Об абстрактной формуле Грина для тройки гильбертовых пространств и полуторалинейных форм

Аннотация

В работе при некоторых общих предположениях выводится абстрактная формула Грина для тройки гильбертовых пространств и (абстрактного) оператора следа, а также аналогичная формула, отвечающая полуторалинейной форме. Установлены условия существования абстрактной формулы Грина для смешанных краевых задач. В качестве основного приложения выводятся обобщенные формулы Грина для оператора Лапласа применительно к краевым задачам в липшицевых областях.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ В данной работе рассматривается несколько проблем, связанных с выводом абстрактной формулы Грина. Во-первых, приводится вывод такой формулы для тройки гильбертовых пространств и абстрактного оператора следа. Во-вторых, приводится вывод абстрактной формулы Грина для равномерно аккретивных полуторалинейных форм. Наконец, в-третьих, приводится вывод соответствующей абстрактной формулы Грина для смешанных краевых задач. Частными случаями таких формул Грина являются, как известно, обобщенные формулы Грина для оператора Лапласа и близкие к ним (скалярный случай), соответствующие обобщенные формулы Грина для векторных полей (теория упругости, гидродинамика), а также обобщенные формулы Грина для равномерно эллиптических уравнений и систем таких уравнений и др. В работе рассматриваются примеры смешанных краевых задач, получаемых в произвольных ограниченных областях с липшицевой границей. Намечается программа дальнейших исследований, связанная с получением необходимых и достаточных условий разрешимости задач подобного рода. Рассматриваются абстрактные краевые задачи, обобщающие классические краевые задачи Дирихле, Неймана и др., а также смешанные задачи. Приводятся примеры абстрактных спектральных краевых задач, находящих широкие приложения в конкретных проблемах прикладной математики. Несколько слов об истории вопроса, связанного с выводом и получением абстрактной формулы Грина для тройки гильбертовых пространств и абстрактного оператора следа. Сначала автор этой статьи считал, что первый вариант абстрактной формулы Грина был выведен в монографии [14, c. 119] и этот вывод принадлежит С. Г. Крейну. Однако позже выяснилось, что еще раньше один из вариантов такой формулы доказал Ж.-П. Обэн (см. [20, глава 6], а также [26]). Далее, в монографии Р. Шоуволтера [30] существенно использовалась абстрактная формула Грина в форме Ж.-П. Обэна без ссылки на [20] или [26]. Дальнейшее продвижение в этом направлении принадлежит автору данной статьи (см. [11, 13, 15]). Отметим еще, что абстрактные формулы Грина для равномерно аккретивных форм выводятся здесь, по-видимому, впервые (см. теоремы 2.1-2.3). Новыми являются также и варианты абстрактных формул Грина для смешанных краевых задач (см. теоремы 3.4, 3.6). Автор благодарит М. С. Аграновича за конструктивные обсуждения проблем, представленных в данной работе, а также Т. А. Суслину за ценные замечания и советы. Исследования выполнены при финансовой поддержке Российского научного фонда (код проекта 14-21-00066), Воронежский государственный университет. Qc 2015 РУДН 71 72 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ 1. О ВЫВОДЕ АБСТРАКТНОЙ ФОРМУЛЫ ГРИНА ДЛЯ ТРОЙКИ ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ В данном параграфе доказывается теорема о существовании абстрактной формулы Грина для тройки гильбертовых пространств и абстрактного оператора следа, определенным образом связанных между собой. Далее рассматривается основной пример, приводящий к обобщению классической первой формулы Грина для оператора Лапласа. Приводятся и другие примеры обобщенных формул Грина для некоторых задач математической физики. 1. Основная теорема. При выводе абстрактной формулы Грина важную роль играют понятия гильбертовой пары пространств и оснащения гильбертова пространства (см. например, [6, 16], а также [14]). Пусть F и E - гильбертовы пространства со скалярными произведениями (·, ·)F и (·, ·)E соответственно, причем F ⊂ E. Будем говорить, что F плотно вложено в E и обозначать этот факт символом F '→ E, если F - плотное линейное подмножество в E и существует константа a > 0 такая, что u E :: a u F ∀u ∈ F. Говорят, что пространства F и E с указанными свойствами образуют гильбертову пару (F ; E). Классическим примером гильбертовой пары пространств является пара (H1(Ω); L2(Ω)), где Ω ⊂ Rm - произвольная ограниченная область с липшицевой границей Γ := ∂Ω, а нормы определены формулами u 2 r L2(Ω) := Ω r 2 2 |u(x)| dΩ, u H1(Ω) := Ω (|∇u|2 + |u|2) dΩ. (1.1) По любой паре (F ; E) единственным образом определяется порождающий оператор A гильбертовой пары, который обладает следующими свойствами: (u, Av)E = (u, v)F = (A1/2u, A1/2v)E ∀u ∈ F = D(A1/2), v ∈ D(A) ⊂ F, R(A)= E. (1.2) Таким образом, как оператор, действующий в E, оператор A является положительно определенным (вообще говоря, неограниченным) самосопряженным оператором, причем D(A1/2)= F. По оператору A » 0 можно ввести шкалу гильбертовых пространств Eα, Eα := D(Aα), α ∈ R, таким образом, чтобы E = E0, F = E1/2, F∗ = E-1/2, где F∗ - совокупность линейных ограниченных функционалов на пространстве F. Тогда имеет место оснащение E1/2 = F '→ E = E0 '→ F∗ = E-1/2 пространства E, причем любой линейный функционал на F выражается через «скалярное произведение» в E, т. е. lv (u) := (u, v)E, u ∈ F, v ∈ F∗, |(u, v)E| :: u F · v F ∗ . Иными словами, пространства F = E1/2 и F∗ = E-1/2 дуальны по форме пространства E, а билинейная форма (u, v)E является расширением по непрерывности скалярного произведения (u, v)E, u ∈ F, v ∈ E, на случай, когда v ∈ F∗. В построенной шкале Eα оператор A ограниченно действует из Eα в Eα-1. В частности, для оператора A гильбертовой пары (F ; E) далее понадобится формула (u, v)F = (A1/2u, A1/2v)E = (u, Av)E ∀u, v ∈ F, (1.3) являющаяся расширением формулы (1.2) и также служащая определением порождающего оператора гильбертовой пары (F ; E). Пусть теперь {E, (·, ·)E}, {F, (·, ·)F } и {G, (·, ·)G} - сепарабельные гильбертовы пространства с введенными в них скалярными произведениями. Будем считать, что для этой тройки пространств выполнены следующие условия: 1◦. Плотность вложения: F '→ E, u E :: a u F ∀u ∈ F. (1.4) ОБ АБСТРАКТНОЙ ФОРМУЛЕ ГРИНА ДЛЯ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫХ ФОРМ 73 2◦. На F задан оператор γ, называемый оператором следа и ограниченно действующий из F в G, причем γ отображает F на плотное множество R(γ) =: G+ ⊂ G и γ : F → G+ '→ G, γu G :: b u F , b > 0 ∀u ∈ F. (1.5) 3◦. Ядро оператора γ, т. е. ker γ =: N, плотно в E, и выполнено свойство N '→ E, u E :: c u F ∀ u ∈ N. (1.6) Типичным примером, когда выполнены условия 1◦-3◦, является тройка пространств E = L2(Ω), F = H1(Ω), G = L2(Γ), Γ := ∂Ω, с введенными на них нормами (1.1) и стандартной нормой в L2(Γ), а также с обычным оператором следа γu := u|Γ ∀u ∈ H1(Ω). (1.7) В самом деле, в этом случае (в области Ω ⊂ Rm с липшицевой границей) по теореме вложения (С. Л. Соболев, В. Е. Кондрашов, Ф. Реллих, см. [22], [23, c. 32], [10, c. 47]) имеем свойство плотности H1(Ω) в L2(Ω) и выполнены неравенства u L2(Ω) :: a u H1(Ω) ∀u ∈ H 1(Ω), причем оператор вложения компактен. Далее, по теореме Гальярдо о следах (см. [27]) получаем, что оператор γ ограниченно действует из H1(Ω) в пространство G+ := H1/2(Γ), компактно вложенное в L2(Γ), и выполнено неравенство γu H1/2(Γ) :: b u H1(Ω) ∀u ∈ H1(Ω). (1.8) 0 Наконец, в этом примере N := ker γ = H1(Ω), а это подпространство пространства H1(Ω), как известно, плотно в L2(Ω), и выполнено неравенство Фридрихса: 1 u L2(Ω) :: c u H1(Ω) ∀ u ∈ H0 (Ω). (1.9) Таким образом, для указанной тройки пространств и оператора следа (1.7) выполнены все условия 1◦-3◦. Теорема 1.1. Пусть для тройки пространств E, F, G (с введенными на них скалярными произведениями) и для оператора γ выполнены условия (1.4)-(1.6). Тогда существуют абстрактное дифференциальное выражение Lu ∈ F∗ и абстрактная производная по внешней нормали ∂u ∈ (G+)∗ такие, что имеет место абстрактная формула Грина (аналог первой формулы Грина для оператора Лапласа) (η, u)F = (η, Lu)E + (γη, ∂u)G ∀η, u ∈ F. (1.10) При этом ∂u по элементам u ∈ F и Lu ∈ F∗ определяется однозначно. Доказательство. Оно проводится, с одной стороны, по схеме, изложенной в [20, c. 188-189], а с другой - с изменениями и некоторыми обобщениями, учитывающими, в частности, то обстоятельство, что только по элементу u ∈ F выражения Lu ∈ F∗ и ∂u ∈ (G+)∗ находятся неоднозначно (см. [28, с. 117]). 1. Переходя к доказательству теоремы, отметим сначала, что в силу (1.5) ядро N = ker γ является подпространством в F. Обозначим через M ортогональное дополнение к N в F, т. е. считаем, что F = N ⊕ M, dim N = dim M = ∞. (1.11) Согласно определениям N и M оператор сужения γM := γ|M оператора γ на подпространство M осуществляет взаимно однозначное отображение M на G+ (см. (1.5)). Это позволяет ввести на G+ структуру гильбертова пространства, полагая (ϕ, ψ)G+ := (u, v)F , u, v ∈ M, γM u = ϕ, γM v = ψ. (1.12) Опираясь на (1.12) и (1.11), можно установить, что ϕ G+ = min { u F : γu = ϕ}, и так как G+ '→ G и имеет свойство (1.5), то (G+; G) - гильбертова пара пространств. Построим по этой паре шкалу пространств Gα, α ∈ R, так, чтобы G+ = G1/2, G = G0, (G+)∗ = G-1/2. 74 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ С целью получения представления для оператора гильбертовой пары (G+; G) проведем следующие построения. Обозначим через TM оператор, сопряженный к оператору γM по форме пространства G. Так как в силу (1.12) оператор γM изометрически отображает пространство M на G+ = G1/2, то оператор TM := (γM )∗ изометрически отображает (G+)∗ = G-1/2 на M∗ = M. При этом по определению TM имеем (η, TM ψ)F = (γM η, ψ)G ∀η ∈ M ∀ψ ∈ (G+)∗ = G-1/2. (1.13) Обозначим теперь через ∂M оператор, обратный к TM , который, очевидно, существует, поскольку между элементами из M и G+ имеется взаимно однозначное соответствие и даже изометрия (см. (1.12)), а потому (TM )-1 = (γ∗ )-1 = (γ-1)∗. Тогда из (1.13) получаем тождество M M (η, w)F = (γM η, ∂M w)G ∀η, w ∈ M, γM η ∈ G+, ∂M w ∈ (G+)∗. (1.14) При η = TM ϕ, ϕ ∈ (G+)∗, из (1.13) получаем соотношение (TM ϕ, TM ψ)F = (γM TM ϕ, ψ)G ∀ϕ, ψ ∈ (G+)∗. Отсюда следует, в частности, что оператор CM := γM TM изометрически отображает (G+)∗ = G-1/2 на G1/2 = G+. Кроме того, CM |G является ограниченным в G самосопряженным и положительным оператором. Эти свойства позволяют установить, что (CM )-1 является оператором гильбертовой пары (G+; G), и для него согласно свойству (1.3) выполнено тождество + M (ϕ, ψ)G = (ϕ, C-1ψ)G ∀ϕ, ψ ∈ G+. 