Коэрцитивная разрешимость нелокальных краевых задач для параболических уравнений

Аннотация

В произвольном банаховом пространстве E рассматривается нелокальная задача v'(t) + A(t)v(t) = f(t) (00). Устанавливается коэрцитивная разрешимость задачи в банаховом пространстве C0α,α([0, 1], E) (0<α<1) с весом (t + τ )α - результат, который прежде был известен лишь для постоянного оператора. Рассматриваются приложения в классе параболических функционально-дифференциальных уравнений с преобразованием пространственных переменных и параболических уравнений с нелокальными условиями на границе области. Таким образом, охвачен случай параболического уравнения с нелокальными условиями как по времени, так и по пространственным переменным.

Полный текст

1. ВВЕДЕНИЕ Работа состоит из двух частей. Первая часть посвящена нелокальной краевой задаче v×(t)+ A(t)v(t) = f (t) (0 t 1), v(0) = v(λ)+ μ (0 <λ 1) (1.1) в произвольном банаховом пространстве E для абстрактного зависящего от t оператора A(t). Здесь v(t) и f (t) - искомая и заданная функции, определенные на [0, 1] со значениями в E; v×(t) - производная, понимаемая как предел по норме E соответствующего конечно-разностного отношения; A(t) - действующий в E линейный неограниченный оператор, имеющий не зависящую от t всюду плотную в E область определения D; μ ∈ D. Основной результат первой части - теорема 2.1 о разрешимости и оценках решений задачи (1.1). Во второй части рассматриваются приложения к различным операторам A(t) ≡ A, в свою очередь, нелокальным. Ниже во введении приводятся необходимые определения и обозначения и даются ссылки на уже известные результаты. Будем предполагать, что 1. при любых t ∈ [0, 1] и ρ ∈ C, где Re ρ 0, оператор A(t)+ ρI имеет ограниченный обратный, причем 1 11 1 1[A(t)+ ρI]- 1 M (1 + |ρ|)- (1.2) 1 1 E→E ∗c 2016 РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ 140 КОЭРЦИТИВНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛОКАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 141 (согласно [5], оператор A(t) принято называть сильно позитивным); 2. для любых t, s, τ ∈ [0, 1] справедливо неравенство 1 1 1[A(t) - A(s)]A-1(τ )1 E→E M |t - s|ε, 0 <ε 1. (1.3) Функцию v(t) назовем решением задачи (1.1), если выполнены следующие условия: 1. функция v(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [0, 1]; 2. элемент v(t) принадлежит D = D(A(t)) при каждом t ∈ [0, 1], и A(t)v(t) непрерывна на [0, 1]; 3. функция v(t) удовлетворяет уравнению и нелокальному краевому условию (1.1). Задача (1.1) имеет единственное непрерывно дифференцируемое решение v(t) при определенных ограничениях на μ и достаточно гладких функциях f (t), а для ее решения справедлива формула ⎧ v(t) = v(t, 0)(I - v(λ, 0))-1 ⎨μ + ⎩ λ ⎫ t ds r v(λ, s)f (s) ⎬ + r 0 ⎭ 0 v(t, s)f (s)ds, где v(t, s) - фундаментальное решение уравнения (1.1), называемое также эволюционной оператор-функцией (см. [6, 20]). Она определяется из