О коэрцитивности дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами аргументов

Аннотация

Изучаются краевые задачи на ограниченных областях для дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами аргументов в старших членах. Получены условия равномерной относительно сдвигов аргументов сильной эллиптичности таких уравнений.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ В статье рассматриваются краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений, содержащих несоизмеримые сдвиги пространственных переменных в старших членах. Теория краевых задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений с целочисленными или соизмеримыми сдвигами аргументов в старших членах построена в работах А. Л. Скубачевского (см. [8]). Эти задачи имеют важные приложения в теории плазмы, в теории многослойных пластин и оболочек (см. [8, 9]). Краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами в одномерном случае рассматривались в [2, 8]. Изучение таких задач осложняется рядом особенностей. Во-первых, это нарушение гладкости решений. Если решения краевых задач для дифференциально-разностных уравнений с соизмеримыми сдвигами сохраняют гладкость в некоторых подобластях, то решения краевых задач с несоизмеримыми сдвигами могут иметь всюду плотное множество точек разрыва производной (см. [8, пример 3.10]). Во-вторых, трудности связаны с проверкой условий сильной эллиптичности дифференциальноразностных операторов с несоизмеримыми сдвигами, действующих на ограниченных областях. Сильно эллиптическими здесь названы операторы, для которых выполняется неравенство типа Гординга. Проблема построения условий сильной эллиптичности операторов, выраженных в коэффициентах этих операторов, называется проблемой коэрцитивности. Если для дифференциальноразностных операторов с соизмеримыми сдвигами получены как необходимые, так и достаточные (близкие к необходимым) условия сильной эллиптичности (см. [8]), то для операторов с несоизмеримыми сдвигами известны только достаточные условия, выраженные в виде положительности скалярного символа, зависящего от коэффициентов разностного оператора (см. [6, примеры 8.1, 8.2]). Поскольку в этом символе не учитываются свойства и размер области, эти условия являются избыточными и далекими от необходимых. В работе [6] приводятся также достаточные (тоже довольно грубые) условия сильной эллиптичности этих операторов с использованием операторной матрицы. В-третьих, даже малые возмущения сдвигов нарушают их соизмеримость, и известные условия сильной эллиптичности дифференциально-разностных операторов с соизмеримыми сдвигами являются неустойчивыми относительно этих сдвигов. Достаточные условия сильной эллиптичности для дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами аргументов для оператора Лапласа получены в [7]. Проблема коэрцитивности для дифференциально-разностных уравнений с параметром и вопросы непрерывной зависимости решений таких задач от сдвигов аргументов впервые изучались в работе Л. Е. Россовского [5]. В данной статье предлагается метод построения достаточных условий сильной эллиптичности дифференциально-разностных уравнений второго порядка с несоизмеримыми сдвигами аргументов. Получены достаточные условия сильной эллиптичности, учитывающие форму и размер области и устойчивые относительно малых возмущений сдвигов пространственных переменных. 1. РАЗБИЕНИЯ ОБЛАСТИ, ИНДУЦИРОВАННЫЕ РАЗНОСТНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ Рассмотрим разностный оператор R : L2(Rn) → L2(Rn) Ru(x)= \\ ahu(x + h), (1.1) h∈M где ah ∈ R, M - множество векторов с соизмеримыми координатами, h0 =0 ∈ M. Пусть Q ⊂ Rn - область с кусочно-гладкой границей ∂Q. Для операторов с соизмеримыми сдвигами используем метод исследования, предложенный А. Л. Скубачевским (см. [8]). При этом изложим модификацию этого метода, впервые реализованную в статье [1]. Определение 1.1. Назовем ± регулярным разбиением области Q на непересекающиеся подобласти Qr (r = 1, 2,.. .), если: 1. J Q¯r = Q; r 2. для любой Qr1 и h ∈ n M = {M, -M } или найдется Qr2 такая, что Qr2 = Qr1 + h, или Qr1 + h ∈ R \\Q. Здесь M - множество векторов из формулы (1.1). Приведем алгоритм построения регулярного разбиения. l Каждому упорядоченному набору β = {hk }k=1 (hk ∈ M ), поставим в соответствие множества