Стационарные решения уравнений Власова для высокотемпературной двукомпонентной плазмы

Аннотация

Рассматривается первая смешанная задача для уравнений Власова-Пуассона в бесконечном цилиндре, описывающая эволюцию плотностей распределения ионов и электронов в высокотемпературной плазме при наличии внешнего магнитного поля. Построены стационарные решения системы уравнений Власова-Пуассона с тривиальным потенциалом самосогласованного электрического поля для двукомпонентной плазмы в бесконечном цилиндре с носителями, лежащими на некотором расстоянии от границы рассматриваемой области.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ Уравнения Власова, или кинетические уравнения с самосогласованным полем, впервые были получены в работе [4]. В последние десятилетия возрастание интереса к изучению этих уравнений обусловлено многочисленными приложениями, основным из которых является их использование в изучении высокотемпературной, разреженной плазмы и процессов управления термоядерным синтезом. В зависимости от исходных физических моделей различают уравнения Власова-Пуассона, Власова-Максвелла, Власова-Эйнштейна, обобщенные уравнения Власова и т. д. Будем рассматривать систему уравнений Власова-Пуассона в бесконечном цилиндре r - Δϕ(x, t)= 4πe R3 \\ βfβ (x, v, t) dv (x ∈ Q, 0 < t < T ), (1.1) β ∂fβ ∂t + (v, ∇xf β )+ βe ( m -∇xϕ + β 1 \\ c [v, B], ∇v fβ =0 (1.2) с начальными условиями 1t=0 fβ (x, v, t)1 (x ∈ Q, v ∈ R3, 0 < t < T, β = ±1) 0 = fβ (x, v) (x ∈ Q¯, v ∈ R3, β = ±1) (1.3) и краевым условием Дирихле ϕ(x, t)=0 (x ∈ ∂Q, 0 t < T ). (1.4) Здесь Q = G×R, G ⊂ R2 - ограниченная область с границей ∂G ∈ C∞, ∂Q = ∂G×R, fβ = fβ (x, v, t) - функция плотности распределения положительно заряженных ионов, если β = +1, и электронов, если β = -1, в точке x со скоростью v в момент времени t; ϕ = ϕ(x, t) - потенциал самосогласованного электрического поля; ∇x и ∇v - градиенты по x и v, соответственно; Работа выполнена при финансовой поддержке МОН РФ, соглашение № 02.а03.21.0008. Qc 2016 РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ 19 20 Ю. О. БЕЛЯЕВА m+1 и m-1 - массы иона и электрона; e - заряд электрона; c - скорость света; B - индукция внешнего магнитного поля; ( ·, · ) - скалярное произведение в R3; [ ·, · ] - векторное произведение в R3. Уравнения Власова получаются из уравнений Больцмана, если в последних пренебречь интегралом столкновений. Для разреженной плазмы это допущение является оправданным. Несмотря на отсутствие интеграла столкновений, взаимодействие заряженных частиц учитывается через самосогласованное электрическое поле, которое вычисляется из плотностей распределения заряженных частиц. Как в физике, так и в математике уравнениям Власова посвящена обширная литература (см. [1-23] и имеющуюся там библиографию). Глобальная разрешимость «сглаженных» уравнений Власова исследована в работах Р. Л. Добрушина и В. П. Маслова [5, 7]. Существование и устойчивость слабых решений начальных и начально-краевых задач для системы уравнений Власова-Пуассона и Власова-Максвелла изучались в работах А. А. Арсеньева, В. В. Козлова, Р. Дж. ДиПерна и П. Л. Лионса, Ю. Веклера [1, 6, 16, 23] и