соотношения t или r v(t, s) = exp{-(t - s)A(t)} + s t r v(t, s) = exp{-(t - s)A(s)} + s exp{-(t - t1)A(t)}[A(t) - A(t1)]v(t1, s)dt1, v(t, t1)[A(s) - A(t1)] exp{-(t1 - s)A(s)}dt1, и удовлетворяет следующим условиям: 1. оператор v(t, s) сильно непрерывен по t и s (0 s t 1); 2. v(t, s) = v(t, τ )v(τ, s), v(t, t) = I (0 s τ t 1); 1. оператор v(t, s) отображает область определения D = D(A(t)) в себя, оператор u(t, s) = A(t)v(t, s)A-1(s) ограничен и сильно непрерывен по t и s (0 s t 1); 2. на области D оператор v(t, s) сильно дифференцируем по t и s, причем ∂v(t, s) ∂t = -A(t)v(t, s), ∂v(t, s) ∂s = v(t, s)A(s). Определение 1.1. Говорят, что задача (1.1) коэрцитивно разрешима в некотором банаховом пространстве F (E) = F ([0, 1], E) функций f (t) со значениями в E на [0, 1], если для всяких f ∈ F (E), μ ∈ D существует единственное решение задачи (1.1), причем v× и A(t)v принадлежат тому же пространству F (E) (см. [7]). Банахово пространство, полученное замыканием множества всех гладких функций f (t), определенных на отрезке [0, 1], со значениями из E в норме (t + τ )γ f (t + τ ) - f (t) E 0 (E) τ β f Cβ,γ = f C(E) + sup 0 t<t+τ 1 обозначим через Cβ,γ (E) = Cβ,γ ([0, 1], E) (0 γ β, 0 <β < 1). Здесь под C(E) = C([0, 1], E) по- 0 0 нимается банахово пространство определенных на [0, 1] со значениями в E непрерывных функций f (t) с нормой 0 t 1 f C(E) = max f (t) E . Таким образом, при β = α и γ = 0 пространство Cα,0(E) = Cα,0([0, 1], E) (0 < α < 1) совпадает с 0 0 пространством Cα(E) = Cα([0, 1], E) (0 < α < 1) функций, для которых конечна норма f (t + τ ) - f (t) E τ α f Cα(E) = f C(E) + sup . 0 t<t+τ 1 А при γ = β = α пространство Cα,α(E) = Cα,α([0, 1], E) (0 < α < 1) с нормой 0 (E) f Cα,α 0 = f C(E) 0 + sup 0 t<t+τ 1 (t + τ )α f (t + τ ) - f (t) E τ α 142 Л. Е. РОССОВСКИЙ, А. Р. ХАНАЛЫЕВ совпадает с пространством Cα(E) = Cα([0, 1], E) (0 < α < 1), норма в котором имеет вид 0 f Cα 0 (E) 0 = f C(E) + sup 0 t<t+τ 1 , tα f (t + τ ) - f (t) E τ α причем нормы этих пространств эквивалентны равномерно по α ∈ (0, 1). Ранее в [17, 18] исследовалась коэрцитивная разрешимость задачи (1.1) в пространствах Cα(E), Cβ,γ β,γ 0 (E) и C0 ([0, 1], Eα-β ) (0 γ β α, 0 < α < 1) в предположении о том, что элемент A(0)μ+f (λ)-f (0) принадлежит некоторому подпространству, полученному методом вещественной интерполяции из пары E и D(A(t)). А в [19] аналогичные результаты получены для задачи (1.1) с постоянным оператором A(t) ≡ A. В настоящей работе доказывается коэрцитивная разрешимость задачи (1.1) в пространстве Cα,α 0(E) при μ ∈ D без привлечения интерполяционных пространств. В то же время, для задачи Коши с переменным оператором v×(t)+ A(t)v(t) = f (t) (0 t 1), v(0) = v0 (1.4) был получен следующий результат (см. [20]). 