2. Продолжим построения, связанные с доказательством теоремы. Рассмотрим гильбертову пару (F ; E), которая существует в силу условия 1◦, и введем оператор A этой гильбертовой пары. Тогда согласно (1.3) (η, u)F = (A1/2η, A1/2u)E = (η, Au)E ∀η, u ∈ F. (1.15) Обозначим через PN и PM ортопроекторы на подпространства N и M соответственно и рассмотрим функционал lu(ηN ) := (ηN , u)F , ηN = PN η ∈ N, u ∈ F. С учетом (1.15) он преобразуется к виду N (ηN , u)F = (ηN , Au)E = (PN ηN , Au)E = (ηN ,P∗ Au)E =: (ηN , LN u)E, (1.16) N LN u := P∗ Au ∀u ∈ F. Здесь LN : F → N∗ - линейный ограниченный оператор, так как A : F → F∗ - ограниченный N оператор, а P∗ : F∗ → N∗ = AN - ограниченный проектор, действующий в F∗. Из (1.16) приходим к формулам (ηN , uN )F = (ηN , LN uN )E, ηN = PN η, uN = PN u, η, u ∈ F, (1.17) (ηN , uM )F =0= (ηN , LN uM )E, uM = PM u, u ∈ F. (1.18) Так как N = E (см. (1.6)), то из (1.18) получаем, что LN uM = LN PM u = 0, u ∈ F. (1.19) 3. Введенный функционал LN u задан на подпространстве N. Расширим его определенным образом до функционала Lu, действующего на всем F = N ⊕ M. Именно, далее будем считать, что Lu = LN u + LM u, LN : F → N∗, LM : F → M∗ := AM. (1.20) При этом потребуем (и это свойство соответствует многочисленным приложениям), чтобы LuM =0 ∀uM ∈ M. (1.21) Тогда в силу (1.19) и (1.20) должно выполняться свойство LM uM =0 ∀uM ∈ M. (1.22) 4. Введем теперь в рассмотрение функционал Ψu(η) := (η, u)F - (η, LN u)E ∀η, u ∈ F. ОБ АБСТРАКТНОЙ ФОРМУЛЕ ГРИНА ДЛЯ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫХ ФОРМ 75 По построению (см. (1.16)) имеем свойство Ψu(ηN )= 0. Поэтому Ψu(η)= Ψu(ηM ), ηM = PM η ∈ M, т. е. этот функционал принимает ненулевые значения на подпространстве M или, что равносильно, на G+, так как между M и G+ имеет место изометрический изоморфизм (см. (1.12)). Поэтому Ψu(η) можно представить в виде либо функционала на M, либо функционала на G+, либо суммы функционалов на M и G+ соответственно, причем в этом последнем случае между указанными функционалами будет определенная связь. Именно этот последний вариант, как будет видно из рассмотренного ниже классического примера, и возникает в приложениях. Отметим еще, что в краевых задачах математической физики элемент f = Lu ∈ F∗ может содержать составляющую (обобщенную функцию, распределение), сосредоточенную не только внутри области Ω ⊂ Rm, где изучается краевая задача, но и на границе Γ= ∂Ω этой области (см., например, [28, с. 117]). Реализуя эту идею в абстрактной форме, представим Ψu(η) в виде Ψu(η)= Ψu(ηM ) := (η, u)F - (η, LN u)E = (η, LM u)E + (γη, ∂u)G, η, u ∈ F. (1.23) Здесь LM u ∈ M∗ = AM, а (η, LM u)E = (ηM , LM u)E - функционал на подпространстве M, выраженный в виде полуторалинейной формы относительно ηM ∈ M и LM u ∈ M∗. Соответственно ∂u ∈ (G+)∗, а (γη, ∂u)G = (γM ηM , ∂u)G - функционал на G+, выраженный в виде формы относительно γη = γM ηM и ∂u ∈ (G+)∗. Отметим, что в приложениях конкретный вид выражения LM u определяется, исходя из заданного дифференциального выражения, отражающего физический процесс, и соответствующей формулы Грина, отвечающей исследуемой задаче. Из (1.23) при η = ηM , u = uM имеем тождество (ηM , uM )F = (γM ηM , ∂M uM )G, ηM , uM ∈ M, ∂M uM := (∂u)|M , (1.24) служащее определением функционала ∂M uM ∈ (G+)∗, являющегося абстрактным аналогом производной по внешней нормали для элементов из подпространства M. Заметим, что это тождество уже было выведено ранее (см. (1.14)), причем M ∂M = (TM )-1 = (γ-1)∗. При выводе (1.24) было учтено, что (см. (1.16), (1.22)) (ηM , LN uM )E = 0, LM uM = 0. При η = ηM , u = uN из (1.23) имеем соотношение 0= (ηM , LM uN )E + (γM ηM , ∂N uN )G ∀ηM ∈ M ∀uN ∈ N, ∂N uN := (∂u)|N , (1.25) Именно оно и дает связь между функционалами LM uN и ∂N uN , о которой говорилось выше. В частности, если функционал LM uN ∈ M∗ задан, то функционал ∂N uN ∈ (G+)∗ определен однозначно. 5. Назовем Lu := LN u + LM u (см. (1.20)) абстрактным дифференциальным выражением. С учетом (1.19) и (1.22) будем иметь Lu = LN (uN + uM )+ LM (uN + uM )= LN uN + LM uN = LuN ∈ F∗. (1.26) Введем еще функционал ∂u := ∂M uM + ∂N uN ∀u = uN + uM ∈ N ⊕ M = F и назовем его абстрактной производной по внешней нормали для любого элемента u ∈ F. Для получения абстрактной формулы Грина используем тождества (1.17), (1.18) и (1.24), (1.25). Из них после сложения левых и правых частей приходим к соотношению (η, u)F = (ηN , uN )F + (ηM , uM )F = = (ηN , LN uN )E + (γM ηM , ∂M uM )G + (ηM , LM uN )E + (γM ηM , ∂N uN )G = = (γM ηM , ∂M uM + ∂N uN )G + (ηN , LN uN )E + (ηM , LM uN )E = = (γη, ∂u)G + (ηN , LN uN )E + (ηM , LM uN )E. Проверим теперь, что (1.27) (ηN , LN uN )E + (ηM , LM uN )E = (η, Lu)E, (1.28) 76 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ где Lu определено формулой (1.20). В самом деле, с учетом (1.26) имеем (η, Lu)E = (ηN + ηM , LN uN + LM uN )E = = (ηN , LN uN )E + (ηM , LN uN )E + (ηN , LM uN )E + (ηM , LM uN )E = = (ηN , LN uN )E + (ηM , LM uN )E, (1.29) так как N (ηM , LN uN )E = (PM η, P∗ AuN )E = (PN PM η, AuN )E = 0, M (ηN , LM uN )E = (ηN ,P∗ LM uN )E = (PM PN η, LM uN )E = 0. M Здесь в последнем тождестве использовано свойство LM uN = P∗ LM uN ∈ M∗. 6. Из (1.27) и (1.28) следует формула Грина (η, u)F = (η, Lu)E + (γη, ∂u)G ∀η, u ∈ F, (1.30) причем по построению Lu ∈ F∗, ∂u ∈ (G+)∗, Lu = LN uN + LM uN , ∂u = ∂M uM + ∂N uN . Отметим еще раз, что если функционал LM uN выбран, то функционал ∂N uN определен однозначно. Замечание 1.1. Из проведенного доказательства теоремы следует, что для тройки пространств E, F, G и абстрактного оператора следа γ, удовлетворяющих условиям (1.4)-(1.6), существует не одна, а целое семейство формул Грина. Это семейство параметризуется, во-первых, выбором функционала LM uN ∈ M∗, а во-вторых, - произвольным числовым параметром α, вещественным либо комплексным. В самом деле, при выбранном LM uN можно ввести семейство абстрактных дифференциальных выражений L(α)u по формуле L(α)u := LN u + αLM u = LN uN + αLM uN , (1.31) а также отвечающее им семейство производных по нормали ∂(α)u := ∂M uM + α ∂N uN , (1.32) и тогда получим семейство формул Грина вида (η, u)F = (η, L(α)u)E + (γη, ∂(α)u)G ∀η, u ∈ F. При этом формула Грина (1.30) отвечает значению α = 1. D Замечание 1.2. Отметим еще раз, что в приложениях дифференциальное выражение Lu ∈ F∗ определено из физического смысла задачи, и тогда для него однозначно находятся LM uN и константа α. D Следствием теоремы 1.1 является такое утверждение. Теорема 1.2 (вторая формула Грина). Если выполнены условия теоремы 1.1, то в случае вещественных гильбертовых пространств E, F и G справедлива формула (η, Lu)E - (u, Lη)E = (γu, ∂η)G - (γη, ∂u)G, η, u ∈ F ; для комплексных пространств E, F и G соответственно имеем (η, Lu)E - (u, Lη)E = (γu, ∂η)G - (γη, ∂u)G, η, u ∈ F. D ОБ АБСТРАКТНОЙ ФОРМУЛЕ ГРИНА ДЛЯ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫХ ФОРМ 77 2. Основной пример. Рассмотрим в произвольной ограниченной области Ω ⊂ Rm с липшицевой границей Γ := ∂Ω гильбертовы пространства L2(Ω) и H1(Ω) с нормами (1.1). Как уже упоминалось выше, пространство H1(Ω) компактно вложено в L2(Ω), H1(Ω) '→'→ L2(Ω), т. е. соответствующий оператор вложения компактен, а (H1(Ω); L2(Ω)) - гильбертова пара пространств. Воспользуемся первой формулой Грина для оператора u - Δu (см., например, [28, с. 114]): (η, u - Δu)L2(Ω) = (η, u)H1(Ω) - γη, ∂u ∂n L2(Γ) , η ∈ H 1(Ω), u ∈ H 2(Ω). Отсюда на основе обычных вариационных соображений и с использованием определения (1.2) порождающего оператора A гильбертовой пары (H1(Ω); L2(Ω)) устанавливаем, что он является оператором краевой задачи Неймана: Au := u - Δu = f (в Ω), ∂u =0 (на Γ). (1.33) ∂n Точнее говоря, в области Ω с липшицевой границей Γ = ∂Ω порождающий оператор пары (H1(Ω); L2(Ω)) является расширением оператора задачи (1.33) с H2(Ω) на H1(Ω), при этом D(A)= H1(Ω), R(A)= (H1(Ω))∗, (1.34) а его сужение на D(A) ⊂ H1(Ω) с R(A) = L2(Ω) является неограниченным самосопряженным положительно определенным оператором, D(A1/2) = H1(Ω), причем A-1 - положительный компактный оператор, действующий в L2(Ω). Введем, как и выше (см. (1.7)), для элементов из H1(Ω) оператор следа γ по закону γη := η|Γ, Γ= ∂Ω, D(γ)= H1(Ω). (1.35) Как уже упоминалось, по теореме Гальярдо (см. [27]) в области Ω с липшицевой границей Γ оператор γ ограниченно действует из H1(Ω) в гильбертово пространство H1/2(Γ) с нормой ϕ 2 r r r := |ϕ|2 dΓ+ |ϕ(x) - ϕ(y)|2 H1/2(Γ) Γ и имеет место оценка (вида (1.8)): Γx Γy |x - y| m+1 dΓx dΓy, (1.36) γu H1/2(Γ) :: c1 u H1(Ω) ∀u ∈ H1(Ω). При этом H1/2(Γ) компактно вложено в L2(Γ), H1/2(Γ) '→'→ L2(Γ). Далее, для любой функции ϕ ∈ H1/2(Γ) существует функция u ∈ H1(Ω) (определяемая не единственным образом по ϕ), такая, что γu = ϕ, u H1(Ω) :: c2 ϕ H1/2(Γ). Опираясь на эти факты, рассмотрим согласно общей схеме пункта 1.1 ортогональное разложение пространства H1(Ω). Очевидно, что 0 N = ker γ = {u ∈ H1(Ω) : γu = u|Γ = 0} =: H1(Ω). 0 Выясним, каким будет ортогональное дополнение M к N = H1(Ω) в F = H1(Ω). 0 Если η ∈ H1(Ω) и u ∈ M, то в силу ортогональности η и u имеем r (η, u)H1(Ω) := Ω 0 (ηu + ∇η · ∇u) dΩ=0 ∀η ∈ H1(Ω) ∀u ∈ M. Отсюда, из свойства плотности H1(Ω) в L2(Ω), а также того факта, что в H1(Ω) плотным мно- 0 0 жеством является совокупность финитных бесконечно дифференцируемых функций, получаем, что h M =: H1(Ω) = {u ∈ H1(Ω) : u - Δu = 0}. (1.37) h Далее для простоты будем называть H1(Ω) подпространством гармонических функций. Таким образом, имеет место ортогональное разложение (разложение Вейля, см. [7]) F = H1(Ω) = H1(Ω) ⊕ H1(Ω) = N ⊕ M. (1.38) 0 h 78 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ Воспользуемся еще следующим фактом (см., например, [28, c. 98], [24, с. 149]): в области Ω ⊂ Rm с липшицевой границей Γ= ∂Ω имеет место свойство (H1/2(Γ))∗ = H-1/2(Γ), (1.39) т. е. H1/2(Γ) и H-1/2(Γ) - дуальные пространства, и имеет место оснащение H1/2(Γ) '→'→ L2(Γ) '→'→ H-1/2(Γ) = (H1/2(Γ))∗. (1.40) Обозначим через PN и PM ортопроекторы на подпространства H1(Ω) и H1(Ω) соответствен- 0 h но (см. (1.38)). Реализуя для данного примера общие построения, которые были проведены при доказательстве теоремы 1.1, рассмотрим функционал r lu(ηN ):=(ηN , u)H1(Ω)= Ω 0 (ηN u+∇ηN ·∇u)dΩ ∀ηN = PN η ∈H1(Ω),u∈H1(Ω). (1.41) С учетом определения (1.3) оператора A гильбертовой пары (H1(Ω); L2(Ω)), а также выражения (1.33) для этого оператора функционал (1.41) преобразуется к виду N lu(ηN ) := (ηN , u)H1(Ω) = (ηN ,u - Δu)L2(Ω) = (ηN ,P∗ (u - Δu)) L2(Ω) =: 2 0 =: (ηN , LN u)L (Ω), ηN ∈ H1(Ω), u ∈ H 1(Ω). (1.42) (Это соотношение выводится сначала для u ∈ H2(Ω), а затем предельным переходом и для u ∈ H1(Ω).) 0 Так как H1(Ω) плотно вложено в L2(Ω) и имеет место оснащение H1 1 ∗ -1 то из (1.42) следует, что 0 (Ω) '→'→ L2(Ω) '→'→ (H0 (Ω)) =: H (Ω), (1.43) LN u := P∗ (u - Δu) ∈ N∗ = (H1(Ω))∗, N 0 1 ∗ а оператор LN ∈ L(H (Ω); (H0 (Ω)) ). Здесь PN - проектор в пространстве (H (Ω)) ). Из тождества (1.42) следуют соотношения 1 (ηN , uN )H1(Ω) = (ηN , LN uN )L2(Ω) ∀ηN = PN η ∀uN = PN u ∈ H0 (Ω), 1 1 (ηN , uM )H1(Ω) =0= (ηN , LN uM )L2(Ω) ∀ηN ∈ H0 (Ω) ∀uM ∈ Hh (Ω). (1.44) Из (1.44) и (1.43), в частности, получаем, что N LN uM = P∗ (uM - ΔuM )= 0, (1.45) хотя этот факт очевиден также из (1.37). Следуя далее общей схеме доказательства теоремы 1.1, рассмотрим функционал Ψu(η) := (η, u)H1(Ω) - (η, LN u)L2(Ω) = r N = (ηu+∇η·∇u)dΩ-(η, P∗ (u -Δu)) Ω L2(Ω) , η, u ∈ H1(Ω). (1.46) h Так как по построению Ψu(ηN )= 0, то Ψu(η)= Ψu(ηM ), ηM = PM η ∈ M = H1(Ω). h Напомним, что между элементами пространства H1(Ω) и элементами пространства H1/2(Γ) имеется изоморфизм и даже изометрия, если в H1/2(Γ) задать норму в виде h ϕ H1/2(Γ) = u H1(Ω), ϕ = γM u, u ∈ H1(Ω). (1.47) 1 ∗ 1 Поэтому Ψu(η) можно выразить как в виде (ηM , LM u)L2(Ω), где LM u ∈ (Hh (Ω)) = AHh (Ω), LM ∈ L(H1(Ω); (H1(Ω))∗) - произвольный оператор, так и в виде (γM ηM , ∂u)L (Γ), ∂u ∈ H-1/2(Γ) h 2 (см. (1.40)), либо в виде суммы таких функционалов, связанных между собой (см. (1.25)): h Ψu(η)= (ηM , LM u)L2(Ω) + (γM ηM , ∂u)L2(Γ), ηM = PM η ∈ H1(Ω), u ∈ H1(Ω). (1.48) M Учитывая, что γM ηM = γη ∀η ∈ H1(Ω), а также тот факт, что LM u = P∗ LM u, правую часть в (1.48) можно переписать в виде Ψu(η)= (η, LM u)E + (γη, ∂u)G ∀η, u ∈ H1(Ω), (1.49) ОБ АБСТРАКТНОЙ ФОРМУЛЕ ГРИНА ДЛЯ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫХ ФОРМ 79 а тогда из (1.46), (1.49) следует тождество (η, u)H1(Ω) = (η, Lu)L2(Ω) + (γη, ∂u)L2(Γ) ∀η, u ∈ H 1(Ω), (1.50) N Lu := LN u + LM u = P∗ (u - Δu)+ LM u, u ∈ H1(Ω). (1.51) Потребуем, как и в общей схеме доказательства теоремы 1.1 (см. (1.21)), чтобы выполнялось условие LuM = 0. (1.52) Тогда в силу (1.51), (1.45) получаем свойство h LM uM =0 ∀uM = PM u ∈ H1(Ω). (1.53) Из (1.50) либо (1.48), в частности, при u = uM ∈ H1(Ω), η = ηM ∈ H1(Ω) имеем соотношение h ∂uM h ∂uM 1/2 (ηM , uM )H1(Ω) = (γM ηM , ∂M uM )L2(Γ) =: (γM ηM , ∂n )L2(Γ), ∂n Γ ∈ H- (Γ), (1.54) h которое служит