачи, поставленной в разделе 2, к подходящему выбору множителей λi (i = 1, m) в (4.2). В этом разделе рассматриваются некоторые примеры использования такого подхода. 582 С. В. ВОЛКОВ Рис. 2. Нечетные векторные поля Fig. 2. Odd vectors elds 1. Векторные поля с сепаратрисами несмешанного типа. Для получения векторных полей, фазовые портреты которых имеют сепаратрисы только несмешанного типа, достаточно ограничить выбор λi (i = 1, m) положительными константами. Тогда λ из (4.6) также постоянно, и поэтому каждое ωi (i = 1, m) входит в правую часть равенства (4.5) только в первой степени. 1. Построение нечетных векторных полей. Пример 5.1. Построить векторное поле с топологической структурой, заданной схемой (a) на рис. 2, и сепаратрисами Lik (i = 1, 4; k = 1, 2), лежащими на соответствующих прямых ω1 ≡ x = 0, ω2 ≡ x + y = 0, ω3 ≡ y = 0, ω4 ≡ -x + y = 0. (5.1) Решение. Используя направляющие векторы сепаратрис τ1 = {0; -1}, τ2 = {1; -1}, τ3 = {1; 0}, τ4 = {1; 1}, (5.2) мы представим в соответствии с [6] искомый вектор в виде v = λ1 τ1ω2ω3ω4 - λ2 τ2ω1ω3ω4 - λ3 τ3ω1ω2ω4 + λ4 τ4ω1ω2ω3, (5.3) где λi (i = 1, 4) - положительные константы, а знаки перед ними обеспечивают такие направления этого вектора на Li (i = 1, 4), как показано стрелками на схеме (a) рис. 2. Для v из (5.3) имеем r × v = -ω1ω2ω3ω4(λ1 - λ2 - λ3 + λ4) k. (5.4) Из (5.4) следует, что знак проекции r × v на ось z совпадает в секторе Si (i = 1, 4) с показанным внутри этого сектора на схеме (а) рис. 2, если λ = λ1 - λ2 - λ3 + λ4 < 0. В частности, λ1 = λ3 = λ4 = 1, λ2 = 2 удовлетворяют последнему неравенству и при подстановке в (5.3) дают искомый вектор v = τ1ω2ω3ω4 - 2 τ2ω1ω3ω4 - τ3ω1ω2ω4 + τ4ω1ω2ω3 (5.5) с компонентами Для этого вектора P = -2xy(-x + y) - x(x + y)(-x + y)+ (x + y)xy, Q = -(x + y)y(-x + y)+ 2xy(-x + y)+ x(x + y)y. (5.6) r × v = ω1ω2ω3ω4 k. (5.7) Утверждения 4.1-4.4 в сочетании с равенствами (5.5) и (5.7) приводят к результатам, согласующимся с топологической структурой, заданной схемой (a) на рис. 2. ПОСТРОЕНИЕ ПЛОСКИХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ С НЕПРОСТОЙ ОСОБОЙ ТОЧКОЙ 583 Рис. 3. Векторное поле (5.5). Рис. 4. Векторное поле (5.8). Fig. 3. Vector eld (5.5). Fig. 4. Vector eld (5.8). Чтобы получить векторное поле (5.5) в графической форме (рис. 3), можно использовать функцию fieldplot из пакета MAPLE plot, выполнив следующие команды: with(plots, implicitplot): P := (x, y) → -2 ∗ x ∗ y ∗ (-x + y) - x ∗ (x + y) ∗ (-x + y)+ x ∗ (x + y) ∗ y; Q := (x, y) → -(x + y) ∗ y ∗ (-x + y)+ 2 ∗ x ∗ y ∗ (-x + y)+ x ∗ (x + y) ∗ y; F1 := fieldplot([P, Q], -2.0..2.0, -2.0..2.0, arrows = SLIM, fieldstrength = fixed); G1 := implicitplot(x + y = 0, x = -2.0..2.0, y = -2.0..2.0, style = line); G2 := implicitplot(-x + y = 0, x = -2.0..2.0, y = -2.0..2.0, style = line); G3 := implicitplot(x = 0, x = -2.0..2.0, y = -2.0..2.0, style = line); G4 := implicitplot(y = 0, x = -2.0..2.0, y = -2.0..2.0, style = line); display(F1, G1, G2, G3, G4, axes = boxed, scaling = constrained); Понятно, что использование функции fieldplot не является достаточной проверкой правильности аналитического решения, однако может быть полезно как вспомогательный инструмент обнаружения ошибок. Пример 5.2. Чтобы показать зависимость типов сепаратрис Li и секторов Si (i = 1, 4) от значений λ1,... , λ4, в примере 5.1 возьмем λ1 = 2, λ2 = λ3 = λ4 = 1. Тогда в (5.3) мы получим векторное поле с компонентами v = 2 τ1ω2ω3ω4 - τ2ω1ω3ω4 - τ3ω1ω2ω4 + τ4ω1ω2ω3 (5.8) P = -xy(-x + y) - x(x + y)(-x + y)+ (x + y)xy, Q = -2(x + y)y(-x + y)+ xy(-x + y)+ (x + y)xy и векторным произведением (5.9) r × v = -ω1ω2ω3ω4 k. (5.10) Согласно утверждениям 4.1-4.4, векторное поле (5.8) имеет топологическую структуру, соответствующую схеме (b) на рис. 2. Замечание 5.1. Векторные произведения (5.7) и (5.10) отличаются друг от друга только знаком. Следовательно: 1. векторные поля (5.5) и (5.8) имеют одинаковую совокупность сепаратрис; 584 С. В. ВОЛКОВ Рис. 5. Четные векторные поля Fig. 5. Even vector elds 2. сепаратриса, параболическая (соответственно, гиперболическая) для одного из этих векторных полей, является гиперболической (соответственно, параболической) для другого. Из пунктов (i) и (ii) следует, что (см. рис. 2): § гиперболический сектор векторного поля (5.5) является эллиптическим сектором векторного поля (5.8) и наоборот; § сектор, параболический справа для векторного поля (5.5), является параболическим слева для векторного поля (5.8) и наоборот. Выполняя программный код из примера 5.1 при условии, что в этом коде P и Q заменены их выражениями из (5.9), мы получаем графическое представление векторного поля (5.8) (см. рис. 4). 2. Построение четных векторных полей. Пример 5.3. Построить векторное поле с топологической структурой, заданной схемой (a) на рис. 5, с уравнениями соответствующих сепаратрис Li,k (i = 1, 5; k = 1, 2) Решение. Возьмем ω1 ≡ x = 0, ω2 ≡ x + y = 0, ω3 ≡ y = 0, ω4 ≡ -x + 2y = 0, ω5 ≡ -2x + y = 0. (5.11) τ1 = {0; -1}, τ2 = {1; -1}, τ3 = {1; 0}, τ4 = {2; 1}, τ5 = {1; 2} (5.12) в качестве направляющих векторов сепаратрис Li (i = 1, 5), соответственно. Тогда для получения искомого векторного поля v требуемых направлений на Li запишем (4.2) в виде v = -λ1 τ1ω2ω3ω4ω5 + λ2 τ2ω1ω3ω4ω5 + λ3 τ3ω1ω2ω4ω5 - λ4 τ4ω1ω2ω3ω5 - λ5 τ5ω1ω2ω3ω4. (5.13) Для этого вектора r × v = -(-λ1 + λ2 + λ3 - λ4 - λ5)ω1ω2ω3ω4ω5 k. (5.14) Из утверждений 4.1-4.4 следует, что типы секторов Si (i = 1, 5) векторного поля v из (5.13) согласуются с показанными на схеме (a) на рис. 5, если λ = -λ1 + λ2 + λ3 - λ4 - λ5 > 0. Например, полагая λ1 = λ4 = λ5 = 1, λ2 = λ3 = 2, мы удовлетворим последнее неравенство и в (5.13) получим v = - τ1ω2ω3ω4ω5 + 2 τ2ω1ω3ω4ω5 + 2 τ3ω1ω2ω4ω5 - τ4ω1ω2ω3ω5 - τ5ω1ω2ω3ω4. (5.15) ПОСТРОЕНИЕ ПЛОСКИХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ С НЕПРОСТОЙ ОСОБОЙ ТОЧКОЙ 585 Рис. 6. Векторное поле (5.13) Рис. 7. Векторное поле (5.18) Fig. 6. Vector eld (5.13) Fig. 