О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ С ПРИЛОЖЕНИЯМИ К МЕХАНИКЕ

Аннотация

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ Тензорное исчисление располагает хорошими фундаментальными монографиями и учебниками, часть из которых приведены в списке литературы [5, 9, 10, 14, 27, 54, 69]. Автору посчастливилось во время аспирантуры и докторантуры слушать замечательные курсы лекций по тензорному анали- зу, различным разделам механики деформируемого твердого тела (МДТТ) и механике сплошной среды (МСС) (математическая теория пластин и оболочек, основы МДТТ, основы МСС, меха- ника композитов и др.) в тензорном исчислении, читаемые в течении нескольких десятилетий для студентов механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова профессором Б. Е. Победрей. Они оказали неоценимую роль при формировании автора, как специалиста по тензорному исчислению и разным разделам МДТТ, в частности, по теории тонких тел. Уже много лет автор, работая доцентом по кафедре механики композитов механико-математи- ческого факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, сам читает следующие спецкурсы для студентов- механиков: «Тензорный аппарат механика», «Математическая классическая теория оболочек», «Математическая неклассическая теория оболочек», «Теории тонких тел» и др. Все эти спецкур- сы ведутся с использованием тензорного исчисления. При чтении спецкурсов имеются вопросы, которые или недостаточно освещены в имеющейся литературе, или изложены в труднодоступных книгах. Поэтому созрела необходимость издания, частично устраняющего вышеуказанную пробле- му. В этой связи ранее маленьким тиражом была издана состоящая из двух частей книга [31, 32]. Материал этой книги после исправления замеченных опечаток был использован при написании первых трех и последней глав настоящей книги, которая состоит из введения и шести глав. Чет- вертая и пятая главы содержат материалы, которые публикуются впервые. Следует заметить, что различные части материала настоящей книги были опубликованы в разное время в различных изданиях [29, 33-43, 80-82]. В первой главе приведены основные определения из линейной алгебры и функционального ана- лиза. В частности, даны определения полугруппы, группы, кольца и поля, а также модуля и 6 ВВЕДЕНИЕ линейного пространства [2-4, 73]. Сформулирована локальная теорема существования гомеомор- физмов. Введены определения внутреннего r-произведения и локального скалярного произведения тензоров, ранг которых не меньше r, а также локальной нормы тензора [5]. Даны определения, сформулированы и доказаны основные теоремы и утверждения, касающиеся линейной зависимости и независимости системы тензоров любого ранга. Кроме этого, приведены определения и доказа- тельства некоторых теорем, относящихся к ортогональной и биортонормальной системам тензоров. Дано определение мультипликативного базиса (мультибазиса) и рассмотрены способы построения базисов модулей с помощью базисов модулей меньших размерностей. В этой связи сформулирова- но и доказано несколько теорем. Более подробно, чем в [5], изучены тензорные модули четного порядка и задачи о нахождении собственных значений и собственных тензоров тензора любого четного ранга. Даны канонические представления тензора любого четного ранга. Следует заме- тить, что аналогичная задача для тензора модулей упругости была рассмотрена польским ученым Я. Рыхлевским в 1983-1984 гг., позже, чем она была изучена для комплексного тензора любого четного ранга советским ученым И. Н. Векуа. Однако, в явном виде не была построена полная ортонормальная система собственных тензоров для симметричного тензора любого четного ранга. Во второй главе приведены элементарные сведения о многочленах с тензорными коэффициен- тами и действиях над ними. Сформулирована и доказана обобщенная теорема Безу, на основании которой доказана теорема Гамильтона-Кэли. Рассмотрено и другое доказательство последней теоремы. Доказано несколько важных теорем, при выводе которых применяются формулы, выра- (2p) жающие присоединенный тензор B (λ) для тензорного двучлена λ E - A через тензор A ∈ C2p(Ω) (элементами этого модуля являются комплексные тензоры ранга 2p) и его инварианты. Далее даны определения минимального многочлена тензора модуля C2p(Ω) и тензора модуля Cp(Ω) (эле- ментами этого модуля являются комплексные тензоры ранга p), а также тензора модуля Cp(Ω) относительно заданного тензора модуля C2p(Ω). Здесь Ω - некоторая область n-мерного евкли- дова (риманова) пространства. Сформулированы и доказаны некоторые теоремы, касающиеся минимальных многочленов. Кроме того, сформулированы 1-я, 2-я и 3-я теоремы о расщеплении модуля Cp(Ω) на инвариантные подмодули. Особое внимание уделено теоремам о сопряженном, нормальном, эрмитовом и унитарном тензорах модулей C2p(Ω) и R2p(Ω) (элементы этого модуля - действительные тензоры ранга 2p). Доказаны теоремы о полярном разложении тензоров моду- лей C2p(Ω) и R2p(Ω), а также теоремы о существовании общей полной ортонормальной системы собственных тензоров для конечного или бесконечного множества попарно коммутирующих нор- мальных тензоров модулей C2p(Ω) и R2p(Ω). Даны канонические представления вышеупомянутых тензоров. В конце главы приведены важные с точки зрения практики упражнения, выполнение которых позволит представить законы и уравнения МДТТ во многих случаях в более удобной форме, чем имеющиеся в настоящее время. В третьей главе рассмотрены различные способы построения линейно независимых изотропных, гиротропных, ортотропных и трансверсально-изотропных тензоров. Сформулированы утверждения и теоремы, позволяющие построить эти тензоры. Построены линейно независимые вышеуказанные тензоры с первого до шестого ранга включительно, когда компоненты тензора не обладают никакой симметрией и в том случае, когда имеются разные виды симметрии. Механические свойства линейно упругого материала в классической линейной теории упругости определяются одним тензором четвертого ранга модулей упругости, а в микрополярной линейной теории упругости в общем случае, когда материал не обладает центром симметрии в смысле упругих свойств, - тремя тензорами. Хотя закон Гука сформулирован давно, однако тензоры мо- дулей упругости пока еще недостаточно изучены, а при проектировании и создании композитных материалов, которые обладают анизотропией высшей степени, важно знать внутреннюю струк- туру тензоров модулей упругости. Другими словами, важно определить собственные значения и собственные тензоры для тензоров модулей упругости. При этом, если микрополярный матери- ал не обладает центром симметрии в смысле упругих свойств, то для изучения математической и механической структуры таких материалов нужно найти собственные значения и собственные тензорные столбцы тензорно-блочной матрицы тензоров модулей упругости. Следует отметить, что в микрополярной теории компоненты тензоров модулей упругости обладают меньшим числом ВВЕДЕНИЕ 7 свойств симметрии, чем компоненты тензора модулей упругости в классической теории. Кроме того, в микрополярной теории не все тензоры имеют одинаковые свойства. Этот факт, конеч- но, усложняет нахождение собственных значений и собственных тензоров для тензоров модулей упругости в микрополярной теории. Собственные модули (значения) и собственные состояния (тензоры) для изотропного материала известны со времени Стокса [26]. Для анизотропных материалов понятие собственных модулей и собственных состояний под другими названиями было введено Кельвином в середине XIX века. Однако почему-то все это было надолго забыто, и лишь примерно 30 лет назад исследовате- ли вернулись к изучению этой проблемы. В частности, этой проблемой занимались Я. Рыхлев- ский [64, 65], Л. М. Минкевич [28], Л. А. Толоконников, Н. М. Матченко [71], А. С. Пипкин [83], К. С. Александров [1], К. Л. Лурье [22], А. И. Чанышев [75, 76], А. Ф. Ревуженко, А. И. Чанышев, Е. И. Шемякин [62], Н. И. Остросаблин [47-50] и другие. Для получения более полной инфор- мации о работах отечественных и зарубежных авторов по этой теме отсылаем заинтересованного читателя к докторской диссертации Н. И. Остросаблина [50], в списке литературы которой при- ведены многие работы по данной проблеме. Следует отметить, что Н. И. Остросаблин довольно полно изучил внутреннюю структуру классического тензора модулей упругости, дал классифи- кацию анизотропных классических линейно упругих материалов, а также изучил много других важных проблем, которые отражены в его докторской диссертации. Понятие собственных упругих состояний нашло применение в построении теории пластичности [52, 56] и теории течения [55]. Что касается работ по этой проблеме для микрополярных материалов, автору мало что известно. В этой связи в четвертой главе рассматриваются задачи на собственные значения тензора лю- бого четного ранга и тензорно-блочной матрицы, состоящей из тензоров одинакового четного ранга (см. также [39, 40, 43]). Подробно изучены внутренние структуры тензора модуля R2p(Ω) и 2p введенной в рассмотрение тензорно-блочной матрицы модуля R4 (Ω) (этот модуль состоит из мноp жества тензорно-блочных матриц, состоящих из четырех тензоров модуля R2p(Ω)). Кроме того, введен в рассмотрение тензорный столбец, состоящий из двух тензоров модуля Rp(Ω). Множество этих тензорных столбцов создает модуль, который обозначается через R2(Ω). Далее для тензо- ра A ∈ R2p(Ω) введены в рассмотрение тензор и расширенный тензор миноров любого ранга и порядка, а также соответствующие этим минорам тензор и расширенный тензор алгебраических дополнений. С помощью этих тензоров даны формулы, обобщающие теорему Лапласа о разложе- нии определителя тензора A ∈ R2p(Ω). Даны соотношения, выражающие классические (входящие в характеристическое уравнение) инварианты тензора модуля R2p(Ω)) как через тензоры и рас- ширенные тензоры миноров, так и с помощью тензоров и расширенных тензоров алгебраических 2p 2p дополнений этого тензора. Получены также формулы, выражающие классические инварианты тен- зора A ∈ R2p(Ω) через первые инварианты степеней этого тензора. Приведены и обратные к этим формулам соотношения. Сформулированы некоторые определения, утверждения и теоремы, касающиеся тензорно-блочных матриц модуля R4 (Ω). В явном виде построена полная ортонорми- рованная система собственных тензоров симметрического тензора модуля R2p(Ω), а также полная ортонормированная система собственных тензорных столбцов симметрической тензорно-блочной матрицы модуля R4 (Ω). Эти собственные тензорные столбцы, конечно, являются элементами моp дуля R2(Ω). В пятой главе даны некоторые приложения к механике. В частности, в линейной микрополярной теории упругости анизотропных тел, не обладающих центром симметрии в смысле упругих свойств, аналогично общему случаю введены в рассмотрение тензорные столбцы тензоров напря- жений и моментных напряжений и тензоров деформаций и изгиба-кручения, которые являются 2 элементами модуля R2(Ω). Введена также тензорно-блочная матрица тензоров модулей упруго- сти, состоящая из четырех тензоров четвертого ранга и являющаяся, конечно, элементом модуля R4 4(Ω). Даны представления упругой энергии деформации и определяющих соотношений (закона Гука) с помощью введенных тензорных столбцов и тензорно-блочной матрицы. Дано определение по- ложительно определенной тензорно-блочной матрицы и показана положительная определенность тензорно-блочной матрицы тензоров модулей упругости. Введены понятия собственного значения и собственного тензорного столбца тензорно-блочной матрицы и рассмотрена задача о нахождении 8 ВВЕДЕНИЕ собственных значений и собственных тензорных столбцов тензорно-блочной матрицы. В микро- полярной теории характеристическое уравнение тензорно-блочной матрицы имеет 18-ю степень, и поэтому в силу положительной определенности тензорно-блочной матрицы имеет 18 положитель- ных корней, считая каждый корень столько раз, какова его кратность. Следовательно, каждому собственному значению соответствует собственный тензорный столбец. Полная ортонормирован- ная система тензорных столбцов тензорно-блочной матрицы состоит из 18 тензорных столбцов (в классической теории упругости по терминологии Я. Рыхлевского собственные значения тен- зора модулей упругости называются (истинными) модулями жесткости, а собственные тензоры - упругими состояниями тела). Дано каноническое представление тензорно-блочной матрицы, на основании которого в свою очередь даны канонические записи удельной энергии деформации и определяющих соотношений. Введено в рассмотрение понятие символа структуры тензорно-блоч- ной матрицы (в классической теории упругости Я. Рыхлевским было введено понятие первого структурного индекса < α1 + α2 + ··· + αk >, < α1 α2 ... αk >, а Н. И. Остросаблин ввел символ {α1, α2,..., αk }, 0 αi 6, i = 1, k, α1 + α2 + ··· + αk = 6, где k (0 k 6)- число различных собственных модулей λi, а αi - их кратность, который на наш взгляд целесообразно называть символом структуры (анизотропии) тензора (материала). Первый структурный индекс имеет тот недостаток, что качественно различные материалы объединяет в один класс) и дана классификация тензорно-блочных матриц тензоров модулей упругости микрополярной ли- нейной теории упругости анизотропных тел, не обладающих центром симметрии (микрополярных линейно упругих анизотропных материалов, не обладающих центром симметрии). Все линейные анизотропные микрополярные упругие материалы, не обладающие центром симметрии в смысле упругих свойств, разделяются на 18 классов по числу различных собственных значений, а классы в зависимости от кратностей собственных значений подразделяются еще на подклассы. Все ска- занное выше в равной мере относится к линейной микрополярной теории упругости анизотропных тел, обладающих центром симметрии. В этом случае тензорно-блочная матрица является тензор- но-блочно-диагональной матрицей и в этой связи упрощается изучение ее внутренней структуры. В частности, достаточно изучить внутреннюю структуру каждого из двух положительно опреде- ленных тензоров модулей упругости в отдельности. В этом случае, в отличие от классического случая, характеристическое уравнение для каждого тензора модулей упругости имеет 9-ю степень (в классической теории упругости имеем один тензор модулей упругости, и в связи с имеющи- мися симметриями компонент тензора модулей упругости характеристическое уравнение имеет 6-ю степень). Непосредственным подсчетом доказано, что, если производить классификацию мно- жества положительно определенных симметричных тензоров четвертого ранга (тензоры модулей упругости в линейной микрополярной теории упругости анизотропных тел, обладающих центром симметрии, являются таковыми), то в итоге получаются 9 основных классов по числу различных собственных значений, а классы в зависимости от кратностей собственных значений подразде- ляются еще на подклассы. Всего имеем 256 подклассов (в классическом случае существует 6 классов, которые состоят из 32 подклассов). При этом, если каждому анизотропному материалу соответствуют тензоры модулей упругости одинаковой структуры (тензоры имеют одинаковый сим- вол структуры и принадлежат одному и тому же подклассу), то число анизотропных материалов равно 256, а если тензоры модулей упругости имеют одинаковый символ структуры, а принад- лежат различным подклассам, то число линейно упругих анизотропных материалов, обладающих центром симметрии в смысле упругих свойств, равно 12870. Следовательно, число анизотропных материалов, не обладающих центром симметрии в смысле упругих свойств, намного больше, чем число анизотропных материалов, обладающих центром симметрии. В частности, общее число всех анизотропных микрополярных линейно упругих не обладающих центром симметрии материалов равно 131072 (см. ниже). В явном виде построены полная ортонормированная система собственных тензорных столб- цов тензорно-блочной матрицы тензоров модулей упругости с помощью 153 независимых пара- метров, полная ортонормированная система собственных тензорных столбцов тензорно-блочно- диагональной матрицы тензоров модулей упругости с помощью 72 независимых параметров и пол- ная ортонормированная система собственных тензоров для положительно определенного симмет- ричного тензора модулей упругости микрополярной теории упругости с помощью 36 независимых ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ГРУПП 9 параметров (Н. И. Остросаблин в классической теории упругости в явном виде построил собствен- ные тензоры для тензора модулей упругости с помощью 15 независимых параметров). Рассмотрена классификация и классических анизотропных материалов. Найдены собственные значения и соб- ственные тензоры для классических материалов кристаллографических сингоний в отличной от полученных Н. И. Остросаблиным форме, а также для некоторых микрополярных материалов. В шестой главе изложены основы тензорного исчисления при новой параметризации области тонкого тела, заключающейся в использовании нескольких базовых поверхностей для построения теорий однослойных и многослойных тонких тел, а также теорий пластин, оболочек и многослой- ных конструкций. В конце главы приведены упражнения. Автор выражает самую глубокую благодарность профессорам Б. Е. Победре, Ю. И. Димитриенко и Д. В. Георгиевскому за полезные советы и обсуждения, а также к.ф.-м.н., старшему преподава- телю А. Р. Улуханян за большую помощь при оформлении рукописи. Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ № 14-01-00317-a, 15-01-00848-а. ГЛАВА 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИЗ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ГРУПП Приведем основные понятия и определения из линейной алгебры и функционального анали- за [2-5, 11, 24, 54, 73]. Определение 1.1. Полугруппой называется множество, в котором определено действие, сопо- ставляющее каждой упорядоченной паре элементов третий - результат действия. Действие пред- полагается ассоциативным. Полугруппами являются: множество целых неотрицательных чисел относительно действия сложения, то же множество относительно действия умножения. Определение 1.2. Полугруппа называется группой, если в ней существует нейтральный эле- мент e такой, что при всех a из группы a∗e = a (через ∗ обозначен знак действия), и для каждого элемента a существует обратный a-1 такой, что a ∗ a-1 = e. Примерами групп могут служить: множество всех целых чисел относительно сложения, множество положительных рациональных чисел относительно сложения. Эти группы коммутативны. Коммутативные группы называются также абелевыми. Действие в группе обозначается обычно как умножение (мультипликативная группа), иногда как сложение (аддитивная группа). Действие сложения применяется только для абелевых групп. Нейтральный элемент в мультипликативной группе обозначается через 1, а в аддитивной груп- пе - через 0. Обратный к a элемент в мультипликативной группе обозначается через a-1, а в аддитивной - через -a (и называется противоположным элементом). Определение 1.3. Кольцом называется множество объектов произвольной природы, в котором определены два действия - «сложение» и «умножение», сопоставляющие упорядоченным парам элементов их «сумму» и «произведение», являющиеся элементами того же множества. Предпола- гается, что действия удовлетворяют следующим условиям (требованиям): (a + b)+ c = a + (b + c) (ассоциативность сложения). a + b = b + a (коммутативность сложения). Существует нулевой (нейтральный) элемент 0 такой, что a +0 = a при любом a. Для каждого a существует противоположный -a такой, что a + (-a) = 0. (a + b)c = ac + bc (левая дистрибутивность). c(a + b) = ca + cb (правая дистрибутивность). Первые четыре условия обозначают, что элементы кольца образуют абелеву группу относи- тельно сложения, которая называется аддитивной группой кольца. На основании перечисленных условий нетрудно доказать утверждения. 10 ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИЗ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА Утверждение 1.1. Если a + x = a + y, то x = y. Утверждение 1.2. При данных a и b уравнение a + x = b имеет единственное решение (-a)+ b. Заметим, что утверждения 1.1 и 1.2 справедливы для любой абелевой группы, а не только для аддитивной группы кольца. Кроме того, из утверждения 1.2 следует единственность нуля и противоположного элемента, ибо 0 - решение уравнения a + x = a, а -a - решение уравнения a + x = 0. Утверждение 1.3. a · 0 = 0 · a = 0 при любом a. В общем определении кольца на действие умножения не накладывается никаких ограничений, кроме дистрибутивности со сложением. Однако часто возникает необходимость рассматривать кольца, в которых умножение удовлетворяет тем или иным дополнительным условиям. Наиболее употребимыми являются следующие: (ab)c = a(bc) (ассоциативность умножения). При выполнении этого условия элементы кольца образуют полугруппу относительно умножения. ab = ba (коммутативность умножения). Существование единичного элемента 1 (т. е. такого, что a·1 = 1·a = a для любого элемента a). Существование обратного элемента a-1 для любого элемента a, отличного от 0. В конкретных кольцах эти условия могут выполняться как порознь, так и вместе в различных комбинациях. Кольцо называется ассоциативным, если в нем выполнено условие 7, коммутатив- ным, если выполнено условие 8, коммутативным и ассоциативным, если выполнены условия 7 и 8. Если выполнено условие 9, говорят о кольце с единицей. При этом слово «кольцо» снабжается прилагательным в зависимости от выполнения условий 7 и 8. Если в кольце есть единица, то она единственна. Кольцо называется областью целостности, если из равенства ab = 0 следует, что хотя бы один из сомножителей a или b равен 0. Определение 1.4. Полем называется коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, в кото- ром каждый отличный от нуля элемент имеет обратный a-1. Иными словами, поле есть кольцо, в котором отличные от нуля элементы образуют коммута- тивную группу, которая носит название мультипликативной группы поля. Любое поле есть область целостности. Действительно, если ab = 0 и a /= 0, то a-1(ab) = a-1 · 0 = 0 и, следовательно, b = 0. Приведем несколько простых примеров. Множество Z всех целых чисел образует кольцо, ком- мутативное, ассоциативное и с единицей. Оно является областью целостности. Полем является множество Q всех рациональных чисел, множество R всех вещественных чисел и множество C всех комплексных чисел. 2. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ Множество Ω точек x (x1, x2,..., xn) называется n-мерным открытым множеством простран- ства Rn, если все его точки внутренние, т. е. для любой точки x ∈ Ω существует ε-окрестность (Oε(x)), целиком принадлежащая множеству Ω. Всякое открытое множество, содержащее точку x, называется окрестностью этой точки. Множество Ω называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Открытое множество называется связным, если любые две точки этого множества могут быть соединены ломаной, целиком лежащей в нем (или открытое множество на- зывается связным, если его нельзя представить как объединение двух непустых непересекающихся открытых множеств). Открытое связное множество Ω называется областью пространства Rn. Предположим, что соотношения xi∗ = ϕi∗ (x1, x2,..., xn), i = 1, n, (2.1) (короче, x× = ϕ(x)) реализуют взаимно однозначное отображение ϕ : Ω → Ω×, где Ω и Ω× - некоторые n-мерные области пространства Rn. Отображение x× = ϕ(x) называется непрерывным в точке x0 ∈ Ω, если любая ε-окрестность O× (x× ) образа x× = ϕ(x0) точки x0 содержит δ-окрестность ε 0 0 2. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ 11 δ (x0), прообраз ϕ Oδ (x0)l которой представляет окрестность точки x0. Если отображение x = O× × -11 × × × ϕ(x) непрерывно в каждой точке x ∈ Ω, то говорят, что оно непрерывно в Ω. Взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение ϕ : Ω → Ω× называется топологи- ческим отображением. Такие отображения называются еще гомеоморфизмами области Ω. Пусть Γ(Ω) - множество гомеоморфизмов ϕ области Ω. Очевидно, множеству Γ(Ω) принадлежит тожде- ственное отображение: xi∗ = xi, i = 1, n. Всякий гомеоморфизм x× = ϕ(x) ∈ Γ(Ω) осуществляет однозначную параметризацию области Ω. В этой связи координаты x1∗ , x2∗ ,..., xn∗ точки x× = ϕ(x) можно рассматривать как координаты точки области Ω. Иными словами, всякий гомеоморфизм x× = ϕ(x) ∈ Γ(Ω) определяет некоторую координатную систему в Ω, которую для краткости обо- значим через (x×). Следовательно, если (x×) и (x) - две координатные системы в Ω, то существует гомеоморфизм ϕ ∈ Γ(Ω) такой, что x× = ϕ(x). Соотношения (2.1) в дальнейшем будут рассмат- риваться как преобразования координат точек области Ω. Кроме того, будем предполагать, что функции ϕi∗ , i = 1, n, принадлежат некоторому классу Ck (Ω), что будет обозначаться еще симво- лом ϕ ∈ Ck. Если ϕ ∈ Ck для любого k 0, то будем иметь гомеоморфизмы класса C∞. В курсе математического анализа доказывается локальная теорема существования гомеомор- физмов. В связи с важностью этой теоремы приведем ее формулировку. Теорема 2.1. Пусть функции ϕi∗ (x1, x2,..., xn) ∈Ck (Ω), где k - некоторое натуральное чис- ло, большее единицы, или k = ∞, и в некоторой фиксированной точке x0(x1,..., xn) ∈ Ω отличен 0 0 от нуля функциональный детерминант (якобиан) преобразования (2.1), т. е. I(x×, x) = D(x1∗ , x2∗ ,..., xn∗ ) D(x1, x2,..., xn) ∂ x ) i∗ = det ( ∂ xj /= 0 при x = x0. (2.2) Тогда соотношение (2.1) осуществляет гомоморфизм O(x0) ⇔ O×(x× ), где O(x0) и O×(x× ) - 0 0 × некоторые окрестности точек x0 и x0 = ϕ(x0) соответственно. Если условие (2.2) выполняется всюду в области Ω, то это обеспечивает независимость функций ϕi∗ , что, конечно, является необходимым условием для того, чтобы соотношения (2.1) осуществ- ляли глобальный гомеоморфизм области Ω. Определение 2.1. Отнесение области (или, вообще, пространства) к той или иной системе координат называется параметризацией области (пространства). Координаты точки иногда называют также параметрами. Введем обозначения Di∗ ∂xi∗ ∂xj j = ∂ xj , Di∗ = ∂ xi∗ , i, j = 1, n. Тогда, очевидно, имеем соотношения Dj Di∗ = δj , Di∗ Dj = δi∗ , det(Dj ) det(Dk∗ ) = 1. Следо- i∗ k j k∗ k∗ i∗ n вательно, функциональные детерминанты (якобианы) преобразований координат удовлетворяют условиям I(x×, x) = det(Di∗ ) /= 0, I-1(x×, x) = det(Dj ) /= 0. j i∗ Если фиксировать какие-нибудь n - 1 из n координат x1, x2,..., xn и изменять оставшуюся коор- динату, то соответствующая точка x опишет линию, которая называется координатной линией. Если эта линия получена непрерывным изменением координаты xi, то ее называют координатной линией (xi). Совокупность координатных линий (x1), (x2),..., (xn) образует в пространстве сеть линий координатной системы (x). Предполагается, что в каждой точке рассматриваемой области Ω ⊆ Rn проходят n координатных линий и что касательные к этим линиям в точке их пересечения являются линейно независимой системой векторов. Можно доказать, что при соблюдении (2.2) это требование всегда выполняется. Пусть Ω - некоторая область n-мерного (евклидова или риманова) пространства Rn. Обозна- чим через C(Ω) (R(Ω)) множество отображений f : Ω → C (g : Ω → R). Относительно каждой системы координат (x) в Ω ⊆ Rn отображение f (g) будет выражаться комплексной (веществен- ной) функцией f (x) (g(x)) координат точек области Ω, которую назовем компонентой или представлением отображения f (g) относительно координатной системы (x). Обозначим множество компонент (представлений) отображений из C(Ω) (R(Ω)) относительно координатной системы (x) 12 ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИЗ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА через Cx(Ω) (Rx(Ω)). Предполагаем, что для каждой координатной системы (x) множество Cx(Ω) (Rx(Ω)) представляет кольцо. Это имеет место, например, если Cx(Ω) (Rx(Ω)) представляет мно- жество измеримых по Лебегу функций в области Ω. Операции (действия) сложения и произведе- ния в C(Ω) (R(Ω)) определяются следующим образом: если f, g ∈ C(Ω) (R(Ω)), то под f + g и fg будем подразумевать элементы из C(Ω) (R(Ω)), компоненты которых относительно координатной системы (x) соответственно равны f (x)+ g(x) и f (x)g(x). Тогда ясно, что C(Ω) (R(Ω)) является кольцом. При этом R(Ω) - подкольцо C(Ω). Очевидно, все рассуждения, которые имеют место для кольца C(Ω), как правило, будут оста- ваться в силе и для подкольца R(Ω). Теперь введем определения модуля и линейного пространства. Определение 2.2. Модуль над кольцом K (K = R(Ω) или K = C(Ω)) есть множество V произвольных элементов, называемых векторами, удовлетворяющее следующим условиям («аксиомам линейного пространства»): Для любых двух векторов A1 и A2 определен вектор A, называемый суммой векторов A1 и A2 и обозначаемый через A1 + A2. При этом для любых двух векторов A1 и A2 имеем A1 + A2 = A2 + A1 (свойство коммутативности сложения), а для любых трех векторов A1, A2 и A3 (A1 + A2)+ A3 = A1 + (A2 + A3) (свойство ассоциативности сложения). В множестве V имеется элемент O, называемый нулевым вектором, удовлетворяющий для любого A условию A + O = A. Ко всякому вектору A имеется вектор -A, называемый противоположным вектору A и удовлетворяющий условию A + (-A) = O. Для любого вектора A и любого элемента λ ∈ C(Ω) (R(Ω)) определен вектор λA, называемый произведением вектора A на элемент λ кольца C(Ω) (R(Ω)). При этом для двух векторов A1 и A2 и любого λ ∈ C(Ω) (R(Ω)) имеем λ(A1 + A2) = λA1 + λA2 (первая дистрибутивность); для любого вектора A и любых двух элементов λ1 и λ2 из C(Ω) (R(Ω)) имеем (λ1 + λ2)A = λ1A + λ2A (вторая дистрибутивность) и λ1(λ2A) = (λ1λ2)A (ассоциативность умножения на элементы из кольца C(Ω) (R(Ω))); наконец, если в кольце C(Ω) (R(Ω)) имеется единица, то требуется выполнение условия 1A = A. Вот и все аксиомы модуля над кольцом C(Ω) (R(Ω)). Модуль над кольцом C(Ω) (R(Ω)) часто просто называют C(Ω)-модулем (R(Ω)-модулем). Примером модуля является, например, множество векторных (тензорных) полей V над кольцом скалярных функций. Заметим, что из аксиомы 2 следует, что модуль над кольцом K всегда есть непустое множество векторов. Но состоять из одного нулевого вектора O он может. В этом «нулевом» модуле действия таковы: O + O = O, λO = O при любом λ. Определение 2.3. Если K является полем, модуль называется линейным (векторным) про- странством над полем K. В частности, если поле коэффициентов K = R, то линейное простран- ство над K называется вещественным линейным пространством. В том случае, когда K = C, имеем комплексное линейное пространство. Следует заметить, что в качестве множества V, входящего в определение модуля (линейного пространства), можно рассматривать, например, множество тензоров любого заданного ранга p в некоторой области Ω ⊆ Rn. Пусть M представляет C(Ω)-модуль (соответственно R(Ω)-модуль). Обозначим через M (Ω) множество отображений h : Ω → M. Легко усмотреть, что M (Ω) также представляет C(Ω)-модуль (соответственно R(Ω)-модуль). Относительно каждой координатной системы (x) всякий элемент h ∈ M (Ω) выражается некоторой функцией h(x) координат точки области Ω, которую назовем компонентой h относительно координатной системы (x). Обозначим 3. ЛОКАЛЬНО ГИЛЬБЕРТОВЫ МОДУЛИ ТЕНЗОРОВ 13 множество функций h(x) через Mx(Ω). Следовательно, Mx(Ω) представляет модуль над кольцом Cx(Ω) (Rx(Ω)). ЛОКАЛЬНО ГИЛЬБЕРТОВЫ МОДУЛИ ТЕНЗОРОВ Рассмотрим некоторые общие вопросы тензорной алгебры, используя элементарные понятия алгебры и функционального анализа [3-5]. Модуль Cp(Ω). Обозначим через Cp(Ω) множество тензоров ранга p 0 из C(Ω), где Ω - неко- торая область n-мерного риманова пространства Rn. Рассмотрим, вообще говоря, комплексные тензоры, которые можно представить в виде W = U + iV, где U и V - вещественные тензо- ры. Следовательно, C0(Ω) - кольцо скаляров (тензоров нулевого ранга). Нетрудно заметить, что множество Cp(Ω) является модулем над кольцом скаляров C0(Ω), т. е. Cp(Ω) представляет C0(Ω)- модуль. Пусть Mp(Ω) - множество тензоров ранга p с элементами из некоторого модуля M (Ω) над кольцом C0(Ω). Конечно, Mp(Ω) представляет модуль над кольцом C0(Ω). Зная, что Cp(Ω) и Mp(Ω) являются модулями над кольцом C0(Ω) (C0(Ω)-модулем), в дальнейшем для краткости будем говорить «модули Cp(Ω) и Mp(Ω)». Число p назовем порядком модулей Cp(Ω) и Mp(Ω). Если тензор W = U + iV ∈ Cp(Ω), то сопряженный тензор W = U - iV ∈ Cp(Ω). В дальнейшем будем предполагать, что элементы модуля Cp(Ω) - непрерывные тензоры в области Ω. Кроме того, как и выше, будем предполагать, что переход от одних координат к другим осуществляется при помощи преобразований (2.1) некоторого класса Ck, k 1. Поэтому, если тензор принадлежит классу Cm, 0 m < k, относительно одной, произвольно выбранной системы координат, то он принадлежит тому же классу относительно любой другой системы координат. Следовательно, принадлежность тензора классу Cm, m < k, является его инвариантным свой- ством. При k = ∞ можно рассматривать тензоры класса C∞. Внутреннее r-произведение тензоров. Пусть A - тензор ранга p + r с компонентами l1l2...lrj1j2...jq Ai1i2...ipk1k2...kr , а B - тензор ранга r + q с компонентами B . Определение 3.1. Внутренним r-произведением тензоров A и B называется тензор, который r обозначается через D = A ⊗ B и компоненты которого определяются следующим1 образом: D j1j2...jq r j1j2...jq k1k2...krj1j2...jq i1i2...ip = (A ⊗ B)i1i2...ip = Ai1i2...ipk1k2...kr B . (3.1) Итак, при внутреннем r-произведении тензоров происходит r-кратное сокращение индексов. Поэтому во внутреннем r-произведении могут участвовать тензоры, ранг каждого из которых не меньше r. Если не происходит сокращение индексов (r = 0), то такое произведение называется прямым произведением тензоров. r Если p = q = 0, то будем опускать символ ⊗ и просто писать AB. В этом случае внутреннее r-произведение назовем просто внутренним произведением. Оно, конечно, выражается формулой k1k2...kr AB = Ak1k2...kr B . (3.2) Следует заметить, что, если A и B - тензоры из C(Ω) и внутреннее произведение AB обращается в нуль для любого тензора B, то A = 0. Локальное скалярное произведение тензоров. Локальная норма тензора. Угол между двумя тензорами. Введем в Cp(Ω) понятие локального скалярного произведения тензоров. Если W = U + iV, W× = U× + iV× ∈ Cp(Ω), то выражение (W, W×)x ≡ WW × = UU× + VV× + i(VU× - UV×) (3.3) называется локальным скалярным произведением тензоров W и W× в точке x области Ω. Здесь UU×, VV×, VU× и UV× обозначают внутренние произведения соответствующих вещественных тен- зоров (3.2). Например, 1 2 p U UU× = Ui i ...i ×i1i2...ip , 1Определения операции свертки и следа эндоморфизма можно посмотреть в [3]. 14 ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИЗ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА где индексы принимают значения 1, 2, ..., n. Аналогично в силу (3.1) можно ввести поня- тие r-локального скалярного произведения. Пусть W ∈ Cp+r (Ω) и W× ∈ Cq+r (Ω). Тогда r- локальным скалярным произведением тензоров W, W× называется тензор, обозначаемый через D = (W, W×)(r) = W r W ×, компоненты которого определяются в виде x ⊗ D j1j2...jq k1k2...krj1j2...jq . (3.4) i1i2...ip = wi1i2...ipk1k2...kr w × Очевидно, при p = q = 0 имеем k1k2...kr D = (W, W×)x = WW × = wk1k2...kr w × . (3.5) Видно, что (3.5) совпадает с (3.3). Нетрудно заметить, соотношение (3.4) и, конечно, (3.5) сохра- няют силу, если W ∈ Mp+r (Ω) и W× ∈ Cq+r (Ω). Локальное скалярное произведение (W, W×)x тензоров W ∈ Mp(Ω) и W× ∈ Cp(Ω) является скаляром (W, W×)x ∈ M0(Ω). Легко показать, что в каждой точке x области Ω оно обладает следующими свойствами: 1. (W, W×)x = (W, W×)x ∀ W, W× ∈ Cp(Ω). 2. λ(W, W×)x = (λ W, W×)x = (W, λW×)x ∀ W ∈ Mp(Ω), ∀ W× ∈ Cp(Ω), ∀λC. 3. (W + W×, W××)x = (W, W××)x + (W×, W××)x ∀ W, W× ∈ Mp(Ω), ∀ W×× ∈ Cp(Ω), (W, W× + W××)x = (W, W×)x + (W, W××)x ∀ W ∈ Mp(Ω), ∀ W×, W×× ∈ Cp(Ω). Из этого свойства следует, что (W, W×) - билинейная форма. Если W ∈ Cp(Ω), то (W, W)x = UU + VV 0, причем знак равенства достигается только в том случае, когда W(x) = 0, x ∈ Ω. Определение 3.2. Неотрицательная функция ||W||x = /(W, W)x = (UU + VV)1/2 0 ∀ W ∈ Cp(Ω) (3.6) называется локальной нормой тензора W. Нетрудно доказать неравенство |(W, W×)x| ||W||x||W×||x ∀ W, W× ∈ Cp(Ω). (3.7) В самом деле, пусть λ = (W, W×)x = ρ eiϕ, где ρ = |(W, W×)x| - вещественная положительная постоянная, ϕ = arg(W, W×)x. Тогда ||W + λ W×||2 = ||W||2 + 2ρ|(W, W×)x| + ρ2||W×||2 0. x x x Это неравенство верно для любого положительного действительного ρ, откуда следует неравен- ство (3.7). Теперь докажем неравенство треугольника ||W + W×||x ||W||x + ||W×||x ∀ W, W× ∈ Cp(Ω). (3.8) В силу (3.7) легко получаем неравенство ||W + W×||2 ||W||2 + 2||W||x||W×||x + ||W×||2 = (||W||x + ||W×||x)2. x x x Нетрудно заметить, что из последнего неравенства следует (3.8), ч.т.д. Из изложенного выше заключаем, что модуль Cp(Ω) в каждой точке области Ω обладает свой- ством гильбертова пространства. В этой связи назовем его локальным гильбертовым простран- ством. Определение 3.3. Будем говорить, что тензоры W, W× ∈ Cp(Ω) ортогональны в точке x, если (W, W×)x = WW × = 0. (3.9) Очевидно, для ортогональных тензоров имеет место теорема Пифагора ||W + W×||2 = ||W||2 + ||W×||2 ∀ W, W× ∈ Cp(Ω), x ∈ Ω. x x x Заметим, что косинус угла между вещественными тензорами U, U× определяется формулой (U, U×)x cos ψ = ||U||x||U×||x ∀ U, U× ∈ Cp(Ω), x ∈ Ω. 3. ЛОКАЛЬНО ГИЛЬБЕРТОВЫ МОДУЛИ ТЕНЗОРОВ 15 Отсюда, учитывая (3.7), получаем | cos ψ| 1. Линейная зависимость и линейная независимость тензоров. Определение 3.4. Выражение вида λ1A1(x)+ λ2A2(x)+ ... + λk Ak (x), (3.10) где A1(x), A2(x),..., Ak (x) - тензоры из модуля Mp(Ω), а λ1, λ2,..., λk - коэффициенты из C, называется линейной комбинацией тензоров A1(x), A2(x),..., Ak (x) в точке x ∈ Ω. Определение 3.5. Линейная комбинация (3.10) называется нетривиальной в точке x ∈ Ω, если в ней хотя бы один из коэффициентов λ1, λ2,..., λk отличен от нуля. Определение 3.6. Линейная комбинация вида 0 · A1(x)+0 · A2(x)+ ... +0 · Ak (x) называется тривиальной; она, очевидно, равна нулевому тензору. Определение 3.7. Система тензоров A1(x), A2(x),..., Ak (x) из модуля Mp(Ω) над кольцом C0(Ω) называется линейно зависимой в точке x ∈ Ω, если существует хотя бы одна нетриви- альная линейная комбинация этих тензоров, равная нулевому тензору. В противном случае, т. е. если только тривиальная линейная комбинация этих тензоров равна нулевому тензору, система тензоров называется линейно независимой в этой точке. Часто рассматривают определение, эквивалентное этому. Определение 3.8. Система тензоров A1(x), A2(x),..., Ak (x) из модуля Mp(Ω) называется ли- нейно независимой в точке x ∈ Ω, если любая нетривиальная линейная комбинация этих тензоров отлична от нуля. В противном случае она называется линейно зависимой в этой точке. Утверждение 3.1. Система тензоров A1(x), A2(x),..., Ak (x) из Mp(Ω) линейно зависима в точке x ∈ Ω в том и только в том случае, когда один из тензоров является линейной комбинацией остальных. Утверждение 3.2. Если система тензоров A1(x), A2(x),..., Ak (x) из Mp(Ω) линейно неза- висима в точке x ∈ Ω, а система тензоров A1(x), A2(x),..., Ak (x), Ak+1(x) из Mp(Ω) ли- нейно зависима в этой точке, то тензор Ak+1(x) есть линейная комбинация тензоров A1(x), A2(x),..., Ak (x). Доказательства этих утверждений ничем не отличаются от доказательств аналогичных утвер- ждений для векторов [2, 73]. Поэтому на их доказательствах останавливаться не будем. Теорема 3.1 (о линейной зависимости линейных комбинаций). Если тензоры A1(x), A2(x), ..., Ak (x) в точке x ∈ Ω являются линейными комбинациями тензоров B1(x), B2(x), ..., Bm(x) в этой же точке и k > m, то система тензоров A1(x), A2(x),..., Ak (x) линейно зависима. Эта теорема доказывается методом математической индукции так же, как аналогичная теорема для системы строк (векторов) [73]. Определение 3.9. Система тензоров в точке x ∈ Ω называется порождающей, если все тензоры в этой точке рассматриваемого модуля являются их линейными комбинациями. Определение 3.10. Если для модуля существует конечная порождающая система тензоров в точке x ∈ Ω, то модуль называется конечномерным в этой точке, в противном случае - бесконеч- номерным. Заметим, что в конечномерном модуле не могут существовать линейно независимые системы, число тензоров в которых больше, чем в порождающей системе тензоров, ибо в силу теоремы о линейной зависимости линейных комбинаций любая система, превосходящая по числу тензоров порождающую систему, линейно зависима. Утверждение 3.3. Любая минимальная (по числу тензоров) порождающая система тензо- ров в точке x ∈ Ω линейно независима в этой точке. 16 ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИЗ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА Доказательство. Действительно, пусть A1(x), A2(x),..., Ak (x) - минимальная порождающая си- стема тензоров. Если она линейно зависима, то один из тензоров, скажем Ak, есть линейная комбинация остальных, и всякая линейная комбинация тензоров A1(x),..., Ak-1(x), Ak (x) есть линейная комбинация меньшей системы тензоров A1(x),..., Ak-1(x), которая тем самым оказыва- ется порождающей системой тензоров. Полученное противоречие доказывает утверждение. Утверждение 3.4. Любая максимальная (по числу тензоров) линейно независимая система тензоров в точке x ∈ Ω является порождающей. Доказательство. В самом деле, пусть A1(x), A2(x),..., Ak (x) - максимальная линейно незави- симая система и A - любой тензор модуля. Тогда система тензоров A1(x), A2(x),..., Ak (x), A не будет линейно независимой и в силу утверждения 3.2 тензор A будет линейной комбинацией тензоров A1(x), A2(x),..., Ak (x), что доказывает утверждение. Утверждение 3.5. Любая линейно независимая порождающая система тензоров в точке x ∈ Ω является минимальной среди порождающих и максимальной среди линейно независимых в этой же точке. Доказательство. Действительно, пусть A1(x), A2(x),..., Ak (x) - линейно независимая порожда- ющая система тензоров. Если B1(x), B2(x),..., Bm(x) - какая-нибудь другая порождающая си- стема, то A1(x), A2(x),..., Ak (x) являются линейными комбинациями B1(x), B2(x),..., Bm(x) и отсюда следует, что k m, ибо если было бы k > m, то в силу теоремы о линейной зависи- мости линейных комбинаций система тензоров A1(x), A2(x),..., Ak (x) была бы линейно зависи- мой системой. Полученное противоречие доказывает минимальность среди порождающих линейно независимой порождающей системы тензоров. Пусть теперь D1(x), D2(x),..., Dl(x) - какая-либо линейно независимая система тензоров. Следовательно, они являются линейными комбинациями тензоров A1(x), A2(x),..., Ak (x) и, очевидно, l k, ибо при l > k в силу теоремы о линей- ной зависимости линейных комбинаций D1(x), D2(x),..., Dl(x) составляли бы линейно зависимую систему. Этим утверждение доказано полностью. Таким образом, утверждениями 3.3-3.5 устанавливается тождественность трех следующих по- нятий: минимальной порождающей системы тензоров, максимальной линейно независимой систе- мы тензоров и линейно независимой порождающей системы тензоров. Определение 3.11. Будем говорить, что модуль M (Ω) над кольцом C0(Ω) в точке x ∈ Ω яв- ляется k-мерным и число k называется его числом измерений, или размерностью, если в нем существует линейно независимая система тензоров в той же точке x ∈ Ω, состоящая из k тензо- ров, и нет никакой линейно независимой системы тензоров, состоящей из большего, чем k, число тензоров. В силу определения 3.11 заключаем, что число измерений модуля M (Ω) над кольцом C0(Ω) в точке x ∈ Ω равно максимальному числу линейно независимых тензоров в этой точке. Определение 3.12. Максимальная линейно независимая система тензоров модуля M (Ω) над кольцом C0(Ω) в точке x ∈ Ω называется базисом этого модуля в точке x ∈ Ω. Утверждение 3.6. Пусть A1(x), A2(x),..., Ak (x) - линейно независимая система тензоров в точке x ∈ Ω из модуля M (Ω), причем их число меньше размерности модуля. Тогда к ним мож- но присоединить тензор Ak+1(x) так, что система A1(x),..., Ak (x), Ak+1(x) будет линейно независимой. Доказательство. Рассмотрим множество линейных комбинаций λ1A1(x)+λ2A2(x)+.. .+λk Ak (x). Оно, очевидно, не исчерпывает всего модуля, так как тензоры A1(x), A2(x), ..., Ak (x) не яв- ляются порождающей системой. Выберем тензор Ak+1(x), не являющийся линейной комбинацией тензоров A1(x), A2(x),..., Ak (x). Тогда A1(x),..., Ak (x), Ak+1(x) - линейно независимая система, так как иначе в силу утверждения 3.2 Ak+1(x) был бы линейной комбинацией системы тензоров A1(x), A2(x),..., Ak (x). Из утверждения 3.6 следует, что любую линейно независимую систему тензоров можно до- полнить до базиса. Кроме того, это утверждение и его доказательства указывают на характер 3. ЛОКАЛЬНО ГИЛЬБЕРТОВЫ МОДУЛИ ТЕНЗОРОВ 17 произвола в выборе базиса модуля. В самом деле, если взять произвольный ненулевой тензор, то его можно достраивать до базиса, выбирая второй тензор как угодно, только не линейную комбинацию первого, третий как угодно, только не линейную комбинацию первых двух и т. д. К базису можно «спуститься», исходя из порождающей системы. В этой связи имеет место утверждение. Утверждение 3.7. Любая порождающая система тензоров в точке x ∈ Ω содержит базис в этой точке. Доказательство. Действительно, пусть A1(x), A2(x),..., Ak (x) - порождающая система тензо- ров. Если она линейно зависима, то один из ее тензоров есть линейная комбинация остальных, и его можно исключить из порождающей системы. Если оставшаяся система тензоров линейно зависима, то можно исключить еще один тензор и т. д. до тех пор, пока не получим линейно независимую порождающую систему, т. е. базис. Заметим, что приведенные выше определения, утверждения, теоремы были рассмотрены в дан- ной точке x области Ω ⊆ Rn, т. е. они имели локальный характер. Однако, если они имеют место в каждой точке области Ω, то будем говорить, что они имеют место в Ω. Модуль Mp(Ω) над кольцом C0(Ω) конечномерен. Его размерность равна np. Действительно, Mp(Ω) принадлежит всякий тензор ранга p, который имеет np компонент из Mp(Ω) (Mp(Ω) - модуль над кольцом C0(Ω)), которые можно задать произвольно относительно одной из систем координат. Это означает, что dim Mp(Ω) = np. Нетрудно убедиться в справедливости следующего утверждения: Утверждение 3.8. Для линейной независимости системы тензоров A1(x), A2(x), ..., Ak (x) ∈ Cp(Ω) в точке x ∈ Ω необходимо, чтобы k np. Рассмотрим матрицу Aij (x) = (Ai, Aj )x, i, j = 1, k. Так как (Ai, Aj )x = (Aj, Ai)x, то Aij = Aji, т. е. Aij - эрмитова матрица. Теперь нетрудно доказать теорему. Теорема 3.2. Система тензоров A1(x), A2(x),..., Ak (x), k np, принадлежащих модулю Cp(Ω), линейно независима в точке x тогда и только тогда, когда A = det (Aij (x)) /= 0, x ∈ Ω. Если это условие выполняется в каждой точке Ω, то система тензоров линейно независима в Ω. Конечно, A = det (Aij (x)) - определитель Грама для системы тензоров A1(x), A2(x),..., Ak (x), k np. Поэтому он для линейно независимой системы тензоров больше нуля. Если один из тензоров A1(x), A2(x),..., Ak (x) ∈ Cp(Ω), k np обращается в нуль или является линейной комбинацией остальных в точке x ∈ Ω, то эта система тензоров линейно зависима в этой точке. Ортонормальные и биортонормальные системы тензоров. Определение 3.13. Система тензоров A1(x), A2(x),..., Ak (x) называется ортонормальной в точке x ∈ Ω, если (Ai, Aj )x = δij, i, j = 1, k. Соответственно, система тензоров A1(x), A2(x),..., Ak (x) называется ортонормальной в области Ω, если она ортонормальна в каждой точке этой области. Ортонормальная система тензоров линейно независима (в точке, в области), так как det (Aij ) = det (δij ) = 1. Отсюда в свою очередь следует, что, если система тензоров A1(x), A2(x), ..., Ak (x) ∈ Cp(Ω) ортонормальна, то необходимо k np (так как максимальная линейно независимая система тензоров A1(x), A2(x), ..., Ak (x) ∈ Cp(Ω) не может состоять из большего, чем k = np, числа тензоров). Теорема 3.3. Любую линейно независимую систему тензоров A1(x), A2(x),..., Ak (x), k np, модуля Cp(Ω) можно ортонормировать, применяя метод ортогонализации Шмидта. 18 ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИЗ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА Доказательство. Полагая α-1 × Bα = Bα ||B×α||x , x ∈ Ω, 1 где B× α = A1, B× = Aα - }, (Aα, Bβ )Bβ, α = 2, k, получим ортонормальную систему тензоров β=1 B1(x),..., Bk (x) модуля Cp(Ω), т.е (Bi, Bj ) = δij. Нетрудно заметить, что в каждой фиксированной точке x области Ω Bα = aα1A1 + aα2A2 + ... + aααAα, aαα /= 0, aαβ ∈ C. Определение 3.14. Две системы тензоров A1(x), A2(x), ..., Ak (x) и A1(x), A2(x), ..., Ak (x) модуля Cp(Ω) называются биортонормальными, если выполняются условия i (Ai, Aj )x = δj, i, j = 1, k. Утверждение 3.9. Если A1(x), A2(x),..., Ak (x) и A1(x), A2(x),..., Ak (x) - биортонормаль- ные системы тензоров, то каждая из них по отдельности линейно независима. Доказательство. Допустим, наоборот, что нетривиальная комбинация, например, тензоров A1(x), A2(x),..., Ak (x) равна нулю, т. е. λ1A1 + λ2A2 + ... + λk Ak = 0, где среди λ1, λ2,..., λk не все равны нулю одновременно. Умножая обе части этого равенства скалярно на Aj, в силу биортонормальности этих систем получим λj = 0, j = 1, k. Пришли к противоречию, что доказывает линейную независимость системы тензоров A1(x), A2(x),..., Ak (x). Аналогично доказывается линейная независимость системы тензоров A1(x), A2(x),..., Ak (x). Теорема 3.4. Для всякой линейно независимой системы тензоров существует биортонор- мальная система. Доказательство. Пусть A1(x), A2(x),..., Ak (x), k np - линейно независимая система тензоров модуля Cp(Ω) в области Ω. Обозначим Aij (x) = (Ai, Aj )x. Тогда в силу теоремы 3.2 det(Aij (x)) /= 0 в Ω и, конечно, существует единственная матрица Aij, удовлетворяющая условиям i AinAnj = δj, i, j,n = 1, k. (3.11) Так как Aij - эрмитова матрица, то Aij - также эрмитова матрица. В самом деле, переходя в последнем соотношении к сопряженному соотношению и учитывая Ain = Ani, находим i AniAnj = δj, i, j,n = 1, k. (3.12) Умножая обе части этого соотношения на Aim и учитывая (3.11), получим n Ajm = AniAimAnj = δmAnj = Amj, как и требуется. В силу последнего соотношения (3.12) можно записать в виде i AniAjn = δj, i, j,n = 1, k. (3.13) Таким образом, Aij и Aij - взаимно обратные эрмитовы матрицы. Рассмотрим систему тензоров Ai = AinAn, i, n = 1, k. (3.14) Обращая эти соотношения, очевидно, получим Ai = AinAn, i, n = 1, k. В силу (3.14) имеем (Ai, Aj ) = Ain(An, Aj ) = AinAnj. Отсюда с помощью (3.13) можно написать j (Ai, Aj ) = (Aj, Ai) = δi, i, j = 1, k, (3.15) 3. ЛОКАЛЬНО ГИЛЬБЕРТОВЫ МОДУЛИ ТЕНЗОРОВ 19 т. е. системы тензоров A1(x), A2(x),..., Ak (x) и A1(x), A2(x),..., Ak (x) биортогональны. Теорема доказана. Следствие 3.4.1. Если A1(x), A2(x),..., Ak (x) - ортонормальная система тензоров модуля Cp(Ω), то Ai = Ai, i = 1, k, k np. Следует заметить, что в силу (3.11) и (3.14) имеем m (Ai, Aj )x =(AimAm, AjnAn)x = AimAjn(Am, An)x = AimAjnAmn = AimAmnAnj = Aimδj = Aij, т. е. Aij (x) = (Ai, Aj )x, i, j = 1, np, x ∈ Ω. Базисы модуля Cp(Ω). Разложение тензора относительно базиса. Так как dim Cp(Ω) = np, Ω ⊆ Rn, в силу определения размерности модуля максимальная линейно независимая система тензоров будет состоять из np тензоров. Следовательно, любую линейно независимую в области Ω систему тензоров A1, A2,..., Anp модуля Cp(Ω) можно выбрать в качестве базиса этого модуля. На основании теоремы 3.4 существует биортонормальная система тензоров A1, A2,..., Anp , которую также можно рассматривать в качестве базиса модуля Cp(Ω). Заметим, что если A1, A2,..., Anp - ортонормальный базис модуля Cp(Ω), то Ai = Ai, i = 1, np. Получим формулы разложения тензора относительно базиса модуля. Пусть A1, A2,..., Anp и p A1, A2,..., Anp - биортонормальные базисы модуля C (Ω). Тогда для любого тензора W ∈ Mp(Ω) имеем разложение W(x) = Wi(x)Ai(x), x ∈ Ω, i, j = 1, np, (3.16) где Wi, i = 1, np называются коэффициентами разложения тензора W относительно базиса A1, A2,..., Anp . Умножая обе части (3.16) скалярно на тензоры Aj, в силу (3.15) находим Wj (x) = (W, Aj )x, j = 1, np. (3.17) Учитывая (3.17), соотношение (3.16) можно представить в виде W(x) = (W, Ai)xAi, x ∈ Ω, i = 1, np. (3.18) Имеем также разложение где аналогично (3.17) имеем W(x) = Wi(x)Ai(x), x ∈ Ω, i = 1, np, (3.19) Wi(x) = (W, Ai)x, i = 1, np. (3.20) С помощью (3.20) из (3.19) получаем W(x) = (W, Ai)xAi(x), x ∈ Ω, i = 1, np. (3.21) Подставляя (3.16) в правую часть (3.20), а (3.19) в правую часть (3.17), приходим к соотношениям Wi(x) = Aij (x)Wj (x), Wi(x) = Aij (x)Wj (x), i, j = 1, np, которые связывают между собой коэффициенты разложения тензора W относительно биортонор- мальных систем тензоров. Если W ∈ Mp(Ω), W× ∈ Cp(Ω), то локальное скалярное произведение этих тензоров представится в форме i (W, W×)x = Wi(x)W ×i(x) = Wi(x)W× (x). Если A1, A2,..., Anp - ортонормальный базис модуля Cp(Ω), то имеем соотношения np W(x) = },(W, Ai)xAi(x) ∀ W ∈ Mp(Ω), i=1 np i (W, W×)x = }, Wi(x)W× ∀ W ∈ Mp(Ω), W× ∈ Cp(Ω). i=1 20 ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИЗ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА Мультипликативные тензоры и их основные свойства. Обозначим прямое произведение тензоров A1, A2,..., Ak с компонентами из C(Ω) через A = A1 ⊗ A2 ⊗ ... ⊗ Ak. (3.22) Определение 3.15. Тензоры вида (3.22) называются мультипликативными тензорами. Тен- зоры A1, A2,..., Ak являются сомножителями мультипликативного тензора A. Очевидно, компоненты мультипликативного тензора равны произведению компонент его сомно- жителей с сохранением порядка их следования. Например, если A1, A2,..., Ak - тензоры модуля C1(Ω), то имеем Ai1i2...ik = A1,i1 A2,i2 ... Ak,ik . Следует заметить, что прямое произведение тензоров обладает свойством ассоциативности. На- пример, если 1 < i < k, то будем иметь A = (A1 ⊗ ... ⊗ Ai-1) ⊗ (Ai ⊗ ... ⊗ Ak ). Определение 3.16. Если A1, A2,..., Ak - тензоры из модулей Cp1 (Ω),..., Cpk (Ω) соответствен- но, то мультипликативный тензор (3.22), который, конечно, принадлежит модулю Cp1+...+pk (Ω), называется тензором класса Cp1,...,pk (Ω). Нетрудно усмотреть, что мультипликативные тензоры класса Cp1,...,pk (Ω) представляют k- линейные формы. В самом деле, если f и g - произвольные скаляры, A× и A∗∗ - тензоры ранга pi, i i то A1 ⊗ ... ⊗Ai-1 ⊗(f A× + gA××i)⊗Ai+1 ⊗ ... ⊗Ak = f (A1 ⊗ ... ⊗Ai-1 ⊗A× ⊗Ai+1 ⊗ ... ⊗Ak )+ i i +g(A1 ⊗ ... ⊗Ai-1 ⊗A××i⊗Ai+1 ⊗ ... ⊗Ak ). Следует заметить, что множество мультипликативных тензоров не образует линейного многооб- разия, однако они обладают рядом важных свойств, благодаря которым они очень полезны для построения базисов модуля Cp(Ω). Если A ∈ Cp1,...,pk (Ω) и f - скаляр из C0(Ω), то, очевидно, f A ∈ Cp1,...,pk (Ω). При этом на f умножается какой-нибудь один (любой) из сомножителей тензо- ра A. Определение 3.17. Сомножители Ai и Aj мультипликативного тензора называются подобны- ми, если Ai = f Aj, где f - скаляр. При перестановке подобных сомножителей мультипликативный тензор, конечно, не изменяется. Определение 3.18. Внутреннее (локальное скалярное) произведение мультипликативных тен- зоров равно произведению внутренних (локальных скалярных) произведений соответствующих сомножителей. В силу этого определения, если A = A1 ⊗ ... ⊗ Ak и B = B1 ⊗ ... ⊗ Bk - мультипликативные тензоры класса Cp1,...,pk (Ω), то их внутреннее и их локальное скалярное произведения выражаются соответственно формулами AB = (A1B1) ... (Ak Bk ), (A, B)x = (A1, B1)x ... (Ak, Bk )x, x ∈ Ω. (3.23) Нетрудно заметить, что справедливо Утверждение 3.10. Два мультипликативных тензора класса Cp1,...,pk (Ω) ортогональны то- гда и только тогда, когда по крайней мере одна пара соответствующих сомножителей ортогональна. Если W ∈ Mp(Ω),, W× ∈ Cp(Ω), а A и A× - произвольные тензоры с компонентами соответ- ственно из C(Ω) и M (Ω), то внутреннее p-произведение и p-локальное скалярное произведение мультипликативных тензоров A ⊗ W и W× ⊗ A× выражаются соответственно соотношениями p (p) (A ⊗ W) ⊗ (W× ⊗ A×) = (W, W×)A ⊗ A×, (A ⊗ W, W× ⊗ A×)x = (W, W×)xA ⊗ A×. Теперь не представляет труда убедиться в справедливости утверждения. 3. ЛОКАЛЬНО ГИЛЬБЕРТОВЫ МОДУЛИ ТЕНЗОРОВ 21 Утверждение 3.11. Если A1, A2,..., Ak и A1, A2,..., Ak - биортонормальные системы тен- зоров, например, модуля Cp(Ω), то каждая из систем мультипликативных тензоров вида Ai i i j1 1 ⊗ A 2 ⊗ ... ⊗ A m , A j1 A jm ⊗ j2 ⊗ ... ⊗ A , j2 jm Ai1 ⊗ Ai2 ⊗ ... ⊗ Aim ⊗ A ⊗ A ⊗ ... ⊗ A , где il, jl = q, k, l = 1, m, m k np, в отдельности линейно независима. Построение базисов модуля. Рассмотрим способы построения базисов модулей тензоров любого ранга с помощью базисов модулей меньших размерностей. Теорема 3.5. Если A1, A2,..., Anp и B1, B2,..., Bnq - базисы модулей Cp(Ω) и Cq (Ω), то си- стема мультипликативных тензоров Dm = Ai ⊗ Bj, i = 1, np, j = 1, nq, является базисом модуля Cp+q (Ω). Здесь m - номер последовательностей пар i, j, когда i и j принимают соответственно значения 1, 2,..., np; 1, 2,..., nq, а m, конечно, принимает значения 1, 2,..., np+q. Доказательство. Рассмотрим систему тензоров Dm = Ai ⊗ Bj, i = 1, np, j = 1, nq, m = 1, np+q, где Ai и Bj - биортонормальные соответственно относительно Ai и Bj базисы модулей Cp(Ω) и Cq (Ω). На основании второго соотношения (3.23) имеем (Dm, Dl)x = (Ai, As)x(Bj, Br )x = δsδr = δl , i j m где m и l - номера числовых последовательностей i, j и s, r соответственно. Следовательно, систе- мы тензоров Dm и Dl биортонормальны и поэтому в силу утверждения 3.9 и определения базиса являются базисами модуля Cp+q (Ω), что и требовалось доказать. Обобщением этой теоремы является следующая теорема: 1 Теорема 3.6. Если Ai , Ai1 k ,..., Ai , Aik биортонормальные базисы соответственно моду- лей Cp1 (Ω),..., Cpk (Ω), где индексы принимают значения i1 = 1, np1 , i2 = 1, np2 , ..., ik = 1, npk , то системы мультипликативных тензоров 1 k Ai = Ai ⊗ ... ⊗ Ai , Ai = Ai1 ⊗ ... ⊗ Aik , где i = №(i1, i2,..., ik ), будут биортонормальными базисами модуля Cp1+...+pk (Ω). Из этой теоремы вытекает очевидное следствие. Следствие 3.6.1. Пусть A1, A2,..., An и A1, A2,..., An - биортонормальные базисы модуля C1(Ω). Тогда системы p-векторов 1 p Ai = Ai ⊗ ... ⊗ Ai , Ai = Ai1 ip ⊗ ... ⊗ A (3.24) представляют биортонормальные базисы модуля Cp(Ω). Здесь индексы i1,..., ip принимают значения 1, 2,..., n, а i обозначает номер элемента множе- ства числовых последовательностей {i1,..., ip} (i = №{i1, i2,..., ip}), число элементов которого равно np. Очевидно, i принимает значения 1,..., np. Если A1,..., An - ортогональный базис модуля C1(Ω), то система p-векторов (3.24) представля- ет ортогональный базис модуля Cp(Ω). Следует отметить, что нумерацию элементов множества числовых последовательностей {i1, i2, ..., ip} можно осуществить, например, следующим образом: если i= №{i1, i2,..., ip}, то p i = i1 + n(i2 - 1) + ... + np-1(ip - 1) = 1 + }, k=1 nk-1(ik - 1). 22 ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИЗ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА Теперь заметим, что для произвольного тензора W ∈ Mp(Ω) наряду с (3.16) и (3.19) будем иметь разложения W = WiAi = Wi1i2...ip Ai i i 1 ⊗ A 2 ⊗ ... ⊗ A p , (3.25) W = WiAi = Wi i ...i i1 i2 ip p 1 2 p 1 2 i1i2...ip p A ⊗ A ⊗ ... ⊗ A i , i = 1,n , i , i ,...,i = 1, n. Здесь Wi1i2...ip и W аналогично Wi и W называются ковариантными и контравариант- 1 ными компонентами тензора W относительно базисов Ai1 ⊗ Ai2 ⊗ ... ⊗ Aip и Ai ⊗ Ai2 ⊗ ... ⊗ Aip . В дальнейшем эти базисы назовем p-векторными мультипликативными базисами (мультибази- сами) и для них введем обозначения 1 2 p = A 1 ⊗ A 2 ⊗ ... ⊗ A p , A Ai i ...i i i i i1i2...ip A = Ai1 ⊗ i2 ip ⊗ ... ⊗ A . (3.26) Тогда разложения (3.25) с помощью (3.26) можно еще записать в форме 1 2 W = Wi1i2...ip Ai i ...i p = Wi1i2...i A i1i2...ip p , i1, i2,..., ip = 1, n. (3.27) Вводя обозначения Aij = (Ai, Aj ), Aij = (Ai, Aj ), Ai = δi = (Ai, Aj ), i, j = 1, n, j j имеем соотношения AimAmj = Aj = δj, Ai = AimAm, Ai = AimAm, i, j,m = 1, n. i i В силу этих соотношений получаем 1 2 p = A 1 1 ... A p p A Ai i ...i i j i j j1j2...jp , Ai1i2...ip = Ai1j1 ... Aipjp Aj1j2...jp , Wi1i2...ip = Ai1j1 ... Aipjp W j1j2...jp , W i1i2...ip = Ai1j1 ... Aipjp Wj1j2...jp , (3.28) i1,..., ip = 1, n, j1,..., jp = 1, n. Базисы тензоров в трехмерном евклидовом пространстве. Пусть ri и rj - ковариантные и контравариантные базисные векторы координатной системы трехмерного евклидова простран- ства, которые представляют вектор-функции. С помощью этих базисов можно построить базисы для представления тензоров произвольного ранга трехмерного евклидова пространства. В самом деле, в силу следствия 3.6.1 системы p-векторов 1 2 p = r 1 ⊗r 2 ⊗ ... ⊗r p , R Ri i ...i i i i i1i2...ip = ri1 r ⊗ i2 ⊗ ... ⊗rip , i1, i2,..., ip = 1, 2, 3 (3.29) представляют биортонормальные базисы модуля Rp(Ω), где Ω ∈ R3. В дальнейшем аналогич- но (3.26) базисы (3.29) назовем p-векторными мультипликативными базисами (мультибазисами) модуля Rp(Ω). Пусть U - тензор p-го ранга из Mp(Ω), где Ω ∈ R3. Тогда, используя (3.29), аналогично (3.27) будем иметь представления 1 2 U = Ui1i2...ip Ri i ...i p = Ui1i2...i R i1i2...ip p , i1,..., ip = 1, 2, 3. (3.30) Здесь аналогично (3.28) имеем соотношения 1 2 p = g 1 1 ... g p p R Ri i ...i i j i j j1j2...jp Ri1i2...ip = gi1j1 ... gipjp Rj1j2...jp , Ui1i2...ip = gi1j1 ... gipjp U j1j2...jp , U i1i2...ip = gi1j1 ... gipjp Uj1j2...jp , (3.31) где i1,..., ip = 1, 2, 3, j1,..., jp = 1, 2, 3, gij = (ri, rj ) = ri · rj, gij = (ri, rj ) = ri · rj, gi = δi = ri · rj, j j i gimgmj = gj, ri = gij rj, ri = gij rj, i, j = 1, 2, 3. 3. ЛОКАЛЬНО ГИЛЬБЕРТОВЫ МОДУЛИ ТЕНЗОРОВ 23 Обобщение на случай риманова пространства. Введем в рассмотрение объекты, которые можно использовать как базисы модуля Mp(Ω) в случае произвольного риманова пространства n измерений. Сперва рассмотрим случай модуля M1(Ω). Пусть A1, A2,..., An и A1, A2,..., An - биортонормальные базисы модуля C1(Ω). Тогда если W ∈ M1(Ω), то аналогично (3.18) и (3.21) для него имеем разложения W = (W, Ai)Ai = (W, Ai)Ai = WiAi = WiAi, i = 1, n. (3.32) Обозначим через E1, E2,..., En и E1, E2,..., En биортонормальные базисы модуля R1(Ω) ⊂ C1(Ω), т. е. имеют место соотношения (Ei, Ej ) = gj, (Ei, Ej ) = gij = gji, gij = (Ei, Ej ) = gji, Далее пусть i i gikgkj = gj, Ei = gij Ej, Ei = gij Ej. Ai = Ai,j Ej = Ai,j Ej, Ai = Ai,j Ej = Ai,j Ej, Ei = Bi,j Aj = Bi,j Aj, Ei = Bi,j Aj = Bi,j Aj. (3.33) (3.34) Отсюда, следовательно, имеем gj i = (Ai, Aj ) = Ai,mAj,m = Ai,mAj,m = Ai,mAj,m = Ai,mAj,m, gj i = (Ei, Ej ) = Bi,mBj,m = Bi,mBj,m = Bi,mBj,m = Bi,mBj,m. Теперь в силу, например, первого и третьего соотношений (3.34) получаем Ai = Ai,mEm = Ai,mBm,j Aj = Ai,mBm,j Aj, откуда, учитывая линейную независимость системы векторов Ai, i = 1, n, находим (3.35) i Ai,mBm,j = Ai,mBm,j = gj. (3.36) На основании (3.35) и (3.36) заключаем, что Bm,j = Aj,m Bm,j = Aj,m, Bm,j = Aj,m, Bm,j = Aj,m, (3.37) где последние два соотношения получаются аналогично. Учитывая (3.37), из третьего и четвертого соотношений (3.34) получаем Ei = Ak Ak,i = Ak Ak,i = Ak Ak,i = Ak Ak,i, Ei = Ak Ak,i = Ak Ak,i = Ak Ak,i = Ak Ak,i. В силу (3.38) из первых трех соотношений (3.33) будем иметь (3.38) gj i = Ak,j Ak,i, gij = Ak,i Ak, j, gij = Ak,iAk,j. (3.39) Таким образом, зная биортонормальные базисы A1, A2,..., An и A1, A2,..., An модуля C1(Ω), можно построить биортонормальные базисы (3.38), которые обобщают на случай риманова много- образия базисные векторы ri и ri евклидова пространства и с помощью которых любой тензор W модуля M1(Ω) представится в виде W = W,iEi = W ,iEi, i = 1, n. (3.40) Заметим, что на основании (3.32), первых двух соотношений (3.34), (3.38) и (3.40) придем к равенствам Wi = Ai,mW ,m = Ai,mW,m, Wi = Ai,mW ,m = Ai,mW,m, W,i = Am,iWm = Am,iWm, W ,i = Am,iWm = Am,iWm. Нетрудно усмотреть, что в рассматриваемом случае в силу (3.39) единичный тензор риманова пространства можно представить в форме E = Ak ⊗ Ak = Ak ⊗ Ak = Ak ⊗ Ak = Ak ⊗ Ak. (3.41) Отметим, что для любог о базиса A1, A2,..., An модуля C1(Ω) соотношение (3.41) определяет один и тот же тензор риманова многообразия. 24 ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИЗ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА Теперь рассмотрим случай модуля Mp(Ω) любого порядка p риманова пространства произволь- ной размерности. В этом случае по аналогии с (3.38) введем в рассмотрение мультибазисы k1, kp, Ei1...ip = Ei1 ⊗ Ei2 ⊗ ... ⊗ Eip = (Ak1 ⊗ ... ⊗ Akp )A i1 ... A i1 , (3.42) 1 Ei1...ip = Ei1 ⊗ Ei2 ⊗ ... ⊗ Eip = (Ak p ⊗ ... ⊗ Ak )Ak1,i1 ... Akp,ip . Пользуясь обозначениями (3.24) и (3.26), мультибазисы (3.42) можно представить в виде k, Ei1...ip = Ei1 ⊗ Ei2 ⊗ ... ⊗ Eip = Ak A i1...ip = Ak1...kp A k1, kp, i1 ... A ip , Ei1...ip = Ei1 ⊗ Ei2 ⊗ ... ⊗ Eip = Ak Ak,i1...ip = Ak ...k Ak1,i1 ... Akp,ip , (3.43) 1 p k = 1, np, i1,..., ip = 1, n, k1,..., kp = 1, n. Нетрудно заметить, что, если W ∈ Mp(Ω), то аналогичные (3.27) соотношения можно записать в форме W = W ,i1...ip Ei ...i ,i ...i i1...ip 1 p = W 1 p E , i1,..., ip = 1, n. j1...jp Легко усмотреть, что внутреннее p-произведение мультибазисов Ei1...ip и E ношением выражается соот- E 1 p j ...j i1...ip ≡ Ei1...ip E j1...jp p ≡ Ei1...ip ⊗ E j1...jp 1 p = Ak,i ...i Ak,j1...jp . (3.44) В рассматриваемом случае обобщением тензора (3.41), очевидно, будет тензор (2p) E = Ak ⊗ Ak = Ak ⊗ Ak = Ai ...i ⊗ Ai1...ip = Ai1...ip ⊗ Ai ...i , (3.45) 1 p 1 p где (2p) E означает, что этот тензор - тензор ранга 2p. О нем речь пойдет ниже. 4. ТЕНЗОРНЫЕ МОДУЛИ ЧЕТНОГО ПОРЯДКА. КОЛЬЦО С ЕДИНИЦЕЙ C2p(Ω) Для модулей четного порядка можно определить вторую бинарную операцию - произведение, которая превращает их в кольцо с единицей. Введем определение умножения двух тензоров из модуля C2p(Ω). Определение 4.1. Произведением тензоров W и W× из модуля C2p(Ω) называется внутреннее p p-произведение этих тензоров W ⊗ W×. Легко доказать, что если W, W× и W×× - тензоры из модуля C2p(Ω), то справедливы соотношения p p p p W ⊗ (W× ⊗ W××) = (W ⊗ W×) ⊗ W××, p p p (W + W×) ⊗ W×× = W ⊗ W×× + W× ⊗ W××, (4.1) p p p W ⊗ (W× + W××) = W ⊗ W× + W ⊗ W××. Соотношения (4.1) доказывают, что C2p(Ω) является кольцом. Докажем, что оно имеет единицу. Пусть A1,..., Anp - некий базис модуля Cp(Ω). Докажем, что тензор ранга (3.45) 2p является единицей кольца C2p(Ω). Нетрудно заметить, что смешанные компоненты этого тензора выражаются соотношениями (3.44). Докажем это еще иным путем, что позволит получить также дополнительные условия. Пусть W ∈ C2p(Ω). Тогда в силу (3.18) его можно представить в виде W = (W, Ak )Ak = Ak Ak,j1...jp Wj ...j . 1 p Отсюда, в свою очередь, получаем, что ковариантные компоненты тензора W удовлетворяют соот- ношениям 1 p = A 1 p Wi ...i k,i ...i Ak,j1...jp Wk,j1...jp . Так как эти соотношения имеют место для произвольного тензора W, то в силу (3.44) получим E j1...jp Ak,j1...jp = A Ak1...kp,j1...jp = gj1 jp i1...ip = Ak,i1...ip k1...kp,i1...ip i1 ... gip . (4.2) Очевидно, (4.2) сохраняет силу при жонглировании индексами. 