О некоторых краевых задачах для эллиптических и параболических систем второго порядка

Аннотация

Устанавливается корректная разрешимость нестандартных краевых задач для систем уравнений эллиптического и параболического типов с векторными граничными условиями. Приведены характерные примеры.

Полный текст

В представленной работе, являющейся расширенным изложением доклада [4], рассматриваются две нестандартные краевые задачи для систем эллиптических и параболических уравнений второго порядка. Эти задачи можно рассматривать как некоторые «промежуточные» задачи между задачей Ди- рихле и задачей Неймана, поскольку граничные условия налагаются как на значения искомого решения u(x) = (u1(x),..., um(x)),m 2, так и на значения вектора конормальных производных ∂u ( ∂u1 (x)= ∂ν ∂ν (x), .., ∂um ∂ν \\ (x) . В частном случае системы уравнений Пуассона в области G ⊂ R3 с границей Γ предлагаемые задачи суть -Δu = h, x ∈ G, г ∂u l (u, n)Γ = 0, и ,n =0 ∂n Γ -Δu = h, x ∈ G, ( ∂u \\ [u, n]Γ = 0, ,n ∂n Γ = 0, где n = (n1(x), n2(x), n3(x)) - вектор единичной нормали на границе Γ, (·, ·) - символ скалярного произведения, а [·, ·] символ векторного произведения в R3. Аналогичные краевые условия рассматриваются и для систем параболических уравнений. Как видно, предлагаемые условия на границе носят системный характер, то есть не распадаются (в отличие от условий Дирихле или Неймана) на индивидуальные условия для каждой компоненты искомого решения. г ∂u l Столь же видно, что условие (u, n)Γ =0 означает, что unorm(x)|Γ = 0, а условие ,n =0 ∂n Γ означает, что ( ∂u ∂n \\ (x) tang Γ = 0, где un(x) - нормальная часть вектора u(x), а ( ∂u ∂n \\ (x) - tang тангенциальная часть вектора ∂u (x) в разложении соответствующих векторов в сумму нормаль- ∂n ной и тангенциальной составляющих. Именно в такой форме ставятся краевые задачи в случае произвольной размерности области G ⊂ Rm и систем уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. Основным результатом работы является корректность поставленных задач в смысле Адамара- Петровского. Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (соглашение № 14-11-00306) и при частичной финансовой поддержке Совета по грантам при Президенте РФ (проект НШ 2081.2014.1). Qc 2015 РУДН 43 44 Е. В. ГОЛУБЕВА, Ю. А. ДУБИНСКИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ Пусть G ⊂ Rm (m 2) - ограниченная область с гладкой или кусочно-гладкой границей Γ. В области G рассматривается система дифференциальных уравнений второго порядка m '\\" - i,j=1 ∂ ∂xi ( aij ∂u \\ ∈ = h, x G, ∂xj где aij (x) ≡ aji(x) - непрерывные функции в замыкании области искомая вектор-функция, а h(x)= (h1(x), .., hm(x)) задана. G¯, u(x) = (u1(x), .., um(x)) - Наша цель - изучить две краевые задачи, граничные условия в которых имеют системный характер в том смысле, что (в отличие от задачи Дирихле и задачи Неймана) они не сводятся к граничным условиям на каждую компоненту u1(x), .., um(x) в отдельности. Для формулировки этих задач напомним понятие конормали к границе Γ, отвечающей симмет- ричной матрице aij (x) (i, j = 1, .., m). Именно, вектором, конормальным к границе Γ, называется вектор ν(x)= (ν1(x), .., νm(x)), где m νi(x)= '\\" aij (x)cos(n, xj ), j=1 _n(x)= (n1(x), .., nm(x)) - единичный вектор внешней нормали к границе Γ. Легко видеть, что при условии эллиптичности уравнения, то есть при условии m '\\" aij (x)ξiξj a0|ξ|2, a0 > 0, ξ ∈ Rm, i,j=1 вектор конормали не обращается в нуль и трансверсален границе Γ. Нормированный вектор в направлении конормали обозначим символом ν0 = ν0(x). Постановка рассматриваемых ниже задач следующая. Задача 1. Найти решение системы m при условиях на границе Γ '\\" - i,j=1 ∂ ∂xi ( aij ∂u \\ ∈ = h, x ∂xj G, (1.1) unorm = 0, x ∈ Γ, (1.2) ( ∂u \\ ∂ν Задача 2. Найти решение системы m tang = 0, x ∈ Γ. (1.3) при условиях на границе Γ '\\" - i,j=1 ∂ ∂xi ( aij ∂u \\ ∈ = h, x G, ∂xj utang = 0, x ∈ Γ, ( ∂u \\ ∂ν norm = 0, x ∈ Γ. В указанных условиях символы unorm и