7. Vector eld (5.18) В этом случае r × v = -ω1ω2ω3ω4ω5 k. (5.16) Проектируя равенство (5.15) на оси x и y, получим компоненты искомого векторного поля: P = 2xy(-x + 2y)(-2x + y)+ 2x(x + y)(-x + 2y)(-2x + y) - - 2x(x + y)y(-2x + y) - x(x + y)y(-x + 2y), Q = (x + y)y(-x + 2y)(-2x + y) - 2xy(-x + 2y)(-2x + y) - - x(x + y)y(-2x + y) - 2x(x + y)y(-x + 2y). Выполним следующий программный код в среде MAPLE: (5.17) with(plots, implicitplot); P := (x, y) → 2 ∗ x ∗ y ∗ (-x + 2 ∗ y) ∗ (-2 ∗ x + y)+ 2 ∗ x ∗ (x + y) ∗ (-x + 2 ∗ y) ∗ (-2 ∗ x + y) - 2 ∗ x ∗ (x + y) ∗ y ∗ (-2 ∗ x + y) - x ∗ (x + y) ∗ y ∗ (-x + 2 ∗ y); Q := (x, y) → (x + y) ∗ y ∗ (-x + 2 ∗ y) ∗ (-2 ∗ x + y) - 2 ∗ x ∗ y ∗ (-x + 2 ∗ y) ∗ (-2 ∗ x + y) - x ∗ (x + y) ∗ y ∗ (-2 ∗ x + y) - 2 ∗ x ∗ (x + y) ∗ y ∗ (-x + 2 ∗ y); F1 := fieldplot([P, Q], -2.0..2.0, -2.0..2.0, arrows = SLIM, fieldstrength = fixed); G1 := implicitplot(x + y = 0, x = -2.0..2.0, y = -2.0..2.0, style = line); G2 := implicitplot(-x + 2 ∗ y = 0, x = -2.0..2.0, y = -2.0..2.0, style = line); G3 := implicitplot(x = 0, x = -2.0..2.0, y = -2.0..2.0, style = line); G4 := implicitplot(y = 0, x = -2.0..2.0, y = -2.0..2.0, style = line); G5 := implicitplot(-2 ∗ x + y = 0, x = -2.0..2.0, y = -2.0..2.0, style = line); display(F1, G1, G2, G3, G4, G5, axes = boxed, scaling = constrained); и получим графическое представление векторного поля (5.13) (см. рис. 6). Пример 5.4. Чтобы еще раз обратить внимание на соотношение между типами сепаратрис и секторов двух векторных полей одного вида (5.13), для которых векторные произведения r × v различаются только знаками (см. замечание 5.1), положим λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = λ5 = 1 в (5.13). Таким образом, мы получим векторное поле v = - τ1ω2ω3ω4ω5 + τ2ω1ω3ω4ω5 + τ3ω1ω2ω4ω5 - τ4ω1ω2ω3ω5 - τ5ω1ω2ω3ω4 (5.18) 586 С. В. ВОЛКОВ с компонентами P = xy(-x + 2y)(-2x + y)+ x(x + y)(-x + 2y)(-2x + y) - - 2x(x + y)y(-2x + y) - x(x + y)y(-x + 2y), Q = (x + y)y(-x + 2y)(-2x + y) - xy(-x + 2y)(-2x + y) - - x(x + y)y(-2x + y) - 2x(x + y)y(-x + 2y) (5.19) и векторным произведением r × v = -ω1ω2ω3ω4ω5 k. (5.20) Учитывая направления v из (5.18) на Li (i = 1, 5) и знаки проекции ( r × v)z в Si (i = 1, 5), для r × v из (5.20) мы можем утверждать, что согласно утверждениям 4.1-4.4 векторное поле (5.18) имеет топологическую структуру, заданную схемой (b) на рис. 5. Результаты сравнения схем (a) и (b) на рис. 5 (или рис. 6 и 7) согласуются с замечанием 5.1. 2. Векторные поля с сепаратрисами смешанных типов. Если 1 s m для s в (4.3), то λ1,... , λm можно выбрать так, что λ = λ0ωi1 ωi2 ... ωis в (4.6), где λ0 - константа, а {i1,... , is} - s-элементное подмножество m-элементного множества {1, 2,... , m}. В этом случае правая часть в (4.5) содержит множители ω2 ,... , ω2 . Следовательно, i1 is 2 2 (u - uiq ) является множителем числителя ϕ(u) в (4.11), если ωiq ×≡ x, а (w - wiq ) - множитель числителя ψ(w) в (4.11), если ωiq ×≡ y, где q = 