0 Теорема 1.1. Пусть v0 ∈ D, f ∈ Cα,α(E) при некоторых 0 < α < ε 1. Тогда задача (1.4) 0 коэрцитивно разрешима в Cα,α(E), и для ее единственного решения v(t) справедливо неравенство 1 1 г 1 l 0 (E) 1v×1Cα,α 0 (E) + A(·)v Cα,α M A(0)v0 E + α(1 - α) 0 (E) f Cα,α (1.5) с постоянной M, не зависящей от α, v0 и f. Известно, что при любых t > s, δ > 0 и M > 0 для аналитической полугруппы справедливы следующие оценки (см. [14, 20]): exp{-(t - s)A(t)} E E → M exp{-δ(t - s)}, -1 A(t) exp{-(t - s)A(t)} E E - M (t s) → exp{-δ(t - s)}. Далее, для любых 0 s<t 1 и M > 0 верны оценки (см. [14, 20]): 1 -1 1 →E v(t, s) E M, 1A(t)v(t, s)A M (s)1E M, →E (1.6) A(t)v(t, s) E , →E t - s Кроме того, в [17, 18] установлены следующие леммы. Лемма 1.1. Пусть A(t)A-1(p) = A(t + λ)A-1(p) при некоторых 0 t t + λ, p ∈ [0, 1]. Тогда для любых 0 s<t t + λ, u ∈ D справедливо тождество v(t, s)u = v(t + λ, s + λ)u. (1.7) Лемма 1.2. Пусть выполняются условия леммы 1.1. Тогда оператор I - v(λ, 0) имеет ограниченный обратный, и справедливы неравенства 1 1 1(I - v(λ, 0))-11 1 E→E M, (1.8) 1 1A(0)(I - v(λ, 0))-1A-1(λ)1 E→E M. (1.9) 0 1. КОЭРЦИТИВНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ В Cα,α(E) 0 Теорема 2.1. Пусть μ ∈ D, f ∈ Cα,α(E) при некоторых 0 < α < ε 1. Тогда задача (1.1) 0 коэрцитивно разрешима в Cα,α(E), и для ее единственного решения v(t) справедливо неравенство 1 1 г 1 l 0 (E) 1v×1Cα,α 0 (E) + A(·)v Cα,α M A(0)μ E + α(1 - α) 0 (E) f Cα,α (2.1) с постоянной M, не зависящей от α, μ и f. КОЭРЦИТИВНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛОКАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 143 Доказательство. Используем представление A(0)v0 = ⎧ = A(0)(I - v(λ, 0))-1 ⎨μ + ⎩ λ ⎫ ds r v(λ, s)f (s) ⎬ 0 ⎭ λ r λ r = -A(0)(I - v(λ, 0))-1 0 v(λ, s)(f (λ) - f (s))ds + + A(0)(I - v(λ, 0))-1 0 v(λ, s)[A(λ) - A(s)]A-1(λ)f (λ)ds + λ r + A(0)(I - v(λ, 0))-1((I - v(λ, 0))A-1(λ)f (λ)+ μ) = -A(0)(I - v(λ, 0))-1 0 λ r v(λ, s)(f (λ) - f (s))ds + + A(0)(I - v(λ, 0))-1 0 v(λ, s)[A(λ) - A(s)]A-1(λ)f (λ)ds + где + A(0)A-1(λ)f (λ)+ A(0)(I - v(λ, 0))-1μ = I1 + I2 + I3 + I4, λ r I1 = -A(0)(I - v(λ, 0))-1 0 λ r v(λ, s)(f (λ) - f (s))ds, I2 = A(0)(I - v(λ, 0))-1 0 v(λ, s)[A(λ) - A(s)]A-1(λ)f (λ)ds, I3 = A(0)A-1(λ)f (λ), I4 = A(0)(I - v(λ, 0))-1μ. Воспользуемся неравенством (1.5), полученным для задачи Коши. Достаточно получить оценку для A(0)v0 в норме E. Для этого нужно оценить I1, I2, I3 и I4. Сначала оценим I1. В силу (1.6) и (1.9) имеем 1 λ 1 I1 E 1A(0)(I - v(λ, 0))-1A-1(λ)1 1r 1 1 A(λ)v(λ, s)(f (λ) - f (s))ds1 1 1 1E→E 1 10 λ r 1 1 1E λ r (λ - s)αds M A(λ)v(λ, s) E→E f (λ) - f (s) E ds M1 0 0 λ (λ - s)λα f C α,α 0 (E) = r ds α,α = M1 f Cα,α . = M1 0 (λ - s)1-αλα f C0 (E) α 0 (E) Теперь оценим I2. Воспользовавшись оценками (1.3), (1.6) и (1.9), получаем 1 λ 1 I2 E 1A(0)(I - v(λ, 0))-1A-1(λ)1 1r 1 1 A(λ)v(λ, s)[A(λ) - A(s)]A-1(λ)f (λ)ds1 1 1 1 1E→E 1 1 10 1E λ r 1 1 1 M A(λ)v(λ, s) E→E 1[A(λ) - A(s)]A- (λ)1E 0 λ λ →E f (λ) E ds r M1 0 (λ - s)εds λ - s f C α,α 0 r (E) M1 0 ds (λ - s)1-α 0 (E) f Cα,α M1 α f C α,α 0 (E) . Далее оцениваем I3: I3 E 1A(0)A-1(λ)1 f (λ) E M1 f Cα,α . 