β = ∂Q,..., Aβ = (Aβ + hk ) ∩ Q¯,..., Aβ = Aβ = (Aβ + hl) ∩ Q¯. Введем множество S = J Aβ , A0 k k-1 l l-1 β∈B где B - множество всех β таких, что Aβ ⊕= ∅. Покажем, что множество S замкнуто. Действительно, обозначим через β∗ набор, полученный s r l выбрасыванием из β = {hk }k=1 всех векторов hs+1,..., hr таких, что ), hk = ), hk , 1 s < r l, B∗ = {β∗} . k=1 k=1 Из очевидного равенства Aβ = Aβ∗ следует, что S = J β∗∈B∗ Aβ∗ . Но в силу ограниченности области Q множество B∗ конечно. Следовательно, множество S как объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто. Рассмотрим открытое множество G = Q¯\\S. Очевидно, множество G состоит из конечного или счетного числа непересекающихся связных компонент Qr (r = 1, 2 .. .) и G = J Qr , r S = ∂Qr . (1.2) r Теорема 1.1. Совокупность всех непересекающихся связных компонент множества G является регулярным разбиением области Q. Доказательство. По условию множества Qr - непересекающиеся и связные, а в силу (1.2) Q¯r = G ( ∂Qr )= Q¯\\S S = Q¯. r r Остается показать, что для любых Qr и h ∈ M либо найдется Ql такая, что Qr + h = Ql, либо Qr +h ⊂ Rn\\Q¯. Предположим противное: пусть существуют такие Qr ,h и Ql, что (Qr +h)∩Ql ⊕= ∅, Qr +h ⊕= Ql. Не ограничивая общности, будем считать, что Ql\\(Qr +h) ⊕= ∅. (Если (Qr +h)\\Ql ⊕= ∅, О КОЭРЦИТИВНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ С НЕСОИЗМЕРИМЫМИ СДВИГАМИ 87 доказательство аналогично.) Так как множество Ql связное, найдется точка z ∈ ∂(Qr + h) ∩ Ql. Тогда y = z - h ∈ ∂Qr , а в силу (1.2) найдется набор βl = {h1,..., hl} ∈ B такой, что y ∈ Aβ1 . Тогда z ∈ Aβ2 , где β2 = {h1,..., hl, h} ∈ B. Следовательно, z ∈ S, что противоречит тому, что z ∈ Ql. Построенное разбиение обозначим ±0. Каждое регулярное разбиение ± можно рассматривать как элемент множества всевозможных регулярных разбиений. Для этого множества можно ввести отношение порядка следующим образом. Если ±1, ±2 - регулярные разбиения области Q на подобласти Qr1 , Qr2 , соответственно, и для любой Qr1 найдется Qr2 такая, что Qr1 ⊆ Qr2 , то ±1 ±2. Определение 1.2. Назовем регулярное разбиение максимальным (±max), если для любого регулярного разбиения ± выполнено ± ±max. Теорема 1.2. ±0 = ±max. Доказательство. Предположим противное. Пусть существует регулярное разбиение ±1 такое, что найдутся Qr1 ∈ ±1, Qr0 ∈ ±0, для которых Qr1 ∩Qr0 ⊕= ∅, Qr1 \\Qr0 ⊕= ∅. Следовательно (аналогично доказательству теоремы 1.1), найдется точка z ∈ ∂Qr0 ∩ Qr1 . Тогда существуют точка z0 ∈ ∂Q и набор β = {h1,..., hl} ∈ B такие, что z = z0 + l ), hk и zj = z0 + k=1 j ), hk ∈ Aβj ∈ k=1 Q¯, j = 1,..., l. Отсюда zl-1 = z - hl ∈ Q¯. Учитывая, что z ∈ Qr1 , получим, что Qr1 - hl ∩ Q¯ ⊕= ∅. Следовательно, в силу определения регулярного разбиения ±1 найдется подобласть Qr2 ∈ ±1 такая, что Qr1 - hl = Qr2 . Продолжая процесс возврата из точки z в точку z0 ∈ ∂Q, получим l+1 последовательность областей {Qrk }k=1 такую, что Qrk ∈ ±1, Qrk - hl-k+1 = Qrk+1 и zl-k ∈ Qrk+1 , r в частности, Q l разбиения ±1. - h1 = Qrl+1 , z0 ∈ Qrl+1 . Последнее, так как z0 ∈ ∂Q, противоречит определению Замечание 1.1. В работе А. Л. Скубачевского [8] при построении разбиения области Q на подобласти вместо множества M = {M, -M } использовалось множество векторов T, где T - аддитивная абелева группа, порожденная множеством M. В силу очевидного включения M ⊆ T, регулярное разбиение ±0 является максимальным и на множестве этих разбиений. Использование максимальных разбиений области особенно важно при исследовании гладкости обобщенных решений краевых задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений. Разбиению ±0 поставим в соответствие ориентированный граф (см. [4]). Вершины графа - это подобласти Qr , дуги графа - это сдвиги h ∈ M. Если Qr2 = Qr1 + h, то вершины графа, ассоциированные с подобластями Qr2 , Qr1 , соединяем ориентированной дугой h = (Qr1 , Qr2 ) . На дугах задана числовая функция ϕ(h) = ah, где ah - коэффициенты разностного оператора из формулы (1.1). Введем на множестве подобластей (вершин графа) бинарное отношение π: подобласти Qr1 , Qr2 ∈ ±0 находятся в отношении π, если существует цепь в графе, соединяющая вершины Qr1 и Qr2 . В цепи движение может осуществляться как по направлению дуги, так и против. Это отношение является отношением эквивалентности и порождает