1, s. Следовательно, производные ϕ∗(u) и ψ∗(w) меняют знаки при соответствующих u = uiq и w = wiq (q = 1, s), соответственно. Таким образом, согласно предложению 4.2, Li1 ,... , Lis - сепаратрисы смешанного типа. 1. Векторные поля с двумя сепаратрисами смешанного типа. Предположим, что векторное поле v в (4.2) имеет только две сепаратрисы смешанного типа, лежащие на одной прямой ωq = 0, q ∈ {1, 2,... , m}. Пусть λi = λ¯iω¯i, ω¯i ≡ a¯ix + b¯iy (i = 1, m), (5.21) где λ¯i, a¯i, b¯i - константы, а λ¯i > 0. Тогда искомый вектор (4.2) принимает вид - v = (-1)α1 λ1 τ1ω2 ... ωmω¯1 + ... + (-1)αm λm τmω1 ... ωm 1ω¯m. В силу (4.4) для этого вектора если q r × v = -λ0ω1 ... ω2 ... ωm k, (5.22) (-1)α1 λ¯1ω¯1 + ... + (-1)αm λ¯mω¯m = λ0ωq, где λ0 - константа. Таким образом, построение искомого векторного поля сводится к решению системы уравнений (-1)α1 λ¯1a¯1 + ... + (-1)αm λ¯ma¯m = λ0aq, (-1)α1 λ¯1¯b1 + ... + (-1)αm λ¯m¯bm = λ0bq при положительных λ¯1,... , λ¯m. Утверждение 5.1. Пусть Mq (θ) = Kq (θ) ∪ Kq (-θ), где θ положительно для определенности. Тогда соответствующая сепаратриса Lq является параболической справа (соответственно, слева), если при достаточно малых θ (λ0ω1 ... ω2 ... ωm)| · ( r · v)|L > 0 (соответственно, < 0). q Mq (θ) q Для доказательства этого утверждения заметим, что векторному произведению r × v из (5.22) соответствует функция m q λ0b2(u - uq )2 bj (u - uj ) ϕ(u) = - j=2 j×=q (i = 2, m) P (1, u) ПОСТРОЕНИЕ ПЛОСКИХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ С НЕПРОСТОЙ ОСОБОЙ ТОЧКОЙ 587 Рис. 8. Векторные поля с сепаратрисами смешанных типов. Fig. 8. Vector elds with separatrices of mixed types. в (4.8) и ее производная m q 2λ0b2(u - uq ) bj (u - uj )+ o(u - uq ) Предположим, что ϕ∗(u) = - j=2 j×=q . (5.23) P (1, u) (λ0ω1 ... ω2 ... ωm)| > 0 и ( r · v)|L > 0 (5.24) q Mq (θ) q для малых положительных θ. Из (5.23) и (5.24) мы заключаем, что ϕ∗(u) > 0, если u ∈ (uq - ε; uq ), и ϕ∗(u) < 0, если u ∈ (uq ; uq + ε) для достаточно малых положительных ε. Следовательно, согласно предложению 4.2, сепаратриса Lq является параболической справа. Те же рассуждения применимы и к случаю с обратными знаками неравенства в (5.24). Таким же образом можно доказать утверждение 5.1 для q = 1, рассматривая ψ(w) в (4.9) в достаточно малой области M1(θ). Пример 5.5. Построим векторное поле с топологической структурой, показанной на схеме (а) рис. 8, с уравнениями сепаратрис ω1 ≡ x = 0, ω2 ≡ x + y = 0, ω3 ≡ y = 0, ω4 ≡ -x + y = 0. (5.25) Решение. Пусть τ1 = {0; -1}, τ2 = {1; -1}, τ3 = {1; 0}, τ4 = {1; 1} (5.26) - направляющие векторы соответствующих сепаратрис Li (i = 1, 4). Чтобы обеспечить требуемые направления искомого векторного поля v на Li (i = 1, 4), указанные стрелками на схеме (а) рис. 8, предположим, что v = -λ¯1 τ1ω2ω3ω4ω¯1 + λ¯2 τ2ω1ω3ω4ω¯2 - λ¯3 τ3ω1ω2ω4ω¯3 - λ¯4 τ4ω1ω2ω3ω¯4, (5.27) где λ¯i > 0, ω¯i ≡ a¯ix + ¯biy, ¯bi > 0 (i = 1, 4), (5.28) a¯i < - a¯i+1 (i = 1, 2, 3). (5.29) Поскольку для v из (5.27) - ¯bi ¯bi+1 r × v = (λ¯1ω¯1 - λ¯2ω¯2 + λ¯3ω¯3 - λ¯4ω¯4)ω1ω2ω3ω4 k, 588 С. В. ВОЛКОВ Рис. 9. Векторное поле из примера 5.5. Рис. 10. Векторное поле из примера 5.6. Fig. 9. Vector eld from Example 5.5. Fig. 10. Vector eld from Example 5.6. то требования к типам секторов Si (i = 1, 4) выполняются по утверждению 5.1, если λ¯1ω¯1 - λ¯2ω¯2 + λ¯3ω¯3 - λ¯4ω¯1 = -λ0ω4, где λ0 > 0. Заменяя ω4 и ω¯i (i = 1, 4) их явными выражениями (5.25) и (5.28) в последнем равенстве, сведем задачу к решению системы линейных уравнений λ¯1a¯1 - λ¯2a¯2 + λ¯3a¯3 + λ¯4a¯4 = λ0, λ¯1¯b1 - λ¯2¯b2 + λ¯3¯b3 + λ¯4¯b4 = -λ0 (5.30) для положительных значений λ¯i (i = 1, 4). В частности, при ω¯1 ≡ 2x + y, ω¯2 ≡ x + 2y, ω¯3 ≡ -x + 2y, ω¯4 ≡ -2x + y, (5.31) удовлетворяющих (5.28) и (5.29), система (5.30) принимает вид 2λ¯1 - λ¯2 - λ¯3 + 2λ¯4 = λ0, λ¯1 - 2λ¯2 + 2λ¯3 - λ¯4 = -λ0. Общее решение этой системы можно записать следующим образом: λ¯1 = 1 3 (3λ0 + 4λ¯3 - 5λ¯4), λ¯2 = 1 3 (3λ0 + 5λ¯3 - 4λ¯4). (5.32) 2 Чтобы получить частное решение, положим λ0 = λ¯3 = λ¯4 = 1. Далее, согласно (5.32), λ¯1 = , 3 4 λ¯2 = иско . Подставив такие λ0, λ¯i (i = 1, 4) и (5.25), (5.26), (5.31) в (5.27), получим компоненты 3 векторного поля: мого 4 P = 3 xy(y - x)(x + 2y) - x(x + y)y(y - x)(2y - x)+ x(x + y)y(y - 2x), 2 4 Q = 3 (x + y)y(y - x)(2x + y) - 3 xy(y - x)(x + 2y)+ x(x + y)y(y - 2x). Эти компоненты, предварительно умноженные на 3, используем в следующем программном коде: ПОСТРОЕНИЕ ПЛОСКИХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ С НЕПРОСТОЙ ОСОБОЙ ТОЧКОЙ 589 with(plots, implicitplot); P := (x, y) → 4 ∗ x ∗ y ∗ (-x + y) ∗ (x + 2 ∗ y) - 3 ∗ x ∗ (x + y) ∗ (-x + y) ∗ (-x + 2 ∗ y)+ 3 ∗ (x + y) ∗ x ∗ y ∗ (-2 ∗ x + y); Q := (x, y) → 2 ∗ (x + y) ∗ y ∗ (-x + y) ∗ (2 ∗ x + y) - 4 ∗ x ∗ y ∗ (-x + y) ∗ (x + 2 ∗ y)+ 3 ∗ x ∗ (x + y) ∗ y ∗ (-2 ∗ x + y); F1 := fieldplot([P, Q], -1.0..1.0, -1.0..1.0, arrows = SLIM, fieldstrength = fixed); G1 := implicitplot(x + y = 0, x = -1.0..1.0, y = -1.0..1.0, style = line); G2 := implicitplot(-x + y = 0, x = -1.0..1.0, y = -1.0..1.0, style = line); G3 := implicitplot(x = 0, x = -1.0..1.0, y = -1.0..1.0, style = line); G4 := implicitplot(y = 0, x = -1.0..1.0, y = -1.0..1.0, style = line); display(F1, G1, G2, G3, G4, axes = boxed, scaling = constrained); Выполнив этот код, получим векторное поле, показанное на рис. 9. 2. Векторные поля с четырьмя сепаратрисами смешанного типа. Пусть начало координат O разбивает две прямые (2.1), скажем, ωq = 0 и ωk = 0, на четыре сепаратрисы смешанного типа, а все остальные сепаратрисы - несмешанного типа. Для построения векторного поля с таким набором сепаратрис достаточно, в силу предыдущего, положить в (4.2) λi = λ¯i(ξix2 + 2ηixy + ζiy2), где λ¯i, ξi, ηi, ζi (i = 1, 4) - некоторые константы такие, что i λ¯i, ξi, ζi > 0, η2 - 4ξiζi < 0, λ = λ0ωqωk в (4.6). Пример 5.6. Построим векторное поле с топологической структурой, заданной схемой (b) на рис. 8, и сепаратрисами, заданными