1 1E→E 0 (E) 144 Л. Е. РОССОВСКИЙ, А. Р. ХАНАЛЫЕВ Наконец, в силу (1.9) имеем, что I4 E M1 A(0)μ E . Объединив оценки для I1, I2, I3 и I4, получаем неравенство A(0)v0 E M1 г 1 l 0 (E) A(0)μ E + α f Cα,α . (2.2) Используя последнюю оценку в правой части неравенства (1.5), получим (2.1). 2. ПРИЛОЖЕНИЯ В статьях [17-19] были рассмотрены примеры задачи (1.1) в классе параболических дифференциальных уравнений. Здесь же мы применим полученные в абстрактной ситуации результаты к двум следующим классам операторов: 1. сильно эллиптическим функционально-дифференциальным операторам с растяжением и сжатием пространственных переменных в ограниченной области Ω ⊂ Rn; 2. эллиптическим операторам в ограниченной области Ω ⊂ Rn с нелокальными краевыми условиями, связывающими значения функции и ее производных на границе области со значениями на некотором компакте внутри области. Таким образом, данная статья охватывает случай параболических уравнений с нелокальными условиями как по времени, так и по пространственным переменным. В каждом из этих случаев мы убедимся, что соответствующий оператор удовлетворяет (1.2) и порождает аналитическую полугруппу в E = L2(Ω). Отметим, что смешанные задачи для параболических дифференциально-разностных уравнений со сдвигами пространственных переменных изучались методами теории полугрупп в работах [9, 13]. Рассматривались вопросы, связанные с обобщенными и сильными решениями смешанных задач, а также c пространством начальных данных. Существенную роль здесь играют результаты, полученные ранее для эллиптических дифференциально-разностных уравнений в [12, 16, 22, 23]. Начальные задачи для параболических функционально-дифференциальных уравнений с запаздыванием по времени и неограниченными операторными коэффициентами рассматривались в [1, гл. 2]. Разрешимость, гладкость, асимптотические свойства и оценки решений в весовых пространствах Соболева на полуоси устанавливались на основе исследования соответствующих операторных пучков. Параболические уравнения с нелокальными условиями по пространственным переменным играют важную роль в теории многомерных диффузионных процессов (см. [2] и приведенную там библиографию). Систематическое изложение теории нелокальных краевых задач для эллиптических уравнений можно найти в [3, 10, 11]. 0 Далее через H1(Ω) обозначается пространство Соболева комплекснозначных функций, принадлежащих L2(Ω) вместе с обобщенными производными первого порядка, а через H˚1(Ω) - замыкание множества C∞(Ω) финитных бесконечно дифференцируемых функций в H1(Ω). Пространства H1(Ω) и H˚1(Ω) - гильбертовы со скалярными произведениями (u, w)H1(Ω) = r (uw + ∇u∇w) dx, (u, w)H˚1(Ω) = Ω r ∇u∇w dx. Ω Пространство H˚1(Ω) можно отождествлять с подпространством функций из H1(Rn), равных нулю вне Ω. В обозначении для нормы оператора · E→E индекс будем опускать. 