4. ТЕНЗОРНЫЕ МОДУЛИ ЧЕТНОГО ПОРЯДКА. КОЛЬЦО С ЕДИНИЦЕЙ C2p(Ω) 25 Теперь докажем, что (2p) E - единица кольца C2p(Ω). В этой связи надо доказать, что если W ∈ M2p(Ω), то справедливо соотношение p (2p) (2p) p W = W ⊗ E = E ⊗ W. (4.3) Действительно, с помощью определения произведения и (4.2) соотношение (4.3) в компонентах можно записать следующим образом: W j1...jp p (2p) j1...jp k1...kp j1 jp i1...ip = (W ⊗ (2p) p E )i1...ip = Wi1...ip gk1 ... gkp , W j1...jp j1...jp k1 kp j1...jp i1...ip = ( E ⊗ W)i1...ip = gi1 ... gip Wk1...kp . Эти соотношения доказывают (4.3). Таким образом, для любого базиса A1,..., Anp модуля Cp(Ω) тензор (3.45) является единицей кольца C2p(Ω). Не представляет труда доказать, что тензор (3.45) еще можно представить в виде (2p) E = Ei1...ip E i1...ip = Ei1...ip Ei1...ip , i1,..., ip = 1, n. k1...kp (4.4) В самом деле, в силу (3.43) и (4.2) компоненты инвариантной суммы Ek1...kp E в виде представляются k1...kp j1...jp k1j1 kpjp j1 jp (Ek1...kp E )i1...ip = gk1i1 ... gkpip g ...g = gi1 ... gip , что доказывает справедливость представления (4.4). Алгебра C2p(Ω). Докажем, что кольцо C2p(Ω) является и банаховой алгеброй. С этой целью надо доказать, что для любых двух тензоров W и W× из модуля C2p(Ω) справедливо неравенство p ||W ⊗ W×||x ||W||x||W×||x, x ∈ Ω. (4.5) Докажем более общее неравенство, из которого (4.5) можно получить как частный случай. Пусть A ∈ Cp+r (Ω) и B ∈ Cq+r (Ω). Рассмотрим их внутреннее r-произведение r (A ⊗ B)i1...ip и докажем, что верно неравенство 1 p j1...jp = Ai ...i r k1...kr B k1...kr j1...jq (4.6) ||A ⊗ B||x ||A||x||B||x. (4.7) Заметим, что в левой и правой частях неравенства (4.7) фигурируют инвариантные выражения. В связи с этим достаточно доказать, что оно справедливо в каждой точке многообразия относительно локально декартовой системы координат. Пусть x - фиксированная точка многообразия. Рассмотрим локально декартову систему коор- динат, относительно которой имеем (gij )x = δij. Тогда (gij )x = δij и, очевидно, компоненты всех типов любого тензора в точке x одинаковы. Поэтому соотношение (4.6) в точке x можно предста- вить в виде r nr (A ⊗ B)ij = }, Aik Bkj. k=1 Здесь i = №(i1,..., ip), j = №(j1,..., jq ), i = 1, np, j = 1, nq. Нетрудно заметить, что из последнего соотношения получаем r np nq nr 2 ||A ⊗ B||2 = }, }, }, Aik Bkj . (4.8) x i=1 j=1 k=1 x На основании неравенства Коши-Буняковского имеем nr 2 nr 2 nr 2 }, Aik Bkj }, Aik }, Bkj . k=1 x k=1 x k=1 x С помощью этого неравенства из (4.8) находим r np nr nq nr ||A ⊗ B||2 }, }, |Aik|2 }, }, |Bkj|2 . (4.9) x i=1 k=1 x x j=1 k=1 26 ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИЗ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА Учитывая, что относительно локально декартовой системы координат для любого тензора A ∈ Cp+r (Ω) имеем np nr ||A||2 = Ai ...i k ...k Ai1...ipk1...kr = }, }, |Aik|2 из (4.9) следует x 1 p 1 r r x, i=1 k=1 ||A ⊗ B||2 ||A||2 ||B||2 , x ∈ Ω, x x x откуда следует (4.7). Итак, доказана справедливость неравенства (4.5) и этим установлено, что C2p(Ω) является алгеброй. Мультипликативная группа M2p. Пусть W ∈ C2p(Ω). С целью сокращения письма введем обозначение W ·j j1...jp i · = Wi1...ip , где i = №{i1,..., ip}, j = №{j1,..., jp}, i, j = 1, np. Нетрудно доказать, что детерминант поряд- ка np i det W = det(W ·j ), i, j = 1, np · является скаляром (инвариантом). В самом деле, с помощью компонент дискриминантного тензора детерминант можно представить в виде det W = det(W ·n ) = 1 C Cj1...jnp W · i1 ...W · inp . (4.10) m · np! i1,...inp j1 · jnp · Из этого представления видно, что правая часть инвариантна при переходе от одной системы координат к другой, так как по зацепленным в правой части (4.10) индексам преобразования производятся контраградиентно. Докажем это еще другим путем. При переходе от одной системы координат к другой имеем 1 p 1...jp W ·j j1...jp i∗ i∗ j1 jp j∗ ∗ 1 i · = Wi1...ip = Di1 ... Dip Dj∗ ... Djp∗ 1 p Wi∗ ...i∗ . Это соотношение можно записать в краткой форме W ·j i∗ j j∗ где введены обозначения i · = Di Dj∗ Wi∗ · , (4.11) Di∗ i∗ i j p ∗ j1 jp 1 p i = Di1 ... Di , Dj∗ j = D ∗ 1 p ... Dj∗ . Здесь i, i× и j, j× принимают значения 1,..., np. Учитывая, что детерминант произведения квадра- тичных матриц равен произведению детерминантов этих матриц, из (4.11) получим det W ·j = det Dl∗ det Dk det W· n∗ . (4.12) Следовательно, Di i∗ i · i ∗ i1 1 l k∗ i ∗ ip p i1 m∗ · ip i откуда находим 1 i∗ Dj = Di∗ Dj1 ... Di∗p Djp = δj1 ... δjp = δj, det(Di Di∗ ) = det(Dl∗ ) det(Dk ) = det(δi ) = 1. i∗ j l k∗ j В силу последнего соотношения из (4.12) будем иметь W = det(W · j ) = det(W · j∗ ), что и требовалось доказать. i · i∗ · Таким образом, det W является инвариантной характеристикой (инвариантом) тензора W алгеб- ры C2p(Ω). Нетрудно доказать справедливость соотношения p det(W ⊗ W×) = det W det W×, W, W× ∈ C2p(Ω). (4.13) Действительно, p p (W ⊗ W×) · j = (W ⊗ W×)i ...i j1...jp = W×i ...i k1...kp W×k ...k j1...jp = W · k × · j i · 1 p 1 p 1 p i · W k ·. Отсюда с учетом того, что детерминант произведения матриц равняется произведению детерми- нантов этих матриц, получаем (4.13). 4. ТЕНЗОРНЫЕ МОДУЛИ ЧЕТНОГО ПОРЯДКА. КОЛЬЦО С ЕДИНИЦЕЙ C2p(Ω) 27 Теперь введем несколько определений. Определение 4.2. Тензор модуля C2p(Ω), обозначаемый через W× и вычисляемый по формуле i · j ∂ det W ∂ det W j W× = W×· j Ai ⊗ A = = i ∂W ∂W· j · Ai ⊗ A , (4.14) i, j = 1, np, i = №(i1,..., ip), j = №(j1,..., jp), называется тензором алгебраических дополнений (2p)-го ранга и np - 1 порядка тензора W ∈ C2p(Ω). Следовательно, компоненты тензора алгебраических дополнений (2p)-го ранга и np-1 порядка - алгебраические дополнения np - 1 порядка определителя матрицы компонент тензора W ∈ C2p(Ω). Видно, что тензор (4.14) можно представить в развернутой форме i1...ip j1 jp ∂ det W j1 jp W× = W× j1...jp Ai1⊗ ... ⊗Aip⊗A ⊗ ... ⊗A ∂W = j1...jp i1...ip Ai1⊗ ... ⊗Aip⊗A ⊗ ... ⊗A , i1,..., ip = 1, n, j1,..., jp = 1, n. Определение 4.3. Тензор модуля C2p(Ω), обозначаемый через M и вычисляемый по формуле j M = Mi ·Ai ⊗ Aj = np }, (-1)i+j i,j=1 ∂ det W ∂W· j Ai ⊗ Aj, (4.15) i · i = №(i1,..., ip), j = №(j1,..., jp), i, j = 1, np, называется тензором миноров (2p)-го ранга и np - 1 порядка тензора W ∈ C2p(Ω). Очевидно, компоненты тензора миноров (2p)-го ранга и np - 1 порядка представляют миноры np - 1 порядка (определителя) матрицы компонент тензора W ∈ C2p(Ω). Ниже в третьей главе даются определения тензора и расширенного тензора миноров, а также тензора и расширенного тензора алгебраических дополнений более высокого ранга и меньшего порядка для действитель- ного тензора (2p)-го ранга. Определение 4.4. Тензор модуля C2p(Ω), обозначаемый через WT и определенный формулой WT = (W· j Ai ⊗ Aj )T = W· j Aj ⊗ Ai = Wj ·Ai ⊗ Aj = i · i · i = W j1...jp i1 ip i1...ip Aj1 ⊗ ... ⊗ Ajp ⊗ A ⊗ ... ⊗ A , i, j = 1, np, i = №(i1,..., ip), j = №(j1,..., jp), i1,..., ip; j1,..., jp = 1, n, называется транспонированным с W ∈ C2p(Ω) тензором. Определение 4.5. Тензор, обозначаемый через -W и получающийся из тензора алгебраических дополнений (2p)-го ранга и np - 1 порядка с помощью операции транспонирования, называется союзным (присоединенным) с W ∈ C2p(Ω) тензором. Определение 4.6. Тензор модуля C2p(Ω), обозначаемый через W∗ и вычисляемый по форму- ле W∗ = W T , называется сопряженным с W ∈ C2p(Ω) тензором (или тензор W∗ ∈ C2p(Ω), комплексно-сопряженный с транспонированным к W ∈ C2p(Ω), называется сопряженным с W). Определение 4.7. Тензор W ∈ C2p(Ω) называется унитарным, если обратный к нему совпадает со своим сопряженным. p Итак, если W - унитарный тензор, то W ⊗ W∗ = (2p) E . Отметим основные свойства унитарных тензоров, аналогичные свойствам ортогональных тензоров. Унитарность W ∈ C2p(Ω) влечет унитарность W-1. Действительно, W-1 = W∗, а унитарность p W∗ следует из равенства W ⊗ W∗ = (2p) E . Произведение унитарных тензоров - унитарный тензор. В самом деле, p p p p p p p (2p) W1 ⊗ W2 ⊗ (W1 ⊗ W2)∗ = W1 ⊗ W2 ⊗ W∗ ⊗ W∗ = W1 ⊗ W∗ = E . 2 1 1 28 ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИЗ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА Единичный тензор - унитарный тензор. Действительно, (2p) p E ⊗ (2p) E ∗ = (2p) p E ⊗ (2p) E = (2p) E . Эти свойства означают, что унитарные тензоры образуют группу. Модуль определителя унитарного тензора равен единице. В самом деле, p (2p) det(W⊗W∗)= detW detW∗ = det Wdet W= | det W|2 = det E = 1, т. е. | det W| = 1. Определение 4.8. Если тензор W ∈ C2p(Ω) совпадает со своим транспонированным (WT = W), то такой тензор называется симметричным. Определение 4.9. Тензор W ∈ C2p(Ω), который совпадает со своим сопряженным (W∗ = W), называется эрмитовым или самосопряженным. Заметим, что диагональные элементы эрмитова тензора вещественны. Определение 4.10. Тензор W ∈ C2p(Ω), который равен своему транспонированному с обратным знаком (WT = -W), называется кососимметричным. Диагональные элементы кососимметричного тензора равны нулю. Определение 4.11. Тензор W ∈ C2p(Ω) называется нормальным, если он коммутирует со своим p p сопряженным (W ⊗ W∗ = W∗ ⊗ W). Заметим, что эрмитов тензор и унитарный тензор являются частными случаями нормального тензора. На основании (4.10) и (4.14) нетрудно доказать, что союзный тензор -W удовлетворяет соотно- шению p p (2p) W ⊗ -W = -W ⊗ W = E detW. (4.16) Определение 4.12. Тензор модуля C2p(Ω), обозначаемый через W-1 и удовлетворяющий соот- ношению p p (2p) W ⊗ W-1 = W-1 ⊗ W = называется обратным для тензора W ∈ C2p(Ω). E , (4.17) Приведем теорему о существовании и единственности обратного тензора для тензора четного ранга. Теорема 4.1. Для того, чтобы тензор W ∈ C(Ω) имел единственный обратный, необходимо и достаточно, чтобы его детерминант был отличен от нуля. Доказательство этой теоремы, которое ничем не отличается от доказательства соответствующей теоремы для матриц [73], можно найти в [5]. Определение 4.13. Тензор W ∈ C(Ω) называется неособенным (невырожденным) в точке, если det W /= 0 в этой точке. Если это условие выполняется во всей области Ω, то тензор называется неособенным в области Ω. С помощью (4.16) и (4.17) заключаем, что если det W /= 0, то обратный для W тензор имеет вид Учитывая (4.13), из (4.17) получаем -W. W-1 = 1 det W detW detW-1 = 1. Нетрудно показать, что имеют место следующие свойства: 1. (A + B)T = AT + BT , (A + B)∗ = A∗ + B∗, (λA)T = λAT , (λA)∗ = λA∗, (AB)T = BT AT , (AB)∗ = B∗A∗, 4. (A-1)T = (AT )-1, (A-1)∗ = (A∗)-1, 5. (AT )T = A, (A∗)∗ = A. В силу свойств третьей строки (4.18) легко доказать справедливость утверждения. (4.18) 5. ЗАДАЧА О НАХОЖДЕНИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ТЕНЗОРОВ ТЕНЗОРА РАНГА 2p 29 Утверждение 4.1. Произведение в смысле алгебры C2p(Ω) двух симметричных (эрмитовых) тензоров является симметричным (эрмитовым) тогда и только тогда, когда эти тензоры перестановочны между собой. Если A ∈ C2p(Ω) - вещественный тензор, то A∗ = AT . Следовательно, эрмитов вещественный тензор всегда является симметричным. Следует заметить, что с каждым тензором A ∈ C2p(Ω) связаны два эрмитова тензора AA∗ и A∗A и два симметричных тензора AAT и AT A. Обозначим через M2p множество невырожденных тензоров алгебры C2p(Ω). Если W ∈ M2p и W× ∈ M2p, то W ⊗ W× ∈ M2p, так как на основании (4.13) имеем det(W ⊗ W×) = det W det W× /= 0. Легко доказать, что M2p является мультипликативной группой с единицей (2p) E . Любой элемент группы M2p можно использовать для представления тензоров модуля Mp(Ω) n-мерного риманова пространства. Действительно, пусть A ∈ M2p. Тогда для любого тензора W ∈ Mp имеем p p или W = W× ⊗ A, где W× = W ⊗ A-1, p p W = A ⊗ W××, где W×× = A-1 ⊗ W. p p Заметим, что произведения вида A ⊗ W или W ⊗ A, где A ∈ C2p(Ω), а W ∈ Mp(Ω), осуществляют отображения Mp(Ω) → Mp(Ω), т. е. они являются эндоморфизмами модуля Mp(Ω). Если A ∈ M2p, то эти отображения являются автоморфизмами. ЗАДАЧА О НАХОЖДЕНИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ТЕНЗОРОВ ТЕНЗОРА РАНГА 2p Поставим следующую задачу: Пусть A - некоторый тензор алгебры C2p(Ω). Найти все тензоры W модуля Cp(Ω), которые удо- влетворяют уравнению где λ - скаляр. p A ⊗ W = λW, (5.1) Уравнение (5.1) всегда имеет тривиальное решение W = 0. В дальнейшем, говоря о решении уравнения (5.1), будем иметь в виду только нетривиальные решения W /= 0. Итак, наша цель за- ключается в изучении условий существования нетривиальных решений уравнения (5.1) и указании способов их построения. Если для некоторого скаляра λ уравнение (5.1) имеет решение W ∈ Cp(Ω), то λ называет- ся собственным значением тензора A, а W - правым собственным1 тензором, соответствующим собственному значению λ. Следовательно, можно рассмотреть и следующую задачу: найти все тензоры W× модуля Cp(Ω), которые удовлетворяют уравнению где μ - скаляр. p W× ⊗ A = μW×, (5.2) Если уравнение (5.2) для некоторого скаляра μ имеет нетривиальное решение W× ∈ Cp(Ω), то μ называется собственным числом тензора A, а W× - левым собственным тензором, соответствую- щим собственному значению μ. Далее в основном речь пойдет о правом собственном тензоре, ибо для левого собственного тензора все подобные вопросы рассматриваются аналогично. Заметим, что если W - решение уравнения (5.1) для некоторого скаляра λ, то αW, где α - произвольный скаляр, также будет его решением. Очевидно, всегда можно выбрать скаляр α так, чтобы удовлетворить условию ||αW||x = 1 ∀x ∈ Ω. 1В [4] дано понятие собственного элемента и вводятся инварианты подобия эндоморфизма. Доказывается теорема Гамильтона-Кэли и т.п. При рассмотренном в [4] подходе многие известные результаты матричной алгебры [7] нетрудно перенести на случай пространств эндоморфизмов, порожденных тензорами четного ранга. Ниже рассмотрены некоторые подчиняющиеся подобному переносу вопросы. 30 ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИЗ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА В самом деле, для этого достаточно положить α = (||W||x)-1. Таким образом, решение уравне- ния (5.1) всегда можно нормировать условием ||W||x = 1, x ∈ Ω. (5.3) В этой связи в дальнейшем все время будем иметь в виду нормированные решения уравнения (5.1). Если для собственного значения λ уравнение (5.1) имеет k линейно независимых решений W1,..., Wk, то их линейная комбинация α1W1 + ... + αk Wk, где α1,..., αk - произвольные скаля- ры, также будет решением. Эти решения в силу теоремы 3.3 можно ортонормировать и полагать, что выполнены условия (W , W ) = W W = δ . (5.4) k1,...,kp i j i,k1,...,kp j, ij Пусть W - решение уравнения (5.1) для некоторого собственного значения λ. Умножая обе части уравнения (5.1) на комплексно-сопряженный тензор W и учитывая (5.3), получим p p i1...ip j1...jp λ = W ⊗ A ⊗ W = WAW = W Ai1...ipj1...jp W . (5.5) Правая часть этого равенства инвариантна относительно преобразований координат. Отсюда за- ключаем, что всякое собственное значение тензора A ∈ C2p(Ω), если таковое существует, является (2p) p (2p) скаляром (инвариантом). Учитывая, что W = в виде E ⊗ W ≡ E W, уравнение (5.1) можно представить (2p) (2p) (λ E - A)W = 0 ((A - λ E )W = 0). (5.6) Нетрудно заметить, что в компонентах (5.6) можно записать в форме (λE j1...jp j1...jp i1...ip - Ai1...ip )Wj1...jp = 0, i1,..., ip; j1,..., jp = 1, n, или коротко можно представить еще так: (λδj - A· j )Wj = 0, i, j = 1, np. (5.7) i i · Отсюда заключаем, что система уравнений (5.7) (тензорное уравнение (5.1)) имеет нетривиальное решение только в том случае, когда выполняется условие (2p) det(λ E - A) = 0. (5.8) В виде (5.8) получили уравнение, которое инвариантно относительно преобразований координат, так как, как было доказано выше, детерминант тензора модуля C2p(Ω) инвариант. Заметим, что (2p) det(λ E - A) = det(λδj - A· j ) i i · является детерминантом порядка np. Поэтому, представив уравнение (5.8) в развернутом виде, получим алгебраическое уравнение относительно λ степени np (2p) p p p p p det(λ E - A) = λn -1 - a1λn -1 + a2λn -2 + ... + (-1)n -1anp λ + (-1)n anp = 0, (5.9) где a1,..., anp - скаляры, которые зависят от инвариантов тензора A. Нетрудно заметить, что, исходя из (5.2), получим те же самые соотношения (5.8) и (5.9) относительно μ. Отсюда следует, что λ = μ. Для левых и правых собственных тензоров собственные значения одинаковы. Вычислим p a1 и anp , где a1 - коэффициент при λn -1 в определителе det(λδj-A· j ). Параметр λ входит, причем i i · в первой степени, только в диагональные элементы этого определителя. Следовательно, каждое - слагаемое определителя, содержащее λnp-1, имеет в качестве сомножителей по крайней мере np 1 диагональных элементов, но тогда и последний сомножитель тоже должен быть диагональным элементом. Таким образом, коэффициент при λnp-1 равен коэффициенту при λnp-1 в полиноме p p (слагаемом определителя) (λ - A· 1)(λ - A· 2) ... (λ - A· n ), т. е. равен (A· 1 + A· 2 + ... + A· n ). Следовательно, 1 · 2 · np · 1 · 2 · np · a1 = I1(A) = trA = A· i = A i1...ip , i · i1...ip где I1(A) обозначает первый инвариант тензора A, а trA - след тензора A. p - Для подсчета свободного члена anp в (5.9) положим λ = 0. Тогда получим ( 1)n anp = p det(-A) = (-1)n det A, откуда anp = det A. Остальные коэффициенты тоже можно подсчитать, но это несколько сложнее. О них речь пойдет ниже. 5. ЗАДАЧА О НАХОЖДЕНИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ТЕНЗОРОВ ТЕНЗОРА РАНГА 2p 31 (2p) Определение 5.1. Тензор λ E - A называется характеристическим тензором для тензора (2p) A. Полином P (λ) = det(λ E - A) называется характеристическим полиномом, а уравнение (2p) P (λ) = det(λ E - A) = 0 - характеристическим уравнением тензора A. Заметим, что характеристический полином и характеристическое уравнение тензора A не зави- сят от выбора системы координат. Если det A /= 0, то уравнение (5.9) не имеет корней, равных нулю. Другими словами, если тензор A ∈ M2p, то все его собственные значения отличны от нуля. Если же det A = 0, то уравнение (5.9) имеет хотя бы один корень, равный нулю. Следует заметить, что так как тензор A тождественно не равен нулю, то уравнение (5.9) всегда имеет и ненулевые корни, т. е. тензор A всегда имеет ненулевые собственные значения. Допустим, что det A /= 0 и λ1,..., λnp - корни уравнения (5.9), которые, конечно, отличны от нуля. Среди этих корней некоторые (или все) могут быть кратными. Всякий корень алгебраического уравнения считается корнем столько раз, какова его кратность. Корни уравнения (5.9), вообще говоря, являются комплексными. Если λ - корень уравнения (5.9) кратности k np, то однородная система уравнений (5.7) может иметь k линейно независимых решений W1,..., Wk, и все они являются тензорами модуля Cp(Ω). Кроме того, эту систему решений, как было сказано выше, всегда можно считать ортонормальной. Утверждение 5.1. Если λ и λ× - два различных собственных значения тензора A, то соот- ветствующие им любые два собственных тензора W и W× линейно независимы. Доказательство. Допустим противное, т. е. W = αW×, где α - скаляр. Тогда имеем λW = AW = αAW× = αλ×W× = λ×W, ибо W /= 0, поэтому отсюда следует, что λ = λ×. Получили противоречие. Тем самым утверждение доказано. Теорема 5.1. Собственные тензоры тензора A ∈ C2p(Ω), соответствующие попарно раз- личным характеристическим числам, линейно независимы. Эту теорему, используя утверждение 5.1, можно доказать методом математической индукции. Теорема 5.2. Если W1, W2, W3,... - собственные тензоры из Cp(Ω) тензора A ∈ C2p(Ω), соответствующие одному и тому же собственному значению λ, то их линейная комбинация C1W1 + C2W2 + C3W3 + ... либо равна нулю, либо также является собственным тензором тензора A при том же числе λ. Доказательство. В самом деле, из AWk = λWk, k = 1, 2, 3,..., следует равенство A(C1W1 + C2W2 + C3W3 + .. .) = λ(C1W1 + C2W2 + C3W3 + .. .), что доказывает теорему. Следовательно, линейно независимые собственные тензоры, соответствующие одному и тому же собственному числу λ, образуют базис собственного подмодуля, каждый тензор которого есть соб- ственный тензор при том же λ. В частности, каждый собственный тензор порождает одномерный собственный подмодуль. Следует заметить, что линейная комбинация собственных тензоров тензора A ∈ C2p(Ω), соответ- ствующих различным характеристическим числам, вообще говоря, не будет собственным тензором тензора A. Определение 5.2. Два тензора A и B модуля C2p(Ω), связанные соотношением p p B = T-1 ⊗ A ⊗ T, (5.10) где T - некоторый невырожденный тензор, называются подобными. Легко усмотреть, что отношение подобия между тензорами модуля C2p(Ω) является отношением эквивалентности, т. е. имеют место три свойства подобия тензоров: рефлексивность (тензор A все- гда подобен самому себе), симметричность (если A подобен B, то и B подобен A), транзитивность (если A подобен B и B подобен D, то A подобен D). 32 ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИЗ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА Из (5.10) следует, что подобные тензоры имеют всегда равные детерминанты. Действительно, det B = (det T-1) det A det T = det A. Равенство детерминантов det B = det A является необходимым, но не достаточным условием для подобия тензоров A и B. Нетрудно заметить, что в силу (5.10) получаем (2p) p (2p) p Отсюда в свою очередь находим λ E - B = T-1 ⊗ (λ E - A) ⊗ T. (2p) (2p) det(λ E - B) = det(λ E - A). Таким образом, подобные тензоры имеют один и тот же характеристический многочлен (одно и то же характеристическое уравнение), а также одни и те же собственные значения. Не представляет большого труда выписать выражения для коэффициентов характеристического уравнения с помощью собственных значений тензора A. В самом деле, воспользовавшись теоремой Виета [60], будем иметь I1(A) ≡ a1 = λ1 + λ2 + λ3 + ... + λnp , I2(A) ≡ a2 = λ1λ2 + λ1λ3 + ... + λ1λnp + λ2λ3 + λ2λ4 + ... + λ2λnp + +λ3λ4 + λ3λ5 + ... + λ3λnp + ... + λnp-1λnp , ........................................................................................................... Inp-1(A) ≡ anp-1 = λ1λ2 ... λnp-1 + λ1λ2 ... λnp-2λnp + ... + λ2λ3 ... λnp , Inp (A) ≡ anp = λ1λ2 ... λnp-1λnp . Здесь Ik (A), k = 1, np, обозначает инвариант k-го порядка тензора A. Итак, тензор A ∈ C2p(Ω), если det A /= 0, имеет np линейно независимых алгебраических инвариантов. В заключение отметим, что корни λ1,..., λnp уравнения (5.9) и только они являются собствен- ными значениями тензора A ∈ C2p(Ω). Этим корням соответствуют np собственных тензоров W1,..., Wnp , которые линейно независимы и нормированы. Эта система тензоров, вообще говоря, не ортогональна, но каждая ее подсистема, которая состоит из собственных тензоров, соответствующих какому-нибудь кратному собственному значению, ортонормальна. 5.1. Приведение к каноническому виду (главным осям) тензора ранга 2p. Прежде всего отметим, что имеет место утверждение. Утверждение 5.2. Если система тензоров W1,..., Wk линейно независима, то система тензоров W1,..., Wk также линейно независима. Из этого утверждения и сказанного в конце предыдущего пункта следует справедливость утвер- ждения. Утверждение 5.3. Система собственных тензоров W1,..., Wnp тензора A ∈ C2p(Ω), а так- же система тензоров W1,..., Wnp (по отдельности) составляют базисы модуля Cp(Ω). На основании этого утверждения и теоремы 3.5 можно доказать утверждение. Утверждение 5.4. Системы мультитензоров Wi ⊗ Wj, Wi ⊗ Wj, Wi ⊗ Wj, Wi ⊗ Wj, i, j = 1, np, где W1,..., Wnp - система собственных тензоров тензора A ∈ C2p(Ω), являются базисами (каждая в отдельности) алгебры C2p(Ω). В силу этого утверждения, очевидно, всякий тензор A ∈ C2p(Ω) можно представить в виде j A = Ai · Wi ⊗ Wj, i, j = 1, np. (5.11) Учитывая (5.11) в уравнениях AWk = λk Wk, < k = 1, np >, ЗАДАЧА О НАХОЖДЕНИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ТЕНЗОРОВ ТЕНЗОРА РАНГА 2p 33 находим Ai · j p Отсюда, учитывая, что j (Wi ⊗ W )Wk = λk Wk, < k = 1,n > . p получим k (Wi ⊗ Wj )Wk = Wi(Wj ⊗ Wk ) = Wi(Wk, Wj ) = Wiδj , Ai · p k Wi = λk Wk, < k = 1,n > . Из этого соотношения в силу линейной независимости тензоров Wk будем иметь Ai · i p p · k = λkδk, i = 1,n , < k = 1,n > . Теперь на основании последнего соотношения (5.11) представится в виде np A = }, k=1 λk Wk ⊗ Wk. (5.12) Соотношение (5.12), очевидно, в компонентах можно записать в форме np i ...i = A j1...jp 1 p }, k=1 λk Wk,i1...ip W k,j1...jp . (5.13) Соотношения (5.12) или (5.13) важны для выявления структуры каждого тензора A алгебры C2p(Ω). В частности, всякий тензор алгебры C2p(Ω) выражается через инвариантные характе- ристики этого тензора - собственные значения λk и соответствующие им собственные тензоры. Представление тензора A ∈ C2p(Ω) в виде (5.12) называется приведением этого тензора к канони- ческому виду (главным осям). Оно имеет большое применение в различных областях математики и механики. Теперь рассмотрим случай, когда несколько собственных значений тензора A ∈ C2p(Ω) равны нулю. Очевидно, все собственные значения тензора не могут быть нулями, ибо тогда мы имели бы тривиальный случай A = 0. Нетрудно заметить, что det A равняется произведению собственных значений тензора A, т. е. det A = anp = λ1 ... λnp . (5.14) Очевидно, (5.14) получается еще по теореме Виета. Из (5.14) следует, что некоторые собственные значения тензора A равны нулю тогда и только тогда, когда det A = 0. Пусть r - ранг детерминанта det A (ранг матрицы компонент тензора A), который, конечно, является скалярной характеристикой тензора A. Тогда однородная система уравнений A j1...jp · j i1...ip Wj1...jp = 0 (Ai · Wj = 0), i, j = 1, np, i = №(i1,..., ip), j = №(j1,..., jp), i1,..., ip; j1,..., jp = 1, np, имеет r линейно независимых решений W1,..., Wr. При этом в силу сказанного в конце предыду- щего пункта эта система тензоров, являющихся тензорами модуля Cp(Ω), ортонормальна. Очевид- но, в рассматриваемом случае кратность собственного значения λ = 0 равна рангу r определителя det A. Предположим, что λnp-r+1 = λnp-r+2 = ... = λnp = 0, λi /= 0, если i = 1, np - r. В таком случае соотношение (5.12) получит вид np-r A = }, k=1 λk Wk ⊗ Wk. Следует заметить, что собственные тензоры Wk, k = 1, np - r, соответствующие ненулевым соб- ственным значениям, не образуют полного базиса модуля Cp(Ω). Для того, чтобы получить полный базис модуля Cp(Ω), к ним следует добавить r тензоров W× ,..., W× , являющихся нетривиальными 1 r p решениями однородного уравнения A ⊗ W = 0. Таким образом, собственные тензоры тензора A алгебры C2p(Ω) образуют базис модуля Cp(Ω), а их парные прямые произведения являются базисом алгебры C2p(Ω). 34 ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИЗ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА Теперь рассмотрим важный частный случай, когда тензор A удовлетворяет условию Ai1...ipj1...jp = Aj1...jpi1...ip (A = A∗), i1,..., ip; j1,..., jp = 1, n. (5.15) Тогда для любых двух тензоров W и W× ∈ Cp(Ω) имеем W×AW = W∗i1...ip Ai ...i j ...j j1...jp j1...jp W∗i1...ip = WA W×. 1 p 1 p W = W Aj1...jpi1...ip Итак, получим инвариантное относительно преобразований координат равенство W×AW = WA W×. (5.16) Отсюда следует, что условие (5.15) выражает инвариантное свойство тензора алгебры C2p(Ω). Тензоры алгебры, обладающие этим свойством, называются эрмитовыми. В случае действи- тельного (вещественного) тензора эрмитовость означает симметричность вида Ai1...ipj1...jp = Aj1...jpi1...ip . Допустим, A - эрмитов тензор алгебры C2p(Ω), λ - его собственное значение, а W - соответству- ющий собственный тензор. Тогда, конечно, будем иметь AW = λW, A W = λW. (5.17) Умножая первое соотношение (5.17) на W, второе - на W, а затем из одного вычитая другое, в силу (5.3) и (5.16) получим (λ - λ)WW = (λ - λ)(W, W) = λ - λ = WAW - WA W = 0, т. е. λ = λ. Таким образом, собственные значения эрмитова тензора являются действительными. Пусть λ и λ× - два различных собственных значения эрмитова тензора A алгебры C2p(Ω), а W и W× - соответствующие им собственные тензоры. Тогда справедливы соотношения AW = λW, A W× = λ×W×. Если умножим первое из этих соотношений на W×, второе - на W, а потом из одного вычтем другое, то на основании (5.16) получим (λ - λ×)WW× = W×AW - WA W× = 0, ибо по условию λ /= λ×, поэтому отсюда находим, что WW× = (W, W×) = 0, т. е. W и W× ортого- нальны. Таким образом, если A - эрмитов тензор алгебры C2p(Ω), то его собственные значения λ1,..., λnp действительны, а собственные тензоры образуют ортонормальную систему. В этом случае Wi = Wi и соотношение (5.12) представляется в форме np A = }, k=1 λk Wk ⊗ Wk. (5.18) Для компонент тензора A будем иметь выражение np Ai1...ipj1...jp = }, k=1 λk Wk,i1...ip Wk,j1...jp . Если A - вещественный эрмитов тензор, то его собственные тензоры также будут вещественными. Следовательно что для вещественного эрмитова тензора соотношение (5.18) примет вид np A = }, k=1 λk Wk ⊗ Wk. (5.19) Отсюда для компонент имеем представление np Ai1...ipj1...jp = }, λk Wk,i1...ip Wk,j1...jp . k=1 Легко убедиться в том, что любую натуральную степень тензора A ∈ C2p(Ω) можно определить формулой p p An = A ⊗ ... ⊗ A. n ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ДЕЙСТВИЯ НАД ТЕНЗОРНЫМИ МНОГОЧЛЕНАМИ 35 Если тензор представлен в главных осях (5.12), то будем иметь np An = }, k=1 k λnWk ⊗ Wk. (5.20) На основании представления (5.12) можно ввести определение степени тензора с любым числовым показателем в виде np Aα = }, k=1 k λαWk ⊗ Wk. (5.21) k Здесь предполагаем, что Aα определяется для тех значений α, для которых определена степень λα. Следовательно, если det A /= 0, то A0 = (2p) E . Кроме того, в этом случае имеем np A-1 = }, λ-1 k k=1 k Wk ⊗ W . (5.22) Нетрудно выразить инварианты обратного тензора A-1 через инварианты тензора A. В самом деле, осуществляя простые выкладки, в силу (5.22) получим np -k Ik (A-1) = I-1(A)Inp (A), k = 1, np - 1, Inp np (A-1) = I-1(A). (5.23) Нетрудно найти инварианты любой степени тензора A ∈ C2p(Ω), т. е. Ik (Am), где k = 1, np, а m - произвольное натуральное число. Следует заметить, что в качестве алгебраических инвариантов тензора A ∈ C2p(Ω) можно рас- сматривать Ik (A), k = 1, np, или Ik (Am), m = 1, np. Легко найти связь между этими инвариантами, т. е. одни выражать через другие. Например, имеет место формула 1 2 2 I2(A) = 21I1 (A) - I1(A )l, справедливость которой легко доказать, выражая инварианты с помощью собственных значений тензора A. Для нахождения остальных соотношений, выражающих одни инварианты через другие, необходимо знание теоремы Гамильтона-Кэли для тензора A ∈ C2p(Ω), о которой речь пойдет ниже. Любой тензор A ∈ C2p(Ω) можно представить в виде суммы симметричного и кососимметрич- ного (антисимметричного) тензоров следующим соотношением: A = AS + AA, A = 1 (A + AT ), AA = 1 (A - AT ). 2 2 Аналогично тензор A ∈ C2p(Ω) можно представить суммой шарового тензора и девиатора 1 (2p) Следовательно, I1(dev A) = 0. A = np I1(A) E + dev A. ГЛАВА 2 МНОГОЧЛЕНЫ С ТЕНЗОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ. ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА БЕЗУ. ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА-КЭЛИ 6. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ДЕЙСТВИЯ НАД ТЕНЗОРНЫМИ МНОГОЧЛЕНАМИ С каждым тензором A ∈ C2p(Ω), так же, как с каждой квадратной матрицей, связаны два мно- гочлена: характеристический и минимальный. Эти многочлены играют большую роль в различных вопросах теории тензоров. Например, понятие функции тензора целиком основывается на понятии минимального многочлена тензора. 36 ГЛАВА 2. МНОГОЧЛЕНЫ С ТЕНЗОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Определение 6.1. Тензор B(λ) ∈ C2p(Ω), компонентами которого являются многочлены отно- сительно λ, называется многочленом с тензорными коэффициентами, или тензорным много- членом, или еще λ-тензором. В силу определения компоненты тензорного многочлена B(λ) ∈ C2p(Ω) представляются в виде Bi1...ip j1...jp (λ) = B 0,i1...ip j1...jp λm + B 1,i1...ip j1...jp λm-1 + ... + B m,i1...ip j1...jp . Тогда тензорный многочлен можно записать в форме m где B(λ) = }, k=0 - Bkλm-k = B0λm + B1λm-1 + ... + Bm 1λ + Bm , (6.1) j1...jp Ai1 ⊗ ... Aip A ⊗ ... A = B · j Ai ⊗ A , Bk = Bk,i1...ip j1 jp k,i · j i1,..., ip; j1,..., jp = 1, n, i,j = 1, np, i = №(i1,..., ip), j = №(j1,..., jp). Число m называется степенью тензорного многочлена, если B0 /= 0. Число 2p называется порядком тензорного многочлена. Определение 6.2. Тензорный многочлен (6.1) называется регулярным, если det B0 /= 0. В отличие от тензорного многочлена, обычный многочлен со скалярными коэффициентами назовем скалярным многочленом. Рассмотрим основные операции над тензорными многочленами. Сумма и разность двух тензорных многочленов. Пусть даны два тензорных многочлена B(λ) и D(λ) одинакового порядка. Пусть m - наибольшая из степеней этих многочленов. Тогда их можно представить следующим образом: B(λ) = B0λm + B1λm-1 + ... + Bm, D(λ) = D0λm + D1λm-1 + ... + Dm. Суммой и разностью этих тензорных многочленов называются следующие тензорные многочлены: B(λ) ± D(λ) = (B0 ± D0)λm + (B1 ± D1)λm-1 + ... + (Bm ± Dm). Следовательно, сумма (разность) двух тензорных многочленов одного и того же порядка является тензорным многочленом степени, не превосходящей наибольшей из степеней данных тензорных многочленов. Произведение двух тензорных многочленов. Пусть даны два тензорных многочлена B(λ) и D(λ) из модуля C2p(Ω) степеней m и s соответственно: 0 1 m 0 / B(λ) = B λm + B λm-1 + ... + B (B = 0), D(λ) = D0λs + D1λs-1 + ... + Ds (D0 /= 0). (6.2) Тогда произведением B(λ) на D(λ) называется тензорный многочлен вида B(λ)D(λ) = B0D0λm+s + (B0D1 + B1D0)λm+s-1+ +(B0D2 + B1D1 + B2D0)λm+s-2 + ... + BmDs. (6.3) Здесь, конечно, под произведением понимается внутреннее p-произведение, т. е. B(λ)D(λ) = p p B(λ) ⊗ D(λ), Br Dl = Br ⊗ Dl, r = 1, m, l = 1, s. Заметим, что внутреннее p-произведение тен- зоров модуля C2p(Ω) некоммутативно, т. е. если рассмотрим произведение D(λ)B(λ), то получим, вообще говоря, другой тензорный многочлен. В отличие от произведения скалярных многочленов, произведение тензорных многочленов (6.3) может иметь степень, меньшую m + s. В самом деле, в (6.3) произведение тензоров B0D0 может равняться нулю при B0 /= 0 и D0 /= 0. Однако можно доказать, что если хотя бы один из тензоров B0 и D0 - невырожденный тензор и B0 /= 0 и D0 /= 0, то B0D0 /= 0. Таким образом, произведение двух тензорных многочленов алгебры C2p(Ω) равно тензорному многочлену, степень которого меньше или равна сумме степеней сомножителей. Если хотя бы один из двух сомножителей - регулярный тензорный многочлен, то в этом случае степень произведения двух тензорных многочленов равна сумме степеней сомножителей. 6. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ДЕЙСТВИЯ НАД ТЕНЗОРНЫМИ МНОГОЧЛЕНАМИ 37 Представим (6.1) в виде B(λ) = λmB0 + λm-1B1 + ... + Bm. (6.4) Очевидно, обе записи (6.1) и (6.4) при скалярном λ дают один и тот же результат. Однако, ес- ли вместо скалярного аргумента λ в (6.1) и (6.4) подставить какой-нибудь тензор A ∈ C2p(Ω), то, вообще говоря, получим различные значения, так как степени тензора A могут не быть ком- мутативными с тензорными коэффициентами B0,..., Bm. Подставляя A ∈ C2p(Ω) в (6.1) и (6.4) вместо λ, получим соответственно B(A) = B0Am + B1Am-1 + ... + Bm, (6.5) Bˆ(A) = AmB0 + Am-1B1 + ... + Bm. (6.6) Назовем B(A) правым, а Bˆ(A) - левым значением тензорного многочлена B(λ) при подстановке тензора A ∈ C2p(Ω) вместо λ. Теперь представим (6.2) в форме m s k r B(λ) = }, k=0 и рассмотрим их произведение. Имеем Bm-kλ , D(λ) = }, r=0 Ds-rλ m s m s k r - m-k s-r k+r m+s m-k l s-r )λ , т. е. k=0 m+s r=0 k=0 r=0 m+s l=0 k+r=l P(λ) = }, l=0 ( }, k+r=l l Bm-k Ds-r )λ = }, l=0 λl }, k+r=l Bm-k Ds-r. Отсюда, подставляя вместо λ тензор A ∈ C2p(Ω), аналогично (6.5) и (6.6) получим P(A) = B(A)D(A), Pˆ(A) = Bˆ(A)Dˆ (A). (6.7) Следует заметить, что первое соотношение (6.7) имеет место, если тензор A коммутирует со всеми тензорными коэффициентами Dm-k, k = 1, m. Аналогично второе соотношение (6.7) написано с учетом того, что тензор A коммутирует со всеми тензорами Bs-r, r = 1, s. Таким образом, правое (левое) значение произведения двух тензорных многочленов равно про- изведению правых (левых) значений сомножителей, если тензор-аргумент A коммутирует со всеми тензорными коэффициентами правого (левого) сомножителя. Если Q(λ) - сумма двух тензорных многочленов B(λ) и D(λ) алгебры C2p(Ω), то всегда справедливы соотношения Q(A) = B(A)+ D(A), Qˆ (A) = Bˆ(A)+ Dˆ (A). Правое и левое деление тензорных многочленов. Обобщенная теорема Безу. Теоре- ма Гамильтона-Кэли. Рассмотрим два тензорных1 многочлена B(λ) и D(λ) ∈ C2p(Ω) (6.2) и предположим, что B0 /= 0 и det D0 /= 0, т. е. D(λ) - регулярный многочлен. Определение 6.3. Будем говорить, что тензорные многочлены Q(λ) и R(λ) являются соответ- ственно правым частным и правым остатком при делении B(λ) на D(λ), если B(λ) = Q(λ)D(λ)+ R(λ) (6.8) и степень R(λ) меньше степени D(λ). Определение 6.4. Будем говорить, что тензорные многочлены Qˆ (λ) и Rˆ (λ) являются соответ- ственно левым частным и левым остатком при делении B(λ) на D(λ), если B(λ) = D(λ)Qˆ (λ)+ Rˆ (λ) (6.9) и степень Rˆ (λ) меньше степени D(λ). 1Рассмотренные ниже вопросы и теоремы аналогичны вопросам и теоремам о матричных многочленах, приведенных в [7]. 38 ГЛАВА 2. МНОГОЧЛЕНЫ С ТЕНЗОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Следует заметить, что при правом делении, т. е. при нахождении правого частного и правого остатка, на делитель D(λ) частное Q(λ) умножается справа (6.8), а при левом делении на делитель D(λ) частное Qˆ (λ) умножается слева (6.9). Тензорные многочлены Q(λ) и R(λ), вообще говоря, не совпадают с многочленами Qˆ (λ) и Rˆ (λ). Теорема 6.1. Как правое, так и левое деление тензорных многочленов алгебры C2p(Ω) (од- ного и того же порядка) всегда выполнимо и однозначно, если делитель - регулярный тензор- ный многочлен. Доказательство. Рассмотрим правое деление B(λ) на D(λ). Если m < s, то можно положить Q(λ) = 0 и R(λ) = B(λ). При m s для нахождения частного Q(λ) и остатка R(λ) исполь- зуем обычную схему (обычный алгоритм) деления многочлена на многочлен. Разделим старший член делимого B0λm на старший член делителя D0λs. Получим старший член искомого частного 0 λ B0D-1 m-s . Умножая этот член на делитель D(λ) справа и вычитая полученный результат из B(λ), найдем первый остаток B(1)(λ). Следовательно, можем написать 0 B(λ) = B0D-1λm-sD(λ)+ B(1)(λ). (6.10) Степень m1 тензорного многочлена B(1)(λ) меньше m, где B(1)(λ) = B(1)λm1 + B(1)λm1-1 + ... + B(1) , B(1) /= 0. (6.11) 0 1 m1 0 Если m1 s, то, повторяя этот процесс, находим B(1)(λ) = B(1)D-1λm1-sD(λ)+ B(2)(λ), 0 0 (6.12) B(2)(λ) = B(2)λm2 + B(2)λm2-1 + ... + B(2) , B(2) /= 0, m2 < m1, 0 1 m2 0 и т. д. Так как степени тензорных многочленов B(λ), B(1)(λ), B(2)(λ),... убывают, то на некотором шаге придем к остатку R(λ), степень которого будет меньше s, т. е. будем иметь B(λ) = Q(λ)D(λ)+ R(λ), (6.13) где в силу (6.10)-(6.12) Q(λ) имеет выражение Q(λ) = B0D-1λm-s + B0(λ)D-1λm1-s + ... 0 0 Докажем однозначность правого деления от противного. Пусть, кроме (6.13), имеем второе пред- ставление B(λ) = Q∗(λ)D(λ)+ R∗(λ), (6.14) где степень тензорного многочлена R∗(λ) меньше степени D(λ), т. е. меньше s. Вычитая почленно (6.14) из (6.13), получаем 1Q(λ) - Q∗(λ)lD(λ) = R∗(λ) - R(λ). (6.15) Так как det D0 /= 0, поэтому степень левой части (6.15) равняется сумме степеней D(λ) и Q(λ) - Q∗(λ), и если Q(λ) - Q∗(λ) /= 0, будет не меньше s. Это невозможно, ибо степень тензорного многочлена в правой части (6.15) меньше s. Таким образом, Q(λ) - Q∗(λ) = 0. Тогда из (6.15) следует, что R(λ) - R∗(λ) = 0, т. е. Q(λ) = Q∗(λ), R(λ) = R∗(λ), что и требовалось доказать. Совершенно аналогично доказываются существование и единственность левого частного и ле- вого остатка (выполнимость и однозначность левого деления). Заметим, что возможность и одно- значность левого деления B(λ) на D(λ) следуют из возможности и однозначности правого деления транспонированных тензорных многочленов BT (λ) и DT (λ). Очевидно, из регулярности D(λ) следует регулярность DT (λ). Теорема 6.2 (обобщенная теорема Безу). При правом (левом) делении тензорного многочле- (2p) на F(λ) ∈ C2p(Ω) на тензорный бином λ E - A, A ∈ C2p(Ω), остаток от деления равен F(A) (Fˆ(A)). 6. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ДЕЙСТВИЯ НАД ТЕНЗОРНЫМИ МНОГОЧЛЕНАМИ 39 Доказательство. Рассмотрим произвольный тензорный многочлен F(λ) ∈ C2p(Ω) степени m - F(λ) = F0λm + F1λm-1 + ... + Fm (2p) 1λ + Fm , F0 /= 0, и разделим его справа и слева на тензорный бином λ E - A, где A ∈ C2p(Ω). Получим (2p) (2p) F(λ) = Q(λ)(λ E - A) + R, F(λ) = (λ E - A)Qˆ (λ)+ Rˆ . (6.16) В рассматриваемом случае правый остаток R и левый остаток Rˆ не зависят от λ, так как их степень (2p) меньше степени бинома λ E - A. Заменяя в соотношениях (6.16) λ на тензор A и учитывая, что (2p) тензор A коммутирует с тензорными коэффициентами бинома λ E - A, для правого F(A) и левого Fˆ(A) значений (6.7) тензорного многочлена F(λ) будем иметь F(A) = Q(A)(A - A)+ R = R, Теорема Безу доказана. Fˆ(A) = (A - A)Qˆ (A)+ Rˆ = Rˆ . Пример. Пусть A ∈ C2p(Ω) и P (λ) - скалярный многочлен относительно λ. Тогда тензорный (2p) (2p) многочлен F(λ) = P (λ) E - P(A) делится (слева и справа) без остатка на λ E - A. Это следует из обобщенной теоремы Безу, поскольку в рассматриваемом случае F(A) = Fˆ(A) = 0. Теорема 6.3 (Гамильтона-Кэли). Всякий тензор A ∈ C2p(Ω) удовлетворяет своему харак- теристическому уравнению. Доказательство. Обозначим через (2p) B (λ) присоединенный тензорный многочлен для тензорного бинома λ E - A. Тогда в силу (4.16) можно написать (2p) (2p) (2p) (2p) (2p) P (λ) E = det (λ E - A) E = B (λ)(λ E - A) = (λ E - A)B (λ). (6.17) (2p) Соотношение (6.17) показывает, что тензорный многочлен P (λ) E делится справа и слева на (2p) бином λ E - A без остатка. На основании обобщенной теоремы Безу это возможно тогда и только p (2p) тогда, когда остаток равен нулю, т. е. P(A) = P(A) ⊗ E = 0, что и требовалось доказать. Приведем второй способ доказательства этой теоремы, предполагающий каноническое представ- ление тензора A ∈ C2p(Ω). В силу определения степени тензора A ∈ C2p(Ω), представленного в главных осях (5.20), имеем np Anp = }, λnp W Wk. (6.18) k k ⊗ k=1 k Подставляя в (6.18) вместо λnp его значение, вычисленное из характеристического уравнения (5.9) и пользуясь определением степени тензора, получим np np Anp = }, 1 }, ( 1)s+1I (A)λnp-s W Wk = k=1 np - s=1 s np p k l k ⊗ np p k = }, (-1)s+1Is(A) }, λn -sWk ⊗ Wk = }, (-1)s+1Is(A)An -s, т. е. s=1 k=1 np - Anp + }, ( s=1 s=1 s 1)sI (A)Anp-s = P(A) = 0, что и требовалось доказать. Пример. Пусть A ∈ C2(Ω). Найти присоединенный тензорный многочлен B (λ) для тензорного бинома λE - A. Ответ: B(λ )= Eλ2 + B λ + B , где B = I (A)E - A, B = I (A)E - I (A)A + A2. 1 2 1 1 2 2 1 Теперь, прежде чем оп редели ть коэф фициен ты прис оед иненног о тензора в о бщем случае, докажем важные теоремы. 40 ГЛАВА 2. МНОГОЧЛЕНЫ С ТЕНЗОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Теорема 6.4. Детерминант тензора, получающегося из произвольного скалярного полинома при замене его аргумента на любой тензор A ∈ C2p(Ω), равняется произведению значений полинома на собственных числах тензора A. Обозначая через λ1, λ2,..., λnp все собственные числа (с учетом кратностей) тензора A ∈ C2p(Ω), а через F (z) - некоторый скалярный многочлен переменного (аргумента) z, сформули- рованную теорему математически можно представить следующим образом: np det F(A) = Т F (λk ). (6.19) k=1 Доказательство. Так как по условию теоремы λ1, λ2,..., λnp - все характеристические (соб- ственные) числа тензора A ∈ C2p(Ω), то характеристический многочлен этого тензора представля- ется в виде (2p) np P (λ) = det (λ E - A) = (λ - λ1)(λ - λ2) ... (λ - λnp ) = Т (λ - λk ). (6.20) k=1 В правой части (6.20) каждый множитель λ - λk, k = 1, np, повторяется столько раз, какова кратность корня λk. Для нахождения собственных чисел тензора F(A) разложим F (z) на линейные множители, полагая, что его степень равна s. Будем иметь F (z) = a0(z - z1)(z - z2) ... (z - zs) = s = (-1)sa0(z1 - z)(z2 - z) ... (zs - z) = (-1)sa0 Т (zi - z). i=1 (6.21) Отсюда, следовательно, находим s F (λk ) = (-1)sa0 Т (zi - λk ), k = 1, np. (6.22) i=1 Подставляя в (6.21) вместо z тензор A, получим (2p) p (2p) p p (2p) F (A) = (-1)sa0(z1 E - A) ⊗ (z2 E - A) ⊗ ... ⊗ (zs E - A). (6.23) Учитывая, что детерминант произведения тензоров равен произведению детерминантов этих тен- зоров (4.13), из (6.23) в силу (6.20) и (6.22) найдем p p (2p) (2p) (2p) 0 det F(A) = (-1)sn an det(z1 E - A) det(z2 E - A) ... det(zs E - A) = p p s p p p s n np s np 0 = (-1)sn an 0 Т P (zi) = (-1)sn an Т Т (zi - λk ) = Т 1(-1)sa0 Т (zi - λk )l = Т F (λk ), т. е. i=1 i=1 k=1 np k=1 i=1 k=1 что и требовалось доказать. det F(A) = Т F (λk ), k=1 Следствие 6.4.1. Если λ1, λ2,..., λnp - все собственные числа (с учетом кратностей) тен- зора A ∈ C2p(Ω), то для любых двух скалярных полиномов G(z) и F (z) справедливы соотно- шения det 1G(A) ± F(A)l = np np Т 1G(λk ) ± F (λk )l, k=1 np np (6.24) det 1G(A)F(A)l = Т G(λk )F (λk ) = Т G(λk ) Т F (λi). k=1 k=1 i=1 В частности, если в качестве G(z) выбрать G(z) = μz0 = μ, где μ - некоторый параметр, то из первого равенства (6.24) получим (2p) det 1μ E - F(A)l = np Т 1μ - F (λk )l. (6.25) k=1 Соотношение (6.25) можно сформулировать в виде следующего утверждения. 6. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ДЕЙСТВИЯ НАД ТЕНЗОРНЫМИ МНОГОЧЛЕНАМИ 41 Следствие 6.4.2. Если λ1, λ2,..., λnp - все собственные числа (с учетом кратностей) тен- зора A ∈ C2p(Ω), а F (z) - некоторый скалярный многочлен переменного z, то F (λ1), F (λ2), ..., F (λnp ) - все характеристические числа тензора F(A). Нетрудно заметить, что верно Следствие 6.4.3. Если тензор A ∈ C2p(Ω) имеет собственные числа λ1, λ2, ..., λnp , то для любого неотрицательного целого m тензор Am имеет собственные числа λm, λm, ..., λm . 1 2 np (2p) Теперь выведем формулу, выражающую присоединенный тензор B (λ) для λ E - A через тен- зор A ∈ C2p(Ω) и его инварианты (коэффициенты характеристического уравнения). Тогда тем самым определим обещанные выше его коэффициенты в общем случае. С этой целью разделим характеристический многочлен тензора A ∈ C2p(Ω) p np P (λ) = }, (-1)k akλn -k, a0 = 1, k=0 на λ - μ с остатком. Нетрудно показать, что в результате этого деления получим P (λ) = B(λ, μ)(λ - μ)+ P (μ). (6.26) Здесь многочлен двух аргументов B(λ, μ) имеет выражение где B(λ, μ) = λnp-1 + B λnp-2 + B λnp-3 + ... + B 1 2 np-2 k λ + B np-1 , (6.27) Bk = },(-1)iaiμk-i, k = 1, np - 1, a0 = 1. (6.28) i=0 (2p) Подставляя вместо λ и μ в (6.26) коммутирующие между собой тензоры λ E и A соответственно и учитывая, что по теореме Гамильтона-Кэли P(A) = 0, находим (2p) (2p) (2p) (2p) P (λ) E = P(λ E ) = B(λ E , A)(λ E - A). (6.29) Сравнивая (6.29) с (6.17), в силу однозначности частного и (6.27) получим, что искомая формула для присоединенного тензора представится в форме (2p) (2p) p p p B (λ) = B(λ E , A) = -2 E λn -1 + B1λn -2 + B2λn -3 + ... + Bnp λ + B np-1 , (6.30) где с помощью (6.28) подлежащие определению коэффициенты присоединенного тензора будут иметь вид k Bk = },(-1)iaiAk-i, k = 1, np - 1, a0 = 1. (6.31) i=0 Учитывая (6.30), соотношение (6.29) представится в форме (2p) (2p) (2p) P (λ) E = (λ E - A)B (λ) = B (λ)(λ E - A). (6.32) Нетрудно доказать, что тензоры B1, B2,..., Bnp-1 можно вычислять последовательно из следую- щих рекуррентных соотношений: При этом заметим, что k Bk = ABk-1 + (-1) (2p) ak E , k = 1, np - 1, B0 = (2p) (2p) E . (6.33) n p ABnp-1 + (-1) anp E = 0. (6.34) Легко усмотреть, что соотношения (6.33) и (6.34) получаются из (6.17), если в правой и левой частях этого равенства приравнять друг другу коэффициенты при одинаковых степенях λ. Рекур- рентные равенства (6.33) легко доказать и с помощью (6.31). Подставляя в (6.34) выражение для Bnp-1 из (6.31), получим P(A) = 0, т. е. другое доказа- тельство теоремы Гамильтона-Кэли, которое явно не опирается на использование обобщенной теоремы Безу. Если A ∈ C2p(Ω) - невырожденный тензор, то anp = det A /= 0 и из (6.34) вытекает A-1 = (-1)n -1a-1 p np Bnp-1 = (-1) np-1 np -1 I-1(A)Bnp . (6.35) 42 ГЛАВА 2. МНОГОЧЛЕНЫ С ТЕНЗОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Пусть λ0 - какое-нибудь собственное число тензора A. Тогда, так как P (λ0) = 0, из (6.17) следует p p B (λ0) ⊗ A = λ0B (λ0), A ⊗ B (λ0) = λ0B (λ0). (6.36) Представим тензор B (λ0) в виде B (λ0) = B i · Ai ⊗ Aj = B Aj = B · j A = B Aj1...jp = B ·j1...jp A , · j j j · j1...jp j1...jp i, j = 1, np, i = №(i1,..., ip), j = №(j1,..., jp), i1,..., ip = 1, n, j1,..., jp = 1, n. B (λ0) = B i · Ai ⊗ Aj = AiB i = A Bi · = B Aj = B · j A = Ai1...ip B = j i1...ip · · j1...jp i · j j · j1...jp i1...ip · = Ai1...ip B = B · j1...jp A = B Aj1...jp , Ai1...ip = Ai1 ⊗ ... Aip , i, j = 1, np, i = №(i1,..., ip), j = №(j1,..., jp), i1,..., ip = 1, n, j1,..., jp = 1, n. и назовем B i · (B i · ) и B · j (B j ) соответственно левыми и правыми ковариантными (контравариантными) составляющими тензора B (λ0). Тогда нетрудно заметить, что (6.36) для ковариантных составляющих тензора B (λ0) можно записать в форме p p B i ·(λ0) ⊗ A = λ0B i ·(λ0), A ⊗ B · j (λ0) = λ0B · j (λ0). (6.37) Отсюда, поднимая индексы i и j, получим аналогичные (6.37) соотношения для контравариантных составляющих тензора B (λ0). На основании (6.37) и аналогичных формул для контравариантных составляющих тензора B(λ0) заключаем, что ненулевые левые и правые ковариантные (контрава- риантные) составляющие тензора B (λ0) представляют соответственно левые и правые собственные тензоры, соответствующие собственному значению λ0 тензора A. Резюмируя вышесказанное, можно сформулировать следующую теорему: Теорема 6.5. Если коэффициенты характеристического многочлена (уравнения) тензора (2p) A ∈ C2p(Ω) известны, то присоединенная матрица B (λ0) для тензора λ E - A может быть найдена по формуле (6.30), а если A ∈ C2p(Ω) - невырожденный тензор, то по формуле (6.35) можно найти обратный тензор A-1. Если λ0 - собственное значение тензора A ∈ C2p(Ω), то ненулевые левые и правые ковариантные (контравариантные) составляющие тензора B (λ0) являются соответственно левыми и правыми собственными тензорами тензора A ∈ C2p(Ω) при λ = λ0. Следует отметить, что Д. К. Фадеев предложил метод одновременного определения коэффициен- тов характеристического многочлена и матричных коэффициентов присоединенной матрицы [7, 73]. Другой эффективный метод для вычисления коэффициентов характеристического многочлена свя- зан с именем А. Н. Крылова [7]. Следовательно, аналогично изложенному выше материалу эти методы также нетрудно обобщить на случай тензора A модуля C2p(Ω). 7. МИНИМАЛЬНЫЙ МНОГОЧЛЕН ТЕНЗОРА МОДУЛЯ C2p(Ω) Введем определения. Определение 7.1. Скалярный многочлен F (λ) называется аннулирующим многочленом тензора A ∈ C2p(Ω), если F(A) = 0. Определение 7.2. Аннулирующий многочлен G(λ) тензора A ∈ C2p(Ω) наименьшей степени со старшим коэффициентом, равным единице, называется минимальным многочленом этого тензора. Из теоремы Гамильтона-Кэли следует, что характеристический многочлен P (λ) тензора A ∈ C2p(Ω) является аннулирующим для этого тензора. Однако в общем случае он не является мини- мальным. Теорема 7.1. Произвольный аннулирующий многочлен тензора алгебры C2p(Ω) всегда де- лится без остатка на его минимальный многочлен. 7. МИНИМАЛЬНЫЙ МНОГОЧЛЕН ТЕНЗОРА МОДУЛЯ C2p(Ω) 43 Доказательство. Разделим произвольный аннулирующий многочлен F (λ) на минимальный G(λ). Будем иметь F (λ) = G(λ)Q(λ)+ R(λ), где степень R(λ) меньше степени G(λ). Подставляя вместо λ в последнее соотношение A, получим F(A) = G(A)Q(A)+ R(A). (7.1) Поскольку F(A) = 0 и G(A) = 0, то из (7.1) следует, что R(A) = 0. Однако степень R(λ) меньше степени минимального многочлена G(λ). Поэтому R(λ) = 0, ибо в противном случае существовал бы аннулирующий многочлен, степень которого была бы меньше степени минимального многочле- на. Этим теорема доказана. Теорема 7.2 (о единственности минимального многочлена). Минимальный многочлен тензо- ра алгебры C2p(Ω) единствен. Доказательство. Пусть существуют два минимальных многочлена G1(λ) и G2(λ) для одного и того же тензора A ∈ C2p(Ω). Тогда каждый из них делится на другой многочлен без остатка и, так как эти многочлены имеют одну и ту же степень, то они отличаются друг от друга постоянным множителем. Этот постоянный множитель равен единице, поскольку равны единице старшие коэффициенты многочленов G1(λ) и G2(λ), т. е. G1(λ) = G2(λ). Теорема доказана. Далее получим формулу, связывающую минимальный многочлен с характеристическим. Обо- значая через Dnp-1(λ) наибольший общий делитель со старшим коэффициентом, равным единице, (2p) всех компонент тензора миноров np - 1 порядка характеристического тензора λ E - A для тензора A ∈ C2p(Ω), т. е. наибольший общий делитель всех компонент присоединенного тензора B (λ) для (2p) характеристического тензора λ E - A, будем иметь B (λ) = Dnp-1(λ)C (λ), (7.2) где C (λ) - некий многочленный тензор (λ-тензор), который называется приведенным присоеди- (2p) ненным тензором для λ E - A. Учитывая (7.2), из (6.17) получим (2p) (2p) P (λ) E = (λ E - A)C (λ)Dnp-1(λ). (7.3) Отсюда следует, что характеристический многочлен P (λ) делится без остатка на Dnp-1(λ). В этом можно убедиться непосредственно, разлагая характеристический определитель по элемен- там какой-либо строки или какого-либо столбца. Вводя обозначение K(λ) = P (λ)/Dnp-1(λ) и сокращая обе части (7.3) на Dnp-1(λ), находим (2p) (2p) (2p) K(λ) E = (λ E - A)C (λ) = C (λ)(λ E - A). (7.4) (2p) (2p) Из (7.4) видно, что K(λ) E делится без остатка слева и справа на λ E - A. Поэтому на основании теоремы Безу K(A) = 0. Таким образом, многочлен K(λ) является аннулирующим для тензора A. Докажем, что он является минимальным многочленом. Обозначим минимальный многочлен через K1(λ). Тогда в силу теоремы K(λ) делится без остат- ка на K1(λ): K(λ) = K1(λ)L(λ). (7.5) (2p) Так как K1(A) = 0, то в силу обобщенной теоремы Безу тензорный многочлен K1(λ) E делится, (2p) например, слева без остатка на λ E - A: (2p) (2p) С помощью (7.5) и (7.6) получаем K1(λ) E = (λ E - A)C 1(λ). (7.6) (2p) (2p) K(λ) E = (λ E - A)C 1(λ)L(λ). (7.7) 44 ГЛАВА 2. МНОГОЧЛЕНЫ С ТЕНЗОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Из соотношений (7.4) и (7.7) видно, что как C (λ), так и C 1(λ)L(λ) - левые частные при делении (2p) (2p) K(λ) E на λ E - A. Из-за однозначности деления имеем C (λ) = C 1(λ)L(λ). Из этого равенства следует, что L(λ) является общим делителем всех компонент многочленного тензора C (λ). С дру- гой стороны, наибольший общий делитель всех компонент приведенного присоединенного тензора C (λ) равен единице, ибо этот тензор был получен из тензора B (λ) путем деления его компонент на Dnp-1(λ). Поэтому L(λ) = const. Однако старшие коэффициенты K(λ) и K1(λ) равны единице, ввиду чего из (7.5) следует L(λ) = 1, т. е. K(λ) = K1(λ), что и требовалось доказать. Таким образом, для минимального многочлена установлена следующая формула: P (λ) Далее аналогично (6.26) имеем K(λ) = Dnp-1(λ) . (7.8) K(λ) = C(λ, μ)(λ - μ)+ K(μ), а для приведенного присоединенного тензора C (λ) сходное с (6.30) соотношение получит вид (2p) C (λ) = C(λ E , A). Следовательно, подобно (6.32) справедливо равенство (2p) (2p) (2p) K(λ) E = (λ E - A)C (λ) = C (λ)(λ E - A). Переходя в последнем соотношении к детерминантам, находим [K(λ)]np = P (λ) det C(λ). (7.9) Таким образом, с помощью (7.8) и (7.9) заключаем, что характеристический многочлен P (λ) де- лится без остатка на минимальный многочлен K(λ), а некоторая степень K(λ) делится без остатка на P (λ). Отсюда в свою очередь следует, что совокупность всех отличных друг от друга корней многочленов P (λ) и K(λ) одна и та же. Другими словами, корнями K(λ) являются все отличные друг от друга характеристические числа тензора A. Если P (λ) = (λ - λ1)n1 (λ - λ2)n2 ... (λ - λr )nr , λi /= λj при i /= j; ni > 0, i, j = 1, r, то K(λ) = (λ - λ1)m1 (λ - λ2)m2 ... (λ - λr )mr , 0 < mk nk, k = 1, r. Следует отметить еще одно важное свойство приведенного присоединенного тензора C (λ). Пусть λ0 - какое-нибудь характеристическое число тензора A. Поскольку K(λ0) = 0, то подобно (6.36) из (7.4) получим соотношение p p C (λ0) ⊗ A = λ0C (λ0), A ⊗ C (λ0) = λ0C (λ0). (7.10) Заметим, что всегда C (λ0) /= 0. В самом деле, в противном случае все компоненты приведенного присоединенного тензора C (λ) делились бы без остатка на λ - λ0, что невозможно. Из (7.10) аналогично (6.37) будем иметь p p C i ·(λ0) ⊗ A = λ0C i ·(λ0), A ⊗ C · j (λ0) = λ0C · j (λ0), i, j = 1, np. (7.11) В силу (7.11) и подобных соотношений для контравариантных составляющих можно сказать, что ненулевые левые и правые ковариантные (контравариантные) составляющие тензора C (λ0) (такие всегда имеются) являются соответственно левыми и правыми собственными тензорами, соответ- ствующими собственному значению λ0 тензора A ∈ C2p(Ω). Далее, не останавливаясь на изучении тензорных функций тензорных аргументов, отметим только, что если F (z) - аналитическая функция, то соответствующую аналитическую тензорную функцию тензора A ∈ C2p(Ω) можно определить следующим образом: np F(A) = }, F (λk )Wk ⊗ Wk, k=1 7. МИНИМАЛЬНЫЙ МНОГОЧЛЕН ТЕНЗОРА МОДУЛЯ C2p(Ω) 45 где представление тензора A дано соотношением (5.12). В частности, и т. д. sin A = np }, sin λk Wk ⊗ Wk, eA = k=1 np }, eλk Wk ⊗ Wk k=1 7.1. Минимальный многочлен тензора модуля Cp(Ω) и модуля Cp(Ω) относительно задан- ного тензора модуля C2p(Ω). Минимальный многочлен. Рассмотрим некоторые вопросы, каса- ющиеся минимального многочлена тензора и модуля. Пусть W - произвольный тензор из модуля Cp(Ω), а A - некоторый тензор алгебры C2p(Ω) (Ω ⊂ Rn). Составим ряд тензоров W, AW, A2W, A3W,..., (7.12) являющихся элементами модуля Cp(Ω) (Ak W ∈ Cp(Ω), k ∈ N0). Так как Cp(Ω) - конечный модуль, то найдется такое целое число m (0 m np), что тензоры W, AW,..., Am-1W будут линейно независимыми, а тензор AmW будет их линейной комбинацией, т. е. AmW = -b1Am-1W - b2Am-2W - ... - bmW. (7.13) Рассмотрим многочлен - M (λ) = λm + b1λm-1 + ... + bm 1λ + bm . (7.14) Тогда соотношение (7.13) можно представить в виде p M(A) ⊗ W = 0. Определение 7.3. Скалярный многочлен N (λ) называется аннулирующим многочленом тен- зора W ∈ Cp(Ω) относительно тензора A ∈ C2p(Ω), если N(A)W = 0. Определение 7.4. Аннулирующий многочлен M (λ) тензора W ∈ Cp(Ω) относительно тензо- ра A ∈ C2p(Ω) наименьшей степени со старшим коэффициентом, равным единице, называется минимальным многочленом тензора W ∈ Cp(Ω) относительно тензора A ∈ C2p(Ω). Нетрудно доказать, что из всех аннулирующих многочленов тензора W ∈ Cp(Ω) построенный выше многочлен (7.14) - минимальный многочлен тензора W ∈ Cp(Ω) относительно тензора A ∈ C2p(Ω). Теорема 7.3. Произвольный аннулирующий многочлен N (λ) тензора W ∈ Cp(Ω) относи- тельно A ∈ C2p(Ω) делится без остатка (нацело) на минимальный многочлен M (λ) тензо- ра W. Доказательство. В самом деле, пусть N (λ) = M (λ)Q(λ)+ R(λ), (7.15) где Q(λ) и R(λ) - частное и остаток от деления N (λ) на M (λ). При этом степень R(λ) меньше степени M (λ). Тогда легко видеть, что из (7.15) получим N(A)W = Q(A)M(A)W + R(A)W. Отсюда в свою очередь находим R(A)W = 0. Итак, R(λ), степень которого меньше степени M (λ), является аннулирующим многочленом тензора W ∈ Cp(Ω) относительно тензора, что невозможно. Значит, R(λ) = 0. Теорема доказана. Из доказанной теоремы следует, что каждому тензору W ∈ Cp(Ω) соответствует только один минимальный многочлен. Рассмотрим некоторый базис A1, A2,..., Anp модуля Cp(Ω). Обозначим через M1(λ), M2(λ),..., Mnp (λ) минимальные многочлены базисных тензоров A1, A2, ..., Anp соответственно относи- тельно A ∈ C2p(Ω), а через N (λ) - наименьшее общее кратное этих многочленов со старшим коэффициентом, равным единице. Следовательно, N (λ) будет аннулирующим многочленом для всех базисных тензоров Ai = Ai1...ip , i = 1, np, i = №(i1, i2,..., ip), i1,..., ip = 1, n. 46 ГЛАВА 2. МНОГОЧЛЕНЫ С ТЕНЗОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Так как произвольный тензор W ∈ Cp(Ω) представляется в виде W= WiAi = Wi1,...,ip Ai ,...,i , то т. е. 1 p N(A)W = WiN(A)Ai = Wi1,...,ip N(A)Ai ,...,i 1 p = 0, N(A)W = 0. Таким образом, M (λ) является аннулирующим многочленом всего модуля Cp(Ω). Нетрудно ви- деть, что, если N∗(λ) - произвольный аннулирующий многочлен всего модуля Cp(Ω), то он будет аннулирующим многочленом базисных тензоров A1,..., Anp . Следовательно, N∗(λ) должен быть общим кратным минимальных многочленов M1(λ), M2(λ), ..., Mnp (λ) этих базисных тензоров, ввиду чего многочлен N∗(λ) должен делиться на наименьшее общее кратное N (λ) без остатка. Таким образом, из всех аннулирующих многочленов всего модуля Cp(Ω) построенный выше мно- гочлен N (λ) имеет наименьшую степень и старший коэффициент 1. Такой многочлен однозначно определяется заданием модуля Cp(Ω) и тензора A ∈ C2p(Ω) и называется минимальным многочле- ном модуля Cp(Ω) относительно тензора A ∈ C2p(Ω). Из доказанной выше теоремы 7.3 следует единственность минимального многочлена модуля Cp(Ω). Несмотря на то, что построение мини- мального многочлена N (λ) было связано с определенным базисом A1,..., Anp , он не зависит от выбора базиса. Это, конечно, следует из единственности минимального многочлена модуля Cp(Ω). Нетрудно доказать справедливость теоремы: Теорема 7.4. Минимальный многочлен модуля Cp(Ω) относительно некоторого тензора A ∈ C2p(Ω) делится без остатка на минимальный многочлен любого тензора этого моду- ля относительно тензора A ∈ C2p(Ω). Теперь рассмотрим некоторые вопросы, связанные с расщеплением модуля на инвариантные подмодули. Введем определения: p Определение 7.5. Подмножество C× (Ω) модуля Cp(Ω) называется подмодулем модуля Cp(Ω), если оно само является модулем над тем же кольцом, что и Cp(Ω). p Определение 7.6. Будем говорить, что модуль Cp(Ω) расщепляется на два подмодуля C× (Ω) и C××p(Ω), и писать если известно, что: p Cp(Ω) = C× (Ω) + C××p(Ω), p C× (Ω) и C××p(Ω) не имеют общих тензоров, кроме нуля, любой тензор W ∈ Cp(Ω) представляется в виде суммы W = W× + W××, (7.16) p где W× ∈ C× (Ω), а W×× ∈ C××p(Ω). Из условия 1 следует единственность представления (7.16). В самом деле, пусть W имеет другое представление W = -W× + -W×× (W× ∈ C× (Ω), W×× ∈ C××p(Ω)). - p p Тогда, вычитая почленно последнее равенство из (7.16), получим W× - -W× = -W×× - W××, т. е. равен- ство между отличными от нуля тензорами W× - -W× ∈ C× (Ω) и -W×× - W×× ∈ C×p× (Ω), что невозможно в силу 1. Итак, условие 1 можно заменить требованием единственности представления (7.16). Следовательно, определение расщепления модуля распространяется на любое число слагаемых подмодулей. Пусть A× , A× ,..., A× и A××1, A××2,..., A××l - базисы соответственно модулей C× (Ω) и C×p× (Ω). То- 1 2 k p гда нетрудно доказать, что все эти k + l тензоров линейно независимы и составляют базис мо- дуля Cp(Ω), т. е. из базисов слагаемых подмодулей составляется базис всего модуля. Очевидно, k + l = np. p Определение 7.7. Подмодуль C× (Ω) ⊂ Cp(Ω) называется инвариантным относительно данного p тензора A ∈ C2p(Ω), если из W ∈ C× (Ω) следует A ⊗ W ∈ C× (Ω) (AC× (Ω) ⊂ C× (Ω)). p p p p Перефразируем некоторые теоремы из [7] применительно к рассматриваемому случаю. 7. МИНИМАЛЬНЫЙ МНОГОЧЛЕН ТЕНЗОРА МОДУЛЯ C2p(Ω) 47 Теорема 7.5 (1-я теорема о расщеплении модуля Cp(Ω) на инвариантные подмодули). Если минимальный многочлен N (λ) модуля Cp(Ω) относительно данного тензора A ∈ C2p(Ω) представляется в виде произведения двух взаимно простых многочленов N1(λ) и N2(λ) со старшими коэффициентами, равными единице, N (λ) = N1(λ)N2(λ), то модуль Cp(Ω) расщепляется на два инвариантных подмодуля C1(Ω) и C2(Ω) (Cp(Ω) = C1(Ω) + C2(Ω)), минимальp p p p ными многочленами которых являются соответственно множители N1(λ) и N2(λ). Из этой теоремы следует следующая Теорема 7.6. Если минимальный многочлен модуля Cp(Ω) относительно данного тензора A ∈ C2p(Ω) представляется в виде произведения некоторых степеней неприводимых много- членов N1(λ), N2(λ),..., Ns(λ) со старшими коэффициентами, равными единице, N (λ) = 1N1(λ)m1 l1N2(λ)m2 l ... 1Ns(λ)ms l, то модуль Cp(Ω) расщепляется на s инвариантных подмодулей C1(Ω), C2(Ω),..., Cs (Ω) p p p (Cp(Ω) = C1(Ω) + C2(Ω) + ... + Cs (Ω)), минимальными многочленами которых служат соp p p ответственно многочлены N1(λ), N2(λ),..., Ns(λ). Лемма 7.1. Если минимальные многочлены тензоров W× ∈ Cp(Ω) и W×× ∈ Cp(Ω) взаимно про- сты, то минимальный многочлен суммы тензоров W× + W∗∗ равен произведению минимальных многочленов слагаемых тензоров. Эта лемма применяется при доказательстве следующей теоремы: Теорема 7.7. В модуле Cp(Ω) всегда существует тензор, минимальный многочлен которого совпадает с минимальным многочленом всего модуля. - Пусть теперь L(λ) = λm + C1λm-1 + ... + Cm 1λ + Cm минимальный многочлен тензора W ∈ Cp(Ω) относительно A ∈ C2p(Ω). Тогда нетрудно доказать, что тензоры W, AW, A2W,..., Am-1W (7.17) линейно независимы и AmW = -C1Am-1W - C2Am-2W - ... - CmW. (7.18) p Следовательно, тензоры (7.17) составляют базис некоторого m-мерного подмодуля C× (Ω) ⊂ Cp(Ω). В связи со специальным видом базиса (7.17) и равенством (7.18) этот подмодуль называется циклическим относительно тензора A ∈ C2p(Ω). Тензор W называется порождающим тензором подмодуля C× (Ω). Можно также говорить, что тензор W порождает подмодуль C× (Ω) относительно p p A ∈ C2p(Ω). Заметим, что тензор A переводит первый из тензоров (7.17) во второй, второй - в третий и т. д. Согласно (7.18) последний базисный тензор (7.17) переводится тензором A в линейную комбинацию базисных тензоров. Итак, тензор A переводит любой базисный тензор в тензор из C× (Ω). Очевидно, он и произвольный тензор из C× (Ω) переводит в тензор из C× (Ω). p p p Таким образом, циклический подмодуль относительно A ∈ C2p(Ω), порожденный тензором W ∈ Cp(Ω), всегда инвариантен относительно A. p Любой тензор X ∈ C× (Ω) можно представить в виде линейной комбинации базисных тензо- ров (7.17) X = K(A)W, где K(λ) - многочлен от λ степени не больше m - 1. Перебирая возможные многочлены K(λ) степени не больше m - 1, получим все тензоры из C× (Ω). При этом каждый тензор X ∈ C× (Ω) p получим только один раз, т. е. только при одном многочлене p K(λ). p Теорема 7.8. Минимальный многочлен порождающего тензора W ∈ Cp(Ω) в то же время будет и минимальным многочленом всего циклического подмодуля C× (Ω) относительно A ∈ C2p (Ω). 48 ГЛАВА 2. МНОГОЧЛЕНЫ С ТЕНЗОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Теорема 7.9 (2-я теорема о расщеплении модуля на инвариантные подмодули). Модуль Cp(Ω) всегда можно расщепить на циклические относительно данного тензора A ∈ C2p(Ω) под- модули C1(Ω), C2(Ω),..., Cr (Ω) с минимальными многочленами N1(λ), N2(λ), ..., Nr (λ), p p p Cp(Ω) = C1(Ω) + C2(Ω) + ... + Cr (Ω), p p p так, чтобы N1(λ) совпадал с минимальным многочленом N (λ) всего модуля Cp(Ω) и каждый Ni(λ) был делителем Ni-1(λ), i = 2, 3,..., r. Теорема 7.10 (о критерии цикличности модуля). Модуль цикличен тогда и только тогда, когда его число измерений совпадает со степенью его минимального многочлена. Теорема 7.11. Модуль тогда и только тогда является циклическим, когда он расщепля- ется на такие инвариантные подмодули, которые сами являются циклическими и имеют взаимно простые минимальные многочлены. Теорема 7.12. Модуль не расщепляется на инвариантные подмодули тогда и только то- гда, когда он циклический и его минимальный многочлен - некоторая степень неприводимого многочлена. Теорема 7.13 (3-я теорема о расщеплении модуля на инвариантные подмодули). Модуль всегда можно расщепить на циклические инвариантные подмодули Cp(Ω) = C1(Ω) + C2(Ω) + ... + Ct (Ω), p p p так, чтобы минимальный многочлен каждого из этих циклических подмодулей был степенью неприводимого многочлена. Эта теорема дает расщепление модуля на нерасщепимые далее инвариантные подмодули. 8. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О СОПРЯЖЕННОМ, НОРМАЛЬНОМ, ЭРМИТОВОМ И УНИТАРНОМ ТЕНЗОРАХ МОДУЛЯ C2p(Ω) Введем определение, отличное от вышеприведенного определения сопряженного тензора алгебры C2p(Ω). Определение 8.1. Тензор A∗ называется сопряженным по отношению к тензору A ∈ C2p(Ω) в точке x ∈ Ω, если для любых двух тензоров W и W× из Cp(Ω) выполняется равенство p ) ( p ) (A ⊗ W, W× x = W, A∗ ⊗ W× x. (8.1) Нетрудно заметить, что для любых тензоров W ∈ Cp(Ω) и A ∈ C2p(Ω) имеют место соотношения p p p p A ⊗ W = W ⊗ AT , W ⊗ A = AT ⊗ W. (8.2) Тогда1 с помощью первого равенства (8.2) получим Таким образом, ⊗ (A p W, W× )x = (WAT , W×) = WAT W× = WAT W× = (W, AT W×)x. p ) ( T p ) (A ⊗ W, W× x = Вычитая из (8.1) почленно (8.3), находим W, A ⊗ W× x. (8.3) ( ) p W, (A∗ - AT ) ⊗ W× = 0. Отсюда в силу произвольности W и W× имеем A∗ = AT . Это совпадает с вышеприведенным опре- делением. Принимая за определение A∗ = AT , нетрудно доказать (8.1). Действительно, подставляя вместо AT в правую часть (8.3) A∗, получим (8.1). Следовательно, для каждого тензора A ∈ C2p(Ω) существует сопряженный тензор A∗ и притом только один. p 1В дальнейшем часто знак внутреннего p-произведения ⊗ и знак локальности x будем опускать. 8. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О СОПРЯЖЕННОМ, НОРМАЛЬНОМ, ЭРМИТОВОМ И УНИТАРНОМ ТЕНЗОРАХ МОДУЛЯ C2p(Ω) 49 Используя вторую формулу (8.2) и (8.1), не представляет труда доказать справедливость соот- ношения p ( p Действительно, ⊗ x (W p A, W×) = (W ⊗ A, W×)x = ( p AT ⊗ W, W×)x = W, W× ⊗ A∗)x. ( p W, A∗T ⊗ W×)x = ( p W, W× ⊗ A∗)x. Теорема 8.1. Любой тензор A ∈ C2p(Ω) всегда можно представить в виде A = A1 + iA2, (8.4) где A1 и A2 - эрмитовы тензоры (эрмитовы компоненты тензора A). Эрмитовы компоненты однозначно определяются заданием тензора A. Тензор A нормален тогда и только1 тогда, когда его эрмитовы компоненты A1 и A2 коммутируют между собой. Доказательство. Пусть имеет место представление (8.4). Тогда, переходя в обеих частях (8.4) к сопряженным, получим A∗ = A1 - iA2, (8.5) Рассматривая (8.4) и (8.5) как систему уравнений относительно A1 и A2 и разрешая эту систему, найдем тензоры 1 1 A1 = 2 (A + A∗), A2 = 2i (A - A∗), (8.6) которые, очевидно, являются эрмитовыми. Обратно, определяя эрмитовы тензоры с помощью (8.6), нетрудно заметить, что они связаны с A равенством (8.4). Пусть A - нормальный тензор, т. е. AA∗ = A∗A. Тогда из (8.6) вытекает A1A2 = A2A1. Обратно, из A1A2 = A2A1 с помощью (8.4) и (8.5) следует AA∗ = A∗A. Теорема доказана. Определение 8.2. Будем говорить, что тензор W ∈ Cp(Ω) ортогонален подмножеству p(Ω) ⊂ Cp(Ω) и писать W ⊥ Cp(Ω), если он ортогонален любому тензору из Cp(Ω). C× × × p p Определение 8.3. Будем говорить, что два подмножества C× (Ω) и C××p(Ω) модуля Cp(Ω) вза- имно ортогональны и писать C× (Ω) ⊥ C××p(Ω), если любой тензор из одного подмножества орто- гонален любому тензору из другого подмножества. p Заметим, что ортогональность тензоров и множеств тензоров можно рассматривать как в про- извольной точке x ∈ Ω, так и в области Ω. Нетрудно видеть, что взаимно ортогональные под- множества C× (Ω) и C××p(Ω) модуля Cp(Ω) являются подмодулями, и каждый тензор W ∈ Cp(Ω) имеет место расщепление Cp(Ω) = C× (Ω) + C××p(Ω), C× (Ω) ⊥ C××p(Ω). p(Ω) и W ∈ C××p (Ω), т. е. p p p p p Следовательно, сумма размерностей подмодулей C× (Ω) и C××p(Ω) равняется размерности модуля Cp(Ω). Заметим, что в рассматриваемом случае C× (Ω) называется ортогональным дополнением к C××p(Ω). Очевидно, C××p(Ω) будет ортогональным дополнением к C× (Ω). p Теорема 8.2. Если некоторый подмодуль C× (Ω) ⊂ Cp(Ω) инвариантен относительно A ∈ C2p (Ω), то ортогональное дополнение C×× p(Ω) этого подмодуля инвариантно относительно A∗. Доказательство. Пусть W× ∈ C× (Ω) и W×× ∈ C××p(Ω). Тогда из AW× ∈ C× (Ω) следует p p (AW×, W××) = 0. Отсюда с помощью (8.1) получим (W×, A∗W××) = 0. Так как W× - произвольный p тензор модуля C× (Ω), то A∗W×× ∈ C××p(Ω), что и требовалось доказать. Определение 8.4. Тензор A ∈ C2p(Ω) называется тензором простой структуры, если он имеет np линейно независимых собственных тензоров, где np - число измерений модуля Cp(Ω). Нетрудно заметить, что имеет место следующее утверждение. 