определением производной по внешней нормали элемента uM ∈ H1(Ω). Оно обобщает обычную формулу r r (ηM uM + ∇ηM · ∇uM )dΩ= Ω Γ η ∂uM dΓ, M ∂n ηM ∈ H1(Ω), uM ∈ H1(Ω) ∩ H2(Ω). h h Отметим еще, что в (1.54) функционал ∂uM ∂n Γ ∈ H-1/2(Γ) не зависит от того, какой функционал LM u выбран в (1.48), так как выполнено условие (1.53). Возьмем теперь в (1.50) η = ηM ∈ H1(Ω), u = uN ∈ H1(Ω). Тогда в силу ортогональности h 0 H1 1 h (Ω) и H0 (Ω), а также свойства (1.52) получаем соотношение 1 1 0= (ηM , LM uN )L2(Ω) + (γM ηM , ∂N uN )L2(Γ) ∀ηM ∈ Hh (Ω) ∀uN ∈ H0 (Ω), (1.55) ∂N uN = (∂u)|N ∈ (G+)∗, LM uN ∈ M∗. Здесь по аналогии с формулой r r ∂uN 1 1 2 ηM (uN -ΔuN )dΩ+ ηM Ω Γ ∂n dΓ= 0 ∀ηM ∈ Hh (Ω) ∀uN ∈ H0 (Ω) ∩ H (Ω), (1.56) 0 функционал ∂N uN можно назвать производной по внешней нормали для элемента uN ∈ H1(Ω). Тогда ∂u = ∂M uM + ∂N uN = ∂uM ∂n + ∂uN ∂n ∂ = Γ ∂n uN + uM = Γ ∂u ∂n Γ ∈ H-1/2(Γ), т. е. ∂u есть производная по внешней нормали для произвольного элемента u ∈ H1(Ω). Тождество (1.55), как и в общих построениях в теореме 1.1, дает связь между функционалами LM uN и ∂N uN , которая по необходимости должна выполняться. В частности, опираясь на (1.56), можно выбрать LM uN в виде LM uN := P∗ (uN - ΔuN ), uN ∈ H1(Ω). M 0 M (Напомним, что согласно (1.33), (1.34) элемент u - Δu ∈ (H1(Ω))∗, а P∗ - проектор на подпро- ∗ 1 ∗ странство M = AM = (Hh (Ω)) .) Тогда формула (1.50) примет вид ∂u 1 (η, u)H1(Ω) = (η, P∗ (u - Δu)+ P∗ (u - Δu)) + (γη, ∂n ) ∀η, u ∈ H (Ω). (1.57) N M L2(Ω) L2(Γ) Теорема 1.3. Для тройки пространств L2(Ω), H1(Ω), L2(Γ), Γ = ∂Ω, и оператора следа γ (см. (1.35)) имеет место следующая обобщенная формула Грина для оператора Лапласа: ∂u (η, u)H1(Ω) = (η, u - Δu)L2(Ω) + (γη, ∂n )L2(Γ) ∀η, u ∈ H 1(Ω), (1.58) - ∈ u Δu (H1(Ω))∗, ∂u ∂n Γ ∈ H-1/2(Γ). (1.59) При этом (∂u/∂n)Γ определяется по элементам u ∈ H1(Ω) и u - Δu ∈ (H1(Ω))∗ однозначно. 80 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ N Доказательство. Оно следует из проведенных построений и из (1.57), если заметить, что P∗ + P∗ M = IF ∗ - единичный оператор в (H 1(Ω))∗. Из (1.58) следует также «привычная» первая формула Грина для оператора Лапласа Δ: r (η, -Δu)L2(Ω) = Ω ∂u ∇η · ∇u dΩ - (γη, ∂n )L2(Γ) ∀η, u ∈ H 1(Ω). (1.60) Из (1.58) можно получить и вторую обобщенную формулу Грина для оператора Лапласа, см. теорему 1.2. Замечание 1.3. Отметим еще раз, как и в замечаниях 1.1 и 1.2, что из доказательства теоремы 1.3 можно установить существование не одной формулы Грина (1.58), а целого семейства таких формул, т. е. (η, u)H1(Ω) = (η, L(α)u)L2(Ω) + (γη, ∂(α)u )L2 (Γ) ∀η, u ∈ H 1(Ω), L(α)u := P∗ (u - Δu)+ αP∗ (u - Δu) ∈ (H1(Ω))∗, (1.61) N ∂(α)u := ∂uM ∂n Γ M + α ∂uN ∂n Γ ∈ H-1/2(Γ), где α - произвольная константа. Однако в приложениях возникает дифференциальное выражение u - Δu (или -Δu в (1.60)), которое получается из (1.61) при α = 1. D 3. Другие примеры обобщенных формул Грина. Здесь будут рассмотрены некоторые примеры классических формул Грина и (без доказательства) их соответствующие обобщенные варианты. 1. Равномерно эллиптическое дифференциальное выражение. Пусть снова Ω ⊂ Rm, а Γ := ∂Ω - сначала достаточно гладкая. Рассмотрим дифференциальное выражение m Lu := - j,k=1 для которого выполнены условия ∂ a ∂xj jk 2 ∂u (x) ∂x + a0(x)u, u ∈ C (Ω), (1.62) k ajk (x)= akj (x) ∈ C1(Ω), j, k = 1, m, 0 < a0 :: a0(x) ∈ C(Ω), (1.63) а также условие равномерной эллиптичности: m m ajk (x)ξjξk c |ξk|2, c > 0 ∀x ∈ Ω. (1.64) j,k=1 Введем производную по конормали k=1 ∂u m ∂ν := ajk (x) j,k=1 ∂u ∂xk m nj, αn = njαej , j=1 отвечающую дифференциальному выражению (1.62), и квадратичную форму m r ∂u r H1 u 2 := ajk ∂u (x) + a0(x)|u|2l dΩ. (1.65) eq (Ω) Ω j,k=1 ∂xk ∂xj Тогда, как известно, имеет место следующая классическая формула Грина для равномерно эллиптического дифференциального выражения Lu: r r eq (Ω) ηLu dΩ= (η, u)H1 - Ω Γ ∂u ∈ η dΓ, η C ∂ν 1(Ω), u ∈ C 2(Ω). eq Форма (1.65) при условиях (1.63), (1.64) задает в пространстве H1(Ω) норму, эквивалентную стандартной норме (1.1). Отсюда, а также из теоремы Гальярдо следует, что для тройки пространств E = L2(Ω), F = H1 (Ω), G = L2(Γ) и обычного оператора следа γ (см. (1.35)) выполнены для области Ω с липшицевой границей Γ= ∂Ω общие условия (1.4)-(1.6). Отсюда, в свою очередь, ОБ АБСТРАКТНОЙ ФОРМУЛЕ ГРИНА ДЛЯ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫХ ФОРМ 81 следует, что справедлива следующая обобщенная формула Грина для равномерно эллиптического оператора: eq (Ω) (η, Lu)L2(Ω) = (η, u)H1 ∂u - (γη, ∂ν ) L2(Γ) eq ∀η, u ∈ H1 (Ω) = H 1(Ω), (1.66) Lu ∈ (H1 (Ω))∗, γη ∈ H1/2(Γ), ∂u ∈ H-1/2(Γ). eq ∂ν Отметим, что если выполнены условия ajk (x) ≡ δjk, a0(x) ≡ 1, то формула (1.66) переходит в формулу (1.58). 2. Обобщенная формула Грина для систем линейных эллиптических уравнений. Будем снова считать, что Ω ⊂ Rm и Γ := ∂Ω достаточно гладкая. Рассмотрим систему дифференциальных выражений m Lau := - ∂j rajk (x)∂ku(x)l + a0(x)u(x), ∂j := ∂/∂xj, (1.67) j,k=1 которая применена к вектор-столбцу u(x) := (u1(x); ... ; un(x))τ , x ∈ Ω, где символом ( ·; ... ; · )τ обозначена операция транспонирования. Здесь ajk (x) - матрицы, подчиненные условиям симметрии (в комплексных пространствах): a∗ rs sr jk (x)= ajk (x) ⇐⇒ ajk (x)= akj (x), r, s = 1, n, а матрица a0(x) - эрмитова и положительно определенная, т. е. ∗ a0(x)= a0(x) » 0. Введем производную по конормали, отвечающую дифференциальному выражению (1.67): m ∂νa u(x) := nj (x)ajk (x)∂ku(x), n = (n1(x); ... ; nm(x))τ , j,k=1 и будем считать, что выполнены следующие условия (см. [2]): 1. Матрица a(x, ξ) := m ajk (x)ξjξk, ξ ∈ Rn, |ξ| = 1, j,k=1 называемая главным символом дифференциального выражения (1.67), является положительно определенной равномерно по x ∈ Ω, т. е. выражение Lau сильно эллиптично. Как указано в [2, с. 11], из сформулированного условия следует свойство эллиптичности det a(x, ξ) /=0 и выполнение так называемого условия Шапиро-Лопатинского. 2. Имеет место неравенство jkξj k c |ξj | , x ∈ Ω, ξj ∈ C, c > 0. ars rξs r 2 r Тогда (см., например, [2]) имеет место неравенство u 2 r H1 a (Ω) := E(u, u) dΩ+ r (a0(x)u) · u dΩ n Ω Ω (1.68) c u 2 H1(Ω) 2 := c uk H1(Ω) k=1 jk , E(u, u) := ars ∂jur∂kus. Заметим, что для гладких функций η(x) := (η1(x); ... ; ηn(x))τ и u(x) := (u1(x); ... ; un(x))τ в области Ω с гладкой границей имеет место следующая формула Грина: a (Ω) (η, Lau)L2(Ω) = (η, u)H1 - (γη, ∂νa u)L2(Γ) , η ∈ C 1(Ω), u ∈ C 2(Ω), (1.69) 82 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ L2(Ω) L2(Ω) := {u := (u1; ... ; un)τ : u 2 L2(Γ) L2(Γ) := {ϕ := (ϕ1; ... ; ϕn)τ : ϕ 2 := ur L (Ω) n 2 2 := ϕr L (Γ) r=1 n 2 2 r=1 < ∞}, (1.70) < ∞}, (1.71) γu := (γu1; ... ; γun)τ . a a Из неравенства (1.68) следует, что нормы в пространствах H1(Ω) и H1(Ω) (для вектор-столбца u := (u1; ... ; un)τ , см. правую часть (1.68)) эквивалентны. Отсюда и из теоремы 1.1, примененной к тройке пространств E = L2(Ω) (см. (1.70)), F = H1(Ω), G = L2(Γ) (см. (1.71)) и оператору γ, приходим к выводу, что в области Ω ⊂ Rm с липшицевой границей Γ= ∂Ω справедлива формула Грина a (Ω) (η, Lau)L2(Ω) = (η, u)H1 - (γη, ∂νa u)L2(Γ) a ∀η, u ∈ H1 (Ω), a a Lau ∈ (H1(Ω))∗, ∂ν u ∈ (H1/2(Γ))∗ = H-1/2(Γ), обобщающая формулу (1.69). 3. Обобщенная формула Грина линейной теории упругости. В линейной теории упругости основным дифференциальным выражением для поля αu = αu(x), x ∈ Ω ⊂ R3, перемещений сплошной упругой среды является выражение Lαu := αu - [μΔαu + (λ + μ)∇divαu], λ > 0, μ > 0, где λ и μ - физические константы. Соответствующая классическая формула Грина для гладких полей αη(x) и αu(x) в области Ω с гладкой границей Γ= ∂Ω имеет вид r r αη · (Lαu) dΩ= μ E(αη, αu)+ λ r (divαη)(divαu) dΩ+ αη · αu dΩ- Ω Ω Ω r - (γαη) · (P αu) dΓ, αη ∈ Cα 1(Ω), αu ∈ Cα 2(Ω), Γ 1 r E(αη, αu) := 2 Ω 3 3 τjk (αη)τjk (αu) dΩ, τjk (αu) := j,k=1 ∂uj ∂xk + ∂uk , ∂xj (1.72) P αu := (μτjk (αu)+ λdivαu δjk ) cos(αn, αek )αej , j,k=1 3 3 αu = ujαej , γαη := (γuj )αej =: αη|Γ. j=1 j=1 eq Введем пространство вектор-функций Lα 2(Ω) с нормой (1.70) при n = 3, соответствующее пространство Lα 2(Γ) (см. (1.71)), а также пространство Hα 1 (Ω) с нормой H 1 αu 2 eq (Ω) r := μE(αu, αu)+ λ r |divαu|2 dΩ+ |αu|2 dΩ. Ω Ω Опираясь на неравенство Корна (см. [21, с. 18], а также (1.68)) αu H 1 2 eq (Ω) 2 c1 αu H 1(Ω) , c1 > 0 ∀αu ∈ Hα 1(Ω), eq можно доказать, что нормы в пространстве Hα 1 (Ω) и в пространстве Hα 1(Ω) со стандартной нормой эквивалентны. eq Отсюда и из теоремы 1.1, примененной к пространствам E = Lα 2(Ω), F = Hα 1 (Ω), G = Lα 2(Γ) и оператору следа γ (см. (1.72)), получаем, что в области Ω ⊂ R3 с липшицевой границей Γ = ∂Ω имеет место следующая обобщенная формула Грина линейной теории упругости: α 1 α 1 eq (Ω) (αη, Lαu)L 2(Ω) = (αη, αu)H 1 - (γαη, P αu)L 2(Γ) ∀αη, αu ∈ Heq (Ω) = H (Ω), ОБ АБСТРАКТНОЙ ФОРМУЛЕ ГРИНА ДЛЯ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫХ ФОРМ 83 eq Lαu ∈ (Hα 1 (Ω))∗, γαη ∈ Hα 1/2(Γ), P αu ∈ (Hα 1/2(Γ))∗ = Hα -1/2(Γ). Здесь Hα 1/2(Γ) - пространство вектор-функций, заданных на Γ и имеющих проекции на оси координат, являющиеся элементами из H1/2(Γ). 2. АБСТРАКТНАЯ ФОРМУЛА ГРИНА ДЛЯ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫХ ФОРМ До сих пор рассматривалась ситуация, когда имеется тройка гильбертовых пространств E, F, G и оператор следа γ, связанные условиями (1.4)-(1.6), и для этих объектов имеет место формула Грина (1.10). Однако в приложениях часто возникает ситуация (несимметричный случай), когда вместо скалярного произведения в пространстве F исходной является полуторалинейная форма Φ(η, u), η, u∈F, связанная с нормой в пространстве F естественными соотношениями (см. ниже (2.1) и (2.6)). Оказывается, и в этом случае можно доказать существование абстрактной формулы Грина, где вместо скалярного произведения (η, u)F стоит соответствующая форма Φ(η, u). 1. Полуторалинейные ограниченные формы. Рассмотрим функцию Φ(η, u) : F × F → C, определенную на комплексном гильбертовом пространстве F. Ее называют полуторалинейной формой, если она линейна по η и антилинейна по u, т. е. Φ(c1η1 + c2η2, u)= c1Φ(η1, u)+ c2Φ(η2, u), Φ(η, c1u1 + c2u2)= c1Φ(η, u1)+ c2Φ(η, u2). Простейшим примером полуторалинейной формы является скалярное произведение (η, u)F . Полуторалинейная форма называется ограниченной на F, если |Φ(η, u)| :: c1 η F · u F ∀η, u ∈ F, c1 > 0. (2.1) Будем считать далее, что имеется гильбертова пара пространств (F ; E), а потому имеет место и оснащение F '→ E '→ F∗. Нетрудно установить, что каждой форме Φ(η, u) однозначно отвечает линейный ограниченный оператор A : F → F∗, с помощью которого форма Φ(η, u) допускает представление Φ(η, u)= (η, Au)E ∀η, u ∈ F. (2.2) В самом деле, в силу (2.1) форма Φ(η, u) является ограниченным линейным функционалом в пространстве F, а потому ее можно представить в виде Φ(η, u)= (η, u∗)E ∀η ∈ F. При этом элемент u∗ ∈ F∗ однозначно находится по элементу u ∈ F. Вводя оператор A : F → F∗ по закону Au := u∗, приходим к выводу, что имеет место представление (2.2). При этом в силу (2.1) имеем |(η, Au)E| :: c1 η F · u F , откуда следует, что Au F ∗ :: c1 u F =⇒ A F →F ∗ :: c1, (2.3) т. е. оператор A формы Φ(η, u) ограничен. Очевидно, имеет место и обратное утверждение: каждый линейный ограниченный оператор A : F → F∗ однозначно определяет форму Φ(η, u) по закону (2.2), и для этой формы выполнено неравенство (2.1) с константой c1 := A F →F ∗ . Таким образом, между ограниченными формами и их операторами имеет место взаимно однозначное соответствие. Форма Φ∗(η, u) := Φ(u, η) называется сопряженной к форме Φ(η, u). Если выполнено условие Φ∗(η, u)= Φ(η, u) ∀η, u ∈ F, 84 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ то форма Φ(η, u) называется эрмитовой, или симметрической. Сопряженной форме Φ∗(η, u) однозначно отвечает сопряженный ограниченный оператор