1. Параболическое функционально-дифференциальное уравнение с растяжением и сжатием пространственных переменных. В этом пункте рассматривается задача n i j vt(x, t) - '\\" (Rij vx (x, t))x = f (x, t) (x ∈ Ω, 0 t 1), (3.1) i,j=1 v|t=0 = v|t=λ + μ(x), v|∂Ω×[0, 1] = 0. (3.2) КОЭРЦИТИВНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛОКАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 145 Действие операторов Rij связано только с переменной x, они определяются формулой Rij u(x) = '\\" aijlu(q-lx). (3.3) l Здесь λ ∈ (0, 1] и q > 1 - фиксированные числа, Ω ⊂ Rn - ограниченная область, содержащая начало координат, aijl - заданные комплексные числа, а f (x, t) и μ(x) - заданные комплексные функции. Индекс l в (3.3) пробегает конечное подмножество целых чисел и может быть как положительным, так и отрицательным. Если q-lx ∈/ Ω при некоторых l и x ∈ Ω, то считаем u(q-lx) = 0 в (3.3) (другими словами, функции продолжаются нулем вне Ω перед применением к ним оператора Rij ). Центральное предположение, связанное со структурой выражения - том, что мы требуем выполнения неравенства типа Гординга n n ), (Rij uxi )xj , состоит в i,j=1 ij Re '\\" r (R uxi ) u¯xj dx c 1 |∇u 2 | L2(Ω) - c2 u 2 | L2(Ω) (u ∈ 0 C∞(Ω)), (3.4) i,j=1 Ω 0 в котором постоянные c1 > 0 и c2 0 не зависят от u ∈ C∞(Ω). В [8] показано, что данное неравенство равносильно алгебраическому неравенству n Re '\\" aijlξiξj zl > 0 (z ∈ C, |z| = qn/2; ξ ∈ Rn, |ξ| = 1), (3.5) i,j=1 причем из (3.5) вытекает (3.4) с постоянной c2 = 0 и постоянной c1, равной минимуму выражения слева в (3.5). В этом пункте условие (3.5) будем предполагать выполненным. Чтобы воспользоваться результатом первой части работы, необходимо дать формальное описание оператора, отвечающего уравнению (3.1) (в нашем случае это будет постоянный оператор, не зависящий от t). Для этого зададим на пространстве L2(Ω) полуторалинейную форму n aR[u, w] = '\\" (Rij ux , wx ) (3.6) i,j=1 i j L2(Ω) с плотной в L2(Ω) областью определения D(aR) = H˚1(Ω). В силу основного предположения этого пункта она удовлетворяет неравенству 2 1 Re aR[u, u] c1 |∇u| L2(Ω) (u ∈ H˚ (Ω)). (3.7) Кроме того, очевидно, существует постоянная M > 0 такая, что 1 |aR[u, w]| M |∇u| L2(Ω) |∇w| L2(Ω) (u, w ∈ H˚ (Ω)). (3.8) 2 Из (3.7) и (3.8) следует замкнутость полуторалинейной формы и ее секториальность: значения aR[u, u] при 0 ⊕= u ∈ H˚1(Ω) лежат на комплексной плоскости внутри угла с вершиной в нуле, охватывающего положительную вещественную полуось и имеющего полураствор arctg(M/c1). Согласно первой теореме о представлении (см. [4, теорема 2.1, гл. IV]), формой (3.6) однозначно задается m-секториальный (в смысле Т. Като) оператор AR : D(AR) ⊂ L2(Ω) → L2(Ω) c плотной в L2(Ω) областью определения D(AR) ⊂ H˚1(Ω) такой, что aR[u, w] = (ARu, w)L (Ω) при u ∈ D(AR), 2 w ∈ H˚1 (Ω). В [8] показано, что D(AR) не лежит, вообще говоря, в Hloc(Ω). Там же получены ˚ достаточные условия, когда D(AR) = H1(Ω) ∩ H2(Ω). Итак, решение задачи (3.1), (3.2) понимается в