разбиение множества ±0 на классы эквивалентности. Обозначим подобласти Qsl, где s - номер класса эквивалентности и l - номер области в этом классе. Каждый класс s в силу ограниченности области Q состоит из конечного числа N = N (s) подобластей Qsl. Введем операторы IQ, PQ, RQ, где IQ : L2(Q) → L2(Rn) - это оператор продолжения функции из L2(Q) нулем в Rn, PQ : L2(Rn) → L2(Q) - это оператор сужения функции из L2(Rn) на Q, RQ : L2(Q) → L2(Q), RQ = PQRIQ. Обозначим через L2(JQsl\\ подпространство функций из l L2(Q), обращающихся в нуль вне L2(JQsl\\ (l = 1,...,N (s)). Обозначим Ps : L2(Q) → L2(JQsl\\ l l оператор ортогонального проектирования на L2(JQsl\\. В силу [8, лемма 8.5] L2(JQsl\\ является l ⊕ инвариантным подпространством оператора RijQ, при этом L2(Q)= L2 s l (JQsl\\. l 88 Е. П. ИВАНОВА 2 Введем изоморфизм гильбертовых пространств Us : L2(JQsl\\ → LN (Qs1) по формуле l (Usu)l(x) = u(x + hsl) (x ∈ Qs1), где l = 1,...,N = N (s), hsl такой вектор, что Qs1 + hsl = N 2 Qsl (hs1 = 0), LN (Qs1) = ТТ L2(Qs1). l=1 2 Аналогично доказательству [8, лемма 8.6] можно показать, что оператор Rs : LN (Qs1) → LN 2 (Qs1), заданный формулой Rs = UsRQUs-1 , есть оператор умножения на матрицу Rs порядка km N (s) × N (s), элементы матрицы rs вычисляются по формуле rs (ah (h = hsm - hsk ∈ M ), km = (1.3) 0 (h = hsm - hsk ∈/ M ). Если для построения матрицы Rs использовать ассоциированный с разбиением ±0 граф, для km вершин Qsk , Qsm, связанных дугой h = (Qsk , Qsm) , положим rs = ϕ(h) = ah, в противном km случае rs = 0. Введем также операторы R∗ : L2(Rn) → L2(Rn) R∗u(x)= \\ ahu(x - h), h∈M Q : L2(Q) → L2(Q), RQ = PQR IQ. Оператор RQ является сопряженным к RQ. Действию R∗ ∗ ∗ ∗ оператора Q будет соответствовать умножение на матрицы Rs , где Rs - эрмитово сопряженные R∗ ∗ ∗ с Rs матрицы. Определение 1.3. Самосопряженный оператор RQ : L2(Q) → L2(Q) будем называть положительно определенным, если найдется c > 0 такое, что для всех u ∈ L2(Q), u ⊕= 0, выполнено неравенство (RQu, u)L2(Q) > c(u, u)L2(Q). Здесь (u, u)L2(Q) - скалярное произведение в пространстве L2(Q). Лемма 1.1 ([8, лемма 8.8]). Спектр оператора RQ совпадает со спектром семейства мат- Q риц Rsν (ν = 1,..., n1); самосопряженный оператор RQ + R∗ положительно определен тогда и sν только тогда, когда все матрицы Rsν + R∗ (ν = 1,..., n1) положительно определены. Пример 1.1. Пусть разностный оператор R : R2 → R2 имеет вид Ru(x1, x2)= a0u(x1, x2)+ a1u(x1 + 7, x2)+ a2u(x1 + 8, x2), область Q = {(x1, x2)|x1 ∈ (0, 9), x2 ∈ (0, 1)} . Множество M состоит из векторов h0 = (0, 0), h1 = (7, 0), h2 = (8, 0). Для аддитивной группы T, порожденной этими векторами, образующей будет h = (1, 0). Разбиение области Q, построенное с помощью группы T, состоит из подобластей Gi = (i, i + 1) × (0, 1), i = 0,..., 8. Максимальное разбиение ±0, построенное на базе множества M = {M, -M }, состоит из пяти подобластей, распадающихся на два класса Q11 = (0, 1) × (0, 1), Q12 = (1, 2) × (0, 1), Q13 = (7, 8) × (0, 1), Q14 = (8, 9) × (0, 1); Q21 = (2, 7) × (0, 1). Граф, соответствующий этому разбиению, приведен на рис. 1. Для первого класса s = 1 подобластей оператор R1 : L4(Q11) → L4(Q11), где R1 = U1RQU1-1, 2 2 RQ : L2(Q) → L2(Q), RQ = PQRIQ. Действию оператора R1 в силу формулы (1.3) соответствует умножение на матрицу ⎛a0 0 a1 a2⎞ ⎜ 0 a0 0 a1⎟ . ⎜ 0 0 a0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 0 0 0 a0 Для второго класса s = 2 подобластей оператор R2 : L2(Q21) → L2(Q21), где R2 = U2RQU2-1. Действию оператора R2 соответствует умножение на a0. О КОЭРЦИТИВНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ С НЕСОИЗМЕРИМЫМИ СДВИГАМИ 89 a0(h0) a0(h0) a0(h0) Q11 Q12 Q21 a1(h1) a2(h2) a1(h1) a0(h0) Q13 a0(h0) Q14 РИС. 1. Граф разбиения ±0 области Q из примера 1.1. 2. СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С НЕСОИЗМЕРИМЫМИ СДВИГАМИ АРГУМЕНТОВ Рассмотрим краевую задачу для дифференциально-разностного уравнения n j i ARu = - \\ (RijQux )x = f (x) (x ∈ Q), (2.1) i,j=1 u|∂Q = 0. (2.2) Здесь Q - ограниченная область в Rn с кусочно-гладкой границей ∂Q, f ∈ L2(Q). Операторы RijQ = PQRij IQ : L2(Q) → L2(Q), разностные операторы Rij = Ra + Rb , Ra : L2(Rn) → L2(Rn), Rb n n ij ij ij ij : L2(R ) → L2(R ) имеют вид a Rij u(x)= \\ aijhu(x + h) (aijh ∈ R), (2.3) ij h∈M 1 b Rij u(x)= \\ bijpu(x + p) (bijp ∈ R). (2.4) ij Здесь M k ij p∈M 2 ⊆ M k (k = 1, 2), где M k - конечные множества векторов с соизмеримыми координатами, при этом координаты векторов h из множества M 1 несоизмеримы с координатами векторов p из множества M 2. Таким образом, уравнение (2.1) является дифференциально-разностным уравнением с несоизмеримыми сдвигами аргументов. Определение 2.1. Решением краевой задачи (2.1)-(2.2) будем называть функцию u ∈ H˚1(Q), если для любой v ∈ H˚1(Q) выполнено интегральное тождество (ARu, v)L2(Q) = (f, v)L2(Q), f ∈ L2(Q). (2.5) Здесь H˚1(Q) - пространство Соболева функций v ∈ H1(Q), у которых v|∂Q = 0, где равенство понимается в смысле следов. В пространстве H˚1(Q) будем использовать эквивалентное скалярное произведение (u, v)H˚1(Q) r (u, v)H˚1(Q) = Q ∇u∇v¯dx. 90 Е. П. ИВАНОВА Определение 2.2. Назовем уравнение (2.1) сильно эллиптическим в ∞ C0 (Q) выполнено неравенство типа Гординга: Q¯, если для всех u ∈ где c > 0 не зависит от u. L2(Q) lH˚1(Q) Re (ARu, u) c lu 2 , (2.6) Определение 2.3. Задача (2.1)-(2.2) называется первой краевой задачей. Получим условия сильной эллиптичности дифференциально-разностного уравнения с несоизмеримыми сдвигами аргументов в алгебраической форме, выраженные в коэффициентах разностных операторов и устойчивые относительно малых возмущений сдвигов аргументов. Необходимые условия и достаточные условия сильной эллиптичности для дифференциальноразностных уравнений с соизмеримыми сдвигами получены А. Л. Скубачевским (см. [8]). Далее будем предполагать, что область Q такова, что необходимые условия совпадают с достаточными (см. [8, теорема 3.3]). Введем вспомогательное дифференциально-разностное уравнение n Aa Ru = - \\ i,j=1 a (RijQ uxj )xi = f1(x) (x ∈ Q). (2.7) R Оператор Aα - это дифференциально-разностный оператор с соизмеримыми сдвигами аргуменijQ тов. Для его исследования применим метод, изложенный в разделе 1. Для операторов Ra по- 0 строим разбиение ±a области Q на непересекающиеся подобласти Qsk , где s - номер класса разбиения и k - номер области в этом классе, k = 1,...,N = N (s). В силу формулы (1.3) оператор Ra N N a a -1 ijs : L2 (Qs1) → L2 (Qs1), заданный формулой Rijs = UsRijQUs , есть оператор умножения на ijs матрицу Ra km порядка N (s) × N (s), элементы rijs ijs матрицы Ra вычисляются по формуле rijs (aijh (h = hsm - hsk ij ∈ M 1 ), km = ij 0 (hsm - hsk ∈/ M 1 ). (2.8) В силу ограниченности области Q и постоянства коэффициентов aijh существует лишь конечное ijs число n1 различных матриц Ra . Для удобства дальнейшего изложения приведем здесь теоремы из работы [6]. Теорема 2.1 ([6, теорема 3.1]). Пусть уравнение (2.7) сильно эллиптическое в Q¯. Тогда матрицы n (R \\ a ijs ijs + Ra∗ )ξiξj (2.9) i,j=1 положительно определены для всех 0 ⊕= ξ ∈ Rn и s = 1, 2,..., n1. Для формулировки достаточных условий сильной эллиптичности в работе [6] используются ijs матрицы Aa ijs . В случае, если найдется область Ω ⊂ Rn такая, что Q ⊂ Ω, и матрицы RΩ , Q построенные для области Ω, совпадают с аналогичными матрицами Rijs области Q, то все матрицы Aijs = Rijs. Предположим далее, что это выполняется. Для большого класса областей и дифференциально-разностных операторов это справедливо, см. [6, теорема 3.3]. Теорема 2.2 ([6, теорема 3.2]). Пусть матрицы n \\ Ra a∗ i,j=1 ijs + Rijs ξiξj (2.10) положительно определены для всех 0 ⊕= ξ ∈ Rn и s = 1, 2,..., n1. Тогда уравнение (2.7) сильно эллиптическое в Q¯. Замечание 2.1. Теоремы 2.1, 2.2, остаются в силе, если в их формулировке использовать матрицы, построенные на основе регулярного разбиения ±0. О КОЭРЦИТИВНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ С НЕСОИЗМЕРИМЫМИ СДВИГАМИ 91 ijQ Используя результаты раздела 1, для разностных операторов Rb ±0 , построим разбиение b области Q на непересекающиеся подобласти Gαk , где α (α = 1,..., n2) - номер класса разбиения и ijα k - номер области в этом классе, k = 1,...,N = N (α). Оператор Rb 2 : LN 2 (Gα1) → LN (Gα1), ijα заданный формулой Rb ijQ = UαRb ijα Uα-1, есть оператор умножения на матрицу Rb порядка N (α) × N (α), элементы rijα матрицы Rb вычисляются по формуле km rijα ijα (bijp (p = psm - psk ij ∈ M 2 ), km = ij 0 (p = psm - psk ∈/ M 2 ). (2.11) Теорема 2.3. Пусть для вектора k = (k1,..., kn) ∈ Rn матрицы 1 n n \\ a a∗ \\ 2 Ks = 2 i,j=1 (Rijs+Rijs)ξiξj - E i=1 kiξi (2.12) неотрицательно определены для всех ξ ∈ Rn и s = 1, 2,..., n1. При этом матрицы 1 n n \\ b b∗ \\ 2 Kα = 2 i,j=1 (Rija + Rija)ξiξj + E i=1 kiξi (2.13) положительно определены для всех 0 ⊕= ξ ∈ Rn и α = 1, 2,..., n2. Тогда уравнение (2.1) сильно эллиптическое в Q¯. (Здесь E - единичные матрицы размерности N (s) или N (α).) R Доказательство. Введем оператор A˜a , действующий по формуле n A˜a a \\ n n \\ a \\ Ru = ARu + i=1 kiuxixi = - (RijQuxj )xi + i,j=1 i=1 kiuxixi (x ∈ Q). 