Сингулярные краевые задачи для квазилинейных уравнений со смешанной реакцией-диффузией

Полный текст

Введение Пусть Ω ⊂ RN - ограниченная область в C2, p > 1, 1 < q < 2 и M > 0. Мы получим некоторые результаты, касающиеся сингулярного граничного поведения положительных функций, удовлетворяющих в Ω уравнению p Lp,q,M u := -Δu + u q - M |∇u| = 0. (1.1) | Основная характеристика оператора Lp,q,M состоит в том, что в нем проявляется конкуренция между членом поглощения up и членом-источником |∇u q, и эти члены имеют разную природу. Следствием этой конкуренции является возникновение богатого разнообразия явлений. Основная часть результатов была получена в сотрудничестве с M. F. Bidaut-V´eron и M. Garcia-Huidobro [7]. В нашем исследовании главное внимание уделяется двум направлениям: 1. существование решений с мерой в качестве граничных данных; 2. описание решений с изолированной граничной особенностью. © Л. Верон, 2022 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 564 СИНГУЛЯРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СО СМЕШАННОЙ РЕАКЦИЕЙ-ДИФФУЗИЕЙ 565 Если q = 2p , то уравнение (1.1) инвариантно относительно преобразований масштабироваp +1 ния T£, R > 0 определяемых равенством 2 Если 1 < q < T£[u](x) = Rp-1 u(Rx). (1.2) 2p , то член поглощения является доминирующим, и поведение сингулярных p +1 решений моделируется уравнением Эмдена-Фаулера -Δu + up = 0. (1.3) 2p Если q > , то член-источник является доминирующим, и поведение сингулярных решений p +1 моделируется уравнением эйконала | up - M |∇u q = 0. (1.4) Другим уравнением, которое играет важную роль, является уравнение Риккатти q -Δu - M |∇u| 2p = 0. (1.5) Если q = , то ни один из членов реакции не является доминирующим, и определяющим p +1 становится значение M. Важным инструментом построения решений является существование естественных суби суперрешений, которые естественным образом упорядочены, если они имеют одинаковые граничные данные: уравнения Эмдена-Фаулера (соответственно, уравнение Риккатти) дает субрешение (соответственно, суперрешение) для уравнения (1.1). Задачи о краевых особенностях и краевые задачи с данными-мерами для соответствующих операторов изучались в последнее время, но с другими соотношениеми между членами реакций. В следующем уравнении, изученном в [16], два эффекта реакции суммируются, даже если они имеют разную природу: p q -Δu + u + M |∇u| = 0. (1.6) | В этом случае один термин может стать доминирующим, не отменяя действие другого. Уравнения только с одним членом поглощения, up или M |∇u q, дают естественные суперрешения. В уравнении p q -Δu - u - M |∇u| = 0, (1.7) | оба члена реакции являются членами-источниками. Уравнения только с одним членом-источником, up или M |∇u q, дают естественные субрешения. В [5] проводится анализ задачи, представляющий некоторую аналогию с настоящей работой. Сингулярная краевая задача для в определенной степени похожего уравнения q -Δu - up + M |∇u| = 0 (1.8) изучена в [10]. В нем два члена реакции также находятся в оппозиции друг другу: ситуация похожа на ту, которая исследуется нами, но эта оппозиция дает существенно иной эффект. 