смысле данного в начале работы определения, где оператор A(t) ≡ AR ассоциирован с полуторалинейной формой (3.6). Убедимся, что оператор (-AR) является генератором аналитической полугруппы. В [21, гл. II, §4] доказано, что данное свойство оператора равносильно его секториальности в следующем смысле (см. также [15]): существует число δ > 0 такое, что угол ), π/2+δ = {0 ⊕= z ∈ C : | arg z| < π/2+ δ} содержится в резольвентном множестве оператора (-AR) и для любого ε ∈ (0, δ) существует Mε > 0: 1 1 1(zI + AR)-11 Mε/|z| (z ∈ Σπ/2+δ -ε). (3.9) 146 Л. Е. РОССОВСКИЙ, А. Р. ХАНАЛЫЕВ Лемма 3.1. Оператор (-AR) - секториальный в указанном выше смысле. Доказательство. Положим для удобства σ = Re z, ν = Im z, C = M/c1. Тот факт, что угол {σ + iν : Cσ + |ν| > 0} содержится в резольвентном множестве оператора (-AR), хорошо известен (см., например, не претендующий на новизну вывод в [8, §2.3]). Осталось получить оценку для резольвенты (3.9) в этом угле. Равенство (zI + AR)u = g, 0 ⊕= u ∈ D(AR), g ∈ L2(Ω), можно записать эквивалентным образом в виде (интегрального) тождества 1 z(u, w)L2(Ω) + aR[u, w] = (g, w)L2(Ω) (w ∈ H˚ (Ω)). При w = u будем иметь σ u 2 L2(Ω) ν + Re aR[u, u]+ i ( u 2 L2(Ω) 2 + Im aR[u, u]\\ = (g, u)L (Ω), откуда следует, что 2 Кроме того, - g L2(Ω) u L2(Ω) σ u L2(Ω) + Re aR[u, u] g L2(Ω) u L2(Ω), (3.10) 2 - g L2(Ω) u L2(Ω) ν u L2(Ω) + Im aR[u, u] g L2(Ω) u L2(Ω). (3.11) -C Re aR[u, u] < Im aR[u, u] <C Re aR[u, u]. (3.12) Комбинируя (3.10)-(3.12), получаем 2 2 2 - g L2(Ω) u L2(Ω) < ν u L2(Ω) + C Re aR[u, u] ν u L2(Ω) + C g L2(Ω) u L2(Ω) - Cσ u L2(Ω), или а также ν u 2 (Cσ - ν) u L2(Ω) < (C + 1) g L2(Ω), <C Re aR[u, u]+ g L (Ω) u L (Ω) (C + 1) g L (Ω) u L (Ω) - Cσ u 2 , или L2(Ω) 2 2 2 2 L2(Ω) (Cσ + ν) u L2(Ω) < (C + 1) g L2(Ω). Таким образом, (Cσ + |ν|) u L2(Ω) < (C + 1) g L2(Ω), что означает оценку для резольвенты 1 1 C +1 1(zI + AR)-11 Cσ + |ν| в рассматриваемом угле. В то же время, нетрудно убедиться, что в любом охватывающем положительную вещественную полуось симметричном угле меньшего раствора {σ + iν : C×σ + |ν| > 0} (C× > C) справедливо неравенство где K(Cσ + |ν|) |σ| + |ν|, Поэтому окончательно имеем 1 K = max , C C× +1 . C× - C 1 1 K(C +1) K(C +1) 1(zI + AR)-11 |σ| + |ν| |z| (C×σ + |ν| > 0). Замечание 3.1. Резольвента (zI + AR)-1 существует и в окрестности точки z = 0. Вместе с леммой 3.1 это означает, что спектр оператора (-AR) сдвинут влево от мнимой оси, и имеет место неравенство 1 1 M 1(zI + AR)-11 т. е. для оператора AR выполнено условие (1.2). 