utang означают «нормальную» и «тангенциальную» составляющие вектора u(x), x ∈ Γ, в ортогональном разложении u(x)= u(x) norm + u(x) tang, где u(x) norm = u(x), ν0(x) ν0(x), а u(x) tang = u(x) - u(x) norm. Аналогично для вектора ∂u ( ∂u1 (x)= ∂ν ∂ν (x), .., ∂um ∂ν \\ (x) , О НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА 45 где m ∂u ∂u k (x)= '\\" ν (x) k (x), k = 1, .., m, ∂ν j j=1 ∂xj есть производная компоненты uk (x) искомого решения по конормали. Ясно, что граничные условия в задачах 1 и 2 могут быть записаны в форме: u(x), ν0(x) = 0, ∂u (x)= ∂ν ( ∂u ∂ν \\ , ν0 ν0(x) (задача 1) , u(x)= u(x), ν0(x) ν0(x), ( ∂u ∂ν \\ (x), ν0(x) =0 (задача 2) . Основной результат нижеследующего текста - доказательство корректности обеих задач в смысле Адамара-Петровского. НЕОБХОДИМЫЕ ПРОСТРАНСТВА И НЕРАВЕНСТВА Пусть W 1 ≡ W 1(G) - пространство Соболева вектор-функций u(x)= (u1(x), .., um(x)) с нормой 2 2 ||u||1 = ||u||0 + ||∇u||0, где ||u||0 - норма в пространстве Лебега L2 в области G, а m ||∇u||0 = '\\" ||∇ui||0 i=1 - норма градиента вектор-функции u(x) в L2. Пусть G¯ tang = G ∪ Γ и C1 (G¯) - множество непрерывно дифференцируемых вектор-функций u(x)= (u1 (x), .., um (x)) таких, что (u, ν0)Γ =0 в точках границы Γ. 2,tang Обозначим через W 1 tang замыкание C1 2 (G¯) по норме пространства W 1. Как известно, каждая 1 2 компонента uj (x), j = 1, .., m, имеет на границе след uj|Γ ∈ W 2 (Γ). Тем самым на границе почти всюду определено и скалярное произведение (u, ν0)Γ, причем (u, ν0)Γ = 0. Это означает, что 2,tang вектор-функции u ∈ W 1 имеют на границе Γ тривиальную конормальную составляющую. 2,tang Пространство W 1 является основным пространством при решении задачи 1. 2,norm Аналогично для решения задачи 2 вводится пространство W 1 , состоящее из векторфункций, которые на границе Γ коллинеарны конормали ν0(x). Так как изучение обеих задач в целом параллельно, рассмотрим детально, например, задачу 1. Вначале сформулируем требуемые условия на область G и ее границу Γ. Определение 2.1. Область G ⊂ Rm называется допустимой, если выполнены два условия: 2 вложение W 1 ⊂ L2 компактно, множество конормальных векторов ν0 = ν0(x) на границе Γ содержит хотя бы один базисный набор, то есть m линейно независимых векторов. Применительно к задаче 1 важное значение имеет следующая Лемма 2.1. Пусть область G допустима в смысле определения 2.1. Тогда в пространстве W 1 2 норма ||u||1 = ||u||0 + ||∇u||0 и норма или, что то же, эквивалентны. ⎛r ||u||1,norm = ||∇u||0 + ⎝ Γ ⎛ r ||u||1,norm = ||∇u||0 + ⎝ Γ ⎞1/2 |unorm|2dγ⎠ , ⎞1/2 (u, ν0)2dγ⎠ , 46 Е. В. ГОЛУБЕВА, Ю. А. ДУБИНСКИЙ Доказательство. Неравенство ||u||1,norm M||u||1 (M > 0 - константа) очевидно, так как всякая 1/2 функция u ∈ W 1 имеет на границе Γ след u ∈ W (Γ), при этом 2 Γ 2 || Γ Γ u ||0 M||u ||1/2 M||u||1. 2 Для доказательства обратного неравенства ||u||1 M||u||1,norm предположим противное. Это означает, что найдется последовательность функций un ∈ W 1, n = 1, 2,..., такая, что а) ||un||1 = 1, n = 1, 2,..., б) ||un||1,norm → 0 при n → ∞. 2 2 2 Из первого свойства допустимой области, т. е. из компактности вложения W 1 ⊂ L2, получаем (строго говоря, переходя к подпоследовательности), что последовательность un(x) сходится сильно в L2 к некоторой функции u ∈ L2. В то же время из б) следует, что ||∇un||0 → 0 при n → ∞. Следовательно, u ∈ W 1 и ∇u(x) = 0. Тем самым u = (c1, .., cm) - некоторый постоянный вектор. В итоге un → _c = (c1, .., cm) в пространстве W 1. Покажем, что _c = 0. Действительно, из б) получается, что r т. е. (_c, ν0)Γ = 0. (_c, ν0)2dγ = 0, Γ Поскольку область G - допустимая, то в силу свойства 2 это возможно лишь в случае _c = (c1, .., cm)= 0, что и требовалось. С другой стороны, в силу равенств а) будем иметь ||_c||1 = ||_c||0 = 1. Полученное противоречие доказывает наше утверждение. 2 Следствие 2.1. Если область G допустима, то для любой функции u ∈ W 1 справедливо неравенство типа неравенства Фридрихса ⎛ r ⎞ ⎛ r ⎞ ||u||2 M ⎝||∇u||2 + (u, ν0)2dγ⎠ ≡ M ⎝||∇u||2 + |unorm|2dγ⎠ 0 2,tang в том числе для u ∈ W 1 0 0 Γ Γ ||u||2 M||∇u||2, 0 0 где M > 0 - постоянная. 