1Рассмотренные в данной работе теоремы аналогичны теоремам о линейном операторе [7]. Вообще говоря, при отождествлении тензора четного ранга 2p (p > 1) с эндоморфизмом тензорного пространства (модуля Cp(Ω)) мно- гие вопросы о линейном операторе автоматически переносятся на случай пространств эндоморфизмов, порожденных тензорами четного ранга. Общие вопросы о пространствах эндоморфизмов можно смотреть в [3, 4]. 50 ГЛАВА 2. МНОГОЧЛЕНЫ С ТЕНЗОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Утверждение 8.1. Тензор A ∈ C2p(Ω) имеет простую структуру, если все корни характе- ристического уравнения различны между собой. Заметим, что обратное утверждение неверно, т. е. существуют тензоры модуля C2p(Ω) простой структуры, характеристические уравнения которых имеют кратные корни. Теорема 8.3. Если A ∈ C2p(Ω) - тензор простой структуры, то сопряженный тензор A∗ также имеет простую структуру, при этом можно так выбрать полные системы собствен- ных тензоров W1, W2,..., Wnp и W× , W× ,..., W× p тензоров A и A∗, чтобы они были биорто- 1 2 n i нормальны, т. е. (Wk, W× ) = δki, i, k = 1, np. (k) Доказательство. Пусть W1, W2,..., Wnp - полная система нормированных собственных тензо- ров A ∈ C2p(Ω). Эти тензоры выберем в качестве базиса модуля Cp(Ω). Обозначим через Cp (Ω) (k = 1, np) подмодуль модуля Cp(Ω), образующими тензорами которого являются тензоры (k) {W1, W2,..., Wnp }\\ {Wk } (k = 1, np). Следовательно, Cp (Ω) при каждом значении k является (k) (k) (np - 1)-мерным инвариантным подмодулем модуля Cp(Ω) относительно A. Тогда, рассматривая k одномерный подмодуль Cp ×(Ω) (k = 1, np), порожденный нормированным тензором W× ⊥ Cp (Ω) (k = 1, np), нетрудно заметить, что он будет одномерным ортогональным дополнением подмодуля (k) (k) Cp (Ω) (k = 1, np). Тогда в силу теоремы 8.2 Cp (Ω) инвариантен относительно A∗, т. е. k = μk Wk, W /= 0, k = 1, np. (k) A∗W× × × Из W× ⊥ Cp (Ω) следует (Wk, W× ) = 1 /= 0, ибо в противном случае тензор W× должен был бы k равняться нулю. Таким образом, что и требовалось доказать. k k j (Wi, W× ) = δij, i, j = 1, np, Следует заметить, что из биортонормированности тензоров W1,..., Wnp и W× ,..., W× p вытекает 1 n линейная независимость каждой (в отдельности) из этих систем тензоров. Теорема 8.4. Общий собственный тензор W ∈ Cp(Ω) тензоров A ∈ C2p(Ω) и A∗ ∈ C2p(Ω) соответствует комплексно сопряженным собственным значениям этих тензоров. Доказательство. Пусть W ∈ Cp(Ω) - общий собственный тензор тензоров A ∈ C2p(Ω) и A∗ ∈ C2p(Ω), т. е. AW = λW и A∗W = μW, W /= 0. Тогда, учитывая эти равенства, из (8.1) при W× = W получим λ(WW) = μ(W, W). Отсюда следует λ = μ. Теорема доказана. Cp Теорема 8.5. Для всякого тензора A ∈ C2p(Ω) существует (np - 1)-мерный инвариантный подмодуль (np-1)(Ω). (1) p p (1) (1) подмодуль модуля Cp(Ω), порожденный тензором W×. Обозначим через C(n -1)(Ω) ортогональное дополнение к одномерному модулю Cp ×(Ω). Так как Cp ×(Ω) инвариантен относительно A∗ и Cp ⊂ p A = (A∗)∗, то в силу теоремы 8.2 подмодуль (np-1)(Ω) C (Ω) инвариантен относительно A ∈ C2p(Ω), что и требовалось доказать. На основании этой теоремы совершенно аналогично можно доказать существование подмоду- (np-2) (np-1) ля Cp (Ω) ⊂ Cp (Ω), инвариантного относительно A ∈ C2p(Ω). Продолжая это рассуж- дение, построим цепочку из np последовательно вложенных инвариантных подмодулей тензора A ∈ C2p(Ω): (1) (2) (np-1) (np) Cp (Ω) ⊂ Cp (Ω) ⊂ ... ⊂ Cp (Ω) ⊂ Cp (Ω) ⊂ Cp(Ω). Здесь индекс в скобках наверху указывает размерность подмодуля. Теорема 8.6 (теорема Шура). Для любого тензора A ∈ C2p(Ω) можно построить базис, в котором тензор имеет треугольную форму (матрица компонент тензора треугольна). 8. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О СОПРЯЖЕННОМ, НОРМАЛЬНОМ, ЭРМИТОВОМ И УНИТАРНОМ ТЕНЗОРАХ МОДУЛЯ C2p(Ω) 51 (1) (2) Доказательство. Пусть W1 - нормированный тензор из Cp (Ω). Выберем в Cp (Ω) нормирован- p Cp 3 ный тензор W2 такой, что (W1, W2) = 0. В (3)(Ω) рассмотрим нормированный тензор W такой, что (W1, W3) = 0 и (W2, W3) = 0. Продолжая этот процесс, построим ортонормированный базис W1, W2,..., Wnp , обладающий тем свойством, что подмодуль C(k)(Ω) (k = 1, np), натянутый на первые k базисных тензоров W1,..., Wk, инвариантен относительно тензора A ∈ C2p(Ω). Обозна- p p p n p 1 чая через ||Aij||n p матрицу тензора A, имеем A ⊗ Wj = (j) }, Aij Wi, где Aij = (A ⊗ Wj, Wi). Так i=1 p как A ⊗ Wj принадлежит Cp (Ω), то при i > j Aij = (A ⊗ Wj, Wi) = 0. Итак, матрица компонент тензора является верхней треугольной, а тензор A имеет представление np A = что и требовалось доказать. }, i,j=1 Aij Wi ⊗ Wj, Aij = 0 при i > j, Заметим, что теорему Шура легко доказать с помощью общей теоремы о приведении тензора к жордановой форме и последовательной ортогонализации жорданова базиса. Однако приведенное доказательство по существу использует только существование собственного тензора A. Теперь докажем лемму, устанавливающую одно свойство коммутирующих тензоров из модуля C2p(Ω). p p Лемма 8.1. Коммутирующие (перестановочные) тензоры A и B (A ⊗ B = B ⊗ A) из модуля C2p(Ω) всегда имеют общий собственный тензор. p Доказательство. Пусть W ∈ Cp(Ω) - собственный тензор тензора A ∈ C2p(Ω). Тогда A⊗W = λW, W /= 0, и в силу коммутативности тензоров A и B модуля C2p(Ω) имеем p p p A ⊗ Bk ⊗ W = λBk ⊗ W, k ∈ N0. (8.7) p p p Пусть в системе тензоров W, B ⊗ W, B2 ⊗ W,... первые m (0 m np) тензоров линейно незави- симы, в то время как (m + 1)-й тензор Bm ⊗ W уже является линейной комбинацией предыдущих тензоров. Нетрудно заметить, что подмодуль C(m)(Ω) ⊂ C (Ω), порожденный системой тензоров p p p W, BW,..., Bm-1W, будет инвариантен относительно B. Откуда следует, что в подмодуле C(m)(Ω) будет существовать собственный тензор X тензора B, т. е. BX = μX, X /= 0. С другой стороны, на основании соотношений (8.7) заключаем, что тензоры W, BW,..., Bm-1W являются собственными тензорами тензора A, соответствующими одному и тому же собственному значению λ. Следова- тельно, любая линейная комбинация этих тензоров, в частности, и тензор X, будет собственным тензором тензора A, отвечающим собственному значению λ. Итак, доказано существование общего собственного тензора перестановочных тензоров A и B модуля C2p(Ω). С помощью этой леммы можно доказать следующую теорему. Теорема 8.7. Нормальный тензор модуля C2p(Ω) всегда имеет полную ортонормированную систему собственных тензоров. Доказательство. Пусть A - произвольный1 нормальный тензор модуля C2p(Ω). В рассматрива- емом случае тензоры A и A∗ коммутируют между собой и поэтому в силу доказанной выше леммы 8.1 имеют общий собственный тензор W1 ∈ Cp(Ω). Тогда на основании теоремы 8.4 имеем p p A ⊗ W1 = λ1W1, A∗ ⊗ W1 = λ1W1, W1 /= 0. (1) Обозначим через C(1)(Ω) одномерный подмодуль, порожденный тензором W , а через C (Ω) - p p ортогональное дополнение для C(1)(Ω), т. е. 1 p × (1) (1) (1) (1) Cp(Ω) = Cp (Ω) + Cp ×(Ω), Cp (Ω) ⊥ Cp ×(Ω). 1Под полной ортонормированной системой тензоров тензора модуля C2p(Ω) понимается ортонормированная система из np тензоров, где np - число измерений модуля Cp(Ω). Более подробно об этом понятии говорится в третьей главе. 52 ГЛАВА 2. МНОГОЧЛЕНЫ С ТЕНЗОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ (1) (1) Так как Cp (Ω) инвариантен относительно A и A∗, то в силу теоремы 8.2 подмодуль Cp ×(Ω) так- p × же инвариантен относительно этих тензоров. Следовательно, в инвариантном подмодуле C(1) (Ω) перестановочные тензоры A и A∗ имеют общий собственный тензор W2: p p A ⊗ W2 = λ2W2, A∗ ⊗ W2 = λ2W2, W2 /= 0. Cp p Очевидно, W1 ⊥ W2. Обозначая через (2)(Ω) двумерный подмодуль модуля C (Ω), порож- (2) (2) денный тензорами W1 и W2, а через Cp ×(Ω) - ортогональное дополнение к Cp (Ω) (Cp(Ω) = (2) (2) (2) (2) (2) Cp (Ω) + Cp ×(Ω), Cp (Ω) ⊥ Cp ×(Ω)), аналогично можно установить существование в Cp ×(Ω) общего собственного тензора W3 тензоров A и A∗. Очевидно, W3 ⊥ W1 и W3 ⊥ W2. Продолжая этот процесс, получим np попарно ортогональных общих собственных тензоров W1, W2,..., Wnp тензоров A и A∗: p p A ⊗ Wk = λk Wk, A∗ ⊗ Wk = λk Wk, Wk /= 0, (Wk, Wi) = 0 при i /= k, i, k = 1, np. (8.8) Заметим, что тензоры W1, W2,..., Wnp всегда можно считать нормированными, т. е. (Wi, Wj ) = δij, i, j = 1, np. При этом, конечно, соотношения (8.8) сохраняют силу. Теорема доказана. Из доказанной теоремы, в частности, из соотношений (8.8) вытекает Теорема 8.8. Если тензор A ∈ C2p(Ω) нормален, то каждый собственный тензор тензора A является собственным тензором сопряженного тензора A∗, т. е. если тензор A нормален, то тензоры A и A∗ имеют одни и те же собственные тензоры. Имеет место и обратная теорема. Теорема 8.9. Если тензор A ∈ C2p(Ω) имеет полную ортонормированную систему соб- ственных тензоров, то он - нормальный тензор. Доказательство. Пусть тензор A ∈ C2p(Ω) имеет полную ортонормированную систему собствен- ных тензоров W1, W2,..., Wnp , т. е. p A ⊗ Wi = λiWi, (Wi, Wj ) = δij, i, j = 1, np. (8.9) p Надо доказать, что A - нормальный тензор. Действительно, положим Xk = A∗ ⊗ Wk -λk Wk. Тогда в силу свойств скалярного умножения имеем (Wi, Xk )=(Wi, A∗Wk )-λk (Wi, Wk )=(AWi, Wk )-λk (Wi, Wk )=(λi-λk )δik = 0, i, k = 1, np. Отсюда следует, что т. е. имеют место соотношения Xk = A∗Wk - λk Wk = 0, k = 1, np. p A∗ ⊗ Wk = λk Wk, (Wi, Wk ) = δik, i, k = 1, np. (8.10) На основании (8.9) и (8.10) легко находим p p p p (A∗ ⊗ A) ⊗ Wi = λiλiWi, (A ⊗ A∗) ⊗ Wi = λiλiWi, k = 1, np, p p откуда в свою очередь получаем A ⊗ A∗ = A∗ ⊗ A, что требовалось доказать. Таким образом, наряду с «внешней» (AA∗ = A∗A) получена следующая «внутренняя» (спек- тральная) характеристика нормального тензора A ∈ C2p(Ω): Теорема 8.10. Тензор A ∈ C2p(Ω) тогда и только тогда является нормальным, когда этот тензор имеет полную ортонормированную систему собственных тензоров. Нетрудно заметить, что эту теорему можно перефразировать в следующем виде: Теорема 8.11. Тензор модуля C2p(Ω) тогда и только тогда является нормальным тензо- ром, когда он имеет простую структуру. 8. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О СОПРЯЖЕННОМ, НОРМАЛЬНОМ, ЭРМИТОВОМ И УНИТАРНОМ ТЕНЗОРАХ МОДУЛЯ C2p(Ω) 53 Следует заметить, что если A ∈ C2p(Ω) - тензор простой структуры, то его можно представить в собственном (каноническом) базисе в виде np A = }, λiWi ⊗ Wi. (8.11) i=1 Видно, что имеют место соотношения np p p np A∗ = }, j=1 λj Wj ⊗ Wj, A ⊗ A∗ = A∗ ⊗ A = }, k=1 λkλk Wk ⊗ Wk, (8.12) а тензор AA∗ = A∗A имеет неотрицательные собственные значения. Теорема 8.12. Если A ∈ C2p(Ω) - нормальный тензор, то тензор A (A∗) представим в виде тензорного многочлена от тензора A∗ (A). При этом два многочлена определяются заданием характеристических чисел тензора A. Доказательство. По интерполяционной формуле Лагранжа определим два многочлена F (λ) и G(λ) из условий F (λk ) = λk, G(λk ) = λk, k = 1, np, где λ1, λ2,..., λnp - собственные значения A. Тогда на основании этих формул, (8.11) и первого равенства (8.12) находим np np F(A) = }, k=1 F (λk )Wk ⊗ Wk = }, k=1 λk Wk ⊗ Wk = A∗, np np Таким образом, G(A∗) = }, k=1 G(λk )Wk ⊗ Wk = }, k=1 λk Wk ⊗ Wk = A. что и требовалось доказать. Докажем и следующую теорему. A∗ = F(A), A = G(A∗), p p Теорема 8.13. Если C× (Ω) - инвариантный подмодуль модуля Cp(Ω) относительно нор- мального тензора A ∈ C2p(Ω), а C××p(Ω) - ортогональное дополнение к C× (Ω), то и C××p(Ω) является инвариантным подмодулем тензора A. p Доказательство. Пусть C× (Ω) ⊂ Cp(Ω) - инвариантный подмодуль относительно A ∈ C2p(Ω) и C p × ×× p p p(Ω), C× (Ω) ⊥ C×× p(Ω). Тогда согласно теореме 8.2 подмодуль инвариантен относительно A∗. Однако в силу теоремы 8.12 A = G(A∗), где G(λ) - многочлен. Поэтому C××p(Ω) инвариантен относительно A. Теорема доказана. Теперь рассмотрим эрмитов тензор. Так как эрмитов тензор является частным видом нормаль- ного тензора, то для него справедливы все теоремы и соотношения, относящиеся к нормальному тензору. Докажем теорему, выражающую наряду с «внешней» (A∗ = A) «внутреннюю» характеристику эрмитова тензора. Теорема 8.14. Тензор H модуля C2p(Ω) является эрмитовым (самосопряженным) тогда и только тогда, когда он имеет полную ортонормированную систему собственных тензоров с вещественными собственными значениями. Доказательство. Пусть тензор H ∈ C2p(Ω) - эрмитов тензор. Надо доказать, что он имеет ве- щественные характеристические числа. Действительно, так как эрмитов тензор является частным видом нормального тензора, то в силу теоремы 8.10 он имеет полную ортонормированную систему собственных тензоров, и его можно представить в форме np p H = }, λiWi ⊗ Wi, (Wi, Wj ) = Wi ⊗ Wj = δij, i, j = 1, np. (8.13) i=1 54 ГЛАВА 2. МНОГОЧЛЕНЫ С ТЕНЗОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Тогда, очевидно, имеем np H∗ = }, λiWi ⊗ Wi ((Wi ⊗ Wj )∗ = Wj ⊗ Wi), i=1 и из равенства H∗ = H следует λi = λi, i = 1, np. Обратно, пусть тензор H ∈ C2p(Ω) имеет полную ортонормированную (ортонормальную) систему собственных тензоров с вещественными собственными значениями. Надо доказать, что он - эрмитов тензор. В самом деле, такой тензор в силу теоремы 8.10 - нормальный тензор и для него имеет место представление (8.13), откуда, учитывая λi = λi, получаем np H∗ = }, λiWi ⊗ Wi. (8.14) i=1 На основании (8.13) и (8.14) заключаем, что H∗ = H. Теорема доказана. Аналогичная теорема для унитарного тензора модуля C2p(Ω), выражающая наряду с «внешней» p (U ⊗ U∗ = (2p) E ) его «внутреннюю» характеристику, формулируется следующим образом: Теорема 8.15. Тензор U ∈ C2p(Ω) тогда и только тогда является унитарным, когда он имеет полную ортонормированную систему собственных тензоров с собственными значени- ями, модули которых равны единице. Доказательство. Пусть U - унитарный тензор. Надо доказать, что он имеет полную ортонорми- рованную систему собственных тензоров с характеристическими числами, модули которых равны единице. В самом деле, так как унитарный тензор - частный вид нормального тензора, то он на основании теоремы 8.10 имеет полную ортонормальную систему тензоров и представление np U = }, λiWi ⊗ Wi, (Wi, Wj ) = δij, i, j = 1, np. (8.15) i=1 Отсюда получаем np U∗ = }, j=1 λj Wj ⊗ Wj. (8.16) С помощью (8.15), (8.16) и унитарности тензора U находим p p np (2p) np откуда следует U ⊗ U∗ = U∗ ⊗ U = }, λiλiWi ⊗ Wi = i=1 E = }, j,k=1 δjk Wj ⊗ Wk, λiλi = |λi|2 = 1, i = 1, np. (8.17) Обратно, пусть тензор U ∈ C2p(Ω) имеет полную ортонормальную систему собственных тензо- ров с характеристическими числами, по модулю равными единице. Тогда имеют место соотноше- p p (2p) ния (8.15)-(8.17), из которых следует U ⊗ U∗ = U∗ ⊗ U = E . Теорема доказана. Неотрицательные и положительно определенные эрмитовы тензоры. Полярное раз- ложение тензора модуля C2p(Ω). Введем следующее определение. Определение 8.5. Эрмитов тензор H ∈ C2p(Ω) называется неотрицательным, если для любого тензора W ∈ Cp(Ω) p (H ⊗ W, W) 0, и положительно определенным, если для любого тензора W /= 0 модуля Cp(Ω) p (H ⊗ W, W) > 0, Теорема 8.16. Эрмитов тензор модуля C2p(Ω) тогда и только тогда является неотрица- тельным (положительно определенным), когда все его собственные числа неотрицательны (положительны). 8. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О СОПРЯЖЕННОМ, НОРМАЛЬНОМ, ЭРМИТОВОМ И УНИТАРНОМ ТЕНЗОРАХ МОДУЛЯ C2p(Ω) 55 Доказательство. Пусть H ∈ C2p(Ω) - эрмитов тензор. Выбирая в качестве базиса модуля Cp(Ω) полную ортонормальную систему собственных тензоров W1, W2,..., Wnp тензора H, для любого тензора W ∈ Cp(Ω) и тензора H будем иметь представления: np np W = }, WiWi, H = }, λj Wj ⊗ Wj. (8.18) i=1 j=1 Учитывая, что (W, Wi) = Wi, с помощью соотношений (8.18) получим p np (H ⊗ W, W) = }, k=1 λk|Wk|2, откуда следует справедливость теоремы. Эта теорема выражает «внутреннюю» характеристику неотрицательного и положительно опре- деленного эрмитова тензора. Нетрудно доказать, что примерами неотрицательных эрмитовых тензоров являются тензоры AA∗ и A∗A, где A - произвольный тензор модуля C2p(Ω). Действительно, для произвольного тензора W ∈ Cp(Ω) имеем (AA∗W, W) = (A∗W, A∗W) 0, (A∗AW, W) = (AW, AW) 0. Если A ∈ C2p(Ω) - невырожденный тензор, то AA∗ и A∗A - положительно определенные эрмито- вы тензоры. Тензоры √AA∗ и √A∗A называются левым и правым модулями тензора A. У нормального тензора левый и правый модули равны. Теорема 8.17 (теорема о полярном разложении тензора модуля C2p(Ω)). Произвольный тензор A модуля C2p(Ω) всегда представим в виде p p A = H ⊗ U, A = U1 ⊗ H1, (8.19) где H, H1 - неотрицательные эрмитовы, а U, U1 - унитарные тензоры модуля C2p(Ω). Тензор A нормален тогда и только тогда, когда H и U (H1 и U1) коммутируют. Доказательство. Из представлений (8.19) следует, что H и H1 являются соответственно левым и правым модулями тензора A ∈ C2p(Ω). Действительно, p p p p A ⊗ A∗ = H ⊗ U ⊗ U∗ ⊗ H = H2, A∗A = H1U∗U1H1 = H2. 1 1 Следует заметить, что достаточно доказать справедливость первого соотношения (8.19), ибо, при- меняя это разложение к тензору A∗, будем иметь A∗ = HU, а отсюда находим A = U-1H, т. е. вторую формулу (8.19). Сначала докажем первое равенство (8.19) для частного случая, когда A - невырожденный тен- зор (det A /= 0). Считая, что H = √AA∗ (det H /= 0) - положительно определенный тензор как квадратный корень из положительно определенного тензора и U = H-1A, докажем унитарность тензора U. Имеем p U ⊗ U∗ = H-1AA∗H = H-1H2H-1 = (2p) E . Таким образом в рассматриваемом случае справедливость первого равенства (8.19) доказана. Заметим, что в данном случае не только H, но и U однозначно определяются заданием невы- рожденного тензора A. Теперь рассмотрим общий случай, когда A может быть и вырожденным тензором. Прежде всего докажем, что полная ортонормальная система собственных тензоров тензора A∗A всегда преобразуется тензором A снова в ортогональную же систему тензоров. Действительно, пусть k A∗AWk = μ2 Wk, Wk ∈ Cp(Ω), (Wk, Wi) = δki, μk 0, k, i = 1, np. Тогда получаем равенства (AWk , AWi) = (A∗AWk , Wi) = μ2 (Wk, WI ) = μ2 δki, k, i = 1, np, k k которые доказывают высказанное предложение. 56 ГЛАВА 2. МНОГОЧЛЕНЫ С ТЕНЗОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Далее, определяя ортонормированную систему тензоров X1,..., Xnp соотношениями np AWk = ρk Xk, k, i = 1, np (A = и тензоры H и U равенствами }, k=1 ρk Xk ⊗ Wk ) np np нетрудно видеть, что H = }, k=1 ρk Xk ⊗ Xk U = }, k=1 Xk ⊗ Wk, (8.20) p A = H ⊗ U, где в силу (8.20) H - неотрицательный эрмитов тензор, ибо он имеет полную ортонормальную систему собственных тензоров X1,..., Xnp и неотрицательные собственные числа μ1,..., μnp , а U - унитарный тензор, что можно проверить непосредственно. Таким образом, для произвольного тензора A ∈ C2p(Ω) имеют место представления (8.19), при этом эрмитовы тензоры H и H1 всегда однозначно определяются заданием тензора A (они - соответственно левый и правый модули тензора A), а унитарные тензоры U и U1 определяются однозначно только в случае невырожденного A. Теперь докажем вторую часть теоремы. Из первого соотношения (8.19) находим AA∗ = H2, AA∗ = U∗H2U. (8.21) Если A - нормальный тензор (AA∗ = A∗A), то из (8.21) получим H2 = U∗H2U = (U∗HU)2. Отсюда, извлекая квадратный корень, будем иметь H = U∗HU (U-1 = U∗), откуда приходим к соотношению UH = HU, доказывающему коммутативность тензоров H и U. Обратно, если U и H коммутируют, то из (8.21) следует, что A - нормальный тензор. Теорема доказана. Собственные значения тензора H = √AA∗, которые на основании (8.21) являются также соб- ственными значениями тензора H1 = √A∗A, называются сингулярными числами тензора A. Пусть тензоры W1, W2,..., Wnp из модуля Cp(Ω) - полная ортогональная система собственных тензоров произвольного унитарного тензора U ∈ C2p(Ω). Тогда тензор U можно представить в виде np np U = }, k=1 λk Wk ⊗ Wk = }, k=1 eiϕk Wk ⊗ Wk, (8.22) где λk = eiϕk , ибо |λk| = 1 и ϕk, k = 1, np, - вещественные числа. Определим эрмитов тензор F следующим образом: np F = }, k=1 ϕk Wk ⊗ Wk. (8.23) Нетрудно заметить, что в силу (8.23) получим np eiF = Сравнивая (8.22) с (8.24), заключаем, что }, k=1 eiϕk Wk ⊗ Wk. (8.24) U = eiF. (8.25) Таким образом, унитарный тензор U ∈ C2p(Ω) всегда представим в виде (8.25), где F ∈ C2p(Ω) - эрмитов тензор. Обратно, если F ∈ C2p(Ω) - эрмитов тензор, то U = eiF - унитарный тензор модуля C2p(Ω). На основании (8.25) вместо (8.19) можно рассматривать следующие представления: p p A = H ⊗ eiF, A = eiF1 ⊗ H1, (8.26) где H, F, H1, F1 - эрмитовы тензоры. При этом H и H1 - неотрицательные тензоры. 8. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О СОПРЯЖЕННОМ, НОРМАЛЬНОМ, ЭРМИТОВОМ И УНИТАРНОМ ТЕНЗОРАХ МОДУЛЯ C2p(Ω) 57 Следует заметить, что соотношения (8.26) являются аналогом представления комплексного чис- ла z в виде z = reiϕ, где r = |z| 0 и ϕ - вещественное число. Заметим также, что в фор- муле (8.25) тензор F не определяется однозначно заданием тензора U. В самом деле, тензор F определяется при помощи чисел ϕk, k = 1, np, к каждому из которых можно прибавить произволь- ное кратное 2π, не изменяя представление (8.22). В основе равенства (8.25) лежит тот факт, что функциональная зависимость λ = eiϕ (λk = eiϕk , k = 1, np) (8.27) отображает np произвольных чисел ϕ1, ϕ2,..., ϕnp вещественной оси (вещественную ось) на неко- торые числа λ1, λ2,..., λnp , лежащие на окружности |λ| = 1, и наоборот. Трансцендентную зависимость (8.27) можно заменить рациональной зависимостью 1+iϕ λ = 1 - iϕ (λk = 1+iϕk 1 - iϕk , k = 1, np), (8.28) отображающей вещественную ось ϕ = ϕ на окружность |λ| = 1. При этом бесконечно удаленная точка на вещественной оси переходит в точку λ = -1. Разрешая (8.28) относительно ϕ, находим ϕ = i 1 - λ 1+ λ (ϕk = i 1 - λk 1+ λk , k = 1, np). (8.29) Так как W1, W2,..., Wnp - полная ортонормальная система собственных тензоров U и F, то p p U ⊗ Wk = λk Wk, F ⊗ Wk = ϕk Wk, k = 1, np. (8.30) Нетрудно видеть, что соотношения (8.30) вытекают также из (8.22) и (8.23) соответственно. Учитывая (8.28) и (8.29), из (8.30) будем иметь p 1+iϕ p 1 - λ p (8.31) U ⊗ Wk = 1 - iϕ Wk, F ⊗ Wk = i 1+ λ Wk, k = 1,n . Умножая равенства (8.31) тензорно справа на Wk и суммируя полученные соотношения от 1 до np, получим p np np U ⊗ }, (1 - iϕk )Wk ⊗ Wk = }, (1 + iϕk )Wk ⊗ Wk, k=1 p np k=1 np F ⊗ }, (1 + λk )Wk ⊗ Wk = i }, (1 - λk )Wk ⊗ Wk. k=1 k=1 Отсюда с помощью (8.22) и (8.23) приходим к двум взаимно обратным формулам (2p) (2p) p ( )-1 (2p) (2p) p ( )-1 U = ( E + iF) ⊗ E - iF , F = i( E - U) ⊗ E + U , (8.32) которые называются формулами Кэли. Формулы (8.32) устанавливают взаимно однозначное со- ответствие между произвольными эрмитовыми тензорами F и теми унитарными тензорами U, у которых среди собственных чисел нет -1. Заметим, что особую точку -1 можно заменить любым числом λ0 (|λ0| = 1). С этой целью вместо (8.28) надо рассматривать дробно-линейную функцию, отображающую вещественную ось ϕ = ϕ на окружность |λ| = 1 и переводящую точку ϕ = ∞ в точку λ = λ0. При этом соответству- ющим образом изменятся соотношения (8.29) и (8.32). Тензоры модуля R(Ω). Пусть теперь Ω ⊂ Rn, где Rn - n-мерное евклидово пространство. Как было сказано выше, R(Ω) - подкольцо кольца C(Ω), и все рассуждения, относящиеся к C(Ω) остаются в силе и для R(Ω). В частности, то же самое относится и к модулям Rp(Ω) и R2p(Ω). Поэтому, не останавливаясь в рассматриваемом случае на подробном изложении материала, рас- смотрим некоторые вопросы, касающиеся тензоров модулей Rp(Ω) и R2p(Ω). Введем определения. Определение 8.6. Тензор AT называется транспонированным тензором для тензора A ∈ R2p(Ω) в точке x ∈ Ω, если для любых двух тензоров W и W× из модуля Rp(Ω) имеет место соотношение p p (A ⊗ W, W×)x = (W, AT ⊗ W×)x. (8.33) 58 ГЛАВА 2. МНОГОЧЛЕНЫ С ТЕНЗОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Основные свойства транспонированных тензоров выражены формулами первого столбца (4.18). Определение 8.7. Тензор A ∈ R2p(Ω) называется нормальным, если p p A ⊗ AT = AT ⊗ A. Определение 8.8. Симметрический тензор S ∈ R2p(Ω) (ST = S) называется неотрицательным, p если для любого тензора W ∈ Rp(Ω) (S ⊗ W, W) 0, и положительно определенным, если для p любого тензора W /= 0 модуля Rp(Ω) (S ⊗ W, W) > 0. Заметим, что любой тензор A ∈ R2p(Ω) всегда представим, и притом однозначно, в виде A = S + K, где S (ST = S) - симметрический, а K (KT = -K) - кососимметрический тензор. Определение 8.9. Тензор Q ∈ R2p(Ω) называется ортогональным, если для любых двух тен- зоров W и W× из модуля Rp(Ω) p p (Q ⊗ W, Q ⊗ W×) = (W, W×). (8.34) В силу (8.33) из (8.34) следует (W, QT QW×) = (W, W×), откуда находим p QT ⊗ Q = (2p) E . (8.35) Обратно, из равенства (8.35) для произвольных тензоров W и W× вытекает (8.34). Из (8.35) имеем (det Q)2 = 1, т. е. det Q = ±1. Определение 8.10. Ортогональный тензор Q ∈ R2p(Ω) называется тензором первого рода (собственно ортогональным тензором), если det Q = 1, и второго рода, если det Q = -1. Заметим, что ортогональные тензоры модуля R2p(Ω) образуют группу, которая называется ор- тогональной группой. Симметрический, кососимметрический и ортогональный тензоры модуля R2p(Ω) суть частные виды нормального тензора. В рассматриваемом случае теорему, аналогичную (8.2), можно сформулировать следующим об- разом: p Теорема 8.18. Если некоторый подмодуль R× (Ω) ⊂ Rp(Ω) инвариантен относительно A ∈ p R2p(Ω), то ортогональное дополнение R××p(Ω) (R× (Ω) ⊥ R××p(Ω)) этого подмодуля инвариантно относительно AT . Для исследования тензоров модуля R2p(Ω) целесообразно расширять модули Rp(Ω) и R2p(Ω) соответственно до некоторых унитарных модулей R p(Ω) и R 2p(Ω). Это расширение производится следующим образом: Тензоры модулей Rp(Ω) и R2p(Ω) называются вещественными тензорами. Вводятся в рассмотрение комплексные тензоры W = U + iV, где U и V - вещественные тензоры из рассматриваемого вещественного модуля Rp(Ω) (R2p(Ω)). Естественным образом определяются операции сложения комплексных тензоров и умножения на комплексный скаляр. Тогда совокупность всех комплексных тензоров образует содержащий в себе Rp(Ω) (R2p(Ω)). R p(Ω)-модуль (R 2p(Ω)-модуль), Скалярное произведение и внутреннее r-произведение определяются аналогично введенным выше определениям. Если выбрать вещественный базис, т. е. базис в Rp(Ω) (R2p(Ω)), то R p(Ω) (R 2p(Ω)) будет представлять собой совокупность тензоров, которые будут иметь комплексные компоненты в этом базисе, а тензоры из Rp (R2p(Ω)) - вещественные компоненты. Характеристическое (вековое) урав- нение вещественного тензора модуля R2p(Ω) имеет вещественные коэффициенты, поэтому вместе с комплексным корнем λ кратности m оно имеет и корень λ кратности m. Утверждение 8.2. Комплексно сопряженным характеристическим числам вещественного тензора A ∈ R2p(Ω) соответствуют комплексно сопряженные собственные тензоры моду- ля Rp(Ω). 8. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О СОПРЯЖЕННОМ, НОРМАЛЬНОМ, ЭРМИТОВОМ И УНИТАРНОМ ТЕНЗОРАХ МОДУЛЯ C2p(Ω) 59 p p Доказательство. Действительно, из A ⊗ W = λW следует A ⊗ W = λ W. Из этого утверждения следует справедливость теоремы. Теорема 8.19. Если комплексному собственному значению λ вещественного тензора A ∈ R2p(Ω) соответствует линейно независимая система собственных тензоров W1, W2,..., Wm из модуля R p(Ω), то собственному числу λ соответствует линейная независимая система собственных тензоров W1, W2,..., Wm. Пусть W = U+iV - собственный тензор из модуля R p(Ω) тензора A ∈ R2p(Ω), соответствующий собственному числу λ = μ + iν, где μ и ν - действительные числа. Тогда, как легко усмотреть, p p A ⊗ U = μU - νV, A ⊗ V = νU + μV. (8.36) Рассмотрим тензор A ∈ R2p(Ω) простой структуры с собственными значениями λk = μ2k-1 + iμ2k, λk = μ2k-1 - iμ2k, k = 1, m, λl = μl, l = 2m + 1, np, (8.37) где μk (k = 1, np) - действительные числа, причем μ2k /= 0 (k = 1, m). Тогда соответствующие этим собственным значениям собственные тензоры W1, W2, ..., Wnp представим в виде Wk = U2k-1 + iU2k, Wk = U2k-1 - iU2k, k = 1, m, Wl = Ul, l = 2m + 1, np. (8.38) Нетрудно доказать, что тензоры U1, U2,..., Unp (8.39) образуют базис модуля Rp(Ω). При этом имеют место соотношения p A ⊗ U2k-1 = μ2k-1U2k-1 - μ2k U2k, p A ⊗ U2k = μ2k U2k-1 - μ2k-1U2k, k = 1, m, p A ⊗ Ul = μlUl, l = 2m + 1, np, (8.40) где первые два соотношения (8.40) выписаны с помощью (8.36). Заметим, что из ортонормальности базиса (8.38) в R p(Ω) следует ортогональность базиса (8.39) в Rp(Ω). Теперь введем обозначения Zi ≡ Wi, i = 1, m; Zj ≡ Wj, j = m + 1, 2m; Zl ≡ Ul, λl = μl, l = 2m + 1, np. Тогда, очевидно, имеют место соотношения (Zr, Zs) = δrs, r, s = 1, np, и тензор A можно предста- вить в виде (5.12): np Отсюда, следовательно, получаем A = }, k=1 λk Zk ⊗ Zk. m 2m np A = }, λiWi ⊗ Wi + i=1 }, j=m+1 λj Wj ⊗ Wj + }, l=2m+1 μlUl ⊗ Ul = m m np = }, λiWi ⊗ Wi + }, λj Wj ⊗ Wj + }, μlUl ⊗ Ul = i=1 m j=1 np l=2m+1 = 2 }, Re(λiWi ⊗ Wi)+ }, μlUl ⊗ Ul. Таким образом, i=1 m l=2m+1 np A = 2 }, Re(λiWi ⊗ Wi)+ }, μlUl ⊗ Ul. (8.41) i=1 l=2m+1 Нетрудно заметить, что в силу первых двух соотношений (8.37) и (8.38) Re(λk Wk ⊗Wk )= μ2k-1(U2k-1 ⊗U2k-1 +U2k ⊗U2k )+μ2k (U2k-1 ⊗U2k -U2k ⊗U2k-1), k = 1, m. 60 ГЛАВА 2. МНОГОЧЛЕНЫ С ТЕНЗОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Учитывая эти равенства, из (8.41) будем иметь m A = 2 }, 1μ2k-1(U2k-1 ⊗ U2k-1 + U2k ⊗ U2k )+ μ2k (U2k-1 ⊗ U2k - U2k ⊗ U2k-1)l+ k=1 np (8.42) + }, l=2m+1 μlUl ⊗ Ul. Введем обозначения: Vk = √2 Uk, k = 1, 2m; Vl = Ul, l = 2m + 1, np. (8.43) Тогда легко показать, что из ортонормальности базиса (8.38) в Rp(Ω) следует ортонормальность базиса (8.43) в Rp(Ω). В силу (8.43) из (8.40) и (8.42) получим соответственно p A ⊗ V2k-1 = μ2k-1V2k-1 - μ2k V2k, p A ⊗ V2k = μ2k V2k-1 - μ2k-1V2k, k = 1, m, p A ⊗ Vl = μlVl, l = 2m + 1, np; (8.44) m A = }, 1μ2k-1(V2k-1 ⊗ V2k-1 + V2k ⊗ V2k )+ μ2k (V2k-1 ⊗ V2k - V2k ⊗ V2k-1)l+ k=1 np (8.45) + }, l=2m+1 μlVl ⊗ Vl. Определение 8.11. Представление (8.45) называется каноническим представлением тензора A ∈ R2p(Ω) простой структуры, а тензор A, имеющий вид (8.45), - каноническим тензором. Из (8.45) видно, что тензор A в базисе (8.43) имеет квазидиагональную матрицу следующего вида: ( ( μ1 μ2 -μ2 μ1 \\, ( μ3 μ4 -μ4 μ3 \\ ,..., ( μ2m-1 μ2m -μ2m μ2m-1 \\, μ2m+1, μ2m+2,..., μnp \\ . (8.46) Таким образом, для каждого тензора A ∈ R2p(Ω) простой структуры в Rp(Ω) существует ба- зис (8.43) (вообще, неортонормальный), с помощью которого можно построить базис для R2p(Ω), имеющий вид Vi ⊗ Vj, i, j = 1, np, в котором тензор A имеет каноническое представление (8.45), а матрица его компонент - квазидиагональную форму (8.46). Из вышеизложенного следует справедливость теоремы. Теорема 8.20. Всякий тензор из модуля R2p(Ω) простой структуры вещественно подобен каноническому тензору. Итак, если B ∈ R2p(Ω) - тензор простой структуры, а A ∈ R2p(Ω) - канонический тензор, то существует невырожденный тензор T ∈ R2p(Ω) (T = T) такой, что имеет место соотношение p p p p B = T ⊗ A ⊗ T-1 (A = T-1 ⊗ B ⊗ T). Следует заметить, что транспонированный тензор AT для A ∈ R2p(Ω) после расширения стано- вится сопряженным тензором A∗ для A в R 2p(Ω). Очевидно, нормальный, симметрический, косо- симметрический и ортогональный тензоры в R2p(Ω) после расширения становятся соответственно нормальным, эрмитовым, умноженным на i эрмитовым и унитарным вещественным тензорами в R 2p(Ω). Из вышесказанного следует, что для нормального тензора A ∈ R2p(Ω) в Rp(Ω) существует система ортонормальных собственных тензоров (8.43) (базис Rp(Ω)), для которых имеют место соотношения (8.44). Кроме того, с помощью базиса (8.43) можно построить канонический базис для R2p(Ω), в котором тензор A имеет представление (8.45). Поэтому верна Теорема 8.21. Всякий вещественный нормальный тензор из модуля R2p(Ω) всегда веще- ственно и ортогонально подобен каноническому тензору. 8. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О СОПРЯЖЕННОМ, НОРМАЛЬНОМ, ЭРМИТОВОМ И УНИТАРНОМ ТЕНЗОРАХ МОДУЛЯ C2p(Ω) 61 Если B ∈ R2p(Ω) - некоторый вещественный тензор, а A ∈ R2p(Ω) - канонический тен- зор (8.44), то существует ортогональный тензор Q ∈ R2p(Ω) (Q = (QT )-1 = Q) такой, что p p p p B = Q ⊗ A ⊗ Q-1 (A = Q-1 ⊗ B ⊗ Q). У симметрического тензора S ∈ R2p(Ω) все собственные значения вещественны, ибо после рас- ширения этот тензор становится эрмитовым. Поэтому для симметрического тензора A ∈ R2p(Ω) в равенствах (8.44) и (8.45) следует положить m = 0. Тогда получим p np S ⊗ Vl = μlVl, (Vi, Vl) = δil, i, l = 1, np; S = }, μlVl ⊗ Vl. (8.47) l=1 Определение 8.12. Равенство (8.47) называется каноническим представлением симметрическо- го тензора модуля R2p(Ω), а сам тензор, представленный в таком виде, - каноническим симмет- рическим тензором. Следовательно, матрица компонент канонического симметрического тензора диагональна. Теорема 8.22. Всякий симметрический тензор модуля R2p(Ω) всегда имеет ортонормиро- ванную систему собственных тензоров с вещественными собственными числами. Из этой теоремы вытекает Теорема 8.23. Всякий вещественный симметрический тензор модуля R2p(Ω) всегда веще- ственно и ортогонально подобен каноническому симметрическому тензору. Если B ∈ R2p(Ω) (BT = B) - произвольный симметрический тензор, а S ∈ R2p(Ω) - канониче- ский симметрический тензор (последнее соотношение (8.47)), то на основании последней теоремы существует ортогональный тензор Q ∈ R2p(Ω) (Q = (QT )-1 = Q) такой, что p p p p B = Q ⊗ S ⊗ Q-1 (S = Q-1 ⊗ B ⊗ Q). У кососимметрического тензора K ∈ R2p(Ω) (KT = -K) все характеристические числа чисто мнимые (после расширения этот тензор равен произведению i на эрмитов тензор). Для этого тензора в формулах (8.44) и (8.45) надо положить μ2k-1 = 0, k = 1, m; μl = 0, l = 2m + 1, np, после чего они получат вид p p K ⊗ V2k-1 = -μ2k V2k, K ⊗ V2k = μ2k V2k, K ⊗ Vl = 0, k = 1, m, l = 2m + 1, np; , m K = }, np μ2k (V2k-1 ⊗ V2k - V2k ⊗ V2k-1)+ }, 0Vl ⊗ Vl. (8.48) k=1 l=2m+1 Определение 8.13. Последнее соотношение (8.48) называется каноническим представлением кососимметрического тензора модуля R2p(Ω), а сам тензор, имеющий вид (8.48), - каноническим кососимметрическим тензором. Нетрудно заметить, что матрица компонент канонического кососимметрического тензора имеет вид / ( 0 μ2 -μ2 0 \\, ( 0 μ4 -μ4 0 \\,..., ( 0 μ2m -μ2m 0 . \\, 0, 0,..., 0 \\ np -2m Так как K является нормальным тензором, то базис (8.43) можно считать ортонормальным. Сле- довательно, справедлива теорема Теорема 8.24. Всякий вещественный кососимметрический тензор вещественно и ортого- нально подобен каноническому кососимметрическому тензору. Если B ∈ R2p(Ω) (BT = -B) - некоторый кососимметрический тензор, а K ∈ R2p(Ω) - кано- нический кососимметрический тензор, то в силу этой теоремы существует ортогональный тензор Q ∈ R2p(Ω) (Q = (QT )-1 = Q) такой, что p p ( p p ) B = Q ⊗ K ⊗ Q-1 K = Q-1 ⊗ B ⊗ Q . (8.49) 62 ГЛАВА 2. МНОГОЧЛЕНЫ С ТЕНЗОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Все характеристические числа ортогонального тензора Q ∈ R2p(Ω) (Q = (QT )-1 = Q) по модулю равны единице (после расширения он становится унитарным). В связи с этим в случае ортого- нального тензора в формулах (8.44) и (8.45) следует положить μ2 2 p 2k-1 + μ2k = 1, k = 1, m, μl = ±1, l = 2m + 1,n . При этом базис (8.43) можно считать ортонормальным. Полагая, что μ2k-1 = cos ϕk, μ2k = sin ϕk, k = 1, m, для ортогонального тензора формулы (8.44) и (8.45) соответственно примут вид p O ⊗ V2k-1 = cos ϕk V2k-1 - sin ϕk V2k, p O ⊗ V2k = sin ϕk V2k-1 + cos ϕk V2k, k = 1, m, p O ⊗ Vl = ±Vl, l = 2m + 1, np; m O = }, 1 cos ϕk (V2k-1 ⊗ V2k-1 + V2k ⊗ V2k )+ k=1 + sin ϕk (V2k-1 ⊗ V2k + V2k ⊗ V2k-1)l + np }, l=2m+1 ±1Vl ⊗ Vl. (8.50) Определение 8.14. Соотношение (8.50) называется каноническим представлением ортогональ- ного тензора O ∈ R2p(Ω), а тензор O, представленный в такой форме, - каноническим ортого- нальным тензором. На основании (8.50) видно, что матрица компонент канонического ортогонального тензора пред- ставляется следующим образом: / ( cos ϕ1 sin ϕ1 - sin ϕ1 cos ϕ1 \\, ( cos ϕ2 sin ϕ2 - sin ϕ2 cos ϕ2 \\,..., ( cos ϕm sin ϕm - sin ϕm cos ϕm np-2m \\ . \\ , ±1, ±1,..., ±1 Следовательно, имеет место Теорема 8.25. Всякий ортогональный тензор модуля R2p(Ω) всегда вещественно и ортого- нально подобен каноническому ортогональному тензору. Из этой теоремы следует, что если Q ∈ R2p(Ω) - некоторый ортогональный тензор, а O ∈ R2p(Ω) - канонический ортогональный тензор, то существует ортогональный тензор Q1 ∈ R2p(Ω) такой, что p p ( p p ) 1 Q = Q1 ⊗ O ⊗ Q-1 1 O = Q-1 ⊗ Q ⊗ Q1 . (8.51) Полярное разложение тензора модуля R2p(Ω). Формулы Кэли. Выше было рассмотре- но полярное разложение тензора модуля C2p(Ω). Совершенно аналогично можно рассматривать полярное разложение тензора модуля R2p(Ω). Теорема 8.26. Произвольный тензор A модуля R2p(Ω) всегда представим в виде произведе- ний p p A = S ⊗ O, A = O1 ⊗ S1, (8.52) где S и S1 - неотрицательные симметрические, а O и O1 - ортогональные тензоры модуля / p / p R2p(Ω). При этом S = A ⊗ AT , S1 = AT ⊗ A, причем A - нормальный тензор тогда и только тогда, когда S и O (S1 и O1) коммутируют между собой. Заметим, что тензоры S и S1 в (8.52) однозначно определяются заданием тензора A. Если A - невырожденный тензор, то однозначно определяются и ортогональные тензоры O и O1. Рассмотрим некоторые представления ортогонального тензора модуля R2p(Ω). Пусть B ∈ R2p(Ω) - произвольный кососимметрический тензор (BT = -B). Тогда Q = eB (8.53) является ортогональным тензором первого рода. Действительно, QT = eBT = e-B = Q-1 и det Q = 1. 8. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О СОПРЯЖЕННОМ, НОРМАЛЬНОМ, ЭРМИТОВОМ И УНИТАРНОМ ТЕНЗОРАХ МОДУЛЯ C2p(Ω) 63 Заметим, что если k1, k2,..., knp - собственные числа тензора B, то μ1 = ek1 , μ2 = ek2 , ..., μnp = eknp - собственные числа тензора Q = eB. При этом np ), ki det Q = μ1 · μ2 · ... · μnp = ei=1 np = e0 = 1, ибо }, ki = 0. Теперь покажем, что любой ортогональный тензор первого рода представим в i=1 форме (8.53). С этой целью представим канонический ортогональный тензор первого рода в виде (см. (8.41) и последнее соотношение (8.50)) m np O = }, (eiϕk Wk ⊗ Wk + e-iϕk Wk ⊗ Wk )+ }, ei2π lVl ⊗ Vl. (8.54) k=1 Определим кососимметрический тензор K равенством m l=2m+1 np K = }, (iϕk Wk ⊗ Wk - iϕk Wk ⊗ Wk )+ k=1 }, l=2m+1 0Vl ⊗ Vl. (8.55) Нетрудно представить, что (8.55) - другая форма записи канонического кососимметрического тен- зора модуля R2p(Ω) (см. последнее соотношение (8.48)). Видно, что в силу (8.54) и (8.55) O = eK. (8.56) С помощью (8.49) и (8.51) из (8.56) будем иметь p p p p p p 1 Q = Q ⊗ O ⊗ Q-1 = Q ⊗ eK ⊗ Q-1 = eQ⊗K⊗Q- т. е. Q = eB, что и требовалось доказать. = eB, Теперь рассмотрим ортогональный тензор второго рода. С целью его представления введем в рассмотрение специальный тензор D соотношением np-1 D = }, i=1 Xi ⊗ Xi - Xnp ⊗ Xnp , p где Xk ∈ Rp(Ω) (k = 1, np) - некоторый ортонормированный базис, т. е. Xr ⊗ Xs = δrs (r, s = 1, np). p p Нетрудно заметить, что det D = -1, D-1 = D = DT . Тогда D ⊗ Q и Q ⊗ D - ортогональные тензоры первого рода, если Q - ортогональный тензор второго рода. Следовательно, эти тензоры представимы в виде p p D ⊗ Q = eB, Q ⊗ D = eB1 , где B и B1 - кососимметрические тензоры модуля R2p(Ω). Из последних соотношений легко полу- чим формулы представления ортогонального тензора второго рода в форме p p Q = D ⊗ eB = eB1 ⊗ D. (8.57) Если D и B представлены в одном и том же базисе, составленном, например, из базиса (8.43), то, конечно, D и B будут коммутировать между собой, и вместо двух формул (8.57) будем иметь одну формулу p p p p Q = D ⊗ eB = eB ⊗ D (BT = -B, D ⊗ B = B ⊗ D). Теперь, как и в случае нахождения соотношений (8.32), не представляет труда получить формулы Кэли. Однако те же самые формулы можно получить из (8.32), если в них U и F заменить соответственно на Q и iB. В результате такой замены находим (2p) p ((2p) (2p) (2 p ( p) Q = ( E - B) ⊗ E + B)-1, B = ( E - Q) ⊗ E + Q)-1. (8.58) Равенства (8.58) устанавливают взаимно однозначное соответствие между кососимметричными тензорами и теми ортогональными тензорами, которые не имеют собственного числа -1. Вме- сто (8.58) можно рассматривать формулы (2p) p ( p) (2p) p ((2p) Q = -( E - B) ⊗ (2 1 E + B)- , B = ( E + Q) ⊗ E - Q)-1. 64 ГЛАВА 2. МНОГОЧЛЕНЫ С ТЕНЗОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ В этом случае особой точкой является число +1. Коммутирующие нормальные тензоры. Методом математической индукции можно до- казать, что лемма 8.1 о существовании общего собственного тензора для двух коммутирующих тензоров A и B модуля C2p(Ω) справедлива для любого конечного и бесконечного чисел коммути- рующих тензоров. Лемма 8.2. Если дано конечное или бесконечное множество попарно коммутирующих тен- зоров модуля C2p(Ω), то эти тензоры всегда имеют общий собственный тензор. Доказательство. Сперва рассмотрим случай, когда множество коммутирующих тензоров конечно. Пусть даны m попарно коммутирующих тензоров A1, A2,..., Am модуля C2p(Ω). В силу леммы 8.1 для двух коммутирующих тензоров лемма 8.2 справедлива. Допустим ее справедливость для пер- вых m - 1 тензоров и докажем для m тензоров. Пусть W ∈ Cp(Ω) - общий собственный тензор p тензоров A1, A2,..., Am-1, т. е. Ai ⊗ W = λiW (i = 1,m - 1), W /= 0. В силу коммутативности тензоров Ai (i = 1,m - 1) и Am имеем p m Ai ⊗ Ak m ⊗ W = λiAk ⊗ W, i = 1,m - 1, k ∈ N0. (8.59) p m Пусть теперь в системе тензоров W, Am ⊗ W, A2 p m ⊗ W, A3 p ⊗ W,... первые r (0 r np) тен- p m зоров линейно независимы, в то время как (r + 1)-й тензор Ar ⊗ W уже является линейной комбинацией предыдущих тензоров. Легко усмотреть, что подмодуль C(r)(Ω) ⊂ C (Ω), порожден- p p p (r-1) p ный системой тензоров W, Am ⊗ W,..., Am ⊗ W, будет инвариантен относительно Am. Откуда p вытекает, что в подмодуле C(r)(Ω) будет существовать собственный тензор X тензора Am , т. е. p Am ⊗ X = μX, X /= 0. С другой стороны, с помощью соотношений (8.59) заключаем, что тензоры p (r-1) p W, Am ⊗ W,..., Am ⊗ W являются собственными тензорами тензора Ai (i = 1,m - 1), соот- ветствующими одному и тому же собственному значению λi (i = 1,m - 1). Следовательно, любая линейная комбинация этих тензоров, в частности, и тензор X, будетсобственным тензором тензора Ai (i = 1,m - 1), отвечающим собственному значению λi (i = 1,m - 1). Таким образом, доказа- но существование общего собственного тензора X ∈ Cp(Ω) m попарно коммутирующих тензоров A1, A2,..., Am модуля C2p(Ω). Теперь рассмотрим случай бесконечного множества попарно коммутирующих тензоров модуля C2p(Ω). Так как такое множество может содержать только конечное число s (0 s n2p) ли- нейно независимых тензоров, то общий собственный тензор последних будет общим собственным тензором всех тензоров из рассматриваемого множества. Теорема доказана полностью. Для множества попарно коммутирующих нормальных тензоров модуля C2p(Ω) справедлива Теорема 8.27. Если дано конечное или бесконечное множество попарно коммутирующих нормальных тензоров модуля C2p(Ω), то все эти тензоры имеют общую полную ортонор- мальную систему собственных тензоров. Доказательство. Пусть дано произвольное конечное или бесконечное множество попарно ком- мутирующих нормальных тензоров A1, A2, A3,... модуля C2p(Ω). В силу леммы 8.2 все они имеют общий собственный тензор W1 ∈ Cp(Ω). Обозначим подмодуль модуля Cp(Ω), порож- (1) (np-1) денный тензором W1, через Cp (Ω), а ортогональное дополнение к нему - через Cp (Ω). p ( (1) (np-1) На основании теоремы 8.13 подмодуль C(n -1) модуля C (Ω) C (Ω) = C (Ω) + C (Ω)) p p p p p 2 Cp p инвариантен относительно A1, A2, A3,.... Поэтому все эти тензоры имеют общий собствен- ный тензор W в (np-1). Теперь обозначим подмодуль модуля C (Ω), порожденный тензора- (2) (2) p ми W1 и W2 (W1 ⊥ W2), через Cp (Ω) и рассмотрим ортогональное дополнение к Cp (Ω), обозначаемое C(n -2)(Ω) C (C (Ω) = (2) C (Ω) + (np-2) (Ω)). Следовательно, согласно теореме 8.13 p (np-2) p p p (np-2) Cp (Ω) инвариантен относительно A1, A2,.... Поэтому они имеют общий собственный тен- зор W3 ∈ Cp (Ω) (W3 ⊥ W1, W3 ⊥ W2). Продолжая этот процесс, получим ортогональную систему W1, W2,..., W(np) общих собственных тензоров для A1, A2,.... Нормируя эти тензоры, 8. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О СОПРЯЖЕННОМ, НОРМАЛЬНОМ, ЭРМИТОВОМ И УНИТАРНОМ ТЕНЗОРАХ МОДУЛЯ C2p(Ω) 65 будем иметь общую ортонормальную систему собственных тензоров для попарно коммутирующих нормальных тензоров A1, A2, A3,... модуля C2p(Ω). Теорема доказана. Следует заметить, что если A1, A2, A3,... - попарно коммутирующие нормальные тензоры мо- дуля C2p(Ω), а W1, W2,..., Wnp - их общая система ортонормальных собственных тензоров мо- дуля Cp(Ω), то справедливы соотношения p Ai ⊗ Wj = λij Wj, j = 1, np, i = 1, 2, 3,..., (8.60) где λij - собственное значение тензора Ai, соответствующим собственным тензором которого яв- ляется Wj. Следовательно, для каждого тензора из A1, A2, A3,... будем иметь представление np Ai = }, j=1 λij Wj ⊗ Wj, i = 1, 2, 3,... (8.61) Теперь рассмотрим коммутирующие нормальные тензоры модуля R2p(Ω). Сформулируем аналогич- ную (8.27) теорему. Теорема 8.28. Если дано любое множество коммутирующих нормальных тензоров модуля R2p(Ω), то все эти тензоры имеют общий канонический базис, составленный из ортонор- мального базиса модуля Rp(Ω). Доказательство. Пусть A1, A2,..., As (0 s np) - линейно независимые тензоры среди рас- сматриваемого множества тензоров модуля R2p(Ω). Расширим модули Rp(Ω) и R2p(Ω) соответ- ственно до некоторых унитарных модулей R p(Ω) и R 2p(Ω) подобно тому, как это было сделано выше. Тогда тензоры A1, A2, ..., As согласно теореме 8.27 в R p(Ω) будут иметь общую полную ортонормальную систему собственных тензоров W1, W2, ..., Wnp . При этом будут выполняться соотношения (8.60) и (8.61). Рассмотрим произвольную линейную комбинацию тензоров A1, A2,..., As: A = ν1A1 + ν2A2 + ... + νsAs. При любых вещественных значениях ν1, ν2,..., νs тензор A является вещественным нормальным тензором в R2p(Ω) и, следовательно, будем иметь равенства p s A ⊗ Wi = ΛiWi, Λi = }, j=1 μjλij, i = 1, np. (8.62) Собственные числа Λi (i = 1, np) тензора A являются линейными формами относительно ν1, ν2,..., νs. Так как A - вещественный тензор, то Λk, k = 1, np, аналогично (8.37) можно разбить на попарно комплексно сопряженные и вещественные части: Λk = M2k-1 + iM2k, Λk = M2k-1 - iM2k, k = 1, m, Λl = Ml, l = 2m + 1, np. (8.63) Здесь M2k-1, M2k, k = 1, m, Ml, l = 2m + 1, np - вещественные линейные формы от ν1, ν2,..., νs. Соответствующие собственным значениям (8.63) собственные тензоры в (8.62) аналогично (8.38) можно представить в виде Wk = U2k-1 + iU2k, Wk = U2k-1 - iU2k, k = 1, m, Wl = Ul, l = 2m + 1, np, где тензоры U1, U2,..., Unp , конечно, образуют ортогональный базис модуля Rp(Ω). Нормируя эти тензоры, получим ортонормальный базис V1, V2,..., Vnp модуля Rp(Ω), тензоры которого опреде- ляются соотношениями (8.43). Далее аналогичные (8.44) и (8.45) соотношения можно записать в форме p p A ⊗ V2k-1 = M2k-1V2k-1 - M2k V2k, A ⊗ V2k = M2k V2k-1 + M2k-1V2k, k = 1, m, p A ⊗ Vl = MlVl, l = 2m + 1, np; m A = }, 1M2k-1(V2k-1 ⊗ V2k-1 + V2k ⊗ V2k )+ M2k (V2k-1 ⊗ V2k - V2k ⊗ V2k-1)l+ k=1 np (8.64) + }, l=2m+1 MlVl ⊗ Vl. 66 ГЛАВА 2. МНОГОЧЛЕНЫ С ТЕНЗОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Так как все тензоры рассматриваемого множества можно получить из A при конкретных значе- ниях ν1, ν2,..., νs, то тензоры V1, V2,..., Vnp , образующие ортонормальный базис модуля Rp(Ω), являются общими для всех тензоров A1, A2,..., As. С помощью этого базиса можно построить базис модуля R2p(Ω), имеющий вид Vi ⊗ Vj, i, j = 1, np, и являющийся общим каноническим ба- зисом для рассматриваемого множества тензоров A1, A2,..., As из модуля R2p(Ω). В этом общем базисе матрицы компонент тензоров A1, A2,..., As имеют квазидиагональный вид. Следовательно, аналогичные (8.64) соотношения для каждого тензора из A1, A2,..., As представятся в виде p p Ai ⊗ V2k-1 = μi,2k-1V2k-1 - μi,2k V2k, Ai ⊗ V2k = μi,2k V2k-1 + μi,2k-1V2k, k = 1, m, p Al ⊗ Vl = μi,lVl, l = 2m + 1, np, i = 1, s; m Ai = }, 1μi,2k-1(V2k-1 ⊗ V2k-1 + V2k ⊗ V2k )+ μi,2k (V2k-1 ⊗ V2k - V2k ⊗ V2k-1)l+ k=1 (8.65) np + }, l=2m+1 μi,lVl ⊗ Vl, i = 1, s, где было принято, что λj,k = μj,2k-1 + iμj,2k, λj,k = μj,2k-1 - iμj,2k, k = 1, m, λj,l = μj,l, l = 2m + 1, np, j = 1, s. (8.66) Теорема доказана. Следствие 8.28.1. Если какой-нибудь из коммутирующих нормальных тензоров A1, A2, ..., As, например, Aα (0 α s) является симметрическим, то в соответствующих форму- лах (8.65) и (8.66) следует положить μα,2k = 0, k = 1, m. Следствие 8.28.2. Если какой-нибудь из коммутирующих нормальных тензоров A1, A2, ..., As, например, Aβ (0 β s) является кососимметрическим, то в соответствующих соотно- шениях (8.65) и (8.66) надо положить μβ,2k-1 = 0, k = 1, m. Следствие 8.28.3. Если какой-нибудь из коммутирующих нормальных тензоров A1, A2, ..., As, например, Aγ (0 γ s) является ортогональным тензором, то в соответствующих равенствах (8.65) и (8.66) нужно принять μγ,2k-1 = cos ϕk, μγ,2k = sin ϕk, k = 1, m; μγ,l = ±1, l = 2m + 1, np. Следствие 8.28.4. Если среди коммутирующих нормальных тензоров A1, A2, ..., As име- ются какие-нибудь симметрические, кососимметрические и ортогональные тензоры, то для получения аналогичных (8.65) и (8.66) соотношений для этих тензоров следует воспользо- ваться следствиями 8.28.1-8.28.3 соответственно. Следует заметить, что вышеприведенные построения можно было производить иным путем. В част- ности, сохраняя используемые выше обозначения, можно было ввести определения отображения модуля Cp(Ω) в модуль Cq (Ω) и линейного оператора следующим образом: Определение 8.15. Будем говорить, что задано отображение A модуля Cp(Ω) в модуль Cq (Ω), и писать A : Cp(Ω) → Cq (Ω), если каждому элементу U модуля Cp(Ω) поставлен в соответствие определенный элемент V = AU, содержащийся в модуле Cq (Ω). Определение 8.16. Отображение A модуля Cp(Ω) в модуль Cq (Ω) называется линейным опе- ратором (обозначение A : Cp(Ω) → Cq (Ω)), если выполнены следующие аксиомы: A(W1 + W2) = AW1 + AW2 для любых W1 и W2 из Cp(Ω); A(αW) = αAW для любого W ∈ Cp(Ω) и любого α ∈ C0(Ω) (из кольца скаляров). Если p = q, то A называется линейным оператором в модуле Cp(Ω). Далее введем понятие суммы операторов A : Cp(Ω) → Cq (Ω) и B : Cp(Ω) → Cq (Ω) следующим образом: (A + B)W = AW + BW, где W ∈ Cp(Ω). Очевидно, что A + B - линейный оператор, (A + B) : Cp(Ω) → Cq (Ω). Аналогично вводится понятие произведения линейного оператора A на скаляр α ∈ C0(Ω), а именно (αA)W = α(AW), для любого W ∈ Cp(Ω). 8. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О СОПРЯЖЕННОМ, НОРМАЛЬНОМ, ЭРМИТОВОМ И УНИТАРНОМ ТЕНЗОРАХ МОДУЛЯ C2p(Ω) 67 Определим и произведение линейных операторов. Если A : Cp(Ω) → Cq (Ω), B : Cq (Ω) → Cr (Ω), то произведение линейных операторов A и B определяется по правилу (BA)W = B(AW), W ∈ Cp(Ω). Произведение BA является линейным оператором и отображает Cp(Ω) в Cr (Ω). После введения этих операций можно дать важнейшее понятие - пространство линейных опе- раторов. Определение 8.17. Совокупность всех линейных операторов, отображающих модуль Cp(Ω) в модуль Cq (Ω), образующая модуль с введенными выше операциями сложения операторов A и B и умножения оператора A на скаляр α ∈ C0(Ω), называется модулем линейных операторов и обозначается (Cp(Ω) → Cq (Ω)). Если p = q, то модуль линейных операторов (Cp(Ω) → Cp(Ω)) с рассмотренными выше опера- циями (сложения, произведения на скаляр и произведения двух операторов) является кольцом. Таким образом, построили новый модуль (Cp(Ω) → Cq (Ω)), элементами которого являются линейные операторы. Рассмотрим теперь частный случай линейного отображения A модуля Cp(Ω) в C0(Ω). Дадим в связи с этим следующее определение: Определение 8.18. Линейный оператор A : Cp → C0 называется линейным функционалом. Таким образом, функционал отображает модуль в кольцо скаляров. Перефразируя и другие определения из линейной алгебры и функционального анализа [2, 7, 13, 25, 66] и др., нетрудно заметить, что изложенное выше остается в силе, если вместо тензора A ∈ Cp+q (Ω) (C2p(Ω)) рассмотрим линейный оператор A : Cp(Ω) → Cq (Ω) (A : Cp(Ω) → Cp(Ω)). Следовательно, аналогично изложенному выше изучение частного случая, когда вместо Cr (Ω) рассматриваются Rr (Ω), не представляет труда. Наконец, дадим определение тензора, которое не зависит от выбора системы координат. Определение 8.19. Комплексный (вещественный) тензор ранга r ∈ N0 - элемент модуля Cr (Ω) (Rr (Ω)). В конце этой главы приведем важные практические упражнения, выполнение которых позволит во многих случаях представить в удобной форме законы и уравнения МДТТ. Упражнение 1. Найти собственные тензоры и собственные значения изотропного тензора вто- рого ранга. Упражнение 2. Найти собственные тензоры и собственные значения трансверсально-изотроп- ного тензора второго ранга. Упражнение 3. Найти собственные тензоры и собственные значения ортотропного тензора вто- рого ранга. Упражнение 4. Найти собственные тензоры и собственные значения изотропного тензора чет- вертого ранга. Упражнение 5. Найти собственные тензоры и собственные значения трансверсально-изотроп- ного тензора четвертого ранга. Упражнение 6. Найти собственные тензоры и собственные значения ортотропного тензора чет- вертого ранга. Упражнение 7. Найти собственные тензоры и собственные значения изотропного тензора ше- стого ранга. Упражнение 8. Найти собственные тензоры и собственные значения трансверсально-изотроп- ного тензора шестого ранга. Упражнение 9. Найти собственные тензоры и собственные значения ортотропного тензора ше- стого ранга. 68 ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ, ГИРОТРОПНЫЕ, ОРТОТРОПНЫЕ И ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫЕ ТЕНЗОРЫ Упражнение 10. Два вектора a и b модуля C1(Ω) (R1(Ω)) связаны между собой соотношением b = A · a, где A - тензор второго ранга модуля C2(Ω) (R2(Ω)), а Ω ⊂ Rn (Ω ⊂ R3). Представить это с оотношени е в собственных векторах и собственных значениях тензора A, если: 1) A - изо- тропный тензор; 2) A - трансверсально-изотропный тензор; 3) A - ортотроп ный тензор; 4) A - произвольный тензор ; 5) A - эрмитов тензор; 6) A - симметрич ный тензор; 7) A - кососимм ет- ричный тензор. Упражнение 11. Два тензора второго ранга P и Q модуля C2(Ω) (R2(Ω)) связаны между со- 2 бой соотношением P = A ⊗ Q, где A - тензор четвер того ранга модуля C4(Ω) (R4(Ω)) , а Ω ⊂ R3. Представить это соо тнош ени е в соб ственных тензорах и собственных значениях тензора A, если: 1) A - изотропный тензор; 2) A - трансверсально-изотропный тензор; 3) A - ортотропн ый тен- зор; 4) A - произвольный тензо р; 5) A - эрмитов тензор; 6) A - симметри чный тензор; 7) A - кососимм етричный тензор. Упражнение 12. Выполнить предыдущее упражнение в тех случаях, когда компоненты тензора A обладают различными свойствами симметрии. Упражнение 13. Выполнить предыдущие упражнения в том случае, когда Ω ⊂ R2. ГЛАВА 3 ПОСТРОЕНИЕ ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫХ ИЗОТРОПНЫХ, ГИРОТРОПНЫХ, ОРТОТРОПНЫХ И ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ ТЕНЗОРОВ Рассмотрим несколько методов построения систем линейно независимых изотропных, гиротроп- ных, ортотропных и трансверсально-изотропных тензоров. Сформулируем некоторые утверждения и теоремы. ОБ ИЗОТРОПНЫХ ТЕНЗОРАХ В R3 Как известно [19-21, 24, 54], E = riri = gij rirj - единственный тензор среди изотропных тен- зоров второго ранга такой, что л юбой другой изотропный тензор второго ранга a с помощью него представляется в виде a ранга - шаровой тензор. Тензоры = aE, где a - скаляр, т. е. произвольный изотропны й тензор второго C(1) = EE = ririrj rj, C(2) = rirj rirj, C(3) = riEri = rirj rj ri (9.1) представляют соб ой три линейно незави симых (несводим ых друг к другу) тензора четвертого ранга. Общее выражение для произвольного изотропного тензора четвертого ранга - их линейная комбинация 3 C = }, k=1 ak C(k). Из структуры изотропных тензоров второго и четвертого (9.1) ранга, нетрудно усмотреть, что они получаются из соответствующих мультипликативных базисов путем свертывания (зацепле- ния) попарно индексов у базисных векторов и перебора всевозможных случаев такого зацепления. В качестве примера составим еще все линейно независимые изотропные тензоры шестого ранга. Мультипликативный базис тензора шестого ранга - rirj rk rlrmrn. Свертывая индексы попарно про- извольным образом, получим какой-нибудь изотропный тензор шестого ранга. Например, имеем ririrk rk rmrm = EEE. (9.2) Остальные получаются из (9.2) перестановкой базисны х векторов. Очевидно, переставляя базис- ные векторы в (9.2), в общем случае получим 6! = 720 перестановок (изотропных тензоров ше- стого ранга). Среди этих тензоров лишь пятнадцать линейно независимых (несводимых друг к 10. ОБ ОРТОТРОПНЫХ ТЕНЗОРАХ В R2 И R3. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОРТОТРОПНЫХ ТЕНЗОРОВ ВТОРОГО И ЧЕТВЕРТОГО РАНГА 69 другу) [21, 54]. Для их получения рассмотрим, например, следующие тензоры: ririrk rk rmrm, rirk rirk rmrm, rirk rk rirmrm, rirk rk rmrirm, rirk rk rmrmri. (9.3) Видно, что в тензорах (9.3) базисный вектор ri занимает всевозможные места. Теперь, оставляя на месте в (9.3) векторы ri и ri и переставляя остальные, из каждого тензора получим еще по два тензора: ririrk rk rmrm, ririrk rmrk rm, ririrk rmrmrk, rirk rirk rmrm, rirk rirmrk rm, rirk rirmrmrk, rirk rk rirmrm, rirk rmrirk rm, rirk rmrirmrk, rirk rk rmrirm, rirk rmrk rirm, rirmrk rk rirm, rirk rk rmrmri, rirk rmrk rmri, rirk rmrmrk ri. (9.4) Нетрудно заметить, что, используя обозначения изотропных тензоров четвертого ранга и еди- ничного тензора второго ранга, (9.4) можно представить в виде EEE = C(1)E = EC(1), EC(2), EC(3), C ( 2) E, rirk rirm rk rm, r ir k riErk, C (3)E , rirk rmrirk rm, rirk rm rirmrk , r iEr mrirm, rirk rmrk rirm, rirmErirm, (9.5) riC (1)ri, riC(2)ri, riC(3)ri. Следует заметить, что девят ь из тензо ров (9.4) п олучаются при однократном умножении изо- тропных тензоров четвертого ранга (9.1), т. е. Cij = C(i) · C(j), i, j = 1, 2, 3. (9.6) Остальные шесть тензоров содерж атся в каче стве слагаемых [21] в тензорном произведении дис- криминантного тензора C = Cijk rirj rk на себя. В самом деле, получаем CC = rirj rk 1ri(rj rk - rk rj )+ rj (rk ri - rirk )+ rk (rirj - rj ri)l. (9.7) Следовательно, произвольный тензор шестого ранга C представляется в виде линейной комбина- ции тензоров (9.6) и тензоров, имеющихся в правой ч асти (9.7) в качестве слагаемых, т. е. тензор C можно представить соотношением 3 C = }, aij C(i) · C(j) + rirj rk 1ri(b1rj rk + b2rk rj )+ rj (b3rk ri + b4rirk )+ rk (b5rirj + b6rj ri)l. i,j=1 (9.8) Далее, не останавливаясь на подробном изложении материала, касающегося изотропных тензоров в R3, отметим, что имеют место теоремы: Теорема 9.1. Изотропные тензоры нечетного ранга не существуют. Теорема 9.2. Изотропный тензор заданного четного ранга в R3 может быть построен из соответствующего мультипликативного базиса путем попарного свертывания индексов у базисных векторов. Теорема 9.3. Все линейно независимые (несводимые друг к другу) изотропные тензоры за- данного четного ранга содержатся в множестве перестановок, которое получается с помо- щью всевозможных перестановок базисных векторов в каком-либо изотропном тензоре того же ранга, составленном из соответствующего мультипликативного базиса путем попарного свертывания индексов у базисных векторов. ОБ ОРТОТРОПНЫХ ТЕНЗОРАХ В R2 И R3. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОРТОТРОПНЫХ ТЕНЗОРОВ ВТОРОГО И ЧЕТВЕРТОГО РАНГА Построим линейно независимые ортотропные тензоры второго, четвертого и шестого рангов. Сформулируем некоторые теоремы, позволяющие построить ортотропные тензоры. Введем определения: 70 ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ, ГИРОТРОПНЫЕ, ОРТОТРОПНЫЕ И ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫЕ ТЕНЗОРЫ Определение 10.1. Группа преобразований координат xα∗ = aαxα < α = 1, 2, 3 >, где aα - следующие наборы чисел (a1, a2, a3): (1, 1, 1), (-1, 1, 1), (1, -1, 1), (1, 1, -1), (1, -1, -1), (-1, 1, -1), (-1, -1, 1), (-1, -1, -1), называется группой ортотропии в R3. Определение 10.2. Группа преобразований координат xα∗ = aαxα < α = 1, 2 >, где aα - следующие наборы чисел (a1, a2): (1, 1), (-1, 1), (1, -1), (-1, -1), называется группой ортотропии в R2. Заметим, что группу ортотропии в R3, которая является подгруппой полной ортогональной группы преобразований координат I, можно описать с помощью следующих матриц [54]: ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ -1 0 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ E = ⎝ 0 1 0 ⎠ , S1 = ⎝ 0 1 0 ⎠ , S2 = ⎝ 0 -1 0 ⎠ , 0 0 1 0 0 1 0 0 1 ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ -1 0 0 ⎞ S3 = ⎝ 0 1 0 0 0 -1 ⎠ , D1 = ⎝ 0 -1 0 0 0 -1 ⎠ , D2 = ⎝ 0 1 0 ⎠ , 0 0 -1 (10.1) ⎛ -1 0 0 ⎞ ⎛ -1 0 0 ⎞ D3 = ⎝ 0 -1 0 ⎠ , C = ⎝ 0 0 1 0 -1 0 ⎠ , 0 0 -1 а группу ортотропии в R2 можно представить в виде следующих матриц: ( 1 0 \\ E = 0 1 , S1 = ( -1 0 \\ 0 1 , S2 = ( 1 0 0 -1 \\ , C = ( -1 0 0 -1 \\ . (10.2) Описание группы с помощью матриц называется ее матричным представлением. Если число мат- риц при матричном представлении группы конечное, то группа называется точечной. В противном случае группа называется бесконечной, или непрерывной. Следует заметить, что группа ортотропии в R3 содержит группу инверсии, группы отражений относительно плоскостей и группы симметрии относительно осей в R3, а группа ортотропии в R2 состоит из групп инверсии и отражений относительно осей в R2. Введем определение ортотропного тензора. Определение 10.3. Тензор, группой симметрии которого является группа ортотропии в R3 (R2), называется ортотропным тензором в R3 (R2). Определение 10.4. Группа преобразований координат, относительно которой не меняются зна- чения компонент тензора, называется группой симметрии этого тензора. Далее построим линейно независимые ортотропные тензоры второго, четвертого и шестого ран- гов. Прежде чем построить эти тензоры, заметим, что число линейно независимых тензоров за- данного ранга, группой симметрии которых является точечная группа, вычисляется по форму- ле [9, 24, 54]: N k = 1 }, χn(gm), (10.3) N m=1 где N - порядок группы (число матриц при матричном представлении группы), gm, m = 1,N, - матрицы группы симметрии, χ(gm) - характер матричного представления группы симметрии, n - ранг тензоров. На основании [19-21, 24, 54, 68] и др. можно заключить, что справедливы следующие теоремы: ОБ ОРТОТРОПНЫХ ТЕНЗОРАХ В R2 И R3. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОРТОТРОПНЫХ ТЕНЗОРОВ ВТОРОГО И ЧЕТВЕРТОГО РАНГА 71 Теорема 10.1. Ортотропные тензоры нечетного ранга не существуют. Теорема 10.2. Ортотропные тензоры четного ранга r = 2k, где k - произвольное конечное натуральное число, можно получить из мультипликативного базиса тензора того же ранга, образуя из него тензор, состоящий из k = r/2 пар одноименных базисных векторов при условии, что по повторяющимся индексам суммирование не производится. Следует заметить, что выбор пар базисных векторов, которым присваивается одинаковое имя, совершенно произволен. В частности, базисные векторы, носящие одинаковое имя, могут оказаться рядом друг с другом или вдали друг от друга. Например, ортотропный тензор шестого ранга можно получить из мультипликативного базиса rirj rk rlrmrn, если ri и rj присвоим одно имя, rk и rl - другое, а rm и rn - третье. В результате получим следующие ортотропные тензоры шестого ранга: rαrαrβ rβ rγ rγ, < α, β, γ = 1, 2, 3 > . (10.4) Здесь rα - ортонормированный базис. В (10.4) одноименные базисные векторы1 находятся рядом друг с другом. Конечно, можно было рассматривать тензоры, получающиеся из (10.4) произвольной перестановкой базисных векторов, например, rαrβ rαrβ rγ rγ, < α, β, γ = 1, 2, 3 > . (10.5) В (10.5) одноименные базисные векторы с именами α и β находятся вдали друг от друга. Очевидно, из (10.4) и (10.5) следует, что пары одноименных базисных векторов тоже могут иметь одинаковое имя. Таковыми являются, например, тензоры rαrαrβ rβ rαrα, rαrβ rαrβ rβ rβ, < α, β, γ = 1, 2, 3 > . Нетрудно заметить, что из какой-либо перестановки ортотропного тензора шестого ранга (напри- мер, из (10.4)) можно получить путем перестановок все множество ортотропных тензоров шестого ранга. Очевидно, из множества всех 6! = 720 перестановок (10.4), содержащего и одинаковые орто- тропные тензоры, всегда можно выбрать линейно независимые тензоры, число которых меньше общего числа перестановок. Следовательно, все сказанное выше относительно тензора шестого ранга распространяется на тензор любого четного ранга, что можно сформулировать в виде сле- дующей теоремы: Теорема 10.3. Все линейно независимые ортотропные тензоры заданного четного ранга содержатся в множестве перестановок базисных векторов какого-либо ортотропного тензо- ра того же ранга, составленного из соответствующего мультипликативного базиса путем попарного присвоения одинаковых имен его базисным векторам. Если построены изотропные тензоры заданного четного ранга, то нетрудно построить из них соответствующие ортотропные тензоры. В этой связи справедлива Теорема 10.4. Ортотропные тензоры заданного четного ранга можно получить из изо- тропных тензоров того же ранга путем замены одноименных базисных векторов с индек- сами из букв латинского алфавита на одноименные соответствующие базисные векторы с индексами из букв греческого алфавита (например, rirk rirk заменяется тензором rαrβ rαrβ ). Заметим, что замена одноименных индексов из букв латинского алфавита на одноименные ин- дексы из букв греческого алфавита равносильна запрету суммирования по повторяющимся ин- дексам из букв латинского алфавита. Поэтому теорему 10.4 коротко можно сформулировать в следующем виде: Из изотропных тензоров, представленных с помощью базисных векторов ортонормиро- ванного базиса, соответствующие ортотропные тензоры получаются отменой (запретом) суммирования по повторяющимся латинским индексам. Имеет место и следующая теорема: 1Запись <α, β, γ = 1, 2, 3> означает, что α, β, γ принимают значения 1, 2, 3 и по повторяющимся индексам сумми- рование не производится 72 ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ, ГИРОТРОПНЫЕ, ОРТОТРОПНЫЕ И ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫЕ ТЕНЗОРЫ Теорема 10.5. Из всех линейно независимых изотропных тензоров заданного четного ран- га, составленных с помощью базисных векторов ортонормированного базиса, путем запрета суммирования по повторяющимся индексам получается множество ортотропных тензоров, среди которых имеются все линейно независимые ортотропные тензоры. Используя теорему 10.5, с помощью изотропных тензоров шестого ранга (9.4) построим все ор- тотропные тензоры шестого ранга. По условию теоремы 10.5 после простых размышлений из (9.4) получим следующие линейно независимые ортотропные тензоры шестого ранга: rαrαrβ rβ rγ rγ ; rαrαrβ rγ rβ rγ, β /= γ; rαrαrβ rγ rγ rβ, β /= γ; rαrβ rαrβ rγ rγ, β /= α; rαrβ rαrγ rβ rγ, α /= β, β /= γ; rαrβ rαrγ rγ rβ, α /= β, β /= γ; rαrβ rβ rαrγ rγ, α /= β; rαrβ rγ rαrβ rγ, α /= β, β /= γ, γ /= α; rαrβ rγ rαrγ rβ, α /= β, β /= γ, γ /= α; rαrβ rβ rγ rαrγ, α /= β, γ /= α; rαrβ rγ rβ rαrγ, α /= β, β /= γ, γ /= α; rαrγ rβ rβ rαrγ, α /= β, β /= γ, γ /= α; rαrβ rβ rγ rγ rα, α /= β, α /= γ; rαrβ rγ rβ rγ rα, α /= β, β /= γ, γ /= α; rαrβ rγ rγ rβ rα, α /= β, β /= γ, γ /= α; α, β, γ = 1, 2, 3. (10.6) Нетрудно заметить, что из первого объекта (10.6), придавая все указанные значения индексам, по- лучаем 27 тензоров; из второго объекта первой строки, объектов второй строки и первого объекта четвертой строки получаем по 18 тензоров; из объектов третьей строки, второго объекта пятой строки и первого объекта седьмой строки получаем по 12 тензоров, а из остальных шести объектов получаем по 6 тензоров. Простой подсчет показывает, что число линейно независимых ортотроп- ных тензоров шестого ранга равно 183. Следовательно, такое же число получается с помощью формулы, имеющей место в теории характеров матричных представлений групп [9, 24, 54]. Следует заметить, что общее выражение для ортотропного тензора шестого ранга - линейная комбинация 183 ортотропных тензоров шестого ранга (10.6). Иными словами, ортотропный тен- зор шестого ранга имеет 183 линейно независимые компоненты. Конечно, если тензор обладает симметрией, то число линейно независимых компонент уменьшается. На рассмотрении симметрий тензора останавливаться не будем. Ниже, используя изложенный выше материал, рассмотрим подробнее ортотропные тензоры вто- рого и четвертого ранга. Ортотропный тензор второго ранга. Тензорный базис группы ортотропии составляют тензо- ры [19, 20, 24, 54, 68] γ(α) = rαrα (γ(α) = δαiδαj, γ(α) = γ(α)rirj ), < α = 1, 2, 3 > . (10.7) ij ij Нетрудно замети ть, что в силу теоремы 10.5 из изотропного тензора второго ранга E = riri получаем те же самые тензоры (10.7). Итак, число линейно независимых ортотропных тензоров второго ранга равняется трем. Поэтому произвольный ортотропный тензор второго ранга a - линейная комбинация этих тензоров 3 a = }, aααrαrα = a11r1r1 + a22r2r2 + a33r3r3. (10.8) α=1 В компонентах (10.8) можно представить в виде 3 aij = ij = a }, aααγ(α) 11 δ1i δ1j + a22 δ2i δ2j + a33 δ3i δ3j . (10.9) α=1 Ортотропный тензор четвертого ранга. В силу теоремы 10.5 аналогично (10.6) все линейно независимые ортотропные тензоры четвертого ранга можно получить из изотропных тензоров (9.1). В самом деле, поступая так же, как при получении тензоров (10.6), из (9.1) будем иметь rαrαrβ rβ ; rαrβ rαrβ, rαrβ rβ rα, < α /= β >; α, β = 1, 2, 3. (10.10) Итак, всего имеем 21 ортотропный тензор четвертого ранга. Следовательно, произвольный орто- тропный тензор четвертого ранга представляется в виде линейной комбинации тензоров (10.10), О ГИРОТРОПНЫХ В R2 И ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ В R3 ТЕНЗОРАХ 73 т. е. 3 C = Cijklrirj rk rl = }, 3 Cααββ rαrαrβ rβ + }, 3 Cαβαβ rαrβ rαrβ + }, Cαββαrαrβ rβ rα. (10.11) α,β=1 α/=β=1 α/=β=1 Используя [54] обозначения (10.7), в компонентах (10.11) можно записать в форме Cijkl = 3 }, Cααββγ(α) (β) 3 }, ωεωε (ω) }, (ε) 3 (η) (ϑ) α,β=1 ij γkl + C ω/=ε=1 γik γjl + η/=ϑ=1 Cηϑϑηγil γjk . (10.12) В развернутом виде (10.12) имеет представления Cijkl = C1111γ(1) (1) 1122 (1) (2) (1) (3) ij γkl + C γij γkl + C1133γij γkl + + C2211γ(2) (1) (2) (2) (2) (3) ij γkl + C2222γij γkl + C2233γij γkl + + C3311γ(3) (1) (3) (2) (3) (3) ij γkl + C3322γij γkl + C3333γij γkl + + C1212γ(1) (2) (1) (2) ik γjl + C1221γil γjk + + C2112γ(2) (1) (2) (1) il γjk + C2121γik γjl + (10.13) + C1313γ(1) (3) (1) (3) ik γjl + C1331γil γjk + + C3113γ(3) (1) (3) (1) il γjk + C3131γik γjl + + C2323γ(2) (3) (2) (3) ik γjl + C2332γil γjk + + C3223γ(3) (2) (3) (2) il γjk + C3232γik γjl . Если компоненты тензора C обладают симметрией Cijkl = Cklij, то вместо (10.13) после простых вычислений получим Cijkl = C1111γ(1) (1) 2222 (2) (2) (3) (3) ij γkl + C γij γkl + C3333γij γkl + + C1122(γ(1) (2) (2) (1) (1) (3) (3) (1) ij γkl + γij γkl ) + C1133(γij γkl + γij γkl )+ + C2233(γ(2) (3) (3) (2) (1) (2) ij γkl + γij γkl ) + C1212γik γjl + (10.14) + C1221(γ(1) (2) (2) (1) (2) (1) (1) (3) il γjk + γil γjk ) + C2121γik γjl + C1313γik γjl + + C1331(γ(1) (3) (3) (1) (3) (1) (2) (3) il γjk + γil γjk ) + C3131γik γjl + C2323γik γjl + + C2332(γ(2) (3) (3) (2) (3) (2) il γjk + γil γjk ) + C3232γik γjl . В правой части (10.14) имеем 15 независимых компонент, т. е. в моментной теории ортотропный тензор четвертого ранга имеет 15 независимых компонент. Теперь, если допустим, что компоненты тензора C, кроме указанных выше, обладают еще симметрией Cijkl = Cjikl, то из (10.14) получим так ое же представление компонент ортотроп- ного тензора, какое имеет место в классической теории упругости [17, 18, 54, 57, 59] (см. так- же [9, 46, 53, 61, 79]). О ГИРОТРОПНЫХ В R2 И ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ В R3 ТЕНЗОРАХ Далее рассмотрим операцию сужения индексов и связанные с ней некоторые вопросы [5]. По- строим гиротропные и трансверсально-изотропные тензоры второго, третьего, четвертого, пятого и шестого рангов. Указажем несколько способов построения трансверсально-изотропных тензоров. Сформулируем некоторые теоремы и утверждения. Вспомним, что строчные латинские индексы принимают значения 1, 2, 3, а прописные латинские индексы - 1, 2. Греческие индексы пробегают значения в зависимости от обстоятельств. Докажем простую теорему. Теорема 11.1. Пусть имеется трехмерный тензор A произвольного ранга с компонентами i1i2···ip относительно группы преобразований координат Aj1j2···jq xi∗ = xi∗ (x1, x2, x3). (11.1) 74 ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ, ГИРОТРОПНЫЕ, ОРТОТРОПНЫЕ И ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫЕ ТЕНЗОРЫ Если все строчные латинские индексы, принимающие значения 1, 2, 3, заменить соответ- ствующими прописными латинскими индексами, пробегающие значения 1, 2, то получится I1I2···Ip экстенсив A с компонентами AJ J ···Jq , который является тензором того же ранга 1 2 относительно группы преобразований координат xI∗ = xI∗ (x1, x2), x3∗ = x3. (11.2) j Доказательство. Докажем эту теорему для случая тензора второго ранга. Пусть Ai· - смешан- · ные компоненты этого тензора. Очевидно, имеем i∗ j Ai∗· i∗ j i · i∗ ∂x j ∂x ·j ·j∗ = Di Dj∗ A , Di = ∂xi , Dj∗ = . (11.3) ∂xj∗ 3 Полагая в первом соотношении (11.3) i× = I, j× = J и учитывая в силу (11.2) равенства DI∗ = ∂xI∗ 3 ∂x3 ∂x3 = 0, DJ∗ = ∂xJ∗ = 0, получаем I∗ J AI∗· I∗ J I · I∗ ∂x J ∂x ·J ·J∗ = DI DJ∗ A , DI = ∂xI , DJ∗ = . (11.4) ∂xJ∗ Соотношениями (11.4) теорема 11.1 доказана. Теперь, прежде чем сформулировать более общую теорему, введем определения. Определение 11.1. Замена одного индекса другим у какой-нибудь величины, который про- бегает меньшее (большее) множество значений, называется операцией сужения (расширения) индекса. Определение 11.2. Замена строчного латинского индекса прописным латинским индексом на- зывается операцией минимального сужения индекса. Определение 11.3. Замена строчного латинского индекса тройкой называется операцией мак- симального сужения индекса. Определение 11.4. Замена некоторых строчных латинских индексов у компонент произволь- ного трехмерного тензора (мультипликативного базиса) прописными латинскими индексами, а остальных индексов тремя называется операцией сужения компонент тензора (мультипликатив- ного базиса). Определение 11.5. Замена некоторых немых строчных латинских индексов в представлении трехмерного тензора немыми прописными латинскими индексами, а остальных немых индексов тройкой называется операцией сужения тензора. Определение 11.6. Операция, при которой происходит минимальное сужение каждого индекса (немого индекса) у какой-нибудь величины (в представлении пространственного тензора), называ- ется операцией минимального сужения этой величины (пространственного тензора). Определение 11.7. Операция, при которой происходит максимальное сужение каждого индекса (немого индекса) у какой-нибудь величины (в представлении пространственного тензора), называ- ется операцией максимального сужения этой величины (пространственного тензора). Определение 11.8. Тензор относительно группы преобразований (11.2), получающийся с по- мощью операции минимального сужения пространственного тензора, называется минимальным сужением. Определение 11.9. Тензор относительно группы преобразований (11.2), получающийся с по- мощью операции максимального сужения пространственного тензора, называется максимальным сужением. Утверждение 11.1. Максимальное сужение компонент пространственного тензора - ска- ляр относительно группы преобразований (11.2). Определение 11.10. Число троек среди индексов вследствие операции сужения индексов у какой-нибудь величины (компонент тензора, мультипликативного базиса) называется порядком сужения этой величины (компонент тензора, мультипликативного базиса). 