уравнениями (5.25). Решение. Во-первых, используя направляющие векторы (5.26) сепаратрис, мы представим искомое векторное поле в виде v = λ¯1 τ1ω2ω3ω4ω¯1 - λ¯2 τ2ω1ω3ω4ω¯2 - λ¯3 τ3ω1ω2ω4ω¯3 + λ¯4 τ4ω1ω2ω3ω¯4, (5.33) где ω¯i ≡ ξix2 + 2ηixy + ζiy2, i λ¯i, ξi, ζi > 0, η2 - 4ξiζi < 0 (i = 1, 4), (5.34) а λ¯i, ξi, ηi, ζi (i = 1, 4) - константы. Знаки, стоящие перед членами в правой части (5.33), выбраны так, что на сепаратрисе Li (i = 1, 4) вектор v имеет то же направление, что и соответствующая стрелка на схеме (b) на рис. 8. Далее с учетом (4.4) получаем r × v = -(λ¯1ω¯1 - λ¯2ω¯2 - λ¯3ω¯3 + λ¯4ω¯4)ω1ω2ω3ω4 k. (5.35) Предположим, что λ¯1ω¯1 - λ¯2ω¯2 - λ¯3ω¯3 + λ¯4ω¯4 = λ0ω2ω3, где λ0 > 0. (5.36) Тогда равенство (5.35) принимает вид r × v = -λ0ω1ω2ω2ω4 k, 2 3 где знак -λ0ω1ω2ω2ω4 внутри каждого из секторов Si (i = 1, 4) идентичен знаку, отмеченному в 2 3 этом секторе на схеме (b) рис. 8. Следовательно, согласно утверждениям 4.1-4.4 все эти сектора относятся к требуемым типам. Чтобы найти λ¯i, ξi, ηi, ζi, удовлетворяющие (5.36), заменим ωi и ω¯i в (5.35) их выражениями (5.25) и (5.34), соответственно: (λ¯1ξ1 - λ¯2ξ2 - λ¯3ξ3 + λ¯4ξ4)x2 + 2(λ¯1η1 - λ¯2η2 - λ¯3η3 + λ¯4η4)xy + + (λ¯1ζ1 - λ¯2ζ2 - λ¯3ζ3 + λ¯4ζ4)y2 = λ0[a2a3x2 + (a2b3 + b2a3)xy + b2b3y2]. (5.37) Приравнивая коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях равенства (5.37), получаем ⎧ ¯ ¯ ¯ ¯ ⎪⎨λ1ξ1 - λ2ξ2 - λ3ξ3 + λ4ξ4 = λ0a2a3, λ¯1η1 - λ¯2η2 - λ¯3η3 + λ¯4η4 = λ0(a2b3 + b2a3)/2, ⎪⎩λ¯1ζ1 - λ¯2ζ2 - λ¯3ζ3 + λ¯4ζ4 = λ0b2b3. 590 С. В. ВОЛКОВ Для упрощения этих равенств положим λ0 = λ¯1 = ... = λ¯4 = 1 и подставим a2 = 1, b2 = 1, a3 = 0, b3 = 1, согласно (5.25): ⎪ ⎧ξ1 ⎨ § ξ2 § ξ3 + ξ4 = 0, Частное решение η1 - η2 - η3 + η4 = 1/2, ⎪⎩ζ1 - ζ2 - ζ3 + ζ4 = 1. (5.38) η1 = η4 = 1/2, η2 = η3 = 1/4, ξ1 = ξ2 = ξ3 = ξ4 = 1, ζ1 = ζ2 = 1, ζ2 = ζ3 = 1/2 системы (5.38) удовлетворяет всем неравенствам (5.34) и соответствует ω¯1 ≡ x2 + xy + y2, ω¯2 ≡ x2 + 0,5xy + 0,5y2, (5.39) ω¯3 ≡ x2 + 0,5xy + 0,5y2, ω¯4 ≡ x2 + xy + y2. Подставляя (5.25), (5.26), (5.39) и λ¯i = 1 (i = 0, 4) в (5.33), получим искомое векторное поле v с компонентами P = -xy(y - x)(x2 + 0,5xy + 0,5y2) - - x(x + y)(y - x)(x2 + 0,5xy + 0,5y2)+ x(x + y)y(x2 + xy + y2), Q = -(x + y)y(y - x)(x2 + xy + y2)+ + xy(y - x)(x2 + 0,5xy + 0,5y2)+ x(x + y)y(x2 + 0,5xy + 0,5y2). (5.40) Графическое изображение этого векторного поля на рис. 10 получается выполнением программного кода из примера 5.5 при условии, что в этом коде P и Q заменены их выражениями из (5.40). m i Замечание 5.2. Если r × v = n ωαi и αi > 1, то соответствующая строка ωi = 0 разбивается, i=1 вообще говоря, на αi сепаратрис при сколь угодно малом возмущении компонент векторного поля. Таким образом, все сепаратрисы смешанного типа являются неустойчивыми элементами фазовых портретов и поэтому представляют меньший интерес для приложений, чем сепаратрисы несмешанного типа, соответствующие αi = 1. Замечание 5.3. Начало координат O является