1+ |z| (Re z 0), Таким образом, мы приходим к основному результату этого пункта - следствию из теоремы 2.1. КОЭРЦИТИВНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛОКАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 147 0 0 Следствие 3.1. При μ ∈ D(AR) и f ∈ Cα,α(L2(Ω)) задача (3.1), (3.2) имеет единственное решение v(x, t), функции vt(·, t) и ARv(·, t) принадлежат пространству Cα,α(L2(Ω)), и справедлива оценка vt Cα,α + ARv α,α MR г ARμ 1 + f l α,α 0 (L2(Ω)) C0 (L2(Ω)) L2(Ω) α(1 - α) C0 (L2(Ω)) с постоянной MR > 0, не зависящей от α, μ и f. 2. Параболическое дифференциальное уравнение с нелокальным условием на ∂Ω. В этом пункте изучается задача n vt(x, t) - '\\" aij (x)vx x (x, t)+ a0v(x, t) = f (x, t) (x ∈ Ω, 0 t 1), (3.13) i j i,j=1 / S \\ 1 v|t=0 = v|t=λ + μ(x), v(x, t) - '\\" bs(x)v(ωs(x), t) s=1 1 1 1 ∂Ω×[0, 1] = 0. (3.14) Здесь Ω - ограниченная область в Rn с гладкой границей, λ ∈ (0, 1], a0 ∈ R, aij , bs ∈ C∞(Rn), aij (x) = aji(x) - вещественные функции, n '\\" aij (x)ξiξj > 0 (x ∈ Ω, 0 ⊕= ξ ∈ Rn) i,j=1 и ωs (s = 1,..., S)- C∞-диффеоморфизмы, отображающие некоторую окрестность U границы ∂Ω на множества ωs(U ) ⊂ Ω. Введем неограниченный оператор AΓ : D(AΓ) ⊂ L2(Ω) → L2(Ω) с областью определения ( / S \\ 1 Γ 1 D(AΓ) ≡ H2(Ω) = действующий по формуле u ∈ H2(Ω) : n u(x) - '\\" bs(x)u(ωs(x)) s=1 1 = 0 , 1 ∂Ω AΓu(x) = '\\" aij (x)ux x , u ∈ H2(Ω). i j Γ i,j=1 Лемма 3.2. Оператор AΓ - a0I является секториальным при всех достаточно больших a0. Доказательство. Введем оператор-функцию L(z) : H2(Ω) → L2(Ω) × H3/2(∂Ω) по формуле ⎛ n / S \\ 1 ⎞ i j L(z)w(x) = ⎝- '\\" aij (x)wx x i,j=1 + zw, 1 w(x) - '\\" bs(x)w(ωs(x)) s=1 1 ⎠ , 1 ∂Ω представляющую собой ограниченный оператор при каждом z ∈ C. Согласно [10, теорема 2.1.2, гл. 2, §2.1] для любого числа 0 < δ < π/2 существует число rδ > 0 такое, что при всех z из множества Σπ/2+δ ∩ {|z| > rδ } оператор L(z) имеет ограниченный обратный L-1(z) : L2(Ω) × H3/2(∂Ω) → H2(Ω). При этом неравенство w H2(Ω) + |z| w L2(Ω) Cδ ( g0 L2(Ω) + g1 H3/2(∂Ω) + |z| 3/4 \\ , g1 L2(∂Ω) где для краткости обозначили (g0, g1) = Lw, выполняется с постоянной Cδ > 0, не зависящей как от w ∈ H2(Ω), так и от z ∈ Σπ/2+δ ∩ {|z| > rδ }. Но это в точности означает, что всякое множество вида Σπ/2+δ ∩ {|z| > rδ } состоит из резольвентных точек оператора AΓ, и на нем справедлива оценка для резольвенты (zI - AΓ)-1 Cδ /|z|. Тогда при a0 > rδ / cos δ весь угол Σπ/2+δ лежит в резольвентном множестве оператора AΓ - a0I, и имеет место неравенство (zI - (AΓ - a0I))-1 Cδ |z + a0| Cδ / cos δ |z| (z ∈ Σπ/2+δ ). Кроме того, спектр оператора AΓ - a0I сдвинут влево от мнимой оси и имеет место оценка (zI - (AΓ - a0I))-1 M (1 + |z|)-1 (Re z 0). 148 Л. Е. РОССОВСКИЙ, А. Р. ХАНАЛЫЕВ Γ Решение v(x, t) задачи (3.13), (3.14) вновь понимается в смысле определения, данного в начале работы, в этот раз с оператором A(t) ≡ -AΓ + a0I. А именно, v есть непрерывно дифференцируемая на отрезке [0, 1] функция со значениями в L2(Ω), v(·, t) ∈ H2(Ω) при каждом t ∈ [0, 1], функция AΓv(·, t) непрерывна на [0, 1] со значениями в L2(Ω), при каждом t ∈ [0, 1] правая и левая части (3.13) совпадают как элементы L2(Ω), и v(·, 0) = v(·, λ)+ μ. Γ f ∈ Cα,α Следствие 3.2. Пусть a0 > 0 достаточно велико. Тогда при всех функциях μ ∈ H2(Ω) и 0 (L2(Ω)) задача (3.13), (3.14) имеет единственное