2,tang Следствие 2.2. В пространстве W 1 норма ||u||1 и норма ||∇u||0 эквивалентны. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ Обратимся непосредственно к разрешимости краевой задачи (1.1)-(1.3), или, что то же, задачи m '\\" - i,j=1 ∂ ∂xi ( aij ∂u \\ ∈ = h, x G, ∂xj u(x)ν0(x) = 0, x ∈ Γ, ∂u ( ∂u (x)= ∂ν ∂ν \\ , ν0(x) ν0(x), x ∈ Γ, где ν0(x) - нормированный вектор конормали. Напомним, что коэффициенты aij (x) предполагаются непрерывными функциями в области G¯ = G∪ Γ, при этом aij (x)= aji(x), (i, j = 1, .., m) и соответствующая матрица является положительно определенной. 2,tang Определение 3.1. Вектор-функция u ∈ W 1 чи (1.1)-(1.3), если для любой функции v ∈ W 1 называется обобщенным решением зада- праведливо интегральное равенство 2,tang с m '\\" r ( ∂u ∂v \\ r dx = aij ∂x , ∂x (h, v)dx. (3.1) i,j=1 G j i G О НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА 47 Нетрудно видеть, что гладкое решение задачи (1.1)-(1.3) является и обобщенным решением, то есть удовлетворяет тождеству (3.1), и наоборот, если обобщенное решение оказалось гладкой функцией, то оно является классическим решением задачи (1.1)-(1.3). Действительно, в первом случае, умножая уравнения (1.1) на произвольную вектор-функцию v ∈ W 1 2,tang и интегрируя по частям, приходим к тождеству m '\\" r ( ∂u ∂v \\ dx r ( ∂u \\ r aij ∂x , ∂x - ,v dγ = ∂ν (h, v)dx. i,j=1 G j i Γ G ( ∂u \\ В силу граничных условий (1.2), (1.3) скалярное произведение Следовательно, u(x) является обобщенным решением. ∂ν ,v ≡ 0 на границе Γ. 2,tang Обратно, если обобщенное решение u ∈ W 1 есть гладкая функция, то, выбирая в тож- 0 дестве (3.1) v ∈ C∞(G) и интегрируя по частям, убеждаемся, что u(x) удовлетворяет уравнени- ям (1.1) в смысле обобщенных функций и тем самым, будучи гладкой функцией, - в классическом смысле. 2,tang Полагая теперь в (3.1) v(x) произвольной вектор-функцией из пространства W 1 и вновь интегрируя по частям, приходим к тождеству r ( ∂u \\ ,v ∂ν Γ 2,tang dγ = 0, v ∈ W 1 . Это означает, что в граничных точках тангенциальная составляющая вектор-функции ∂u ∂ν равна нулю, то есть выполнено условие (1.3). Таким образом, u(x) - классическое решение задачи (1.1)- (1.3). В итоге мы можем констатировать, что определение 3.1 корректно. 2 Дополнительно отметим, что из приведенных рассуждений следует, что если u ∈ W 1 и при этом m Lu ≡- '\\" i,j=1 ∂ ∂xi a ( ∂u \\ ij ∂xj ∈ L2, ∈ то граничный вектор ∂u (x), x Γ, приобретает смысл линейного непрерывного функционала над ∂ν 1 пространством W 2 (Γ), значение которого на следе v(x)|Γ функции v ∈ W 1 определяется формулой 2 / ∂u \\ r r ⎛ m 2 ⎞ ∂u ∂v ∂ν , v|Γ = (Lu, v)dx - G G '\\" a ⎝ ij i,j=1 , ∂xj ∂xi ⎠ dx. Условие (1.3) выражается отбрасыванием в этом равенстве граничного слагаемого, что и отражено в определении обобщенного решения задачи (1.1)-(1.3). Определение 3.2. Скажем, что задача (1.1)-(1.3) корректна, если для любой функции h ∈ L2 2,tang существует единственное обобщенное решение u ∈ W 1 ||u||1 M||h||0, , причем где M > 0 - постоянная. Теорема 3.1. Задача (1.1)-(1.3) корректна тогда и только тогда, когда для любой функции u ∈ W 1 2,tang справедливо неравенство ||u||0 M||∇u||0, (3.2) где M > 0 - постоянная. Доказательство. Вначале установим необходимость неравенства (3.2). Допустим, что зада- 2,tang ча (1.1)-(1.3) корректна в смысле определения 3.2, выберем произвольно h ∈ W 1 и обозначим 48 Е. В. ГОЛУБЕВА, Ю. А. ДУБИНСКИЙ через uh(x) соответствующее решение задачи (1.1)-(1.3). Это означает, что для любой функции v ∈ W 1 2,tang причем ⎛ m r '\\" ⎝ G i,j=1 a ∂uh ij ∂xj ⎞ ∂v r ⎠ , dx = ∂xi G (h, v)dx, ||uh||1 M||h||L2 , (3.3) где M > 0 - постоянная. Положим v(x)= h(x). Тогда получим r r ⎛ m ⎞ ∂u ∂h и, следовательно, (h, h)dx = G G '\\" a ⎝ ij i,j=1 h , ∂xj ∂xi ⎠ dx, 0 ||h||2 M||∇uh||0||∇h||0, где постоянная M зависит от коэффициентов aij ∈ C(G¯). Отсюда, используя неравенство (3.3), получаем, что Это и требуется. ||h||0 M||∇h||0. Достаточность. Пусть выполнено неравенство (3.2). Докажем, что задача (1.1)-(1.3) корректна. Существование решения устанавливается, например, методом Галеркина, причем наличие неравенства (3.2) позволяет провести доказательство стандартно. В связи с этим будем кратки. 