0 Используя неотрицательную определенность матриц Ks, методом, аналогичным методу доказательства теоремы 2.2, можно показать, что для всех u ∈ C∞(Q) выполнено неравенство: Re (A˜a u, u) = Re (Aa u, u) \\ n - ki(ux , ux ) 0. (2.14) R L2(Q) R L2(Q) i=1 i i L2(Q) R Введем теперь оператор AC , который назовем контрольным, по формуле AC R u = - n \\ i,j=1 b (RijQ uxj )xi n \\ - i=1 kiuxixi (x ∈ Q). (2.15) R R Оператор AC - это дифференциально-разностный оператор с соизмеримыми сдвигами аргументов. Поскольку матрицы Kα положительно определены, из теоремы 2.2 следует, оператор AC является 0 сильно эллиптическим и для всех u ∈ C∞(Q) выполнено неравенство: где c > 0 не зависит от u. R Re (AC u, u) L2(Q) c lu 2 lH˚1(Q) , (2.16) Тогда оператор AR = A˜a + AC в силу формул (2.14), (2.16) также является сильно эллиптиче- R R ским. n Обозначим далее через RM = Ra : Ln(Q) → Ln(Q) матричный оператор, а через Rs ijQ i,j=1 2 2 блочную матрицу порядка nN (s) × nN (s) вида Rs = Ra n . (2.17) ijs i,j=1 В силу ограниченности области Q существует лишь конечное число различных матриц Rsν (ν = 1,..., n1). 92 Е. П. ИВАНОВА Следствие 2.1. Пусть в формуле (2.12) ki = λmin, i = 1,..., n, где λmin - минимальное из 1 всех собственных значений матриц sν Rsν + R∗ (ν = 1,..., n1). 2 R Тогда для оператора A˜a , определенного формулой n n A˜a a \\ \\ a Ru = ARu + λmin i=1 uxixi = - i,j=1 (RijQuxj )xi + λminΔu, выполнено условие (2.14), и матрицы Ks удовлетворяют условиям теоремы 2.3. Доказательство. Введем блочные матрицы R˜s = 1 (Rs + R∗) - λminE = 1 Ra - + Ra∗ n 2 s 2 1 ijs jis i,j=1 λminE и соответствующий матричный оператор R˜M = M 2 (RM + R∗ ) - λI, где E - единичные матрицы порядка nN (s) × nN (s) и I - тождественный оператор. Матрицы R˜s по построению M неотрицательно определены. В силу [3, § 10, теорема 1] матричный оператор R˜M + R˜∗ положиsν тельно определен тогда и только тогда, когда все матрицы R˜sν + R˜∗ (ν = 1,..., n1) положительно определены. А в силу [3, § 10, теорема 2], если матричный оператор M R˜M + R˜∗ положительно R определен, то оператор A˜a сильно эллиптический. Если условие положительной определенности матриц заменить на условие их неотрицательной определенности, то можно доказать аналогич- R ные утверждения. При этом условие сильной эллиптичности оператора A˜a также надо заменить R условием (2.14). В силу теоремы 2.1 соответствующие оператору A˜a матрицы Ks являются неотрицательно определенными. С использованием неравенства (2.6) стандартным методом доказывается фредгольмовость и дискретность спектра оператора AR (см. [8, теорема 10.1]). Также в силу [6, теорема 8.3] оператор AR является регулярно аккретивным оператором, для которого выполняется гипотеза Т. Като (см. [6]). Из [8, теорема 10.1] получим теорему Теорема 2.4. Пусть выполнены условия теоремы 2.3. Тогда уравнение (2.1) является сильно эллиптическим в Q¯, и для любой функции f ∈ L2(Q) краевая задача (2.1)-(2.2) имеет единственное решение u ∈ H˚1(Q). Пример 2.1. Рассмотрим дифференциально-разностный оператор 11Q ARu = -(Ra ux1 )x1 - (R a 22Q ux2 )x2 12Q - 2(Rb ux1 )x2 (x ∈ Q). (2.18) Здесь Q ⊂ R2, Q = (0; 1,9) × (0; 1,9) ∈ R2, x = (x1, x2), разностные операторы Ra , Ra , Rb имеют вид Ra 0 11 22 12 11u(x)= a1u(x1, x2)+ a1(u(x1 + 1, x2)+ u(x1 - 1, x2)), Ra 0 22u(x)= a2u(x1, x2)+ a2(u(x1, x2 + 1)+ u(x1, x2 - 1)), Rb 12u(x)= bτ (u(x1 + τ, x2 + τ )+ u(x1 - τ, x2 - τ )). - Здесь τ - иррациональное, 1,9 + ε < τ < 1,9 ε при некотором ε > 0. 2 Для операторов Ra : L2(Q) → L2(Q), Ra : L2(Q) → L2(Q), Ra = PQRa IQ, Ra = 11Q Ra a 22Q 11Q 11 22Q PQ 22IQ построим разбиение ±0 области Q. Это разбиение состоит из четырех классов подобластей (см. рис. 2). Первый класс: Q11 = (0; 0,9) × (0; 0,9), Q12 = (1; 1,9) × (0; 0,9), Q13 = (0; 0,9) × (1; 1,9), Q14 = (1; 1,9) × (1; 1,9). 