11. О ГИРОТРОПНЫХ В R2 И ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ В R3 ТЕНЗОРАХ 75 Утверждение 11.2. Порядок сужения тензора равен порядку сужения компонент тензора или мультипликативного базиса. Теперь сформулируем обещанную выше теорему. Теорема 11.2. Вследствие операции сужения индексов из пространственного тензора по- лучается тензор относительно группы преобразований координат (11.2). Эта более общая теорема доказывается аналогично теореме 11.1. Эти теоремы легко обобщить на случай n-мерного пространства. Здесь обобщениями заниматься не будем. Нетрудно доказать, что имеет место Утверждение 11.3. Мультипликативный базис (мультибазис) любого порядка, составлен- ный из базисных векторов r3 и r3, является инвариантным объектом (тензором) относитель- но группы преобразований координат (11.2). Кроме того, при тензорном умножении какого- либо мультибазиса, составленного из базисных векторов r3 и r3, слева и справа на любой тензор относительно группы преобразований координат (11.1) образуются инвариантные объекты (тензоры) относительно группы преобразований координат (11.2). Если такие муль- тибазисы расположить между базисными векторами в представлении какого-либо тензора относительно группы преобразований координат (11.1), то получим тензор относительно группы преобразований координат (11.2). A A Заметим, что операцию сужения индексов порядка m = r + s, где r p, s q, компонент j1j2···jq тензора можно осуществить при помощи свертывания индексов у этих компонент с i1i2···ip индексами произведения компонент ЕТВР вида gi1 gi2 ir ir+1 ir+2 ip 3 3 3 Js+1 Js+2 Jq 3 3 ··· g3 gI r+1 g Ir+2 1 2 ··· gIp gj gj s ··· gj gj s+1 g js+2 j ··· g . q Свертывая индексы i1, i1,..., ir, j1, j1,..., js последнего выражения с различными индексами ком- понент пространственного тензора, получим, вообще говоря, компоненты различных тензоров от- носительно группы преобразований координат (11.2). Следует заметить, что сказанное выше справедливо и для более частных случаев групп преоб- разований координат, чем (11.2), при условии, что при всех рассматриваемых группах преобразо- ваний координат третья координата остается неизменной (x3∗ = x3). В частности, вместо (11.2) можно рассматривать группу преобразований координат J x xI∗ = aI∗· J · , x3∗ = x3, (11.5) a где I∗· - постоянные величины, или группу трансверсальной изотропии ·J 1 ⎧ x ∗ = x1 cos ϕ + x2 sin ϕ, x ⎪⎨ 2∗ ⎪ = -x1 sin ϕ + x2 cos ϕ, (11.6) ⎩ x3∗ = x3, 0 ϕ π, которую еще называют группой преобразований T3. О двумерных гиротропных тензорах. Введем определение двумерного гиротропного тен- зора. Определение 11.11. Двумерный тензор называется гиротропным, если группа симметрии это- го тензора - собственно ортогональная группа (группа вращения) в R2. Эта группа преобразований координат представляется в виде ⎧ x ∗ = x cos ϕ + x sin ϕ, ⎪ 1 1 2 ⎨ x2∗ ⎪ = -x1 sin ϕ + x2 cos ϕ, (11.7) ⎩ 0 ϕ 2π. 76 ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ, ГИРОТРОПНЫЕ, ОРТОТРОПНЫЕ И ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫЕ ТЕНЗОРЫ Следует заметить, что число линейно независимых трансверсально-изотропных и двумерных гиротропных тензоров n-го ранга, компоненты которых не обладают никакой симметрией, вычис- ляется [9, 24, 54] по формуле 1 2π k = Г χn(gϕ)dϕ, (11.8) 2π 0 где n - ранг тензора, χn(gϕ) - характер матричного представления рассматриваемой группы пре- образований, gϕ - матрица группы преобразований. Заметим, что числа линейно независимых трансверсально-изотропных и двумерных гиротроп- ных тензоров n-го ранга совпадают с числами линейно независимых компонент этих тензоров соответственно. Далее рассмотрим различные способы составления (построения) линейно независимых двумер- ных и трансверсально-изотропных тензоров и построим эти тензоры до шестого ранга включи- тельно. В силу формулы (11.8), в которой gϕ - матрица группы преобразований (11.7), легко доказать, что имеет место Теорема 11.3. Двумерные гиротропные тензоры нечетных рангов не существуют. На основании той же формулы нетрудно показать, что число линейно независимых двумерных гиротропных тензоров нулевого ранга (скаляров) равно 1. Любой другой двумерный гиротропный тензор определяется с точностью до постоянного множителя. Аналогично можно доказать, что число линейно независимых двумерных гиротропных тензоров второго ранга равно 2. В самом деле, учитывая, что для группы преобразований (11.7) характер матричного представления χ(gϕ) = 2 cos ϕ, из (11.8) получим 1 2π 2π k = Г (2 cos ϕ)2dϕ = 1 Г (1 + cos 2ϕ)dϕ = 2. 2π 0 π 0 Нетрудно доказать, что линейно независимыми двумерными гиротропными тензорами второго I ранга является тензоры: I = rI r - двумерный единичный тензор второго ранга, который в то же IJ время - двумерный изотр опный тензор второго ранга, и C = C rI rJ двумерный дискриминантный тензор (тензор Леви-Чивиты) второго ранга. Следо вательно, общее выражение двумерного гиротропного тензора второго ранга, компоненты которого не обладают никакой симметрией, - линейная комбинация этих тензоров. Теперь рассмотрим двумерные гиротропные тензоры четвер- того ранга. В этом случае число линейно независимых тензоров равно 6. Действительно, имеем 1 1 2π k = Г (2 cos ϕ)4dϕ = 2π Г 2(3 + 4 cos 2ϕ + cos 4ϕ)dϕ = 6. 2π 0 2π 0 Аналогично вычисляется число линейно независимых двумерных гиротропных тензоров шестого ранга. Оно равно 20. В самом деле, находим 1 1 2π k = Г (2 cos ϕ)6dϕ = 2π Г 2(10 + 15 cos 2ϕ +6 cos 4ϕ + cos 6ϕ)dϕ = 20. 2π 0 2π 0 Можно вычислить число линейно независимых двумерных гиротропных тензоров более высокого ранга. Заметим, что двумерные гиротропные тензоры в то же время являются трансверсально-изо- тропными тензорами, и в силу того, что они будут рассмотрены ниже, здесь на их построении мы останавливаться не будем. О трансверсально-изотропных тензорах. Введем определение трансверсально-изотроп- ного тензора. Определение 11.12. Тензор называется трансверсально-изотропным, или монотропным, ес- ли группа симметрии этого тензора - группа трансверсальной изотропии (11.6). В рассматриваемом случае число линейно независимых тензоров n-го ранга находится по фор- муле (11.8), где теперь χ(gϕ) = 1 + 2 cos ϕ, что следует из (11.6). 11. О ГИРОТРОПНЫХ В R2 И ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ В R3 ТЕНЗОРАХ 77 Осуществляя простые выкладки, легко доказать, что число линейно независимых трансвер- сально-изотропных тензоров: а) равно 1 для множества тензоров нулевого ранга; б) равно 1 для множества тензоров первого ранга; в) равно 3 для множества тензоров второго ранга; г) равно 7 для множества тензоров третьего ранга; д) равно 19 для множества тензоров четвертого ранга; е) равно 51 для множества тензоров пятого ранга; з) равно 141 для множества тензоров шестого ранга. Далее рассмотрим способы построения трансверсально-изотропных тензоров и построим линей- но независимые тензоры до шестого ранга включительно. Известно [54], что тензорный базис группы трансверсальной изотропии составляют тензоры I = rI rI = γ (1) + γ(2) , E = EIJ rI rJ , r3 (11.9) или тензоры E = riri, E = EIJ rI rJ , r3, (11.10) где ri - единичный базисный векто р. Другими словами, тензоры (11.9) и (11.10) являются образующими тензорами группы трансверсальной изотропии. Очевидно, с помощью этих тензоров, группируя их подходящим образом и перебирая всевозмож- ные случаи, можно составить множество всех линейно независимых трансверсально-изотропных тензоров заданного ранга. Это - один из различных способов построения этих тензоров. Назовем его методом группировки и перебора. Нетрудно заметить, что трансверсально-изотропный тензор нулевого ранга - скаляр, а любой другой скаляр определяется с точностью до постоянного множителя. Аналогично легко показать, что трансверсально-изотропный тензор первого ранга - r3, а общее выражение для трансверсаль- но-изотропного тензора первого ранга имеет вид a = λr3, где λ - некоторое число. Так как число линейно независимых трансверсально-изотропных тензоров второго ранга равняется 3 и два тензора I и E - линейно независимые трансверсально-изотропные тензоры второго ранга, то третий тензор вт орого ранга должен быть составлен с помощью r3. Очевидно, таким тензором будет r3r3. Таким образом, линейно независимыми трансверсально-изотропными тензорами второго ранга являются тензоры I = rI rI, E = EIJ rI rJ , γ (3) = r3r3. (11.11) Общий вид трансверсально- изотропног о тензора втор ого ранга a, компоненты которого не обладают никакой симметрией, - линейная комбинация тензоров (11. 11), т. е. a = a I + b EE + c r3r3. (11.12) Если a - симметричный тензор (a = aT ), то b = 0 , и из (11.12) получим следующее представление a = a I + c r3r3 при a = aT . (11.13) Нетрудно доказать, что имеют м еста следующие утвер жде ния: Утверждение 11.4. Для любого изотропного или трансверсально-изотропного тензора A тензоры EIJ rI ArJ , rI ArI, r3Ar3 являются трансверсально-изотропными тензорами. Утверждение 11.5. Изотропные тензоры в то же время являются трансверсально-изот- ропными тензорами. Утверждение 11.6. Тензоры rI rJ rI rJ , EKLrI rK rI rL, EIJ rI rK rJ rK, EIJ EKLrI rK rJ rL являются трансверсально-изотропными тензорами. Нетрудно заметить, что с помощью тензоров (11.9) или (11.10), группируя их и перебирая всевозможные случаи, а также учитывая утверждения 11.4-11.6, можно составить множество всех линейно независимых трансверсально-изотропных тензоров заданного ранга. Это один из различных способов построения этих тензоров. Назовем его методом группировки и перебора. С помощью этого метода, используя тензоры (11.9) или (11.11) и r3 (группируя их и учитывая 78 ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ, ГИРОТРОПНЫЕ, ОРТОТРОПНЫЕ И ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫЕ ТЕНЗОРЫ утверждение 11.4), нетрудно построить семь линейно независимых трансверсально-изотропных тензоров. Они имеют вид Ir3, r3I, rI r3rI, Er3, r3E, EIJ rI r3rJ , r3r3r3 = γ (3) r3 = r3γ (3) . (11.14) Трансверсально-и зотропн ый тензор третье го ранга, компоненты которого н е обладают никакой симметрией, является линейной комбинацией тензоров (11.14). Легко показать, что три из тензоров (11.14) содержатся в представлении пространственного гиротропного тензора E (тензора третьего ранга) E = E r3 + r3 E - EIJ rI r3rJ . Итак, пространственный гиротропный тензор - специальная линейная комбинация трех из семи линейно независимых трансверсально-изотропных тензоров третьего ранга. Нетрудно построить и линейно независимые трансверсально-изотропные тензоры четвертого ранга. Эти тензоры можно составить методом группировки и перебора тензоров (11.11) и с помо- щью утверждений 11.4-11.6. В результате получим следующие тензоры: I I, rI rJ rI rJ , rI IrI , E E, EKLrI rK rI rL, EIJ rI rK rJ rK , EIJ EKLrI rK rJ rL, E r Er , I E, E I , r E r , E r Ir , Iγ(3), γ(3)I, Eγ(3), γ(3)E, r γ(3)r , E r γ(3)r , (11.15) IJ I J I I IJ I J I I IJ I J γ(3)γ 3, r Ir , r r r r , r r r r , r Er , E r r r r , E r r r r . 3 3 3 I 3 I I 3 I 3 3 3 IJ 3 I 3 J IJ I 3 J 3 Ита к, всего построено 25 трансверс ально-изотропных тензоров четвертого ранга. Однако не все они линейно независимы. Как известно, число последних равняется 19, т. е. среди тензо- ров (11.15) имеются шесть лишних. Нетрудно доказать, что тензоры, которые содержат r3 (их число равно 13), линейно независимы. Из оставшихся 12 двумерных тензоров надо выбрать шесть линейно независимых, которые, очевидно, вместе с остальными 13 тензорами создадут линейно независимую систему. Введем для двумерных тензоров следующие обозначения: C(1) = I I, C(2) = rI rJ rI rJ , C(3) = rI IrI , C(4) = I E, C(5) = EKLrI rK rI rL, C = E r I r , a = E E, a = E E r r r r , a = E r Er , a = E I, (11.16) (6) IJ I J (1) (2) IJ KL I K J L (3) IJ I J (4) a = E r r r r , a = r Er . (5) IJ I K J K (6) I I Нетрудн о доказать, что меж ду тензо рами (11.16) имеются следующие связи: (1) a = C (2) - C (3) , a (2) = C(1) - C(3) , a(3) = C (1) - C(2), (11.17) a (4) = C (6) - C (5) , a (5) = C (6) - C (4) , a (6) = C (5) - C (4). Таким образом, ш естью с оотнош ениям и (11. 17) меж ду со бой св язаны 12 тензоров (11.16). Отсюда можно заключить, что в качестве линейно независимых можно выбрать шесть любых линей- но независимых тензоров из множества 12 тензоров (11.16). В частности, например, в качестве линейно независимых можно выбрать первые шесть тензоров из (11.16) или последние шесть. Следует заметить, что тензоры (11.16) в то же время являются двумерными гиротропными тензорами четвертого ранга. Так как в качестве линейно независимых двумерных гиротропных (трансверсально-изотропных) можно рассматривать, например, тензоры = I I, C = r r r r , C = r Ir , C = I E, C = E r r r r , C = E r Ir , (11.18) C(1) (2) I J I J (3) I I (4) (5) KL I K I L (6) IJ I J C то дв умерн ы й г иротропный (тр ансверс альн о-изот р опн ый) тензор четверт ого ранга , компоненты которого не обладают никакой симметрией, будет являться линейной комбинацией этих тензоров, т. е. I J C = CIJKLr r rK rL 6 k = }, C k=1 ( C k) , (11.19) где C , k = 1, 6 - некоторые чные от нуля постоянны Заметим, что первые три тензора k отли е. из (11.18) представляют собой двумерные изотропные тензоры четвертого ранга, которые, конечно, являются минимальными сужениями соответствующих пространственных изотропных тен- зоров четвертого ранга. Поэтому для них сохранены те же самые обозначения, которые имели пространственные тензоры. Если компоненты тензора C обладают симметрией CIJKL = CKLIJ , 11. О ГИРОТРОПНЫХ В R2 И ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ В R3 ТЕНЗОРАХ 79 то C4 = C5 = C6 = 0 (равенство нулю этих постоянных будет доказано ниже), и в этом случае вместо (11.19) будем иметь I J C = CIJKLr r rK rL = 3 C }, k ( C k). (11.20) k=1 Заметим, что (11.20) является представлением двумерного изотропного (гиротропного) тензора четвертого ранга, компоненты которого обладают симметрией CIJKL = CKLIJ . Видно, что он имеет три независимых компоненты. Теперь вернемся к рассмотрению пространственного случая. Для тензоров, которые содержат r3, введем обозначения: C(7) = Iγ (3) , C (8) = Eγ (3) , C (9) = γ(3) I, C (10 = γ(3) E, C (11) = rI r3rI r3, C = E r r r r , C = r γ(3)r , C = E r γ( 3)r , C = r Ir , (11.21) (12) IJ I 3 J 3 (13) I I (14) IJ I J (15) 3 3 C = r Er , C = r r r r , C = E r r r r , C = γ(3)γ3. (16) 3 3 (17) 3 I 3 I (18) IJ 3 I 3 J (19) Следоват но, тен ры и (11.21) едставляют собой е лин н независимые пространель зо (11.18) пр вс ей о ственные трансверсально-изотропные тензоры четвертого ранга. Поэтому пространственный транс- версально-изотропный тензор четвертого ранга, компоненты которого не обладают никакой сим- метрией, имеет 19 независимых компонент и является линейной комбинацией тензоров (11.18) и (11.21), т. е. C = Cijklr r r r 19 = }, C C(k), (11.22) i j k l k k=1 где Ck, k = 1, 19 - некоторые, отличные от нуля, постоянные. Представим (11.22) в компонентах: Cijkl = C1Iij Ikl + C2Iik Ijl + C3IilIjk + C4Iij Ekl + C5Iik Ejl+ (3) (3) (3) (3) +C6EilIjk + C7Iijγkl + C8Eijγkl + C9γij Ikl + C10γij Ekl+ (3) (3) (3) (3) (3) (11.23) +C11Iik γjl + C12Eikγjl + C13Iilγjk + C14Eilγjk + C15γil Ijk + (3) (3) (3) (3) (3) +C16γil Ejk + C17γik Ijl + C18γik Ejl + C19γij γkl , где Iij = δMiδMj, Eij = EMN δMiδNj = -Eji. На основании (11.23) легко усмотреть, что отличными от нуля являются следующие компоненты: CIJKL = C1δIJ δKL + C2δIKδJL + C3δILδJK + C4δIJ EKL + C5δIKEJL + C6EILδJK, CIJ 33 = C7δIJ + C8EIJ , C33KL = C9δKL + C10EKL, CI3K3 = C11δIK + C12EIK, CI33L = C13δIL + C14EIL, C3JK3 = C15δJK + C16EJK , C3J 3L = C17δJL + C18EJL, C3333 = C19. (11.24) С помощью (11.24) простым подсчетом приходим к тому, что трансверсально-изотропный тензор четвертого ранга, компоненты которого не обладают никакой симметрией, имеет 41 отличную от нуля компоненту, среди которых число независимых компонент равно 19. Из первого соотноше- ния (11.24) легко получаем C1111 = C2222 = C1 + C2 + C3, C1112 = -C2221 = C4 + C5 + C6, C1122 = C2211 = C1, C1121 = -C2212 = -C4, C1212 = C2121 = C2, C1211 = -C2122 = -C5, C1221 = C2112 = C3, C2111 = -C1222 = -C6. Отсюда видно, что имеют место соотношения C1111 = C2222 = C1122 + C1212 + C1221 = C2211 + C2121 + C2112, C1112 = -C2221 = -(C1121 + C1211 + C2111) = C2212 + C2122 + C1222. (11.25) (11.26) 80 ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ, ГИРОТРОПНЫЕ, ОРТОТРОПНЫЕ И ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫЕ ТЕНЗОРЫ Из остальных соотношений (11.24) находим C1133 = C2233 = C7, C1233 = -C2133 = C8, C3311 = C3322 = C9, C3312 = -C3321 = C10, C1313 = C2323 = C11, C1323 = -C2313 = C12, C1331 = C2332 = C13, C1332 = -C2331 = C14, C3113 = C3223 = C15, C3123 = -C3213 = C16, C3131 = C3232 = C17, C3132 = -C3231 = C18, C3333 = C19. (11.27) На основании (11.25) и (11.27) компоненты Cijkl тензора C представим в матричном виде. Будем иметь C1111 C1122 C1133 C1112 C1121 C1122 C1111 C1133 -C1121 -C1112 C3311 C3311 C3333 C3312 -C3312 C1211 C1222 C1233 C1212 C1221 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C1313 C1331 C1323 C1332 C3113 C3131 C3123 C3132 -C1323 -C1332 C1313 C1331 -C3123 -C3132 C3113 C3131 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ - (C) = ⎜ C ⎜ 1222 -C1211 -C1233 C1221 C1212 ⎟ ⎟ (11.28) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 0 0 0 0 0 Теперь допустим, что компоненты Cijkl обладают симметрией Cijkl = Cklij. Тогда, меняя местами пар индексов IJ и KL в первом соотношении (11.24) и приравнивая правые части полученного соотношения и первого соотношения (11.24), получим C4(δIJ EKL - EIJ δKL)+ C6(EILδJK - δILEJK ) = 0. Так как это соотношение выполняется при любых значениях I, J, K, L, из простых вычислений находим C4 = 0, C6 = 0. С учетом этого и вторых равенств второй и третьей строк (11.25) и второго соотношения (11.26) можно доказать, что C5 = 0. Тогда из первого соотношения (11.24) получим соотношение CIJKL = C1δIJ δKL + C2δIKδJL + C3δILδJK, которое, конечно, является представлением (11.20) в компонентах, а из остальных соотношений находим C7 = C9, C8 = C10, C12 = 0, C13 = C15, C14 = -C16, C18 = 0. (11.29) Вводя обозначения ak ≡ Ck, a4 ≡ C7 = C9, a5 ≡ C8 = C10, a6 ≡ C11, a7 ≡ C13 = C15, a8 ≡ C14 = -C16, a9 ≡ C17, a10 ≡ C19 и учитывая (11.29), соотношения (11.23) можно представить в виде (3) (3) (3) (3) Cijkl = a1Iij Ikl + a2Iik Ijl + a3IilIjk + a4(Iijγkl + γij Ikl)+ a5(Eijγkl + γij Ekl)+ (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (11.30) +a6Iikγjl + a7(Iilγjk + γil Ijk )+ a8(Eilγjk - γil Ejk )+ a9γik Ijl + a10γij γkl . Отсюда или из (11.24) имеем CIJKL = CKLIJ = a1δIJ δKL + a2δIKδJL + a3δILδJK, CIJ 33 = C33IJ = a4δIJ + a5EIJ , CI3K3 = a6δIK, CI33L = C3LI3 = a7δIL + a8EIL, C3J 3L = a9δJL, C3333 = a10. Нетрудно заметить, что из (11.26) остается соотношение (11.31) C1111 = C2222 = C1122 + C1212 + C1221 = C2211 + C2121 + C2112. (11.32) 11. О ГИРОТРОПНЫХ В R2 И ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ В R3 ТЕНЗОРАХ 81 Таким образом, если компоненты тензора C симметричны относительно первой и последней пар индексов, то тензор имеет 10 независимых ко мпонент. В рассматриваемом случае матрица (11.28) получит вид C1111 C1122 C1133 C1122 C1111 C1133 C1133 C1133 C3333 0 0 C3312 C1212 C1221 0 0 0 0 0 0 -C3312 C1221 C1212 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C331 2 -C331 2 0 0 0 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ (C ) = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 0 0 0 0 0 C1313 C1331 0 C1332 ⎜ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ , (11.33) ⎟ ⎟ ⎟ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ где в силу (11.32) имеем ⎟ C1331 C3131 -C1332 0 ⎟ ⎠ 0 -C1332 C1313 C1331 ⎟ C1332 0 C1331 C3131 C1111 = C1122 + C1212 + C1221. (11.34) Видно, что в матрице (11.33) отличны от нуля 29 компонент, из которых независимы 10. Далее, если допустить, что компоненты тензора C, кроме симметрии относительно первой и последней пар индексов, обладают еще симметрией о тносительно, например, последних двух индексов, т. е., если Cijkl = Cklij = Cijlk, то из (11.31) находим a2 = a3, a5 = 0, a6 = a7 = a9, a8 = 0. (11.35) На основании (11.35) заключаем, что в рассматриваемом случае тензор C имеет пять независимых компонент. При этом симметрия относительно первых двух индексов к омпонент следует из уже имеющихся симметрий. Вводя обозначения Λ1 = a1, Λ2 = a2, Λ3 = a4, Λ4 = a6, Λ5 = a10, (11.30) можно представить в виде (3) (3) Cijkl = Cklij = Cijlk = Λ1Iij Ikl + Λ2(Iik Ijl + IilIjk )+ Λ3(Iijγkl + γij Ikl)+ (3) (3) (3) (3) (3) (3) (11.36) +Λ4(Iikγjl + Iilγjk + γil Ijk + γik Ijl)+ Λ5γij γkl . Отсюда или из (11.31) получаем CIJKL = Λ1δIJ δKL + Λ2(δIKδJL + δILδJK ), CIJ 33 = Λ3δIJ , CI3K3 = Λ4δIK, C3333 = Λ5. Кроме того, из (11.32) имеем C1212 = (C1111 -C1122)/2. Заметим, что (11.36) совпадает с точностью до обозначения коэффициентов с представлением этих компонент, которое приведено в [17, 18, 54, 57, 59] (см. также [9, 46, 53, 79]). Аналогично методом группировки и перебора можно построить линейно независимые транс- версально-изотропные тензоры любого ранга, в частности, и тензоры пятого и шестого рангов. Однако ниже мы построим линейно независимые тензоры пятого и шестого рангов иным путем, который назовем методом свертки (свертывания) и перебора. Из структур тензоров (11.9), (11.11), (11.14), (11.18) и (11.22) видно, что их еще можно по- строить из соответствующих мультипликативных базисов (мультибазисов), составляя из них с помощью сужения индексов те мультибазисы (не из всех мультибазисов, полученных сужением индексов, можно построить рассматриваемые тензоры), на основании которых путем свертывания индексов с индексами двумерных символов Кронекера и Леви-Чивиты можно построить искомые тензоры. Следует заметить, что трансверсально-изотропные тензоры четного (нечетного) ранга можно построить из мультибазисов, которые получаются из соответствующих мультибазисов с помощью четных (нечетных) порядков сужения. Сказанное выше можно оформить в виде теоремы. Теорема 11.4. Для построения трансверсально-изотропных тензоров четного (нечетного) ранга достаточно из соответствующего мультибазиса с помощью четных (нечетных) поряд- ков сужения составить всевозможные мультибазисы и индексы полученных путем операции 82 ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ, ГИРОТРОПНЫЕ, ОРТОТРОПНЫЕ И ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫЕ ТЕНЗОРЫ сужения мультибазисов свернуть с индексами двумерных символов Кронекера и Леви-Чивиты, перебирая всевозможные случаи. При этом в множестве тензоров заданного ранга, постро- енном указанным выше методом, содержатся все линейно независимые трансверсально-изо- тропные тензоры. Ниже, используя эту теорему, построим линейно независимые трансверсально-изотропные тен- зоры пятого и шестого рангов. Сперва построим тензоры пятого ранга. В этой связи с помощью нечетных порядков (первого, третьего, пятого) сужения мультибазиса rirj rk rlrm переберем всевозможные базисы. Будем иметь rI rJ rK rLr3, rI rJ rK r3rL, rI rJ r3rK rL, rI r3rJ rK rL, r3rI rJ rK rL; rI rJ r3r3r3, rI r3rJ r3r3, rI r3r3rJ r3, rI r3r3r3rJ , r3rI r3r3rJ , r3r3rI r3rJ , r3rI r3rJ r3, r3r3r3rI rJ , r3rI rJ r3r3, r3r3rI rJ r3; r3r3r3r3r3. (11.37) Итак, всего получили 16 мультибазисов, с помощью которых, свертывая их с двумерными символами Кронекера δMN и Леви-Чивиты EST и перебирая всевозможные случаи свертки, получим множество трансверсально-изотропных тензоров пятого ранга, среди которых будут линейно независимые тензоры. Видно, что число мультибазисов в (11.37), порядок сужения которых равен 1, равняется C1 5 = 5; число мультибазисов, порядок сужения которых равен 3, равно C3 5 = 10, и наконец, в (11.37) имеется один C5 = 1 мультибазис (максимальное сужение пространственного 5 мультибазиса), который состоит из одних r3. Теперь к каждому мультибазису, содержащему один раз r3 (первые пять из (11.37)), применим опрацию свертывания, аналогичные использованным для составления тензоров (11.18). Тогда из каждого мультибазиса получим по шесть линейно независимых тензоров. При этом в представле- нии каждого из полученных тензоров r3 займет вполне определенное место. Например, из первого мультибазиса указанным выше способом получим тензоры, которые можно получить из (11.18), если справа им приписать r3. Аналогично из пятого мультибазиса получаются тензоры, которые можно получить, если тензорам (11.18) слева приписать r3. Из второго мультибазиса получаются тензоры, которые можно получить, если на четвертое место (слева направо) среди базисных век- торов каждого тензора (11.18) поместить r3. Аналогично из третьего и четвертого мультибазисов можно построить тензоры, которые получим, поместив r3 на третье и второе места соответственно среди базисных векторов каждого тензора (11.18). Таким образом, из первых пяти мультибази- сов (11.37) всего находим 30 линейно независимых трансверсально-изотропных тензоров пятого ранга. Нетрудно заметить, что из каждого мультибазиса, содержащего три раза r3, можно построить по два трансверсально-изотропных тензора, свертывая каждый из них первый раз с двумерным символом Кронекера, а другой раз с двумерным символом Леви-Чивиты. Так как число мульти- базисов, содержащих три раза r3, равно 10, то всего из них получим 20 линейно независимых тензоров пятого ранга. Последний мультибазис из (11.37), который есть максимальное сужение, является трансверсально-изотропным тензором пятого ранга. Таким образом, из (11.37) методом свертки и перебора построили систему линейно независи- мых трансверсально-изотропных тензоров пятого ранга, состоящую из 51 тензора, как и требуется. С целью сокращения письма выписывать их не будем. Заметим только, что доказать линейную независимость построенных тензоров не представляет никакой сложности, поэтому на этом оста- навливаться не будем. Разумеется, трансверсально-изотропный тензор пятого ранга, компоненты которого не облада- ют никакой симметрией, является линейной комбинацией 51 тензора и, следовательно, имеет 51 линейно независимую компоненту. Рассмотрение различных случаев симметрии не представляет труда, поэтому и на этом останавливаться не будем. Теперь построим линейно независимые трансверсально-изотропные тензоры шестого ранга. Прежде всего заметим, что из мультибазисов, которые получаются вследствие нечетного поряд- ка сужения трехмерного мультибазиса шестого порядка rirj rk rlrmrn, нельзя составить искомые тензоры. Действительно, для составления какого-нибудь трансверсально-изотропного тензора из мультибазиса, полученного сужением соответствующего пространственного мультибазиса, надо учитывать, что он должен содержать четное число базисных векторов с прописными латинскими О ГИРОТРОПНЫХ В R2 И ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ В R3 ТЕНЗОРАХ 83 индексами, так как только в таком случае можно свертывать его с двумерными символами Кро- некера и Леви-Чивиты (символы имеют по два индекса). При этом мультибазис, в котором число прописных латинских индексов равняется нулю, т. е. все индексы в нем равны 3, в любом слу- чае будет один (он называется максимальным сужением и является трансверсально-изотропным тензором; в этом случае четное число равно нулю). В силу теоремы 11.4 в рассматриваемом случае посредством четных порядков (нулевого, второ- го, четвертого и шестого) сужения пространственного мультибазиса rirj rk rlrmrn надо составить всевозможные мультибазисы. Сперва составим такие, которые не содержат r3 (такой мультибазис, называемый минимальным сужением пространственного мультибазиса, будет C0 = 1) и содержат 6 3 r два раза (число таких мультибазисов будет C2 = 15). Будем иметь 6 rI rJ rK rLrM rN , rI rJ rK rLr3r3, rI rJ rK r3rLr3, rI rJ r3rK rLr3, rI r3rJ rK rLr3, r3rI rJ rK rLr3; rI rJ r3r3rK rL, rI r3rJ r3rK rL, r3rI rJ r3rK rL, rI rJ r3rK r3rL; r3r3rI rJ rK rL, r3rI r3rJ rK rL, r3rI rJ rK r3rL; rI r3r3rJ rK rL, rI r3rJ rK r3rL, rI rJ rK r3r3rL. (11.38) Теперь нетрудно составить мультибазисы, которые содержат r3 четыре раза. Действительно, такие мультибазисы (их число будет равняется C4 6 = 15) можно получить из мультибазисов, содержащих r3 два раза, заменяя в них прописные латинские индексы на 3, а индексы, равные 3, на прописные латинские индексы. Следовательно, мультибазис, который содержит шесть раз r3 и называется максимальным сужением пространственного мультибазиса, будет C6 = 1. В результате 6 получим следующие мультибазисы: r3r3r3r3rI rJ , r3r3r3rI r3rJ , r3r3rI r3r3rJ , r3rI r3r3r3rJ , rI r3r3r3r3rJ ; r3r3rI rJ r3r3, r3rI r3rJ r3r3, rI r3r3rJ r3r3, r3r3rI r3rJ r3; rI rJ r3r3r3r3, rI r3rJ r3r3r3, rI r3r3r3rJ r3; r3rI rJ r3r3r3, r3rI r3r3rJ r3, r3r3r3rI rJ r3; r3r3r3r3r3r3. (11.39) Теперь сначала из первого мультибазиса (11.38) составим все линейно независимые двумерные трансверсально-изотропные (гиротропные) тензоры шестого ранга, число которых, как было по- казано выше, равно 20. Следует заметить, что множество этих тензоров содержат все линейно независимые двумерные изотропные тензоры шестого ранга, получающиеся из пространственных изотропных тензоров (9.5) вследствие операции минимального сужения. Следовательно, имеет место Утверждение 11.7. Двумерные изотропные тензоры являются минимальными сужениями соответствующих трехмерных изотропных тензоров. При этом минимальные сужения ли- нейно независимых трехмерных изотропных тензоров представляют собой линейно незави- симые двумерные изотропные тензоры. В силу этого утверждения из тензоров (9.5) посредством операции минимального сужения по- лучим все 15 двумерных линейно независимых изотропных тензоров шестого ранга. Вводя обозна- чения для тензоров шестого ранга через C(α) и сохраняя использованные выше обозначения для двумерного ЕТВР и тензоров четвертого р ангов (11.18), имеем следующие линейно независимые двумерные изотропные тензоры шестого ранга: (1) C(1) = I I I = C I = IC (1) , C(2) = IC (2) , C(3) = IC (3) , C(4) = C I, (2) C = C I, C = r C r , C = r C r , C = r C r , C = r Ir r r , (5) (3) (6) I (1) I (7) I (2) I (8) I (3) I (9) I J I J C = r r Ir r , C = r r r Ir , C = r r r r r r , C = r r r r r r , (11.40) (10) I J I J (11) I J I J (12) I J I K J K (13) I J K I J K C = r r r r r r , C = r r r r r r . (14) I J K I K J (15) I J K J I K Так как о тензоры (11.40) в т же время являются двумерными трансверсально-изотропными тензо- рами шестого ранга, то в виде (11.40) имеем 15 линейно независимых двумерных трансверсаль- но-изотропных (гиротропных) тензоров шестого ранга. До полной системы линейно независимых тензоров не хватает 5 тензоров. Очевидно, в качестве их можно взять любые отличные от (11.40) 84 ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ, ГИРОТРОПНЫЕ, ОРТОТРОПНЫЕ И ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫЕ ТЕНЗОРЫ пять линейно независимых двумерных трансверсально-изотропных тензоров шестого ранга, кото- рые вместе с тензорами (11.40) будут составлять линейно независимую систему из 20 тензоров. С целью построения недостающих тензоров рассмотрим тензоры I = rI rI, C(1) = I I, C = r r r r , C = r Ir , (2) I J I J I I E = E r r , C = E r Ir , C = I E , C = E r r r r (11.41) . IJ I J (4) IJ I J (5) (6) KL I K I L Следует зам что с пом ю тензо в составить все линейно независимые етить, ощь ро (11.41) можно двумерные трансверсально-изотропные тензоры шестого ранга. Для этого достаточно тензоры I и E сгруппировать друг с другом и с остальными тензорами, а также, используя утверждение 1 1.4 , составить тензоры шестого ранга. Это еще один способ построения искомых тензоров. Нетрудно заметить, что тензоры C(16) = rI C r , C = r C r , C = r C r , C = IC , C = C I, (11.42) I (17) I (5) I (18) I (6) I (19) (5) (20) (4) обра нные выше етодом помо ю пе го и лед тре зоров (11.41) зова указанным м с щь рво пос них х тен и которые, конечно, еще можно получить методом свертки и перебора, являются линейно неза- висимыми. Кроме того, они и тензоры (11.40) вместе составляют линейно независимую систему. Таким образом, в качестве линейно независимых двумерных трансверсально-изотропных тензоров шестого ранга могут быть рассмотрены тензоры (11.41) и (11.42), число которых равно 20. Теперь заметим, что из каждого мультибазиса (11.38), начиная со второго, используя те сверты- вания, которые были бы применены при составлении тензоров (11.18) методом свертки и перебора (каждый из них содержат по четыре базисных вектора с прописными латинскими индексами), получим по 6 линейно независимых трансверсально-изотропных тензоров шестого ранга. Так как число таких базисов равно 15, то всего получим 6 × 15 = 90 тензоров. Они будут линейно неза- висимыми. Теперь выпишем некоторые из этих тензоров. Например, для того, чтобы из второго мультибазиса (11.38) получить искомые тензоры, достаточно тензорам (11.18) справа приписать γ(3) = r3r3. Продолжая нумерацию тензоров шестого ранга, имеем C(21) C (24) = C (1) = C (4) γ(3), C γ (3), C (22) (25) = C = C (2) (5) C γ(3), (23) C γ (3), (26) = C (3) = C (6) γ(3), (11.43) γ (3). Нетрудно заметить, из муль бази (1 1.38) ожн пол учить тензоры, полученные что 11-го ти са м о (3) из (11.43), меняя местами тензоры C(α), α = 1, 6 и γ . Выпишем еще тензоры, которые полу- чим из третьего мультибазиса (11.38) . Будем иметь C(27) = IrK r3rK r3, C(28) = rI rJ rI r3rJ r3, C(29) = rI Ir3rI r3, C = IE r r r r , C = E r r r r r r , C = E r Ir r (11.44) r . (30) KL K 3 L 3 (31) KL I K I 3 L 3 (32) IJ I 3 J 3 Следует з из этого м тибазиса аналогично после (11.16) можно соста- аметить, что вить следующие тензоры: уль шести дним A(1) = EEKLrK r3rLr3, A(2) = EIJ EKLrI rK rJ r3rLr3, A(3) = EIJ rIEr3rJ r3, A = Er r r r , A = E r r r r r r , A = r Er r r , (4) K 3 K 3 (5) IJ I K J 3 K 3 (6) I 3 I 3 для которых ог е оотношения представ я в де анал ичны (11.17) с ляютс ви A(1) = C(28) - C(29), A(2) = C(27) - C(29), A(3) = C(27) - C(28), A (4) = C (32) - C (31) , A (5) = C (32) - C (30) , A (6) = C (31) - C (30), т. е. они выраж я ч ез те оры овер нно ало о мо но составить искомые аютс ер нз (11.44). С ше ан гичн ж тензоры из остальных мультибазисов (11.38). Поэтому с целью сокращения письма на их постро- ении останавливаться не будем. Далее из каждого мультибазиса (11.39), кроме последнего, свертывая их с двумерными символа- ми Кронекера и Леви-Чивиты, можно построить по два линейно независимых трансверсально-изо- тропных тензора шестого ранга. Очевидно, из 15 мультибазисов всего получим 2 × 15 = 30 тензо- ров. Последний мультибазис (максимальное сужение) представляет собой трансверсально-изотроп- ный тензор шестого ранга. Простой подсчет показывает, что всего составлено 20 + 90 + 30 + 1 = 141 О ТЕНЗОРАХ МОДУЛЯ R2p(Ω) 85 трансверсально-изотропный тензор шестого ранга. Система этих тензоров будет линейно незави- симой. Таким образом, трансверсально-изотропный тензор шестого ранга, компоненты которого не обладают никакой симметрией, является линейной комбинацией системы линейно независимых трансверсально-изотропных тензоров шестого ранга, состоящей из 141 тензора, т. е. такой тензор имеет 141 линейно независимую компоненту. Следовательно, если компоненты тензора обладают какой-нибудь симметрией, то число независимых компонент такого тензора меньше 141. Из из- ложенного выше видно, что не представляет большого труда приведенными выше методами при необходимости построить линейно независимые изотропные, ортотропные и трансверсально-изо- тропные тензоры произвольного ранга n > 6. ГЛАВА 4 ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ТЕНЗОРА И ТЕНЗОРНО-БЛОЧНОЙ МАТРИЦЫ ЛЮБОГО ЧЕТНОГО РАНГА Рассмотрены задачи на собственные значения тензора и тензорно-блочной матрицы любого чет- ного ранга. В явном виде построена полная ортонормированная система собственных тензоров для симметрического тензора любого четного ранга, а также полная ортонормированная система собственных тензорных столбцов для симметрической тензорно-блочной матрицы любого четного ранга. Приведены некоторые приложения к механике. 12. О ТЕНЗОРАХ МОДУЛЯ R2p(Ω) Рассмотрим некоторые вопросы, связанные с тензорами модуля R2p(Ω) и носящие вспомогатель- ный характер при дальнейшем изложении материала. Здесь R2p(Ω) - множество действительных тензоров ранга 2p, p - некоторое неотрицательное целое число, Ω - некоторая область n-мерного риманова пространства Rn. Следовательно, R2p(Ω) и Rp(Ω) (множество действительных тензоров ранга p) являются модулями над кольцом скаляров R0(Ω) (множеством действительных тензо- ров нулевого ранга), т. е. R2p(Ω) и Rp(Ω) представляют R0(Ω)-модуль [5, 36, 80]. Тензоры модуля R2p(Ω) можно представить в различных мультибазисах. Например, если 2pA и 2pC - тензоры мо- дуля R2p(Ω), то они могут иметь отличные друг от друга представления: 2pA = Ai1i2···ip j1j2···jp Ri1i2···ip R j1j2···jp = Ai· RiRj, (12.1) · j 2pC = Ci1i2···p j1 jp i1i2...ip j1j2···jp i· · j где j1j2···jp ri1 r ··· rip r = C j1j2···jp Ri1i2···ip = C· j Ri· , (12.2) Ri i i i i i j1j2···jp 1 2··· p = r 1 r 2 ··· r p , R = rj1 rj2 ··· rjp i1i2 ip 1 r , R j1j2···jp = ri j1 ··· j2 ri2 r jp ··· rip r , s p i1, i2,..., ip, j1, j2,..., jp = 1, n, rs · rt = δt, s, t = 1, n, i = №{i1, i2,..., ip}, i j = №{j1, j2,..., jp}, Ri ⊗ Rj = δj, i, j = 1,N, N = np. p i Здесь δj - дельта Кронекера, ⊗ - знак внутреннего p-произведения [5, 36, 80]. Следовательно, rs и rt, s, t = 1,n - биортонормальные системы базисов относительно скалярного произведения или 1 внутреннего 1-произведения ⊗, Ri Rj, i, j = 1,N - биортонормальные системы мультибазисов или базисов модуля Rp(Ω) относительно операции внутреннего p-произведения (p-кратного внутренне- го произведения). Заметим, что в дальнейшем для тензоров модуля Rp(Ω) в зависимости от удобства применяются p-индексное и одноиндексное представления. Так что, если pU ∈ Rp(Ω), то будем иметь 1 2 pU = Ui i ...i R i1i2···ip p = Ui1i2...ip i Ri1i2···ip = UiR = UiRi, i1, i2,..., ip = 1, n, i = 1,N. (12.3) Следует отметить, что в научной литературе в основном рассматривается представление тензо- ров модуля R2p(Ω) в виде (12.1), и такие типы тензоров довольно хорошо изучены [5, 9-11, 36, 54, 80] и другие. Однако, к сожалению, автору мало известно о работах, в которых рассматривались 86 ГЛАВА 4. ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ТЕНЗОРА И ТЕНЗОРНО-БЛОЧНОЙ МАТРИЦЫ ЛЮБОГО ЧЕТНОГО РАНГА тензоры типа (12.2). Такие тензоры находят применение в приложениях (см. ниже), поэтому их рассмотрение заслуживает внимания1. Следует отметить, что соотношениями (12.1) и (12.2) даны 2p-индексное и двуиндексное пред- ставления тензоров 2pA и 2pC модуля R2p(Ω). При этом в двуиндексном представлении ранг тензора сохраняется, что позволяет упростить выкладки, связанные с этими тензорами. Отметим также, что нумерацию элементов множества числовых последовательностей {i1, i2,..., ip}, i1, i2,..., ip = 1,n можно производить, например, следующим образом: если i = №{i1, i2,..., ip}, p p-1 то i = i1 + }, nk-1(ik - 1) или i = ip + }, nk (ip k - 1), i ,i ,...,i = 1, n. k=2 - k=1 1 2 p Далее, предполагая, если противное не будет оговорено, что 2pA обозначает тензор типа (12.1) модуля R2p(Ω), а 2pC - тензор типа (12.2), введем некоторые определения. Определение 12.1. Тензор модуля R2p(Ω), обозначаемый 2pAT и определяемый формулой 2pAT = (Ai · j T i · j i j i1i2···ip j1j2···jp j RiR ) = A R Ri = A RiR = A R Ri i ···i , i, j = 1,N, j j · j1j2···jp 1 2 p (12.4) N = np, i = №{i1, i2,..., ip}, j = №{j1, j2,..., jp}, i1, i2,..., ip, j1, j2,..., jp = 1, n, называется транспонированным с 2pA ∈ R2p(Ω) тензором. Определение 12.2. Тензор модуля R2p(Ω), обозначаемый 2pCT и определяемый формулой 2pCT = Ci1i2···ip j1j2···jp i · j · j1j2···jp j1 jp j1j2···jp R i1i2···ip = C· j R· i , R i1i2···ip = r ri1 ··· r rip , i, j = 1,N, (12.5) N = np, i = №{i1, i2,..., ip}, j = №{j1, j2,..., jp}, i1, i2,..., ip, j1, j2,..., jp = 1, n, называется транспонированным с 2pC ∈ R2p(Ω) тензором. Определение 12.3. Тензор модуля R2p(Ω), который равен своему транспонированному, называ- ется симметрическим. Определение 12.4. Тензор модуля R2p(Ω), который коммутирует со своим транспонированным, называется нормальным. На оснований определения 12.4 заключаем, что симметрический тензор модуля R2p(Ω) является нормальным. См. ниже аналогичные приведенным выше определения для комплексных тензоров. В модуле R2p(Ω) помимо операций сложения и умножения на скаляр можно вводить операции внутреннего p-произведения и внутреннего (2p)-произведения (скалярного умножения) для тензо- ров типа (12.1), а также операции p-произведения (p-кратного произведения) и (2p)-произведения (скалярного умножения) для тензоров типа (12.2). Определим эти операции. Пусть 2pA и 2pB - тензоры типа (12.1), а 2pC и 2pD - типа (12.2). Определение 12.5. Внутренним p-произведением тензоров 2pA и 2pB типа (12.1) модуля R2p(Ω) p называется тензор, обозначаемый 2pA ⊗ 2pB, компоненты которого определяются следующим образом: p (2pA ⊗ 2pB)i1i2···ip i1i2···ip k1k2···kp В силу (12.6), очевидно, имеем p j1j2···jp = A k1k2···kp B j1j2···jp . (12.6) k1k2···kp B 2pA ⊗ 2pB = Ai1i2···ip R R k1k2···kp j1j2···jp i1i2···ip j1j2···jp . (12.7) Из (12.6) видно, что при внутреннем p-произведении двух тензоров у каждого тензора, участву- ющего в этой операции, происходит p-кратное сокращение индексов. В этой связи во внутреннем p-произведении могут участвовать только те тензоры, ранг которых не меньше p. Кроме того, на основании (12.6) (см. также (12.7)) заключаем, что при внутреннем p-произведении тензоров типа (12.1) модуля R2p(Ω) в результате получается тензор такого же ранга и типа, что и сомно- жители. Число p назовем кратностью внутреннего p-произведения. Если p=0, т. е. если при произведении тензоров не происходит сокращение индексов, то такое произведение называется 1Напоминаем, что применяются обычные правила тензорного исчисления [5, 9-11, 21, 36, 37, 54, 80, 81]. В частности, по повторяющимся индексам в одночлене происходит суммирование. Знак прямого тензорного умножения «⊗» часто опускается, индекс «T » в верхнем правом углу означает операцию транспонирования. 12. О ТЕНЗОРАХ МОДУЛЯ R2p(Ω) 87 0 прямым произведением. В этом случае вместо 2pA ⊗ 2pB будем писать 2pA ⊗ 2pB. Если pA и pB - тензоры p-го ранга модуля Rp(Ω), то при внутреннем p-произведении этих тензоров часто будем p опускать знак ⊗ и просто писать pApB или (pA, pB). В этом случае внутреннее p-произведение назовем просто внутренним или скалярным произведением. Оно, конечно, выражается формулой pApB = (pA, pB) = Ai i i Bi1i2···ip . (12.8) Следовательно, аналогично (12.8) имеем 1 2··· p 2pA2pB = (2pA, 2pB) = Ai1i2···ip j1j2···jp j1j2···jp Bi1i2···ip . Следует заметить, что, если внутреннее произведение mAmB, где mA и mB тензоры модуля Rm(Ω), m - произвольное неотрицательное целое число, обращается в нуль для любого тензора mB, то mA = 0. Определение 12.6. Два тензора mA и mB модуля Rm(Ω), где m - произвольное неотрицатель- ное целое число, называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т. е. m (mA, mB) = mA ⊗ mB = 0. p Определение 12.7. Тензор, обозначаемый 2pC 0 2pD и компоненты которого определяются следующим образом: (2pC 0 2pD)i1i2···ip p l1l2···lp = C D i1i2···ip j1j2···jp , (12.9) j1j2···jp l1l2···lp называется p-произведением (p-кратным произведением) тензоров 2pC и 2pD типа (12.2) модуля R2p(Ω). p Из (12.9) видно, что тензор 2pC 0 2pD будет иметь выражение p j1j2···jp D r r l2 lp 2pC 0 2pD = Ci1i2···ip j1j2···jp l1 l1l2···lp i1 ri2 r ··· rip r = j j j D = Ci1i2···ip 1 2··· p = Ci1i2···ip (r r k1k2···kp j1 l1l2···lp i1 k1k2···kp j1 jp ··· rip r l1 l1 p ) 0 (rk1 r j2 lp ··· rkp r ) = l2 jp lp (12.10) j1j2···jp D l1l2···lp (ri1 r rk1 r )(ri2 r rk2 r ) ··· (rip r rkp r ). На основании (12.10) заключаем, что при p-произведении двух тензоров типа (12.2) модуля R2p(Ω) первая пара базисных векторов (начиная слева) тензора 2pC однократно умножается на первую пару базисных векторов тензора 2pD, вторая пара на вторую пару и т. д., последняя пара на последнюю пару. При таком умножении в результате получается тензор, ранг и тип которого такие же, как у сомножителей. Число p, как и выше при внутреннем p-произведении, назовем кратно- стью p-произведения. Если p = 0, то, так же как при внутреннем p-произведении, не происходит сокращение индексов, и мы имеем дело с прямым тензорным произведением. Следовательно, и в этом случае аналогично внутреннему p-произведению происходит p-кратное сокращение индек- сов у каждого тензора-сомножителя. Если кратность произведения равна 2p, то в этом случае по определению имеем 2p 2p j1j2···jp D 2pC 0 2pD = 2pC ⊗ 2pD = (2pC, 2pD) = Ci1i2···ip j1j2···jp i1i2···ip (12.11) Следует отметить, что в модуле R2p(Ω) относительно введенных выше операций умножения имеются единичные тензоры. В частности, относительно операции внутреннего p-произведения в множестве тензоров типа (12.1) модуля R2p(Ω) единичным тензором (2p)-го ранга является тензор 2pE = ri ri ··· ri ri1 ri2 ··· rip = RiRi = gj RiRj = 1 2 p i (12.12) = gj1 gj2 ··· gjp ri1 ri2 ··· rip rj rj ··· rj , i1, i2,..., ip, j1, j2,..., jp = 1, n, i,j = 1,N. i1 i2 ip 1 2 p Следовательно, для любого тензора 2pA ∈ R2p(Ω) типа (12.1) будем иметь p p 2pA ⊗ 2pE = 2pE ⊗ 2pA = 2pA. (12.13) С помощью 2pE первый инвариант тензора 2pA ∈ R2p(Ω) типа (12.1) выражается формулой 2p 2p i1i2···ip I1(2pA) = 2pA ⊗ 2pE = 2pE ⊗ 2pA = (2pE, 2pA) = Ai1i2···ip . (12.14) 88 ГЛАВА 4. ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ТЕНЗОРА И ТЕНЗОРНО-БЛОЧНОЙ МАТРИЦЫ ЛЮБОГО ЧЕТНОГО РАНГА Аналогично (12.12) относительно операции p-произведения в множестве тензоров типа (12.2) модуля R2p(Ω) единичный тензор (2p)-го ранга имеет вид p 2pG = 2 2 2 i1 i2 ip i1 i2 ip j1 j2 jp (12.15) E E ··· E = ri1 r ri2 r ··· rip r = gj1 gj2 ··· gjp ri1 r ri2 r ··· rip r , i где 2E = riri = gj rirj, i, j = 1,n - единичный тензор второго ранга относительно операции ik k однократного умножения. Здесь gjk = ri · r , k = 1, p, gj = Ri ⊗ R , i, j = 1,N. p jk j i Для любого тензора 2pC ∈ R2p(Ω) типа (12.2) аналогично (12.13) имеет место соотношение p p 2pC ⊗ 2pG = 2pG ⊗ 2pC = 2pC. (12.16) Первый инвариант тензора 2pC ∈ R2p(Ω) типа (12.2) посредством единичного тензора 2pG аналогично (12.14) представляется в форме 2p 2p i1i2···ip I1(2pC) = 2pC ⊗ 2pG = 2pG ⊗ 2pC = (2pG, 2pC) = Ci1i2···ip . (12.17) Определители обоих типов тензоров определяются как определители смешанных компонент этих тензоров, т. е. det(2pA) = det(Ai1i2···ip ) = det(Aj ·), det(2pC) = det(Ci1i2···ip ) = det(Cj ·), j1j2···jp i j1j2···jp · i (12.18) i1, i2,..., ip, j1, j2,..., jp = 1, n, i,j = 1,N, N = np. Определители этих тензоров - инвариантные величины. О других инвариантах этих тензоров речь пойдет ниже при рассмотрении проблемы построения полной системы собственных тензоров для тензора любого четного ранга. 13. ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И ПОСТРОЕНИЕ ПОЛНОЙ СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ТЕНЗОРОВ ДЛЯ СИММЕТРИЧНОГО ТЕНЗОРА ЛЮБОГО ЧЕТНОГО РАНГА Задача на собственные значения для комплексного тензора любого четного ранга была рассмот- рена в [5]. Эта проблема более подробно изучалась в [35]. Однако, в явном виде не была построена полная ортонормированная система собственных тензоров. Ниже эта проблема решается для симметричного тензора типа (12.1) модуля R2p(Ω) (см. также [39, 40]). С точки зрения приложения к механике большой интерес представляет решение этой проблемы для положительно определенного симметричного тензора модуля R2p(Ω), который, конечно, является частным случаем симметрич- ного тензора модуля R2p(Ω). В этой связи решение этой проблемы для симметричного тензора означает, что она будет решена и для частного случая. Определение 13.1. Симметричный тензор 2pA типа (12.1) модуля R2p(Ω) называется положиp p тельно определенным, если образуемая по нему квадратичная форма pU ⊗ 2pA ⊗pU положительна для любого отличного от нуля тензора pU модуля Rp(Ω). Заметим, что, когда из контекста видно, о тензорах каких рангов идет речь, с целью сокращения письма индексы у тензоров в верхнем левом углу мы часто будем опускать, т. е. вместо 2pA и pU будем писать A и U соответственно. Однако, в тех случаях, когда их присутствие необходимо, они применяются. Сформулируем теперь задачу на собственные значения некоторого тензора A ∈ R2p(Ω). Задача на собственные значения для A ∈ R2p(Ω). Для некоторого тензора A ∈ R2p(Ω) найти все тензоры U модуля Rp(Ω), которые удовлетворяют уравнению p A ⊗ U = λU, (13.1) где λ - скаляр. Естественно, можно рассматривать и следующую задачу: для некоторого тензора A ∈ R2p(Ω) найти все тензоры V модуля Rp(Ω), которые удовлетворяют уравнению p V ⊗ A = μV, (13.2) 13. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И ПОЛНАЯ СИСТЕМА СОБСТВЕННЫХ ТЕНЗОРОВ ДЛЯ СИММЕТРИЧНОГО ТЕНЗОРА ЧЕТНОГО РАНГА 89 где μ - скаляр. Уравнения (13.1) и (13.2) всегда имеют тривиальные решения U = 0 и V = 0 соответствен- но, где 0 - нулевой тензор p-го модуля Rp(Ω). В этой связи в дальнейшем, говоря о решениях уравнений (13.1) и (13.2), всегда будем иметь в виду только нетривиальные решения. При этом следует отметить, что нетривиальные решения уравнения (13.1) и (13.2) определяются с точностью до произвольного скалярного множителя, поэтому при желании подбором скалярных множителей всегда можно их нормировать так, чтобы нормы решений равнялись единице. Таким образом, если U /= 0 - нетривиальное решение уравнения (13.1), то будем считать, что его норма / p / ||U|| = U ⊗ U = /(U, U) = Ui1i2···ip Ui1i2···ip = 1. Наша цель - изучить условия существования нетривиальных решений уравнений (13.1) и (13.2) и указать способы их построения. Если для некоторого скаляра λ (μ) уравнение (13.1) ( (13.2)) имеет нетривиальное решение U ∈ Rp(Ω) (V ∈ Rp(Ω)), то λ (μ) называется собственным значением тензора A ∈ R2p(Ω), а U ∈ Rp(Ω) (V ∈ Rp(Ω))- правым (левым) собственным тензором, соответствующим собственному значению λ (μ). Нетрудно заметить, что из (13.1) и (13.2) получим системы линейных однородных уравнений p p (λE - A) ⊗ U = 0, V ⊗ (μE - A) = 0 (13.3) относительно неизвестных тензоров U и V модуля Rp(Ω). Нетривиальные решения системы уравнений (13.1) и (13.2) существуют тогда и только тогда, когда их определители равны нулю: det(λE - A) = 0, det(μE - A) = 0, откуда следует, что λ = μ. Однако при произвольном A ∈ R2p(Ω), вообще говоря, U /= V. Если AT = A, то U = V. Полином N -ой степени P (λ) = det(λE - A) по λ называется определяющим, или характери- стическим, полиномом тензора A, а уравнение P (λ) = 0 - его определяющим, или характери- стическим, уравнением. Таким образом, из сказанного выше заключаем, что для нахождения правого и левого соб- ственных тензоров для произвольного тензора A ∈ R2p(Ω) вместо (13.3) следует рассматривать следующие системы однородных линейных уравнений: p p (λE - A) ⊗ U = 0, V ⊗ (λE - A) = 0. (13.4) При этом достаточно рассматривать, например, первое уравнение из (13.4), так как второе урав- нение можно рассматривать аналогично первому. Хотя, найдя правые собственные тензоры для A ∈ R2p(Ω) из первой системы уравнений (13.4), с их помощью, не решая вторую систему, можно построить левые собственные тензоры; и обратно, найдя левые собственные тензоры для A, на их основании можно определить правые собственные тензоры. Ниже подробно изучен случай по- ложительно определенного симметричного тензора A ∈ R2p(Ω). Для симметричного тензора, как было сказано выше, и тем более для положительно определенного симметричного тензора модуля R2p(Ω) нет различия между правым и левым собственными тензорами. Кроме того, в этом случае всегда существует полная система собственных тензоров. Нетрудно заметить, что, например, первую систему уравнений (13.4) в компонентах можно записать следующим образом: (λE j1j2···jp j1j2···jp i1i2···ip - Ai1i2···ip )Uj1j2···jp = 0, i1, i2,..., ip, j1, j2,..., jp = 1, n, или, используя двуиндексное для тензоров (2p)-го ранга и одноиндексное для тензоров p-го ранга представления, будем иметь (λδj - Aj )Uj = 0, i, j = 1,N, N = np. (13.5) i i 90 ГЛАВА 4. ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ТЕНЗОРА И ТЕНЗОРНО-БЛОЧНОЙ МАТРИЦЫ ЛЮБОГО ЧЕТНОГО РАНГА Видно, что в виде (13.5) получили однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных Uj, i, j = 1,N. Число уравнений совпадает с числом неизвестных. Сле- довательно, аналогично сказанному выше относительно систем уравнений (13.3), система уравне- ний (13.5) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда выполняется условие det(λE - A) = 0. (13.6) Запишем (13.6) в развернутом виде. Будем иметь λN - I1(A)λN-1 + I2(A)λN-2 + ... + (-1)sIs(A)λN -s + ... + (-1)N IN (A) = 0, (13.7) где N = np, IN (A) = det A = 1 δ j1j2···jN Ai1 · Ai2 · ··· AiN · , δ j1j2···jN = Ci i i Cj1j2···jN , N ! i1i2···iN j1 j2 jN i1i2···iN 1 2··· N i1, i2,..., is, j1, j2,..., js = 1,N, δ j1j2···jN i1i2···iN - обобщенная дельта Кронекера, Ci1i2···iN и C j1j2···jN компоненты обобщенного дис- криминантного тензора, Im(A), m = 1,N - алгебраические (классические) инварианты тензора A ∈ R2p(Ω), которые вычисляются по формулам 1 Is(2pA) = I1(2psM) = s! s = 0,N, N = np. ∗ I1(2psM ) = I1(2p(N-s)M ) = 1 (N - s)! I1(2p(N-s)M ∗), (13.8) Тензоры 2psM и 2psM, называемые тензором и расширенным тензором миноров (2ps)-го ранга и s-го порядка соответственно, представляются в виде Ai1 · i1 · i1 · · j1 A· j2 ··· A· js A A ··· A i2 · i2 · i2 · 2psM = Mi1i2···is j1 j2 js i1i2···is j1 · j2 · js j1j2···js Ri1 R Ri2 R ··· Ris R , M j1j2···js = , ··· ··· ··· ··· (13.9) Ais · is · is · 1 i1 < i2 < ··· < is N, 1 j1 < j2 < ··· < js N, · j1 A· j2 ··· A· js Ai1 · i1 · i1 · · j1 A· j2 ··· A· js A A ··· A i2 · i2 · i2 · 2psM = Mi1i2···is j1 j2 js i1i2···is j1 · j2 · js j1j2···js Ri1 R Ri2 R ··· Ris R , M j1j2···js = , ··· ··· ··· ··· (13.10) Ais · is · is · i1, i2,..., is, j1, j2,..., js = 1,N, · j1 A· j2 ··· A· js ∗ а тензоры 2p(N-s)M и 2p(N-s)M ∗, называемые тензором и расширенным тензором алгебраических дополнений 2p(N - s)-го ранга и s-го порядка соответственно, имеют выражения M 2p(N-s) ∗ R = M j1j2···jN -s i1 ∗i1i2···iN -s i2 Rj1 R Rj2 ··· R iN-s - RjN s , j1j2···jN -s 1 j1j2···jN -sjN-s+1···jN iN-s+1 · iN · M∗i1i2···iN -s = s! δi1i2···iN -siN-s+1···iN A· jN-s+1 ··· A· jN , 1 i1 < i2 < ··· < iN-s N, 1 j1 < j2 < ··· < jN-s N, iN-s+1,... iN , jN-s+1,... jN = 1,N, (13.11) 2p(N-s)M ∗ = M R j1j2···jN -s i1 ∗i1i2···iN -s i2 Rj1 R Rj2 ··· R iN-s - RjN s , j1j2···jN -s 1 j1j2···jN -sjN-s+1···jN iN-s+1 · iN · (13.12) M∗i1i2···iN -s = s! δi1i2···iN -siN -s+1···iN A· jN-s+1 ··· A· jN , i1, i2,... iN , j1, j2,... jN = 1,N. При этом полагаем, что 1 ∗ I0(2pA) = I1(0M) = I1(0M ) = I1(2pN M ) = N ! I1(2pN M ∗) = 1, (13.13) 1 IN (2pA) = I1(2pN M) = I1(2pN M ) = I1(0M ) = I (0M ) = det(2pA) = |2pA|. N ! ∗ 1 ∗ 13. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И ПОЛНАЯ СИСТЕМА СОБСТВЕННЫХ ТЕНЗОРОВ ДЛЯ СИММЕТРИЧНОГО ТЕНЗОРА ЧЕТНОГО РАНГА 91 Следует отметить, что соответствующие тензору миноров (13.9) и расширенному тензору мино- ров (13.10) тензор алгебраических дополнений (2ps)-го ранга и (N -s)-го порядка и расширенный тензор алгебраических дополнений (2ps)-го ранга и (N - s)-го порядка соответственно представ- ляются в форме M 2ps ∗ R = M j1j2···js i1 ∗i1i2···is i2 Rj1 R is Rj2 ··· R Rjs , s 2p j1j2···js ∂ | A| 1 j1j2···jsjs+1···jN is+1 · iN · M∗i1i2···is = ∂Ai1 · i2 · is · ··· = δ A A , (N - s)! i1i2···isis+1···iN · js+1 · jN · j1 ∂A· j2 ··· ∂A· js 1 i1 < i2 < ··· < is N, 1 j1 < j2 < ··· < js N, is+1,... iN , js+1,... jN = 1,N, s 2p (13.14) 2psM = ∂ | A| j1j2···js i1 i2 is ∗ ∂(2pA)s = M∗i1i2···is R Rj1 R Rj2 ··· R Rjs , j1j2···js 1 j1j2···jsjs+1···jN is+1 · iN · (13.15) M∗i1i2···is = (N - s)! δi1i2···isis+1···iN A· js+1 ··· A· jN , i1, i2,..., iN , j1, j2,..., jN = 1,N. Из соответствующих формул (13.9) - (13.12) и (13.14), (13.15) видно, что тензор и расши- ренный тензор миноров, а также тензор и расширенный тензор алгебраических дополнений суть кососимметричные тензоры типа (12.2) (их компоненты полностью кососимметричны как отно- сительно последовательности нижних индексов, так и относительно последовательности верхних индексов). В этой связи первые инварианты, имеющиеся в соотношении (13.8), нужно вычислять по формуле (12.17). Используя соотношения, вытекающие из формул Ньютона [7, 15, 74], связывающих степенные суммы с основными (элементарными) симметрическими полиномами и выражающие, в свою оче- редь, основные симметрические полиномы через степенные суммы и обратно [15, 74], инварианты Sk = Ik (2pA), k = 1,N (см. (13.8)), входящие в (13.7), можно еще определить следующим образом: Sk = Ik (2pA) = 1 k! s1 1 0 0 0 ··· 0 0 s2 s1 2 0 0 ··· 0 0 s3 s2 s1 3 0 ··· 0 0 s4 s3 s2 s1 4 ··· 0 0 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· , k = 1,N, (13.16) sk-1 sk-2 sk-3 sk-4 sk-5 ··· s1 k - 1 где sk sk-1 sk-2 sk-3 sk-4 ··· s2 s1 k p p p (13.17) sk = I1((2pA)k ), k = 1,N, (2pA)k = 2pA⊗2pA⊗·· ·⊗2pA. Обратные к (13.16) соотношения представляются в виде sk = I1((2pA)k ) S1 1 0 0 ··· 0 0 2S2 S1 1 0 ··· 0 0 = 3S3 S2 S1 1 ··· 0 0 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· (k - 1)Sk-1 Sk-2 Sk-3 Sk-4 ··· S1 1 kSk Sk-1 Sk-2 Sk-3 ··· S2 S1 , k = 1,N. (13.18) Следует отметить, что, имея выражения для тензора миноров (13.9) и соответствующего ему тензора алгебраических дополнений (13.14), обобщенную теорему Лапласа о разложении опреде- лителя можно записать в виде ps ps где ∗ ∗ 2psM 0 2psMT = 2psMT 0 2psM = |2pA|2psC, (13.19) 2psC = Ci1i2···is j1 j2 js p j j i1i2···is i1i2···is j1j2···js Ri1 R Ri2 R ··· Ris R , Ri ⊗ R = δi , Cj1j2···js = C Cj1j2···js , i, j = 1,N, 1 i1 < i2 < ··· < is N, 1 j1 < j2 < ··· < js N. 92 ГЛАВА 4. ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ТЕНЗОРА И ТЕНЗОРНО-БЛОЧНОЙ МАТРИЦЫ ЛЮБОГО ЧЕТНОГО РАНГА Для расширенного тензора миноров (13.10) и соответствующего тензора алгебраических допол- нений (13.15) аналогичное (13.19) соотношение будет иметь форму ps ps где M = M M 2psM 2ps T 2ps T 2ps 0 ∗ 0 ∗ = s!|2pA|2psC, (13.20) j1j2···js Ri1 R 2psC = Ci1i2···is j1 j2 Ri2 R js ··· Ris R , C = C i1i2···is j1j2···js i1i2···is Cj1j2···js , i1, i2,..., is, j1, j2,..., js = 1,N. Нетрудно заметить, что в компонентах (13.19) можно записать следующим образом: Mi1i2···is k1k2···ks k1k2···ks i1i2···is 2p i1i2···is k1k2···ks M∗j1j2···js = M j1j2···js M∗k1k2···ks = | A|Cj1j2···js , 1 i1 < i2 < ··· < is N, 1 j1 < j2 < ··· < js N, (1 k1 < k2 < ··· < ks N ), (13.21) а запись в компонентах (13.20) получится из равенства (13.21), если в нем M и C заменить на M и C соответственно и индексам придавать произвольные значения, т. е. im, jm, km = 1,N, m = 1, s. Заметим, что если p = 1, то из (13.19) или из (13.21) получим обычную теорему Лапласа. Далее приведем некоторые определения и теоремы из [36, 80], применяемые при дальнейшем изложении материала данной главы (см. также соответствующие определения и теоремы во второй главе). Определение 13.2. Система правых (левых) собственных тензоров для тензора A ∈ C2p(Ω) (A ∈ R2p(Ω)), состоящая из N = np линейно независимых тензоров модуля Cp(Ω) (Rp(Ω)), на- зывается полной системой правых (левых) собственных тензоров для тензора A ∈ C2p(Ω) (A ∈ R2p(Ω)). Вспомним, что здесь C2p(Ω) и Cp(Ω) - модули комплексных тензоров (2p)-го и p-го ранга со- ответственно (над кольцом комплексных скаляров). Нетрудно видеть, что полная система правых (левых) собственных тензоров для тензора A ∈ C2p(Ω) (A ∈ R2p(Ω)) является некоторым базисом модуля Cp(Ω) (Rp(Ω)), размерность которого равна N. Число N - также степень характеристиче- ского уравнения тензора A. Определение 13.3. Тензор A ∈ R2p(Ω) называется тензором простой структуры, если он имеет N линейно независимых собственных тензоров, где N = np - число измерений модуля Rp(Ω). Сформулируем теперь важную теорему 8.3 (см. также [36, 80]) в немного иной форме. Теорема 13.1. Если A ∈ C2p(Ω) - тензор простой структуры, то сопряженный тензор A∗ также имеет простую структуру, и при этом можно так выбрать полные системы собствен- ных тензоров Uk, k = 1,N и Vl, l = 1,N из модуля Cp(Ω) для тензоров A и A∗ соответственно, чтобы они были биортонормальны, т. е. чтобы имели место соотношения p k (Uk, Vl) = Uk ⊗ Vl = δl , i, j = 1,N. Здесь, конечно, (Uk, Vl) означает скалярное произведение комплексных тензоров Uk и Vl из модуля Cp(Ω). Нетрудно заметить, что аналогичную теореме 13.1 теорему для тензоров модуля R2p(Ω) можно сформулировать следующим образом. Теорема 13.2. Если A ∈ R2p(Ω) - тензор простой структуры, то левая и правая полные системы собственных тензоров для A можно выбрать таким образом, чтобы они были биор- тонормальны. Введем еще определения, которые находят многократное применение в дальнейшем. Определение 13.4. Система тензоров U1, U2,..., Um (1 m N ) модуля Cp(Ω) или модуля Rp(Ω) называется ортонормированной, если выполняются условия (Uk, Ul) = δkl, k, l = 1, m, 1 m N. (13.22) 13. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И ПОЛНАЯ СИСТЕМА СОБСТВЕННЫХ ТЕНЗОРОВ ДЛЯ СИММЕТРИЧНОГО ТЕНЗОРА ЧЕТНОГО РАНГА 93 Заметим, что в модуле Cp(Ω) (Rp(Ω)) всегда существует ортонормированный базис, так как из любой линейно независимой системы тензоров модуля Cp(Ω) (Rp(Ω)) процедурой ортонормиро- вания Грама-Шмидта [5, 36, 80] всегда можно получить ортонормированную систему тензоров. Заметим также, что ортонормированный базис модуля Cp(Ω) (Rp(Ω)) состоит из N = np тензоров, так как размерность модуля Cp(Ω) (Rp(Ω)) равна N. Определение 13.5. Ортонормированная система собственных тензоров A ∈ C2p(Ω) (A ∈ R2p(Ω)), состоящая из N тензоров модуля Cp(Ω) (Rp(Ω)), называется полной ортонормированной системой собственных тензоров. Определение 13.6. Тензор четного ранга называется квадратным, если матрица его компо- нент квадратная. Определение 13.7. Тензор четного ранга называется левым, или нижним (правым, или верх- ним), треугольным [унитреугольным], если матрица его компонент левая или нижняя (правая или верхняя) треугольная [унитреугольная]. Следует заметить, что на основании определения 4.11 заключаем, что единичный (единичный), унитарный (ортогональный) и эрмитовый (симметричный) тензоры модуля C2p(Ω) (R2p(Ω)), а так- же кососимметричный тензор модуля R2p(Ω) - нормальные тензоры. Кососимметричный тензор модуля C2p(Ω) является нормальным, если его действительная и мнимая части коммутируют. В силу теоремы 8.7 все эти тензоры имеют полную ортонормированную систему собственных тензоров. Докажем теперь следующую теорему. Теорема 13.3. Если A ∈ R2p(Ω) - тензор простой структуры, то он имеет полные систе- мы правых и левых [нормированных] собственных тензоров, и если найдена полная система правых (левых) [нормированных] собственных тензоров, то биортонормальная для нее систе- ма будет полной системой левых (правых) [нормированных] собственных тензоров. Доказательство. Проведем доказательство в том случае, когда известна полная система правых собственных тензоров, так как остальные случаи можно рассматривать аналогично. Итак, пусть Uk, k = 1,N - полная система правых собственных тензоров для тензора A ∈ R2p(Ω), т. е. p A ⊗ Uk = λk Uk, ≡k = 1,N⊆. (13.23) Обозначим через Ul, l = 1,N, биортонормальную для Uk, k = 1,N систему. Тогда имеют место условия биортонормальности p p k Uk ⊗ Ul = Ul ⊗ Uk = δl , k, l = 1,N. (13.24) Умножая (в качестве операции умножения рассматривается внутреннее p-произведение) обе1 части (13.23) слева на Ul и учитывая (13.24), получим p p k Ul ⊗ A ⊗ Uk = λkδl , ≡k = 1,N⊆, l = 1,N. (13.25) Далее, умножая обе части (13.25) на тензорное произведение UlUk со следующим суммиро- ванием по l и k от 1 до N включительно и учитывая, что единичный тензор модуля R2p(Ω) относительно операции внутреннего p-произведения можно представить в виде N E = }, Uk Uk = k=1 N }, Uk Uk, (13.26) k=1 получим каноническое представление тензора A ∈ R2p(Ω) в форме N A = }, λk Uk Uk. (13.27) k=1 Наконец, умножая обе части (13.27) слева на Ul и учитывая (13.24), будем иметь p Ul ⊗ A = λlUl, ≡l = 1,N⊆, 1Запись ∗k = 1,N) означает, что по повторяющемся индексу k не происходит суммирования. Аналогичная запись применяется и в дальнейшем. 