A∗ : F → F∗: Φ∗(η, u)= (η, A∗u)E, (2.4) а эрмитовой (симметрической) форме отвечает самосопряженный оператор (действующий из F в F∗): Φ(η, u)= (η, Au)E = (u, Aη)E ∀η, u ∈ F. (2.5) 2. Равномерно аккретивные формы. Назовем форму Φ(η, u) и отвечающий ей оператор A равномерно аккретивными (сильно коэрцитивными) в пространстве F, если F Re Φ(u, u)= Re (u, Au)E c2 u 2 , c2 > 0 ∀u ∈ F. (2.6) (Это соотношение иногда называют также усиленным неравенством Гординга.) Равномерно аккретивная форма является ограниченной снизу: F |Φ(u, u)| c2 u 2 , (2.7) поскольку |Φ(u, u)| Re Φ(u, u). Лемма 2.1. Ограниченная равномерно аккретивная форма Φ(η, u) может быть представлена через скалярное произведение в F в виде Φ(η, u)= (Qη, u)F = (η, Q∗u)F ∀η, u ∈ F, (2.8) где Q - линейный ограниченный и ограниченно обратимый оператор. Доказательство. Снова заметим, что при фиксированном u ∈ F величина Φ(η, u) является линейным по η функционалом в F и потому представимa в виде Φ(η, u)= (η, w)F , w ∈ F, (2.9) при этом w F :: c1 u F , (2.10) в силу чего элемент w определяется однозначно. Положив w = Q∗u, придем к представлению (2.8), причем в этом представлении Q∗ : F → F, а потому и Q - ограниченные операторы: Q∗ = Q :: c1. Принимая в (2.9) η = u, из (2.7), (2.10) получаем F c2 u 2 F :: |Φ(u, u)| = |(u, Q∗u)F | = |(u, w)F | :: u F · w F :: c1 u 2 . (2.11) Отсюда при u /=0 имеем c2 u F :: w F = Q∗u F :: c1 u F . (2.12) Аналогично устанавливаем, что c2 u F :: Qu F :: c1 u F . (2.13) Из (2.12) следует, что ker Q∗ = {0}, а потому, в силу разложения F = R(Q) ⊕ ker Q∗, приходим к выводу, что область значений оператора Q есть все пространство. Тогда из левого неравенства (2.13) следует, что оператор Q имеет ограниченный обратный и 2 Q-1 :: c-1. Далее понадобится еще одно известное утверждение. Лемма 2.2 (Лакс, Мильграм, см., например, [28, c. 43]). Ограниченный на F равномерно аккретивный оператор A : F → F∗, отвечающий форме Φ(η, u), имеет ограниченный обратный оператор A-1 : F∗ → F. ОБ АБСТРАКТНОЙ ФОРМУЛЕ ГРИНА ДЛЯ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫХ ФОРМ 85 Доказательство. Аналогично (2.11) и с учетом (2.2) имеем F c2 u 2 :: Re Φ(u, u) :: |Φ(u, u)| = |(u, Au)E| :: u F · Au F ∗ , откуда при u /=0 следует, что 2 u F :: c-1 Au F ∗ ∀u ∈ F. Следовательно, ker A = {0}. Аналогично устанавливаем, что ker A∗ = {0}. Так как A : F → F∗ ограничен (см. (2.3)), а потому замкнут, снова, как и в лемме 2.1, получаем, что R(A) = F∗. Значит, обратный оператор существует, определен на всем F∗ и потому (по теореме Банаха) ограничен: →F A-1 F ∗ 2 :: c-1. 3. О представлении несимметрической равномерно аккретивной формы. Доказанные выше факты позволяют установить для ограниченной несимметрической равномерно аккретивной формы Φ(η, u) структуру отвечающего ей оператора A. Перейдем к изложению этого круга вопросов. Итак, пусть несимметрическая форма Φ(η, u) удовлетворяет условиям (2.1) и (2.6), т. е. является ограниченной и равномерно аккретивной в пространстве F, причем Φ(η, u) /= Φ∗(η, u). Введем в рассмотрение симметрические формы 1 r l ΦR(η, u) := 2 Φ(η, u)+ Φ∗(η, u) R = Φ∗ (η, u), Φ (η, u) := 1 r I 2i l Φ(η, u) - Φ∗(η, u) I = Φ∗(η, u), называемые вещественной и мнимой частями формы Φ(η, u), так как Φ(η, u)= ΦR(η, u)+ iΦI (η, u). (2.14) Для ΦR(η, u) из (2.6), (2.1) имеем неравенства F c2 u 2 F0 :: ΦR(u, u) =: u 2 F :: c1 u 2 ∀u ∈ F. (2.15) Отсюда следует, что в пространстве F можно ввести новую норму, эквивалентную норме u F , а также соответствующее скалярное произведение. Таким образом, теперь имеем F = F0, а норма в F0 определена по закону (2.15). Возникает гильбертова пара пространств (F0; E). Обозначим через A0 оператор этой гильбертовой пары. Тогда в шкале пространств Eα, построенной по этому оператору, будем иметь 0 E = E0, F0 = E1/2 = D(A0), F∗ = E-1/2 = R(A0), A1/2 1/2 0 0 ∈ L(F0; E), A0 ∈ L(E; F∗), 1/2 1/2 (η, u)F0 = (A0 η, A0 u)E = (η, A0u)E ∀η, u ∈ F0. Перейдем теперь к рассмотрению свойств мнимой части формы Φ(η, u). Из неравенств (2.1) и (2.15) имеем |ΦI (η, u)| :: |Φ(η, u)| :: c1 η F · u F :: c1c-1 η F · u F = = c1c-1 A1/2η E · A1/2u E, 2 0 0 (2.16) 2 0 0 т. е. формы ΦI (η, u) и Φ(η, u) ограничены сверху в пространстве F0. 0 и A1/2 Из (2.16) следует, что форму ΦI (η, u) можно рассматривать как функцию от аргументов A1/2η 0 u в пространстве E: ΦI (η, u) =: ϕ(ηt, ut), ηt = A1/2η ∈ E, ut = A1/2u ∈ E, (2.17) 0 0 причем эта новая форма ограничена на E. Поэтому к форме ϕ(ηt, ut) применима лемма 2.1 в следующей редакции. Во-первых, вместо F здесь следует взять пространство E. Во-вторых, необходимо использовать то утверждение леммы, где учитывается лишь ограниченность, но не равномерная аккретивность формы. В-третьих, следует учесть, что ΦI (η, u), а потому и ϕ(ηt, ut) -симметрические формы. 86 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ Тогда по лемме 2.1 будем иметь ϕ(ηt, ut)= (Qηt, ut)E = (ηt, Qut)E ∀η, u ∈ E, (2.18) где уже учтено, что оператор Q ∈ L(E) является самосопряженным в E. Таким образом, из (2.17), (2.18) имеем представление ΦI (η, u) =: (QA1/2η, A1/2u)E = (A1/2η, QA1/2u)E ∀η, u ∈ F0. (2.19) 0 0 0 0 Окончательно с учетом (2.14), (2.15) и (2.19) получаем Φ(η, u) := (A1/2η, A1/2u)E + i(QA1/2η, A1/2u)E = 0 0 0 0 = ((I + iQ)A1/2η, A1/2u)E = (A1/2η, (I - iQ)A1/2u)E = (2.20) 0 1/2 0 0 0 1/2 = (η, A0 (I - iQ)A0 u)E ∀η, u ∈ F0 = F. Сравнивая (2.20) с формулой (2.2), приходим к выводу, что оператор A формы Φ(η, u) имеет вид A = A1/2 1/2 0 0 (I - iQ)A0 , A ∈ L(F0,F∗). (2.21) Так как Q = Q∗ в пространстве E, а оператор A1/2 ограниченно обратим (из F∗ в E и из E в F0), то оператор A имеет ограниченный обратный A-1 = A-1/2 0 0 -1/2 0 0 (I - iQ)-1A0 , A-1 ∈ L(F∗, F0). Выкладки и выводы, проведенные выше для формы Φ(η, u), можно повторить и для сопряженной формы Φ∗(η, u)= Φ(u, η). Тогда вместо (2.20) будем иметь 1/2 1/2 Φ∗(η, u)= ΦR(η, u) - iΦI (η, u)= ((I - iQ)A0 η, A0 u)E = = (A1/2 1/2 1/2 1/2 0 η, (I + iQ)A0 u)E = (η, A0 (I + iQ)A0 u)E ∀η, u ∈ F = F0. Отсюда с учетом определения (2.4) получаем, что форме Φ∗(η, u) отвечает сопряженный к (2.21) оператор A∗ = A1/2 1/2 0 0 (I + iQ)A0 , A∗ ∈ L(F0,F∗). (2.22) Заметим также, что при Q = 0, т. е. в симметрическом случае, из (2.21), (2.22) следует, что Φ(η, u)= Φ∗(η, u)= ΦR(η, u)= (η, A0u)E ∀η, u ∈ F0, 0 где A0 : F0 → F∗ - самосопряженный оператор в смысле определения (2.5). 4. Абстрактные формулы Грина для полуторалинейных форм. Представления (2.21) для оператора A формы Φ(η, u) и соответствующего оператора A∗ из (2.22) для сопряженной формы Φ∗(η, u) позволяют получить обобщение обсуждавшегося в пункте 1.1 варианта, когда имелась тройка пространств E, F и G, а также оператор следа γ. Именно, теперь можно рассмотреть случай, когда вместо пространства F с введенным на нем скалярным произведением имеется форма Φ(η, u), удовлетворяющая в пространстве F общим условиям (2.1), (2.6). Соответствующую формулу Грина, существование которой далее будет установлено, назовем абстрактной формулой Грина для полуторалинейной формы Φ(η, u). Итак, пусть выполнены условия (1.4)-(1.6), а также условия (2.1), (2.6). Тогда для пространства F0 = F с нормой (2.15) и соответствующим скалярным произведением (η, u)F0 := ΦR(η, u), пространств E, G и оператора следа γ выполнены условия теоремы 1.1, и потому имеет место абстрактная формула Грина вида ΦR(η, u)= (η, L0u)E + (γη, ∂0u)G ∀η, u ∈ F0, (2.23) F0 = N0 ⊕ M0, N0 = ker γ, L0u := L0,N0 u + L0,M0 u, (2.24) ∂0u = ∂N0 uN0 + ∂M0 uM0 ∀u = uN0 + uM0 ∈ F0, ∂0u ∈ (G+)∗, L0u ∈ (F0)∗. (2.25) 0 Здесь L0u - абстрактное дифференциальное выражение, ∂0u - абстрактный оператор производной по внешней нормали, который однозначно определяется по u ∈ F0 и выбранному L0u ∈ F∗. ОБ АБСТРАКТНОЙ ФОРМУЛЕ ГРИНА ДЛЯ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫХ ФОРМ 87 Пусть η = ηN0 + ηM0 , u = uN0 + uM0 - произвольные элементы из F0, представленные через их проекции на взаимно ортогональные подпространства N0 и M0. Тогда из (2.23) получаем формулы (являющиеся аналогами формул (1.17), (1.18), а также (1.24), (1.25)) следующего вида: N0 ΦR(ηN0 , uN0 )= (ηN0 , L0,N0 uN0 )E, L0,N0 uN0 = P∗ A0uN0 , (2.26) ΦR(ηN0 , uM0 )=0= (ηN0 , L0,N0 uM0 )E, L0,N0 uM0 = 0, ΦR(ηM0 , uM0 )= (γM0 ηM0 , ∂M0 uM0 )G, L0,M0 uM0 = 0, (2.27) ΦR(ηM0 , uN0 )=0= (ηM0 , L0,M0 uN0 )E + (γM0 ηM0 , ∂N0 uN0 )G. (2.28) Здесь A0 - оператор гильбертовой пары (F0; E), PN0 - ортопроектор на N0 = ker γ; L0,M0 uN0 - 0 функционал, который, вообще говоря, выбирается произвольно, L0,M0 : N0 → M∗ := A0M0; при этом соотношение (2.27) служит определением функционала ∂M0 uM0 , а (2.28) - функционала ∂N0 uN0 (через L0,M0 uN0 ). Наша цель - получить такую формулу Грина для формы Φ(η, u), которая бы имела вид, близкий к (2.23), и при Q =0 (когда Φ(η, u)= ΦR(η, u)) переходила бы в формулу (2.23). Иными словами, желательно получить формулу с непрерывной зависимостью от Q = Q∗ ∈ L(E). По-видимому, тогда искомая формула Грина должна иметь вид Φ(η, u)= (η, Lu)E + (γη, ∂u)G ∀η, u ∈ F0, где Lu и ∂u - абстрактные дифференциальное выражение и производная по внешней нормали (конормали), определяемые по исходным данным и при Q → 0 (в L(E)) переходящие в L0u и ∂0u соответственно (см. (2.24), (2.25)). Отметим еще одно важное обстоятельство: для несимметричной формы Φ(η, u) теперь следует использовать не ортогональное, а прямое разложение пространства F0, т. е. F0 = N0 ⊕ M0 = N (+)M, N = N0 = ker γ, M /= M0. (2.29) Здесь подпространство M, очевидно, снова обладает тем свойством, что между элементами u ∈ M и γu ∈ G+ по-прежнему, как и в симметрическом случае, имеет место взаимно однозначное соответствие, поскольку ker γ = N. Проведем далее построения, близкие к тем, которые уже были использованы при доказательстве теоремы 1.1 применительно к форме (η, u)F , однако теперь с учетом представления (2.20), (2.21) для Φ(η, u). Итак, пусть подпространства N и M в прямом разложении F0 (см. (2.29)) уже выбраны, а PN и PM = I - PN - соответствующие проекторы на эти подпространства. Рассмотрим при любом u ∈ F0 функционал N Φ(ηN , u)= (ηN , Au)E = (PN ηN , Au)E = (ηN ,P∗ Au)E =: (ηN , LN u)E, LN u := P∗ Au, A = A1/2(I - iQ)A1/2, ηN = PN η ∈ N, (2.30) N 0 0 где A : F0 → F∗ - ограниченный оператор, а P∗ : F∗ → N∗ - ограниченный проектор. Из (2.30) 0 N 0 приходим к формулам Φ(ηN , uN )= (ηN , LN uN )E, ηN = PN η, uN = PN u, η, u ∈ F0, (2.31) Φ(ηN , uM )= (ηN , LN uM )E. (2.32) Введенный функционал LN u ∈ N∗ задан на подпространстве N. Расширим его на все пространство F0 = N (+)M до функционала Lu и будем считать, что Lu = LN u + LM u, LN : F0 → N∗, LM : F → M∗. (2.33) При этом потребуем (как и при доказательстве теоремы 1.1), чтобы LuM = LN uM + LM uM =0 ∀u = uM ∈ M. (2.34) Введем теперь функционал Ψu(η) := Φ(η, u) - (η, LN u)E ∀η, u ∈ F0, (2.35) 88 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ который в силу (2.30) принимает ненулевые значения на подпространстве M или, что равносильно, на G+. Как и при доказательстве теоремы 1.1, будем считать, что правая часть в (2.35) равна сумме функционалов на M и G+: Ψu(η)= Ψu(ηM ) := Φ(η, u) - (η, LN u)E = (η, LM u)E + (γη, ∂u)G, η, u ∈ F, (2.36) LM u = P∗ LM u ∈ M∗ ⊂ F∗, ∂u ∈ (G+)∗, γη = γM ηM ∈ G+. M 0 Из (2.36) при η = ηM , u = uM имеем тождество Φ(ηM , uM )= (ηM , LM uM )E + (γM ηM , ∂M uM )G, (2.37) где учтено, что (ηM , LN uM )E =0 в силу определения LN u из (2.30) и свойства PM PN = 0. Далее, при η = ηM , u = uN из (2.36) получаем аналогично Φ(ηM , uN )= (ηM , LM uN )E + (γM ηM , ∂N uN )G. (2.38) До сих пор выбор подпространств N и M из прямого разложения (2.29) не был сделан. Будем далее считать, что эти подпространства таковы, что выполнено условие Φ(ηN , uM )=0 ∀ηN = PN η ∈ N, ∀uM = PM u ∈ M. (2.39) Тогда из (2.32) получаем, что в силу плотности N в E должно иметь место свойство