решение v(x, t), функции vt(·, t) и 0 AΓv(·, t) принадлежат пространству Cα,α(L2(Ω)), и справедлива оценка vt Cα,α + (-AΓ + a0I)v α,α MΓ г (-AΓ + a0I)μ 1 + f l α,α 0 (L2(Ω)) C0 (L2(Ω)) L2(Ω) α(1 - α) C0 (L2(Ω)) с постоянной MΓ > 0, не зависящей от α, μ и f. Замечание 3.2. Недостатком приведенного результата является то, что нижняя граница для a0 не описана явно. Вопрос о том, будет ли секториальным сам оператор AΓ, сводится к локализации его спектра. Принимая во внимание, что в круге {|z| rδ } спектр состоит лишь из конечного числа собственных значений оператора AΓ (см. [10, следствие 2.1.2, гл. 2, §2.1]), достаточно установить, что все собственные значения оператора AΓ лежат строго в левой полуплоскости. Однако в общем случае это сделать затруднительно. Ниже приведен пример секториального оператора AΓ. Пример 3.1. Рассмотрим задачу в прямоугольнике vt(x, t) - a2vxx(x, t) = f (x, t) (0 <x< 2, 0 t 1), (3.15) v|t=0 = v|t=λ + μ(x), v|x=0 = b1v|x=1, v|x=2 = b2v|x=1, (3.16) где a> 0 и b1, b2 ∈ R. Получим условия, при которых оператор AΓ : L2(0, 2) → L2(0, 2), Γ AΓu(x) = a2u××(x), u ∈ D(AΓ) = H2(0, 2) = {u ∈ H2(0, 2) : u(0) = b1u(1), u(2) = b2u(1)}, является секториальным. Его собственные значения вычисляются непосредственно. Независимо от коэффициентов b1, b2 в нелокальных условиях, числа z1,k , z1,k 2 a2 = -(πk) , k ∈ N, (3.17) являются собственными значениями оператора AΓ. Если -2 b1 + b2 < 2, то к этой серии добавляется еще одна серия z2,k b1 + b2 2 a2 = - ± arccos + 2πm 2 , m ∈ Z, также отрицательных собственных значений. При b1 + b2 2 к серии (3.17) добавляется серия ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ z3,k 2 a2 = ln b1 + b2 + ⎝ 2 b1 + b2 2 - 1⎠ - (2πk)2 ± i4πk ln ⎝ b1 + b2 + 2 b1 + b2 2 - 1⎠ , k = 0, 1,..., в которой всегда есть неотрицательное собственное значение (при k = 0). Если же b1 + b2 < -2, то собственные значения оператора AΓ состоят из (3.17) и серии ⎛ 2 ⎞ z4,k 2 a2 = ln |b1 + b2| + ⎝ 2 b1 + b2 2 - 1⎠ - π2 (2m + 1)2 ± ⎛ ± i2π(2m + 1) ln ⎝| b1 + b2| 2 1 2 b + b 2 ⎞ + 2 - 1⎠ , m = 0, 1,.... КОЭРЦИТИВНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛОКАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 149 Вещественные части всех собственных значений этой последней серии будут отрицательными, если ⎛ ln ⎝| b1 + b2| 2 1 2 b + b 2 + 2 ⎞ - 1⎠ < π, т. е. b1 + b2 > -2 ch π. Итак, условие -2 ch π < b1 + b2 < 2 является необходимым и достаточным для секториальности (и сильной позитивности) оператора AΓ в этом примере. Γ 0 0 Следствие 3.3. Предположим, что -2 ch π < b1 + b2 < 2. Тогда для всех функций μ ∈ H2(0, 2) и f ∈ Cα,α(L2(0, 2)) задача (3.15), (3.16) имеет единственное решение v(x, t). При этом функции vt(·, t) и vxx(·, t) принадлежат пространству Cα,α(L2(0, 2)), и выполняется оценка vt Cα,α 0 (L2(0,2)) + vxx 0 Cα,α(L2(0,2)) MΓ г μxx L2(0,2) + 1 α(1 - α) f l 0 Cα,α(L2(0,2)) с постоянной MΓ > 0, не зависящей от α, μ и f.