неустойчивой критической точкой для любого векторного поля рассматриваемого типа, если его степень сингулярности d 2. В этом случае даже малые гладкие возмущения компонент векторного поля расщепляют O на критические точки меньших степеней сингулярности (см. [15]). Все эти новые критические точки находятся в произвольно малой окрестности O, если возмущения достаточно малы. Это позволяет использовать результаты настоящей работы для построения математических моделей динамических систем при условии, что их свойства могут быть связаны со свойствами векторных полей, перечисленными в разделе 2. Реализация такой возможности демонстрируется в примере 6.1 в разделе 6. 6. Построение функций управления программируемым движением частицы на плоскости Предположим, что целью управляемого плоского движения частицы является ее движение со скоростями, образующими векторное поле v = {P (x, y), Q(x, y)} типа, описанного в разделе 2. Тогда соответствующие уравнения (1.1) можно рассматривать как параметры программируемого движения частицы и использовать для нахождения управляющих сил, реализующих это движение. Например, из уравнений d dt [x˙ - P (x, y)] = -μ[x˙ - P (x, y)], d dt [y˙ - Q(x, y)] = -μ[y˙ - Q(x, y)], (6.1) ПОСТРОЕНИЕ ПЛОСКИХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ С НЕПРОСТОЙ ОСОБОЙ ТОЧКОЙ 591 где μ - произвольная положительная функция, следует экспоненциальная сходимость x˙ и y˙ к их программным значениям P и Q при t → +∞. Из (6.1) мы получаем компоненты ускорения r¨: x¨ = 1 ∂P (x, y) ∂x 1 - μ x˙ + ∂P (x, y) ∂y y˙ + μP (x, y), y¨ = ∂Q(x, y) ∂x x˙ + 1 ∂Q(x, y) ∂y 1 - μ y˙ + μQ(x, y). (6.2) Подставляя этот вектор в уравнение динамики M r¨ = F ( r, r˙) (6.3) частицы массы M, мы находим искомую управляющую силу F (t, r, r˙). Пример 6.1. Предположим, что частица единичной массы начинает свое движение в плоскости Oxy при следующих начальных условиях: x(0) = x0i, y(0) = y0i, x˙ (0) = 0, y˙(0) = 0, (6.4) где (x0i, y0i) - точка соответствующего сектора Si (i = 1, 2, 3, 4) фазового портрета, приведенного в примере 5.1 (схема (а) на рис. 2). Найдем силу, действующую на частицу так, чтобы ее скорость образовывала векторное поле с тем же набором сепаратрис и топологической структурой, что и в примере 5.1. Решение. В этих условиях векторное поле (5.5) можно рассматривать как поле программируемых скоростей частиц. Поэтому замена P и Q в (6.2) их выражениями из (5.6) дает компоненты искомой силы, поскольку M = 1: Fx = (6xy - 2y2 + 3x2 - μ)x˙ + (3x2 - 4xy)y˙ - μ(3x2y + 2xy2 - x3), Fy = 3y2x˙ + (-3y2 + 6xy - μ)y˙ - μ(y3 - 3xy2). (6.5) Для проверки этого решения можно взять некоторую точку (x0i, y0i) в каждом из секторов Si (i = 1, 4) в качестве начального положения частицы и проинтегрировать уравнения (6.5) численно, комбинируя процедуру Iter Iter := proc(x, y, n :: integer, m, h) local Itv, Itc, i, w1, w2, u, v; Itv := array(1..n, 1..2); Itc := array(1..n, 1..2); Itv[1, 1] := 0; Itv[1, 2] := 0; Itc[1, 