2,tang Выберем базисную систему вектор-функций v1(x), v2(x), .. в пространстве W 1 и определим последовательность приближенных решений в виде uN (x)= c1N v1(x)+ ... + cNN vN (x), N = 1, 2, .., где постоянные c1N , .., cNN определяются из моментных уравнений Галеркина m '\\" r ( ∂uN ∂vk \\ r dx = i,j=1 G j aij ∂x , ∂xi (h, vk )dx, k = 1, .., N. G В силу положительной определенности матрицы aij (x) (i, j = 1, .., m) получаем оценку ||∇uN ||0 M||h||0 (M > 0), которая в силу предположенного неравенства (3.2) эквивалентна неравенству ||uN ||1 M||h||0. 2,tang Тем самым в пространстве W 1 можно выбрать подпоследовательность последовательности 2,tang uN (x), сходящуюся слабо к некоторой функции u ∈ W 1 , причем ||u||1 M||h||0. Найденная функция и является обобщенным решением задачи (1.1)-(1.3). Единственность решения очевидна. Теорема полностью доказана. Ясно, что с точки зрения разрешимости задачи (1.1)-(1.3) теорема 3.1 носит условный характер, однако, учитывая лемму 2.1, в качестве следствия получаем «безусловную» теорему. Теорема 3.2. Пусть G ⊂ R2 - тангенциально допустимая область. Тогда задача (1.1)-(1.3) корректна, то есть однозначно разрешима, и справедлива оценка ||u||0 + ||∇u||0 M||h||0 (M > 0). Рассмотрим теперь задачу 2: найти решение системы уравнений m при граничных условиях '\\" - i,j=1 ∂ ∂xi ( aij ∂u \\ ∈ = h, x ∂xj G, (3.4) utang = 0, x ∈ Γ, (3.5) О НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА 49 ( ∂u \\ = 0, x ∈ Γ. (3.6) ∂ν norm Как и в изучении задачи 1, здесь ключевую роль играет системное неравенство типа неравенства Фридрихса ⎛ r ||u||2 M ⎝||∇u||2 + ⎞ |utang|2dγ⎠ , (3.7) 0 0 Γ 2 где u ∈ W 1 - произвольная функция, M > 0 - постоянная. Доказательство этого неравенства проводится точно так же, как и доказательство неравенства ⎛ r ||u||2 M ⎝||∇u||2 + ⎞ |unorm|2dγ⎠ , 0 0 Γ с тем лишь отличием, что допустимой областью является область G, удовлетворяющая условиям: 2 вложение W 1 ⊂ L2 компактно, множество конормалей ν(x), x ∈ Γ, содержит хотя бы одну неколлинеарную пару. Далее вводится пространство или, что то же, 1 Cnorm(G¯)= {u ∈ C 1(G¯): (u(x)|Γ)tang = 0} 1 Cnorm(G¯)= {u ∈ C 1(G¯): u(x)= u(x), ν0(x) ν0(x), x ∈ Γ}, 2,norm определяется пространство W 1 norm как замыкание C1 2 (G¯) по норме W 1, даются соответству- ющие определения обобщенного решения задачи (3.4)-(3.6) и ее корректности по Адамару- Петровскому. Теорема 3.3. Задача (3.4)-(3.6) корректна тогда и только тогда, когда справедливо нера- венство (3.7). Теорема 3.4. Если область G допустима, то задача (3.4)-(3.6) корректна. Доказательство теорем повторяет доказательство теорем 3.1, 3.2 с очевидными изменениями, и мы на них не останавливаемся. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПУАССОНА В области G ⊂ R3 с границей Γ рассматривается система уравнений Пуассона -Δu = h, x ∈ G, (4.1) где u(x)= (u1(x), u2(x), u3(x)), h(x)= (h1(x), h2(x), h3(x)). В этом случае конормаль есть обычная нормаль n = (n1, n2, n3) в граничных точках, а ортогональное разложение трехмерного вектора u = (u1, u2, u3) представляется в виде суммы u = (u, n)n + [n, [u, n]], где (·, ·) и [·, ·] суть скалярное и векторное произведения в R3. Учитывая это разложение, задачу 1 и задачу 2 можно эквивалентно записать в следующем виде. Задача 1. Найти решение системы (4.1) при условиях (u, n)Γ = 0, (4.2) г ∂u l ,n ∂n Γ = 0, (4.3) где ∂u = ( ∂u1 , ∂u2 , ∂u3 \\ - вектор нормальных производных от компонент искомого решения. ∂n ∂n ∂n ∂n 50 Е. В. ГОЛУБЕВА, Ю. А. ДУБИНСКИЙ Задача 2. Найти решение системы (4.1) при условиях [u, n]Γ = 0, (4.4) ( ∂u \\ ,n ∂n Γ = 