1. Устранимые граничные особенности Предположим, что Ω - ограниченная область в C2 и 0 ∈ ∂Ω. Положим ρ(x) = dist(x, ∂Ω). N +1 Теорема 2.1. Пусть p N - 1 , M > 0, и пусть u ∈ C функция, которая удовлетворяет условиям 2(Ω) ∩ C 1(Ω \ {0}) - неотрицательная Lp,q,M u = 0 в Ω, u = 0 на ∂Ω \ {0}. (2.1) Предположим, что выполняется одно из следующих условий: 1. p = 2. p> N +1 N - 1 N +1 N - 1 и 1 <q < и 1 <q :( N +1 ; N 2p . p +1 566 Л. ВЕРОН Тогда u ∈ L1(Ω) ∩ Lp(Ω), ∇u ∈ Lq (Ω) и ρ ρ r q где (-uΔζ + (up - M |∇u| )ζ) dx = 0 для всех ζ ∈ X(Ω), (2.2) Ω X(Ω) := {ζ ∈ C1(Ω) : ζ = 0 на ∂Ω, Δζ ∈ L∞(Ω)}. (2.3) Кроме того, если выполнено (i) или одно из следующих условий: 3. p> N +1 2p и 1 <q < ; 4. p> N - 1 N +1 , q = N - 1 2p p +1 p +1 и p (N - 1)p - (N +1) p+1 тогда u = 0. M < m∗∗ := (p + 1) 2p , (2.4) Замечание. Заметим, что в случае (i) существуют положительные функции, удовлетворяющие условиям (2.1) с особенностью, сосредоточенной в 0. Эта особенность не обнаруживается в смысле распределений. То же самое происходит для решений задачи -Δu = up в Ω, u = 0 на ∂Ω \ {0}, (2.5) когда N +1 N - 1 :( p< N +1 , см. [9]. N - 3 Доказательство теоремы 2.1. Шаг 1: априорная оценка. Если M 0, 1 < q < min{p, 2} и функция u 0 удовлетворяет условиям (2.1), тогда мы сначала докажем с помощью модификации метода Келлера-Оссермана, что при некотором c1 > 0 u(x) :( c1 max fM p-q |x| , x - для всех x ∈ Ω. (2.6) 1 q - p-q | | 2 l p-1 Как следствие, используя свойства регулярности эллиптических уравнений (см., например, [14]) 2p £ p и преобразование масштабирования T , что возможно при q :( , получаем оценку градиента +1 |∇u(x)| :( c2 max f|x| , x - для всех x ∈ Ω ∩ B1. (2.7) p - p-q | | p+1 l p-1 Шаг 2: замена неизвестной функции. Положим u = vb при 0 < b :( 1, тогда v удовлетворяет уравнению 2 -Δv - (b - 1) |∇v| 1 q + v(p-1)b+1 = M bq-1v(b-1)(q-1) |∇v| . (2.8) v b Задача состоит в том, чтобы избавиться от слагаемого в правой части. Это делается следующим образом: при E> 0 в силу неравенства Гельдера имеем 2 2 q v(b-1)(q-1) |∇v| Тогда из уравнения (2.8) получаем qEq :( 2 |∇v| v - 2 q + 2 v 2E 2-q (2b-1)q-2(b-1) 2-q . qbq-1E \ 2 / 2 q |∇v| 1 (p 1)b+1 q 1 2 - q (2b-1)q-2(b-1) -Δv + 1 - b - M 2 + v - v b - Mb - 2 v 2E 2-q 2-q :( 0. (2.9) Теперь возникает вопрос, как управлять показателем степени v, чтобы поглощение стало преобладающим при больших v. Для этого необходимо - ⇐⇒ (2b - 1)q - 2(b - 1) :( (p 1)b +1 q :( 2p . 2 - q p +1 СИНГУЛЯРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СО СМЕШАННОЙ РЕАКЦИЕЙ-ДИФФУЗИЕЙ 567 Отметим, что это условие не зависит от b. Зафиксируем 2 N +1 b = (N - 1)(p - 1) ⇐⇒ (p - 1)b +1 = , N - 1 что является порогом устранимости изолированных граничных особенностей решений уравнения Эмдена-Фаулера. При таком выборе остается только проконтролировать знак коэффициента 2 при |∇v| . v N +1 2p q 2(1 - b) 2 5. Если p> N - 1 , q < , то выберем E = p +1 Mqbq-1 . Тогда (2.9) преобразуется в виду (N - 1)(p - 1) N +1 -Δv + v N-1 :( A. (2.10) 4 Согласно результату Гмиры-Верона [15], v остается ограниченным, и утверждение следует из соответствующего выбора пробных функций и стандартных результатов о регулярности [14]. 