0 Обозначим h0 = (0, 0), h1 = (1, 0), h2 = (0, 1). Граф, соответствующий разбиению ±a, приведен на рис. 3. 11Q Действию разностного оператора Ra 11s соответствует умножение на матрицу Ra : на первом классе подобластей в силу формулы (2.8) ⎛a0 1 a1 0 0 ⎞ 0 Ra ⎜a1 a1 0 0 ⎟ , s = 1. 11s = ⎜ 0 0 a0 ⎟ ⎝ 1 a1⎠ 1 0 0 a1 a0 О КОЭРЦИТИВНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ С НЕСОИЗМЕРИМЫМИ СДВИГАМИ 93 Q13 Q32 Q14 Q21 Q41 Q22 Q11 Q31 Q12 x2 1.9 1 0.9 0.9 1 1.9 x1 0 РИС. 2. Разбиение ±a области Q из примера 2.1. i 0 a0(h ) Q13 i 0 a0(h ) a1(h1) Q14 a2(h2) 0 a (h ) i 0 a0(h ) i 0 a0(h ) ai (h0 ) Q11 Q21 Q41 a1(h1) i 0 a0(h ) i 0 a0(h ) a1(h1) 2 2 Q12 Q22 i 0 a0(h ) Q32 a2(h2) i 0 a0(h ) Q31 a РИС. 3. Граф разбиения ±0 из примера 2.1. 94 Е. П. ИВАНОВА G21 G12 G11 x2 1.9 q q 1.9 x1 ±0 РИС. 4. Разбиение b области Q на подобласти Gij из примера 2.1. Собственные значения матрицы Ra : λ1,2 = a0 + a1, λ3,4 = a0 - a1. Второй класс подобла- 11s 1 1 11Q стей: Q21 = (0; 0,9) × (0,9; 1), Q22 = (1; 1,9) × (0,9; 1). На этом классе действию оператора Ra соответствует умножение на матрицу Ra 11s = a0 1 a1 1 a1 a0 , s = 2. Ее собственные значения: λ1 = a0 + a1, λ2 = a0 - a1. 1 1 Третий класс подобластей: Q31 = (0,9; 1) × (0; 0,9), Q32 = (0,9; 1) × (1; 1,9). На этом классе 11Q действию оператора Ra соответствует умножение на матрицу 1 Ее собственные значения: λ1,2 = a0. Ra 11s = 1 0 a0 1 0 a0 , s = 3. Четвертый класс (s = 4) состоит из одной области Q41 = (0,9; 1) × (0,9; 1). Действию оператора Ra 0 11Q соответствует умножение на константу a1. 1 Минимальное собственное значение матриц всех классов: λ11 min = a0 - |a1| (s = 1,..., 4). 22s Аналогично можно сформировать матрицы Ra (s = 1,..., 4), соответствующие действию опе- 22Q ратора Ra . Нетрудно убедиться, что минимальное собственное значение этих матриц λ22 min = a0 2 - |a2|. Замечание 2.2. Немного увеличив область Q, можно построить область Ω такую, что Q¯ ⊂ Ω, при этом матрицы Rijs для Ω не изменятся, следовательно, Rijs = Aijs. Для оператора Aa u = -(Ra ux ) · (Ra ux ) матрицы Ks из формулы (2.12) примут вид R 11Q 1. x1 22Q 2. x2 Ks = Ra ξ2 + Ra ξ2 - E(k1ξ2 + k2ξ2)= (Ra · Ek1)ξ2 + (Ra - Ek2)ξ2, s = 1,..., 4. (2.19) 11s 1 22s 2 1 2 11s 1 22s 2 Если в формуле (2.19) положить k1 = λ11 min, k2 = λ22 min, то построенные матрицы Ks для всех s = 1,..., 4 и 0 ⊕= ξ ∈ R2 будут неотрицательно определены. В силу теоремы 2.3 (A˜a u,u)= (Ra ux ,ux ) + (Ra ux ,ux ) · λ11 min(ux ,ux ) · λ22 min(ux ,ux ) 0. R 11Q 1 1 L2(Q) 22Q 2 2 L2(Q) 1 1 L2(Q) 2 2 L2(Q) (2.20) Введем контрольный оператор AC u = -2(Rb ux ) - λ11 minux x · λ22 minux x и получим R условия его сильной эллиптичности. 12Q 1 x2 1 1 2 2 0 Построим разбиение ±b области Q на подобласти Gαk . Это разбиение состоит из 2-х классов подобластей (см. рис. 4). Первый класс: G11 = (0; θ) × (0; θ), G12 = (τ ; 1,9) × (τ ; 1,9). Здесь θ = 1,9 - τ. На этом классе 12Q областей действию оператора Rb соответствует умножение на матрицу 0 b Rb τ , α = 1. 12α = bτ 0 О КОЭРЦИТИВНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ С НЕСОИЗМЕРИМЫМИ СДВИГАМИ 95 Ее собственные значения: λ1 = bτ , λ2 = -bτ . Второй класс состоит из одной области G21 = 12α Q\\((G¯11 ∪ G¯12) ∩ Q). Ему соответствует умножение на матрицу Rb = (0), α = 2. Минимальное собственное значение всех этих матриц λ12 min = - |bτ | . Замечание 2.2 для этого случая также справедливо. Выпишем матрицы Kα = 2Rb ξ1ξ2 + λ11 minξ2E + λ22 minξ2E для 0 ⊕= ξ ∈ R2, α = 1, 2: K1 = 1 + λ λ11 minξ2 12α 22 min 2 ξ2 2bτ 1 ξ1ξ2 2 , K2 = λ11 minξ2 + λ22 minξ 2 . 2bτ ξ1ξ2 λ11 minξ2 1 2 22 min 2 Эти матрицы положительно определены, если λ11 minξ2 + λ22 minξ2 > 2|bτ |ξ1ξ2 для всех 0 ⊕= ξ ∈ R2. 