1] := x; Itc[1, 2] := y; w1 := -m ∗ x ∗ (3 ∗ x ∗ y + 2 ∗ y2 - x2); w2 := -m ∗ y2 ∗ (y - 3 ∗ x); for i from 2 to n do Itv[i, 1] := Itv[i - 1, 1]+ w1 ∗ h; Itv[i, 2] := Itv[i - 1, 2]+ w2 ∗ h; Itc[i, 1] := Itc[i - 1, 1]+ Itv[i - 1, 1] ∗ h + (1/2) ∗ w1 ∗ h2; Itc[i, 2] := Itc[i - 1, 2]+ Itv[i - 1, 2] ∗ h + (1/2) ∗ w2 ∗ h2; u := Itc[i, 1]; v := Itc[i, 2]; w1 := (6 ∗ u ∗ v - 2 ∗ v2 + 3 ∗ u2 - m) ∗ Itv[i, 1]+ (3 ∗ u2 - 4 ∗ u ∗ v) ∗ Itv[i, 2] - m ∗ (-3 ∗ u2 ∗ v + 2 ∗ u ∗ v2 - u3); w2 := 3 ∗ v2 ∗ Itv[i, 1]+ (-3 ∗ v2 + 6 ∗ u ∗ v - m) ∗ Itv[i, 2] - m ∗ (v3 - 3 ∗ u ∗ v2) end do; eval(Itc); convert(Itc, matrix) end proc; с функцией pointplot пакета MAPLE, т. е.: Ai := Iter(x0i, y0i, n, m, h); with(plots); pointplot(Ai, symbol = point); В частности: 592 С. В. ВОЛКОВ Рис. 11. Кривая, исходящая из M01 Рис. 12. Кривая, исходящая из M02 Fig. 11. Curve emanating from M01 Fig. 12. Curve emanating from M02 § для точки M01(0,26; -0,96) в S1, выполнив код A1 := Iter(.26, -.96, 5650, 2, 0.1e - 1); with(plots); pointplot(A1, symbol = point); получим график кривой, изображенный на рис. 11; § для точки M02(0,86; -0,6) в S2, выполнив код A2 := Iter(.86, -.6, 1785, 2, 0.1e - 1); with(plots); pointplot(A2, symbol = point); получим график кривой, изображенный на рис. 12; § для точки M03(0,0086; 0,005) в S3, выполнив код A3 := Iter(0.86e - 2, 0.5e - 2, 17150, 10, .2); with(plots); pointplot(A3, symbol = point); получим график кривой, изображенный на рис. 13; § для точки M04(0,3; 0,42) в S4, выполнив код A4 := Iter(0.3, 0.42, 19650, 2, 0.01); with(plots); pointplot(A4, symbol = point); получим график кривой, изображенный на рис. 14. Полученные таким образом кривые, их форма и расположение относительно сепаратрис согласуются с заданным поведением управляемой частицы в секторах Si (i = 1, 4). Замечание 6.1. Пусть в классической задаче двух тел одно тело является управляемым спутником с массой M, пренебрежимо малой по сравнению с массой другого тела, которое является точкой, находящейся в начале координат O инерциальной системы отсчета Oxy. Если программа относительного движения спутника задана в виде векторного поля скорости типа, указанного в разделе 2, то разница между уравнением (6.3) и уравнением относительного движения двух тел (см. [16, пункт 8.2]) M r¨ = - μ r + F (6.6) дает управляющую силу r3 c μ F c = F + r, μ = const > 0. (6.7) r3 ПОСТРОЕНИЕ ПЛОСКИХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ С НЕПРОСТОЙ ОСОБОЙ ТОЧКОЙ 593 Рис. 13. Кривая, исходящая из M03 Рис. 14. Кривая, исходящая из M04 Fig. 13. Curve emanating from M03 Fig. 14. Curve emanating from M04 Таким образом, объединяя уравнения (6.6) и (6.7), получим математическую модель управляемого движения спутника в плоскости Oxy. Характер этого движения зависит от типа сектора, в котором находится спутник.

Об авторах

С. В. Волков

Российский университет дружбы народов

Автор, ответственный за переписку.
Email: volkov-sv@rudn.ru
Москва, Россия

Список литературы