6. Если p > N +1 , q = 2p , то мы выбираем такое же b, но более тонко подбираем E, N - 1 учитывая M. N +1 p +1 N +1 7. Если p = N - 1 , q < , то используем (2.6) для улучшения оценки (2.7), и затем с N помощью итераций выводим ограниченность u. Это подробно описано в [7]. Теорему 2.1 можно распространить на более общие граничные сингулярные множества. Теорема 2.2. Предположим, что p > следующих условий: 2p N +1 и N - 1 N +1 N - 1 < r < p. Пусть выполнено одно из 8. q = , p +1 2p r M < m∗∗ := (p + 1) p - r p(r - 1) p p+1 ; (2.11) 9. 1 <q < p , r :( 3, M - произвольное. +1 2 ⊂ Тогда если K ∂Ω - компактное множество такое, что cap∂Ω (K) = 0, то любое решение u r ,r× задачи тождественно равно 0. Lp,q,M u = 0 в Ω, u = 0 на ∂Ω \ K (2.12) Доказательство. Принцип доказательства в определенной степени аналогичен: положим u = vb при некотором b ∈ (0, 1) и сведем (2.10) к неравенству типа -Δv + C1vr :( C2 в Ω, v = 0 на ∂Ω \ K, (2.13) 2 где C1, C2 > 0. Поскольку cap∂Ω (K) = 0, по теореме об устранимости (см. [18]) v ограничено r ,r× сверху, и результат легко получается при подходящем выборе пробных функций. 2. Задачи с данными-мерами Естественным пространством пробных функций для изучения краевых задач является пространство X(Ω), определенное формулой (2.3). Определение 3.1. Пусть μ ∈ M(∂Ω) и p, q 1. Борелевская функция u, определенная в Ω, является слабым решением задачи | -Δu + |u p-1 | u - M |∇u q = 0 в Ω, u = μ на ∂Ω, (3.1) 568 Л. ВЕРОН если u ∈ L1(Ω) ∩ Lp(Ω), ∇u ∈ Lq (Ω) и ρ ρ r r p-1 q r ∂ζ -uΔζ + (|u| Ω ∈ u - M |∇u| )ζ) dx = - ∂Ω dμ для всех ζ X(Ω). (3.2) ∂n Следующие две задачи, в которых μ является мерой Радона на ∂Ω, естественным образом связаны с задачей (3.1). 3. Уравнение Эмдена-Фаулера: 4. Уравнение Риккати: | -Δv + |v p-1 v = 0 в Ω, v = μ на ∂Ω. (3.3) q -Δw - M |∇w| = 0 в Ω, w = μ на ∂Ω. (3.4) В [18] доказано, что задача (3.3) допускает решение, обязательно единственное, тогда и только тогда, когда 2 ⊂ для любого борелевского множества E ∂Ω : cap∂Ω p ,p× (E) = 0 =⇒ |μ|(E) = 0. (3.5) Относительно задачи (3.4) в [8] доказано, что она имеет решение, если для некоторого C > 0 μ удовлетворяет условию 2-q ⊂ | | для любого борелевского множества E ∂Ω : μ (E) :( Ccap∂Ω q ,q× (E). (3.6) Комбинируя эти два результата, мы получим следующую теорему. Теорема 3.1. Пусть p> 1, 1 <q < 2, μ - неотрицательная мера Радона на ∂Ω, которая при некотором C > 0 удовлетворяет μ(E) :( C min ( 2-q cap∂Ω q ,q× 2 (E), cap∂Ω p ,p× (E) для любого борелевского множества E ⊂ ∂Ω. (3.7) Тогда существует c0 > 0 такое, что для любого 0 <c :( c0 существует неотрицательное слабое решение (3.2) с граничными данными cμ. Кроме того, граничным следом u является мера cμ. 2 Замечание. Никаких условий на cap∂Ω p ,p× 2-q (соответственно, на cap∂Ω q ,q× ) не требуется, если 1 < N +1 p< N - 1 (соответственно, 1 <q < N +1 ) в силу теоремы вложения Соболева-Морри. N p,q,M loc Сокращенное доказательство. Поскольку положительное решение vμ уравнения (3.3) является субрешением Lp,q,M u = 0 и меньше любого решения wμ уравнения (3.4), которое является суперрешением для L u = 0, то из [11] следует, что существует функция u ∈ W 1,2(Ω), которая удовлетворяет vμ :( u :( wμ в Ω и Lp,q,M u = 0 в