0. (4.5) Соответствующие интегральные неравенства типа неравенства Фридрихса принимают вид r ⎛r |u(x)|2dx M ⎝ G G и r |∇u(x)|2dx + Γ ⎞ (u, n)2dγ⎠ ⎛ r r |u(x)|2dx M ⎝ G G r |∇u(x)|2dx + Γ ⎞ |[u, n]|2dγ⎠ , 2 где M > 0 - постоянная, не зависящая от выбора функции u ∈ W 1. Таким образом, в допустимых областях задача 1 и задача 2 корректны в смысле Адамара- Петровского (соответствующие формулировки не вызывают затруднений). В заключение приведем конкретные примеры допустимых областей и соответствующих задач. Пример 4.1. Пусть G = {x ∈ R3 : -1 < xi < 1, i = 1, 2, 3} - куб с границей Γ = {x ∈ R3 : г ∂u l |xi| = 1, i = 1, 2, 3}. В этом случае в задаче 1 граничные условия (u, n)=0 и вид: ,n ∂n Γ =0 имеют ∂u1 ∂u2 u3|x3=±1 = 0, ∂x = 0, =0 (нижняя и верхняя грани куба); 3 x3=±1 ∂u1 ∂x3 x3=±1 ∂u3 u2|x2=±1 = 0, ∂x = 0, = 0, 2 x2=±1 ∂u2 ∂x2 x2=±1 ∂u3 u1|x1=±1 = 0, ∂x = 0, =0 (боковые грани куба). 1 x1=±1 ∂x1 x1=±1 ( ∂u \\ Для второй задачи условия [u, n]Γ =0 и ,n ∂n Γ =0 суть ∂u3 u1|x3=±1 = 0, u2|x3=±1 = 0, ∂x =0 (нижняя и верхняя грани куба); 3 x3=±1 ∂u2 u1|x2=±1 = 0, u3|x2=±1 = 0, ∂x = 0, 2 x2=±1 ∂u1 u2|x1=±1 = 0, u3|x1=±1 = 0, ∂x =0 (боковые грани куба). 1 x1=±1 Пример 4.2. Пусть G = {x ∈ R3 : |x| < 1} - единичный шар, S1 - его граница. Тогда рассмот- ренные задачи имеют вид: Задача 1. Δu = h, x ∈ G, (u, _r)= 0, x ∈ S1, ∂u ( ∂u = ∂r ∂r \\ , _r _r, x ∈ S1. О НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА 51 Задача 2. Δu = h, x ∈ G, u = (u, _r)_r, x ∈ S1, ( ∂u ∂r \\ , _r = 0, x ∈ S1. Здесь _r = (x1, x2, x3) - радиус-вектор точки x, r = |x|. Ясно, что квадрат и круг являются допустимыми областями, следовательно, поставленные за- дачи корректны. Отметим, что случай двух пространственных переменных рассмотрен отдельно в работе [5]. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Пусть G ⊂ Rm (m 2) - ограниченная область с гладкой или кусочно-гладкой границей Γ. В цилиндре QT = [0,T ] × G рассматриваются следующие задачи. Задача 3. Найти решение u(t, x)= u1(t, x), .., um(t, x) системы уравнений ∂u m ∂ ( ∂u \\ '\\" aij = h, t ∈ (0,T ], x ∈ G, (5.1) при начальном условии и граничных условиях ∂t - i,j=1 ∂xi ∂xj u(0, x)= 0, x ∈ G (5.2) unorm = 0, x ∈ Γ, t ∈ [0,T ], (5.3) ( ∂u \\ ∂ν tang = 0, x ∈ Γ, t ∈ [0,T ]. (5.4) Задача 4. Найти решение системы (5.1) при начальном условии (5.2) и граничных условиях utang = 0, x ∈ Γ, t ∈ [0,T ], ( ∂u \\ ∂ν norm = 0, x ∈ Γ, t ∈ [0,T ]. Здесь aij (t, x) ≡ aji(t, x) - непрерывные функции в Q¯T такие, что m '\\" aij (t, x)ξiξj a0|ξ|2, a0 > 0, ξ ∈ Rm, i,j=1 h(t, x)= h1(t, x), .., hm(t, x) - заданная вектор-функция, ∂u ( ∂u1 = ∂ν ∂ν , .., ∂um \\ ∂ν - производная по конормали ν(t, x)= (ν1(t, x), .., νm(t, x)) вектор-функции u, то есть m ∂u ∂u k (t, x)= '\\" ν (t, x) k (t, x), k = 1, .., m, ∂ν i i=1 m ∂xi νi(t, x)= '\\" aij (t, x) cos(n, xj ), j=1 _n(x)= (n1(x), .., nm(x)) - единичный вектор внешней нормали к границе Γ. Нормированный век- тор в направлении конормали обозначим символом ν0 = ν0(t, x). Символы unorm и utang означают «нормальную» и «тангенциальную» составляющие вектора u(t, x), x ∈ Γ, t ∈ [0,T ], в ортогональном разложении u(t, x)= u(t, x) norm + u(t, x) tang, где u(t, x) norm tang = u(t, x), ν0(t, x) ν0(t, x), а u(t, x) = u(t, x) - u(t, x) norm. 52 Е. В. ГОЛУБЕВА, Ю. А. ДУБИНСКИЙ Изучим более детально задачу 3. Ее разрешимость будет установлена в пространстве 2,tang L2 0,T ; W 1 2,tang , то есть в пространстве векторнозначных функций u : [0,T ] → W 1 , для которых 1 ⎛ T ⎞ 2 r 2 2,tang ||u||L2(0,T ;W 1 ) = ⎝ 0 2 ||u(t)||W 1 dt⎠ < ∞. 2,tang Напомним, что через W 1 tang обозначено замыкание пространства C1 (G¯) по норме простран- 2 ства W 1. 