др. Вопрос о существовании глобальных классических решений задачи Коши для уравнений Власова-Пуассона исследовался в работах Ю. Батта, К. Пфаффельмозера и Дж. Шеффера [12, 19, 21] и ряде других работ. Существование классических решений начально-краевых задач для уравнений Власова-Пуассона исследовано в значительно меньшей степени. В работе Я. Гуо [18] доказано существование глобального классического решения второй начально-краевой задачи для системы уравнений Власова-Пуассона в полупространстве. Важную роль играют стационарные решения уравнений Власова. Они описывают возможные положения равновесия плазмы, которые в дальнейшем можно исследовать на устойчивость. В работах В. В. Веденяпина [2, 3] доказана единственность решения граничной задачи системы Власова-Пуассона в предположении, что функции распределения плотностей зависят только от энергии и интегралов импульса в случае двумерного пространства скоростей в интеграле энергии. Доказаны существование периодических стационарных решений и нарушение единственности в случае одномерного пространства скоростей. Описан метод построения стационарных решений задачи Дирихле для уравнений Власова в случае, когда функции распределения плотностей частиц зависят только от интеграла энергии. В работе Ю. Батта и К. Фабиана [13] доказано существование стационарных решений системы Власова-Максвелла. Сферически симметричные стационарные решения начальной задачи для системы Власова-Пуассона исследованы в работе Ю. Батта, В. Фальтенбахера и Э. Хорста [14]. В работе С. И. Похожаева [8] рассматривается проблема существования стационарных решений уравнений Власова-Пуассона при x ∈ Rn, доказано отсутствие стационарных решений, представленных распределениями типа Максвелла-Больцмана. В случае граничной задачи для системы Власова-Пуассона в одномерной (по пространству) и имеющей реалистичную, с точки зрения физики, границу области в работе К. Грингарда и П. А. Равьяра [17] доказаны существование и единственность стационарного решения. Для случая бесстолкновительной плазмы, которая состоит из электронов и положительно заряженных ионов, в работе Г. Райна [20] исследованы стационарные решения в ограниченной области из x ∈ R3 для двух случаев: нерелятивистского электростатического случая, описываемого системой Власова-Пуассона и релятивистского электродинамического случая, описываемого системой Власова-Максвелла. В диссертационном исследовании П. Браша [15] получен ряд результатов для стационарных решений систем Власова-Максвелла и Власова-Пуассона в случае бесконечного цилиндра. Наиболее известной установкой для термоядерного синтеза является токамак. Этот термин является аббревиатурой русских слов «ток», «камера», «магнитная катушка». Вакуумная камера токамака-реактора представляет собой тор, сечение которого имеет вид прописной латинской буквы «D», см. рис. 1. Одной из альтернативных установок для термоядерного синтеза является пробочная ловушка (mirror trap), имеющая вид длинного цилиндра, сужающегося на концах, см. рис. 2. В работах А. Л. Скубачевского [9-11, 22] рассматривались смешанные задачи для уравнений Власова-Пуассона для двукомпонентной плазмы. При этом