94 ГЛАВА 4. ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ТЕНЗОРА И ТЕНЗОРНО-БЛОЧНОЙ МАТРИЦЫ ЛЮБОГО ЧЕТНОГО РАНГА что и завершает доказательство теоремы. Заметить, что при доказательстве теоремы одновременно получили каноническое представление тензора A ∈ R2p(Ω) в виде (13.27). Отметим также, что для какой-нибудь системы линейно неза- висимых тензоров модуля Rp(Ω) построить соответствующую биортонормальную систему тензоров не представляет труда. Прежде всего заметим, что так как, как было сказано выше, N - размер- ность модуля Rp(Ω), то для линейной независимости некоторой системы тензоров U1, U2,..., Uk модуля Rp(Ω) необходимо, чтобы 1 k N = np. Рассмотрим теперь матрицу Gij = Gji = (Ui, Uj ), i, j = 1, k, 1 k N = np. (13.28) Видно, что G - определитель Грама, составленный для системы тензоров U1, U2,..., Uk мо- дуля Rp(Ω), 1 k N (скалярное произведение - внутреннее p-произведение). Поэтому в силу теоремы 3.2 система тензоров U1, U2,..., Uk модуля Rp(Ω), 1 k N, линейно независима тогда и только тогда, когда G = det(Gij ) /= 0. На основании теоремы 3.2 теперь можно доказать следующую теорему (см. также теорему 3.4): Теорема 13.4. Для любой линейно независимой системы тензоров U1, U2,..., Uk модуля Rp(Ω), 1 k N, существует биортонормальная система U1, U2,..., Uk. Доказательство. Пусть U1, U2,..., Uk - линейно независимая система тензоров модуля Rp(Ω), 1 k N. Тогда в силу теоремы 3.2 определитель Грама G для этой системы отличен от нуля и, конечно, существует единственная обратная к (13.28) матрица Gkl, k, l = 1,N, удовлетворяющая условиям i GilGlj = δj, i, j,l = 1, k, 1 k N. (13.29) Рассмотрим теперь систему тензоров Ui = GilUl, i, l = 1, k, 1 k N. (13.30) Умножая обе части (13.30) скалярно на Uj и учитывая (13.29), получим i (Ui, Uj ) = δj, i, j = 1, k, 1 k N. (13.31) В силу (13.31) заключаем, что построенная с помощью формул (13.30) система тензоров является искомой биортонормальной системой. Теорема доказана. Нетрудно заметить, что обратные к (13.30) соотношения имеют вид Ui = Gij Uj, i, j = 1, k, 1 k N. (13.32) На основании доказанной теоремы 13.4 можно заключить, что если система тензоров U1, U2,..., UN - некоторый базис модуля Rp(Ω), то тензоры U1, U2,..., UN , построенные с помощью формул (13.30), при условии, что индексы пробегают значения от 1 до N включительно, образуют для U1, U2,..., UN биортонормальную систему. В этом случае, конечно, матрицы Gij и Gij, i, j = 1,N можно использовать при жонглировании индексами у компонент тензоров (см. (13.30) и (13.32)). Зная каноническое представление невырожденного тензора A ∈ R2p(Ω) в виде формулы (13.27), можно определить его любую целую степень. В самом деле, для любого целого числа α имеем формулу Aα = N k }, λαUk Uk, (13.33) k=1 которую при α /= -1 и α /= 0 можно доказать методом математической индукции, а при α = -1 и α = 0 будем иметь N k Uk U A-1 = }, λ-1 k k=1 , A0 N = }, k=1 k λ0 Uk Uk N = }, k=1 Uk Uk = E. (13.34) Прежде чем доказать формулы (13.34), заметим, что имеет место следующая теорема. 13. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И ПОЛНАЯ СИСТЕМА СОБСТВЕННЫХ ТЕНЗОРОВ ДЛЯ СИММЕТРИЧНОГО ТЕНЗОРА ЧЕТНОГО РАНГА 95 Теорема 13.5. Если U (V)- правый (левый) собственный тензор невырожденного тензора A ∈ R2p(Ω), соответствующий собственному значению λ, то он в то же время будет правым (левым) собственным тензором обратного к A тензора A-1, соответствующим собственно- му значению λ-1. Доказательство. Из условия теоремы имеем p p A ⊗ U = λU, V ⊗ A = λV. (13.35) Кроме того, в силу определения обратного тензора справедливы формулы: p p A-1 ⊗ A = E, A ⊗ A-1 = E. (13.36) Умножая первую формулу (13.36) справа скалярно на U, а вторую - слева на V, в силу (13.35) после простых преобразований получим p p A-1 ⊗ U = λ-1U, V ⊗ A-1 = λ-1V. (13.37) Формулы (13.37) доказывают теорему 13.5. Следует заметить, что если тензор A ∈ R2p(Ω) имеет представление (13.27), т. е. Uk, k = 1,N - полная система правых собственных тензоров, а Ul, l = 1,N - полная система левых собственных тензоров, то в силу теоремы 13.5, в частности, на основании формул (13.37) имеем p p A-1 ⊗ Uk = λ-1Uk, Ul ⊗ A-1 = λ-1Ul, ≡k, l = 1,N⊆. (13.38) k l Докажем теперь формулы (13.34). Доказательство. В силу (13.26) и первой формулы (13.38) находим p N p N A-1 = A-1 ⊗ E = k }, A-1 ⊗ Uk Uk = }, λ-1Uk Uk, что доказывает первую формулу (13.34). k=1 k=1 Докажем и вторую формулу (13.34). На основании (13.26), (13.27), первой формулы (13.34) и условий биортонормальности собственных тензоров имеем p A0 = A ⊗ A-1 = N p }, λkλ-1Uk Uk ⊗ UlUl = N }, λkλ-1Ukδk Ul = N }, λkλ-1Uk Uk = l k,l=1 N N l l k,l=1 k k=1 = }, (λk )0Uk Uk = k=1 }, Uk Uk = E. k=1 Таким образом, что и требовалось доказать. A0 = N }, (λk )0Uk Uk = k=1 N }, Uk Uk = E, k=1 Очевидно, тот же самый результат мы получили бы, если бы исходили из равенства A0 = p A-1 ⊗ A. Следует отметить, что имеет место теорема Гамильтона-Кэли, которую можно сформулировать следующим образом. Теорема 13.6. Всякий тензор A ∈ R2p(Ω) удовлетворяет своему характеристическому уравнению. На доказательстве этой теоремы останавливаться не будем. Она доказывается аналогично тео- реме 6.3. Рассмотрим теперь симметричный тензор A ∈ R2p(Ω). Собственные значения (корни харак- теристического уравнения) симметричного тензора действительны, а также в этом случае, как было сказано выше, нет различия между правыми и левыми собственными тензорами. Кроме то- го, собственные тензоры, соответствующие попарно различным собственным значениям, попарно ортогональны. Следовательно, и нормированные собственные тензоры попарно ортогональны, а 96 ГЛАВА 4. ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ТЕНЗОРА И ТЕНЗОРНО-БЛОЧНОЙ МАТРИЦЫ ЛЮБОГО ЧЕТНОГО РАНГА собственные тензоры, соответствующие какому-нибудь кратному корню, образуют подпростран- ство модуля Rp(Ω), размерность которого равна кратности корня характеристического уравнения тензора A ∈ R2p(Ω). Следовательно, любой базис этого подпространства состоит из собственных тензоров тензора A ∈ R2p(Ω). Он - нормальный тензор и поэтому в силу теоремы 8.7 всегда имеет полную ортонормированную систему собственных тензоров. Конечно, полная ортонормированная система собственных тензоров симметричного тензора A ∈ R2p(Ω) является некоторым ортонорми- рованным базисом модуля Rp(Ω). При этом если A ∈ R2p(Ω) - положительно определенный сим- метричный тензор, то в силу теоремы Сильвестра он приводится к диагональному (каноническому) виду с положительными диагональными коэффициентами. Другими словами, характеристическое уравнение (13.6) (см. и (13.7)) имеет N = np положительных корней (собственных значений). Причем каждый корень считается столько раз, какова его кратность. Обозначим корни уравне- ния (13.6) через λ1, λ2,..., λN , а соответствующую этим корням полную ортонормированную систему собственных тензоров положительно определенного симметричного тензора A ∈ R2p(Ω) - через U1, U2,..., UN . Тогда его можно представить в каноническом виде (см. (13.27)) N A = }, λk Uk Uk, (13.39) k=1 где, конечно, выполняются условия ортонормированности (см. (13.22)) p (Uk, Ul) = Uk ⊗ Ul = δkl, k, l = 1,N. (13.40) Следовательно, и в рассматриваемом случае имеют место аналогичные (13.33) и (13.34) форму- лы. В самом деле, для произвольного неотрицательного целого числа α имеем N k Aα = }, λαUk Uk ∀α. (13.41) k=1 В частности, при α = -1 и α = 0 справедливы формулы N k Uk Uk, A A-1 = }, λ-1 0 k=1 N = }, k=1 k λ0 Uk Uk = N }, k=1 Uk Uk = E. (13.42) Заметим, что на основании второй формулы (13.42) (см. также второе соотношение (13.34)) можно заключить, что единичный тензор E ∈ R2p(Ω) имеет одно N -кратное собственное значе- ние, равное 1, и любая ортонормированная система тензоров из модуля Rp(Ω), состоящая из N тензоров, является для него полной ортонормированной системой. Следовательно, любая ортонор- мированная система, состоящая из N тензоров модуля Rp(Ω), является базисом модуля Rp(Ω). Итак, всякий ортонормированный базис модуля Rp(Ω), состоящий из N тензоров, является пол- ной ортонормированной системой собственных тензоров единичного тензора E ∈ R2p(Ω). Заметим также, что из второго равенства (13.34) следует, что любой базис модуля Rp(Ω) и биортонор- мальный для него базис являются полными системами собственных тензоров единичного тензора E ∈ R2p(Ω). Кроме того, любой базис модуля Rp(Ω) состоит из собственных тензоров E ∈ R2p(Ω), а также любой отличный от нуля тензор модуля Rp(Ω) является нетривиальным собственным тен- зором единичного тензора, соответствующим единственному N -кратному собственному значению, равному 1. Итак, Rp(Ω) - просто инвариантный собственный модуль относительно E ∈ R2p(Ω). Из (13.39) видно, что для задания симметричного (положительно определенного) тензора A ∈ R2p(Ω), кроме N собственных значений λk, k = 1,N, необходимо задать N собственных тензоров Uk, k = 1,N. Построим эти собственные тензоры в явном виде. Прежде всего отметим, что условия ортонормированности (13.40) представляют N (N + 1)/2 соотношений, которые связывают между собой N 2 компонент собственных тензоров i1 Uk = Uk,i1i2···ip r ri2 ··· rip = Uk,i1i2···ip R i1i2···ip = Uk,iRi, i1, i2,..., ip = 1, n, k,i = 1,N. Итак, независимыми остаются N (N - 1)/2 компонент (параметров), с помощью которых следует построить полную ортонормированную систему собственных тензоров для симметричного (в том числе и положительно определенного) тензора A ∈ R2p(Ω). В дальнейшем с целью удобства и сокращения письма будем считать, что мультибазисы образованы из составляющих ортонормированного базиса n-мерного пространства и тензоры представ- лены в таких мультибазисах. В этой связи все индексы у компонент тензоров и составляющих 13. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И ПОЛНАЯ СИСТЕМА СОБСТВЕННЫХ ТЕНЗОРОВ ДЛЯ СИММЕТРИЧНОГО ТЕНЗОРА ЧЕТНОГО РАНГА 97 мультибазисов будем писать внизу. При этом, как и выше в общем случае, для тензоров модуля Rp(Ω) используем одноиндексное и p-индексное представления, а для тензоров модуля R2p(Ω) - двуиндексное и (2p)-индексное представления. В частности, если e1, e2,..., en - ортонормирован- ный базис n-мерного пространства, т. е. ek·el = δkl, k, l = 1, n, то для составляющих мультибазисов будем иметь выражения Ri1i2···ip = e1e2 ··· ep, i1, i2,..., ip = 1, n, p Ri = R№(i1,i2,...,ip), Ri ⊗ Rj = δij, i, j = 1,N, а тензоры U ∈ Rp(Ω) и A ∈ R2p(Ω) представим следующим образом: U = Ui1i2···ip Ri1i2···ip = UiRi, A = Ai1i2···ipj1j2···jp Ri1i2···ip Rj1j2···jp = Aij RiRj, i1, i2,..., ip, j1, j2,..., jp = 1, n, i,j = 1,N. (13.43) (13.44) Единичный тензор E ∈ R2p(Ω) помимо приведенных выше представлений (12.12), (13.26), (13.42), конечно, будет иметь еще выражение E = Ri1i2···ip Ri1i2···ip = δij RiRj = RiRi, i1, i2,..., ip, j1, j2,..., jp = 1, n, i,j = 1,N. (13.45) Нетрудно видеть, что собственные тензоры Uk ∈ Rp(Ω), k = 1,N тензора A ∈ R2p(Ω) удовле- творяют соотношениям p p Ui ⊗ A ⊗ Uj = 0, i /= j = 1,N, (13.46) p p Ui ⊗ A ⊗ Ui = λi, ≡i = 1,N⊆. (13.47) Следует отметить, что в виде (13.40) имеем N (N + 1)/2 независимых соотношений, а в ви- де (13.46) - N (N -1)/2 независимых соотношений, т. е. вместе (13.40) и (13.46) образуют систему из N 2 уравнений для определения N 2 величин Uk,l, k, l = 1,N, компонент собственных тензоров Uk = Uk,i1i2···ip ei1 ei2 ··· eip = Uk,i1i2···ip Ri1i2···ip = Uk,iRi, i1, i2,..., ip = 1, n, k, i = 1,N. (13.48) Заметим также, что так как полная система собственных тензоров Uk, k = 1,N, как было сказа- но выше, является одним из ортонормированных базисов модуля Rp(Ω), а Rl, l = 1,N - другим ортонормированным базисом, то получается, что соотношения (13.48) связывают между собой два ортонормированных базиса модуля Rp(Ω) с помощью компонент Uk,l, k, l = 1,N собственных тен- зоров Uk, k = 1,N. Следовательно, поэтому матрица компонент Uk,l, k, l = 1,N - ортогональная матрица, являющаяся в свою очередь матрицей компонент ортогонального тензора модуля R2p(Ω). Запишем соотношения (13.48) в виде p p где введено обозначение Uk = Uk,lRl = Rk ⊗ U = UT ⊗ Rk, k, l = 1,N, (13.49) T U = Uk,lRk Rl = Ui1i2···ipj1j2···jp Ri1i2···ip Rj1j2···jp = Rk Uk, U i1, i2,..., ip, j1, j2,..., jp = 1, n, k,l = 1,N, = Uk Rk, (13.50) Нетрудно проверить, что тензор U ∈ R2p(Ω) является ортогональным тензором. В самом деле, в силу условий ортонормированности системы собственных тензоров (13.40) и мультибазиса Rk, k = 1,N модуля Rp(Ω), а также на основании представлений единичного тензора E ∈ R2p(Ω) (см. вторую формулу (13.42) и (13.45)) и (13.50) будем иметь p p U ⊗ UT = Rk Uk ⊗ UlRl = RkδklRl = Rk Rk = E, p p Таким образом, UT ⊗ U = UlRl ⊗ Rk Uk = UlδlkUk = UlUl = E, k, l = 1,N. p p как и требуется. Заметим, что соотношение U ⊗ UT = UT ⊗ U = E, p U ⊗ UT = E (13.51) 98 ГЛАВА 4. ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ТЕНЗОРА И ТЕНЗОРНО-БЛОЧНОЙ МАТРИЦЫ ЛЮБОГО ЧЕТНОГО РАНГА является эквивалентной записью условий ортонормированности (13.40). В самом деле, умножая обе части (13.40) на Rk Rl с последующим суммированием по k, l = 1,N, с учетом (13.45) и (13.50) получим (13.51). Обратно, из (13.51) получить (13.40) не составляет труда. Из (13.50) видно, что ортогональный тензор U ∈ R2p(Ω) имеет N 2 компонент Uk,l, k, l = 1,N, которые связаны между собой тензорным соотношением (13.51), равносильным N (N +1)/2 соотно- шениям (13.40) и, следовательно, среди N 2 компонент независимыми остаются N (N - 1)/2 компо- нент (параметров), с помощью которых следует построить полную систему собственных тензоров для A ∈ R2p(Ω). В этой связи используем теорему о представлении (разложении) невырожден- ной квадратной матрицы [7], которую для тензора любого четного ранга можно сформулировать следующим образом: Теорема 13.7. Для того чтобы квадратный невырожденный тензор любого четного ранга представлялся в виде произведения левого треугольного (унитреугольного) и правого унит- реугольного (треугольного) тензоров, необходимо и достаточно, чтобы определители всех ведущих главных субтензоров этого тензора были отличны от нуля. Прежде чем построить искомые собственные тензоры, отметим, что если задан тензор A ∈ R2p(Ω), то по уравнениям (13.40) и (13.46) можно определить тензоры Uk, k = 1,N, а затем по формулам (13.47) найти собственные значения λk, k = 1,N. Если же заданы N чисел λk, k = 1,N и N тензоров Uk, k = 1,N, удовлетворяющих соотношениям (13.40), число которых равно N (N + 1)/2, то по формулам (13.39) можно построить симметричный тензор A ∈ R2p(Ω), который выражается с помощью N величин λk, k = 1,N и N (N - 1)/2 компонент из Uk,l, k, l = 1,N, остающихся независимыми после выполнения условий ортонормированности (13.40). Таким образом, показано, что имеются две возможности для определения собственных тен- зоров тензора A ∈ R2p(Ω): 1) из уравнений (13.40) и (13.46) определяем собственные тензоры Uk ∈ Rp(Ω), k = 1,N, а затем по формулам (13.47) - собственные значения λk, k = 1,N ; 2) из характеристического уравнения (13.7) находим N собственных значений λk, k = 1,N, а затем для каждого корня λk, k = 1,N - нетривиальное решение системы уравнений (13.5) так, чтобы выполнялись условия ортонормированности (13.40). Отметим также, что если известны собственные значения λk, k = 1,N, то канонический базис Uk Uk, ≡k = 1,N⊆ тензора A ∈ R2p(Ω) можно определить по формулам 1 k Uk Uk = P ×(λ ) Pk (A), ≡k = 1,N⊆, (13.52) которые получаются после решения следующей системы уравнений: U1U1 + U2U2 + ... + UN UN = E, λ1U1U1 + λ2U2U2 + ... + λN UN UN = A, λ2 2 2 2 1U1U1 + λ2U2U2 + ... + λN UN UN = A , .............................................................. (13.53) λN-1 N-1 N-1 N-1 1 U1U1 + λ2 U2U2 + ... + λN UN UN = A , главным детерминантом которой является определитель Вандермонда. В (13.52) введены следующие обозначения: P (λ) = (λ1 - λ)(λ2 - λ) ··· (λN - λ), P ×(λk ) = dP (λ) dλ λ=λk , k = 1,N, P (λ) p p p (13.54) λ Pk (λ) = - k , P(A) = (λ1E - A) ⊗ (λ2E - A) ⊗ ······ ⊗ (λN E - A), - λ p p p p p Pk (A) = (λ1E - A) ⊗ ··· ⊗ (λk-1E - A) ⊗ (λk+1E - A) ⊗ ··· ⊗ (λN E - A), где P (λ) - характеристический полином тензора A ∈ R2p(Ω). Далее построим собственные тензоры симметричного тензора A ∈ R2p(Ω). В силу теоремы 13.7 квадратный невырожденный ортогональный тензор U можно представить в виде произведения левого треугольного и правого унитреугольного тензоров p p U = L ⊗ R (UT = RT ⊗ LT ), (13.55) СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И ПОЛНАЯ СИСТЕМА СОБСТВЕННЫХ ТЕНЗОРОВ ДЛЯ СИММЕТРИЧНОГО ТЕНЗОРА ЧЕТНОГО РАНГА 99 где матрицы L и R компонент тензоров L и R представляются соответственно в виде ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ L = ⎜ ⎜ l11 0 0 ··· 0 0 l21 l22 0 ··· 0 0 l31 l32 l33 ··· 0 0 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ , (13.56) ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ lN-11 lN-12 lN-13 ··· lN-1N-1 0 ⎟ lN 1 lN 2 lN 3 ··· lNN-1 lNN ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ R = ⎜ ⎜ 1 r12 r13 r14 ··· r1N-1 r1N 0 1 r23 r24 ··· r2N-1 r2N 0 0 1 r34 ··· r3N-1 r3N 0 0 0 1 ··· r4N-1 r4N ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ . (13.57) ⎟ ⎜ ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ 0 0 0 0 ··· 1 rN-1N ⎟ 0 0 0 0 ··· 0 1 В качестве независимых N (N - 1)/2 параметров рассматриваются компоненты rkl, k = 1,N, l = k + 1,N правого унитреугольного тензора R, а компоненты lst, s = 1,N, t = 1,s левого треугольного тензора L определяются с их помощью. Учитывая (13.55), условия ортонормированности (13.51) можно представить в виде p p p p p p где введено обозначение U ⊗ UT = L ⊗ (R ⊗ RT ) ⊗ LT = L ⊗ S ⊗ LT = E, (13.58) p S = R ⊗ RT . (13.59) Далее представим тензоры L и R следующим образом: L = Rsls· = l·tRt, R = Rsrs· = r·tRt, s, t = 1,N, (13.60) где для составляющих тензоров введены следующие обозначения: s N ls· = }, lsk Rk, l·t = }, lktRk, s, t = 1,N, k=1 N k=t t-1 (13.61) rs· = Rs + }, k=s+1 rsk Rk, s = 1,N -1, rN· = RN ; r·1 = R1, r·t = Rt + }, rktRk, t = 2,N. k=1 В силу (13.60) и (13.61) из (13.55) находим p U = L ⊗ R = l·trt· = lstRsrt·, t = 1, s. Отсюда, учитывая (13.50), получим s Us = }, lstrt·, s = 1,N. (13.62) t=1 Нетрудно доказать, что как система тензоров rt·, t = 1,N, так и система тензоров Us, s = 1,N линейно независима. Из (13.62) видно, что ортонормированная система тензоров Us, s = 1,N можно получить с по- мощью процедуры ортонормирования Грама-Шмидта [5, 7, 36, 80] линейно независимой системы тензоров rt·, t = 1,N (см. (13.61)). В самом деле, проводя процесс ортогонализации и нормирова- ния системы тензоров rt·, t = 1,N, для коэффициентов lst, s = 1,N, t = 1,s после простых, хотя и громоздких выкладок получим следующие выражения: d0 S(m) l11 = √ , lmt = / mt , ± d0d1 ± dm-1dm (13.63) S(m) mt =(-1)m+tS ( 12 ··· t - 1 tt +1 ··· m - 1 \\ , m = 2,N , t = 1, m, 12 ··· t - 1 t +1 ··· m ≡ ⊆ 100 ГЛАВА 4. ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ТЕНЗОРА И ТЕНЗОРНО-БЛОЧНОЙ МАТРИЦЫ ЛЮБОГО ЧЕТНОГО РАНГА где введены следующие обозначения: d0 = 1, dm = detSm = s11 s12 ··· s1m s21 s22 ··· s2m ··· ··· ··· ··· , smt = rm· p ⊗ rt· , m, t = 1,N, sm1 sm2 ··· smm S(m) st1 st2 ··· stt 1 0 s ··· s s11 s12 · ·· s1t-1 0 s1t+1 ··· s1m s21 s22 · ·· s2t-1 0 s2t+1 ··· s2m ··· ··· · ·· ··· ··· ··· ··· ··· , ≡m = 1,N⊆, t = 1, m, mt = - tt+1 tm ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· sm-11 sm-12 ··· smt-1 0 smt+1 ··· sm-1m 0 0 ··· 0 1 0 ··· 0 ( 12 t 1 tt +1 m 1 \\ ··· - ··· - = s11 s12 ··· s1t-1 s1t+1 ··· s1m s21 s22 ··· s2t-1 s2t+1 ··· s2m ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· S 12 ··· t - 1 t +1 ··· m st1 st2 ··· stt-1 s tt+1 ··· stm , ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· S(m) sm-11 sm-12 ··· sm-1t-1 sm-1t+1 ··· sm-1m mt - алгебраическое дополнение элемента smt субматрицы Sm = matr(skl), k, l = 1, m, а S ( 12 ··· t - 1 tt +1 ··· m - 1 \\ - минор (m 12 ··· t - 1 t +1 ··· m - 1)-го порядка для определителя detSm , получа- ющийся вычеркиванием m-ой строки и t-го столбца. Учитывая (13.63), из (13.62) после несложных преобразований для искомых собственных тен- зоров тензора A ∈ R2p(Ω) получим следующие выражения: s11 s12 ··· s1k-1 r1· s21 s22 ··· s2k-1 r2· s31 s32 ··· s3k-1 r3· 1 1 √ · U1 = r1 , Uk = ± d0d1 - k ±/dk 1d ··· ··· ··· ··· ··· sk1 sk2 ··· skk-1 rk· , k = 2,N. (13.64) Следует заметить, что с помощью формул (13.64) собственные тензоры Uk ∈ Rp(Ω), k = 1,N определяются с помощью N (N - 1)/2 независимых параметров - компонент правого унитреуголь- ного тензора R относительно произвольной системы координат (произвольного ортонормированно- го базиса n-м ерного пространства). Очевидно, за счет выбора системы координат число незави- симых параметров в некоторых случаях можно уменьшить на несколько единиц. Более подробно этот вопрос изучается ниже при рассмотрении частных случаев. В общем случае на этом останав- ливаться не будем. Таким образом, для описания внутренней структуры симметричного тензора A ∈ R2p(Ω) до- статочно вместо компонент этого тензора в какой-то системе координат задать его инвариантные характеристики, т. е. собственные значения λk, k = 1,N и собственные тензоры Uk, k = 1,N, которые определяются с помощью N (N - 1)/2 независимых параметров относительно произвольно выбранной системы координат. Заметим, что эти инвариантные характеристики должны служить для сравнения и классификации симметричных тензоров модуля R2p(Ω). Для тензора модулей упругости (тензора четвертого ранга трехмерного пространства, обладающего классическими сим- метриями), как было сказано выше, аналогичное исследование было проведено Н. И. Остросабли- ным [47-50]. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ СТОЛБЦЫ СИММЕТРИЧЕСКОЙ ТЕНЗОРНО-БЛОЧНОЙ МАТРИЦЫ ЧЕТНОГО РАНГА 101 14. ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И ПОСТРОЕНИЕ ПОЛНОЙ СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ТЕНЗОРНЫХ СТОЛБЦОВ СИММЕТРИЧЕСКОЙ ТЕНЗОРНО-БЛОЧНОЙ МАТРИЦЫ ЛЮБОГО ЧЕТНОГО РАНГА Рассматривается задача на собственные значения тензорно-блочной матрицы и построена полная система собственных тензорных столбцов симметрической тензорно-блочной матрицы, состоящей из четырех тензоров модуля R2p(Ω) (см. также [39, 40, 43]). Введем определение тензорно-блочной матрицы. Определение 14.1. Блочная матрица, блоками которого являются тензоры, вообще говоря, раз- личного ранга, называется тензорно-блочной матрицей. Тензорно-блочную матрицу в общем случае можно представить в виде ⎛ A11 A12 A13 ··· A1m ⎜ A21 A22 A23 ··· A2m ⎜ M = ⎜ A31 A32 A33 ··· A3m ⎜ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ , (14.1) ⎟ ⎝ ··· ··· ··· ··· ··· ⎠ Aq1 Aq2 Aq3 ··· Aqm где m и q - некоторые натуральные числа, а Akl, k = 1, q, l = 1,m - произвольные тензоры, называемые еще субтензорами матрицы (14.1). В дальнейшем представляет интерес изучение внутренней структуры такой тензорно-блочной матрицы (14.1), для которой q = m, а субтензоры являются тензорами одинакового четного ранга, например, модуля R2p(Ω), так как именно такие матрицы находят применение в приложении. В общем виде такую матрицу можно записать в форме где ⎛ ⎜ ⎜ M = ⎜ ⎜ ⎝ A11 A12 A13 ··· A1m A21 A22 A23 ··· A2m A31 A32 A33 ··· A3m ··· ··· ··· ··· ··· Am1 Am2 Am3 ··· Amm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ , (14.2) ⎟ ⎠ Akl = Ai1i2···ip j1j2···jp i · j kl, j1j2···jp Ri1i2···ip R = Akl, · j RiR , i1, i2,... ip, j1, j2,... jp = 1, n, i,j = 1,N. Заметим, что последовательность субтензоров A11, A22,..., Amm называется главной диагона- лью тензорно-блочной матрицы (14.2), а каждый тензор, стоящий на главной диагонали, назы- вается диагональным субтензором. Заметим также, что матрица (14.2) состоит из квадратных тензоров, поэтому и сама является квадратной. Определение 14.2. Тензорно-блочная матрица, в которой диагональные субтензоры отличны от нуля, а остальные являются нулевыми тензорами, называется тензорно-блочно-диагональной матрицей. На основании определения 14.2 заключаем, что тензорно-блочно-диагональная матрица будет иметь вид ⎛ A11 0 0 ··· 0 ⎞ ⎜ ⎜ M = ⎜ ⎜ ⎝ 0 A22 0 ··· 0 0 0 A33 ··· 0 ··· ··· ··· ··· ··· 0 0 0 ··· Amm ⎟ ⎟ ⎟ , (14.3) ⎟ ⎠ Определение 14.3. Тензорно-блочная матрица, в которой все субтензоры ниже (выше) главной диагонали равны нуля, называется верхней, или правой (нижней, или левой), тензорно-блочно- треугольной матрицей. 102 ГЛАВА 4. ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ТЕНЗОРА И ТЕНЗОРНО-БЛОЧНОЙ МАТРИЦЫ ЛЮБОГО ЧЕТНОГО РАНГА Следовательно, правая (левая) тензорно-блочно-треугольная матрица представляется в форме ⎛ ⎜ M = ⎜ 0 0 A33 ··· A3m ⎟ , ⎜M = ⎜ A31 A32 A33 ··· 0 A11 A12 A13 ··· A1m ⎞ ⎛ ⎛ A11 0 0 ··· 0 0 A22 A23 ··· A2m ⎟ ⎜ ⎜ A21 A22 0 ··· 0 ⎞⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ . (14.4) ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ··· ··· ··· ··· ··· ⎟ ⎜ 0 0 0 ··· Amm ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠⎠ ⎜ ··· ··· ··· ··· ··· ⎟⎟ Am1 Am2 Am3 ··· Amm В матрицах (14.3) и (14.4) символ 0 обозначает нулевой тензор модуля R2p(Ω). Этот символ при- меняется и в дальнейшем для обозначения нулевого тензора различного ранга с соответствующей оговоркой. Нетрудно заметить, что компоненты матриц (14.2), (14.3) и (14.4) при замене системы коорди- нат будут меняться так же, как и компоненты тензора модуля R2p(Ω). В этой связи (14.2) можно назвать тензорно-блочной матрицей ранга 2p. Более того, нетрудно убедится в том, что множество таких тензорно-блочных матриц образуют модуль над кольцом скаляров. Обозначим этот модуль 2p ∈ через Rm2 (Ω). Тогда можно написать M 2p Rm2 (Ω). Заметим также, что если изучим внутреннюю структуру тензорно-блочной матрицы, состоящей из четырех тензоров модуля R2p(Ω), то, очевидно, результаты ее исследования легко обобщить на случай матрицы (14.2). В этой связи в дальнейшем ограничимся рассмотрением тензорно-блочной матрицы вида ( A B M = C D \\ , (14.5) 2p где A, B, C и D - тензоры модуля R2p(Ω). Из сказанного выше относительно (14.2) следует, что (14.5) - тензорно-блочная матрица ранга 2p модуля R4 (Ω). В дальнейшем о типе матрицы упоминать не будем, так как, если противное не будет оговорено, в основном будем иметь дело с тензорно-блочной матрицей модуля R4 (Ω). Итак, в дальнейшем запись M ∈ R4 (Ω) означает, 2p - тензорно-блочная матрица, состоящая из четырех тензоров модуля R2p 2p или тензорно- 2p блочная матрица модуля R4 (Ω). (Ω) 2p Легко усмотреть, что M ∈ R4 (Ω) обладает теми же свойствами, что и соответствующая блочная матрица, составленная из матриц компонент составляющих тензоров. Например, транспонированная с (14.5) тензорно-блочная матрица имеет вид MT = ( AT CT BT DT \\ . (14.6) Введем некоторые аналогичные приведенным выше для тензора модуля R2p(Ω) определения. Определение 14.4. Тензорно-блочная матрица, которая совпадает со своей транспонированной, называется симметрической. Нетрудно заметить, что имеет место утверждение. Утверждение 14.1. (M = MT ) ⇔ (A = AT , B = CT , D = DT ). Определение 14.5. Тензорно-блочная матрица называется левой, или нижней (правой, или верхней), треугольной [унитреугольной], если соответствующая ей блочная матрица матриц ком- понент составляющих тензоров - левая или нижняя (правая или верхняя) треугольная [унитре- угольная] матрица. В силу определения 14.5 матрица ( A 0 M = C D \\ , (14.7) R4 где A, 0, C и D - тензоры модуля R2p(Ω), - левая треугольная (унитреугольная) матрица модуля 2p(Ω), если матрицы компонент A и D - левые треугольные (унитреугольные), а матрица ( A B M = 0 D \\ , (14.8) 14. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ СТОЛБЦЫ СИММЕТРИЧЕСКОЙ ТЕНЗОРНО-БЛОЧНОЙ МАТРИЦЫ ЧЕТНОГО РАНГА 103 R4 где A, B, 0 и D - тензоры модуля R2p(Ω), - правая треугольная (унитреугольная) матрица модуля 2p(Ω), если матрицы компонент A и D - правые треугольные (унитреугольные) матрицы. Определение 14.6. Матрица вида ( A 0 M = 0 D \\ , (14.9) 2p где A, 0 и D - тензоры модуля R2p(Ω), называется тензорно-блочно-диагональной матрицей модуля R4 (Ω). Определение 14.7. Определителем тензорно-блочной матрицы называется определитель блоч- ной матрицы матриц смешанных компонент составляющих тензоров. Определение 14.8. Тензорно-блочная матрица называется невырожденной, если ее определи- тель отличен от нуля. На основании определения 13.7 заключаем, что если в (14.7) тензоры A и D - левые треуголь- ные (унитреугольные), а C - квадратный тензор, то (14.7) - левая треугольная (унитреугольная) тензорно-блочная матрица. А также, если в (14.8) тензоры A и D - правые треугольные (унитре- угольные), а B - квадратный тензор, то (14.8) - правая треугольная (унитреугольная) тензорно- блочная матрица. Наряду с понятием тензорно-блочной матрицы целесообразно ввести в рассмотрение понятие тензорного столбца (тензорной строки). Определение 14.9. Матрица-столбец (матрица-строка), состоящей (состоящая) из тензоров, называется тензорным столбцом (тензорной строкой). Очевидно, тензорная строка - транспонированный тензорный столбец, а тензорный столбец - транспонированная тензорная строка. В этой связи ниже в основном речь пойдет о тензорном столбце, имея в виду, что все сказанное о нем в равной мере относится и к тензорной строке. В дальнейшем, аналогично тензорно-блочной матрице, представляет интерес рассмотрение та- кого тензорного столбца, который состоит из тензоров одинакового ранга из некоторого модуля. Например, если тензорно-блочная матрица имеет вид (14.5), то тензорный столбец (тензорную строку) можно представить в виде ( U \\ ( T W = V где U и V - тензоры модуля Rp(Ω), т. е. W = (U, V)), (14.10) U = Ui1i2···ip Ri i i i i1i2···ip i 1 2··· p = U Ri, V = V Ri1i2···ip = V Ri, i1, i2,... ip = 1, n, i, j = 1,N. Следовательно, аналогично тензорно-блочной матрице (14.5) можно сказать, что тензорный столбец (тензорная строка) (14.10) имеет ранг p. Кроме того, легко усмотреть, что множество тензорных столбцов (тензорных строк) типа (14.10) над кольцом скаляров образует модуль, который обозначим через R2(Ω). Тогда неоднократно применяемая в дальнейшем запись W ∈ R2(Ω) p p означает, что W - тензорный столбец, составленный из двух тензоров модуля Rp(Ω) или просто p W - тензорный столбец модуля R2(Ω). То же самое относится и к тензорным строкам. p Введем теперь некоторые определения, касающиеся тензорных столбцов модуля R2(Ω) и тензорно-блочных матриц модуля R4 (Ω), и поставим задачу на собственные значения для M ∈ R4 (Ω). 2p 2p p R2 Определение 14.10. Скалярным произведением двух тензорных столбцов W1 ∈ R2(Ω) и W2 ∈ p(Ω) называется выражение p p ( U2 \\ p p 1 V2 (W1, W2) = WT ⊗ W2 = (U1, V1) ⊗ = U1 ⊗ U2 + V1 ⊗ V2. (14.11) Определение 14.11. Два тензорных столбца называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. 104 ГЛАВА 4. ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ТЕНЗОРА И ТЕНЗОРНО-БЛОЧНОЙ МАТРИЦЫ ЛЮБОГО ЧЕТНОГО РАНГА p Определение 14.12. Нормой тензорного столбца W ∈ R2(Ω) называется величина / p p ||W|| = /(W, W) = U ⊗ U + V ⊗ V. (14.12) Определение 14.13. Тензорный столбец называется нормированным, если его норма равна единице. Определение 14.14. Система тензорных столбцов W1, W2,..., Wm называется ортонормиро- ванной, если выполняются условия p k (Wk, Wl) = WT ⊗ Wl = δkl, k, l = 1, m. Определение 14.15. Две системы тензорных столбцов W1, W2,..., Wm и W1, W2,..., Wm (1 p m 2N ) модуля R2(Ω) называются биортонормальными, если выполняются условия p (Wk, Wl) = WT ⊗ Wl = δl , k, l = 1, m, 1 m 2N. k k Заметим, что биортонормальную систему для данной линейно независимой системы тензорных столбцов можно построить таким же образом, как и для некоторой линейно независимой системы тензоров. В частности, имеет место p Теорема 14.1. Для всякой линейно независимой системы тензорных столбцов модуля R2(Ω) существует биортонормальная система. На доказательстве этой теоремы останавливаться не будем. Она доказывается совершенно ана- логично теореме 13.4. 2 Определение 14.16. Симметричная тензорно-блочная матрица M ∈ R4 (Ω) (M ∈ Rm (Ω)) называется положительно определенной 2p 2p , если образуемая по ней квадратичная форма p p p (W, M ⊗ W) = WT ⊗ M ⊗ W положительна для любого отличного от нуля тензорного столбца W ∈ R2(Ω) (W ∈ Rm(Ω)). p p На основании определения 14.16 заключаем, что матрица компонент составляющих тензоров по- ложительно определенной тензорно-блочной матрицы положительно определена, а отсюда в свою очередь следует справедливость следующей теоремы. Теорема 14.2. Диагональные субтензоры положительно определенной тензорно-блочной матрицы положительно определены. Задача на собственные значения для M ∈ R4 (Ω). Для некоторого M ∈ R4 (Ω) найти все 2p 2p p тензорные столбцы W ∈ R2(Ω), которые удовлетворяют уравнению где λ - скаляр. p M ⊗ W = λW, (14.13) p Уравнение (14.13) всегда имеет тривиальное решение W = O, где O ∈ R2(Ω) - нулевой тензорный столбец (O = (0, 0)T ). В дальнейшем, говоря о решении уравнения (14.13), будем иметь в виду только нетривиальное решение W /= O. Кроме того, отметим, что решение уравнения (14.13) определяется с точностью до скалярного множителя, т. е. если W - решение уравнения (14.13) для некоторого λ, то αW, где α - произвольный скаляр, также будет решением. Очевидно, все- гда можно выбрать α так, чтобы удовлетворить условию ||αW|| = 1. В самом деле, для этого достаточно положить α = ||W||-1. Таким образом, решение уравнения (14.13) всегда можно нормировать условием ||W|| = 1. В этой связи в дальнейшем все время, если противное не будет оговорено, будем иметь в виду нормированные решения уравнения (14.13). Если для некоторого λ уравнение (14.13) имеет решение W, то λ называется собственным зна- чением (числом) тензорно-блочной матрицы M (14.5), а W - собственным тензорным столб- цом (14.10), соответствующим собственному значению λ. 14. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ СТОЛБЦЫ СИММЕТРИЧЕСКОЙ ТЕНЗОРНО-БЛОЧНОЙ МАТРИЦЫ ЧЕТНОГО РАНГА 105 2p Естественно, можно рассматривать и следующую задачу: для некоторого M ∈ R4 (Ω) найти все тензорные строки W× = (U×, V×) (14.14) p модуля R2(Ω), которые удовлетворяют уравнению где μ - скаляр. p W× ⊗ M = μW×, (14.15) Если уравнение (14.15) для некоторого μ имеет нетривиальное решение W×, то μ называет- ся собственным значением (числом) тензорно-блочной матрицы M (14.5), а W× - собственной тензорной строкой, соответствующей собственному значению μ. Заметим, что в общем случае λ = μ, а W× /= WT . Однако, если MT = M, то W× = WT . Вообще говоря, имеют место утверждения: Утверждение 14.2. Транспонированный собственный тензорный столбец (тензорная стро- ка) тензорно-блочной матрицы M является собственной тензорной строкой (тензорным столбцом) транспонированной тензорно-блочной матрицы MT . Утверждение 14.3. Если тензорно-блочная матрица M симметрическая (MT = M), то транспонированный собственный тензорный столбец (тензорная строка) в то же время яв- ляется собственной тензорной строкой (тензорным столбцом). Сформулируем еще некоторые утверждения и теоремы, касающиеся собственных тензорных столбцов тензорно-блочной матрицы. Утверждение 14.4. Если λ и λ× - два различных собственных значения тензорно-блочной матрицы M, то соответствующие им любые два собственных тензорных столбца W и W× линейно независимы. Доказательство. Допустим противное. Пусть W = αW×, где α - скаляр. Тогда имеем λW = p p M ⊗ W = αM ⊗ W× = αλ×W× = λ×W. Так как W /= O, то отсюда следует, что λ = λ×. Получили противоречие. Тем самым утверждение доказано. Теорема 14.3. Собственные тензорные столбцы тензорно-блочной матрицы, соответству- ющие попарно различным собственным значениям, линейно независимы. Теорему 14.3 можно доказать в силу утверждения 14.4 методом математической индукции. Теорема 14.4. Если λ и λ× - два различных собственных значения симметрической тензор- но-блочной матрицы M, то соответствующие им любые два собственных тензорных столбца W и W× ортогональны. Доказательство. На основании определения собственного тензорного столбца и утвержде- ния 14.3 имеем p p p p WT ⊗ M ⊗ W× = λWT ⊗ W× = λ(W, W×) = λ×WT ⊗ W× = λ×(W, W×). Отсюда находим (λ - λ×)(W, W×) = 0. Так как λ /= λ×, то из последнего равенства получим (W, W×) = 0, что и требовалось доказать. Теорема 14.5. Собственные тензорные столбцы симметрической тензорно-блочной матри- цы, соответствующие попарно различным собственным значениям, попарно ортогональны. Теорему 14.5 можно доказать в силу теоремы 14.4 методом математической индукции. Теорема 14.6. Собственные значения положительно определенной симметрической тензор- но-блочной матрицы положительны. Доказательство. Пусть W - нормированный собственный тензорный столбец положительно оп- ределенной симметрической тензорно-блочной матрицы M, соответствующий собственному значе- нию λ. Тогда на основании определения 14.13 и утверждения 14.3 имеем p p p 2 0 < WT ⊗ M ⊗ W = λWT ⊗ W = λ(W, W) = λ||W|| что и требовалось доказать. = λ, 106 ГЛАВА 4. ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ТЕНЗОРА И ТЕНЗОРНО-БЛОЧНОЙ МАТРИЦЫ ЛЮБОГО ЧЕТНОГО РАНГА Нетрудно заметить, что уравнение (14.13) можно записать в виде ( A - λE B ( \\ p ( U \\ = O (M \\ p λE) W = O , (14.16) C D - λE ⊗ V - ⊗ где E - единичный тензор (2p)-го ранга (12.12), а E - единичная тензорно-блочная матрица вида ( E 0 \\ ( gj RiRj 0 \\ ( gj 0 \\ i E = 0 E = i = i 0 gi R Rj R Rj, i, j = 1,N. (14.17) j i Здесь 0 - нулевой тензор (2p)-го ранга. i 0 gj Видно, что тензорное уравнение (14.16) представляет однородную систему 2N (N = np) урав- нений относительно 2N неизвестных (компонент двух тензоров U и V модуля Rp(Ω)), кото- рая должна иметь нетривиальное решение. Для существования нетривиального решения системы уравнений (14.16) необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю, т. е. det ( A - λE B C D - λE \\ = 0 ( det(M \\ - λE) = 0 , (14.18) 2p Легко усмотреть, что (14.18) - алгебраическое уравнение степени 2N относительно λ, называемое характеристическим уравнением тензорно-блочной матрицы M ∈ R4 (Ω). Если M - положитель- но определенная симметрическая тензорно-блочная матрица, то в силу теоремы 14.6 ее характеристическое уравнение (14.18) имеет 2N положительных корней (собственных значений), причем каждый корень считается столько раз, сколько его кратность. Далее приведем еще аналогичные приведенным выше для тензора A ∈ R2p(Ω) некоторые опре- деления и теоремы, которые перефразируем применительно к тензорно-блочной матрице. Определение 14.17. Действительная тензорно-блочная матрица называется нормальной, если она коммутирует со своей транспонированной. На основании этого определения заключаем, что действительные симметрическая, кососим- метрическая и ортогональная тензорно-блочные матрицы, а также единичная тензорно-блочная матрица суть нормальные тензорно-блочные матрицы. 2p 2p Определение 14.18. Ортонормированная система собственных тензорных столбцов тензорно- блочной матрицы M ∈ R4 (Ω), состоящая из 2N тензорных столбцов, называется полной орто- нормированной системой собственных тензорных столбцов для M ∈ R4 (Ω). 2p Определение 14.19. Будем говорить, что M ∈ R4 (Ω) - тензорно-блочная матрица простой структуры, если она имеет 2N линейно независимых собственных тензорных столбцов. Утверждение 14.5. Тензорно-блочная матрица имеет простую структуру, если все корни ее характеристического уравнения различны между собой. Заметим, что обратное утверждение неверно, т. е. существуют тензорно-блочные матрицы про- стой структуры, характеристические уравнения которых имеют кратные корни, например, единич- ная тензорно-блочная матрица. Теорема 14.7. Действительная симметрическая (нормальная) тензорно-блочная матрица всегда имеет полную ортонормированную систему собственных тензорных столбцов. Заметим, что теорема 14.7 верна для любой действительной симметрической тензорно-блочной матрицы, а также для нормальной комплексной тензорно-блочной матрицы. 2p В силу теоремы 14.7 положительно определенная симметрическая тензорно-блочная матрица M ∈ R4 (Ω) всегда имеет полную ортонормированную систему собственных тензорных столбцов, а ее собственные значения на основании теоремы 14.6 положительны. 2p Обозначим через Wk = (Uk, Vk )T , k = 1, 2N полную ортонормированную систему собственных тензорных столбцов положительно определенной тензорно-блочной матрицы M ∈ R4 (Ω), отвеча- 2p ющих собственным значениям λk, k = 1, 2N соответственно. Тогда M ∈ R4 (Ω) аналогично (13.39) (см. также (13.27)) можно представить в каноническом виде 2N k M = }, λk Wk WT = k=1 2N }, λk k=1 ( Uk Vk \\ 2N ⊗ (Uk, Vk ) = }, λk k=1 ( Uk Uk Uk Vk Vk Uk Vk Vk \\ , (14.19) 14. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ СТОЛБЦЫ СИММЕТРИЧЕСКОЙ ТЕНЗОРНО-БЛОЧНОЙ МАТРИЦЫ ЧЕТНОГО РАНГА 107 где, конечно, имеет место условия ортонормированности p p p k (Wk, Wl) = WT ⊗ Wl = Uk ⊗ Ul + Vk ⊗ Vl = δkl, k, l = 1, 2N. (14.20) Сравнивая (14.5) с (14.19), будем иметь 2N 2N 2N A = }, λk Uk Uk, B = CT = }, λk Uk Vk, A = }, λk Vk Vk. (14.21) k=1 k=1 k=1 Следует отметить, что размерности введенных выше модулей R2(Ω) и R4 (Ω) равны 2N и 4N 2 p 2p p 2p 2p соответственно, тогда как размерности модулей Rp(Ω), R2p(Ω) - N и N 2 соответственно. Следо- вательно, в модуле R2(Ω) существует 2N линейно независимых тензорных столбцов, образующих базис этого модуля, а в модуле R4 (Ω) - 4N 2 линейно независимых тензорно-блочных матриц, составляющих базис этого модуля. Из решения характеристического уравнения (14.18), например, для тензорно-блочной матрицы простой структуры M ∈ R4 (Ω) получаем 2N линейно независи- мых собственных тензорных столбцов, которые, конечно, можно принять в качестве базиса модуля R2 4 p(Ω). Если M ∈ R2p(Ω) - симметрическая тензорно-блочная матрица, то ее полная система ортонормированных собственных тензорных столбцов будет, конечно, ортонормированным базисом модуля R2(Ω). Значит, любой тензорный столбец модуля R2(Ω) можно разложить по упомянутым p p p R4 выше базисам. Зная базис модуля R2(Ω) (меньшей размерности), можно построить базис модуля 2p(Ω) (большей размерности) таким же образом, как с помощью базиса модуля Rp(Ω) можно построить базис модуля R2p(Ω). В частности, если рассмотрим тензорное произведение тензорного столбца на тензорную строку модуля R2(Ω), получим тензорно-блочную матрицу модуля R4 (Ω). p 2p p Следовательно, если каждый тензорный столбец некоторого базиса модуля R2(Ω) умножить тензорно на каждую из тензорных строк, получаемых транспонированием всех тензорных столбцов рассматриваемого базиса, то получим 4N 2 тензорно-блочных матриц, составляющих базис модуля R4 2p(Ω). Итак, если тензорные столбцы Wk = (Uk, Vk )T , k = 1, 2N образуют, например, ортоp нормированный базис модуля R2(Ω), где в качестве Wk = (Uk, Vk )T , k = 1, 2N можно, конечно, рассматривать и полную систему ортонормированных собственных тензорных столбцов некоторой симметрической тензорно-блочной матрицы M ∈ R4 (Ω), то тензорно-блочные матрицы Wk WT , 2p l 2p 2p k, l = 1, 2N составят базис модуля R4 (Ω), и нетрудно убедиться в том, что единичную тензорно- блочная матрицу E ∈ R4 (Ω) (см. также (14.17)) можно представить в виде 2N k E = }, Wk WT = k=1 Uk 2N ( }, k=1 Vk }, V U V V \\ 2N ( Uk Uk Uk Vk ⊗ (Uk, Vk ) = k=1 k k k k \\ . (14.22) p Если же тензорные столбцы Zk = (Xk, Yk )T , k = 1, 2N образуют некоторый базис модуля R2(Ω), а тензорные столбцы Zl = (Xl, Yl)T , l = 1, 2N составляют биортонормальный для него базис, то T тензорно-блочные матрицы Zk Zl 2p , k, l = 1, 2N будут служить базисом модуля R4 (Ω), и при этом 2p единичная тензорно-блочная матрица E ∈ R4 (Ω) представится в виде 2N T E = }, Zk Zk = Xk 2N ( }, k k }, \\ 2N ( Xk Xk Xk Yk ⊗ (X , Y ) = \\ . (14.23) k=1 k=1 Yk k=1 Yk Xk Yk Yk Заметим, что в последнем соотношении можно жонглировать индексами. Зная представления (см. (14.17), (14.22) и (14.23)) единичной тензорно-блочной матрицы 2p E ∈ R4 (Ω), не составляет труда дать каноническое представление тензорно-блочной матрицы 2p M ∈ R4 (Ω) простой структуры, а также обратной к ней матрицы, хотя представление обратной тензорно-блочной матрицы M-1 4 ∈ R2p(Ω) можно получить также на основании доказываемой ни- 2p же теоремы. Прежде чем заниматься этими представлениями, отметим, что если M ∈ R4 (Ω) - невырожденная тензорно-блочная матрица, то существует единственная обратная к ней тензорно- блочная матрица M-1 такая, что имеет место соотношение (матрица компонент обратной тензор- но-блочной матрицы - обратная к матрице компонент исходной тензорно-блочной матрицы) p p и справедлива M ⊗ M-1 = M-1 ⊗ M = E (14.24) 108 ГЛАВА 4. ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ТЕНЗОРА И ТЕНЗОРНО-БЛОЧНОЙ МАТРИЦЫ ЛЮБОГО ЧЕТНОГО РАНГА Теорема 14.8. Если W (W×) - собственный тензорный столбец (собственная тензорная строка) из модуля R2(Ω) невырожденной тензорно-блочной матрицы M ∈ R4 (Ω), соответp ствующий собственному значению λ, 2p то он (она) в то же время будет собственным тензорным столбцом (собственной тензорной строкой) обратной к M тензорно-блочной матрицы M-1, соответствующим собственному значению λ-1. Доказательство. Пусть W ∈ R2(Ω) (W× ∈ R2(Ω)) - собственный тензорный столбец (собственp p 2p ная тензорная строка) невырожденной тензорно-блочной матрицы M ∈ R4 (Ω), соответствующий собственному значению λ (λ). Тогда имеем p p M ⊗ W = λW (W× ⊗ M = λW×). (14.25) Умножая обе части первого равенства (14.25) слева на M-1, в силу (14.24) получим p p p p p p (M-1 ⊗ M ⊗ W = λM-1 ⊗ W) ⇔ (E ⊗ W = λM-1 ⊗ W) ⇔ (W = λM-1 ⊗ W). Отсюда в свою очередь находим p p M-1 ⊗ W = λ-1W (W× ⊗ M-1 = λ-1W×), (14.26) где второе соотношение (14.26) получается аналогично первому. Теорема доказана. 2p Заметим, что если в теореме 14.8 W× заменить на WT , то получим аналогичную теорему для симметрической тензорно-блочной матрицы M ∈ R4 (Ω). На основании теоремы 14.8 можно доказать следующую теорему. Теорема 14.9. Собственные (главные) значения обратной тензорно-блочной матрицы M-1 равны обратным значениям собственных (главных) значений исходной невырожденной тен- зорно-блочной матрицы M, а собственные тензорные столбцы и строки M-1 и M совпадают. В силу теоремы 14.9 легко усмотреть, что для обратной к (13.27) тензорно-блочной матрицы M-1 будем иметь представление M-1 = 2N }, λ-1 2N T }, U -1 ( k \\ 2N }, -1 ( Uk Uk Uk Vk \\ k=1 k Wk Wk = λk k=1 Vk ⊗ (Uk, Vk ) = λk k=1 Vk Uk Vk Vk . (14.27) 2p Сформулируем теперь и аналогичную теореме 13.3 теорему для M ∈ R4 (Ω). н 2p Теорема 14.10. Если M ∈ R4 (Ω) - тензорно-блочная матрица простой структуры, то она имеет полные системы [ ормированных или ненормированных] собственных тензорных столбцов и тензорных строк и если найдена полная система [нормированных или ненорми- рованных] собственных тензорных столбцов (строк), а затем построена биортонормальная для нее система тензорных столбцов (строк), то, транспонируя каждый тензорный столбец (каждую тензорную строку) в построенной биортонормальной системе тензорных столбцов (строк), получим полную систему тензорных строк (столбцов). 2p Докажем теорему 14.10 в том случае, когда найдена полная система ненормированных собствен- ных тензорных столбцов для M ∈ R4 (Ω), так как остальные случаи доказываются аналогично. В частности, докажем теорему: 2p Теорема 14.11. Если M ∈ R4 (Ω) - тензорно-блочная матрица простой структуры и Zk = (Xk, Yk ), k = 1, 2N - ее полная система собственных тензорных столбцов, соответствующая системе собственных значений λk, k = 1, 2N соответственно, а Zl = (Xl, Yl)T , l = 1, 2N - биортонормальная для нее система тензорных столбцов, то система ZlT = (Xl, Yl), l = 1, 2N 2p будет полной системой собственных строк, и тензорно-блочная матрица M ∈ R4 (Ω) имеет представление 2N T M = }, λk Zk Zk k=1 2N = }, λk k=1 ( Xk Yk \\ 2N ⊗ (Xk, Yk ) = }, λk k=1 ( Xk Xk Xk Yk Yk Xk Yk Yk \\ . (14.28) 14. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ СТОЛБЦЫ СИММЕТРИЧЕСКОЙ ТЕНЗОРНО-БЛОЧНОЙ МАТРИЦЫ ЧЕТНОГО РАНГА 109 p Доказательство. Так как полная система собственных тензорных столбцов Zk ∈ R2(Ω), k = 1, 2N 2p тензорно-блочной матрицы M ∈ R4 (Ω) и биортонормальная для нее система тензорных столбцов p 2p Zl, l = 1, 2N являются биортонормальными базисами модуля R2(Ω), то единичная тензорно-блоч- ная матрица E ∈ R4 (Ω) имеет представление (14.23), с учетом которого получаем p 2N p T 2N T Таким образом, M = M ⊗ E = }, M ⊗ Zk Zk k=1 = }, λk Zk Zk . k=1 2N T M = }, λk Zk Zk k=1 и справедливость представления (14.28) доказана. Умножая теперь обе части последнего соотношения слева на ZlT и учитывая биортонормаль- ность систем Zk, k = 1, 2N и Zl, l = 1, 2N, будем иметь p ZlT ⊗ M = 2N }, λ p ZlT ⊗ Z Zk T = 2N }, λ δl Zk T = λ ZlT , ≡l = 1, 2N⊆, k k=1 k k k l k=1 а это означает, что система ZlT , l = 1, 2N - полная система собственных тензорных строк для 2p M ∈ R4 (Ω). Теорема доказана полностью. 2p Имея для M ∈ R4 (Ω) представление (14.28), нетрудно доказать, что ее степень для любого целого числа α имеет вид Mα = 2N k T }, λαZk Zk . (14.29) k=1 В частности, при α = -1 и α = 0 будем иметь T 2N 2N k Zk Z M-1 = }, λ-1 k T k=1 , E = M0 = }, k=1 Zk Zk . (14.30) Следует заметить, что при α = 1 из (14.29) следует (14.28), первая формула (14.30) была дока- зана выше (см. теорему 14.9), вторую формулу (14.30) можно доказать непосредственно, а для остальных значений α справедливость (14.29) доказывается методом математической индукции. Докажем вторую формулу (14.30). В силу (14.24), представлений M (см. (14.28)) и M-1 (см. первую формулу (14.30)), а также представления единичной тензорно-блочной матрицы (14.23) находим p M ⊗ M-1 = 2N }, λkλ-1Zk Zk T T p ⊗ ZlZl = 2N T }, λkλ-1Zkδk Zl = k=1,l 2N l T 2N l k=1,l T 2N l T 2N T т. е. k = }, λkλ-1Zk Zk k=1 k = }, λ0 Zk Zk k=1 k = M0 = }, λ0 Zk Zk k=1 = }, Zk Zk k=1 = E, p M0 = M ⊗ M-1 = E = Аналогично (14.31) доказывается, что 2N T }, Zk Zk k=1 . (14.31) p M0 = M-1 ⊗ M = E = 2N T }, Zk Zk . k=1 Итак, справедливость второй формулы (14.30) доказана. Запишем теперь характеристическое уравнение (14.18) в развернутом виде λ2N - I1(M)λ2N-1 + ... + (-1)sIs(M)λ2N -s + ... + (-1)2N I2N (M) = 0, (14.32) где I2N (M) = det M. Нетрудно доказать, что имеет место теорема Гамильтона-Кэли. Теорема 14.12. Всякая тензорно-блочная матрица удовлетворяет своему характеристи- ческому уравнению. 110 ГЛАВА 4. ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ТЕНЗОРА И ТЕНЗОРНО-БЛОЧНОЙ МАТРИЦЫ ЛЮБОГО ЧЕТНОГО РАНГА Итак, в силу этой теоремы справедливо соотношение M2N - I1(M)M2N-1 + ... + (-1)sIs(M)M2N -s + ... + (-1)2N I2N (M)E = 0. На доказательстве этой теоремы останавливаться не будем. Она доказывается аналогично тео- реме 6.3. 2p Следует отметить, что инварианты тензорно-блочной матрицы M ∈ R4 (Ω) в уравнении (14.32) аналогично инвариантам матрицы [7, 15, 74] или тензора A ∈ R2p(Ω) (см. (13.16) и (13.18)) вычис- ляются по формулам s1 1 0 0 0 ··· 0 0 s2 s1 2 0 0 ··· 0 0 Sk = Ik (M) = k! 1 s3 s2 s1 3 0 ··· 0 0 s4 s3 s2 s1 4 ··· 0 0 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· , k = 1, 2N, (14.33) sk-1 sk-2 sk-3 sk-4 sk-5 ··· s1 k - 1 где sk sk-1 sk-2 sk-3 sk-4 ··· s2 s1 k p p p sk = I1(M)k, k = 1, 2N, Mk = M⊗M⊗·· ·⊗M, 2p а первый инвариант для M ∈ R4 (Ω) определяется следующим образом: I1(M) = I1 ( A B C D \\ = I1(A + D) = I1(A)+ I1(D). (14.34) S1 1 0 0 ··· 0 0 2S2 S1 1 0 ··· 0 0 = 3S3 S2 S1 1 ··· 0 0 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· (k - 1)Sk-1 Sk-2 Sk-3 Sk-4 ··· S1 1 kSk Sk-1 Sk-2 Sk-3 ··· S2 S1 Обратные к (14.33) соотношения представляются в виде sk = I1(Mk ) , k = 1, 2N. 2p Из (14.28) (см. также (14.19)) видно, что для задания тензорно-блочной матрицы M ∈ R4 (Ω), кроме 2N собственных значений λk, k = 1, 2N, необходимо задать 2N собственных тензорных столбцов Zk, k = 1, 2N. Следует заметить, что полная система собственных тензорных столбцов p Zk ∈ R2(Ω), k = 1, 2N и биортонормальная для нее система Zl, l = 1, 2N в представлении 2p M ∈ R4 (Ω) (см. (14.28)) удовлетворяют условиям биортонормальности (см. также (14.20)) p p p (Zk, Zl) = ZT ⊗ Zl = Xk ⊗ Xl + Yk ⊗ Yl = δl , k, l = 1, 2N. (14.35) k k p Заметим также, что если построена полная система собственных тензорных столбцов Zk ∈ R2(Ω), 4 k = 1, 2N тензорно-блочной матрицы M ∈ R2p(Ω) простой структуры, то в силу теоремы 14.1 p R4 всегда можно для нее построить биортонормальную систему Zl, l = 1, 2N (тензоры Zl, l = 1, 2N определяются с помощью тензоров Zk, k = 1, 2N ) и на основании теоремы 14.11 матрица M ∈ 2p(Ω) можно представить в виде (14.28). В этой связи можно сказать, что в соотношениях (14.35) неизвестными являются собственные тензорные столбцы Zk ∈ R2(Ω), k = 1, 2N. При этом, так как Zk = (Xk, Yk )T , k = 1, 2N, то полная система собственных тензорных столбцов Zk, k = 1, 2N задается с помощью 4N 2 компонент тензоров Xk и Yk, k = 1, 2N модуля Rp(Ω). Нетрудно видеть, что число соотношений в (14.35) равно 4N 2, однако из них независимыми являются N (2N + 1) соотношений. 2p Рассмотрим теперь симметрическую тензорно-блочную матрицу M ∈ R4 (Ω), которая в силу теоремы 14.7 всегда имеет полную ортонормированную систему собственных тензорных столбцов и представляется в виде (14.19), где не все λk, k = 1, 2N положительны (в силу теоремы 14.6 они положительны для положительно определенной тензорно-блочной матрицы). Кроме того, вы- полняются условия ортонормированности (14.20). Наша цель заключается в построении полной 14. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ СТОЛБЦЫ СИММЕТРИЧЕСКОЙ ТЕНЗОРНО-БЛОЧНОЙ МАТРИЦЫ ЧЕТНОГО РАНГА 111 2p ортонормированной системы собственных тензорных столбцов для симметрической тензорно-блоч- ной матрицы M ∈ R4 (Ω) в явном виде. 2p Из (14.19) видно, что для задания симметрической (необязательно положительно определенной) тензорно-блочной матрицы M ∈ R4 (Ω), кроме 2N собственных значений λk, k = 1, 2N, необхо- димо задать 2N собственных тензорных столбцов Wk, k = 1, 2N, которые образуют полную орто- нормированную систему и, следовательно, удовлетворяют условиям ортонормированности (14.20). Нетрудно заметить, что число соотношений в (14.20) равно (2N + 1)N, которые связывают между собой 4N 2 компонент собственных тензорных столбцов Wk = (Uk, Vk ), k = 1, 2N, что и было сказано выше. Итак, независимыми (свободными) остаются 4N 2 - (2N + 1)N = (2N - 1)N ком- 2p понент (параметров), с помощью которых следует построить полную ортонормированную систему собственных тензорных столбцов тензорно-блочной матрицы M ∈ R4 (Ω). В этой связи рассмотрим Q11 = esUs = Usteset, Q12 = esVs = Vsteset, Q21 = esUN +s = UN +steset, Q22 = esVN +s = VN +steset, s, t = 1, 2N, следующие тензоры модуля R2p(Ω): (14.36) где Wk = (Uk, Vk )T , k = 1, 2N, а es, s = 1,N - ортонормированный базис модуля Rp(Ω), т. е. p es ⊗ et = δst, s, t = 1,N. Далее с помощью тензоров (14.36) построим следующую тензорно-блочную матрицу модуля R4 2p(Ω): ( Q11 Q12 \\ ( T ( QT T \\\\ 11 Q21 Q = Q21 Q22 Q = QT T , (14.37) 12 Q22 2p Если тензорные столбцы Wk = (Uk, Vk )T , k = 1, 2N удовлетворяют условиям ортонормирован- ности (14.20), то, учитывая (14.22), (14.36) и (14.37), нетрудно доказать, что тензорно-блочная матрица Q ∈ R4 (Ω) (14.37) удовлетворяет условиям p p Q ⊗ QT = QT ⊗ Q = E. (14.38) 2p На основании (14.38) заключаем, что Q ∈ R4 (Ω) - ортогональная тензорно-блочная матрица. Далее отметим, что условия ортонормированности (14.20) эквивалентны тензорному соотношению p Q ⊗ QT = E. (14.39) 2p 2p Таким образом, ортогональная тензорно-блочная матрица (14.37) модуля R4 (Ω) имеет 4N 2 ком- понент, которые связаны между собой тензорным соотношением (14.39), равносильным (2N + 1)N соотношениям (14.20), и, следовательно, среди 4N 2 компонент независимыми остаются (2N - 1)N, с помощью которых следует построить полную ортонормированную систему собственных тензор- ных столбцов симметрической тензорно-блочной матрицы M ∈ R4 (Ω). В этой связи используем теорему 13.7 о представлении невырожденного квадратного тензора любого четного ранга, которую для невырожденной квадратной тензорно-блочной матрицы можно сформулировать следующим об- разом. 2p Теорема 14.13. Для того чтобы квадратная невырожденная тензорно-блочная матрица модуля M ∈ R4 (Ω) представлялась в виде произведения левого треугольного (унитреугольного) и правого унитреугольного (треугольного) тензорно-блочных матриц, необходимо и достаточно, чтобы определители всех ведущих главных субтензоров этой тензорно-блочной матрицы (субматриц матриц компонент) были отличны от нуля. Заметим, что имеет место более общая теорема, которая получается из теоремы 14.13, если в ее формулировке R4 (Ω) заменить на Rm2 (Ω), где m - произвольное натуральное число и которая, 2p 2p конечно, применима к тензорно-блочным матрицам типа (14.2). Если применим теорему 14.13 к ортогональной тензорно-блочной матрице (14.37) модуля R4 2p(Ω), то можно написать p Q = L ⊗ R, (14.40) 112 ГЛАВА 4. ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ТЕНЗОРА И ТЕНЗОРНО-БЛОЧНОЙ МАТРИЦЫ ЛЮБОГО ЧЕТНОГО РАНГА где левая треугольная тензорно-блочная матрица L и правая унитреугольная тензорно-блочная матрица R представляются в виде ( L11 0 L = L21 L22 \\ ( R11 R12 , R = 0 R22 \\ . (14.41) Нетрудно видеть, что матрицы L, L11, L21, L22 и R, R11, R12, R22, соответствующие объектам L, L11, L21, L22 и R, R11, R12, R22 имеют вид L = ( L11 0 L21 L22 \\ ( R11 R12 , R = 0 R22 \\ , (14.42) ⎛ l11 0 0 ··· 0 0 ⎞ ⎜ l21 l22 0 ··· 0 0 ⎟ ⎜ ⎜ l31 l32 l33 ··· 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ··· ··· ⎜ lN-11 lN-12 ⎝ lN 1 lN 2 ··· lN-13 lN 3 ··· ··· ··· ··· lN-1N-1 lNN-1 ··· ⎟ 0 ⎟ ⎠ lNN lN +11 lN +12 lN +13 ··· lN +1N-1 lN +1N lN +21 lN +22 lN +23 ··· lN +2N-1 lN +2N lN +31 lN +32 lN +33 ··· lN +3N-1 lN +3N ··· ··· ··· ··· ··· ··· L11 = ⎜ ⎟ , (14.43) ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ L21 = ⎜ ⎜ ⎝ ⎜ l2N-11 l2N-12 l2N-13 ··· l2N-1N-1 l2N-1N l2N 1 l2N 2 l2N 3 ··· l2NN-1 l2NN ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ , (14.44) ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ L22 = ⎜ ⎜ lN +1N +1 0 0 ··· 0 0 lN +2N +1 lN +2N +2 0 ··· 0 0 lN +3N +1 lN +3N +2 lN +3N +3 ··· 0 0 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ , (14.45) ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ l2N-1N +1 l2N-1N +2 l2N-1N +3 ··· l2N-12N -1 0 ⎟ l2NN +1 l2NN +2 l2NN +3 ··· l2N 2N-1 l2N 2N ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ R11 = ⎜ ⎜ 1 r12 r13 r14 ··· r1N-1 r1N 0 1 r23 r24 ··· r2N-1 r2N 0 0 1 r34 ··· r3N-1 r3N 0 0 0 1 ··· r4N-1 r4N ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ , (14.46) ⎟ ⎜ ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ 0 0 0 0 ··· 1 rN-1N ⎟ 0 0 0 0 ··· 0 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ R12 = ⎜ ⎜ r1N +1 r1N +2 r1N +3 r1N +4 ··· r12N -1 r12N r2N +1 r2N +2 r2N +3 r2N +4 ··· r22N -1 r22N r3N +1 r3N +2 r3N +3 r3N +4 ··· r32N -1 r32N ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ , (14.47) ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ rN-1N +1 rN-1N +2 rN-1N +3 rN-1N +4 ··· rN-12N -1 rN-12N ⎟ rNN +1 rNN +2 rNN +3 rNN +4 ··· rN 2N-1 rN 2N ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ R22 = ⎜ 1 rN +1N +2 rN +1N +3 rN +1N +4 ··· rN +12N-1 rN +12N 0 1 rN +2N +3 rN +2N +4 ··· rN +22N-1 rN +22N 0 0 1 rN +3N +4 ··· rN +32N-1 rN +32N ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ . (14.48) ⎜ ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ 0 0 0 0 ··· 1 r2N-12N ⎟ 0 0 0 0 ··· 0 1 Далее тензоры L11, L21, L22, R11, R12, R22 представим следующим образом: L11 = esls·, L21 = esms·, L22 = eslN +s·, R11 = esrs·, R12 = esns·, R22 = esrN +s·, s = 1,N, (14.49) 14. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ СТОЛБЦЫ СИММЕТРИЧЕСКОЙ ТЕНЗОРНО-БЛОЧНОЙ МАТРИЦЫ ЧЕТНОГО РАНГА 113 где для составляющих тензоров введены обозначения s N s ls· = }, lstet, ms· = }, lN +stet, lN +s· = }, lN +sN +tet, s = 1,N ; t=1 N t=1 t=1 N rs· = es + }, t=s+1 rstet, s = 1,N -1, rN· = eN ; ns· = }, rsN +tet, s = 1,N ; t=1 (14.50) rN +s· = es + N }, t=s+1 rN +sN +tet, s = 1,N -1, r2N· = eN . Учитывая (14.37) и (14.41), из (14.40) получим / L p p \\ ( Q11 Q12 \\ ( L11 0 = \\ p ( R11 R12 \\= 11 ⊗R11 L11 ⊗R12 p p p . Q21 Q22 L21 L22 ⊗ 0 R22 L21 ⊗R11 L21 ⊗R12 + L22 ⊗R22 Отсюда в свою очередь находим p p Q11 = L11 ⊗R11, Q12 = L11 ⊗R12, (14.51) p p p Q21 = L21 ⊗R11, Q22 = L21 ⊗R12 + L22 ⊗R22. В силу (14.36), (14.49) и (14.50) из (14.51) будем иметь s N s Us = }, lstrt·, UN +s = }, lN +strt·, Vs = }, lstnt·, t=1 N t=1 s t=1 (14.52) VN +s = }, lN +stnt· + }, lN +sN +trN +t·, s = 1,N. t=1 Следует отметить, что системы тензоров t=1 r1·, r2·,..., rN·; rN +1·, rN +2·,..., r2N·; U1·, U2·,..., UN· в (14.52) линейно независимы. Введем в рассмотрение тензорные столбцы T Ts = (rs·, ns·) T , s = 1,N, Tt = (0, rt·) , t = N +1, 2N, (14.53) где 0 - нулевой тензор p-го ранга, а rs·, ns· и rN +s· задаются формулами (14.50). Нетрудно доказать, что система тензорных столбцов Ts, s = 1, 2N линейно независима. Следо- вательно, линейно независимы и подсистемы Ts, s = 1,N и Tt, t = N + 1, 2N так же, как и любая подсистема линейно независимой системы Ts, s = 1, 2N. Далее легко усмотреть, что имеют место соотношения s Ws = (Us, Vs)T = }, lstTt, s = 1, 2N. (14.54) t=1 Из (14.54) видно, что полную ортонормированную систему тензорных столбцов Ws = (Us, Vs)T , s = 1, 2N можно получить с помощью процедуры ортонормирования Грама-Шмидта [5, 7, 36, 80] линейно независимой системы тензорных столбцов Ts, s = 1, 2N (14.53). В самом деле, проводя процесс ортогонализации и нормирования системы тензорных столбцов Ts, s = 1, 2N, для коэффициентов lst, s = 1, 2N, t = 1,s в (14.54) после простых, хотя громоздких выкладок получим следующие выражения: d0 S(m) (m) ( 12 ··· t - 1 tt +1 ··· m - 1 \\ l11 = √ , lmt = / mt , Smt =(-1)m+tS , ± d0d1 ± dm-1dm 12 ··· t - 1 t +1 ··· m (14.55) m = 2,N, t = 1, m, где введены следующие обозначения: s11 s12 ··· s1m p d0 = 1, dm = detSm = s21 s22 ··· s2m , smt = (Tm, Tt) = TT ⊗Tt, m, t = 1, 2N, m ··· ··· ··· ··· sm1 sm2 ··· smm 114 ГЛАВА 4. ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ТЕНЗОРА И ТЕНЗОРНО-БЛОЧНОЙ МАТРИЦЫ ЛЮБОГО ЧЕТНОГО РАНГА S(m) st1 st2 ··· stt 1 0 s ··· s s11 s12 ··· s1t-1 0 s1t+1 ··· s1m s21 s22 ··· s2t-1 0 s2t+1 ··· s2m ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· , ≡m = 1, 2N⊆, t = 1, m, mt = ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· sm-11 sm-12 ··· sm-1t-1 0 sm-1t+ 1 ··· sm-1m 0 0 ··· 0 1 0 ··· 0 s11 s21 s12 s22 ··· ··· s1t-1 s2t-1 - tt+1 tm ( 12 ··· t - 1 tt +1 ··· m - 1 \\= s1t+1 ··· s1m s2t+1 ··· s2m ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· S S(m) 12 ··· t - 1 t +1 ··· m s , m st1 st2 ··· stt-1 stt +1 ··· st ··· m-11 ··· sm-12 ··· ··· ··· ·· sm-1t-1 sm- · ··· 1t+1 ··· · sm ·· -1m mt - алгебраическое дополнение элемента smt субматрицы Sm = matr(skl), k, l = 1, m, а S ( 12 ··· t - 1 tt +1 ··· m - 1 \\ - минор m 12 ··· t - 1 t +1 ··· m - 1-го порядка для определителя detSm , получающийся вычеркиванием m-ой строки и t-го столбца. 2p Учитывая (14.55), из (14.54) после несложных преобразований для искомых собственных тен- зорных столбцов симметрической тензорно-блочной матрицы M ∈ R4 (Ω) получим следующие выражения: s11 s12 ··· s1m-1 T1 s21 s22 ··· s2m-1 T2 s31 s32 ··· s3m-1 T3 1 1 W1 = √ T1, Wm = ± d0d1 - m ±/dm 1d , m = 2, 2N. (14.56) ··· ··· ··· ··· ··· sm1 sm2 ··· smm-1 Tm Следует заметить, что с помощью формул (14.56) полная система собственных тензорных столбцов Wm ∈ R2(Ω), m = 1, 2N симметрической тензорно-блочной матрицы M ∈ R4 (Ω) определяется p посредством 2p (2N - 1)N независимых параметров - компонент унитреугольной тензорно-блочной матрицы R относительно произвольной системы координат (произвольного ортонормированного базиса n-мерного пространства). Очевидно, за счет выбора системы координат число независимых параметров в некоторых случаях можно уменьшить на несколько единиц. Ниже этот вопрос подробнее рассмотрен в частном случае. Здесь в общем случае на этом останавливаться не будем. 2p Таким образом, для описания внутренней структуры симметрической тензорно-блочной матри- цы M ∈ R4 (Ω) достаточно вместо компонент составляющих тензоров A, B = CT и D в какой-то системе координат задать инвариантные характеристики, т. е. собственные значения λk, k = 1, 2N и собственные тензорные столбцы Wm, m = 1, 2N, которые определяются с помощью (2N - 1)N независимых параметров относительно произвольной системы координат, а относительно специ- 2p ально выбранной системы координат число независимых параметров в некоторых случаях можно уменьшить на несколько единиц. Заметим, что эти инвариантные характеристики должны слу- жить для сравнения и классификации симметричных тензорно-блочных матриц модуля R4 (Ω). 2p 2p Следовательно, провести аналогичное исследование для симметричной тензорно-блочно-диаго- нальной матрицы модуля R4 (Ω) как частного случая симметричной тензорно-блочной матрицы модуля R4 (Ω) не представляет большого труда. ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ТЕНЗОРНО-БЛОЧНО-ДИАГОНАЛЬНОЙ МАТРИЦЫ 2 2p Выше было определено, что тензорно-блочно-диагональная матрица модуля M ∈ Rm (Ω) имеет 2p вид (14.3), а матрица модуля M ∈ R4 (Ω) представляется в форме (14.9). При этом отметим, что 2p если изучим внутреннюю структуру тензорно-блочно-диагональной матрицы модуля M ∈ R4 (Ω), 2 2p то аналогично сказанному выше относительно матрицы (14.2) результаты ее исследования легко распространить на подобную ей матрицу модуля M ∈ Rm (Ω). Поэтому, а также с целью сокраще- ния письма ограничимся рассмотрением матрицы (14.9). ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ТЕНЗОРНО-БЛОЧНО-ДИАГОНАЛЬНОЙ МАТРИЦЫ 115 2p Нетрудно видеть, что характеристическое уравнение тензорно-блочно-диагональной матри- цы (14.9) модуля M ∈ R4 (Ω) представится в виде det(M - λE) = det ( A - λE 0 0 D - λE \\ = det(A - λE)det(D - λE) = 0. (15.1) На основании (15.1) заключаем, что λ является собственным значением тензорно-блочно- диагональной матрицы (14.9), тогда и только тогда, когда оно является собственным значением либо тензора A, либо тензора D. Другими словами, множество собственных значений тензор- но-блочно-диагональной матрицы (14.9) с учетом алгебраических кратных равно объединению множеств собственных значений субтензоров A и D. В силу теоремы 14.2, если (14.9) - поло- жительно определенная тензорно-блочно-диагональная матрица, то ее субтензоры A и D также положительно определены, т. е. собственные значения как тензора A, так и тензора D положи- тельны. Вообще говоря, имеет место следующая теорема. 2 д 2p Теорема 15.1. Тензорно-блочно-диагональная (тензорно-блочно-треугольная) матрица мо- дуля M ∈ Rm (Ω) положительно определена, тогда и только тогда, когда ее субтензоры ( иагональные субтензоры) положительно определены. Здесь, конечно, m - произвольное натуральное число. Очевидно, нахождение решений характеристического уравнения (15.1) равносильно нахожде- нию решений уравнений det(A - λE) = 0, det(D - λE) = 0, (15.2) и, конечно, объединение множеств корней уравнений (15.2) - множество собственных значений тензорно-блочно-диагональной матрицы (14.9). Видно, что каждое из уравнений (15.2) является уравнением N -ой степени (см. (13.6) и (13.7)) относительно λ и в случае симметрической (по- ложительно определенной) тензорно-блочно-диагональной матрицы (14.9) имеет N вещественных (положительных) корней, причем каждый корень считается столько раз, какова его кратность. Обозначая через Wp, p = 1, 2N собственные тензорные столбцы тензорно-блочно-диагональной матрицы M (14.9), соответствующие собственным значениям λp, p = 1, 2N, будем иметь ( A 0 M = 0 D \\ 2N = p=1 p λpWpWT . (15.3) Отметим, что приведенные в [72] теоремы для треугольной блочной матрицы применительно к треугольной тензорно-блочной, а также к тензорно-блочно-диагональной матрице можно сформу- лировать следующим образом: Теорема 15.2. Если λk, 1 k N - собственное значение субтензора A, но не явля- ется собственным значением D, то собственный тензорный столбец Wk тензорно-блочно- диагональной матрицы M (14.9), соответствующий собственному значению λk, имеет вид Wk = (Uk, 0)T , где Uk - собственный тензор субтензора A, соответствующий собственному значению λk, а 0 - нулевой тензор p-го ранга. Теорема 15.3. Если λm, N + 1 m 2N - собственное значение субтензора D, но не является собственным значением A, то собственный тензорный столбец Wm тензорно-блоч- но-диагональной матрицы M (14.9), соответствующий собственному значению λm, имеет вид Wm = (0, Vm)T , где Vm - собственный тензор субтензора D, соответствующий соб- ственному значению λm, а 0 - нулевой тензор p-го ранга. Теорема 15.4. Если λk - общее собственное значение субтензоров A и D, то собственный тензорный столбец Wk тензорно-блочно-диагональной матрицы M (14.9), соответствующий собственному значению λk, имеет вид Wk = (Uk, Vk )T , где Uk и Vk - собственные тензоры субтензоров A и D соответственно, отвечающие собственному значению λk. Если λ1, λ2,..., λN и U1, U2,..., UN - собственные значения и соответствующие им собствен- ные тензоры субтензора A, а μ1, μ2,..., μN и V1, V2,..., VN - собственные значения и соответ- ствующие им собственные тензоры субтензора D и {λ1, λ2,..., λN }∩{μ1, μ2,..., μN } = ∅, где ∅ - 116 ГЛАВА 5. ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ТЕНЗОРА И ТЕНЗОРНО-БЛОЧНОЙ МАТРИЦЫ ЛЮБОГО ЧЕТНОГО РАНГА пустое множество, то в силу теорем 15.2 и 15.3 тензорно-блочно-диагональную матрицу M (15.3) можно представить в виде ( A 0 M = 0 D \\ N = }, λk k=1 ( Uk 0 \\ N ( 0 (Uk, 0)+ }, μl l=1 Vl \\ (0, Vl) = ⎛ N ⎞ }, λk Uk Uk 0 (15.4) Из (15.4), очевидно, находим N = ⎜ k=1 ⎜ ⎝ 0 N ⎟ . N ⎟ }, λlVlVl ⎠ l=1 A = }, λk Uk Uk, D = }, μlVlVl, (15.5) k=1 как и требуется. Следует заметить, что если l=1 λ1 = λ2 = ... = λN ≡ λ, μ1 = μ2 = ... = μN ≡ μ, то тензоры (15.5) представляются в форме N N A = λ }, Uk Uk = λE, D = μ }, VlVl = μE. (15.6) k=1 l=1 С учетом (15.6), в рассматриваемом случае тензорно-блочно-диагональная матрица получит вид Если λ = μ, то из (15.7) получим ( λE 0 M = 0 μE \\ . (15.7) M = λ ( E 0 0 E \\ = λE. (15.8) На основании (15.7) и (15.8) целесообразно ввести Определение 15.1. Тензорно-блочно-диагональная матрица, которая имеет вид (15.7) (соответ- ственно, (15.8)), называется изотропной (соответственно, идеально изотропной). 2p Не нарушая общности, допустим теперь, что среди собственных значений λ1, λ2,..., λN и μ1, μ2,..., μN тензоров A и D первые m совпадают, т. е. λk = μk, k = 1, m, а собственные тензоры этих тензоров обозначим, как и выше, через Uk и Vk, k = 1,N соответственно. Тогда в силу теоремы 15.4 первые m собственных тензорных столбцов тензорно-блочно-диагональной матрицы M ∈ R4 (Ω), отвечающие собственным значениям λk = μk, k = 1,m соответственно, будут иметь вид Wk = (Uk, Vk )T , k = 1, m. Следовательно, A и D представятся в виде N A = }, λk Uk Uk = k=1 m }, λk Uk Uk + k=1 N }, k=m+1 λk Uk Uk, N m N D = }, μlVlVl = }, λlVlVl + }, μlVlVl, l=1 l=1 l=m+1 2p а тензорно-блочно-диагональную матрицу M ∈ R4 (Ω) можно записать в форме ( A 0 M = 0 D \\ m = }, λk k=1 ( Uk Vk \\ (Uk, Vk )+ N Г + }, λk k=m+1 ( Uk 0 \\ ( 0 V (Uk, 0) + μk k \\ l (0, Vk ) . 2p Таким образом, из сказанного выше следует, что при изучении внутренней структуры тензор- но-блочно-диагональной матрицы M ∈ R4 (Ω) достаточно рассматривать задачу на собственные значения тензора модуля R2p (Ω) , которая довольно подробно изучена выше. УДЕЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ И ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 117 ГЛАВА 5 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ УДЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ДЕФОРМАЦИИ И ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ В ЛИНЕЙНОЙ МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Удельную энергию деформации и определяющие соотношения (ОС) в линейной микрополяр- ной теории упругости анизотропного тела [16, 58, 78] (см. также [39, 40, 43]), не обладающего центром симметрии в смысле упругих свойств, при изотермических процессах можно записать соответственно в форме 1 ijkl ijkl ijkl Φ(γ, κ) = 2 (A γijγkl + 2B γij κkl + D κij κkl) = (16.1) 1 2 2 2 2 2 2 ) = (γ A γ + 2γ B κ + κ D κ , 2 ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ∂Φ 2 2 ∂Φ 2 2 P = ∂γγ = A⊗γ + B⊗κ, μ = ∂κ = C⊗γ + D⊗κ, (16.2) где γ = ∇u - C · ϕ - те нзор дефор мац ий, = ∇ϕ - тензор и зги ба-к руче ния, u - вектор переме- κ щен ий, ϕ - вектор внутренних вращений, C - дискриминантный тензор третьего ранга, AT = A, DT = D, CT = B - материальные тензоры четвертого ранга, называемые тензорами моду й уп ле ру ⊗ г ости, P и μ - т ензоры напряжений и моментных напряжений, 2 - внутреннее 2-произведение. Ввод я в рассмотрение тензорные столбцы тензоров деформаций и изгиба-кручения и тензоров напряжений и моментных напряжений, а также тензорно-блочную матрицу тензоров модулей упругости ( γ \\ ( T X = X = ( γ, κ ) \\ ( P \\ , Y = (YT = ( P, μμ ) \\ , (16.3) κ μ ( A M = C B \\ (MT D = M ) , (16.4) удельную энергию деформации и можн о за писа ви ОС ть в де 2 2 2 (( P \\ ( A B \\ 2 ( γ \\\\ 2Φ(γ, κ) = XT ⊗M⊗X , Y = M⊗X μ = C D ⊗ κ . (16.5) Если матери лад ц м с е смыс ле упруги х с войств, т о B = 0, где 0 - ал об ает ентро имм трии в нулевой тензор четвертого ранга, и тензорно-блочная матрица тензоров модулей у пруго сти (16 .4) получит вид тензорно-блочно-диагональной матрицы ( A 0 M = 0 D \\ . (16.6) 4 Следует отметить, что тензорные столбцы X и Y являются элементами модуля R2(Ω), а тен- зорно-блочная матрица M - элементом модуля R4( Ω) и, следовательно, все сказанное выше от- 2p носительно A ∈ R2p(Ω) и M ∈ R4 (Ω) в равной мере относится к A ∈ R4(Ω) и M 4 ∈ R4(Ω) 4 соответственно (здесь в R2p(Ω) и R2p(Ω) через Ω обозначена некоторая область n-мерного про- 4 странства, а в R4(Ω) и M ∈ R4(Ω) через Ω обозначена некоторая область трехмерного простран- 4 ства). В этой связи на ра ссмотрении некоторых вопросов, относящихся к A ∈ R4(Ω) и 4 M ∈ R4(Ω), подробно останавливаться не будем. Необходимые соотношения будем вы писывать, исх одя из полученных выше аналогичных соотношений, а также будем ссылаться на сформулированные выше определения и теоремы, не перефразируя их, хотя с целью облегчения чтения материала иногда приводятся соответствующие формулировки для рассматриваемого случая. Отметим также, что при дальнейшем изложении, как и выше в общем случае, для несимметричных тензоров второго ранга используем двуиндексные и одноиндексные, а для тензоров четвертого ранга - четырехин- дексные и двуиндексные представления. Например, если P - тензор второго ранга, а A - тензор 118 ГЛАВА 5. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ четвертого ранга, то для них будем иметь представления 9 P = Pij eiej = }, Pmem = Pmem, ei · ej = δij, m=1 9 9 A = Aijkleiej ek el = }, }, Amnemen = Amnemen, i, j, k,l = 1, 2, 3, m, n = 1, 9, m=1 n=1 где em, m = 1, 9 - тензоры ортонормированного базиса для тензора второго ранга относительно опер ации внутреннего 2-произведения, которые представляются в виде 1 e1 = e1e1, e2 = e2e2, e3 = e3e3, e4 = √ (e1e2 + e1e2), 1 2 1 1 e5 = √ (e2e3 + e3e2), e6 = √ (e3e1 + e1e3), e7 = √ (e1e2 - e1e2), 2 2 2 1 1 2 e8 = √ (e2e3 - e3e2), e9 = √ (e3e1 - e1e3), em⊗ em = δmn, m, n = 1, 9. 2 2 Здесь и далее δpq, как и выше, обозначает дельта Кронекера. Естественно, аналогично общему случаю можно рассматривать задачу о нахождении собствен- ных значений и собственных тензорных столбцов тензорно-блочной матрицы (16.4), которую мож- но сформулировать следующим образом. Задача на собственные значения тензорно-блочной матрицы. Найти все тензорные столбцы ( u \\ ( T W = W = ( u, v )\\, (16.7) v - - где u и v - тензоры второго ранга, котор ые удовлетворяют уравнению ⎡ ⎛ 2 2 ⎞⎤ 2 ( A B \\ 2 ( u \\ A⊗u + B⊗v M⊗W = λW ⎣ C D ⊗ v = ⎝ 2 2 ⎠⎦ , (16.8) - - C⊗u + D⊗v где λ - скаляр. Заметить, что левая часть (16.8) содержит две операции: матричное умножение тензорно- блочной матрицы M на тензорный столбец W и внутреннее 2-произведение (в квадратных скобках в развернутом вид е выписаны левая часть (-16.8) и результат этих операций). Заметим также, что уравнение (16.8) всегда имеет тривиальное решение W = O, где O - нулевой тензорный столбец второго ранга. В дальнейшем, говоря о решении ур-авнен ия (16. 8), будем иметь в виду только нетривиальное нормированное решение, т. е. будем считать, что / 2 / 2 2 W /= O, ||W|| = WT ⊗W = u⊗u + v⊗v = 1, - - - - 2 где ||W|| обозначает норму тензорного столбца W, а (W, W) = WT ⊗W - скалярное произведение тензо-рного столбца W на себя. - - - - - Если для некотор-ого скаляра λ уравнение (16.8) имеет нетривиальное решение W, то λ на- зывается собственным значением (числом) тензорно-блочной матрицы M, а W - со-бственным тензорным столбцом, соответствующим собственному значению λ. Сле дует -заметить, что так 2 как MT = M, то легко доказать, что WT ⊗ M = λWT . Вв едем о пределение положительно-опре деленн-ой симметрической тензорно-блочной матрицы (см. определение 14.16). 4 Определение 16.1. Симметрическая тензорно-блочная матрица M ∈ R4(Ω) называется поло- 2 2 жительно определенной, если образуемая по ней квадратичная форм а WT M W положительна ⊗ ⊗ 2 для любого отличного от нуля вещественного тензорного столбца W ∈ R-2(Ω). - Нетрудно заметить, что в силу положительной определенност-и удельной энергии деформа- ции [16, 78] и определения 16.1 имеет место теорема (см. теорему 14.2): 16. УДЕЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ И ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 119 Теорема 16.1. Тензорно-блочная матрица M тензоров модулей упругости положительно определена, и, как следствие тензоры модулей упругости, (субтензоры) A и D положительно определены. В дальнейшем приведенные выше соотношения для удельной энергии деформации и ОС будем считать записанными в безразмерных величинах, так как это всегда можно сделать. Нетрудно видеть, что уравнение (16.8) можно записать в виде ( A - λE B \\ 2 ( u \\ ( 2 \\ = 0 (16.9) C D - λE ⊗ v (M - λE)⊗W = 0 , - где E = C(2) = eiej eiej - единич ный т ензор чет вертого ранга относительно операции внутреннего 2-пр оизве дения, ei · ej = δij, ij = 1, 2, 3, а E - единичная тензорно-блочная матрица вида ( E 0 \\ E = . 0 E Видно, что (16.9) представляет однородную си стем у 18 уравнений относительно 18 неизвестных (два несимметричных тензора u и v), которая должна иметь нетривиальное решение. Для суще- ствования нетривиального реше ния системы уравнений (16.9) необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю, т. е. ( A - λE B \\ ( A - λE B \\ = 0 ( \\ (16.10) det C D - λE = det C D - λE det(M - λE) = 0 , где A, B, C, D и E - матри цы компонент тензоров A, B, C, D и E соответственно относительно мультибазиса emen, m, n = 1, 9. Очевидно, ( 16. 10) - алгебраическое уравнение 18 степени относительно λ, называемое харак- теристическим уравнением тензорно-блочной матрицы M. Так как в силу теоремы 16.1 тензор- но-блочная матрица M положительно определена, то о на с помощью правого унитреугольного преобразования перем енных приводится к диагональной (канонической) матрице, диагональные элементы которой в силу теоремы Сильвестра положительны. Другими словами, алгебраиче- ское уравнение (16.10) имеет 18 положительных корней (собственных значений), причем каждый корень считается столько раз, какова его кратность. Обозначив корни уравнения (16.10) через λ1, λ2,..., λ18 и перенумеровав их в порядке убывания, будем иметь λ1 λ2 λ3 ... λ18 > 0. (16.11) В силу теоремы 14.7 положительно определенная симметрическая тензорно-блочная матри- ца M всегда имеет полную ортонормированную систему собственных тензорных столбцов. В расс матриваемом случае, очевидно, полная ортонормированная система собственных тензорных столбцов тензорно-блочной матрицы (16.4) состоит из 18 тензорных столбцов. Обозначим через Wp = (up, vp)T , p = 1, 18 полную ортонормированную систему собственных тензорных столбцов -положит ель но определенной симметричной тензорно-блочной матрицы (16.4), отвечающих соб- ственным значениям λp, p = 1, 18 соответственно. Тогда матрицу (16.4) можно представить в следующем виде: 18 18 ( u \\ 18 ( u ⊗ u u ⊗ v \\ M = }, λpWp ⊗ WT = }, λp p ⊗( up vp ) = }, λp p p p p , (16.12) p=1 - p - p=1 v p p=1 v p ⊗ u p v p ⊗ v p где, конечно, имеют место условия о ртонормированности 2 2 2 p (Wp, Wq ) = WT ⊗Wq = up⊗uq + vp⊗vq = δpq, p, q = 1, 18. (16.13) Учитывая выражен-ия д-ля тен-зорно--блочн ой м атриц ы (1 6.3), из (16.12) получим 18 18 18 A = }, λpupup, B = CT = }, λpupvp, D = }, λpvpvp. (16.14) p=1 p=1 p=1 Нетрудно доказать, что обратная к (16.12) тензорно-блочная матрица M-1 имеет вид 18 M-1 = }, λ-1 18 T }, -1 ( upup upvp \\ . (16.15) p=1 p WpWp = - - λp p=1 v pu p v pv p 120 ГЛАВА 5. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ Вообще говоря, для любого целого числа α будем иметь 18 18 ( u u u v \\ Mα = }, λαWpWT = }, λα p p p p . (16.16) p p p=1 - - p p=1 v pu p v pv p В частности, из (16.16) при α = 0 имеем 18 18 ( u \\ 18 ( u ⊗ u u ⊗ v \\ E = M0 = }, Wp ⊗ WT = }, p ⊗( up vp ) = }, p p p p . (16.17) p=1 - p - p=1 v p p=1 v p ⊗ u p v p ⊗ v p Заметим, что в соотношениях и (16.17) применяется зн пр о н рного умножения (16.12) ак ям го те зо ⊗, который, как было сказано выше, в других соотношениях опускается. Представления удельной энергии деформации и определяющих соотношений с помо- щью собственных значений и собственных тензорных столбцов. Учитывая (16.8), из (16.5) получим 18 2 2 18 2 2Φ(γ, κ) = }, λpXT ⊗WpWT ⊗X, Y = }, λpWpWT ⊗X. (16.18) p=1 p - - p p=1 - - Умножая обе части второго соотношения (16.18) скалярно на Wα и учитывая (16.13), определяю- щие соотношения можно записать в виде 2 - 2 ) (Y, Wα) = λα(X, Wα) (YT ⊗Wα = λαXT ⊗Wα , ≡ α = 1, 18 ⊆. (16.19) Заметим, что формул ам-и (16.19) д ан-ы экв ивал-ентные за писи-определяющих соотношений. Вводя обозначения 2 2 2 2 α Xα = (X, Wα) = XT ⊗Wα = WT ⊗X = uα⊗γ + vα⊗κ, (16.20) Yα - T 2 - ⊗ = -T 2 2 2 = (Y, Wα) = Y Wα Wα ⊗Y = uα ⊗P + vα ⊗μ, ≡ α = 1, 18 ⊆, удельная энергия дефо рм-ации (п ерво-е раве-нство (16. 18)) и О С (1 6.19) представляются соответ- ственно в форме 18 p 2Φ(γ, κ) = }, λpX2, Yα = λαXα, ≡ α = 1, 18 ⊆. (16.21) p=1 Умножая обе части первого равенства (16.20) слева тензорно на Wα, а затем полученное соот- ношение суммируя от 1 до 18, в силу (16.17) получим - 18 18 2 2 18 18 2 2 X= }, XαWα = }, (uα⊗γ + vα⊗κ)Wα, Y= }, YαWα = }, (uα⊗γ + vα⊗κ)Wα, (16.22) α=1 - α=1 - α=1 - α=1 - где вторая формула (16.22) написано по аналогии с первой. Следует заметить, что формулы (16.22) представляют собой разложения тензорных столбцов X и Y по ортонормированному базису Wα, α = 1, 18, а Xα и Yα являются проекциями X и Y соот ветст венно на Wα. - Нетрудно заметить, что, учитывая перво е ра венство (16.20), из в-торого соотношения (16.18) получим следующие представления тензоров напряжений и моментных напряжений: 18 18 2 2 P = }, λpXpup = }, λp(up⊗γ + vp⊗κ)up, p=1 18 p=1 18 2 2 (16.23) μ = }, λpXpvp = }, λp(up⊗γ + vp⊗κ)vp. p=1 p=1 Нетрудно выписать обратные определяющие соотношения. В самом деле, например, из второго равенства (16.5) в силу (16.15) и второго равенства (16.20) находим 2 18 2 18 X = M-1 ⊗Y = }, λ-1WpWT ⊗Y = }, λ-1YpWp, Xα = λ-1Yα, ≡ α = 1, 18 ⊆. (16.24) p p p=1 - - p α p=1 - 16. УДЕЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ И ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 121 Учитывая второе равенство (16.20), из первого соотношения (16.24) аналогично (16.23) будем иметь 18 18 2 2 γ = }, λ-1Ypup = }, λ-1(up⊗P + vp⊗μ)up, p p=1 18 p p=1 18 2 2 κ = }, λ-1Ypvp = }, λ-1(up⊗P + vp⊗μ)vp. p p=1 p p=1 Собственные тензорные столбцы тензорно-блочной матрицы. Из формул (16.12) и (16.19) видно, что по существу нет необходимости решать уравнение 18 степени (16.10), а следу- ет просто M из (16.4) представить по формуле (16.12) и использовать определяющие соотношения, записанны е в виде (16.19). Из (16.12) видно, что для задания тензорно-блочной матрицы (16.4), кроме 18 собственных значений λp, p = 1, 18, называемых еще собственными модулями упруго- сти, необходимо задать 18 собственных тензорных столбцов Wp, p = 1, 18, называемых еще соб- ственными тензорными столбцами упругих состояний. По-строим эти собственные тензорные столбцы упругих состояний в явном виде. Прежде всего отметим, что условия ортонормирован- ности (16.13) представляют 171 соотношение, которые связывают между собой 324 компоненты тензорных столбцов Wp = (up, vp)T , p = 1, 18. Итак, свободными (независимыми) остаются 153 компоненты (парамет-ра), с п омо щью которых следует построить собственные тензорные столбцы тензорно-блочной матрицы (16.4). В этой связи рассмотрим следующие тензоры четвертого ранга: W11 = emum = umnemen, W12 = emvm = vmnemen, W- 21 = emu 9+m = u9 +m nemen-, W2 2 = emv9+m = v9+mnemen, (16.25) посредством кото - п м следующ нзор--бло матрицу: рых острои ую те но чную ( W11 W12 \\ ( T ( WT T \\\\ W = W = 11 W21 . (16.26) W- 21 W- 22 W- T - T - - - 12 W22 - - - Легко доказать, что тензорно-блочная матрица (16.26) удовлетворяет условиям 2 2 W⊗WT = WT ⊗W = E. (16.27) На основании (16.27) заключаем, - орт - я ензорно-блочная матрица модуля R4. что W - огональна т 4 Кроме того, легко проверить, что соотн-ошения (16.13) эквивалентны соотношению 2 W⊗WT = E. (16.28) Таким образом, тензорно-блочная мат - а - имеет 324 компоненты, которые связаны риц (16.26) между собой тензорным соотношением (16.28), равносильным 171 соотношению (16.13), и, следо- вательно, среди 324 компонент независимыми остаются 153 компоненты (параметра), с помощью которых следует построить собственные тензорные столбцы тензорно-блочной матрицы M. В этой связи, применяя теорему 14.13 к ортогональной тензорно-блочной матрице (16.26), м ы можем написать 2 W = L⊗R, (16.29) где левая треугольная тензорно-блочная ма-триц а L и правая унитреугольная тензорно-блочная матрица R имеют вид ( L11 0 L = \\ , R = ( R11 R12 \\ . (16.30) L 21 L 22 0 R 22 Следует заметить, что матрицы L , L , L , L и R, R , R , R , соответствующие объектам 11 21 22 11 12 22 L, L11, L21, L22 и R, R11, L12, L22 представляются следующим образом: ( L 0 \\ ( R R \\ L = 11 , R = 11 12 , (16.31) L21 L22 0 R22 122 ГЛАВА 5. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ L11 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ l11 0 0 0 0 0 0 0 0 l21 l22 0 0 0 0 0 0 0 l31 l32 l33 0 0 0 0 0 0 l41 l42 l43 l44 0 0 0 0 0 l51 l52 l53 l54 l55 0 0 0 0 l61 l62 l63 l64 l65 l66 0 0 0 l71 l72 l73 l74 l75 l76 l77 0 0 l81 l82 l83 l84 l85 l86 l87 l88 0 l91 l92 l93 l94 l95 l96 l97 l98 l99 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ , (16.32) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ L21 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ l101 l102 l103 l104 l105 l106 l107 l108 l109 l111 l112 l113 l114 l115 l116 l117 l118 l119 l121 l122 l123 l124 l125 l126 l127 l128 l129 l131 l132 l133 l134 l135 l136 l137 l138 l139 l141 l142 l143 l144 l145 l146 l147 l148 l149 l151 l152 l153 l154 l155 l156 l157 l158 l159 l161 l162 l163 l164 l165 l166 l167 l168 l169 l171 l172 l173 l174 l175 l176 l177 l178 l179 l181 l182 l183 l184 l185 l186 l187 l188 l189 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ , (16.33) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ l10110 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ L22 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ l1110 l1111 0 0 0 0 0 0 0 l1210 l1211 l1212 0 0 0 0 0 0 l1310 l1311 l1312 l1313 0 0 0 0 0 l1410 l1411 l1412 l1413 l1414 0 0 0 0 l1510 l1511 l1512 l1513 l1514 l1515 0 0 0 l1610 l1611 l1612 l1613 l1614 l1615 l1616 0 0 l1710 l1711 l1712 l1713 l1714 l1715 l1716 l1717 0 l1810 l1811 l1812 l1813 l1814 l1815 l1816 l1817 l1818 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ , (16.34) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ R11 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 r12 r13 r14 r15 r16 r17 r18 r19 0 1 r23 r24 r25 r26 r27 r28 r29 0 0 1 r34 r35 r36 r37 r38 r39 0 0 0 1 r45 r46 r47 r48 r49 0 0 0 0 1 r56 r57 r58 r59 0 0 0 0 0 1 r67 r68 r69 0 0 0 0 0 0 1 r78 r99 0 0 0 0 0 0 0 1 r89 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ , (16.35) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ R12 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r110 r111 r112 r113 r114 r115 r116 r117 r118 r210 r211 r212 r213 r214 r215 r216 r217 r218 r310 r311 r312 r313 r314 r315 r316 r317 r318 r410 r411 r412 r413 r414 r415 r416 r417 r418 r510 r511 r512 r513 r514 r515 r516 r517 r518 r610 r611 r612 r613 r614 r615 r616 r617 r618 r710 r711 r712 r713 r714 r715 r716 r717 r718 r810 r811 r812 r813 r814 r815 r816 r817 r818 r910 r911 r912 r913 r914 r915 r916 r917 r918 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ , (16.36) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 16. УДЕЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ И ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 123 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ R22 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 r1011 r1012 r1013 r1014 r1015 r1016 r1017 r1018 0 1 r1112 r1113 r1114 r1115 r1116 r1117 r1118 0 0 1 r1213 r1214 r1215 r1216 r1217 r1218 0 0 0 1 r1314 r1315 r1316 r1317 r1318 0 0 0 0 1 r1415 r1416 r1417 r1418 0 0 0 0 0 1 r1516 r1517 r1518 0 0 0 0 0 0 1 r1617 r1618 0 0 0 0 0 0 0 1 r1718 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ . (16.37) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Нетрудно заметить, что левый треугольный тензор L11, квадратный тензор L21 и левый тре- угольный тензор L22, а также правый унитреугольны й тензор R11, квадратны й тензор R12 и правый унитреугол ьный тензор R22 можно представить в виде L11 = eplp 21 p p · 22 p 9+p · (16.38) ·, L = e m , L = e l ; R 11 = ep rp ·, R12 = ep np ·, R22 = e pr9+p ·, p = 1, 9, где для составляющих тензо ро в введ ены сл ед ующие обозн ач ения: p 9 p lp · = }, lpq eq, mp · = }, r9+pq ep, lp · = }, l9+p9+q eq, p = 1, 9; q=1 9 q=1 q=1 9 rp · = ep + }, rpq eq, p = 1, 8, r9 · = e9; np · = }, rp9+q eq, p = 1, 9; (16.39) q=p+1 q=1 r9+p · = ep + 9 }, r9+p9+q eq, p = 1, 8, r18 · = e9. q=p+1 Учитывая (16.26) и (16.30), из (16.29) получим ⎛ 2 2 ⎞ ( W11 W12 \\ ( L11 0 = \\2 ( R11 R12 \\= L11 ⊗R11 L11 ⊗R12 . W- 21 W- 22 L 21 L 22 ⊗ 0 R 22 ⎝ 2 L 2 2 ⎠ 21 ⊗R11 L21 ⊗R12 + L22 ⊗R22 Отсю - че - , нахо да, о видно дим 2 2 W11 = L11 ⊗R11, W12 = L11 ⊗R12, (16.40) - 2 - 2 2 W21 = L21 ⊗R11, W22 = L21 ⊗R12 + L22 ⊗R22. Учитывая (16.25), (16.3--8) и (1 6.39), из (16--.40) буд ем им еть up = p }, lpmrm·, vp = p }, lpmnm·, u9+p = l9+pq rq·, m=1 m=1 p (16.41) v9+p = l9+pq nq· + }, l9+p9+mr9+m·, p = 1, 9, (q = 1, 9). m=1 Нетрудно доказать, что системы тензоров rp·,p = 1, 18 и uq·,q = 1, 9 (см. (16.39) и (16.41)) линейно независимы. Введем в рассмотрение тензорные столбцы T T Tm = (rm·, nm·) , m = 1, 9, Tn = (0, rn·) , n = 10, 18, (16.42) где 0 - нулевой тензо р втор ого ранга, а rm·, nm· и r9+ m· , m = 1, 9 задаются соответствующими форм улами (16.39). Не составляет труда доказать, что система тензорных столбцов Tp, p = 1, 18 линейно независи- ма. Следовательно, линейно независимы и подсистемы Tm, m = 1, 9 и Tn, n = 10, 18 так же, как и любая подсистема системы Tp, p = 1, 18. Нетрудно вид еть, что имеет место соотношение p Wp = (up, vp)T = }, lpq Tq, p = 1, 18. (16.43) - q=1 Из (16.43) видно, что ортонормированную систему тензорных столбцов Wp = (up, vp)T , p = 1, 18 можно получить с помощью процедуры ортонормирования Грама-Шмид-та [5, 7, 36, 80] линейно 124 ГЛАВА 5. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ независимой системы тензорных столбцов Tp, p = 1, 18 (см. (16.42)). В самом деле, проводя процедуру ортонормирования системы тензор ных столбцов Rp, p = 1, 18, для коэффициентов lpq, p = 1, 18, q = 1,p после простых, хотя и громоздких вычисле ний получим следующие выражения: l11 = d0 √ , lpk = S (p) pk / ( pk , S(p) =(-1)p+k S 12 ··· k - 1 kk +1 ··· p - 1 \\ , ± d0d1 ± dp-1dp 12 ··· k - 1 k +1 ··· p (16.44) p = 2, 9, k = 1, p, где введены обозначения s11 s12 ··· s1p 2 d0 = 1, dp = detSp = s21 s22 ··· s2p , spq = TT ⊗Tq, p, q = 1, 18, p ··· ··· ··· ··· sp1 sp2 ··· spp S(p) s11 s12 ·· · s1k-1 0 s1k+1 ··· s1p s21 ··· s22 ·· ··· ·· · s2k-1 · ··· 0 ··· s2k+1 ··· ··· s2p ··· ··· sk1 sk2 ·· 0 skk+1 ··· skp skk-1 , ≡ p = 1, 18⊆, k = 1, p, pk = ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· sp-11 sp-12 ··· sp-1k-1 0 sp-1k+1 ··· sp-1p 0 0 ··· 0 1 0 ··· 0 ( 12 k 1 kk +1 p 1 \\ ··· - ··· - = s11 s12 ··· s1k-1 s1k+1 ··· s1p s21 s22 ··· s2k-1 s2k+1 ··· s2p ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· S 12 ··· k - 1 k +1 ··· p sk1 sk2 ··· s kk-1 skk+1 ··· skp , ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· S(p) sp-11 sp-12 ··· sp-1k-1 sp-1k+1 ··· sp-1p pk - алгебраическое дополнение элемента spk субматрицы Sp = matr(smn), m, n = 1, p, а S ( 12 ··· k - 1 kk +1 ··· p - 1 \\ - минор (p 12 ··· k - 1 k +1 ··· p - 1)-го порядка для определителя detSp, получаю- щийся вычеркиванием p-ой строки и k-го столбца. Учитывая (16.44), из (16.43) после несложных преобразований для собственных тензорных столбцов тензорно-блочной матрицы M получим следующие выражения: s11 s12 ··· s1p-1 s21 s22 ··· s2p-1 s31 s32 ··· s3p-1 T1 1 1 T 2 W1 = √ T1, Wp = / T 3 , p = 2, 18. (16.45) - ± d0d1 - ± dp-1dp ··· ··· ··· ··· ··· sp1 sp2 ··· spp-1 Tp 2 R4 - Следует заметить, что с помощью формул (16.45) собственные те нзорные столбцы Wp ∈ R2(Ω), p = 1, 18 тензорно-блочной матрицы M ∈ 4(Ω) определяются с помощью 153 независимых па- 4 раметров (компонент унитреугольной тензорно-блочной матрицы R ∈ R4(Ω)) относительно про- извольной системы координат (произвольного базиса ep, p = 1, 2, 3). Очевидно, за счет выбора системы координат число независимых параметров можно уменьшить. Это зависит от типа корней характеристического уравнения, например, тензора r1·. Если все три корня характеристического уравнения тензора r1· простые действительные числа , или среди корней имеются два комплексно- сопряженных корня , или еще характеристическое уравнение имеет трехкратный корень, то во всех этих случаях число независимых параметров уменьшается на 6 и равно 147. Заметим также, что при написании (16.45) опечатки, допущенные в аналогичных формулах в [43], устранены. Таким образом, для описания механических свойств микрополярного материала, не обладающе- го центром симметрии в смысле упругих свойств, достаточно вместо компонент тензоров модулей упругости A, B = CT и D в какой-то системе координат задать инвариантные характеристики тензорно-бл очн ой ма трицы M (16.4), т. е. собственные значения (собственные модули упругости) 16. УДЕЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ И ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 125 λk > 0, k = 1, 18 и собственные тензорные столбцы Wp, p = 1, 18, которые определяются с помо- щью 153 независимых параметров относительно прои-звольной системы координат, а относительно специально выбранной системы координат - посредством 147 независимых параметров. Заметим, что эти инвариантные характеристики должны служить для сравнения и классификации мик- рополярных линейно упругих анизотропных материалов, не обладающих центром симметрии в смысле упругих свойств. Следовательно, провести аналогичное исследование для микрополярно- го материала, обладающего центром симметрии в смысле упругих свойств, как частного случая микрополярного материала, не обладающего центром симметрии, не представляет большого труда. Для классического линейно упругого материала, как было сказано выше, аналогичное исследова- ние было проведено Н. И. Остросаблиным [47-50]. Микрополярный материал с центром симметрии. В этом случае B = CT = 0, поэтому ОС (16.2) и удельная энергия деформации (16.1) представляются в виде 2 2 P = A⊗γ, μ = D⊗κ, (16.46) 2 2 2 2 2 2 2Φ(γ, κ) = XT ⊗M⊗X = γ⊗A⊗γ + κ ⊗D⊗κ, (16.47) а матрица (16.3) получит вид те нзорн о-бло чно- диаг она льн ой м атр ицы (16.6). Тогда характеристи- ческое уравнение для (16.6) аналогично уравнениям (15.2) эквивалентно следующим уравнениям: det(A - λE) = 0, det(D - λE) = 0. (16.48) Видно, что каждое из уравнений (16.4 8) является ур авнен ием девятой степени относительно λ и имеет девять положительных корней, считая каждый корень столько раз, какова его кратность. Множество корней каждого уравнения (16.48), конечно, можно упорядочить в порядке убывания. Пусть λ1, λ2,..., λ9 - корни первого уравнения (16.48), а λ10, λ11,..., λ18 - корни второго уравне- ния. Тогда, очевидно, будем иметь λ1 λ2 ... λ9 > 0, λ10 λ11 ... λ18 > 0. (16.49) В дальнейшем рассмотрим такие материалы, для которых выполняется условие {λ1, λ2,..., λ9}∩ {λ10, λ11,..., λ18} = ∅, (16.50) где ∅ обозначает пустое множество. Другими словами, ни один из корней λ1, λ2,..., λ9 не равен какому-либо из корней λ10, λ11,..., λ18, т. е. уравнения (16.48) не имеют общих корней (хотя, вообще говоря, уравнения (16.48) могут иметь общие корни). Обозначая через Wp, p = 1, 18 собственные тензорные столбцы тензорно-блочно-диагональной матрицы M (16.6), с-оответствующие собственным значениям λp, p = 1, 18, будем иметь ( A M = 0 18 0 \\ = D p=1 p λpWpWT . (16.51) - - Далее все, что было сказано в разделе 15, остается в силе и в рассматриваемом случае. В част- ности, из всех формул раздела 15 получим соответствующие формулы в данном случае, если N заменить на 9. В этой связи их выписывать не будем. Отметим только, что при рассматриваемой анизотропии материала, обладающего центром симметрии, тензоры A и D обычно имеют соответ- ствующую этой анизотропии одинаковую структуру. Например, в с луча е изотропного материала все эти тензоры изотропны, в случае трансверсально-изотропного материала все тензоры транс- версально-изотропны и т. д. Если это так, очевидно, для классификации микрополярных упругих анизотропных материалов, обладающих центром симметрии в смысле упругих свойств, достаточно рассматривать, например, тензор A, ибо при данной анизотропии материала тензор D имеет такую же структуру, что и тензор A, хо тя, по мнению автора, тензоры A и D могут им еть различные структуры. 4 Таким образом, из сказанного выше следует, что при изучении внутренней структуры тензор- но-блочно-диагональной матрицы M ∈ R4(Ω) достаточно рассматривать задачу на собственные значения, например, тензора A ∈ R4(Ω). 126 ГЛАВА 5. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ Задача на собственные значения и построение полной системы собственных тензоров для симметричного тензора четвертого ранга. Все, что было сказано во втором пункте для тензора A ∈ R2p(Ω), остается в силе и в рассматриваемом случае для тензора A ∈ R4(Ω). В частности, из второго пункта данный пункт получится, если область Ω считать трехмерной, а также A, n, p и N заменить на A, 3, 2 и 9 соответственно. Поэтому с целью сокращения письма на изложении материала относит ельно тензора A ∈ R4(Ω) останавливаться не будем. КЛАССИФИКАЦИЯ МИКРОПОЛЯРНЫХ ЛИНЕЙНО УПРУГИХ АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ Определение 17.1. Символ {α1, α2,..., αk }, где k - число различных собственных значений тензорно-блочной матрицы тензоров модулей упругости, а αi - кратность собственного значения λi (i = 1, 2,..., k), называется символом анизотропии (структуры) микрополярных линейно упругих материалов. Нетрудно видеть, что если материал не обладает центром симметрии, то α1 + α2 + ... + αk = 18, 1 αi 18 - (k - 1) = 19 - k, i = 1, k, 1 k 18. (17.1) Классификация микрополярных линейно упругих анизотропных материалов с цен- тром симметрии. В этом случае аналогичное (17.1) соотношение имеет вид α1 + α2 + ... + αk = 9, 1 αi 9 - (k - 1) = 10 - k, i = 1, k, 1 k 9. (17.2) Имеются 9 классов (групп). Каждый класс содержит несколько подклассов (подгрупп). Ниже рассмотрены все 9 классов, а также в каждом классе выписаны символы анизотропии всех входя- щих в этот класс материалов. В некоторых случаях приведены соответствующие данному символу анизотропии выражения для тензоров A и D. При этом собственные значения выписаны только для тензора A, а выражение для тенз ора D дается по аналогии. Число материалов в каждом классе выраж ается соответствующим биноми альным коэффициентом, что легко доказывается. Символ анизотропии состоит из одного элемента. {α}, α = 9, λ ≡ λ1 = λ2 = ··· = λ9, A = λE, D = μE. Число таких материалов равно C0 = 1. Здесь E - едини т зо етв того ранга. 8 чный ен р ч ер Символ анизотропии состоит из двух элементов. {α1, α2}, α1 + α2 = 9, 1 αm 8, m = 1, 2; {1, 8}, {2, 7}, {3, 6}, {4, 5}, {5, 4}, {6, 3}, {7, 2}, {8, 1}. {1, 8}⇔ (λ1 > λ2 = λ3 = ··· = λ9) ⇔ ⇔ (A = (λ1 - λ2)u1u1 + λ2E, D = (μ1 - μ2)v1v1 + μ2E, E = C(2)). Число таких ма риалов рав = 8. 8 те но C1 Символ анизотропии состоит из трех элементов (среди них - изотропные микрокон- тинуальные материалы). {α1, α2, α3}, α1 + α2 + α3 = 9, 1 αm 7, m = 1, 2, 3, {1, 1, 7}, {1, 2, 6}, {1, 3, 5}, {1, 4, 4}, {1, 5, 3}, {1, 6, 2}, {1, 7, 1}; {2, 1, 6}, {2, 2, 5}, {2, 3, 4}, {2, 4, 3}, {2, 5, 2}, {2, 6, 1}; {3, 1, 5}, {3, 2, 4}, {3, 3, 3}, {3, 4, 2}, {3, 5, 1}; {4, 1, 4}, {4, 2, 3}, {3, 3, 2}, {4, 4, 4}; {5, 1, 3}, {5, 2, 2}, {5, 3, 1}; {6, 1, 2}, {6, 2, 1}; {7, 1, 1}. 8 Число таких материалов равно C2 = 28. КЛАССИФИКАЦИЯ МИКРОПОЛЯРНЫХ ЛИНЕЙНО УПРУГИХ АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ 127 Символ анизотропии состоит из четырех элементов. {α1, α2, α3, α4}, α1 + α2 + α3 + α4 = 9, 1 αm 6, m = 1, 2, 3, 4; {1, 1, 1, 6}, {1, 1, 2, 5}, {1, 1, 3, 4}, {1, 1, 4, 3}, {1, 1, 5, 2}, {1, 1, 6, 1}; {1, 2, 1, 5}, {1, 2, 2, 4}, {1, 2, 3, 3}, {1, 2, 4, 2}, {1, 2, 5, 1}; {1, 3, 1, 4}, {1, 3, 2, 3}, {1, 3, 3, 2}, {1, 3, 4, 1}; {1, 4, 1, 3}, {1, 4, 2, 2}, {1, 4, 3, 1}; {1, 5, 1, 2}, {1, 5, 2, 1}; {1, 6, 1, 1}; {2, 1, 1, 5}, {2, 1, 2, 4}, {2, 1, 3, 3}, {2, 1, 4, 2}, {2, 1, 5, 1}; {2, 2, 1, 4}, {2, 2, 2, 3}, {2, 2, 3, 2}, {2, 2, 4, 1}; {2, 3, 1, 3}, {2, 3, 2, 2}, {2, 3, 3, 1}; {2, 4, 1, 2}, {2, 4, 2, 1}; {2, 5, 1, 1}; {3, 1, 1, 4}, {3, 1, 2, 3}, {3, 1, 3, 2}, {3, 1, 4, 1}; {3, 2, 1, 3}, {3, 2, 2, 2}, {3, 2, 3, 1}; {3, 3, 1, 2}, {3, 3, 2, 1}; {3, 4, 1, 1}; {4, 1, 1, 3}, {4, 1, 2, 2}, {4, 1, 3, 1}; {4, 2, 1, 2}, {4, 2, 2, 1}; {4, 3, 1, 1}; {5, 1, 1, 2}, {5, 1, 2, 1}; {5, 2, 1, 1}; {6, 1, 1, 1}. 8 Число таких материалов равно C3 = 56. Символ анизотропии состоит из 5 элементов. {α1, α2, α3, α4, α5}, α1 + α2 + α3 + α4 + α5 = 9, 1 αm 5, m = 1, 2, 3, 4, 5; (λ1 > λ2 > λ3 > λ4 > λ5 = λ6 = ··· = λ9) ⇔ {1, 1, 1, 1, 5},... {1, 1, 1, 1, 5}, {1, 1, 1, 2, 4}, {1, 1, 1, 3, 3}, {1, 1, 1, 4, 2}, {1, 1, 1, 5, 1}; {1, 1, 2, 1, 4}, {1, 1, 2, 2, 3}, {1, 1, 2, 3, 2}, {1, 1, 2, 4, 1}; {1, 1, 3, 1, 3}, {1, 1, 3, 2, 2}, {1, 1, 3, 3, 1}; {1, 1, 4, 1, 2}, {1, 1, 4, 2, 1}; {1, 1, 5, 1, 1}; {1, 2, 1, 1, 4}, {1, 2, 1, 2, 3}, {1, 2, 1, 3, 2}, {1, 2, 1, 4, 1}; {1, 2, 2, 1, 3}, {1, 2, 2, 2, 2}, {1, 2, 2, 3, 1}; {1, 2, 3, 1, 2}, {1, 2, 3, 2, 1}; {1, 2, 4, 1, 1}; {1, 3, 1, 1, 3}, {1, 3, 1, 2, 2}, {1, 3, 1, 3, 1}; {1, 3, 2, 1, 2}, {1, 3, 2, 2, 1}; {1, 3, 3, 1, 1}; {1, 4, 1, 1, 2}, {1, 4, 1, 2, 1}; {1, 4, 2, 1, 1}; {1, 5, 1, 1, 1}; {2, 1, 1, 1, 4}, {2, 1, 1, 2, 3}, {2, 1, 1, 3, 2}, {2, 1, 1, 4, 1}; {2, 1, 2, 1, 3}, {2, 1, 2, 2, 2}, {2, 1, 2, 3, 1}; {2, 1, 3, 1, 2}, {2, 1, 3, 2, 1}; {2, 1, 4, 1, 1}; {2, 2, 1, 1, 3}, {2, 2, 1, 2, 2}, {2, 2, 1, 3, 1}; {2, 2, 2, 1, 2}, {2, 2, 2, 2, 1}; {2, 2, 3, 1, 1}; {2, 3, 1, 1, 2}, {2, 3, 1, 2, 1}; {2, 3, 2, 1, 1}; {2, 4, 1, 1, 1}; {3, 1, 1, 1, 3}, {3, 1, 1, 2, 2}, {3, 1, 1, 3, 1}; {3, 1, 2, 1, 2}, {3, 1, 2, 2, 1}; {3, 1, 3, 1, 1}; {3, 2, 1, 1, 2}, {3, 2, 1, 2, 1}; {3, 2, 2, 1, 1}; {3, 3, 1, 1, 1}; {4, 1, 1, 1, 2}, {4, 1, 1, 2, 1}; {4, 1, 2, 1, 1}; {4, 2, 1, 1, 1}; {5, 1, 1, 1, 1}. 8 Число таких материалов равно C4 = 70. Символ анизотропии состоит из 6 элементов. {α1, α2, α3, α4, α5, α6}, α1 + α2 + α3 + α4 + α5 + α6 = 9, 1 αm 4, m = 1, 6; (λ1 > λ2 > λ3 > λ4 > λ5 > λ6 = λ7 ··· = λ9) ⇔ {1, 1, 1, 1, 1, 4},... {1, 1, 1, 1, 1, 4}, {1, 1, 1, 1, 2, 3}, {1, 1, 1, 1, 3, 2}, {1, 1, 1, 1, 4, 1}; {1, 1, 1, 2, 1, 3}, {1, 1, 1, 2, 2, 2}, {1, 1, 1, 2, 3, 1}; {1, 1, 1, 3, 1, 2}, {1, 1, 1, 3, 2, 1}; {1, 1, 1, 4, 1, 1}; {1, 1, 2, 1, 1, 3}, {1, 1, 2, 1, 2, 2}, {1, 1, 2, 1, 3, 1}; {1, 1, 2, 2, 1, 2}, {1, 1, 2, 2, 2, 1}; {1, 1, 2, 3, 1, 1}; {1, 1, 3, 1, 1, 2}, {1, 1, 3, 1, 2, 1}; {1, 1, 3, 2, 1, 1}; {1, 1, 4, 1, 1, 1}; {1, 2, 1, 1, 1, 3}, {1, 2, 1, 1, 2, 2}, {1, 2, 1, 1, 3, 1}; {1, 2, 1, 2, 1, 2}, {1, 2, 1, 2, 2, 1}; {1, 2, 1, 3, 1, 1}; {1, 2, 2, 1, 1, 2}, {1, 2, 2, 1, 2, 1}; {1, 2, 2, 2, 1, 1}; {1, 2, 3, 1, 1, 1}; {1, 3, 1, 1, 1, 2}, {1, 3, 1, 1, 2, 1}; {1, 3, 1, 2, 1, 1}; {1, 3, 2, 1, 1, 1}; {1, 4, 1, 1, 1, 1}; {2, 1, 1, 1, 1, 3}, {2, 1, 1, 1, 2, 2}, {2, 1, 1, 1, 3, 1}; {2, 1, 1, 2, 1, 2}, {2, 1, 1, 2, 2, 1}; {2, 1, 1, 3, 1, 1}; {2, 1, 2, 1, 1, 2}, {2, 1, 2, 1, 2, 1}; {2, 1, 2, 2, 1, 1}; {2, 1, 3, 1, 1, 1}; {2, 2, 1, 1, 1, 2}, {2, 2, 1, 1, 2, 1}; {2, 2, 1, 2, 1, 1}; {2, 2, 2, 1, 1, 1}; {2, 3, 1, 1, 1, 1}; {3, 1, 1, 1, 1, 2}, {3, 1, 1, 1, 2, 1}; {3, 1, 1, 2, 1, 1}; {3, 1, 2, 1, 1, 1}; {3, 2, 1, 1, 1, 1}; {4, 1, 1, 1, 1, 1}. 8 Число таких материалов равно C5 = 56. 128 ГЛАВА 5. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ Символ анизотропии состоит из 7 элементов. {α1, α2, α3, α4, α5, α6,α7}, α1 + α2 + α3 + α4 + α5 + α6 + α7 = 9, 1 αm 3, m = 1, 7; (λ1 > λ2 > λ3 > λ4 > λ5 > λ6 > λ7 = λ8 = λ9) ⇔ {1, 1, 1, 1, 1, 1, 3},... {1, 1, 1, 1, 1, 1, 3}, {1, 1, 1, 1, 1, 2, 2}, {1, 1, 1, 1, 1, 3, 1}; {1, 1, 1, 1, 2, 1, 2}, {1, 1, 1, 1, 2, 2, 1}; {1, 1, 1, 1, 3, 1, 1}; {1, 1, 1, 2, 1, 1, 2}, {1, 1, 1, 2, 1, 2, 1}, {1, 1, 1, 2, 2, 1, 1}; {1, 1, 1, 3, 1, 1, 1}; {1, 1, 2, 1, 1, 1, 2}, {1, 1, 2, 1, 1, 2, 1}, {1, 1, 2, 1, 2, 1, 1}, {1, 1, 2, 2, 1, 1, 1}; {1, 1, 3, 1, 1, 1, 1}; {1, 2, 1, 1, 1, 1, 2}, {1, 2, 1, 1, 1, 2, 1}, {1, 2, 1, 1, 2, 1, 1}, {1, 2, 1, 2, 1, 1, 1}, {1, 2, 2, 1, 1, 1, 1}; {1, 3, 1, 1, 1, 1, 1}; {2, 1, 1, 1, 1, 1, 2}, {2, 1, 1, 1, 1, 2, 1}, {2, 1, 1, 1, 2, 1, 1}, {2, 1, 1, 2, 1, 1, 1}, {2, 1, 2, 1, 1, 1, 1}, {2, 2, 1, 1, 1, 1, 1}; {3, 1, 1, 1, 1, 1, 1}. 8 Число таких материалов равно C6 = 28. Символ анизотропии состоит из 8 элементов. {α1, α2, α3, α4, α5, α6,α7, α8}, α1 + α2 + α3 + α4 + α5 + α6 + α7 + α8 = 9, 1 αm 2, m = 1, 8; (λ1 > λ2 > λ3 > λ4 > λ5 > λ6 > λ7 > λ8 = λ9) ⇔ {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2},... {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2}, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1}, {1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1}, {1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1}, {1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}. 8 Число таких материалов равно C7 = 8. Символ анизотропии состоит из 9 элементов. {α1, α2, α3, α4, α5, α6,α7, α8, α9}, α1 + α2 + α3 + α4 + α5 + α6 + α7 + α8 + α9 = 9, 1 αm 1, m = 1, 9; (λ1 > λ2 > λ3 > λ4 > λ5 > λ6 > λ7 > λ8 > λ9) ⇔ {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}. 8 Число таких материалов равно C8 = 1. В итоге получили 8 8 }, Ck = 28 = 256 материалов при условии, что тензоры модулей упругости k=0 A и D при рассматриваемой анизотропии имеют одинаковую структуру (один и тот же символ а низо тропии). При рассматриваемой анизотропии тензоры модулей упругости A и D могут иметь символы анизотропии различной структуры, но состоящие из одинакового чис ла эл ементов (тен- зоры A и D принадлежат одному и тому же классу, но имеют разные структуры). В таком случае число аниз отропных материалов будет 12 + 82 + 282 + 562 + 702 + 562 + 282 + 82 + 12 = 12870. Если тензоры A и D имеют различную структуру, то число анизотропных материалов будет 256 × 256 = 655 36. Классификация классических линейно упругих анизотропных материалов. В этом случае аналогичное (17.1) и (17.2) соотношение имеет вид α1 + α2 + ··· + αk = 6, 1 αi 6 - (k - 1) = 7 - k, i = 1, k, 1 k 6. Имеются 6 классов (групп). Каждый класс содержит несколько подклассов (подгрупп). Всего имеются 32 подгруппы. Они приведены ниже. Символ анизотропии состоит из одного элемента. {α}, α = 6, λ ≡ λ1 = λ2 = ··· = λ6, 6 A = λ }, WpWp = λE (E = 1 (C(2) + C(3))\\. p=1 - - 2 5 Всего число таких материалов равно C0 = 1. Здесь C(2) и C(3) - изотропные тензоры четвертого ранга. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ТЕНЗОРЫ ДЛЯ МАТЕРИАЛОВ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ СИНГОНИЙ 129 Символ анизотропии состоит из двух элементов. {α1, α2}, α1 + α2 = 6, 1 αm 5, m = 1, 2; {1, 5}, {2, 4}, {3, 3}, {4, 2}, {5, 1}, {1, 5}⇔ (λ1 > λ2 = λ3 = ··· = λ6) ⇔ (A = (λ1 - λ2)W1W1 + λ2E). 5 Всего число таких материалов равно C1 = 5. - - Символ анизотропии состоит из трех элементов. {α1, α2, α3}, α1 + α2 + α3 = 6, 1 αm 4, m = 1, 2, 3; {1, 1, 4}, {1, 2, 3}, {1, 3, 2}, {1, 4, 1}, {2, 1, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 1}, {3, 1, 2}, {3, 2, 1}, {4, 1, 1}, {1, 1, 4}⇔ (λ1 > λ2 > λ3 = λ4 = ··· = λ6) ⇔ ⇔ (A = (λ1 - λ3)W1W1 + (λ2 - λ3)W2W2 + λ3E). 5 Всего число таких материалов р-авно-C2 = 10. - - Символ анизотропии состоит из четырех элементов. {α1, α2, α3, α4}, α1 + α2 + α3 + α4 = 6, 1 αm 3, m = 1, 2, 3, 4; {1, 1, 1, 3}, {1, 1, 2, 2}, {1, 1, 3, 1}, {1, 2, 1, 2}, {1, 2, 2, 1}, {1, 3, 1, 1}, {2, 1, 1, 2}, {2, 1, 2, 1}, {2, 2, 1, 1}, {3, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 3}⇔ (λ1 > λ2 > λ3 > λ4 = λ5 = λ6) ⇔ ⇔ (A = (λ1 - λ4)W1W1 + (λ2 - λ4)W2W2 + (λ3 - λ4)W3W3 + λ4E). 5 Всего числ о таких матер-иал-ов равно C3 = 1-0. - - - Символ анизотропии состоит из 5 элементов. {α1, α2, α3, α4, α5}, α1 + α2 + α3 + α4 + α5 = 6, 1 αm 2, m = 1, 2, 3, 4, 5; {1, 1, 1, 1, 2}, {1, 1, 1, 2, 1}, {1, 1, 2, 1, 1}, {1, 2, 1, 1, 1}, {2, 1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 2}⇔ (λ1 > λ2 > λ3 > λ4 > λ5 = λ6) ⇔ ⇔ (A = (λ1 - λ5)W1W1 + (λ2 - λ5)W2W2+ - - +(-λ3 --λ5)W3W3 + (λ4 - λ5)W4W4 + λ5E). 5 Всего число таких материалов равно C4 = 5. - - - - Символ анизотропии состоит из 6 элементов. {α1, α2, α3, α4, α5, α6}, α1 + α2 + α3 + α4 + α5 + α6 = 1, 1 αm 1, m = 1, 6; {1, 1, 1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1, 1}⇔ (λ1 > λ2 > λ3 > λ4 > λ5 > λ6) ⇔ ⇔ (A = λ1W1W1 + λ2W2W2 + λ3W3W3 + λ4W4W4 + λ5W5W5 + λ6W6W6). 5 Всего чис ло таки-х м-атериало-в р-авно C5 -= 1.- 5 - - - - - - В итоге число всех материалов равно 5 }, Ck = 25 = 32. k=0 СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ТЕНЗОРЫ ДЛЯ МАТЕРИАЛОВ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ СИНГОНИЙ Следует отметить, что более подробная классификация анизотропных материалов должна про- изводиться по виду собственных тензоров (или по виду матрицы, определяющей эти тензоры) тензора модулей упругости. Для материалов, например, с символами анизотропии {6}, {1, 5} и {5, 1} тензор модулей упру- гости представляется соответственно в виде A = λE, (18.1) A = (λ1 - λ2)W 1W1 + λ2E, (18.2) - - 130 ГЛАВА 5. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ A = λ1E - (λ1 - λ6)W6W6. (18.3) Здесь E = (1/2)(C(2) + C(3)) - един ичный тензор четве-ртог-о ранга. i Буде м считать, что W 1 = W6. Так как выбор системы координат произволен, то будем считать, что она является главн-ой для-тензора W1. Обозначим главные значения тензора W1 через α, β, γ. Тогда, обозначая через e∗, i = 1, 2, 3 гл-авный базис тензора W1, очевидно, будем-иметь W1 = W6 = αe∗ + βe∗ + γ-e∗, (18.4) где 1 2 3 - - 2 (W1 ⊗ W1 = 1) ⇒ (α2 + β2 + γ2 = 1). (18.5) Видно, что в силу (18.5) ма-териал-ы (18.2) и (18.3) характеризуются четырьмя параметрами: двумя собственными значениями тензора A и двумя главными значениями тензора W1. Отличие (18.2) от (18.3) в том, что в (18.3) пере д (λ1 - λ6) стоит знак минус. - Если взять тензоры W1 и W6 шаровыми, т. е. положить - - √ α = β = γ = ± 3 3 (W1 - = W6 - √ 3 = ± E), (18.6) 3 то (18.2) и (18.3) примут вид 1 A = 3 (λ1 - λ2)EE + λ2E, (18.7) 1 A = λ1E - 3 (λ1 - λ6)EE. (18.8) Материалы (18.7) и (18.8) изотро в смысле, мпоненты Aijkl, i, j = 1, 2, 3 (Amn, пны том что ко m, n = 1, 6) тензора A не зависят от выбора ортогональной системы координат, но определяются двумя собственными значениями (модулями) и тензоры напряжений и деформаций не пропорцио- нальны: 2 1 2 1 P = A⊗ ε = 3 (λ1 - λ2)I1(ε)E + λ2ε, P = A⊗ ε = λ1ε - 3 (λ1 - λ6)I1(ε)E, (18.9) поэтому ме еской точки зр эти ат иа я ать изотроп Изотропным с ханич ения м ер лы нельз счит ными. является материал с символом анизотропии (структуры) {6}. В этом случае, очевидно, имеем 2 A = λE, P = A⊗ ε = λεε. (18.10) Если в (18.7) обозначить (λ1 - λ )/3 = λ, λ = 2 μ, т о при дем к традиционной записи тензора 2 2 модулей упругости «изотропного» материала. Материалы (18.7) и (18.8) часто принимают за один, что проявляется в вопросе о пределах значений коэффициента Пуассона ν. Но это качественно различные материалы, принадлежащие подклассам с разными структурными символами: {1, 5} и {5, 1}. Найдем для материалов (18.7) и (18.8) коэффициенты Пуассона. В этой связи выпишем обратные к (18.7) и (18.8) тензоры. Учитывая A-1 = 1 (λ-1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 3 1 - λ2 )EE + λ2 E, A = λ1 E - 3 (λ1 - λ6 )EE, обратные зако Гука для этих мат алов редстав в виде ны ери можно п ить 2 ε = A-1 ⊗P = 1 (λ-1 λ-1)I (P)E + λ-1P, 2 3 1 - 2 1 2 (18.11) ε = A-1 ⊗P = λ-1P - 1 (λ-1 - λ-1)I (P)E. 1 3 1 6 1 Пусть P = P δ δ I . гда из получим ij 11 1i 1j 1(P) = P11 То 1 (18.11) l εij = r (λ-1 - λ-1)δij + λ-1δ1iδ1j , (18.12) 3 1 λ-1 2 2 1 -1 -1 P11 εij = r ij l 1i 1j 11 1 δ - 3 (λ1 - λ6 )δ δ P . (18.13) 18. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ТЕНЗОРЫ ДЛЯ МАТЕРИАЛОВ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ СИНГОНИЙ 131 На основании (18.12) и (18.13) с помощью простых вычислений получим соответственно сле- дующие выражения для коэффициентов Пуассона: ε22 ε33 λ1 - λ2 ε ν = - 11 ε = - 11 = 2λ1 + λ2 > 0, (18.14) ε22 ε33 λ1 - λ6 ε ν = - 11 ε = - 11 λ = - 1 + 2λ6 < 0. (18.15) Так как λ1 > λ2 > 0 и λ1 > λ6 > 0, то из (18.14) и (18.15) видно, что для материалов (18.7) и (18.8) коэффициенты Пуассона соответственно лежат в пределах 0 < ν < 1/2, -1 < ν < 0. Таким образом, материал (18.7) - традиционный «изотропный», и для него коэффициент Пуас- сона находится в пределах 0 < ν < 1/2. Материал (18.8) качественно другой: при растяжении стержня в продольном направлении он увеличивается в поперечных размерах. Для него коэффи- циент Пуассона находится в пределах -1 < ν < 0. «Изотропный» классический материал. В этом случае матрица компонент тензора мо- дулей упругости A имеет вид ⎛ A11 A12 A12 0 0 0 ⎜ A12 A11 A12 0 0 0 ⎜ ⎜ A12 A12 A11 0 0 0 ⎜ 0 ⎜ 0 0 A44 0 0 ⎜ 0 ⎝ 0 0 0 A44 0 0 0 0 0 0 A44 ⎞ ⎟ ⎟ A = ⎟ , A11 = λ + 2μ, A12 = λ, ⎟ (18.16) ⎟ A44 = A11 - A12 = 2μ. ⎟ ⎠ В силу (18.16) характеристическое уравнение тензора A представится в виде A11 - μ A12 A12 det(A - μE) = A12 A11 - μ A12 (A44 - μ)(A44 - μ)(A44 - μ) = 0. (18.17) A12 A12 A11 - μ Решая (18.17), получим μ1 = A11 + 2A12, μ2 = μ3 = μ4 = μ5 = μ6 = A11 - A12. (18.18) Легко проверить, что собственные тензоры произвольного изотропного тензора A с матри- цей (18.16), соответствующие собственным значениям (18.18), имеют вид √3 W1 = ± 3 (e1 + e2 + e3) = √ ± 3 E, 3 (18.19) W- k = Wk,1e + W e (W + W )e + W e + W e + W e , k = 2, 6. 1 k,2 2 - k,1 k,2 3 k,4 4 k,5 5 k,6 6 = Из (18-.19) видно, что W1 - шаровой тензор, а Wk, k 2, 6 - де виаторы. Если A - тензор модулей упругости, то в силу з-акона Гука девиаторы пр-инимают соответствующий вид (см. ниже). Собственные значения и собственные тензоры тензора модулей упругости A легко находятся, если закон Гука записать в виде P1 = A11ε1 + A12ε2 + A12ε3, P2 = A12ε1 + A11ε2 + A12ε3, P3 = A12ε1 + A12ε2 + A11ε3, P4 = A44ε4, P5 = A44ε5, P6 = A44ε6 (18.20) и сравнить с законом Гука, представленным в форме 2 2 6 6 ( , P⊗Wα = μαε⊗Wα }, PmWα,m = μα }, εmWα,m\\ α = 1, 6. (18.21) - - m=1 m=1 На основании сравнения последних трех соотношений (18.20) с последними тремя соотношени- ями (18.21) легко получим μ4 = μ5 = μ6 = A44, W4 = e4, W5 = e5, W6 = e6. (18.22) - - - 132 ГЛАВА 5. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ Далее нетрудно заметить, что из первых трех соотношений (18.20) имеем P1 + P2 + P3 = (A11 + 2A12)(ε1 + ε2 + ε3), P1 - P2 = (A11 - A12)(ε1 - ε2), P1 + P2 - 2P3 = (A11 - A12)(ε1 + ε2 - 2ε3). Сравнивая (18.23) с первыми тремя соотношениями (18.21), получим √ μ1 = A11 +2A12, μ2 = μ3 = A11 - A12, (18.23) ± √ 3 W1 = (e1 + e2 + e3) = ± 3 E, 3 3 - √ 2 √ ± 6 W2 = ± 2 (e1 - e2), W3 = 6 (e1 + e2 - 2e3). Очевидно, тензор A им - представ ни - еет ле е A = μ1W1W1 + μ2 }, WmWm = (μ1 - μ2)W1W1 + μ2E, E = }, WmWm. - - m=2 - - - - m=1 - - Классические «изотропные» материалы могут быть вида {1,5} и {5,1}. Кубическая сингония (3 независимых компоненты). В этом случае матрица компонент тензора модулей упругости A имеет вид A11 A12 A12 0 0 0 A12 A11 A12 0 0 0 A12 A12 A11 0 0 0 0 0 0 A44 0 0 0 0 0 0 A44 0 0 0 0 0 0 A44 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ A = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎟ ⎟ . (18.24) ⎟ ⎟ ⎠ В силу (18.24) характеристическое уравнение тензора A представится в виде A11 - μ A12 A12 det(A - μE) = A12 A11 - μ A12 (A44 - μ)(A44 - μ)(A44 - μ) = 0. (18.25) A12 A12 A11 - μ Решая (18.25), получим μ1 = A11 + 2A12, μ2 = μ3 = A11 - A12, μ4 = μ5 = μ6 = A44. Очевидно, соответствующие собственным значениям μ1 = A11 + 2A12 и μ2 = μ3 = A11 - A12 собственные тензоры аналогично изотропному случаю (18.19) имеют вид √3 W1 = ± 3 (e1 + e2 + e3) = √ ± 3 E, 3 (18.26) W- k = Wk,1e + W e (W + W )e + W e + W e + W e , k = 2, 3. 1 k,2 2 - k,1 k,2 3 k,4 4 k,5 5 k,6 6 Из (18-.26) видно , что W1 - шаровой тензор , а Wk, k = 2, 6 - д евиаторы . Составляя системы у-равнений для нахождени-я собственных тензоров Wk, k = 4, 5, 6, соответ- ствующих собственным значениям μk, k = 4, 5, 6 и разрешая их (так как-μ4 = μ5 = μ6 = A44, то все три системы будут одинаковыми), получим Wk = Wk,4e4 + Wk,5e5 + Wk,6e6, k = 4, 5, 6. (18.27) Следует отметить, что вхо-дящие в (1 8.26) и ( 18.27) ко мпоненты Wk,l, k = 2, 6, l = 1, 6 и Wk,l, k, l = 4, 5, 6 соответственно надо определить так, что система собственных тензоров была ортонор- мальной. С целью нахождения этих компонент лучше закон Гука записать в аналогичном (18.22) виде (см. ниже). Нетрудно заметить, что в рассматриваемом случае закон Гука имеет вид (18.20), из которого в силу (18.21) аналогично (18.22) находим μ4 = μ5 = μ6 = A44, W4 = e4, W5 = e5, W6 = e6, (18.28) - - - 18. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ТЕНЗОРЫ ДЛЯ МАТЕРИАЛОВ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ СИНГОНИЙ 133 а также аналогично (18.23) получим P1 + P2 + P3 = (A11 + 2A12)(ε1 + ε2 + ε3), P1 - P2 = (A11 - A12)(ε1 - ε2), P1 + P2 - 2P3 = (A11 - A12)(ε1 + ε2 - 2ε3). Сравнивая (18.29) с первыми тремя соотношениями (18.21), получим √ μ1 = A11 +2A12, μ2 = μ3 = A11 - A12, (18.29) ± √ 3 W1 = (e1 + e2 + e3) = ± 3 E, 3 3 - √ 2 √ ± 6 W2 = ± 2 (e1 - e2), W3 = 6 (e1 + e2 - 2e3). - Очевидно, тензор A - предст ле е имеет ав ни A = μ1W1W 1 + μ2(W2W2 + W3W3)+ μ4(W4W4 + W5W5 + W6W6) = = (μ - - - - W W - - - W + - - - )+ E - 6- 1 - μ4) 1 1 + (μ2 - μ4)(W2 2 W3W3 μ4E, = }, WmWm. - - - - - - m=1 - - Материалы кубической сингонии могут быть следующих видов: {1,2,3}, {1,3,2}, {2,1,3}, {2,3,1}, {3,1,2}, {3,2,1}. Трансверсальная изотропия (гексагональная сингония, 5 независимых компонент). В рассматриваемом случае матрица компонент тензора модулей упругости A имеет вид A11 A12 A13 0 0 0 A12 A11 A13 0 0 0 A13 A13 A33 0 0 0 0 0 0 A44 0 0 0 0 0 0 A55 0 0 0 0 0 0 A55 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ A = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎟ ⎟ , A44 = A11 - A12, ⎟ ⎟ ⎠ а тензор A имеет выражение A = A11C(1) + (A11 - A12)E + A13(Ie3 + e3I)+ A33e3e3 + A55(e5e5 + e6e6), 1 C(1) = II, E = 2 (C(2) + C(3)) = e1e1 + e2e2 + e4e4, I = e1 + e2. Собстве е зн опре форм нны ачения 1 деляются улами / 2 2 μ1 = 2 (A11 + A12 + A33 - 1 μ2 = 2 (A11 + A12 + A33 + (A11 + A12 - A33) /(A11 + A12 - A33)2 + 8A13), 13 + 8A2 ), μ3 = μ4 = A11 - A12, μ5 = μ6 = A55. Собственные тензоры представляются в виде W1 = - √ 2 2 sin α(e1 + e2)+ cos αe3 = - √ 2 sin αI + cos αe3, 2 - √2 √2 W2 = cos α(e1 + e2)+ sin αe3 = 2 cos αI + sin αe3, 2 √ (18.30) - √2 2 2A13 W3 = 2 A (e1 - e2), W4 = e4, W5 = e5, W6 = e6, tg2α = , + A - A - - - - 11 12 33 а тензор A с их помощью запишется в виде A = μ1W1W1 + μ2W2W2 + μ3(W3W3 + W4W4)+ μ5(W5W5 + W6W6). Трансверс ально--изот-ропные -мат-ериалы (м-ате-риалы -гек-сагонально-й с-ингони-и) -могут быть сле- дующих видов: {1,1,2,2}, {1,2,1,2}, {1,2,2,1}, {2,1,1,2}, {2,1,2,1}, {2,2,1,1}. 134 ГЛАВА 5. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ Тригональная (ромбоэдрическая) сингония (6 независимых компонент). В данном случае матрица компонент тензора модулей упругости A имеет форму ⎛ A11 A12 A13 0 A15 0 ⎞ ⎜ A12 A11 A13 0 -A15 0 ⎜ ⎜ A13 A13 A33 0 0 0 ⎜ A = ⎟ ⎟ ⎟ , A44 = A11 - A12. ⎟ ⎜ 0 0 0 A44 0 √2A15 ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ A15 -A15 0 0 A55 0 ⎟ 0 0 0 √2A15 0 A55 Нетрудно заметить, что характеристическое уравнение тензора A представится в виде 11 - μ A12 A13 0 A15 0 A12 A11 - μ A13 0 -A15 0 A13 A13 A33 - μ 0 0 0 0 0 0 A μ 0 2A15 A = det(A - μE) = √ 44 - A15 -A15 0 √ 0 A55 - μ 0 0 0 0 2A15 0 A55 - μ A11 - μ A12 A13 A15 0 0 A12 A11 - μ A13 -A15 0 0 = = A13 A13 A33 - μ 0 0 0 A15 -A15 0 A55 - μ 0 0 - 0 0 0 0 A55 μ √2A15 √ 0 0 0 0 2A15 A44 - μ A11 - μ A12 A13 A15 √ = A12 A11 - μ A13 -A15 A55 - μ 2A15 = 0, A44 = A11 -A12. A13 A13 A33 - μ 0 √2A15 A44 - μ A15 -A15 0 A55 - μ Собственные значения определяются формулами 1 μ1 = 2 (A11 + A12 + A33 - 1 μ2 = 2 (A11 + A12 + A33 + 1 μ3 = 2 (A11 - A12 + A55 - 1 μ4 = 2 (A11 - A12 + A55 + μ5 = μ3, μ6 = μ4. /(A11 + A12 - A33)2 /(A11 + A12 - A33)2 /(A11 - A12 - A55)2 /(A11 - A12 - A55)2 13 + 8A2 ), 13 + 8A2 ), 15 + 8A2 ), 15 + 8A2 ), Собственные тензоры представляются в виде √2 √2 W1 = cos α(e1 + e2)+ sin αe3 = 2 cos αI + sin αe3, 2 - √2 √2 W2 = - 2 sin α(e1 + e2)+ cos αe3 = - sin αI + cos αe3, 2 -√ 2 √ 2 W3 = - 2 sin β(e1 - e2)+ cos βe5, W4 = 2 cos β(e1 - e2)+ sin βe5, - W5 = sin β e4 6 - 6 4 - + cos βe , W √ = cos βe + sin βe6, √ - 2 2A13 - 2 2A15 tg2α = A11 + A12 - A33 , tg2β = . A11 - A12 - A55 а тензор A будет иметь следующее выражение: A = μ1W1W1 + μ2W2W2 + μ3(W3W3 + W5W5)+ μ4(W4W4 + W6W6). Материал ы триг-онал-ьной син-гон-ии могут-бы-ть след-ую-щих видов-: {1-,1,2,2},-{1,-2,1,2}, {1,2,2,1}, {2,1,1,2}, {2,1,2,1}, {2,2,1,1}. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ТЕНЗОРЫ ДЛЯ МАТЕРИАЛОВ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ СИНГОНИЙ 135 Тетрагональная сингония (6 независимых компонент). В этом случае матрица компо- нент тензора модулей упругости A имеет форму ⎛ A11 A12 A13 0 0 0 ⎜ A12 A11 A13 0 0 0 ⎜ ⎜ A13 A13 A33 0 0 0 ⎜ 0 ⎜ 0 0 A44 0 0 ⎜ 0 ⎝ 0 0 0 A44 0 0 0 0 0 0 A66 ⎞ ⎟ ⎟ . ⎟ A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Собственные значения определяются формулами 1 μ1 = 2 (A11 + A12 + A33 - 1 μ2 = 2 (A11 + A12 + A33 + /(A11 + A12 - A33)2 /(A11 + A12 - A33)2 13 + 8A2 ), 13 + 8A2 ), μ3 = A11 - A12, μ4 = μ5 = A44, μ6 = A66. Собственные тензоры аналогично (18.30) представляются в виде W1 = - √2 2 sin α(e1 + e2)+ cos αe3 = - √ 2 sin αI + cos αe3, 2 - √2 √2 W2 = cos α(e1 + e2)+ sin αe3 = 2 cos αI + sin αe3, 2 - √2 2 √2A13 W3 = 2 A (e1 - e2), W4 = e4, W5 = e5, W6 = e6, tg2α = , + A - A - - - - 11 12 33 а для тензора A получим выражение A = μ1W1W1 + μ2W2W2 + μ3W3W3 + μ4(W4W4 + W5W5)+ μ6W6W6). Материа лы тет-раго-нальной-си-нгонии м-огу-т быть с-лед-ующих- в-идов: {1,1-,1,1-,2}, {1,1,1,2,1}, {1,1,2,1,1}, {1,2,1,1,1}, {2,1,1,1,1}. Ромбическая сингония (ортотропия, 9 независимых компонент). В данном случае мат- рица компонент тензора модулей упругости A имеет форму ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ A = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ A11 A12 A13 0 0 0 A12 A22 A23 0 0 0 A13 A23 A33 0 0 0 0 0 0 A44 0 0 0 0 0 0 A55 0 0 0 0 0 0 A66 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ( B O = ⎟ ⎟ O C ⎟ ⎠ \\ , (18.31) где введены следующие обозначения: A11 A12 A13 ⎞ ⎛ 0 0 0 ⎞ ⎛ A44 0 0 A12 A22 A23 ⎠ , O = ⎝ 0 0 0 ⎠ , C = ⎝ 0 A55 0 A13 A23 A33 0 0 0 0 0 A66 ⎛ ⎞ B = ⎝ ⎠ . Тензор A можно записать в виде 6 A = }, Aααeαeα + A12(e1e2 + e2e1)+ A23(e2e3 + e3e2)+ A31(e3e1 + e1e3). α=1 Характеристическое уравнение тензора A в силу (18.31) имеет форму det(A - μE) = d et(B - μE) det(C - μE) = 0, где E - трехмерная единичная матри ца. Следует отметить, что из положительной определенности тензора A следует положительная определенность матриц B и C, т. е. положительность их характеристи ческих корней. Обозначая через μk, k = 1, 2, 3 характеристические корни матрицы B, которые можно найти с помощью 136 ГЛАВА 5. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ формул Кардано, а через μα = Aαα, α = 4, 5, 6 - характеристические корни матрицы C, тензор A можно представить следующим образом: 3 6 A = }, μαWαWα + }, Aββ eβ eβ. (18.32) α=1 - - β=4 Заметим, что (18.32) выписаны при условии, что характеристические корни матрицы B простые. Если все собственные значения тензора A различны, то имеем материал ромбической сингонии вида {1,1,1,1,1,1}. Случаи кратных корней заслуживают особого внимания. На этом здесь оста- навливаться не будем. Моноклинная сингония. В этом случае материал имеет двукратную ось симметрии. При- веденная ниже матрица соответствует тому случаю, когда в качестве оси симметрии рассматрива- 1 ется ось ox3 (x× 2 = -x1, x× 3 = -x2, x× = x3). В матрице имеется 13 независимых элементов, как у В. Новацкого [46] и К. Ф. Черных [77], а у Н. И. Остросаблина [49] - 12 элементов (A56 = 0). ⎛ A11 A12 A13 A14 0 0 ⎜ A12 A11 A13 A24 0 0 ⎜ A = A A A A 0 0 ⎜ 13 13 33 34 ⎜ ⎜ A14 A24 A34 A44 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ( B O \\ = ⎟ ⎟ OT C , ⎝ ⎠ ⎜ 0 0 0 0 A55 A56 ⎟ 0 0 0 0 A56 A66 где введены следующие обозначения: A11 A12 A13 A14 A12 A22 A23 A24 A13 A23 A33 A34 A14 A24 A34 A44 ⎛ B = ⎜ ⎞ ⎟ , O = ⎛ 0 0 ⎞ 0 0 ( A55 A56 \\ , C = . ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0 0 A56 A66 Нетрудно заметить, что характеристическое уравнение тензора A представится в виде det(A - μE) = det(B - μE4) det(C - μE2) = A11 - μ A12 A13 A14 A12 A11 - μ A13 A24 A55 - μ A56 (18.33) A13 A13 A33 - μ A34 A56 A66 - μ = 0, A14 A24 A34 A44 - μ где E4 - единичная матрица четвертого порядка, а E2 - единичная матрица второго порядка. Оче- видно, из (18.33) получим следующие алгебраические уравнения четвертой и второй степеней соответственно: det(B - μE4) = 0, det(C - μE2) = 0. (18.34) В силу положительной определенности тензора A корни уравнения (18.34) положительны. Считая, что уравнения (18.34) имеют простые корни, и обозначая корни первого уравнения (18.34) через μk, k = 1, 2, 3, 4, корни второго уравнения - через μk, k = 5, 6, а соответствующие этим корням собственные тензоры - через Wk, k = 1, 6, тензор A можно представить в форме - 6 A = }, μαWαWα. α=1 - - Если все μk, k = 1, 6 различны, то материал моноклинной сингонии имеет вид {1,1,1,1,1,1}. Триклинная сингония. В этом случае матрица A тензора A имеет общий вид A11 A12 A13 A14 A15 A16 A12 A22 A23 A24 A25 A26 A13 A23 A33 A34 A35 A36 A14 A24 A34 A44 A45 A46 A15 A25 A35 A45 A55 A56 A16 A26 A36 A46 A56 A66 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . ⎟ A = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ НЕКОТОРЫЕ МИКРОКОНТИНУАЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ 137 По свойствам симметрии материалы триклинной сингонии не отличаются друг от друга, хотя в за- висимости от собственных модулей (значений) и состояний (тензоров) они могут быть качественно различными. 19. НЕКОТОРЫЕ МИКРОКОНТИНУАЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ Микроконтинуальные материалы, символы анизотропии которых состоят из трех элементов. Как было сказано выше, такие материалы могут быть следующих видов: {α1, α2, α3}, α1 + α2 + α3 = 9, 1 αm 7, m = 1, 2, 3; {1, 1, 7}, {1, 2, 6}, {1, 3, 5}, {1, 4, 4}, {1, 5, 3}, {1, 6, 2}, {1, 7, 1}, {2, 1, 6}, {2, 2, 5}, {2, 3, 4}, {2, 4, 3}, {2, 5, 2}, {2, 6, 1}, {3, 1, 5}, {3, 2, 4}, {3, 3, 3}, {3, 4, 2}, {3, 5, 1}, {4, 1, 4}, {4, 2, 3}, {4, 3, 2}, {4, 4, 1}, {5, 1, 3}, {5, 2, 2}, {5, 3, 1}, {6, 1, 2}, {6, 2, 1}, {7, 1, 1}. Всего число таких материалов равно 28. Рассмотрим традиционный изотропный микрополярный материал. В этом случае, как извест- но, каждый тензор модулей упругости (тензор IV ранга) характеризуется тремя независимыми компонентами, и, например, тензор A имеет представление 3 3 6 9 A = a1C(1) + a2C(2) + a3C(3) = λ }, }, eαeβ + 2μ }, eαeα + 2α }, eβ eβ = 3 3 α=1 β=1 6 α=1 9 β=7 (19.1) = a1 }, }, eαeβ + (a2 + a3) }, eαeα + (a2 - a3) }, eβ eβ, где α=1 β=1 α=1 β=7 A11 = a1 + a2 + a3 = λ + 2μ, A12 = a1 = λ, A44 = A11 - A12 = a2 + a3 = 2μ, A77 = a2 - a3 = 2α. В силу (19.1) матрица A компонент тензора A представляется в форме 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A44 0 0 0 0 0 0 A44 0 0 0 0 0 0 A44 0 0 0 0 0 0 A77 0 0 0 0 0 0 A77 0 0 0 0 0 0 A77 ⎛ A11 A12 A12 ⎞ ⎜ A12 A11 A12 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ A12 A12 A11 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ A = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎟ , (19.2) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ а характеристическое уравнение в силу (19.2) имеет вид det(A - λE) = (A11 + 2A12 - λ)(A44 - λ)5(A77 - λ)3 = 0. (19.3) Из (19.3) видно, что хара ктери стическое уравнение имеет один простой корень, один пятикратный корень и один трехкратный корень. Они имеют вид λ1 = A11 + 2A12 = 3λ + 2μ, λ2 = λ3 = λ4 = λ5 = λ6 = A44 = A11 - A12 = 2μ, λ7 = λ8 = λ9 = A77 = 2α. Собственные значения и собственные тензоры тензора модулей упругости A легко находятся, если закон Гука записать в виде P1 = A11γ1 + A12γ2 + A12γ3, P2 = A12γ1 + A11γ2 + A12γ3, P3 = A12γ1 + A12γ2 + A11γ3, P4 = A44γ4, P5 = A44γ5, P6 = A44γ6, P7 = A77γ7, P8 = A77γ8, P9 = A77γ9 (19.4) 138 ГЛАВА 5. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ и сравнить с законом Гука, представленным в форме ( 2 2 9 9 P⊗uα = μαγ⊗uα }, Pmuα,m = μα }, γmuα,m\\, α = 1, 9. (19.5) m=1 m=1 Заметим, что в рассматриваемом случае для тензоров моментных напряжений и изгиба кручения имеем аналогичные (19.4) и (19.5) соотношения. С целью сокращения письма их не выписываем. На основании сравнения последних шестых соотношений (19.4) с последними шестыми соотно- шениями (19.5) легко получим μ4 = μ5 = μ6 = A44, u4 = e4, u5 = e5, u6 = e6, μ7 = μ8 = μ9 = A77, u 7 = e7, u 8 = e8, u 9 = e9. Далее нетрудно заметить, что из первых тр ех со отнош ений (19.4 ) име ем P1 + P2 + P3 = (A11 + 2A12)(γ1 + γ2 + γ3), P1 - P2 = (A11 - A12)(γ1 - γ2), P1 + P2 - 2P3 = (A11 - A12)(γ1 + γ2 - 2γ3). Сравнивая (19.6) с первыми тремя соотношениями (19.5), получим √ μ1 = A11 +2A12, μ2 = μ3 = A44 = A11 - A12, (19.6) ± √ 3 u1 = (e1 + e2 + e3) = ± 3 E, 3 3 √ 2 √ ± 6 u2 = ± 2 (e1 - e2), u3 = 6 (e1 + e2 - 2e3). Очевидно, тензор A имеет представление A = λ1u1u1 + λ2 6 }, umum + λ7 9 }, umum = m=2 m=7 = (λ1 - λ2)u1u1 + λ2E + (λ7 - λ2) 9 }, umum = (19.7) 1 m=7 9 9 = (λ1 - λ2)C(1) + λ2C(2) + (λ7 - λ2) }, emem, E = C(2) = }, umum. 3 m=7 m=1 Нетрудно заметить, что традиционный изотропный материал (19.7) совпадает с материалом струк- туры {1,5,3}, если u1 = ±√3/3E и um = em, m = 7, 8, 9. В самом деле, учитывая это, а также равенство 9 }, emem = 1 (C(2) - C(3)), (19.8) из (19.7) получим m=7 2 1 1 1 A = 3 (λ1 - λ2)C(1) + 2 (λ2 + λ7)C(2) + 2 (λ2 - λ7)C(3). Далее для матери в {1,5,3} и подсчитаем оэффициенты ссона. В этой связи за- ало {5,1.3} к Пуа пишем обратные определяющие соотношения для материалов, обладающих центром симметрии. Имеем 2 2 γ = A-1 ⊗P, κ = D-1 ⊗μ. (19.9) Выпишем представления тензоров A и A -1 дл я ма тери алов { 1,5,3} и {5,1.3}. Имеем {1, 5, 3} : A = (λ1 - λ2)u1u1 + λ2C + (λ - λ )(u u + u u + u u ), (2) 7 2 7 7 8 8 9 9 A-1 = (λ-1 - λ-1)u1u1 + λ-1C(2) + (λ-1 - λ-1)(u7u7 + u8u8 + u9u9); 1 2 2 7 2 (19.10) {5, 1, 3} : A = λ1C(2) - (λ1 - λ6)u6u6 - (λ1 - λ7)(u7u7 + u8u8 + u9u9), A-1 = λ-1 -1 -1 -1 -1 1 C(2) - (λ1 - λ6 )u6u6 - (λ1 - λ7 )(u7u7 + u8u8 + u9u9). 19. НЕКОТОРЫЕ МИКРОКОНТИНУАЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ 139 Следовательно, тензоры D и D-1 для материалов {1,5,3} и {5,1.3} имеют аналогичный (19.10) вид. Их выписывать не будем. Пре дположим, что √ 3 u1 = u6 = ± E, um = em, m = 7, 8, 9. (19.11) 3 Тогда, учитывая (19.8) и (19.11), из (19.10) получим 1 1 1 {1, 5, 3} : A = 3 (λ1 - λ2)C(1) + 2 (λ2 + λ7)C(2) + 2 (λ2 - λ7)C(3), A-1 = 1 (λ-1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 3 1 - λ2 )C(1) + 2 (λ2 + λ7 )C(2) + 2 (λ2 - λ7 )C(3); 1 1 1 (19.12) {5, 1, 3} : A = - 3 (λ1 - λ6)C(1) + 2 (λ1 + λ7)C(2) + 2 (λ1 - λ7)C(3), 1 1 A-1 = - 1 (λ-1 - λ-1)C + (λ-1 + λ-1)C + (λ-1 - λ-1)C . 3 1 6 (1) 2 1 7 (2) 2 1 7 (3) Если положим P = P1e1, то в силу (19.12) и первого соотношения (19.9) 2 Г 1 l {1, 5, 3} : γ = P1A-1 ⊗e1 = P1 (λ-1 - λ-1)E + λ-1e1 , 2 (λ λ P1 3 1 2 2 2 γ1 = γ⊗e1 = 2 +2 1) 3λ λ , γ2 = γ3 = γ⊗e2 = - (λ1 - λ2)P1 3λ λ < 0, 1 2 γ γ λ 1 2 λ 2 3 λ1 - 2 1 γ ν = - 1 γ = - 1 = λ2 + 2λ1 = > 0, 0 < ν < ; 2(λ + μ) 2 2 {5, 1, 3} : γ = P1A-1 ⊗e1 = P1 Г 1 l - (λ-1 - λ-1)E + λ-1e1 , 2 (λ λ P1 3 1 6 1 2 γ1 = γ⊗e1 = 1 +2 6) 3λ λ , γ2 = γ3 = γ⊗e2 = (λ1 - λ6)P1 3λ λ < 0, 1 6 1 6 γ γ λ 2 3 λ1 - 6 γ ν = - 1 γ = - 1 λ = - 1 + 2λ6 < 0, -1 < ν < 0. Аналогичная картина получается из второго соотношения (19.9). Однако случай, когда материал не обладает центром симметрии, заслуживает особого рассмотрения. Ортотропный микроконтинуальный материал. В этом случае матрица компонент A тензора A имеет вид ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ A = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ A11 A12 A13 0 0 0 0 0 0 A12 A22 A23 0 0 0 0 0 0 A13 A23 A33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A44 A45 0 0 0 0 0 0 0 A45 A55 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A66 A67 0 0 0 0 0 0 0 A67 A77 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A88 A89 0 0 0 0 0 0 0 A89 A99 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ . (19.13) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Число независимых компонент равно 15. Характеристическое уравнение тензора A в силу (19.13) представляется в виде A11 - λ A12 A13 A44 - λ A45 det(A - E) = A12 A22 - λ A23 A A λ × A13 A23 A33 - λ 45 55 - (19.14) × A66 - λ A67 A88 - λ A89 = 0. A67 A77 - λ A89 A99 - λ 140 ГЛАВА 5. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ Из (19.14) следует, что имеет место хотя бы одно из следующих уравнений: A11 - λ A12 A13 A44 - λ A45 A12 A22 - λ A23 = 0, = 0, A45 A55 - λ A13 A23 A33 - λ (19.15) A66 - λ A67 A88 - λ A89 A67 A77 - λ = 0, A89 A99 - λ = 0. Первое из (19.15) - кубическое уравнение, которое имеет три положительных корня. Обозначим эти корни через λ1, λ2, λ3, а соответствующие этим корням собственные тензоры - через u1, u2 и u3. Собственные значения и соответствующие им собственные тензоры тензора A имеют вид λ1, λ2, λ3, ui = ui,1e1 + ui,2e2 + ui,3e3, i = 1, 2, 3, λ4,5 = 1 (A44 55 1 44 1 55 2A45 2 + A ) ± 2 (A - A ) cos 2α , tg2α = , A44 - A55 u4 = - sin αe4 + cos αe5, u5 = cos αe4 + sin αe5; 1 1 1 2A67 66 λ6,7 = 2 (A66 + A77) ± 2 (A66 - A77) cos 2β , tg2β = A , - A77 u6 = - sin βe6 + cos βe7, u7 = cos βe6 + sin βe7; 1 1 1 2A89 88 λ8,9 = 2 (A88 + A99) ± 2 (A88 - A99) cos 2γ , tg2γ = A , - A99 u8 = - sin γe8 + cos γe9, u9 = cos γe8 + sin γe9. Классификация микрополярных линейно упругих анизотропных материалов, не об- ладающих центром симметрии. В этом случае, как было указано выше, имеет место соотноше- ние (17.1). α1 + α2 + ··· + αk = 18, 1 αi 18 - (k - 1) = 19 - k, i = 1, k, 1 k 18. Имеются 18 классов (групп). Каждый класс содержит несколько подклассов (подгрупп). Ниже перечислены все классы при данной классификации. Для каждого класса приводится символ анизотропии. Для некоторых материалов дано представление тензорно-блочной матрицы. Число материалов в каждом классе выражается соответствующим биномиальным коэффициентом. Символ анизотропии состоит из одного элемента. {α}, α = 18, λ ≡ λ1 = λ2 = ··· = λ18. 17 Всего число таких материалов равно C0 = 1. Тензорно-блочная матрица M имеет представление 18 18 M = }, λpWpWT = λ }, WpWT = λE. p p=1 - - p p=1 - - Символ анизотропии состоит из двух элементов. {α1, α2}, α1 + α2 = 18, 1 αm 17, m = 1, 2, {1, 17}, {2, 16}, {3, 15}, {4, 14}, {5, 13}, {6, 12}, {7, 11}, {8, 10}, {9, 9}, {10, 8}, {11, 7}, {12, 6}, {13, 5}, {14, 4}, {15, 3}, {16, 2}, {17, 1}. 17 Всего число таких материалов равно C1 например, материалу {1,17} имеет вид 18 = 17. Тензорно-блочная матрица M, соответствующая, M = λ1W1WT + λ2 }, WpWT = (λ1 - λ2)W1WT + λ2E. 1 - - p p=2 - - 1 - - НЕКОТОРЫЕ МИКРОКОНТИНУАЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ 141 Символ анизотропии состоит из трех элементов. {α1, α2, α3}, α1 + α2 + α3 = 18, 1 αm 16, m = 1, 2, 3, {1, 1, 16}, {1, 2, 15}, {1, 3, 14}, {1, 4, 13}, {1, 5, 12}, {1, 6, 11}, {1, 7, 10}, {1, 8, 9}, {1, 9, 8}, {1, 10, 7}, {1, 11, 6}, {1, 12, 5}, {1, 13, 4}, {1, 14, 3}, {1, 15, 2}, {1, 16, 1}; {2, 1, 15}, {2, 2, 14}, {2, 3, 13}, {2, 4, 12}, {2, 5, 11}, {2, 6, 10}, {2, 7, 9} {2, 8, 8}, {2, 9, 7}, {2, 10, 6}, {2, 11, 5}, {2, 12, 4}, {2, 13, 3}, {2, 14, 2}, {2, 15, 1}; {3, 1, 14},..., {3, 14, 1}; ..., {15, 1, 2}, {15, 2, 1}; {16, 1, 1}. 17 Всего число таких материалов равно C2 = 136. Очевидно, например, для материала {1,1,16} тензорно-блочная матрица M представляется в форме 18 M= λ1W1WT + λ2W2WT + λ3 }, WpWT =(λ1 -λ3)W1WT + (λ2 -λ3)W2WT + λ3E. 1 2 - - - - p 1 p=3 - - - - 2 - - Далее в связи с тем, что остальные классы анизотропии содержат большое число материалов, не имеет смысла выписывать их. Поэтому ниже для остальных классов укажем символ анизотропии и соответствующее число материалов. Символ анизотропии состоит из четырех элементов. {α1, α2, α3, α4}, α1 + α2 + α3 + α4 = 18, 1 αm 15, m = 1, 2, 3, 4, {1, 1, 1, 15},..., {15, 1, 1, 1}. 17 Всего число таких материалов равно C3 = 680. Символ анизотропии состоит из 5 элементов. {α1, α2,..., α5}, α1 + α2 + ... + α5 = 18, 1 αm 14, m = 1, 5, {1, 1, 1, 1, 14},..., {14, 1, 1, 1, 1}. 17 Всего число таких материалов равно C4 = 2380. Символ анизотропии состоит из 6 элементов. {α1, α2,..., α6}, α1 + α2 + ... + α6 = 18, 1 αm 13, m = 1, 6, {1, 1, 1, 1, 1, 13},..., {13, 1, 1, 1, 1, 1}. 17 Всего число таких материалов равно C5 = 6188. Символ анизотропии состоит из 7 элементов. {α1, α2, α3,..., α7}, α1 + α2 + α3 + ... + α7 = 18, 1 αm 12, m = 1, 7, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 12},..., {12, 1, 1, 1, 1, 1, 1}. 17 Всего число таких материалов равно C6 = 12376. Символ анизотропии состоит из 8 элементов. {α1, α2, α3,..., α8}, α1 + α2 + α3 + ... + α8 = 18, 1 αm 11, m = 1, 8, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 11},..., {11, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}. 