2,tang Определение 5.1. Функция u ∈ L2 0,T ; W 1 называется обобщенным решением зада- чи (5.1)-(5.4), если ∂u 1 2 ∂t ∈ L2(0,T ; W- ) и 2,tang ∀η ∈ L2 0,T ; W 1 { & ∂η ∂t 2,tang } ∈ L2 0,T ; W 1 & {η(T, x)= 0, ∀x ∈ G} (5.5) выполнено интегральное равенство r ( ∂η \\ m r ( ∂u ∂η \\ r - u, dxdt + ∂t '\\" aij , j i ∂x ∂x dxdt = (h, η)dxdt. (5.6) QT i,j=1QT QT Обобщенная производная ∂u понимается в смысле следующего определения. ∂t Определение 5.2. Пусть w ∈ L2 0,T ; W-1 . Элемент v из пространства L2 0,T ; W-1 будем 2 2 называть обобщенной производной функции w по переменной t и обозначать ∂w, если для любых ∂t функций z ∈ C∞(0,T ), φ ∈ W 1 (G) справедливо равенство 0 2,tang T r r z∗(t) 0 G T r (w(t, x), φ(x))dxdt = - 0 r z(t) G (v(t, x), φ(x))dxdt. Это определение отличается от общепринятого тем, что функция φ здесь берется из простран- ства W 1 2,tang 0 (G), а не из H1(G). 0 Заметим, что в интегральном равенстве (5.6) содержится информация о производной решения по переменной t. Действительно, выбирая в этом равенстве η(t, x)= z(t)φ(x), где z ∈ C∞(0,T ), φ ∈ 1 Ctang(G¯), можно получить T T r r r r ⎛ m ∂ ( ∂u \\ ⎞ - z∗(t) (u(t, x), φ(x))dxdt = z(t) '\\" ⎝ ∂xi aij (t, x) ∂xj (t, x) + h(t, x), φ(x)⎠ dxdt. 0 G 0 G i,j=1 tang Так как C1 2,tang (G¯) плотно в W 1 , то это равенство остается справедливым и при лю- 2,tang бой функции φ ∈ W 1 . Это означает, что функция u(t, x) имеет обобщенную производную ∂u 1 2 ∂t ∈ L2 0,T ; W- . Покажем, что определение 5.1 корректно. Пусть u(t, x) - регулярное решение задачи (5.1)-(5.4), то есть u ∈ L2(QT ), ∂2u i ∂x2 ∈ L2(QT ), i = 1, .., m, ∂u ∂t ∈ L2(QT ). Тогда u ∈ C(0,T ; L2(G)) и равенство u(0, x)=0 для почти всех x ∈ G имеет смысл. Граничным условиям функция u удовлетворяет в смысле следов. Умножая уравнения (5.1) на произвольную О НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА 53 вектор-функцию η(t, x), удовлетворяющую условиям (5.5), и интегрируя по частям, приходим к равенству: r ( ∂η \\ m r ( ∂u ∂η \\ T r r ( ∂u \\ r - u, dxdt + ∂t '\\" aij , j i ∂x ∂x dxdt - ,η dγdt = ∂ν (h, η)dxdt. QT i,j=1QT 0 Γ QT ( ∂u \\ В силу граничных условий (5.2), (5.3) скалярное произведение ∂ν ,η ≡ 0 на границе Γ. Следовательно, u(t, x) удовлетворяет тождеству (5.6) и является обобщенным решением. ∂2u 2,tang Обратно, если обобщенное решение u ∈ L2 0,T ; W 1 ∂u таково, что i ∂x2 ∈ L2(QT ), i = 1,..., m, ∈ L2(QT ), то, выбирая в тождестве (5.6) η ∈ C∞(0,T ; C∞(G)) и интегрируя по олуча частям, п ∂t ем ⎛ r ∂u ⎝ ∂t - QT m '\\" i,j=1 ∂ ∂xi ( aij ∂u \\ ∂xj - ⎞ h, η⎠ 0 0 dxdt = 0. Отсюда следует, что u(t, x) удовлетворяет системе (5.1) в смысле обобщенных функций и тем самым, будучи регулярной функцией, - в смысле L2. Положим теперь в (5.6) η(t, x) произвольной вектор-функцией, удовлетворяющей условиям (5.5) и при этом такой, что η(0, x)=0 в G. Вновь интегрируя по частям, получаем тождество T из которого следует, что r r ( ∂u \\ ,η ∂ν 0 Γ T dγdt = 0, r r ( ∂u \\ ∂ν 0 Γ tang , ηtang dγdt = 0. Функция ηtang - произвольная, поэтому u(t, x) удовлетворяет условию (5.4). Наконец, возьмем в (5.6) η(t, x) произвольной вектор-функцией, удовлетворяющей услови- ям (5.5). После интегрирования по частям будем иметь r (u(0, x), η(0, x)) dx = 0. G Это означает, что u(0, x)=0 почти всюду в G. Теорема 5.1. Задача (5.1)-(5.4) имеет единственное обобщенное решение для любой правой части h ∈ L2(QT ). Доказательство. Докажем существование обобщенного решения задачи (5.1)-(5.4) методом k=1 Фаэдо-Галеркина. Пусть {φk (x)}∞ 2,tang - полная в W 1 линейно независимая система вектор- функций, ортонормированная в L2(G). Приближенное решение задачи строится как функция вида N uN (t, x)= '\\" ckN (t)φk (x). k=1 Функции ckN (t), k = 1, .., N определяются из системы обыкновенных дифференциальных урав- нений Фаэдо-Галеркина r ( ∂uN ∂t \\ , φk m dx + '\\" r ( aij ∂uN , ∂xj ∂φk ∂xi \\ r dx = (h, φk )dx, t ∈ (0,T ], k = 1, .., N, (5.7) G при условиях i,j=1 G G ckN (0) = 0, k = 1, .., N. (5.8) 54 Е. В. ГОЛУБЕВА, Ю. А. ДУБИНСКИЙ k=1 В силу ортонормированности системы {φk}∞ в пространстве L2(G) система (5.7) представляет собой систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений вида N где dckN (t) + '\\" d dt kl l=1 r (t)clN (t)= fk (t), k = 1, .., N, (5.9) fk (t)= G (h(t, x), φk (x))dx ∈ L2(0,T ) m r dkl(t)= '\\" ( aij (t, x) ∂φk , ∂xj ∂φl \\ ∂xi dx ∈ C(0,T ). i,j=1 G Поэтому по известной теореме о разрешимости задачи Коши для системы обыкновенных диф- ференциальных уравнений задача (5.9), (5.8) имеет единственное решение c1N (t),..., cNN (t) в ( dc пространстве H˙ 1(0,T )= c ∈ L2(0,T ), dt ∈ L2(0,T ), c(0) = 0 . 