Ω. (3.8) Функция u принадлежит C1. Следовательно, по принципу сэндвича, r lim δ→0 r wμZdS(x) = r Zdμ = lim δ→0 r vμZdS(x) = lim δ→0 uZdS(x) (3.9) ρ(x)=δ ∂Ω ρ(x)=δ ρ(x)=δ для всех Z ∈ C(Ω), Z 0. Ограничение Z 0 можно снять, и это означает, что u допускает граничный след в динамическом определении граничного следа [19]. Поэтому мы обозначим u = uμ. Чтобы утверждать, что uμ является слабым решением в смысле определения 3.1, нам потребуются некоторые оценки. Обозначим через PΩ[. ] оператор Пуассона в Ω. Оценка решений: выполняется (см. [8]) и vμ :( PΩ[μ] :( wμ :( cPΩ[μ], 0 :( vμ :( uμ :( wμ :( cPΩ[μ]. СИНГУЛЯРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СО СМЕШАННОЙ РЕАКЦИЕЙ-ДИФФУЗИЕЙ 569 ρ Если μ удовлетворяет условию (3.6), то существует Ct > 0 такое, что при 0 < c :( Ct существует неотрицательное решение z ∈ L1(Ω) ∩ Lp(Ω) задачи -Δz - zp = 0 в Ω, z = cμ на ∂Ω (3.10) (см. [2]). Оно очевидно удовлетворяет cPΩ[μ] :( z. Тогда wμ ∈ Lp(Ω) =⇒ u ∈ Lp(Ω). ρ μ ρ μ Для градиента положим φ = GΩ[up ], тогда φ 0 и q По теореме Дуба -Δ(uμ + φ) = |∇uμ| 0. -Δ(uμ + φ) ∈ L1(Ω) =⇒ |∇uμ|∈ Lq (Ω). ρ ρ Так как uμ ∈ Lp(Ω), |∇u |∈ Lq (Ω) и u имеет граничный след μ, то нетрудно доказать, что это ρ слабое решение. μ ρ μ Условие (3.7) в большинстве случаев можно упростить, используя классические результаты о бесселевых емкостях [1], которые дают в общем виде θ cap∂Ω (E) :( c (cap∂Ω (E) для всех борелевских множеств E ⊂ ∂Ω β,b α,a при подходящих условиях, включающих a, p > 1, α, β > 0 и θ 1. Докажем два следствия. N +1 Следствие 3.1. Предположим, что p N - 1 и 2p p +1 :( q < 2. Если μ - неотрицательная мера Радона на ∂Ω, удовлетворяющая при некотором C > 0 условию 2-q μ(E) :( Ccap∂Ω q ,q× (E) для всех борелевских множеств E ⊂ ∂Ω, (3.11) то выполняется утверждение теоремы 3.1. N +1 Следствие 3.2. Предположим, что :( q < 2p . Если μ - неотрицательная мера N p +1 Радона на ∂Ω такая, что при некоторой константе C > 0 для любого борелевского множества справедливо E ⊂ ∂Ω, 2 μ(E) :( Ccap∂Ω (E), (3.12) p ,p× то выполняется утверждение теоремы 3.1. Замечание. Отметим, что в силу следствий 3.1, 3.2 и замечания после теоремы 3.1 мы покрываем весь диапазон (p, q) ∈ (1, ∞) × (1, 2) и показываем, что используется единственная бесселева емкость. 4. Отделимые решения Отделимые решения уравнения (1.1) выражаются в сферических координатах x = (r, σ) в RN ∼ R+ × SN -1 в виде u(x) = u(r, s) = r-αω(s). Для уравнения (1.1) существование таких решений в конусе CS := (0, ∞) × S, порожденном сферической областью S ⊆ SN-1 , накладывает условия q = 2p p +1 и α = 2 p - 1 . Тогда ω удовлетворяет p Sp,M ω := -Δtω + α(N - 2 - α)ω + |ω| ω - M rα ω + |∇ ω| = 0 в S, (4.1) p-1 где Δt - оператор Лапласа-Бельтрами на SN -1. 2 2 t 2) p+1 5. Если S = SN-1 , то положительные решения единственны и постоянны. Задача вполне разрешима. SN -1 6. Если мы имеем дело с граничными особенностями, то модельным случаем является S = + , а проблема изолированных граничных особенностей принимает вид N -1 N -1 Sp,M ω = 0 в S+ , ω = 0 на ∂S+ . (4.2) 570 Л. ВЕРОН N +1 При M = 0 в [15] доказано, что не существует положительного решения, если p N - 1 . Наш основной результат состоит в следующем. Теорема 4.1. Существует положительное решение ω задачи (4.2), если выполняется одно из следующих условий: N +1 7. 