1 τ Это неравенство выполняется, если λ11 minλ22 min - b2 2 > 0, λ11 min > 0, λ22 min > 0. Подставив значения λ11 min, λ22 min, получим (a0 - |a1|)(a0 - |a2|) - (bτ )2 > 0, 1 2 a0 0 (2.21) 1 - |a1| > 0, a1 - |a1| > 0. Условия (2.21) в силу теоремы 2.3 являются достаточными условиями сильной эллиптичности оператора AR. Сравним полученные условия с достаточным условием сильной эллиптичn ности, сформированным на основе символа AR(ξ) = ), ), akjh exp(i(h, ξ))ξk ξj , ξ ∈ Rn дифференциально-разностного оператора AR (см. [6]). Квадратичная форма k,j=1 h∈M 1∪M 2 Re AR(ξ)= (a0 + 2a1 cos ξ1)ξ2 + (a0 + 2a2 cos ξ2)ξ2 + 4bτ cos τ (ξ1 + ξ2)ξ ξ 1 1 2 2 1 2 (a0 - 2 |a1|)ξ2 + (a0 - 2 |a2|)ξ2 - 4 |bτ | ξ ξ 1 1 2 2 1 2 является положительно определенной, если (a0 - 2 |a1|)(a0 - 2 |a2|) - 4(bτ )2 > 0, 1 2 a0 0 1 - 2 |a1| > 0, a1 - 2 |a1| > 0, и эти условия будут достаточными условиями сильной эллиптичности оператора AR (см. [6, пример 8.1]). Очевидно, что последние условия грубее, чем условия (2.21). Рассмотрим краевую задачу для дифференциально-разностного уравнения -Δ(RQu(x)) = f (x) (x ∈ Q), (2.22) u|∂Q = 0. (2.23) Здесь Q - ограниченная область в Rn с кусочно-гладкой границей, f ∈ L2(Q). Оператор RQ = PQRIQ : L2(Q) → L2(Q); R = R1 + R2 - разностные операторы R1 : L2(Rn) → L2(Rn), R2 : L2(Rn) → L2(Rn) имеют вид R1u(x)= a0u(x)+ \\ h∈M 1 R2u(x)= b0u(x)+ \\ p∈M 2 ah(u(x + h)+ u(x - h)) (ah ∈ R), (2.24) bp(u(x + p)+ u(x - p)) (bp ∈ R). (2.25) Здесь M k (k = 1, 2) - множества векторов с соизмеримыми координатами, при этом координаты векторов из множества M 2 несоизмеримы с координатами векторов из множества M 1. Эта краевая задача впервые рассмотрена в работе [7] и является частным случаем задачи (2.1)(2.2). Получим условия сильной эллиптичности уравнения (2.22), выраженные в коэффициентах разностных операторов R1, R2. Для этого исследуем условия положительной определенности оператора RQ с несоизмеримыми сдвигами аргументов. Q Введем операторы Ri = PQRiIQ : L2(Q) → L2(Q), i = 1, 2. Q Для исследования оператора R1 применим метод, изложенный в разделе 1. Построим разбиение 1 ±0 области Q на непересекающиеся подобласти Qsk , где s - номер класса разбиения и k - номер области в этом классе. Каждый класс s состоит из конечного числа N = N (s) подобластей Qsk . В силу формулы (1.3) оператор R1 : LN (Qs1) → LN (Qs1), заданный формулой R1 = UsR1 Us-1, есть s 2 2 s Q 96 Е. П. ИВАНОВА s оператор умножения на матрицу R1 порядка N (s) × N (s), элементы rkm s матрицы R1 вычисляются по формуле rkm = (ah (h = hsm - hsk ∈ M 1), 0 (h = hsm - hsk ∈/ M 1). (2.26) sν Обозначим через λmin минимальное собственное значение всего семейства матриц R1 (ν = 1,..., n1). Тогда в силу леммы 1.1 (R1 u, u) λmin(u, u)L (Q) ( ∀u ∈ L2(Q)). (2.27) Q L2(Q) 2 RC Введем в рассмотрение контрольные операторы RC : L2(Rn) → L2(Rn), RC = R2 + λminI, Q = PQRC IQ : L2(Q) → L2(Q), I : L2(Rn ) → L2(Rn ) - тождественный оператор. Q Теорема 2.5. Если контрольный оператор RC положительно определен, то оператор RQ также положительно определен. Q Доказательство. Пусть оператор RC является положительно определенным, т. е. Q (RC u, u) L2(Q) c1(u, u)L2(Q) (c1 > 0, ∀u ∈ L2(Q)). (2.28) Тогда в силу неравенств (2.27), (2.28), 1 2 1 2 (RQu, u)L2(Q) = ((RQ + RQ)u, u)L2(Q) = ((RQ - λminIu)+ (λminIu + RQ)u, u)L2(Q) = = ((R1 - λminIu), u) + (RC u, u) (RC u, u) c1(u, u)L (Q) (c1 > 0, ∀u ∈ L2(Q)). Q L2(Q) Q L2(Q) Q L2(Q) 2 Q Замечание 2.3. Так как оператор RC в силу построения содержит только соизмеримые сдвиги, для исследования его положительной определенности можно применить тот же метод разбиения Q области Q и свести исследование спектра оператора RC к оценке спектра конечного числа соответствующих ему матриц. Из [6, теорема 10.1] получим следующую теорему. Q Теорема 2.6. Пусть оператор RC является положительно определенным. Тогда уравнение (2.22) является сильно эллиптическим в Q, и для любой функции f ∈ L2(Q) краевая задача (2.22)-(2.23) имеет единственное решение u ∈ H˚(Q). Пример 2.2. Рассмотрим краевую задачу -Δ(RQu(x)) = f (x) (x ∈ Q), (2.29) u|∂Q = 0. (2.30) Здесь Q ⊂ R2, Q = (0; 2,4) × (0; 1) ∈ R2, x = (x1, x2), RQ : L2(Q) → L2(Q), RQ = PQRIQ, разностный оператор R : L2(R2) → L2(R2) имеет вид Ru(x)= a0u(x1, x2)+ a1(u(x1 + 1, x2)+ u(x1 - 1, x2)) + a1(u(x1 + 2, x2)+ u(x1 - 2, x2)) и содержит два соизмеримых сдвига h1 = (1, 0), h2 = (2, 0). Для оператора RQ разбиение области Q состоит из двух классов подобластей. Первый класс: Q11 = (0; 0,4) × (0; 1), Q12 = (1; 1,4) × (0; 1), Q13 = (2; 2,4) × (0; 1). Второй класс: Q21 = (0,4; 1) × (0; 1), Q22 = (1,4; 2) × (0; 1). Действию оператора RQ на первом классе подобластей в силу формулы (2.26) соответствует умножение на матрицу R1: ⎛a0 a1 a1⎞ R1 = ⎝a1 a0 a1⎠ . a1 a1 a0 Ее собственные значения: λ1,2 = a0 - a1, λ3 = a0 + 2a1. Второму классу областей соответствует умножение на матрицу R2: a0 a1 . R2 = a1 a0 О КОЭРЦИТИВНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ С НЕСОИЗМЕРИМЫМИ СДВИГАМИ 97 Ее собственные значения: λ4 = a0 - a1, λ5 = a0 + a1. Условия одновременной положительной определенности обеих матриц: a0 - |a1| > 0, a0 + 2a1 > 0. (2.31) При выполнении этих условий в силу теоремы 2.6 уравнение (2.29) является сильно эллиптическим, и решение краевой задачи (2.29)-(2.30) существует и единственно. Рассмотрим теперь краевую задачу для уравнения Q -Δ(Rτ u(x)) = f (x) (x ∈ Q), (2.32) с разностным оператором Rτ u(x)= a0u(x1, x2)+ a1(u(x1 + τ, x2)+ u(x1 - τ, x2)) + a1(u(x1 + 2, x2)+ u(x1 - 2, x2)). 