учитывалось влияние внешнего магнитного поля, а также исследовались решения, носители которых лежат на некотором расстоянии от границы рассматриваемой области. В случае полуплоскости для достаточно малых начальных плотностей с компактными носителями и большой напряженности внешнего магнитного поля СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ВЛАСОВА ДЛЯ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ДВУКОМПОНЕНТНОЙ ПЛАЗМЫ 21 РИС. 1 РИС. 2 доказаны существование и единственность классических решений смешанных задач с различными краевыми условиями для потенциала электрического поля: условиями Дирихле, условиями Неймана и нелокальными условиями [9, 10]. В работе [22] доказаны существование и единственность классического решения системы уравнений Власова-Пуассона с нелокальными условиями в бесконечном цилиндре и достаточно малыми начальными условиями. Для случая бесконечного цилиндра в некоторой окрестности стационарного решения доказаны существование и единственность классического решения с носителями плотностей распределения заряженных частиц во внутреннем цилиндре [11]. Данная работа посвящена построению стационарных решений с тривиальным потенциалом самосогласованного электрического поля для двукомпонентной плазмы в бесконечном цилиндре с носителями плотностей распределения заряженных частиц, лежащими на некотором расстоянии от цилиндрической границы. 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ПОЛУЧЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Рассмотрим систему уравнений Власова-Пуассона в бесконечном цилиндре r - Δϕ(x, t)= 4πe R3 \\ βfβ (x, v, t) dv (x ∈ Q, 0 < t < T ), (2.1) β ∂fβ ∂t + (v, ∇xf β )+ βe ( m -∇xϕ + β 1 \\ c [v, B], ∇v fβ =0 (2.2) (x ∈ Q, v ∈ R3, 0 < t < T, β = ±1) 22 Ю. О. БЕЛЯЕВА с начальными условиями 1t=0 fβ (x, v, t)1 0 = fβ (x, v) (x ∈ Q¯, v ∈ R3, β = ±1) (2.3) и краевым условием Дирихле ϕ(x, t)=0 (x ∈ ∂Q, 0 t < T ). (2.4) Здесь Q = G×R, G ⊂ R2 - ограниченная область с границей ∂G ∈ C∞, ∂Q = ∂G×R, fβ = fβ (x, v, t) - функция плотности распределения положительно заряженных ионов, если β = +1, и электронов, если β = -1, в точке x со скоростью v в момент времени t; ϕ = ϕ(x, t) - потенциал самосогласованного электрического поля; ∇x и ∇v - градиенты по x и v, соответственно; m+1 и m-1 - массы иона и электрона; e - заряд электрона; c - скорость света; B - индукция внешнего магнитного поля; ( ·, · ) - скалярное произведение в R3; [ ·, · ] - векторное произведение в R3. Пусть Bρ(x0)= {x ∈ R3 : |x - x0| < ρ}, и пусть Bρ = Bρ(0). Для определения классического решения задачи (2.1)-(2.4) введем некоторые функциональные пространства. Обозначим через Cs(Rn) (Cs(Ω¯ )), s ;? 0, n ∈ N, пространство непрерывных функций в Rn(Ω¯ ), имеющих все непрерывные производные в Rn(Ω¯ ) вплоть до k-го порядка, k = [s], с конечной нормой ±u±s = max sup |Dαu(x)|, если s = k ∈ Z, 0 k, |α| k x α ±u±s = ±u±k + max sup |x - y|-σ |Dαu(x) -D u(y)|, |α|=k x∗=y если s = k + σ, 0 k ∈ Z, 0 < σ < 1, где Ω ⊂ Rn - область с липшицевой границей, Dα = ( ∂ \\α1 ( ∂ ... \\αn , α = (α ,...,α ), α = α + + α . ∂x1 ∂xn 1 n | | 1 ··· n Для любого s ;? 