1 <p< N N - 1 и M 0; 8. p = +1 N - 1 и M > 0; N +1 9. 1 <p< 3 или p> N - 1 и M MN,p для некоторого явного значения MN,p > 0. Сокращенное доказательство. Существование получается построением суперрешений (фактически достаточно больших констант) и субрешений вида δφ1, где φ1 - первая собственная функция 0 оператора -Δt в W 1,2(SN -1) и δ > 0 достаточно малое. Таким образом, S ствование снова следует согласно [11]. p,M (δφ1) :( 0 и суще- Результат существования (iii) довольно точен, поскольку имеет место следующее утверждение. N +1 Теорема 4.2. Пусть p> ного решения ω задачи (4.2). N - 1 . Если M :( m∗∗ (см. (2.4)), то не существует положитель- Доказательство тонкое и основано на преобразовании ω = ηb, b > 0. 5. Сингулярные решения В докритическом случае при 1 < p < N +1 N - 1 и 0 < q < N +1 N для любых M > 0 и k > 0 существуют минимальные фундаментальные решения - положительные решения уравнения (1.1) в Ω, обращающиеся в нуль на ∂Ω \ {0} и такие, что uk(x) lim x→0 PΩ(x) = k. (5.1) Они являются решениями уравнения Lp,q,M u = 0 в Ω такими, что u = kδ0 на ∂Ω. Отображение k 1→ uk является возрастающим (между минимальными решениями, поскольку единственность может не выполняться), и имеет место u∞(x) lim x→0 PΩ(x) = ∞. (5.2) Поскольку функции uk равномерно локально ограничены сверху в Ω \ {0} оценкой (2.6), существует u∞ = lim k→∞ uk. Чтобы охарактеризовать u∞, мы введем следующую задачу: p-1 + -Δtψ + α(N - 2 - α)ψ + |ψ| ψ = 0 в SN-1 , + ψ = 0 на ∂SN-1 . (5.3) Существование и единственность положительного решения задачи (5.3) при 1 <q < N +1 N - 1 дока- + заны в [15]. Чтобы описать особенность в точке 0, мы предполагаем, что ∂RN ∼ RN -1 является ∂Ω в точке 0, а вектор нормали eN - вектор внутренней единичкасательной гиперплоскостью к ной нормали к Ω в точке 0. Будем говорить, что Ω находится в нормальной ситуации в точке 0. Наш основной результат о поведении положительного решения вблизи изолированной особенности на границе состоит в следующем. Теорема 5.1. Пусть Ω - C2-гладкая область и 0 ∈ ∂Ω в нормальной ситуации в точке 0, 1 < p < N +1 , 1 < q < N - 1 N +1 N и M > 0. Предположим, что u - положительная функция, удовлетворяющая условию (2.1). СИНГУЛЯРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СО СМЕШАННОЙ РЕАКЦИЕЙ-ДИФФУЗИЕЙ 571 10. Если 1 <q < 2p , тогда 1. либо p +1 lim rαu(r, .) = ψ локально равномерно на SN-1 , (5.4) r→0 + где ψ - единственное положительное решение задачи (5.3); 2. либо существует k 0 такое, что выполняется равенство (5.1). Если k = 0, тогда ≡ u 0 в Ω. 2p 11. Если q = , тогда p +1 1. либо u u∞ и + ψ :( lim inf rαu(r, .) :( lim sup rαu(r, .) = ω локально равномерно на SN-1 , (5.5) r→0 r→0 где ω - максимальное положительное решение задачи (4.2); 2. либо выполнено утверждение (ii) случая 1. Доказательство. Доказательство громоздкое и использует сведение задачи к квазиавтономному уравнению второго порядка, как это было сделано в [15]. Замечание. В случае 1(i) u = u∞ - единственное положительное решение (1.1), обращающееся в нуль на ∂Ω \ {0} и удовлетворяющее условию (5.2). 