LN uM = 0, uM = PM u ∈ M, которое вместе с (2.34) дает также свойство LM uM = 0, uM ∈ M. (2.40) Поэтому из (2.33) имеем формулу Lu = LN uN + LM uN = LuN , (2.41) 0 определяющую закон действия абстрактного дифференциального выражения Lu ∈ F∗, учитывающий свойство (2.34). С учетом (2.40) формула (2.37) приводит к соотношению Φ(ηM , uM )= (γM ηM , ∂M uM )G, (2.42) служащему определением абстрактной производной по конормали из подпространства M. Заметим, что это определение не зависит от выбора функционала LM u в (2.36). Далее, формулой (2.38) определяется производная по конормали из подпространства N, т. е. функционал ∂N uN ∈ (G+)∗. Очевидно, этот функционал зависит от выбора функционала LM uN ∈ M∗. Итак, если выполнено условие (2.39), то соотношения (2.31), (2.32), (2.42), (2.38) являются обобщением соотношений (2.26)-(2.28) соответственно и при Q → 0 переходят в них, так как A = A1/2 1/2 0 (I - iQ)A0 , а проекторы PN и PM , как будет установлено ниже, переходят в ортопроекторы PN0 и PM0 (см. (2.29)). Покажем, что условие (2.39) выполнимо, и получим соответствующие формулы для проекторов PM и PN . Для любого η ∈ F0 имеем η = PN0 η + PM0 η = PN η + PM η = ηN + ηM . (2.43) Здесь PN η ∈ N = N0 и потому PN0 PN η = PN u. Аналогично устанавливаем, что PM0 PM u = PM0 u ∀u ∈ F0, и тогда PM0 PM = PM0 ⇐⇒ PN = PN0 PN . (2.44) Воспользуемся теперь формулами (2.20) и представим Φ(η, u) в виде Φ(η, u)= ((I + iQ)A1/2η, A1/2u)E = (A1/2(I + iA-1/2QA1/2)η, A1/2u)E = 0 0 0 0 0 0 (2.45) = ((I + iQ0)η, u)F0 = (η, (I - iQ0)u)F0 ∀η, u ∈ F0. Легко проверить, что здесь Q0 := A-1/2 1/2 0 0 QA0 = Q∗ ∈ L(F0), т. е. Q0 является ограниченным самосопряженным оператором, действующим в F0. ОБ АБСТРАКТНОЙ ФОРМУЛЕ ГРИНА ДЛЯ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫХ ФОРМ 89 В представлении (2.45) условие (2.39) переписывается в виде (PN η, (I - iQ0)PM u)F0 =0 ∀η, u ∈ F0. Используя второе соотношение (2.44), отсюда имеем (PN0 PN η, (I - iQ0)PM u)F0 = (PN0 PN η, PN0 (I - iQ0)PM u)F0 = 0. Значит, элемент PN0 (I - iQ0)PM u принадлежит подпространству N0 = N и одновременно ортогонален ему при любом u ∈ F0. Поэтому PN0 (I - iQ0)PM u =0 ∀u ∈ F0. (2.46) Представляя PM u в виде суммы его ортогональных проекций на N0 и M0, имеем из (2.46), с учетом первой формулы (2.44) и свойства PN0 PM0 = 0, PN0 (I - iQ0)(PN0 PM u + PM0 PM u)= PN0 (I - iQ0)(PN0 PM u + PM0 u)= = (IN0 - iPN0 Q0PN0 )PN0 PM u - i(PN0 Q0PM0 )(PM0 u)= 0, где IN0 - единичный оператор в N0. (2.47) 0 0 0 Поскольку здесь оператор PN0 Q0PN0 самосопряжен и действует в N0, то существует ограниченный обратный оператор (IN - iPN Q0PN )-1, и из (2.47) получаем, что PN M N N 0 N 1 N 0 M M 0 0 P u = i(I 0 - iP 0 Q P 0 )- (P 0 Q P 0 )(P 0 u) ∀u ∈ F . Окончательно имеем 0 0 0 0 0 0 0 PM u = PM u + i(IN - iPN Q0PN )-1(PN Q0PM )(PM u) ∀u ∈ F0, (2.48) 0 0 0 0 0 0 0 PN u = PN u - i(IN - iPN Q0PN )-1(PN Q0PM )(PM u) ∀u ∈ F0. (2.49) Формулы (2.48), (2.49) дают связь проекторов PM и PN с ортопроекторами PN0 и PM0 . В симметрическом случае, т. е. при Q = 0 ⇐⇒ Q0 = 0, они переходят в ожидаемые тривиальные соотношения, когда N = N0, M = M0, PN = PN0 , PM = PM0 . M Можно проверить, что для операторов PM и PN из (2.48), (2.49) выполнены свойства P 2 = PM , P 2 N = PN , т. е. эти ограниченные операторы действительно являются проекторами. Таким образом, при выборе абстрактного дифференциального выражения Lu по формулам (2.33), (2.34), (2.41) и проекторов PM и PN в виде (2.48), (2.49) справедливы соотношения (2.31), (2.32), (2.42), (2.38), причем LuM =0 и выполнено свойство (2.39). Введем еще, как и в пункте 1.1, абстрактную производную по конормали ∂u по закону ∂u := ∂M uM + ∂N uN ∈ (G+)∗, u = uN + uM ∈ F0. Итогом проведенных построений является следующее утверждение. Теорема 2.1 (первая абстрактная формула Грина для полуторалинейных форм). Пусть выполнены условия (1.4)-(1.6) для тройки гильбертовых пространств и оператора следа, а также условия (2.1), (2.6) для формы Φ(η, u). Тогда имеет место следующая формула Грина: Φ(η, u)= (η, Lu)E + (γη, ∂u)G ∀η, u ∈ F0 = F, (2.50) 0 Lu = LN u + LM u ∈ F∗, Lu = LuN , ∂u = ∂N uN + ∂M uM ∈ (G+)∗. (2.51) 0 При этом ∂u определяется однозначно по элементам u ∈ F0 и Lu ∈ F∗. Доказательство. После проведенных выше построений для доказательства теоремы достаточно почти дословно повторить разделы 5 и 6 доказательства теоремы 1.1 с заменой (η, u)F на Φ(η, u). Замечание 2.1. Относительно формулы Грина (2.50), (2.51) справедливы утверждения, высказанные в замечаниях 1.1 и 1.2: наряду с (2.50) можно получить семейство формул Грина вида Φ(η, u)= (η, L(α)u)E + (γη, ∂(α)u)G ∀η, u ∈ F0, где α - произвольная константа, а L(α)u и ∂(α)u по-прежнему выражаются формулами (1.31) и (1.32). Однако в приложениях Lu, как правило, задано обычным дифференциальным выражением, полученным из рассмотрения физического или иного смысла задачи. D 90 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ Построения, проведенные выше для формы Φ(η, u), легко аналогично повторить и для сопряженной формы Φ∗(η, u) = Φ(u, η) и отвечающего ей оператора A∗ = A1/2(I + iQ)A1/2. Тогда вместо (2.45) будем иметь 0 0 Φ∗(η, u)= ((I - iQ0)η, u)F0 ∀η, u ∈ F0, а пространство F0 допускает прямое разложение F0 = N0 ⊕ M0 = N∗(+)M∗, N∗ = N0, M∗ /= M0. M При этом вместо (2.48), (2.49) для проекторов P ∗ ственно приходим к формулам N и P ∗ на подпространства M∗ и N∗ соответ- PM u = PM u - i(IN + iPN Q0PN )-1(PN Q0PM )(PM u) ∀u ∈ F0, ∗ 0 0 0 0 0 0 0 PN u = PN u + i(IN + iPN Q0PN )-1(PN Q0PM )(PM u) ∀u ∈ F0. ∗ 0 0 0 0 0 0 0 Далее, абстрактное дифференциальное выражение L∗u, отвечающее форме Φ∗(η, u), определяется по закону, аналогичному (2.51): L∗u := L∗,N u + L∗,M u ∈ F∗, L∗u = L∗uN , L∗,N u := (PN )∗A∗u, u ∈ F0, (2.52) 0 ∗ ∗ а абстрактная производная по конормали - по формуле ∗ ∂∗u := ∂M∗ uM∗ + ∂N∗ uN∗ ∈ (G+) . (2.53) Здесь производные по конормали в подпространствах M∗ и N∗, т. е. функционалы ∂M∗ uM∗ и ∂N uN , определяются из тождеств, аналогичных (2.42) и (2.38): ∗ ∗ Φ∗(ηM , uM )= (γM ηM , ∂M uM )G, ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Φ∗(ηM , uN )= (ηM , L∗,M uN )E + (γM ηM , ∂N uN )G. ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Исходя из этих фактов, приходим к следующему утверждению. Теорема 2.2 (первая абстрактная формула Грина для полуторалинейной сопряженной формы). Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Тогда имеет место следующая формула Грина: Φ∗(η, u)= (η, L∗u)E + (γη, ∂∗u)G ∀η, u ∈ F0 = F, (2.54) где L∗u и ∂∗u определены формулами (2.52), (2.53). D Из (2.51), (2.54) и связи Φ∗(η, u)= Φ(u, η) получаем, что Φ(η, u)= (η, Lu)E + (γη, ∂u)G = (u, L∗η)E + (γu, ∂∗η)G ∀η, u ∈ F0. Теорема 2.3 (вторая абстрактная формула Грина для полуторалинейных форм). Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Тогда имеет место следующая абстрактная формула Грина: (η, Lu)E - (u, L∗η)E = (γu, ∂∗η)G - (γη, ∂u)G ∀η, u ∈ F0. (2.55) D 3. АБСТРАКТНАЯ ФОРМУЛА ГРИНА ДЛЯ СМЕШАННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В этом параграфе при определенных дополнительных условиях выводится абстрактная формула Грина для смешанных краевых задач. Приводятся поясняющие примеры, а также приложения к классической тройке гильбертовых пространств. ОБ АБСТРАКТНОЙ ФОРМУЛЕ ГРИНА ДЛЯ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫХ ФОРМ 91 1. Первые формулировки абстрактной формулы Грина. В математической физике часто изучаются такие проблемы, когда на одной части границы Γ= ∂Ω области Ω ⊂ Rm задают краевое условие Дирихле, на другой - условие Неймана, а на третьей - так называемое третье краевое условие, или условие Ньютона. Задачи подобного вида называют смешанными. Для таких задач функционал, связанный с Γ и фигурирующий в формуле Грина, естественно разбить на части, отвечающие тому или иному краевому условию. Рассмотрим эту проблему в абстрактной форме. Пусть для тройки гильбертовых пространств E, F, G и абстрактного оператора следа γ выполнены условия (1.4)-(1.6), обеспечивающие по теореме 1.1 существование абстрактной формулы Грина: (η, Lu)E = (η, u)F - (γη, ∂u)G, Lu ∈ F∗, γη ∈ G+, ∂u ∈ (G+)∗ ∀η, u ∈ F. (3.1) Для смешанных краевых задач желательно выражение (γη, ∂u)G заменить, при определенных q дополнительных условиях, на выражение }, (γkη, ∂ku)Gk , где γkη - абстрактный аналог следа k=1 элемента η ∈ F на части Γk границы Γ, а ∂ku - соответствующий аналог производной по внешней нормали на этой части границы. Переходя к выводу абстрактной формулы Грина для смешанных краевых задач, будем считать, что дополнительно к условиям (1.4)-(1.6) выполнены следующие соотношения: q G = Gk, ∃(G+)k, (G+)∗ : (G+)k '→ Gk '→ (G+)∗, k = 1, q. k k k=1 Рассмотрим для простоты случай q = 2. Пусть p1 - непрерывный проектор, действующий в пространстве G+, а p2 = I+ - p1 - дополнительный проектор. Введем подпространства (---G+)k := pk G+, pk : G+ → (---G+)k , k = 1, 2, отвечающие этим проекторам. Введем также операторы γk := pkγ, ∗ ∂ k := p∗∂, p∗ : (---G+) → (G+)∗. k k k Так как по условию pk непрерывен, то и p∗ непрерывен и (p∗ )2 = p∗. k k k Теорема 3.1 (первая формулировка абстрактной формулы Грина). В сформулированных выше предположениях имеет место абстрактная формула Грина для смешанных краевых задач в следующей форме: 2 (η, Lu)E = (η, u)F - ( η, ∂ u) ∀η, u ∈ F. (3.2) γk k G k=1 Доказательство. Оно достаточно простое. Так как p1 + p2 = I+, то γ2)η ∀η ∈ F. Поэтому соответствующее слагаемое из правой части формулы (3.1) преобразуется следующим образом: 2 γ2)η, ∂u)G = ( η, ∂u) = γ1 + 2 2 γk G k=1 2 2 (3.3) = (pkγη, ∂u)G = (p2 γη, ∂u)G = (pkγη, p∗∂u)G = γkη, ∂ ku)G. k=1 k k=1 k k=1 ( k=1 Отсюда и из (3.1) следует формула (3.2). Из доказательства соотношения (3.3) видно, что если имеется не два, а q взаимно дополнительных проекторов, т. е. q pk = I+, pkpj = pkδkj, k, j = 1, q, k=1 92 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ то аналогично выводу (3.3) приходим к формуле q (η, Lu)E = (η, u)F - ( η, ∂ u) ∀η, u ∈ F. (3.4) γk k G k=1 Поясним разобранную в абстрактной форме ситуацию на простом примере. Пусть липшицева граница Γ области Ω ⊂ Rm, гомеоморфной шаровому слою, состоит из двух непересекающихся частей Γ1 и Γ2, причем d(Γ1, Γ2)= dist (Γ1, Γ2) := inf{|x - y| : x ∈ Γ1, y ∈ Γ2} > 0. (3.5) Тогда если ϕ ∈ H1/2(Γ), то ϕ = 1 1 ϕ (на Γ ), ϕ2 (на Γ2), (3.6) причем, как следует из формулы (1.36), 2 2 ϕ 2 H1/2(Γ) ϕ1 H1/2(Γ1) + ϕ2 H1/2(Γ2) . (3.7) Введем оператор p1, действующий для любого ϕ из (3.6) по закону p1ϕ := 1 1 ϕ (на Γ ), 0 (на Γ2). (3.8) 1 Нетрудно видеть, что этот оператор обладает свойством p2 = p1. Обозначим совокупность элементов вида (3.8) через H 1/2(Γ1) ⊂ H1/2(Γ). Тогда H 1/2(Γ1) := p1H1/2(Γ). Лемма 3.1. Оператор p1 : H1/2(Γ) → H 1/2(Γ1) является ограниченным проектором, действующим в пространстве H1/2(Γ). Доказательство. Оно основано на оценке нормы p1ϕ, ϕ ∈ H1/2(Γ), в пространстве H1/2(Γ). Непосредственное вычисление с использованием формулы (1.36) дает неравенство 2 p1ϕ H1/2(Γ) :: (1 + 2|Γ2|d где d = dist (Γ1, Γ2) > 0. Поэтому -m-1 ) ϕ ∀ϕ ∈ H 2 H1/2(Γ) 1/2 (Γ), (3.9) p1 :: (1 + 2|Γ2|d-m-1)1/2. (3.10) 1 Свойство p2 = p1 уже отмечалось выше, так что p1 - ограниченный проектор. Оператор p2 := I+ - p1, очевидно, также является ограниченным проектором (I+ - единичный оператор в H1/2(Γ)) и действует по закону p2ϕ = 1 0 (на Γ ), ϕ2 (на Γ2). (3.11) Эти рассуждения показывают, что при условии (3.5) имеет место прямое разложение: H1/2(Γ) = H 1/2(Γ1)(+)H 1/2(Γ2), H 1/2(Γk )= pk H1/2(Γ), k = 1, 2. (3.12) Таким образом, общий подход, примененный в теореме 3.1, является совершенно естественным для смешанных краевых задач. Тем не менее форма (3.4) абстрактной формулы Грина не совсем естественна, так как в классическом случае, отвечающем разобранному выше простому примеру (3.5), (3.6), выражение r (γ1η, ∂ 1u)G = Γ ∂u η ∂n dΓ, η =0 (на Γ2). Но тогда интеграл справа лучше написать в виде r (η|Γ1 ) Γ1 ∂u ∂n Γ1 dΓ1, а затем расширить его до выражения (γ1η, ∂1u)L2(Γ1). Такие построения сейчас и будут проделаны. ОБ АБСТРАКТНОЙ ФОРМУЛЕ ГРИНА ДЛЯ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫХ ФОРМ 93 Как следует из рассмотрения ряда задач математической физики, введенные выше проекторы pk можно иногда представить в виде pk = ωkρk, k = 1, q, (3.13) где ρk : G+ → (G+)k - абстрактный оператор сужения на часть границы, а ωk : (G+)k → (---G+)k - оператор продолжения нулем из (G+)k на (---G+)k ⊂ G+. Кроме того, будем предполагать, что ρkωk = (I+)k (в (G+)k ), k = 1, q, (3.14) т. е. ωk является правым обратным для ρk. Будем далее считать также, что ρk и ωk - ограниченные операторы. k Из (3.13), (3.14) следует, что p2 = pk и этот оператор pk ограничен, т. е. он является ограниченным проектором. Поясним общие свойства (3.13), (3.14) на примере, разобранном выше, см. (3.5)-(3.12). Введем оператор ρk по закону (см. (3.6)) ρkϕ := ϕ|Γk = ϕk ∀ϕ ∈ H 1/2 (Γ), k = 1, 2. Введем еще операторы ωk продолжения нулем на оставшуюся часть границы: ω1ϕ1 := 1 1 ϕ (на Γ ), 0 (на Γ2), ω2ϕ2 := 0 (на Γ1), ϕ2 (на Γ2). Тогда очевидно, что ωkρk = pk, k = 1, 2 (см. (3.8), (3.11)) и, кроме того, выполнены свойства (3.14). Заметим еще, что в силу связи p1ϕ = ω1ρ1ϕ = ω1ϕ1 и оценки (3.9) будем иметь ограниченность оператора ω1 : H1/2(Γ1) → H1/2(Γ) с той же константой (см. (3.9), (3.10)), и аналогично ограниченность оператора ω2 : H1/2(Γ2) → H1/2(Γ). Таким образом, если d = dist(Γ1, Γ2) > 0, то в разобранном примере для тройки пространств E = L2(Ω), F = H1(Ω), G = L2(Γ) выполнены свойства (3.13), (3.14) с ограниченными операторами ωk, а также ограниченными операторами, как выясняется, ρk (см. ниже лемму 3.2). Возвращаясь к общим рассуждениям, сформулируем в виде теоремы основной абстрактный результат. Теорема 3.2 (вторая формулировка абстрактной формулы Грина). Пусть выполнены условия (3.13), (3.14) и сделанные при этом предположения. Тогда имеет место абстрактная формула Грина для смешанных краевых задач в следующем виде: q k (η, Lu)E = (η, u)F - (γkη, ∂ku)G k=1 ∀η, u ∈ F, (3.15) γkη := ρkγη ∈ (G+)k, ∂ku := ω∗∂u ∈ (G+)∗, (3.16) k k где γk - абстрактный оператор следа на часть границы области, а ∂k - абстрактный оператор производной по внешней нормали, действующий на этой части границы. Доказательство. Преобразуем слагаемое из суммы в правой части (3.2) с учетом (3.13), (3.14). Имеем γkη, ∂ ku)G = (pkγη, p∗∂u)G = (p2 γη, ∂u)G = (pkγη, ∂u)G = (ωkρkγη, ∂u)G. (3.17) ( k k Так как по предположению ωk - непрерывный оператор, то полученное выражение является линейным ограниченным функционалом относительно элементов вида ρkγη ∈ (G+)k. Поэтому этот q функционал можно представить по форме пространства Gk, G = k ffi Gk, (G+)k '→ Gk '→ (G+)∗, k = 1, q, в следующем виде: k (ωkρkγη, ∂u)G = (ρkγη, ω∗∂u)Gk =: (γkη, ∂ku)Gk k=1 , η, u ∈ F. (3.18) Отсюда и следует формула Грина (3.15) с обозначениями (3.16). 94 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ 2. Классический пример. Вернемся снова к тройке пространств E = L2(Ω), F = H1(Ω), G = L2(Γ), Γ := ∂Ω, оператору γ, γu := u|Γ ∀u ∈ H1(Ω), и будем считать, что Γ - липшицева граница области Ω ⊂ Rm. В этом случае норму в H1(Ω) определяют эквивалентным образом по формуле u H1(R u H1(Ω) := inf { m) : u|Ω = u}, (3.19) (см. [24, c. 147]), а в пространстве Hs(Γ) - аналогично: ϕ Hs(R ϕ Hs(Γ) := inf { m-1) : ϕ|Γ = ϕ}, |s| :: 1. (3.20) }, (Точнее говоря, здесь вместо Hs(Rm-1) следует взять }, ηj Hs(Rm-1), где ηj ≡ 1 - конечное ϕ ϕ j j разбиение единицы на Γ, см., например, [24, с. 147], [5, c. 78-79]). Разобъем теперь поверхность Γ на односвязные открытые части Γk, k = 1, q, с липшицевыми границами ∂Γk. Тогда аналогично (3.19), (3.20) нормы в пространствах Hs(Γk ) определяют по формуле ψk Hs(Γk ) := inf { ψ Hs(Γ) : ψ |Γk = ψk}, |s| :: 1. (3.21) Введем в рассмотрение ρk, оператор сужения с Γ на Γk по закону 1/2 ρkϕ := ϕ|Γk ∀ϕ ∈ H Лемма 3.2. Оператор ρk ограничен и (Γ). (3.22) ρk H1/2(Γ)→H1/2(Γk ) :: 1. Доказательство. Оно следует непосредственно из определения нормы в H1/2(Γ) (см. (1.36)) и неравенства (3.7). Введем теперь подпространства H1 0,Γ\\Γk (Ω) := {u ∈ H 1(Ω) : u =0 на Γ \\ Γk} = Поскольку = ker γΓ\\Γk = ker ((I+ - ρk )γ), k = 1, q. H1 1 1 0,Γ\\Γk (Ω) ⊃ H0 (Ω) = ker γ = {u ∈ H (Ω) : u =0 (на Γ)} и H1(Ω) плотно в L2(Ω), то H1 (Ω) плотно в L2(Ω) при любом k = 1, q. 0 0,Γ\\Γk Введем также одно важное понятие, относящееся к возможности продолжения элементов из Hs(Γk ), |s| :: 1, до элементов из Hs(Γ). Оказывается, при сформулированных выше предположениях такое продолжение возможно многими способами, однако один из них является универсальным, и он предложен в работе [29] для случая, когда функции из Hs(Ω) продолжаются до функций из Hs(Rm). Как указано в работе [24], аналогичный факт имеет место и для продолжения функций из Hs(Γk ), |s| :: 1, до функций из Hs(Γ). При этом в обоих случаях оператор продолжения не зависит от s. Сформулируем итоговое утверждение в виде леммы, которая понадобится в дальнейшем. Лемма 3.3 (см. В. С. Рычков [29], а также М. С. Агранович [24]). Пусть липшицева граница Γ= ∂Ω области Ω ⊂ Rm разбита на части Γk c липшицевыми границами ∂Γk, k = 1, q. Тогда существует линейный оператор Ek (оператор В. С. Рычкова) продолжения функций из Hs(Γk ) с Γk на всю Γ функциями из Hs(Γ). При этом Ek ψk Hs(Γ) :: ck ψk Hs(Γk) ∀ψk ∈ H s(Γk ), |s| :: 1. (3.23) Введем еще одно важное понятие классов функций, заданных на Γk . Пусть r(x), x ∈ Γk ,- гладкая функция в Γk , строго положительная в Γk , положительно определенная вне некоторой окрестности границы ∂Γk , а в окрестности этой границы эквивалентная (в смысле двусторонних оценок) расстоянию от точки x до ∂Γk . 0 Обозначим через H s(Γk ), |s| :: 1, множество в Hs(Γ), состоящее из (обобщенных) функций с носителем в Γk. Как указано в [5, c. 76], H s(Γk ) - это пополнение множества функций из C∞(Γk ), продолженных нулем вне Γk, по норме Hs(Γ). ОБ АБСТРАКТНОЙ ФОРМУЛЕ ГРИНА ДЛЯ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫХ ФОРМ 95 Лемма 3.4. Справедливо соотношение H 1/2(Γk )= {u ∈ H1/2(Γk ): r-1/2u ∈ L2(Γk )}. (3.24) При этом следующая норма эквивалентна стандартной норме (которая наследуется из H1/2(Γ)) на классе H 1/2(Γk ): u H 1/2(Γk ) 2 = u + r 2 H1/2(Γk ) -1/2 u 2 L2(Γk ) . (3.25) 00 Доказательство. Оно проводится точно так же, как доказательство для [18, теорема 11.7, c. 85], с заменой обозначений Ω →1 Γk, H1/2(Ω) 1→ H 1/2(Γk ). Далее понадобится еще один важный факт. Лемма 3.5. При любом s ∈ R, |s| :: 1, пространства H s(Γk ) и H-s(Γk ) дуальны относительно спаривания в L2(Γk ). В частности, (H1/2(Γk ))∗ = H -1/2(Γk ), (H 1/2(Γk ))∗ = H-1/2(Γk ). (3.26) Доказательство. Оно аналогично доказательству для [5, теорема 5.1.12]. Опираясь на введенные понятия, рассмотрим полуторалинейную форму следующего вида: [ϕ, ψk ]Γ := (ϕ, Ekψk)L2(Γ) ∀ϕ ∈ H 1/2 (Γ) ∀ψk ∈ H -1/2 (Γk ), где Ekψk ∈ H-1/2(Γ) = (H1/2(Γ))∗ (см. (1.39)). Из (3.23) следует оценка 1/2 -1/2 | [ϕ, ψk ]Γ | :: ck ψk H-1/2(Γk ) ϕ H1/2(Γ), ϕ ∈ H (Γ), ψk ∈ H (Γk ). ∈ Пусть теперь ϕ = γη, η H1 0,Γ\\Γk (Ω), т. е. γη =0 на Γ \\ Γk. Тогда можно проверить, что (γη, Ekψk)L2(Γ) = (ϕ, Ekψk)L2(Γ) = (ρkϕ, ψk)L2(Γk ) = (ρkγη, ψk)L2(Γk ), (3.27) где ρk - оператор сужения (3.22), а справа стоит расширение по непрерывности скалярного про- 2 k k k ∈ изведения в L (Γ ) на элементы ρ ϕ = γ η, η H1 0,Γ\\Γk (Ω), ψk ∈ H-1/2(Γk ), т. е. функционал по форме L2(Γk ). ∈ Отметим, что при выбранном ϕ = γη, η H1 0,Γ\\Γk (Ω), правая часть в (3.27) не зависит от способа продолжения элемента ψk ∈ H-1/2(Γk ) до элемента ψ k := Ekψk ∈ H-1/2(Γ), а определяется лишь значениями этой (обобщенной) функции ψk, сосредоточенной на Γk. Рассмотрим теперь вспомогательную смешанную краевую задачу вида ∂w w - Δw =0 (в Ω), w =0 (на Γ \\ Γk ), ∂n Γk = ψk (на Γk ), (3.28) связанную, как будет видно ниже, с одной из форм обобщенной формулы Грина для оператора Лапласа. ∈ Слабым решением задачи (3.28) назовем такую функцию w H1 0,Γ\\Γk (Ω), для которой при ∈ любой η H1 0,Γ\\Γk (Ω) выполнено тождество (см. (3.27)) (η, w)H1(Ω) = (γkη, ψk)L2(Γk ), ψk ∈ H- 1/2 (Γk ), γkη := ρkγη. (3.29) Нетрудно видеть, что классическое решение задачи (3.28) является слабым решением в смысле определения (3.29). Лемма 3.6. Задача (3.28) имеет слабое решение w тогда и только тогда, когда выполнено условие ψk ∈ H-1/2(Γk ). При этом w ∈ H1 (Ω) ∩ H1(Ω) =: H1 (Ω). 0,Γ\\Γk h h,Γk Доказательство. Оно традиционно и основано на соотношении (3.27) с учетом леммы 3.2 и теоремы Гальярдо, второго соотношения (3.26), а также свойства γkη ∈ H 1/2(Γk ) для элементов η из H1 0,Γ\\Γk (Ω). 96 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ Из этой леммы следует, что оператор T k , сопоставляющий элементу ψk ∈ H-1/2(Γk ) решение h,Γk w = T k ψk задачи (3.28), ограниченно действует из H-1/2(Γk ) на H1 (Ω). Полагая в (3.29) η ∈ H 1 h,Γk (Ω), будем иметь тождество 1 -1/2 (η, T k ψk )H1(Ω) = (γkη, ψk)L2(Γk ) ∀η ∈ Hh,Γk (Ω), ∀ψk ∈ H (Γk ), (3.30) ϕk Здесь, по построению, элементы вида := γk h,Γk w, w ∈ H1 (Ω), обладают следующими свойствами: во-первых, они принадлежат пространству H1/2 (Γk ), а во-вторых, - продолженные нулем с Γk на ϕk всю Γ, они принадлежат H1/2(Γ). Кроме того, очевидно, что между элементами = γk w и w имеется взаимно однозначное соответствие. Отсюда приходим к следующему представлению: H 1/2(Γk ) := {ϕk = γkw : w ∈ H1 (Ω)}⊂ H1/2(Γk ). (3.31) h,Γk Лемма 3.7. Множество H 1/2(Γk ) плотно в L2(Γk ). Доказательство. Оно проводится от противного с использованием тождества (3.30), см. [12]. Введем в рассмотрение оператор Стеклова C k (иногда его называют оператором Пуанкаре- Стеклова, см. [1, 17, 19]), который сопоставляет слабому решению wk задачи (3.28) его след на Γk : C k ψk := γkwk, C k := γk T k : H-1/2(Γk ) → H 1/2(Γk ). (3.32) По построению между D(C k ) = H-1/2(Γk ) и областью значений R(C k ) = H 1/2(Γk ) имеет место h,Γ взаимно однозначное соответствие. Учитывая этот факт, а также изоморфизм между H1 k (Ω) и H 1/2(Γk ), введем на H 1/2(Γk ) структуру гильбертова пространства, полагая (α, β) H 1/2(Γk ) h,Γk := (η, u)H1(Ω), η, u ∈ H1 (Ω), γkη = α, γku = β. С учетом определения (3.31) и тождества (3.30) это соотношение можно переписать в виде (α, β) = (η, w)H1(Ω) = (α, C -1β)L (Γ ) ∀α, β ∈ H 1/2(Γk ), H 1/2(Γk ) k 2 k η = T k ζk, γkη = α, w = T k ψk, γk T k ψk = C k ψk = β, ψk, ζk ∈ H-1/2(Γk ). Лемма 3.8. Оператор k C -1 k = (γk T k )-1 с областью определения D(C -1) = H 1/2(Γk ) и обk ластью значений R(C -1) = D(C k ) = H-1/2(Γk ) является оператором гильбертовой пары (H 1/2(Γk ); L2(Γk )). Доказательство. Оно основано на неравенствах ϕ L2(Γk ) ϕ H1/2(Γk ) :: H1/2(Γ) :: c1 w Hh,Γ (Ω) = c1 H 1/2(Γk ), k :: ϕ 1 ϕ (3.33) ϕ = γkw, w ∈ H1 (Ω), ϕ ∈ H 1/2(Γk ), γw = ϕ, h,Γk где - продолженная нулем на Γ \\ Γk функция ∈ H 1/2(Γk ), лемме 3.7 и неравенстве (1.38). ϕ ϕ Таким образом, задаче (3.28) отвечает оснащение (см. (3.26)) H 1/2(Γk ) '→ L2(Γk ) '→ H-1/2(Γk ). Отметим еще, что норма в из (3.33) (см. (3.25)): H 1/2(Γk ) «сильнее» стандартной нормы в H1/2(Γk ), что следует ϕ H1/2(Γk ) :: c1 ϕ H 1/2(Γk ) ∀ ∈ H 1/2 (Γk ) ⊂ H 1/2 (Γk ). ϕ Опираясь на доказанные факты, введем на элементах из нулем на Γ \\ Γk, действующий по закону H 1/2(Γk ) оператор ωk продолжения k ( ϕ ϕk := (на Γk ), ∀ϕk ∈ H 1/2(Γk ). ωk 0 (на Γ \\ Γk ) ОБ АБСТРАКТНОЙ ФОРМУЛЕ ГРИНА ДЛЯ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫХ ФОРМ 97 Лемма 3.9. Оператор ωk продолжения нулем с Γk на Γ, рассматриваемый на области определения D(ωk ) := этом H 1/2(Γk ), является непрерывным оператором из ϕk ∈ H 1/2 H 1/2(Γk ) в H1/2(Γ); при ωk ϕk H 1/2(Γk ) ∀ (Γk ), (3.34) где c1 > 0 - константа из неравенства (1.29) (теорема Гальярдо). Доказательство. Этот факт уже установлен при выводе неравенств (3.33) с той же константой c1. В самом деле, в (3.33) = ωk , откуда и следует (3.34). ϕ ϕk Отметим здесь следующее важное обстоятельство. Как известно (см. [18, c. 78], а также [9, 1. 