1 Здесь τ = 1 + ε, ε - малый параметр, |ε| < 0,2. Сдвиги hτ = (τ, 0), h2 = (2, 0) становятся несоизмеримыми. Уравнение (2.32) для уравнения (2.29) является возмущенным относительно сдвигов аргументов. τ τ τ τ Построим разбиение ± области Q для оператора RQ : L2(Q) → L2(Q), RQ = PQR IQ. Разностный оператор Rτ : L2(R2) → L2(R2) Rτ u(x)= a0u(x1, x2)+ a1(u(x1 + τ, x2)+ u(x1 - τ, x2)) 1 содержит сдвиги ±hτ = ±(τ, 0). Обозначим θ = 2,4 - 2τ > 0. Разбиение ±τ состоит из двух классов областей. Первый класс: Qτ τ τ τ 11 = (0, θ) × (0, 1), Q12 = (τ, τ + θ) × (0, 1), Q13 = (2τ, 2,4) × (0, 1). Действию оператора RQ на 1 этом классе соответствует умножение на матрицу Rτ : ⎛a0 a1 0 ⎞ Rτ a1 a0 a1 . 1 = ⎝ ⎠ 0 a1 a0 Ее собственные значения: λ1 = a0 - a1, λ2,3 = a0 ± √2a1. 21 Второй класс областей: Qτ 22 = (θ, τ ) × (0, 1), Qτ Q = (τ + θ, 2,4) × (0, 1); действию оператора Rτ на этом классе соответствует умножение на матрицу Rτ a0 a1 . 2 = a1 a0 ± i 5 Ее собственные значения: λ4,5 = a0 a1. Минимальное собственное значение λmin = min λi = =1,..., a0 - √2|a1|. Введем разностный оператор R˜τ : L2(R2) → L2(R2): R˜τ u(x)= a0u(x1, x2)+ a1(u(x1 + τ, x2)+ u(x1 - τ, x2)) - λminu(x) Q и оператор R˜τ Q = PQR˜τ IQ : L2(Q) → L2(Q). В силу построения и леммы 1.1 оператор R˜τ является неотрицательно определенным. Сформируем контрольный оператор RC : RC u(x)= λminu(x1, x2)+ a1(u(x1 + 2, x2)+ u(x1 - 2, x2)) = √ = (a0 - 2|a1|)u(x1, x2)+ a1(u(x1 + 2, x2)+ u(x1 - 2, x2)) Q и оператор RC = PQRC IQ : L2(Q) → L2(Q). Оператор RQ разбивается на сумму операторов RQ = R˜Q + RQ. В силу теоремы 2.5, если опера- τ τ τ C Q тор RC Q является положительно определенным, то и оператор Rτ будет положительно определен. Q Q Исследуем условия положительной определенности оператора RC . Этому оператору соответствует разбиение области Q на два класса подобластей. Первый класс подобластей: G11 = (0; 0,4) × (0, 1), G12 = (2; 2,4) × (0, 1). Действию оператора RC на этом классе соответствует умножение на матри- 1 цу RC : √ 0 a - 2|a | a RC a . 1 = 1 1 1 √ a0 - 2|a1| 98 Е. П. ИВАНОВА Ее собственные значения: λ1,2 = a0 - ;2|a1|± a1. Второй класс состоит из одной области G21 = (0,4; 2) × (0, 1). Этому классу соответствует умножение на константу a0 - √2|a1|. В силу леммы 1.1 необходимым и достаточным условием Q положительной определенности оператора RC является условие положительной определенности 1 матрицы RC , а именно a0 - ( √ 2+ 1) |a1| > 0. (2.33) При выполнении условия (2.33) в силу теоремы 2.6 уравнение (2.32) является равномерно по τ ∈ (0,8; 1,2) сильно эллиптическим, и для любого τ из этого интервала существует решение uτ ∈ H˚(Q) краевой задачи для уравнения (2.32). Используя условие равномерной по τ сильной эллиптичности уравнения (2.32), методами, изложенным в работе [5], можно доказать, что решение uτ → u1 при τ → 1 в норме пространства H˚(Q). Здесь u1 - решение краевой задачи для уравнения (2.32) при τ = 1. Таким образом, условие (2.33) гарантирует устойчивость решения задачи (2.29), (2.30) относительно малых возмущений сдвигов аргумента. В то же время, условие (2.31) гарантирует существование решения только исходной (невозмущенной) задачи с соизмеримыми сдвигами аргументов, при этом возмущенные задачи могут не иметь решений, т. е. исходная задача является неустойчивой относительно сдвигов аргументов. Если для проверки равномерной сильной эллиптичности уравнения (2.32) использовать символ AR(ξ) = (a0 + 2a1(cos(τξ1)+ cos(2ξ1))(ξ2 + ξ2), то достаточным условием будет a - 4|a1| > 0 1 2 0 (см. [8, теорема 9.4]). Автор выражает благодарность Л. Е. Россовскому и А. Л. Скубачевскому за внимание к работе и полезные обсуждения ее результатов.