2p Если p +1 <q < p, то разрушение решения моделируется уравнением эйконала (1.4). Скорость разрушения имеет порядок r-γ, где показатель степени γ равен q γ = . p - q Обратите внимание, что в этом диапазоне γ > α. Это уравнение существенно изотропно, поэтому трудно построить сингулярные решения, обращающиеся в нуль на границе, кроме одной точки. Тонкими построениями с использованием суби суперрешений получен следующий результат. 2p Теорема 5.2. Предположим, что M > 0, p > 1 и p +1 < q < min{2, p}. Тогда существует + положительное решение u ∈ RN + уравнения (1.1), которое обращается в нуль на ∂RN \ {0} и такое, что 1 c3φ1(σ)r-γ :( u(r, s) :( c4 max fr-α,M p-q r-γ l (5.6) + для всех (r, s) ∈ (0, r∗) × SN-1 Nq > (N - 1)p, то r∗ = ∞. при некотором r∗ ∈ (0, ∞], где c3, c4 > 0 зависят от N, p, q. Если Результат можно адаптировать к решению в ограниченной области Ω с изолированной особенностью в точке 0 ∈ ∂Ω. 6. Открытые задачи Задача 1. В работах M. F. Bidaut-V´eron, M. Garcia-Huidobro и L. V´eron доказано, что если N 2p max{ N - 1 , p + 1 } <q < min{2, p} и M > 0, то существует бесконечно много радиальных решений уравнения (1.1) в BR \ {0} для малых R, которые удовлетворяют где u(r) = ξM r-β (1 + o(1)) при r → 0, (6.1) 1 β = 2 - q и ξM = 1 (N - 1)q - N p-1 . (6.2) q - 1 β M (p - 1) Эти решения обладают тем свойством, что скорость их разрушения меньше, чем у явного радиального отделимого решения. Было бы интересно построить аналогичные решения уравне- + ния (1.1) в RN R (или, что более вероятно, в B+), которые обращаются в нуль на ∂RN \ {0}. 572 Л. ВЕРОН + ρ Задача 2. Можно ли определить граничный след для любого положительного решения уравнения (1.1) в RN , учитывая тот факт, что такой результат справедлив по отдельности для положительных решений уравнений (1.3) и (1.5)? Заметим, что если u ∈ Lp(Ω), то применима теория ρ неотрицательных супергармонических с точностью до возмущения в L1 (Ω) функций [12]: таким ρ образом, ∇u ∈ Lq (Ω) и существует неотрицательная мера Радона μ такая, что u является решением задачи (3.1). Далее, если ∇ ρ u ∈ Lq (Ω, то может быть легко адаптирована теория граничного следа положительных решений уравнения Эмдена-Фаулера, развитая в [17]. В этом случае существуют замкнутое множество S ⊂ ∂Ω и неотрицательная мера Радона μ в R := ∂Ω \S такие, что r lim τ →0 udS(x) = ∞ (6.3) для всех x ∈S и E> 0, и {x:ρ(x)=τ }∩B (x) r r lim τ →0 {x:ρ(x)=τ } ζ(x)udS(x) = R ζdμ (6.4) для всех ζ ∈ C(Ω), обращающихся в нуль в окрестности S. Трудность для уравнения (1.1) возникает из-за того, что в некоторых граничных точках x выполняется при некоторм E> 0. r Ω∩B (x) upρdx = r Ω∩B (x) q |∇u| ρdx = ∞ (6.5) Задача 3. Единственны ли слабые решения задачи Дирихле (3.1) с граничными даннымимерами? Обратим внимание, что существует мало результатов единственности для решений с изолированными граничными особенностями, которые могут быть получены с использованием методов масштабирования (при геометрических ограничениях на область).

Об авторах

Л. Верон

Institut Denis Poisson, Université de Tours

Автор, ответственный за переписку.
Email: veronl@univ-tours.fr
Тур, Франция

Список литературы