116-117]), даже в случае гладкой Γ оператор продолжения нулем с некоторой части Γk ⊂ Γ (с гладкой ∂Γk ) на всю Γ не является непрерывным из H1/2(Γk ) на H1/2(Γ). Однако в данном h,Γk случае, т. е. на решениях w вспомогательной задачи (3.28) на элементах γkw, w ∈ H1 (Ω), этот оператор оказывается непрерывным. Введем теперь следующие классы функций: H 1/2(Γ) := {ϕ ∈ H1/2(Γ) : ρkϕ ∈ H 1/2(Γk ), k = 1, q}⊂ H1/2(Γ), (3.35) H 1(Ω) := H1(Ω) ⊕ {(+)q H1 (Ω)}⊂ H1(Ω), 0 H1 1 k=1 1 h,Γk (3.36) h,Γk (Ω) = Hh (Ω) ∩ H0,Γ\\Γk (Ω). Назовем след γu элемента u ∈ H1(Ω) регулярным следом первого типа (порожденным задачами вида (3.28)) по отношению к разбиению Γ = ∂Ω на части Γk, k = 1, q, если для любого k элемент γku = ρkγu ∈ H 1/2(Γk ), т. е. он продолжи´ м нулем на всю Γ в классе H1/2(Γ). Согласно проведенным выше построениям и определениям (3.35), (3.36), элементы из имеют регулярный след первого типа: для любого u ∈ H 1(Ω) имеем H 1(Ω) u = u0 + u1 + ... + uq, u0 ∈ H1(Ω), uk ∈ H1 (Ω), k = 1, q, 0 ϕk 1/2 h,Γk γu0 = 0, γkuk =: ∈ H (Γk ), γkuj =0 (k /= j), j, k = 1, q. При этом элементы γu ∈ H 1/2(Γ) имеют сужения на Γk, продолжимые нулем на всю Γ в классе H1/2(Γ). Рассмотрим теперь следующую тройку пространств и оператор следа: E = L2(Ω), F = H 1(Ω), G = L2(Γ), Γ := ∂Ω, γu := u|Γ, u ∈ H 1(Ω). Нетрудно видеть, что для них выполнены следующие свойства: 1. H 1(Ω) плотно в L2(Ω) и u L2(Ω) :: c u H1(Ω) = c u H 1(Ω) ∀u ∈ H 1(Ω), 2. Оператор γ : H 1(Ω) → H 1/2(Γ) ограничен, H 1/2(Γ) плотно в L2(Γ) и (по теореме С. Л. Соболева о следах) 2 γu L (Γ) :: c u H1(Ω) ∀u ∈ H 1(Ω), 0 3. Пространство H1(Ω) = ker γ плотно в L2(Ω) и имеет место неравенство Фридрихса (см. (1.9)). 4. Для каждого k = 1,q оператор pk = ωkρk в силу лемм 3.2 и 3.9 является ограниченным проектором в пространстве G+ := H 1/2(Γ), а оператор ρkωk по построению является единичным оператором в H 1/2(Γk ) =: (G+)k. Поэтому по теореме 3.2 приходим к следующему выводу. Теорема 3.3. Для тройки пространств L2(Ω), H 1(Ω), L2(Γ), Γ = ∂Ω, и оператора следа γ : H 1(Ω) → L2(Γ), γη := η|Γ, η ∈ H 1(Ω), в области Ω ⊂ Rm с липшицевой границей Γ, разбитой 98 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ на части Γk с липшицевыми границами ∂Γk, k = 1, q, справедлива следующая формула Грина для смешанных краевых задач: (η, u - Δu)L2(Ω) = (η, u)H1(Ω) - q k=1 (γkη, ∂ku)L2(Γk ) ∀η, u ∈ H ∂u 1(Ω), (3.37) k u - Δu ∈ (H 1(Ω))∗, γkη := η|Γ ∈ H 1/2(Γk ), ∂ku := ∂n Γk ∈ H-1/2(Γk ), k = 1, q. D 3. Более общая формулировка абстрактной формулы Грина для смешанных краевых задач. Вторая формулировка абстрактной формулы Грина, выраженная теоремой 3.2, не всегда отражает те классы смешанных краевых задач, которые встречаются в приложениях. Именно, оператор ωk продолжения нулем с (G+)k на (---G+)k , как было видно из рассмотрений пункта 3.2, полезно использовать в случаях, когда куски Γk границы Γ= ∂Ω расположены на положительном расстоянии либо когда на разных кусках границы задают краевые условия Дирихле с функциями класса H 1/2(Γk ). Поэтому целесообразно получить другую форму абстрактной формулы Грина с тем, чтобы в приложениях можно было использовать и краевые условия Неймана или Ньютона. Переходя к рассмотрению этого вопроса в абстрактной форме, снова будем считать, что имеют место оснащения q k (G+)k '→ Gk '→ (G+)∗, k = 1, q, G = Gk, (3.38) k=1 а операторы проектирования pk : G+ → (---G+)k представляются в виде (3.13), (3.14): q pk = ωkρk, k = 1, q, ρkωk = (I+)k, k = 1, q, pk = I+, (3.39) k=1 где (I+)k - единичный оператор в (G+)k. При этом ρk - оператор сужения с G+ на (G+)k, а ωk - оператор продолжения с (G+)k на (---G+)k , но не обязательно нулем. Предполагается также, что ρk : G+ → (G+)k и ωk : (G+)k → (---G+)k - непрерывные операторы. Заметим, что в сформулированных предположениях сопряженный оператор ∗ k = ρkωk, ρk : (G+)k → (G+) , ωk : (---G+)k → (G+)k, k = 1, q, (3.40) p∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ где ρ∗ ∗ и ω∗ - ограниченные операторы, причем здесь ω∗ - оператор сужения с (---G+) на (G+)∗, k k k k k а ρ∗ - оператор продолжения с (G+)∗ на (G+)∗. k k Теорема 3.4 (общий вид абстрактной формулы Грина для смешанных краевых задач). Пусть выполнены условия, обеспечивающие существование абстрактной формулы Грина в форме (1.10), т. е. условия (1.4)-(1.6). Пусть также выполнены условия (3.38) и условия (3.39) либо (3.40). Тогда имеет место абстрактная формула Грина для смешанных краевых задач в форме (3.15), (3.16): q k (η, Lu)E = (η, u)F - (γkη, ∂ku)G k=1 ∀η, u ∈ F. γkη := ρkγη ∈ (G+)k, ∂ku := ω∗∂u ∈ (G+)∗, k k k где ρk и ω∗ - операторы со свойствами (3.39), (3.40). Доказательство. Если выполнены условия (3.39), то доказательство полностью повторяет вывод формул (3.17), (3.18). ОБ АБСТРАКТНОЙ ФОРМУЛЕ ГРИНА ДЛЯ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫХ ФОРМ 99 Если же выполнены условия (3.40), то имеем (γη, ∂u)G = (γη, q q k=1 p k ∗ ∂u)G = q q k=1 k (γη, p∗∂u)G = q = (γη, ρ∗ω∗∂u)G = (ρkγη, ω∗∂u)G =: (γkη, ∂ku)G , η, u ∈ F. k k k=1 k=1 k k k k=1 4. Другие приложения к классической тройке гильбертовых пространств. Построения, приведшие к формуле Грина (3.37), были непосредственно связаны с решениями вспомогательной задачи (3.28) с однородным условием Дирихле на части Γ\\Γk границы Γ = ∂Ω. Напомним, что при этом γkη = η|Γk ∈ H 1/2 k k ∂n (Γ ), ∂ u = ∂u Γk ∈ H-1/2 (Γk ), k = 1, q, η,u ∈ H 1(Ω). Аналогичные построения с однородным граничным условием Неймана на части Γ приводят к иной формуле Грина. Переходя к изучению этого вопроса, рассмотрим вспомогательную задачу Неймана w - Δw =0 (в Ω), ∂w = ψk (на Γk ), ∂n ∂w \\ k =0 (на Γ Γ ), (3.41) ∂n а также соответствующую задачу Зарембы w - Δw =0 (в Ω), w = ϕk (на Γk ), ∂w \\ k =0 (на Γ Γ ). (3.42) ∂n Слабым решением задачи (3.41) назовем функцию w ∈ H1(Ω), для которой выполнено тождество (η, w)H1(Ω) = (γkη, ψk)L2(Γk ) ∀η ∈ H 1(Ω). (3.43) Теорема 3.5. Задача Неймана (3.41) тогда и только тогда имеет слабое решение w =: h Tkψk ∈ H1(Ω), когда выполнено условие ψk ∈ H -1/2(Γk ). (3.44) Задача Зарембы (3.42) имеет слабое решение w =: γ-1ϕk ∈ H1(Ω) тогда и только тогда, k h когда выполнено условие ϕk ∈ H1/2(Γk ). (3.45) h а Доказательство. Заметим сначала, что условия (3.44), (3.45) необходимы для разрешимости задач (3.41), (3.42). В самом деле, если w ∈ H1(Ω) ⊂ H1(Ω), то по теореме Гальярдо (см. пункт 1.2) γw := w|Γ ∈ H1/2(Γ), потому, как следует из определения нормы в пространk стве H1/2(Γk ) (см. (1.36)), ϕk := w|Γ ∈ H1/2(Γk ), т. е. выполнено условие (3.45). Далее, для h w ∈ H1(Ω) ⊂ H1(Ω) аналогично получаем (см. (1.59)), что (∂w/∂n)Γ ∈ H-1/2(Γ), а потому, согласно (3.21), (∂w/∂n)Γk =: ψk ∈ H- 1/2 (Γk ). Более того, в силу постановки задачи (3.41), 1/2 (∂w/∂n)Γk должно быть продолжено нулем до (∂w/∂n)Γ в классе H- няться условие (3.44) (см. первую формулу (3.26)). (Γ), т. е. должно выпол- Докажем теперь, что условия (3.44), (3.45) достаточны для разрешимости (3.41), (3.42) соответственно. Представим решение задачи Зарембы (3.42) в виде w = w1 + w2. Предварительно продолжим с помощью оператора В. С. Рычкова Ek функцию ϕk ∈ H1/2(Γk ) на всю Γ в классе H1/2(Γ), т. е. введем согласно лемме 3.3 k ϕ := Ekϕk ∈ H1/2(Γ), ϕ H1/2(Γ) = Ek ϕk H1/2(Γ) :: ck ϕk H1/2(Γ ). Далее будем считать, что ϕ есть след на Γ функции w1, которая является решением задачи Дирихле: w1 - Δw1 =0 (в Ω), w1 = ϕ = Ekϕk (на Γ). 100 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ Тогда решение w1 этой задачи существует, единственно и выражается формулой w1 = γ-1Ekϕk ∈ H1(Ω), M h где оператор γ-1 ограниченно действует из H1/2(Γ) на H1(Ω). M Для функции w2 := w - w1 возникает краевая задача h ∂w2 ∂w1 w2 - Δw2 =0 (в Ω), w2 =0 (на Γk ), - \\ k = (на Γ Γ ), (3.46) ∂n ∂n которая уже исследована выше (см. (3.28)). В самом деле, так как w1 ∈ H1(Ω), то (∂w1/∂n)Γ ∈ k H-1/2(Γ), а потому (∂w1/∂n)Γ единственное слабое решение ∈ H-1/2(Γk ). По лемме 3.6 получаем, что задача (3.46) имеет w2 ∈ H 1 h,Γk (Ω), w2 = Tk (-∂w1/∂n)Γk . Итак, условие (3.45) не только необходимо, но и достаточно, чтобы задача Зарембы (3.42) имела единственное слабое решение. Пусть теперь ψk ∈ H1 H -1/2(Γk ). Докажем, что существует единственное слабое решение w ∈ h (Ω) задачи Неймана (3.41). Опираясь на доказанные утверждения, а также на очевидное неравенство |(ϕk, ψk)|L2(Γk ) :: ϕk H1/2(Γk ) · ψk H -1/2(Γk ) :: ψk H -1/2(Γk ) · ϕ H1/2(Γ), k ∀ϕ ∈ H1/2(Γ), ϕk = ρkϕ = ϕ|Γ ∈ H1/2(Γk ), ρk = 1, (3.47) h докажем, что при ψk ∈ H -1/2(Γk ) задача Неймана (3.41) имеет единственное решение w ∈ H1(Ω). В самом деле, ее слабое решение определяется из тождества (3.43). Так как при любом η ∈ H1(Ω) правая часть в (3.43) в силу свойств γη ∈ H1/2(Γ), ρkγη = γkη =: ϕk ∈ H1/2(Γk ) и неравенства (3.47) является линейным ограниченным функционалом в H1(Ω), то имеет место тождество (3.43). Тогда h w =: Tkψk, Tk ∈ L(H -1/2(Γk ); H1(Ω)). Опираясь на утверждения теоремы 3.5, введем, как и выше (см. (3.28), (3.32)), оператор Стеклова, который сопоставляет решению w задачи Неймана (3.41) его след на Γk : ϕk = γk Tkψk =: Ckψk, ψk ∈ H -1/2(Γk ), ϕk ∈ H1/2(Γk ). Пусть η и w - два решения задачи Неймана (3.41), отвечающие соответственно элементам ζk и ψk k из H -1/2(Γk ), причем η|Γ = ξk, w|Γk = ϕk. Тогда, исходя из определения (3.43) слабого решения задачи Неймана, легко видеть, что 1 (ξk, ψk)L2(Γk ) = (ξk, C- ϕk)L (Γ ) = (η, w)H1(Ω), (3.48) k 2 k k откуда следует, что C-1 - оператор гильбертовой пары (H1/2(Γk ); L2(Γk )), D(C-1)= R(Ck )= H1/2(Γk ), R(C-1)= D(Ck )= H -1/2(Γk ). (3.49) k k Будем далее говорить, что если выполнены условия (3.48), (3.49), то пространства H1/2(Γk ) и H -1/2(Γk ) дуальны по задаче Неймана (3.41) либо задаче Зарембы (3.42). Аналогичное утверждение о дуальности справедливо и для задачи (3.28)-(3.29), т. е. ∂w w - Δw =0 (в Ω), и соответствующей задачи Дирихле: ∂n = ψk (на Γk ), w =0 (на Γ \\ Γk ), (3.50) ϕk w - Δw =0 (в Ω), w = (на Γk ), w =0 (на Γ \\ Γk ). (3.51) Здесь, как показали проведенные выше рассмотрения, возникает оператор Стеклова C k := γk T k , гильбертова пара пространств (H 1/2(Γk ); L2(Γk )), а также соотношения 1ϕk (ξ k , ψk)L2(Γk ) = (ζk, C - )L (Γ ) = (η, w)H1(Ω), k 2 k D(C -1)= R(C k )= H 1/2(Γk ), R(C -1)= D(C k )= H-1/2(Γk ), k k ОБ АБСТРАКТНОЙ ФОРМУЛЕ ГРИНА ДЛЯ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫХ ФОРМ 101 а η и w - соответствующие решения задач (3.50) либо (3.51). Таким образом, пространства H 1/2(Γk ) и H-1/2(Γk ) дуальны по задачам (3.50), (3.51). Отметим, наконец, и такой очевидный факт: пространства H1/2(Γ) и H-1/2(Γ) дуальны по задаче Неймана w - Δw =0 (в Ω), и соответствующей задаче Дирихле ∂w = ψ (на Γ) (3.52) ∂n w - Δw =0 (в Ω), w = ϕ (на Γ), (3.53) причем связь между ψ и ϕ дается классическим оператором Стеклова: ϕ = Cψ, ξ = Cζ, D(C-1)= R(C)= H1/2(Γ), R(C-1)= D(C)= H-1/2(Γ), 1 1 (ξ, ψ)L2(Γ) = (ζ, C- ϕ)L2(Γ) = (η, w)H1(Ω), η, w ∈ Hh (Ω). (3.54) Опираясь на установленные факты, приведем примеры операторов проектирования в пространствах H1/2(Γ), H-1/2(Γ), а также их представления в виде (3.39) и (3.40), использованные при доказательстве общей теоремы 3.4. Эти примеры основаны на результатах рассмотрения вспомогательных краевых задач, изученных выше. Как и ранее, будем считать, что липшицева граница Γ= ∂Ω разбита на части Γk с липшицевыми ∂Γk, k = 1, q. Введем ограниченные операторы ρk : H1/2(Γ) → H1/2(Γk ) (лемма 3.2) сужения функции из H1/2(Γ) на H1/2(Γk ), ρk :: 1, а также его сопряженный