2,tang Итак, определено приближенное решение uN ∈ L2 0,T ; W 1 . 2,tang Для получения априорной оценки последовательности uN в пространстве L2 0,T ; W 1 каж- дое из уравнений системы (5.7) умножим на функцию ckN (t) и просуммируем по k от 1 до N. Получим r ( ∂uN ∂t \\ , uN m dx + '\\" r ( aij ∂uN , ∂xj ∂uN \\ ∂xi r dx = (h, uN )dx, t ∈ (0,T ]. G i,j=1 G G 2,tang Так как для uN ∈ L2 0,T ; W 1 справедливо равенство r ( ∂uN ∂t G \\ , uN dx = 1 ∂ r 2 ∂t G |uN (t, x)|2dx, то с учетом положительной определенности матрицы aij (t, x) будем иметь: 1 ∂ r 2 1 r 2 1 r 2 2 ∂t G |uN | dx + a0||∇uN (t, ·)||L2(G) 2 G |uN | dx + 2 G |h| dx для всех t ∈ (0,T ], где a0 > 0 - некоторая постоянная. Из неравенства Гронуолла получим откуда ||uN || 2 L2(QT ) L2(QT ) TeT ||h||2 , ||uN || 2 2 L2(0,T ; W 1) L2(QT ) M||h||2 , M > 0 - некоторая постоянная. Тем самым найдется подпоследовательность (за которой сохраним то же обозначение) и функ- 2,tang ция u ∈ L2 0,T ; W 1 такие, что 2,tang uN --- слабо в L2 0,T ; W 1 . (5.10) Покажем, что эта предельная функция u является обобщенным решением задачи (5.1)-(5.4). Равенства (5.7) умножим на произвольные функции zk ∈ H1(0,T ) такие, что zk (T ) = 0, просум- мируем по k от 1 до N0, где N0 N, и проинтегрируем по t от 0 до T. Обозначив N0 '\\" c учетом (5.8) получим ηN0 (t, x)= m k=1 zk (t)φk (x), (5.11) r ∂ηN0 '\\" r ( ∂uN ∂ηN0 \\ r - (uN , QT )dxdt + ∂t i,j=1QT j aij ∂x , ∂xi dxdt = QT (h, ηN0 )dxdt. О НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА 55 Зафиксируем N0 и функцию ηN0 . Так как aij ∈ C(Q¯T ), то m L(u)= '\\" r (a ∂u ∂ηN0 \\ , dxdt i,j=1QT ij ∂xj ∂xi 2,tang - линейный ограниченный функционал, заданный на L2 0,T ; W 1 . Поэтому в силу (5.10) будем иметь r ∂ηN0 m '\\" r ( ∂u ∂ηN0 \\ r - (u, QT )dxdt + ∂t i,j=1QT j aij ∂x , ∂xi dxdt = QT (h, ηN0 )dxdt. (5.12) Поскольку в определении обобщенного решения пробная функция удовлетворяет условиям (5.5), то η может быть представлена в виде t r η(t, x)= ξ(τ, x)dτ, (5.13) T 2,tang где ξ ∈ L2 0,T ; W 1 . Покажем, что с помощью линейной комбинации функций {φk (x)} можно приблизиться сколь угодно близко к такой η в нормах ∂ ∂ i || ∂t (·)||L2(QT ), || ∂x (·)||L2(QT ), || · ||L2(QT ). 2,tang Действительно, функцию ξ ∈ L2 0,T ; W 1 ∞ можно разложить в ряд Фурье по t : nπt ξ(t, x)= '\\" Xn(x) sin n=1 2 сходящийся в норме пространства L2 0,T ; W 1 , где T , (5.14) T ; 2 r nπτ Xn(x)= ξ(τ, x) sin T 0 dτ. T 2,tang Ясно, что Xn ∈ W 1 2,tang , ибо ξ ∈ W 1 по переменной x. 2,tang Полную в W 1 систему {φk} ортонормируем по методу Грама-Шмидта и разложим Xn в ряд Фурье по ортонормированному базису {φk}: ∞ Xn(x)= '\\" ankφk (x), k=1 2,tang сходящийся в W 1 , где ank = (Xn, φx) L2(G) . Тогда ∀ε> 0 ∃N1 > N : N1 2 (G) ||Xn - '\\" ankφk||W 1 < ε. (5.15) k=1 2,tang Используя (5.14), (5.15), для ξ ∈ L2 0,T ; W 1 при достаточно больших N1, N2 имеем N2 N1 nπt Обозначим ||ξ - '\\" '\\" ank sin n=1 k=1 T φk||L2( 2 0,T ; W 1) < ε. (5.16) N2 N1 ξN1N2 (t, x)= '\\" '\\" ank sin nπt φk (x). T n=1 k=1 56 Е. В. ГОЛУБЕВА, Ю. А. ДУБИНСКИЙ t Тогда для η(t, x)= Г ξ(τ, x)dτ имеем при достаточно больших N1 и N2 : T 1 ∂η 1 1 t 1 1 ∂η r ∂ 1 1 t 1 1 r 1 1 1 1 1 1 1 1 ∂t - ξN1N2 1 < ε, 1 ∂x - ξN1N2 ∂x 1 < ε, η - 1 ξN1N2 dτ 1 < ε. 1 1 L2(QT ) 1 1 i i 1 T 1 1 L2(QT ) 1 T 1 1L2(QT ) Установим, например, второе из этих неравенств. В самом деле, из (5.16) следует, что T r r 2 T 3 2 r r '\\" ∂ 2 |ξ - ξN1N2 | dxdt + (ξ - ξN1N2 ) dxdt < ε . 