0 пространство Cs(Rn) (Cs(Ω¯ )) является банаховым. Если s = k, 0 k ∈ Z, пространство Cs(Rn) (Cs(Ω¯ )) - сепарабельное. Если же s = k + σ, 0 k ∈ Z, 0 < σ < 1, пространство Cs(Rn) (Cs(Ω¯ )) не будет сепарабельным. 0 Обозначим через Cs(Q¯), s ;? 0, замыкание множества функций из Cs(Q¯) с компактными в Q¯ носителями. Введем банахово пространство C([0,T ], Cs(Ω¯ )), s > 0, непрерывных функций [0,T ] ∓ t ⊕→ ϕ(·, t) ∈ Cs(Ω¯ ) с нормой ±ϕ±s,T = sup 0 t T ±ϕ(·, t)±s. 0 Аналогично можно определить пространство C([0,T ], Cs(Q¯)). 0 класс Определение 2.1. Вектор-функцию {ϕ, fβ }, ϕ ∈ C([0,T ], C2+σ (Q¯)), fβ ∈ C1(Q¯×R3 × [0,T ]), мы назовем ическим решением задачи (2.1)-(2.4), если {ϕ, fβ } удовлетворяет уравнениям (2.1), (2.2), начальным условиям (2.3) и краевому условию (2.4). Важную роль в исследовании уравнений Власова играют стационарные решения. 0 Определение 2.2. Вектор-функцию {ϕ˚, f˚β }, ϕ˚ ∈ C2+σ (Q¯), f˚β ∈ C1(Q¯×R3), мы назовем стационарным решением уравнений (2.1), (2.2) с краевым условием (2.4), если {ϕ˚, f˚β } удовлетворяет уравнениям r -Δϕ˚(x)= 4πe \\ βf˚β (x, v) dv (x ∈ Q), (2.5) βe ( R3 β 1 \\ m v, ∇xf˚β + β -∇xϕ˚ + c [v, B], ∇v f˚β =0 (x ∈ Q, v ∈ R3, β = ±1) (2.6) и краевому условию (2.4). Сформулируем теперь условие, которому должно удовлетворять магнитное поле B. Обозначим Gδ = {xl ∈ G : dist(xl, ∂G) > δ}, Qδ = {x ∈ Q : dist(x, ∂Q) > δ}, где δ > 0. Предполагая, что G2δ /= ∅, обозначим через δ0 = δ0(δ) > 0 наибольший радиус круга, вписанного в G2δ. В дальнейшем будем полагать, что δ0 > δ. СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ВЛАСОВА ДЛЯ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ДВУКОМПОНЕНТНОЙ ПЛАЗМЫ 23 Условие 2.1. Пусть B = (0, 0, h) для x ∈ Q¯, где h > 0 не зависит от x и cρm+1 32 < h. (2.7) eδ А. Л. Скубачевским в работе [11] был получен следующий результат: Теорема 2.1. Пусть δ > 0 таково, что G2δ /= ∅ и δ0 > δ, и пусть для этого δ и некоторых h, ρ > 0 выполняется условие 2.1. Тогда для любого α > 0 существует стационарное решение уравнений (2.1), (2.2) с краевым условием (2.4) вида {0, f˚β } = J0, ψβ (|v|2) · ψβ (( eh x + βv \\2 + ( eh x βv \\2\\1, 1 2 mβc 1 2 mβc 2 - 1 обладающее следующими свойствами: f˚β ∈ C∞(Q¯×R3), supp f˚β ⊂ Q2δ ×Bρ/4 и sup f˚β (x, v) > α. x,v Здесь ψβ (·) и ψβ (·) - четные неотрицательные функции, удовлетворяющие условиям: ψβ (0) = 1 2 1 15ρδ0 2α > 0, ψβ (0) = 1, supp ψ-1 ⊂ (-ρ2/16, ρ2/16), supp ψ-1 ⊂ (-ρ2, ρ2), где 0 < ρ1 < ρ, ρ0 = и 2 1 ( τ 1 ψ \\ = 1 1 1 ( τ \\, 1 2 ( τ \\ = 1 0 0 δ ( τ \\. ψ +1 m m 3/2 1 2 +1 +1 -1 m m m 3/2 1 2 -1 -1 ψ +1 m m 3/2 2 2 +1 +1 ψ -1 m 3/2 2 2 -1 -1 В данной работе будут также построены стационарные решения с нулевым потенциалом в бесконечном цилиндре с носителями плотностей распределения заряженных частиц, лежащими на некотором расстоянии от цилиндрической границы. Однако, в отличии от стационарных решений, построенных в [11], аргументами срезающих функций будут служить формы четвертого порядка и формы порядка 2m. Будет доказана следующая теорема: Теорема 2.2. Пусть выполнены условия теоремы (2.1), тогда для любого α > 0 функции β {0, f˚1 β · f˚2 }, (2.8) где β {0, f˚1 β β § f˚m }, (2.9) f˚1 1 = ψβ (|v|2), β /( βeh \\4 ( βeh \\4 f˚2 = ψβ x1 + βv2 + x2 - βv1 , 2 β /( cmβ βeh \\2m cmβ ( βeh \\2m f˚m = ψβ x1 + βv2 + x2 - βv1 , m cmβ cmβ являются стационарными решениями системы уравнений (2.1)-(2.2), удовлетворяющими условию (2.4) и обладают свойствами: x,v f˚β ∈ C∞(Q¯×R3), supp f˚β ⊂ Q2δ ×Bρ/4, sup f˚β > α. β β β β β β Здесь ψ1 (·), ψ2 (·), ψm(·) - четные неотрицательные функции такие, что ψ1 (·), ψ2 (·), ψm(·) ∈ C˙ ∞(Q¯×R3), ψ-1(0) = 2α > 0, ψ-1(0) = ψ-1(0) = 1, supp ψ-1 ⊂ (-ρ2/16, ρ2/16), supp ψ-1 ⊂ ( -ρ4 1 ρ4 \\ ( -ρ2m 2 m 2m \\ 1 1 1 2 ( τ \\ 0 , 0 0 , supp ψ-1 ⊂ 0 ρ , , где 0 < ρ < ρ, ρ 15ρδ0 1 = , а также ψ+1 = 2 2 m 2m-1 2m-1 m 1 0 δ m 3/2 j 2j +1 +1 1 m 3/2 -1 ψ -1( τ m j 2j -1 \\, j = 1, 2,...,m (τ ∈ R). 3. ПОСТРОЕНИЕ СТАЦИОНАРНОГО РЕШЕНИЯ В ВИДЕ ФОРМЫ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА Построим стационарное решение уравнений (2.5), (2.6) вида (2.8), обладающее свойствами: f˚β ∈ C∞(Q¯×R3), supp f˚β ⊂ Q2δ ×Bρ/4 и sup f˚β (x, v) > α. x,v 1. Пусть ϕ˚(x) ≡ 0 (x ∈ Q¯). Тогда система (2.6) примет вид βe (v, ∇xf˚β \\ + cmβ ([v, B], ∇v f˚β \\ =0 (x ∈ Q, v ∈ R3, β = ±1). (3.1) 24 Ю. О. БЕЛЯЕВА i Будем искать решение уравнения (3.1) в виде произведения двух срезающих функций, аргументами которых являются формы четвертого порядка. Различные частные решения уравнения (3.1) будем обозначать через f˚β (i = 0,..., m.) 0 Нетрудно проверить, что функция f˚β (x, v)= |v|2 является решением уравнения (3.1) для любых x ∈ Q, v ∈ R3 и β = ±1. Введем четные функции ψβ ∈ C˙ ∞(R) так, что ψ-1(0) = 2α > 0, ψβ (τ ) ;? 0, 1 1 1 1 ( τ \\ = 1 ψ ( τ \\ (τ ∈ R), supp ψ ⊂ (-ρ /16,ρ /16), где 0 < ρ < ρ. По- ψ +1 m m 3/2 1 2 +1 +1 -1 m m 3/2 1 2 -1 -1 +1 2 2 -1 2 2 1 1 1 +1 1 ˚β β 2 скольку m+1 > m-1, то supp ψ1 ⊂ (-ρ1/16, ρ1/16) и ψ1 (0) > 2α. Функция f1 (x, v) = ψ1 (|v| ) является решением уравнения (3.1). Будем искать теперь решение уравнения (3.1) в виде формы четвертого порядка с неопределенными коэффициентами: 3 f˚β \\ 3 (x, v)= (aijkmxixjxkxm + bijkmvivjvkvm + cijkmxixjvkvm + i,j,k,m=1 + dijkmxixjxkvm + lijkmxivjvkvm). (3.2) Тогда уравнение (3.1) примет вид: где 3 ∂f˚β v1 ∂x1 + v2 ∂f˚β 3 ∂f˚β ∂x2 + v3 3 ∂f˚β ∂x3 βeh + cmβ 3 ∂f˚β v2 ∂v1 βeh - cmβ 3 ∂f˚β v1 =0 ∂v2 3 ∂x1 = \\ a1jkmxjxkxm + \\ ai1kmxixkxm+ (3.3) + \\ aij1mxixjxm + \\ aijk1xixjxk + \\ c1jkmxjvkvm + \\ ci1kmxivkvm+ + \\ d1jkmxjxkvm + \\ di1kmxixkvm + \\ dij1mxixjvm + \\ l1jkmvjvkvm, ∂f˚β 3 ∂x2 = \\ a2jkmxjxkxm + \\ ai2kmxixkxm+ (3.4) + \\ aij2mxixjxm + \\ aijk2xixjxk + \\ c2jkmxjvkvm + \\ ci2kmxivkvm+ + \\ d2jkmxjxkvm + \\ di2kmxixkvm + \\ dij2mxixjvm + \\ l2jkmvjvkvm, ∂f˚β 3 ∂x3 = \\ a3jkmxjxkxm + \\ ai3kmxixkxm+ (3.5) + \\ aij3mxixjxm + \\ aijk3xixjxk + \\ c3jkmxjvkvm + \\ ci3kmxivkvm+ + \\ d3jkmxjxkvm + \\ di3kmxixkvm + \\ dij3mxixjvm + \\ l3jkmvjvkvm, ∂f˚β 3 ∂v1 = \\ b1jkmvjvkvm + \\ bi1kmvivkvm+ (3.6) + \\ bij1mvivjvm + \\ bijk1vivjvk + \\ cij1mxixjvm + \\ cijk1xixjvk + + \\ dijk1xixjxk + \\ li1kmxivkvm + \\ lij1mxivjvm + \\ lijk1xivjvk, ∂f˚β 3 ∂v2 = \\ b2jkmvjvkvm + \\ bi2kmvivkvm+ (3.7) + \\ bij2mvivjvm + \\ bijk2vivjvk + \\ cij2mxixjvm + \\ cijk2xixjvk + + \\ dijk2xixjxk + \\ li2kmxivkvm + \\ lij2mxivjvm + \\ lijk2xivjvk. В формулах (3.3)-(3.7) суммирование производится по индексам, имеющимся у членов, стоящих под знаком суммы. СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ВЛАСОВА ДЛЯ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ДВУКОМПОНЕНТНОЙ ПЛАЗМЫ 25 Подставим в уравнение (3.1) соотношения (3.3)-(3.7) и выделим группы подобных слагаемых. Выберем сначала многочлены, состоящие из мономов одинаковых степеней как по x, так и по v, и имеющих общий множитель v3: \\ xjxkxmv3 + \\ ai3kmxixkxmv3 + \\ aij3mxixjxmv3 + \\ aijk3xixjxkv3 = 0, \\ c3jkmxjvkvmv3 + \\ ci3kmxivkvmv3 = 0, \\ d3jkmxixkvmv3 + \\ di3kmxixkvmv3 + \\ dij3mxixjvmv3)= 0, \\ l3jkmvjvkvmv3 = 0. Полученные равенства справедливы, если для всех j, k, m = 1, 2, 3 выполняются соотношения: a3jkm = aj3km = akj3m = amjk3 = 0, c3jkm = cj3km = 0, d3jkm = dj3km = dkj3m = 0, l3jkm = 0. (3.8) Выберем теперь многочлены,состоящие из мономов одинаковых степеней как по x, так и по v, и имеющих общий множитель v1: \\ a1jkmxjxkxmv1 + \\ ai1kmxixkxmv1 + \\ aij1mxixjxmv1 + \\ aijk1xixjxkv1- βeh \\ d x x x v = 0, - cmβ ijk2 i j k 1 \\ c1jkmxjvkvmv1 + \\ ci1kmxivkvmv1- βeh ( \\ l x v v v + \\ l x v v v + \\ l x v v v \\ = 0, - cmβ i2km i k m 1 ij2m i j m 1 ijk2 i j k 1 \\ d1jkmxixkvmv1 + \\ di1kmxixkvmv1 + \\ dij1mxixjvmv1- βeh ( \\ c x x v v + \\ c x x v v \\ = 0, - cmβ ij2m 1. j m 1 ijk2 i 2. k 1 \\ l1jkmvjvkvmv1- βeh ( \\ b v v v v + \\ b v v v v + \\ b v v v v + \\ b v v v v \\ = 0. - cmβ 2jkm j 3. m 1 i2km i k m 1 ij2m i j m 1 i,j,k=1 ijk2 i j k 1 Здесь, полагая a1jkm = aj1km = akj1m = amjk1, c1jkm = cj1km, li2km = lik2m = limk2, d1jkm = dj1km = dkj1m, cij2m = cijm2, b2jkm = bj2km = bkj2m = bmjk2, получим следующие соотношения для коэффициентов (j, k, m = 1, 2, 3): βeh β 4a1jkm = cm βeh djkm2, 2c1jkm =3 cmβ ljkm2, (3.9) βeh 3d1jkm =2 cmβ βeh cjkm2, l1jkm =4 cmβ b2jkm. Учитывая равенства (3.8), если один из индексов коэффициентов в (3.9) равен 3, то этот коэффициент обращается в нуль. Выберем теперь многочлены, состоящие из мономов одинаковых степеней как по x, так и по v, и имеющих общий множитель v2: \\ a2jkmxjxkxmv2 + \\ ai2kmxixkxmv2 + \\ aij2mxixjxmv2 + \\ aijk2xixjxkv2+ βeh \\ + cmβ dijk1xixjxkv2 = 0, \\ c2jkmxjvkvmv2 + \\ ci2kmxivkvmv2+ + βeh ( \\ cmβ li1kmxivkvmv2 + \\ lij1mxivjvmv2 + \\ lijk1xivjvkv2\\ = 0, \\ d2jkmxixkvmv2 + \\ di2kmxixkvmv2 + \\ dij2mxixjvmv2+ 26 Ю. О. БЕЛЯЕВА + βeh ( \\ cmβ cij1mxixjvmv2 + \\ cijk1xixjvkv2\\ = 0, βeh ( \\ \\ l2jkmvjvkvmv2+ \\ \\ \\ + cmβ b1jkmvjvkvmv2 + bi1kmvivkvmv2 + bij1mvivjvmv2 + bijk1vivjvkv2\\ = 0. Полагая a2jkm = aj2km = akj2m = amjk2, c2jkm = cj2km, li1km = lik1m = limk1, d2jkm = dj2km = dkj2m, cij1m = cijm1, b1jkm = bj1km = bkj1m = bmjk1, получим соотношения следующего вида (j, k, m = 1, 2, 3): βeh β 4a2jkm = - cm β βeh djkm1, 2c2jkm = -3 cm ljkm1, (3.10) βeh β 3d2jkm = -2 cm β βeh cjkm1, l2jkm = -4 cm b1jkm. Как и в предыдущем случае, в силу равенств (3.8), коэффициенты, содержащие в индексе 3, равны нулю. Положим b1111 = b2222 =1 и b2111 = b2112 = b2211 = b2212 = 0, тогда отличными от нуля останутся коэффициенты: βeh l1222 =4 cmβ , l2111 = -4 βeh cmβ 1122 =6 cm , c ( βeh \\2 β 2211 =6 cm , c ( βeh \\2, β 1112 =4 cm d ( βeh \\3, d β 2221 ( βeh \\3 - = 4 cmβ , a1111 ( βeh = cmβ \\4, a 2222 ( βeh = cmβ \\4. Возвращаясь к искомому виду решения, получим: f˚β ( βeh \\4 4 ( βeh \\4 4 ( βeh \\3 3 ( βeh \\3 3 3 (x, v)= cmβ x1 + cmβ x2 +4 cmβ x1v2 - 4 cmβ x2v1 + ( βeh \\2 +6 +6 x2v2 ( βeh \\2 2 2 βeh x v +4 x1v3 - 4 βeh x2v3 + v4 + v4 = cmβ 1 2 cmβ 2 1 cmβ 2 cmβ 1 1 2 = ( βeh x + v \\4 + ( βeh x v \\4 = ( eh x + βv \\4 + ( eh x βv \\4. cmβ 1 2 cmβ 2 - 1 cmβ 1 2 cmβ 2 - 1 Введем четные функции ψβ ∈ C˙ ∞(R) так, что ψ-1(0) = 1, ψβ (τ ) ;? 0, 1 ψ+1( τ \\ = m 2 2 4 4 \\ m 2 3/2 2 4 +1 +1 1 ( τ \\ (τ ∈ R), supp ψ ψ ( -ρ ρ ⊂ , , где ρ = 15ρδ /δ. Поскольку m > m , -1 m m 3/2 2 4 -1 -1 -1 0 0 2 2 2 0 0 +1 -1 то supp ψ+1 ⊂ (-ρ2, ρ2) и ψ+1(0) > 1. Функция 2 0 0 2 f˚β β /( eh \\4 ( eh \\4 2 (x, v)= ψ2 является решением уравнения (3.1). x1 + βv2 mβc c m + x2 - βv1 β 2. Докажем, что вектор-функция {0, f˚β fβ } является стационарным решением задачи (2.1), (2.2), 1 2 (2.4), удовлетворяющим условиям теоремы (2.1). По построению функция f˚β (x, v) = f˚β (x, v)×f˚β (x, v) удовлетворяет уравнению (3.1), а также 1 2 sup f˚β (x, v) ;? f˚β (0, 0) ;? 2α > 0. Остается доказать, что правая часть уравнения (2.5) тождественx,v но равна нулю и supp f˚β ⊂ Q2δ ×Bρ/4. Докажем, что r f˚+1(x, v) dv = r R3 R3 f˚-1(x, v) dv. Сделаем замены переменных y = eh x и w = m (v , -v ,v ). Тогда, используя равенства c +1 2 1 3 1 m 3/2 +1 ψ +1( τ m 1 2 +1 \\ = 1 m 3/2 -1 ψ -1( τ m 1 2 -1 \\, 1 m 3/2 +1 ψ +1( τ m 2 4 +1 \\ = 1 m 3/2 -1 ψ -1( τ m 2 4 -1 \\ и вводя переменные СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ВЛАСОВА ДЛЯ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ДВУКОМПОНЕНТНОЙ ПЛАЗМЫ 27 x = c y и v = eh 1 m-1 (w2, -w1, w3), получим r r f˚+1(x, v) dv = /( eh ψ+1 v 2 ψ+1 x \\4 + v + ( eh x \\4 v dv = 1 | | 2 R3 R3 m+1c 1 2 m+1c 2 - 1 = r 1 m 3 +1 ψ ψ +1 ( |w|2 \\ +1 m 1 2 2 +1 ((y1 + w1)4 + (y2 + w2)4 \\ m 4 +1 dw = R3 r 1 = m3 ψ ψ -1 -1 ( |w|2 \\ 1 m2 2 ((y1 + w1)4 + (y2 + w2)4 \\ m4 dw = = r ψ-1 - - 1 1 R3 eh /( 2 -1 \\4 ( eh -1 \\4 r ˚-1 c 1 |v| ψ2 R3 m-1 x1 - v2 + m-1 x2 + v1 c dv = f R3 (x, v) dv. Докажем теперь, что supp f˚β ⊂ Q2δ ×Bρ/4. Действительно, если |v| > ρ1/4, то по построению fβ β 0 1 (x, v)= ψ1 (|v|2)= 0. Следовательно, f˚β (x, v)=0 для |v| > ρ1/4. Пусть Bδ (g) - круг наибольшего радиуса такой, что Bδ0 (g) ⊂ G2δ. Не ограничивая общности, будем считать, что g = 0. Если |xl | > δ0/2, |v| ρ1/4, то из условия 2.1 и неравенства δ0/δ > 1 вытекает, что 1 eh 1 1 xl + βzl1 ;? eh |xl|- |zl| > 16cρ mβeδ0 - ρ > 15ρδ0 , 1 mβc 1 mβc eδ mβc δ где zl = (v2, -v1). Отсюда, используя очевидное неравенство a4 + 2a2b2 + b4 2(a4 + b4), имеем ( eh x + βv \\4 +( eh x βv \\4 ;? 1 (( eh x + βv \\2 +( eh x βv \\2\\2 > 1 ρ4. cmβ 1 2 cmβ 2 - 1 2 cmβ 1 2 cmβ 2 - 1 2 0 Следовательно, fβ β (( eh \\4 ( eh \\4\\ 2 (x, v)= ψ2 cmβ x1 + βv2 + cmβ x2 - βv1 = 0. Таким образом, f˚β (x, v)=0 для |xl| > δ0/2, |v| ρ/4. 