ρ∗ k : (H 1/2 (Γk ))∗ = H -1/2 (Γk ) → (H 1/2 (Γ))∗ = H-1/2 (Γ), который является ограниченным оператором продолжения нулем: ρ∗ ( ψk (на Γk ), -1/2 kψk =: ψ k := 0 (на Γ\\Γk ), ψk ∈ H (Γk ). (3.55) Введем еще ограниченный оператор продолжения ωk : H1/2(Γk ) → H1/2(Γ), например, оператор В. С. Рычкова (см. лемму 3.3) ωk = Ek. Тогда ω∗ k : (H 1/2 (Γ))∗ = H-1/2 (Γ) → (H 1/2 (Γk ))∗ = H -1/2 (Γk ) - ограниченный оператор сужения. Введем, наконец, пространство k=1 H˘ -1/2(Γ) := (+)q H˘ -1/2(Γk ) ⊂ H-1/2(Γ), (3.56) k H˘ -1/2(Γk ) := {ψ k = ρ∗ψk : ψk ∈ H -1/2(Γk )}⊂ H-1/2(Γ), а также ограниченные операторы p∗ ∗ ∗ -1/2 -1/2 k = ρkωk : H k Очевидно, операторы p∗ обладают свойствами (Γ) → H (Γ). ω∗ ∗ -1/2 kρkψk = ψk ∈ H и потому в пространстве H˘ -1/2(Γ) имеем (Γk )}, k = 1, q, (3.57) q p∗ ∗ 2 ∗ ∗ ∗ - где I˘ - k = (pk ) , pkpj =0 (k /= j), - единичный оператор в H˘ -1/2(Γ). k=1 pk = (I˘ ), (3.58) Таким образом, для пространства H˘ -1/2(Γ) выполнены общие требования (3.38)-(3.40), где k (G+)k = H1/2(Γk ), Gk = L2(Γk ), (G+)∗ = H -1/2(Γk ), k = 1, q. Приведем теперь более сложный пример оператора проектирования, относящийся к пространству H1/2(Γ). Пусть ϕ ∈ H˘ 1/2(Γ) := CH˘ -1/2(Γ) ⊂ H1/2(Γ), (3.59) 102 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ где C : H-1/2(Γ) → H1/2(Γ) - оператор Стеклова, возникающий в задаче (3.52) (см. также (3.53)- (3.54)). Тогда ψ = C-1ϕ ∈ H˘ -1/2(Γ) и потому ψk := ψ |Γ = ω∗ψ и ψ k := ρ∗ψk (см. (3.55)). k k k Решая теперь задачу Неймана (3.52) с ψ = ψ k, а затем находя след слабого решения w этой задачи на Γ, получаем w|Γ = Cψ k = Cρ∗ω∗C-1ϕ =: pkϕ ∈ H˘ 1/2(Γ), k = 1, q. (3.60) k k Таким образом, оператор pk действует в пространстве считать, что H˘ 1/2(Γ) ⊂ H1/2(Γ). Можно формально ρk := ω∗C-1, ωk := Cρ∗, ρk, ρk : H˘ 1/2 k -1/2 k ωk -1/2 1/2 (3.61) ωk = kρ∗ (Γ) → H (Γk ), -1/2 : H (Γk ) → H˘ (Γ), ρk ω∗ k - единичный оператор в H (Γk ) (см. (3.57)). Наконец, выполнены свойства (pk )2 = Cρ∗ (ω∗ρ∗ )ω∗C-1 = Cρ∗ω∗C-1 = pk, k = 1, q, а также условие k k k k k k q q pk = C ρ∗ω∗ = I˘+, k=1 k=1 k k C-1 где I˘+ - единичный оператор в пространстве H˘ 1/2(Γ) ⊂ H1/2(Γ). (Здесь при выводе использовано последнее свойство (3.58).) Итак, для оператора pk из (3.60), (3.61), справедливы общие требования (3.38)-(3.40). Введем теперь по аналогии с (3.35), (3.36) классы функций, связанных с вспомогательными задачами (3.41), (3.42) Неймана и Зарембы. Именно, введем пространства (3.56), (3.59), т. е. k=1 H˘ -1/2(Γ) := (+)q H˘ -1/2(Γk ), H˘ 1/2(Γ) := CH˘ -1/2(Γ), (3.62) а также пространство H˘ 1(Ω) := H1(Ω) ⊕ {(+)q H˘ 1 (Ω)}⊂ H1(Ω), 0 H˘ 1 k=1 1 h,Γk 1 где H1 Γ\\Γk h,Γk (Ω) = Hh (Ω) ∩ HΓ\\Γk (Ω), (3.63) (Ω) - подпространство тех функций из H1(Ω), для которых выполнено однородное условие Неймана на Γ\\Γk (см. (3.41)). Назовем след γu элемента u ∈ H1(Ω) регулярным следом второго типа (порожденным задачами (3.41), (3.2)), если для любого k ∈ 1,q элемент k ∂ku = ω∗∂u = (∂u/∂n)Γk ∈ H˘ -1/2(Γk ), т. е. он продолжи´ м нулем на всю Γ в классе H-1/2(Γ) = (H1/2(Γ))∗. Согласно проведенным выше построениям и определениям (3.62)-(3.63) элементы из имеют регулярный след второго типа: для любого u ∈ H˘ 1(Ω) имеем q H˘ 1(Ω) u = u0 + uq, u0 ∈ H1(Ω), uk ∈ H˘ 1 (Ω), k = 1, q, 0 k=1 h,Γk 1/2 γu0 = 0, ∂kuk = (∂uk /∂n)Γk =: ψ k ∈ H - ∂kuj = 0, (k /= j), j, k = 1, q. (Γk ), В качестве следствия из разобранных примеров операторов проектирования, а также из теоремы 3.4 приходим к такому выводу. Теорема 3.6. Для тройки пространств L2(Ω), H˘ 1(Ω), L2(Γ), Γ := ∂Ω, и оператора следа γ : H1(Ω) → H1/2(Γ), γη := η|Γ, в области Ω ⊂ Rm с липшицевой границей Γ, разбитой на липшицевы куски Γk, k = 1, q, справедлива следующая формула Грина для смешанных краевых задач: (η, u)H1(Ω) = (η, u - Δu)L2(Ω) + q k=1 (γkη, ∂ku)L2(Γk ) ∀η, u ∈ H˘ 1(Ω), (3.64) ОБ АБСТРАКТНОЙ ФОРМУЛЕ ГРИНА ДЛЯ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫХ ФОРМ 103 γkη := η|Γk ∈ H 1/2 k k ∂n (Γ ), ∂ u := ∂u Γk ∈ H -1/2 (Γk ),k = 1, q, u - Δu ∈ (H˘ 1(Ω))∗. D Формула Грина (3.64), таким образом, приспособлена не только к исследованию с ее помощью слабых решений краевых задач в области Ω с условиями Дирихле на части Γk границы Γ = ∂Ω (см. теорему 3.3), но также и с краевыми условиями Неймана либо Ньютона. Рассмотрим теперь такой простейший вариант. Будем считать, что граница Γ = ∂Ω области Ω состоит из нескольких односвязных частей, находящихся на положительном расстоянии друг от друга, т. е. q Γ= I Γk, dist(Γk , Γj ) d> 0, j, k = 1, q. (3.65) k=1 (Например, при q = 2 в качестве Ω можно взять область в виде шарового слоя в R3, расположенного между радиусами r1 и r2 < r1. Тогда Γ1 - сфера радиуса r1, Γ2 - сфера радиуса r2 и d = r1 - r2 > 0. Данный вариант уже обсуждался в пункте 3.1, см. формулы (3.5)-(3.8) и лемму 3.1.) В этом случае, как и для (односвязной) границы Γ= ∂Ω, имеют место свойства (H1/2(Γk ))∗ = H-1/2(Γk ), k = 1, q, аналогичные свойству (1.43). При этом k=1 H 1/2(Γ) = H˘ 1/2(Γ) = H1/2(Γ) = (+)q H1/2(Γk ) (см. определения (3.35), (3.56), (3.59)) и потому в силу предыдущего H 1(Ω) = H˘ 1(Ω) = H1(Ω). Отсюда, а также из теорем 3.5, 3.6 приходим к следующему выводу. Теорема 3.7. Пусть для односвязной области Ω ⊂ Rm с неодносвязной липшицевой границей Γ = ∂Ω выполнены условия (3.65). Тогда справедлива следующая обобщенная формула Грина для смешанных краевых задач: (η, u)H1(Ω) = (η, u - Δu)L2(Ω) + q k=1 (γkη, ∂ku)L2(Γk ) ∀η, u ∈ H 1(Ω), γkη := η|Γk ∈ H 1/2 k k ∂n (Γ ), ∂ u := ∂u Γk ∈ H-1/2 (Γk ), k = 1, q, u - Δu ∈ (H1(Ω))∗. D Рассмотрения этого параграфа (см. теоремы 3.5-3.7) показывают, что вид обобщенной формулы Грина для смешанных краевых задач в классических задачах следует выбирать, исходя из вида области Ω ⊂ Rm и характера краевых условий, заданных на Γ= ∂Ω. 4. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ Наметим теперь, какие проблемы естественным образом исследуются на основе доказанных теорем о существовании абстрактных формул Грина (2.50), (2.54), (2.55). Все эти проблемы рассматриваются на базе соответствующих формул Грина с уже выбранным дифференциальным выражением Lu (см., например, [18, с. 237]). Отметим, что глубокие результаты исследования смешанных краевых задач в липшицевых областях для сильно эллиптических систем второго порядка, а также соответствующих спектральных задач получены в последнее время в работах М. С. Аграновича, см. [3-5]. 104 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ 1. Абстрактные краевые задачи. К числу таких задач относятся следующие проблемы: 1. Неоднородная задача Неймана для уравнения Пуассона. Lu = f (в E), ∂u = ψ (в G). Для ее однозначной разрешимости необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия 0 f ∈ F∗, ψ ∈ (G+)∗, (4.1) а слабое решение выражается формулой u = A-1f + TM ψ, (4.2) где A = A1/2(I - iQ)A1/2 - оператор формы Φ(η, u), а TM : (G+)∗ → M ⊂ F0 - оператор вспомо- 0 0 гательной задачи Lw =0 (в E), ∂u = ψ (в G). 2. Задача Дирихле для уравнения Пуассона. Lu = f (в E), γu = ϕ (в G). Здесь при выполнении необходимых и достаточных условий f ∈ N∗, ϕ ∈ G+, задача имеет слабое решение u = A-1f + γ-1ϕ, 00 M N где A00 = P∗ APN : N → N∗ - оператор, отвечающий сужению формы Φ(η, u) на подпространство N (для η и u), а γM - сужение оператора следа γ на M. 3. Третья краевая задача (задача Ньютона-Неймана). Lu = f (в E), ∂u + αγu = ψ (в G), (4.3) где α : G+ → (G+)∗ - неотрицательный оператор, т. е. (ϕ, αϕ)G 0 ∀ϕ ∈ G+. F0 Эта задача исследуется так же, как и задача 4.1.1, однако взамен нормы u 2 = ΦR(u, u) здесь используется эквивалентная норма u 2 eq,F0 F0 := u 2 + (γu, αγu)G. Если выполнены условия (4.1), то задача (4.3) имеет единственное слабое решение u ∈ F0, выражаемое формулой вида (4.2) (с измененными A и TM ). 1. Абстрактные смешанные краевые задачи. Теорема 3.4, доказывающая существование абстрактной формулы Грина для смешанных краевых задач в случае симметрической формы - скалярного произведения в пространстве F - справедлива и в случае несимметрической формы Φ(η, u), если выполнены предположения (3.38)-(3.40). Такая формула Грина теперь имеет вид q k Φ(η, u)= (η, Lu)E + (γkη, ∂ku)G k=1 ∀η, u ∈ F0. (4.4) На ее основе изучаются абстрактные смешанные краевые задачи, когда на разных частях «границы», т. е. в граничном пространстве G, задаются различные краевые условия типа Дирихле, Неймана либо Ньютона-Неймана. В симметрическом случае и для классической тройки гильбертовых пространств подобный подход описан в пункте 3.4. Здесь отметим еще раз, что в смешанных краевых задачах выбор пространства, в котором ищется слабое решение, в значительной мере определяется характером краевых условий, заданных на различных частях (подпространствах) границы (граничного пространства). ОБ АБСТРАКТНОЙ ФОРМУЛЕ ГРИНА ДЛЯ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫХ ФОРМ 105 2. Спектральные проблемы и абстрактная формула Грина. На основе абстрактной формулы Грина (2.50), а также формулы (4.4) для смешанных краевых задач исследуются спектральные проблемы, возникающие в приложениях. Перечислим кратко некоторые из них. Отметим, что рассмотрение этих проблем приводит к изучению некоторых нестандартных спектральных задач, в частности, несамосопряженных (см. [8, 15]). 1. Задача Дирихле, Неймана, Ньютона. Это задачи соответственно вида Lu = λu (в E), γu =0 (в G); Lu = λu (в E), ∂u =0 (в G); Lu = λu (в E), ∂u + αγu =0 (в G). 2. Задача Стеклова. 3. Задача Стефана. Lw =0 (в E), ∂w + αγw = λγw (в G). Lu = λu (в E), ∂u + αγu = λγu (в G). 4. Задача М. С. Аграновича. Lu + λu =0 (в E), ∂u + αγu = μγu (в G). (4.5) Здесь один из параметров (λ или μ) является спектральным, а другой - фиксированным. 5. Задача С. Крейна. Lu = λu (в E), λ(∂u + αγu)= γu (в G). 6. Задача Чуешова. Lu + λ2u =0 (в E), ∂u + αγu = λγu (в G). 1. Спектральные задачи сопряжения. Подробное изучение этого класса задач для конкретных приложений проведено М. С. Аграновичем с его учениками и коллегами (см. например, [25]). В абстрактной форме такие проблемы обсуждаются в [8]. Приведем краткое словесное описание постановки спектральных задач сопряжения. Пусть имеется набор пространств Ej, Fj и Gj и операторов следа γj, j = 1, q, таких, что для каждого набора справедлива абстрактная формула Грина в форме (1.10), т. е. (ηj, Ljuj)Ej = (ηj, uj )Fj - (γjηj, ∂juj)Gj ∀ηj, uj ∈ Fj, j = 1, q. Будем считать также, что каждое граничное пространство Gj является ортогональной суммой пространств Gj = ⊕klGjkl, причем каждое Gjkl имеет оснащение: jkl (G+)jkl '→ Gjkl '→ (G+)∗ . При этом оснащения совпадают при перемене мест индексов k и j. В этих обозначениях спектральная задача сопряжения формулируется следующим образом. Необходимо найти набор u = (u1, ..., uq ) элементов uj ∈ Fj из уравнений Ljuj + λuj =0 (в Ej ), j = 1, q, а также «краевых» условий сопряжения, которые разбиваются на следующие категории. При k > j: 1. Это условия первой задачи сопряжения с параметром μ, когда приравниваются следы на Gjkl, а сумма производных по нормали равна спектральному параметру μ, умноженному на след элемента uj либо uk. 2. Аналогичное условие без параметра μ (т. е. μ = 0). 3. Условия второй задачи сопряжения (когда приравнивается нулю сумма производных по нормали) с параметром μ. 4. Условия второй задачи сопряжения без параметра μ. 106 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ При k = j имеются три типа условий: 1. Условие Ньютона-Неймана с параметром μ. 2. Условие Ньютона-Неймана без параметра (μ = 0). 3. Однородное условие Дирихле. Оказывается, для таких задач можно доказать существование формулы Грина в форме (1.5) k=1 применительно к некоторому подпространству F0 пространства F = ⊕q Fj, учитывающему «главные» краевые условия. На этой основе проблему можно снова свести к задаче вида (4.5) и исследовать ее уже разработанными методами.