17 Всего число таких материалов равно C7 = 19448. Символ анизотропии состоит из 9 элементов. {α1, α2, α3,..., α9}, α1 + α2 + α3 + ... + α9 = 18, 1 αm 10, m = 1, 9, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 10},..., {10, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}. 17 Всего число таких материалов равно C8 = 24310. 142 ГЛАВА 6. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ Символ анизотропии состоит из 10 элементов. {α1, α2, α3,..., α10}, α1 + α2 + α3 + ... + α10 = 18, 1 αm 9, m = 1, 10, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 9},..., {9, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}. 17 Всего число таких материалов равно C9 = 24310. Символ анизотропии состоит из 11 элементов. {α1, α2, α3,... α11}, α1 + α2 + α3 + ... + α11 = 18, 1 αm 8, m = 1, 11, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 8},..., {8, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}. 17 Всего число таких материалов равно C10 = 19448. Символ анизотропии состоит из 12 элементов. {α1, α2, α3,..., α12}, α1 + α2 + α3 + ... + α12 = 18, 1 αm 7, m = 1, 12, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 7},..., {7, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}. 17 Всего число таких материалов равно C11 = 12376. Символ анизотропии состоит из 13 элементов. {α1, α2, α3,..., α13}, α1 + α2 + α3 + ... + α13 = 18, 1 αm 6, m = 1, 13, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 6},..., {6, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}. 17 Всего число таких материалов равно C12 = 6188. Символ анизотропии состоит из 14 элементов. {α1, α2, α3,..., α14}, α1 + α2 + α3 + ... + α14 = 18, 1 αm 5, m = 1, 14, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5},..., {5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}. 17 Всего число таких материалов равно C13 = 2380. Символ анизотропии состоит из 15 элементов. {α1, α2, α3,..., α15, α1 + α2 + α3 + ... + α15 = 18, 1 αm 4, m = 1, 15, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4},..., {4, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}. 17 Всего число таких материалов равно C14 = 680. Символ анизотропии состоит из 16 элементов. {α1, α2, α3,..., α16}, α1 + α2 + α3 + ... + α16 = 18, 1 αm 3, m = 1, 16, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3},..., {3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}. 17 Всего число таких материалов равно C15 = 136. Символ анизотропии состоит из 17 элементов. {α1, α2, α3,..., α17}, α1 + α2 + α3 + ... + α17 = 18, 1 αm 2, m = 1, 17, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2},..., {2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}. 17 Всего число таких материалов равно C16 = 17. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА НА ОСНОВЕ ДВУХ БАЗОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 143 Символ анизотропии состоит из 18 элементов. {α1, α2, α3,..., α18}, α1 + α2 + α3 + ... + α18 = 18, αm = 1, m = 1, 18, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}. 17 Всего число таких материалов равно C17 = 1. Нетрудно заметить, что общее число всех анизотропных микрополярных линейно упругих не 17 обладающих центром симметрии материалов равно C }, k 17 = 217 = 131072. k=0 4 R4 Следует заметить, что более подробная классификация анизотропных материалов должна про- изводиться в зависимости от вида собственных тензоров тензорно-блочной матрицы M ∈ R4(Ω) или от вида R ∈ 4(Ω). ГЛАВА 6 НОВАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА В данной главе рассмотрена эффективная параметризация области тонкого тела с одним малым размером трехмерного евклидова пространства R3, заключающаяся в использовании, в отличие от классических подходов, двух базовых поверхностей, называемых условно внутренней и внешней базовыми поверхностями [32-34, 40-42]. Введены в рассмотрение свойственные предложенным семействам параметризаций геометрические характеристики. В частности, рассмотрены различные семейства базисов (реперов) и порожденные ими соответ- ствующие семейства параметризаций. Введены в рассмотрение компоненты переноса единичного тензора второго ранга (ЕТВР), а также основные компоненты ЕТВР, посредством которых вы- ражены различные геометрические объекты, сопровождающие рассмотренные в работе семейства параметризаций. С помощью компонент переноса ЕТВР осуществлена связь между различными семействами параметризаций. Даны представления ЕТВР, единичного тензора четвертого ранга (ЕТЧР), а также изотропных тензоров четвертого ранга при рассматриваемых семействах параметризаций области тонкого те- ла трехмерного евклидова пространства. Сформулирована фундаментальная теорема для области тонкого тела при ее новой параметризации. 20. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА НА ОСНОВЕ ДВУХ БАЗОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ Рассмотрим область трехмерного евклидова пространства, ограниченную двумя лицевыми поверхностями (-) S и (+) S и боковой поверхностью Σ (рис. 1). (-) В дальнейшем условно лицевую поверхность (+) S будем называть внутренней базовой поверхностью, а лицевую поверхность (-) S - внешней базовой поверхностью (рис. 1). Кроме того, поверхность S часто будем называть основной базовой поверхностью, так как при параметризации рассматриваемой области трехмерного евклидова пространства на ней вводятся гауссовы координаты, т. е. сперва осуществляется параметризация поверхности (-) S, а потом, принимая (-) S в качестве основной базовой поверхности (базы), производится параметризация области любой эквидистантной (-) от S поверхности, обозначаемой через S (рис. 1). Введем определения: Определение 20.1. Область трехмерного евклидова пространства R3, один или два размера которой значительно меньше остальных, называется тонкой областью. Определение 20.2. Тонкая область, имеющая боковую поверхность },, называется незамкнутой тонкой областью, в противном случае - замкнутой. 144 ГЛАВА 6. НОВАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА r + 2 r (+) M + (+) S 1 M r2 r1 ¦ h r r (-) M r (+) (-) S r 2 - 1 r (-) O РИС. 1. Новая параметризация области тонкого тела Определение 20.3. Трехмерное тело, занимающее тонкую область, называется тонким телом. В силу определения 20.3 в дальнейшем, говоря о тонкой области, будем подразумевать тонкое тело и, наоборот, говоря о тонком теле, будем подразумевать тонкую область (область тонкого тела). Определение 20.4. Область тонкого тела называется ограниченной, если существует шар ко- нечного радиуса, который содержит рассматриваемую область тонкого тела. Определение 20.5. Любая регулярная поверхность называется базовой поверхностью, или просто базой. Следует заметить, что при дальнейшем изложении рассматривается тонкое тело, один размер которого меньше остальных. В качестве (-) S и (+) S используются регулярные поверхности [51], и, кроме того, в случае ограниченной незамкнутой области тонкого тела боковая поверхность }, считается линейчатой поверхностью. Векторное параметрическое уравнение области тонкого тела. Радиус-вектор произ- вольной точки области тонкого тела представляется в виде (рис.1) (-) (-) (+) r(x1, x2, x3) = r (x1, x2)+ x3h(x1, x2) = (1 - x3) r (x1, x2)+ x3 r (x1, x2) ∀x3 ∈ [0, 1], или коротко (-) (-) (+) r(x×, x3) = r (x×)+ x3h(x×) = (1 - x3) r (x×)+ x3 r (x×), x× = (x1, x2) ∀x3 ∈ [0, 1], (20.1) где векторные соотношения ( (-r) = (-r) x×), (+) r = (+) r (x×), x× = (x1, x2) (20.2) 20. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА НА ОСНОВЕ ДВУХ БАЗОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 145 (-) (+) являются векторными параметрическими уравнениями базовых поверхностей (-) S и S соответствен- но, x× = (x1, x2) - произвольная точка на (-) S, т. е. x1 и x2 - криволинейные (гауссовы) координаты1 на внутренней базовой поверхности Вектор S. (+) (-) h(x×) = r (x×) - r (x×), x× = (x1, x2), (20.3) топологически отображающий внутреннюю базовую поверхность ря, не является перпендикулярным к базовым поверхностям. (-) S на внешнюю (+) S, вообще гово- (-) Нетрудно увидеть, что (20.1) при ∀x× и x3 = 0 определяет внутреннюю базовую поверхность S (+) при ∀x× и x3 = 1 - внешнюю базовую поверхность S, а при ∀x× и x3 = const, где x3 ∈ (0, 1) - эквидистантную от базовых (-) S и (+) S поверхность S. Следовательно, соотношение (20.1) не что иное, как векторное параметрическое уравнение об- ласти тонкого тела. (-) Пусть M = (x1, x2, 0) = x× - произвольная точка на внутренней базовой поверхности (-) S, т. е. (-) (-) (+) M ∈ S, а M = (x×, x3) и M = (x×, 1) - соответствующие ей точки на эквидистантной поверхности (+) (+) (+) S и внешней базовой поверхности S соответственно2, т. е. M ∈ S и M ∈ S. Обозначая через Q множество точек области тонкого тела трехмерного евклидового простран- ства R3, нетрудно заметить, что ( (-) (-) (-) Q = (M, z) ∈ R3 : ∀M ∈ S, ∀z ∈ [0, h], h = |h|, z = x3h, x3 ∈ [0, 1] . Двухмерные семейства реперов (базисов) и порожденные ими семейства параметри- (∗) зации поверхности. Для производных по xP от соотношений (20.1) и (20.2) в точках M ∈ ∗∈ {-, ∅, +} введем соответственно обозначения (∗) S, ∂r P rP ≡ ∂P r = ∂xP , r ∗ = r ∂(∗) ∂xP , ∗∈ {-, +}. (20.4) (∗) (∗) Пары векторов r∗, r∗, ∗∈ {-, ∅, +}, определенные в точках M ∈ S, ∗∈ {-, ∅, +}, следователь- 1 2 (∗) но, образуют двумерные ковариантные поверхностные базисы, а M r∗ r∗, ∗∈ {-, ∅, +} - двумерные ковариантные поверхностные реперы, порождающие в свою очередь1со2 ответствующие им парамет- ризации рассматриваемых поверхностей. По этим реперам (базисам), как известно [5, 21, 54], мож- (∗) ∗ ∗ ∗ ∗ но построить соответствующие им контравариантные реперы M r1r2, ∗∈ {-, ∅, +} (базисы r1, r2, ∗ ∈ {-, ∅, +}). Естественно, ковариантные и контравариантные базисы порождают свойственные им геометрические характеристики. 1Под x∗ раз и навсегда подразумеваем произвольную точку базовой поверхности (-) S , имеющую, если противное не будет оговорено, две координаты x1 и x2, т. е. зависимость величин от x∗ означает их зависимость от x1 и x2. Поэтому с целью сокращения письма в дальнейшем, выписывая соотношения, в которых величины зависят от x∗, не будем указывать на то, что x∗ = (x1, x2). 2В дальнейшем, как и выше, применяются обычные правила тензорного исчисления [5, 9-11, 21, 36, 37, 54, 80, 81]. Прописные и строчные латинские индексы пробегают значения 1,2 и 1,2,3 соответственно. Кроме того, в дальнейшем (∗) (∗) p˜ часто применяются краткие записи, подобные, например, M ∈ S, ∗∈ {-, ∅, +} или rp˜ = gq˘rq˘, ∼, '-' ∈ {-, ∅, +}, где ∅ (-) (-) обозначает пустое множество. Первая запись означает: если ∗ = -, то M ∈ S ; если ∗ = ∅, то M ∈ S; если ∗ = +, то (+) (+) -q -q M ∈ S . Вторая запись означает, что если, например, ∼ = ∅, '-' = -, то rp = gp r-q , если ∼ = +, '-' = -, то r+ = g+ r- и т. д. Перебирая все значения, получим все соотношения. p p q 146 ГЛАВА 6. НОВАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА Определяя в произвольных точках поверхностей (∗) S, ∗ ∈ {-, ∅, +}, реперы (базисы), получим соответствующие семейства реперов (базисов), порождающие в свою очередь соответствующие им семейства параметризаций. Таким образом, всякое семейство гауссовых параметров на поверхности (-) S порождает соот- (∗) ветствующие семейства реперов (базисов) и, следовательно, параметризаций на поверхностях S, ∗∈ {-, ∅, +}. Введем определения: (∗) Определение 20.6. Множество двумерных ковариантных (контравариантных) реперов M r∗ r∗ (∗) ∗ ∗ 1 2 (∗) (M r1r2), называется S -семейством ковариантных (контравариантных) реперов, ∗∈ {-, ∅, +}. (∗) Определение 20.7. Объединение S -семейств ковариантных и контравариантных реперов назы- (∗) вается S -семейством реперов, ∗∈ {-, ∅, +}. Определение 20.8. Множество двумерных ковариантных (контравариантных) базисов r∗, r∗ 1 2 ∗ ∗ (∗) (r1, r2) называется S -семейством базисов, ∗∈ {-, ∅, +}. (∗) Определение 20.9. Объединение S -семейств ковариантных и контравариантных базисов назы- (∗) вается S -семейством базисов, ∗∈ {-, ∅, +}. (∗) Определение 20.10. Порожденное (∗) S -семейством реперов множество параметризаций называ- ется S -семейством параметризаций, ∗∈ {-, ∅, +}. (∗) Определение 20.11. Порожденное (∗) S -семейством базисов множество геометрических характе- ристик называется S -семейством геометрических характеристик, ∗∈ {-, ∅, +}. (∗) Определение 20.12. Компоненты, имеющие векторы, представленные в (∗) S -семействе базисов, называются S -семейством компонент, ∗∈ {-, ∅, +}. Трехмерные семейства реперов (базисов) и порожденные ими семейства парамет- ризации области. Учитывая в первом соотношении (20.4) выражение радиус-вектора r (20.1) и вводя обозначение ∂h hP ≡ ∂xP ≡ ∂P h, получим 3 3 3 rP = r- + x hP = (1 - x )r- + x r+ . (20.5) P P P Дифференцируя (20.1) по x3, получим ∂r 3 r3 ≡ ∂3r ≡ ∂x3 = h(x×) ∀x На основании (20.6) можно принять, что ∈ [0, 1]. (20.6) 3 r- = r3 = r+ ≡ ∂3r = h(x×) ∀x ∈ [0, 1]. (20.7) 3 3 (∗) (∗) Соотношение (20.7) дает возможность в точках M ∈ S, ∗∈ {-, +}, определить пространствен- p ные ковариантные базисы r∗, ∗∈ {-, +}. Таким образом, третий базисный вектор пространствен- (∗) (∗) ных ковариантных базисов в точках M ∈ S, ∗∈ {-, ∅, +} - один и тот же вектор h(x×). Ввиду (20.7) соотношения (20.5) и (20.6) можно соединить и представить в виде p r (x×, x3) = r -p p - (x×)+ x3h (x×) = (1 x3)r -p (x×)+ x3r+ p (x×). (20.8) 20. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА НА ОСНОВЕ ДВУХ БАЗОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 147 Следовательно, тройки векторов r*, r*, r*, ∗∈ {-, ∅, +}, определенные в рассматриваемых точ- (∗) (∗) 1 2 3 ках M ∈ (∗) S, ∗ ∈ {-, ∅, +}, образуют трехмерные (пространственные) ковариантные базисы, а M r* r* r*, ∗ ∈ {-, ∅, +} - трехмерные (пространственные) реперы, порождающие в свою очередь 1 2 3 соответствующие им параметризации. По этим реперам (базисам), как известно [5, 21, 54], можно (∗) * * * * * * построить соответствующие им контравариантные реперы M r1r2r3, ∗∈ {-, ∅, +} (базисы r1, r2, r3, ∗∈ {-, ∅, +}). В самом деле, на основании их определения [5, 21, 54] имеем rk˜ = 1 Ck˜p˜q˜r 2 p˜ × rq˜, ∼ ∈ {-, ∅, +}, (20.9) где Ck˜p˜q˜ = (rk˜ × rp˜) · rq˜, ∼ ∈ {-, ∅, +} - контравариантные компоненты дискриминантных тензо- ) ) (∗ ров [5] в рассматриваемых точках M ∈ S, ∗∈ {-, ∅, +}, соответственно. Введем в рассмотрение следующие матрицы: gp˘q˜ = rp˘ · rq˜, gq˜ p˘ p˘ q˜ p˘ = r · rq˜, gp˘q˜ = rp˘ · rq˜, gq˜ = rp˘ · r , , ∼ ∈ {-, ∅, +}. (20.10) В силу (20.8) и (20.10), очевидно, получаем gpq˘ = rp · rq˘ = (1 - x3)g -p q˘ + x3g+ , pq˘ gq˘ q˘ 3 · - p = rp r = (1 x )gq˘ -p + + x3gq˘ p , ∈ {-, +}. (20.11) Нетрудно заметить, что в силу (20.10) имеем следующую связь между базисными векторами: p˘ rp˘ = gq˜rq˜ = gp˘q˜rq˜, , ∼ ∈ {-, ∅, +}. (20.12) сохраняющую силу при жонглировании индексами. На основании (20.12) нетрудно доказать, что имеют место соотношения gq˘ n∗ q˘ p˜ = gp˜ gn∗ , , ∼, ∗∈ {-, ∅, +}, (20.13) сохраняющие силу при жонглировании индексами. Не представляет большого труда получить выражение для gpq. В самом деле, по (20.10) и (20.11) имеем n∗ 3 2 3 3 ( ) 3 2 gpq = rp · rq = gpn∗ gq = (1 - x ) g-p -q + x (1 - x ) p g-+ + g+- + (x ) g++, g = g g , , + . m- ++ + - + ∗∈ {- } q p q p q (20.14) p q pm q Найдем выражения для √g = (r1 × r2) · r3. В силу (20.12) при = ∅, ∼ ∈ {-, +} получаем /(∼) ˜ ˜ √g = 1 EIJ (r × r ) · r 1 = EIJ gK gL(r 1 × r ) · r = g EIJ E gK˜ gL˜ = 2 I J 3 2 I J K˜ L˜ 3 2 KL I J т. е. / p ) (∼) = g det (gq˜ /(∼) = g det (gQ˜ ), P √g = /(∼g) det (gQ˜ ), det (gq˜) = det (gQ˜ ) = 1 EIJ E gK˜ gL˜ , , + , (20.15) P p P 2 KL I J ∼ ∈ {- } KL где EIJ , E - символы Леви-Чивиты, а ( /(∼) g = r˜1 × r˜2) · r˜3, ∼ ∈ {-, +}, /(-) g = √ , g x3=0 /(+) g = √ . g x3=1 Из (20.15) в свою очередь имеем (∼) ϑ ≡ -1 /g(∼g) = 1 EIJ E gK˜ gL˜ = det (gQ˜ ), ∈ {-, +}. (20.16) 2 KL I J P ∼ Нетрудно заметить, что имеет место более общее соотношение, чем (20.15), а именно /(∼) g = 1 /(∼) g EIJ E K L ( ) ˘ ˘ /('-') Q˘ g g = g det g , , , ∅, + . (20.17) 2 KL I˜ J˜ P˜ ∼ ∈ {- } 148 ГЛАВА 6. НОВАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА Из (20.17) получаем g -1 det (gQ˘ ) = det (gq˘) = /(∼g)('-') 1 = EIJ E gK˘ gL˘ , , ∼ ∈ {- , ∅, + }. (20.18) P˜ p˜ 2 KL I˜ J˜ В силу (20.18) нетрудно доказать, что, , ∼ ∈ {-, ∅, +} ('-') ∼ /(∼)('-') (∼) '-' (≈) (20.19) ϑ ≡ g g -1 = ϑ -1, ϑ = 1, , ∼ ∈ {-, +}. Учитывая (20.18) и (20.19), соотношения (20.16) можно представить в более развернутом виде: (-) / (-) (=) - (∓) + ϑ = g g -1 = (1 - x3)2 ϑ + x3(1 - x3)tr(gJ ) + (x3)2 ϑ, I (+) / (+) (±) + (+) + (20.20) - ϑ = g g -1 = (1 - x3)2 ϑ + x3(1 - x3)tr(g I ) + (x3)2 ϑ . J m˜ Не представляет большого труда найти выражения для rk посредством векторов r или rm˜ , ∼ ∈ {-, +}. В самом деле, учитывая в соотношении (20.9) при ∼ = ∅, например, первое равен- ство (20.12), получаем rk = 1 Ckpq r × r 1 = Ckpqgm˜ n˜ 1 (∼) -1 kpq m˜ n˜ ˜l 2 Таким образом, p q 2 p gq rm˜ × rn˜ = 2 ϑ E Elmn gp gq r , ∼ ∈ {-, +}. 1 (∼) rk = ϑ -1Ekpq E gm˜ n˜ ˜l 2 где Ekpq, Elmn - символы Леви-Чивиты. lmn p gq r , ∼ ∈ {-, +}, (20.21) Учитывая (20.18) и (20.19), нетрудно доказать, что имеет место более общее соотношение, чем (20.21), а именно (∼) rk˘ = 1 '-' E E g g r˜, , , + , , + . (20.22) В силу (20.22) имеем ϑ -1 kpq 2 m˜ lmn p˘ n˜ l q˘ ∈ {- ∅ } ∼ ∈ {- } gk˘ = rk˘ · r (∼ 1 '-') = ϑ -1Ekpq E gm˜ gn˜ ˜l ˜l 2 ) (∼ '-' lmn p˘ q˘ , (20.23) g˜lk˘ = rk˘ · r˜l = 1 ϑ -1Ekpq E gm˜ n˜ s˜˜l 2 smn g g p˘ q˘ , ∼ ∈ {-, +}, ∈ {-, ∅, +}. Из (20.23) при = ∅ (или на основании (20.20)) получаем 1 (∼) gk = rk · r = ϑ -1Ekpq Elmngm˜ gn˜ ˜l ˜l 2 p q , (20.24) ˜ ˜ 1 (∼) gkl = rk · rl = ϑ -1Ekpq E gm˜ n˜ s˜˜l 2 smn p gq g , ∼ ∈ {-, +}. Учитывая (20.18), нетрудно доказать, что из первых соотношений (20.23) и (20.24) находим gK˘ = K˜ ) (∼ ˜ '-' ϑ -1gI = I˘ ∼ ('-') ϑ -1 gI˜, gK I˘ K˜ (∼) = ϑ -1 I gI˜, ∼ ∈ {-, +}. (20.25) Естественно, построенные выше пространственные ковариантные и контравариантные базисы порождают свойственные порожденным порождающими реперами параметризациям геометриче- ские характеристики. Определяя в каждой точке поверхностей (∗) S, ∗∈ {-, ∅, +}, пространственные реперы (базисы), получим соответствующие семейства пространственных реперов (базисов), порождающие в свою очередь соответствующие им семейства параметризаций. Целесообразно ввести следующие определения: 20. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА НА ОСНОВЕ ДВУХ БАЗОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 149 Определение 20.13. Множества пространственных ковариантных (контравариантных) реперов (∗) (∗) ∗ ∗ ∗ (∗) M r∗ r∗ r∗ (M r1r2r3) называются S ( )-семействами ковариантных (контравариантных) реперов, 1 2 3 g∗ ∗∈ {-, ∅, +}. Определение 20.14. Объединение (∗) (∗) S (∗)-семейств ковариантных и контравариантных реперов g называется g S (∗)-семействами реперов, ∗∈ {-, ∅, +}. Определение 20.15. Множество пространственных ковариантных (контравариантных) базисов ∗ ∗ ∗ (∗) r∗, r∗, r∗ (r1, r2, r3) называется S ( )-семейством ковариантных (контравариантных) базисов, 1 2 3 g∗ ∗∈ {-, ∅, +}. Определение 20.16. Объединение (∗) (∗) S (∗)-семейств ковариантных и контравариантных базисов g называется g S (∗)-семейством базисов, ∗∈ {-, ∅, +}. Определение 20.17. Порожденное (∗) (∗) S (∗)-семейством реперов множество параметризаций назы- g ваются g S (∗)-семейством параметризаций, ∗∈ {-, ∅, +}. Определение 20.18. Порожденное (∗) (∗) S (∗)-семейством базисов множество геометрических харак- g g теристик называется S (∗)-семейством геометрических характеристик, ∗∈ {-, ∅, +}. Определение 20.19. Компоненты векторов, представленные в (∗) g ются S (∗)-семейством компонент, ∗∈ {-, ∅, +}. (∗) S (∗)-семействе базисов, называ- g Отметим еще раз, что природа каждого построенного (∼) g S (∼)-семейства реперов (базисов), ∼ ∈ {-, ∅, +}, такова, что третий базисный вектор r˜3 = h(x1, x2), ∼ ∈ {-, ∅, +}, в общем случае не (∼) является перпендикуляром к соответствующей поверхности S, ∼ ∈ {-, ∅, +}. Однако в частном (∼) случае он может быть перпендикуляром, а также единичным вектором нормали к поверхности S, (∼) ∼ ∈ {-, ∅, +}, обозначаемым через Введем определения: n , ∼ ∈ {-, ∅, +}. Определение 20.20. (∼) S (∼)-семейство реперов (базисов) называется нормальным g (∼) S (∼)-семей- g 1 2 ством реперов (базисов), если третий базисный вектор r(∼) = h(x ,x ) перпендикулярен к соот- 3 ветствующей базовой поверхности (∼) S, ∼ ∈ {-, ∅, +}. Определение 20.21. (∼) S (∼)-семейство реперов (базисов) называется естественным семейством g реперов (базисов), обозначаемым через (∼) (∼) S (∼), если третий базисный вектор, обозначаемый че- a (∼) рез n , является единичным вектором нормали к соответствующей базовой поверхности S, ∼ ∈ {-, ∅, +}. 150 ГЛАВА 6. НОВАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА (∼) Определение 20.22. Порожденная (естественным) нормальным ( S (∼)-) a (∼) S (∼)-семейством репе- g (∼) ров параметризация называется (естественным) нормальным ( S (∼)-) a (∼) S (∼)-семейством парамет- g ризации, ∼ ∈ {-, ∅, +}. Следует заметить, что естественные семейства параметризаций довольно подробно рассмотрены в монографии И. Н. Векуа [5]. Мультипликативные базисы. Для представления при предлагаемой параметризации об- ласти тонкого тела тензоров, ранг которых не меньше двух, полезно ввести в рассмотрение муль- типликативные базисы1 [5]. Так как мы в основном будем иметь дело с тензорами, ранг которых не больше четырех, целесообразно ввести мультипликативные базисы, образованные с помощью тен- зорного умножения двух, трех и четырех базисных векторов из рассмотренного выше различного семейства базисов. Таким образом, определив (∗) g S (∗)-семейство базисов, ∗ ∈ {-, ∅, +}, не представляет никакого труда определить указанные выше мультипликативные базисы. В самом деле, введем следующее Определение 20.23. Тензорные произведения базисных векторов из {-, ∅, +}, обозначаемые (∗) g S (∗)-семейств, где ∗ ∈ m˜ n˘ = rm˜ ⊗ rn˘ , R m˜ n˘pˆ = rm˜ ⊗ rn˘ ⊗ rpˆ, · · · · (20.26) R · · · · · R m˜ n˘pˆ qˇ = rm˜ ⊗ rn˜ ⊗ rpˆ ⊗ rqˇ, ∼, , ∨, ∧ ∈ {-, ∅, +}, и получаемые из них жонглированием индексами их образы, называются мультипликативными базисами. Следует заметить, что по терминологии, принятой, например, в [54], (20.26) можно называть многоточечными базисами трехмерного евклидова пространства. Первый базис (20.26) - двух- точечный базис, а второй и третий базисы (20.26) - трехточечный и четырехточечный базисы соответственно. Следовательно, можно было называть их двухвекторным, трехвекторным и четы- рехвекторным базисами соответственно. Из сказанного выше следует, что для представления тензоров n-го ранга аналогично можно рассмотреть n-векторный мультипликативный базис, где n 2 - натуральное число, однако на этом мы останавливаться не будем, а в случае необходимости будем им пользоваться. Подробное изложение, касающееся многоточечных (мультипликативных) базисов, заинтересованный читатель найдет в книгах [5, 54]. В качестве примера приведем представление тензоров второго, третьего и четвертого рангов при рассматриваемых параметризациях области тонкого тела трехмерного евклидова пространства. Имеем представления P = P m˜ n˘ R · · m˜ n˘ · · C = C · · · m˜ n˘ = P · · rm˜ ⊗ rn˘ , m˜ n˘pˆ R = C m˜ n˘pˆ rm˜ ⊗ rn˘ ⊗ rpˆ, m˜ n˘pˆ · · · · · · (20.27) C = C · · · · m˜ n˘pˆ qˇ m˜ n˘pˆ qˇ rm˜ ⊗ rn˜ ⊗ rpˆ ⊗ rqˇ, ∼, , ∨, ∧ ∈ {-, ∅, +}, m˜ n˘pˆ qˇ R · · · · = C · · · · конечно, со храняющие силу при жонглировании индексами. Различные семейства символов Кристоффеля. Для нахождения ковариантных произ- водных от тензоров и их компонент нам понадобятся символы Кристоффеля. Естественно, введен- ное выше каждое семейство базисов порождает свойственное ему семейство символов Кристоффе- ля, для которого следует вводить соответствующее обозначение. В связи с этим введем следующие определения: 1В монографии [5] они называются мультипликативными базисными тензорами. 20. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА НА ОСНОВЕ ДВУХ БАЗОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 151 Определение 20.24. Порожденное (∼) S (∼)-семейством базисов множество символов Кристоффе- g ˜q ля первого и второго рода, обозначаемых через Γpn˜ и Γp˜q,n˜ соответственно, называются (∼) S (∼)- g семействами символов Кристоффеля первого и второго рода, ∼ ∈ {-, ∅, +}. (∼) Определение 20.25. Объединение (∼) S (∼)-семейств символов Кристоффеля первого и второго ро- g да называется g S (∼)-семейством символов Кристоффеля, ∼ ∈ {-, ∅, +}. В рассматриваемом случае математические определения символов Кристоффеля первого и вто- рого рода представляются в виде Γp˜q,n˜ ≡ ∂q rp˜ · rn˜ ≡ ∂q∂p r (∼) · rn˜ ≡ rp˜q · rn˜ , (20.28) Γpn˜ p˜ ˜q ≡ ∂q r · rn˜ ∼ ( ) ≡ ∂q∂p r · rn˜ (∼) ≡ rp˜q · rn˜ , ∼ ∈ {-, ∅, +}. Определение 20.26. Порожденное S (∼)-семейством базисов множество символов Кристоффе- a ля первого и второго рода, обозначаемых через Γ ¯ p˜q,˜l Γ и ¯˜l p˜q соответственно, называются (∼) S (∼)- a семейством символов Кристоффеля первого и второго рода, ∼ ∈ {-, ∅, +}. (∼) Определение 20.27. Объединение (∼) S (∼)-семейств символов Кристоффеля первого и второго ро- a да называется a S (∼)-семейством символов Кристоффеля, ∼ ∈ {-, ∅, +}. (∼) Математически S (∼)-семейства символов Кристоффеля определяются аналогично соотношени- a ям (20.28) с учетом того, что r˜3 = ∼ ( ) n , ∼ ∈ {-, ∅, +}. Определение 20.28. Множество символов Кристоффеля первого (второго) рода Γ¯ ˜ ˜ (Γ¯L˜ ) (∼) P Q,L P˜Q называется (∼) S -семейством символов Кристоффеля первого (второго) рода, а их объединение - S -семейством символов Кристоффеля, ∼ ∈ {-, ∅, +}. Математические определения этих семейств символов Кристоффеля представляются в виде Γ¯ ˜ ˜ Q ˜ L˜ (∼) Q P L˜ P˜Q L˜ 3˜ (∼) ˜3 P Q,L ≡ ∂ rP · r ≡ ∂ ∂ r · r ≡ r r , r = r = n , (20.29) Γ¯L˜ L˜ P˜Q ≡ ∂QrP˜ · r ∼ ( ) ≡ ∂Q∂P r · rL˜ ˜ ≡ rP˜Q · rL , ∼ ∈ {-, ∅, +}. Следует заметить, что вид применяемых индексов зависит от вида рассматриваемого семейства параметризации. В связи с этим следует различать индексы, применяемые при разных семействах параметризаций. Введем следующее Определение 20.29. Индекс, применяемый при (∼) (∼) S (∼)-семействе параметризации, называется g (∼g) ндексом, а индекс, применяемый при S ∼ ( ) -семействе параметризации - a -индексом, -и {-, ∅, +}. (∼a) ∼ ∈ Деривационные формулы для мультипликативных базисов. Нетрудно вывести дери- вационные формулы для мультипликативных базисов, зная аналогичные формулы для базисных (∼) векторов. В связи с этим сначала выпишем деривационные формулы для векторов, которые в силу (20.28) примут вид S (∼)-семейства базисных g p˜q r , rn˜ ˜q ≡ ∂q rn˜ = -Γpn˜ rp˜, ∼ ∈ {-, ∅, +}. (20.30) 152 ГЛАВА 6. НОВАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА Теперь выведем деривационные формулы, например, для двухвекторных базисов. С этой целью в первом соотношении (20.26) поднимем, например, индекс n˘ Имеем и продифференцируем его по xp. ∂p R · n˘ m˜ n˘ m˜ · = ∂pr ⊗ r ∼, ∈ {-, ∅, +}. + rm˜ ⊗ ∂prn˘ = rm˜ p ⊗ rn˘ , p˘ + rm˜ ⊗ rn˘ , (20.31) При выводе (20.31) было использовано правило дифференцирования обычного произведения функций, которое имеет место и в рассматриваемом случае. Его можно строго доказать, но на этом мы останавливаться не будем. Учитывая (20.30) в (20.31), получаем искомое соотношение ∂p R · n˘ n˘ q˜ q˘ n˘ m˜ · = R q˜ · Γm˜ p - R m˜ · Γq˘p, ∼, ∈ {-, ∅, +}. (20.32) Перенося члены из правой части в левую, получим ∂p R · n˘ n˘ q˜ q˘ n˘ m˜ · - R q˜ · Γm˜ p + R m˜ · Γq˘p = 0, ∼, ∈ {-, ∅, +}. (20.33) Левая часть соотношения (20.33) представляет ковариантную производную от мультипликатив- ного (двухвекторного) базиса. Вводя для ковариантной производной, как принято, обозначение ∇p, соотношение (20.33) представим в виде ∇p R m· n˘ ˜ · = 0, ∼, ∈ {-, ∅, +}, (20.34) сохраняющем силу при жонглировании индексами. Можно заметить, что, перенося члены из левых частей (20.30) в правые и вводя обозначение ∇p для оператора ковариантной производной, аналогично (20.34) имеем соотношение ∇p rm˜ = 0, ∇p rn˜ = 0, ∼ ∈ {-, ∅, +}. (20.35) Аналогично (20.34) и (20.35) доказывается справедливость утверждений для n-векторных бази- сов, n ∈ N. Поэтому на этом останавливаться не будем. Эти утверждения можно сформулировать следующим образом: Утверждение 20.1. Ковариантная производная от любого мультипликативного базиса равна нулю. Представление единичного тензора второго ранга. Исходя из обычного представления этого тензора [5, 54], на основании (20.12) и (20.13) получаем E = gpq rprq = gpqgp gq rm˜ rn˘ = gm˜ qgq rm˜ rn˘ = gn˘ rm˜ rn˘ , т. е. имеем представлен ие m˜ n˘ n˘ m˜ m˜ E = gn˘ rm˜ rn˘ , ∼, ∈ {-, ∅, +}, (20.36) сохраняющее силу при жонглиров ании1 немыми индексами. По (20.36) видно, что элементы введенных выше матриц (20.10) представляют компоненты единичного тензора второго ранга (ЕТВР). Введем следующие определения: Определение 20.30. Рассмотренная выше параметризация, характеризующаяся заданием ради- ус-вектора произвольной точки в виде (20.1), называется новой параметризацией области тонкого тела трехмерного евклидова пространства R3. При этом новая параметризация называется регу- лярной, если внутренняя (-) S и внешняя (+) S поверхности - регулярные поверхности. p˜ Определение 20.31. Компоненты gq˘, ∼, ∈ {-, ∅, +}, ∼ /= и получаемые из них жонглирова- нием индексами их образы, называются области тонкого тела. компонентами переноса ЕТВР при новой параметризации 1Под жонглированием немыми индексами понимается то, что, если один из индексов опускается, то соответствующий ему индекс поднимается, и наоборот. 20. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА НА ОСНОВЕ ДВУХ БАЗОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 153 gq˘ p˜ Определение 20.32. Компоненты gp˜q˜, gq˜, gp˜q˜ ∼ = - (∼ = +), и компоненты переноса gp˜q˘, p˜, ∼ = +, = - (∼ = -, = +), называются основными компонентами ЕТВР при новой параметризации области тонкого тела, если в качестве основной базовой применяется внутренняя (внешняя) базовая поверхность. Представления изотропных тензоров четвертого ранга. Эти тензоры1 занимают особое место в механике деформируемого твердого тела (МДТТ). Ими пользуются, например, при записи определяющих соотношений в линейной теории упругости для изотропного материала. Поэтому целесообразно иметь их представление и в предлагаемом варианте теории. Нетрудно выписать это представление. В самом деле, при полном сокращении индексов у мультипликативных базисов, составленных из четного числа базисных векторов, при условии, что каждая пара зацепленных (∼) индексов принадлежит только одному из g -семейств индексов, ∼ ∈ {-, ∅, +}, так что различные пары зацепленных индексов могут принадлежать разным семействам индексов, из мультиплика- тивных базисов получаются изотропные тензоры. Более того, компоненты этих тензоров остаются (∼) неизменными не только при ортогональных преобразованиях, но и при замене одних реперов, ∼ ∈ {-, ∅, +}, другими. S (∼)-семейств g Обнаружив такую структуру, очевидно, при полном сокращении индексов у мультипликативно- го базиса из четырех базисных векторов надо ожидать получения всех изотропных тензоров чет- вертого ранга. Так как четырехвекторный мультипликативный базис определяется как тензорное произведение четырех базисных векторов, то число его изомеров равно 4! = 24. Нетрудно показать, что при полном сокращении индексов у всех изомеров указанным выше способом, несводимыми друг к другу окажутся только следующие три: m˜ n˘ CI = R · m˜ n˘ · = rm˜ rm˜ · · rn˘ rn˘ = EE = gm˜ n˘ gn˘qˇrm˜ rn˘ rpˆrqˇ, m˜ n˘ · · = r r r C II = R · · m˜ n˘ m˜ n˘ m˜ rn˘ = g m˜ pˆgn˘qˇrm˜ rn˘ rpˆrqˇ, (20.37) ˘ m˜ · · = r r r C III = Rn· · m˜ n˘ n˘ m˜ m˜ rn˘ = rn˘ E rn˘ = gm˜ qˇgn˘pˆrm˜ rn˘ rpˆrqˇ, ∼, ∈ {-, ∅, +}, сохраняю щие силу при жонглировании ин дексами. Нетрудно усмотреть, что если H - тензор второго ранга, то его внутренние 2-произведения с тензорами (20.37) приводят к тенз орам 2 2 2 2 CI ⊗ H = H ⊗ CI = I1(H)E, CII ⊗ H = H ⊗ CII = H, (20.38) 2 C III 2 T ⊗ H = H ⊗ CIII = H , где HT обозначает тр анспон ирова нный тензор , а I1(H) - первый инвариант тензора H. Пу сть S = (H+HT )/2 - симметричная, а Ω = (H- HT )/2 - кососимметричная част ь тензора H. Тогда, ка к легк о за метить, в силу (20.38) им еем 1 2 1 2 2 (CII + CIII ) ⊗ H = S, 2 (CII - CIII ) ⊗ H = ΩΩ. (20.39) Таким образом, тензор етве ого р а = (C + )/2 д кратном свертывании с ч рт анг Δ II CIII при ву тензором H выделяет симметричную, а тензо р κ = (CII - CIII )/2 - кососимметричную часть и, следовател ьно, любой тензор N второго ранга м ожно предст авить в виде 2 2 N = S + ΩΩ = (Δ + κ) ⊗ N = E ⊗ N; 1 T T (20.40) S = (N + N 2 1 ), Ω = 2 (N - N ). Отсюда и из второго соотно ния видн что т зо ше (20.38) о, 1 ен р 1 E ≡ CII = ΔΔ + κ = 2 (CII + CIII )+ 2 (CII - CIII ) (20.41) является единичным те нзоро м в м ноже стве те нзоров вторых ра нгов о тносительно операции дву- кратного свертывания. Очевидно, в этом смысле он будет единичным тензором (единицей) в любом множестве тензоров, ранг которых не меньше двух. Что касается тензора Δ = (CII + CIII )/2, он 1Различные применения этих тензоров можно найти в монографии [21]. 154 ГЛАВА 6. НОВАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА будет единичным тензором в том же смысле в множестве тензоров, ранг которых не меньше двух, а компоненты симметричны относительно первых и последних двух индексов. При этом Δ бу- дет левой (правой) единицей в множестве тензоров, ранг которых не меньше двух, а компон енты симметричны относительно первых (последних) двух индексов. Следует отметить, что общее выражение изотропного тензора четвертого ранга будет иметь вид C ≡ λCI + μ(CII + CIII )+ α(CII - CIII ) = λEE + 2μΔ + 2ακ. (20.42) Нетрудно увид еть, чт о для т ензоро в Δ и κ и их ком понент в с илу соо тветст вующих соотноше- ний (20.37) имеют место представления Δ = Δ · · · · rm˜ rn˘ rpˆrqˇ, Δ 1 m˜ n˘ pˆ qˇ m˜ n˘ pˆ qˇ m˜ n˘ pˆ qˇ = 2 (gm˜ pˆgn˘qˇ + gm˜ qˇgn˘pˆ), 1 m˜ n˘ pˆ qˇ = 2 (gm˜ pˆgn˘qˇ - gm˜ qˇgn˘pˆ), ∼, , ∧, ∨ ∈ {-, ∅, +}, (20.43) κ = κ · · · · rm˜ rn˘ rpˆrqˇ, κ · · · · сохраня ющие силу при жонглировании индексами. В силу первого соотношения (20.37) и (20.43) нетрудно выписать представления и для тензо- ра (20.42) и его компонент, поэтому на этом останавливаться не будем. Пусть два тензора второго ранга P и H связаны между собой соотношениями 2 2 P = C ⊗ H, H = J ⊗ P, (20.44) где C и J - тензоры четвертого ранга . Уч итыв ая вто рое из со отношений (20.44) в первом, а потом, наоб орот , первое во втором, получаем соответственно 2 2 2 2 2 2 2 2 P = C ⊗ J ⊗ P = (C ⊗ J) ⊗ P, H = J ⊗ C ⊗ H = (J ⊗ C) ⊗ H. (20.45) Теперь, предст авляя тен зоры P и H анало гичн о пер вом у соо тнош ению (20. 40) и сравнивая с соотношениями (20.45) соответст венно , нетрудно заметить, что 2 2 C ⊗ J = J ⊗ H = CII = ΔΔ + κ ≡ E. (20.46) Итак, в общем случае взаим но о брат ные тенз оры че твер тых рангов удовлетворяют соотноше- нию (20.46). Нетрудно доказать, что результаты всевозможных внутренних 2-произведений тензоров CI, CII, CIII, Δ, κ, E, E можно представить в виде следующей таблицы: ⎛ 2 ⎞ ⊗ CI CII CIII Δ κ E E ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ CI 3CI CI CI CI 0 ⎜ CI 3E⎟ ⎟ ⎜ C II ⎜ C I C II C III Δ κ E E ⎟ ⎟ ⎜C C C C Δ κ Δ κ E ⎟ ⎜ III I ⎜ ⎜ III II - - ⎟ , (20.47) ⎟ ⎟ ⎜ Δ CI Δ Δ Δ 0 Δ E ⎟ ⎜ 0 κ ⎜ κ ⎜ - κ 0 κ ⎟ κ 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ E C I E Δ - κ Δ κ ⎟ E E ⎟ ⎝ E 3 E E E E 0 E 3 ⎠ часть которой, получающа яся пе ресече нием п ервых четы рех стр ок и столбцов, приведена в при- ложении монографии [21]. Здесь 0 - нулевой тензор четвертого ранга. Теперь допустим, что J - изот ропный тензор четвертого ранга. Тогда аналогично (20.42) для него имеем представление J ≡ λ×CI + μ×(CII + CIII )+ α×(CII - CIII ) = λ×EE + 2μ×Δ + 2α×κ. (20.48) Найдем завис имост и между посто янными λ, μ, α и λ×, μ×, α× . С этой целью, учитывая (20.42) и (20.48) в (20.46), получаем 2 (λEE + 2μΔ + 2ακ) ⊗ (λ×EE + 2μ×Δ + 2α×κ) = E = ΔΔ + κ. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА НА ОСНОВЕ ДВУХ БАЗОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 155 Отсюда в силу таблицы (20.47) имеем (3λλ× + 2λμ× + 2μλ×)EE + 4μμ×Δ + 4αα×κ = ΔΔ + κ, или (3λλ× + 2λμ× + 2μλ×)EE + (4μμ× - 1)Δ + (4αα× - 1)κ = 0, а отсюда в свою очередь заключаем, что ⎧ ⎨ 3λλ× + 2λμ× + 2μλ× = 0, 4μμ× = 1, ⎩ 4αα× = 1. (20.49) Разрешая (20.49) сперва относительно λ×, μ× и α×, а потом относительно λ, μ и α, получим λ 1 1 λ× = - [2μ(3λ + 2μ)] , μ× = 4μ, α× = 4α, (20.50) λ× 1 1 λ = - [2μ×(3λ× + 2μ×)] , μ = 4μ× , α = 4α× . Таким образом, если C и J - взаимно обратные изотропные тензоры четвертого ранга, то связи постоянных λ, μ, α и λ×, μ×, α× определяются формулами (20.50). В теории упругости λ и μ называются постоянными Ламе, которые с другой парой постоянных, например, модулем Юнга E и коэффициентом Пуассона ν, связаны формулами E Eν - μ = 12(1 + ν)l , λ = 1(1 + ν)(1 2ν)l; (20.51) λ ν = 12(λ + μ)l , E = Тогда в силу (20.51) и (20.50) получаем μ(3λ + 2μ) . λ + μ ν 1+ ν 1 λ× = -E , μ× = , α× = . (20.52) 2E 4α Следует заметить, что соотношения между основными парами упругих постоянных приведены в приложении V монографии [57]. Если C и J - взаимно обратные изотропные тензоры четвертого ранга, то соотношения (20.44) в силу (2 0.42 ), (20.48), (20.50) и (20.52) представляются в виде 2 2 P = C ⊗ H = (λEE + 2μΔ + 2ακ) ⊗ H, 2 1 2 (20.53) - H = J ⊗ P = E-1[ νEE + (1+ ν)ΔΔ]+ κ 2α ⊗ P. О ковариантной производной от компонент тензоров. Так как выписанные ниже фор- мулы для ковариантных производных от компонент тензоров первого и второго ранга легко обоб- щаются на компоненты тензоров более высокого ранга, ограничимся рассмотрением ковариантных производных от компонент тензоров первого и второго ранга. Зная деривационные формулы для мультипликативных базисов, легко определить ковариантную производную от компонент тензоров. В самом деле, пусть A - тензор первого ранга (вектор), тогда его можно представить в виде A = Ap˜rp˜ = Ap˘rp˘, ∼, ∈ {-, ∅, +}. (20.54) Дифференцируя первое равенство (20.54) по xn и учитывая первую из деривационных формул (20.30), имеем ˜ n ∂nA = ∂n(Ap˜rp˜) = (∂nAp˜)rp˜ + Ap˜∂nrp˜ = (∂nAp˜)rp˜ + Ap˜Γpm˜ rm˜ = ˜ n = (∂nAm˜ + Ap˜Γpm˜ )rm˜ , ∼ ∈ {-, ∅, +}. Аналогично, дифференцируя A = Ap˘rp˘ мул (20.30), получаем по xn и учитывая вторую из деривационных фор- ∂nA = ∂n(Ap˘rp˘) = (∂nAm˘ - Ap˘Γp˘ )rm˘ , ∈ {-, ∅, +}. m˘ n 156 ГЛАВА 6. НОВАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА Таким образом, ∂nA = ∇nAm˜ rm˜ = ∇nAm˜ rm˜ , ∼, ∈ {-, ∅, +}, где для ковариантных производных введены обозначения ∇nAm˜ = ∂nAm˜ + Ap˜Γm˜ , ∇nAm˘ = ∂nAm˘ - Ap˘Γp˘ , ∼, ∈ {-, ∅, +}. (20.55) p˜ n m˘ n Теперь рассмотрим тензор второго ранга H и представим его в следующем виде: H = Hp˜ · q˘ p˜ q˘ · q˘ p˜ · p˜ q˘ p˜ q˘, ∼, ∈ {-, ∅, +}. (20.56) p˜ q˘ R = Hp˜ · R · q˘ = H· · R · · ру Дифференци я, например, первое равенство (20.56) и учитывая деривационную форму- лу (20.32), получим ∂nH = ∂n(Hp˜ · R · q˘) = (∂nHp˜ · ) R · q˘ + Hp˜ · ∂nR · q˘ q˘ p˜ · q˘ p˜ · q˘ p˜ · = = (∂nHp˜ · ) R · q˘ r˜ · p˜ q˘ p˜ · s˘ q˘ p˜ · r˜ · p˜ p˜ · s˘ q˘ q˘ ∼, ∈ {-, ∅, +}. Таким образом, p˜ · + H· q˘ Γr˜ nRp˜ · - H· s˘ Γq˘nRp˜ · = ∂nH· q˘ + H· q˘ Γr˜ n - H· s˘Γq˘n)Rp˜ · , ∂nH = (∇nHp˜ · ) R · q˘, ∼, ∈ {-, ∅, +}, q˘ p˜ · где для ковариантной производн ой введено обозначение ∇nHp˜ · p˜ · r˜ · p˜ p˜ · s˘ · q˘ = ∂nH· q˘ + H· q˘ Γr˜ n - H· s˘ Γq˘n, ∼, ∈ {-, ∅, +}. (20.57) Как видно из формул (20.55) и (20.57), нахождение выражений ковариантных производных от компонент тензоров, представленных в разных семействах базисов, производится по обычному правилу [5, 21, 54] с тем отличием, что семейства символов Кристоффеля определяются семейства- ми немых индексов. Так, например, во втором слагаемом в правой части (20.57) немой индекс (∼) принадлежит одному из g -семейств, ∼ ∈ {-, ∅, +}, и поэтому семейство символов Кристоффеля (∼) соответственно принадлежит одному из Теперь докажем следующее g S (∼)-семейств, ∼ ∈ {-, ∅, +}. Утверждение 20.2. Ковариантная производная от компонент единичного тензора второго ранга равна нулю. Для доказательства этого утверждения продифференцируем, например, первое равенство (20.10) по xn. Получим ∂ngp˘q˜ = ∂n(rp˘ · rq˜) = ∂nrp˜ · rq˜ + rp˘ · ∂nrq˜, ∼, ∈ {-, ∅, +}. Отсюда в силу первого соотношения деривационных формул (20.30) получаем ∂ngp˘q˜ = gr˘q˜Γr˘ p˘r˜ q˜n p˘ n + g Γr˜ , ∼, ∈ {-, ∅, +}. (20.58) Перенося члены, находящиеся в правой части (20.58), в левую и вводя обозначение для кова- риантной производной, получим p˘ n - g Γr˜ = 0, ∼, ∈ {-, ∅, +}. (20.59) ∇ngp˘q˜ = ∂ngp˘q˜ - gr˘q˜Γr˘ p˘r˜ q˜n Если бы мы исходили из других соотношений (20.10), то аналогично (20.59) доказали бы спра- ведливость утверждения при любом другом расположении индексов p˘ и q˜. Таким образом, ∇ngp˘q˜ = 0, ∇ngq˜ = 0, ∇ngp˘ = 0, ∇ngp˘q˜ = 0, ∼, ∈ {-, ∅, +}. (20.60) p˘ q˜ Равенства (20.60) полностью доказывают утверждение. Из утверждения (20.60) непосредственно вытекает Следствие 20.0.1. Ковариантная производная от компонент изотропных и демитропных тензоров равна нулю. СВЯЗИ МЕЖДУ РАЗЛИЧНЫМИ СЕМЕЙСТВАМИ ПАРАМЕТРИЗАЦИЙ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА 157 Заметим, что компоненты демитропных тензоров, которые являются тензорами нечетного ран- га, меняют знак при несобственном ортогональном преобразовании, тогда как компоненты изо- тропных тензоров остаются неизменными при любом ортогональном преобразовании. Кроме того, единственным демитропным тензором третьего ранга является дискриминантный тензор (тензор Леви-Чивиты) [21]. Поэтому, вводя в рассмотрение в предлагаемом варианте теории, например, дискриминантный тензор третьего ранга C = C ··· p˜ q˘ nˆ ··· p˜q˘nˆ r r r , Cp˜q˘nˆ = (rp˜ × rq˘) · rnˆ , ∼, , ∧ ∈ {-, ∅, +}, (20.61) в силу следствия 20.0.1 будем иметь ∇mC ··· ··· ··· r˜ ··· r˘ ··· rˆ p˜q˘nˆ = ∂mCp˜q˘nˆ - Cr˜q˘nˆ Γp˜ m - Cp˜r˘nˆ Γq˘m - C p˜q˘rˆΓ nˆ m = 0, ∼, , ∧ ∈ {-, ∅, +}. (20.62) Следует заметить, что с целью сокращения письма в (20.61) и (20.62) выписаны только кова- риантные компоненты, хотя, конечно, при любом другом расположении индексов p˜, q˘, nˆ, ∼, , ∧ ∈ {-, ∅, +}, имеет место аналогичное (20.62) утверждение. Следовательно, равенство (20.62) можно получить еще и иным путем - дифференцированием второго соотношения (20.61) по xm. СВЯЗИ МЕЖДУ РАЗЛИЧНЫМИ СЕМЕЙСТВАМИ ПАРАМЕТРИЗАЦИЙ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА Введем следующее Определение 21.1. Будем говорить, что связь между двумя семействами параметризаций об- ласти тонкого тела осуществлена, если найдены связи между порождающими эти семейства па- раметризаций семействами базисов и, вообще, между порожденными порождающими семействами базисов любыми семействами соответствующих геометрических характеристик, сопровождающи- ми связываемые параметризации. Очевидно, зная связь между двумя порождающими рассматриваемые семейства параметризаций семействами базисов, легко найти связь, например, между порожденными ими семействами сим- волов Кристоффеля и, вообще, между порожденными ими любыми семействами соответствующих геометрических характеристик. Мы ограничимся нахождением связей между некоторыми семей- ствами соответствующих геометрических характеристик, сопровождающими эти параметризации. Связь между различными семействами мультипликативных базисов. В силу соотно- шения (20.12), дающего связь между различными семействами базисов, нетрудно найти связи между различными семействами мультипликативных базисов. В самом деле, легко усмотреть, что связи, например, между двухвекторными мультипликативными базисами будут иметь вид R · q˘ mˆ q˘ nˇ ˆ p˜ · = gp˜ gnˇ Rm· · , ∼, , ∨, ∧ ∈ {-, ∅, +}, (21.1) сохраняющий силу при жонглировании индексами. Следует заметить, что обобщение (21.1) на мультипликативные базисы, состоящие из более чем двух базисных векторов, не представляет большого труда, и поэтому на этом с целью сокращения письма не будем останавливаться, а в случае надобности по аналогии с (21.1) выпишем нужные соотношения. Связь между различными семействами символов Кристоффеля. Найдем связи между (∼) ('-') 1 S (∼)-, и g g S ('-')-семействами символов Кристоффеля , ∼, ∈ {-, ∅, +}. В этой связи, дифференци- руя (20.12) по xq и пользуясь определениями символов Кристоффеля (20.28), получаем ∂q rp˜ = ∂q (gn˘ rn˘ ) = (∂qgn˘ )rn˘ + gn˘ ∂q rn˘ = (∂qgn˘ )rn˘ + gm˘ Γn˘ rn˘ = (∂qgn˘ + gm˘ Γn˘ )rn˘ , p˜ p˜ p˜ ∼, ∈ {-, ∅, +}. Таким образом, p˜ p˜ m˘ q˘ p˜ p˜ m˘ q˘ ∂q rp˜ = (∂qgn˘ + gm˘ Γn˘ )rn˘ = (∂qgp˜n˘ - gm˘ Γm˘ q˘,n˘ )rn˘ , ∼, ∈ {-, ∅, +}, (21.2) p˜ p˜ m˘ q˘ p˜ где второе равенство (21.2) получается аналогично первому. 1Классификация символов Кристоффеля подробнее рассмотрена в [29, 30]. 158 ГЛАВА 6. НОВАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА k˘ ˜l ˜l k˘ Умножая (21.2) почленно сначала на r˜l = g˜l rk˘, а потом на r ˘ = g r k и учитывая определения символов Кристоффеля (20.28), получим искомые связи. А именно, Γp˜q,˜l = g˜ln˘ (∂qgn˘ m˘ n˘ n˘ m˘ p˜ + gp˜ Γm˘ q ) = g˜l (∂qgp˜n˘ - gp˜ Γm˘ q,n˘ ), (21.3) Γ˜l ˜l n˘ m˘ n˘ ˜ln˘ ( m˘ p˜q = gn˘ (∂qgp˜ + gp˜ Γm˘ q ) = g ∂qgp˜n˘ - gp˜ Γm˘ q,n˘ ), ∼, ∈ {-, ∅, +}. Следует заметить, что соотношения (21.3) совпадают с аналогичными соотношениями из ра- бот [29, 30]. Связи между компонентами и ковариантными производными от компонент многото- чечного тензора. Предполагается, что рассматриваемый тензор представлен в различных семей- ствах мультипликативных базисов. Ограничимся рассмотрением тензора второго ранга H, пред- ставления которого имеют вид H = H · q˘ p˜ · mˆ · nˇ p˜ · R · q˘ = H · nˇ Rmˆ · , ∼, , ∨, ∧ ∈ {-, ∅, +}, (21.4) конечно, сохраняющие си лу при жонглировании индексами. q˘ Отсюда, учитывая линейную независимость мультипликативных базисов Rp˜ · , ∼, ∈ {-, ∅, +}, искомые связи между компонентами представляются в виде H · q˘ mˆ · p˜ · = gp˜mˆ gq˘nˇ H · nˇ , ∼, , ∨, ∧ ∈ {-, ∅, +}, (21.5) сохраняющем силу при жонглировании индексами. Нетрудно найти связи и между ковариантными производными от компонент тензора H. В самом деле, в силу утверждения 20.2 и правила нахождения ковариантной производной о т суммы и произведения компонент тензоров из (21.5) имеем p˜ · = ∇s(g g ∇sH · q˘ p˜mˆ q˘nˇ nˇ Hmˆ · ) = ∇s(gp˜mˆ g q˘nˇ ) H · + g g mˆ nˇ p˜mˆ q˘nˇ nˇ ∇sHmˆ · = gp˜mˆ g q˘nˇ nˇ ∇sHmˆ · , ∼, , ∨, ∧ ∈ {-, ∅, +}. Таким образом, искомые связи имеют вид p˜ · = g g ∇sH · q˘ p˜mˆ q˘nˇ nˇ ∇sHmˆ · , ∼, , ∨, ∧ ∈ {-, ∅, +}, (21.6) сохраняющий силу при жонглировании индексами, за исключением индекса s. Заметим, что обобщение (21.5) и (21.6) на компоненты тензоров более высокого ранга не пред- ставляет труда, поэтому на этом мы останавливаться не будем, а заинтересованный читатель легко справится с этой задачей самостоятельно. О КОМПОНЕНТАХ ЕТВР В этом разделе подробнее рассматриваются различные семейства компонент ЕТВР. В частности, приводятся их удобные для пользования с точки зрения практики развернутые представления как для общих, так и для частных случаев семейств параметризаций. Следует заметить, что на протяжении всего раздела за основную базовую принимается внут- (-) ренняя базовая поверхность S. Тогда в силу определения 20.32 основными компонентами ЕТВР q - являются компоненты g--, g , g-p -q +- + и компоненты переноса g , g-q , играющие важную роль в p q -p p q p предлагаемой теории в том смысле, что остальные компоненты и большинство геометрических характеристик выражаются через них. Об основных компонентах ЕТВР и числе независимых основных компонент ЕТВР. В силу определения 20.32 в рассматриваемом случае, когда в качестве основной базовой принята (-) внутренняя базовая поверхность S, можно ввести следующие определения: -q -p -q -q Определение 22.1. Компоненты g--, g , g и компоненты переноса g+-, g+ называются ос- p q -p p q p новными компонентами ЕТВР при новой параметризации области тонкого тела, если в качестве (-) основной базовой принимается внутренняя базовая поверхность S. 22. О КОМПОНЕНТАХ ЕТВР 159 +- + Определение 22.2. Компоненты g , g-q называются основными компонентами переноса p q p ЕТВР при новой параметризации области тонкого тела, если в качестве основной базовой при- (-) нимается внутренняя базовая поверхность S. В рассматриваемом случае, на первый взгляд, число независимых основных компонент ЕТВР -- -- должно быть 15. Это 6 компонент g = g p q q p - и 9 основных компонент переноса g+ p q ЕТВР (в силу (20.13) при ∼, ∈ {-, +}, ∗ = - остальные основные компоненты выражаются через эти компоненты). Однако число независимых основных компонент значительно меньше 15. Следует заметить, что симметричный тензор второго ранга в рассматриваемой точке, конечно, имеет 6 независимых компонент. Однако, говоря о независимых компонентах ЕТВР, подразумевают его компоненты при различных значениях координаты x3. В частности, компоненты g+ p-q определены в двух точках: при x3 = 0 и x3 = 1. С целью установления числа независимых основных компонент ЕТВР найдем зависимости меж- ду ними. В этой связи продифференцируем g ние (20.4) и (20.7). Имеем 3 -q - = r-q h по xp и учтем (20.3), второе соотноше- ∂pg = ∂ (r · h) = ∂ r h + r · ∂ h = ∂ r h + r (r - r ) = 3 -q - p -q p -q -q p p -q - p q + -p = ∂pr- · h + g+- - g-- = Γ - + g+- - g--, т. е. q ∂pg p q = ∂ r p q h + g -q -p, 3 g p q p q = Γ - + g g , 3 -q - -q - p + q -p -q -q -p, 3 - p + q -p -q Меняя в этом соотношении местами индексы p и q, получим ∂qg 3 -p - = ∂q r- p - q h + g+ p - g-q -p = Γ - + g -p -q, 3 - q + p - g-q -p . Вычитая последнее соотношение почленно из предпоследнего, получим ωpq ≡ ∂pg-- q - p -q -p - -- - +- -p -q - - +- -p -q q 3 - ∂ g-p 3 = (∂ r - ∂ r ) · h + gp q - g = (Γ Γ )+ g g -q -p, 3 p q, 3 p q . (22.1) Нетрудно заметить, что ωpq = -ωqp, т. е. ωpq - кососимметричная матрица, поэтому из 9 эле- ментов (22.1) отличными от нуля будут следующие три: ωI3 = -ω3I, ωIJ = -ωJI. Таким образом, получим следующие три соотношения между основными компонентами ЕТВР: ωI3 = ∂Ig-- = 2h∂I h = 2r- · ∂I h = 2Γ-- - = 2(g+- - g--), 3 3 - ∂ ωIJ = ∂Ig-- J J 3 g-- 3 = g+- - g+-. 3 I, 3 I 3 I 3 (22.2) I 3 Из первого соотношения (22.2) имеем I J J I g+- = g-- + h∂I h = g-- + Γ-- -, (22.3) а отсюда получаем I 3 I 3 I 3 3 I, 3 - -- - - - g 3 = g 3 q g+ = g r · r+ = r3 · (r + ∂ h¯) = g 3 + Γ3 , (22.4) где I + I -q - q - - 3 q I - 3 - I I - 3 -q - -- I 3 I Γ-- - = h∂I h, Γ- = g Γ- - . (22.5) I 3 I, 3 3 - 3 I ,-q Легко усмотреть, что в силу (20.7) имеем еще три соотношения между основными компонентами ЕТВР: g+ 3m- - = g- 3 m . (22.6) Таким образом, в общем случае параметризации области тонкого тела, т. е. когда h не является перпендикуляром к базовым поверхностям (-) S и (+) S, основные компоненты ЕТВР связаны между собой шестью соотношениями (22.2) и (22.6), и в рассматриваемом случае число независимых основных компонент ЕТВР равно 15 - 6 = 9. 160 ГЛАВА 6. НОВАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА В качестве независимых основных компонент ЕТВР можно рассмотреть, например, следующие: g-- = g--; g+-, g+-, g+-. (22.7) p q q p 1 1 1 2 2 2 Компоненты g+- I 3 и g+ 3m- определяются из соотношений (22.3) и (22.6) соответственно, а g+- 2 1 можно определить из второго соотношения (22.2). Теперь рассмотрим частный случай, когда h перпендикулярен внутренней базовой поверхности (-) S (h ⊥ (-) S ). В этом случае нетрудно увидеть, что - -- -- g = 0, g 3 = 0, g I 3 - -- = 0, g 3 3 = h-2 = g-1 -- (22.8) I 3 I 3 3 и, следовательно, в силу первого соотношения (22.8) число независимых основных компо- нент (22.7) сокращается на две единицы и становится равным 7. Учитывая третье и четвертое соотношения (22.8) и первое соотношение (22.5), из второго соот- ношения (22.5) получаем - -- Γ3 = g 3 3 Γ -- 3 I -- - 3 I, 3 1 = h∂I h. (22.9) Теперь, подставляя первое соотношение (22.8) в (22.3), а второе соотношение (22.8) и (22.9) в (22.4), имеем соответственно - 1 (-) - I + g+ = h∂ h, g 3 = ∂Ih при h ⊥ S. (22.10) I 3 I h Нетрудно заметить, что в рассматриваемом случае из (22.2) получаем g+- = g+- при h ⊥ (-) S. (22.11) I J J I На основании соотношения (22.11) заключаем, что g+- = g+-, а число независимых основных 2 1 1 2 компонент ЕТВР в рассматриваемом случае больше не уменьшается. (-) (-) Таким образом, в том случае, когда h ⊥ S и на базовой поверхности S координатные линии не являются ортогональными линиями, в качестве независимых основных компонент ЕТВР можно рассматривать следующие: -- -- -- +- +- +- g = g , g = h2; g , g , g . (22.12) I J J I 3 3 1 1 1 2 2 2 (-) Следовательно, если координатные линии на базовой поверхности (-) S являются ортогональными линиями и h ⊥ S, то g-- = g-- = 0, и число независимых основных компонент ЕТВР (22.12) 1 2 2 1 уменьшается еще на одно и становится равным 6, т. е. в этом случае имеем следующие независи- мые основные компоненты: g--, g--, g--; g+-, g+-, g+-. (22.13) 1 1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 2 (-) Ниже увидим, что в более частных случаях параметризации на базовой поверхности независимых основных компонент ЕТВР еще уменьшится. S число - l Далее с целью более наглядного представления выражений компонент переноса ЕТВР g -, gk , k l - gk , gk l и некоторых других геометрических характеристик через основные компоненты ЕТВР - l выпишем их в развернутом виде для различных частных случаев параметризаций области тонкого тела, а также рассмотрим некоторые вопросы теории. Представления компонент ЕТВР через основные компоненты переноса того же тен- зора для различных семейств параметризации области тонкого тела. Рассматриваются раз- личные семейства параметризаций области тонкого тела и даются развернутые представления компонент ЕТВР через основные компоненты переноса того же тензора для рассматриваемых се- мейств параметризаций. 22. О КОМПОНЕНТАХ ЕТВР 161 Вектор h не перпендикулярен к базовым поверхностям. Получим представления ком- понент переноса ЕТВР через основные компоненты переноса того же тензора. Нетрудно заметить, что - - - - l L 3 l g - ∼ (g -, g -, g -, g -), gk ∼ (gK, gK, g3 ), k l KL K 3 3L 33 где ∼ - символ эквивалентности. Требуется выписать выражения каждой из этих компонент. В силу (20.11) получаем - 3 3 L - - 3 L 3 L g - = (1 - x )g- - + x g + -, gK = (1 - x )g- + x g + , KL KL KL 3 3 K K - - 3 3 3 g - = (1 - x )g- - + x g + -, gK = x g + , K 3 K 3 K 3 K - - l l (22.14) g - = g--, g3 = g- . 3L 3 L 3 2 g - = g-- = h , 33 3 3 Аналогично (22.14) имеем - - - - - gk l ∼ (gKL, gK 3 , g3L, g33 ), gk ∼ (gK, gK, g3 , g3 ). (22.15) - - - - - l L 3 L 3 Для нахождения выражений компонент (22.15) можно воспользоваться соотношением (20.24). Сначала из (20.21) найдем выражения для rK и r3, а затем с их помощью - выражения для компонент (22.15). Из (20.21) имеем 1 (∼) rK = ϑ -1EKP q E gm˜ n˜ ˜l 1 (∼) -1 K3q m˜ n˜ ˜l 2 lmn P gq r + 2 ϑ E Elmng3 gq r = 1 (∼) ˜ 1 (∼) ˜ ˜ = ϑ -1EKP 3Elmngm˜ n˜ l -1 K3Q N L 2 1 (∼) P g3 r + ϑ E 2 1 (∼) EL3N gQ r = (∼) P r = ϑ -1EKP 3ELM 3gM˜ 2 L˜ + ϑ 2 -1EKQ3 Q ELN 3gN˜ rL˜ = ϑ -1EKP P ELM gM˜ rL˜ . Не будет лишним, если мы укажем и другой путь, более короткий и удобный для нахождения выражений для rK. В самом деле, в силу (20.12) при ∈ ∅ имеем rK = CKLrL × r3 = CKLgM˜ r ˜ × r3 = CKLgM˜ C rN˜ = L M / (∼) N L M˜ ˜3 - L = g◦g-1 EKLENM gM˜ rN˜ = L ϑ -1EKLENM gM˜ rN˜ . Аналогично, исходя из (20.24), можно найти выражение и для r3. Однако найдем его более коротким путем. Из (20.12) получаем r˜3 = g˜3rk = g˜3r3 + g˜3 rK = r3 + g˜3 rK, k 3 K K а отсюда, учитывая предыдущее соотношение, (∼) r3 = r˜3 - g˜3 rK = r˜3 + ϑ -1g˜3 EKP EMLgM˜ rL˜ . K K P С другой стороны, из (20.12) имеем r3 = g3 rn˜ = r˜3 + g3 rN˜ . n˜ N˜ Сравнивая два последних соотношения, заключаем, что (∼) ˜ g3 = L ϑ -1 K g˜3 EKP P ∼ EMLgM˜ , ∈ {-, +}. Таким образом, мы получили более общие соотношения, чем требовалось, а именно (∼) P r rK = ϑ -1EKP ELM gM˜ L˜ , r3 = r˜3 ˜ + g3 rL˜ L (22.16) ˜ g3 = L (∼) ϑ -1 K g˜3 EKP P ∼ EMLgM˜ , ∈ {-, +}. 162 ГЛАВА 6. НОВАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА Из (22.16) при ∼ = - получаем искомые соотношения (-) - - - - rK = P r ϑ -1EKP ELM gM L , r3 = r3 + g3 rL, - L (22.17) (-) - - KE g3 = - L ϑ -1g 3 KP P EMLgM . Приведем (22.17) к более компактному виду. Вводя обозначения - - - - - - - AK ≡ EKLEMN gN = gK + x3aK , aK ≡ (g I - 1)gK - gK , (22.18) - L - M M + + + - + M M I M M соотношения (22.17) представим в виде (-) - - - (-) - rK = ϑ -1AK rM , r3 = r3 + g3 rM , g3 = - ϑ -1g 3 AK . (22.19) - - - K - M M M M Теперь в силу (22.19) нетрудно выписать искомые выражения для компонент (22.15). В самом деле, на основании их определения получаем - (-) - - (-) gKL = ϑ -1AK gML, gK = ϑ -1AK , - - - M M M - (-) - - gK 3 = ϑ -1AK gM 3 , gK = 0, - -- - M (-) - - - - 3 (-) - (22.20) g3L = g 3 L - ϑ -1g 3 K gML, g3 = - ϑ -1g 3 K , - -- (-) KA - - M M - - - KA - M g33 = g 3 3 - ϑ -1g 3 K gM 3 , g3 = 1. KA - - M 3 Теперь более внимательно рассмотрим, например, первое из соотношений (20.20). Запишем его в виде квадратного трехчлена относительно x3. Имеем (-) - (∓) - (∓) - x3)2 ϑ = (1 - g I + ϑ )(x3)2 - (2 - g I + I + I + I ϑ = (1 - x3)2 + x3(1 - x3)g I + ( )x3 + 1. (22.21) Учитывая (20.18) при ∼ = +, = -, соотношению (22.21) можно придать следующий вид: (-) - ϑ = r(1 - g 1 )(1 - - - - g 2 ) + g 2 g 1 l x3) ( 2 r( 1 ) ( - - 1 - g + 1 - g 2 )l - + 1 + 2 + + 1 2 + 1 + 2 x3 + 1. (22.22) Рассмотрим дискриминант квадратного трехчлена. Исходя, например, из (22.21), имеем - - (∓) - (∓) - - D = (2 - g I )2 - 4(1 - g I + ϑ ) = (g I )2 - 4 ϑ = (g I )2 - 4 det (gJ ). + + + + + I I I I I Далее, раскрывая детерминант, получим - - - - D = (g 1 - g 2 )2 + 4g 1 g 2 . (22.23) + + + + 1 2 2 1 Утверждение 22.1. Дискриминант (22.23) квадратного трехчлена (22.22) неотрицателен, т. е. D 0. - + Доказательство. В самом деле, g I I - + и det (gJ ) - инварианты, поэтому и дискриминант D инва- I риантен. Так как D инвариантен, то утверждение достаточно доказать относительно специально выбранной системы координат. Выбирая в рассматриваемой точке ортогональную систему коорди- нат (необязательно декартову) и учитывая (22.11), имеем - - -- -- -- -- -- -- 2 g 1 g 2 = g 1 I g+ g 2 J g+ = g 1 1 g 2 2 1 1 2 2 ( ) + + - - g+-g+- = g g g+- 0. 2 1 2 I 1 J 2 1 1 2 1 2 Итак, в ортогональной пространственной системе координат в рассматриваемой точке (22.23) пред- ставляется в виде - - -- -- D = (g 1 - g 2 )2 + 4g 1 1 g 2 2 (g )2 0, (22.24) + + +- 1 2 1 2 О КОМПОНЕНТАХ ЕТВР 163 что и требовалось доказать. В силу (22.24) квадратный трехчлен (22.22) обращается в нуль при следующих двух значени- ях x3: - 1 - - - - 2 - g I ± (g 1 - g 2 )2 + 4g 1 g 2 + (x3)1,2 = I r( + + 1 2 -)( -) + 2 - -l + 1 . (22.25) 2 1 - g 1 1 - g 2 - g 1 g 2 + + + + 1 2 2 1 Далее рассмотрим два частных случая параметризации области тонкого тела: первый - вектор h перпендикулярен к поверхности (-) S, второй - вектор h перпендикулярен к поверхности (-) (-) S и при этом координатные линии на основной базовой поверхности S являются линиями кривизны. Можно также рассматривать случаи, когда на основной базовой поверхности параметризация осуществляется посредством асимптотических, изометрических и сопряженно-изометрических ли- ний, однако после изложения двух указанных выше случаев рассмотрение этих случаев не пред- ставляет большого труда. Поэтому на этом мы останавливаться не будем, а заинтересованный читатель может посмотреть изложение этих случаев параметризации поверхности в [5, 6]. Вектор h перпендикулярен к основной базовой поверхности. В этом случае, как извест- но, имеют место соотношения (22.8) и (22.10) и, учитывая их, (22.14) и (22.20) соответственно представляются в видах - 3 3 L - - 3 L 3 L g - = (1 - x )g- - + x g + -, gK = (1 - x )g- + x g + , KL KL KL 3 3 K K 1 - - 3 3 3 3 g - = x g + - = x h∂I h, gK = x g + = x ∂I h, K 3 K 3 K h (22.26) - - l l g - = 0, g3 = g- ; 3L 3 2 g - = g-- = h , 33 3 3 - (-) - - (-) gKL = ϑ -1AK gML, gK = ϑ -1AK, - - - M L L - gK 3 = 0, gK = 0, - 3 (22.27) - (-) - - - (-) - g3L = - ϑ -1g 3 K gML, g3 = ϑ -1g 3 K - -- K - KA - - A , M L L g33 = g 3 3 = h-2 = g-1 , g3 = 1. -- - 3 3 3 Вектор h перпендикулярен к основной базовой поверхности, и координатные линии на ней являются линиями кривизны. Прежде чем выписать в рассматриваемом случае выражения для компонент переноса ЕТВР, вспомним кое-что из дифференциальной геометрии, касающееся линии кривизны на поверхности. Во-первых, они ортогональные линии и, во-вторых, вектор Ро- дрига (производная от единичного вектора нормали к поверхности по естественному параметру (дуге) этой линии) и единичный вектор касательной к той же линии коллинеарны. Кроме того, линия кривизны в каждой точке имеет направление, совпадающее с одним из главных направлений поверхности в этой же точке, и геодезическое кручение линии кривизны равно нулю [5, 11, 51]. Обозначим единичный вектор нормали к поверхности (-) (-) S через - ( ) n , единичный вектор касательной к линии кривизны на этой поверхности - через (-) s , а естественный параметр по этой линии - через s . Тогда имеем n d(-) n d(-) dxI (-)(-)- (-) (-) = d(-s) dxI d(-s) = ∂i n s I = - k s s , (22.28) (-) (-)- - (-) (-) где k s - нормальная кривизна поверхности в рассматриваемой точке, а s I = rI · s = dxI /d s . 164 ГЛАВА 6. НОВАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА Нетрудно заметить, что для выражения линий кривизн xI (22.28) можно представить в виде I (-s)- (-) (-) (-) I (-)- dx I I (-) - Отсюда имеем (I)∂I n = - k I s (I), s (I) = = - ( ) d s (I) s (I) · r , < I = 1, 2 > . dxI (-) (-) dr (-) dxI (-) ∂I n = - k I (-) = - k I r- (-) , < I = 1, 2 >, т. е. d s (I) (-) d s (I) (-) I d s (I) ∂I n = - k I r-, < I = 1, 2 > . (22.29) I Здесь (-) k I - главная кривизна поверхности (-) S в направлении r-. I - - + +- Далее представим компоненты переноса ЕТВР g+ , gJ в удобном виде. В силу определения g и (20.3) имеем (-) I J I I J (-) g+- = r+ · r- = 1∂I (h + r )l · r- = ∂I h · r- + g-- = ∂I (h n ) · r- + g-- = I J I J (-) J (-) J I J (-) J I J = ∂Ih( n · r-) + h(∂I n · r-) + g-- = h(∂I n · r-) + g--, где учтено, что J - ( ) n ⊥ r-. J J I J J I J Таким образом, g = h( - ) J ( ) - +- ∂I n · r- + g--, g+ - - = gJK g+ - = h(∂I - ) ( ) - n · rJ - + gJ - . (22.30) I J J I J I I K I Учитывая (22.29) в (22.30), получим их искомые представления ( ) - - J g+- = (1 - h k I )g--, g+ ( ) - - - = (1 - h k I )gJ , < I = 1, 2 > . (22.31) I J I J I I Заметим, что в рассматриваемом случае в силу первого соотношения (22.31) g+- = 0, и число 1 2 независимых основных компонент ЕТВР (22.13) уменьшится на одно, становясь равным 5. Таким образом, в этом случае имеем следующие независимые основные компоненты ЕТВР: g--, g--, 1 1 2 2 g--, g+-, g+-. Кроме того, если на основной базовой поверхности гауссовы координаты являются 3 3 1 1 2 2 изометрическими, то g-- 1 1 = g--, и, очевидно, число независимых основных компонент ЕТВР 2 2 уменьшится еще на одно, становясь равным 4. В этом случае в качестве независимых основных компонент ЕТВР можно рассматривать, например, g--, g--, g+-, g+-. 1 1 3 3 1 1 2 2 -n Теперь нетрудно найти выражения для компонент переноса ЕТВР g учитывая (22.10) и (22.31), из (22.14) получаем m-n , gm . В самом деле, r 3( - l - - I 3( I I g - = g-- 1+ x g+ - 1) , < I = 1, 2 >, gI = 1 + x g+ - 1), < I = 1, 2 >, I I I I I I - J g - = 0, I /= J, gI = 0, I /= J, IJ - 3 3 3 3 3 - 3 1 (22.32) g - = x g+- = x h∂I h, gI = x g+ = x ∂I h, I 3 I 3 I h - - l l g - = g-- = 0, g3 = g- . 3J 3 J 3 2 g - = g-- = h , 33 3 3 Заметим, что из (22.25) легко получить - + (x3)I = (1 - g I )-1, < I = 1, 2 > (22.33) I ВЫРАЖЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СЕМЕЙСТВ СИМВОЛОВ КРИСТОФФЕЛЯ ЧЕРЕЗ ОСНОВНЫЕ КОМПОНЕНТЫ ЕТВР 165 и, учитывая (22.33), квадратный трехчлен (22.22) представится в виде (-) - - ϑ = r x3(g 1 - 1)lr1+ x3(g 2 - 1)l (22.34) 1+ + + . 1 2 - Теперь нетрудно получить выражения и для компонент переноса ЕТВР gk l , gk . В самом деле, - l в силу (22.31) и (22.34) из (22.18) имеем - - - - - a1 = g 2 - 1, a2 = g 1 - 1; aJ = 0, I /= J, + + + + + 1 2 2 1 I - - (22.35) A1 = 1 + x3(g 2 - 1), A2 = 1 + x3(g 1 - 1); AI = 0, I /= K - + - + - 1 2 2 1 K и, учитывая соотношения второй строки (22.35) в (22.20), получим искомые соотношения - r - l-1 - - r - l-1 gKK = - + 1+ x3(gK - 1) K gKK, gK = - K + 1+ x3(gK - 1) , K - gKL = 0, K /= L, gK = 0, K /= L, L - gK 3 = 0, gK = 0, - 3 (22.36) - r - l-1 - - - 1+ x3( -1 - g3K = -x3 1+ x3(gK - 1) g 3 gKK, g3 - = -x3r gK - 1)l g 3 , + + K K - -- - + + K K K - g33 = g 3 3 = h-2, g3 = g 3 = 1, - - 3 3 < K = 1, 2 >; < K = 1, 2 > . - + Здесь, конечно, g 3 K = h-1∂K h. Следует заметить, что, имея выражения для компонент переноса ЕТВР, не представляет большого труда найти выражения и для компонент gpq и gpq ЕТВР, которые в силу (20.13) представляются в виде pq p - g = g-n g , gpq nq = gpm- gq . (22.37) m- Не останавливаясь на подробных представлениях (22.37) во всех рассмотренных выше случаях, приведем их выражения, только, когда вектор h перпендикулярен к основной базовой поверхности (-) S и при этом координатные линии на ней являются линиями кривизны. На основании (22.32) и (22.36) из (22.37) получаем соответственно r 3( - l2 gII = g-- 1+ x g+ - 1) + (x ∂I h) , < I = 1, 2 > I 3 2 I I I 3 2 3 2 gIJ = (x ) ∂I h∂J h, I /= J, gI3 = x h∂I h, g33 = h ; - - r - l-2 - - - r - -2 (22.38) gKK = gKK + 1+x3(gK -1) K + , gK3 = -x3gKKg 3 K + 1+x3(gK -1)l K , < K = 1, 2 > -- - - -2 -- - - -2 g12 = 0, g33 = h-2 +(x3)2 g 1 1 (g 3 )2r1+x3(g 1 -1)l +g 2 2 (g 3 )2r1+x3(g 2 -1)l . + + + + 1 1 2 2 23. ВЫРАЖЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СЕМЕЙСТВ СИМВОЛОВ КРИСТОФФЕЛЯ ЧЕРЕЗ ОСНОВНЫЕ КОМПОНЕНТЫ ЕТВР Ограничимся рассмотрением (∼) g S (∼)-семейств символов Кристоффеля, ∼ ∈ {-, ∅, +}, а за основную базовую примем внутреннюю базовую поверхность S. Тогда по определению 20.32 (см. также 166 ГЛАВА 6. НОВАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА -q -p -q определение 22.1) основными компонентами ЕТВР являются компоненты g--, g , g и компоp q -p -q ненты переноса g+-, g+ , и задача заключается в выражении символов Кристоффеля (20.28) через p q p них. С целью разрешения этой задачи разобьем ее на две: ('-') Выразим ЕТВР. g S ('-')-семейства символов Кристоффеля, ∈ {-, +}, через основные компоненты Выразим Sg -семейства символов Кристоффеля через основные компоненты ЕТВР. Выражение семейств символов Кристоффеля относительно базисов, связанных с ли- ('-') цевыми поверхностями, через основные компоненты ЕТВР. Аналогично (20.28) для семейств символов Кристоффеля, ∈ {-, +}, будем иметь S ('-')- g Заметим, что Γ = r · r , Γ = rp˘ q˘ · r k˘ k˘ p˘ q˘,˘l p˘ q˘ ˘l p˘ q˘ = gk˘˘l Γp˘ q˘,˘l, ∈ {-, +}. (23.1) ∂QrP˘ = ∂P rQ˘ , ∂3rp˘ = 0, ∂Qr˘3 /= 0, ∂3rP˘ /= ∂P r˘3, ∈ {-, +}, (23.2) а в силу (20.3), (20.7) и (20.12) аналог формулы Вейнгартена представится в виде q˜ q˜ q˜ ∂ph = r+ - r- = (g+ - g-)rq˜ = (g+ - g- )r , ∼ ∈ {-, ∅, +}. (23.3) p p p p Нетрудно заметить, что pq˜ p q˜ Γp˘ q˘,˘l ∼ (ΓP˘Q˘,L˘ , ΓP˘Q˘,˘3, Γ˘3Q˘,˘l, Γp˘ ˘3,˘l), ∈ {-, +}. На основании второго соотношения (23.2), (23.3) и определения (23.1) легко показать, что Γp˘ ˘3,˘l = rp˘ ˘3 · r˘l = 0, Γ˘3Q˘,˘l = g+ - , ∈ {-, +}. (23.4) Кроме того, 1 Q˘l - gQ˘l ΓP˘Q˘,L˘ = 2 (-∂LgP˘Q˘ + ∂P gQ˘L˘ + ∂QgL˘P˘ ) = Γ¯P˘Q˘,L˘ , ∈ {-, +}, (23.5) ('-') где по соотношению первой строки (20.29) Γ¯P˘Q˘,L˘ - S -семейства символов Кристоффеля первого рода. Далее на основании определения (23.1) и (23.3) имеем ˘ ΓP˘Q˘,˘3 = ∂QrP˘ · h = ∂Q(rP˘ · h) - rP˘ · hQ = ∂QgP˘˘3 - g+ QP + g- QP˘ , ∈ {-, +} и отсюда, учитывая второе соотношение (23.2), легко получаем Γ = Γ = 1 (∂ P˘Q˘,˘3 Q˘P˘,˘3 2 P gQ˘˘3 + ∂Q gP˘˘3 - g+ P Q˘ - g+ QP˘ - + g P Q˘ - + g \\ = QP˘ (23.6) ˘ = ∂QgP˘˘3 - g+ QP + g- QP˘ ˘ = ∂P gQ˘˘3 - g+ P Q + g- P Q˘ , ∈ {-, +}. Не представляет большого труда найти выражения и для символов Кристоффеля второго рода. В самом деле, нетрудно заметить, что Γ k˘ - k˘ k˘ k p˘ q˘ ∼ (ΓP˘Q˘ , Γ˘3Q˘ , Γp˘˘3), и на основании определения (23.1) и (23.4)-(23.6) будем иметь ˘ ˘ Γ k˘ = g P Q k˘˘l ΓP˘Q˘,˘l = g k˘˘3 ˘ (∂P gQ˘˘3 - g+ P Q + g- P Q˘ )+ g P Q,L, k˘L˘ Γ¯ ˘ ˘ ˘ Γ k˘ k˘ k˘ k˘ (23.7) ˘3Q˘ = g+ - g- , Γp˘ ˘3 = 0, ∈ {-, +}. Q Q Из полученных выше соотношений этого раздела при = - получаются соответствующие соотношения работы [30]. 23. ВЫРАЖЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СЕМЕЙСТВ СИМВОЛОВ КРИСТОФФЕЛЯ ЧЕРЕЗ ОСНОВНЫЕ КОМПОНЕНТЫ ЕТВР 167 Выражение Sg -семейства символов Кристоффеля через основные компоненты ЕТВР. Рассмотрим два способа нахождения выражений для Sg -семейства символов Кристоффеля. Пер- ('-') вый заключается в нахождении связей между Sg - и S ('-')-семействами символов Кристоффеля таg ким образом, что Sg -семейство символов оказалось бы определенным посредством ('-') S ('-')-семейств g символов, а второй - в определении Sg -семейства символов непосредственно через компоненты переноса ЕТВР. В первом случае по более общим соотношениям (21.3) остается только лишь выписать искомые связи. В самом деле, при ∼ = ∅, β = α из (21.3) получаем Γp q,l = g ln˘ (∂qg n˘ m˘ n˘ \\ = g n˘ (∂qgpn˘ - g m˘ \\ α n˘ q˘,m˘ p p˜ + g p˜ Γm˘ q˘ l Γ , β Γ s sl s( n˘ m˘ n˘ \\ sn˘ ( m˘ \\ (23.8) pq = g Γp q,l = gn˘ ∂qgp + gp Γm˘ q˘ = g ∂qgpn˘ - gp Γn˘ q˘,m˘ , ∼, ∈ {-, +}∀ α. Далее, учитывая (20.11) и (23.4) - (23.6) подходящим образом в (23.8), окончательно получим искомые выражения для Sg -семейств символов Кристоффеля, на выписывании которых останавли- ваться не будем. s Во втором способе нахождения выражения для Sg -семейств символов Кристоффеля поступаем следующим образом: сначала выписываем представления Sg -семейств символов Кристоффеля через Sg -семейства компонент ЕТВР, а затем учитываем по (20.14) то, что grs = grn˘ g n˘ , ∈ {-, +}. В результате, например, для Sg -семейств символов Кристоффеля первого рода будем иметь 1 1 n˘ n˘ n˘ Γp q,l = 2 ( - ∂lgpq +∂pgql +∂qglp)= 21-∂l(gpn˘ gq )+∂p(gqn˘ gl )+∂q (gln˘ gp )l= 1 (23.9) = 1-(∂lgpn˘ )g n˘ -gpn˘ ∂lg n˘ +(∂pgqn˘ )g n˘ +gqn˘ ∂pg n˘ +(∂qgln˘ )g n˘ +gln˘ ∂qg n˘ l, 2 q q ∈ {-, +}. l l p p Теперь, подставляя (20.11) в (23.9), получим искомое выражение. Однако с целью сокращения письма подставим выражения (20.11) не для всех компонент переноса, а только для тех, которые стоят под операцией дифференцирования. В результате получим 1 3( )l n˘ 1 3( n˘ n˘ )l - - Γp q,l = 2 ∂lg p n˘ + ∂l1x g+ pn˘ - g-p n˘ gq - gpn˘ ∂l x - - g+ g + q q 3( )l n˘ 1 3( n˘ n˘ )l - + ∂pg q n˘ + ∂p1x g+ q n˘ g-q n˘ gl + gqn˘ ∂p x g+ - g- + l l (23.10) + ∂qg- + ∂q 1x g+ - g- gp + gln˘ ∂q x g+ - g )l , ∈ {-, +}. l n˘ 3( l n˘ l n˘ )l n˘ 1 3( n˘ n˘ p -p Видно, что в связи с громоздкостью записи соотношения (23.10) предпочтительно пользоваться соотношениями (23.8). Следует заметить, что, например, в силу первого соотношения (23.8) получаем 3˘ ˘3 Γ×p˘ q˘,˘l = Γ×q˘p˘,˘l = gq˘ Γ˘3 p˘,˘l + Γp˘ q˘,˘l = gp˘ Γ˘3 q˘,˘l + Γq˘p˘,˘l = 1 = (g ˘3Γ˘ ˘ + g ˘3Γ˘ ˘ +Γ +Γ ), ∈ {-, +}, 2 p˘ 3 q˘,l q˘ 3 p˘,l p˘ q˘,˘l q˘p˘,˘l Γp q,l x3=0 = Γ× - - - x3=1 , Γp q,l = Γ×+ + +, где Γp q,l 3 ( =-) p q, l - ˘ = Γ× ( =+) -, Γp q,l 3 p q, l ˘ + x =0 = Γ×p˘ q˘,l = -p -q, l x =1 = Γ×p˘ q˘,l =+ = Γ×++ p q, l Отсюда в свою очередь легко заключаем, что Γ×p˘ q˘,˘l /= Γp˘ q˘,˘l, Γ×P˘Q˘,˘l = ΓP˘Q˘,˘l, ∈ {-, +}. 168 ГЛАВА 6. НОВАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОМПОНЕНТ ВТОРЫХ ТЕНЗОРОВ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПОСРЕДСТВОМ ОСНОВНЫХ КОМПОНЕНТ ЕТВР Зная выражения различных семейств символов Кристоффеля, не представляет большого труда (∼) найти представления компонент вторых тензоров поверхностей S , ∼ ∈ {-, ∅, +}, через основные компоненты ЕТВР. В самом деле, по определению [5, 54] компоненты вторых тензоров поверхно- (∼) стей S , ∼ ∈ {-, ∅, +}, представляются в виде (∼) 1 3˜ / ˜3˜3 ˜3L˜ / ˜3˜3)¯ P Q / Γ = b ˜ ˜ = g˜3˜3 P˜Q˜ g ΓP˜Q˜,˜3 + (g g ΓP˜Q˜,L˜ , ∼ ∈ {-, ∅, +}. (24.1) Представление компонент второго тензора поверхности S посредством основных ком- понент ЕТВР. Подставляя подходящие выражения для символов Кристоффеля, получаемые на основании (23.8) и (23.10), поочередно в (24.1), будем иметь соответствующие представления для компонент второго тензора поверхности S. Однако с целью сокращения письма всех их выпи- сывать не будем. Выпишем компоненты второго тензора поверхности S посредством основных компонент ЕТВР в том случае, когда за основную базовую поверхность принимается внутренняя (-) базовая поверхность S. В этой связи, представляя (24.1) в виде √ 1 bIJ = (1/ g 33)Γ3 = √ g 3k ( - ∂kgIJ + ∂IgJk + ∂J gkI ) IJ 2 g 33 и учитывая (20.14), после простых преобразований получаем 1 √ 331 3 3 bIJ = 2 g (1 - x )(∂J g-- + ∂Ig-- + 2g--) - (1 - 2x )(g+- + g-+)+ I 3 l J 3 I J I J I J +x3(∂J g+ + ∂ g+ - 2g++) + - I - I 3 J 3 I J 1 2 - - + (g K3 √g 33)1(1 - x3)2(∂Ig JK + ∂J g- - I K ∂K g--)+ I J (24.2) - + +x3(1 - x3)(∂Ig + ∂J g- + + ∂Ig+ - + ∂J g+ - ∂K g-+ ∂K g-+)+ JK I K l JK I K I J J I +(x3)2(∂Ig+ + + ∂J g + + - ∂Kg++) . JK K I -n I J 33 K3 Учитывая g++ = g+ g+- и, кроме того, выражения g и g через основные компоненты ЕТВР, p q p pn окончательно получим искомое представление для bIJ . Представление компонент вторых тензоров лицевых поверхностей посредством ос- новных компонент ЕТВР. Учитывая (23.6) и (23.7), из (24.1) при ∼ = ∈ {-, +} получаем ('-') искомые представления для компонент вторых тензоров поверхностей S , ∈ {-, +}. Имеем ('-') 1 / ˘3˘3( \\ ˘3L˘ / ˘3˘3)¯ b P˘Q˘ = 2 g ∂P gQ˘˘3 +∂QgP˘˘3 -g+ -g+ +g- +g- +(g g ΓP˘Q˘,L˘ = P Q˘ QP˘ P Q˘ QP˘ + = /g˘3˘3(∂Qg ˘˘ - g + g- g ) + (g˘3L˘ / ˘3˘3)Γ¯ P˘Q˘,L = (24.3) = /g˘3˘3(∂P g ˘˘ - g P 3 QP˘ QP˘ + g ) + (g˘3L / Γ ˘ , ∈ {-, +}. Q3 + - ˘ g˘3˘3)¯ P˘Q˘,L P Q˘ P Q˘ ˘ Следует заметить, что (24.3) при = -( = +) можно еще получить из (24.2) при x3 = 0 (x3 = 1). Теперь рассмотрим частные случаи: а. Вектор h перпендикулярен к внутренней базовой поверхности (-) S . В этом случае выполняются условия (22.8) и поэтому, как легко усмотреть, из (24.3) при = - получаем (-) 1 / -- / -- / -- b -- = g 3 3 ( \\ 2g-- - g+ - - g+ - = g 3 3 ( g -g g + g-- -g+ - )= 3 3 ( -- - ). (24.4) P Q 2 P Q P Q QP QP QP P Q P Q Нетрудно заметить, что из (24.4) следует (22.11). С целью сокращения письма в рассматриваемом случае на выписывании (24.2) останавливаться не будем. 24. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОМПОНЕНТ ВТОРЫХ ТЕНЗОРОВ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПОСРЕДСТВОМ ОСНОВНЫХ КОМПОНЕНТ ЕТВР 169 б. Вектор h перпендикулярен к внутренней базовой поверхности (-) S , и область тонкого тела имеет постоянную толщину (h = |h| = const). Нетрудно увидеть, что в рассматриваемом случае имеет место (22.10), и так как h = const, из них получаем - 3 -1 (-) g+- = h∂I h = 0, g+ = h ∂Ih = 0 при h ⊥ S , h = |h| = const. (24.5) I 3 I Учитывая эти последние соотношения, из соответствующих соотношений (22.26) и (22.27) имеем - - g 3 3 3 3 3 3 33 3-n 3 -- P = x g+ P = 0, g = 0, g - K = g g = g -n . (24.6) В силу (24.1) при ∼ = - и (24.6) из второго соотношения (23.8) при = - получаем - Γ3 M - 3 . (24.7) PQ = gP Γ - - MQ Подставляя (24.7) в (24.1) при ∼ = ∅ и учитывая последнее соотношение (24.6), получаем - (-) (-) - + (+) (+) + bPQ = g M b = g b M = g N b = g b N , P - - MQ - - P M Q P + + NQ + + P N Q где последние два равенства получаются аналогично. Из последнего соотношения имеем bP PK Q = g bKQ P - (-) (-) - = g M b = g P b M = - - - - + (+) (+) + g P N b + + = g P b N . + + MQ M Q NQ N Q Легко усмотреть, что последние два соотношения можно представить в следующих кратких формах: bPQ = g M˘ ('-') b ˘ ˘ = g ˘ ˘ ('-') b M , bP = g PKbKQ = g P M ('-') b ˘ ˘ = g P ˘ ('-') b M , ∈ {-, +}. (24.8) P MQ P M˘ Q˘ Q MQ M˘ Q˘ Получим обратные к (24.8) соотношения. Умножая, например, первое равенство первого соg отношения (24.8) на P L˘ с последующим суммированием по P и учитывая соотношение (20.13), получаем (g P ˘ ('-') M P ˘ ('-') M P ('-') P Таким образом, L˘ gP b M˘ Q˘ = gL˘ bPQ) ⇒ (gL˘ b M˘ Q˘ = gL˘ bPQ) ⇒ ( b L˘Q˘ = gL˘ bPQ). ('-') ( b P˘Q˘ = g Lb LQ = g ˘ ('-') ˘ b L) ⇒ ( b P ˘ ˘ ('-') = g P M b ˘ ˘ = g P˘LbLQ = g P˘ b L), ∈ {-, +}, (24.9) P˘ и верны соотношения PL Q Q˘ MQ L Q ('-') ˜ (∼) L (∼) L˜ ˘ ('-') P ˘ ˘ ('-') P M ˘ ˜ (∼) P L ˘ ˜ (∼) ˜ P L ( b P˘Q˘ = gP˘ b L˜Q˜ = gP˘L˜ b Q˜ ) ⇒ ( b Q˘ = g b M˘ Q˘ = g b L˜Q˜ = gL˜ b ), Q (24.10) ∼, ∈ {-, ∅, +}. Очевидно, соотношения (24.10) содержат (24.8) и (24.9). Теперь, учитывая, что в силу первого соотношения (24.5) h перпендикулярен и поверхности (+) (+) S (h ⊥ S ), аналогично (24.4) из (24.3) получаем (+) 1 / ++( \\ / ++( \\ / ++( \\ b + + = P Q 2 g 3 3 g- + P Q +g- + QP -2g+ + = P Q g 3 3 g- + P Q -g+ + = P Q g 3 3 g- + QP -g+ + QP . (24.11) Соотношения (24.4) и (24.11) можно объединить и записать одним соотношением: ('-') 1 / ˘3˘3( \\ / ˘3˘3( \\ = / b P˘Q˘ = 2 g g- P Q˘ - - - + g- QP˘ g+ P Q˘ g+ = g QP˘ g- P Q˘ g+ = P Q˘ (24.12) g˘3˘3 ( - g QP˘ - g+ QP˘ \\ , ∈ {-, +}, непосредственно следующим еще из (24.3). 170 ГЛАВА 6. НОВАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА Представление средних и гауссовых кривизн поверхностей посредством основных ком- понент ЕТВР. Имея выражения для вторых тензоров поверхностей через основные компоненты ЕТВР, не представляет большого труда найти аналогичные представления для средних и гауссовых кривизн тех же поверхностей. В самом деле, обозначая средние и гауссовы кривизны поверхностей ('-') S через ('-') H и ('-') K соответственно, где ∈ {-, ∅, +}, по их определениям [5, 11, 51, 54] будем иметь ('-') ('-') ('-') ('-') ('-') ('-') / 2 H = k 1 + k 2 = ˘ b I˘ = I IJ g I˘J˘ b ˘ ˘ = (1/ ˘ ˘ g ˘3˘3)g I˘J˘Γ 3˘ , IJ ('-') ('-') ('-') 1 ('-')I˘J˘('-') ˘ ˘ ('-') ('-') L M 1 ('-')I˘J˘('-')L˘M˘ ('-') ('-') K = k 1 k 2 = 2 C ('-') b b CL˘M˘ ('-') I˘ J˘ = 2 C C b I˘L˘ b J˘M˘ = (24.13) = (1/(2g ˘3˘3)) C I˘J˘ C L˘M˘ Γ ˘3 Γ ˘3 , ∈ {-, ∅, +}, I˘L˘ J˘M˘ ('-') ('-') ('-') ('-') ('-') ('-') где k 1 и k 2 - главные кривизны поверхностей S , а C I˘J˘ = C I˘J˘˘3 = (rI˘ × rJ˘) · r˘3, CL˘M˘ = ('-') ('-') ('-') CL˘M˘ ˘3 = (rL˘ × rM˘ ) · r˘3 - компоненты дискриминантного тензора в рассматриваемой точке M ∈ S , где ∈ {-, ∅, +}. Для представления средних и гауссовых кривизн поверхностей ('-') S , ∈ {-, ∅, +}, с помощью основных компонент переноса ЕТВР остается лишь соответствующим образом подставить (24.2) и (24.3) (или выражения символов Кристоффеля ΓI˘J˘˘3 , ∈ {-, ∅, +}) из первого соотноше- IJ ния (23.7), а Γ3 из второго соотношения (23.8)) в (24.13), однако с целью сокращения письма в общем случае этими подстановками заниматься не будем. Более подробно рассмотрим случай, (-) когда h ⊥ S и область тонкого тела имеет постоянную толщину (h = |h| = const). В этом случае из первого соотношения (24.8) с учетом (24.12) имеем ˘ ('-') bPQ = gM b ˘ ˘ / ˘3˘3 M˘ / ˘3˘3 P MQ = ˘ - g gP (g- QM ('-') g+ ) = QM˘ g (-) (g - P Q - g + ) = P Q (+) = 1(1 - x3)gM˘ + x3gM˘ l b ˘ ˘ = 1(1 - x3) b + x3 b l = - P / -- + MQ P -- + + P Q P Q / -- = (1 - x3) -- g 3 3 (g P Q - g- + P Q )+ x3 - g 3 3 (g+ P Q - g+ + ). P Q Аналогично из второго соотношения (24.8) с учетом (24.12) получаем bP Q = g P N˘ ('-') b Q˘N˘ = g / ˘3˘3g P N˘ (g- QN˘ - g+ QN˘ / ) = g ˘3˘3 (g P - Q P - g+ ). Q Таким образом, учитывая, что g ˘3˘3 = h-1, имеем - bPQ = h-1(g P Q g + P Q -- ) = h-11(1 - x3)(g P Q - g- + P Q - )+ x3(g+ P Q - g+ + P Q )l = ('-') (-) + = gM˘ b ˘ ˘ = (1 - x3) b + x3 b , P b P -1 MQ P N˘ N˘ -- + + P Q P Q -1 P P (24.14) Q = h ˘ (g N - Q - g+ ) = h Q (g- - g+ ). Q Q Следует заметить, что первое соотношение (24.14) легко получается еще из (24.2), если учесть, что в рассматриваемом случае имеют место (22.8), (24.5), (24.6) и кроме того, h ⊥ S, т. е. gI3 = 0, gI3. Теперь нетрудно найти выражения для средней и гауссовой кривизн поверхности S через ос- новные компоненты ЕТВР. В самом деле, на основании первого соотношения (24.13) при = ∅ и второго соотношения (24.14) для средней кривизны имеем - - 2H = b1 + b2 = h-1(g I - g I ) = h-1g I (g N - g N ), 1 2 - + I I - - + N I I 24. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОМПОНЕНТ ВТОРЫХ ТЕНЗОРОВ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПОСРЕДСТВОМ ОСНОВНЫХ КОМПОНЕНТ ЕТВР 171 а в силу второго соотношения (24.13) при = ∅ и второго соотношения (24.14) для гауссовой кривизны получаем 2 K= h-2 1 CIJ C - (g L-g L)(g M -g M )= h-2det(g L - g L) = h-2det[g L(g N - g N )] = LM - + - + - - - - h-2det(g L)det(g M - g M ) = det(g L)[h-2det(g M - g M )] - N - I I - N - I I I I J J = + - + - I I N + . - - + I I Таким образом, - - - - 2H = h-1(g I - g I ) = h-1g I (g N - g N ), K = det(g L)[h-2det(g M - g M )]. (24.15) - + - - + I I N I I - - + N I I Соотношения (24.15) можно представить и в других формах. Нетрудно заметить, что из (24.15) (-) для средней и гауссовой кривизн внутренней базовой поверхности выражения: S имеют место следующие (-) - - - 1 I I -1 I 2 H = 2H x=0 = h- (g- + g+ ) = h (2 - g+ ), (-) I I - - 2 M M I -2 1 IJ - - - - L L M M -2 - (∓) J K = K x=0 = h- det(g- - g+ ) = h E 2 - + - ELM (g -g )(g +g+ ) = h (1 - g+ + ϑ ). Итак, (-) I I - (-) I I J - - J J - (∓) 2 H = h-1(2 - g I ), K = h-2det(g M - g M ) = h-2(1 - g J + ϑ ). (24.16) + - + + I I I J Аналогично из (24.15) при x3 = 1 для средней и гауссовой кривизн внешней базовой поверхно- (+) сти S имеем (+) + (+) + (±) + (-) (±)(-) 2 H = h-1(g I - 2), K = h-2(1 - g I + ϑ ) = h-2det(g J ) K = ϑ K . (24.17) - - - I I I Заметим, что соотношения (24.16) и (24.17) можно было бы еще получить из (24.13) с уче- том (24.12). + Как видно, в соотношениях (24.17) участвуют компоненты g J , и так как в качестве основной - I базовой рассматривается внутренняя базовая поверхность (-) S , то кинематические характеристики целесообразно определить с помощью основных компонент ЕТВР. В силу первых соотношений (20.19) и (20.25) имеем соответственно (±) (∓) + (∓) - ϑ = ϑ -1, g I = - I + ϑ -1g K, (K = 1, 2). (24.18) K Учитывая (24.18) в (24.17), получим их выражения через основные компоненты ЕТВР: (+) (∓) - (∓) (∓) (-) (+) (∓) (-) + 2 H = h-1( ϑ -1g K - 2) = 2 ϑ -1[h-1(1 - ϑ ) - H ], K K = ϑ -1 K . (24.19) При получении последнего равенства первого соотношения (24.19) были использованы еще соот- ношения (24.16). Легко усмотреть, что в силу (20.16) и (20.18) имеем (+) / (+) / ( ) /( )(+) /( )(+) (-) (∓) (-) ϑ = g g -1 = g -g -1 -g g -1 = -g g -1 ϑ = ϑ -1 ϑ, а первое соотношение (20.20) с учетом (24.16) можно также представить в виде (-) - - (∓) (-) (-) ϑ = 1 - x3(2 - g I )+ (x3)2(1 - g I + ϑ ) = 1 - 2(hx3) H + (hx3)2 K . Таким образом, + I (-) + I (-) (-) (+) (∓) (-) ϑ = 1 - 2(hx3) H + (hx3)2 K , ϑ = ϑ -1 ϑ. (24.20) 172 ГЛАВА 6. НОВАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА - + Рассматривая (24.16) как систему и разрешая относительно g I I (∓) и ϑ, получаем - (-) (∓) (-) (-) + g I = 2(1 - h H ), I ϑ = 1 - 2h H + h2 K . (24.21) Заметим, что второе соотношение (24.21) можно также получить из первого соотноше- ния (24.20) при x3 = 0. + Нетрудно определить и компоненты g q с помощью компонент g -n . В самом деле, эти компоненты - + p m в силу (20.13) образуют взаимно обратные матрицы и поэтому удовлетворяют соотношению - n m + m- g+ g- - = g . (24.22) n l l + Рассматривая (24.22) как систему уравнений относительно неизвестных g p - и разрешая ее, приходим к соотношению 1 + 2 g p = n - m [det(g + )]-1ElmnE g g = pqs m- -n q s + + 1 (∓) 2 ϑ -1 ElmnE g pqs m- q + l n - g s + . (24.23) - l Из (24.23) в свою очередь легко получаем + (∓) - + (∓) - - + g P = ϑ -1ELM EQSg M , g 3 = ϑ -1ELM EQSg M g 3 , g p = g p. (24.24) - + - L Q L + + - 3 Q S 3 Следует заметить, что (24.24) можно было бы вывести и из соответствующих соотношений второго столбца (22.20) при x3 = 1. Теперь вернемся к соотношениям (24.15) и придадим им другой вид. Из первого соотноше- ния (24.15) с учетом второго соотношения первой строки (22.20) и (24.16) и из второго соотноше- ния (24.15) с учетом (20.16) и второго соотношения (24.16) получаем соответственно (-) - - - - - 2H = h-1 ϑ -1EIP ENL[g L + x3(g L - g L)](g N - g N ) = (-) - + - P P P - - - - - + I I - - - - = h-1 ϑ -1EIP ENL[g Lg N - g Lg N - x3(g N - g N )(g L - g L)] = - - - + P I P I - + - + I I P P = h-1 ϑ -1[EILEIL - EILENLg N - x3EIP ENL(g N - g N )(g L - g L)] = (-) - + I (-) (-) - I (-) + I (-) - + P P (-) (-) Таким образом, + = h-1 ϑ -1[2 - g I - 2(x3h2 K )] = 2 ϑ -1( H - x3h K ), K = ϑ -1 K . I (-) (-) (-) (-) (-) H = ϑ -1( H - x3h K ), K = ϑ -1 K . (24.25) Нетрудно заметить, что соотношения (24.17) можно также получить из (24.25) при x3 = 1 соответственно. Представления компонент переноса и компонент ЕТВР в виде степенных рядов от- носительно x3. Заметим, что в дальнейшем для нахождения моментов различных величин нам понадобятся представления компонент переноса gP , g3 и компонент gPM , gP 3, g33 ЕТВР в виде - - M M степенных рядов относительно x3. Очевидно, эти представления можно найти различными спосо- бами. Мы остановимся на двух из них. Первым способом представим gP - M в виде суммы простых дробей, а потом в искомом виде. Прежде всего с целью сокращения письма запишем (22.22) в удобной форме где введены обозначения (-) ϑ = a(x3)2 - 2bx3 + 1, (24.26) - - - - - - - - a = (1 - g 1 )(1 - g 2 ) + g 2 g 1 = 1 - tr(gJ ) + det (gJ ), 2b = 2 - g I = 2 - tr(gJ ). (24.27) + + + + + + + + 1 2 1 2 I I I I 24. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОМПОНЕНТ ВТОРЫХ ТЕНЗОРОВ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПОСРЕДСТВОМ ОСНОВНЫХ КОМПОНЕНТ ЕТВР 173 Нетрудно заметить, что с помощью a и b значения x3, при которых квадратный трехчлен обраща- ется в нуль (22.25), вычисляются по формулам - b + √b2 a 1 x3 b - √b2 - a По теореме Виета имеем 2 3 = , x = a . (24.28) a ⎧ ⎪⎨ x3 3 2b ⎧ 1 ⎪ a = x x , 3 2 1 + x2 = a , ⎨ 1 · 3 ⇒ ( (24.29) ⎪⎩ x3 3 1 \\ 1 1 1 ⎪ 1 · x2 = a, ⎩ b = 2 x3 + x3 . 1 2 Квадратный трехчлен (24.26), очевидно, можно представить в виде следующего разложения: ϑ = a(x3 - x3)(x3x3) = a(x3 - x3)(x3 - x3). (24.30) 1 2 1 2 В силу первого соотношения (22.18), соответствующего соотношения (22.20) и (24.30) получаем - - aP x3 + gP (-) + - 3 3 3 gP = ϑ -1AP = M 2 1 - A B Ax + Bx (A + B)x M = + = . M M - - a(x3 - x3)(x3 - x3) a(x3 - x3) a(x3 - x3) a(x3 - x3)(x3 - x3) 1 2 1 2 1 2 Отсюда для A и B следуют выражения ⎧ - ⎧ 1 ( - - \\ ⎪ A + B = -aP , ⎪ A = gP + x3aP , ⎨ + ⎨ x3 3 - 1 + M - ⇒ ⎪ 3 3 P ⎪ 2 - x1 M M \\ P P 1 ( - 3 - ⎩ Ax2 + Bx1 = g - 2 + 3 ⎩ B = x3 g + x a . - M 1 - x2 M M Подставляя выражения для A и B в предыдущее соотношение, будем иметь - - gP + x3aP - - gP + x3aP gP = - (-) - ϑ -1AP = M - 1 + - 1 M (x3 - x3)-1 - M 2 + 2 M (x3 - x3)-1 = M M a(x3 - x3) a(x3 - x3) 2 1 - - gP + x3aP 2 1 - - gP + x3aP - 1 + ( x 3 \\-1 - 2 + ( 3 \\-1 = M M 1 - x - M M 1 - , ax3(x3 - x3) x3 ax3(x3 - x3) x3 т. е. 1 2 1 1 - - 2 2 1 2 - - gP + x3aP gP + x3aP (-) x x - 1 + ( 3 \\-1 - 2 + ( 3 \\-1 gP = ϑ -1AP = M M 1 - - M M 1 - (24.31) , M M - - ax3(x3 - x3) x3 ax3(x3 - x3) x3 1 2 1 1 2 2 1 2 Учитывая в (24.31) значение a из (24.29), получим gP = - M (-) ϑ -1AP = - M 1 Г ( - - \\( x3 \\-1 ( - - \\( x3 \\-1l (24.32) = x3 gP + x3aP 1 - - x3 gP + x3aP 1 - . x3 3 2 - 1 + 1 - 2 + x3 x 1 2 - x1 M M 3 M M 2 Заметим, что по (24.27) a и b - инварианты, тогда в силу (24.28) инварианты - и x3, и x3, т. е. 1 2 свойства x3 и x3 не зависят от выбора системы координат. Выбирая в качестве координатных линий 1 2 (-) (-) на базовой поверхности имеем S линии кривизны при h ⊥ S, на основании первого соотношения (24.20) (-) h (-) (-) h (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) b = hH = ( k 1 + k 2) = ( R -1 + R -1), a = h2 K = h2 k 1 k 2 = h2 R -1 R -1, (24.33) 2 2 1 2 1 2 174 ГЛАВА 6. НОВАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА где (-) k 1 и (-) k 2 - главные кривизны, а (-) (-) R -1 1 (-) = k 1 и (-) R -1 2 (-) = k 2 - главные радиусы кривизны базовой поверхности S, h - толщина оболочки. Учитывая (24.33), из (24.28) находим (-) x3 (-) 1 R 1 (-) -1 (-) R 2 (24.34) (-) 1 = (h k 1)- = 2 , x3 = (h k 2) = , h ( ) - где h(δI1 + δI2) < I R I . Тогда из (24.34) следует, что |x3| = R I /h > 1. Это условие в силу I инвариантности x3 выполняется относительно любой системы координат. Так как 0 x3 1, то x 3 0 < 1. (24.35) В силу (24.35), функции ( x3 \\ x fI 3 = I I x3 ( x3 \\-1 x 1 - 3 I , I = 1, 2 I являются суммами бесконечных убывающих геометрических прогрессий с знаменателями x3/x3, I = 1, 2, т. е. ( x3 \\-1 1 x3 ( x3 \\2 ( x3 \\3 ( x3 \\4 1 - x3 = 1 x3/x3 = 1 + x3 + x3 + x3 + x3 + ... (24.36) I - I I I I I Подставляя (24.36) в (24.32), получим представление gP - M В самом деле, осуществляя простые выкладки, получаем в виде степенного ряда относительно x3. gP = - },∞ - + AP (x3)k, (24.37) где M k=0 (k)M - - - (x3)k+1 - (x3)k+1 AP = gP ak + aP ak 1, a = 2 1 , a = 0, a = 1, k∈ N . (24.38) - + (k)M M + - k M (x3x3)k (x3 - x3) -1 0 0 1 2 2 1 Выразим несколько первых коэффициентов ak через a и b. В силу (24.29) из второго соотноше- ния (24.38) имеем a0 = 1, a1 = 2b, a2 = 4b2 - a, a3 = 4b(2b2 - a), a4 = 16b4 - 12ab2 + a2, a5 = 2b(16b4 - 16ab2 + 3a2). (24.39) Учитывая малость величин x3/x3 , I = 1, 2, по сравнению с единицей x3/x3 < 1, I = 1, 2 и ( ) I I сохраняя в правой части (24.37), например, первые шесть членов, будем иметь следующее прибли- женное представление для gP : - M 5 ≈ gP }, - - + AP (x3)k, (24.40) где в силу (24.39) M k=0 (k)M - - - - - - - - AP = gP , AP - = 2bgP + aP , AP = (4b2 - a)gP + 2baP , - + (0)M - + M (1)M M - - + + + M (2)M M M - A P + (3)M - - = 4b(2b2 a)gP - M + + (4b2 - a)aP , M - - (24.41) A P + (4)M - - = (16b4 12ab2 + a2)gP - M + + 4b(2b2 - a)aP , M - - A P + (5)M - = 2b(16b4 16ab2 + 3a2)gP - M + + (16b4 - 12ab2 + a2)aP . M 24. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОМПОНЕНТ ВТОРЫХ ТЕНЗОРОВ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПОСРЕДСТВОМ ОСНОВНЫХ КОМПОНЕНТ ЕТВР 175 На основании второго соотношения (24.27) второе соотношение (22.18) представится в виде - - a - + P = (1 2b)gP - M M - + gP , M с учетом которого для коэффициентов (24.41) будем иметь представления - - - - - - - - AP = gP , AP - = gP gP , AP = (2b - a)gP 2bgP , - + (0)M - + M (1)M - + + + M M (2)M M M - - A P + (3)M - = (4b2 - 2ab - a)gP M + - (4b2 - a)gP , M (24.42) - A P + (4)M - - - = (8b3 - 4ab2 - 4ab + a2)gP M - + - 4b(2b2 - a)gP , M - - A P + (5)M - = (16b4 - 8ab3 - 12ab2 + 4a2b + a2)gP M + - (16b4 - 12ab2 + a2)gP . M Теперь рассмотрим второй, более удобный, способ представления gP - M в виде степенного ряда относительно x3. Для этого с помощью соотношений (20.11) и (20.12) представим rp в форме -q 3 -q 3 -q (-) (-) 3 rp = gp r- = 1(1 - x )g + x g lr = r · A = r · (E - x B ), (24.43) q -p - - - q p p + p - - где E - единичный тензор второго ранга и введены обозначения (-) - (-) -q -q -q -q (-) -q -q -q - - - A = rp rp = E x3 B = 1gp x3(g -p + g )lr p r-q , - B = (g -p + g )r p r-q . (24.44) - (-) (-) - (-) - (-) (-) Очевидно, B T = B при h ⊥ S, а отсюда следует, что и (-) A T = A . Заметим, что в силу первого соотношени-я (24.4-4) для матрицы тензора A будем иметь-выраж-ения ⎛ - - - - ⎞ 1 - x3(1 - g 1 ) x3g 2 x3g 3 (-) (-) ⎜ + + + 1 1 1 ⎟ matr A = matr(E - x3 B ) = ⎜ - - - ⎟ . (24.45) ⎜ x3g 1 1 - x3(1 - g 2 ) x3g 3 ⎟ ⎝ 2 - - ⎜ + + + ⎟ 2 2 ⎠ Учитывая (22.22) и (24.45), имеем 0 0 1 - - 1 - x3(1 - g 1 ) x3g 2 (-) (-) + + (-) = - det A = det (E - x3 B ) = 1 - 1 ϑ /= 0. (24.46) - - x3g 1 1 - x3(1 - g 2 ) + + 2 2 На основании (24.46) можно утверждать, что существует единственный обратный тензор (-) (-) A -1 и соответственно единственная обратная матрица matr( A )-1. Поэтому (24.43) можно разр-ешить - относительно r . Получим p (-) 1 r-p = rp · A - - = rp · (E - x ) 1 (-) 3 B - . (24.47) Аналогично (24.43) для rp имеем - - Нетрудно усмотреть, что p - p (-) - · rp = g rq = D r , -q - (-) D = rpr -p - = gp r-q r -q -p . (24.48) (-) (-) (-) (-) (-) (-) D · A = A · D = E, D = A -1. (24.49) - - - - - - 176 ГЛАВА 6. НОВАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА В самом деле, в силу первого соотношения (24.44) и второго соотношения (24.48) находим (-) (-) m- p m- m · · D A = rpr r -p rm = r g -p rm = r rm, - - что и требовалось доказать. Таким образом, учитывая второе соотношение (24.49), первое соотно- шение (24.48) можно представить в виде p - (-) rp = g rq = A -1 -q p - r , ( ) - A -1 = (E - ) 1 (-) x3 B - = rpr -p = gp r-q r -q -p . (24.50) - - - (-) (-) Не представляет большого труда найти выражения для A -1 или для matr A -1 через основные компоненты переноса ЕТВР. На основании второго соотно-шения (24.50) прих-одим к выражению ⎛ - - - - - - ⎞ 1-x3(1-g 2 ) -x3g 2 (x3)2g 2 g 3 -x3g 3 11-x3(1-g 2 )l (-) + ⎜ 2 (-) ⎜ 1 + 1 3( 1 + + + 1 2 1 3 2 1 3 3 3 + 2 ⎟ 3 1 ⎟ . (24.51) matr A -1 = ϑ -1⎜ - x3g - - 1 x 1 g ) - 1 ( - - )l⎟ ⎜ + - - + (x ) g+ g+ -x g+ 1-x 1-g+ ⎟ - ⎜ 2 1 ⎝ 0 0 Теперь рассмотрим 2 1 2 1 ⎟ (-) ⎠ ϑ - (-) - (-) - где, очевидно, rP = gP rM = - M ϑ AP rM = - M d · rP , (24.52) - (-) - (-) - - d = rP r P - - - = gP rM r = M P - - ϑ -1AP rM r M P . (24.53) С помощью (22.18) нетрудно проверить, что матрицей тензору (-) d служит матрица, получающаяся при пересечении первых двух строк и двух столбцов в (24.51),-т. е. ⎛ - - ⎞ + + 1-x3(1-g 2 ) -x3g 2 (-) (-) (-) (-) ⎜ 2 1 ⎟ matr d = matr( ϑ -1AP \\= ϑ -1matr(AP \\= ϑ -1⎜ ⎟ . (24.54) - ⎝ - M Следовательно, 1-x (1-g )⎠ - - - + + M -x3g 1 3 1 2 1 (-) (-) (-) (-) det (AP \\ = - M ϑ, det d - = det ( ϑ -1AP \\ = - M ϑ -1. Теперь рассмотрим тензор (-) (-) (-) - - - - - a = E - x3 b , b = (gP - + - - gP )r - - rM = (g - g- + )rP rM . (24.55) - - - (-) M (-) M P (-) P M P M В первую очередь заметим, что (-) (-) и, следовательно, T = b T = b - - при h ⊥ S, так как в этом случае (22.11) g+- I J = g+- J I a a . Далее, очевидно-, что - ⎛ - - ⎞ 1 - x3(1 - g 1 ) x3g 2 (-) (-) ⎜ + + 1 1 ⎟ matr a - = matr(E - x3 b ) = ⎜ - ⎟ . (24.56) - - ⎝ + x3g 1 2 + 1 - x3(1 - g 2 ) ⎠ 2 Сравнивая (24.56) с (24.45), заключаем, что (24.56) получается из (24.45) вычеркиванием послед- ней строки и последнего столбца. В силу (24.46) нетрудно усмотреть, что (-) (-) (-) (-) det a = det (E - x3 b ) = det A = ϑ /= 0. Поэтому на основании последне-го соотнош ения -утверждае-м, что существует единственный обрат- (-) ный к a тензор, который, как нетрудно доказать, совпадает с тензором (24.53), а его матрица - с матри-цей (24.54). 24. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОМПОНЕНТ ВТОРЫХ ТЕНЗОРОВ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПОСРЕДСТВОМ ОСНОВНЫХ КОМПОНЕНТ ЕТВР 177 Таким образом, для (-) (-) d - имеем представления (-) - (-) - - d = a-1 = (E - x3 b )-1 = rP r P - = gP rM r = - P - ϑ -1AP rM r - P . (24.57) - - M M Теперь, учитывая (24.57), соотношение (24.52) можно представить в удобном для дальнейшего пользования виде - - (-) (-) - - rP = gP rM = rP · (E - x3 b )-1 = (E - x3 b )-1 · rP . (24.58) M - - (-) - - Следует заметить, что в случае тонких тел |x3 b | < 1 (|x3bQ| < 1). Поэтому имеем соотношения (-) },∞ (-) - (-) P (-) (-) (E - x3 b )-1 = (x3)s b s = E + x3 b + (x3)2 b 2 + (x3)3 b 3 + ..., (24.59) - s=0 - (-) - },∞ - - (-)s 3 s (E - x3 b )-2 = (s + 1) b (x ) , (24.60) где, очевидно, - s=0 - (-) - - - - - - - - - b n = (gP gP )(gK1 - gK1 ) · ... · (gKn-2 - gKn-2 )(gKn-1 - gKn-1 )r rM . (24.61) - - K1 + - + K1 K2 K2 - Kn-1 + - + - Kn-1 M M P С помощью (24.59) и (24.61) соотношение (24.58) можно представить в виде - - - - - - - - rP = gP rM = 1gP + x3(gP - gP ) + (x3)2(gP - gP )(gK - gK )+ - - - + M M M M - - - - - - + - + K K M M - - +(x3)3(gP gP )(gK1 - gK1 )(gK2 - gK2 ) + ... lrM . - + - K1 K1 K2 + - + K2 M M Отсюда в свою очередь получаем второе (после (24.37)) искомое выражение для gP . А именно, - M - (-) },∞ - - (-) - - gP = rP· r = rP · (E- x3 b )-1 r = ) rP · b s · r (x3)s = gP + x3(gP -gP + - - M M - - - · - - - M s=0 - M - - - - - - + M M M - - - (24.62) +(x3)2(gP - gP )(gK - gK ) + (x3)3(gP gP )(gK1 - gK1 )(gK2 - gK2 ) + ... - + - + K K M M - + - K1 K1 K2 + - + K2 M M Сравнивая (24.62) с (24.37), можно утверждать, что - - (-) - - - (-) - - AP = rP · b 0 ·r = gP , AP = rP · b ·r = gP - gP , + (0)M - - - M - - (-) - + - + M (1)M - M M M - - - - AP = rP · b 2 ·r = (gP - gP )(gN - gN ),..., + (2)M - - M - - (-) - + - + N N M M - - - - - - - - (24.63) A P = rP· b n·r =(gP -gP )(gN 1 gN 1 ) ... (gNn-2 gNn-2 )(gN n-1 gNn-1 ). + (n)M - - + - M N 1 N 1 - - + N 2 N 2 - - Nn-1 + Nn-1 - - + M M Следует заметить, что идентичность представлений (24.38) и (24.63) можно доказать и непосред- ственной проверкой. Так как остальные рассматриваемые компоненты ЕТВР выражаются через gP , то представление (24.37) или, что то же самое, (24.63) имеет важное значение. Кроме того, в - M зависимости от рассматриваемой конкретной задачи и требуемой точности приближения в правой части (24.40) следует менять (уменьшать или увеличивать) число слагаемых. Не представляет труда найти искомое представление для g3 . В самом деле, из второго соотно- - M шения третьей строки (22.20) с учетом (24.37) получаем - g3 = -g 3 gP - = -g 3 x3gP ∞ - = -g 3 }, - AP (x3)s+1 (24.64) - P - + - + + M M P M P s=0 (s)M 178 ГЛАВА 6. НОВАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА и аналогично (24.40) можно рассматривать приближенное представление - 5 - + - g3 ≈ -g 3 + }, AP (x3)s+1. M P s=1 (s)M Теперь найдем представление для gPQ. В силу (24.58) с учетом (24.60) и (24.63) получаем - (-) - (24.60) gPQ = rP · rQ = gP gQg = rP · (E - x3 b )-2 · rQ = (24.60) },∞ - - - - M N MN - (-) - - },∞ - (-)s - - (24.63) = (s + 1)rP · b s · rQ(x3)s = (s + 1)rP · b r - gMQ(x3)s = s=0 (24.63) },∞ - - - - s=0 - M = s=0 + (s + 1)gQM AP (x3)s. (s)M Таким образом, искомое представление для gPQ имеет вид gPQ = gP gQg = },∞ (s + 1)g- - A- (x ) . - - - - M N MN s=0 QM P 3 s + (s)M (24.65) Нетрудно найти представление и для gP 3. В самом деле, из второго соотношения (22.37) с уче- том (24.64) и (24.65) получаем - - - - - - - - - - ∞ }, gP 3 = gP g3 gMN = -g 3 x3gP gQgMN = -g 3 (x3)gPQ = -g 3 (s +1) AP gMQ(x3)s+1. - - + - - + M N Q M N Q + Qs=0 + (s)M Итак, искомое соотношение представляется в форме - - - ∞ }, - - - gP 3 = gP g3 gMN = -g 3 (s + 1) AP gMQ(x3)s+1. (24.66) - - + M N Q s=0 + (s)M Наконец, найдем искомое выражение для g33. Из второго соотношения (22.37) в силу (24.64) и (24.65) находим m- -n -- - - -- - - - - -- - - g33 = g3 g3 g = g 3 3 + g3 g3 gMN = g 3 3 + g 3 g 3 (x3)2gP gQgMN = g 3 3 + g 3 g 3 (x3)2gPQ = m- -n -- - - ∞ }, - - M N - - - + + - - + + P Q M N P Q = g 3 3 + g 3 g 3 (s + 1) AP gMQ(x3)s+2. + + P Q s=0 + (s)M Таким образом, приходим к представлению -- - - -- - - ∞ }, - - - g33 = g 3 3 + g 3 g 3 (x3)2gPQ = g 3 3 + g 3 g 3 (s + 1) AP gMQ(x3)s+2. (24.67) + + + P Q P + Q s=0 + (s)M Найдем еще выражение произведения gP gQ в виде ряда относительно x3. С этой целью вос- - - M N пользуемся представлением (24.37) и правилом умножения рядов в форме Коши. В результате получим s - -- -- s - - gP gQ = },∞ ( }, A AQ )(x ) = },∞ BP Q (x ) , BP Q - = }, A AQ . (24.68) P 3 s - - + + 3 s P + + + + + + M N s=0 r=0 (s-r)M (r)N s=0 (s)MN (s)MN r=0 (s-r)M (r)N Следует заметить, что число слагаемых в правых частях (24.65)-(24.68) аналогично (24.37) и (24.64) определяется характером рассматриваемой задачи и точностью приближения. Нетруд- но найти представления компонент ЕТВР в частных случаях рассматриваемой параметризации области тонкого тела. Кроме того, соотношения (24.37), (24.64) и (24.65)-(24.68) играют важ- ную роль при построении различных вариантов общих теорий высшего порядка для тонких тел с применением разложения по ортогональным полиномам. 24. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОМПОНЕНТ ВТОРЫХ ТЕНЗОРОВ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПОСРЕДСТВОМ ОСНОВНЫХ КОМПОНЕНТ ЕТВР 179 О представлении расширенного второго тензора поверхности. Обозначим через ('-') ('-') b второй тензор поверхности S, ∈ {-, ∅, +}. Тогда, очевидно, в силу (20.12) и (20.13) для вторы-х тензоров поверхностей будем иметь следующие представления: (-) b = - P Q (-) - - b -- r r P Q (-)+ - = b QrP - P - r+ = Q - ( ) - b QrP - P + rQ = Q˘ b Qr (-) ˘ Pˆ Pˆ rQ˘ , b = bPQrP rQ = bQrP rQ = bQrP rQ = b rPˆ r ˘ , (24.69) (+) (+) - P - - (+)- + + Pˆ P (+) + Q ˘ ˆ (+) Q P где b = b + + rP rQ = P Q - + - b QrP r = P Q + b QrP rQ = P b Pˆ r rQ˘ , ∧, ∼ ∈ {-, ∅, +} ('-')Qˇ ˇ ˜ ('-') ∗ M M N Pˆ Pˆ ∗ M˜ b = g g N b , , ∨, ∧, ∼, ∗∈ {-, ∅, +}. Всевозможные представления тензоров (24.69), конечно, получаются жонглированием индекса- ми. Каждый из этих тензоров в силу (24.10) в качестве своих компонент имеет компоненты вторых тензоров поверхностей (-) S, S, (+) S, а также отличные от этих компонент компоненты. В этом смысле они называются расширенными вторыми тензорами. Можно было вводить в рассмотрение расширенные до трехмерного пространства тензоры. В самом деле, определяя компоненты этих тензоров следующим образом: ('-') b qˇ Mˆ qˇ ˇ ('-') b N их можно представить в виде pˆ = gpˆ gNˇ Mˆ , , ∨, ∧ ∈ {-, ∅, +}, (24.70) ('-') b = ('-') pˆ b qˇrpˆrqˇ, , ∨, ∧ ∈ {-, ∅, +}, (24.71) нты Из (24.70) следует, что компоне тензоров (24.71) равны нулю, если хотя бы один индекс равен трем. Очевидно, тензоры (24.71) содержат (24.69). О тензорах Римана-Кристоффеля в R3. К определению тензора Римана-Кристоффеля можно прийти различными путями, среди которых чаще всего рассматриваются условия переста- новочности (коммутативности) повторного ковариантного дифференцирования компонент тензора, ранг которого не меньше 1, а компоненты принадлежат классу Ck, k 2, [5, 14, 27, 54, 68, 69], евклидовости пространства [67, 68], совместности деформаций [12, 69] и др. Следует заметить, что тензор Римана-Кристоффеля, к определению которого можно еще прий- ти, рассматривая условия перестановочности повторного обычного дифференцирования тензора, принадлежащего классу Ck, k 2, ранг которого не меньше 1, играет существенную роль в дифференциальной геометрии, динамике твердого и деформируемого твердого тела, электродина- мике и теории относительности. Заметим также, что принадлежность компонент тензора классу C2 является достаточным условием для равенства смешанных частных производных от них. Этим обстоятельством мы часто будем пользоваться. Ниже определим тензор Римана-Кристоффеля путем, указанным во втором абзаце данного пункта, приведем его представления при новой параметризации области тонкого тела в R3, исходя из тензора Римана-Кристоффеля трехмерного евклидова пространства, определим аналогичные им тензоры для двумерных поверхностей, а также дадим представления последних и найдем связь между ними. Кроме того, введем в рассмотрение расширенные тензоры Римана-Кристоффеля для двумерных пространств при рассматриваемой параметризации области тонкого тела в R3. Определение 24.1. Будем говорить, что произвольный локальный базис принадлежит классу Ck, k ∈ N, если каждый базисный вектор этого базиса принадлежит тому же классу. Определение 24.2. Будем говорить, что произвольный вектор a ∈ Ck, k ∈ N, если его компо- ненты и базис, в котором он представлен, принадлежат тому же классу. 180 ГЛАВА 6. НОВАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА Пусть a - произвольный вектор, принадлежащий классу Ck, k 2. Тогда в некотором локаль- ном базисе, очевидно, его можно представить в виде a = amrm = amrm. (24.72) Заметим, что rm и rn в (24.72) - ковариантные и контравариантные базисные векторы при любой параметризации некоторой области Ω ⊆ R3. За криволинейные координаты примем x1, x2, x3. Дифференцируя, например, первое равенство (24.72) по xp, а полученное соотношение по xq, получим ∂q∂pa = ∂q∂p(amrm) = (∂q∇pam + ∇panΓm )rm = 1∂q (∂pam + anΓm )+ ∇panΓm lrm = = (∂q∂p nq np nq am + ∂qanΓm + an∂q Γm + ∇panΓm )rm = np np nq = 1∂q∂pam + ∇qanΓm + ∇panΓm + (∂q Γm - Γn Γm )allrm, т. е. np nq lp lq np np nq lp lq np ∂q∂pa = 1∂q∂pam + ∇qanΓm + ∇panΓm + (∂q Γm - Γn Γm )allrm. (24.73) После перестановки индексов q и p в (24.73), будем иметь ∂p∂q a = 1∂p∂qam + ∇panΓm + ∇qanΓm + (∂pΓm - Γn Γm )allrm. (24.74) nq np lq lp nq Теперь, вычитая из (24.73) почленно (24.74), в силу определения 24.2 и теоремы Шварца получаем ∂q∂pa - ∂p∂q a = (∂q Γm - ∂pΓm + Γn Γm - Γn Γm )lalrm. (24.75) Вводя обозначение R · · · m lp lq m m lp nq n m lq np n m pq l · = ∂q Γlp - ∂pΓlq + ΓlpΓnq - Γlq Γnp, (24.76) соотношение (24.75) можно представить в виде pq l · ∂q∂pa - ∂p∂q a = R · · · malrm. (24.77) Нетрудно установить закон преобразования левой части (24.77) при переходе от одной системы координат к другой. Рассмотрим в трехмерном евклидовом пространстве R3 закон перехода от одной системы координат x1, x2, x3 к другой x1∗ , x2∗ , x3∗ в виде xi∗ = xi∗ (x1, x2, x3) (24.78) и обратно xi = xi(x1∗ , x2∗ , x3∗ ). (24.79) Следовательно, определители якобиевых матриц i∗ i Di∗ ∂x i ∂x i ≡ ∂xi , Di∗ ≡ ∂xi∗ (24.80) отличны от нуля и связаны между собой соотношениями Di∗ j i∗ i j∗ i j Dj∗ = δj∗ , Dj∗ Dj = δj. (24.81) Заметим, что выполнение условий (24.81) влечет за собой неравенство нулю определителей якобиевых матриц (24.80). Кроме того, при выполнении (24.79) и (24.81) преобразование коор- динат (24.78) называется общим [54]. Итак, наша задача заключается в установлении поведения левой части (24.77) относительно общей группы преобразования (24.78) в R3. В этой связи найдем ∂q∗ ∂p∗ a. В силу (24.78) и (24.80) имеем ∂q∗ ∂p∗ a = ∂q∗ (∂pa ) ∂xp = ∂2xp ∂pa + Dp Dq ∂ ∂ a, т. е. ∂xp∗ ∂2xk ∂xp∗ ∂xq∗ q p p∗ q∗ q p ∂q∗ ∂p∗ a = ∂xp∗ ∂xq∗ ∂k a + Dq∗ Dp∗ ∂q∂pa, (24.82) ∂2xk p q ∂p∗ ∂q∗ a = ∂xq∗ ∂xp∗ ∂k a + Dp∗ Dq∗ ∂p∂q a, где второе соотношение (24.82) получено из первого при замене местами индексы q× и p×. Теперь, вычитая из первого соотношения (24.82) почленно второе и учитывая, что a ∈ Ck, k 2, будем иметь q p ∂q∗ ∂p∗ a - ∂p∗ ∂q∗ a = Dq∗ Dp∗ (∂q∂pa - ∂p∂q a). (24.83) 24. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОМПОНЕНТ ВТОРЫХ ТЕНЗОРОВ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПОСРЕДСТВОМ ОСНОВНЫХ КОМПОНЕНТ ЕТВР 181 Очевидно, в силу (24.81) обратное к (24.83) соотношение представится в виде ∗ ∂ ∗ ( ∂q∂pa - ∂p∂q a = Dq Dp ∂ a - ∂ ∂ a). (24.84) q p q∗ p∗ p∗ q∗ На основании (24.83) и (24.84) заключаем, что левая часть (24.77) преобразуется как ковари- антные компоненты тензора второго ранга, т. е. по ковариантному закону. В силу того, что al как контравариантные компоненты вектора a преобразуются по контравариантному закону, а rm - по · · · m ковариантному, по обратному тензорному признаку R pq l · являются компонентами тензора чет- вертого ранга, который называется тензором Римана-Кристоффеля, или тензором кривизны. Ковариантные компоненты тензора Римана-Кристоффеля получим, если опустим индекс m. Оче- видно, имеем R ···· ··· n pqlm = gmnRpql · . (24.85) Нетрудно получить выражение для ковариантных компонент тензора кривизны посредством символов Кристоффеля. В самом деле, учитывая (24.76) в (24.85) и осуществляя простые выклад- ки, получим R ···· n n pqlm = ∂q Γlp,m - ∂pΓlq,m + Γlq Γmp,n - ΓlpΓmq,n. (24.86) Следует заметить, что смешанные производные ∂q∂pa можно представить и в другом виде. Имеем nq ∂q∂pa = ∂q∂p(amrm) = ∂q (∇pamrm) = (∂q∇pam)rm + ∇pan∂q rn = (∂q∇pam + ∇panΓm )rm = = (∂q∇pam - ∇pam pq Γn + ∇pan nq Γm + ∇nam pq Γn )rm = (∇q∇pam + ∇nam pq Γn )rm, т. е. искомое представление следующее: ∂q∂pa = (∇q∇pam + ∇namΓn )rm = (∇q∇pam + ∇namΓn )rm. (24.87) pq pq Меняя местами индексы p и q в (24.87), вычитая почленно получаемое равенство из (24.87) и учитывая симметричность символов Кристоффеля относительно нижних индексов, найдем ∂q∂pa - ∂p∂q a = (∇q∇pam - ∇p∇qam)rm = (∇q∇pam - ∇p∇qam)rm. (24.88) В силу (24.77) и (24.88) имеем, например, соотношение pql · ∂q∂pa - ∂p∂q a = (∇q∇pam - ∇p∇qam)rm = R ·· ·malrm. (24.89) R На основании (24.89) можно утверждать, что ·· ·m pql · являются компонентами тензора четвертого ранга. Заметим, что обобщение, например, (24.89) на случай тензора с рангом больше единицы и пространства с размерностью больше трех не представляет большого труда. Поэтому на этом мы останавливаться не будем, а заинтересованного читателя отошлем, например, к монографии [5]. По (24.89) легко заключаем о справедливости следующей теоремы: Теорема 24.1. Операции обычного дифференцирования тензора с рангом не меньше еди- ницы, принадлежащего классу Ck, k 2, и ковариантного дифференцирования компонент того же тензора перестановочны (коммутативны) тогда и только тогда, когда выполнены условия pqlm = gmnRpql · = 0 (R = Rpql · r r r rm = 0), (24.90) R ···· ·· ·n ·· ·m p q l т. е. тензор Римана-Кристоффеля равен нулю . Как видно из (24.76) и (24.86), компоненты тензора кривизны зависят только от символов Кристоффеля, а последние - только от производных компонент метрического тензора gmn по ко- ординатам. Однако, как известно, в евклидовом пространстве постулируется существование таких систем координат, в которых компоненты метрического тензора постоянны во всем пространстве. Это, например, косоугольная система или ее частный случай - декартова прямоугольная система. Следовательно, в этих системах тензор Римана-Кристоффеля тождественно равен нулю. Но, если тензор равен нулю в одной системе координат, то он равен нулю и в любой другой системе. Таким образом, в евклидовом пространстве во всех системах координат тензор Римана- Кристоффеля тождественно равен нулю, а операция дифференцирования тензора класса Ck, k 2, с рангом больше единицы во всех системах координат перестановочна. Заметим, что для римано- вых (неевклидовых) пространств тензор Римана-Кристоффеля может быть отличен от нуля. 182 ГЛАВА 6. НОВАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА pqlm Нетрудно доказать, что компоненты тензора Римана-Кристоффеля R···· обладают следующи- ми основными свойствами: pqlm = -Rqplm, 1. R ···· 2. R ···· ···· ···· pqlm = -Rpqml, pqlm = Rlmpq, (24.91) 3. R ···· 4. R ···· · · · · ···· ···· pqlm + Rqlpm + Rlpqm = 0. В самом деле, первое свойство очевидно, так как каждая из двух разностей, входящих в пра- вую часть (24.86), кососимметрична относительно индексов p и q. Вторая разность в правой части (24.86) кососимметрична как относительно индексов p и q, так и относительно индексов l и m. Кроме того, она симметрична относительно пар индексов pq и lm. Для доказательства второго и третьего свойств (24.91) необходимы дополнительные преобра- зования и вспомогательные соотношения, посредством которых легко доказать упомянутые выше свойства. В частности, преобразуем первую разность в правой части (24.86). Имеем ∂q Γlp,m = ∂q (∂prl · rm) = ∂q [∂p(rl · rm) - rl · ∂prm] = ∂q (∂pglm - Γmp,l) = = ∂q∂pglm - ∂q Γmp,l, т. е. ∂q Γlp,m = ∂q∂pglm - ∂q Γmp,l, ∂pΓlq,m = ∂p∂qglm - ∂pΓmq,l где второе соотношение получено из первого при перестановке индексов p и q. Вычитая из первого соотношения второе, получим первое искомое соотношение ∂q Γlp,m - ∂pΓlq,m = -(∂q Γmp,l - ∂pΓmq,l). (24.92) Из (24.92) видно, что первая разность в правой части (24.86) кососимметрична относительно индексов l и m и так как и вторая разность кососимметрична относительно тех же индексов, то второе свойство доказано. Теперь первую разность в правой части (24.86) представим в другом виде. Имеем ∂q Γlp,m = ∂q (∂prl · rm) = ∂q∂prl · rm + ∂prl · rm + ∂prl · ∂q rm. Переставляя в этом соотношении индексы p и q и вычитая полученное соотношение из существу- ющего, приходим к второму искомому соотношению ∂q Γlp,m - ∂pΓlq,m = ∂q rm · ∂prl - ∂prm · ∂q rl. (24.93) Меняя в нем местами пары индексов pq и lm и считая, что ∂srt = ∂trs, имеем ∂mΓpl,q - ∂lΓpm,q = ∂mrq · ∂lrp - ∂lrq · ∂mrp = ∂q Γlp,m - ∂pΓlq,m. (24.94) В силу (24.94) утверждаем, что первая разность в правой части (24.86) симметрична относи- тельно пар индексов pq и lm. Так как и вторая разность также симметрична относительно тех же пар индексов, то и третье свойство доказано. Нетрудно заметить, что на основании (24.93) можно доказать кососимметричность первой раз- ности в правой части (24.86) как относительно индексов p и q, так и относительно индексов l и m. На доказательстве четвертого свойства (24.91), которое можно проверить непосредственно, мы останавливаться не будем. Заметим, что в указанной выше литературе можно найти иные пути доказательств этих свойств. Тождества Ламе. Равенство нулю компонент тензора Римана-Кристоффеля (24.90) в трехмерном евклидовом пространстве дают 81 тождество. Однако, можно доказать, что вследствие существования у компонент тензора кривизны свойств симметрии (24.91) независимых тождеств получится только шесть. Эти тождества были получены Ламе за пятьдесят лет до возникновения тензорного анализа и носят его имя. Получим тождества Ламе [14, 27]. С этой целью образуем компоненты тензора второго ранга Skl = 1 Ckpq lst ···· 4 ··· C··· Rpqst, (24.95) 24. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОМПОНЕНТ ВТОРЫХ ТЕНЗОРОВ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПОСРЕДСТВОМ ОСНОВНЫХ КОМПОНЕНТ ЕТВР 183 где Ckpq - компоненты дискриминантного тензора. Умножая обе части (24.95) на C··· C · · · с по- ·· · следующим суммированием по k и l и осуществляя простые выкладки, получим ijk mnl R ··· · ··· · · · kl ijmn = Cijk CmnlS , (24.96) В силу (24.95) и (24.96) легко убеждаемся в справедливости следующего утверждения: Утверждение 24.1. Для равенства нулю всех компонент тензора Римана-Кристоффеля необходимо и достаточно равенство нулю компонент тензора второго ранга Skl. Покажем, что Skl = Slk, т. е. Skl - симметричная матрица. Из третьего свойства (24.91) имеем Skl = 1 Ckpq lst ···· 1 kpq lst ···· 1 lstCkpq ···· lk 4 ·· · C··· Rpqst = 4 C··· C··· Rstpq = 4 C··· ··· Rstpq = S . Таким образом, среди компонент тензора Римана-Кристоффеля независимых компонент толь- ко шесть (24.95), а остальные компоненты выражаются через эти шесть компонент посред- ством (24.96). Поэтому тождественное равенство нулю тензора Римана-Кристоффеля дает всего шесть независимых тождеств, которые называются тождествами Ламе. Итак, искомые тождества получим, если элементы матрицы Skl приравняем нулю, т. е. Skl = 1 Ckpq lst ···· или в матричном виде 4 ··· C··· Rpqst = 0, ⎛ R ···· ···· ···· ⎞ 2323 R2331 R2312 matr(Skl) = 1 ⎜ R ···· R ···· ···· ⎟ g ⎝ 3123 3131 R3112 ⎠ = 0. (24.97) R ···· ···· ···· 1223 R1231 R1212 Учитывая симметричность Skl, тождества Ляме можно представить в виде следующих соотноше- ний: 2323 = 0, R3131 = 0, R1212 = 0, R ···· ···· ···· 2331 = 0, R2312 = 0, R3112 = 0. R ···· ···· ···· Следует заметить, что вышеприведенную теорему можно сформулировать и по другому. Теорема 24.2. Для коммутативности операций обычного дифференцирования принадлежа- щего классу Ck, k 2, тензора ранга не меньше единицы и ковариантного дифференцирования компонент того же тензора необходимо и достаточно выполнение тождеств Ламе. Сформулируем еще одну теорему. Теорема 24.3. Для коммутативности операции обычного дифференцирования принадлежа- щего классу Ck, k 2, тензора необходима и достаточна коммутативность операции кова- риантного дифференцирования компонент того же тензора. Теперь представим тождества Ламе в удобном для дальнейшего пользования виде. В этой связи заметим, что Skl ∼ (SKL, SK3, S33). (24.98) Тогда тождества Ламе приобретут вид SKL = 0, SK3 = 0, S33 = 0. (24.99) В силу (24.95) левые части (24.99) представятся в виде SKL = CKP CLS · · · · K3 1 KP ST · · · · 33 1 PQ ST · · · · = C C R , S · · · · RP 3S3, S 2 ·· ·· P 3ST = C C R . (24.100) 4 · · · · P QST Аналогично из (24.96) получим обратные к (24.100) соотношения. Имеем R · · · · · · · · KL · · · · · · · · · · · · K3 P 3S3 = CPKCSLS , RP 3ST = RST P 3 = CST CKP S , (24.101) R · · · · · · · · 33 · · · · ···· P QST = CPQCST S = EPQEST R1212. Следует заметить, что соотношения (24.101) можно было получить и непосредственно из соот- ветствующих соотношений (24.100), разрешая их относительно искомых величин. 184 ГЛАВА 6. НОВАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА Очевидно, тождества Ламе получаются приравниванием к нулю как соотношений (24.100), так и соотношений (24.101). Таким образом, в силу (24.98)-(24.101) заключаем, что pqst ∼ (RP 3S3, RP 3ST , RP QST ), R ···· · · · · · · · · · · · · и тождества Ламе можно представить и в виде P 3S3 = 0, RP 3ST = 0, RP QST = 0. (24.102) R · · · · · · · · · · · · Этим мы будем пользоваться в дальнейшем для вывода аналогичных соотношений при новой параметризации области тонкого тела в R3. 25. О ТЕНЗОРАХ РИМАНА-КРИСТОФФЕЛЯ ПРИ НОВОЙ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА В R3 Как известно, при новой параметризации области тонкого тела в R3 представление произволь- ного вектора A дается соотношением (20.54). Поэтому в рассматриваемом случае, например, со- отношение (24.89) представится в виде ∂q∂pA - ∂p∂q A = (∇q∇pAm˜ - ∇p∇q Am˜ )rm˜ = R ··· m˜ A˜lrm˜ = R ··· t˘As˘r˘, , ∈ {-, ∞, +}. p˜q˜˜l· p˘q˘s˘· t ∼ Отсюда в силу (20.12) и подобных формул для компонент вектора аналогично (21.5) получаем R ··· m˜ = gm˜ n˜ R ···· s˘ m˜ ··· t˘ s˘ m˜ t˘ ···· p˜q˜˜l· p˘q˘˘ln˘ = g˜l gt˘ Rp˘q˘s˘· = g˜l g Rp˘q˘s˘t˘, ∼, ∈ {-, ∞, +}, (25.1) где аналогично (24.76) и (24.86) имеем R ··· m˜ = ∂q Γm˜ m˜ n˜ Γm˜ n˜ Γm˜ p˜q˜˜l· ˜lp˜ - ∂pΓ˜lq˜ + Γ˜lp˜ n˜q˜ - Γ˜lq˜ n˜p˜, (25.2) R ···· n˜ Γm˜ p˜,n˜ - Γn˜ Γm˜ q˜,n˜ , ∼, ∈ {-, ∞, +}. p˜q˜˜lm˜ = ∂q Γ˜lp˜,m˜ - ∂pΓ˜lq˜,m˜ + Γ˜lq˜ ˜lp˜ Очевидно, представление тензора Римана-Кристоффеля при новой параметризации области тон- кого тела в R3 будет иметь вид R = R ···· p˜ q˘ ˆl mˇ p˜q˘ˆlmˇ r r r r , ∼, , ∧, ∨ ∈ {-, ∞, +}. (25.3) Закон перехода от одно системы координат к другой задается в виде специальной группы преобразования й xI∗ = xI∗ (x1, x2), x3∗ = x3, (25.4) т. е. в дальнейшем, говоря о тензорах или о компонентах тензора, всегда будем полагать, что они являются тензорами или компонентами тензора относительно группы преобразования (25.4). Ниже рассмотрим подробнее компоненты тензора Римана-Кристоффеля и тождества Ламе для различных семейств параметризаций области тонкого тела в R3. Иными словами, рассмотрим их в различных семействах базисов. Компоненты тензора Римана-Кристоффеля и тождества Ламе для (-) S (-)-семейства паg раметризации. В этом случае ковариантные компоненты тензора Римана-Кристоффеля можно получить из второго соотношения (25.2) при ∼ = -, т. е. имеем R ···· = ∂q Γ ∂ Γ n - - p -- - +Γ Γ- n - - Γ--Γ- . (25.5) t -p -q -s - -s -p, t - s p, t -s -q t -p,-n s p t -q ,-n В рассматриваемом случае матричное соотношение (24.97), очевидно, представится в виде R ⎛ ···· ---- 2 3 2 3 ⎜ -- matr(Sk l ) = (-g) -1 ⎜ R ···· R ···· ---- 2 3 3 1 R ···· R ···· ⎞ ---- 2 3 1 2 ⎟ R ···· ⎟ (25.6) ⎜ ---- 3 1 2 3 ---- 3 1 3 1 ---- 3 1 1 2 ⎟ = 0. R ⎝ ···· ---- 1 2 2 3 R ···· ---- 1 2 3 1 R ···· ⎠ ---- 1 2 1 2 - Заметим сразу, что в рассматриваемом случае ∂3r s / = ∂sr-, поэтому третье свойство (24.91) 3 компонент Римана-Кристоффеля R ···· t -p -q -s - не выполняется, если, например, один из индексов равен трем. В этой связи следует более подробно рассматривать матричное соотношение (25.6) и изучать 25. О ТЕНЗОРАХ РИМАНА-КРИСТОФФЕЛЯ ПРИ НОВОЙ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА В R3 185 в отдельности каждое его соотношение, выделяя из них существенные тождества Ламе, из которых в свою очередь получаются уравнения Гаусса и Петерсона-Кодацци. Учитывая первое соотношение (23.4) и последнее соотношение (23.7), нетрудно заметить, что, если хотя бы один из индексов p и q равен трем, то компоненты тензора Римана- Кристоффеля (25.5) равны нулю, так что в правой части (25.5) каждое слагаемое равно нулю. Отсюда заключаем, что соотношения, получаемые из первых двух строк (25.6) рассматривать не следует. Они выполняются, но ничего нового не дают. Остаются соотношения последней стро- ки (25.6) R ···· ---- 1 2 2 3 R = 0, ···· ---- 1 2 3 1 R = 0, ···· ---- 1 2 1 2 = 0, (25.7) являющиеся в рассматриваемом случае существенными тождествами Ламе. Учитывая, что R ···· = -R ···· = 0, R ···· = E ·· ·· ···· , ---- P QS 3 ---- P Q 3 S ---- P QST PQEST R---- 1 2 1 2 (25.8) соотношения (25.7) можно представить, например, в виде или R ···· ---- P QST - R = 0, ···· ---- P QS 3 - R = 0, ( ···· ---- P QS t - = 0), (25.9) R ··· T --- P QS· R = 0, ··· 3 --- P QS· R = 0, ( ··· t --- P QS· = 0). (25.10) Итак, предметом нашего исследования является (25.9) или (25.10). Рассмотрим каждое соотно- шение в отдельности, например, в (25.9). Первое соотношение (25.9) в силу (25.5) представится в виде R 0 = ···· ---- Q -- - - p -- - +Γ = ∂ Γ ∂ Γ -n -- - Γ-- n - - Γ-- - Γ-- = P QST SP ,T SQ,T - N SQ T P,n - 3 SP T Q,n - - N 3 SP ,T = ∂QΓ-- - p +Γ Γ-- - -- Γ-- - SP -- -- - -- -- - - ∂ Γ-- - SQ SQ,T +Γ -- T P ,N SQ - - T P, 3 - Γ -- Γ - Γ T Q,N SP Γ = T Q, 3 SP ,T - ∂ Γ-- - N N -- T P ,N - Γ-- + g T Q,N 3 k (Γ Γ SQ,k T P, 3 Γ SP,k Γ ) = T Q, 3 = ∂QΓ-- - p SQ,T +Γ Γ-- - SQ - N Γ-- - SP - N -- - ( - - 3 K -- - - -- - -- - )+ SP ,T - ∂ Γ-- - -- T P ,N - Γ-- + g T Q,N Γ Γ SQ,K T P, 3 SP ,K T Q, 3 = ∂QΓ-- - -- p SQ,T +Γ Γ-- - SQ Γ-- - SP -- - -- - - Γ-- - Γ-- - +g 3 3 (Γ -- - SQ, 3 Γ-- - T P, 3 - Γ-- - SP, 3 Γ-- -). T Q, 3 Далее, учитывая выражения символов Кристоффеля из (23.6), преобразуем последнее слагаемое в правой части этого соотношения. Имеем ( -- g 3 3 Γ -- - SQ, 3 Γ-- - T P, 3 - Γ-- - SP, 3 Γ-- - T Q, 3 -- ) = g 3 3 1∂Q g--∂P S 3 g-- T 3 - ∂P g-- S 3 ∂Qg-- T 3 + ∂Q g-- S 3 ( g-- P T - g+ - )- P T -∂P g--(g-- ) (g + - + ∂P g-- -- ) (g + - - ∂Qg-- -- )l +- + S 3 QT - gQT -- T 3 QS - gQS T 3 P S - gP S -- +g 3 3 1(g QS - g+ - QS g )( -- P T - g+ - P T ) - (g-- P S - g+- P S g )( -- QT - g+ - QT )l. Учитывая последнее и предпоследнее соотношения и вводя обозначение R ···· = ∂QΓ-- - - ∂pΓ + ΓN Γ-- - - N Γ Γ-- - + g ( 3 K - - Γ-- - Γ-- -- ---- P QST -- - SQ SP ,T - SQ,T SP -- T P ,N - -- T Q,N SQ,K T P, 3 -Γ-- - Γ-- -) + g 1 3 3 -- ∂Qg--∂P g-- P - Q - Q -(g-- - - g+ - ) (25.11) SP ,K T Q, 3 S 3 T 3 - ∂ g- ∂ S 3 g- + ∂ g- T 3 S 3 P T P T -∂P g--(g-- ) (g + - + ∂P g-- -- ) (g + - - ∂Qg-- -- )l +- , получим S 3 QT - gQT T 3 QS - gQS T 3 P S - gP S R ···· ---- P QST = R ···· ---- P QST -- -- + g 3 3 1(g QS - g+ - QS g )( -- P T - g+ - P T ) - (g-- P S - g+- P S g )( -- QT - g+ - QT )l = 0. 186 ГЛАВА 6. НОВАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА Отсюда в свою очередь имеем R ···· ---- -- -- = g 3 3 1(g - g+- )( ) g - g -- + - - g - g ( -- + - g - g )( -- + - )l. (25.12) P QST P S P S QT QT QS QS P T P T Правая часть (25.12) (как сумма произведений компонент ЕТВР при новой параметризации -- области тонкого тела и с учетом того, что g 3 3 - инвариант) образует ковариантные компоненты тензора четвертого ранга. Поэтому и правая часть, выражающаяся еще в виде (25.11), является компонентами тензора четвертого ранга. Вспомним, что тензориальность величин рассматривается относительно группы преобразований (25.4). Нетрудно доказать, что компоненты (25.11) обладают аналогичными (24.91) свойствами. В са- мом деле, эти свойства вытекают из соотношения (25.12), точнее, из его правой части. Докажем их еще другим путем. В частности, преобразуем правую часть (25.12), приведя ее к такому виду, на основании которого легко доказываются приведенные выше свойства. Имеем ( g-- - g+- )( ) g - g -- + - - g - g ( -- + - g - g + = )( ) -- - P S P S QT QT QS QS P T P T g = EPQ1(g-- + )( - + ) - (g- g - g )( + - +- S T 1T )l = (25.13) - - = EPQEKL(g KS Рассмотрим выражение - g + - KS g )( -- LT - g+- ). LT A-- ≡ E g - g KL( - - + - )(g-- - g+- ) = -E g - g LK ( -- +- )(g - - - g + -) = -A--. ST KS KS LT LT LT LT KS KS T S Итак, A-- - кососимметричная матрица. Поэтому ST A-- = EST A-- = EST E g KL( - - g )( K - -- - g+- ) = EST det (g - g + - ). ST 1 2 K 1 - g + 1 L 2 L 2 - - KM KM Учитывая последнее соотношение в (25.13), получим ( g-- - g+- )( ) g - g -- + - - (g-- - g+ - g - g )( ) -- + - g = EPQEST det ( - - + - ). (25.14) P S P S QT QT QS QS P T P T KM - gKM В силу (25.14) соотношение (25.12) представится в искомом виде PQ ST ( -- - - R · · · · = E E g 3 3 det g KM ---- P QST - g + - KM ). (25.15) Учитывая свойства символов Леви-Чивиты, из (25.15) видно, что компоненты R · · · · ---- P QST обладают аналогичными (24.91) свойствами. Заметим, что соотношение (25.15) является аналогом уравнения Гаусса при (-) 3 S (-)-семействе параметризации области тонкого тела в R g в том случае, когда h не перпендикулярен к базовыми поверхностями (-) S и (+) S. Теперь найдем выражение детерминанта в правой части (25.15). Имеем - - det (g KM - g + - KM 2 - - ) = 1 EKLEMN (g KM - g + - KM g )( - - LN - g+ - ) = LN (-) 1 - - - - = g CKLCMN (g - g )(g - g ) = 2 (-) 1 ·· ·· - - - - + - - - KM KM LN - - - - + - LN (-) - - = g CKLC ·· (gM - gM )(gN - gN ) = g det (gJ - gJ ) = 2 ·· (-) 1 - - - + - + MN K K L L - - - - - + I I - - - - g = g EKLE·· 1gM gN ( M gN + g g ) + gM gN l = (-g)11 g I + det (gJ )l, т. е. 2 ·· MN - - - K L - + K L (-) - - + - LN KM - - + + - + + K L I I (-) - - det (g - g ) = g det (gJ - gJ ) = g 11 - g I + det (gJ )l. (25.16) - - + - KM KM - + + + I I I I На основании (25.16) уравнение (25.15) получит более удобный вид -- - - R ···· = C ·· R·· g 3 3 det 11 - g I + det (gJ )l. (25.17) ---- P QST -- -- + + P Q ST I I 25. О ТЕНЗОРАХ РИМАНА-КРИСТОФФЕЛЯ ПРИ НОВОЙ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА В R3 187 Заметим, что для получения уравнения Гаусса мы могли поступить иначе. В частности, первое соотношение (25.9) можно было представить в виде R ···· = ∂QΓ-- - - N ∂pΓ-- - +Γ Γ-- - - N Γ Γ-- - + g- - - (Γ3 ΓK ) - - 3 - Γ ΓK + ---- P QST SQ SP ,T - - - SQ,T - - SP -- T P ,N - -- T Q,N - -- -- 3 K SQ T P -- -- SP T Q 3 -- +g (Γ Γ3 3 3 -- -- SQ T P 3 - Γ-- SP Γ3 ) = 0. -- T Q Отсюда, вводя обозначение R ···· = ∂QΓ-- - - N ∂pΓ-- - +Γ Γ-- - - N Γ Γ-- - + g- - - (Γ3 ΓK ) - - 3 - Γ ΓK , имеем ---- P QST SQ SP ,T - SQ,T SP -- T P ,N - -- T Q,N - -- -- 3 K SQ T P -- -- SP T Q R ···· ---- P QST - 3 -- - = g (Γ Γ3 3 3 -- -- P S QT 3 3 - - - Γ--Γ-- QS P T ). (25.18) Теперь, умножая обе части последнего соотношения (24.13) на C ·· C ·· и учитывая свойства компонент дискриминантного тензора, получим P˘Q˘ S˘T˘ ˘˘ ('-') 1 g33 KC ·· ·· C CI˘J˘ CL˘M˘ Γ 3˘ Γ˘3 = P˘Q˘ CS˘T˘ = 2 C ·· ·· P˘Q˘ ·· S˘T˘ ·· I˘L˘ J˘M˘ = 1 (δI δJ - δJ δI )(δLδM - δM δL)Γ˘3 Γ˘3 = Γ˘3 Γ˘3 Γ - 3˘ Γ˘3 , т. е. 2 P Q P Q S T S T I˘L˘ J˘M˘ P˘S˘ Q˘T˘ P˘T˘ Q˘S˘ ˘˘ ('-') g33 KC ·· ·· ˘3 Γ˘3 3˘ ˘3 P S QT - ΓP T ΓQS, ∈ {-, ∞, +}. (25.19) P˘Q˘ CS˘T˘ = Γ ˘ ˘ ˘ ˘ ˘ ˘ ˘ ˘ В силу (25.19), предварительно записывая его при = -, соотношение (25.18) представится в виде -- R · · · · = g g ---- --(-) 3 3 KC · · C -- · · . (25.20) -- P QST 3 3 P Q ST Сравнивая (25.20) с (25.17), можно утверждать, что (-) - - - (∓) K = g-111 - g I + det (gJ )l = h-2(1 - g I + ϑ ). (25.21) -- + + + 3 3 I I I (-) На основании второго соотношения (24.16) и (25.21) заключаем, что гауссова кривизна K в (-) (-) том случае, когда h не перпендикулярен S, имеет такое же выражение, что и при h⊥ S, несмотря на то, что основные компоненты переноса ЕТВР при рассматриваемых случаях имеют различные значения. Теперь рассмотрим второе соотношение (25.9). Это соотношение в силу (25.5) можно записать в форме R ···· = ∂QΓ-- - ∂ Γ n - P -- - +Γ Γ- Γ-n Γ = 0. (25.22) ---- P QS 3 SP, 3 - SQ, 3 - - -- - - SP SQ 3 P ,n - -- 3 Q,-n Записывая (23.6) при = -, имеем ∂QΓ-- - = ∂Q∂P g-- + ∂Q(g-- ) +- , SP, 3 S 3 P S - gP S ∂P Γ-- - = ∂P ∂Qg-- + ∂P (g-- ) + - . SQ, 3 S 3 QS - gQS Вычитая из первого соотношения почленно второе, получим - ∂ ∂QΓ-- - P SP, 3 Γ-- - = ∂ 3 Q(g-- - g+-) - ∂P ( g-- - g+ - ). (25.23) SQ, P S P S QS QS Аналогично, представляя второе соотношение (23.4) при = -, а потом учитывая во второй разности (25.22), будем иметь Γ-n -- Γ-- - n - - Γ-- Γ-- - n ( - = Γ g+ -- - ) - g-- n - - Γ-- (g+ - - g-- ). (25.24) SQ 3 P,n SP 3 Q,n SQ P n P n SP Qn Qn 188 ГЛАВА 6. НОВАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА +- Подставляя (25.23) и (25.24) в (25.22) и, кроме того, добавляя и вычитая выражение (g - nS g ) -n , получим S n -- Γ-- P Q - R ∇P · · · · = ---- P QS 3 (g+ - - QS g--) QS - ∇Q (g+- - P S g-- P S ) = 0. Отсюда в свою очередь имеем ( - QS - gQS ) = - ( gP S - (g S + g ), - - P S Q - S ) - - Q (g - + S - g P - S ), (25.25) - P или, учитывая, что S - - - из (25.25) получим ∇P g-- = 0, QS ∇P g- = 0, (25.26) Q S - S - - - - - ∇P g+ - = ∇Qg+-, ∇P g+ = ∇Qg+ . (25.27) QS P S Q P - (-) Здесь ∇P - (пространственный) оператор ковариантного дифференцирования при параметризации области тонкого тела в R3. S (-)-семействе g Соотношения (25.25) или получаемые из них соотношения (25.27) представляют аналог уравне- (-) 3 ний Петерсона-Кодацци при S (-)-семействе параметризации области тонкого тела в R . g Очевидно, если бы мы исходили из соотношений (25.10), то получили те же самые соотношения. Заметим, что имеют место соотношения - - - (-) - (-) (∇P r- = ∇Qr- = 0) ⇔ (∇P ∂Q r = ∇Q∂P r = 0). (25.28) Q P - Заметим также, что в силу определения ковариантной производной ∇K справедливы равенства m- (+) m- ∇P r+ = ∂P r+ - rm- Γ-- = ∂P ∂Q r - rm- Γ-- , Q Q QP m- QP (+) m- ∇Qr+ = ∂Qr+ - rm- Γ-- = ∂Q∂P r - rm- Γ-- , P P P Q P Q из которых видно, что верны формулы - - - (+) - (+) (∇P r+ = ∇Qr+ ) ⇔ (∇P ∂Q r = ∇Q∂P r ). (25.29) Q P Вычитая из (25.29) почленно (25.28), получим - - - - (∇P (r+ - r- ) = ∇Q(r+ - r- )) ⇔ (∇P ∂Qh = ∇Q∂P h). (25.30) Q Q P P Далее, умножая обе части (25.30) на x3 и потом прибавляя почленно к равенству (25.28), будем иметь - - ∇P ∂Qr = ∇Q∂P r. (25.31) Очевидно, из (25.31) при x3 = 0 получаем (25.28), а при x3 = 1 получаем (25.29). Вычитая из (25.30) почленно (25.31), получим (25.29). S - Умножая скалярно обе части (25.30), (25.28) и (25.29) на r- и r S и учитывая - ∇K r- = 0, L - - ∇K rL = 0, получим соотношения (25.25)-(25.27) соответственно. Таким образом, имея соотношение (25.31), можно получить (25.25), (25.27), (25.28) и (25.30). 25. О ТЕНЗОРАХ РИМАНА-КРИСТОФФЕЛЯ ПРИ НОВОЙ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА В R3 189 Умножая обе части соотношений - - - - - - S S ∇P g-- = ∇Qg--, ∇P g- = ∇Qg- , QS P S Q P S - получаемых при умножении обеих частей (25.28) на r- и r S соответственно, на 1 - x3, а соотно- шений (25.27) - на x3 и складывая полученные равенства почленно, будем иметь S - S - - - - - ∇P g - = ∇Qg -, QS P S ∇P gQ = ∇QgP . (25.32) Следует заметить, что аналогичное второму соотношению (25.32) соотношение при классиче- ской параметризации (когда в качестве базовой рассматривается срединная поверхность) области тонкого тела в R3 приведено в монографии [63, соотношение (1.3.44)]. Заметим также, что компоненты тензора Римана-Кристоффеля и тождества Ламе при (-) S (-)- g семействе параметризации области тонкого тела рассматриваются совершенно аналогично рас- смотренному случаю, поэтому на этом случае мы останавливаться не будем. Ниже рассмотрим их при Sg -семействе параметризации области тонкого тела в R3. Компоненты тензора Римана-Кристоффеля и тождества Ламе при Sg-семействе па- раметризации. В рассматриваемом случае чисто ковариантные компоненты тензора Римана- Кристоффеля получим из второго соотношения (25.2) при ∼ = ∅ R ···· n n pqst = ∂q Γsp,t - ∂pΓsq,t + Γsq Γtp,n - ΓspΓtq,n. (25.33) Эти компоненты обладают свойствами, аналогичными (24.91), поэтому в этом случае тождества Ламе представляются в виде соотношений (24.102). Наша задача заключается в рассмотрении каждого из них. Учитывая (25.33), первое соотношение (24.102) можно записать в виде R ···· n n P 3S3 = ∂3ΓSP,3 - ∂P ΓS3,3 + ΓS3Γ3P,n - ΓSP Γ33,n = 0. (25.34) На основании (23.4), (23.6) и (23.7) из (23.8), производя простые выкладки, получаем - ΓSP,3 = ΓP S,3 = ∂P gS3 - gk (g+ ), ΓS3,3 = Γ3S,3 = ∂3gS3 = g - g , S - - g-- P +- -- k P k - - m- m- S 3 S 3 (25.35) Γn n n (gk k ), ΓP 3,n = Γ3P,n = g (g - g ), Γ33,n = 0. S3 = Γ3S = g- + - g- nm- + - k S S P P Подставляя (25.34) в (25.33), имеем ···· (RP 3S3 = 0) ⇒ 1∂P (g+- - g--) - ∂S (g+- - g--) = 0l. S 3 S 3 P 3 P 3 Отсюда, добавляя и вычитая недостающие до ковариантных производных слагаемые, будем иметь - ( ) - g g+ ∇P - -- S 3 - = ∇S - (g+ - g--), или S 3 ∇P (g+- -) P 3 P 3 S ( - -) (25.36) S 3 - g- = ∇ S 3 g+ - g- , P 3 P 3 где ∇P - оператор (пространственный) ковариантного дифференцирования при Sg -семействе па- раметризации области тонкого тела в R3. P 3ST Теперь рассмотрим второе соотношение (24.102). Так как R ···· = R ···· ST P 3 , то вместо упомяну- P QS3 того соотношения можно рассматривать R ···· = 0, которое в силу (25.33) представится в виде R ···· n n P QS3 = ∂QΓSP,3 - ∂P ΓSQ,3 + ΓSQΓ3P,n - ΓSP Γ3Q,n = 0. Учитывая соответствующие соотношения (25.35), после простых преобразований получим (R ···· P QS3 = 0) ⇒ 1∇P (g+ g- ) = ∇Q (g+ g- )l. (25.37) QS QS PS PS Нетрудно заметить, что (25.36) и (25.37) можно объединить и представить одним соотношением ∇P (g+ - g- ) = ∇Q(g+ - g- ) (25.38) Qs Qs Ps Ps 190 ГЛАВА 6. НОВАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА или ∇P (gs gs ) = ∇Q(gs - gs ). (25.39) + - + - Q Q P P Из (25.38) и (25.39) посредством элементарных преобразований следуют соотношения Q˘ ∇P gQ˘s = ∇QgP˘s, ∇P gs P˘ = ∇Qgs , ∈ {-, +}. (25.40) Соотношения (25.38)-(25.40) представляют аналоги уравнений Петерсона-Кодацци, представ- ленных в различных формах, при Sg -семействе параметризации области тонкого тела в R3. Легко видеть, что верны равенства (-) (-) (-) PQ ∇P ∂Q r = ∂P ∂Q r - ∂M r ΓM = ∇P r- , Q (25.41) ∇Q∂P Q P (-r) = ∂ ∂ r (-) - -r ΓM ( ) ∂M QP = ∇Qr- , P на основании которых можно написать (-) (-) (∇P r- = ∇Qr- ) ⇔ (∇P ∂Q r = ∇Q∂P r ). (25.42) Q P Аналогично (25.41) находим формулы (+) (+) (+) (+) (+) (+) ∇P ∂Q r = ∂P ∂Q r - ∂M r ΓM = ∇P r+ , ∇Q∂P r = ∂Q∂P r - ∂M r ΓM = ∇Qr+ , в силу которых имеем PQ Q (+) (+) QP P (∇P r+ = ∇Qr+ ) ⇔ (∇P ∂Q r = ∇Q∂P r ). (25.43) Q P Вычитая из (25.43) почленно (25.42), будем иметь (∇P (r+ - r- ) = ∇Q(r+ - r- )) ⇔ (∇P ∂Qh = ∇Q∂P h). (25.44) Q Q P P Умножая обе части первого соотношения (25.42) на 1 - x3, а (25.43) - на x3 и потом складывая полученные равенства почленно, найдем ∇P ∂Qr = ∇Q∂P r. (25.45) Заметим, что (25.45) можно еще получить, если обе части равенства (25.44) умножить на x3 и потом прибавить почленно к соотношению (25.42). Нетрудно усмотреть, что, имея соотношение (25.45), можно получить все соотношения (25.38)- (25.44). Остается рассмотреть третье соотношение (24.102). В силу (25.33) имеем 0 = R ···· n n P QST = ∂QΓSP,T - ∂P ΓSQ,T + ΓSQΓTP,n - ΓSP ΓT Q,n = ∂QΓSP,T - ∂P ΓSQ,T + SQ SP SQ SP Γ = ∂ Γ - ∂ Γ + Γ SQ N ΓTP,N - -ΓN ΓT Q,N + g3K (Γ3 ΓK - Γ3 ΓK )+ g33(Γ3 Γ3 - Γ3 Γ3 ). SP Вводя обозначение R ···· SQ TP SP TQ N SQ TP N SP TQ 3 K 3 K P QST = ∂QΓSP,T - ∂P ΓSQ,T + ΓSQΓTP,N - ΓSP ΓT Q,N + g3K (ΓSQΓTP - ΓSP ΓTQ), (25.46) из предыдущего соотношения получаем R ···· ···· 3 3 3 3 P QST = RP QST + g33(ΓSQΓTP - ΓSP ΓTQ) = 0. Отсюда в свою очередь следует R ···· 3 3 3 3 P QST = g33(ΓSP ΓTQ - ΓSQΓTP ). (25.47) Учитывая в правой части (25.47) значение разности произведений символов Кристоффеля из (25.19) при = ∅, будем иметь R ···· 33 · · · · P QST = g33g KCPQCST . (25.48) Очевидно, в силу (25.48) можно утверждать, что (25.46) являются компонентами тензора четвер- того ранга относительно группы преобразований (25.4), а также то, что они обладают свойствами, аналогичным (24.91). 25. О ТЕНЗОРАХ РИМАНА-КРИСТОФФЕЛЯ ПРИ НОВОЙ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА В R3 191 Поступая так же, как и при выводе соотношения (25.12), в рассматриваемом случае аналогичное соотношение представим в виде R ···· P QST = g g 331( - + )(g g+ ) - (g- g - g+ )( - g+ )l. (25.49) - PS - gPS QT QT QS QS PT PT Далее, преобразуя правую часть (25.49) аналогично правой части (25.12), получим ···· RP QST = EPQEST g33 - det (g MN - g + MN ). (25.50) Нетрудно заметить, что для определителя в правой части (25.50) имеем - det (g g + - ) = 1 EIJ EKL(g g+ g )( - - g+ ) = MN MN 2 1 IK IK JL JL 1 = gCIJ CKL(g - g )(g - g ) = gCIJ C · · (gK - gK )(gL - gL) = g det (gK - gK ), 2 т. е. IK · · · · - + - + IK JL JL 2 · · KL - I + - + - + I J J I I det (g - g ) = g det (gK - gK ). - + - + MN MN I I Учитывая (25.51) и (25.50), получим (25.51) P QST = CPQCST g det (g - g ). R ···· · · · · 33 K K - + I I (25.52) Сравнивая (25.48) и (25.52), заключаем, что K = g-1 det (gK - gK ). 33 - + I I (25.53) Придадим (25.53) другой вид. В этой связи в правой части (25.53) преобразуем определитель. В силу (20.16), (20.18) и (25.16) имеем - - - - (-) - - det (gK - gK ) = det 1gK (gJ - gJ )l = det (gK ) det (gJ - gJ ) = ϑ -111 - g I + det (gJ )l. (25.54) - + - - + I I J I I - - + + + L I I I I Подставляя (25.54) в (25.53) и учитывая (25.21), найдем искомые выражения для K, а именно (-) - - (-) (-) K = ϑ -1g-111 - g I + det (gJ )l = ϑ -1 K. (25.55) 33 + + I I На основании (25.55) заключаем, что второе соотношение (24.25) имеет место и в том случае, (-) когда h не перпендикулярен S. Ниже приведем формулировку фундаментальной теоремы теории поверхностей и, резюмируя изложенное выше, дадим формулировку аналогичной теоремы для области тонкого тела в R3. Теорема 25.1 (фундаментальная теорема теории поверхностей). Задание двух любых тензо- ров E = gIJ rI rJ , b = bIJ rI rJ , первый из которых является пол ожительно опр еделенным и компоненты которых связаны между собой уравнениями Гаусса и Петерсона-Кодацци, необходимо и достаточно для суще- ствования и единственности с точностью до движения в R3 некоторой регулярной поверхно- сти, для которой эти тензоры являются первым и вторым тензорами. Заметим, что необходимая часть этой теоремы - теорема Бонне [11, 51]. Теорема 25.2 (фундаментальная теорема о параметризации области тонкого тела в R3). Задание единичного тензора второго ранга, представленного в виде E = gpˆq˘rpˆrq˘, ∧, ∈ {-, ∅, +}, необходимо и достаточно для с уществования и единственности с точностью до движения в R3 некоторой регулярной области тонкого тела при ее новой параметризации. При этом число независимых основных компонент ЕТВР зависит от типа семейства параметризации. 192 ГЛАВА 6. НОВАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ ТОНКОГО ТЕЛА ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА Упражнение 1. Осуществить все построения четвертой главы, если радиус-вектор ˆr(x×, x3) про- извольной точки тонкого тела задается соотношением ˆr(x×, x3) = r(x×)+ 1h(x×)x3 + h¯(x×)ln(x×), -1 x3 1, (+) (-) (+) (-) где h(x×)= (1/2)1 h (x×)+ h (x×)l, h¯(x×)= (1/2)1 h (x×)- h (x×)l, r(x×) - радиус-вектор произвольной точки базовой поверхности, которая не является срединной поверхностью. Указание. При дифференцировании ˆr(x×, x3) ввести обозначение rpˆ = ∂pˆr(x×, x3) и индекс с кры- шечкой сохранить для геометрических объектов в произвольной точке тонкого тела. Например, gpˆqˆ = rpˆ · rqˆ, gpˆqˆ = rpˆ · rqˆ, rpˆ = (1/2)Cpˆqˆsˆrqˆ × rsˆ и т. д. Такое представление радиус-вектора удоб- но во многих случаях, особенно тогда, когда при построении тонких тел используются системы классических ортогональных полиномов (Лежандра, Чебышева первого и второго родов) [45]. Упражнение 2. Придумать представление радиус-вектора произвольной точки области стерж- ня с поперечным сечением в виде прямоугольника, когда в качестве базовой рассматривается произвольная кривая внутри области [44]. Упражнение 3. Придумать представление радиус-вектора произвольной точки области стерж- ня с поперечным сечением в виде параллелограмма, когда в качестве базовых рассматриваются граничные кривые области стержня [44].