4. ПОСТРОЕНИЕ СТАЦИОНАРНОГО РЕШЕНИЯ В ВИДЕ ФОРМЫ ПОРЯДКА 2m 1. Несложно убедиться, что функция fβ ( eh \\2m ( eh \\2m 4 (x, v)= cmβ x1 + βv2 + cmβ x2 - βv1 удовлетворяет уравнению (3.1). Действительно, подставляя в (3.1) выражения получим ∂f˚β 5 eh ( eh 2m-1 βv2\\ , ∂f˚β 5 eh ( eh 2m-1 βv1\\ , ∂f˚β 5 ∂x1 cmβ cmβ ∂x2 = 2m cm cm x2 - β β ∂x3 = 2m 5 ∂f˚β ∂v1 x1 + ( eh β = -2mβ cm \\ x2 - βv1 2m-1 , 5 ∂f˚β ∂v2 eh = 2mβ( cmβ x1 + βv2\\ 2m-1 , = 0, eh 2m cmβ eh v1( cmβ x1 + βv2\\ 2m-1 + 2m eh cmβ eh v2( cmβ \\ x2 - βv1 2m-1 - eh β -2mcm v ( eh 2 cmβ x2 - βv1 \\2m-1 eh β - 2mcm v ( eh 1 cmβ x1 + βv2 \\2m-1 ≡ 0. 28 Ю. О. БЕЛЯЕВА Введем четные функции ψβ ∈C˙ ∞(R) так, что ψ-1(0)=1, ψβ (τ ) ;? 0, 1 ψ+1( τ \\ = m m m m m 3/2 m 2m +1 +1 1 ( τ \\ (τ ∈ R), supp ψ ⊂ (-ρ ,ρ ), где ρ = ( ρδ /δ\\ Поскольку m > m , ψ -1 m m 3/2 m 2m -1 -1 m -1 2 2 m 0 0 m \\ 0 15 0 . +1 -1 0 то supp ψ+1 ⊂ ( - ρ0 , ρ и ψ+1(0) > 1. Функция m 2m-1 f˚β 2m-1 m β /( eh \\2m ( eh \\2m m(x, v)= ψm является решением уравнения (3.1). x1 + βv2 mβc c m + x2 - βv1 β 2. Докажем теперь, что вектор-функция {0, f˚β f˚β } является стационарным решением за- 1 m дачи (2.1), (2.2), (2.4), удовлетворяющим условиям теоремы (2.1). По построению функция f˚β (x, v)=f˚β (x, v)×f˚β (x, v) удовлетворяет уравнению (3.1) и sup f˚β (x, v) ;? f˚β (0, 0) ;? 2α > 0. Оста- 1 m x,v ется доказать, что правая часть уравнения (2.5) тождественно равна нулю и supp f˚β ⊂ Q2δ ×Bρ/4. Докажем, что r f˚+1(x, v) dv = r R3 R3 f˚-1(x, v) dv. Аналогично предыдущему случаю, сделаем замены переменных y = eh x и w = m (v , -v ,v ). c +1 2 1 3 Тогда, принимая во внимание равенства 1 ψ+1( τ \\ = 1 ψ-1( τ \\, 1 ψ+1( τ \\ = 1 ( τ \\ m m 3/2 1 +1 2 + 1 m m 3/2 1 2 -1 -1 m m 3/2 m 2m +1 +1 ψ-1 и вводя переменные x = c y и v = 1 2 (w , -w ,w ), получим m m 3/2 m 2m -1 -1 m eh /( eh 1 3 -1 \\2m \\2m r r f˚+1(x, v) dv = ψ+1 v 2 ψ+1 x + v ( eh + x v dv = 1 | | R3 R3 m m+1c 1 2 m+1c 2 - 1 r 1 m = 3 +1 R3 r 1 m = 3 -1 R3 ψ ψ +1 ( |w|2 \\ +1 m 1 2 m +1 ψ ψ -1 -1 ( |w|2 \\ m 1 2 m -1 ((y1 + w1)2m + (y2 + w2)2m \\ m 2m +1 ((y1 + w1)2m + (y2 + w2)2m \\ m 2m -1 dw = dw = r /( eh = ψ-1 |v|2 ψ-1 x1 - v2 \\2m ( eh m + c x2 + v1 \\2m r dv = f˚-1(x, v) dv. m c 1 m -1 -1 R3 R3 Докажем теперь, что supp f˚β ⊂ Q2δ ×Bρ/4. Действительно если |v| > ρ1/4, то по построению fβ β 0 1 (x, v)= ψ1 (|v|2)= 0. Следовательно, f˚β (x, v)=0 для |v| > ρ1/4. Пусть Bδ (g) - круг наибольшего радиуса такой, что Bδ0 1. ⊂ G2δ. Не ограничивая общности, будем считать, что g = 0. Если |xl | > δ0/2, |v| ρ1/4, то из условия 2.1 и неравенства δ0/δ > 1 вытекает, что 1 eh 1 1 xl + βzl1 ;? eh |xl|- |zl| > 16cρ mβeδ0 o ρ > 15ρδ0 , 1 mβc 1 mβc eδ mβc δ где zl = (v2, -v1). Отсюда, используя очевидное неравенство имеем m 1 (a a2m + b2m ;? 1 2 2 - + b2)m, ( eh x + βv \\2m +( eh x βv \\2m ;? 1 (( eh x + βv \\2 +( eh x βv \\2\\m > 1 ρm. cmβ 1 2 cmβ 2 - 1 2m-1 cmβ 1 2 cmβ 2 - 1 2m-1 0 СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ВЛАСОВА ДЛЯ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ДВУКОМПОНЕНТНОЙ ПЛАЗМЫ 29 Следовательно, f˚β β (( βeh \\2m ( βeh \\2m\\ m(x, v)= ψ2 cmβ x1 + βv2 + cmβ x2 - βv1 = 0. Таким образом, f˚β (x, v)=0 для |xl| > δ0/2, |v| ρ/4. Автор глубоко благодарен своему научному руководителю А. Л. Скубачевскому за постановку задачи и ряд ценных советов, а также В. П. Бурскому и А. E. Шишкову за полезные обсуждения.