0 G Тогда 1 t 12 1 ∂η r ∂ 1 T t r r r ∂x 0 G i=1 i 2 ∂ 1 1 1 ξN1N2 1 = (ξ - ξN1N2 )dτ dxdt 1 ∂xi - 1 T ∂xi 1 1L2(QT ) 0 G T T ⎛ T ∂xi ⎞2 r r r ⎝ ∂ (ξ - ξN1N2 ) dτ ⎠ dxdt 0 G 0 ∂xi T r r cT ∂ 2 (ξ - ξN1N2 ) dxdt cTε2, ∂xi 0 G где c> 0 - константа из условия непрерывного вложения пространства L2(0,T ) в L1(0,T ). ∂ Таким образом, мы показали, что линейной комбинацией функций {φk} можно аппроксимиро- вать функции вида (5.13) в нормах 1 ∂ (·)1 1 1 , (·) , ||· || . Поэтому последовательности 1 1 ∂t 1 1L2(QT ) 1 1 ∂xi 1 1L2(QT ) L2(QT ) ∂ηN0 ∂ηN0 {ηN0 }, { i ∂t }, { ∂x } ∂η сходятся в норме || · ||L2(QT ) при N0 →∞ к η, ∂t , ∂η ∂xi соответственно, где η есть произвольная пробная функция. Следовательно, в (5.12) можно перейти к пределу при N0 → ∞, и мы получаем, что r ( ∂η \\ r r - u, dxdt + ∂t QT QT (∇u, ∇η)dxdt = QT (h, η)dxdt. Это и значит, что функция u является обобщенным решением нашей задачи. Установим единственность решения задачи (5.1)-(5.4). Покажем, что если функция u ∈ 2,tang L2 0,T ; W 1 является обобщенным решением системы (5.1) с нулевой правой частью при условиях (5.2), (5.3), (5.4), то u ≡ 0 в QT = [0,T ] × G. Справедливо равенство r ( ∂u \\ ,η ∂t m dx + '\\" r ( aij ∂u , ∂xj ∂η \\ ∂xi dx = 0, G i,j=1 G в котором η(t, x)= u(t, x) при 0 t t∗, η(t, x)=0 при t∗ <t T. Используя равенство r ( ∂u \\ ,u ∂t G dx = ∂ r ∂t G |u(t, x)|2dx, О НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА 57 условие (5.2) и положительную определенность матрицы aij (t, x), получим t∗ r 0 a0 0 r 2 ||∇u(t, ·)||2dt - 1 G |u(t∗, x)|2dx, где t∗ ∈ (0,T ) - любое. Отсюда получаем, что u ≡ 0 в QT . Таким образом, единственность обобщенного решения установлена. Теорема доказана. 2,norm Задача 4 изучается аналогично задаче 3. Именно, вводится пространство W 1 как замыкание norm(G¯) по норме пространства W2 , дается соответствующее определение обобщенного решения C1 2,norm u ∈ L2 0,T ; W 1 1 и устанавливается существование единственного решения для любой правой части h ∈ L2 (QT ). СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В качестве пространственной части рассмотрим систему операторов Лапласа. Именно, в ци- линдре QT = [0,T ] × G, где G ⊂ R3 - ограниченная область с гладкой или кусочно-гладкой границей Γ, изучается система уравнений ∂u ∂t - Δu = h, t ∈ (0,T ], x ∈ G. (6.1) Тогда конормаль есть обычная нормаль n = (n1, n2, n3) на Γ, а ортогональное разложение трехмерного вектора u = (u1, u2, u3) представляется в виде суммы u = (u, n)n + [n, [u, n]]. Соответствующие задачи примут следующий вид: Задача 3. Найти решение системы (6.1) при начальном условии (5.2) и граничных условиях unorm = 0, x ∈ Γ, t ∈ [0,T ], (6.2) ( ∂u \\ ∂n tang = 0, x ∈ Γ, t ∈ [0,T ]. (6.3) Задача 4. Найти решение системы (6.1) при начальном условии (5.2) и граничных условиях utang = 0, x ∈ Γ, t ∈ [0,T ], (6.4) ( ∂u \\ ∂n norm = 0, x ∈ Γ, t ∈ [0,T ]. (6.5) 2,tang Определение 6.1. Функция u ∈ L2 0,T ; W 1 называется обобщенным решением задачи (6.1), (5.2), (6.2), (6.3), если ∂u 1 2 ∂t ∈ L2(0,T ; W- ) и для любой функции η(t, x), удовлетворяющей условиям (5.5), выполнено интегральное равенство r ( ∂η \\ r r - u, dxdt + ∂t QT QT (∇u, ∇η)dxdt = QT (h, η)dxdt. (6.6) Существование обобщенного решения для любой правой части h ∈ L2(QT ) доказывается так же, как и для задачи 3. Единственность можно установить следующим образом. 2,tang Покажем, что если функция u ∈ L2 0,T ; W 1 является обобщенным решением системы ∂u ∂t - Δu = 0, t ∈ (0,T ], x ∈ G, (32∗) при условиях (5.2), (6.2), (6.3), то u ≡ 0 в QT = [0,T ] × G. 58 Е. В. ГОЛУБЕВА, Ю. А. ДУБИНСКИЙ t Положим η(t, x)= Г u(τ, x)dτ и подставим в (6.6). Получим T T T 3 r r r r 3 ⎛ t ∂ui r ⎞ ∂ui Обозначим - u2dxdt + 0 G 0 '\\" '\\" G i=1 j=1 ∂xj ⎝ T t ∂xj dτ ⎠ dxdt = 0. r zij (t, x)= ∂ui dτ, ∂xj тогда Будем иметь ∂ui ∂xj T T T ∂zij = . ∂t r r r r 3 3 ∂z2 или - u2dxdt + 1 2 0 G 0 r r '\\" '\\" G i=1 j=1 3 3 ij dxdt = 0, ∂t - QT откуда следует, что u ≡ 0 в QT . - u2dxdt 1 2 G ij '\\" '\\" z2 (0, x)dx = 0, i=1 j=1 Для задачи (6.1), (5.2), (6.4), (6.5) аналогично формулируется определение обобщенного реше- ния и доказывается теорема о его существовании и единственности.